3.1. Теория и алгоритм метода - Северо

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания
по выполнению лабораторных работ № 1  3
для студентов направления
230100 "Информатика и вычислительная техника"
Составители:
И. В. Крыжановская, О. А. Соколова
ВЛАДИКАВКАЗ 2013
0
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГТУ)
Кафедра математики
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания
по выполнению лабораторных работ № 1 - 3
для студентов направления
230100 "Информатика и вычислительная техника"
Составители:
И. В. Крыжановская, О. А. Соколова
Допущено
редакционно-издательским советом
Северо-Кавказского горно-металлургического института
(государственного технологического университета)
ВЛАДИКАВКАЗ 2013
1
УДК 519.6(07)
ББК 22.19
К 85
Рецензент:
канд. физ.-мат. наук, доц. СКГМИ (ГТУ) ГРИГОРОВИЧ Г. А.
К 85
Вычислительная математика: Методические указания по выполнению лабораторных работ № 1 – 3 / Сост. Крыжановская И. В., Соколова О. А.; Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный
технологический университет). Изд-во “Терек”, 2013. – 53 с.
Каждая лабораторная работа содержит теоретическую часть, пример выполнения задания и 30 вариантов индивидуальных заданий.
Студент выполняет расчёты в программе Excel в аудитории в присутствии
преподавателя и оформляет отчёт по лабораторной работе в отдельной тетради.
УДК 519.6(07)
ББК 22.19
Редактор: Иванченко Н. К.
Компьютерная верстка: Крыжановская И. В.
 Составление. Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет),
2013
 Крыжановская И. В., Соколова О. А.,
составление 2013
Подписано в печать 14.06.13. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура
“Таймс”. Печать на ризографе. Усл.п.л. 3,08. Тираж 50 экз. Заказ №_____
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Изд-во “Терек”.
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СК ГТУ (ГТУ).
362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
2
Содержание
Лабораторная работа I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ………………………….
5
1. Метод половинного деления…………………………………..
-
1.1. Теория метода половинного деления......................................
-
1.2. Алгоритм метода……….……………………………………
-
1.3. Пример решения задачи……………………………………
6
2. Метод Ньютона (метод касательных)…………………………
7
2.1. Теория метода Ньютона……………………………………
-
2.2. Алгоритм метода……….……………………………………
8
2.3. Пример решения задачи……………………………………
9
3. Метод итерации……………………………………………..…... 10
3.1. Теория метода итерации….……………………………….
-
3.2. Алгоритм метода……….……………………………………
-
3.3. Пример решения задачи……………………………………
-
4. Индивидуальные задания……………………………………
12
Лабораторная работа II. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ……….
14
1. Метод простой итерации для системы двух уравнений…
-
1.1. Теория метода …………………………………………….
-
1.2. Алгоритм метода…………………………………….……
15
1.3. Пример решения задачи……………………………………
16
2. Метод Ньютона для системы двух уравнений………….…
18
2.1. Теория метода ……………………………………………
3
-
2.2. Алгоритм метода…………………………………….……
20
2.3. Пример решения задачи……………………………………
-
3. Индивидуальные задания……………………………………
22
Лабораторная работа III. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ………………
1. Метод Гаусса………………………………………………………….
26
-
1.1. Теория метода………………………………………………
-
1.2. Алгоритм метода…………………………………….……
27
1.3. Пример решения задачи……………………………………
