Глава 18

Раздел VI
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ,
МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Глава 18
Теория атома водорода по Бору
§ 171
Модели атома Томсона и Резерфорда
Представление об атомах как неделимых мельчайших частицах вещества
(«атомах» – неразложимый) возникло еще в античные времена (Демокрит, Эпикур, Лукреций). В средние века, во время безграничного господства церкви, учение об атомах не могло получить признания, а тем более, дальнейшего развития.
К началу XVIII века атомистическая теория приобретает все большую популярность, так как к этому времени в работах А. Лавуазье (1743-1794), М.В. Ломоносова и Д. Дальтона была доказана реальность существования атомов. Однако в
это время вопрос о внутреннем строении атомов даже не возникал, так как атомы
по-прежнему считались неделимыми.
Большую роль в развитии атомистической теории сыграл Д.И. Менделеев,
разработавший в 1869 г. Периодическую систему элементов, в которой впервые
на научной основе был поставлен вопрос о единой природе атомов. Во второй
половине XIX в. экспериментально было доказано, что электрон является одной
из основных составных частей любого вещества. Эти выводы, а также многочисленные экспериментальные данные привели к тому, что в начале XX в. серьезно
встал вопрос о строении атома.
Первая попытка создания на основе накопленных
экспериментальных данных модели атома принадлежит
Дж.Дж. Томсону (1903 г.). По его представлениям атомы
имели радиус r ≈ 10 −10 м, положительные и отрицательные
заряды были равномерно распределены по объему,
причем, q + = q − .
+
+ + ++ - + +
- + + +
+ -
В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английского физика Э. Резерфорда (1871-1937) по рассеянию α-частиц в веществе.
Пучок α-частиц обладает высокой монохроматичностью (для данного превращения имеют почти одну и туже скорость ≈ 107 м/с).
На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г.
предложил ядерную (планетарную) модель атома. Ze –
заряд ядра, размер которого ≈ 10−15 ÷ 10−14 м. Размер атома
≈ 10−10 м. Z – количество электронов в электронной оболоч-
ке.
Недостатки планетарной модели:
1. Согласно данной модели атом должен излучать сплошной спектр. В дей-
ствительности же опыт показывает, что атомы имеют линейный спектр;
2. В результате излучения электрон должен терять
свою энергию, т.е. атомная система – неустойчивая, что
опять-таки противоречит действительности.
§ 172
Линейчатый спектр атома водорода
Швейцарский ученый И. Бальмар (1825-1858) подобрал эмпирическую формулу описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:
1
1 
1
= R′ 2 − 2 
λ
2 n 
(n = 3, 4, 5,K) ,
где R′ = 1,097 ⋅ 107 м-1 – постоянная Ридберга. Так как
(172.1)
ν = c λ , то формула
(172.1) может быть переписана для частоты
1 
1
ν = R 2 − 2 
2 n 
(n = 3, 4, 5,K) ,
(172.2)
где R = cR′ = 3,29 ⋅ 1015 c–1 также постоянная Ридберга.
Из выражений (172.1) и (172.2) видно, что спектральные линии отличающиеся различными значениями n , образуют группу или серию линий, называемую серией Бальмера. С увеличением n линии серии сближаются; значение
n = ∞ определяет границу серии, к которой со стороны больших частот примы-
кает сплошной спектр.
В спектре атома водорода было обнаружено еще несколько серий. В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана
1 1 
ν = R 2 − 2 
1 n 
(n = 2, 3, 4,K) .
В инфракрасной области спектра были также обнаружены:
серия Пашена
1 1 
ν = R 2 − 2 
3 n 
(n = 4, 5, 6,K) ,
серия Брэкета
1 
1
ν = R 2 − 2 
4 n 
(n = 5, 6, 7,K) ,
серия Пфунда
1 
1
ν = R 2 − 2 
5 n 
(n = 6, 7, 8,K) ,
серия Хэмфри
1 
1
ν = R 2 − 2 
6 n 
(n = 7, 8, 9,K) .
Все приведенные выше серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера:
1 
 1
ν = R 2 − 2  ,
m n 
(172.3)
где m имеет в каждой данной серии постоянное значение, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (определяет серию), n – принимает целочисленное значение начиная с m + 1 (определяет линии этой серии).
