Статика и кинематика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
«ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ»
А.С. Беломытцев
КРАТКИЙ КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.
СТАТИКА И КИНЕМАТИКА
Харьков 2004
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Национальный технический университет
«Харьковский политехнический институт»
А.С. Беломытцев
КРАТКИЙ КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.
СТАТИКА И КИНЕМАТИКА
Тексты лекций
для студентов заочной формы обучения всех специальностей
Утверждено
редакционно-издательским
советом университета,
протокол № 1
от 27.02 .2004 г.
Харьков НТУ «ХПИ» 2004
ББК 22.2я7
Б43
УДК 531.1 : 531.2 (075)
Рецензенти: А.І. Павлов, канд.. техн. наук, ХНАДУ
Ю.Л. Тарсіс, канд.. техн. наук, НТУ «ХПІ»
Бєломитцев А.С. Короткий курс теоретичної механіки. Статика та
кінематика. Тексти лекцій для студентів заочної форми навчання усіх спеціальностей. – Харків : НТУ «ХПІ», 2004. – 76 с. – Рос. мовою.
Краткий курс теоретической механики содержит основные темы
статики и кинематики, необходимые для дальнейшего изучения студентами
динамики, а также других дисциплин механического цикла. Приведенные
примеры решения задач позволяют читателю самостоятельно овладеть не
только теорией, но и практическим ее применением.
Для студентов заочной формы обучения всех специальностей.
Короткий курс теоретичної механіки містить основні теми статики
та кінематики, що необхідні для подальшого вивчення студентами динаміки, а також інших дисциплін механічного циклу. Наведені приклади
розв’язання задач дозволяють читачеві самостійно оволодіти не лише теорією, але і її практичним застосуванням.
Для студентів заочної форми навчання усіх спеціальностей.
Іл. 64. Бібліогр. 5 найм.
©
ББК 22.21
А.С. Бєломитцев, 2004 р.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическая механика изучает законы механического движения и
взаимодействия материальных тел.
Механическое движение – это происходящее с течением времени
изменение относительного положения тел в пространстве. Для определения
положения тела используют системы отсчета. Система отсчета представляет собой некоторое тело и связанную с ним систему координат.
В теоретической механике рассматривают тела, движущиеся со
скоростями, значительно меньшими скорости света, и имеющие размеры,
превосходящие во много раз межмолекулярные расстояния. Рассматриваемые тела считают идеализированными (материальные точки, абсолютно
твердые тела и пр.), что позволяет абстрагироваться от второстепенных
факторов и выявлять наиболее общие законы механического движения.
Механика – одна из древнейших наук, возникшая в связи с потребностями практики. Зарождение механики связано с именами Аристотеля
(384–322 гг. до н.э.) и Архимеда (287–212 гг. до н.э.). Однако наукой в современном смысле слова механика стала лишь с выходом в свет в 1687 году
знаменитой работы И.Ньютона «Математические начала натуральной философии».
Теоретическая механика традиционно делится на три раздела: статику, кинематику и динамику.
СТАТИКА
Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ.
СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
1.1. Основные понятия статики
Статика – это раздел теоретической механики, в котором рассматривают операции преобразования систем сил в системы, им эквивалентные,
и изучают условия равновесия материальных тел под действием сил.
Равновесие будем рассматривать по отношению к системе отсчета,
жестко связанной с Землей. Тела, изучаемые в статике, будем считать абсолютно твердыми, т.е. такими, для которых расстояния между любыми двумя
точками всегда остаются неизменными. В дальнейшем такие тела будем
называть просто твердыми.
Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического
действия одного материального тела на другое. Она характеризуется модулем, направлением и точкой приложения. Точка приложения силы и ее
направление определяют линию действия силы. На рис. 1.1 показана сила P , приложенная в точке A, а NМ – линия действия силы. Единицей измерения силы в системе СИ является 1 Н. Совокупность нескольких сил
( P1 , P2 ,..., Pn ) , действующих на данное тело или систему тел, называют системой сил.
M
P
A
Будем называть свободным такое
твердое тело, на перемещения которого не
наложено никаких ограничений.
Если одну систему сил ( P1 ,..., Pn ) ,
действующих на свободное твердое тело,
N
Рис. 1.1.
можно заменить другой системой ( F1 ,..., Fk )
и при этом состояние покоя или движения
тела не изменится, то такие системы сил называют эквивалентными, что
обозначают так:
( P1 ,..., Pn )  ( F1 ,..., Fk ) .
Если система сил эквивалентна одной силе, т.е. ( P1 ,..., Pn )  R , то
силу R называют равнодействующей данной системы сил. Отметим, что не
каждая система сил имеет равнодействующую.
Систему сил, под действием которой свободное твердое тело может
находиться в состоянии покоя, называют уравновешенной или эквивалентной нулю: ( P1 ,..., Pn )  0. Если система сил имеет равнодействующую, то
силу, равную ей по модулю и действующую вдоль той же прямой в противоположном направлении, называют уравновешивающей.
1.2. Аксиомы статики
Аксиомы статики – это законы, установленные непосредственными наблюдениями и опытной проверкой следствий, логически вытекающих
из аксиом.
Аксиома 1. Система двух сил, действующих на свободное твердое
тело, является уравновешенной тогда и только тогда, когда эти силы
равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные
стороны.
На рис. 1.2 показаны две уравновешенные системы сил:
( P1 , P2 )  0; ( P1, P2)  0.
P1
P2
Р и с . 1 .2 .
P1 
P2
Аксиома 1 дает необходимые и достаточные условия уравновешенности системы двух сил, две следующие аксиомы устанавливают простейшие операции, приводящие к эквивалентным системам сил.
Аксиома 2. Если к данной системе сил добавить или отнять от
нее уравновешенную систему сил, то полученная система сил будет эквивалентна исходной.
Из этой аксиомы вытекает следствие: «Действие силы на твердое
тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль линии ее
действия».
Для доказательства следствия рассмотрим силу PA , приложенную в
точке A (рис. 1.3,а). В точке B на линии действия силы приложим уравновешенную систему сил ( PB , PB ) , где PB  PA , PB   PA . Тогда в соответствии с аксиомой 2 получим PA  ( PA , PB , PB ) (рис. 1.3,б). Согласно аксиоме 1 система сил ( PA , PB )  0, а согласно аксиоме 2 их можно отбросить
(рис. 1.3,в), т.е. PA  ( PA , PB , PB )  PB , что и доказывает следствие.
PA
A
A
PA
A
PB
PB
B
B
PB
a
B
в
б
Рис. 1.3.
Таким образом, сила, приложенная к абсолютно твердому телу,
является скользящим вектором.
Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Система двух сил,
приложенных к телу в одной точке, имеет равнодействующую, приложенную в той же точке и равную геометрической сумме сил.
Эта аксиома не только устанавливает существование равнодействующей рассматриваемой системы сил R  ( P1 , P2 ) (рис. 1.4), но и дает
правило ее определения: R  P1  P2 . Модуль равнодействующей
R  P12  P22  2PP
1 2 cos  .
Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел
равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
Силы взаимодействия двух тел удовлетворяют всем условиям аксиомы 1, кроме одного – они приложены к разным телам (рис. 1.5), и поэтому
не образуют уравновешенную систему сил.
P1
R
P
F

A
P  F
P2
Рис. 1.5.
Рис. 1.4.
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела не нарушится, если тело станет абсолютно твердым.
Другими словами, при равновесии деформируемого тела силы,
действующие на него, удовлетворяют тем же условиям, что и для абсолютно твердого тела, но эти условия для деформируемого тела будут только
необходимыми, не являясь достаточными.
Рассмотрим в качестве примера деформируемого тела нить, которая
находится в равновесии под действием двух сил P1 и P2 , приложенных к ее
концам, как показано на рис. 1.6,а. В соответствии с аксиомой 1 эти силы
должны действовать вдоль одной прямой (вдоль нити) в противоположные
стороны и иметь одинаковые модули. Для того, чтобы эти условия стали
достаточными, к ним следует добавить еще одно: силы, действующие на
нить, должны быть растягивающими. При тех же условиях абсолютно твердое тело – стержень (рис. 1.6,б) будет находиться в равновесии под действием как растягивающих, так и сжимающих сил.
P1
Нить
P1
Стержень
P2
P2
Стержень
P1
P2
а
б
Рис. 1.6.
1.3. Связи и их реакции
Твердое тело, на перемещения которого наложены ограничения,
называют несвободным. Тела, ограничивающие перемещения данного тела,
называют связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело,
называют реакциями связей. Силы, не зависящие от связей, называют активными (например, силы тяжести).
Реакции связей определяются действующими активными силами.
Направление реакции связи всегда противоположно тому направлению, в
котором связь не позволяет перемещаться определенной точке тела. Несмотря на то, что большинство окружающих нас тел являются несвободными, их можно считать свободными, если воспользоваться принципом освобождаемости от связей: «Всякое несвободное тело можно рассматривать
как свободное, если отбросить связи и заменить их действие на тело
силами – реакциями связей».
Рассмотрим наиболее типичные идеализированные связи и укажем
возможные направления их реакций.
Гладкая поверхность. Поверхность называется гладкой, если можно пренебречь силой трения, возникающей в точке контакта этой поверхности и данного тела. Эта точка не может перемещаться вдоль общей нормали
к соприкасающимся поверхностям, потому в указанном направлении действует реакция гладкой поверхности (рис. 1.7,а). Если нормаль к одной из
соприкасающихся поверхностей в точке контакта не определена, то реакция
направлена по нормали к другой поверхности (рис. 1.7,б).
N1
N
N2
N3
а
б
Рис. 1.7.
Идеальная нить. Это невесомая, нерастяжимая, идеально гибкая нить, не оказывающая сопротивления при изгибе. Точка
соединения тела и нити не может перемещаться вдоль нее, поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нити к точке
подвеса, как показано на рис. 1.8.
T1
T2
Рис. 1.8.
Неподвижный цилиндрический шарнир. Шарнир позволяет телу
вращаться вокруг неподвижной оси и скользить вдоль нее (рис. 1.9, ось
шарнира перпендикулярна плоскости рисунка). Реакция RA шарнира лежит
в плоскости, перпендикулярной его оси, ее направление заранее указать
нельзя. Поэтому реакцию обычно представляют двумя составляющими: X A
и YA .
Подвижный цилиндрический шарнир. Шарнир препятствует перемещению закрепленной точки вдоль нормали к опорной поверхности, что и
объясняет направление реакции шарнира (рис. 1.10).
RA
YA
RA
А
A
XA
Рис. 1.10.
Рис. 1.9.
Сферический шарнир и подпятник. Реакции шарнира и подпятника
могут иметь произвольные направления в пространстве, и поэтому представлены тремя составляющими: X A , YA , Z A (рис. 1.11).
ZA
ZA
AA
A
á)
YA
YA
XA
а – Сферический шарнир
XA
б – Подпятник
Рис. 1.11.
Идеальный стержень. Это
тонкий, невесомый, недеформируемый стержень, имеющий на концах
шарниры. Реакция стержня направлена вдоль прямой, соединяющей его
концы, так как именно в этом направлении он не позволяет перемещаться
закрепленной точке (рис. 1.12).
1.4.
Система
сходящихся
S2
S1
S3
Рис. 1.12.
сил
Систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке,
называют сходящейся.
Теорема. Система сходящихся сил имеет равнодействующую,
равную геометрической сумме этих сил и проходящую через точку пересечения их линий действия.
Доказательство
Рассмотрим сходящуюся систему сил ( P1 ,..., Pn ) , показанную на
рис. 1.13,а.
z
P1
Pn
R2
P1
P2
Rn1
k
P2
O
R  Rn
j
O
Pn
P3
а
x
R3
y
P3
i
б
Рис. 1.13.
Воспользуемся следствием из аксиомы 2 и перенесем все силы в
точку O (рис. 1.13,б). Теперь силы приложены в одной точке. Сложим их,
последовательно используя аксиому параллелограмма сил:
R2  P1  P2 ;
R3  R2  P3  P1  P2  P3 ;
........................................
(1.1)
n
R  Rn   Pk .
k 1
Таким образом, теорема доказана.
Более простой геометрический споP2
P1
соб определения равнодействующей состоит
в построении силового многоугольника, поP3
казанного на рис. 1.14, по замыкающей котоO
рого направлена равнодействующая.
R3
Аналитический способ определения
Рис. 1.14.
равнодействующей заключается в вычислении ее проекций на оси декартовой системы координат (см. рис. 1.13,б).
Спроецируем равенство (1.1) на оси x, y, z и получим
n
n
n
k 1
k 1
k 1
Rx   Pkx ; Ry   Pky ; Rz   Pkz .
(1.2)
Модуль равнодействующей
R  Rx2  Ry2  Rz2 ,
(1.3)
ее направляющие косинусы
cos(i , R) 
Ry
Rx
R
; cos( j , R) 
; cos( k , R)  z .
R
R
R
1.5. Условия равновесия системы сходящихся сил
Так как система сходящихся сил имеет равнодействующую, для ее
равновесия необходимо и достаточно, чтобы эта равнодействующая равнялась нулю:
R 0.
(1.4)
Тогда силовой многоугольник (см. рис. 1.14) оказывается замкнутым, откуда следует геометрическое условие равновесия: «Для равновесия системы
сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник,
построенный на силах системы, был замкнут».
При выполнении условия (1.4) из формулы (1.3) получим
Rx  Ry  R z  0 ,
откуда с учетом (1.2) следуют уравнения равновесия:
n
P
k 1
kx
 0;
n
P
k 1
ky
 0;
n
P
k 1
kz
0.
(1.5)
Таким образом, получены аналитические условия равновесия: «Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы
проекций всех сил системы на каждую из трех координатных осей равнялись нулю». В случае плоской сходящейся системы сил используют два из
трех уравнений равновесия (1.5).
Теорема о трех силах. Если тело находится в равновесии под действием трех сил, и линии действия двух сил пересекаются, то все силы
лежат в одной плоскости, а их линии действия пересекаются в одной точке.
Доказательство
Пусть линии действия сил P1 и P2 , приложенных в точках A и B,
пересекаются в точке O (рис. 1.15).
Перенесем силы в эту
точку и заменим их равнодействующей R , в результате
чего получим уравновешенную
систему двух сил
( R, P 3 )  0, откуда на основании аксиомы 1 следует, что
силы
R
и
P3
направлены
вдоль одной прямой. Таким
P1
A
P1
R
О
P2
P3
C
Рис. 1.15
B
P2
образом, линии действия всех сил пересекаются в точке O, а сами силы
лежат в одной плоскости. Теорема доказана.
1.6. Решение задач статики
План решения задач статики следующий:
1) выбрать объект равновесия, т.е. тело (отдельную точку), равновесие которого (которой) будем рассматривать;
2) показать активные силы, действующие на объект равновесия;
3) освободить объект равновесия от связей и показать их реакции;
4) установить тип полученной системы сил и сформулировать условия равновесия;
5) определить из условий равновесия неизвестные величины.
Пример. Шар весом G подвешен на нити BC, составляющей с вертикалью угол , и опирается в точке A на гладкую вертикальную стену
(рис. 1.16).
Определить реакции стены N и нити T.
Решение
Рассмотрим равновесие шара. На него действуют: сила тяжести G
– активная сила, реакции стены N и нити T (см. рис. 1.16,а). Реакция гладкой стены N направлена по нормали к стене и проходит через центр шара
O, где приложена сила тяжести G . Так как шар находится в равновесии под
действием трех сил, линия действия силы T должна проходить через точку
пересечения линий действия сил G и N , т.е. через центр шара O. Таким
образом, на шар действует плоская сходящаяся система сил.
Используем геометрическое условие равновесия – построим силовой треугольник (см. рис. 1.16,б), из которого получим
N  Gtg ; T 
G
.
cos 
y
B
T
T

