Урок информатики по теме Законы логики

Урок информатики по теме: "Законы логики ".
Цель урока: Познакомить учащихся с законами логики
Задачи:
1. Образовательные:



познакомить учащихся с законами логики;
сформулировать правила преобразования логических выражений;
научить учащихся приводить логическое выражение к нормальной форме;
2. Развивающие:



развивать умения выделять главное, существенное, обобщать полученные знания;
развивать информационную и алгоритмическую культуру.
Развивать логичесоке мышление.
3. Воспитательные:



воспитывать внимание к собеседнику;
воспитывать самостоятельность и аккуратность в работе;
развивать у учащихся ответственность при работе.
Ход урока:
1. Актуализация знаний.+ Проверка теории.
На прошлом уроке мы с вами говорили о том, что такое алгебра логики, а также
рассмотрели основные аспекты этой темы. Основным из понятий для рассмотрения у нас
было «высказывание». Так давайте вспомним, что это такое?(Высказывание — это
предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как
истинное или ложное.)
Так же давайте вспомним виды высказываний, и их основную суть. (Высказывания
бывают простые и сложные. Высказывание называется простым, если никакая его часть
сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из
простых с помощью логических операций.)
Сегодня для работы по теме законы логики, нам понадобятся знания, полученные на
предыдущем уроке, а именно что такое логические операции, и какие они бывают.
Название логической
операции
Конъюнкция
Дизъюнкция
Инверсия
Логическая
связка
и, а, но, хотя
или
не, неверно, что
Давайте так же вспомним, как строятся таблицы истинности.
Для построения таблицы истинности следует:
1)подсчитать n — число переменных в выражении;
2)подсчитать общее число логических операций в выражении;
3)установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и
приоритетов;
4)определить число столбцов в таблице: число переменных + число операций;
5)заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции в соответствии с
последовательностью;
6)определить число строк в таблице (не считая шапки таблицы) m = 2n;
7)выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой
целый ряд n—разрядных двоичных чисел от 0 до 2n - 1;
8)провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в
соответствии с установленной последовательностью.
3. Объяснение нового материала.
Законы формальной логики
Наиболее простые и необходимые истинные связи между мыслями выражаются в основных
законах формальной логики. Таковыми являются законы тождества, непротиворечия,
исключенного третьего, достаточного основания.
Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются
наиболее общими. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и
доказательства. Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы
Аристотелем, а закон достаточного основания — Г. Лейбницем.
Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение
должны быть тождественны самим себе.
Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то оке в одно то же время было и не
было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно чтолибо одновременно утверждать и отрицать.
Закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое
ложно, а третьего не дано.
Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно
обоснована.
Последний закон говорит о том, что доказательство чего-либо предполагает обоснование именно
и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя. Есть хорошая латинская
пословица: «Ошибаться свойственно всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно
только глупцу». Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В
качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные
суждения, фактический материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, доказанные
теоремы.
Законы алгебры высказываний
Алгебра высказываний (алгебра логики) — раздел математической логики, изучающий логические
операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний.
При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при
формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе
эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.
Законы алгебры высказываний (алгебры логики) — это тавтологии.
Иногда эти законы называются теоремами.
В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул.
Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную.
Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры
высказываний.
Закон тождества:
А=А
Всякое понятие и суждение тождественно самому себе.
Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой,
одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.
Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера
копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев неверно, так как первое и второе слова
«язык» обозначают разные понятия.
В рассуждении: Движение вечно. Хождение в школу — движение. Следовательно, хождение в
школу вечно слово «движение» используется в двух разных смыслах (первое — в философском
смысле — как атрибут материи, второе — в обыденном смысле — как действие по перемещению в
пространстве), что приводит к ложному выводу.
Закон непротиворечия:
Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть если
высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их
произведение будет всегда ложным.
Именно это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений.
Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут
быть одновременно истинными. Примеры невыполнения закона непротиворечия:
1. На Марсе есть жизнь и на Марсе жизни нет.
2. Оля окончила среднюю школу и учится в X классе.
Закон исключенного третьего:
В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным,
третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. Примеры выполнения закона исключенного третьего:
1. Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано.
2. Предприятие работает убыточно или безубыточно.
3. Эта жидкость является или не является кислотой.
Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве
универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой
ситуацией: «либо — либо», «истина—ложь». Там же, где встречается неопределенность
(например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть
