Теория групп - Физический факультет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Физический факультет
Рассмотрено и одобрено
на заседании кафедры «Теоретической
и вычислительной физики»
Протокол №______
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
_________________________
«____» _______________2009 г.
____________________
Зав. кафедрой _______________
«_____» ____________ 2009 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
учебной дисциплины «ТЕОРИЯ ГРУПП»
цикла ДС по специальности
010700 Физика
Составитель
кандидат физ.-мат. наук,
ЧЕЧИН Г.М.
Ростов-на-Дону
2009
1
1. Пояснительная записка к курсу
1.1. Цели изучения дисциплины
Курс теории групп и её применений в физике является спецкурсом
поддерживающим специализации кафедры по теоретической физике и
информационным технологиям в образовании и науке в рамках специальности 010700 физика и направления 510700 физика по программе
теоретическая физика.
Целью курса является знакомство студентов с современным апп аратом теоретической физики путем изучения основных положений теории групп и способов применения теоретико-групповых представлений
в различных областях физики. Изучение курса позволит студентам самостоятельно или с помощью научного руководителя использовать
теоретико-групповые методы для исследования конкретных вопросов в
физике твердого тела и физике элементарных частиц.
1.2. Задачи изучения дисциплины
В результате изучения курса студенты должны:
• иметь представление и понимать основы теории конечных групп и
групп Ли;
• иметь представление о методах применения теории групп для
установления законов сохранения, классификации состояний,
установления правил отбора, нахождения групповых инвариантов.
1.3. Место дисциплины в образовательной программе специальности
Для изучения курса требуется предварительное освоение студентами следующих дисциплин:
2
•
Теоретической механики
•
Атомной физики
•
Квантовой механики
•
Математического анализа
•
Высшей алгебры
Поэтому в рабочем учебном плане курс теории групп располагается в 7-м
семестре и заканчивается экзаменом.
2. Учебно-тематический план дисциплины
Наименование модулей и тем
1
Модуль 1.
Абстрактные
группы и
группы симметрии
Модуль 2.
Матричные
представления групп
симметрии
2
Тема 1. Теория групп и
физика.
Виды учебных занятий
Всего
Аудиторные зачасов
нятия
Сам.
по
Прак. рабоучеб.
Лекта
заняплану
ции
тия
3
4
5
6
1
1
Тема 2. Элементы абстрактной теории групп
9
6
3
Тема 3. Точечные группы
симметрии
6
4
2
Тема 4. Пространственные
группы симметрии
4
2
2
5
2
3
4
2
2
4
2
2
Тема 5. Приводимые и
неприводимые представления конечных групп
Тема 6. Леммы Шура и
свойства ортогональности неприводимых представлений
Тема 7. Теория характеров представлений конечных групп
3
Тема 8. Индуцирование
представлений группы из
представлений ее подгруппы
Тема 9.Понятие о неприводимых представлениях
пространственных групп
Тема 10. Построение базисных векторов неприводимых водимых представлений
Тема 11. Теорема Вигнера
2
1
1
2
1
1
4
2
2
3
2
1
2
1
1
2
1
1
3
2
1
2
1
1
4
2
2
Тема 17. Группа R_2 и ее
неприводимые представления
2
1
1
Тема 18. Группа R_3 и ее
неприводимые представления
3
2
1
ИТОГО:
63
36
27
Тема 12. Теория групп и
квантово-механическая.
Теория возмущений
Модуль 3.
Непрерывные группы
симметрии и
их неприводимые представления
Тема 13. Правила отбора
и их нахождение методами теории групп
Тема 14. Определение
группы Ли. Примеры
групп Ли.
Тема 15. Инфинитезимальный оператор и теорема Ли о восстановлении группы Ли по ее оператору
Тема 16. Алгебры Ли и
примеры их построения
3. Содержание курса
4
Модуль 1.
Абстрактные группы и группы симметрии
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен:
знать 1) основные понятия абстрактной теории групп - группа, подгруппа, класс сопряженных элементов ,класс смежности, теорема Лагранжа о порядке подгруппы, инвариантная подгруппа, фактор-группа,
генераторы и определяющие соотношения группы, изоморфизм и гомоморфизм групп, абелевы и неабелевы группы; 2)основные понятия точечных и пространственных групп симметрии – преобразования симметрии, элементы точечных групп симметрии (повороты, отражения,
зеркальные повороты), элементы пространственных групп симметрии
(трансляции, винтовые оси и плоскости скольжения), решетки Браве,
кристаллические классы, сингонии, решетки с базисом, правильные системы точек, примитивная и элементарная ячейки, ячейка ВигнераЗейтца, симморфные и несимморфные группы, теорема Блоха, обратная решетка и зона Бриллюэна иметь представление о всех 32 кристаллических классах, 7 сингониях, 14 решетках Браве, о классификации
230 пространственных групп по кристаллическим классами решеткам
Браве; уметь находить для группы, заданной таблицей группового
умножения, ее классы сопряженных элементов, подгруппы, смежные
классы по заданной подгруппе, выделять инвариантные подгруппы и
строить по ним фактор-группы ,находить генераторы группы и определяющие соотношения, определять различные характеристики точечных и пространственных групп симметрии по справочнику Ковалева [4].
5
Содержание модуля 1
Тема 1. Теория групп и физика.
Эта тема является вводной и предполагает некоторый обзор на качественном уровне значения и возможности использования аппарата
теории групп в различных областях физики – от физики молекул и кристаллов до физики элементарных частиц.
Тема 2. Элементы абстрактной теории групп.
Определение абстрактной группы, задание группы с помощью таблицы
группового умножения, а также с помощью генераторов и определяющих соотношений, подгруппа, сопряженные элементы, классы сопряженных элементов, левые и правые классы смежности по заданной подгруппе, теорема
Лагранжа о порядке подгруппы, инвариантная подгруппа, фактор-группа,
изоморфизм и гомоморфизм групп. Перечисленные математические понятия
иллюстрируются на примере точечной группы C4v, заданной своей таблицей
группового умножения.
Тема 3. Точечные группы симметрии.