C
A
О
А

N
A
x
G
N
G
б
a
Рис. 1.16.
Решим эту задачу с помощью аналитических условий равновесия. Проведем
координатные оси Ax и Ay и составим два уравнения равновесия:
P
P
kx
 0; N  T sin   0;
ky
 0; T cos   G  0,
из которых получим
T
G
G
; N  T sin  
 sin   Gtg  .
cos 
cos 
Вопросы для самоконтроля
1. Что изучает статика?
2. Какое твердое тело называют свободным?
3. Какие системы сил называют эквивалентными?
4. Дайте определение равнодействующей системы сил.
5. Какую систему сил называют уравновешенной?
6. Сформулируйте аксиомы статики.
7. Сформулируйте условия равновесия системы сходящихся сил.
Лекция 2. ТЕОРИЯ ПАР
2.1. Момент силы относительно точки и оси
Моментом силы P относительно точки O называют величину,
равную векторному произведению радиус-вектора r , проведенного из точки O в точку приложения силы (рис. 2.1), на эту силу
M O ( P)  r  P .
(2.1)
Этот вектор приложен в точке O и направлен перпендикулярно плоскости,
содержащей векторы r и P в ту сторону, откуда вращение тела, вызываемое силой P вокруг точки O, представляется происходящим против часовой
стрелки.
P
z
C
MO (P)
h

k
x
r
i
O
j
A(x,y,z)
y
Рис. 2.1.
Модуль момента
M O ( P)  Pr sin   P  h ,
(2.2)
где h  OC – плечо силы P относительно точки O, равное расстоянию от
этой точки до линии действия силы P . Из формулы (2.2) следует, что
M O ( P )  0 , если h = 0, т.е. если линия действия силы P проходит через
точку О.
Обозначим через x, y, z координаты точки приложения силы,
Px , Py , Pz – проекции силы P на координатные оси. Тогда момент силы
можно представить следующим образом
i
M O ( P)  r  P  x
Px
j
y
Py
k
z  ( yPz  zPy )i  ( zPx  xPz ) j  ( xPy  yPx )k , (2.3)
Pz
откуда следует, что проекции момента силы на координатные оси равны
M Ox ( P)  yPz  zPy ; M Oy ( P)  zPx  xPz ; M Oz ( P)  xPy  yPx .
(2.4)
Моментом силы относительно оси называют величину, равную
проекции на эту ось момента силы, взятого относительно некоторой точки
оси
M z ( P)  M Oz ( P)  xPy  yPx .
(2.5)
Момент силы относительно оси не зависит от выбора точки O на оси, так
как ни одна из величин в правой части формулы (2.5) не зависит от положения начала координат при параллельном перемещении осей x и y.
Проекцией силы на плоскость называют вектор, начало и конец которого совпадают с проекциями начала и конца вектора силы на эту плоскость. На рис. 2.2
z
P( Px , Py , Pz )
показана
проекция
Pxy силы P на плос-
M O ( Pxy )
A(x,y,z)
кость xОy. Так как
проекции сил P
и
O
Pxy , а также точек их
приложения на оси x
и y одинаковы, момент силы Pxy относительно точки O
может быть вычислен
по формуле (2.3), где
следует
положить,
y
x
h
A1 ( x, y,0)
Pxy ( Px , Py , 0)
Рис. 2.2.
что z = 0 и Pz  0 ,
M O ( Pxy )  ( xPy  yPx )k .
Этот момент направлен вдоль оси z, а его проекция на эту ось совпадает с моментом силы P относительно оси z:
M z ( P)  M Oz ( Pxy )   M O ( Pxy )   Pxy h,
где h – плечо силы Pxy относительно точки O.
Таким образом, можно сформулировать следующее правило вычисления момента силы относительно оси z:
1) выберем на оси z произвольную точку и построим плоскость,
перпендикулярную этой оси;
2) спроецируем силу на эту плоскость;
3) определим плечо проекции силы;
4) вычислим момент силы относительно оси z по формуле
M z ( P)   Pxy h .
(2.6)
В формуле (2.6) знак «плюс» ставим в том случае, если с положительного
направления оси z поворот тела вокруг этой оси виден направленным против часовой стрелки, знак «минус» – в противном случае. Аналогично вычисляют моменты силы относительно других координатных осей.
Из формулы (2.6) следует, что момент силы относительно оси равен
нулю в двух случаях:
1) если сила параллельна оси, т.е. проекция Pxy = 0;
2) если линия действия силы пересекает ось, т.е. плечо h = 0.
Оба случая можно объединить: момент силы относительно оси равен нулю
тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось лежат в одной плоскости.
2.2. Пара сил и ее момент
Парой сил называют систему двух параллельных сил, которые равны по модулю и направлены в противоположные стороны (рис. 2.3). Плоскость, в которой лежат силы пары, называют
плоскостью действия пары, а расстояние d
P

между линиями действия сил – плечом пары.
Пара сил не имеет равнодействующей и
B
не
является
уравновешенной системой сил. Она,