Исследование более сложных спектров – спектров паров щелочных металлов (например, Li, K, Na) – показало, что они представляют набор незакономерно
расположенных линий. Ридбергу удалось разделить их на три серии, каждая из
которых располагается подобно линиям бальмеровской серии.
Приведенные выше сериальные формулы подобраны эмпирически и долгое
время не имели теоретического объяснения, хотя и были подтверждены экспериментально с очень большой точностью.
§ 173
Постулаты Бора
Первая попытка построить качественно новую – квантовую – теорию атома
была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором (1885-1962). Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности
линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовые характеристики излучения и поглощения света. В основу теории Бор положил два постулата.
I постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атомах существует стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не
изменяет энергии.
Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по
которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам
не сопровождается излучением электромагнитных волн.
В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите,
должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию:
mevrn = nh
(n = 1, 2, 3,K) .
(173.1)
II постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией
равной разности энергий соответствующих стационарных состояний
hν = En − Em .
(173.2)
§ 174
Опыты Франка и Герца
Немецкие физики Д. Франк и Г. Герц изучая методам задерживающего потенциала столкновение электронов с атомами газов (1913), экспериментально доказали дискретность значений энергии атомов.
Принципиальная схема их установки приведена на рисунке. Вакуумная
трубка парами ртути p ≈ 13 Па, содержит катод (К), две сетки (С1 и С2) и анод
(А). Электроны, эмитируемые катодом, ускорялись разностью потенциалов, при-
ложенной между катодом и сеткой С1. Между сеткой С2 и анодом приложен небольшой (примерно 0,5 В) задерживающий потенциал.
Электроны, ускоренные в области 1, попадают в область 2 между сетками,
где испытывают соударение с атомами паров ртути. Электроны, которые после
соударения имеют достаточную энергию для преодоления задерживающего потенциала в области 3, достигают анода. При неупругих соударениях электронов с
атомами ртути последние могут возбуждаться. Согласно боровской теории, каждый из атомов ртути может получить лишь вполне определенную энергию, переходя при этом в одно из возбужденных состояний. Поэтому если в атомах действительно существуют стационарные состояния, то электроны, сталкиваясь с атомами ртути, должны терять энергию дискретно, определенными порциями, равными разности энергий соответствующих стационарных состояний атома.
Из
вольтамперной
характеристики
опыта,
показанной на рисунке, следует, что при увеличении
ускоряющей разности потенциалов до 4,86 В
анодный ток возрастает монотонно, его значение
проходит через максимум (4,86 В), затем резко
уменьшается и возрастает вновь.
Ближайшим к основному, невозбужденному,
состоянию атома ртути является возбужденное
состояние, отстоящее от основного по шкале энергии на 4,86 эВ. Пока разность
потенциалов между катодом и сеткой меньше 4,86 В, электроны, встречая на своем пути атомы ртути, испытывают с ними только упругие соударения.
При eϕ = 4,86 эВ энергия электрона становится достаточной, чтобы неупругим ударом возбудить атом ртути. При возбуждении атом ртути получит энергию ∆E = eϕ , согласно постулатам Бора можно вычислить частоту ν = ∆E / h или
длину волны λ = hc ∆E ≈ 255 нм. На опыте в спектре обнаружена линия с λ ≈ 254
нм.
Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтвердили постулатами Бора. Эти опыты сыграли огромное значение в развитии атомной физики.
§ 175
Спектр атома водорода по Бору
Постулаты, выдвинутые Бором, позволяют рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем – систем, состоящих из ядра с зарядом Ze и
одного электрона (например, ионы He + , Li + + ), а также теоретически вычислить
постоянную Ридберга.
Для этого надо решить совместно уравнения
me v 2
Ze 2
mevrn = nh и
=
.
rn
4πε0 rn2
Радиус п-ой стационарной орбиты будет равен
rn = n 2
h 2 4πε0
;
Zme e 2
(n = 1,2,3K)
h 2 4πε0
r1 = a =
= 0,528 ⋅ 10−10 = 52,8 пм
2
Zme e
(175.1)
(175.2)
– первая боровская орбита атома водорода.
Полная энергия электрона в водородоподобной системе
E=
me v 2
Ze 2
1 Ze 2
−
=− ⋅
.
2
4πε0 r
2 4πε0 r
1 Z 2 me e 4
En = − 2 ⋅
n 8h 2ε02
(n = 1,2,3K)
(175.3)
– энергия стационарных орбит, n – главное квантовое число.
