Задачи математического кружка

Муниципальное бюджетное образовательное
учреждение
«Талашкинская средняя общеобразовательная школа»
Дидактические материалы
«Задачи математического кружка»
5-6 класс.
Старостенко Нина Ивановна
учитель математики
2013 год
1. Вводное занятие
Во вводной беседе учитель знакомит школьников с программой работы, основными
вопросами, которыми будут заниматься дети. Затем учащимся предлагается несколько
задач.
1. Из книги выпал кусок. Первая страница куска имеет номер 387, а номер последней
состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из
книги?
2. Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. Пока кошка совершает один
прыжок, мышка сделает 3 шага, а один кошачий прыжок равен 10 мышиным шагам.
Догонит ли кошка мышку?
3. Мама испекла пирожки : 20 – с мясом, 10 с творогом, 15 с повидлом. Какое наименьшее
количество пирожков нужно взять ( не разламывая), чтобы среди них оказался пирожок с
повидлом.
4. Семь осликов за 3 дня съедают 21 мешок корма. Сколько корма надо пяти осликам на 5
дней?
5. Какие 4 цифры надо вычеркнуть из числа 4921508, чтобы получившееся трехзначное
число было как можно меньше?
6. У каждого марсианина по 3 руки. !0 марсиан построились в шеренгу , и каждый взял
соседа за руку. Сколько рук осталось свободными?
7. Когда идет дождь, кошка сидит или в комнате, или в подвале. Если кошка в комнате, то
мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если же сыр на столе и кошка в
подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь и сыр лежит на столе. Тогда
обязательно:
(А) кошка в комнате
(Б) мышка в норке
(В) кошка в комнате или мышка в норке
(Г) кошка в подвале, а мышка в комнате
(Д) такое невозможно.
8. По тропинке вдоль кустов
Шло одиннадцать хвостов,
Насчитать я также смог,
Что шагало тридцать ног.
Это вместе шли куда-то
Индюки и жеребята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было индюков?
Спросим также у ребят:
Сколько было жеребят?
2. Задачи на переливания и дележи.
1. В бочке несколько литров бензина. Как отлить из неё 6 литров с помощью
девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?
2. Как разделить поровну 8 литров молока между двумя классами, если молоко находится
в восьмилитровом ведре, а имеющихся два пустых бидона – трехлитровый и
пятилитровый?
Решение:
Ведро
Пятилитр.
бидон
5
2
2
5
4
4
8
3
3
6
6
1
1
4
Бочка
х
Х-5
Х-10
Х-10
Х-1
Х-6
Х-6
Ведро
5
9
1
1
6
Трехлитр.
бидон
3
2
2
3
-
Бидон
5
5
1
5
-
3. В двенадцативедерной бочке 12 ведер вина. Разлить их на две равные части,
пользуясь пустыми пяти- и восьмиведерными бочонками.
4. Имеется 9 кг крупы и гири 50 г и 200 г . Каким образом в три приема отвесить на
чашечных весах 2 кг крупы?
Решение:
Бочка
12
4
9
1
1
6
Восьмиведерный
бочонок
8
3
3
8
6
6
Пятиведерный
бочонок
4
5
3
5
-
3. Римские цифры.
Происхождение римских цифр связано с соответствующими латинскими словами,
которые играли роль цифр:
I-1, V-5, X -10, L -50, C -100, D -500, M -1000.
С помощью этих букв, выполняющих роль цифр, записывали любое число до миллиона.
В наше время римские цифры употребляются на циферблатах часов, нумерации томов,
глав, разделов книг, записи дат событий.
При записи чисел римские цифры располагаются в порядке старшинства, но иногда этот
порядок меняется, т.к. одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа более
трех раз подряд.
Чтобы узнать, какое число записано римскими цифрами, надо сложить значения всех его
цифр; при этом , если младшая цифра окажется перед старшей, то значение этой младшей
цифры вычитается из значения старшей.
1. Запишите арабскими цифрами числа:
XXII
XXXIV
DXIV
MDCLXIV
MCXLIV
2. Запишите римскими цифрами числа:
24,48, 1937, 444, 3527, 1983693.
3. Сколько чисел по правилам римской нумерации можно записать с помощью цифр I; V;
X.
