Решение текстовых задач в школьном курсе математики

1
Блажина Евгения Владимировна. Учитель математики ГОУ СОШ №22
Решение текстовых задач в
школьном курсе математики
Г.Раменское Московской области 2011 год
«Пока мы будем учить детей на русском языке — не только великом и
могучем, но и достаточно трудном, пока мы хотим учить их сравнивать, выбирать
наиболее простой путь достижения поставленной цели, пока мы не отказались от
воспитания гибкости и критичности мышления, пока мы стараемся увязывать
обучение математики с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач
— традиционного для отечественной методики средства обучения
математике.»(Шевкин А.В.)
В психологии, дидактике известны попытки дать определение задачи.
Например, одно из них: «Задача – объект мыслительной деятельности, содержащий
требование некоторого практического преобразования или ответа на
теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи
(отношения) между известными и неизвестными элементами» (Л.Л.Гурова.
Психологический анализ задач. – Воронеж, 1976).
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи
всегда занимали особое место. Они являются важным средством обучения
математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами,
постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к
решению практических задач. Решение задач является наиболее эффективной формой
развития математической деятельности.
При обучении математике задачи имеют образовательное, развивающее,
воспитательное значение.
Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся,
вырабатывают практические навыки применения математики. При обучении
теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий,
выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и
терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими.
Воспитательное воздействие оказывает общий подход к решению задач:
система задач, место, методы и формы ее решения, стиль общения учителя и
учащихся, учащихся между собой при решении задач. Решение задач позволяет
учащимся воспитывать в себе настойчивость, трудолюбие, активность,
самостоятельность, формирует познавательный интерес, помогает вырабатывать и
отстаивать свою точку зрения.
Развивающие функции задач заключаются в том, что в деятельности решения
задач вырабатываются умения применять теоретические знания на практике,
2
выделять общие способы решения, переносить их на новые задачи, развиваются
логическое и творческое мышление, внимание, память, воображение.
Использование исторических задач и разнообразных старинных
(арифметических) способов их решения не только обогащает опыт мыслительной
деятельности учащихся, но и позволяет им осваивать важный культурноисторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач. Это
важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками,
поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.
С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и
сами задачи. Раньше они формулировались с помощью слов «найти», «построить»,
«вычислить», «доказать», в современной школе чаще используются слова
«обосновать», «выбрать из различных способов решения наиболее рациональный»,
«исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т д.
Текстовые задачи подразделяются следующим образом:
 задачи на движение;
 задачи на работу;
 задачи на проценты;
 задачи на смеси, сплавы и концентрацию;
 задачи, в которых неизвестные – целые числа;
 задачи, для решения которых нужно находить наибольшее или
наименьшее значение;
задачи, решение которых требует рассмотрения нескольких вариантов;

задачи, процесс решения которых приводит к системе уравнений,
содержащей уравнений меньше, чем неизвестных;
 задачи, для решения которых необходимо использовать неравенства.
Задачи на проценты являются традиционными для школы; обучение их
решению всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к
жизни. Действительно, это одно из математических понятий, которое часто
встречается в повседневной жизни.
К текстовым задачам на проценты относятся задачи, в которых речь идет о
вкладах в банк под тем или иным процентом, о прибыли, о выполнении плана, об
изменении цены на товар; задачи, в которых происходит преобразование исходного
вещества (при сушке, при выпаривании) и т. д. Задачи этого типа очень часто входят
составной частью в решение других типовых задач.
Не будучи подготовленными к пониманию, вряд ли учащиеся смогут
осмысленно трактовать такие сообщения, как «Банк начисляет120 процентов
годовых», «В выборах приняли участие 56,3 процента избирателей» и т. д., тем более
отвечать на подобные вопросы: «Какой капитал, отданный в рост под 6 %, принесет в
6 лет 8 850 руб. процентных денег?», «Какой будет заработная плата после
повышения ее на 35 %, если до повышения она составляла 7 500 руб.?», «Как
изменятся расходы на оплату электроэнергии, если потребление возрастает на 15 %, а
стоимость одного кВт / ч увеличится на 20 %?» и т. д. Заметим, что задачи на
проценты сегодня становятся еще более актуальны, так как сфера практического
3
приложения процентных расчетов расширяется (повышение цен; объявления
коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях;
сведения о повышении процента банковского кредита; сведения о доходах по акциям
различных предприятий и фондов и т. д.).
Процесс решения задачи можно разделить на 4 основных этапа: осмысление
условия задачи (анализ условия), поиск и составление плана решения, осуществление
плана решения, изучение (исследование) найденного решения.
Осмысление условия задачи (1 этап).
1). Умение анализировать требование задачи.
