расчет балки–стенки методом конечных разностей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Томский государственный архитектурно-строительный
университет
УДК 539.3
Расчет балки–стенки методом конечных разностей:
методические указания /Сост. И.Ю. Смолина, Д.Н. Песцов –
Томск.: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2010. – 34 с.
Рецензент к.т.н., доцент Р.П. Моисеенко
Редактор Е.Ю. Глотова
РАСЧЕТ БАЛКИ–СТЕНКИ
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Варианты заданий и методические указания
Методические указания «Расчет балки–стенки методом конечных
разностей» предназначены для студентов дневной формы обучения строительного и дорожно-строительного факультетов, изучающих курс сопротивления материалов и теорию упругости.
Печатаются по решению методического семинара кафедры строительной механики. Протокол № ___ от ___ ___________ г.
Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе
В.В. Дзюбо.
с 01.09.2010
по
01.09.2015
Подписано в печать
Формат 60  90/16. Бумага офсет. Гарнитура Таймс, печать офсет.
Уч.-изд. л. 1.8. Тираж 250 экз. Заказ №
Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2.
Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ.
Томск – 2010
1
634003, г. Томск, ул. Партизанская,15.
Требуется рассчитать балку-стенку, опирающуюся на
пилоны (собственный вес балки-стенки не учитывается). Такой расчёт сводится к решению плоской задачи теории упругости 1-4. В том случае, когда объёмные силы отсутствуют,
искомые напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия:
 x  xy

 0,
x
y
 y  xy

0
y
x
и уравнению совместности деформаций
 2
2


2
y 2
 x

  x   y

 0.
Кроме того, должны быть удовлетворены условия на
контуре. Если ввести так называемую функцию напряжений
(Эри), то вышеперечисленные три уравнения сводятся к одному - бигармоническому:
 2 2  0 , или
 4
 4
 4

2

0
x 4
x 2y 2 y 4
(1)
при соблюдении заданных условий нагружения на контуре.
Здесь  (х, у) – функция напряжений (функция Эри):
x 
2
 2
;
 y2
у 
 2
;
 х2
 xy  
 2
.
xy
(2)
Точное решение в аналитической форме уравнений теории упругости при соблюдении граничных условий возможно лишь в некоторых частных случаях нагружения тел и условий их закрепления. Поэтому для инженерной практики
имеют важное значение приближённые методы решения задач прикладной теории упругости. Одним из таких методов
является метод конечных разностей (МКР), или метод сеток
 1,2  .
На плоскость балки-стенки наносится сетка линий (шагом  x по горизонтали и  y по вертикали), точки пересечения
которых называются узлами. За неизвестные принимаются
значения функции напряжений  в узлах сетки.
Точность МКР прямо зависит от количества узлов сетки. Чем больше узлов сетки, тем точнее будет решение задачи. Частные производные бигармонического уравнения (1)
приближённо заменяются конечными разностями, в результате чего оно превращается в алгебраическое. Такое уравнение
записывается для каждого узла, в котором нужно определить
функцию напряжений . Таким образом, вместо одного дифференциального уравнения (1) решают систему линейных алгебраических уравнений  1,2 .
Конечно-разностные операторы производных строятся
на основе теоремы Тейлора: если функция f непрерывна вместе со своими производными на отрезке x0 , x0    , то эта
функция в точке x  x0   может быть выражена через производные в точке x  x0  формулой:
1
f  x0     f  x0   f  x0     f 0x0   2  
(3)
2
3
Конечно-разностные операторы производных:
Положим x0  xi и применим формулу (3) для точек
i  1 и i  1 , ограничившись тремя членами ряда, что соответствует замене истинной кривой f  x  квадратной параболой, проведённой через ординаты f i 1, fi , f i 1 :
f i 1  f i  f i  
f i 1  f i  f i    
1
fi 2 ;
2
1
1
2
f i     f i  fi    f i .
2
2
(4)
Тогда, вычитая и складывая строки (4), найдём первую
и вторую производные в точке i в виде:
 f i 1  f i 1
;
2
(5)
f i 1  2 f i  f i 1
.
()2
(6)
f i 
fi
Вычисление по формулам (5) и (6) можно представить
в виде схем, называемых операторами для вычисления производных.
4
5
-1
д2φ
дyдх
При х  у
1