31
2. Нахождение обратной матрицы по схеме единственного
деления………………………………………………………………….
32
2.1. Теория метода……………………..………………….……
-
2.2. Пример решения задачи………………………………………..
33
3. Нахождение определителя матрицы по схеме Гаусса…….
34
3.1. Теория и алгоритм метода ………………………..…………
-
3.2. Пример решения задачи ……………………………………
35
4. Метод итераций……………………………………………………..
36
4.1. Теория и алгоритм метода…………………………………
-
4.2. Пример решения задачи .……………………………………
38
5. Индивидуальные задания……………………………………
40
Порядок оформления отчёта……………………………………..
53
Литература………………………………………………………….
-
4
Лабораторная работа I
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.
Метод половинного деления
1.1. Теория метода половинного деления
Пусть дано уравнение f ( x)  0 и найден такой отрезок a0 ; b0  ,
на котором находится единственный корень  этого уравнения, т. е.
  a0 ; b0  , f (a0 )  f (b0 )  0 . Отрезок L0 = a0 ; b0  называется
начальным интервалом неопределённости. Найдём середину текущего интервала неопределённости c0, и в качестве следующего интервала выберем тот, на концах которого функция f(х) имеет разные
знаки.
y
f(b0)
f(c0)
a0
c1
c0
b0
x
f(a0)
Так как f(a0)f(c0) < 0, то положим a1 = a0, b1 = c0. В результате
найдём следующий интервал неопределённости L1 = [а1, b1].
Процесс завершается, когда длина текущего интервала неопределенности становится меньше  , задающей точность нахождения
корня. В качестве приближенного значения корня берется середина
последнего интервала неопределенности.
1.2. Алгоритм метода
5
1. Найти интервал неопределённости L0 = a0 ; b0  одним из методов отделения корней.
2. Задать малое положительное число , определяющее точность вычисления.
3. Найти середину текущего интервала неопределенности
c 0=
а0  b0
2
(ck=
аk  bk
 расчётная формула, где k = 0, 1, 2, ....).
2
4. Если f(a0)f(c0) < 0, то положить a1 = a0, b1 = c0; если
f(b0)f(c0) < 0, то принять a1 = с0, b1 = b0. В результате будет получен текущий интервал неопределённости L1 = [а1, b1].
5. Если b1 – a1 < , то процесс завершить:   L1 = [а1, b1]. Приближённое значение корня можно найти по формуле  
а1  b1
.
2
Если b1 – a1 > , то перейти к п. 3, используя расчётную формулу.
1.3.
Пример решения задачи
Найти положительный корень уравнения tg( 0,58 x  0,1)  x 2
методом половинного деления с точностью  = 0,001.
Нарисуем график функции f ( x)  tg( 0,58 x  0,1)  x 2 .
6
Из рисунка видно, что положительный корень [0; 1]. Действительно, f (0)  0,1003347, f (1)  0,191339. Таким образом,
найден интервал неопределённости L0 = [0; 1].
Используя алгоритм метода половинного деления, строим таблицу:
k
ak
bk
f(ak)
f(bk)
f(ck)
bk - ak
Завершить
процесс?
0,1003347
0,1610549
0,0301533
0,0301533
0,0301533
0,0070235
0,0070235
0,0010407
0,0010407
0,0010407
0,0002868
-0,191339
-0,191339
-0,191339
-0,070421
-0,017423
-0,017423
-0,005028
-0,005028
-0,001983
-0,000468
-0,000468
0,1610549
0,0301533
-0,070421
-0,017423
0,0070616
-0,005028
0,0010407
-0,001983
-0,000468
0,0002868
-0,00009
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
0,0312
0,0156
0,0078
0,0039
0,00195
0,000975
нет
нет
нет
нет
нет
нет
нет
нет
нет
нет
да
ck
0
0
1
0,5
1
0,5
1
0,75
2
0,75
1
0,875
3
0,75
0,875 0,8125
4
0,75
0,8125 0,78125
5
0,7813
0,8125 0,7969
6
0,7813
0,7969 0,7891
7
0,7891
0,7969 0,793
8
0,7891
0,793 0,79105
9
0,7891 0,79105 0,790075
10 0,790075 0,79105 0,790563
