Нахождение НОД и НОК чисел

Методы нахождения НОД и НОК чисел
Андрюшина М.С.
Леонтьева А.И.
МОУ СОШ № 3
6б класс
Руководитель
Аверьянова Н.Б.
В школьном курсе математики нахождение наибольшего общего делителя
(НОД), наименьшего общего кратного (НОК), наименьшего общего знаменателя и
дополнительных множителей для дробей предлагается через разложение чисел на простые
множители. Это связано с большим количеством однообразных механических вычислений.
Быстрое нахождение НОД и НОК чисел необходимо в дальнейшем для
нахождения наименьшего общего знаменателя и дополнительных множителей для дробей
при сравнении, сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.
Цель работы: рассмотреть и оценить все методы нахождения НОД, НОК чисел.
С учетом их эффективности, простоты в использовании разработать алгоритм нахождения
НОД и НОК для двух и более чисел. Он позволит сделать оптимальный выбор метода.
Зачастую элементарный анализ исходных чисел может привести к быстрому
нахождению НОД, НОК этих чисел без разложения на простые множители. С этой целью в
работе рассмотрены частные случаи нахождения НОД и НОК чисел, когда исходные числа
взаимно простые или когда одно из них кратно другому.
Попытка заменить разложение чисел на простые множители менее затратной
процедурой привела к созданию метода одновременного деления. Разложение на множители
в этом методе также необходимо, только множители не обязательно должны быть простыми,
но обязательно общими. В этом случае количество действий значительно уменьшается, тем
самым упрощается нахождение НОД и НОК чисел.
Каждый из предложенных в работе методов имеет свои ограничения, поэтому
невозможно обойтись каким-то одним.
Рассмотренные в работе методы нахождения НОД и НОК чисел как частные
(для взаимно простых чисел или кратных чисел), так и метод одновременного деления
требуют меньшего количества вычислений и просты в применении. Они могут быть
использованы в первую очередь для нахождения НОД и НОК двух и более чисел. Они
удобны и для нахождения дополнительных множителей при приведении дробей к общему
знаменателю. Основным результатом работы можно считать создание алгоритма для
оптимально быстрого нахождения НОД и НОК чисел.
Алгоритм нахождения НОД и НОК чисел.
1 шаг. Если числа а, b взаимно простые, то
НОД(а, b) = 1, НОК(а, b) = а×b
2 шаг. Если число а кратно b, то
НОД(а, b) = b, НОК(а, b) = а
3 шаг. Использовать метод одновременного деления.
Одновременное разложение чисел на одинаковые множители до получения
взаимно простых чисел.
Для нахождения НОД нужно найти произведение одинаковых множителей.
Для нахождения НОК нужно одно из исходных чисел умножить на оставшееся
число в разложении другого числа.
4 шаг. Использовать разложение на простые множители для нахождения НОК
для количества чисел более двух.
Список литературы
Галкин, Е. Метод одновременного деления [Текст] / Е.Галкин // Математика. – 2000. – № 7.
– С.6-7.
Кашаева, Р.; Конакова, А. Лабораторные работы-исследования: Л.р. №3 Нахождение
НОК [Текст] / Р.Кашаева, А.Конакова // Математика. – 2007. – № 12. – С.42-44.
Математика: Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений [Текст] / Н.Я.Виленкин,
В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – Изд.4-е. – М.: Русское слово, 1998. – 286 с.