Преобразования пространственной симметрии. Повороты, зеркальные
отражения и зеркальные повороты. Возможные сочетания этих элементов в
точечных группах симметрии. Кристаллические классы. Понятие о макро- и
микросимметрии.
Тема 4. Пространственные группы симметрии.
Трансляционные элементы симметрии и решетки Браве. Решетки с базисом. Примитивная и элементарная ячейки. Ячейка Вигнера-Зейтца. Собственные и несобственные трансляции. Винтовые оси и плоскости скольжения. Сингонии. Пространственные группы. Симморфные и несимморфные
пространственные группы. Возможные сочетания элементов симметрии в
пространственных группах. Обратная решетка. Теорема Блоха. Зона Бриллюэна. Знакомство со справочником Ковалева [4] по пространственным груп6
пам и их неприводимым представлениям.
Проектное задание
1. Для заданной точечной группы симметрии, построить таблицу ее
группового умножения. С помощью этой таблицы разложить эту
группу на классы сопряженных элементов.
2. Найти все подгруппы абстрактной группы, построенной в предыдущем проектном задании. Выделить среди них инвариантные подгруппы и найти соответствующие им фактор-группы. Разложить
группу на смежные классы по одной из ее подгрупп.
3. Построить все неизоморфные друг другу абстрактные группы шестого порядка (Напоминание: абстрактная группа определяется
своей таблицей группового умножения).
Тест рубежного контроля
1. Какие из перечисленных множеств образуют группу:
а) множество нечетных целых чисел относительно операции умножения;
б) множество четных чисел относительно операции сложения;
в) множество корней степени N из единицы относительно операции
сложения?
2. Если в класс сопряженных элементов входит более одного элемента,
то он
а) является подгруппой группы
б) может быть подгруппой группы
в) никогда не может быть подгруппой группы
3. Подгруппы группы
а) всегда пересекаются друг с другом
б) никогда не могут пересекаться
7
в) в некоторых случаях могут, а в некоторых не могут пересекаться
4. Число элементов в разных классах сопряженных элементов данной
группы
а) может быть разным
б) может быть только одинаковым
в) всегда равно индексам инвариантных подгрупп данной группы
5. Данная подгруппа может быть образована
а) некоторыми элементами из разных классов сопряженных элементов
б) элементами разных классов смежности
в) она всегда является объединением нескольких классов сопряженных элементов
6. Классы смежности могут
а) пересекаться друг с другом
б) пересекаться с некоторыми классами сопряженных элементов
в) не могут пересекаться ни с одним из классов сопряженных элементов
7. Число классов сопряженных элементов
а) всегда равно порядку группы
б) является делителем порядка группы
в) может быть равно порядку группы
8. В абелевой группе
а) только некоторые элементы коммутируют друг с другом
б) все элементы коммутируют друг с другом
в) число классов сопряженных элементов меньше порядка группы
9. Теорема Лагранжа заключается в том, что
а) порядок классов сопряженных элементов является делителем порядка группы
8
б) порядок подгруппы является делителем порядка группы
в) число классов сопряженных элементов не превосходит числа ее
подгрупп
10. Порядок фактор-группы
а) равен числу классов сопряженных элементов
б) равен числу смежных классов некоторой инвариантной подгруппы
в) может превышать порядок исходной группы
11. Объем элементарной ячейки гранецентрированной кубической решетки больше объема ее примитивной ячейки
а) в два раза
б) в четыре раза
в) указанные ячейки имеют одинаковый объем
12. Число кристаллических классов кубической сингонии равно
а) 5
б) 3
в) 4
13. Объем ячейки Вигнера-Зейтца для объемоцентрированной кубической решетки
а) совпадает с объемом ее примитивной ячейки
б) совпадает с объемом ее элементарной ячейки
в) вдвое меньше объема элементарной ячейки
14. В симморфных пространственных группах
а) могут быть винтовые оси
б) могут быть плоскости скольжения
в) не может быть ни винтовых осей, ни плоскостей скольжения.
9
Бланк ответов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
а
б
в
Список рекомендуемой литературы
1. Эллиот Дж., Добер М, Симметрия в физике, т. 1. М.: Мир, 1983.
2. Хамермеш М., Теория групп и её применение к физическим проблемам. М.:
Мир, 1966.
3. Бир Г. Л., Пикус Г. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М.: Наука, 1972.
4. Ковалёв О. В., Неприводимые и индуцированные представления и копредставления фёдоровских групп. М.:, Наука, 1986.
5. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.:Наука, 1957.
6. Ландау Л.Д, Лившиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
Т.3. М.: Наука, 1989.
Модуль 2.
Матричные представления групп симметрии.
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен:
знать основные понятия теории матричных представлений конечных
групп (представление группы, унитарные, эквивалентные, приводимые и
неприводимые представления, регулярное представление ), вид неприводимых представлений абелевых групп, леммы Шура и свойства ортогональности неприводимых представлений, теорему Бернсайда, связь
между числом неприводимых представлений и числом классов сопря10
женных элементов, свойства характеров неприводимых представлений,
критерий неприводимости представления группы, звезда и группа волнового вектора, малые, нагруженные (проекционные) и полные представления пространственных групп, теорему Вигнера и классификацию
на ее основе уровней энергии квантово-механических систем и частот
нормальных колебаний; иметь представление о процедуре построения
неприводимых представлений группы с помощью индуцирования из неприводимых представлений ее инвариантной подгруппы, о построении
неприводимых представлений пространственных групп с помощю справочника Ковалева [ 6], о применении аппарата неприводимых представлений групп симметрии для вывода правил отбора для переходов между
различными состояниями квантовых систем ; уметь находить состав
приводимого представления (определять кратности вхождения в него
неприводимых представлений заданной группы), строить базисные
функции неприводимых представлений групп симметрии на атомных
перестановках и атомных смещениях.
Содержание модуля 2
Тема 5. Приводимые и неприводимые представления конечных
групп.
Функциональные линейные пространства и индуцированные операторы. Прямые суммы и произведения линейных пространств. Инвариантные подпространства. Эквивалентные представления. Приводимые и
неприводимые представления. Унитарные представления. Представления абелевых групп. Неабелевы группы и связь с принципом неопределенности.
