Lekciya38

Лекция 38
Разложение волновой функции задачи рассеяния по сферическим функциям. S-матрица.
Фазовая теория рассеяния
Наряду с теорией рассеяния, изложенной в предыдущей лекции, часто используется другой вариант теории, именуемый фазовой теорией рассеяния. Основная идея этой теории заключается в разложении волновой функции задачи рассеяния по состояниям с определенным моментам (по сферическим функциям). В результате и для амплитуды рассеяния получается разложение на так называемые парциальные амплитуды, знание которых позволяет свести вычисление амплитуды рассеяния к суммированию бесконечного ряда. Изложим подробно эту теорию
рассеяния.
Пусть рассеяние частиц происходит на сферически симметричном потенциале, и частицы
падают на потенциал вдоль оси z . Тогда на больших расстояниях от рассеивающего центра
волновая функция задачи рассеяния имеет вид «плоской волны плюс расходящейся сферической волны»:
f ( )eikr
 (r ,  )  e 
r
ikz
(1)
где f ( ) - амплитуда рассеяния. Разложим функцию (1) по сферическим функциям. При этом
заметим, что благодаря выбранной геометрии задачи (падение частиц вдоль оси z ) угол рассеяния  в формуле (1) есть полярный угол сферической системы координат, а от азимутального
угла  в формуле (1) вообще ничего не зависит. Поэтому, фактически, разложение будет производится по функциям Yl 0 , которые с точностью до множителя совпадают с полиномами Лежандра от cos .
Начнем с разложения функции e ikz . Можно показать, что разложение функции
eikz  eikr cos по полиномам Лежандра имеет вид:
ikr cos
e e
ikz

  i l (2l  1)
l 0
sin  kr  l / 2 
Pl (cos  )
kr
(2)
С другой стороны, общее решение стационарного уравнения Шредингера в поле с центральной
симметрии, не зависящее от переменной  , на больших расстояниях от области действия потенциала может быть записано в виде

(r , )   Cl
l 0
sin  kr   l  l / 2 
Pl (cos  )
kr
1
(3)
где Cl - коэффициенты разложения,  l - некоторые действительные фазовые сдвиги, возникающие из-за взаимодействия рассеивающихся частиц с потенциалом (поскольку в разложении
решения (2) свободного уравнения Шредингера эти фазовые сдвиги отсутствуют). Величины  l
называются фазами рассеяния.
Амплитуду рассеяния можно выразить через фазы рассеяния. Для этого найдем разность
(r , )  eikz на больших расстояниях от области действия потенциала. С одно стороны, эта раз-
ность есть
f ( )eikr
r
(4)
С другой стороны, эта разность определяется разностью формул (2), (3), из которых должна,
следовательно, выпасть сходящаяся сферическая волна e  ikr / r . Поэтому, вычитая (2) из (3)
находим, что
Cl  i l (2l  1)ei l
(5)
Подставляя теперь коэффициенты Cl (5) в формулу (3) и вычитая (2) из (3) находим амплитуду рассеяния
f ( ) 
1 
1 
2 i l


(2
l

1)
e

1
P
(cos

)


 (2l  1)  Sl  1 Pl (cos  )

 l
2ik l 0
2ik l 0
(6)
где введено обозначение Sl  e 2i l . Возводя формулу (6) по модулю в квадрат, находим дифференциальное сечение упругого рассеяния
d
1
 2
d  4k

 (2l  1) e2il 1 Pl (cos )
2
(7)
l 0
А интегрируя формулу (7) по углам с использованием ортогональности полиномов Лежандра –
формулу для полного сечения рассеяния

4
k2

 (2l  1) sin
l 0
2
l
(8)
На основе формул (6), (8) иногда вводят парциальные амплитуды рассеяния f l и парциальные сечения рассеяния  l . Эти величины определяются как
fl 


