Л.Ф. Новиков

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Л.Ф. Новиков
ГРУППОВАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
СИСТЕМЫ МНОГИХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
ЧАСТИЦ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
САНКТ – ПЕТЕРБУРГ
2008
1
АННОТАЦИЯ
Групповая формулировка квантовой теории системы многих взаимодействующих частиц и электромагнитного поля основана на возможности рассматривать параметры ортогональной группы SO и
группы окаймленных матриц W как микроскопические переменные
системы взаимодействующих частиц и электромагнитного поля.
Групповой подход открывает некоторые дополнительные возможности рассмотрения характеристик системы. Квантование выполняется
выбором пространства функций на группе, вычисление средних значений физических величин выполняется интегрированием по параметрам
группы, динамика системы строится в виде функционального интеграла, являющегося пределом многократного интеграла по группе,
когда кратность стремится к бесконечности. Свойства, в общем случае
неоднородной системы многих частиц, характеризуются при групповом подходе не только числовыми средними значениями физических
величин, но также другими способами описания свойств системы,
структурой матриц, представляющих группу, законом умножения элементов группы и т. п.
В качестве конкретного примера использования общих результатов
рассматривается вывод и решение дифференциального уравнения,
определяющего среднее значение числа свободных электронов проводимости в заданном объеме газового разряда.
Книга рассчитана на физиков, математиков и инженеров, применяющих методы теоретической физики для изучения и расчета физических процессов в сложных системах многих частиц.
2
Содержание
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
10
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
16
1.1 Цель работы. Групповая формулировка
16
1.2. Основные проблемы
18
1.3. Групповое описание микроскопических переменных
20
1.4. Пространство функций на группе, квантование
21
1.5. Интегрирование по группе
21
1.6. Физический смысл параметров группы
21
1.7.Средние значения квантованных величин. Свойства систем
22
1.7.1 Современные способы вычисления средних значений (23).
1.7.2. Математическая формулировка способов усреднения (23).
1.7.3. Групповой способ вычисления средних значений (24).
1.8. Общая схема группового описания свойств систем многих
частиц
25
1.8.1. Обсуждение способов описания свойств системы (26).
1.8.2. Использование квантовой электродинамики (27).
1.8.3. Возможность подробного описания свойств системы (27).
1.8.4 Матричные переменные, феноменологическое описание (28).
1.8.5. Скрытые причины физических явлений (28).
1.8.6. Некоторые ограничения группового описания (29).
1.9. Описание систем многих частиц
29
1.9.1. Равновесные и слабо неравновесные системы (29).
1.9.2. Сильно неоднородные системы (30).
1.9.3. Промежуточный слой (32).
1.9.4. Базисные элементы как собственные векторы
усредняемого оператора (33).
1.10. План изложения групповой формулировки теории
34
Глава 2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
2.1. Неквантованный осциллятор
2.2. Функции на группе. Групповой способ квантования
механической системы
2.2.1. Квантование простой системы (39).
2.2.2. Когерентные состояния квантованной системы.
Основные свойства (44).
2.2.3. Дифференциальные инфинитезимальные
операторы (46).
3
35
35
39
2.2.4. Матричные инфинитезимальные операторы и
Дифференциальные уравнения на группе (48).
2.2.5. Динамика простой квантованной системы (50).
2.2.6. Общее описание функционального интеграла
простой системы (51)
2.3. Квантованный гармонический осциллятор
2.3.1. Групповой способ квантования осциллятора (52).
2.3.2. Состояния осциллятора в методе вторичного
квантования (52). 2.3.3. Инфинитезимальные операторы
группы W1 осциллятора (53). 2.3.4. Функции на группе
осциллятора и представление группы (54).
2.3.5. Действие инфинитезимальных операторов на
функции на группе (55). 2.3.6. Когерентные состояния
осциллятора (55). 2.3.7. Динамика квантованного
осциллятора (56). 2.3.8. Система квантованных
осцилляторов (57). 2.3.9. Функциональный интеграл
и динамика квантованного осциллятора (57).
Глава 3. ГРУППА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
3.1 Неквантованное электромагнитное поле
3.1.1. Трудности группового описания электромагнитного
поля (61). 3.1.2. Матричные переменные
электромагнитного поля (64). 3.1.3. Определение группы
W электромагнитного поля (66). 3.1.4. Параметры
52
61
61
группы (67).
3.2. Динамика неквантованного электромагнитного поля.
Уравнения Максвелла
3.2.1. Источники поля (69). 3.2.2. Уравнения
электромагнитного поля (70).
3.2.2.1. Уравнения поперечного поля (71).
3.2.2.2. Уравнения продольного поля (71).
3.3. Квантование электромагнитного поля
3.3.1. Индуцированные представления (74).
3.3.2 Индуцированные представления T w  группы W
электромагнитного поля (74).
3.3.2.1. Разложение элементов группы (75).
3.3.2.2. Пространство функций на группе (75).
3.3.3. Когерентные состояния (76). 3.3.3.1 Когерентные
состояния поперечного поля (76). 3.3.3.2 Когерентные
состояния продольного поля (77). 3.3.3.3 Свойство
4
69
73
воспроизводимости (78).
3.4. Функциональный интеграл. Динамика
квантованного поля
3.4.1 Общий вид функционального интеграла (78).
3.4.2 Явный вид функций для функционального
интеграла (79). 3.4.2.1. Матричные параметры (79).
3.4.2.2. Числовые параметры для поперечного и
продольного поля (80). 3.4.3. Функциональный
интеграл в экспоненциальной форме (82).
3.4.3.1 Действие и функциональный интеграл для
поперечного и продольного поля (82).
Глава 4. СИСТЕМА ФЕРМИЕВСКИХ ЧАСТИЦ
4.1. Структура элементов группы SO(n)
4.2 Квантование фермиевского поля
4.2.1 Полуспинорное представление (87).
4.2.2 Когерентные состояния фермиевских частиц (87).
4.3. Спинорное представление алгебры Ли
4.3.1 Алгебра Клиффорда (89). 4.3.2 Операторы
представления ( 90). 4.3.3 Основные свойства
операторов представления (91).
4.4. Средние значения между когерентными состояниями.
Матрица плотности
4.5. Физический смысл параметров ортогональной группы
78
84
85
87
88
94
98
Глава 5. ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
ЧАСТИЦ И ПОЛЯ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
ИНТЕГРАЛ
100
5.1. Функциональный интеграл для взаимодействующих
частиц и поля
100
5.1.1.Состояния системы частиц и поля (101).
5.1.2 Гамильтониан. Структура оператора
энергии (101). 5.1.3. Исходный функциональный интеграл.
Волновая функция системы частиц и поля. Матричные
элементы оператора эволюции (103). 5.1.4. Функциональный
интеграл, другой способ (104).
5.2. Замена переменных в функциональном интеграле
106
5.2.1 Преобразующая функция  t  . Дифференциальное
уравнение для преобразующей функции (106).
5
5.2.2. Преобразованный функциональный интеграл. Среднее
и внутреннее поле (107). 5.2.3. Блочная форма преобразующей
функции (108). 5.3.1. Некоторые общие свойства
функционального интеграла (110). 5.3.2 . Структура
 
