Глава 4 - Институт Страхового и Инвестиционного Бизнеса

Глава
4.
Временная декомпозиция
финансовых сделок
В предыдущих частях курса рассмотрено соотношение между до­
ходностью портфеля и доходностями составляющих этот портфель
активов. Тем самым осуществлена структурная декомпозиция (раз­
ложение) доходности портфельной сделки на отдельные компонен­
ты, связанные с доходностями отдельных активов портфеля и степе­
нью их влияния на доходность всего портфеля.
Доходности активов являются внешними по отношению к инве­
стору или управляющему портфелем характеристиками сделки, по­
скольку они не зависят от действий инвестора или управляющего.
С другой стороны, инвестор может полностью распоряжаться
собственным капиталом, решать сколько, когда. и во что инвестиро­
вать. В меньшей степени это касается наемных управляющих капи­
талами. Последние, не будучи владельцами инвестируемого капи­
тала, не полностью свободны в выборе решения об инвестициях.
Они управляют капиталом, в интересах собственников этого капи­
тала. Конечно, управление предусматривает определенную свободу
выбора, однако она ограничена требованиями, предписываемыми
собственниками капитала. Наконец, многие институциональные
инвесторы (банки, страховые компании, фонды) ограничены в
своих действиях рамками законодательства, а также требованиями,
предписываемыми различными надзорными и регулирующими ор­
ганами.
Структурная декомпозиция доходности связана с анализом
влияния на эффективность финансовой операции того, во что инве­
стирован капитал и сколько вложено средств. Не менее важен учет
моментов времени, в которые осуществляются различные действия,
связанные с реализациvй ИIIВССТИЦИОННОЙ СтраrеГИИ, В ЧаСТНОСТИ
58
Глава
4. Временная декомпозиция финансовых сделок
получение и реинвестиция текущего дохода, дополнительные вложе-
ния и/или изъятия капитала.
.
В рамках простейшей модели финансовой сделки, оперирующей
лишь с двумя суммами, относящимися к начальному и конечному
моменту сделки, оценка эффективности сложных (многопериодных)
сделок невозможна. Для этого необходима более полная детализация
таких сделок во времени, более полный и более точный уЧет денеж­
ных сумм, участвующих в сделке. Такую операцию будем называть
временной декомпозицией сделки. Степень детализации, связанной с
этой декомпозицией, определяется конкретными условиями сделки.
Если сделка простая, т.е. портфель формируетсj~ один раз в начале
· период.а,
весь текущий доход хранится в начальной форме до конца
периода и никаких вложений, изъятий, реинвестиций и перестройки
портфеля в течение периода не делается, то формулы доходности
простейших сделок и их нормированные варианты (т.е. соответ­
ствующие простая и Эффективная доходности) являются адекватны­
ми характеристиками сделки. В этом случае выполняется полученное
нами соотношение между доходностью сделки (портфеля) и доход­
ностями активов, участвующих в сделке.
В общем случае, т.е. при наличии различных "внутренних" по от­
ношению к периоду оценки операций, необходим их учет. Будем на­
зывать моменты, соответствующие этим операциям, критическими
моментами сделки. К критическим моментам отнесем также началь­
ный и конечный моменты.
4. 1.
Временная декомпозиция сделки
Критические моменты разбивают сделки на подпериоды, кото­
рые будем называть регулярными. В пределах (точнее, внутри) каж­
дого регулярного подпериода сделку можно считать простой, по­
скольку внутри этих подпериодов нет никаких "внутренних" опера­
ций. Для любого момента из этих подпериодов (отличного от кон­
цов!) определена структура портфеля активов, участвующих в сделке.
При этом в абсолютном смысле эта структура остается неизменной
внутри критического периода. В концах этих периодов, т.е. в крити­
ческие моменты, струКтура портфеля, строго говоря, неопределенна,
поскольку в эти моменты возможны перестройка портфеля активов
сделки, дополнительные инвестиции или изъятия. Но в то же время,
непосредственно перед критическим моментом и сразу после него
структура портфеля и его стоимость являются полностью определен­
t
ными. Таким образом, для каждого критического момента k можно
59
Часть!. Инвестиционный процесс и его оценивание
определить два портфеля
п; =
n(t1;) и п/ = n(t/)
и соответствующие им стоимости
~- · ~ V(п;) и
V/ = V{nk+).
Соответствующая временная диаграмма изображена на рисунке 4.1.
v. - v.
+
k-1
k-l 1
Рис.
4.1.
Поскольку в пределах критического подпериода исходная сдел­
ка является пассивной, то с этим периодом можно связать простей­
шую сделку, описываемую лишь двумя финансовыми характеристи­
ками (состояниями) сделки в начале и конце периода. Более точно,
для k-го критического периода [tk-1' tk] определим стандартную фи­
нансовую частичную сделку, заключающуюся в формировании по­
стоянного на этом периоде портфеля nk = nk_( из активов
А1, ~' ... , Ап
по ценам
P1(tk_1), P2(tk-1), "., Pп(tk-1)
общей стоимостью
sk-1-:
sk-1-
=
~-/·
В течение этого критического периода по портфелю получен те­
кущий доход от всех активов, который, согласно принятому нами
принципу актуализации, независимо от того, хранится ли он в дей­
ствительности в наличной форме до конца tk периода или распреде­
ляется внутри периода, в модели будет отнесен к моменту tk (т.е. ак­
туализирован в этот момент). В конц~ периода портфель имеет стои­
мость~-, аучитываяитекущийдоход/k(с) запериод [tk-1' tk], отнесен­
ный к концу tk этого периода, общий результат
S/ стандартной сделки
можно описать как сумму
Sk+ - Jk (с)+ V:k •
Знак"-" в обозначении Sk-i - указывает на инвестиции (расход),
тогда как знак
60
"+" в обозначении S/ на приход (доход)
по отноше-
нию к описываемой финансовой сделке.