0

K
1
4(Δу)(Δх)
Δy
(11)
;
Δy
-1
1
Δx
Δx
Бигармоническое уравнение (1) в конечно-разностной
форме запишется в виде оператора 1:
6
7
При  х  2у
Рис. 1. Схема нагружения балки–стенки
Рассмотрим пример.
Размеры балки-стенки: a  b  8 м ; h  0,5 м
Интенсивность распределённой нагрузки: q  200 кН / м 2 ;
cосредоточенная нагрузка F  400 кН .
Если на балку-стенку действует сосредоточенная нагрузка F,
то её следует привести к распределённой нагрузке по формуле:
q1
F
400
кН

 1600 2
h 0,5  0,5
м
(14)
h – толщина балки-стенки;
  длина участка, на котором действует заменяющая
равномерно распределённая нагрузка q1 (  рекомендуется
брать равной h).
8
9
Замена сосредоточенной нагрузки F распределённой нагрузкой q1 осуществляется из-за уравнений на поверхности
балки-стенки, так как в теории упругости их принято записывать в напряжениях 1.
Из условия равновесия балки-стенки (с учётом симметрии нагружения относительно оси у) находим реакции опор,
принимая их равномерно распределёнными интенсивностью
q2 :
Нанесём на балку-стенку сетку 4  4 размером  x
и y 
а
 2м
4
b
 2м .
4
Обозначения узлов сетки ведём с учётом симметрии нагрузки относительно оси у (рис 3).
Fy  0 : 2q1  0,5  q  8  2q2  1  0;
 кН 
q2  0,5q1  4q  800  4  2000  8800  2 
м 
Рис. 3. Нумерация узлов сетки
Рис. 2. Схема балки стенки с заменённой нагрузкой
10
Узлы, расположенные внутри контура балки-стенки, называются внутриконтурными (узлы 1-6). Узлы, расположенные на контуре балки-стенки, называются контурными (узлы
7-15). Узлы, расположенные за контуром балки-стенки, называются законтурными (узлы 16-22).
В бигармонические уравнения, записанные с помощью
конечно-разностного оператора (12) для внутриконтурных
11
узлов балки-стенки, входят значения функции напряжений 
в контурных и законтурных узлах.
Для определения значения функции напряжений  в
контурных узлах используем «рамную аналогию» 1, 2.
Рассмотрим стержневую неизменяемую систему, стержни которой расположены по контуру балки-стенки (рис. 4).
равны изгибающему моменту k  M k , а производные по
нормали к контуру от функции напряжений в контурных узлах равны продольной силе в соответствующем узле выбранной стержневой системы
  
  
  Nk .
   N k 
 n 
 n
Рис. 5. Эпюра М
изгибающих моментов кНм
Рис. 4. Стержневая система, нагруженная как заданная
балка-стенка
Для выбранной стержневой системы строим эпюры изгибающих моментов М и продольных сил N. Правило знаков:
изгибающие моменты, отложенные на эпюре с растянутой
стороны стержня внутри контура рамы, считаются положительными; продольная сила считается положительной, если
она вызывает растяжение волокон. Согласно «рамной аналогии» 1 значения функции напряжений  в контурных узлах
12
Рис. 6. Эпюра N
продольных сил кН
Тогда значения функции напряжений  в законтурных
узлах с помощью конечно-разностных операторов (7, 8) определяются по формулам  1, 2:
17  4 

y
8  2y   4  N8  2 (y);
 y 
18  4     2 (x )  4  N10  2 (x)
 x 10
13
и т.д.
Для нашего примера:
9  10  11  12  13  0 ;
8  13550кН ;
Аналогично записываем конечно-разностный аналог
бигармонического уравнения (1) с помощью оператора (12)
для всех внутриконтурных узлов. Получаем систему уравнений:
211  8 2  1  3  164  164  45  0  6  86600;