1
1 2i l
e 1
 Sl  1 
2ik
2ik
 l  4 (2l  1) f l
2
и определяют амплитуду и сечение рассеяния согласно соотношениям
2
(9)
(10)

f ( )   (2l  1) f l Pl (cos  )
(11)
l 0

   l
(12)
l 0
Из формул (7), (8) следует, что дифференциальное и полное сечения рассеяния в заданном поле сил выражаются через совокупность фаз рассеяния  l (число которых счетно:  0 , 1 ,
 2 , …, но, вообще говоря, бесконечно). Следовательно, для вычисления сечения рассеяния
необходимо найти радиальные волновые функции частицы в силовом поле для всех моментов l .
Рассматривая асимптотику этих функций на больших расстояниях от силового центра, можно
найти фазы рассеяния  0 , 1 ,  2 , …, а затем по формулам (7), (8) – дифференциальное и полное
сечения рассеяния.
Практическая ценность формул фазовой теории рассеяния для эффективного и полного
сечения тем выше, чем меньшее число членов ряда играет существенную роль. Докажем, что
для малых энергий рассеивающихся частиц это число невелико. Основная идея этого доказательства заключается в том, что частицы с большим моментом движутся в эффективном потенциале
U eff (r )  U (r ) 
l (l  1)
2m r 2
2
(13)
причем если U ( r ) достаточно быстро спадает с расстоянием, то для достаточно больших моментов и малых энергий центробежный потенциал (второе слагаемое в (13)) может «не пустить»
рассеивающиеся частицы в область действия потенциала (в области потенциала могут оказаться
только малые «хвосты» волновых функций). Поэтому, фактически частицы с большими моментами не будут «чувствовать» потенциал, следовательно, не будут рассеиваться, следовательно,
фазы рассеяния с такими моментами будут равны нулю и не дадут вклад в амплитуду и сечение
рассеяния.
Пусть R - радиус действия потенциала. Частицы с моментом l будут «чувствовать» потенциал, если точка остановки классического движения в центробежном потенциале окажется
больше R . Эта точка находится из условия
l (l  1)
E
2m r 2
2
отсюда находим
3
(14)
l
k
r
(15)
Отсюда следует, что для фиксированной энергии потенциал будут «чувствовать» частицы с моментами l  kR . Частицы с большими моментами будут иметь малые фазы рассеяния и не давать вклад в сечение. Поэтому фазовая теория рассеяния играет важную роль в исследовании
рассеяния не слищком быстрых частиц. Для быстрых частиц ( kR
1 ) в суммах (6), (12) необхо-
димо учитывать множество слагаемых и потому возможности фазовой теории снижаются.
В частности, если частицы медленные ( kR
1 ) необходимо учитывать только одно сла-
гаемое с моментом, равным нулю (или, как говорят, учитывать только s-рассеяние). В этом случае, как это следует из формулы (7) дифференциальное сечение будет равно
d sin 2  0

d
k2
(16)
Из формулы (16) следует, что дифференциальное сечение рассеяние медленных частиц не зависит от угла рассеяния (является изотропным). При увеличении энергии частиц «подключается»
p-рассеяние (т.е. в формуле (7) нужно учитывать первое и второе, отвечающее l  1, слагаемое),
а сечение зависит от угла как a  b cos 
2
(поскольку первый полином Лежандра P1 (cos) есть
cos ). При увеличении энергии частиц начинают играть роль фазы рассеяния более высокого
порядка, и сечение становится все более асимметричным.
Введем теперь важнейшее в квантовом описании рассеяния понятие S -оператора или S матрицы. Впервые этот оператор был введен В.Гайзенбергом в 1943 г. Асимптотический вид
волновой функции задачи рассеяния (1) можно записать в следующем виде, не «привязанном»
ни к какой системе координат
  eikrnn 
f (n, n)eikr
r
(17)
где n и n - единичные векторы в направлении падения и рассеяния частиц соответственно.
Любая линейная комбинация функций (17) с различными векторами падения частиц n описывает также некоторый процесс рассеяния. Умножив функцию (17) на произвольные коэффициенты F (n ) и проинтегрировав по всем направлениям вектора n (элемент телесного угла d ),
получим
ikrnn
 F ( n )e d  
eikr
r
 f (n, n) F (n)d 
4
(17)
Поскольку расстояние r очень велико, экспонента в первом слагаемом является сильно осциллирцющей функцией, и потому значение интеграла определяется только точками n  n . Поэтому
F (n)
eikr
eikr eikr