преобразованного параметра u~0 t  , матрица c~ t s (110).
5.3.3. Индексация матриц u  u xI
блоков    xi 
и
(111). 5.3.4. Структура элементов
алгебры Ли Cint,s , C ,s , Bint,s (113).
5.3.5. Разложение Фурье вектор потенциала (114).
5.3.6. Подвижный репер (115).
5.4 Функциональный интеграл для состояний с целыми
числами заполнения
116
5.4.1. Оператор эволюции (116). 5.4.2. Закон коммутации (117).
5.4.3. Функциональный интеграл, представление
взаимодействия (118).
Глава 6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА
ЭВОЛЮЦИИ
120
6.1.1. Функциoнальный интеграл в представлении
взаимодействия (120). 6.1.2. Начальные и конечные
состояния (120). 6.1.3. Матричные элементы оператора
эволюции между базисными состояниями (121).
6.2.1. Приближение столкновений для функционального
интеграла (122). 6.2.2. Структура подинтегрального
выражения (123). 6.3.1. Волновая функция в нулевом
и первом приближении (123).
6.3.2. Вывод интеграла эволюции методом детерминанта (124).
6.3.3. Вычисление матричных элементов в первом
приближении (125).
6.4.1. Второй порядок приближения столкновений (126).
6.5 Вычисление интегралов
128
F0 , Fks , Fks , qr
6.5.1. Дифференцирование матричных элементов (128).
6.5.2. Свернутое выражение для функционального
интеграла F0ww0 (129). 6.5.3. Продольное поле (130).
6.5.4. Поперечное поле (132).
6
Глава 7. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛА ЧАСТИЦ
134
7.1 Вывод формул для среднего значения числа фермиевских
частиц
134
7.1.1 Разложение по базисным функциям на группе (134).
7.1.2. Волновая функция системы, полученная в результате
эволюции (135). 7.1.3. Операторы (137). 7.1.4. Среднее
значение числа частиц между когерентными состояниями (137).
7.1.5. Основная формула для среднего значения числа
фермиевских частиц (139). 7.1.6. Волновая функция
системы (140). 7.1.7. Среднее число свободных электронов (140).
7.1.7.1. Матрица интересов (141). 7.1.7.2. Матрица
возможностей (142). 7.1.8. Обсуждение формулы для средних
значений физических величин (142).
7.2. Ионизация и рекомбинация
144
7.2.1. Матричные элементы оператора эволюции (145).
7.2.1.1. Процесс ионизации (145). 7.2.1.2. Процесс
рекомбинации (146). 7.2.1.3. Скалярные компоненты (146).
7.2.2. Интегрирование по времени (147). 7.2.3. Приближение,
плоской волны для волновых функций (149).
7.2.4. Преобразование уравнений для среднего значения числа
электронов (150). 7.2.4.1. Преобразование правой части
уравнений для среднего значения числа электронов (151).
7.2.4.2. Сумма по состояниям (153).
7.2.4.3. Закон сохранения энергии (154). 7.2.4.4. Изменение
числа свободных электронов в процессе ионизации (155).
7.2.4.5. Сечение ионизации (155). 7.2.4.6. Изменение
числа свободных электронов в процессе рекомбинации (155).
7.2.4.7. Сечение рекомбинации (156).
Глава 8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ К РАСЧЕТУ
ГАЗОВОГО РАЗРЯДА
8.1. Адаптационная модель
8.2. Причины изменения числа свободных зарядов в данном
объеме V
8.2.1. Перечень основных процессов (158).
8.2.2. Ионизация, рекомбинация (159).
8.2.2.1. Исходные уравнения и формулы (159).
8.2.2.2. Волновые функции связанных электронов (160).
8.2.2.3. Оценки интегралов (162). 8.2.2.4. Вычисление
7
157
157
158
интеграла А2 (162). 8.2.2.5. Численная оценка сечений
ионизации и рекомбинации для атомов (163).
8.2.3. Ускорение электронов электрическим полем.
Энергия и скорость электронов (165). 8.2.3.1 Средняя
энергия, теряемая электроном в единицу времени (165).
8.2.3.2. Тепловая скорость электронов в зависимости от
напряженности поля (166).
8.2.4. Поток газа, вызванный давлением в камере
167
8.2.4.1. Оператор плотности потока (167). 8.2.4.2. Среднее
значение плотности потока (167). 8.2.4.3. Оценка среднего
значения плотности потока (168).
8.2.5. Электрический ток (169).
8.3. Модель разряда
169
8.3.1. Уравнение для числа свободных электронов в газовом
разряде (169). 8.3.2. Решение дифференциального уравнения (170).
8.4. Пример анализа процессов в газовом разряде
171
8.4.1. Критерий пробоя (172). 8.4.2. Количественные
характеристики разряда (172). 8.4.3. Оценка начальной
концентрации свободных электронов ne0 (173).
8.4.4. Оценка критерия пробоя (174).
8.4.5. Ток большой величины (175).
Глава 9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
9.1. Групповой смысл микроскопических переменных.
Основные задачи групповой формулировки
9.2. Функции на группе. Средние значения физических
величин
9.2.1. Формула для вычисления средних значений
физических величин
9.2.2. Матрицы интересов и возможностей
9.3. Общая схема решения задач групповой
теории многих частиц
9.4. Перспективы, нерешенные вопросы
Литература
8
176
176
177
178
178
178
179
180
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Пункт, в котором определен смысл данного символа, указан
номером формулы в круглых скобках или номером раздела,
набранного жирным шрифтом. Условимся опускать знак
суммирования по индексу, встречающемуся один раз снизу и
один раз сверху. По дважды повторяющемуся индексу μ
подразумевается суммирование от 1 до 4 , индекс  пробегает
значения   0,  ,  ,  . Другие случаи суммирования указаны явно.