4. Из спичек составлено неверное равенство:
V I- I V = X I
Как переложить одну спичку , чтобы получить верное равенство?
4. Считай внимательно
1. Зайцы нашли в лесу бревно длиной 6 м. Чтобы отнести домой, они распилили его на
части длиной по 1 метру. Сколько они сделали распилов?
2. Из книги выпал кусок, у первой страницы которого номер 35, а у последней — 74.
Сколько страниц выпало?
3. Теперь у зайцев уже несколько бревен. Они распили все бревна, сделав 20 распилов,
и получили 27 чурбачков. Сколько бревен было у зайцев?
4. Сколько всего существует двузначных чисел? А трёхзначных?
5. Улитке надо подняться на столб высотой 10 м. Каждый день она поднимается на 4 м, а
каждую ночь сползает на 3 м. Когда улитка доползёт до цели, если она стартовала
в понедельник утром?
6. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета.
Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым
— 10 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько кусков получится, если
распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Если бы у красного дракона было на 6 голов больше, чем у зеленого, то у них было бы 34
головы на двоих. Но у красного дракона на 6 голов меньше, чем у зеленого. Сколько голов
у красного дракона?
5. Числовые головоломки.
1. Среди всех таких трехзначных чисел, что в их записи все цифры различны, выбрали
наибольшее и наименьшее числа. Чему равна разность этих чисел?
2. Сколько двузначных чисел обладают таким свойством: если переставить местами их цифры, то они увеличиваются не менее, чем в 3 раза?
3. Число 147∗ 2 делится на 7. Какая цифра зашифрована значком ∗ ?
4. Какое из этих чисел является одновременно и кубом, и квадратом некоторых целых чисел?
5. Число 111…111 (2014 единиц) умножили на 101. Какова сумма цифр произведения?,
4. Расставьте знаки арифметических действий и скобки, чтобы получились верные
равенства:
а) 4 4 4 4=5;
б) 4 4 4 4=17;
в) 4 4 4 4=20;
г) 4 4 4 4=32;
д) 4 4 4 4=64.
7. Отлейте из цистерны 13 литров молока, пользуясь бидонами емкостью 17 и 5 литров.
8. Решите ребус: КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.
Используя ровно пять раз цифру 5, представьте любое число от 0 до 10.(
9. В примере на сложение цифры заменили звёздочками. Получилось ** + *** = ****.
Известно, что каждое из слагаемых и сумма не изменятся, если прочитать их справа
налево. Восстановите исходный пример.
10. Если сумма трех последовательных положительных целых чисел равна 99,
то произведение цифр первого из них равно
(A) 0 (B) 3 (C) 6 (D) 9 (E) 12
11. Можно ли расположить по кругу числа 1, 2, ..., 8 так, чтобы сумма любых трёх рядом
стоящих чисел была больше 13?
12. Ваня, задумав некоторое число, умножил его на 2, затем к результату прибавил 3,
после чего получившееся число разделил на 7, а потом, уменьшив частное на 1, сказал,
что у него получилось число 2. Определите, какое число задумал Ваня.
13. Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число
делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
6. Календарь , часы, возраст.
1. Сколько часов во второй половине первой четверти суток?
2. Разница во времени между Москвой и Камчаткой равна 9 часам, а между Москвой и
Прагой – 2 часам. Известно, что сейчас на Камчатке 10 часов утра, а в Москве – первое
января. Тогда в Праге в это время
(A) 11 часов утра 31 декабря (B) 5 часов вечера 1 января (C) 1 час дня 1 января (D) 11
часов вечера 31 декабря (E) 11 часов вечера 1 января
3. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели
был 20 числа этого месяца?
4. После того, как в 3 часа ночи прозвенел Васин будильник, и Вася стукнул
по нему кулаком, часовая стрелка будильника стала двигаться в 12 раз
быстрее, чем надо. Что покажет будильник в 03:55?
5. С полудня до полуночи Кот Ученый спит под дубом, а с полуночи до
полудня рассказывает сказки. На дубе он повесил плакат: ≪Через час я
буду делать то же самое, что делал два часа назад≫. Сколько часов в
сутки эта надпись верна?
6. Сколько раз за сутки на часах минутная стрелка обгонит часовую?