A
как и сила, – самостоятельный силовой фактор.
d
Пара сил оказывает на тело вращательное возP P
P
действие, для характеристики которого используют момент пары.
Рис. 2.3.
Момент пары сил – это мера механического действия пары, равная моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы
M  M ( P, P)  AB  P  BA  P .
(2.7)
Этот вектор направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту
сторону, откуда вращение тела под действием сил пары представляется
происходящим против часовой стрелки (рис. 2.4). Модуль момента пары
(см. рис. 2.3) равен произведеO
нию одной из сил пары на ее
M
плечо
rA
M  P  AB sin   Pd . (2.8)
rB
A
P
P
B
Рис. 2.4.
Вычислим сумму моментов сил пары относительно
произвольной точки O (см.
рис. 2.4)
M O ( P)  M O ( P)  rA  P  rB  P 
 rA  ( P)  rB  P  (rB  rA )  P  AB  P  M .
Таким образом, сумма моментов сил пары относительно точки не зависит
от выбора этой точки и равна моменту пары.
2.3. Теоремы о парах
Теоремы, которые будут рассмотрены, устанавливают преобразования, не изменяющие действие пары сил на твердое тело и позволяющие
приводить системы пар к простейшему виду.
Теорема 1. Действие пары сил на твердое тело не изменится, если
пару перенести в любое место плоскости ее действия и изменить модули
сил и величину плеча так, чтобы момент пары не изменился.
Доказательство
Рассмотрим пару сил ( P, P) и точки C, D, произвольно выбранные
в плоскости ее действия (рис. 2.5). Проведем через точки C и D две параллельные прямые до пересечения с линиями действия сил пары в точках A и
B, где приложим силы P и P .
P
Разложим их на составляющие
Q
Q, F и Q, F  . На основании
F
аксиомы 1 система (Q, Q)  0
B
F
C
и в соответствии с аксиомой 2
может быть отброшена, т.е.
( P, P)  (Q, Q, F , F )  ( F , F ) .
F
A
Силы F , F  , образующие пару
D
F
Q
наковы:
P
Рис. 2.5.
сил, перенесем вдоль их линий
действия в точки C и D. Покажем, что моменты эквивалентных пар ( P, P) и ( F , F ) оди-
M ( P, P)  AB  P  AB  (F  Q)  AB  F  AB  Q .
Так как векторы
AB
и Q
(2.9)
коллинеарны, векторное произведение
AB  Q  0 и на основании (2.9) получим
M ( P, P)  AB  F  M ( F , F )
Теорема доказана.
Теорема 2. Действие пары на твердое тело не изменится, если ее
перенести в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия.
Доказательство
Рассмотрим пару сил
( F , F ) , действующую в плоскости I
(рис. 2.6). В плоскости II, параллельной плоскости I, отложим отрезок CD
(CD || AB, CD = АВ). Приложим в точках C и D уравновешенные системы
сил:
( F1 , F2 )  0, ( F3 , F4 )  0, F1  F3  F , F2  F4  F  .
I
F
B
R1
II
F4
D
O
F2
F3
A
F
R2
C
F1
Рис. 2.6.
Заменим равные параллельные силы ( F , F2 ) их равнодействующей R1  F   F2  2F  , приложенной в середине отрезка BC, а силы
( F , F3 ) – равнодействующей R2  F  F3  2F , приложенной в середине
отрезка AD. Так как ABСD – параллелограмм, точки приложения сил R1 и
R2 , равных по модулю и противоположно направленных, совпадают с точкой пересечения O диагоналей параллелограмма, а сами силы образуют
уравновешенную систему сил, которую можно отбросить.
Оставшиеся силы ( F1 , F4 ) образуют пару сил, действующую в
плоскости II, геометрически равную исходной паре сил ( F , F ) и эквивалентную ей. Действительно, описанные преобразования можно записать
так:
( F , F )  ( F , F , F1 , F2 , F3 , F4 )  ( R1 , R2 , F1 , F4 )  ( F1 , F4 ) ,
что и доказывает утверждение теоремы.
Во всех ситуациях, описанных в теоремах 1 и 2, исходная и преобразованная пары сил эквивалентны и имеют равные моменты. Таким образом, момент пары является свободным вектором, полностью и однозначно
характеризующим ее действие на твердое тело, поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Две пары сил, имеющие равные моменты, эквивалентны.
Теорема 4. Система пар сил, действующих на твердое тело, эквивалентна одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар
системы.
Доказательство
Рассмотрим две пары сил ( F1 , F1) и ( F2 , F2) , лежащих в пересекающихся плоскостях I и II (рис. 2.7). Выберем на линии пересечения плоскостей точки A, B и, пользуясь теоремой 1, перенесем рассматриваемые пары
сил, приводя их к плечу AB. Преобразованные пары сил ( P1 , P1) и ( P2 , P2)
должны иметь такие же моменты, как и исходные:
M ( P1 , P1)  M ( F1 , F1)  M 1 ;
M ( P2 , P2)  M ( F2 , F2)  M 2 .
M
M2
M1
F2
F2
P
1
A
R
P
2
II
P2
F
1
F1
R
B
I
P1
Рис. 2.7.
Используя аксиому 3, сложим силы, приложенные в точках B и A:
R  P1  P2 ; R  P1 P2 .
Так как P1  P1, P2  P2 , получим R  R , т.е. силы ( R, R) образуют
пару сил. Ее момент
M  AB  R  AB  ( P1  P2 )  AB  P1  AB  P2 
 M ( P1 , P1)  M ( P2 , P2)  M1  M 2 .
Таким образом, для двух пар сил, лежащих в пересекающихся
плоскостях, теорема доказана. Очевидно, что доказательство справедливо и
для совпадающих плоскостей I и II, т.е. если пары сил лежат в одной плоскости. Пары, лежащие в параллельных плоскостях, на основании теоремы 2
могут быть перенесены в одну плоскость.
Если на тело действует система пар с моментами M1 , M 2 ,..., M n то,
последовательно применяя результат теоремы, доказанной для двух пар,
приходим к выводу, что данная система пар эквивалентна одной паре, момент которой
n
M   Mk .
(2.10)
k 1
Теорема доказана.
2.4. Условия равновесия системы пар сил
Поскольку систему пар сил, действующих на твердое тело, всегда
можно привести к одной паре, для равновесия системы пар необходимо и
достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен нулю. Тогда из
формулы (2.10) получим
n
M
k 1
k
0.
(2.11)
Действительно, в этом случае либо силы результирующей пары равны нулю, либо плечо пары равно нулю. Если имеет место последнее, силы пары
направлены вдоль одной прямой и в соответствии с 1-й аксиомой статики
уравновешены. Проецируя векторное уравнение (2.11) на координатные
оси, получим три скалярных уравнения:
M
kx
 0;
M
ky
 0;
M
kz
0.
(2.12)
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение момента силы относительно точки.
2. Как определить момент силы относительно оси?
3. Какую систему сил называют парой сил? Как определить ее момент?
4. Какие преобразования пары сил не изменяют ее действие на
твердое тело?
5. Каковы условия равновесия системы пар сил?
Лекция 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ И УСЛОВИЯ
РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
3.1. Лемма о параллельном переносе силы
Следствие из аксиомы 2 устанавливает, что при переносе точки
приложения силы вдоль линии ее действия получаем силу, эквивалентную
исходной. Рассматриваемая лемма показывает, как можно перенести силу в
любую точку, не изменяя ее действие на тело.
Лемма. Действие силы на твердое тело не изменится, если ее
приложить в любой другой точке тела и добавить пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки ее приложения.
Доказательство
Рассмотрим силу P , приложенную в точке A (рис. 3.1). В произвольной точке B приложим
P1
уравновешенную систему сил ( P1 , P2 )  0, где
P1  P , P2   P , тогда на основании аксиомы 2
получим, что P  ( P1 , P2 , P) , где силы ( P2 , P)
образуют пару сил, момент которой
P
A
B
P2
Рис. 3.1.

M  BA P  M B ( P) .
Лемма доказана.
3.2. Основная теорема статики
Для произвольной системы сил ( P1 ,..., Pn ) введем два определения.
Главным вектором системы сил называют величину, равную сумме
всех сил системы,
n
R   Pk .
(3.1)
k 1
Главным моментом системы сил относительно некоторого центра О называют величину, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра,
n
M O   M O ( Pk ) .
(3.2)
k 1
Основная теорема статики (теорема Пуансо). Произвольная
пространственная система сил эквивалентна силе, равной главному вектору системы и приложенной в некоторой точке (центре приведения), и
паре сил, момент которой равен главному моменту системы относительно выбранного центра приведения.
Доказательство
Рассмотрим систему сил ( P1 ,..., Pn ) , показанную на рис. 3.2. Используем доказанную лемму и перенесем все силы в центр приведения O,
добавляя соответствующие пары
z
сил.
P
1
M1
P2
M2
Pn
y
O
x
Mn
Рис. 3.2.
щей
P2
сил ( P1,..., Pn) ,
где Pk  Pk , k  1, n ;
P1
Pn
В результате получим:
– систему сходящихся
– систему пар сил, моменты которых (M1 ,..., M n ) ,
где M k  M O ( Pk ), k  1, n .
Систему
сходящихся
сил заменим ее равнодействую-
n
n
k 1
k 1
RO   Pk  Pk ,
равной главному вектору исходной системы, а систему пар сил – одной
парой, момент которой
n
n
k 1
k 1
M O   M k  M O ( Pk )
равен главному моменту исходной системы относительно центра O.
Теорема доказана.
Следствие. Две системы сил эквивалентны тогда и только тогда,
когда они имеют одинаковые главные векторы и одинаковые главные моменты относительно одного и того же центра.
Итак, простейшая система сил, к которой в общем случае приводится произвольная система, состоит из одной силы и одной пары сил. Выясним влияние центра приведения на простейшую систему. Выберем новый
центр приведения O1 (рис. 3.3). Сила RO не зависит от выбора центра приведения и равна сумме всех сил системы, т.е.
Pk
n
RO  RO1  R   P k .
k 1
rk
O
r k
r
Определим главный момент системы относительно нового центра
n
n
n
k 1
k 1
M O1   M O1 ( Pk )  rk  Pk  (rk  r )  Pk 
O1
n
n
k 1
k 1
k 1
  rk  Pk  r   Pk  M O ( Pk )  r  RO ,
Рис. 3.3.
n
M
где
k 1
n
k 1
O
( Pk )  M O ; r  RO  M O1 ( RO ) .
Таким образом,
MO1  MO  MO1 ( RO ) ,
(3.3)
т.е. при изменении центра приведения главный момент изменяется на величину момента силы, равной главному вектору и приложенной в первоначальном центре приведения, относительно нового центра приведения.
Предположим, что для некоторого центра O: RO  0 и M O  0 .
Тогда вследствие формулы (3.3) для любого центра O1 : RO1  0 и M O1  0 .
3.3. Приведение системы сил к двум силам
Рассмотрим еще один способ приведения системы сил к простейшему виду.
Теорема. Произвольная пространственная система сил эквивалентна двум силам, которые в общем случае не лежат в одной плоскости.
Доказательство

Предположим, что произвольная система сил P1 ,..., Pn

с помощью теоре-
мы Пуансо приведена к силе RO , приложенной в центре приведения O, и
паре сил, момент которой M O (рис. 3.4).
RO
MO
Выберем силы
( P, P) , образующие
пару ( P  P) , так, чтобы
Q
O
P
P
M ( P, P)  M O ,
приложим силу P в точке O. Затем,
воспользовавшись аксиомой параллело-
Рис. 3.4.
грамма сил, сложим силы RO и P : RO  P  Q , в результате чего получим систему двух сил ( P, Q) , в общем случае не лежащих в одной плоскости.
Итак,
( P1 ,..., Pn )  ( RO , P, P)  ( P, Q) ,
а значит теорема доказана.
3.4. Условия равновесия пространственной системы сил
Теорема. Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольного центра O равнялись нулю:
RO  0; M O  0 .
(3.4)
Доказательство
Докажем необходимость условий (3.4). Предположим, что система
сил уравновешена, и приведем ее к двум силам
 P, Q   0. Тогда в соот-
ветствии с 1-й аксиомой статики эти силы должны действовать вдоль одной
прямой и Q  P  0 . Так как Q  RO  P , получим
RO  P  P  0 ,
(3.5)
где P  P  0 , так как (P, P) – пара сил и поэтому из формулы (3.5) следует, что RO  0 . Так как силы Q и P направлены вдоль одной прямой,
линия действия последней проходит через точку O, в которой приложена
сила Q (см. рис. 3.4), и поэтому главный момент
MО  MО (Q)  MО (P)  0 ,
т.е. необходимость доказана.
Теперь докажем достаточность. Предположим, что
RO  0
и
M O  0 , тогда система сходящихся сил и система пар, полученные при
доказательстве теоремы Пуансо, уравновешены. Следовательно, исходная
система сил эквивалентна нулю. Теорема доказана.
Спроецируем векторные равенства (3.4) на оси координатной системы Oxyz и запишем
ROx  ROy  ROz  0;
M Ox  M Oy  M Oz  0,
откуда с учетом (3.1) и (3.2) получим шесть уравнений равновесия пространственной системы сил:
n
P
k 1
kx
n
P
 0;
k 1
n
 M x ( Pk )  0;
k 1
ky
n
P
 0;
k 1
n
 M y ( Pk )  0;
k 1
kz
 0;
n
 M z (Pk )  0.
(3.6)
k 1
Таким образом, для равновесия произвольной пространственной
системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил
системы на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей равнялись нулю.
3.5. Теорема Вариньона
Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно произвольной точки равен сумме моментов всех сил
системы относительной этой же точки.
Доказательство
Рассмотрим систему сил ( P1 ,..., Pn ) , имеющую равнодействующую R , приложенную в точке A (рис. 3.5). Приложим уравновешивающую силу
z
R  R в этой же точке и получим систему сил
P1
( P1 ,..., Pn , R)  0, главный момент которой отно-
P2
сительно точки O
R
A
n
M O   M O ( Pk )  M O ( R)  0 .
R
(3.7)
k 1
r
O
x
Рис. 3.5.
Pn
y
Но
M O ( R)  M O (R)  r  (R)  r  R  M O ( R)
и поэтому из выражения (3.7) получим
n
M
k 1
откуда следует
O
( Pk )  M O ( R)  0 ,
n
M O ( R)   M O ( Pk ) ,
(3.8)
k 1
что и нужно было доказать.
Теорема Вариньона справедлива и для моментов сил относительно
координатных осей. Действительно, спроецируем векторное равенство (3.8)
на оси системы Oxyz и получим
n
n
n
k 1
k 1
k 1
M x ( R)   M x ( Pk ), M y ( R)   M y ( Pk ), M z ( R)   M z ( Pk ) .
(3.9)
3.6. Условия равновесия плоской системы сил
Систему сил, линии действия которых лежат в одной плоскости,
называют плоской. Пусть эта плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy (рис. 3.6). Тогда векторы моментов сил относительно любой точки
плоскости и векторы моментов пар
y
сил перпендикулярны плоскости
P
P1
действия сил и полностью опредеd
ляются своими алгебраическими
h
значениями.

