Урок 1-15 - Донецкая школа № 61

Дорогие восьмиклассники!
Поздравляем вас с началом учебного года! Мы надеемся, что все вы за
лето достаточно отдохнули и готовы приступить к занятиям.
В этом году мы продолжим изучение алгебры и геометрии, которое мы
начали в 7 классе. Вы значительно расширите свои математические познания
и умения. До сих пор вам были известны из алгебры только рациональные
числа, целые выражения и линейные уравнения, в 8 классе вы ознакомитесь с
действительными числами, рациональными выражениями и квадратными
уравнениями. Следовательно, научитесь решать и такие задачи, которые
прежде решать не умели. Геометрия же откроет вам новые фигуры –
четырехугольники, расскажет об их свойствах, познакомит с одной из самых
замечательных теорем – теоремой Пифагора, откроет вам новые свойства
уже знакомых вам по 7 классу треугольников. При изучении геометрии в 8
классе вы будете, не только учиться логично и последовательно мыслить, но
и развивать свои способности самостоятельно совершать открытия.
В каждом предложенном уроке есть и теоретический материал, и
образцы решения заданий, и домашние задания. Домашние задания
выполняйте в отдельной тетради, которую потом сдадите учителю. В конце
темы предлагается контрольная работа. Ее тоже можно выполнить в этой
тетради.
Рекомендованные учебники:
Алгебра: учебник для 8 кл. общеоразоват. учеб. заведений / Г.П. Бевз,
В.Г. Бевз. – К.: Зодиак-Эко, 2008.
Геометрия: 8: двухуровн. учеб. для общеоразоват. учеб. заведений /
Г.В. Апостолова. – К.: Генеза, 2008.
Учебники можно получить у классного руководителя или найти на
сайте: shkola.yccat.com
Желаем удачи!
Алгебра.
Тема 1: «Повторение. Рациональные
Сложение и вычитание рациональных дробей».
выражения.
Урок 1: Повторение. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
На данном уроке мы вспомним основные определения и свойства
степени с натуральным показателем, кроме того, вспомним все основные
теоремы и решим различные примеры, чтобы закрепить данную тему.
1. Основные определения
Вспомним основные определения:
– степень с натуральным показателем, здесь а – основание
степени, n – показатель степени.
n штук
Кроме того, напомним, что:
и
;
Символ , как и символ не имеет смысла.
Все одночлены, многочлены и основные операции с ними основаны на
степенях и действиях со степенями, которые мы сейчас вспомним:
2. Основные теоремы о степенях с одинаковым основанием
Основные теоремы о действиях со степенями:
;
Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить
их показатели, основание оставить тем же самым.
;
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их
показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;
Пример 1:
;
Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели
степени, основание оставить без изменений.
3. Основные правила работы со степенями с одинаковым показателем
Мы вспомнили основные правила работы со степенями с одинаковым
основанием. В качестве примеров выведем еще несколько правил:
Пример 2:
– возвести минус единицу в четную степень;
–
возвести минус единицу в нечетную степень;
– при возведении в квадрат любое число станет положительным,
единица в любой степени равна единице, таким образом, независимо от
значения выражение
равно единице.
В предыдущем примере мы показали, что выражение
единице. Получаем:
всегда равно
Минус единица в первой степени равна сама себе, получаем:
Рассмотрим теперь правила обращения со степенями с одинаковым
показателем:
;
При умножении степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить
основания и возвести результат в исходную степень;
,
;
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить
основания и возвести результат в исходную степень;
Пример 3:
Итак, в числителе и знаменателе перемножим степени с одинаковым
основанием:
Возведем в числителе и знаменателе степень в степень:
Выполним деление степеней с одинаковым основанием:
Чтобы получить результат, выполним некоторые преобразования:
4. Решение вычислительных примеров
Пример 4: вычислить:
Чтобы решить данный пример, все основания степеней нужно привести к
самому простому:
,
,
Итак, получаем:
Выполним возведение степени в степень:
Выполним сокращение дроби:
Вычислим:
5. Решение других типовых задач
Пример 5: запишите в виде степени с показателем 2:
Для того чтобы получить ответ, мы исходные показатели степеней разделили
на 2.
Пример 6: заменить звездочку таким выражением, чтобы получилось верное
равенство:
Получаем выражение:
– равенство верно
Пример 7: решить уравнение:
Будем постепенно выполнять действия со степенями в левой части:
Таким образом, наше уравнение приобретает вид:
Решение очевидно.
6. Выводы по уроку
Вывод: на данном уроке мы вспомнили основные определения
касательно степени с натуральным показателем и ее основные свойства.
Записали теоремы и решили примеры на их применение.
Домашнее задание.
1. Найдите значение выражения: 1,5  6 2  2 3 .
2. Выполните действия: а) х  х ;
8
2
б) х : х ;
8
2
в) х
;
8 2
г)
х 
2
3
46  29
3. Вычислить: а)
;
б)  2     .
4
32
 3 8
2 3
4. Известно, что 2а в  9 . Найдите значение выражения: а)  6а 2 в 3 ;
б) 2а 4 в 6 .
15
15
4 5
 х2
х12
.
Урок 2: Повторение. Одночлены.
На данном уроке мы вспомним основные теоретические понятия,
касающиеся одночленов, и теоремы о степенях, на которой они базируются.
Мы вспомним основные типовые задачи и рассмотрим примеры их решения.
1. Напоминание теоретических основ
Напомним определение одночлена: одночленом называют произведение
чисел и переменных, возведенных в степени с натуральным показателем.
Иначе говоря, одночлен – это произведение степеней.
Например,
– одночлен. В нем мы можем перемножить между
собой числа и степени с одинаковым основанием, поэтому важную роль при
работе с одночленами играют теоремы о степенях. Напомним их:
;
;
;
Мы привели правила работы со степенями с одинаковым основанием –
основание остается неизменным, а определенные действия производятся с
показателями. Если же у степеней одинаковые показатели, но разные
основания, действуют другие правила:
;
,
;
2. Приведение одночлена к стандартному виду
Вернемся к заданному одночлену:
Первым делом его нужно привести к стандартному виду, то есть
перемножить числа – получить численный коэффициент, и соответствующие
степени – получить буквенную часть:
В данном одночлене
– численный коэффициент, а
– буквенная
часть.
3. Арифметические операции над одночленами
После того, как одночлен приведен к стандартному виду, с ним можно
производить различные действия. Если задано несколько одночленов, и они
имеют одинаковую буквенную часть, то мы имеем право их складывать и
вычитать. Кроме того, любые одночлены можно умножать и возводить в
степень, также можно одночлены делить, но с некоторой оговоркой.
Рассмотрим пример:
Пример 1:
Комментарий: очевидно, что одночлены имеют одинаковую буквенную
часть, значит, мы имеем право их вычитать. Для этого мы вычтем
коэффициенты, а буквенную часть перепишем без изменений.
Как уже было сказано, умножать можно любые одночлены, так как, умножив
одночлен на одночлен, мы получим новый одночлен, который нужно будет
только привести к стандартному виду.
Пример 2:
Комментарий: в результате умножения двух одночленов мы получили новый
одночлен и привели его к стандартному виду – перемножили числа и
степени, получили численный коэффициент и буквенную часть.
Пример 3:
Комментарий: отметим, что возведение в степень – это умножение одночлена
на самого себя некоторое количество раз. Для возведения одночлена в
натуральную степень каждый его элемент – численный коэффициент и
каждую степень – возводят в нужную степень.
Было сказано, что можно выполнять деление одночленов, но с некоторой
оговоркой. Рассмотрим примеры.
Пример 4:
Комментарий:
Комментарий: в первом случае деление одночленов, возможно, это значит,
что при делении одночленов мы получаем новый одночлен. Во втором случае
при делении одночленов мы получили алгебраическое выражение.
4. Решение основных типовых задач
Перейдем к рассмотрению типовых задач.
Пример 5: упростить выражение:
Итак, приведем новый одночлен к стандартному виду – получим численный
коэффициент и буквенную часть:
Пример 6: упростить выражение:
Выполним возведение одночленов в степень, после этого упростим
числитель – умножим одночлены, затем выполним деление:
Пример 7: решить уравнение:
Буквенная часть одночленов одинаковая, значит, мы имеем право их
сложить:
В этом элементарном уравнении очевиден ответ:
Нам было задано простейшее уравнение и требовалось только найти его
корень, но чаще это уравнение сперва нужно составить – как, например, при
решении текстовых задач.
Пример 8: туристы были в походе 3 дня. В первый день они прошли
всего
пути, во второй день оставшегося пути, и в третий день 25 км. Найти
общую длину пути.
Для решения задачи применим метод математического моделирования.
Этап 1 – составление математической модели:
Обозначим весь пройденный туристами путь за х километров, в таком
случае, в первый день они прошли
километров, таким образом, им
осталось пройти
день они прошли треть оставшегося пути –
километров. Составим схему (рис. 1):
километров, тогда во второй
, и в третий день 25
Рис. 1
Запишем общий путь в виде уравнения:
Математическая модель составлена.