7. Матери 47 лет, троим ее сыновьям 10, 12, 15 лет. Как скоро
сумма возрастов сыновей сравняется с возрастом матери?
8. В футбольной команде 11 игроков, их средний возраст равен
22 годам. Во время матча один из игроков выбыл. При этом средний
возраст команды стал равен 21 году. Сколько лет выбывшему игроку?
9. Внуку столько же месяцев, сколько лет бабушке. Бабушке с
внуком вместе 52 года. Сколько лет бабушке и сколько лет внуку?
10. Дочери в настоящее время 8 лет, а матери 38 лет. Через сколько лет мать будет в трое старше дочери?
7. Считаем деньги
1. Есть девять монет, среди них одна фальшивая. Все настоящие монеты весят одинаково,
а фальшивая весит немного меньше. Как с помощью чашечных весов без стрелок и гирь за
два взвешивания гарантированно определить фальшивую монету?
2. Пиноккио посадил денежное дерево, и вместо листьев на нём появлялись каждый день
золотые монеты. В первый день на дереве появилась одна монета, во второй день — две, в
третий день — три, и так каждый день на нём вырастало монет на одну больше, чем
в предыдущий. В ночь с 29-го на 30-й день пришли лиса Алиса и кот Базилио и оборвали
все золотые монеты. Сколько монет досталось коварным Алисе и Базилио?
3. По контракту Гансу причиталось по 48 талеров за каждый отработанный день, а за
каждый прогул взыскивались 12 талеров. Через 30 дней Ганс узнал, что ему ничего не
причитается, но и он ничего не должен. Сколько дней он работал?
4. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет
и отдал второму, потом второй проиграл половину всех своих монет, потом снова первый
проиграл половину своих. В результате у первого оказалось15 монет, а у второго – 33.
Сколько монет было у первого пирата до игры?
5. Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит
автомобиль «Запорожец» и 2600$. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте
получил «Запорожец» и 1000$. Сколько стоил «Запорожец»?
6. Таня пошла покупать ручки и карандаши. На все деньги, которые у нее были, она могла
купить 6 ручек. На те же деньги она могла купить 12 карандашей. Но она решила купить
одинаковое количество ручек и карандашей. Сколько?
7. Двое играют в такую игру. Они по очереди выкладывают на круглый стол одинаковые
монеты. Класть монеты друг на друга нельзя. Проигрывает тот, кому некуда положить
очередную монету. Кто из игроков может гарантированно обеспечить себе победу —
начинающий или его соперник? Как он должен играть?
8. Царь Кащей подобрел и решил потратить 50 золотых монет на подарки
детям. В сундуке у него хранится 5 ларцов, в каждом ларце по 3
шкатулки, а в каждой шкатулке по 10 золотых монет. Сундук, ларцы и
шкатулки заперты на замки. Какое наименьшее число замков потребуется открыть Кащею, чтобы достать 50 монет?
9. Две хозяйки покупали молоко каждый день в течение месяца. Цена на молоко
ежедневно менялась. Средняя цена молока за месяц оказалась равной 20 рублям.
Ежедневно первая хозяйка покупала по одному литру, а вторая — на 20 рублей. Кто из
них потратил за этот месяц больше денег и кто купил больше молока?
10. Двое поделили между собой 7 рублей, причем один из них получил на 3 рубля больше
другого. Сколько кому досталось?
9. Логические задачи
1. В три банки с надписями "малиновое", "клубничное" и "малиновое или клубничное"
налили смородиновое, малиновое и клубничное варенье. Все надписи оказались
неправильными. Какое варенье налили в банку "клубничное"?
2. Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: "У всех великих людей
был плохой почерк, значит, я великий человек." Прав ли он?
3. У императора украли перец. Как известно, те, кто крадут перец, всегда лгут. Пресссекретарь заявил, что знает, кто украл перец. Виновен ли он?
4. Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или
с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или фамилия, или отчество.
Может ли такое быть?
5. Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 40 центов за штуку,
несколько сэндвичей по 24 цента и 2 бифштекса. Бармен сказал, что с него 20 долларов 5
центов. Ковбой Джо высказал бармену всё, что он думает о его умении считать.
Действительно ли бармен ошибся?