P1
Алгебраический момент
силы относительно точки равен
O
взятому с определенным знаком
x
Рис. 3.6.
произведению модуля силы на ее
плечо относительно точки
M O ( P)   Ph .
(3.10)
Алгебраический момент пары сил равен взятому с определенным
знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо
M  M ( P1 , P1 )   Pd
1 .
(3.11)
Знак «плюс» в формуле (3.10) берем в том случае, когда сила P
стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки, знак
«минус» соответствует повороту по часовой стрелке. Аналогично определяют и знак момента в формуле (3.11). Введенные таким образом алгебраи-
ческие моменты совпадают с моментами сил и пар относительно оси Oz,
направленной к нам.
Условия равновесия плоской системы сил получим из уравнений
(3.6). Так как все силы лежат в плоскости Oxy, их проекции на ось Oz и
моменты относительной осей Ox и Oy равны нулю, поэтому 3, 4 и 5-е уравнения выполняются тождественно. Оставшиеся уравнения, используя введенные алгебраические моменты, запишем так:
n
P
k 1
kx
 0;
n
P
k 1
ky
 0;
M P   0 .
n
k 1
0
k
(3.12)
Таким образом, для равновесия плоской системы сил необходимо и
достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две координатные оси и
сумма алгебраических моментов всех сил относительно произвольной точки
плоскости их действия равнялись нулю.
Пример 1. На раму AB (рис. 3.7,а) действуют сила F = 2 кН и пара
сил, момент которой M = 1 кНм.
Определить реакции опор.
Рассмотрим равновесие рамы AB, которую освободим от связей,
заменив их действие реакциями (рис. 3.7,б): X A , YA – составляющие реакции неподвижного цилиндрического шарнира A; RB – реакция подвижного
цилиндрического шарнира B, направленная перпендикулярно опорной
плоскости.
Разложим силы F и RB на составляющие, параллельные координатным осям:
Fx  F cos 60o  2 cos 60o  1 кН; Fy  F sin 60o  2sin 60o  1,732 кН;
RBx  RB sin 30o ; RBy  RB cos30o .
Пара сил задана величиной момента и направлением действия.
600
С
2м
F
М
а
В
300
2м
А
2,5 м
2,5 м
y
C
D
Fx
2м
RB
Fy
RBy
M
б
300
B
RBx
2м
YA
XA
А
2,5 м
2,5 м
х
Рис. 3.7.
Для полученной плоской системы сил запишем три уравнения равновесия:
P
P
M
kx
 0;
X A RB sin 30o  Fx  0;
ky
 0;
YA RB cos 30o  Fy  0;
A
( Pk )  0; RB cos 30o  5  RB sin 30o  2  Fx  4  Fy  2,5  M  0.
При составлении уравнений равновесия целесообразно координатные оси направить перпендикулярно неизвестным силам, а моменты сил
вычислять относительно точек пересечения линий действия неизвестных
сил, что обеспечит получение наиболее простых уравнений, содержащих
минимальное число неизвестных. Из уравнений равновесия получим
RB 

1
(4 Fx  2,5Fy  M ) 
5cos 30  2sin 30o
o
1
(4 1  2,5 1, 732  1)  2,802 кН;
5cos 30o  2sin 30o
X A   RB sin 30o  Fx  2,802sin 30o  1  2, 401 кН;
YA  Fy  RB cos30o  1,732  2,802cos30o  0,694 кH .
Для проверки правильности решения рассмотрим условие равновесия, не использованное при решении примера. Выберем точку, относительно которой все найденные реакции имеют моменты (точка D, см. рис. 3.7,б),
и вычислим сумму моментов всех действующих на раму сил относительно
этой точки:
M
D
(Pk )  R B sin 30o  2  Fy  2,5  M  X A  4  YA  5 
 2,802sin 300  2  1,732  2,5  1  2, 401  4  0,694  5  0 .
Условие равновесия выполнено.
Ответ: XA  2, 401 кH; YA  0,694 кH; R B  2,802 кH.
Отрицательные значения реакций показывают, что действительные
направления сил X A и YA противоположны первоначально выбранным (см.
рис. 3.7,б).
Пример 2. На консольную балку AB, показанную на рис. 3.8,а, действуют сила Р = 1 кН, пара сил, момент которой M = 3 кНм, и равномерно
распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м.
Определить реакцию жесткой заделки А.
q
С
A
M
2м
P
3м
3м
a
y
YA
MA
B
A
Q
С
x
M
XA
2м
P
3м
1,5 м
1,5 м
B
б
Рис. 3.8.
В этом примере используем не рассматривавшуюся ранее связь,
называемую жесткой заделкой. Она препятствует перемещению точки А и
повороту балки вокруг этой точки. На закрепленный конец балки действует
распределенная система реактивных сил, которую можно привести к силе,
приложенной в точке А, и паре сил. Представим силу составляющими X A ,
YA , а момент пары обозначим через M A .
Таким образом, освобождая балку от связи, покажем три составляющие реакции жесткой заделки: X A , YA , M A (рис. 3.8,б). Равномерно распределенную нагрузку заменим ее равнодействующей, приложенной в середине нагруженного участка, Q  q  3  2  3  6 кН. Итак, на балку действует
плоская система сил и пар сил. Запишем три уравнения равновесия этой
системы:
P
P
M
kx
 0;
X A  P  0;
ky
 0;
YA  Q  0;
A
( Pk )  0; M A  M  P  2  Q  4,5  0,
из которых получим
X A = P = 1 кН; YA  Q = 6 кН;
M A  2P  4,5Q  M = 21 + 4,56  3 = 26 кНм.
Для проверки правильности решения вычислим сумму моментов
всех сил, действующих на балку, относительно точки В
M
B
( Pk )  M  Q 1,5  M A  X A  2  YA  6  3  6 1,5  26  1 2  6  6  0 .
Ответ: X A  1 кH; YA  6 кH; M A  26 кH  м .
Вопросы для самоконтроля
1. Как сформулировать лемму о параллельном переносе сил?
2. Чему равны главный вектор и главный момент произвольной
системы сил?
3. Чем можно заменить произвольную систему сил при приведении
ее к заданному центру?
4. Каковы условия равновесия пространственной системы сил?
5. Сформулируйте теорему Вариньона о моменте равнодействующей.
6. Каковы условия равновесия плоской системы сил?
КИНЕМАТИКА
Лекция 4. Кинематика точки
4.1. Некоторые определения
Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучают движение тел без учета их масс и действующих на них сил. Движение
всегда рассматривают по отношению к некоторой определенной системе
отсчета.
В кинематике имеют место две основные задачи:
1) установление закона движения, т.е. математического способа
задания положения точки или тела относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени;
2) определение по заданному закону движения кинематических
характеристик этого движения, к которым относятся траектория, скорость и
ускорение точки, угловая скорость и угловое ускорение тела.
Наиболее простым объектом, изучаемым в кинематике, является
точка. Траекторией точки называют геометрическое место положений
движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета. Если траектория
точки является прямой линией, то движение называют прямолинейным, в
противном случае – криволинейным.
4.2. Способы задания движения точки
4.2.1. Векторный способ. Выберем некоторую точку O, неподвижную в рассматриваемой системе отz
M
счета (рис. 4.1). Тогда положение
движущейся точки M в любой момент
можно определить ее радиус-вектоr
k
ром r  OM . Зависимость радиусy
z
вектора r от времени
j
O
(4.1)
r  r (t )
i
y
называют уравнением движения точ- x
y
x
ки в векторной форме.
Рис. 4.1.
4.2.2. Координатный способ. Положение точки относительно некоторой координатной системы определяют ее координатами. Рассмотрим
прямоугольную декартову систему координат Oxyz (см. рис. 4.1) и зададим
координаты x, y, z как функции времени:
x  x(t );
y  y(t ); z  z (t ) .
(4.2)
Уравнения (4.2) называют уравнениями движения точки в координатной форме. В этом случае радиус-вектор точки M
r  rx i  r y j  rz k  xi  yj  zk ,
(4.3)
где i , j , k – орты координатных осей.
4.2.3. Естественный способ. Пусть известна траектория точки
(рис. 4.2). Выберем на ней начало отсчета O криволинейной координаты S и
положительное направление отсчета, тогда положение точки M в любой
момент времени можно определить, воспользовавшись зависимостью
S = S(t),
(4.4)
которую называют уравнением движения точки в естественной форме.
Введем подвижную систему координат, начало которой совпадает с движущейся
точкой М, и будем использовать ее в дальнейS
M
0
шем. Оси этой системы координат, называют
n
естественным трехгранником или скоростныb 
 ми осями. Они направлены так: ось M – по
b
касательной к траектории в сторону увеличения координаты S, ось Mn – по главной нормаРис. 4.2.
ли к траектории в сторону ее вогнутости, а ось
Mb дополняет систему до правой; , n, b – орты координатных осей.
–
+
n
4.3. Определение скорости точки
Скорость точки характеризует изменение ее положения в рассматриваемой системе отсчета с течением времени.
4.3.1. Векторный способ. Пусть за время t точка переместилась
из положения M в положение M 1 и ее радиус-вектор изменился на величину
r (рис. 4.3). Тогда средней скоростью точки за интервал времени t будет
отношение
vc р 
r
.
t
этот вектор направлен по хорде
MM1
и зависит от величины интервала
времени t.
r
M1
r
k
Предел средней скорости
vcр
r dr
r

r
O
v  lim vc р  lim

r
(4.5)
i
t  0
t  0 t
dt
x
j
y
называют скоростью точки в данный
yРис. 4.3.
момент времени или просто скоростью точки. В уравнении (4.5) переменная с точкой над ней обозначает производную по времени.
Итак, скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора точки в рассматриваемой
системе отсчета. При стремлении t к нулю точка M 1 приближается к точке
M, и хорда MM1 в пределе занимает положение касательной к траектории.
Таким образом, вектор скорости v направлен по касательной к траектории
в сторону движения точки.
Единица измерения скорости в системе СИ – 1 м/с.
z
M
v
4.3.2. Координатный способ. Пусть движение точки задано координатным способом (4.2), тогда ее радиус-вектор r  xi  yj  zk . Учитывая, что орты i , j , k постоянны, из уравнения (4.5) получим
v
dr dx
dy
dz

i
j k.
dt dt
dt
dt
Таким образом, запишем проекции вектора скорости на координатные оси:
vx 
dx
dy
dz
 x; v y 
 y; v z 
z.
dt
dt
dt
(4.6)
По этим проекциям можно определить модуль вектора скорости
v  vx2  v y2  vz2
(4.7)
и его направляющие косинусы, т.е. косинусы углов между вектором скорости и положительными направлениями координатных осей:
vy
v
v
(4.8)
cos(v , i )  x ; cos(v , j )  ; cos(v , k )  z .
v
v
v
4.3.3. Естественный способ. Пусть точка движется по известной
траектории, и ее положение определяется криволинейной координатой S
(рис. 4.4). Предположим, что за время t радиус-вектор точки получил приращение r , а координата S – приращение S. Определим скорость точки
v  lim
t 0
r
S
r dS dr
 r S 
.
 lim 

 lim


  lim

t

0
t

0

S

0
t
t
S dt dS
 S t 
Рассмотрим вектор dr / ds . Его модуль равен пределу отношения длины хорды
MM1 к длине стягиваемой ею дуги:
S