Тема 6. Леммы Шура и свойства ортогональности неприводимых
представлений конечных групп.
11
Первая и вторая леммы Шура. Ортогональность неприводимых
представлений. Регулярное представление. Теорема Бернсайда. Связь
числа разных неприводимых представлений с числом классов сопряженных элементов. Ограничения на число различных неприводимых представлений.
Тема 7. Теория характеров неприводимых представлений конечных
групп.
Характеры неприводимых представлений. Ортогональность характеров. Формула, определяющая число вхождений неприводимых представлений в приводимое представление данной группы. Критерий неприводимости представления группы. Прямое произведение представлений и вычисление его характера.
Тема 8. Индуцирование представлений группы из представлений ее
подгрупп.
Представление, реализующееся на данном комплекте базисных
функций. Расширение базиса при переходе в процессе индуцирования от
подгруппе к группе. Случай инвариантной подгруппы индекса 2. Матрицы индуцированного представления. О разложении индуцированного
представления группы на ее неприводимые представления. Пример: построение методом индуцирования всех неприводимых представлений
группы C4v.
Тема 9. Понятие о неприводимых представлениях пространственных групп.
Неприводимые представления группы целых трансляций. Звезда
волновых векторов и группа волнового вектора для данного неприводимого представления. Малые и полные неприводимые представления
пространственных групп. Связь малых представлений с проективными
(нагруженными) представлениями группы волнового вектора. Построение неприводимых представлений пространственных групп с помощью
12
справочника Ковалева [6].
Тема 10. Построение базисных векторов неприводимых представлений.
Метод проекционных операторов. “Прямой метод» построения базисных функций неприводимых представлений точечных групп на атомных перестановках и атомных смещениях и атомных спинах. Пример:
построение базисных функций неприводимых представлений для плоской квадратной молекулы.
Тема 11. Теорема Вигнера.
Механическое представление. Построение характера механического (колебательного) представления. Теорема Вигнера о виде матрицы,
коммутирующей со всеми матрицами приводимого представления. Нормальные колебания молекул и классификация их частот по неприводимым представлениям группы симметрии молекулы. Классификация
уровней энергии квантовой системы по неприводимым представлениям
ее группы симметрии.
Тема 12. Теория групп и квантово-механическая теория возмущений.
Ряды теории возмущений в квантовой механике. Применение аппарата теории неприводимых представлений группы симметрии системы
для упрощения вида матричных элементов.
Тема 13. Правила отбора и их нахождение методами теории
групп.
Инфракрасные и комбинационные спектры молекул. Аппарат теории неприводимых представлений групп симметрии для вывода правил
отбора для оптических переходов.
Проектное задание
13
1. Построить неприводимые представления и их базисные функции
на атомных перестановках и атомных смещениях для заданной конфигурации молекулы.
2. Найти схему расщепления данного вырожденного уровня иона в
окружении других ионов заданной конфигурации.
Тест рубежного контроля
1. Число различных неприводимых представлений группы
а) всегда равно числу ее классов сопряженных элементов
б) может превышать порядок группы
в) равно числу всех инвариантных подгрупп группы
2. Размерность любого неприводимого представления
а) может превышать порядок группы
б) является делителем порядка группы
в) совпадает с числом классов сопряженных элементов
3. Теорема Бернсайда утверждает,что
а) сумма размерностей всех неприводимых представлений группы
равна порядку этой группы
б) сумма квадратов размерностей всех неприводимых представлений группы равна порядку этой группы
в) максимальная размерность неприводимого представления равна
порядку группы
4. В регулярное представление группы ее каждое неприводимое представление
а) входит только один раз
б) может не входить вовсе
в) входит столько раз, какова размерность этого представления
5. Сумма квадратов модулей следов всех матриц неприводимого пред14
ставления группы равна
а) размерности данного представления
б) порядку группы
в) порядку ядра гомоморфизма данного представления
6. Матрица, коммутирующая со всеми матрицами данного неприводимого представления является
а) треугольной
б) нулевой
в) кратной единичной матрице
7. матрица, коммутирующая со всеми матрицами данного приводимого
представления имеет блочно-диагональный вид, причем, размерность
каждого из блоков определяется
а) размерностью (ni) соответствующего неприводимого представления, входящего в состав исходного приводимого представления
б) кратностью вхождения (mi) неприводимого представления в состав исходного приводимого представления
в) произведением (mi * ni) размерности неприводимого представления на кратность его вхождения в приводимое представление
8. Представление, индуцированное из данного неприводимого представления подгруппы,
а) всегда является неприводимым представлением группы
б) имеет большую размерность по сравнению с размерностью исходного неприводимого представления группы
в) имеет меньшую размерность по сравнению с размерностью исходного неприводимого представления группы
9. Чем различаются эквивалентные представления:
а) размерностью;
б) разными базисами в одном пространстве;
в) пропорциональностью всех своих матриц.
15
10. Как установить эквивалентность двух представлений:
а) по равенству характеров представлений
б) по одинаковой размерности их;
в) по одинаковости наборов матриц, из которых образованы эти представления?
11. Пусть имеются представления группы T1 и Т 2 с размерностями n1 и n 2
соответственно. Какую размерность имеет представление, равное прямой
сумме T1 и Т 2 :
а) n1+n 2;
б) n1*n 2;
в) n1-n 2.
12. Представление T группы G есть прямое произведение двух представлений T1 и Т 2 этой же группы с размерностями n1 и n2 соответственно: Какова
размерность представления T:
a) n1+n 2;
b) n1*n 2;
c) n1-n 2
13. Дано представление T абелевой группы порядка N в линейном пространстве размерности n. На какое число неприводимых представлений разлагается представление T:
а) N;
б) n;
в ) n + N?
14. Чему равен характер прямого произведения двух представлений группы
а) совокупности сумм соответствующих компонент характеров этих
представлений
б) совокупности произведений соответствующих компонент характеров этих представлений
в) скалярному произведению характеров двух вышеуказанных пред16
ставлений
Бланк ответов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
а
б
в
Список рекомендуемой литературы
1. Эллиот Дж., Добер М, Симметрия в физике, т. 1. М.: Мир, 1983.