6. Кто-то подарил Златовласке подарок, положив его на крыльцо её дома. Златовласка
подозревает, что это был один из её друзей: Стрекоза, Огонёк или Ушастик. Но как это
узнать? Каждый из них указывает на одного из двух других. Правду сказала только
Стрекоза. Если бы каждый указывал не на того, на кого указывает, а на второго, то
Ушастик был бы единственным, кто сказал правду. Кто же подарил подарок?
7. На четырех мудрецов, завязав им глаза, надели два белых и два красных колпака. Им
сообщили, что хотя бы один колпак красный и хотя бы один колпак белый, других цветов
нет. Они долго думали. Потом один из них определил, какой на нем колпак. Как он это
сделал?
8. Встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов.
«Интересно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжеволосый, но ни у
одного нет волос того цвета, на который указывает его фамилия», - заметил брюнет. «Ты
прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
9. Археологи откопали сосуд. Первый сказал, что амфора изготовлена финикийцами в v
веке, а второй сказал, что греками в III веке, а третий, что амфора не греческая и
изготовлена в IV веке. Кто прав, если в каждом из трех предложений одно утверждение
истинно, а второе ложно?
10. В корзине лежат 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17
грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один
груздь. Сколько рыжиков в корзине?
10. Затруднительные ситуации
1. В двух кошельках всего лежит два рубля. При этом в одном кошельке денег в два раза
больше, чем в другом. Как такое может быть?
3. Можно ли погрузить на три грузовика семь бочек с квасом, семь пустых бочек и семь
бочек, заполненных наполовину, чтобы на каждом грузовике было по семь бочек и
поровну кваса?
4. Два поезда движутся навстречу друг другу по одной железнодорожной ветке. От неё
отходит тупик, длина которого меньше длины поезда, но больше длины одного вагона.
Как поездам разминуться?
5.Три котёнка и три щенка съели двадцать сосисок. Рыжий котёнок съел больше всех, а
серый — не меньше всех. Может ли так быть, что щенки съели не меньше сосисок, чем
котята?
6. Можно ли пять бумажных колец склеить так, чтобы при разрезании только одного звена
получалось пять отдельных звеньев?
7. В баке не менее десяти литров воды. Можно ли набрать шесть литров с помощью 9литрового ведра и 5-литрового бидона?
8. Крестьянину нужно переправить через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что
в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или только волк, или только коза,
или только капуста. Но если оставить волка с козой без крестьянина, то волк съест козу,
если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как быть?
9. Летят вороны, видят — дубы. Стали рассаживаться. Попробовали по одной на дуб —
четырем воронам не хватило места. Стали садиться по две на дуб — три дуба остались
свободными. Сколько было ворон и сколько дубов?
11. Комбинаторика
1. В алфавите племени АУАУ имеется две буквы – «А» и «У». Сколько различных слов по
три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?
2. Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, используя
при записи каждую цифру один раз. Сколько получится чисел, если каждую цифру
использовать не один раз?
3. В четверг в первом классе должны быть три урока: русский язык, математика и
физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
4. Из четырех игр: шашки, лото, конструктор и эрудит – надо выбрать две. Сколькими
способами можно осуществить этот выбор?
5. Дано число 4352. Запишите все числа, большие данного, которые можно получить с
помощью перестановки цифр этого числа.
6. Начертите окружность и отметьте на ней три точки. Обведите получившиеся при этом
дуги карандашами разного цвета. Сколько карандашей вам понадобилось? Сколько дуг у
вас получилось?
7. Сколькими способами три друга могут поделить между собой два банана, две груши и
два персика так, чтобы каждый получил по два различных фрукта?
8. В телеигре участвуют пять человек, из них трое выходят в финал. Сколько существует
различных вариантов тройки финалистов?
9. Вася закрыл свой велосипед на замок с кодом, составленный из двух цифр и обратил
внимание, что сумма их цифр равна 10. Назавтра он забыл этот код, но к счастью,
запомнил сумму кода цифр.
Он решил выписать все возможные варианты на листочке. Сколько пройдет времени, и
Вася наверняка сможет освободить свой велосипед, если на проверку одного кода ему
нужна одна минута?