При n = 1 атом находиться в нормальном (основном) состоянии.
При n > 1 атом находиться в возбужденном состоянии.
Энергетический уровень, соответствующий основному состоянию атома,
называется основным (нормальным) уровнем; все остальные уровни являются
возбужденными.
E1 = −13,55 эВ ( n = 1), E∞ = 0 ( n = ∞ )
Значение E∞ = 0 соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона).
me e 4  1
1 
hν = En − Em = − 2 2  2 − 2  ,
8h ε 0  n m 
откуда частота излучения
me e 4  1
1 
1 
 1
ν = 3 2  2 − 2  = R 2 − 2  ,
8h ε0  m n 
m n 
(175.4)
me e 4
где R = 3 2 – постоянная Ридберга.
8h ε 0
Недостатки теории Бора:
1. Теория Бора не могла объяснить интенсивность спектральных линий или иные переходы.
2. Невозможно описать другие атомы, даже
Не, следующий за водородом.
§ 176
Источники рентгеновского излучения
Рентгеновское излучение (рентгеновские лучи) – это электромагнитное ионизирующее излучение, занимающее спектральную область между γ– и ультрафиолетовым излучением в пределах длин волн от 10–5 до 102 нм.
Открыто в 1895 г. немецким физиком В.К. Рентгеном. Рентгеновское излучение с λ<1 нм называют жестким с λ>1 нм – мягким.
1. Наиболее распространенным источником рентгеновского излучения является рентгеновская трубка, в которой ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют
металлический анод. Термоэмиссионный катод рентгеновской трубки обычно
представляет собой спираль или прямую нить из вольфрамовой проволоки, накаливаемую электрическим током. Рабочий участок анода – металлическую зеркальную поверхность – расположен перпендикулярно или под некоторым углом к
потоку электронов. Для получения сплошного тормозного спектра рентгеновского излучения высоких энергий и интенсивностей применяются аноды из Au, W; в
структурном анализе используются рентгеновские трубки с анодами из Ti, Cr, Fe,
Co, Ni, Cu, Mo, Ag.
Основные характеристики рентгеновских трубок – предельное ускоряющее
напряжение (1 – 500 кВ), электронный ток (0,01 мА – 1А), удельная мощность,
рассеиваемая анодом (10 – 104 Вт/мм2), к.п.д. рентгеновских трубок составляет
0,1 – 3%.
2. В качестве источников рентгеновского излучения могут служить также
некоторые радиоактивные изотопы: одни из них непосредственно испускают
рентгеновские излучения, ядерные излучения других (электроны или α-частицы)
бомбардируют металлическую мишень, которая испускает рентгеновское излучение. Интенсивность излучения изотопных источников на несколько порядков
меньше интенсивности излучения рентгеновской трубки, а габариты, вес и стоимость значительно меньше, чем установки с рентгеновской трубкой.
3. Естественными источниками рентгеновского излучения является Солнце
и другие космические объекты.
§ 177
Спектр рентгеновского излучения
Рентгеновские спектры – спектры испускания и поглощения рентгеновского излучения.
1. Спектр излучения рентгеновской трубки представляет собой наложение
тормозного и характеристического рентгеновских спектров. Тормозной рентгеновский спектр возникает при торможении заряженных частиц, бомбардирующих мишень. Интенсивность тормозного спектра быстро растёт с уменьшением
массы бомбардирующих частиц и достигает
значительной
величины
при
возбуждении
электронами. Тормозной рентгеновский спектр –
сплошной, он непрерывно распределён по всем
длинам волн λ вплоть до коротковолновой
границы λ min =
hc
. С возрастанием энергии
eU
частиц интенсивность тормозного рентгеновского
спектра растет, а λ min смешается в сторону
коротких волн; с увеличением порядкового номера Z атомов мишени интенсивность также растет.
Характеристические рентгеновские спектры – дискретные, их испускают
атомы мишени при столкновении с заряженной частицей высокой энергии или
рентгеновским фотоном. В результате столкновения с одной из внутренних оболочек атома (К-, L-, М-,…оболочек) вылетает электрон. Состояние атома с вакансией во внутренней оболочке (его начальное состояние) неустойчиво. Электрон
одной из внешних оболочек может заполнить эту вакансию, и атом при этом переходит в конечное состояние с меньшей энергией, испуская избыток энергии в
виде фотона характеристического излучения. Поскольку энергии начального E1 и
конечного E2 состояний атома квантованы, возникает линия рентгеновского
спектра с частотой.