 81  202  83  44  165  46  22000;


1  1  82  213  0  4  45  166  17600;

 81  22  0  3  234  85  1  6  108400;


21  82  23  84  225  86  17250;


0  1  22  83  1  4  85  236  61600.
(15)
7  17600 (кН); 14  15  4400кН  ;
16  1  2у N 7  1 ;
17  4  у N 8   4 ;
21  6  2у N14  6 ; 22  3  2y N15  3 ;
18  4  2x N10   4  2  2 8800  4  35200;
19  5  2x N11  5  2  2 8800   5  35200;
20  6  2x N12  6  2  2 8800  6  35200.
Для каждого внутриконтурного узла сетки с помощью
оператора (12) записываем конечно-разностный аналог бигармонического уравнения (1).
Для этого накладываем центральный элемент оператора, например, на первый узел сетки:
201  84  84  87  82  28  25  25  16 
 3  10  10  0.
После приведения подобных с учётом того, что
10  0, 16   4 , 7  17600, 8  13550,
уравнение принимает вид
211  82  1  3  164  45  0  6  86600.
14
В матричной форме система уравнений (15) может быть записана в
виде:
A   C ,
(16)
где А – матрица коэффициентов системы алгебраических
уравнений (15),
 – матрица-столбец неизвестных значений функции
напряжений  во внутриконтурных узлах;
С – матрица-столбец свободных членов системы алгебраических уравнений (15).
С помощью обратной матрицы решение системы уравнений (16) запишется в виде
  A1  C
(16)
Элементы обратной матрицы представлены в приложении 1 (следует отметить, что элементы обратной матрицы не
зависят от вида нагрузки, так же, как и коэффициенты системы алгебраических уравнений).
В результате вычислений получаем:
15
1  16654,6;
2  14022,55  14023;
3  9389,2063  9389;
4  12793,614  12794;
5  11085,707  11086;
6  8024,3646  8024.
Зная значения функции напряжений  в узлах сетки
внутри контура, на контуре и за контуром, определяем напряжения по формулам (2). Соответствующие им операторы,
построенные с помощью (9, 10, 11), принимают вид:
Для примера покажем, как вычисляются напряжения в
некоторых узлах:
 х 4  8  24 2 5
 y 
 х 1  7  21 2 2
 y 
 
y 4

 
слева
xy 4
16
17

13550  2 12794  11086
 кН 
 238  2 
2
2
м 
17600  2  16665  14023
 кН 
 421,75  2 
2
2
м 
10  24  1 0  2  12794  16655
 кН 

 2233,25  2 
2
2
2
 х 
м 
   
y 1


4
 21  4 2  (12794  16655)
 кН 

 1930,5 2 .
2
2
2
 х 
м 
9  2  11  7 0 14023 0 17600
 кН 

 223,56 2 .
4(х)(у)
4 2 2
м 
 
справа
ху 4

7  11  9  2
 кН 
слева
 ( ху )4
 223,56  2 .
4(х)( у )
м 
Касательное напряжение  ху 9 по формуле (20) не может быть определено, так как для этого не хватает одной точки сетки (то же для узла 13). По заданной нагрузке видно, что
 ху 9   ху 13 равны нулю (поскольку на контуре балки-стенки
отсутствует нагрузка в горизонтальном направлении).
По результатам вычислений строим эпюры напряжений
 x ,  y ,  ху
Рис. 8. Эпюры нормальных напряжений  у кН/м2
Рис. 7. Эпюры нормальных напряжений  x кН/м2
18
19
Для сечения 12-12 делаем проверку правильности построения эпюры  у .
Из условия равновесия, например, нижней части балкистенки, сумма проекций всех сил на ось у равна
 2q2 1  2  8800  17600.
Площадь эпюры  у в сечении 12-12:
1
1
1

  2  4788   2 1664.75  2   682.5   2 
2
2
2

 4788  1664.75  2  682.5  2  17600.
Для сечения 8-14 проверяем правильность построения
эпюры  ху . Из условия равновесия, например, левой части