2. Петрашень М.И., Трифонов E.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.: Наука, 1967.
3. Хамермеш М., Теория групп и её применение к физическим проблемам. М.:
Мир, 1966.
4. Бир Г. Л., Пикус Г. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М.: Наука, 1972.
5. Хейне В., Теория групп в квантовой механике, М.: ИЛ, 1963.
6. Ковалёв О. В., Неприводимые и индуцированные представления и копредставления фёдоровских групп. М.:, Наука, 1986.
7.
Ландау
Л.Д,
Лившиц
Е.М.
Статистическая
физика.
Т.5.
Часть
1.
М.:Наука,1995.
8. Ландау Л.Д, Лившиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
Т.3. М.: Наука, 1989.
Модуль 3.
Комплексная цель: После изучения модуля студент должен: знать
определения группы Ли и инфинитезимального оператора,уравнения Ли
для восстановления конечных преобразований группы Ли по ее инфини17
тезимальному оператору, определение абстрактной алгебры, скобки
Пуассона и их свойства, определение алгебры Ли. группу плоских вращений R_2 и ее неприводимые представления, группу трехмерных вращений и коммутационные соотношения между ее инфинитезимальными
операторами, переход в группе R_3 к «понижающим” и
“повышаю-
щим” инфинитезимальным операторам, оператор Казимира, нумерацию
и размерности неприводимых представлений группы R_3, однозначные
и двузначные неприводимые представления группы R_3, выражение для
характеров неприводимых представлений группы R_3, вид разложения
прямого произведения двух неприводимых представлений группы R_3
на ее неприводимые представления; иметь представление о связи законов сохранения в квантовой механики с ее непрерывной симметрией
гамильтониана рассматриваемой системы, о связи теории группы R_3 с
теорией углового момента атома; уметь построить алгебру Ли по заданным конечным преобразованиям
группы Ли, получить вид инфини-
тезимальных операторов группы R_3 и коммутационные соотношения
между ними.
Содержание модуля 3
Тема 14. Определение группы Ли. Примеры групп Ли.
Дается общее определение группы Ли и приводятся примеры некоторых простейших групп Ли (афинной группы, группы плоских вращений, группы Лоренца и др.).
Тема 15. Инфинитезимальный оператор и теорема Ли о восстановлении группы Ли по ее оператору. Дается определение инфинитезимального оператора и способ его построения по конечным преобразованиям группы Ли. Приводятся примеры этих операторов для ряда групп
18
Ли. Обсуждается теорема Ли о восстановлении группы конечных преобразований по ее инфинитезимальным операторам.
Тема 16. Алгебры Ли и примеры их построения.
Понятие абстрактной алгебры. Скобка Пуассона и ее свойства.
Вторая основная теорема Ли. Пример построения алгебры Ли для трехпараметрической группы Ли.
Тема 17. Группа R_2 и ее неприводимые представления.
Определение группы R_2. Вывод одномерных матриц ее неприводимых представлений. Понятие о двузначных представлениях группы
R_2.
Тема 18. Группа R_3 и ее неприводимые представления.
Инфинитезимальные матрицы группы R_3 и коммутационные соотношения между ними. “Понижающие” и “повышающие” операторы.
Оператор Казимира. Нумерация и размерности неприводимых представлений
группы R_3. Однозначные и двузначные неприводимые пред-
ставления группы R_3. Выражение для характеров неприводимых представлений. Разложения прямого произведения двух неприводимых представлений
группы R_3 на ее неприводимые представления. Сфериче-
ские функции. Связь теории группы R_3 с теорией углового момента
атома.
Проектное задание
1. Построить алгебру Ли для группы трехмерных вращений R_3.
Тест рубежного контроля
1. Группа R_2 является
а) двухпараметрической
б) трехпараметрической
в) однопараметрической
19
2. Группа Лоренца является
а) двухпараметрической
б) трехпараметрической
в) однопараметрической
3. Инфинитезимальный оператор
однопараметрической группы Ли
определяет
а) только линейную часть разложения групповых преобразований в
ряд Тейлора
б) соответствующие ряды Тейлора полностью
в) не имеет никакого отношения к рядам Тейлора
4. Умножение в алгебре Ли определяется
а) как парное умножение инфинитезимальных операторов
б) через скобку Пуассона инфинитезимальных операторов
в) с помощью формы Жордана инфинитезимальных операторов
5. Размерность алгебры Ли
а) совпадает с параметричностью соответствующей ей группы Ли
б)размерность алгебры Ли всегда больше параметричности группы
Ли
в) прямой связи размерности алгебры Ли с параметричностью группы Ли нет
6.Знание инфинитезимального оператора позволяет восстановить преобразования группы Ли
а) с помощью преобразования Ли-Бэклунда
б) с помощью вычисления скобки Пуассона
в) с помощью решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений Ли
7.Группа Ли называется компактной, если
а) ее параметры изменяются лишь в некоторой ограниченной области
20
б) если число ее параметров равно размерности пространства, в котором определены преобразования этой группы
в) если число ее параметров меньше размерности пространства, в
котором определены преобразования группы Ли
8. Структурные постоянные алгебры Ли представляют собой коэффициенты разложения
а) симметризованного произведения инфинитезимальных операторов
б) кососимметричного произведения этих операторов
в) их обычного произведения
9. Размерность неприводимых представлений группы R_3
а) равна трем
б) может быть произвольным нечетным числом
в) может быть произвольным натуральным числом
10.Зависимость характера неприводимого представления группы R_3
имеет
а) логарифмический характер
б) синусоидальный характер
в) кноидальный характер
11. Число слагаемых в разложении прямого произведения двух неприводимых представлений группы R_3 с весами 3 и 5 по всем возможным ее
неприводимым представлениям равно
а) 3
б) 5
в) 7
12. Все коэффициенты разложения прямого произведения двух заданных
неприводимых представлений группы R_3 по набору неприводимых
представлений этой группы
а) равны 0 или 1
21
б) могут иметь дробные значения
в) могут иметь различные знаки
13. Неприводимое представление группы R_3 с весом j=2 является:
а) двумерным;
б) одномерным;
в) пятимерным?
