Труды Международной конференции RDAMM–2001 2001 Т. 6, Ч. 2, Спец. выпуск 337 ДИФРАКЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ В ЖИДКОСТИ Ш.Н.НОСИРОВА, М.Б. БОЗОРОВ НавГГИ, Узбекистан И.И. САФАРОВ БухИТЛП, Узбекистан Рассмотрим взаимодействие ударной волны с бесконечно длинной цилиндрической оболочкой. Следует указать, что закономерности взаимодействия ударной волны с абсолютно твердым телом рассмотрены [1]. В данной работе основное внимание уделяется изучению процесса деформации вязкоупругой оболочки. Будем, решать задачу в цилиндрической системе координат, ось которой совместим с осью оболочки. Так как параметры ударной волны вдоль образующей цилиндра постоянны, то задача становится плоской и все функции, описывающей движение оболочки и жидкости, будут зависеть только от угловой координаты 0, радиальной координаты r и временной Т. Выпишем уравнения движения оболочки и жидкости. Воспользовавшись технической теорией тонких оболочек, для плоского случая деформации, будем иметь [2]. 1 ∂N ∂ 2v = p 0 h0 r1 ∂ 0 ∂t 1 ∂M 1 ∂2w + N = p 0 h0 − P (0, t ) r1 ∂ 0 r ∂t (1) Здесь h0, rj – толщина и радиус средней поверхности оболочки ; N – поперечное усилие, отнесенное к единице длины сечения; M – поперечный изгибающий момент; v, w – тангенциальное и нормальное перемещение точек средней поверхности оболочки; p0 – плотность материала; P(0,t) – внешняя нагрузка. Усилия и момент выражаются через перемещения по следующим формулам: N= E 0 h0 ∂v ( − w), 2 (1 − v 0 )r1 ∂ 0 3 ∂w M = ( + w). 2 2 12(1 − v 0 )r1 ∂ 0 E 0 h0 (2) где Е0 – модуль Юнга; v0-коэффициент Пуассона. Так как в дальнейшем нас будут интересовать прежде всего усилие N и нормальный прогиб w, то исключим из системы момент М и перемещение ν. Для этого продифференцируем первое уравнение этой системы по углу 0 и выразим производную δ ν/δ0 с помощью зависимости (2) через N и W. Вычтя затем из полученного уравнения системы (2) и исключив момент с помощью формулы (1), придем к следующей системе уравнений : 2 ∂2w ∂2N ∂2N 2 4 ∂ w 2 0 ( ) * ( ) = C 2 P(0, t ) C N m k C + − + − 2 1 2 2 2 4 2 ∂0 ∂0 ∂0 ∂ 2 4 2 1 1 ∂ w ∂ w ∂ w 2 N= P(0, t ) / + C 2 k1 * ( 4 + 2 ) − 2 m0 m0 ∂0 ∂0 ∂t (3) Уравнения (3) записаны в безразмерном виде, причем за основные единицы измерения приняты радиус оболочки r1, плотность жидкости h и скорость звука в жидкости с0. Таким образом, перемещение отнесено к радиусу, нагрузка – к произведению рс02, усилие – к величине р с02 r1, время измеряется в единицах r1/с0, коэффиценты имеют следующие значения: ã Ш.Н. Носирова, М.Б. Бозоров, И.И. Сафаров, 2001 338 2001, Vol. 6, Pt 2, Special Issue Proceedings of International Conference RDAMM–2001 2 p 0 h0 E0 h ,( , k1 * 0 2 . m = 2 2 0 pr1 (1 − v0 ) p c0 12r1 0 (4) Нагрузка на оболочку состоит из дифракционного давления, возникающего при воздействии ударной волны на жесткий неподвижный цилиндр, и давления, вызванного деформацией и движением оболочки; P(0, t ) = P 0 (0, t ) + P + (0, t ) (5) Дифракционное и излучаемое давление находится по формулам P 0 (0, t ) = [ Pb ] r =1 − [ ∂Φ 1 ] r =1 ∂t ∂Φ P (0, t ) = −[ 2 ] r =1 ∂t (6) + где Рb – давление в прямой ударной волне. Потенциал скорости жидкости описывается волновым уравнением, которое в цилиндрических координатах при плоском движении имеет вид ∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂Φ ∂ 2 Φ = 2 + + ∂t ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ 0 2 (7) (потенциал ф отнесен к величине r1c0, координата r – к радиусу r1). На поверхности оболочки необходимо выполнить следующие граничные условия: для потенциала ф1 [ ∂Φ 1 ] r =1 = [vbr ] r =1 ∂t (8) ∂Φ 2 ∂w ] r =1 = − ∂t ∂t (9) для потенциала ф2 [ при t→0 должно выполняться условие затухания ф1,2 →0 (10) Начальные условия примем для всех функций нулевыми. Решение задачи начнем с определения внешних сил. Прежде всего найдём выражение для потенциала ф. Применив к уравнению (7) преобразование Лапласа по времени, получим ∂ 2 Φ 2 1 ∂Φ 2 1 ∂ 2 Φ 2 − S 2ф2 = 0 + + 2 2 2 r r ∂ r ∂0 ∂r (11) Решение этого уравнения будем искать в виде ф 2 = f 1 (0) + f 2 (r , s ) (12) Поставляя (12) в уравнение (13), придем к двум уравнениям d 2 f1 + y f1 = 0 d 02 d 2 f1 df