Этап 2 – работа с математической моделью: найдем корни составленного
уравнения. Все неизвестные перенесем влево, а свободные члены – вправо:
В левой части его стоят одночлены с одинаковой буквенной частью – имеем
право их сложить:
Сократим дробь:
Умножим обе части уравнения на 11:
Разделим обе части уравнения на 5:
Этап 3 – ответ на вопрос задачи: мы нашли
, за х было принято
расстояние, пройденное туристами, что и нужно было найти в задаче, таким
образом, даем ответ: путь, пройденный туристами, составляет 55 километров.
Рассмотрим шуточную задачу.
Пример 9: задумайте число. Прибавьте к нему 10. Отнимите 2. Отнимите
задуманное число. Прибавьте 10. Вы получили число 18?
Каким образом получился такой «фокус»? мы попросили человека задумать
число, а через несколько действий задуманное число отнять, опишем
последовательность, обозначив задуманное число за х:
Упростив выражение, получаем 18, то есть независимо от задуманного числа
вы можете предугадать результат, запоминая заданные числа.
Задачу можно усложнить:
Задумайте число. Прибавьте 10. Умножьте результат на 2. Прибавьте 10.
Отнимите задуманное число. Прибавьте 10. Отнимите задуманное число.
Прибавьте 10.
Опишем последовательность, обозначив число за х:
Упростим полученное выражение:
Результат снова не зависит от задуманного числа, нужно только запомнить,
что вы попросили прибавлять и отнимать.
5. Выводы по уроку
Вывод: на данном уроке мы вспомнили основные определения и
свойства одночленов, типовые задачи, с ними связанные. Мы решили
различные примеры, чтобы вспомнить и окончательно закрепить технику
работы с одночленами.
Домашнее задание.
1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: а)  3а 2 в 4  3а 2 в 5 ;
3
б)  4а 2 в 6  .
3
2. Упростите выражение: 125а 6 в 3   0,2а 2 в 4  .
Урок 3: Повторение. Многочлены.
На данном уроке мы вспомним определение многочлена и приведение
его к стандартному виду. Также вспомним основные арифметические
операции над многочленами и решим типовые задачи.
1. Определение многочлена, приведение многочлена к стандартному виду
Напомним определение многочлена: многочленом называют
алгебраическую сумму одночленов.
Пример:
Мы знаем, что каждый одночлен можно привести к стандартному виду,
выполним это:
Напомним, что если у одночленов одинаковая буквенная часть – то их можно
складывать, таким образом, приводя многочлен к стандартному виду:
Полученный многочлен можно разложить на множители, в данном случае
методом вынесения общего множителя:
Напомним, что, при вынесении общего множителя, на него делится каждый
член многочлена и результат записывается в скобках, а общий множитель –за
скобками.
2. Разложение многочлена на множители, вынесение общего множителя
Многочлены можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень.
Рассмотрим примеры:
Пример 1: найти
:
Итак, выполним требуемое действие:
Пример 2: вычислить значение выражения при
:
Напомним, что для умножения многочлена на одночлен нужно каждый член
многочлена умножить на одночлен:
Приведем в полученном выражении подобные члены:
Подставим заданное значение х:
Вспомним операцию деления многочлена на одночлен.
Пример 3:
1 способ: разделить каждый член многочлена на одночлен:
Необходимо отметить, что
, в противном случае данное выражение не
имеет смысла.
2 способ: разложить числитель на множители и сократить дробь:
Пример 4: решить уравнение:
Напомним, что для умножения многочлена на многочлен нужно каждый член
первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена:
Приведем подобные члены, соберем неизвестные слева, а свободные члены –
справа:
3. Решение типовых задач
Одна из типовых задач – текстовые задачи, где нужно сначала составить
уравнение, а потом его решить.
Пример 5: найдите 4 последовательных натуральных числа, если известно,
что разность между произведением двух больших и двух меньших чисел
равна 58.
Для решения задачи применим метод математического моделирования.
Этап 1 – составление математической модели:
Обозначим первое из четырех чисел за , тогда остальные числа запишем
как
,
,
, так как первое из четырех последовательных
натуральных чисел является наименьшим, а каждое следующее отличается от
предыдущего на единицу. Произведение двух больших чисел в таком случае
равно
, а произведение двух меньших –
. В условии
сказано, что разность между произведением двух больших и двух меньших
чисел равна 58. Составим уравнение:
Математическая модель составлена.
Этап 2 – работа с математической моделью:
В данном случае работа заключается в решении линейного уравнения с
одним неизвестным. Для этого упростим составленное выражение, выполним
умножение:
Соберем неизвестные слева, а свободные члены – справа и приведем
подобные:
Из полученного элементарного уравнения найдем n:
Этап 3 – ответ на вопрос задачи:
Было задано найти четыре последовательных натуральных числа,
удовлетворяющих условию. Первое из чисел мы обозначили за n,
нашли
, таким образом, нужная нам последовательность – это числа:
13, 14, 15, 16.
4. Выводы по уроку
Вывод: на данном уроке мы вспомнили определение многочлена и
основы работы с многочленами – приведение к стандартному виду и
арифметические операции. Кроме того, мы рассмотрели типовые задачи –
вычислительную, текстовую задачи и уравнение.
Домашнее задание.
1. Найти сумму и разность многочленов:
а) (х² + 4х) – (х² – 4х);
б)(5х² + 3х) + (х²-7 – 3х);
в) (х³ + 1,3х² - 2х) – (1,3х + 2х²).
2. Выполнить действия:
а) –х(х² - 3х);
б) (х – 2)(х + 3);
в) 16а³ - 2а²(8а – 3);
г) (9 + а² - 3а)(а² + 3а).
3. Решить уравнение:
х3 х
 0;
б) (3 – х)(х + 4) + х² = 0.
4
2
4. Упростить выражение: 7в2в  3  в  6в  5 .
а)
Урок 4: Повторение. Формулы сокращенного умножения.
На данном уроке мы вспомним формулы сокращенного умножения, их
предназначение и смысл. Мы решим несколько примеров на закрепление
материала.
1. Основные формулы сокращенного умножения
Вспомним предназначение и смысл формул сокращенного умножения. Ранее
мы изучали и повторили достаточно трудоемкую операцию умножения
многочленов, ее сложность заключается в том, что многочлен – это сумма
одночленов, и для умножения нужно каждый член первого многочлена
умножить на каждый член второго многочлена. В результате получаем
достаточно большой многочлен, который нужно привести к стандартному
виду. Формулы сокращенного умножения как раз упрощают операцию
умножения многочленов.
Приведем некоторые формулы:
– квадрат суммы (разности);
– разность квадратов;
– разность кубов;
– сумма кубов;
называют неполным квадратом суммы;
называют неполным квадратом разности;
Отличие последних двух выражений от полного квадрата состоит в том, что в
полном квадрате есть удвоенное произведение выражений, а в неполном –
просто их произведение.
2. Упрощение выражений различной сложности
Чтобы вывести данные формулы, нужно перемножить скобки по правилу
умножения многочленов, и мы увидим справедливость записанных равенств.
Упомянем типовые ошибки:
Считают, что
– данное равенство неверно! Чтобы избежать
подобной ошибки, выведем формулу квадрата суммы геометрически:
Рассмотрим квадрат со стороной
:
– площадь квадрата;
С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону
на а и b:
Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:
;
Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:
Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.
Рассмотрим применение формул сокращенного умножения. Они
применяются в самых разнообразных задачах, и основная сложность
заключается в том, чтобы увидеть, что есть а и что есть b. Очевидно, что
никаких ограничений для a и b нет, то есть это могут быть любые выражения.
Рассмотрим примеры:
Пример 1:
Очевидно, что перед нами квадрат разности, здесь
формуле:
, распишем по
,
Пример 2:
Очевидно, что перед нами разность квадратов, здесь
по формуле:
,
, распишем
Рассмотрим случаи, когда в одном выражении нужно применить несколько
формул.
Пример 3:
Несложно заметить, что первые две скобки можно свернуть как разность
квадратов:
Полученное выражение также представляет собой разность квадратов.
Свернем его:
Пример 4:
Если не применять формулы сокращенного умножения, то умножение
данных трехчленов будет весьма трудоемким, но мы все-таки обратим
внимание, что первая скобка представляет собой квадрат разности, а вторая –
квадрат суммы:
Теперь можем квадрат вынести за скобки, пользуясь соответствующим
свойством степеней, ведь в квадрат возводятся оба выражения:
Очевидно, что в скобках стоит разность квадратов, свернем ее по формуле:
Теперь можем легко раскрыть скобки по формуле квадрата разности:
Пример 5:
Непосредственное перемножение скобок будет очень трудоемким, формулы
сокращенного умножения резко сокращают процесс:
Первая пара скобок есть разность квадратов, свернем ее:
Теперь снова первые две скобки можно свернуть по формуле разности
квадратов:
И еще раз можно увидеть формулу разности квадратов:
Последний раз свернем разность квадратов:
3. Доказательство кратности и уравнение
Существует обратная задача – разложить многочлен на множители, она
решается также с помощью формул сокращенного умножения.