S
+
M
0
r
y
r
y
r r
(4.9)

v
y
r
dr
 lim
 1.
dS S 0 S
M1
Направление вектора r / s совпадает с
направлением r при движении точки в
Рис. 4.4.
сторону увеличения координаты S (S  0) и
противоположно r при движении в противоположную сторону (S  0).
dr
r
 lim
Таким образом, вектор
всегда направлен по касательной к
dS S 0 S
траектории в сторону увеличения координаты S, т.е. он является единичным
вектором касательной к траектории точки
O
dr
 .
dS
(4.10)
На основании этого из уравнения (4.9) получим
v
dS
  S .
dt
(4.11)
Скалярную величину v  S называют алгебраической скоростью
точки. Она представляет собой проекцию вектора скорости на касательную
к траектории. Знак алгебраической скорости определяет направление движения точки: при v  0 она движется в сторону увеличения координаты S,
при v  0 – в противоположную сторону. Модуль вектора скорости
v  v  S .
4.4. Определение ускорения точки
Ускорение точки характеризует изменение ее скорости в рассматриваемой системе отсчета с течением времени.
4.4.1. Векторный способ. Пусть за время t точка переместилась
из положения M, где она имела скорость v , в положение M 1 , где ее скорость стала равной v1 (рис. 4.5). Вектор скорости получил приращение
v  v1  v . Средним ускорением точки за интервал времени t называют
отношение ac р 
v
. Предел среднего ускорения
t
v dv
a  lim ac р  lim

v
t  0
t  0 t
dt
(4.12)
называют ускорением точки в
данный момент времени или
просто ускорением точки.
M1
Таким образом, ускореv
ние точки – это мера изменения
v1
ее скорости, равная производной
v1
по времени от скорости точки в
acр
рассматриваемой системе отсчеa
та. Так как v  r , a  r Вектор
Рис. 4.5.
среднего ускорения лежит в
плоскости, образуемой векторами v и v1 . При уменьшении t точка М 1
M
v
приближается к точке М, и плоскость векторов (v , v1 ) изменяет свое положение в пространстве, поворачиваясь вокруг вектора v . Предельное положение этой плоскости называют соприкасающейся плоскостью кривой в
точке М (см. рис. 4.2, плоскость Мn). Следовательно, вектор ускорения
лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости
траектории (см. рис. 4.5).
Единица измерения ускорения в системе СИ – 1м / с 2 .
4.4.2. Координатный способ. Представим вектор скорости в виде
v  vx i  v y j  vz k . Тогда, учитывая неизменность ортов i , j , k , в соответствии с формулой (4.12) получим ускорение
a
dvy
dv
dv dvx

i
j z k
dt
dt
dt
dt
и его проекции:
dvy
dv
dv
ax  x  vx  x; a y 
 v y  y; az  z  vz  z .
dt
dt
dt
(4.13)
По проекциям ускорения определим его модуль
a  ax2  a y2  az2
(4.14)
и направляющие косинусы:
cos(a, i ) 
ay
ax
a
; cos(a, j )  ; cos(a, k )  z .
a
a
a
(4.15)
4.4.3. Естественный способ. Представим вектор скорости в виде
(4.11) v  S  , тогда из формулы (4.12) получим
a
dv
d
 S  S
.
dt
dt
Определим модуль и направление вектора S
(4.16)
d
, для чего рассмотрим два
dt
случая.
Случай 1. Точка М движется в сторону увеличения координаты S
(рис. 4.6,а). За время t она перемещается из положения М в положение М 1 ,
при этом ее координата увеличивается на величину S, а вектор  получает
приращение  , направленное в сторону вогнутости траектории. Вектор
d

 lim
направлен перпендикулярно вектору  в сторону вогнутости
dt t 0 t
d
траектории и лежит в соприкасающейся плоскости. Вектор S
имеет
dt
такое же направление, так как координата S возрастает, при этом S  0 .
Случай 2. Точка М движется в сторону уменьшения координаты S
(рис. 4.6,б). Вектор  , а вместе с ним и вектор d  / dt , направлены в стоd
рону выпуклости траектории. Вектор S
имеет противоположное направdt
d
ление, так как S  0 . Таким образом, вектор S
всегда направлен по
dt
главной нормали к траектории в сторону вогнутости и может быть представлен в виде:
S
S
d
d
 S
n.
dt
dt
(4.17)
d
dt
1
d
dt
M
1
n


S
0 +
M1
S

M
M
а
S
d
dt

n


M
1
S
+
0
M1
d
dt
1
б
Рис. 4.6.
Определим модуль вектора d  / dt . Учитывая, что MM M  равнобедренный (см. рис. 4.6,а) и   1  1 , получим

2  sin(  / 2)

d
d
.
 lim
 lim
 lim


t

0

t

0

t

0
dt
t
t
t
dt
Из формул (4.17) и (4.18) следует
S
d
d
d  dS
 S
n S
n.
dt
dt
dS dt
(4.18)
d
1
 k  , где k – кривизна, а ρ – радиус кривизны
dS

траектории в данной точке, получим
откуда, учитывая, что
S
d
1
S2
 S S n
n.
dt


(4.19)
Подставим (4.19) в (4.16)
S2
(4.20)
n.

Таким образом, вектор ускорения имеет две составляющие: касательную и нормальную.
Касательное ускорение
a  S 
a  S   v 
(4.21)
направлено по касательной к траектории в сторону увеличения координаты
S, если алгебраическая скорость точки v возрастает, или в сторону уменьшения S, если v убывает. Проекция касательного ускорения на ось :
a  S  v .
(4.22)
Нормальное ускорение
an 
S2
v2
n n


(4.23)
всегда направлено по нормали к траектории в сторону вогнутости, его проекция на ось n:
2
an 
M

a
S
v2
.



4.24)
Так как a  an (рис. 4.7), модуль вектора
ускорения находим по формуле
a  a2  a2n .
(4.25)
Касательное ускорение характеризует изменение скорости точки по модулю, а
нормальное – по направлению.
an
a
n
Рис. 4.7.
Касательное ускорение равно нулю:
1) если точка движется с постоянной алгебраической скоростью;
2) в те моменты времени, когда скорость v принимает экстремальные значения.
Нормальное ускорение равно нулю:
1) при прямолинейном движении ( = );
2) в точках перегиба траектории ( = );
3) в те моменты времени, когда скорость точки равна нулю.
4.5. Частные случаи движения точки
4.5.1. Равномерное движение точки. Это движение с постоянной
алгебраической скоростью, т.е. v = const. Касательное ускорение
a  v  0 , а нормальное ускорение обращается в нуль только при прямолинейном равномерном движении или в точках перегиба траектории при
криволинейном движении.
Закон изменения координаты S получим из соотношения
dS
 v = const,
dt
откуда
S  S0  v t ,
где S0 – значение координаты S в начальный момент времени t = 0.
4.5.2. Равнопеременное движение точки. Это движение с постоянным по модулю касательным ускорением: a = const.
Законы изменения алгебраической скорости и координаты получим,
интегрируя следующие соотношения:
dv
 a = const, откуда v  v0  at ,
dt
a t2
dS
 v0  a t , откуда S  S0  v0 t   ,
2
dt
где v0 , S0 – начальные значения алгебраической скорости и координаты.
Пример. Движение точки M задано координатным способом:
 x  2t , (м);

1

 y  2t  1 , (м).
(4.26)
Определить траекторию точки, а также ее скорость, ускорение и
радиус кривизны траектории в момент времени t  t1 = 0,5 с.
Чтобы записать уравнение движения точки M в координатной форме, исключим из уравнений (4.26) время t. Из 1-го уравнения (4.26) получим
1
2t = x и подставим во 2-е уравнение: y 
, т.е. точка движется по гиx 1
перболе. Считая, что t  0, в качестве траектории будем иметь участок ветви
гиперболы, для точек которого x  0 (рис. 4.8, сплошная линия). При t  t1 =
0,5 с: x = 1 м, y = 0,5 м.
0
y, м
3
a
0
y
1
x1
1 м/ с2
0,5
an
vx
1
vy
a M
-1
2 м/с
1
0
1
v
2
x, м
Рис. 4.8.
Определим проекции скорости точки:
vy  y  
vx  x = 2 м/с;
2
(2t  1) 2
t  0,5
Модуль скорости:
v  vx2  v y2 = 2,06 м/с.
Проекции ускорения точки:
= – 0,5 м/с.
ay  y 
ax  x  0 ;
8
(2t  1)3
t  0,5
= 1 м/с2.
Модуль ускорения:
a  ax2  a y2 = 1 м/с2.
Определим касательное ускорение точки M как проекцию вектора
ускорения на направлении вектора скорости
a  a 
v a  v ax vx  a y v y 0  1 (0,5)
= – 0,24 м/с2.



v
v
v
2, 06
Так как a  0 , вектор a направлен по касательной к траектории в сторону,
противоположную вектору скорости v .
Нормальное ускорение:
an  a 2  a2 = 0,97 м/с2.
Вектор нормального ускорения направлен по нормали к траектории в сторону вогнутости.
Теперь определим из формулы (4.24) радиус кривизны траектории

v 2 2, 06 2

= 4,38 м.
an
0,97
Вопросы для самоконтроля
1. Что изучает кинематика?
2. Что называют траекторией точки?
3. Перечислите способы задания движения точки.
4. Каково направление вектора скорости точки?
5. Как определяют проекции скорости точки на оси неподвижной
декартовой системы координат?
6. Как по проекциям скорости определить ее модуль и направление?
7. Чему равна проекция скорости точки на касательную к траектории?
8. Каково направление вектора ускорения точки?
9. Как определяют проекции ускорения точки на оси неподвижной
декартовой системы координат?
10. Чему равны проекции ускорения точки на касательную и главную нормаль к траектории? В каких случаях эти проекции равны нулю?
Лекция 5. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В кинематике рассматривают идеализированные недеформируемые
тела, которые называют абсолютно твердыми или просто твердыми. Расстояние между любыми двумя точками такого тела остается неизменным и
не зависит от действующих на него сил.
Простейшие движения твердого тела – поступательное и вращательное. Более сложные движения могут быть представлены как совокупность простейших.
5.1. Поступательное движение твердого тела
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого тела, перемещается,
оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Свойства поступательного движения твердого тела определяют
следующей теоремой: «При поступательном движении твердого тела все
его точки описывают одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения».
Доказательство
Пусть тело движется поступательно относительно координатной
системы Oxyz (рис. 5.1). Радиусы-векторы произвольных точек А и В связаны между собой соотношением
rB  rA  AB .
(5.1)
Модуль вектора AB как расстояние между двумя точками твердого тела не
изменяется и его направление остается неизменным, так как тело движется
поступательно. Следовательно, вектор AB = const и траектория точки В может быть получена из траектории точки А параллельным смещением, т.е.
при наложении траектории этих точек совпадают.
Продифференцируем соотношение (5.1) по времени и получим
drB drA d

 ( AB ) ,
dt
dt dt
z
В
B1
А
rB
О
x
A1
rA
Рис. 5.1.
d
( AB )  0 . Поэтому
dt
drB drA

или vB  vA .
dt
dt
Дифференцируя последнее
соотношение по времени,
запишем
где
y
dvB dv A