r2 + r 2 − (s 2 r 2 + y 2 ) f 2 = 0 2 dr dr (13) (14) где y-соnst. Решение первого из этих уравнений имеет вид f 1 (0) = c1 cos y 0 + c 2 sin y 0 (15) Так как физике процесса функции f1(0) должна быть четной и иметь период 2π, то следует положить с2=0, y=n, (n=0,1,2,…) Тогда f 1 (0) = c1 cos n0 (16) Решение уравнения (14) при y=n, (n=0,1,2,…) записывается в следуюшей формуле [1] f 2 (rs ) = c3 I n (rs ) + K n (r , s ) (17) Где In и Kn – цилиндрические функции манимого аргумента. Труды Международной конференции RDAMM–2001 2001 Т. 6, Ч. 2, Спец. выпуск 339 Для удовлетворения условия затухания (10) необходимо принять с3=0. В итоге придем к следующей формуле для изображения потенциала: Φ L = å C n K n (rs ) cos n0 (18) n =0 (Cn –произвольная постоянная ) Найдем потенциал дифракционного давления. Для этого представим радиальную составляющую скорости в падающей на волне на поверхности цилиндра в виде ряда [vbr ] r =1 = å bn (1) cos n0 n =0 1 = [vbr ] r =1 d 0 π 2 b0 = [vbr ] r =1 cos n0d 0, (n ≥ 1). π b0 (19) Применив к граничному условию (8) преобразования Лапласа, с учетом зависимости (19) будем иметь L [ ∂Φ 1 2 ] r =1 = −å b cos n0. ∂t n =0 n (20) Поставив сюда выражения для потенциала (18), найдем производительную постоянную, после чего придем к следующей формуле: bn L K n (rs ) ф1 = å L cos n0. (21) sKn − 1( s ) ] K n ( s )[n + Kn( s ) Давление на поверхности изображений будет [ P1 ] = − s[ϕ 1 ] r −1 = å sbn ( s )m n ( s ) cos n0 L Здесь L L (22) Кn(s) mn ( s) = K (s) 1 = − n1 n + sK n −1 ( s) / K n (a) sK n ' ( s ) sK n ( s ) (23) С целью определения дифракционного давления представим нагрузку на цилиндр от действия ударной волны в виде ряда [ Pb ] r =1 = å ∂ n (t ) cos n0 (24) n =0 где а0 = 1 2 [ Pb ] r =1 d 0; аn = [ Pb ] r =1 cos n0d 0; (n ≥ 1) η η (25) Применив к (24) преобразование Лапласа, получим [ Pb ] r =1 = å ∂ n (a ) cos n0 L L (26) n =0 Суммируя теперь формулы (22) и (26), найдем зависимость для изображения дифракционного давления P OL = [ Pb ] r =1 + [ P1 ] r =1 = å Pn L где ОL L L OL cos n0 L P0 (a ) = a n ( s ) − sbn ( s )mn ( s ). (27) (28) В области действительной переменной результирующее давление Р 0 (0, t ) = å Pn (t ) cos n0 0 n=0 Оригинал функции (28) можно найти с помощью интеграла Меллина (29) 340 2001, Vol. 6, Pt 2, Special Issue Proceedings of International Conference RDAMM–2001 1 OL Pn ( s )e st ds 2ηi 0 Pn = (30) Определим дифракционное давление в случае воздействия на цилиндр плоской единичной ступенчатой волны. Давление и радиальная скорость жидкости на поверхности цилиндра при такой волне будут [ Pb ] r =1 = ∂ (t − 1 + сos0), (31) [vbr ] r =1 = − cos 0∂ (t − 1 + сos0). Изображения данных функций имеют вид 1 [ Pb ] r =1 = e −(1− cos 0) s s 1 [vbr ] r =1 = − cos 0 e −(1− cos 0) s s (32) Поставляя эти зависимости в формулы (20 и 25), получим изображения соответствующих рядов [1]. L a0 = an e − s cos 0 e −s e d0 = I 0 ( s ); s ηs 2e − s s cos 0 2e − s e = cos n0d 0 = I n ( s ); (n ≥); s ηs L L b0 = − bn L e − s s cos 0 e −s e−s 1 I 0 ( s ); e I 1 (s) = cos 0d 0 = − s s ηs 2e − s s cos 0 2e − s 1 e =− cos 0 cos n0d 0 = − I n ( s ); (n ≥); s ηs (33) (34) Если теперь учесть известное из теории цилиндрических функций соотношение [2]. 1 1 1 I n (s) K n ( s) I n ( s) = − ; s (35) То формулу (28) можно привести к следующему, внешне весьма простому виду: P0 OL P0 OL = e−s 1 s 2 K 0 ( s) (36) 2e − s =− 2 1 s K 0 (s) Прежде всего выясним асимптотическое поведение функции Рn0(t). Так как при s→0 πe − s , то в случае t→0 2s 23 2 25 2 0 O P0 (t ) = − t ; Pn (t ) = − π π 1 K n ( s) = t; (37) Учитывая, что 1 2 n −1 n 1 1 limK 0 ( s ) = , limK 0 ( s ) = − n+1 s s (38) при больших значениях времени будем иметь 0 0 limP0 (t ) = 1; limPn (t ) = 0; (n ≥ 1) Следует, что в пределе дифракционное давление в любой точке цилиндра давлению в прямой волне. становится равным Труды Международной конференции RDAMM–2001 2001 Т. 6, Ч. 2, Спец. выпуск 341 Список литературы [1] [2] Замышляев Б.В., Яковлев Ю.С. Динамические нагрузки при подводном взрыве. Л., Судостроение, 1968, 386 с. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкции со средой. –Киев: Наумова и думка. 183 с.