A  x 
А2
a
четырехмерный потенциал электромагнитного поля
интеграл перекрытия волновых функций
a b
 элемента группы
b
a


блок в матрице u  
SO (2m, R)
(4.3)
a2i  ai операторы рождения частиц в i – ом состоянии
операторы рождения квазичастиц в i – ом
a~i
состоянии
B
(4.10)
(5.61)
  B D 
 векторного


D
B


блок в матрице C  
представления алгебры Ли ортогональной
группы SO(2m,R)
~
B t s 
(3.1)
(8.7)
(4.4)
матрица, полученная преобразованием подобия
Gs B Gs из матрицы B самосогласованного
Bint

x , 
Bint x ,
~
Bint, s
поля при замене переменных в функциональном
интеграле (5.16).
блок в матрице Cint , определяющей энергию
взаимодействия частиц и поля
матричные элементы

x  представлении

x, 
Bint x ,


k ,  x
e  Ak , x
(5.36a)
(5.7)
в
(6.17)
~
блок в матрице Cint,s , полученный при
Gs Bint, s Gs
преобразовании подобия
9
(5.38)
b
b
блок в матрице элемента w группы W
электромагнитного поля
a b
 элемента группы
b
a


блок в матрице u  
SO(2m,R)
(4.3)
~
c~(t s )
блок в матрице d 1 (t s )
d  ,s
элемент ортогональной группы, задающий
(5.35)
преобразование как угодно близкое к единичному
элементу группы SO (2m,R)
~
d 1 t s 
e
g t  ~
~
 C t g t  , g t   d 1 t 
t
уровни энергии стационарных состояний отдельных
частиц
подвижные орты в импульсном пространстве для
компонент электромагнитного поля,    ,  ,  , 0
eI u 
(5.5)
элемент ортогональной группы, являющийся решением
уравнения i
Ei
(3.11)
(5.33)
(5.24)
(3.2)
нормированные базисные функции пространства
состояний, полученные действием операторов
рождения квазичастиц на вакуумное состояние
eI (u )  ai1 ...aiM
0 . Эти функции можно представить
как матричные элементы первой строки операторов
представления или как когерентные фермиевские
состояния с целыми числами заполнения состояний,
Gt 


eI (u )  N1  TI0 u   N   uy 01 , N  dim T , N12  N
( 4.24 )
матрица полного набора состояний частиц
(электронов или молекул)
(5.24)
h
h
оператор энергии (гамильтониан) системы
вещественный параметр группы осциллятора
матричный параметр группы электромагнитного поля
(5.2)
(2.4)
(3.11)

постоянная Планка,   1,0544  10  27 эрг  сек
(2.4)
I
I
сложный индекс, вида I  i1...iM
(4.24)
сложный индекс вида
(4.3.1)
Ĥ
τ i , где τ =1,2
10

сложный индекс вида p (импульс, номер зоны, спин) 4.3.1
i
j
компоненты плотности тока,    ,  ,  , 0
3.1.1

k
js
матрица тока перехода, полученная с помощью

k
матрицы полного набора состояний, j s

k
 eGs n1 Gs ,
преобразованием подобия из стандартного элемента


k , f m
j s ,i
m
 ,k
алгебры Ли n1 , определенного формулой ( 5.45)
(5.48)
матричные элементы тока перехода фермиевской
K t 
частицы из начального состояния im в конечное
состояние fm
(6.27a)
функциональный интеграл между когерентными
состояниями частиц и поля, ядро оператора эволюции (6.1)
K II0,0n
матричные элементы оператора эволюции, где
сложный индекс I 0  i1 ...iM , обозначает начальное

состояние системы, семейство индексов I  i1...iM
обозначает конечные состояния. Оператор эволюции
определяет переход системы электронов из начального
состояния в суперпозицию конечных состояний
(6.10 )
ks
компоненты волнового вектора свободной частицы
3.1.1
k
M
элементы подгруппы в группе окаймленных матриц
число свободных и связанных электронов и
молекул в системе частиц
(3.36a)
f f
M immi p p
комплексная амплитуда перехода системы, когда
две частицы переходят из начального состояния,
обозначенного индексом imi p , в конечное состояние,
me
N, N1
N̂
Ne
Na
обозначенное индексом fm fp
масса электрона
нормировочные коэффициенты, определяющие
фермиевские базисные функции
(7.28)
(5.77)
оператор числа частиц
число свободных электронов в выбранном объеме
число молекул в выбранном объеме
(1.15)
(7.22)
7.2.4.1
11
(4.24)
ne0
ne
p
q
qs
S
начальная концентрация свободных электронов
8.3.2
концентрация свободных электронов
импульс осциллятора
координата осциллятора
фазовый параметр в функциональном интеграле
действие классического электромагнитного поля
( 8.4)
(2.1)
(2.1)
(5.7)
S  S кин  S пот  S вз
S
(3.72)
матрица, определяющая скалярное произведение x Sy
в пространстве действия ортогональной группы
(4.1)
s
индекс, нумерующий моменты времени
si
sr
сечение ионизации
7.2.4.5
сечение рекомбинации
7.2.4.7
T(g0)
оператор представления группы, соответствующий
ts
2.1
элементу g0 группы
операторы представления ортогональной группы,
действующие в пространстве функций
 u 
(2.11)
T00 u 
матричный элемент вакуумного состояния
(4.5a)
T
T C 
абсолютная температура системы в градусах Кельвина (1.7)
операторы спинорного представления алгебры Ли
ортогональной группы
(4.12)
T0 u 
матричные элементы первой строки
Tsk u 
матричные элементы оператора представления группы (2.11)
t
время
ts
u
s – ый момент времени
2.1
элемент ортогональной группы
объем системы частиц и поля
группа окаймленных матриц (группа осциллятора)
4.1
(3.1)
(2.4)
элементы
(2.4)
T(u)
V
W1
w
wm
4.2
(4.19)
(1.12)
группы окаймленных матриц
вероятность обнаружить систему в состоянии с
волновой
функцией ψm
(1.4)
Xa
инфинитезимальный оператор
(2.26)
x
z
элементы смежного класса по унитарной подгруппе
комплексная амплитуда осциллятора
(3.36a)
(2.4)
12
z
матричная переменная электромагнитного поля
 ( gg 01 ) когерентное состояние на группе
производящая функция группы электромагнитного
 w
поля  w  exp  i 
 ( ww01 ) когерентное состояние электромагнитного поля
Γs
Γs
γ(t)
 s
(3.18)
безразмерный параметр внешних источников
осциллятора
(2.7а)
компоненты безразмерных источников
  ,s
осциллятора
матрица оператора эволюции неквантованного
электромагнитного поля
величина пропорциональная малому интервалу
времени ,   t / 

λ
μ
3.2.1
(2.7)
(3.19)
2.1
комплексные параметры в поперечной подгруппе
электромагнитного поля,    , 
η
θ
(3.42)
матрица внешних и внутренних источников
электромагнитного поля
матрица оператора эволюции неквантованного

(3.41)
(2.6)
  ,s

(2.16)
матрица внешних и внутренних источников
осциллятора
электромагнитного поля в момент времени ts
ε
(3.10)
(3.13)
комплексные параметры в продольной подгруппе
электромагнитного поля   0, 
безразмерный импульс электромагнитного поля
параметр производящей функции унитарного
представления группы электромагнитного поля
полярный угол сферической системы
координат в импульсном пространстве
индекс продольной компоненты электромагнитного
поля
диагональный блок (см. ( 4.32 ) ) в матрице
13
(3.14)
(3.10)
(3.38)
3.1.1
3.1.1

y  
 s
s 
, определяющей числа
 
заполнения фермионов
(4.25)
 0 , 0
базисные матрицы электромагнитного поля
(3.8)