Пример 6: доказать что число
кратно 25:
Очевидно, что если мы будем выполнять все вычисления, это будет сложно и
долго, но если заметить формулу, то работа значительно упрощается. Итак,
мы видим разность кубов. Распишем выражение:
В результате преобразований мы получили выражение, один из множителей
которого равен 25, очевидно, что это выражение кратно 25.
Пример 7: решить уравнение:
Напомним, что решить уравнение – означает найти такие значения х,
которые обращают выражение в верное числовое равенство. Распишем в
уравнении квадрат суммы и разность квадратов:
Соберем неизвестные слева, а свободные члены справа и приведем
подобные:
Из полученного элементарного уравнения найдем значение х:
Запишем еще несколько формул, которые можно вывести:
– куб суммы (разности)
Чтобы вывести данные формулы, нужно выполнить умножение скобок, и вы
убедитесь в их справедливости.
4. Итоги урока
Вывод: мы рассмотрели формулы сокращенного умножения, записали вид
основных из них и некоторые доказали. Мы рассмотрели примеры различной
сложности, чтобы окончательно закрепить данный материал.
Домашнее задание.
1. Преобразовать выражение в многочлен:
а) (а – 2)(а + 2);
б) (7а + 8в)²;
в) (с³ – 0,1)².
2. Решить уравнение:
(4х – 5)² = 16х² - 15.
3. Упростить выражение и найдите его значение:
а) (х – 2)(х + 2) – (х – 5)² при х = - 20;
б) (3а + 1)(9а² - 3а + 1) при а = -
1
.
3
Урок 5: Повторение. Разложение многочленов на множители.
На данном уроке мы вспомним все изученные методы разложения
многочлена на множители, рассмотрим примеры к ним.
1. Методы разложения многочленов на множители.
Напомним, что многочлен есть алгебраическая сумма одночленов, а
одночлен – это произведение чисел и степеней.
Вспомним способы разложения многочлена на множители.
1. В каждом члене многочлена может быть общий множитель, отсюда
первый способ – метод вынесения общего множителя за скобки, то есть
такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена.
Рассмотрим пример 1, вынесем общий множитель за скобки, для этого
определим, какие переменные представлены во всех членах, и вынесем их в
минимальной степени:
;
Напомним, что, перемножив вынесенный множитель на скобку, можно
проверить правильность вынесения.
Пример 2:
В обоих членах есть скобка
, в одном в первой, а в другом во второй
степени, вынесем минимальную ее степень – первую:
2. Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий
множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким
образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, и
постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах
появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы
продолжить разложение. Рассмотрим пример 3:
;
Сгруппируем первый член со вторым, третий с четвертым и вынесем общие
множители в группах:
У выражения появился общий множитель. Вынесем его:
;
3. Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример 4:
Мы расписали заданный многочлен по известной формуле разности кубов.
Пример 5:
Комментарий: мы увидели в заданном многочлене формулу суммы кубов и
разложили его.
4. Метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата
суммы и квадрата разности. Напомним их:
– формула квадрата суммы (разности);
Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и
их удвоенное произведение. Рассмотрим пример 6:
;
Распишем выражение:
Итак, первое выражение – это , а второе должно быть , но не хватает
удвоенного произведения. Прибавим и вычтем его:
Свернем полный квадрат разности:
;
Преобразуем полученное выражение, применяя формулу разности квадратов,
напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение суммы
на их разность:
;
Напомним, что, перемножив скобки, можно проверить правильность
разложения.
2. Подведение итогов урока
Вывод: мы вспомнили все изученные методы разложения многочленов
на множители и рассмотрели примеры. Вспомнили определение и некоторые
свойства алгебраических дробей, решили несколько типовых задач, с ними
связанных.
Домашнее задание.
1. Вынести общий множитель за скобки:
а) 8х – 8у;
б) 5ху – 7х;
в) 25х³ – 10х² + 5х;
г) 24а³у¹² – 12а²у¹º.
2. Решить уравнение:
а) (7х – 10)(х + 5) = 0;
б) 12у² – 60у = 0;
в) х³ + х² – 4х – 4 = 0.
3. Докажите, что выражение:
а) 5¹³ – 5¹¹ делится на 24;
б) 125³ + 625² делится на 6.
4. Разложите на множители способом группировки:
а) 3(а + с) + х(а + с);
б) 6х – 6у + ах – ау;
в) 2х¹¹ + 5х¹º – 2х² – 5х.
Урок 6: Повторение. Системы двух линейных уравнений с двумя
переменными.
1. Определение системы уравнений с двумя переменными
Напомним, что из себя представляет система двух линейных уравнений
с двумя переменными. Это система вида:
Из первого уравнения
в случае если
:
можно получить линейную функцию,
. График данного уравнения – прямая линия.
Bторое линейное уравнение:
условии, что
линия.
, из него также можно получить линейную функцию, при
:
. График данного уравнения – также прямая
Запишем систему в другом виде:
Мы знаем, что множеством решений первого уравнения является множество
точек, лежащих на соответствующей ему прямой, аналогично и для второго
уравнения множество решений – это множество точек на другой прямой. Две
прямые могут пересекаться – и тогда у системы будет единственное решение,
единственная пара чисел х и у будет удовлетворять одновременно обоим
уравнениям. Это происходит, если
. Две прямые также при некоторых
значениях численных параметров могут быть параллельны, в таком случае
они никогда не пересекутся и не будут иметь ни одной общей точки, значит в
этом случае система не будет иметь решений. Для этого должны выполняться
условия:
и
. Кроме того, две прямые могут совпадать, и тогда
каждая точка будет решением обоих уравнений, а значит система будет
иметь бесчисленное множество решений. Для этого должны выполняться
условия:
и
.
2. Способ подстановки
Пример 1:
На данном уравнении можно продемонстрировать сразу несколько способов
решения систем уравнений.
1 способ – способ подстановки: выразим во втором уравнении х и подставим
полученное выражение в первое уравнение:
Подставим найденное значение у во второе уравнение и найдем значение х:
3. Способ алгебраического сложения
2 способ – способ алгебраического сложения: выполним сложение уравнений:
Из полученного уравнения найдем х:
Теперь вычтем из первого уравнения системы второе:
Таким образом, мы получили решение системы двумя способами, и это решение – точка с координатами (2; 1).
4. Системы уравнений с одним решением
Пример 2:
В данном случае удобнее применить способ алгебраического сложения, вычтем из второго уравнения первое. Получаем:
Найдем значение у:
Подставим значение у во второе уравнение и найдем х:
Ответ: (60; 30).
Пример 3:
В данной системе нет переменных с одинаковыми коэффициентами, но мы
можем их уравнять самостоятельно, для этого выполним преобразования:
Выполним сложение уравнений:
Подставим полученное значение у в первое уравнение и определим значение
х:
Ответ: (-3; -2).
5. Системы, имеющее бесконечное множество или не имеющие решений
Пример 4:
Разделим второе уравнение на два:
Вычтем из первого уравнения второе:
Очевидно, что полученное выражение не зависит от значений переменных
системы и не является верным числовым равенством, значит, система не
имеет решений. В данном случае рекомендуется графически доказать, что система не имеет решений, для этого из уравнений записать линейные функции, построить их и показать, что прямые параллельны.
Пример 5:
Очевидно, что, если разделить второе уравнение на два, получим первое
уравнение:
Мы получили два одинаковых уравнения, значит, чтобы довести решение системы до конца, можем оставить одно:
; это линейное уравнение с
двумя переменными, график его – прямая линия, и оно имеет бесчисленное
множество решений, а значит и система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы записать решения, выразим у:
, таким образом,
дадим ответ: х – любое число,
Графическая иллюстрация (рис. 1):
Рис. 1
6. Подведение итогов урока
Вывод: мы рассмотрели системы двух линейных уравнений с двумя переменными, варианты и способы их решения. Мы вспомнили некоторые термины,
понятия и свойства и решили примеры для закрепления техники.
Домашнее задание.
1. Решите систему тремя способами: сложением, подстановки, графическим:
2 х  5 у  15,

 х  2 у  3;
 х  3 у  2,
6 у  2 х  4;
3х  2 у  5,
3. Решите систему любым способом: 
11х  3 у  39.
2. Сколько решений имеет система: 
Урок 7: Алгебраические дроби. Арифметические операции над
алгебраическими дробями. Основные понятия.
На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С
дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда
необходимо разделить некий объект на несколько частей, например,
разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется
по
части торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием
числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на
неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает
понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими
деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже
познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной
дроби, а также допустимых значений переменных.
1. Определение и примеры алгебраических дробей
Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения.
Определение. Рациональная дробь – дробное выражение вида , где
– многочлены. – числитель, – знаменатель.
Примеры рациональных выражений:
– дробные
выражения;
– целые выражения. В первом выражении, к примеру, в
роли числителя выступает
, а знаменателя –
.