14. Какими правилами отбора определяется изменение орбитального
квантового числа l для дипольных электрических переходов электрона
в атоме:
а)
;
б)
;
в)
;
Бланк ответов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
а
б
в
Список рекомендуемой литературы
1. Эллиот Джс, Добер М, Симметрия в физике, т. 1. Москва, Мир
1983.
2. Петрашень М.И., Трифонов E.Д.
Применение теории групп в
квантовой механике. Москва, Наука, 1967.
3. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. Москва, Знание, 1989.
4. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний.
Москва, Наука, 1988.
22
4. Методические рекомендации по самостоятельной
работе студентов
4.1. Рекомендации к изучению отдельных тем курса
Тема 1. Теория групп и физика.
При изучении этой темы особое внимание рекомендуется обратить
на применение аппарата теории групп в квантовой механике и физике
элементарных частиц. Обзор соответствующих приложений можно
найти в книге [1].
Тема 2. Элементы абстрактной теории групп.
В связи с возможными трудностями восприятия абстрактных понятий
общей теории групп настойчиво рекомендуется сначала составить таблицу
группового умножения для группы симметрии “квадратной молекулы» (точечная группа C4v), после чего использовать ее как таблицу умножения некоторой абстрактной группы для построения классов сопряженных элементов, подгрупп, классов смежности и др. математических конструкций теории
групп. Наиболее удачно (причем, кратко) абстрактная теория групп изложена
в книге Бира и Пикуса [4].
Тема 3. Точечные группы симметрии.
Обратить особое внимание на то, что далеко не любое сочетание элементов симметрии возможно для построения некоторой группы для того,
чтобы обеспечить свойство замкнутости конечной группы (подумайте,
например, почему невозможна группа симметрии, у которой имеется пово23
ротная ось, проходящая под острым углом к плоскости зеркального отражения). Обратите также различие в физических приложениях понятий макро – и
микросимметрии.
Тема 4. Пространственные группы симметрии.
Обратите внимание на то, что примитивной ячейки для данного
кристалла неоднозначен эти ячейки при равенстве (и минимальности!)
объема могут иметь весьма различные формы, которые не дают представления о точечной группе симметрии кристалла (его кристаллическом
классе). Проведите самостоятельно доказательство теоремы о несовместимости поворотных осей с порядком, отличным от 1,2,3,4 и 6, с трансляционной симметрией. Тщательно проанализируйте ограничения на величину несобственных (дробных) трансляций, которые могут сочетаться
с данным элементом точечной симметрии. Обратите внимание на то, что
набор несобственных трансляций зависит от выбора начала координат,
относительно которой задаются элементы точечной группы симметрии.
Особое внимание обратите на интерпретацию обратной решетки как
набора частот трехмерного ряда Фурье, в который можно разложить периодические на прямой решетке функции. Научитесь находить в спавочнике Ковалева [6] аналитическое описание различных пространственны х
групп (набор элементов кристаллических классов и соответствующих им
несобственных трансляций, вид базисных векторов обратных решеток, а
также точек и направлений выделенной симметрии в этих решетках).
Тема 5. Приводимые и неприводимые представления конечных
групп.
Важно понять, что коммутирующие друг с другом матрицы единым преобразованием подобия можно привести к диагональному виду.
Именно с этим связан тот факт, что все неприводимые представления
абелевых групп являются одномерными. С другой стороны, матрицы,
которые друг с другом не коммутируют, нельзя одновременно (одним и
24
тем же преобразованием подобия) привести к диагональному виду. В
случае неабелевой группы отсюда следует, что эта группа должна иметь
и некоторые неодномерные представления. Каждому из таких НП отвечает некоторое инвариантное подпространства того функционального
пространства, на котором определено действие операторов группы.
Важно осознать факт невозможности одновременного приведения некоммутирующих матриц с принципом неопределенности Гейзенберга в
квантовой механике.
Тема 6. Леммы Шура и свойства ортогональности неприводимых
представлений конечных групп.
Детально разберите леммы Шура. А какой вид будет иметь матрица, коммутирущая со всеми матрицами некоторого приводимого представления данной группы? Заметьте, что ответ на этот вопрос приводит
нас к рассмотренной далее теореме Вигнера. Важно понять,что на число
различных непрводимых представлений
Тема 7. Теория характеров неприводимых представлений конечных
групп.
Обратите внимание на то, что нахождение явного вида матриц неприводимых представлений группы и работа с ними могут оказаться
весьма непростыми задачами. С другой стороны, ответы на целый ряд
существенных вопросом (например, это касается задачи о расщеплении
вырожденных уровней атома в полях различной симметрии) могут быть
найдены на уровне работы с характерами неприводимых представлений,
что значительно проще работы с матрицами многомерных представлений. Необходимо детально освоить основные свойства характеров неприводимых представлений и работу с этими математическими объектами.
Тема 8. Индуцирование представлений группы из представлений ее
подгрупп.
25
Процедура построения неприводимых представлений групп не относится к числу простых задач. Более того, для нее в общем случае неизвестен алгоритм решения. Наиболее часто для построения неприводимых представлений группы прибегают к индуцированию их из неприводимых представлений некоторой ее инвариантной подгруппы. Рекомендуется, разобрав процедуру индуцирования для случая инвариантной
подгруппы индекса 2, найти все неприводимые представления нескольких простых точечных групп (например, для группы C4v).
Тема 9. Понятие о неприводимых представлениях пространственных групп.
Процедура построения неприводимых представлений описана достаточно подробно в книге Бира и Пикуса [4]. Для практического построения неприводимых представлений той или иной пространственной
группы прийдется прибегать к справочнику Ковалева [4]. Следует, однако, иметь в виду, во-первых, неприводимые представления в этом справочнике закодированы весьма сложным образом, и что в нем имеется
очень большое число опечаток (существует американское издание книги
Ковалева, в котором ошибки были устранены с помощью соответствующей компьютерной программы).