безразмерные компоненты потенциала
электромагнитного поля,  0   0 ,
    ,    ,  , 
(3.10)
ρ
матрица плотности
(1.2)
σ
τμ
нормировочный множитель,   1 / 8
(3.38)
неподвижные орты для разложения четырехмерного
потенциала электромагнитного поля
(3.2)

унитарная матрица, строки которой  kj имеют
смысл волновых функций фермиевских частиц


φ
φ
0 u 
4.6
блок в матрице источников электромагнитного
поля ,    exp i e
параметр внутренних источников осциллятора
(3.19)
(2.7)
азимутальный угол сферической системы
координат в импульсном пространстве
3.1.1
волновая функция системы
(1.1)
производящая функция (старший вектор)
полуспинорного представления  0 u   det 1 2 a 
(4.5)
 t 
волновая функция, полученная в результате
(1.12)
0
эволюции за время t
начальная волновая функция электромагнитного
ψm
ω
поля
набор векторов состояний системы
круговая частота осциллятора
(6.4)
(1.3)
(2.1)
14
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
В данной главе обсуждаются основные идеи группового подхода
к решению задач квантовой теории системы многих взаимодействующих частиц и электромагнитного поля.
Рассматриваются основные положения и некоторые ограничения.
Определяются термины и понятия, необходимые для группового описания системы. Предполагается, что система составлена из молекул,
ионов, свободных электронов и
из образованного этими частицами электромагнитного поля. Число частиц в системе очень велико и оценивается величиной
частиц.
порядка 10 23
1.1. Цель работы.
Цель настоящей работы – изложить математический аппарат квантовой теории многих взаимодействующих заряженных частиц на групповом языке так, чтобы всем величинам и понятиям теории придать групповой смысл и наоборот будем искать физический смысл групповых параметров и отношений между групповыми величинами.
Чтобы установить причины, по которым группа может быть выбрана
в качестве основного понятия в математическом описании многих частиц, рассмотрим применение групповых методов для гармонического
осциллятора. Попытаемся сначала на этом простом примере сформулировать схему применения группового подхода.
Нам необходимо найти группу, параметры которой можно определенным образом связать с физическими (динамическими) переменными
осциллятора, т.е. указать групповой смысл
динамических переменных осциллятора.
Если посмотреть историю применения групповых методов в квантовой теории, и поискать подходящий прецедент, то увидим, что большей
частью возможность использования группы для описания состояний и
эволюции квантованной системы связывают с существованием симметрии в рассматриваемой системе.
Широко распространено мнение, что группа, предназначенная описывать эту симметрию, используется для классификации состояний [1,
2, 3, 4, 5]. Однако оказалось, что в некоторых случаях применение груп-
15
повых методов является возможным и полезным и в тех случаях, когда
не видно явной симметрии. Примером как раз является гармонический
осциллятор. В этих случаях говорят о наличии скрытой, а также динамической симметрии [6, 7].
Повидимому впервые связь квантованного гармонического осциллятора с некоторой группой была (хотя и неявно) открыта Гейзенбергом
вместе с открытием квантовой механики.
Перестановочные соотношения для координаты и импульса оказались
элементами алгебры Ли линейного представления группы Гейзенберга.
Вейлем было дано описание группы Гейзенберга в виде так называемых перестановочных соотношений в форме Вейля [5].
С группой Гейзенберга тесно связаны когерентные состояния