ν=
E1 − E2
.
h
(177.1)
Все возможные излучаемые квантовые переходы атома из начального К–состояния образуют наиболее жесткую (коротковолновую) К–
серию. Аналогично образуется L-, M-, N-серии.
Положение
линии
характеристического
рентгеновского спектра зависит от атомного
номера элемента Z, составляющего мишень (закон Мозли).
1 
 1
ν = R ( Z − σ) 2  2 − 2  ,
n 
m
(177.2)
где R – постоянная Ридберга, σ – постоянная экранирования (для линий К-серии
σ = 1 , L-серии σ = 7,5 ).
Каждая серия характеристического спектра возбуждается при прохождении
бомбардирующими частицами определенной разности потенциалов – потенциала возбуждения Uq .
2. Спектр поглощения получают, пропуская
рентгеновское излучение непрерывного спектра
через тонкий поглотитель. При этом распределение
по спектру интенсивность изменяется – наблюдается скачки и флуктуации поглощения, которые и представляют собой
спектры поглощения. Для каждого уровня рентгеновские спектры поглощения
имеют резкую низкочастотную (длинноволновую) границу ν q ( hν q = eUq ), при
которой происходит скачек поглощения.
В рентгеновских спектрах поглощение наблюдается небольшое флуктуации
интенсивности (далекая тонкая структура), обусловленные взаимодействием
электрона, удаленного из исследуемого атома, с соседними атомами.
§ 178
Применение рентгеновского излучения
1. Рентгеновский микроскоп – микроскоп, предназначенный для исследо-
вания микроструктуры объектов в рентгеновском излучении. Предел разрешения
рентгеновского микроскопа может превышать разрешение световых микроскопов
на 2 – 3 порядка в соответствии с отношением длин волн λ рентгеновского и видимого излучений. Специфичность взаимодействия рентгеновского излучения с
веществом обуславливает отличие рентгеновских оптических систем от световых.
Малое отклонение показателя преломления рентгеновских лучей от единицы
( n − 1 < 10−4 ) практически не позволяют использовать для их фокусировки линзы
и призмы. Электрические и магнитные линзы для этой цели также неприменимы,
так как рентгеновское излучение инертно к электрическим и магнитным полям.
Поэтому в рентгеновских микроскопах для фокусировки рентгеновских лучей
используют явление их полного внешнего отражения изогнутыми зеркальными
плоскостями или отражение их от кристаллографических плоскостей. Оказалось
также возможным построить рентгеновский микроскоп по принципу тепловой
проекции объекта в расходящемся пучке лучей от точечного источника.
2. Рентгеновская микроскопия – совокупность методов исследования
микроскопического строения объектов с помощью рентгеновского микроскопа.
Рентгеновский микроскоп находит применение для исследования строения различных объектов в медицине, минералогии, металловедении и других областях
науки и техники. С помощью рентгеновского микроскопа можно оценить качество окраски или тонких покрытий, оклейки или отделки миниатюрных изделий,
получать микрорентгенографик биологических срезов толщиной до 200 нм. Его
используют для анализа сплавов легких и тяжелых металлов, при изучении внутреннего строения непрозрачных для света и электронов объектов. Образцы при
этом не нужно помещать в вакуум, они не подвергаются разрушению.
3. Рентгеновский телескоп – прибор для исследования временных и спек-
тральных свойств источников космического рентгеновского излучения, а также
для определения координат этих источников и построения их изображения. Существующие рентгеновские телескопы работают в диапазоне энергий фотонов
рентгеновского излучения от 0,1 до сотен кэВ, т.е. в интервале длин волн от 10 нм
до сотых долей нм. Для проведения астрономических наблюдений в этой области
длин волн рентгеновский телескоп поднимает за приделы земной атмосферы на
ракетах или искусственных спутниках земли, так как рентгеновские лучи сильно
поглощается атмосферой. Излучение с E > 20 кэВ можно наблюдать, начиная с
высот ≈ 30 км с аэростатов.
Рентгеновский телескоп позволяет: 1) регистрировать с высокой эффективностью рентгеновское излучение; 2) отделять события, соответствующие попаданию фотонов нужного диапазона энергий от сигналов, вызванных воздействием
заряженных частиц и γ-фотонов; 3) определять направления прихода рентгеновского излучения.