12. Задачи на дроби
1. Четыре плотника нанимались строить дом. Первый плотник сказал так: «Если бы я
строил дом один, то построил бы его за год». Второй плотник сказал : «Если бы я строил
дом один, то построил бы его за два года». Третий плотник сказал : «Если бы я строил
дом один, то построил бы его за три года». Четвертый плотник сказал так: «Если бы я
строил дом один, то построил бы его за четыре года».
И взялись они вместе строить дом. За какой срок они построят его?
2. Лев съел овцу за 1 час, волк съел овцу за 2 часа, пёс съел овцу за 3 часа. За какое время
съедят эти звери овцу, если станут есть её вместе?
3. Над бочкой установили две трубы, из обеих вода течет в бочку. Вода из первой трубы
наполняет бочку за 24 минуты, а из второй – за 15 минут. Есть ещё в бочке отверстие, из
которого вся вода вытекает из бочки в течение двух часов. Наполнится ли бочка, и если
наполнится, то через какое время, если пустить воду из обеих труб и открыть отверстие?
4. Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько
аршин он купил того и другого, если синее сукно стоило 5 руб за аршин, а черное – 3 руб.
5. Ужасный вирус пожирает память компьютера. За первую секунду он управился с
половиной памяти, за вторую секунду – с одной третью оставшейся части, за третью
секунду – с четвертью того, что еще сохранилось, за четвертую – с одной пятой остатка.
И тут его настиг могучий Антивирус. Какая часть памяти уцелела?
13. Задачи, решаемые с конца.
1. Мать положила на стол сливы и сказала своим трем сыновьям, чтобы они , вернувшись
из школы, разделили их поровну. Первым пришел Миша, он взял треть слив и ушел.
Потом вернулся из школы Петя, взял треть лежавших на столе слив и ушел. Затем
пришел Коля, тоже взял треть от числа слив, которые он увидел. Сколько слив оставила
мать, если Коля взял 4 сливы?
2. Мальчик раскладывал яблоки по пакетам. В первый пакет он положил половину всех
яблок и еще пол-яблока; во второй- половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока, и так
далее. В последний – шестой пакет- он положил половину оставшихся яблок и ещё поляблока и оказалось, что он разложил все яблоки. Сколько было яблок?
3. Педсовет затянулся. Наконец, учителя стали расходится. Сперва ушла половина
собравшихся и ещё пол-учителя. Через полчаса ушла половина оставшихся и ещё получителя. Ещё через полчаса ушла половина оставшихся и ещё пол-учителя, после чего в
кабинете остались директор и завуч. Сколько учителей было на педсовете?
4. Почему ты так печален? – спросил прохожий старика, ехавшего на лошади. – Да как же
мне не печалиться, - ответил старик. – Половину моего табуна и ещё пол-лошади угнали
на юг, половину остатка и ещё пол-лошади забрали на восток, половина остатка и ещё
пол-лошади ушли на запад,; наконец, половину последнего остатка и еще пол-лошади я
продал на север и только моя старая лошадь Карагёз осталась со мной. Какой был табун?
5. . На озере расцвела одна лилия. Каждый день количество цветов на озере удваивалось, и
на 20-й день все озеро покрылось цветами. На какой день озеро покрылось цветами
наполовину?
6. Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через
четыре двери, каждую из которых охранял свирепый стражник, отбиравший половину
яблок. Домой она принесла 10 яблок. Сколько яблок досталось стражникам?
7. В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними
деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало 1197
деревьев. Сколько их было изначально?
8. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет
и отдал их второму, потом второй проиграл первому половину своих монет, затем опять
первый проиграл половину монет. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго
33. Сколько монет было у каждого из пиратов перед началом игры?
14. Делители и кратные
1. Сегодня, в воскресенье, из Москвы отправились три теплохода. Через сколько дней все
эти теплоходы снова выйдут в воскресенье из Москвы, если первый теплоход выходит в
рейс один раз в 3 дня, второй- раз в 4 дня и третий- раз в 6 дней?
2. Целые числа от 1 до 1000 написаны вдоль окружности. Начиная с первого, отмечаем
числа через каждые 15 чисел: 1, 16, 31, 46, … Этот процесс продолжается до тех пор, пока
мы не вернемся к числу 1. Сколько чисел останутся непомеченными?