Значение алгебраической дроби, как и любого алгебраического
выражения, зависит от численного значения тех переменных, которые в
него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от
значений переменных и , а во втором только от значения переменной .
2. Вычисление значения алгебраической дроби и две основные задачи на
дроби
Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной
дроби при различных значениях входящих в нее переменных.
Пример 1. Вычислить значение дроби
в)
при а)
, б)
Решение. Подставим значения переменных в указанную дробь: а)
,
,
б)
, в)
– не существует (т. к. на ноль делить нельзя).
Ответ: 3; 1; не существует.
Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление
дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных
переменных.
Определение. Допустимые значения переменных – значения переменных,
при которых выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений
переменных называется ОДЗ или область определения.
3. Допустимые (ОДЗ) и недопустимые значения переменных в дробях с одной
переменной
Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если
знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных
случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно
вычислить.
Пример 2. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла
дробь .
Решение. Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно,
чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недопустимыми
будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет
равняться нулю. Знаменатель дроби
, поэтому решим линейное
уравнение:
.
Следовательно, при значении переменной
дробь не имеет смысла.
Ответ: -5.
Из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений
переменных – знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни
соответствующего уравнения.
Рассмотрим несколько аналогичных примеров.
Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла
дробь
.
Решение.
.
Ответ.
.
Пример 4. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла
дробь
.
Решение.
.
Встречаются и другие формулировки данной задачи – найти область
определения или область допустимых значений выражения (ОДЗ). Это
означает – найти все допустимые значения переменных. В нашем примере –
это все значения, кроме
. Область определения удобно изображать на
числовой оси.
Для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:
Рис. 1.
Таким образом, областью
определения дроби будут все числа, кроме 3.
Ответ. .
Пример 5. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла
дробь
.
Решение.
.
Изобразим полученное решение на числовой оси:
Рис. 2.
Ответ.
.
4. Графическое представление области допустимых (ОДЗ) и недопустимых
значений переменных в дробях
Пример 6. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла
дробь .
Решение.
. Мы получили равенство двух переменных,
приведем числовые примеры:
или
и т. д.
Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:
Рис. 3.
График функции
.
Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область
допустимых значений дроби.
Ответ.
.
5. Случай типа "деление на ноль"
В рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало
деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более
интересная ситуация с делением типа .
Пример 7. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла
дробь
.
Решение.
.
Получается, что дробь не имеет смысла при
. Но можно возразить, что
это не так, потому что:
.
Может показаться, что если конечное выражение равно 8 при
, то и
исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при
.
Однако, если подставить
в исходное выражение, то получим
–
не имеет смысла.
Ответ. .
Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу:
при каких значениях указанная дробь равна нулю?
(дробь равна нулю, когда ее числитель равен
нулю)
. Но необходимо решить исходное уравнение с
дробью, а она не имеет смысла при
, т. к. при этом значении переменной
знаменатель равен нулю. Значит, данное уравнение имеет только один
корень
.
6. Правило нахождения ОДЗ
Таким образом, можем сформулировать точное правило нахождения области
допустимых значений дроби: для нахождения ОДЗ дроби необходимо и
достаточно приравнять ее знаменатель к нулю и найти корни полученного
уравнения.
Мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби при
указанных значениях переменных и нахождение области допустимых
значений дроби.
Рассмотрим теперь еще несколько задач, которые могут возникнуть при
работе с дробями.
7. Разные задачи и выводы
Пример 8. Докажите, что при любых значениях переменной дробь
.
Доказательство. Числитель – число положительное.
.В
итоге, и числитель, и знаменатель – положительные числа, следовательно, и
дробь является положительным числом.
Доказано.
Пример 9. Известно, что
, найти .
Решение. Поделим дробь почленно
.
Сокращать на мы имеем право, с учетом того, что является недопустимым
значением переменной для данной дроби.
Ответ. .
На данном уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с дробями.
На следующем уроке мы рассмотрим основное свойство дроби.
Домашнее задание
1. Запишите рациональную дробь, областью определения которой является:
а) множество
, б) множество
, в) вся числовая ось.
2. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение
дроби
неотрицательно.
3. Найдите область определения выражения . Указание: рассмотреть
отдельно два случая: когда знаменатель нижней дроби равен нулю и когда
знаменатель исходной дроби равен нулю.
Урок 8: Основное свойство алгебраической дроби.
На данном уроке будет рассмотрено основное свойство алгебраической
дроби. Умение правильно и без ошибок применять это свойство является
одним из важнейших базовых умений во всем курсе школьной математики и
будет встречаться не только на протяжении изучения данной темы, но и
практически во всех изучаемых в дальнейшем разделах математики. Ранее
уже было изучено сокращение обыкновенных дробей, а на данном уроке
будет рассмотрено сокращение рациональных дробей. Несмотря на довольно
большое внешнее отличие, существующее между рациональными и
обыкновенными дробями, у них очень много общего, а именно – и
обыкновенным, и рациональным дробям присущи одинаковое основное
свойство и общие правила выполнения арифметических действий. В рамках
урока мы столкнемся с понятиями: сокращение дроби, умножение и деление
числителя и знаменателя на одно и то же выражение – и рассмотрим
примеры.
1. Основное свойство обыкновенной дроби
Вспомним основное свойство обыкновенной дроби: значение дроби не
изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или
разделить на одно и то же отличное от нуля число. Напомним, что деление
числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля число
называется сокращением.
Например:
, при этом значение дробей не изменяется.
Однако зачастую при применении данного свойства многие допускают
стандартные ошибки:
1.
– в приведенном примере допущена ошибка деления
только одного слагаемого из числителя на 2, а не всего числителя.
Правильная последовательность действий выглядит таким
образом:
или
.
2.
– здесь мы видим похожую ошибку, однако, кроме этого
еще в результате деления
получен 0, а не 1, что является еще более частой
и грубой ошибкой.
Теперь необходимо перейти к рассмотрению алгебраической дроби.
Вспомним это понятие из предыдущего урока.
Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение
вида , где
– многочлены. – числитель,
– знаменатель.
Алгебраические дроби являются, в некотором смысле, обобщением
обыкновенных дробей, и над ними можно проводить те же операции, что и
над обыкновенными дробями.
2. Основное свойство алгебраической дроби
Основное свойство алгебраической дроби – и числитель, и знаменатель
дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или
число, отличное от нуля. Это будет тождественное преобразование
алгебраической дроби. Вспомним, что, как и ранее, деление числителя и
знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля выражение
называется сокращением.
Основное свойство алгебраической дроби позволяет сокращать дроби и
приводить их к наименьшему общему знаменателю.
3. Примеры сокращения обыкновенных дробей
Для сокращения обыкновенных дробей мы прибегали к основной теореме
арифметики, разлагали и числитель, и знаменатель на простые множители.
Определение. Простое число – натуральное число, которое делится только на
единицу и само себя. Все остальные натуральные числа называются
составными. 1 не является ни простым, ни составным числом.
Пример 1. а)
, где множители, на которые разложены
числители и знаменатели указанных дробей, являются простыми числами.
Ответ: ; .
4. Примеры сокращения алгебраических дробей
Следовательно, для сокращения дробей необходимо предварительно
разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить
их на общие множители. Т. е. следует владеть методами разложения
многочленов на множители.
Пример 2. Сократить дробь а)
, б)
, в)
.
Решение. а)
. Необходимо заметить, что в числителе
находится полный квадрат, а в знаменателе – разность квадратов. После
сокращения необходимо указать, что
, во избежание деления на ноль.
б)
. В знаменателе выносится общий числовой множитель, что
полезно делать практически в любом случае, когда это возможно.
Аналогично с предыдущим примером указываем, что
.
в)
формально,
. В знаменателе выносим за скобки минус (или,
). Не забываем, что при сокращении
.
Ответ. ; ; .
Теперь приведём пример на приведение к общему знаменателю, делается это
аналогично с обыкновенными дробями.
5. Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю
Пример 3. Привести к общему знаменателю дроби и .
Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя необходимо
найти наименьшее общее кратное (НОК) двух знаменателей, т. е. НОК(3;5).
Иными словами, найти наименьшее число, которое делится на 3 и на 5
одновременно. Очевидно, что это число 15, записать это можно таким
образом: НОК(3;5)=15 – это и будет общий знаменатель указанных дробей.
Чтобы преобразовать знаменатель 3 в 15, его необходимо умножить на 5, а
для преобразования 5 в 15, его необходимо умножить на 3. По основному
свойству алгебраической дроби следует умножить на те же числа и
соответствующие числители указанных дробей.
и
.
Ответ. ; .
Пример 4. Привести к общему знаменателю дроби и .
Решение. Проведем аналогичные предыдущему примеру действия.
Наименьшее общее кратное знаменателей НОК(12;18)=36. Приведем к этому
знаменателю обе дроби:
и
.
Ответ. ; .
6. Сокращение сложных обыкновенных дробей
Теперь рассмотрим примеры, демонстрирующие применение техники
сокращения дробей для их упрощения в более сложных случаях.