Из введенных обозначений ясно, что моменту tk приписаны две
величины sk- и
S/, причем
sk-
= S(t/) и s/ = suk-),
т.е. sk- "учитывается" сразу после момента tk - ЭТ<? инвестиции в нача­
ле периода [tk, tk+ 1], а S/ непосредственно перед tk - это полный капи­
тал, полученный к концу периода [tk-1' tk ]. Считая, что сделка начина­
ется в момент t0 и завершается (реально или теоретически) в момент
t , мы можем таюк:е полагать, что
п
s0- = S + =
п
О, т.е.
в начальный мо.
мент нет накопления (дохода), а в конечный момент нет инвестиций.
Диаграмма такой сделки представлена на рис. 4.2. Этой сделке
· соответствует доходность
rk = (S/- sk-)/Sk- =
за период
S// sk- -1
(4.1)
Tk = tk - tk _1•
So=So-
t
п
Рис.
4.2.
Таким образом, временная декомпозиция исходной сделки по­
рождает семейство доходностей
rl' r2,
••• ,
rn
и соответствующие им
нормированные простые и эффективные доходности. Чтобы охарак­
теризовать исходную сделку в целом, на практике используют раз­
личные методы получения интегральной характеристики эффектив­
ности по указанным наборам доходностей. Наиболее распространен­
ными являются методы усреднения, которые в качестве доходности
сделки в целом дают взвешенньiе средние от доходностей частичных
сделок.
Среднеарифметическая доходность. Простейший метод усреднения
состоит в арифметическом усреднении, при котором простая норми­
рованная доходность сделки определяется как
•
Уа= (уl(ПР). Tl+ У2(пр). т2
где у1(пр)
= r1/ Т1' у2(пр)= r2/ Т:2 , ••. , у
п
(пр)=
+ ... + Уп(пр)
r /. Т п
п
доходности критических периодов и Т = Т1
Тп)/Т,
(4.2)
простые нормированные
+ Т2 +... + Тп -
срок всей
сделки. Используя простые нормированные доходности частичных
61
Часть!. Инвестиционный процесс и его оценивание
сделок, это выражение можно переписать в виде
у
(а)
=
+ у2(пр). 't:2 + • • •+ у (пр). 'i ) '
(у (np). '!'
l
1
п
(4.3)
п
где
(4.4)
-
временной вес k-й частичной сделки.
Чаще всего эту фор~лу применяют к разбиению периода оцен­
ки доходности на промежутки одинаковой длины. Тогда, если
Т1
= Т2 = ... =
Тп,
то, очевидно,
(4.5)
т.е. простая нормированная доходность сделки за весь период равна
арифметической средней простых нормированных доходностей со­
ответствующих частичных сделок.
Пример
4.1.
Рассматривается двухпериодная сделка (считая пе­
риод равным единице временной шкалы) с начальным капиталом
$100 тыс. Весь капитал инвес:rирован в портфель (неденежны:х) акти­
вов. К концу первого периода стоимость портфеля возрастает до
$120
тыс и остается неизменной до конца 2-го периода. Текущий доход за
первый период составляет
$20 тыс,
а за второй
- $30 тыс.
Этот доход
не реинвестируется, а распределяется. Найти частичные доходности
и доходность сделки в целом.
Решение. Рассмотрим сначала первый период. Доходность сделки
за этот период равна:
r1 = ($20 + $20 )/$100 = 0,4, или 40%.
Для второго периода доходность составляет:
r2 = ($30 + $0)/$120 = 0,25,
или
25%.
Таким образом, средняя арифметическая (нормированная) доход­
ность сделки равна:
у(пр) =
(0,4 + 0,25 )/2 = 0,325,
ИЛИ
32,5%.
Поскольку ни реинвестирования, ни дополнительных вложений
и изъятий в этой сделке нет, то, отнеся весь текущий доход и нако­
пленную стоимость портфеля к концу, а начальные инвестиции к на­
чалу всего периода сделки, мы в соответствии с формулой доходно­
сти простейшей сделки получим доходность всей сделки, равную
r= (20+50)/100 = 0,7,
или
70%,
а соответствующая простая нормированная доходность сделки будет
равна:
62
упр)=
r / 2 = 0,35, или 35%,
что не совпадает со среднеарифметической доходностью
У (пр) =
32,5%.
Мы обсудим причины этого ниже.
Средпегеометрическая доходность. Другой способ усреднения
-
геометрическое или эффективное усреднение. · Для этого сначала
находят общий коэффициент роста за весь период сделки как произ­
ведение частичных коэффициентов:
(4.6)
где
ak = 1 + rk , k= 1, 2, ... , п.
Этому коэффициенту роста соответствует нормированная эф­
фективная доходность:
у<ЭФ>
Отсюда с учетом
(6)
= атО/Т) -1.