Рис. 9. Эпюры касательных напряжений  ух   ху кН/м 2

Полученные эпюры напряжений должны удовлетворять
условиям равновесия 1.
Для сечения 7-15 делаем проверку правильности построения эпюры  х . Из условия равновесия, например, левой
части балки-стенки, сумма проекций на ось х продольных
усилий должна быть равна нулю, или площадь эпюры  х
должна быть равна нулю:
балки-стенки, сумма проекций всех сил на ось у равна
Qy  q2  1  q  2  q1  0, 25  8800  1  2000  2  1600  0,25  4400.
C учётом толщины балки-стенки Qy  h  4400  0,5  2200.
Площадь эпюры  ху в сечении 8-14 с учётом толщины балкистенки равна:
1
1
1

  2  223,56  2   2  454,13  2   2  601,44  2   h  1279,13
2
2
2

1
1
1
1

   2  472,5   2  421,75  2   2  500,5  2   2  88,75  2  
2
2
2
2

1
  2  2494,5  472,5  2  421,75  500,5  88,75  2494,5 
2
 2494,5  2494,5  0
Такая большая ошибка в вычислении  ху объясняется, во-
20
21
первых, слишком малым числом узлов сетки и, во-вторых,
отсутствием  ху в уравнении (1).
Определим, например,  ху в точке :
Оператор для вычисления  ху (20) даёт это напряжение
в узле сетки. Если в нём вместо шага х и у принять шаг
x
y
и
, то при наложении на ячейку сетки он даёт на2
2
пряжение  ху в средней точке этой ячейки, которое может
 
xy a

8  1  7   4 13550  16655  17600  12794


x   y 
22
 кН 
 47, 25 2 
м 
Аналогично вычисляем напряжения  ху в точках , , .
рассматриваться как среднее касательное напряжение ячейки.
По результатам вычислений строим эпюру  ху . Проверим выполнение условия равновесия:
Qy  h  q2  1  q  2,5q1  0,5  h  1500.
Площадь эпюры  ху в сечении a   с учётом толщины
балки-стенки:
1
1
1

  2  47,25   2  47,25   2  231  2  
2
2
2
  0,5  915,375
 1

1
1
   2  393  2   2  341,25   1  341,25 
 2
2
2

Однако проверка напряжений по условиям равновесия
лишь необходимое, но не достаточное условие их правильности. Как мы знаем, произвольная функция  даёт при применении формул (2) равновесное поле напряжений. Поэтому эти
условия не могут проверить истинность найденных . Достаточной проверкой может служить лишь проверка совместности деформаций в форме уравнения совместности деформаций плоской задачи, записанного в напряжениях (уравнения
Леви):
22
23
2   x   у

2
2






 х   у   0.
х
у
х 2
у 2
(21)
Осуществим проверку выполнения уравнения (21) для
5-го узла с помощью операторов (9), (10):
2
2
  2
 2 x   y   y 
2  x   y    2x 



2
2
2 

x

y

x

y


   2 x 5   x 6   x 11  2 x 5   x 6 
 x 4
y 2
x 2
 y 4  2 y 5   y 6  y 11  2 y 5   y 2



y 2
x 2
 238  2   338,5  140,2 0  2   338,5   500,5



22
22
 2233,25  2   2037,25   1664,75


22
 3257  2   2037,25   1468,5

 0,2
22
Ошибка вычислений составляет:
0,2  100%
20

 0,059%  0,06%, что меньше одного
x 5
338,5
Приложение 1
Матрица коэффициентов (А) системы бигармонических
уравнений в конечных разностях для балки-стенки с соотношением сторон 1:1 x  y и обратная к ней (А-1) при любой
симметричной нагрузке.
 21
 8

