Изучение периода колебаний жидкости в U

Работа 23. Изучение периода колебаний жидкости в U-образной трубке (11 класс)
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
Установление закономерностей колебания столба воды в U-образной трубке.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Если движение материальной точки происходит вдоль оси x по гармоническому закону
x t   Asin t    ,
(1)
то скорость ее меняется по закону
v(t)= x t   A cos t    ,
а ускорение по закону
a(t) = v(t)   A 2 sin t    ,
где x  t  и v(t) – производные функций зависимости координаты и скорости по
времени. Это означает, что координата точки и ее ускорение связаны соотношением
a  2x  0 ,
а с учетом второго закона Ньютона можно утверждать, что равнодействующая всех сил на
ось x линейно связана с координатой
F ( x)  ma  m 2 x
Действительно, для пружинного маятника на гладкой горизонтальной поверхности,
который колеблется по гармоническому закону под действием пружины, сила натяжения
F  kx , откуда

k
m
и период колебаний
T  2
m
k
.
(2)
Верно и обратное утверждение: если равнодействующая всех сил на ось x линейно связана
с координатой, то точка движется по гармоническому закону, что является следствием
теории колебаний, основанной на теории дифференциальных уравнений.
В механике, как известно, помимо силового описания движения используется
энергетический. В применении к теории гармонических колебаний можно говорить, что
кинетическая энергия материальной точки с течением времени изменяется по закону
mv(t)2
Eкин  t  
 m 2 A2 cos 2 t    2
2
а поскольку точка движется под действием силы, зависящей только от координаты, то эта
сила является потенциальной и можно говорить о том, что точка обладает потенциальной
энергией. Для силы, у которой существует линейная связь между силой и координатой
точки, потенциальная энергия равна
kx 2
Eï î ò  t  
 k sin 2 t    2 .
2
Так как сумма кинетической и потенциальной энергии частицы при движении остается
постоянной, выражение для полной энергии
mx 2 t  kx2 t  m2 A2
kA2
E  Eкин t   Eпот t  


cos 2 t   
sin 2 t  
2
2
2
2
должно быть постоянной величиной.
Это возможно лишь при определенном значении частоты колебаний  . Для определения
этой неизвестной пока частоты воспользуемся основным тригонометрическим
тождеством sin 2   cos 2   1 и запишем потенциальную энергию в виде:
kA2 2
kA2
Eï î ò 
sin t    
1  cos 2 t     .

2
2
Это позволяет преобразовать выражение для полной энергии к виду:
E  Eêèí  t   Eï î ò  t  
kA2
m 2  k 2
 A2
cos 2 t    ,
2
2
(3)
где первое слагаемое остается постоянным, а второе зависит от времени.
Полная энергия не зависит от времени, если второе слагаемое обращается в нуль, что
возможно лишь в двух случаях:
1) амплитуда колебаний равна нулю A  0 , т. е. тело покоится в положении равновесия;
2) коэффициент перед функцией времени обращается в нуль: m2  k 2  0 . Это условие
позволяет определить частоту и период колебаний без обращения к уравнению
движения:
 k m
2
m
 2
.
(4)

k
Как видим, требование выполнения закона сохранения энергии приводит к тем же
соотношениям (4) для периода гармонических колебаний, что и требование выполнения
второго закона Ньютона (2).
Для системы материальных точек, например для совокупности частиц воды в U-образной
трубке, двигающихся отнюдь не поступательно, применение второго закона Ньютона
затруднительно, а вот применение закона сохранения энергии возможно.
T
Рис. 1
Действительно, если в какой-то момент движения воды в трубке ее поверхность
сместилась относительно положения равновесия на x (рис. 1), и вся вода в трубке
движется с одинаковой для всех частиц скоростью v , то сумма потенциальной
(отсчитываемой от положения, когда вода находится в положении равновесия) и
кинетической энергий равна
Sl  v2
Sx  g  x +
E,
2
Если вода в трубке движется по гармоническому закону x t   Asin t    , то это
уравнение приведет к соотношению
E (t )   gSx 2 +
Sl
2
v2  A2  gS 1  cos2 t     
Sl
2
A2 2 cos2 t    .
Сохранение во времени (независимость от времени) этой величины возможно, только (см.
выражение 3) если
Sl 2 2 2
 A2  gS cos2 t    
A  cos t     0 .
(5)
2
Это позволяет вычислить период колебаний воды в трубке в зависимости от плотности и
длины столба воды в ней.
В данной работе требуется доказать, что период колебаний на начальных отрезках
времени подчиняется закону гармонических колебаний и, значит, должен определенным
образом зависеть от длины воды столба в трубке.