Пример 5. Вычислить значение дроби: а)
а)
деления степеней
б)
, б)
, в)
.
. При сокращении пользуемся правилом
.
.
в)
.
7. Сокращение сложных алгебраических дробей
После того, как мы повторили использование основного свойства
обыкновенной дроби, можно перейти к рассмотрению алгебраических
дробей.
Пример 6. Упростить дробь и вычислить при заданных значениях
переменных: а)
;
, б)
;
Решение. При подходе к решению возможен следующий вариант – сразу же
подставить значения переменных и начать расчет дроби, но в таком случае
решение сильно усложняется, и необходимое на его решение время
увеличивается, не говоря уже об опасности ошибиться в сложных
вычислениях. Поэтому удобно сначала упростить выражение в буквенном
виде, а затем уже подставить значения переменных.
а)
. При сокращении на множитель
необходимо проверить, не обращается ли он в ноль в указанных значениях
переменных. При подстановке получаем
, что дает
возможность сокращения на данный множитель.
б)
. В знаменателе выносим
минус, как мы это уже делали в примере 2. При сокращении на
снова
проверяем, не делим ли мы на ноль:
.
Ответ. ; .
8. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Пример 7. Привести к общему знаменателю дроби а)
и
, б)
и , в)
и .
Решение. а) В данном случае подойдем к решению следующим образом: не
будем пользоваться понятием НОК, как во втором примере, а просто
умножим знаменатель первой дроби на знаменатель второй, и наоборот – это
позволит привести дроби к одинаковому знаменателю. Конечно же, не
забываем при этом умножать и числители дробей на такие же выражения.
. В числителе раскрыли скобки, а в знаменателе
воспользовались формулой разности квадратов.
. Аналогичные действия.
Видно, что такой способ позволяет умножить знаменатель и числитель одной
дроби на тот элемент из знаменателя второй дроби, которого не хватает. С
другой дробью проводятся аналогичные действия, и знаменатели приводятся
к общему.
б) Проделаем аналогичные с предыдущим пунктом действия:
. Умножим числитель и знаменатель на тот элемент знаменателя
второй дроби, которого не хватало (в данном случае на весь знаменатель).
. Аналогично.
в)
. В данном случае мы умножили на 3 (множитель, который
присутствует в знаменателе второй дроби и отсутствует в первой).
.
Ответ. а)
;
, б) ; , в)
;
.
На данном уроке мы изучили основное свойство алгебраической дроби и
рассмотрели основные задачи с его использованием. На следующем уроке
мы более подробно разберем приведение дробей к общему знаменателю с
использованием формул сокращенного умножения и метода группировки
при разложении на множители.
Домашнее задание
1. Сократить дробь: а)
2. Привести дробь
, б)
, в)
к знаменателю
3. Найти значение выражения
, если
, г)
.
.
.
Урок 9: Основное свойство алгебраической дроби.
На уроке продолжается тема предыдущего урока и более подробно
рассматриваются методы приведения дробей к общему знаменателю с
использованием основного свойства дроби. Умение приводить дроби к
общему знаменателю является важнейшим для сложения и вычитания
дробей, что будет рассмотрено на дальнейших уроках. Основной упор сделан
на сложные случаи, в которых для приведения дробей к общему знаменателю
требуется умение разложения многочленов на множители и нахождения
наименьшего общего знаменателя для двух многочленов. В ходе изложения
материала приводится большое количество примеров, что позволяет развить
и наработать навыки обращения со сложными дробными выражениями. В
конце урока делается анонс дальнейших тем и демонстрируется пример
вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
1. Приведение к общему знаменателю дробей с численными знаменателями
Вспомним основные понятия, упомянутые в предыдущих уроках, которые
пригодятся нам сегодня.
Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение
вида , где
– многочлены. – числитель, – знаменатель.
Основное свойство алгебраической дроби: и числитель, и знаменатель
дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или
число, отличное от нуля.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Привести дроби и к общему знаменателю.
Решение. Т. к. общим знаменателем дроби является
, то и
приведем эти обе дроби к знаменателю 12. Для этого знаменатель и
числитель первой дроби умножим на 2, а первую дробь оставим без
изменения.
.
Ответ.
и .
Пример 2. Привести дроби
и
к общему знаменателю.
Решение.
– это и будет общий знаменатель дробей. Чтобы его
получить, числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3, а второй
дроби – на 2.
;
.
Ответ.
и
.
Как мы видим, в указанных примерах для приведения дробей к общему
знаменателю необходимо было их умножить на определенные числа, их
удобно называть дополнительные множители.
Определение. Дополнительный множитель – результат деления общего
знаменателя на знаменатель соответствующей дроби. В школе обычно учат
писать их над числителями соответствующих дробей, отделяя от них
своеобразными «палочками» (см. рис. 1), это действительно удобно и
позволяет не забывать, на что следует домножить числитель дроби.
Рис. 1.
Далее мы уже рассмотрим примеры, когда в качестве дополнительных
множителей будут выступать и числа, и буквенные выражения.
2. Приведение к общему знаменателю дробей с буквенными знаменателями
Пример 3. Привести дроби
и к общему знаменателю.
Решение. Знаменатель первой дроби делится на знаменатель второй
дроби , т. е. уже сам по себе является общим знаменателем для дробей.
Следовательно, первую дробь мы оставим без изменений, а для второй дроби
дополнительным множителем будет .
.
Ответ.
и
.
Пример 4. Привести дроби и к общему знаменателю.
Решение. Т. к. у знаменателей дробей нет общих множителей, то для
нахождения общего знаменателя их следует просто перемножить. В таком
случае дополнительным множителем для первой дроби будет знаменатель
второй дроби, аналогично для второй дроби.
;
.
Ответ. и .
На данном примере мы вспомнили удобное правило для нахождения
общего знаменателя для дробей со знаменателями, не имеющими общих
делителей. Это правило как работало для случая обыкновенных дробей, так
же работает для алгебраических и является универсальным для всех случаев
нахождения общего знаменателя, даже если у знаменателей есть общие
делители. Просто в таком случае, применяя это правило, мы найдем не
наименьший общий делитель, что не так оптимально для решения.
Изобразить это правило нахождения общего знаменателя удобно с помощью
рисунка 2.
Рис. 2.
Пример. 5. Привести дроби и
к общему знаменателю.
Решение. Задача полностью аналогична предыдущей, только в качестве
дополнительно множителя для первой дроби выступает уже многочлен
, поэтому поступаем таким же образом.
;
.
Ответ.
и
.
Перейдем теперь к примерам, в которых для нахождения общего знаменателя
необходимо будет знаменатели дробей раскладывать на множители.
Пример 6. Привести дроби
и
к общему знаменателю.
Решение. Рассматривая предыдущие примеры, мы могли убедиться в том, что
для нахождения общего знаменателя у дробей удобно видеть, на какие
множители их знаменатели можно разложить. Если процедура разложения не
проведена еще в условии задачи, то необходимо ее провести при решении.
Это поможет нам находить дополнительные множители для дробей.
В нашем случае видно, что можно разложить на множители (вынести общий
множитель) знаменатель второй дроби:
. Мы провели сокращение и уже получили знаменатель
такой же, как и у первой дроби. Следовательно, задача уже решена.
Ответ.
и
.
Как мы видим, для нахождения общего знаменателя полезны простейшие
действия, такие как разложение на множители, сокращение и все остальные
арифметические действия, кстати, тоже. Т. е. до проведения дополнительных
процедур по приведению дробей к общему знаменателю следует их сначала
упростить, если это возможно.
3. Приведение к общему знаменателю трех дробей с использованием
разложения на множители
Рассмотрим теперь аналогичные примеры, но уже с тремя дробями.
Пример. 7. Привести дроби ,
и
к общему знаменателю.
Решение. У знаменателей каждой из дробей присутствует численный
коэффициент, наименьшим общим кратным для чисел 2, 4 и 6 является число
12. Буквенные множители знаменателей, в свою очередь, являются
делителями выражения . Следовательно, наименьшим общим знаменателем
дробей будет
. Дополнительные множители для числителей дробей
находим, как и ранее: для первой дроби –
, для второй –
, для третьей –
.
;
;
.
Ответ.
и
,
.
Пример 8. Привести дроби
,
и
к общему знаменателю.
Решение. Знаменатель первой дроби можно разложить на
множители
. Мы видим, что он уже содержит в себе
знаменатели двух других дробей в виде множителей, следовательно, для
первой дроби знаменатель менять не нужно, а для двух других найдем
дополнительные множители: вторая дробь –
.
;
Ответ.
,
, третья дробь –
.
и
.
Пример 9. Привести дроби
,
и
к общему знаменателю.
Решение. Очевидно, что основной частью метода приведения к общему
знаменателю здесь будет разложение на множители для дальнейшего поиска
дополнительным множителей. Разложим первый знаменатель методом
группировки множителей:
.
Второй и третий знаменатели раскладываются с вынесением общего
множителя, причем, проделаем это таким образом, чтобы получить в
качестве множителей выражения соответствующие множителям первого
знаменателя, чтобы проще находить затем дополнительные множители.