3. Хозяйка принесла яблоки для продажи. Число их меньше 500. Когда она разложила их
по парам, одно яблоко осталось. . Когда же она разложила их по три, опять одно яблоко
осталось. Она стала раскладывать яблоки по 4, по 5, по 6, и каждый раз оставалось одно
яблоко. Но когда она разложила яблоки по 7, то остатка не было. Сколько было яблок?
4. Простые числа имеют два различных делителя: единицу и само число. А какие числа
имеют только три простых делителя?
5. Приведите пример пятизначного натурального числа, кратного 3, сумма цифр
которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
15. Задачи на проценты.
1. Вчера число учеников, присутствующих в классе было в 8 раз больше числа
отсутствующих. Сегодня не пришли ещё 2 ученика и оказалось, что отсутствует 20% от
числа учеников, присутствующих в классе. Сколько всего учеников в классе?
2. На конечной остановке в трамвай сели пассажиры, и половина их заняла места для
сидения. Сколько человек сели на конечной остановке в трамвай, если после первой
остановки число пассажиров увеличилось на 8%, и известно , что трамвай вмещает не
более 70 человек?
3. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить
к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составляло 2%?
4. Шофёр, выезжая с проселочной дороги на шоссе, увеличил скорость на 20%, а потом
вновь уменьшил скорость на 20%. Когда скорость автомашины была больше: до
увеличения или после уменьшения скорости?
5. Баба Яга варит волшебное зелье: к 1,5 кг меда она добавила 100 г растертых волчьих
когтей, 100 г дегтя и 300 г слез кикиморы. Сколько процентов слез кикиморы содержит
это варево?
6. Однажды я набрал в лесу столько грибов, что еле дотащил. Но тащил-то почти одну
воду – её в свежих грибах 90%. А когда грибы высушили, они стали на 15 кг легче, теперь
в них было 60% воды. Сколько грибов я принес из леса?
7. Получив очередную пятерку по математике, Сережа обнаружил, что в
дневнике у него стало на 100% больше пятерок, чем двоек. На сколько
процентов количество двоек теперь меньше, чем количество пятерок?
16. Арифметика остатков.
1. Я задумал трехзначное число. Если к нему прибавить 6, то оно разделится на 7; если к
нему прибавить 7, то оно разделится на 8; если к нему прибавить 8, то оно разделится
на 9. Что за число я задумал?
2. Найти наименьшее число, которое при последовательном делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10 дает соответственно остатки 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9.
3. Трехзначное число при делении на 13 дает остаток 11, а при делении на 11 дает остаток
9, при делении на7 –остаток 5. Найдите его.
4. При делении некоторого числа на 13 и 15 получились одинаковые частные, но первое
деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите это число.
5. Со склада в магазин поступили чашки. Когда их стали считать десятками, то не хватило
двух чашек дот полного числа десятков. Когда же стали считать дюжинами, осталось 8
чашек. Сколько чашек поступило в магазин, если их было больше 320, но меньше 400?
6. Приведите пример трёхзначного натурального числа большего 500, которое при
делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого
является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно
такое число.
7. Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4, а при делении 90 на
это же число в остатке получается 18. На какое число делили?
17. Геометрические задачи на плоскости.
1. Определите, сколько всего треугольников изображено на рис.
2. Разрежьте фигуру на рисунке на три равные части.
3. Сколько треугольников на рис. ?
4. На каком из рисунков закрашена самая маленькая площадь?
5. Гусеница выползла из своего домика в полдень и ползет по лугу, поворачивая после
каждого часа направо или налево на 90º. За первый час она проползла 1 м, а за каждый
следующий – на 1 м больше, чем за предыдущий. На каком наименьшем расстоянии от
домика она могла оказаться в 7 часов вечера?
6. Маша нарисовала на квадратных листках бумаги несколько фигурок (их
стороны параллельны краям листа).
Сколько из них имеют такой же периметр, как и сам лист бумаги?
7. Нарисуйте восемь точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и
каждая точка была бы вершиной ровно четырёх отрезков.
8. Разрежьте прямоугольник 3×9 на восемь квадратов.
9. Робот начинает двигаться из клетки А2 в направлении, указанном стрелкой. Он идет
только вперед, пока не встречает закрашенную клетку или границу доски.
Тогда он поворачивает направо на 90°. Если ни вперед, ни вправо двигаться нельзя, робот
останавливается. Где он остановится?