Оборудование
U-образная трубка широкого диаметра
Стакан с водой
Портняжная лента (рулетка, нить с линейкой)
Датчик расстояний
КПК
Регистратор данных «Трилинк»
Монтаж экспериментальной установки
1. Закрепите в штативе U-образную трубку, а над ней на высоте 50 см от верхнего
среза – датчик расстояния (рис. 2). Налейте воду в трубку до уровня примерно 1/3
высоты.
Рис. 2
2. Соедините Трилинк с датчиком расстояния.
3. Включите КПК, проведите настройку параметров измерений.


Настройка параметров измерений
Частота замеров – 100 замеров / с
Время измерения – 10 с
Порядок проведения эксперимента
1. Замерьте общую длину столба воды l ( рис. 1).
2. Включите просмотр результатов на КПК.
3. Запустите регистрацию результатов и, дунув в одно из колен U-образной трубки,
возбудите колебания столба воды в ней.
4. Сохраните результаты измерений под названием «Опыт 1».
5. Выключите датчик расстояния.
6. Доливая воду в трубку и выполняя этапы с 1-го по 5-й, проведите регистрацию
колебаний при четырех разных количествах воды в трубке.
Анализ результатов эксперимента
1. Для обработки данных на ПК проведите процедуру синхронизации КПК с ПК.
2. В программе MultiLab выполните импорт данных из папки MultiLab Palm и
пользуясь курсорами, измерьте период первого колебания уровня жидкости.
3. Проанализируйте вид графика, сделайте вывод, можно ли считать колебание
гармоническим.
4. Сохраните график для отчета.
5. Проведите измерение периода колебаний уровня жидкости в трубке при разных
длинах столба воды в трубке, заполните соответствующую таблицу в Excel
6. Проведите построение графика зависимости T(l) Excel, используя тип диаграммы
«Точечная».
7. Используя линию тренда (см. инструкцию Использование MS Excel для графической
обработки полученных результатов), аппроксимируйте полученный график степенной
зависимостью и сравните показатель степени величины l в аппроксимирующей функции
с теоретической функцией, полученной при решении уравнения (5). С чем может быть
связано расхождение?
1.
2.
3.
4.
5.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОПРОСА И ЗАЩИТЫ ЛР
Что такое гармоническое колебание? Что означают параметры, входящие в
уравнение x(t) для гармонических колебаний?
При какой зависимости от координаты равнодействующей силы, действующей на
материальную точку, точка движется по гармоническому закону?
Сформулируйте закон сохранения энергии для колебания груза на пружине в
горизонтальной плоскости (в отсутствии сил трения), на пружине, подвешенной
вертикально. Какое выражение для периода колебаний дают силовое и
энергетическое описания для периода и циклической частоты пружинного
маятника?
Можно ли применить силовое описание движения для жидкости в U-образной
трубке и почему?
Какое выражение для периода колебаний в трубке дает анализ закона сохранения
энергии для воды в U-образной трубке в предположении, что колебания являются
гармоническими? Как этот период зависит от плотности жидкости, диаметра
трубки и от длины столба жидкости?
ОТЧЕТ ПО РАБОТЕ
Отчет выполните в виде электронного документа в текстовом редакторе. Он должен
содержать:
 формулировку цели,





основные определения и законы, характеризующие изучаемое явление,
фотографию схемы установки для проведения опыта,
значения измеренных величин в виде графика и таблицы,
количественные величины, полученные в результате анализа эксперимента,
выводы относительно периодичности и гармоничности колебаний, зависимости
периода от длины столба жидкости.