1
А= 
 8
2

0
89,876 56,18
56,18 129,213

19,363 56,18
А-1=10-3 
35,292 26,685
26,841 56,18

9,651 26,685
процента.
24
8
1  16
4
0
20  8
4  16
4 
8
21
0
4  16

2
0
23  8
1
8
2 8
22  8 

2
8
1 8
23 
25
19,363 70,585
56,18 53,371
89,876 19,303
9,651 78,40
26,841 44,944
35,292 14,297
53,683
112,36
53,683
44,944
109,238
44,944
19,303 
53,371
70,585 

14,297 
44,944 

78,40 
Приложение 2
Приложение 3
Матрица коэффициентов (А) системы бигармонических
уравнений в конечных разностях для балки-стенки с соотношением сторон 1:2 (x  2y ) и обратная к ней при любой
симметричной нагрузке.
Для балки-стенки, нагруженной, как показано на схеме,
требуется:
4  10
4
0
37,50  20
  20
33,5  20 4  10
4

4
 20 37,5 0
4  10
А= 
2
0
38  20 4
 5
2
5
2  20
34  20

2
5
4
 20 38
0
46,984 38,789
38,789 79,367

15,763 38,789
А-1=10-3 
8,768 9,603
9,628 18,406

4,177 9,603
26
15,763 17,537
38,789 19,206
46,984 8,354
4,177 45,285
9,628 36,483
8,768 14,523
19,257
36,812
19,257
36,483
75,481
36,483









1.
Определить опорные реакции, значения функции напряжений и её производной в узлах на контуре сетки.
2.
Составить выражения для функции напряжений в законтурных узлах сетки.
3.
Составить систему бигармонических уравнений в конечных разностях.
4.
Определить значения функции напряжений во внутриконтурных узлах сетки.
5.
Определить напряжения  х ,  у ,  ху во всех узлах сетки и построить эпюры этих напряжений по сечениям,
совпадающим с линиями сетки.
а
a
l ; d
a  b;
8
4
8,354 
19,206 
17,537 

14,523 
36,483 

45,285 
27
Продолжение приложения 3
Приложение 4
Схемы нагружения балки – стенки (варианты заданий)
Числовые данные для решения задач
№
№
h, м а, м
потока группы толщина
1
1
0.2
2
1
2
0.3
3
1
3
0.4
4
1
4
0.5
5
1
5
0.5
6
1
6
0.4
8
1
7
0.3
10
1
8
0.2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
28
1
2
3
4
5
6
7
8
0.22
0.24
0.26
0.28
0.32
0.34
0.36
0.38
2
4
6
2
4
6
2
4
F, кН
F1,
кН
q,
кН/м2
q1,
кН/м2
200
300
400
100
150
200
300
400
100
150
200
150
50
100
150
20
2000
3000
4000
2500
6000
4000
5000
2000
1000
2000
3000
1500
4000
2500
3000
1000
120
140
160
180
220
240
260
280
60
70
80
90
110
120
130
140
2400
2600
2800
3200
3400
3600
3800
4200
1400
1600
1800
2200
2400
2600
2800
3200
29
Продолжение приложения 4
30
Продолжение приложения 4
31
Продолжение приложения 4
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров, А.В. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности / А.В. Александров, В.Д. Потапов. – М. : Высшая школа, 2007. – 400
с.
2. Икрин, В.А. Сопротивление материалов с элементами
теории упругости и пластичности: учебник для вузов /
В.А. Икрин. – М. : АСВ, 2005. – 424 с.
3. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности: учебник / А.Е. Саргсян. – М.
: Высшая школа, 2002. – 285 с.
4. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. – М. : Высшая школа, 1982. – 264с.
5. Кац, А.М. Теория упругости / А.М. Кац.–СПб. : Лань,
2002. – 207 с.
Дополнительная литература
1. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко,
Дж. Гудьер. − М. : Наука, 1975. – 576 с.
2. Жемочкин, Б.Н. Теория упругости / Б.Н. Жемочкин. −
М. : Изд-во лит-ры по строительству и архитектуре,
1957. – 257 с.
3. Рекач, Г.В. Руководство по решению задач по теории
упругости. - М.: Высшая школа, 1977. - 214 с.
32
33