или aB  aA ,
dt
dt
что и доказывает утверждение теоремы. Из нее следует, что изучение поступательного движения тела сводится к уже рассмотренной задаче кинематики точки.
5.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором все точки, лежащие на некоторой прямой, неизменно связанной с ним,
остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчета. Эту прямую
называют осью вращения. Точки тела, не лежащие на оси вращения, движутся по окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, а их центры находятся на этой оси.
z
Выберем на оси вращения z (рис. 5.2)
положительное направление и проведем через
нее две полуплоскости: неподвижную (I) и
жестко связанную с телом (II). Положение
тела однозначно определяется линейным
углом  двугранного угла между полуплоскостями I и II. Этот угол называют углом пово
рота тела. Будем считать угол поворота
положительным, если с положительного
I
направления оси вращения он виден отложенII
ным против часовой стрелки. Зависимость
k
угла поворота от времени
 = (t)
(5.2)
называют уравнением вращательного движе-
Рис. 5.2.
ния тела.
Единица измерения угла поворота в системе СИ – 1 рад.
Основными кинематическими характеристиками вращательного
движения тела в целом являются угловая скорость и угловое ускорение.
5.3. Угловая скорость твердого тела
Пусть за время t тело повернулось на угол , тогда средней угло
вой скоростью за это время называют отношение  zc р 
. Предел этого
t
соотношения при t  0 называют угловой скоростью в данный момент
времени или просто угловой скоростью
z  lim
t  0
 d 

.
t
dt
(5.3)
Таким образом, угловая скорость равна первой производной по
времени от угла поворота тела. Знак угловой скорости показывает направление вращения: при z  0 тело вращается по часовой стрелке, при z  0 –
против часовой стрелки.
Модуль угловой скорости   z   .
Единица измерения угловой скорости в системе СИ – 1 рад/с.
Угловая скорость может быть представлена в виде вектора  ,
направленного вдоль оси вращения тела в ту сторону, с которой вращение
видно происходящим против часовой стрелки. Модуль угловой скорости
     . Учитывая введенное правило отсчета угла , вектор угловой
скорости можно представить в следующем виде:
  z k ,
(5.4)
где k – орт координатной оси z.
5.4. Угловое ускорение твердого тела
Пусть за время t угловая скорость тела изменилась на величину
z , тогда среднее угловое ускорение за это же время будет равно отношеz
, а угловое ускорение в данный момент времени или просто
t
угловое ускорение –
нию  zс р 
 z  lim
t  0
z d z

 z   .
t
dt
(5.5)
Модуль углового ускорения:   z  z   .
Единица измерения углового ускорения в системе СИ – 1 рад / с 2 .
Угловое ускорение может быть представлено в виде вектора,
направленного вдоль оси вращения,

d z
d d
 ( z k ) 
k  z k .
dt dt
dt
(5.6)
Модуль вектора углового ускорения:    z   .
Вращательное движение
называют ускоренным, если модуль



угловой скорости с

r
течением времени


увеличивается.
При этом угловая


 скорость и угловое
ускорение имеют
одинаковые знаки,
б
a
Рис. 5.3.
а векторы  и 
направлены в одну
и ту же сторону (рис. 5.3,а). В случае замедленного вращательного движения направления этих векторов противоположны (рис. 5.3,б). Так, например, ускоренное вращение тела, показанного на рис. 5.3,а слева, направлено
против часовой стрелки, если смотреть на него сверху, а на рис. 5.3,а справа
– по часовой стрелке.
5.5. Частные случаи вращательного движения
Вращательное движение называют равномерным, если угловая
скорость тела не изменяется, т.е. z  d  / dt = const. Интегрируя это соотношение, получим уравнение равномерного вращения
  0  z t ,
(5.7)
где  0 – начальный угол поворота тела.
Вращательное движение называют равнопеременным, если угловое
ускорение тела не изменяется, т.е.  z  d z / dt = const, откуда после интегрирования получим
(5.8)
z  z 0   z t .
Так как из выражения (5.8) следует, что d  / dt  z 0   z t , можно записать
уравнение равнопеременного вращения
t2
.
(5.9)
2
Из двух последних равенств нетрудно получить следующее соотношение
  0   z 0 t   z
  0 
z 0   z
t.
2
(5.10)
5.6. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси
Рассмотрим
точку
М,
находящуюся на расстоянии h от
оси вращения. Эта точка движется
по окружности радиусом h. Зададим движение точки M естественным способом. Начало отсчета
криволинейной координаты S выберем в точке O, где окружность
пересекается с неподвижной полуплоскостью (рис. 5.4). Тогда
OCM =  и уравнение движения
точки M примет вид:
S  h .
(5.11)
Введем естественную координатную систему Mn, орты
осей , n и воспользуемся полученными в 4-й лекции соотношениями.
Скорость точки М:
z
n
an
h
O
S
C


n
a
M
r

v
a

O1


Рис. 5.4.

v  S   h  hz  ,
(5.12)
v  h z  h .
(5.13)
ее модуль:
Ускорение точки М имеет касательную и нормальную составляющие:
a  a  an .
(5.14)
a  S   h  h z  ,
(5.15)
a  h  z  h .
(5.16)
v2
(h)2
n
n  2 hn ,
h
h
(5.17)
Касательное ускорение
его модуль
Нормальное ускорение
an 
его модуль
an  2 h .
(5.18)
Модуль ускорения точки М
a  a2  an2  h 2  4 .
(5.19)
Угол  между вектором ускорения a и осью n определим из соотношения:
tg  
a


.
an 2
(5.20)
Так как угловая скорость и угловое ускорение характеризуют движение тела в целом, из формул (5.12)-(5.20) следует, что скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, пропорциональны
расстояниям от этих точек до оси вращения, а углы  в каждый момент времени одинаковы для всех точек.
Введем в рассмотрение векторы угловой скорости  , углового
ускорения  и радиус-вектор r точки M (см. рис. 5.4). Тогда вектор скорости может быть представлен векторным произведением
v   r .
(5.21)
Это соотношение имеет название формулы Эйлера.
Легко убедиться в справедливости формулы (5.21). Действительно,
правило векторного произведения показывает, что направление вектора
 r совпадает с направлением вектора v (см. рис. 5.4). Его модуль:
 r  r sin   h  v .
Продифференцируем формулу Эйлера по времени:
dv d 
dr

 r  
dt
dt
dt
или
a    r   v .
(5.22)
Покажем, что две составляющие ускорения точки в формуле (5.22) являются касательным и нормальным ускорениями:
a    r ;
an   v .
(5.23)
(5.24)
Совпадение направлений векторов в левой и правой частях равенств (5.23),
(5.24) проверяют по правилу векторного произведения. Их модули:
 r  r sin   h  a ;
 v  v sin 900   h  2 h  an .
Пример. Груз 1 подвешен на нити, намотанной на барабан лебедки
радиусом r2 = 0,1 м (рис. 5.5). С барабаном жестко соединена шестерня 2
радиусом R2 = 0,15 м, которая находится в зацеплении с шестерней 3 радиусом R3 = 0,12 м.
Определить скорость и ускорение точки М шестерни 3, находящейся на расстоянии r3 = 0,08 м от оси вращения в момент времени t = 0,2 с,
если груз 1 движется по закону x  1  2t 2 (м).
Найдем модуль скорости груза 1: v1  x  4t . Такую же скорость
имеют все точки обода барабана, поэтому модуль его угловой скорости
v
4t
2  1 
 40t . Скорость точки касания колес 2 и 3 v23  2 R2  3 R3 ,
r2 0,1
откуда определим модуль угловой скорости шестерни 3
3 
при t = 0,2 с:  3  10 рад / с.
2 R2 40t  0,15

 50t ,
R3
0,12
2
2
v
v23
r2
R2
3
a
M
r3
R3
an
a
x
1
3
3
v1
Рис. 5.5.
Модуль углового ускорения шестерни 3:
3  3  50 рад / с 2  const .
Определим модули скорости v, касательного a , нормального an и
полного а ускорений точки М:
v  3 r3 = 10·0,08 = 0,8 м/с;
an  32 r3 = 102·0,08 = 8 м/с2;
a  3 r3 = 50·0,08 = 4 м/с2;
a  a2  an2  42  82 = 8,94 м/с2.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие движения твердого тела называют простейшими?
2. Каковы основные свойства поступательного движения тела?
3. Каким уравнением задают вращение тела вокруг неподвижной
оси?
4. Как связаны между собой угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение тела?
5. Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения
при вращении тела вокруг неподвижной оси?
6. Как определяют скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?
7. Как определяют ускорение точки тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси? Чему равны и как направлены его составляющие?
Лекция 6. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
6.1. Основные определения
В 5-й лекции при рассмотрении простейших движений твердого
тела было показано, как определяют скорости и ускорения точек, неизменно
связанных с телом. Однако во многих задачах механики точки движутся по
отношению к телам, которые сами являются подвижными. Для изучения
движения таких точек удобно использовать две системы отсчета: подвижную, связанную с движущимся телом, и неподвижную.
Движение точки, одновременно рассматриваемое в неподвижной
(основной) и подвижной (вспомогательной) системах отсчета, называют
сложным. Движение точки относительно подвижной системы отсчета
называют относительным. Скорость и ускорение точки в относительном
движении называют относительной скоростью vr и относительным ускорением ar .
Движение подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной называют переносным. Скорость и ускорение той неизменно связанной
с подвижной системой отсчета точки пространства, с которой в данный
момент времени совпадает движущаяся точка, называют переносной скоростью ve и переносным ускорением ae .
Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называют абсолютным. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении
называют абсолютной скоростью va и абсолютным ускорением aa .
Рассмотрим в качестве примера движение человека (принимаем его
за точку) по палубе поступательно движущегося теплохода. Свяжем подвижную систему отсчета с теплоходом, а неподвижную – с берегом. Тогда
абсолютной будет скорость человека относительно берега, относительной –
скорость человека относительно теплохода, а переносной – скорость теплохода относительно берега.
Установим зависимости между абсолютными, относительными и
переносными скоростями и ускорениями точки, рассматривая случаи переносного вращательного и переносного поступательного движений.
6.2. Определение абсолютной скорости точки
Рассмотрим подвижную систему координат Oxyz, которая вращается вокруг оси OP, неподвижной в координатной системе O1 x1 y1 z1 , с угловой
скоростью e и угловым ускорением  e (рис. 6.1). Пусть относительное
движение точки задано в координатной форме:
x  x(t ),
y  y(t ), z  z (t ) .
Тогда радиус-вектор точки М
относительно начала O1 неподвижной системы координат можно найти по формуле
p
z1
e
z
M
rM
C
k
M
e
(6.1)
B
rM  rO  M 
y
 rO  xi  yj  zk , (6.2)
j
где i , j , k – орты осей подвижной системы координат,
O1
i
которые являются радиусамиA
векторами точек А, В, С, леy1
жащих на осях этой системы
x1
x
на единичных расстояниях от
начала координат О.
Рис. 6.1.
Так как подвижная
система координат вращается с угловой скоростью e , скорости точек А, В,
rO
O
С, равные производным по времени от ортов i , j , k , могут быть определены по формуле Эйлера (5.21)
vA 
di
dj
dk
 e  i ; vB   e  j ; vC 
 e  k .
dt
dt
dt
(6.3)
Продифференцируем по времени равенство (6.2)
drM drO dx
dy
dz
di
dj
dk
.

