К вопросу кинетики роста, размножения и гибели

К ВОПРОСУ КИНЕТИКИ РОСТА, РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ
МИКРООРГАНИЗМОВ
Г.Б. Пищиков, Н.В. Пеньков
Синхронное деление клеток. Согласно [1] в системе на некотором отрезке времени
можно создать такие условия, когда клетки будут делиться синхронно. В этом случае
имеют место следующие закономерности:
dM
= μ(t )M , M (t ) = M 0 2 τ ; N(t ) = N 0 2 E (τ ) ; M (t ) N(t ) = x 0 2 τ − E (τ ) , (1)
dt
где M(t ) и N(t ) - масса и число клеток микроорганизмов в момент времени t; M 0 и N 0 –
t
масса и число клеток микроорганизмов в начальный момент времени; τ =
1
μ(τ)dτ ;
ln 2 ∫0
μ(τ) - удельная скорость роста клетки; E(τ ) - целая часть от τ , т.е. функция E(τ ) , равная
наибольшему целому числу, не превосходящему τ . Так E(τ) = 0 при 0 ≤ τ < 1 , E(τ ) = 1
при τ = 1 + 0 и E(τ) = 0 при τ = 1 − 0 .
Очевидно, что x (t ) = x 2 τ − E (τ ) - периодическая функция во времени с периодом
0
τ = 1 , где x (t ) - масса материнской клетки в момент времени t.
Ранее [2-12] при построении математической модели процесса роста, размножения
и гибели клеток нами было учтено, что популяция микроорганизмов состоит из громадного числа клеток, в общем случае асинхронно делящихся и растущих с некоторой индивидуальной скоростью в соответствии с их возрастом, со случайным изменением концентрации компонентов и метаболизма в ближайшем окружении отдельной клетки; каждая
клетка рассматривается как миниатюрный биореактор идеального смешения с переменным объемом, в котором непрерывно перерабатываются питательные вещества и синтезируются новые необходимые для жизнедеятельности микроорганизма компоненты. В
указанных работах рассматривается размножение клеток почкованием и делением, учитывая, что процесс микробиологического синтеза может лимитироваться как переносом
питательных веществ к поверхности клетки, так и биохимическими превращениями
внутри самой клетки.
Итак, пусть f (x , t ) - плотность функции распределения (дифференциальная функция распределения) числа живых (способных к росту и размножению) микроорганизмов
в момент времени t по массам х в единице объема системы; f p (x, t ) - плотность функции
распределения числа мертвых (не способных к росту и делению) клеток по массам х в
2x 0
единице объема системы в момент времени t; N =
∫ f (x, t )dx
x0
- число живых клеток в
единице объема биореактора в момент времени t; Г(x , t ) - коэффициент смертности.
С учетом вышеизложенного кинетические уравнения, описывающие процесс роста, размножения и гибели микроорганизмов наиболее просто формулируются для свободных пространственно-однородных систем, когда клетки равномерно распределены по
объему.
В этом случае, согласно [10], получим следующие кинетические уравнения, описывающие рассматриваемый процесс:
∂ ⎡
∂
∂f
⎤
+ NГ(x, t ) +
Uf −
D c f ⎥ = γN[2δ(x − x 0 ) − δ(x − 2x 0 )] ,
⎢
∂t
∂x ⎣
∂x
⎦
∂f p
= NГ(x , t ) ,
∂t
∂C 1 U
+
M =0,
∂t Y x
(2)
(3)
(4)
где U (x , t ) - скорость роста клеток, D c (x, t ) - стохастический параметр (коэффициент
диффузии в пространстве масс); С(t ) - концентрация лимитирующего субстрата в культуральной жидкости в момент времени t; γ (С, t ) - удельная скорость поступления в систему микроорганизмов массой х0, образовавшихся при делении клеток массой 2х0; х0 –
начальная масса клетки; ... - знак среднего значения указанной величины; δ(z ) - дельта
функция Дирака от z, Y – экономический коэффициент; M(t ) =
2x 0
∫ xf (x, t )dx =
x N (t ) -
x0
масса жизнеспособных клеток в единице объема системы в момент времени t;
M p (t ) =
2x 0
∫ xf p (x, t )dx
- масса мертвых, не способных к делению клеток в единице объема
x0
биореактора в момент времени t.
Система уравнений (2) – (4) не замкнута. Для получения дополнительной информации умножим выражения (2) и (3) слева и справа на xdx и проинтегрируем по х от
x = x 0 до x = 2x 0 . Получим уравнения для определения M и M p :
2x
0
U
dM
+ N ∫ xГ(x, t )dx =
M,
dt
x
x
(5)
0
dM p
dt
2x 0
=N
∫ xГ(x, t )dx .
(6)
x0
Уравнения (2) – (6) следует еще дополнить законом сохранения вещества:
(7)
M(t ) + M p (t ) + YC(t ) = YC0 + M 0 ,
где C0 и M 0 - значения C(t ) и M(t ) при t = 0 , M p (0 ) = 0 .
Для решения уравнений (2) – (6) необходимо еще задать начальные и граничные
условия.
Начальные условия: f (x,0 ) = f 0 (x ) , f p (x,0) = 0 , M(0) = M 0 , M p (0) = 0 , C(0) = C0 ,
где f 0 (x ) , M 0 и C0 - заданные величины.