получаем явное выражение для эффектив­
ной нормированной доходности
у<ЭФ) = [(1
+ r1)-(1 + r2)· ... · (1+r)]<I/T)_1,
(4.7)
которая в этом случае называется среднегеометрической доходностью.
2
Используя эффективные доходности у <эФ), у <эФ>,
1
"., Уп <ЭФ)
(частич­
ных сделок), последнее равенство можно переписать в виде
у<эФ)=
[(1 +
у <эФ))Т1
1
(1 + у (ЭФ))Т2
2
...
(1 +
уп<эФ>)Тп ](l/T)
-1
или
У (g)= у<ЭФ)= [(1
+ У1(ЭФ))f1 (1 + у/эФ))~-2 ... (1 + Уп(эф)}~-"] - 1, (4.8)
где тk - временной вес k-й частичной сделки, определяемый форму­
лой
(4.4).
Для разбиения с одинаковыми по длине подпериодами
'fk= 1/п, и формула
(4.8) принимает следующий вид:
у<ЭФ)= [(1 + У1(эФ>) (1 + У2(ЭФ)) ." (1+Уn(эф))](l/п)_1.
(4.9)
Правая часть формулы (4.9) есть не что иное, как обычное сред­
негеометрическое эффективных доходностей, соответствующих ча­
стичным сделкам. Этим и вызвано название доходности, определя­
емой формулой
Пример
4.2.
(4.8),
как среднегеометрической доходности.
Найти; для сделки из предыдущего примера средне­
геометричес:кую доходность.
Решение. Поскольку в этой сделке подпериоды единичные, то
у <ЭФ>
l
= r 1 = О '4' ·2
у (эф) = r = О 25
2'
и, следовательно,
y(g>
= [(1 +О,4)(1 +О,25)]012> - 1 = 0,3229 или 32,29%.
63
Часть
I
Инвестиционный процесс и его оценивание
Сравнение арифметической и геометрической доходностей. Рассмо­
трим подробнее два способа усреднения доходности "сложной" сдел­
ки с периодом оценки, разбитым . на подпериоды. Результаты этих
усреднений, осуществляемых с весами
формулами
-r1, -r2 ,
..• ,
-rn,
определяются
(4.3) и (4.8) и определяют соответственно среднеарифме­
тическую и среднегеометрическую доходности. В случае разбиения
периода сделки на одинаковые подпериоды с одинаковыми весами,
равными ik
= 1/п, результаты соответствующих усреднений задаются
формулами
(4.5) и (4.9).
При арифметическом усреднении по норми­
рованным доходностям берутся простые, а при геометрическом ус­
реднении
-
эффективные доходности. В дальнейшем среднеарифме­
тическую доходность сделки будем обозначать просто через Уса), а
среднегеометрическую
-
через у(g)' так что
~а)= у(пр) И ~g) = у<ЭФ>.
Если период сделки разбит на единичные подпериоды, то rk уk<nP>= уk<ЭФ> и
~а)= (rl + '2 + ... +
rn )/п, y(g) = [(1+ rl)(l+ r2) ". (1+ rn)](l/n) - 1.
Тогда в силу неравенства Коши-Буняковского
(4.10)
Y(g)sy(a)'
т.е. в этом случае среднеарифметическая доходность больше, чем
среднегеометрическая. Примеры
1 и 2 подтверждают этот факт.
Остановимся на некоторых аспектах практического использова­
ния средних доходностей. Рассмотрим случай, когда на каждом под­
периоде реализуется стандартная сделка с одним и тем же инвести­
руемым капиталом. Используя введенные выше обозначения, это
условие можно записать в виде:
~
= so - = sl - = ... = sn -.
(4.11)
Это означает, что в каждом периоде весь положительный доход
(Tlk = S/ - Sk-~;:::: О), т.е. как текущий -lk (cJ, так и ценовой f/PJ
=
= ЛV,.=
v,_-- V,._ 1+, распределяется и, значит, не реинвестируется.
В случае отрицательного дохода (S/ -
Sk_; <О) требуется допол­
нительное вложение на эту сумму для восстановления фиксирован­
ной величины инвестируемого капитала. Предполагая, что денежные
платежи относятся к концу
t
п
сделки, в силу условия
что среднеарифметическая доходность равна
64
(4.11) получаем,
Глава
4. Временная декомпозиция финансовых сделок,
и фактически совпадает с доходностью "полной" сделки за период
[!0 ,
tJ без разбиения его на подпериоды, определяемой формулой дQ­
ходности простой сделки.
Для сделки из примеров 4.1 и 4.2 средняя арифметическая доход­
ность не совпадает с нормированной доходностью, вычисленной по
базовой формуле доходности простой сделки. Если же эту сделку
скорректировать в соответствии с условием
(4.11), то эти доходности
совпадуг.
В самом деле, инвестировав в начале ~ = S0 = $100 тыс., инве­
стор в конце первого периода получит те:кущий д9ход в / 1= $20 тыс. и
портфель стоимостью~= $120 тыс. Реализовав часть активов порт­
феля на сумму $20 тыс~, иными словами, 1/6 часть портфеля и рас­
пределив ее вместе с текущим доходом, что дает общую сумму
Т/1 =$40 тыс., инвестор останется с портфелем стоимостью в
$100
тыс., так что капитал, инвестируемый на второй период, остается тем
же самым. В конце второго периода стоимость портфеля по условию
не меняется, а текущий доход от оставшейся части (пропорциональ­
но уменьшенный на · 1/6) составит
/
2
= (5/6)·$30 = $25 (тыс.).