Под анализом требования задачи понимается выяснение возможных путей
ответа на вопрос задачи.
2). Умение анализировать условие задачи.
Под анализом условия задачи можно понимать выявление такой информации,
которая непосредственно не задана условием, но присуща ему.
Составление плана решения задачи (2-й этап).
Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути
ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует
правильное ее решение. Составляя план решения задачи, всегда следует задавать себе
(или решающему задачу ученику) вопрос: "Все ли данные задачи использованы?"
Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.
Осуществление плана решения задачи (3-й этап).
План указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана
решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти
детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему
задачу) полезно следовать некоторым советам:
1). Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершён правильно.
Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на
соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.
2). Обратить внимание учащихся на необходимость выбора такого способа
оформления решения, чтобы зафиксировать решение в краткой и ясной форме.
Изучение найденного решения задачи (4-й этап).
Заключительный этап является необходимой и существенной частью решения
задачи. Основным содержанием его должно быть осмысление выполненного решения,
формулирование и решение (если это окажется возможным) других задач, явно
связанных с решенной, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как
находятся и выполняются решения.
Таким образом, после оформления решения необходимо выявление идей
(главной мысли), положенных в основу решения. Решение задачи несколькими
способами является одним из путей проверки правильности полученного результата;
важно сопоставление найденных решений, выделение более рациональных и
поучительных. Это путь воспитания гибкости математического мышления и
находчивости.
Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход
решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще,
4
что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран
лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. По В. М.
Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно,
2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер.
Итак, два совета: "Проверьте результат", "Проверьте ход решения". Проверка
результата может производиться различными способами.
Проверяя правильность хода решения, мы тем самым убеждаемся и в
правильности результата.
Второй способ проверки результата заключается в получении того же
результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно всегда
задавать решающему вопрос: "Нельзя ли тот же результат получить иначе?" К тому
же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное
обучающее значение.
Изложенные выше советы для решения задач позволяют решать многие задачи,
но, разумеется, не могут служить рецептом для решения любой задачи. Эти советы,
многие из которых сформулировал Д. Пойа, правильно ориентируют решающего
задачи на поиск решения, сокращают время решения многих задач, повышают
вероятность отыскания верного и рационального способа решения задач. Единого же
рецепта для решения любых задач попросту не существует.
Общие умения по решению задач
• умение проводить анализ условия задачи;
• умение применять изученную теорию (определение, правило) на практике;
• умение выделять основную идею в решении отдельной задачи, находить
общее в решении нескольких задач и переносить эту идею, это общее на новую
задачу;
• умения по самооценке своей деятельности, самоконтролю.
Обучение краткой записи условия задачи - это и есть обучение анализу
условия. Краткая запись- это модель текста задачи, материализованная форма
проведения действия анализа условия.
Начинать поиск решения задачи можно лишь тогда, когда ее условие
полностью понято.
На ранее перечисленных этапах решения задачи самоконтроль проявляет себя
как естественная неотрывная составляющая поисковой деятельности, которая может и
не осознаваться учеником.
Последнему этапу решения задачи - проверке и исследованию полученного
решения присвоен особый статус этапа, на котором осуществляется самоконтроль.
В методике преподавания математике выделены различные формы
самоконтроля, проводимые после завершения этапа реализации намеченного плана.
Вот примеры таких форм.
1. Проверка совпадения размерности ответа с требованием задачи. Например,
при нахождении пути значение скорости (км/ч) умножается на значение времени (ч).
Умножение наименований должно дать наименование длины (км).
5
2. Проверка ответа по здравому смыслу. Например, скорость пешехода не
может быть равной 15 км/ч, количество рабочих не может быть дробным и т. д.
(Предложить детям задать вопрос «Может ли такое быть?»)
3. Проверка с помощью грубой прикидки. При этом данные грубо
округляются, и выясняется порядок возможного результата.
В школьном курсе математики используются два способа решения текстовых
задач: арифметический и алгебраический (с помощью составления уравнения или
системы уравнений).
Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и
сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает
естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать
умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом
взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задач),
истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять
правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть
формировать и развивать общеучебные умения.
Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым
абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать
созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников
эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и
изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а
потом и к изучаемому предмету.
Раннее использование уравнений не даёт такого эффекта для развития
мышления и речи учащихся, как использование арифметических способов решения
задач. Умение применения уравнений необходимо формировать у учащихся с опорой
на умение рассуждать, ставить вопросы, отвечать на них, проверять правильность
полученного решения, то есть на умения, полученные при работе с арифметическими
методами решения задач.