Тема 10. Построение базисных векторов неприводимых представлений.
Достаточно хорошее изложение метода проекционных операторов
для построения неприводимых представлений групп симметрии можно
найти в книгах [3] и [4]. Обязательно проведите соответствующее построение для какой-либо простой группы симметрии. Учтите, что при
неудачном выборе стартовой функции, на которую действует операционный оператор, для некоторых представлений вы можете получить нулевой результат. Обязательно выполните построение базисных функций
«прямым методом”, в основу которого положено лишь определение мат26
ричного представления группы.
Тема 11. Теорема Вигнера.
Теорема Вигнера является основополагающей для классификации
состояний квантовых систем. Наиболее хорошо эта теорема изложена в
книге [2].
Выведите эту теорему на конкретном примере исходя из условия,
что некоторая матрица коммутирует со всеми матрицами данного приводимого представления, приведенного к блочно-диагональной форме, и
применяя леммы Шура.
Тема 12. Теория групп и квантово-механическая теория возмущений.
Наиболее хорошо данный вопрос изложен в книге [3].
Тема 13. Правила отбора и их нахождение методами теории
групп.
Очень хорошее изложение вопросов этой темы можно найти в книге Хамермеша [3] и в книге Хейне [5].
Тема 14. Определение группы Ли. Примеры групп Ли.
Начинать изучение групп Ли студентам рекомендуется по книгам
[10] и [11].В них предельно ясно описаны все необходимые для использования в нашем курсе далее понятия непрерывных групп и приведено
достаточно большое число примеров простейших групп Ли.
Тема 15. Инфинитезимальный оператор и теорема Ли о восстановление группы Ли по ее оператору.
Методические рекомендации к изучению студентами настоящей
темы полностью совпадают с советами, приведенными к предыдущей
теме.
Тема 16. Алгебры Ли и примеры их построения.
Очень ясное изложение понятия абстрактной алгебры можно найти
в книге Хамермеша [3]. Вопросы, касающиеся скобок Пуассона, опре27
деляющих операцию умножения в алгебре Ли, и их свойств, а также
примеры построения алгебр Ли, по-видимому, более удачно изложены в
книге Журавлева и Климова [11].
Тема 17. Группа R_2 и ее неприводимые представления.
Относящиеся к данной теме вопросы достаточно хорошо изложены
в большинстве книг по теории групп (см., например, [1,2,3,4]).
Тема 18. Группа R_3 и ее неприводимые представления.
Для изучения данной темы наиболее доступными, по-видимому,
являются книга Эллиота и Добера [1] и книга Петрашень и Трифонова
[2]. Вывод коммутационных соотношений для инфинитезимальных матриц группы R_3 лучше изложен в [2], в то время, как построение неприводимых представлений этой группы более ясно описано, на наш взгляд,
в [1].
4.2. Вопросы для самоконтроля
1. Определите точечные группы 1 -го рода.
2. Определите точечные группы 2-го рода.
3. Опишите различие в элементарных точечных группах 1 -го и 2-го
рода.
4. Входят ли элементы точечных групп 1 -го рода в точечные группы 2го рода?
5. Образуют ли элементы 1-го рода входящие в группы второго рода
подгруппу?
6. Образуют ли элементы 2-го рода группы второго рода подгруппу?
7. Выпишите классы сопряженных элементов для групп Сn , S2n, Dn Т,
О.
8. Опишите процесс нахождения неприводимых представлении групп
Сn, Cnn,Cv.
28
9. Что такое двузначные представления точечных групп?
10. Приведите примеры физически неприводимых представлений
точечных групп.
11. Покажите, что группа трансляций является абелевой группой.
12. Является ли группа дискретных трансляций группой Ли?
13.Является ли группа дискретных
трансляций компактной
группой?
14. Каким условиям должна удовлетворять точечная группа
группы трансляций?
15. Дайте определение кристаллической системе.
16. Перечислите все кристаллические системы.
17. Перечислите возможные типы решеток (решетки Браве).
18. Какой смысл имеют элементы пространственной группы
кристаллической решетки?
19. В каком отношении находятся группа трансляций и пространственная группа?
20. Дайте определение кристаллическому классу.
21. Чему равно число кристаллических классов?
22. Какие элементы группы трансляций могут быть выбраны
в качестве генераторов группы?
23. Определите обратную решетку и её векторы
.
24. Что можно сказать о двух неприводимых представлениях
группы трансляций τ к и
тор обратной решетки
, векторы, которых различаются на век.
25. Какие операторы представления τ к группы трансляций
можно выбрать в качестве генераторов представления?
26. Что такое звезда представления Т пространственной
группы?
29
27. Что такое группа вектора ?
28. Что такое малое представление группы вектора ?
29. Сколько и каких индексов определяет неприводимое представление пространственной группы?
30. Определите звезду вектора
для пространственной группы
одноатомного кристалла с квадратной решеткой, если конец вектора
не лежит на элементе симметрии зоны Бриллуэна.
31. Какой вид имеет матрица неприводимого представления с вектором
для трансляций?
32. Найдите матрицу неприводимого представления пространственной группы квадратной решетки, если вектор
лежит на оси сим-
метрии.
33. Какой смысл имеет вектор
неприводимого представления
группы трансляций?
34. Что определяет кратность вырождения частот нормальных колебаний?
35. Какой физический смысл имеют предельные колебания с
?
36. Какая разница между акустическими и оптическими колебаниями?
37. Как можно сформулировать теорему Блоха для одноэлектронной волновой функции?
38. Покажите роль трансляционной симметрии при решении уравнений колебаний атомов в кристалле.
39. Покажите, что волновая функция свободного электрона удовлетворяет теореме Блоха.
30
40. Чем физически различаются волновой вектор и квазиволновой вектор?
41. Дайте определение понятию «группа». Укажите свойства
групповой операции. Приведите примеры группы из трех элементов.
42. Определите понятие сопряженных элементов группы,
классов сопряженных элементов. Приведите пример, рассмотрев
группу R_3.