Таким образом, полный доход от такой сделки составит
Tl=
Т/1
+ Т/2 = $40 + $25 = $65 (тЬiс.),
значит, доходность сделки за два периода будет равна:
r=
или
65%,
TI/~ =
а нормированная простая доходность
у(пр)
или
65 /100 = 0,65,
=
r/2 = 0,325,
32,5%, что совпадает со среднеарифметической доходностью.
Среднеарифметическая доходность чаще всего используется для
статистической оценки доходности отдельных активов . и их портфе­
лей
rio прошлым
(историческим) данным. Так, имея данные о ценах
и текущих доходах активов за прошлые периоды, можно найти соот­
ветствующие доходности для каждого такого периода, а затем вычи­
слить среднеарифмеТическое значение. Обычно эта операция осу­
ществляется для оцеНIGИ ожидаемой доходности аКтива (или портфе­
ля) для будущего периода по данным о доходностях за последова­
тельность прошлых периодов такой же длины. Например, для оцен­
ки ожидаемой месячной доходности некоторой акции можно взять
ее среднеарифметическую месячную доходность за последние
В этом случае оценкой будет среднее по выборке объемом в
5 лет.
60 выбо­
рочных значений доходности. ·
5175
65
Часть!. Ин.вестицион.н.ый процесс и его оценивание
Перейдем теперь к обсуждению среднегеометрической доходно­
сти. Центральный момент в определении этой доходности
-
опреде­
ление итогового коэффициента роста капитала в сделке по формуле
(4.6).
Поскольку
то
ak = 1 + rk = Sk +/Sk-1-'
и, следовательно, полный коэффициент роста будет равен:
ат_;_ а 1 ·а 2 ... а11
Напомним, что
= (S1+;s0-).(S// S1-) •.. (S +/S
11
11
_
(4.12)
-).
1
S/ есть· полная накопленная стоимость капитала
за k-й период, т.е. включающая, как текущий доход
так и прирост стоимости портфеля· ЛVk = ~- инвестируемый в начале k-го периода. Если
lk за этот период,
~-/'а
S/-:;:.
sk- -
капитал,
sk-, это значит, что
накопленный капитал к концу k-го периода не совпадает с инвести­
руемым в начале
(k+ 1)-го периода капиталом.
То есть либо получен­
ный доход не реинвестируется, либо в критический момент
tk осу­
ществляется изъятие или же, наоборот, дополнительное инвестиро­
вание капитада. В противном случае (т.е. если нет ни изъятий, ни
вложений капитала, а весь текущий доход полностью реинвестирует­
ся) выполняется равенство
шется в виде:
S/ = sk- = Sk,
·
и формула
(4.12)
перепи-
Следовательно,
у(g)
= (S / S
п
о
) 11 т - 1..
Но при описанных условиях применение базовой формулы (доход­
ности простой сделки) ко всей сделке дает доходность за период Т,
равную
rт = sn /
so -
1,
а · соответствующая эффективная нормирован~ая доходность будет
равна:
у<эФ) __;
(l+rт )1/Т -1
.
=
(Sп / S)l/T
-1,
о
. .
(4.13)
так что в этом случае у<эФ> = y<g>' т.е. "полная" эффективная доходность
сделки совпадает со среднегеометрической доходностью частичных
сделок
..
Пример
4.3. Инвестор купил в начале 1-го года акцию компании
Аза $50, а в конце года ее стоимость возросла до $100. В течение 2-го
66
Глава
4.
Временная декомпозиция финансовых сделок
года цена акции упала до начальной цены в
$ 50. Инвестор продал ак­
цию по этой цене. Найти доходность сделки за два года, а также сред­
негодовые доходности (арифметическую и геометрическую) считая,
что по акциям в течение указанного периода дивидеIЩы не выплачивались.
Решение. Доходность акции за 1-й год равна
·
r1 = (100 - 50) / 50 = 1, или 100%.
Доходность этой акции за 2-й год равна:
r.
= (50 - 100)/ 100 =-О 5
2
или
-50%.
' ''
Среднеарифметическая годовая доходность сделки соста­
вит:
У(а)
= (r1 + r2)/2 = (1 - 0,5)/2 = 0,25, или 25%.
Среднегеометрическая годовая доходность будет равна
[(1 + r1)(1 + r2)]112 - 1 = (2·0,5) 112 - 1 =О.
Доходность акции за двухлетний период Т = 2 составит
.
rт= (50 - 50)/50 =О.
y(g)
=
Следовательно, будут равны О и соответствующие годовые простая и
эффективная доходности:
у(эф)
= у(пр) =О.
В последнем примере двухлетняя доходность (rr), ее нормиро­
ванные представления (у <эФ> и у<пР>), а также геометрическая средняя
годовая доходность совпадают. Средняя арифметическая доходность
существенно завышает фактическую доходность сделки - факт, с ко­
торым мы уже сталкивались. Причина снова заключается в том, что
инвестиции во втором периоде
в первом периоде
($100)
не совпадают с инвестициями
($50) .