;
.
Общий знаменатель дробей должен содержать все различные множители,
которые мы нашли, т. е. будет равен:
Дополнительные множители: первая дробь – , вторая дробь –
,
третья дробь
;
;
.
Ответ.
,
и
.
4. Пример на вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Основное внимание на уроке мы уделили сложным случаям нахождения
общих знаменателей у дробей. В дальнейшем это умение пригодится для
проведения простейших операций с дробями, таких как сложение и
вычитание. Рассмотрим один такой пример.
Пример 10. Найдите значение выражения
при
.
Решение. В подобных примерах подстановка числового значения в исходное
выражение не является рациональной, сначала следует проделать все
возможные операции в буквенном виде, т. е. упростить выражение, а уже
затем подставлять числа. В данном случае необходимо вычесть дроби, они
уже с одинаковыми знаменателями, поэтому поступаем, как и в случае
обыкновенных дробей.
.
Сокращение дроби на множитель
мы имеем полное право проводить, т.
к. значение подставляемой в дальнейшем переменной не входит в область
недопустимых значений (см. урок №1). Недопустимым значением
переменной в данном случае является:
.
Ответ. .
На следующих уроках мы более подробно рассмотрим технику сложения и
вычитания алгебраических дробей и убедимся, что она аналогична методам
работы с обыкновенными дробями.
Домашнее задание
1. Привести к общему знаменателю дроби
2. Привести к общему знаменателю дроби
3. Привести к общему знаменателю дроби
и
и
.
.
,
и
.
Урок 10: Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми
знаменателями (более сложные случаи).
Данный урок является логическим продолжением предыдущего, т. к. на
прошлом уроке рассматривалась техника сложения и вычитания
алгебраических дробей, а в рамках сегодняшнего урока будут рассмотрены
более сложные случаи тех же операций над дробями. Дополнительно в
рассматриваемых примерах будет делаться акцент на применение формул
сокращенного умножения и на замену знака множителя на
противоположный. Оказывается, что подобные процедуры могут
существенно помочь при решении сложных примеров на сложение и
вычитание алгебраических дробей.
1. Пример №1 на сложение/вычитание дробей с одинаковыми
знаменателями
Вспомним изученное на прошлом уроке правило сложения и вычитания
алгебраических дробей с одинаковым знаменателем:
Примечательно то, что оно одинаково применимо и для простейших случаев,
рассмотренных ранее, и для более сложных, которые мы сейчас разберем на
примерах.
Пример 1. Сложить и вычесть указанные дроби:
.
Решение. Очевидно, что указанные дроби уже с одинаковым (общим)
знаменателем, и мы можем воспользоваться упомянутым ранее правилом их
сложения/вычитания.
.
Прокомментируем последовательность действий. В процессе применения
правила сложения/вычитания дробей следует помнить, что такой знак, как
минус перед дробью, относится ко всему числителю, и вычитать его
необходимо в скобках. После приведения подобных слагаемых необходимо
попытаться разложить знаменатель и числитель дроби на множители в
надежде сократить на какой-то из них, что мы успешно и проделали. Затем
при удачном стечении обстоятельств дробь сокращается, как в нашем случае,
например, на . При этом стоит помнить, что любые сокращенные элементы
необходимо учесть в области недопустимых значений переменных, так как
они пропадают из дроби, и о них можно забыть. В нашем случае запишем,
что
.
Ответ.
.
2. Пример №2 на сложение/вычитание дробей с одинаковыми
знаменателями
Пример 2. Сложить и вычесть указанные дроби:
.
Решение. В указанном условии неочевидно, одинаковы ли знаменатели у
дробей. Чтобы это проверить, разложим их на множители. При разложении
на множители первого знаменателя
видим, что он
почти такой же, как и у второй дроби, противоположен только знак второго
множителя. Чтобы привести знаменатели к одинаковому виду, вынесем
минус из второго множителя второй дроби, и он окажется перед дробью, так
как знак знаменателя и числителя относятся и ко всей дроби сразу:
.
Знаменатель третьей дроби тоже очень похож на знаменатель первой до
разложения. Поступим с ним аналогично – вынесем минус и разложим на
множители:
.
Все полученные преобразования дробей подставим в исходное условие (знак
перед третьей дробью получится положительным, т. к. «минус на минус дает
плюс»).
.
В числителе воспользовались формулой квадрата разности. После
сокращения учтем, что
.
Ответ.
.
Рассмотрим теперь пример на применение умения складывать дроби с
одинаковыми знаменателями в других целях.
3. Пример на применение сложение/вычитания дробей при доказательстве
положительности выражения
Пример 3. Доказать, что выражение
принимает
положительные значения при всех допустимых значениях переменной.
Решение. Поскольку необходимо исследовать выражение при всех
допустимых значениях переменной, определим эти значения. По уже
известному принципу, это все значения , кроме
.
Следовательно,
. Выполним действия:
.
После приведения подобных слагаемых мы воспользовались формулой
квадрата разности
, далее, т. к.
,
то
. Числитель и знаменатель положительные числа, значит, и
дробь положительна.
Доказано.
На следующих уроках мы поговорим уже о сложении и вычитании
дробей с разными знаменателями, используя похожую на изученную нами
технику.
Домашнее задание
1. Упростить выражение
2. Упростить выражение
3. Упростить выражение
.
.
.
Урок 11: Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными
знаменателями.
На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание
алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как
складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для
этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что
алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы
уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями – одна из наиболее
важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет
встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в
дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания
алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый
ряд типовых примеров.
1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями
Чтобы складывать и вычитать алгебраические дроби с разными
знаменателями, проведём аналогию с обыкновенными дробями и перенесём
её на алгебраические дроби.
Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.
Пример 1. Сложить дроби:
.
Решение:
Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо
привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для
обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК)
знаменателей исходных знаменателей.
Определение
– наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на
числа и .
Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые
множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в
разложение обоих знаменателей.
;
. Тогда в НОК чисел
должны входить две двойки и
две тройки:
.
После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей
найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий
знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).
.
Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель.
Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать
которые мы научились на прошлых уроках.
Получаем:
.
Ответ: .
Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными
знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются
числами.
2. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
Пример 2. Сложить дроби:
.
Решение:
Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко
подобрать общий знаменатель данных дробей:
и дополнительные
множители для каждой из них.
.
Ответ:
.
Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических
дробей с разными знаменателями:
1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий
знаменатель на знаменатель данной дроби).
3. Умножив на полученные множители, привести дроби к общему
знаменателю.
4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания
дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют
буквенные выражения.
Пример 3. Сложить дроби:
.
Решение:
Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то
следует найти общий знаменатель для чисел
. Итоговый общий
знаменатель будет иметь вид:
. Таким образом, решение данного примера
имеет вид:
.
Ответ:
.
Пример 4. Вычесть дроби:
.
Решение:
Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя
разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого
умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать
произведение знаменателей обеих дробей.
.
Ответ:
.
Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием
является нахождение общего знаменателя.
3. Пример вычитания алгебраических дробей с разложением знаменателя на
множители
Рассмотрим более сложный пример.
Пример 5. Упростить:
.
Решение:
При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться
разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить
общий знаменатель).
В данном конкретном случае:
;
.
Тогда легко определить общий знаменатель:
.
Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:
.
Ответ:
.
4. Примеры на закрепление правил сложения и вычитания алгебраических
дробей с разными знаменателями
Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными
знаменателями.
Пример 6. Упростить:
Решение:
.
.
Ответ:
.
Пример 7. Упростить:
Решение:
.
.
Ответ:
.
5. Пример сложения трёх алгебраических дробей с разными знаменателями
Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби
(ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей
остаются такими же).
Пример 8. Упростить:
Решение:
.
.
Ответ:
.
6. Пример вычитания алгебраических дробей с предварительным
сокращением
Теперь рассмотрим пример, в котором необходимо сначала сократить дроби,
а затем уже их складывать (вычитать).
Пример 9. Упростить:
Решение:
Рассмотрим первую дробь:
.
. При этом следует указать, что
.
Проведём аналогичные преобразования со второй дробью:
. При этом следует указать, что
.
Таким образом, получаем следующее преобразование:
Ответ:
.
На данном уроке мы рассмотрели правила сложения и вычитания дробей
с разными знаменателями, а также решили типовые несложные задачи с
использованием этих правил. В дальнейшем мы рассмотрим более сложные
примеры задач на эти правила.
Домашнее задание
1. Упростить выражение: а)
, б)
, в)
2. Вычислить значение выражения
3. Упростить выражение
при
.
.
.
Урок 12: Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи).
Урок является продолжением предыдущего занятия, и на нем более
глубоко и подробно рассматривается техника сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. В начале урока приводится
несколько примеров на повторение сложения и вычитания дробей в простых
случаях, а затем большое внимание уделяется задачам повышенной сложности. В них рассматривается применение умения раскладывать многочлены на
множители различными способами для нахождения наименьшего общего
знаменателя дробей.