43. Какое общее свойство имеют элементы, принадлежащие
к одному классу сопряженных элементов. Приведите примеры.
44. Определите понятие подгруппы и смежных классов
группы по подгруппе. Чему равно число таких классов для конечных групп?
45. Покажите, что смежные классы группы G по подгруппе H
не пересекаются, сформулируйте теорему Лагранжа и приведите
примеры.
46. Определите понятие нормальной подгруппы и фактор
группы.
47. Что такое изоморфизм групп? Чем различаются изоморфные группы? Приведите примеры.
48. Определите понятие гомоморфного отображения группы
G на группу Н. Приведите примеры. Определите функциональное
линейное пространство и скалярное произведение в нем. Приведите примеры конечномерных и бесконечномерных функциональных пространств.
49. Определите индуцированные операторы в функциональных линейных пространствах.
50. Дайте определение понятию «представление» группы.
Приведите примеры.
31
51. Что такое эквивалентные представления групп и их классы?
Чем различаются эквивалентные представления?
52. Пусть представление T группы G действует в пространстве Ln.
Дайте определение инвариантного пространства L(1) по отношению к
представлению T , и покажите, что в пространстве L(1) действует некоторое представление T1, группы G.
53. Пусть унитарное представление T группы G определено в пространстве Ln, имеющем инвариантное подпространство L(1). Покажите,
что представление T в этом случае разлагается на прямую сумму двух
представлений.
54. Определите группу симметрии оператора Гамильтона GH, и
покажите, что в пространстве L H - собственных функций оператора
действует представление Т группы G H .
55. Покажите, что операторы
ратора
представления группы GH опе-
в пространстве L E - собственных функций оператора
мутируют с
. Интерпретируйте это свойство операторов
комс точки
зрения законов сохранения энергии. Приведите примеры.
56. Дайте формулировку теоремы Вигнера и покажите, что следует понимать под случайным вырождением.
57. Определите группу одномерных трансляций, её свойства и генератор группы.
58. Определите инфинитезимальный оператор
(генератор) пред-
ставления Т группы трансляций. Покажите, как выражаются через него
операторы представления
. Найдите неприводимые представления
группы трансляций и рассмотрите их свойства.
59. Определите генератор группы трансляций
в функциональном
пространстве, свяжите его с оператором импульса и соответствующим законом сохранения.
32
60. Определите ограниченную группу трансляций, найдите её неприводимые представления и обсудите их свойства.
61. Рассмотрите группу R_2 как ограниченную группу трансляций. Найдите её неприводимые представления и их генератор в функциональном пространстве. Установите его физический смысл.
62. Найдите характеры неприводимого представления группы
R_3 с весом j.
63. Что такое «правила отбора» и как они находятся методами
теории групп.
64. Определите прямое произведение представлений группы. Чему равны характеры такого произведения?
65. Определите разложение и коэффициенты Клебша-Гордана
для прямого произведения двух неприводимых представление группы.
66. Изложите использование методов теории групп в квантовомеханической теории возмущений.
67. Используя соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений, получите формулу для разложения приводимого представления на неприводимые.
68. Пользуясь соотношением ортогональности для характеров
неприводимых представлений, получите критерий неприводимости
представления.
69. Найдите операторы I z , I + , I - , I x , I y для неприводимого представления группы R_3 с весом j =1/2.
70. Представление Т группы R_3 определено в пространстве Lп.
Определите в нем канонический базис { е т } . Как действуют на е т операторы I z , I + , I - ?
71. Определите термин «характеры» представления группы. Укажите свойства характеров и критерий эквивалентности представлений.
33
72. Покажите, что скалярное произведение векторов
и
преоб-
разующихся по неприводимым представлениям τ α и τ β группы G равно нулю.
73. Какой вид и почему имеют матрицы операторов
.и
в ка-
ноническом базисе пространства L n , в котором определено представление Т
группы R_3.
74. Рассмотрите однопараметрическую подгруппу группы множество
поворотов
вокруг оси . Определите, инфинитезимальный оператор и
найдите выражение
через этот оператор.
75. Покажите, что инфинитезимальные операторы группы R_3 выражается через операторы I z , I + , I - , I x , I y .
76. Как выглядят коммутационные соотношения для группы R_3 и для
однопараметрической группы?
4.3. Глоссарий
Гомоморфизм групп: группа Н
отображением группы
) является гомоморфным
, если существует соответствие
такое, что из равенства
следует равенство h1*h2=h3.
Группа: множество G элементов
, на котором задана опера-
ция умножения, т. е. каждой парой элементов х ,у сопоставлен третий элемент z : xy = z . Кроме того, операция умножения должна быть ассоциативной, в множестве должен быть единичный элемент и обратный.
Группа абелева: групповое умножение обладает свойством коммутативности.
Группа Ли: бесконечная группа, любой элемент который можно задать
конечным числом непрерывных параметров. Минимальное число последних
называется размерностью группы Ли.
34
Группа R 2 ( 0 + ( 2 ) ; S O ( 2 , R ) ) : группа двумерных представлений, т.е.
множество поворотов вокруг оси z на углы 0<α<2π.
Группа D3 (0+(3);S0(3,R): группа поворотов вокруг осей проходящих
через начало координат на углы 0 <α<π.
Единичное (тождественное) представление: любому элементу g
группы G ставится в соответствие единичный (тождественный) оператор в
одномерном линейном пространстве.
Изоморфизм групп: группы G
, иН
) изоморфны, если со-
ответствие между элементами групп двухстороннее
, т.е. изоморфизм
- частный случай гомоморфизма.
Инвариантное подпространство: пусть в пространстве L n ( n > 1 )
действует представление
группы G . Если в пространстве Ln имеется
нетривиальное подпространство W
, и для любого
,
, то
такое подпространство является инвариантным.
Индуцированное преобразование функции: пусть g есть некоторое
преобразование x ' = g * x аргументов х векторов ψ( х ) функционального пространства w . Тогда преобразование g индуцирует в пространстве w преобразование функций или оператор
.
Инфинитезимальный оператор. Пусть
оператор пред-
ставления T r- параметрической группы Ли с параметрами
инфинитезимальный оператор
. Тогда
.
