Ïîëêóíîâ Þ.Ã., Ñïèðèäîíîâà Å.Â. Îðåíáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÐÀÇÂÈÒÈß ÐÀÑÊËÈÍÈÂÀÞÙÅÉ ÒÐÅÙÈÍÛ Â ÍÀÐÓØÅÍÍÎÌ ÌÀÒÅÐÈÀËÅ Ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà ðàçðàáîòêå êðèòåðèåâ ðàçâèòèÿ ðàñêëèíèâàþùèõ òðåùèí â ïëîñêîñòè. Óñòàíîâëåíû çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé ïåðâîãî ðîäà îò ôèçèêîìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà, äëèíû íàãðóæåíèÿ è ðàññòîÿíèÿ äî íàêëîííîé òðåùèíû. Àäåêâàòíîñòü ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîäòâåðæäàëàñü àíàëèòè÷åñêèìè èññëåäîâàíèÿìè.  íàñòîÿùåå âðåìÿ â íåôòÿíîé è óãîëüíîé ïðîìûøëåííîñòè ïîëó÷èë äîñòàòî÷íîå ðàçâèòèå íîâûé ñïîñîá ðàçðóøåíèÿ ãîðíûõ ïîðîä ôëþèäîðàçðûâ [1]. Ïðè çàïîëíåíèè ïðîòÿæåííûõ ùåëåé ìàòåðèàëîì ñ çàäàííûìè ôèçè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ïîÿâëÿåòñÿ ïåðñïåêòèâà ñîçäàíèÿ íîâûõ ñïîñîáîâ è ãåîòåõíîëîãèé ðàçëè÷íîãî íàçíà÷åíèÿ. Ôëþèäîðàçðûâ ýòî íàïðàâëåííîå ðàçðóøåíèå ãîðíîãî ìàññèâà ñ ïîìîùüþ òðåùèí ðàçðûâà, ãäå äàâëåíèå ñîçäàåòñÿ ôëþèäàìè æèäêîñòè èëè ïëàñòè÷åñêîé ìàññû. Ñâîå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ôëþèäîðàçðûâ íàõîäèò äëÿ: – öåìåíòàöèè ïîðîäíîãî ìàññèâà, ÷òî ïðèâîäèò ê óñòîé÷èâîñòè ïîäçåìíûõ âûðàáîòîê; – äîáû÷è ïîëåçíûõ èñêîïàåìûõ, ò.å. äëÿ âûåìêè öåííîãî ìèíåðàëüíîãî ñûðüÿ ïðè îòêðûòîé è ïîäçåìíîé ðàçðàáîòêå; – íîâûõ ñïîñîáîâ óïðàâëåíèÿ ãîðíûì äàâëåíèåì è ñîñòîÿíèåì ìàññèâà, âêëþ÷àÿ îõðàíó âûðàáîòîê, áîðüáó ñ ãîðíûìè óäàðàìè, âíåçàïíûìè âûáðîñàìè óãëÿ, ïîðîäû, ñîëè è ãàçà; – ðàçóïðî÷íåíèÿ ìàññèâà ãîðíûõ ïîðîä, äîáû÷è áëî÷íîãî êàìíÿ; – ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè òàêèõ ïðîöåññîâ, êàê äðåíèðîâàíèå âîäû è ãàçà, òàìïîíàæ ïîðîä è äð. Àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ ïî ôîðìèðîâàíèþ òðåùèí ðàçðûâà â ãîðíûõ ïîðîäàõ èçó÷åíû íåäîñòàòî÷íî. Îäíî èç ïåðâûõ èññëåäîâàíèé ïî ôîðìèðîâàíèþ òðåùèí ðàçðûâà áûëî îïóáëèêîâàíî â ðàáîòå [2].  ýòîì òðóäå áûë ðàçðàáîòàí êðèòåðèé ðàçâèòèÿ òðåùèíû íîðìàëüíîãî ðàçðûâà ïëîñêîñòè äëÿ îäíîðîäíîãî ìàòåðèàëà â óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè, êîòîðûé èìåë ñëåäóþùèé âèä: KI = G ⋅h⋅ 2 l ⋅ π (1 − v ) , (1) ãäå Ê I êîýôôèöèåíò èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèÿ ïåðâîãî ðîäà, Í / ì 3/ 2 ; G ìîäóëü ñäâèãà; l äëèíà òðåùèíû, ì; v – êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà. Âñå îñòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäèëèñü ïóòåì ôèçè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íà îáðàçöàõ èç ýêâèâàëåíòíûõ ìàòåðèàëîâ. Îñíîâíîé öåëüþ ýêñïåðèìåíòîâ ÿâëÿëàñü óñòàíîâêà òîãî, êàê áóäåò ïðîòåêàòü âçàèìîäåéñòâèå òðåùèíû ôëþèäîðàçðûâà ñ åñòåñòâåííîé òðåùèíîé.  