1. Повторение сложения/вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями
На уроке мы продолжим тему предыдущего урока и будем рассматривать задачу сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, т.е. упрощение выражений вида:
, где
. В основном, задача сводится к нахождению наименьшего общего знаменателя дробей, а это
делается, как мы уже знаем, по аналогии с обыкновенными дробями. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Выполнить действие
.
Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей воспользуемся основной теоремой арифметики и разложим знаменатели на простые
множители.
и
. Следовательно,
и
.
Вспомним, что наименьший общий знаменатель должен содержать множители всех знаменателей, причем так, чтобы множителей было минимально возможное количество. В нашем случае необходимы множители
. Следовательно, общий знаменатель
, а дополнительные множители: к первой дроби
, ко второй дроби
.
.
Как видно из решения, удобно даже не перемножать простые множители в
знаменателе до получения числителя общей дроби, чтобы потом было легче
сокращать дробь.
Ответ.
.
2. Примеры на сложение/вычитание двух алгебраических дробей с разными
знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители
Теперь рассмотрим аналогичные операции с алгебраическими дробями. Не
сложно догадаться, что самой трудоемкой частью сложения или вычитания
дробей с разными знаменателями является нахождение наименьшего общего
знаменателя. Если в случае обыкновенных дробей можно было пользоваться
разложением чисел на множители, то в алгебраических дробях на множители
необходимо будет раскладывать многочлены. Для этого существует несколько известных нам методов: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения и метода группировки слагаемых. Рассмотрим
более подробно их применение для решения сложных задач на сложение и
вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.
Пример 2. Выполнить действия
.
Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя и дополнительных множителей разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель
уже представляет собой простое выражение, а второй раскладывается по
формуле разности квадратов:
.
Как видно по ходу решения, в качестве наименьшего общего знаменателя выбран знаменатель второй дроби, который делится и на первый знаменатель и
сам на себя. Дополнительный множитель в таком случае пригодился только
для первой дроби. Во втором переходе можно обратить внимание на внесе-
ние минуса перед дробью в один из множителей знаменателя для того, чтобы
сделать знаменатели дробей максимально похожими друга на друга; такой
прием нам уже знаком из темы «сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (более сложные случаи)» (урок №5).
Ответ.
.
Пример 3. Выполнить действия
.
Решение. Поступим аналогично с предыдущим примером и разложим по
ходу решения знаменатель второй дроби на множители по формуле разности
квадратов, перед этим внесем минус перед дробью в знаменатель для того,
чтобы он получил более удобный вид:
.
Ответ.
.
3. Примеры на сложение/вычитание трех алгебраических дробей с разными
знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители
Рассмотрим теперь более сложные примеры на сложение/вычитание трех
дробей.
Пример 4. Выполнить действия
.
Решение. Как и ранее, разложим на множители каждый знаменатель, найдем
наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.
.
Как и ранее, для приведения выражения к удобному виду, вынесем минус из
знаменателя второй дроби. Поскольку в выражении присутствует три дроби,
чтобы не запутаться, выпишем наименьший общий знаменатель отдельно, составив его из множителей, входящих во все знаменатели:
. Исходя из него, укажем и дополнительные множители для каждой из дробей, как
те множители, которых не хватает знаменателю, чтобы стать общим.
.
Последний переход (раскрывание скобок) не принципиален, и можно было
указать в ответ выражение, записанное предпоследним.
Ответ.
.
Пример 5. Выполнить действия
.
Решение. Поступаем уже известным для нас образом: раскрываем знаменатели на множители, при необходимости меняем знаки в знаменателях дробей,
находим наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.
.
Наименьший общий знаменатель:
.
.
Можно заметить, что выражение в числителе
представимо в
виде
по формуле квадрата суммы, аналогично выражение
.
В конце проведено сокращение на
, значит необходимо обязательно записать область недопустимых значений переменной, связанную с этим сокращением:
и
являются недопустимыми
значениями переменных. Во всех остальных случаях выражение равно .
Ответ. .
На следующем уроке мы подробно остановимся на технике разложения на
множители знаменателей дробей для их последующего сложения и вычитания. Эта техника чрезвычайно важна, т.к. мы видим, что она активно используется во всех рассмотренных ранее операциях с дробями.
Домашнее задание
1. Выполнить действия
2. Выполнить действия
.
.
3. Доказать тождество:
.
Урок 13: Разложение знаменателя на множители при сложении и
вычитании алгебраических дробей
На данном уроке будут рассмотрены различные способы разложения
знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических
дробей. Фактически, мы вспомним те методы, которые уже были изучены
ранее. Это и вынесение общего множителя за скобки, и группировка
слагаемых, и применение формул сокращённого умножения, а также
выделение полного квадрата. Все эти методы применяются при сложении и
вычитании алгебраических дробей с разными знаменателями. В рамках урока
мы вспомним все вышеперечисленные правила, а также разберём примеры на
применение этих правил.
1. Общие правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями,
примеры
Напомним, что алгебраической дробью называется выражение , где
многочлены. А многочлены можно и нужно уметь раскладывать на
множители. Предположим, нам необходимо сложить или вычесть две
–
алгебраические дроби:
.
Каков алгоритм наших действий?
1. Сократить или упростить каждую из дробей.
2. Найти наименьший общий знаменатель двух дробей.
Эти действия требуют разложения на множители многочленов
.
Рассмотрим несколько примеров на сокращение (упрощение) дробей.
Пример 1. Упростить:
.
Решение:
Первое, что необходимо попытаться сделать при сокращении, – вынести
общий множитель за скобки.
В нашем случае и в числителе, и в знаменателе есть множители, которые
можно вынести за скобки.
.
Затем сократим общие множители числителя и знаменателя. Получим:
есть:
Ответ:
. При этом учтём, что знаменатель дроби не может равняться . То
.
.
Пример 2. Упростить:
Решение:
.
По схеме решения предыдущего примера попытаемся вынести за скобки
общий множитель. В числителе это сделать нельзя, а в знаменателе можно
вынести за скобку .
Если не получается вынести общий множитель, нужно попробовать
воспользоваться формулами сокращённого умножения. Действительно, в
числителе стоит полный квадрат разности. Получаем:
.
Мы видим похожие скобки в числителе и знаменателе.
Однако они отличаются знаком.
Для этого воспользуемся равенством:
. Отсюда
получаем:
. Получаем:
.
Ответ:
.
Рассмотрим теперь пример, в котором необходимо упростить разность двух
дробей.
Пример 3. Упростить:
.
Решение:
Поскольку в знаменателе первой дроби стоит разность кубов, воспользуемся
формулой сокращённой умножения. Получаем:
.
Ответ: .
2. Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки
Давайте вспомним: что же такое многочлен? Многочлен – это сумма
одночленов. А одночлен – это произведение степеней переменных и чисел.
Теперь перечислим и разберём примеры разложения многочленов на
множители.
Способ 1. Вынесение общего множителя за скобки.
Пример 4. Разложить на множители:
.
Пример 5. Разложить на множители:
.
В последнем примере общий множитель – двучлен.
3. Разложение на множители: группировка слагаемых
Способ 2. Группировка.
Пример 6. Разложить на множители:
.
Решение:
Вынести общий множитель за скобки в этом примере не удаётся. В этом
случае необходимо попробовать сгруппировать слагаемые, в которых есть
общие множители.
В этом примере удобно сгруппировать одночлены, содержащие и .
Получаем:
. Мы видим,
что выражения в скобках практически одинаковы с точностью до знака.
Получаем:
.
Ответ:
.
4. Разложение на множители: формулы сокращённого умножения
Способ 3. Формулы сокращенного умножения.
Перечислим основные формулы сокращённого умножения:
1.
– разность квадратов;
2.
– квадрат суммы (разности);
3.
– разность кубов (выражение во второй скобке
называется неполным квадратом суммы);
– сумма кубов (выражение во второй скобке
называется неполным квадратом разности).
Надо не только запомнить эти формулы, но и уметь находить и применять их
в реальных задачах.
Пример 7. Разложить на
множители:
.
Пример 8. Разложить на множители:
.
Решение:
Здесь напрашивается формула квадрата разности. Однако возникает вопрос:
как применить эту формулу. Проще всего выделить квадраты, а затем уже
найти удвоенное произведение. В данном
примере:
. То есть, в роли
.
Получаем:
.
Ответ:
.
5. Разложение на множители: метод выделения полного квадрата
Не стоит забывать, что в чистом виде данные методы применяются редко.
Чаще используются комбинированные методы.
Далее мы рассмотрим ещё один немаловажный приём разложения на
множители.
Способ 4. Выделение полного квадрата.
Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.
Пример 9. Разложить на множители:
.
Решение:
Выделение полного квадрата обычно происходит по первым двум
слагаемым. Действительно, квадрат первого – – у нас уже есть. Значит,
второе слагаемое должно представлять собой удвоенное произведение
первого выражения на второе. То есть:
. Значит, если в роли из
формулы квадрата разности выступает , то в роли должна выступать . Для
применения этой формулы нам не хватает . Если чего-то не хватает, то
можно добавить это выражение и вычесть, чтобы не менять значение
выражения. Получаем:
Ответ:
.