4
3
2 → →
1
А В С D
10. Разрежьте квадрат на
а) 6 квадратов;
б) 7 квадратов;
в) 8 квадратов.
г) На какое количество квадратов можно разрезать квадрат?
18. Геометрические задачи в пространстве.
1. Все нарисованные тела имеют одинаковый объем. Для покраски какого из них
понадобится самое большое количество краски?
2. Сколько маленьких кубиков надо добавить к фигуре, изображенной справа, чтобы
получить фигуру, изображенную слева?
3. Если из куба 3×3×3 вырезать угловой кубик 1×1×1, то получится фигура, имеющая 9
граней (см. рисунок). Сколько граней будет иметь фигура, которая получится, если
вырезать все остальные угловые кубики?
4. На каждой клеточке квадрата 4×4 (см. рисунок) построена «башенка» из одинаковых
кубиков. Число кубиков в каждой башенке равно числу, написанному в соответствующей
клеточке. Что мы увидим, если посмотрим на эту конструкцию со стороны, указанной
стрелочкой?
19. Круги Эйлера. Простейшие задачи на применение графов
1. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в
биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются
математикой?
2. В классе учатся 40 детей. Из них по русскому языку имеют тройки 19 человек, по
математике – 17, по физике – 22 человека. Только по одному предмету имеют тройки: по
русскому языку 4 человека, по математике 4 человека, по физике – 11 человек. 7 учеников
имеют тройки по математике и физике, из них 5 имеют тройки и по русскому языку.
Сколько человек учатся без троек? Сколько человек имеют тройки по двум из трех
предметов?
3. В первенстве класса по шахматам 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Глеб, Дмитрий,
Егор. Первенство проводится по круговойсистеме: каждый играет с кадым один раз
.Сейчас уже проведены некоторые игры: Андрей сыграл с Борисом , Глебом , Егором;
Борис – с Андреем и Глебом, Виктор – с Глебом, Дмитрием, Егором; Глеб- с Андреем и
Борисом; Дмитрий – с Виктором; Егор- с Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к
настоящему моменту и сколько ещё осталось?
4. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение.
Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера;
Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн;
Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых
ракетах с Земли до Марса ?
5. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать
угловые клетки. Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную
клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу ?
6. На рисунке изображена схема мостов города Кенигсберга.
Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти по каждому мосту ровно 1 раз?
20. Задачи на работу
1. Тому Сойеру было поручено покрасить забор. Четвертую часть работы он выполнил
сам, затем передал кисть Бену, который работал 15 минут, причем водил кисточкой в
два раза быстрее, чем Том. После Бена за дело взялся Билл, который работал втрое
быстрее, чем Том, и закончил всю работу за 5 минут. Сколько времени потратили
мальчики на покраску всего забора?
2. В зоопарке Санкт-Петербурга жили 3 кенгуру: Лиззи, Дженни и Бином. А потом
родился крошка Ру. Сейчас все это семейство съедает по 28 кг морковки в неделю,
причем Ру съедает ровно вдвое меньше, чем любой из старших кенгуру. Сколько
морковки в неделю съедало это семейство до рождения Ру?
3. Пошел дождь. Под водосточную трубу поставили пустую бочку. В нее вливалось 8 л воды в каждую минуту, а через щель в бочке
каждую минуту выливалось 3 л воды в минуту. Сколько литров воды будет в бочке через 1 мин, 3 мин? Успеет ли бочка наполниться,
если ее объем 400 л, а дождь шел 1 час 10 мин?
4. Две тракторные бригады вспахали вместе 762 га. Первая бригада работала 8 дней и вспахивала за день 48 га. Сколько гектаров
вспахивала за день вторая бригада, если она работала 9 дней? Какая
бригада вспахала больше и на сколько?
5. Через первую трубу можно наполнить бак за 4 мин, через вторую – за 12 мин. За сколько минут можно наполнить бак через обе
трубы?
21. Задачи на движение
1. Велосипедист поднимался на холм со скоростью 12 км/час, а спустился он с холма тем
же путем со скоростью 20 км/час, потратив на спуск на 16 минут меньше, чем на
подъем. Чему равна длина дороги, ведущей на холм?