  c10  0,790563,
f (0,790563)  tg( 0,58  0,790563  0,1)  (0,790563) 2  0.
Ответ:   c10  0,791.
2. Метод Ньютона (метод касательных)
2.1. Теория метода Ньютона
Пусть корень  уравнения f(х) = 0 отделён на отрезке [a; b],
причём f (x ) и f (x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки
на всём отрезке [a; b]. Для определенности положим, что f (x) > 0
при х  [a; b] и f(b) > 0, т. е. f (x ) и f (x) одного знака (см. рис.
ниже). Получим расчетную формулу метода Ньютона.
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой
дуги кривой у = f (x) касательной, проведенной в некоторой точке
кривой.
Уравнение касательной, проходящей через точку ( x0 ; y0 ),
имеет вид
7
y  y0  f ( x0 )  ( x  x0 ) .
Полагая x  x1 , y  0, получим абсциссу точки пересечения
касательной с осью Ох
x1  x0 
f ( x)
.
f ( x)
y
f(b)
f(х1)
х1
a
х2
x
b
f(a)
Корень  [a; x1 ] . Применяя снова метод Ньютона, проведем
касательную в точке ( x1 ; f ( x1 )) , тогда абсцисса точки пересечения
касательной с осью Ох равна
x 2  x1 
f ( x)
.
f ( x)
Повторяя процесс, найдем расчётную формулу
xk 1  xk 
f ( xk )
, k  0, 1, 2, 3,.... .
f ( xk )
(1)
Таким образом, с помощью (1) можно вычислить корень уравнения f(х) = 0 с любой точностью.
2.2. Алгоритм метода
1. Найти начальный интервал неопределённости L = [ a; b] .
8
2. Задать малое положительное число , определяющее точность вычисления.
3. За начальное приближение x 0 искомого корня выбрать тот
конец отрезка [ a; b] , которому отвечает ордината того же знака, что
и знак f (x) на отрезке.
4. Вычислить хk+1 по формуле хk 1  хk 
f ( xk )
.
f ( xk )
5. Если xk 1  xk   , процесс завершить, и считать  = xk+1.
Если xk 1  xk   , перейти к п. 4.
2.3. Пример решения задачи
Найти положительный корень уравнения tg( 0,58 x  0,1)  x 2
методом Ньютона с точностью  = 0,001.
В предыдущем пункте был определён интервал, в котором
находится положительный корень   [0; 1] функции
f ( x)  tg( 0,58 x  0,1)  x 2 , f (0)  0,1003347, f (1)  0,191339.
Найдём первую и вторую производные функции f (x )
f ( x) 
0,58
 2 x,
cos (0,58 x  0,1)
f " ( x) 
2
tg( 0,58 x  0,1)
 2.
cos 2 (0,58 x  0,1)
Вычислим значения второй производной на концах отрезка, которому принадлежит искомый корень уравнения
f (0)  1,899, f (1)  0,663 .
Так как значения функции и второй производной совпадают в
точке b = 1, т. е. в этой точке выполняется условие сходимости
f (1)  f " (1)  0, то за начальное приближение и примем x0  1 .
9
Строим таблицу:
k
0
1
2
xk
1
0,816148
0,791014
f(xk)
-0,1913386
-0,0203697
-0,0004405
f (xk)
-1,040719
-0,810457
-0,775275
хk+1
0,816148
0,791014
0,7904446
| хk+1- xk |
0,183853
0,025134
0,0005684
Завершить
процесс?
нет
нет
да
Ответ:   х2  0,7910.
3. Метод итераций
3.1. Теория метода итерации
Основное преимущество метода – однотипность выполняемых
на каждом шаге операций.
Пусть известно, что корень уравнения f ( x )  0 лежит на отрезке a    b . Если уравнение f ( x)  0 равносильным образом привести к виду х = (х), то решение задачи сводится к нахождению
абсциссы точки пересечения прямой y  x и линии y  (x ) .
Для сходимости метода необходимо обеспечить выполнение
условия | ( x) | q  1 (q – некоторая const).
3.2. Алгоритм метода
1. Найти начальный интервал неопределённости L = [ a; b] .
2. Задать начальное приближение x0  [a; b] и   0.
3. Исходное уравнение f ( x)  0 равносильным образом привести к виду х = (х) и проверить условие сходимости метода.