Представление группы: представление Т группы G в пространстве L
есть гомоморфное отображение группы G на группу операторов
, дей-
ствующую в пространстве L .
Подгруппа: непустое подмножество Н в группе G , называется подгруппой, если вместе с любыми двумя его элементами а , b оно содержит
их.произведение а * b и с каждым своим элементом с содержит обратный
ему с-1.
35
Представление группы неприводимое: такое представление реализуется в пространстве, не имеющем инвариантных подгрупп, по отношению к
операторам представления.
5. Общий список рекомендуемой литературы
1. Эллиот Дж., Добер М, Симметрия в физике, т. 1. М.: Мир, 1983.
2. Петрашень М.И., Трифонов E.Д. Применение теории групп в квантовой
механике. М.: Наука, 1967.
3. Хамермеш М., Теория групп и её применение к физическим проблемам.
М.: Мир, 1966.
4. Бир Г. Л., Пикус Г. Е., Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, М.: Наука, 1972.
5. Хейне В., Теория групп в квантовой механике, М.: ИЛ, 1963.
6. Ковалёв О. В., Неприводимые и индуцированные представления и копредставления фёдоровских групп. М.:, Наука, 1986.
7.Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.:Наука, 1957.
8.Ландау Л.Д,
Лившиц
Е.М.
Статистическая
физика.
Т.5.
Часть
1.
М.:Наука,1995.
9. Ландау Л.Д, Лившиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Т.3. М.: Наука, 1989.
10. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989.
11. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. М.:
Наука, 1988.
36
6. Экзаменационные билеты
37
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 1
по предмету Теория групп
1. Группа, подгруппа. Таблица Кэли. Генераторы группы и определяющие соотношения.
2. Приводимые и неприводимые матричные представления конечных групп.
3. Построить базисные функции всех одномерных неприводимых представлений группы С4v на атомных смещениях квадратной молекулы.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 2
по предмету Теория групп
1. Классы сопряженных элементов. Классы смежности и теорема Лагранжа.
2. Свойства неприводимых представлений конечных групп.
3. Построить базисные функции двумерного неприводимого представления
группы С4v на атомных смещениях квадратной молекулы.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
38
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 3
по предмету Теория групп
1. Инвариантые подгруппы и фактор-группы.
2. Леммы Шура. Свойства ортогональности неприводимых представлений конечных групп.
3. Найти все классы сопряженных элементов группы C4v.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 4
по предмету Теория групп
1. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма.
2. Теорема Бернсайда. Число неприводимых матричных представлений конечных групп и возможные значения их размерностей.
3. Разложить группу C4v на классы смежности по ее подгруппе второго порядка.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
39
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 5
по предмету Теория групп
1. Инвариантные подгруппы и фактор-группы.
2. Произведение представлений. Симметризованные и антисимметризованные
представления.
3. Построить таблицу характеров неприводимых представлений группы С4v.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 6
по предмету Теория групп
1. Точечные группы симметрии.
2. Теорема о восстановлении группы Ли по ее инфинитезимальному оператору.
3. Построить все неприводимые представления группы С4v.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
40
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 7
по предмету Теория групп
1. Понятие о группе Ли и ее инфинитезимальных операторах.
2. Неприводимые представления групп сииметрии и их базисные функции.
3. Построить характер механического представления группы С4v для квадратной молекулы.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 8
по предмету Теория групп
1. Понятие об алгебрах Ли.
2. Регулярное представление группы и его свойства.
3. Проверить первую лемму Шура на примере двумерного неприводимого
представления группы C4v.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
41
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 9
по предмету Теория групп
1. Макро- и микросимметрия кристаллов.
2. Понятие о применении теории групп в квантовой механике.
3. Найти некоторую инвариантную подгруппу и построить с ее помощью фактор-группу.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 10
по предмету Теория групп
1. Решетка Браве и решетка с базисом. Примитивная и элементарная ячейки.
2. Теорема Вигнера.
3. Найти все подгруппы группы C4v.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
42
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 11
по предмету Теория групп
1. Прямая и обратная решетка. Зона Бриллюэна.
2. Свойства неприводимых представлений конечных групп. Теорема Бернсайда.
3. Построить таблицу группового умножения группы С4v.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»
Физический факультет
Кафедра теоретической и вычислительной физики
Экзаменационный билет № 12
по предмету Теория групп
1. Понятие о черно-белой и цветной симметрии.
2. Теория характеров неприводимых представлений конечных групп.
3. Проверить теорему Вигнера на примере двумерного неприводимого представления, которое трижды входит в состав приводимого представления.
Зав. кафедрой
Экзаменатор
Дата утверждения 21.11.07
43
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЙТИНГ-БАЛЛОВ ПО УЧЕБНЫММОДУЛЯМ И ВИДАМ ЗАНЯТИЙ
Модуль 1. Абстрактные группы и группы симметрии
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Контрольная работа (тесты):
2. Проектные задания
3. Коллоквиум
Сумма баллов за модуль:
мин. 5, макс. 10.
мин. 25, макс. 40.
мин. 30, макс. 50.
мин. 60 макс. 100.
Модуль 2. Матричные представления групп симметрии
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Контрольная работа (тесты):
2. Проектные задания
3. Коллоквиум
Сумма баллов за модуль:
мин. 5, макс. 10.
мин. 25, макс. 40.
мин. 30, макс. 50.
мин. 60, макс. 100.
Модуль 3. Непрерывные группы симметрии и их неприводимые представления
Промежуточный рейтинг-контроль.
1. Контрольная работа (тесты):
2. Проектные задания
3. Коллоквиум
Сумма баллов за модуль:
мин. 5, макс. 10.
мин. 25, макс. 40.
мин. 30, макс. 50
мин. 60, макс. 100.
Таблица 1
Соответствие баллов итогового рейтинга оценке в 1-м семестре
________________________________________________________________
Оценка
Отлично
Хорошо
УдовлетвоНеудовлетворительно
рительно
________________________________________________________________
Баллы
250-300
200-249
150-199
0-149
________________________________________________________________
44