Главное внимание при обучении учащихся способу решения текстовых задач
методом составления уравнений должно быть обращено на сознательную отработку
этапности решения. Полная схема включает такие этапы:
1) объяснение к составлению уравнения;
2) составление уравнения;
3) решение уравнения;
4) проверка;
5) запись ответа;
6) анализ решения задачи.
Подготовка к приему решения задач с помощью уравнения может быть
организована задолго до явного введения самого приема. Учащиеся решают задачи, а
учитель старается акцентировать их внимание на средствах решения, на
последовательности одних и тех же шагов. Этот период можно назвать
6
пропедевтическим, подготовительным в формировании приема. Следующий этап этап явного введения приема (предписания) с помощью учащихся на основе
сравнения процессов решения выделенных задач. Далее организуется работа по
закреплению шагов предписания и применению всего приема.
Предписание по решению задач с помощью составления уравнений.
1. Определи, сколько и какие объекты, процессы, ситуации рассматриваются в
задаче.
2. Укажи величины, которые характеризуют каждый объект, каждый процесс,
ситуацию.
3. Установи зависимости, существующие между выделенными величинами.
4. Укажи, какие из выделенных величин известны.
5. Укажи неизвестные величины,
6. Определи зависимости между неизвестными величинами.
7. Выбери одно из неизвестных за x рациональным образом.
8. Вырази остальные неизвестные через х.
9. Выдели условие, оставшееся для составления уравнения.
10. Составь уравнение и реши его.
11. Сделай проверку и запиши ответ.
В заключение можно добавить, что подготовка учащихся к введению
приведенного предписания, само введение и обучение пользоваться им могут
осуществляться учителем на любом подходящем материале.
Для того чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения.
Редкие ученики могут сделать это самостоятельно. Долг учителя - помочь учащимся
приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Однако помощь учителя
не должна быть чрезмерной. Если учитель много будет помогать ученику, на долю
последнего ничего не останется или останется слишком мало. Если же помощь
учителя будет мала, ученик также может не научиться решать задачи.
Учитель должен помогать ученику путем советов, как решать задачу, или
вопросов, отвечая на которые ученик успешнее решит задачу. Иногда учитель
разыгрывает решение задачи, сам задавая вопросы и сам же отвечая на них. Ученики
подражают ему в этом, постепенно приучаясь решать задачи. Но такой вариант
обучения требует большей затраты времени и не всегда приводит к хорошим
результатам. Можно сказать, что механическое подражание не метод обучения
решению задач. Нужны вопросы и советы учителя ученику, развивающие
мыслительную деятельность школьников, помогающие развивать творческий подход
к решению задач. Такие вопросы и советы должны обладать общностью для
различных задач, иначе ученики не научатся решать многие задачи, а будут учиться
решать каждую конкретную задачу в отдельности. В то же время вопросы и советы
должны быть естественны и просты, должны иметь своим источником простой
здравый смысл. Они должны оказывать ученику действенную, но не назойливую
помощь. Но одних вопросов и советов учителя ученику недостаточно для обучения
решению задач. Нельзя забывать, что "умение решать задачи есть искусство,
приобретаемое практикой".
7
При подготовке к ЕГЭ мои ученики решают задачи на движение,
работу, производительность труда, процентный прирост, процентное содержание и
др. Имея богатый опыт решения текстовых задач не только с помощью составления
уравнений, но и арифметическим способом они выбирают наиболее рациональный
способ решения задачи. Кроме того, вовлекая их в создание разнообразных
математических моделей решения, достигается одна из основных целей обучения
математике: воспитание гармонично развитой личности.
Список литературы
Брадис В.М."Методика преподавания математики в средней школе", Москва,
1954 г.
Гурова Л.Л. Психологический анализ задач. – Воронеж, 1976
Далингер В.А. «Текстовые задачи на проценты и методика обучения
учащихся их решению»- Омск: Изд-во ОГПИ, 1990.
Пойа Д. George Polya. Математика и правдоподобные рассуждения. под
редакцией С.А.Яновской. Пер. с английского И.А.Вайнштейна. М., Наука, 1975.
Пойа Д. Как решать задачу. — М., 1961.
Шевкин А. В. Текстовые задачи в школьном курсе математики.-М.: Педагогический
университет «Первое сентября».2006.
Шевкин А. В.Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. Книга для
учителя.-М.:ТИД «Русское слово-РС»,2002.
Библиографическое описание электронных ресурсов
«Вестник Омского государственного педагогического университета»
Электронный научный журнал .Выпуск 2007 .
http://www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-195.pdf
«Математика.Школа.Будущее.» [Электронный ресурс] Электрон.текстовые
дан.
http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=399
«Задачи в школьном курсе математики» [Электронный ресурс]
Электрон.текстовые дан.
http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00086828.html