Мы рассмотрели два вида доходностей, получающихся в резуль­
тате операций усреднения семейства доходностей, относящихся к
последовательным подпериодам, составляющим инвестиционный
период или период оценивания. В обоих методах
и геометрическом усреднении
-
-
арифметическом
в качестве весов используются вре­
меннЬ1е характеристиRИ промежуТков разбиения (подпериодов). По­
этому оба эти вида доходностей можно бьшо бы назвать взвешенными
по времени доходностями. Однако на практике этот термин использу­
ется лишь по отношению к геометрической доходности. Именно ее
принято называть взвешенной по времени (или временно-взвешен­
ной) доходностью. Обычно этот термин используется, когда хотят от-
личить ЭТУ доходность от так называемой денежно- взвешенной лохол5*
67
Часть
Инвестиционный процесс и его оценивание
I
ности. Этот вид доходности наиболее часто используемая характери­
стика финансовых операций. В силу важности (как теоретической,
так и практической) этого понятия мы посвятим ему отдельный
раздел.
4.2.
Внутренняя доходность финансовых операций
Рассмотрим снова разбиение периода сделки (или периода оце­
нивания) на регулярные подпериоды (см. рис.
ше, ~
-
начальная, а
V,, -
4.2).
Пусть, как и вы­
конечная стоимости портфеля 7t активов,
участвующих в сделке. Пусть также
Ik -
текущий доход за период
[tk -1, tk]. С критическим моментом tk мы связали две стоимостные
характеристики портфеля:
~-
-
= V(nk-) = V(nk, tk-)
стоимость портфеля пнепосредственно перед моментом
tk и
~+ = V(1\+) = V(1\, t/)
-
стоимость непосредственно после этого момента.
Кроме того, мы ввели еще две характеристики простой финансо­
вой сделки для критического подперио.да
Sk-I-
-
[tk-1' tk]:
= ~-l+
капитал :инвестированный в начале подпериода [tk_ 1, tk],
s+=1(c)+
vk
k
k
-
полный (накопленныtt) капитал
-
результат простой сделки к
концу подпериода [tk-I' tk].
Рассмотрим разность этих неличин:
лsk = S(tk)
= S/- sk-.
Ее смысл достаточно очевиден .. Если разность ЛSk
<О,
то она
представляет собой величину дополнительных инвестиций в портфель
активов ;В момент
tk.
Если разность лsk
изъятия капитала в момент
> О,
то она равна величине
tk . Таким образом,. разность лsk описыва­
ет эффект операции .вложения/ изьятия капитала. Эта величина пред­
ставляет собой нетто:-баланс распределения части текущего дохода,
реал.изации части активов портфеля, с одной стороны, и поступлений
извне дополнительных средств и приобретения дополнительных е.диниц
активов портфеля, с другой· стороны. Этот нетто-баланс операций
вложения/изъятия лskмы обозначим через
ck = лsk = sk + ~ sk---: Ik + ~-
68
ck:
-. ~+ =
Ik-л~,
(4.14)
Глава
4. Временная декомпозиция финансовых сделок;
где Л~ = ~ +- ~- мгновенный прирост стоимости портфеля в момент
tk, и отнесем его к моменту tk.
.
Заметим, что (мгновенную) величину Л~ нельзя. смешивать с ин­
тервш~ьным приростом
ЛV([tk-1' tk])
стоимости портфеля за период
=
~-
~- 1 +
-
[tk-l' tk], обусловленным ростом за этот
период стоимости активов, составляющих портфель. Мгновенный
прирост - результат реструтстуризацuи портфеля, обусловленный ли­
бо покупкой новых активов за счет текущего дохода ил:И: внешних по­
ступлений, если Л~>О, либо наоборот прода.Жи части активов и
изъятия (распределения) выручки в случае л~ <О.
События
(tk' Ck), k = 0,1,"., п, образуют денежный поток
CF= {(t0, ·с0 ), (tl' С1 ),"., (tn, ·Сп)}
(4.15)
многопериодной сделки, назьmаемы:Й •предсiпавляющим потоком. · В
so- = sn+= о·и, значит,
силу принятого соглашения
- s+
sо о -
со-
т.т+
-уо
'
т.е. начальный инвестируемый капитал относится к расходной части
представляющего потока, с другой стороны:
с
n
=s+-s-=s+
п
п
п '
т.е. полный конечный капИ:таn относится к доходной части представ­
ляющего потока.
Таким образом, временная декомпозиция сделки позволяет по­
строить результирующий денежный поток. этой сделки. Задание
представляющего потока сделки позволяет определить понятие внут­
ренней доходности .сделки как нормцрованной · став:(<И у , в схеме
сложных процентов, балансирующей цоток CF:
·
· PV(CF, у)=
О
.
(4.16)
р
в некоторой (а тогда и JЩ>бой) точке р, 1:1азьiв_ае_мой обьlчно полюсом.
Обычно, 'в качестве Полюса р (момент~ приведениЯ:, фокальной точ­
ки) берется на~альнЬ1~ t0 или конечный tn моменты сделки. 9тим мо-
ментам соответствуют уравнения баланса:
PV,,(CF,y) =
·
±0 С\"-'• =О, и
k=O
+У
69
Часть
I
Инвестиционный процесс и его оценивание
11
P~(CF,y)
= I,Ck(1+ у)1·-'*
=О.
(4.17)
k=O
Пример 4.4. Найти внутреннюю доходность двухлетней сделки из
примера 4.1.
·
Решение. Согласно условиям этого примера ~
= $100 тыс.,
Jl = $ 20 тыс.,
v;- = v;+ = $120 тыс., 12 = $30 тыс.,
~
=
~-
= $ 120 тыс.