применен.
Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно. Оно не может быть истинным,
потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда
оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон
исключенного третьего.
Парадокс (греч. paradoxos — неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что
предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о
парикмахере: В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто
стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру? В логике из-за ее формальности нет
возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз
подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли
и доводы. Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть
получены остальные законы алгебры высказываний.
Например, определим, чему эквивалентно (равносильно) А (двойное отрицание А, т. е. отрицание
отрицания А).Для этого построим таблицу истинности:
По определению равносильности мы должны найти тот столбец, значения которого совпадают со
значениями столбца А. Таким будет столбец А.
Таким образом, мы можем сформулировать закон двойного отрицания:
Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное
высказывание. Например, высказывание А = Матроскин — кот эквивалентно высказыванию А =
Неверно, что Матроскин не кот.
Аналогичным образом можно вывести и проверить следующие законы:
Свойства констант:
Законы идемпотентности:
Сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор
включен ... значение высказывания не изменится. Аналогично от повторения на улице тепло, на
улице тепло,... ни на один градус теплее не станет.
Законы коммутативности:
AvB=BvA
А & В = В& А
Операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.
Законы ассоциативности:
A v(B v C) = (A v B) v C;
А & (В & C) = (A & В) & С.
Если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции,
то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.
Законы дистрибутивности:
A v (B & C) = (A v B) &(A v C)
(дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции)
А & (B v C) = (A & B) v (А & C)
(дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции)
Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции аналогичен дистрибутивному
закону в алгебре, а закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции аналога не
имеет, он справедлив только в логике. Поэтому необходимо его доказать. Доказательство удобнее
всего провести с помощью таблицы истинности:
Законы поглощения:
A v (A & B) = A
A & (A v B) = A
Проведите доказательство законов поглощения самостоятельно.
Законы де Моргана:
Словесные формулировки законов де Моргана:
1.
2.
Мнемоническое правило: в левой части тождества операция отрицания стоит над всем
высказыванием. В правой части она как бы разрывается и отрицание стоит над каждым из простых
высказываний, но одновременно меняется операция: дизъюнкция на конъюнкцию и наоборот.
Примеры выполнения закона де Моргана:
1) Высказывание Неверно, что я знаю арабский или китайский язык тождественно
высказыванию Я не знаю арабского языка и не знаю китайского языка.
2) Высказывание Неверно, что я выучил урок и получил по нему двойку тождественно
высказыванию Или я не выучил урок, или я не получил по нему двойку.
Замена операций импликации и эквивалентности
Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного
компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти
операции необходимы. Существуют правила замены данных операций на последовательности
операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.
Так, заменить операцию импликации можно в соответствии со следующим правилом:
Для замены операции эквивалентности существует два правила:
В справедливости данных формул легко убедиться, построив таблицы истинности для правой и
левой частей обоих тождеств.
Знание правил замены операций импликации и эквивалентности помогает, например, правильно
построить отрицание импликации.
Рассмотрим следующий пример.
Пусть дано высказывание:
Е = Неверно, что если я выиграю конкурс, то получу приз.
Пусть А = Я выиграю конкурс,
В = Я получу приз.
Тогда
Отсюда, Е = Я выиграю конкурс, но приз не получу.
Интерес представляют и следующие правила:
Доказать их справедливость можно также с помощью таблиц истинности.
Интересно их выражение на естественном языке.
Например, фраза
Если Винни-Пух съел мед, то он сыт
тождественна фразе
Если Винни-Пух не сыт, то меда он не ел.
4. Закрепление изученного материала.
В завершение урока мы даем небольшую самостоятельную работу.
Задание1: (Задание А12 демоверсии 2004 г.)
Какое логическое выражение равносильно выражению ¬(A ¬B)
1) AB
2) AB
3)
¬A¬B
4)
¬AB
Решение.
Чтобы преобразовать высказывание, воспользуемся законами (6), (12):
(6)
(12)
¬(A ¬B) = ¬A ¬(¬B) = ¬AB, что соответствует ответу №4.
Ответ: 4
Задание 2: (Задание А10 демоверсий 2005 г., 2006 г.)
Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению ¬(¬AB)
1) A  ¬B
2) ¬A  B
3) B ¬A
4) A ¬B
Решение.
Воспользуемся равенствами (6) и (12):
(6)
(12)
¬(¬AB) = ¬(¬A)¬B = A¬B
Верный вариант ответа №1.
Ответ: 1.
Задание 3: (Задание А13 демоверсии 2004г., А11 демоверсий 2005, 2006г.)
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех
аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
0
0
Y
0
0
Z
0
1
F
1
0
0
1
0
1
Какое выражение соответствует F?
1) ¬X¬YZ
2) ¬X¬YZ
3) XY¬Z
4) XYZ
Решение.
Способ 1. Наличие двух единиц в столбце F позволяет предположить
использование дизъюнкции в логическом выражении. F принимает значение, равное 0,
при X=0, Y=0, Z=1, что соответствует логической сумме XY¬Z. При проверке этой
формулы при значениях первой и третьей строки, получаем верные значения F.
Способ 2. Проверим предложенные ответы:
1) F=¬X¬YZ=0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке
таблицы.
2) F=¬X¬YZ=1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке
таблицы.
3) Выражение XY¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях
X,Y,Z.
4) F=XYZ=1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.
Таким образом, верный вариант ответа №3.
Ответ: 3
5. Домашнее задание.
Прочитать §1.3 Элементы алгебры логики (2 часть). Информатика и ИКТ Босова Л.Л. 9
класс.
6. Подведение итогов.
Какова была цель нашего урока?
Достигли ли мы этой цели?
Если нет, что помешало?
Если да, то что помогло?