 ww01 гармонического осциллятора, полученные сдвигом аргумента
w
функции  w на группе, описывающей вакуумное состояние
квантованного осциллятора. Когерентные состояния гармонического осциллятора были впервые введены Шредингером без их групповой интерпретации. Групповая интерпретация когерентных состояний квантованных систем была предложена Переломовым [8]. В случае гармонического осциллятора комплексный параметр когерентного состояния является параметром группы Гейзенберга и может быть выражен через
так называемую комплексную амплитуду осциллятора z  p  iq , что
определяет групповой смысл комплексной амплитуды.
В общем случае, также как в случае гармонического осциллятора,
мы далее будем применять когерентные состояния таким образом, что
параметры группы имеют прямой физический смысл, а именно, групповые переменные в то же время являются динамическими
переменными физической системы [ 9, 10, 11]. Это свойство когерентных состояний объясняет не обязательность существования какой – либо явной симметрии при групповом описании физической системы.
Таким образом, можно считать, что в настоящее время известна групповая интерпретация физических величин для гармонического осциллятора, для математического описания которого применяется группа Гейзенберга. Обозначим эту группу через Z .
Более перспективным является использование вместо группы Z
группы окаймленных матриц W1 [12], элементы которой заданы во
второй главе формулой (2.4). Группа Z является подгруппой в группе
16
W1 , выделенной тем условием, что окаймляемые элементы сводятся
к единичному элементу.
Реализуя групповой подход, мы используем в случае осциллятора,
элементы группы окаймленных матриц.
Итак, возвращаясь к изложению групповой формулировки квантовой теории систем многих взаимодействующих частиц, мы предлагаем
в качестве основных понятий использовать понятия группы,
элементов группы, заданных матрицами, параметров матриц, в частности матричные элементы, функции на группе в виде функций от матричных элементов, закон умножения в группе, представления элементов
группы линейными операторами в пространстве состояний.
Все свойства и отношения элементов и объектов системы частиц и
поля, а также вычисления, необходимые для построения математической теории, мы предполагаем выразить в терминах группы и функций на группе. Подробное описание групп дано во второй, третьей и
четвертой главе.
1.2. Основные проблемы
Основная трудность, возникающая при построении любой теории
многих частиц, заключается в том, что величины, характеризующие
свойства макроскопической системы, зависят от огромного числа, так
называемых, микроскопических переменных, определяющих атомномолекулярную структуру системы и ее эволюцию во времени [13, 14].
Связанные с этим обстоятельством проблемы можно в значительной мере разрешить, если учесть, что, как правило, нас интересуют
некоторые усредненные
величины, которые получаются суммированием микроскопических переменных. Именно эти величины нередко
определяют свойства, представляющие практический или теоретический
интерес.
Заметим, однако, что во многих случаях нам важно знать не
столько средние численные значения тех или иных физических величин, сколько способы и формулы, с помощью которых получены
усредненные величины. Имея такие формулы или алгоритмы, мы
приобретаем
возможность понимать каким образом микроскопические, локальные процессы, протекающие в системе на молекулярном
уровне, являются внутренней причиной наблюдаемых макроскопиче-
17
ских, физических явлений и свойств системы и что нужно сделать,
чтобы управлять свойствами макроскопических систем.
В качестве примера приведем постановку задач, связанных с возникновением и развитием газового разряда между металлическими
контактами.
Начальной, внутренней причиной возникновения электрического
разряда является ускорение электронов под действием внешнего электрического поля. Увеличение энергии электронов, вызванное их ускорением, приводит к тому, что равновесие между элементарными микроскопическими процессами ионизации и рекомбинации молекул газа и
процессами механического перемещения частиц и протекания электрического тока, смещается в сторону увеличения частоты процессов
ионизации. Это имеет следствием изменение макроскопических величин, а именно, увеличение концентрации свободных электронов и
тока разряда. Нас интересуют формулы, с помощью которых можно
определить внутренние причины изменения концентрации свободных
электронов и найти численные значения соответствующих макроскопических величин.
Таким образом, исходя из предыдущего обсуждения, для того
чтобы иметь теорию, построенную на основе группового подхода,
нам необходимо решить следующие задачи.
Во-первых, требуется явно описать с групповой точки зрения
природу и характер микроскопических переменных, фигурирующих, в
выражениях, определяющих те или иные свойства системы.
Во-вторых, следует определить способы вычисления средних
значений физических величин, т. е вывести соответствующие формулы или алгоритмы, используя при этом групповые величины, термины и понятия.
Решение этих задач составляет, собственно говоря, основное содержание данной работы. Здесь мы обсудим основные идеи, относящиеся к способам их решения.
1.3. Групповое описание микроскопических переменных
Решение первой задачи производится путем сравнения математического аппарата квантовой электродинамики [15] и математического
аппарата, применяемого при изучении функций на группах Ли, и
18
подсказывается тем фактом, что основные динамические переменные
в квантовой электродинамике, можно определить, с одной стороны
с помощью обычной процедуры
квантования, заменой числовых
значений динамических величин операторами, которые удовлетворяют определенным перестановочным соотношениям и правилам действия на векторы состояния системы.
С другой стороны, операторы с такими же перестановочными
свойствами можно рассматривать как элементы алгебры Ли, составляющей
важную часть, теории представлений групп Ли. Сущностью последней является, как известно, [16, 17] изучение функций на
группах Ли.
Полученное отождествление операторов в квантовой электродинамике, и элементов алгебры Ли мы
распространим на элементы
группы, отождествляя параметры группы и микроскопические переменные системы многих частиц и электромагнитного поля. Чтобы
иметь групповое описание частиц и поля нужно ввести, как будет
показано ниже, две группы, ортогональную группу SO и группу
окаймленных матриц W [12,18].
Итак, первое (основное) исходное положение групповой формулировки заключается в использовании параметров группы как микроскопических переменных системы.
Например, числовые переменные, координату и импульс q, p осциллятора, можно рассматривать одновременно как динамические переменные неквантованного осциллятора или как параметры группы
окаймленных матриц, что дает возможность построить во второй
главе теорию квантованного осциллятора на групповой основе.
Аналогичные результаты, в смысле существования групповой интерпретации физических, микроскопических переменных, получим в третьей главе для электромагнитного поля, в четвертой главе для
частиц, в пятой и шестой главах для взаимодействующих частиц и
поля.
Число микроскопических переменных, описывающих осциллятор и
реальные системы, резко различается, тогда как схема рассмотрения
свойств системы аналогична для осциллятора, электромагнитного поля и системы многих частиц.
1.4. Пространство функций на группе, квантование
19
Вторым исходным положением групповой формулировки теории
является построение пространства функций на группе и вложение
пространства состояний квантованной системы в это пространство. Вводя
функции на группе, мы осуществляем квантование исходной неквантованной системы групповым способом. Группа имеет смысл
классической неквантованной системы и является
объектом для
квантования. Параметры группы рассматриваются как динамические переменные классической системы и одновременно являются аргументами при построении функций на группе.
1.5. Интегрирование по группе
Наряду с операцией умножения элементов группы и выбора пространства функций на группе большое значение в групповой формулировке квантовой теории имеет операция интегрирования по
группе. Используя интегрирование по группе, определим скалярное
произведение в пространстве состояний, вводя под знаком интеграла
произведение двух функций. Как следствие получим ортогональность
базисных функций и явно сформулируем групповой способ нахождения средних значений квантованных величин вычислением интегралов, а также получим свойство воспроизводимости когерентных состояний.