Таким образом, результирующий денежный поток сделки имеет вид:
CF=
{(О,
-100), (1, 20), (2, 150)}.
Уравнение для внутренней доходности (с полюсом в точке р =
2) име­
ет вид
100(1 +у) 2 - 20(1 +у) - 150 =О.
Полагая а
= 1+у , получим квадратное уравнение
100а 2 - 20а -150 =О,
или
1Оа 2 - 2а -15 =О
откуда
аi =
'
1- .f151
. 1+ .Ji51
1о
и а2 = . 1о
.
Отбрасывая отрицательный корень (поскольку по своему смыслу а
есть коэффициент роста и не может быть отрицательным), получим
а=
l+y=l,3288,
или у= 0,3288, т.е. внутренняя доходность сделки составляет 32,88%,
что отличается от среднегеометрической доходности сделки 32,29%.
В наиболее типичных финансовых сделках, например кредит­
ных, расходная часть сводится к инвестированию начального капи­
тала ~' а доходная часть - к с.ерии текущих платежей Cl' С2 ,.", Сп
(процентов или дивидендов) и к конечной стоимости капитала ~
(возврату основной суммы долга, реализованной или учетной стои­
мости активов и т.д.). Представляющий денежный поток сделки в
этом случае разлагается на сумму двух потоков расходного
CF-
и до;..
ходного CF+
где
CF- ={(t0 , -Уо)}, CF+={(tl'C1 ),(t2 ,C2 ),.",(tп,Cп+V:,)}.
(4.18)
Следовательно, балансовое уравнение для внутренней процентной
70
Глава
4..Временная декомпозиция финансовых сделок
ставки в этом случае. будетиметь вид (с фокальной точкойр
= t0 )
(4.19)
Таким образом, это уравнение действительно представляет баланс
(эквивалентность) между потоком расходов (инвестициями) и пото­
ком доходов (от них). В rex случаях, когда текущий доход отсутствует,
т.е.
= с2 =."=сп ~1 =о, то уравнение (19) сводится к уравнению:
cl
'
vn
~ = (1+ У y"-t
0
Учитывая, что
tn -
to =
• .
т~ срок сделки, подучим:
y=(~j-1.
.(4.20)
В этом случае внутренняя доходность является просто нормирован­
ной эффективной доходностью, со<;>тветствующей доходности
r т'= V/
Vо ~ 1'
п
сделки за период Т. и·ными словами,
(4.21)
В общем случае равенство нулю промежуточных (внутренних)
сумм
ck означает:
1) отсутствие или полное реинвестирование (всего)текущего до­
хода;
2)
отсутствие изъятия или дополнительного (внешнего) вложе­
ния капитала.
В самом деле, равенство
C=I-V=O
k
k
k
означает, что
Ik . ~'
т.е. весь нераспределенный к концу k-го периода доход полностью
реинвестируется в портфель активов в момент · tk.и, в частности, нет
никаких ·внешних вложений. Как отмечалось в предьщущем разделе,
в этом случае адекватной оценкой доходности сделки является сред­
негеометрическая доходность:
.
y(g) = [(1 + r 1 )( 1 + r 2) {1
+ r)](l/1) - 1.
Но отсутствие внешних изъятий и вложений, а также полное ре-
71
Часть
1.
Инвестициою-lый про_цесс и его оценивание
инвестирование дохода означает, что имеет место равенство (см.
предыдущий раздел)
1 + rт = ( 1 + r 1 )( 1 + r2 ) ( 1 + rn),
где
r т = Vп /V:о -1
-
базовая доходность за период сделки. Следовательно, и в этом слу­
чае внутренняя доходность у будет совпадать с эффективной доход­
ностью у <эФ), соответствующей базовой доходности за период. Более
того, она будет совпадать и со среднегеометрической доходностью
y(g) . Таким образом, именно наличие (внешних) изъятий или вложе­
ний капитала в финансовой сделке приводит к различию в значениях
внутренней (денежно-взвешенной) доходности и среднегеометриче­
ской (временно-взвешенной) доходности. Этот факт иллюстрирует­
ся примером
4.4.
Хотя · МЫ и подчеркивали, что адекватная интерпретация средней
геометрической доходности требует выполнения перечисленных вы­
ше условий (т.е. отсутствие изъятий/вложений капитала и полное ре­
инвестирование текущего дохода), тем не менее на практике средне­
геометрическая (взвешенная по времени) доходность используется
наравне· с внутренней (денежно-взвешенной). Строго говоря, оба
этих вида доходностей оценивают различные аспекты эффективно­
сти сделки. Принято считать, что внутренняя доходность оценивает
общий фц_нансовый результат сделки с учетом всех ее компонент, в
том числе и внешних вложений (Изъятий). Средняя геометрическая
доходность оценивает эффективность управления активами, уча­
ствующими в сделке. Чтобы прояснить различие в этих аспектах
оценки, рассмотрим следующий пример.
Пример
4.5. Пусть два управляющих пенсионными активами двух
фондов имеют в начале двухмесячного периода портфели активов на
сумму
$60
млн.; что оба эти управляющие сформировали одинаковые
по структуре портфели. Допустим вначале, что никаких дополни­
тельных вложений или изъятий капитала за два месяца не бьшо, как и
не бьшо распределения текущего дохода (т.е. он полностью реинве­
стировался). Если доходности портфеля за первый и второй · месяцы
составляют
20%
и
50%
соответственно, то ясно, что как финансовые
результаты, так и качество управления обоих управляющих совпада­
ют. В конце 1-го месяца стоимость портфеля возрастет до
~
а в конце второго
72
-
до
= .60 (1 +0,2) = $72 млн.,
Глава
4. Времен.н.ая декомпозиция фин.ан.совых сделок
v; = 72 (1 +0,5) = $108 млн.