4. Вычислить следующее приближение корня уравнения по расчётной формуле xk 1  ( xk ), k = 0, 1, 2, ….
5. Если хk 1  хk   , итерации завершаются и  = хk+1. Если
хk 1  хk   , перейти к п. 4.
3.3.
Пример решения задачи
10
Найти положительный корень уравнения tg( 0,58 x  0,1)  x 2
методом итераций с точностью до  = 0,001.
Первоначальный интервал [0; 1], которому принадлежит положительный корень уравнения, найден ранее. Запишем исходное
уравнение в виде х = (х)
x  tg( 0,58x  0,1) .
Проверим выполнение условия сходимости метода. Для этого
найдём (x)
( x) 
0,58
,
2  tg( 0,58 x  0,1)  cos2 (0,58 x  0,1)
(0)  0,091;
(1)  0,158
Условие сходимости выполняется, т. к.
(0)  0,091  1;
(1)  0,158  1
Расчётная формула имеет вид
xk 1  tg( 0,58xk  0,1) , k  0, 1, 2, ....
За начальное приближение примем х0 = 1.
Строим таблицу:
k
0
1
2
3
4
5
6
7
xk
1
0,899256
0,846333
0,819037
0,805049
0,797899
0,794249
0,792386
|xk+1 – xk|
0,100744
0,0529234
0,0272964
0,0139885
0,007150
0,003650
0,001863
0,000950
xk+1
0,899256
0,846333
0,819037
0,805049
0,797899
0,794249
0,792386
0,791435
Ответ:   х7  0,7914.
11
Завершить процесс?
нет
нет
нет
нет
нет
нет
нет
да
4. Индивидуальные задания
Задание № 1
Отделить корни уравнения графически или аналитически.
Найти приближенно положительный корень уравнения с точностью
до 0,0001 методом половинного деления, методом Ньютона, методом итераций.
1. x  sin x  0,25
2
16. x  20 sin x  0
x  cos0,387 x   0
3. tg 0,4 x  0,4   x 2
x
0
3
18. tg 0,47 x  0,2  x 2
4. tg 0,5 x  0,2  x 2
2
19. x  4 sin x  0
2.
17. ctg x 
x
0
2
21. 2 x  lg x  7  0
7
0
2x  6
6. 3x  cos x  1  0
7. x  lg x  0,5
20 ctg x 
8. tg 0,5 x  0,1  x 2
23. 3x  cos x  1  0
5. lg x 
22. tg 0,44  0,3  x 2
x
0
4
10. ctg 1,05 x  x 2  0
24. ctg x 
x
0
10
2
25 x  4 sin x  1
11. tg 0,4 x  0,3  x 2
26. tg 0,36 x  0,4  x 2
12. x lg x  1,2  0
27. x  lg x  0,9
9. ctg x 
28. sin 0,5  x  2 x  0,5
13. 1,8 x  sin 10 x  0
2
29. 2 x  lg 2  x   3
2
14. x  4 sin x  0
30. 2 sin x  0,6  1,5  x
15. tg 0,3x  0,4   x 2
12
Задание № 2
Отделить корни уравнения графически или аналитически.
Найти приближенно положительный корень уравнения с точностью
до 0,0001 методом итераций.
3
2
1. x  2 x  2  0
16. x 3  0,2 x 2  0,5 x  0,8  0
3
2
2. x  3x  9 x  10  0
3
17. x  4 x  6  0
3
3. x  2 x  2  0
3
2
18. x  0,1x  0,4 x  1,2  0
3
4. x  3 x  1  0
3
2
19. x  3x  6 x  1  0
3
5. x  x  3  0
3
2
20. x  0,1x  0,4 x  1,5  0
3
2
6. x  0,4 x  0,6 x  1,6  0
3
2
21. x  3 x  6 x  2  0
3
2
7. x  0,2 x  0,4 x  1,4  0
3
2
22. x  0,2 x  0,3x  1,2  0
3
2
8. x  0,1x  0,4 x  2  0
3
2
23. x  3x  12 x  9  0
3
2
9. x  3x  12 x  3  0
3
2
24. x  0,2 x  0,5 x  2  0
3
2
10. x  0,2 x  0,5 x  1  0
3
25. x  3 x  1  0
3
2
11. x  0,2 x  0,3x  1,2  0
3
2
26. x  0,2 x  0,5 x  1,2  0
3
2
12. x  3x  6 x  5  0
3
2
27. x  3x  9 x  2  0
3
2
13. x  0,2 x  0,5 x  1,4  0
3
2
28. x  0,1x  0,4 x  1,5  0
3
14. x  2 x  4  0
3
2
29. x  3x  6 x  3  0
3
2
15. x  3 x  12 x  12  0
3
2
30. x  0,1x  0,3x  0,6  0
13
Лабораторная работа II
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Метод простой итерации
для системы двух уравнений
1.1. Теория метода итераций
Многие задачи оптимизации производственных, экономических, технических и других процессов сводятся к отысканию корней
систем нелинейных уравнений.
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными
 f1 ( x, y)  0,