Свойство воспроизводимости дает возможность, определить оператор эволюции системы в виде функционального интеграла в представлении когерентных состояний.
1.6. Физический смысл параметров группы
Очевидно, что рассматриваемая абстрактно, группа сама по себе не
содержит сведений о физической системе, которую она должна описывать. Наша задача, таким образом, указать физический смысл параметров
группы и функций на группе, описывающих данную физическую систему
и установить соответствие между параметрами
группы и параметрами функций на группе и физическими
величинами, характеризующими рассматриваемую систему частиц и поля.
Для решения задачи установления соответствия будем учитывать,
что в современной квантовой электродинамике неявно используются
20
две группы, ортогональная группа для частиц и группа окаймленных
матриц для поля, а квантование есть построение функций на группе.
Сравнивая математический аппарат представлений групп (т.е. функций
на группе) и квантовой электродинамики, найдем физический смысл
групповых понятий и групповой смысл объектов физической теории.
Во второй главе установим физический смысл параметров группы
в случае гармонического осциллятора.
Аналогично, в третьей главе параметры подгруппы типа группы
Гейзенберга в группе окаймленных матриц отождествим с переменными неквантованного электромагнитного поля.
В четвертой главе найдем физический смысл параметров ортогональной группы, элементы, которой запишем в виде произведения матрицы, представляющей элементы унитарной подгруппы и матрицы,
представляющей элементы, так называемого, смежного класса по этой
подгруппе. Сравнивая средние значения, полученные стандартным и
групповым
методами, найдем, что параметры строк матриц унитарной подгруппы в ортогональной группе следует отождествить с параметрами неквантованных
волновых функций отдельных фермиевских
частиц. Другой матричный множитель, описывающий, как выше указано, элементы смежного класса, задает распределение частиц по состояниям.
1.7. Средние значения квантованных величин. Свойства систем
Обратимся к обсуждению второй задачи к вопросу о том, в какой
мере групповой подход способствует решению основной проблемы
системы многих частиц, эффективному учету влияния микроскопических переменных на свойства системы, в том числе
сформулировать групповые способы вычисления средних значений физических
величин и определения на этой основе свойств системы многих частиц. Сначала рассмотрим:
1.7.1 Современные способы вычисления средних значений
В современной теории при решении задачи вычисления средних значений физических величин в квантовой механике многих частиц в большинстве случаев предполагается, что система, выбранная
для рассмотрения, является подсистемой большой замкнутой систе-
21
мы. При построении теории учитывается, что подсистема испытывает неконтролируемое влияние окружающей среды и поэтому описывается не одной волновой функцией, а семейством волновых функций и набором
вероятностей нахождения подсистемы в состоянии,
описываемом соответствующей волновой функцией. В этой связи,
считается, что набор вероятностей учитывает неполноту наших знаний
о рассматриваемой подсистеме.
При таком подходе, чтобы вычислить средние значения квантованных величин и определить свойства подсистемы, сначала находят
по правилам квантовой механики
промежуточные вспомогательные
средние значения в состояниях, заданных каждой из волновых функций семейства и затем производится суммирование (статистическое
усреднение) промежуточных средних значений с весами, взятыми из
заданного набора вероятностей. Если эти вычисления оформить в
виде формул, то мы приходим к понятию статистического оператора
(матрицы плотности).
Используя статистический оператор, среднее значение квантованной
величины можно представить суммой диагональных элементов матрицы,
являющейся произведением статистического оператора и оператора
интересующей нас физической величины [19, 20].
Запишем теперь приведенные выше способы нахождения средних
значений физических величин в математической форме.
1.7.2. Математическая формулировка способов усреднения
Согласно квантовой механике [19, 20], если система многих частиц
характеризуется вектором состояния φ или, как говорят, находится в
чистом состоянии с волновой функцией φ , то средние значения физических величин, представленных операторами F̂ , даются формулой
F    I FˆJI  J    Fˆ   Fˆ  .
(1.1)
I ,J
Здесь и ниже
мы опускаем индексы, по которым
суммирование по состояниям, и рассматриваем   , 
производится
как вектор-
строку и вектор-столбец, а выражение F̂ , как умножение оператора
на вектор. Для векторов состояний часто применяют, как известно,
обозначения Дирака [19], вектор φ записывается в виде  .
22
В более общей ситуации [19, 20] состояние системы описывается матрицей плотности (статистическим оператором)
   wm m m .
(1.2)
m
В этом случае говорят, что система находится в смешанном состоянии, которое является смесью чистых состояний и характеризуется не
одним вектором φ, как в случае (1.1), а набором векторов
(1.3)
 1 ,, m ,
и чисел
w1 ,, wm ,
(1.4)
Каждая из величин wm есть вероятность того, что система находится
в состоянии с волновой функцией  m , m  1,2,  Средние значения физических величин, представленных операторами F̂
рез матрицу плотности (1.2) формулой [19, 20]
F  Sp F .
выражаются
че(1.5)
Формулу (1.5) можно представить в виде суммы
F   wm F
m
где
F
m
m
,
(1.6)
  m Fˆ m – среднее значение оператора в состоянии с вол-
новой функцией
 m , m  1,2,  Мы опускаем в (1.6) индексы, также
как в формуле (1.1).
1.7.3. Групповой способ вычисления средних значений
В данной работе мы не будем применять статистический оператор
в качестве исходного инструмента в математическом аппарате теории,
а будем использовать в качестве основного исходного понятия волновую функцию большой замкнутой системы.
Волновую функцию получим, вычисляя эволюцию системы с помощью функционального интеграла за произвольный, но небольшой
промежуток времени.
Свойства подсистемы, погруженной в большую систему, определим,
вычисляя средние значения физических величин по правилам квантовой механики в состоянии определенном найденной волновой функцией. Выбором усредняемой физической величины (оператора) мы вводим обрезание тех переменных, которые нас не интересуют и не участвуют в вычислениях. Источники поля, рассматриваемые по отноше23
нию к подсистеме как внешние, оказываются внутренними величинами в большой системе.
Одна из причин
построения теории на основе использования в
качестве исходного понятия волновой функции большой замкнутой
системы состоит в том, что в общем случае мы ориентируемся
на описание сложных, неравновесных систем существенно (сильно)
неоднородных в координатном или импульсном трехмерном
пространстве, изменяющихся
со временем. Кроме того, применение
групповой формулировки также оказывается более простым, если
взять в качестве исходного понятия волновую функцию большой системы и не использовать статистический оператор, как исходное понятие.
1.8. Общая схема группового описания свойств систем многих
частиц
Итак, в основу теории многих частиц мы вводим, дополнительно
к полевым операторам и к перестановочным соотношениям между ними, следующие основные положения.
1) Выбор группы, параметры которой имеют смысл микроскопических переменных.
2) Построение пространства функций, характеризующих набор возможных состояний квантованной системы частиц и поля.
3) Интегрирование по группе, необходимое при выводе формул для
средних значений физических величин.
4) Отказ от применения статистического оператора в качестве исходного понятия при вычислении, средних значений.
Конечным результатом теории систем многих частиц,
должно
быть определение количественных (числовых) и (или) качественных
значений параметров, характеризующих свойства сложной системы с
тем, чтобы, как показано на рис.1, сравнить их с экспериментальными,
измеренными значениями указанных параметров или с практическим
использованием свойств системы.
Как выше отмечали (см. раздел 1.2), в современной квантовой
теории наличие того или иного свойства системы многих частиц
определяется величиной средних значений квантованных величин.
Такое определение свойств систем характеризуются большим разнообразием, что объясняется возможностью находиться системе ча-
24
стиц и поля в различных состояниях. В частности, электроны, атомы и молекулы, составляющие систему, могут находиться в связанном или свободном состоянии, а электромагнитное поле может быть