èòîãå áûëî îïðåäåëåíî, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ùåëüþ åñòåñòâåííîé òðåùèíû ãîðíîãî ìàññèâà â îñíîâíîì çàâèñèò îò åãî äåôîðìàöèîííûõ ñâîéñòâ, âåëè÷èíû óãëà ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ùåëè è òðåùèíû, à òàêæå äàâëåíèÿ ôëþèäà [3]. Öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà êðèòåðèåâ ðàçðóøåíèÿ: ïëîñêîñòè ñ ðàçëè÷íîé äëèíîé íàãðóæåíèÿ ìàãèñòðàëüíîé òðåùèíû; ìàññèâà ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíîé íà ïëîñêîñòè, íàðóøåííîé åñòåñòâåííîé òðåùèíîé. Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíà ñõåìà, ìîäåëèðóþùàÿ ðàçâèòèå ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû â ñïëîøíîì ìàòåðèàëå ïðè èçìåíåíèè äëèíû íàãðóæåíèÿ b. Ôîðìèðîâàíèå ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû íàïðàâëåíî â ñòîðîíó ÎÂ. Êðàåâûå óñëîâèÿ èìåëè ñëåäóþùèé âèä: u h = h, σ s = 0 ïðè y = 0, A ≤ x ≤ O ; σ s = 0, σ n = 0 ïðè y = 0, O ≤ x ≤ B , ãäå h – çàäàííàÿ âåëè÷èíà. y uh = h A 0 bb B x b l Ðèñóíîê 1. Ñõåìà, ìîäåëèðóþùàÿ ðàçâèòèå òðåùèíû íîðìàëüíîãî ðàçðûâà â ñïëîøíîì ìàòåðèàëå ВЕСТНИК ОГУ №9/СЕНТЯБРЬ`2007 '# Åñòåñòâåííûå íàóêè Ðåàëèçàöèÿ ìîäåëè îñóùåñòâëÿåòñÿ ìåòîäîì ãðàíè÷íûõ ýëåìåíòîâ [4]. Ãðàíè÷íûå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ äàííîé çàäà÷è ïðèâîäèëèñü ê ñëåäóþùåé ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé: N j=1 j=1 N N j=1 j=1 _____ ___ h = ( u in ) 0 = ∑ B ijns D sj + ∑ B ijnn D nj , i = 1, M ; N N j=1 j=1 ____ 0 = ( σ in ) 0 = ∑ A ijns D sj + ∑ A ijnn D nj , i = M + 1, N, ãäå N – êîëè÷åñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ ýëåìåíòîâ; M – êîëè÷åñòâî ãðàíè÷íûõ ýëåìåíòîâ, íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ ó÷àñòîê ÀÎ; D nj , D sj êîìïîíåíòû ðàçðûâîâ ñìåùåíèé j-ãî îòðåçêà òðåùèíû â íîðìàëüíîì è êàñàòåëüíîì íàïðàâëåíèÿõ ñîîòâåòñòâåííî; u in íîðìàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ; σ si ,σ in êàñàòåëüíûå è íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ íà ãðàíèöå òåëà ñîîòâåòñòâåííî; B ssij , B snij , B nsij , B nnij ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ. Êîýôôèöèåíò èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿëñÿ ïî ñëåäóþùåìó êðèòåðèþ [5]: KI = − Dn π G ⋅ ⋅ lim . 2 2 ⋅ (1 − v ) x→l l − x  ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòîâ áûë ðàçðàáîòàí êðèòåðèé ðàçðóøåíèÿ ïëîñêîñòè ñ ðàçëè÷íîé äëèíîé íàãðóæåíèÿ KI = G⋅h⋅ 2 l ⋅ π ⋅ (1 − v ) ⋅ f ( b) , 1 (2) (3) ãäå b – äëèíà íàãðóæåíèÿ, ì. Ôóíêöèÿ, õàðàêòåðèçóþùàÿ âëèÿíèå âåëè÷èí b íà êîýôôèöèåíò èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé ïåðâîãî ðîäà, èìåëà âèä: 0,95 0,9 f(b) N ij ij 0 = ( σ si ) 0 = ∑ A ss D sj + ∑ A sn D nj , , i = 1, N ; öèåíò èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèÿ ïåðâîãî ðîäà è äëèíó ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû. Íà îñíîâå àíàëèçà, ïðîâåäåííîãî âûøå, ðàññìîòðèì ìîäåëè ðàçâèòèÿ ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû â íàðóøåííîì ìàòåðèàëå (ðèñ. 3). Íàðóøåíèå ìàòåðèàëà ìîäåëèðîâàëîñü òðåùèíîé CD ñ óãëàìè íàêëîíà β = 0 0 ; 450 ;990 0 ê îñè îõ è ðàññòîÿíèåì L = 0,5; 1,0; 5,0; 8,0; 15,0 ñì, à h = 0,00012 ñì. Çíàê «» ïåðåä Dn è Ds ñîîòâåòñòâóåò ðàñêðûòèþ òðåùèíû, à «+» åå ñæàòèþ. Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîãî è ñäâèãîâîãî ðàñêðûòèÿ òðåùèíû CD îò óãëà β = 0 0 è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé äëèíû L.  òàáëèöå 1 ïðèâåäåíà îáùàÿ ñõåìà èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñêðûòèÿ òðåùèíû îò óãëà β = 0 0 ïî îòíîøåíèþ ê îñè îõ ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ äëèíû L. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîêàçàë, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè äëèíû L íîðìàëüíûå ðàñêðûòèÿ òðåùèíû óìåíüøàþòñÿ. Äëÿ êàæäîé âåëè÷èíû L ïðîöåññ ðàñêðûòèÿ íîñèò âîëíîîáðàçíûé õàðàêòåð. Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ñäâèãîâûå ðàñêðûòèÿ òðåùèíû CD ðàâíû íóëþ. 0,85 0,8 0,75 0,7 0 2 '$ ВЕСТНИК ОГУ №9/СЕНТЯБРЬ`2007 6 8 10 b Ðèñóíîê 2. Ãðàôèê ôóíêöèè f ( b ) , 1 ≤ b ≤ 10 ñì. f ( b ) = 1 − 0,3808 ⋅ e −0,4631⋅b . Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà ãðàôè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ôóíêöèè f ( b ) îò âåëè÷èíû b , êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè b ≥ 0,1 ì êðèòåðèé ðîñòà ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé ×åðåïàíîâà. Ðàñ÷åò ïîêàçàë, ÷òî êðèòåðèé, ïîëó÷åííûé ïðè ïîìîùè ÷èñëåííîãî ìåòîäà, îòëè÷àåòñÿ îò àíàëèòè÷åñêîãî íà 3%. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà íàãðóæåíèÿ b îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà êîýôôè- 4 y D L uh = h A β 0 B x C Ðèñóíîê 3 12 Ïîëêóíîâ Þ.Ã., Ñïèðèäîíîâà Å.Â. Ìîäåëèðîâàíèå ðàçâèòèÿ ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû... Íà ðèñ. 5 ïîêàçàíà ãðàôè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîãî è ñäâèãîâîãî ðàñêðûòèÿ åñòåñòâåííîé òðåùèíû ÑD îò óãëà íàêëîíà β = 45 0 è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé äëèíû L.  òàáëèöå 2 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè íîðìàëüíîãî è ñäâèãîâîãî ðàñêðûòèÿ òðåùèíû ïî òðåì ó÷àñòêàì îò óãëà íàêëîíà β = 450 . Íà îñíîâàíèè âûøåèçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðè èçìåíåíèè äëèíû L îò 0,5 ñì äî y L uh = h 0 A B D C x Ðèñóíîê 4. Ñõåìà èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîãî è ñäâèãîâîãî ðàñêðûòèÿ òðåùèíû CD îò óãëà β = 0 0 è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé äëèíû L. y 1 ñì íîðìàëüíûå ðàñêðûòèÿ óâåëè÷èâàþòñÿ, à ïðè L áîëåå 3 ñì åñòåñòâåííàÿ òðåùèíà ïîïàäàåò â çîíó ïðîäâèæåíèÿ ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû, ÷òî ïðèâîäèò ê ïîëíîìó íîðìàëüíîìó è ñäâèãîâîìó åå ðàñêðûòèþ. Ïðè óäàëåíèè ïðèðîäíîé òðåùèíû âåëè÷èíû íîðìàëüíîãî ðàñêðûòèÿ òðåùèíû óìåíüøàþòñÿ. Òàê ïðè èçìåíåíèè L îò 1 äî 15 ñì â ñðåäíåì ðàñêðûòèÿ ñòàíîâÿòñÿ ìåíüøå â 35,113 ðàç. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ óãëà β = 90 0 ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå 6.  òàáëèöå 3 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîãî è ñäâèãîâîãî ðàñêðûòèÿ òðåùèíû ïî òðåì ó÷àñòêàì îò óãëà íàêëîíà β = 90 0 ïî îòíîøåíèþ ê îñè îõ. Èç äàííûõ òàáëèöû 3 ïîíÿòíî, ÷òî ïðè ëþáîì èçìåíåíèå äëèíû L íîðìàëüíûå è ñäâèãîâûå ðàñêðûòèÿ òðåùèíû ïðîèñõîäÿò ñèììåòðè÷íî ïî âñåé äëèíå òðåùèíû, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6.  ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòîâ áûë ðàçðàáîòàí êðèòåðèé ðàçðóøåíèÿ ìàññèâà ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíîé íà ïëîñêîñòè, íàðóøåííîé åñòåñòâåííîé òðåùèíîé, ñ ó÷åòîì âåëè÷èíû L è óãëà íàêëîíà β = 450 L≥3 KI = D L =1 III L = 0,5 uh = h A O II X B I C Ðèñóíîê 5. Ñõåìà èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîãî è ñäâèãîâîãî ðàñêðûòèÿ òðåùèíû CD îò óãëà β = 45 0 è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé äëèíû L. y D L =1 A O l ⋅ π ⋅ (1 − v ) ⋅ f (L ) , (3) ãäå L – ðàññòîÿíèå îò ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû äî åñòåñòâåííîé òðåùèíû, ì. Ôóíêöèÿ, õàðàêòåðèçóþùàÿ âëèÿíèå ðàññòîÿíèÿ L íà âåëè÷èíó ðîñòà òðåùèíû l , èìåëà âèä: f ( L ) = 1 + 0,5026 ⋅ e −1,268⋅L . Êàðòèíà èçìåíåíèÿ f ( L ) â ìàòåðèàëå, íàðóøåííîì ïðèðîäíîé òðåùèíîé, ñ óãëîì íàêëîíà β = 45 0 èçîáðàæåíà íà ðèñ. 7. L≥3 1,3 III 1,2 II X B f(L) L = 0,5 uh = h G ⋅h⋅ 2 1,1 1 I C Ðèñóíîê 6. Ñõåìà èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîãî è ñäâèãîâîãî ðàñêðûòèÿ òðåùèíû CD îò óãëà β = 90 0 è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé äëèíû L. 0,9 0 3 6 9 12 15 L Ðèñóíîê 7. Ãðàôèê ôóíêöèè f ( L ) , 0,5 ≤ L ≤ 15 ñì. ВЕСТНИК ОГУ №9/СЕНТЯБРЬ`2007 '% Åñòåñòâåííûå íàóêè Òàáëèöà 1. Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñêðûòèÿ åñòåñòâåííîé òðåùèíû ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ âåëè÷èíû L Dn,ñì Dn, ñì N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 L = 0,5 ñì L = 1,0 ñì L = 8,0 ñì L = 15,0 ñì -0,00001558 -0,00002046 -0,00002264 -0,00002357 -0,00002381 -0,00002362 -0,00002314 -0,00002246 -0,00002163 -0,00002069 -0,00001967 -0,00001856 -0,00001738 -0,00001612 -0,00001471 -0,00001333 -0,00001176 -0,00001000 -0,00000794 -0,00000524 -0,00000910 -0,00001236 -0,00001405 -0,00001495 -0,00001538 -0,00001549 -0,00001538 -0,00001511 -0,00001470 -0,00001419 -0,00001360 -0,00001293 -0,00001219 -0,00001137 -0,00001049 -0,00000951 -0,00000843 -0,00000720 -0,00000570 -0,00000380 -0,00000064 -0,00000093 -0,00000111 -0,00000123 -0,00000133 -0,00000139 -0,00000144 -0,00000146 -0,00000146 -0,00000146 -0,00000144 -0,00000141 -0,00000136 -0,00000130 -0,00000123 -0,00000114 -0,00000103 -0,00000089 -0,00000073 -0,00000049 -0,00000022 -0,00000032 -0,00000038 -0,00000043 -0,00000047 -0,00000049 -0,00000051 -0,00000052 -0,00000053 -0,00000053 -0,00000052 -0,00000051 -0,00000050 -0,00000048 -0,00000045 -0,00000043 -0,00000039 -0,00000034 -0,00000027 -0,00000019 Òàáëèöà 2. Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ íîðìàëüíîãî è ñäâèãîâîãî ðàñêðûòèÿ åñòåñòâåííîé òðåùèíû îò èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû L L, ñì 0,5 1,0 8,0 15,0 I 0,0000300 -0,0000082 -0,0000013 -0,0000004 Dn, ñì II -0,0000400 -0,0000347 -0,0000020 -0,0000006 III -0,0000149 -0,0000131 -0,0000011 -0,0000004 I -0,0000172663 -0,0000223637 -0,0000000493 -0,0000000046 Ds, ñì II -0,0000248268 -0,0000147312 -0,0000000307 -0,0000000030 III -0,0000132510 -0,0000069668 -0,0000000304 -0,0000000034 Òàáëèöà 3. Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ íîðìàëüíîãî è ñäâèãîâîãî ðàñêðûòèÿ åñòåñòâåííîé òðåùèíû îò èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû L. L, ñì 0,5 1,0 8,0 15,0 I -0,00000153 -0,00000208 -0,00000121 -0,00000041 Dn,ñì Dn, ñì II -0,00000252 -0,00001730 -0,00000185 -0,00000062 III -0,00000153 -0,00000208 -0,00000121 -0,00000041 Íà îñíîâàíèè âûøåèçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî ðîñò ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû â ìàòåðèàëå çàâèñèò îò ðàñïîëîæåíèÿ â íåì åñòåñòâåííîé òðåùèíû. ×åì áëèæå ðàñïîëîæåíà ïðèðîäíàÿ òðåùèíà ê ðàñêëèíèâàþùåé, òåì áîëüøå óñêîðÿåòñÿ ïðîöåññ ðàçâèòèÿ ïîñëåäíåé. I -0,00000185 -0,00000127 -0,00000015 -0,00000003 Ds,ñì Ds, ñì II 0,000001798 -0,000000650 -0,000000015 -0,000000003 III 0,00000185 0,00000127 0,00000015 0,00000003 Òàêèì îáðàçîì, ðàçðàáîòàííûé êðèòåðèé ðàçðóøåíèÿ ãîðíûõ ïîðîä ïîçâîëÿåò ïðîãíîçèðîâàòü ðîñò ðàñêëèíèâàþùåé òðåùèíû íà ïëîñêîñòè, îñëàáëåííîé åñòåñòâåííîé òðåùèíîé. Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû: 1. ×åðíîâ Î.È. Î ôëþèäîðàçðûâå ïîðîäíûõ ìàññèâîâ / Î.È. ×åðíîâ, È.Ã. Êþ // Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèå ïðîáëåìû ðàçðàáîòêè ïîëåçíûõ èñêîïàåìûõ. 1988. ¹6. Ñ. 81-92. 2. ×åðåïàíîâ Ã.Ï. Ìåõàíèêà ðàçðóøåíèÿ ãîðíûõ ïîðîä â ïðîöåññå áóðåíèÿ. Ì.: Íåäðà, 1987. 308 ñ. 3. Õÿìÿëÿéíåí Â.À. Ôîðìèðîâàíèå öåìåíòàöèîííûõ çàâåñ âîêðóã êàïèòàëüíûõ ãîðíûõ âûðàáîòîê / Â.À. Õÿìÿëÿéíåí, Þ.Â. Áóðêîâ, Ï.Ñ. Ñûðêèí. Ì.: Íåäðà, 1994. 400 ñ. 4. Êðàó÷ Ñ. Ìåòîäû ãðàíè÷íûõ ýëåìåíòîâ â ìåõàíèêå òâåðäîãî òåëà / Ñ. Êðàó÷, À. Ñòàðôèëä. Ì.: Ìèð, 1987. 328 ñ. 5. Ëèíüêîâ À.Ì. Êîìïëåêñíûé ìåòîä ãðàíè÷íûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé òåîðèè óïðóãîñòè. ÑÏá.: Íàóêà, 1999. 382 ñ. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 26.04.07 '& ВЕСТНИК ОГУ №9/СЕНТЯБРЬ`2007