Теорема существования собственного значения и собственного

§3. Существование собственного значения у самосопряженного вполне
непрерывного оператора.
Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве L. Число Λ
называется собственным значением оператора A, если существует элемент y≠0 такой, что
Ay=Λy. Элемент y называется собственным вектором. Множество собственных векторов,
соответствующих собственному значению Λ, является подпространством пространства N
(докажите!). Число λ=1/Λ (Λ≠0) называется характеристическим числом оператора A.
Пусть далее выполнены следующие условия для оператора А:
1) А: E→E (E – бесконечномерное евклидово пространство h[a,b]);
2) A = A ∗ ;
3) A – вполне непрерывный оператор.
Мы докажем, что при этих условиях оператор A имеет по крайней мере одно собственное
значение. Докажем сначала леммы, из которых и будет следовать этот важный результат.
Лемма 1. Пусть А - самосопряженный оператор, и e – произвольный вектор из
E, e = 1 . Тогда справедливо неравенство
Ae
2
≤ A2e ,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда е является собственным
2
вектором оператора A 2 , соответствующим собственному значению Λ = Ae .
Доказательство. Из неравенства Коши-Буняковского легко следует
2
Ae = ( Ae, Ae ) = A2e, e ≤ A2e ⋅ e = A2e ,
(
)
причем знак равенства может быть тогда и только тогда, когда A2e и e линейно зависимы,
т.е. A2e=Λe. Итак, e – собственный вектор оператора A2. Для того, чтобы найти Λ,
2
умножим равенство скалярно на e. Получаем, что Λ = Ae .
Пусть теперь e – собственный вектор оператора A2, соответствующий
2
собственному значению Λ = Ae . Тогда A2e=||Ae||2e и ||A2e||=||Ae||2. Лемма 1 доказана.
Определение. Элемент е называется максимальным элементом (вектором)
оператора A, если e = 1 и Ae = A .
Как было доказано в предыдущем в параграфе, вполне непрерывный оператор
является ограниченным.
Лемма 2. Самосопряженный вполне непрерывный оператор А обладает
максимальным вектором.
Доказательство. Обозначим
A = M . По определению нормы оператора
существует последовательность yn,
свойством:
y n = 1 , n=1, 2, …, такая, что z n = Ay n обладает
z n → A = M . Т.к. последовательность y n ограничена, и оператор А –
вполне непрерывный, то из последовательности z n можно выделить сходящуюся
подпоследовательность z nk → z ∈ E . Переобозначим z nk = z n . Из сходимости z n → z при
z
n → ∞ следует сходимость z n → z = M . Рассмотрим вектор ~z =
и покажем, что
M
этот вектор является максимальным вектором оператора A. Рассмотрим
z
z n = n . Из Леммы 1 следует неравенство:
последовательность ~
M
Az n
1
1
1
2
2
A~z n =
=
A2 yn ≥
Ay n =
zn .
M
M
M
M
z
С другой стороны: A~
zn ≤ A ~
zn = A n = zn .
M
Из этих двух неравенств следует:
zn
M
2
z n ≤ z n . Поскольку ~z n → ~
z , то, переходя к
≤ A~
пределу при n → ∞ , получим: M ≤ A~
z ≤ M , или
z
A~
z = M , т.е. ~z =
M
является
максимальным вектором для оператора А.
Лемма 3. Если z - максимальный вектор самосопряженного оператора А, то z собственный вектор оператора A 2 , соответствующий собственному значению
2
Λ= A =M2.
Доказательство. Из определения максимального вектора следует
2
2
M 2 = A = Az ≤ A 2 z ≤ A 2 z = A 2 ≤|| A || 2 = M 2 ,
т.е. Az
2
= A2 z .
По Лемме 1 z - собственный вектор оператора A 2 , соответствующий собственному
2
2
значению Λ = Az = A = M 2 , что и требовалось доказать.
Лемма 4. Если оператор A 2 обладает собственным вектором z, соответствующим
собственному значению M 2 , то оператор А имеет собственный вектор, соответствующий
собственному значению M или − M .
Доказательство. A 2 z = M 2 z , а z – собственный вектор, т.е. z ≠ 0 . Перепишем это
равенство в следующем виде: ( A 2 − M 2 I ) z = 0 , где I – единичный оператор. Это же
равенство можно переписать в виде ( A − MI )( A + MI ) z = 0 . Возможны два случая: пусть
сначала u = ( A + MI ) z ≠ 0 . Тогда ( A − MI ) u = 0 или Au = Mu , т.е. u – собственный вектор
оператора A, соответствующий собственному значению M. Если же u = ( A + MI ) z = 0 , то z
– собственный вектор оператора A, соответствующий собственному значению -M.
Теорема. Самосопряженный вполне непрерывный оператор А, действующий в
бесконечномерном евклидовом пространстве, обладает собственным вектором,
соответствующим собственному значению Λ : Λ = A .
Доказательство. По лемме 2 оператор А обладает максимальным вектором z. По
лемме 3 этот вектор z является собственным вектором оператора A 2 ,соответствующим
2
собственному значению A , а по лемме 4 оператор А имеет собственный вектор,
соответствующий собственному значению A или − A , т.е. Λ = A . Теорема доказана.
Замечание. Эта теорема, вообще говоря, не верна, если отказаться от условий
самосопряженности или вполне непрерывности.
Пример. Вполне непрерывный оператор, который не имеет ни одного
собственного значения, это, например, невырожденный оператор Вольтерра с
непрерывным ядром. Этот результат мы получим позднее.
Пример. Рассмотрим оператор умножения на x: Ay = x ⋅ y (x) для любой функции
y(x) из h[a,b]. Оператор А самосопряженный, т.к. для любых y1(x), y2(x) из h[a,b]:
b
b
a
a
( Ay1 , y 2 ) = ∫ x y1 ( x) y 2 ( x) dx = ∫ y1 ( x) x y 2 ( x) dx = ( y1 , Ay 2 ) .
Оператор А не имеет собственных значений, т.к. если Λ -собственное значение А, то
x y ( x) = Λ y ( x) , из чего следует, что y ( x) ≡ 0 при x ∈ [a, b] .
b
Рассмотрим оператор Фредгольма А: h[a, b] → h[a, b] , Ay = ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds .
a
Ядро K ( x, s ) удовлетворяет следующим условиям: оно вещественное, непрерывное по
совокупности переменных ( x, s ) , не равное тождественно нулю и симметрическое.
Теорема. Пусть выполнены все эти условия для интегрального оператора A .
Тогда оператор Фредгольма обладает собственным значением Λ , Λ ≠ 0 : Ay = Λy ,
y ≠ 0 , y ∈ h[a, b] .
Замечание. В теории интегральных уравнений удобнее использовать
1
характеристические числа: λ = , Λ ≠ 0 . Тогда в утверждении теоремы: λ A y = y .
Λ
Доказательство. Ранее было доказано, что оператор Фредгольма является вполне
непрерывным, а при условии симметричности ядра и самосопряженным. Тем самым, по
доказанной выше теореме оператор Фредгольма имеет хотя бы одно собственное
значение. Для того, чтобы доказать, что это собственное значение не равно нулю,
достаточно самостоятельно доказать следующее утверждение.
Утверждение. Пусть A - линейный ограниченный оператор, A: N 1 → N 2 , N1 и N2 –
нормированные пространства, и A ≠ 0 . Тогда A > 0 . (Докажите сами!)