продольным кулоновским полем или полем излучения.
Разнообразие свойств систем в значительной мере может быть
обусловлено неоднородной структурой системы. Кроме того, как показано в разделе 1.2, свойства системы многих частиц, характеризуются при групповом подходе не только числовыми средними значениями физических величин, но также другими способами описания
свойств системы.
1.8.1. Обсуждение способов описания свойств системы
Чтобы уточнить и дополнить сделанные утверждения о свойствах
систем и разъяснить некоторые существенные моменты группового
описания свойств системы многих частиц, воспользуемся схемой, показанной на рис.1.
Теория.Групповая
формулировка
квантовой электродинамики
Проблема
изучения
свойств
системы
Эксперимент,
измерения.
Использование
свойств системы
на практике
Рис.1
В центральной части схемы сформулирована основная проблема
теории и практики: изучение свойств системы многих частиц.
В левой части отмечается, что теоретическое определение свойств
мы получаем на основе группового описания. В правой части указывается на возможность экспериментального определения свойств.
Принципиальное значение имеет то обстоятельство, что группу и
функции на группе мы будем использовать в данной работе не просто как вспомогательную, дополнительную конструкцию, а как способ
описания системы с помощью групповых величин. Групповая формулировка приводит, как увидим, к тому, что все свойства и отношения
элементов и объектов системы частиц и поля, а также вычисления,
необходимые для построения математической теории (задание и эволюция векторов состояний системы, вычисление средних значений
квантованных величин) выражаются через группу, можно сказать, погружаются в группу.
25
1.8.2. Использование квантовой электродинамики
Другим существенным обстоятельством, представленным на схеме
в качестве исходного положения, является использование в теоретическом описании системы квантовой электродинамики.
Этот выбор объясняется тем, что групповое описание мы получаем
из рассмотрения полевых операторов в квантовой электродинамике
как элементов алгебры Ли и тем, что квантовая электродинамика
является, как известно [15] , исключительно точной теорией, что
подтверждается совпадением экспериментов и расчетов по сдвигу
уровней атомных электронов.
1.8.3. Возможность подробного описания свойств системы
Заметим, что, благодаря определению микроскопических переменных как параметров группы и, учитывая, что квантовая электродинамика является точной теорией, мы получаем возможность описать
свойства систем как угодно подробно, включая свойства, относящиеся к микроскопическим переменным.
Задача рассмотрения свойств микроскопических переменных возникает, например, в тех случаях, когда можно или необходимо
иметь детальное описание параметров, характеризующих состояния
отдельных атомов или частиц в системе. Может оказаться, что такая
задача может быть решена теоретическим путем (левая часть схемы) и
ее решение не представляется возможным с помощью экспериментальных измерений (правая часть схемы).
Действительно, теоретическое изучение свойств в отличие от определения свойств путем измерений не связано, очевидно, с нарушением
состояния системы (коллапсом волновой функции). Напротив, процедура измерения может, как угодно подробно, рассматриваться в рамках
теоретического группового описания как процесс, протекающий в системе, включающей измерительный прибор и объект измерения.
Групповой подход дает, таким образом , возможность
теоретического изучения таких свойств, экспериментальное изучение
которых оказывается в некоторых случаях невозможным.
Кроме того, может оказаться, что теоретическое рассмотрение дает
больше сведений, чем экспериментальные измерения.
26
1.8.4 Матричные переменные, феноменологическое описание
В соответствии с тем, что закон умножения элементов группы записывается в матричной форме, свойства и отношения объектов системы частиц и поля характеризуются с математической точки зрения
не только с помощью числовых параметров, но также структурой матриц, представляющих элементы группы.
Например, задавая один элемент ортогональной группы, мы можем охарактеризовать распределение свободных электронов или связанных электронов в молекулах, находящихся в системе в различных
условиях. Таким образом, получаем описание, в котором единый
элемент группы определяет характеристики многих частиц, находящихся в различных состояниях.
В случае сложных систем нередко нужно ограничиваться качественным, феноменологическим или полуколичественным описанием, для
чего можно использовать матричные переменные.
1.8.5. Скрытые причины физических явлений
Во многих случаях физические процессы в системах многих частиц
можно отнести или к микроскопическим элементарным процессам (квантовым, быстрым) или к макроскопическим явлениям (усредненным,
медленным). С этой точки зрения нужно понять, каким образом микроскопические, локальные процессы, протекающие в системе на молекулярном уровне, являются внутренней глубокой (часто скрытой) причиной наблюдаемых макроскопических, физических явлений и свойств
системы.
Например, зажигание дуги при электрическом пробое газового промежутка объясняется квантовыми процессами ионизации и рекомбинации молекул газа, тогда как конечный результат сводится к сравнительно медленному
процессу протекания электрического тока в плазме
1.8.6. Некоторые ограничения группового описания
В данной работе применяется групповой подход к изучению
физических процессов, характерных для квантованных систем многих частиц, взаимодействующих с помощью электромагнитного поля.
Наиболее полное и глубокое математическое описание физических процессов в таких системах осуществляется в квантовой электродинамике.
27
Как известно [15, 21], в современной форме квантовая электродинамика рассматривается как квантовая теория системы с бесконечным
числом степеней свободы.
В такой формулировке достаточно сложной является даже математически корректная постановка задач в квантовой электродинамике [22], а
основное понятие квантовой электродинамики, оператор поля, имеет, согласно [21], весьма ограниченный физический смысл.
Чтобы не усложнять задачу изучением систем с бесконечным
числом степеней свободы, будем предполагать, что групповые элементы
задаются конечномерными матрицами, размерность которых как угодно
велика. В промежуточных вычислениях будем оперировать элементами
групп, заданных конечным как угодно большим числом параметров. В
окончательных результатах мы получим суммы с большим числом
слагаемых , которые заменим интегралами. Уравнения в конечных
разностях заменим дифференциальными уравнениями. На первом этапе
рассматриваем нерелятивистский случай. Эти допущения
позволяют избежать проблем, связанных с упомянутым выше [21, 22]
корректным обоснованием квантовой электродинамики.
1.9. Описание систем многих частиц
Рассмотрим в этом разделе описание тех систем многих частиц,
которые изучаются предлагаемыми групповыми методами.
1.9.1. Равновесные и слабо неравновесные системы
Для системы, являющейся сравнительно малой частью (подсистемой) большой системы (термостата), находящейся в состоянии термодинамического равновесия, средние значения физических величин,
характеризующих состояния системы, находят, как известно [ 19, 23 ], по
формуле (1.5) с помощью статистического оператора Гиббса
(1.7)
  exp  F  H ,
где H, F оператор энергии и свободная энергия системы,   1 / kT ,
F  kT ln Sp exp  H .
(1.8)
Распределение (1.7) описывается небольшим числом макроскопических
переменных и является основой термодинамики. Формула ( 1.8 ) дает
принципиально возможность вычислить термодинамические функции,
если известен спектр энергии системы [23].
28
Распределение Гиббса (1.7) можно обобщить для неравновесных,
но близких к равновесию, слабо неоднородных систем.
Аналогом равновесного распределения (1.7) является локально равновесное распределение Гиббса [19], определенное в малой окрестно
сти каждой точки x неоднородной системы.
Параметры локально равновесного распределения являются средними значениями динамических переменных. Для неравновесных слабо
неоднородных систем их значения получают
решением гидродинамических уравнений и макроскопических уравнений Максвелла [19]
или пространственно временным сглаживанием по быстрым хаотическим процессам [24, 25].
Локально равновесное распределение Гиббса содержит зависимость
от времени для больших значений временной переменной. Для
начальных значений времени изменение матрицы плотности со временем определяется, как известно [19],
решением дифференциального
уравнением Неймана