 F (n )

kr
kr
r

f (n, n)
F (n )d 
2 i
(18)
Перепишем формулу (18) в операторном виде, объединив второе и третье слагаемые
eikr ˆ
eikr
F (n)
 SF (n)
r
r
(19)
где буквой Ŝ обозначен оператор
Sˆ  1  2ikfˆ
(20)
а fˆ - следующий интегральный оператор
ˆ (n)  f (n , n) F (n )d 
fF
 4
(21)
Оператор Ŝ называется оператором рассеяния, или матрицей рассеяния или просто S оператором или S -матрицей. Смысл S -оператора следует из формулы (19): если направить на
рассеивающий центр сходящуюся сферическую волну с какой-то угловой амплитудой F (n) ,
которой определяется поток частиц, падающих на рассеивающий центр под разными углами
(первое слагаемое в (19)), то после рассеяния мы будем иметь расходящуюся сферическую волну, причем ее угловая амплитуда будет зависеть от амплитуды падающих частиц и собственно
рассеяния. Ясно, что зависимость амплитуды рассеянной волны от амплитуды падающей – линейна, и может быть, следовательно записана как результат действия некоторого оператора на
амплитуду падающей волны
ˆ (n)
SF
(22)
где оператор Ŝ зависит только от рассеяния, или, другими словами, от взаимодействия рассевающихся частиц и рассеивателя, но не зависит от волновой функции падающих частиц. Это и
есть S -оператор. Таким образом, S -оператор – это оператор, переводящий амплитуду падающей волны в амплитуду рассеянной.
По закону сохранения числа частиц полное количество частиц, пересекающих сферу
большого радиуса в падающей волне и рассеянной волне – одинаково. Это значит, что падающая и рассеянная волна имеют одинаковую нормировку:
ˆ , SF
ˆ    Sˆ  SF
ˆ ,F
 F , F    SF
5
(23)
Поскольку равенство имеет место для любой амплитудной функции F , из него следует условие, которому удовлетворяет S -оператор
Sˆ  Sˆ  1
(24)
Таким образом S -оператор является унитарным оператором. Подчеркнем, что условие унитарности S -оператора является следствием сохранения числа частиц: если бы в области действия
потенциала имело бы место рождение или поглощение частиц, то условие унитарности (24)
нарушалось бы. (Отметим, условие унитарности S -оператора тесно связано с эрмитовостью гамильтониана рассеивающих частиц. В различных разделах теоретической физики, в которых
приходится иметь дело с поглощением волн или частиц, например, в оптике, ядерной физике и
др., часто вводят потенциалы, несохраняющие число частиц – это так называемые оптические
потенциалы. Эти потенциалы являются комплексными и, следовательно, приводят к неэримитовости гамильтониана).
Как отмечалось выше, S -оператор зависит от взаимодействия рассевающихся частиц и
рассеивателя. Если потенциальная энергия рассеивающихся частиц и рассеивателя сферически
симметрична, S -оператор коммутирует с оператором орбитального момента. Это связано с тем,
что потенциал в этом случае не будет изменять момент падающих частиц (в центральносимметричном поле орбитальный момент сохраняется). Или, другими словами, матрица, отвечающая
S -оператору в l -представлении ( S -матрица), будет диагональной, причем на главной диагонали в матрице рассеяния, будут размещаться собственные значения S -оператора. Из унитарности
S -оператора следует, что все его собственные значения имеют квадраты модулей, равные единице, и, следовательно, могут быть представлены в виде e 2il , где  l - некоторые действительные числа.
Легко видеть, что эти числа совпадают с фазовыми сдвигами радиальных волновых
функций (с фазами рассеяния). Действительно, если в качестве амплитудной функции F (n ) выбрать полином Лежандра Pl (cos  ) (при этом F (n )  Pl ( cos  )  (1)l Pl (cos  ) ), то волновая
функция рассеянной волны, с одной стороны, имеет амплитуду
ˆ (cos )
SP
l
(25)
а с другой, согласно формулам (3), (6) для волновой функции задачи рассеяния имеет следующий вид
e2i l Pl (cos  )
6
(26)
где  l - фазы рассеяния. Из сравнения (25), (26) заключаем, что диагональные матричные элементы матрицы рассеяния определяются фазами рассеяния. Таким образом, матрица рассеяния в
l -представлении имеет вид
 e2i 0

0
Sˆ  
 0

 ...
0
e
2 i1
0
...
0
0
e2i 2
...
где  0 , 1 ,  2 , … - фазы рассеяния с моментами 0, 1, 2, …
7
... 

... 
... 

... 
(27)