 i
j kx y z
dt
dt dt
dt
dt
dt
dt
dt
В этой формуле
(6.4)
dr
drM
 v A – абсолютная скорость точки М, O  0 , так как
dt
dt
dx dy dz
, ,
– проекdt dt dt
ции скорости точки М относительно подвижной системы координат на оси
dx
dy
dz
i
j  k  vr – относительная скорость
этой системы, поэтому
dt
dt
dt
точки М. Для преобразования трех последних слагаемых формулы (6.4)
используем соотношения (6.3)
точка О неподвижна относительно системы O1x1y1 z1 ;
di
dj
dk
y z
 xe  i  ye  j  ze  k 
dt
dt
dt
 e  ( xi  yj  zk )  e M  ve
x
и получим переносную скорость точки М.
Таким образом, из формулы (6.4) имеем
va  ve  vr .
(6.5)
Если подвижная система Oxyz движется поступательно, то скорости всех ее
точек одинаковы и равны скорости точки О. Поэтому переносная скорость
ve  vO , направления единичных векторов i , j , k не изменяются и их производные по времени равны нулю. В этом случае из формулы (6.4) получим
drM drO dx
dy
dz

 i
j k
dt
dt dt
dt
dt
или
va  vO  vr  ve  vr ,
что совпадает с формулой (6.5), записанной для случая переносного вращательного движения.
Таким образом, справедлива следующая теорема: «При сложном
движении точки ее абсолютная скорость равна геометрической сумме
переносной и относительной скоростей».
6.3. Определение абсолютного ускорения точки
Рассмотрим случай переносного вращательного движения и запишем формулу (6.5) в виде:
va  ve  vr  e  ( xi  yj  zk )  xi  yj  zk .
Продифференцируем соотношение (6.6) по времени
(6.6)
 di
dva d e
dj
dk

 ( xi  yj  zk )  e  ( xi  yj  zk )  e   x  y  z
dt
dt
dt
dt
dt

 xi  yj  zk  x
di
dj
dk
.
y z
dt
dt
dt



(6.7)
dva
 aa – абсолютное ускорение точки М;
dt
d e
 e – вектор углового ускорения подвижной системы координат;
dt
Здесь
xi  yj  zk  M ; xi  yj  zk  vr ; x
di
dj
dk
y z
 ve ; xi  yj  zk  ar –
dt
dt
dt
относительное ускорение точки М;
x


di
dj
dk
y z
 e  xi  yj  zk  e  vr .
dt
dt
dt
Теперь из формулы (6.7) получим
aa  e M  e  vr  e  ve  ar  e  vr 
 e M  e  ve  ar  2e  vr .
(6.8)
Первые два слагаемых этого равенства представляют собой в соответствии
с выражением (5.22) ускорение точки подвижной системы координат, совпадающей с движущейся точкой М, т.е. являются ее переносным ускорением ae  e M  e  ve . Последнее слагаемое называют кориолисовым
ускорением
(6.9)
aC  2e  vr .
Кориолисово ускорение направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат
векторы e и vr , в ту сторону, откуда
поворот вектора e к вектору vr на
наименьший угол виден против часовой
стрелки (рис. 6.2).
Модуль кориолисова ускорения:
ac
e
vr

Рис. 6.2.
aC  2e vr sin  ,
(6.10)
где  – угол между векторами e и vr .
Для определения модуля и направления кориолисова ускорения
можно использовать правило Жуковского: «Для построения вектора кориолисова ускорения aC надо спроецировать вектор vr на плоскость, перпендикулярную вектору е , умножить полученную проекцию v  на 2 е и
повернуть полученный вектор на 900 вокруг вектора e в сторону переносного вращения» (рис. 6.3). Легко проверить, что направление полученного вектора совпадает с направлением вектора aC , определенным по формуле (6.9), его модуль 2e v  2e vr sin   aC .
vr
e
α
v
2e v
ac
Кориолисово ускорение равно нулю в следующих случаях:
1) в те моменты
времени, когда относительная скорость равна нулю
(vr  0) ;
2) если векторы e и
коллинеарны, т.е. угол
900
vr
между ними  = 0 или
Рис. 6.3.
  1800 ;
3) в те моменты времени, когда угловая скорость переносного движения равна нулю (e  0) .
Итак, из уравнения (6.8) получим
aa  ae  ar  ac .
(6.11)
Этот результат выражает содержание теоремы Кориолиса: «Абсолютное
ускорение точки в случае переносного вращательного движения равно
геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений».
В общем случае переносное и относительное ускорения могут быть
представлены в виде сумм касательных и нормальных составляющих, и
тогда формула (6.11) примет вид:
aa  ae  aen  ar  arn  ac .
(6.12)
Рассмотрим случай переносного поступательного движения. Запишем формулу (6.5) так:
va  vo  xi  yj  zk
и продифференцируем ее по времени, учитывая, что при поступательном
di dj dk
переносном движении


 0:
dt dt dt
dva dvo

 xi  yj  zk ,
dt
dt
где
dva
dvo
 aa ;
 a o  ae ; xi  yj  zk  ar ;
dt
dt
aa , ae , ar – абсолютное, переносное и относительное ускорения точки М.
Таким образом, при переносном поступательном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений:
(6.13)
aa  ae  ar .
Пример. Круглая пластина радиусом R = 60 см вращается вокруг
неподвижной оси, перпендикулярной плоскости пластины и проходящей
через точку О, лежащую на ее ободе, по закону   4(t 2  t ) рад (рис. 6.4).
По ободу пластины движется точка М, положение которой определяется
координатой S  AM  R(4t 2  2t 3 ) / 3 см.
Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М
в момент времени t = 1 с.
Положение точки М в заданный момент времени определим с помощью центрального угла

S  2
2
 (4t  2t 3 ) t 1 
рад = 1200 .
R 3
3
Найдем угловую скорость  z и угловое ускорение  z пластины:
z    4(2t  1) t 1  4 рад/с;
 z    4  2  8 рад/c2 = const,
а также их модули:
   z  4рад / c;
   z  8рад / c 2 .
ae
ar
ve
M
60
vr
0
a rn
600
300
300

O
600
600
S
  1200
aen
C
A
ac


n

R
Рис. 6.4.
Так как  z  0 и  z  0 , пластина вращается в сторону увеличения угла 
ускоренно. Треугольник ОСМ равносторонний, поэтому ОМ = R = 60 см.
Абсолютная скорость точки М: va  vr  ve . Проекция относительной скорости на касательную М
vr   S 
R
2R 2  60
(8t  6t 2 ) t 1 

 125, 66 см/с.
3
3
3
Модуль относительной скорости
v r  v r  125,66 см/с.
Модуль переносной скорости
ve   OM  4  60  240 см/с; ve  OM .
Модуль абсолютной скорости точки М:
va  vr2  ve2  2vr ve cos(vr , ve ) =
 125,662  2402  2  125,66  240 cos 600 = 321,8 см/с.
Абсолютное ускорение точки М
aa  ar  arn  ae  aen  ac .
Проекция относительного касательного ускорения на ось М:
ar  S 
R
4R
4  60
(8  12t ) t 1  

 – 251,32 см/с2,
3
3
3
его модуль
ar  ar = 251,32 см/с2.
Модуль относительного нормального ускорения
arn 
vr2 125,662
= 263,17 см/с2.

R
60
Модули переносного касательного и нормального ускорений:
ae    OM  8  60  480 см/с2;
ae  MO ;
aen  2  OM  42  60  960 см/с2;
aen MO .
Направление вектора кориолисова ускорения ac получим по правилу Жуковского, повернув вектор относительной скорости vr на 900 в
направлении вращения пластины. Вектор угловой скорости переносного
движения e направлен вдоль оси вращения, поэтому e  vr и модуль
кориолисова ускорения найдем так:
ac  2e vr sin 900  2  4 125, 66 1  1005,3 см/с2.
Определим проекции абсолютного ускорения на оси M и Mn, для
чего спроецируем на них векторное равенство (6.14),
aa  ar  ae cos 600  aen cos 300 
 251,32  480 cos 600  960 cos 300  820 см/с2;
aan  arn  ac  ae sin 600  aen sin 300 
 263,17  1005,3  480sin 600  960sin 300  1332,8 см/с2.
Модуль абсолютного ускорения точки М:
2
aa  aa2  aan
 8202  1332,82  1564,9 см/с2.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определения относительного, абсолютного и переносного
движений точки.
2. Как связаны между собой относительная, абсолютная и переносная скорости?
3. Как определить абсолютное ускорение точки в случае переносного поступательного движения?
4. Чему равно кориолисово ускорение точки? Сформулируйте правило Жуковского для определения кориолисова ускорения?
5. В каких случаях кориолисово ускорение равно нулю?
6. Как определяют абсолютное ускорение точки в случае переносного вращательного движения?
Лекция 7. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
7.1. Основные определения. Уравнения плоского движения
Плоским или плоскопараллельным называют такое движение тела,
при котором каждая его точка движется в плоскости, параллельной некоторой плоскости П, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета
(рис. 7.1). Из этого определения следует, что сечение S тела плоскостью
П1 П движется в плоскости П1 , а прямая KL, проведенная через точку А
сечения перпендикулярно плоскости П, движется поступательно. Поэтому
траектории, скорости и ускорения всех точек этой прямой одинаковы. Таким образом, плоское движение тела полностью определяется движением
сечения S, в связи с чем в дальнейшем будем рассматривать движение плоской фигуры в плоскости П1 .
Введем на плоскости П1 неподвижную систему координат xOy,
тогда положение сечения S будет определяться координатами xA , yA точки
А, называемой полюсом, и углом , образуемым отрезком АВ, который принадлежит сечению S, с положительным направлением оси Оx (рис. 7.2).
y
K
П1
A
O
A
A
S
x
O
x
L
П
Рис. 7.1.
Зависимости этих величин от времени
xA  f1 (t ),
y A  f 2 (t ),   f3 (t )
(7.1)
называют уравнениями плоского движения твердого тела. Первые два из
этих уравнений полностью определяют движение тела при неизменy
S
B
ном угле , т.е. в случае его поступательного движения. Третье уравнение определяет движение тела,

A
когда координаты точки А не измеyA
няются, т.е. при вращении тела
вокруг неподвижной оси, проходящей через полюс А перпендикулярO
но плоскости xOy.
xA
x
Так как в общем случае
Рис. 7.2.
изменяются все три координаты,
плоское движение тела можно
представить как сумму двух движений: поступательного, определяемого
движением полюса, и вращательного вокруг оси, проходящей через этот
полюс и перпендикулярной плоскости движения. Характеристики поступа-
тельной части плоского движения (траектория, скорость и ускорение полюса) зависят от выбора полюса, так как в противном случае тело совершает
поступательное движение. Характеристики вращательной части плоского
движения (угловая скорость и угловое ускорение) от выбора полюса не
зависят.
Действительно, выберем в качестве полюса точку С (рис. 7.3) и
определим положение фигуры углом
. Проведем отрезок CB1 AB , тогда
y
B1
D
(7.2)
B1CE       ,

где  = const.

C
E
Продифференцируем равенство (7.2) по времени и получим
B
z    ;  z     ,

что и доказывает независимость вращательной части плоского движения
от выбора полюса.
A
O
Рис. 7.3.
x
7.2. Определение скоростей точек плоской фигуры
Введем подвижную систему координат Ax1 y1 z1 , оси которой остаются параллельными осям неподвижной системы Oxyz (рис. 7.4). В данном
случае подвижная система движется
y
поступательно, а плоская фигура
1
y
относительно нее вращается вокруг
B
оси Az1 . Точка В совершает сложное движение, ее абсолютная скорость
A
x1
O
z
z1
x
Рис. 7.4.
тельная скорость vr  vBA
фигуры вокруг полюса А.
vа  ve  vr .
(7.3)
Обозначим абсолютную скорость
точки В как va  vB , ее переносная
скорость ve  vA , так как переносное
движение поступательное, относиравна скорости точки В при вращении плоской
Таким образом,
vB  vA  vBA ,
(7.4)
т.е. скорость произвольной точки плоской фигуры равна геометрической
сумме скорости полюса и скорости этой точки во вращательном движении
фигуры вокруг полюса. Вращательная составляющая скорости vBA  AB
(рис. 7.5), ее модуль vBA   AB .
vB
vA
vBA

vA

x
B

A
Рис. 7.5.
7.3. Теорема о проекциях скоростей
Непосредственное использование зависимости (7.4) при определении скоростей точек не всегда целесообразно. Существуют другие соотношения, одно из которых дает следующая теорема: «Проекции скоростей
двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны
между собой».
Для доказательства теоремы спроецируем векторное равенство (7.4)
на ось х (см. рис. 7.5) и, учитывая, что vBA  x , получим
vA cos   vB cos  .
(7.5)
Формула (7.5) позволяет определить любую из четырех входящих в нее
величин, если известны остальные три.
7.4. Мгновенный центр скоростей
Мгновенным центром скоростей (м.ц.с.) называют точку плоской
фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Докажем, что если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то м.ц.с. существует и эта точка единственная. Пусть скорость точки А
отлична от нуля (vA  0) , т.е. она не является м.ц.с. (рис. 7.6). Проведем луч
AN  vA в направлении вращения плоской
vA
.