Доходность сделки за оба месяца составит
v; 1Уо-1=108/60-1=0,8 или 80%,
а соответствующая эффективная месячная доходность будет равна:
у <ЭФ)= 11+0 8 -1=1 3416-1 =' О 3416
м
или
34,16%
'\/
'
'
'
'
в месяц. При указанных условиях эта доходность совпа­
дает как со средней геометрической, так и с внутренней доходностью
.
сделки.
Рассмотрим теперь другую ситуацию. ДопусТим, что при тех же
начальных условиях, а также условиях, касающихся доходностей
портфелей, первый управляющий получает (например, от участни­
ков схемы или от спонсоров) в конце 1-го месяца дополнительно $20
млн., а другой управляющий, наоборот, обязан вьпmатить (напри­
мер, в виде пенсий)
$10
млн. В этом случае у первого управляющего
стоимость портфеля в конце 1-го месяца составит
~-
= $60(1+0,2) = $72 (млн.),
однако с учетом дополнительных вложений на сумму
$ 20 млн., он
инвестирует в начале 2-го месяца сумму
~+
= $72 + $20 = $92 (млн.).
Поскольку доходность портфеля активов за 2-й месяц составляет
50% в месяц, то окончательная стоимость портфеля (в конце 2-го ме­
сяца) будет равна:
v; = $92(1 +0,5) = $138(млн.).
Внутренняя доходность у1 сделки определяется уравнением (с полю­
сом р
= 2)
60(1 +у1) 2 + 20(1 +yl) - 138 =
о,
решая которое получим
У1 =
или
34,99%
0,3499,
в месяц, ч.то больше среднегеометрИЧеской доходности
34,16% этой же сделки (которая, как легко понять, не изменилась).
Второй управляющий получит в конце 1-го месяца те же ~- = $72
млн. Однако, учитывая изъятия капитала на сумму
$1 О млн.,
он в на­
чале 2-го месяца сможет инвестировать лишь
~+
= $72- $10 =
$62(млн.)
73
Часть/. Инвестиционный процесс и его оценивание
и, следовательно, конечная стоимость портфеля в этом случае будет
равна:
v; = $62 (1+0,5) =$93. (млн.).
Внутренняя доходность у2 этой сделки определяется уравнением (с
.
р=2)
60(1 +у2 ) 2 - 10(1 +у2 )
-
93
=О,
решая которое получим
У2
= 0,3283,
или
32,83% в месяц, что меньше месячной среднегеометрической до­
ходности 34,16% этой же сделки.
Подведем итоги анализа описанных ·сделок:. Оба управляющих
во всех случаях формировали идентичные по · структуре портфели,
поэтому с точки зрения эффект:Ивности управления активами их ра­
бота должна оцениваться одинаково. Внутри ·каждого критического
периода стратегия инвестирования пассивна "--- знач:И:т, результат
управления портфелем для критического периода полностью описы­
вается доходностью портфеля, т.е. определяется лишь структурой
портфеля, сформированного в начале периода, и поведением акти­
вов (последний фактор, естественно, не зависит ·ат управ.ля:ющего ).
Таким образом, эффективность управления на · всем инвести­
ционном периоде полностью определяется последовательностью до­
ходностей портфеля для критических периодов. Для характеризации
эффективности управления единственным показателем (т.е. одним
числом) необходимо ·выбрать правиле определения этого показателя
по заданной последовательности доходностей портфеля. То есть этот
показатель представляет собой некоторую функцию от указанных
доходностей:
Уупр = y(rl'
'2 ,.",r).
На практике, обычно, в качестве меры эффективности управления
берется средняя геометрическая или взвешенная по врем~ни доходность:
y(g)
= [(1 + r 1 )( 1 + r 2) (1 + rn)](l/T) - 1.
Заметим, что при любом выборе показателя эффективности упра­
вления в соответствиИ с (10), он не будет зависеть от дополнительных
вложений или изъятий капитала. Это чрезвычайнq ваЖн:ое условие. В
самом деле, решение о дополнительных вложениях и изъятиях при­
нимается владельцем капитала, который может совпадать и мо:Жет не
совпадать с управляющим. В современных условиях типичным явля-
74
Глава
4.
Временная декдм.позицuя финансовых сделок
ется как раз несовпадение этих лиц. Владельцы капиталов отдают их в
управление профессиональным менеджерам. Менеджеры ответствен:­
ны лишь за качество управления активами. Решение о дополнитель­
ных вложениях или изъятиях принимается не ими, и за их послед­
ствия они не должны нести ответственность. Многие финансовые ин­
ституты, активами которых управляют финансовьrе менеджеры, име­
ют обязательства, например банки должны возвращать вклады (с про­
центами), страховые компании должны выплачивать страховые сум­
мы (страховое возмещение), пенсионные фонды - пенсии своим
участникам и т.п. Во всех случаях такие выплаты обусловлены кон­
трактами и обязательны (отсюда их название). ДлЯ финансового ме­
неджера они представляют собой принудительный отток (изъятие)
капитала. Такие изъятия, безусловно, влияют на финансовый резуль­
тат деятельности финансового института.