(1.9)
i
 H ,  
t
1.9.2. Сильно неоднородные системы
При выводе локально равновесного распределения
и уравнений
для определения его параметров предполагается, что рассматриваемая
система является однородной или слабо неоднородной. Многие важные для практических приложений задачи связаны, однако, с изучением неоднородных систем, состоящих из нескольких различных, однородных частей, в общем случае изменяющихся с течением времени.
Будем называть такие системы сильно неоднородными. Неоднородность может принимать следующие формы.
1) Неоднородность на атомном уровне, плазма, сложные молекулы.
2)
Неоднородная пространственно-временная структура системы,
твердые тела с нарушенной кристаллической структурой, аморфные и
полимерные тела, жидкости, зависимость структуры системы от времени.
3) Промежуточный слой на границе раздела в системах, состоящих
из нескольких частей.
Неоднородными системами являются, например, многие технические устройства, в которых под действием внешнего электрического
29
поля и внутренних процессов возникает пробой промежутка между
контактами, переходящий в газовый разряд. Отдельными однородными частями системы являются в этом случае область газового разряда, содержащая свободные электроны, стенки и контакты устройства, внешнее электрическое поле, приложенное к контактам.
Нас интересуют численные значения и формулы для средней величины тока, протекающего в газовом разряде через заданную поверхность, параметры потоков частиц, среднее число свободных электронов,
образующихся в
макроскопическом объеме в результате ионизации
и рекомбинации и другие средние величины.
Это типичная задача, в которой микроскопические процессы являются причиной макроскопического явления.
Для сильно неоднородных систем средние значения величин можно
найти по общим формулам (1.1), (1.5). Так как в общем случае рассматриваем сильно неоднородную неравновесную систему, то нет оснований использовать равновесную (1.7) или локально равновесную
матрицу плотности.
Таким образом, нужно выбрать способ вычисления средних значений
или по формуле (1.5) с помощью неравновесной матрицы плотности
общего вида (1.9) или по формуле (1.1), используя волновую функцию большой замкнутой системы частиц, включающей частицы
внешней среды.
В общем случае для нахождения средних значений физических
величин, описывающих, например, быстрое изменение тока в газовом
разряде, требуется детальное рассмотрение процесса во времени.
Если поставленную задачу попытаться решить с помощью дифференциального уравнения (1.9) для матрицы плотности, то в формуле (1.5) требуется задать начальное значение этой матрицы.
Для сильно неоднородных и неравновесных систем начальное
выражение матрицы плотности является неопределенным, по меньшей
мере, очень сложным, громоздким и произвольным, так как каждая из
волновых функций семейства (1.3) описывает состояние единой, неоднородной неравновесной системы, а набор чисел (1.4) задает соответствующие возможные вероятности состояний.
Таким образом, в общем случае в момент начала интересующего
нас быстрого процесса, например, теплового пробоя, значение матри-
30
цы плотности является неопределенным. Обычно задают значение равновесного статистического оператора
Гиббса, полученного после
большого промежутка времени.
1.9.3. Промежуточный слой
Кроме того, при выборе формул (1.1) или (1.5 ) еще более важным
является то обстоятельство, что на границе между составными частями сильно неоднородной системы, как ясно из физических соображений, имеется промежуточный, переходный слой, в пределах которого волновые функции отдельных частиц необходимо записывать с
учетом влияния соседних фаз (частей) системы, например, учитывать,
так называемые, поверхностные состояния. Это вносит нарушение однородности частей системы. Граница оказывается размытой и по существу нужно использовать для описания системы микроскопические
величины. Описание с помощью макроскопических величин оказывается невозможным.
Необходимо также учесть, что при решении некоторых задач
основной интерес в каждом конкретном случае может заключаться в
детальном исследовании динамических характеристик частиц именно в
области промежуточного слоя на границе раздела фаз. Примером такой задачи является исследование распределения молекул вблизи отверстия в камере в процессе образования потока частиц.
Имея ввиду сказанное выше в двух предыдущих разделах, откажемся от использования матрицы плотности в задачах изучения
эволюции во времени систем многих частиц для тел, имеющих сильно неоднородную структуру. Будем вычислять средние значения по
формуле (1.1), используя волновую функцию  t  системы многих
частиц, полученную в результате эволюции большой системы, включающей термостат.
С целью упрощения задачи преобразуем формулу (1.1), определяющую среднее значение величины, представленной оператором F̂ .
Разложим волновую функцию  t  по ортонормированному базису eI в
пространстве состояний системы
 t     I e I t  .
(1.10)
I
Базисные элементы выберем так, чтобы их совокупность составляла
полный набор состояний. Подставляя (1.10) в (1.1), получим
31
Fˆ     I  J FJ , I t ,
I
FJ , I t   e J t Fˆe I t  .
где
(1.11)
J
(1.12)
1.9.4. Базисные элементы как собственные векторы усредняемого
оператора
Кроме того, потребуем, чтобы базисные элементы eI были собственными векторами оператора, соответствующего усредняемой физической величине. Для определенности пусть это будет
оператор
числа частиц, находящихся в заданном объеме. Собственные векторы
оператора пусть входят в состав полной ортонормированной системы
базисных векторов пространства состояний.
Собственные векторы оператора N̂ образуют полную ортонормированную систему базисных векторов пространства состояний. Таким образом,
Nˆ eI t   N I t eI t ,
где N I t   eI Nˆ eI .
(1.13)
(1.14)
Используя (1.11), (1.13), получим среднее значение
2
Nˆ    I N I ,
(1.15)
I
где  I t 
коэффициенты разложения по базисным элементам,
N I t  – можно рассматривать как среднее значение оператора, усред-
няемого между базисными состояниями или как собственное значение, может быть нулевое, оператора числа частиц. Индекс I нумерует состояния системы частиц и поля.
Таким образом, для вычисления средних значений будем применять формулу (1.15), которую мы вывели из формулы (1.1).
Сначала по формуле (1.14) находим средние значения между заданными базисными состояниями, которые можно выбрать как удобнее
в соответствии с оператором усредняемой величины, затем выполняем
суммирование по состояниям системы. Можно выбрать базис для оператора числа частиц или энергии или для оператора потока.
32
1.10. План изложения групповой формулировки теории
Приведем план изложения групповой формулировки теории многих
частиц. Групповой подход сначала рассмотрим на примере гармонического осциллятора, когда группа известна.
Далее этот простой пример обобщим
для электромагнитного
поля и для фермиевских частиц, в частности, для электронов.
Динамику взаимодействующих частиц и поля построим на основе
двух групп с помощью функционального интеграла в представлении
когерентных состояний.
Выполняя приближенное вычисление оператора эволюции, получим явное выражение для волновой функции системы частиц и поля.
Зная волновую функцию системы, выведем в общем виде уравнения для средних значений числа частиц. Напомним, что основной
задачей квантовой теории многих частиц является вычисление средних значений микроскопических величин.
Полученные результаты применим для оценки характеристик
элегазового выключателя, в частности, для оценки сечения ионизации молекул элегаза. В соответствии с намеченным планом начнем
систематическое изложение с простого примера. Рассмотрим групповое
описание гармонического осциллятора.
33