Выберем точку А за полюс и найдем скорость точки Р
фигуры и отложим на нем отрезок AP 
A
vA

P
vP  vA  vPA ,
900
где vPA   AP  
vA
 vA .

vPA  AP
(7.6)
vA  AP ,
vPA  v A и из равенства (7.6) получим
vP  vA  vA  0 , т.е. точка Р является м.ц.с.
Рис. 7.6.
Предположим, что существует еще
одна точка P1 , у которой скорость vP1  0 . Однако в этом случае вся фигура
в данный момент времени неподвижна и скорость точки А: vA  0 , что противоречит исходному предположению. Из этого противоречия следует
единственность м.ц.с.
Выберем в качестве полюса точку Р (рис. 7.7) и найдем скорости
произвольных точек А и В фигуры:
N
vPA
Так как
и
vA  vP  vAP  vAP ;
vB  vP  vBP  vBP ,
т.е. vA  PA, vB  PB (см. рис. 7.7). Модули скоростей:
vA   PA, vB   PB .
(7.7)
Таким образом, скорости точек при плоском движении фигуры
распределяются так же, как при вращательном движении вокруг оси, проходящей через м.ц.с. перпендикулярно плоскости движения. Иными словами,
скорости перпендикулярны отрезкам, соединяющим точки с м.ц.с., а модули
скоростей пропорциональны расстояниям от точек до м.ц.с. Из равенств
(7.7) следует, что угловая скорость фигуры в данный момент времени равна
A
P
vA

B
vB
Рис. 7.7
отношению скорости какой-либо точки фигуры к
расстоянию от этой точки до м.ц.с.
v
(7.8)
 A .
PA
Зная положение м.ц.с. и скорость некоторой
точки фигуры, можно, используя соотношения
(7.7) и (7.8), определить скорость любой другой
ее точки.
7.5. Определение положения мгновенного центра скоростей
Рассмотрим типичные ситуации, в которых можно определить положение м.ц.с.
7.5.1. Пусть известны скорость некоторой точки фигуры и ее угловая скорость. Такой случай уже рассмотрен при доказательстве существования м.ц.с.
7.5.2. Пусть известны направления скоростей двух точек фигуры и
эти скорости не параллельны (рис. 7.8). Из предыдущего следует, что м.ц.с.
находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям v A , vB , проведенных из точек А и В.
7.5.3. Пусть скорости двух точек фигуры параллельны друг другу,
перпендикулярны отрезку, соединяющему точки, и не равны по модулю.
Так как модули скоростей пропорциональны расстояниям от точек до м.ц.с.,
то для определения его положения произведем построения, показанные на
рис. 7.9.
7.5.4. Пусть скорости двух точек фигуры параллельны друг другу и
не перпендикулярны отрезку, соединяющему точки (рис. 7.10). Из теоремы
о проекциях скоростей следует, что vA cos   vB cos  , т.е. модули скоростей равны ( vA  vB ) и, следовательно, vA  vB . Тогда из выражения (7.4)
получим, что vBA   AB  0 , т.е. угловая скорость плоской фигуры
vC  vA  vCA  vA , так как
vCA   AC  0 . Следовательно, в данный момент времени скорости всех
точек фигуры одинаковы, а ее угловая скорость равна нулю. Такое движение тела называют мгновенно поступательным.
7.5.5. Если одно тело катится без скольжения по неподвижной поверхности другого тела (рис. 7.11), то м.ц.с. находится в точке соприкосно = 0.Скорость
произвольной
точки
С:
вения тел, так как при отсутствии скольжения скорость этой точки подвижного тела равна нулю.
vA
A
A
A
vA
vA
B
P
vB
B
P
P
vB
B
vB
Рис. 7.9.
Рис. 7.8.
vA
A

vA
A
C
vC
B

vB
P
x
Рис. 7.10.
Рис. 7.11.
7.6. Определение ускорений точек плоской фигуры
Используем введенную в подразделе 7.2 подвижную систему координат Ax1 y1 z1 (см. рис. 7.4) и рассмотрим движение точки В как сложное.
Поскольку переносное движение является поступательным, абсолютное
ускорение точки В определим по формуле (6.13)
aa  ae  ar .Обозначим абсолютное ускорение точки В aa  aB , ее переносное ускорение ae  a A , так как переносное движение поступательное, отно-
сительное ускорение ar  aBA имеет касательную и нормальную составляющие:

n

n
aBA  aBA
 aBA
, aBA
 AB, aBA
AB .
Модули этих составляющих:

n
aBA
   AB, aBA
 2  AB .
(7.9)
Таким образом, ускорение произвольной точки плоской фигуры
равно геометрической сумме ускорения полюса, касательного и нормального ускорений точки во вращательном движении фигуры относительно полюса

n
aB  a A  aBA
 aBA
.
(7.10)
На рис. 7.12 показано геометрическое определение вектора aB по формуле
(7.10).
aB
aBA
aBA
B
aA
aA
aBnA
A

Рис. 7.12.
Пример. Кривошипно-шатунный механизм приводится в движение
кривошипом ОА, который вращается с постоянной угловой скоростью 0 .
Колесо катится без скольжения (рис. 7.13).
Определить для заданного положения механизма скорости точек А,
В, С и D, угловые скорости и угловые ускорения шатуна АВ и колеса, ускорение точки В, если ОА = АС = СВ = b, R = b/2.
vA
O
A
O
PAB
600
600
600
AB
vC
C
vD
0
B 45
vB
x
k
Рис. 7.13.
D
R
P
Кривошип ОА вращается вокруг неподвижной оси О, шатун АВ и
колесо совершают плоское движение. Модуль скорости точки А
vA  0  OA  0b, vA  OA.
Скорость vB направлена горизонтально. Проведем из точек А и В перпендикуляры к скоростям vA , vB и получим в точке их пересечения PАB м.ц.с.
шатуна АВ, vC  CPAB (см. рис. 7.13).
Поскольку APAB  AB cos 600  2b cos 600  b  AC , то ACPAB –
равносторонний и CPAB  b . Угловая скорость шатуна АВ
AB 
b
vA
 0  0 .
APAB
b
Модули скоростей точек В и С:
vB  AB  BPAB  AB  AB sin 600  0  2b 
vC  AB  CPAB  0b .
3
 30b ;
2
Так как колесо катится без скольжения, его м.ц.с. находится в точке
Р, где колесо касается неподвижной поверхности, vD  DP . Угловая скорость колеса
30 b
v
k  B 
 2 30 .
BP
0,5b
Скорость точки D определим по теореме о проекциях скоростей. Проецируя
скорости vD и vB на ось Dx, получим
vD cos 450  vB , vD 
30 b  2
vB

 60 b .
0
cos 45
2
Выберем точку А за полюс и найдем ускорение точки В по формуле
(7.10). Ускорение точки А имеет только нормальную составляющую, так как
кривошип вращается равномерно:
a A  a An  02  OA  02  b ;
n
aBA
 2AB  AB  02  2b  202b ;
n

aBA
BA , aBA
 BA .
Ускорение aB точки В направлено горизонтально (рис. 7.14). Спроецируем равенство (7.10) на оси Bx, By:

n
aB  a A  aBA
cos 300  aBA
cos 600 ;
n

0  aBA
sin 600  aBA
sin 300 .
(7.11)
(7.12)
Далее получим:


– из уравнения (7.12) aBA
n
aBA
sin 600 202 b  0,5 3

 2 302 b ,
0,5
sin 300
– из уравнения (7.11) aB  02b  2 302b  0,5 3  202b  0,5  502b .
Угловое ускорение шатуна АВ
 AB 

2 302b
aBA

 302 .
AB
2b
aA
A
O
y
600
AB
aBnA
aB
600
300
x
k
B
aBA
Рис. 7.14.
Угловое ускорение колеса получим дифференцированием по времени соотношения
v
v
k  B  B ,
BP R
определяющего его угловую скорость,
k 
d k 1 dvB aB 502 b
 


 1002 .
dt
R dt
R 0,5b
Вопросы для самоконтроля
1. Какое движение твердого тела называют плоским?
2. Какие уравнения описывают плоское движение?
3. Какая существует связь между скоростью произвольной точки
плоской фигуры и скоростью полюса?
4. Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух точек.
5. Какую точку называют мгновенным центром скоростей плоской
фигуры?
6. Как определить положение мгновенного центра скоростей в различных случаях?
7. Как распределяются скорости точек плоской фигуры относительно ее мгновенного центра скоростей?
8. Как определить ускорение произвольной точки плоской фигуры?
Рекомендуемая литература
1. Бутенин И.В., Лунц Я.Л. , Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т. 1 : Статика и кинематика.– М.: Наука, 1985.– 240 с.
2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч. I : Статика.
Кинематика.– М.: Высш. школа, 1984.– 343 с.
3. Попов М.В. Теоретическая механика. Краткий курс.– М.: Наука,
1986.– 336 с.
4. Теоретическая механика. Терминология, вып. 90.– М.: Наука,
1977.– 46 с.
5. Ільчишина Д.І., Шальда Л.М. Теоретична механіка.– К.: УМК
ВО, 1991.– 252 с.
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Статика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
.
Лекция 1. Основные понятия и аксиомы статики. Система
сходящихся сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 2. Теория пар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 3. Основная теорема статики и условия
равновесия пространственной системы сил. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 4. Кинематика точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Лекция 5. Простейшие движения твердого тела . . . . . . . . .
Лекция 6. Сложное движения твердого тела . . . . . . . . . . . .
Лекция 7. Плоскoе движение твердого тела . . . . . . . . . . . . .
4
16
25
37
37
48
56
64
Навчальне видання
БЄЛОМИТЦЕВ Андрій Сергійович
КОРОТКИЙ КУРС ТЕОРЕТИЧНОЇ МЕХАНІКИ.
СТАТИКА І КІНЕМАТИКА
Тексти лекцій
для студентів заочної форми навчання усіх спеціальностей
Російською мовою
Роботу до друку рекомендував С.К. Шелковий
В авторській редакції
Зав. редакційно-видавничим відділом М.П. Єфремова
Комп’ютерна верстка та графічне оформлення І.Р. Грабовська
План НТУ «ХПІ» 2004, п. 37/111-04
Підп. до друку 06.07.04.
Формат 60х84/16.
Папір офсетн.
Друк – ризографія.
Ум.-др. арк. 5.4.
Обл.-вид. арк. 4,3.
Наклад 200 прим.
Зам. №
Ціна договірна.
________________________________________________________________
_
Видавничий центр НТУ «ХПІ», 61002, м. Харків, вул. Фрунзе, 21
Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 116 від 10.07.2000 р.
________________________________________________________________
_
Друкарня НТУ «ХПІ», 61002, м. Харків, вул. Фрунзе, 21