2. В 12:00 Петя пошел в соседнюю деревню. Вместе с ним в том же
направлении выбежал пес Шарик. Добежав до соседней деревни в 14:30,
Шарик повернул обратно и встретил Петю в 15:30. Во сколько раз скорость Шарика больше скорости Пети?
3. Два поезда, оба длиной 50 м, движутся навстречу друг другу со скоростью 45 км/ч.
Сколько времени пройдёт от момента, когда встретятся машинисты, до момента, когда
встретятся проводники последних вагонов?
4. Костя увидел своего друга Сережу, идущего по улице ,побежал за ним и догнал за 3
минуты. Если бы в тот момент, когда Костя побежал, Сережа пошел ему навстречу со
своей прежней скоростью ,они встретились бы через 1 минуту. Сколько времени бежал бы
Костя, если бы Сережа ждал его, стоя на месте
5. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости равны 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько
часов расстояние между ними будет равно: а) 260 км; в) 132 км?
6. Две моторные лодки одновременно отправляются навстречу
друг другу от двух пристаней. Одна идет со скоростью 20 км/ч, а
другая – со скоростью 24 км/ч. Через сколько часов они встретятся,
если расстояние между пристанями равно: а) 88 км; б) 132 км?
7. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а
скорость велосипедиста 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними: а) через 1 час; б) через 3 часа?
22. Разные задачи
1. Один сапфир и три топаза ценней, чем изумруд, в три раза. А семь сапфиров и топаз его
ценнее в восемь раз. Определить прошу я вас, сапфир ценнее иль топаз?
2. Разглядывая семейный альбом, Ванечка обнаружил, что у него 4
прабабушки и 4 прадедушки. А сколько прабабушек и прадедушек имели
его прабабушки и прадедушки все вместе?
3. Катя и четыре ее подружки разделили между собой несколько конфет.
В результате оказалось, что у всех девочек разное число конфет, а
общее число конфет у любых трех девочек больше, чем общее число
конфет у остальных двух. Какое самое маленькое число конфет может
быть у Кати?
4. . Яблоко и апельсин вместе весят столько же, сколько груша и персик.
Яблоко вместе с грушей весят меньше, чем апельсин с персиком, а груша вместе с апельсином весят меньше, чем яблоко с персиком. Какой из
фруктов самый тяжелый?
5. На лесной опушке под каждой березой растет по два подберезовика, а
на каждом пеньке – по 12 опят. Сколько берез надо обойти, чтобы
собрать столько же подберезовиков, сколько опят растет на 6 пеньках?
6. В классе сидят мальчики и девочки. Если в класс войдут еще 10 мальчиков, то всего мальчиков станет вдвое больше, чем девочек. Сколько девочек должны выйти из класса, чтобы среди оставшихся ребят оказалось вдвое больше мальчиков, чем девочек?
7. Фермер собирается отвезти на рынок яйца: 135 коричневых и 162 белых.
Он хочет упаковать их в одинаковые контейнеры так, чтобы в каждом
контейнере все яйца имели один и тот же цвет, и свободных мест в
контейнерах не было. Каким наименьшим числом контейнеров может
обойтись фермер?
23. Десятичная система счисления.
1. И сказал Кащей Ивану-царевичу: «Жить тебе до завтрашнего утра. Утром явишься пред
мои очи. Задумаю три цифры а,в,с. Назовешь ты мне три числа x,y,z. Выслушаю я тебя, и
скажу, чему равно а x+в y+с z. Тогда отгадай, какие три цифры я задумал. Не отгадаешь –
голова с плеч долой!
Запечалился Иван-царевич, закручинился. Пошел думу думать. Как же решить эту
задачу?
2. Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру переставить на последнее
место, то число уменьшится на 864. Найдите это число.
3. Если задуманное двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном
получится 4, в остатке 3. Если же из задуманного числа вычесть удвоенную сумму его
цифр, то получится 25. Какое число задумано?
4. Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то
полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найдите это
число.
5. Докажите, что если в трехзначном числе поменять местами цифры сотен и единиц, а
затем из одного числа вычесть другое, получится число, кратное 9.
6. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и
получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и
получили 1458. Приведите ровно один пример такого числа.
7. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается
только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое
число
8. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число
делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.