 f 2 ( x, y)  0,
где
(1)
f1 ( x, y) и f 2 ( x, y)  нелинейные функции, определенные и не-
прерывные в некоторой области G  R2 .
Систему исходных уравнений (1) представим в эквивалентном
виде, удобном для проведения итераций
 x  1( x, y),

 y  2 ( x, y),
(2)
где 1( x, y) и 2 ( x, y)  определенные и непрерывные в окрестности изолированного решения x  ; y   системы (2).
Если известно какое-либо начальное приближенное значение
решения системы уравнений (2), то последующие приближения
находятся по формулам
 xk 1  1 ( xk , yk ),

 yk 1  2 ( xk , yk ).
14
(3)
Достаточное условие сходимости итерационное процесса (3)
описано в теореме.
Теорема. Пусть в некоторой замкнутой выпуклой области G  R2
имеется одна и только одна пара корней х = , у =  системы (2).
Процесс последовательных приближений (3) сходится к корням х = ,
у =  системы (2), т. е. lim xk  , lim yk   , если: 1) функции
k 
k 
1 ( x, у) , 2 ( x, у) определены и непрерывны и непрерывно диф-
ференцируемы в G  R2 ; 2) начальное приближение х0 , у0  и все
последующие приближения  хk , yk  (k = 1, 2, …) принадлежат G;
3) в G выполнены неравенства
1 2

 q1  1,
х
х
1 2

 q2  1.
y
y
Замечание. Теорема считается верной, если условие 3) заменить условием 3)
1 1

 q1  1,
х
у
2 2

 q2  1.
х
y
1.2. Алгоритм решения задачи
1. Построить графики функций f1 ( x, y) и f 2 ( x, y) для того, чтобы определить достаточно малые области, в каждой из которых заключен ровно один корень системы уравнений (1).
2. Задать начальное приближение ( x0 ; y0 ) и малое положительное число   0 .
3. Записать систему (1) в виде (2).
4. Проверить условие сходимости итерационного процесса (см.
теорему о достаточном условии сходимости метода итераций).
5. Вычислить xk 1, yk 1 по расчётным формулам (3)
15
 xk 1  1 ( x k ; yk ),

 y k 1 2 ( xk ; yk ).
6. Если max xk 1  xk , yk 1  yk   , то процесс завершен и
  xk 1;   yk 1 , иначе перейти к п. 5.
1.3. Пример решения задачи
Решить методом итераций с точностью  = 0,001 систему нелинейных уравнений
sin( y  1)  x  1,2,

2 y  cos x  2.
Строим
графики
функций
f1( x, y)  sin( y  1)  x  1,2 ,
f 2 ( x, y)  2 y  cos x  2 для того, чтобы определить координаты
их точек пересечения. Это позволит установить число корней данной системы и их начальное приближение х0 , у0  .
16
Приближенные значения интересующих нас корней х0 = 1,3 и
у0 = 1,1.
Преобразуем данную систему к виду (2)
 x  1 ( x, y)  sin( y  1)  1,2,

 y  2 ( x, y )  (2  cos x) / 2.
Для проверки выполнения условия сходимости, найдем частные
производные:
(1 ) x  0,
(2 ) x  
(1 ) y  cos( y  1);
sin x
,
2
(2 ) y  0.
Ограничиваясь окрестностью
G  x  1,3  0,25;
будем иметь:
y  1,1  0,25
(1 ) x  (2 ) x  0,481779,
(1 ) y  (2 ) y  0,995004.
Условие сходимости выполняется, т. к.
(1 ) x  (2 ) x  0,481779  1,
(1 ) y  (2 ) y  0,995004  1.
.
Следовательно, если последовательные приближения ( хk , yk )
не покинут область G, то итерационный процесс будет сходящимся.
Выполним расчеты по формулам
17
 xk 1  sin( yk  1)  1,2,