В заключение рассмотрим пример сложения дробей с применением данного
метода разложения на множители.
Пример 10. Упростить:
.
Решение:
Воспользуемся разложением на множители первого знаменателя из
предыдущего примера. Получим:
.
При этом необходимо учесть ОДЗ данного выражения, а именно:
знаменатель дроби не может равняться . Поэтому:
.
Ответ:
.
На данном уроке мы рассмотрели способы разложения знаменателя на
множители при сложении и вычитании алгебраических дробей, а также
применение этих способов для конкретных примеров.
Домашнее задание
1. Разложить на множители: а)
, б)
.
2. Упростить выражение:
3. Построить график функции:
.
.
Урок 14: Задачи на сложение и вычитание дробей
На этом уроке мы продолжим рассматривать простейшие операции с
алгебраическими дробями – их сложение и вычитание. Сегодня мы сделаем
основной акцент на рассмотрении примеров, в которых наиболее важной
частью решения будет разложение знаменателя на множители всеми
способами, которые нам известны: с вынесением общего множителя,
методом группировки, выделением полного квадрата, с помощью формул
сокращенного умножения. В ходе урока будет рассмотрено несколько
достаточно сложных задач на дроби.
1. Общий вид рассматриваемых примеров
На уроке рассмотрим и обобщим все случаи сложения и вычитания дробей: с
одинаковыми и с разными знаменателями. В общем виде будем решать
задачи вида:
.
Ранее мы уже видели, что при сложении или вычитании алгебраических
дробей одной из важнейших операций является разложение знаменателей на
множители. Аналогичная процедура проделывается и в случае
обыкновенных дробей. Еще раз вспомним, каким образом необходимо
работать с обыкновенными дробями.
2. Пример на сложение/вычитание обыкновенных дробей
Пример 1. Вычислить
.
Решение. Воспользуемся, как и ранее, основной теоремой арифметики о том,
что любое число можно разложить на простые
множители:
.
Определим наименьшее общее кратное
знаменателей:
– это и будет общий
знаменатель дробей, и, исходя из него, определим дополнительные
множители для каждой из дробей: для первой дроби
, для
второй дроби
, для третьей дроби
.
.
Ответ. .
3. Методы, которые применяются для сложения/вычитания алгебраических
дробей, и пример на упрощение сложного выражения
В указанном примере мы пользовались основной теоремой арифметики для
разложения чисел на множители. Далее, когда в роли знаменателей будут
выступать многочлены, их необходимо будет раскладывать на множители
следующими известными нам методами: вынесение общего множителя,
метод группировки, выделение полного квадрата, использование формул
сокращенного умножения.
Пример 2. Сложить и вычесть дроби
.
Решение. Знаменатели всех трех дробей являются сложными выражениями,
которые необходимо разложить на множители, затем найти для них
наименьший общий знаменатель и указать дополнительные множители для
каждой из дробей. Проделаем все эти действия отдельно, а затем подставим
результаты в исходное выражение.
В первом знаменателе вынесем общий
множитель:
– после вынесения
общего множителя можно заметить, что выражение в скобках сворачивается
по формуле квадрата суммы.
Во втором знаменателе вынесем общий
множитель:
– после вынесения общего
множителя применяем формулу разности квадратов.
В третьем знаменателе выносим общий множитель:
.
После разложения на множители третьего знаменателя можно заметить, что
во втором знаменателе можно выделить множитель
для более
удобного поиска наименьшего общего знаменателя дробей, сделаем мы это с
помощью вынесения минуса за скобки
, во
второй скобке мы поменяли местами слагаемые для более удобной формы
записи.
Определим наименьший общий знаменатель дробей как выражение, которое
делится на все знаменатели одновременно, он будет равен:
.
Укажем дополнительные множители: для первой дроби
,
для второй дроби
– вынесенный в знаменателе минус
не учитываем, т. к. запишем его ко всей дроби, для третьей
дроби
.
Теперь выполним действия с дробями, не забыв поменять знак перед второй
дробью:
.
На последнем этапе решения мы привели подобные слагаемые и записали их
в порядке убывания степеней при переменной .
Ответ.
.
4. Примеры на сокращение дробей до их сложения или вычитания
На приведенном примере мы еще раз, как и на прошлых уроках,
продемонстрировали алгоритм сложения/вычитания дробей, который
заключается в следующем: разложить на множители знаменатели дробей,
найти наименьший общий знаменатель, дополнительные множители,
выполнить процедуру сложения/вычитания и, по возможности, упростить
выражение и произвести сокращение. Этим алгоритмом мы будем
пользоваться и в дальнейшем. Рассмотрим теперь более простые примеры.
Пример 3. Вычесть дроби
.
Решение. В данном примере важно увидеть возможность сократить первую
дробь до приведения ее к общему знаменателю со второй дробью. Для этого
числитель и знаменатель первой дроби разложим на множители.
Числитель:
– в первом
действии разложили часть выражения по формуле разности квадратов, а во
втором – вынесли общий множитель
.
Знаменатель:
– в первом
действии разложили часть выражения по формуле квадрата разности, а во
втором – вынесли общий множитель
. Подставим полученные
числитель и знаменатель в исходное выражение и сократим первую дробь на
общий множитель
:
.
Ответ:
.
Пример 4. Выполнить действия
.
Решение. В этом примере, как и предыдущем, важно заметить и осуществить
сокращение дроби до выполнения действий. Разложим числитель и
знаменатель на множители.
Числитель:
– по формуле разности кубов.
Знаменатель:
– вынесли общий множитель. Подставим все в
исходное выражение и сократим дробь на
:
.
После сокращения укажем область допустимых значений переменной
.
Ответ.
.
На сегодняшнем уроке мы еще раз подчеркнули важность умения
раскладывать многочлены на множители при сложении и вычитании
алгебраических дробей. Эта техника окажется полезной и на дальнейших
уроках.
Домашнее задание
1. Выполнить действия
2. Выполнить действия
3. Выполнить действия
.
.
.
Урок 15: Контрольная работа.
1 вариант
1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
2 x
2
3x  1
8 x
x 1
1

а)
;
;
б)
;
;
в)
;
x4
x
3x  1
4 x  16
4x  1 x  4
x3
1
 .
2
x  49 x
2. Сократите дробь:
3x 2  9 x
5 x 4  10 x 3 a 2  4a  4
2x3 y 3
x 2  2 xy  x
y 4  16
а)
;
;
б)
;
;
в)
;
.
3x
10 x 2 y 2
2 y 2  xy  y
10 x 5
3 y 2  12
4  a2
3. Выполнить действия:
8x 5x
2a  1 3a  2
5x  3 y 2 x 2  4 y 2
а)
;
;
б)
;



3y 3y
a  4 2(a  4)
xy
x
a3
a2
a2


;
2
5a
a  2a 5a  10
2x  1
8
2x  1
3
a 1
 2
 2
 2
в) 2
;
.
3a  3 2a  4a  2
x  6x  9 x  9 x  6x  9
4.Доказать, что значение выражения не зависит от переменной:
7x  5 6x  8
y 2  3y  2
9
2y2
x 2  2 xy


а)
;
б)
;
в)

.
3 x
3 x
3y  6
y2  4
2 y 2  xy x 2  4 y 2
2 вариант
1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
6 x
4
4x  1
7x  9
а)
;
;
б)
;
;
x3
x
4x  1
15  3 x
x5
1
 .
2
x  25 x
в)
2
3x  1

;
3x  1 x  4
2. Сократите дробь:
3x 2  12 x
9  a2
4 x 3  36
14 x 5 y 3
25 y 4  4
3x 2  xy  x
а)
;
;
б)
;
;
в)
;
.
3x
y 2  3xy  y
x 6  81
49 x 3 y 5
25 y 2  10 a 2  6a  9
3. Выполнить действия:
9b 2b
x  1 1 3( x  1)
2a  5b 6a 2  5b 2
x4
x 1

 
а)
;
;
б)
;
;


7a 7a
2x  6 x 2x 2  6x
b
ab
2( x  3) x  3
2a  3
5
2a  3
m2
1
 2
 2

в) 2
;
.
2
a  4a  4 a  4 a  4a  4
4m  16m  16 3m  6
4.Доказать, что значение выражения не зависит от переменной:
2 y  7 y  11
y2  2y  3
4
2y2
2 xy  x 2

а)
;
б)
;
в)


.
4 y
4 y
2y  2
y2 1
xy  2 y 2 x 2  4 y 2
Примечание: данная контрольная работа разноуровневая, в
каждом номере (№1,2,3 или 4) своего варианта нужно сделать только
одно из заданий под буквой а), б) или в). Задания под буквой а)
оцениваются в 1 балл; под буквой б) – 2 балла; под буквой в) – 3 балла.
Каждый из вас может выбрать себе задание по силам. Удачи!