Перейдем теперь к анализу сделок с точки зрения их фактиче­
ского финансового результата. Естественно, .что в этом случае
необходим учет как текущего дохода, так и "внешних" капитальных
операций изъятия/вложения. Таким образом, кроме показателей,
связанных с управлением, т.е . доходностей rl' r 2 , ••• ,rn, необходимо
учитывать все денежные потоки, связанные со сделкой. Кроме на­
чальных инвестиций ~
,
необходимо задать как величину текущего
дохода
Ik, k=1,2, ... ,n
для каждого критического периода, так и величину капитальных
изъятий/вложений:
~
=
~+ - ~-,
k=
1,2,.",п.
Если интервальная величина Ik относится (актуализируется) к концу
периода (независимо от реального времени ее получения), то для
полного описания сделки достаточно рассматривать, как отмечалось
выше, лишь нетто-поток:
Ck = Sk, k=0,1, ... , п.
При этом, как отмечалось, выполняются краевые условия
·C=-VC=I+V.
о
0' п
п
п
Получающийся денежный поток
CF-={(t0, С0 ), (tp С1 ), ... , (tn, Сп)}
полностью описывает сделку с точки зрения конечного финансового
результата.
75
Часть
Инвестиционный процесс и его оцениван.ие
!.
Таким образом, в потоке СFв конечной стоимости
V
п
учитывают-
ся и результаты применяемых "управленческих" (т.е. касающихся выбора структуры портфеля) решений. На практике в качестве оценки
сделки с точки зрения ее финансовой эффективности выбирается
внутренняя или денежно-взвешенная доходность, определяемая (не­
явно) уравнением
п
PV/CF,y) = l:Ck(l+ y)p-t* =О,
(4.22)
k=O
где р
- выбранный полюс (точка приведения событий потока CF).
Это уравнение определяет у как неявную функцию потока CF:
у
y(C0 ,Cl'.",
Сп).
(4.23)
Выбор в качестве характеристики финансовой эффективности
сделки внутренней доходности есть лишь определенное соглашение,
принятое участника:Ми финансового рынка. Это соглашение продикто­
вано необходимостью каким-либо образом характеризовать конечный
результат сделки одним показателем, помимо набора денежных (бухгал,..
терских) показателей (доходов/расходов), связанных со сделкой.
Поведение внутренней · доходности, в общем-то, согласовано с
интуитивным восприятием финансовых результатов сделки. Так, в
нашем примере дополнительное вложение капитала в начале второго
месяца (характеризующимся высокой доходностью) приводит· к по­
вышению внутренней доходности по сравнению с доходностью пер­
воначальной сделки (без добавочных инвестиций)
34, 16%.
- 35,40% против
В то же время из~э:тие капитала в начале второго месяца при­
водит к снижению внутренней доходности - 33, 11 % против 34, 16%.
Таким образом, дополнительные вложения на растущем ("бы­
чьем") рынке ведут к повышению внутренней доходности, а изъя­
тия
-
к снижению доходности. Заметим, что на обратном (падаю­
щем, "медвежьем") рынке ситуация прямо противоположна;
Задачи к главе
1.
4
В таблице приведены результаты управления инвестициями
двух менеджеров.
Эффективность управления оценивалась реализованной месяч­
ной доходностью
Месяц
76
Менеджер
1
Менеджер
1
2
3
9%
13%
22%
25%
13%
22%
4
-18%
-24%
2
Глава
4. Временная декомпозиция финансовых сделок
а) Найти среднеарифметическую месячную доходность для каж­
дого из менеджеров.
б) Найти взвешенную по времени месячную доходность для каж­
дого из менеджеров.
2.
Если среднемесячная доходность портфеля составила
1,23%,
то чему будет равна среднегодовая доходность? Если средняя за квар­
тал доходность портфеля составила
1,78%, то какова будет среднего­
довая доходность?
3.
Стоимость портфеля в отмеченные даты
1996 года задается та­
блицей (в млн.$)
31.12.95
31.03.96
30.06.96
30.09.96
31.12. 96
42,2
47,3
98,4
150,7
155,8
В начале апреля
(01.04.96) бьmо дополнительно инвестировано
$50 млн. В начале июля (01.07.96) было инвестировано еще $50 млн.
Никакихизъятийидругихвложенийкапиталав 1996 г. не бьшо. Най­
дите доходность, реализованную менеджером за 1996 г.
4. Стоимость портфеля фонда в отмеченные даты 1999 года зада­
ется таблицей (в млн.
$)
01.01.99
30.06.99
31.12.99
30
60
100
В начале июля (01.07.99) бьшо дополнительно инвестировано$
50 млн. Никаких изъятий и других вложений капитала в 1999 г. не бы­
ло. Найти денежно-взвешенную (внутреннюю) доходность фонда и
доходность, реализованную менеджером за 1999 г.
5. Портфель акций обеспечил ин:I?естору, в период с
1998
1
января
года по
ность,
31 декабря 2004 года, среднюю геометрическую доход­
равную 5,0%. Арифметическая.средняя доходность за тот же
период составила
6,0%. Дополнительных вложений и изъятий капи­
тала не бьmо. Какова рЬ1ночная стоимость портфеля
года, если его рыночная стоимость в начале
тыс. долларов?
31 декабря 2004
1998 года составляла 100