Граничные условия: f (x , t ) x = x − 0 = f (x , t ) x = 2 x
0
+0
= 0;
D c (x , t ) x = x = D c (x , t ) x = 2 x = 0 ; δ(x − x 0 )D c (x , t ) = δ(x − 2x 0 )D c (x, t ) = 0 ;
0
0
[U(x, t ) − D′c (x, t )]f (x, t ) x = x + 0 = 2[U(x, t ) − D′c (x, t )]f (x, t ) x = 2 x − 0 = 2γN ,
где через D′c (x, t ) обозначена частная производная функции
0
0
∂
D c (x, t ) .
∂x
Естественно считается, что U(x, t ) > D′c (x, t ) для всех x ∈ [x 0 ,2x 0 ] .
D′c (x , t ) =
D c (x , t ) ,
т.е.
Решение системы уравнений (2) – (6), с учетом указанных начальных и граничных
условий, представляет значительные трудности.
Однако оно упрощается, если имеют место равенства:
NГ(x, t ) = Г 0f (x , t ) , U(x , t ) = xψ (C ) ,
(8)
где Г 0 - постоянная величина, а ψ (C ) - заданная функция своего аргумента. В этом вариx = ψ(C ) , а поэтому для определения величин M(t ) , M p (t ) и C(t ) не нужно
анте U
решать достаточно сложные кинетические уравнения (2) и (3). В этом случае из решения
уравнений (5) – (7), с учетом (8), имеем:
M p (C ) = YГ 0
C0
dξ
∫ ψ(ξ) , C ≥ C * ,
(9)
C
M (C ) = M 0 + Y(C0 − C ) − YГ 0
C0
dξ
∫ ψ(ξ) .
(10)
C
Из (10) при M (C ) = 0 , когда C(t ) = C * , получим уравнение для определения величины C * :
M 0 + Y(C0 − C *) − YГ 0
С0
dξ
∫ ψ(ξ) = 0 .
(11)
С*
В свою очередь, уравнение (4) с учетом (8) и (9) позволяет найти зависимость
функции С от t:
C0
dξ
=t.
ψ(ξ )M(ξ )
C
Y∫
(12)
dM
= [ψ(C ) − Г 0 ]M следует, что при ψ(C ) > Г 0 функция
dt
M (C ) будет возрастать от M = M 0 до M = M max , а при ψ(C ) < Г 0 - убывать до M = 0 .
Следовательно при ψ(Cλ ) = Г 0 функция M (C ) достигает своего максимального значения:
Анализ. Из уравнения
M max = M 0 + Y(C0 − C λ ) − YГ 0
C0
dξ
∫ ψ(ξ) .
(13)
Cλ
В свою очередь, функция M p будет возрастать от нуля до
M p = M 0 + Y(C 0 − C *) ,
(14)
график которой имеет точку перегиба при C(t ) = Cλ .
Таким образом, аналитически показано, что при старении клеток микроорганизмов в процессе роста существует пороговая минимальная концентрация субстрата
(С=С*), ниже которой клеточный рост невозможен.
Список литературы
[1] Бейли Дж., Оллис Д. Основы биохиимической инженерии. Часть I. Мир. 1983. 692 с.
[2] Пеньков Н. В., Пищиков Г. Б. К кинетической теории процесса роста и размножения
дрожжевых клеток в проточном аппарате идеального смешения // Пиво и напитки.
1997. № 3. С. 46-47.
[3] Пеньков Н. В., Пищиков Г. Б. Кинетика роста и размножения дрожжевых клеток в
аппарате периодического действия идеального смешения // Хранение и переработка
сельхозсырья. 1997. № 7. С. 52-53.
[4] Пищиков Г. Б., Пеньков Н. В. К теории роста и размножения дрожжевых клеток в
биореакторах периодического и непрерывного действия // Хранение и переработка
сельхозсырья. 1997. № 8. С. 33-34.
[5] Пищиков Г. Б., Пеньков Н. В. Кинетическая модель процесса роста и размножения
дрожжевых клеток в проточном аппарате идеального смешения // Хранение и переработка сельхозсырья. 1997. № 12. С. 8-9.
[6] Пищиков Г. Б., Пеньков Н. В. К теории процесса роста и размножения дрожжевых
клеток в установке из n последовательно включенных аппаратов идеального смешения // Хранение и переработка сельхозсырья. 1998. № 6. С. 17-18.
[7] Пищиков Г. Б. К вопросу кинетической теории процесса роста и размножения
дрожжевых клеток в проточном биореакторе идеального смешения // Хранение и
переработка сельхозсырья. 1998. № 8. С. 13-14.
[8] Пищиков Г. Б., Пеньков Н. В. Автоселекция дрожжевых клеток в биореакторах непрерывного действия идеального смешения // Хранение и переработка сельхозсырья. 1999. № 1. С. 41-42.
[9] Пеньков Н.В, Пищиков Г. Б. К вопросу оптимизации процесса роста и размножения
дрожжевых клеток // Хранение и переработка сельхозсырья. 1999. № 2. С. 56-58.
[10] Пеньков Н. В., Пищиков Г. Б. Кинетическая модель процесса роста, размножения и
гибели дрожжевых клеток // Хранение и переработка сельхозсырья. 1999. № 7.
С. 61-63.
[11] Пищиков Г. Б. К оптимизации процесса роста и размножения дрожжевых клеток //
Хранение и переработка сельхозсырья. 1999. № 12. С. 66-68.
[12] Пищиков Г. Б. Научное обоснование и разработка технологии, процессов и аппаратов шампанизации вина. Диссертация на соиск. уч. степ. д-ра техн. наук. М.:
РАСХН. 2002. 314 с.