 yk 1  (2  cos xk ) / 2.
Результаты поместим в таблицу
k
хk
уk
0
1,3
1,1
хk+1
уk+1
| хk+1- хk | | уk+1- уk |
max
Завершить
процесс?
1,299833 1,133749 0,000167 0,033749 0,033749
1 1,299833 1,133749 1,333351 1,13383 0,033518 0,000081 0,033518
2 1,333351 1,13383 1,333431 1,11761 0,000080 0,01622
0,01622
3 1,333431 1,11761 1,317339 1,117571 0,016092 0,000039 0,016092
4 1,317339 1,117571
5
1,3173
1,3173
1,125376 0,000039 0,007805 0,007805
1,125376 1,325048 1,125395 0,007748 0,000002 0,007748
6 1,325048 1,125395 1,325067 1,121641 0,000019 0,003754 0,003754
7 1,325067 1,121641 1,321341 1,121632 0,003726 0,000009 0,003726
8 1,321341 1,121632 1,321332 1,123438 0,000009 0,001806 0,001806
9 1,321332 1,123438 1,323125 1,123442 0,001793 0,000004 0,001793
10 1,323125 1,123442 1,323129 1,122574 0,000004 0,000868 0,000868
x    1,323;
Проверка:
y    1,123
sin( 1,123  1)  1,323  1,2,

2 1,123  cos(1,323)  2.
Ответ: x  1,323;
2.
y  1,123.
Метод Ньютона для системы двух уравнений
2.1. Теория метода
Пусть xn , y n  приближенные корни системы уравнений:
18
нет
нет
нет
нет
нет
нет
нет
нет
нет
нет
да
 F ( x, y )  0,

G ( x, y )  0,
где F и G – непрерывно дифференцируемые функции.
Полагая
x  xn  hn ,
y  yn  k n ,
получим
F ( xn  hn ; yn  kn )  0,

G( xn  hn ; yn  kn )  0.
Применим формулу Тейлора и ограничимся членами относительно hn и kn , получим:
 F ( xn ; yn )  hn  Fx ( xn ; yn )  kn  Fy ( xn ; yn )  0,

G ( xn ; yn )  hn  Gx ( xn ; yn )  kn  Gy ( xn ; yn )  0.
Определителем этой системы является определитель матрицы
Якоби (якобиан)
j ( xn ; yn ) 
Fx ( xn ; yn )
Fy ( xn ; yn )
Gx ( xn ; yn )
Gy ( xn ; yn )
.
Если якобиан не равен нулю, то система будет иметь одно
единственное решение
hn  
F ( xn ; yn ) Fy ( xn ; yn )
1
,
j ( xn ; yn ) G ( xn ; yn ) Gy ( xn ; yn )
kn  
Fx ( xn ; yn ) Fy ( xn ; yn )
1
.
j ( xn ; yn ) Gx ( xn ; yn ) G y ( xn ; yn )
19
Тогда расчётные формулы имеют вид
xn 1  xn 
F ( xn ; yn ) Fy ( xn ; yn )
1
,
j ( xn ; yn ) G ( xn ; yn ) Gy ( xn ; yn )
yn 1  yn 
Fx ( xn ; yn ) F ( xn ; yn )
1
.
j ( xn ; yn ) Gx ( xn ; yn ) G( xn ; yn )
Процесс заканчивается, когда
max xk 1  xk , yk 1  yk   .
2.2. Алгоритм метода
1. Построить графики функций F ( x, y ) и G ( x, y ) для того, чтобы определить достаточно малые области, в каждой из которых заключен ровно один корень исходной системы уравнений.
2. Задать начальное приближение ( x0 ; y0 ) и малое положительное число   0 .
3. Найти Fx ( xn ; yn ) , Fу ( xn ; yn ) Gx ( xn ; yn ) Gy ( xn ; yn ) , якобиан.
4. Вычислить xn 1, yn 1 по расчётным формулам
xn 1  xn 
F ( xn ; yn ) Fy ( xn ; yn )
1
,
j ( xn ; yn ) G ( xn ; yn ) Gy ( xn ; yn )
yn 1  yn 
Fx ( xn ; yn ) F ( xn ; yn )
1
.
j ( xn ; yn ) Gx ( xn ; yn ) G( xn ; yn )


5. Если max xn 1  xn , yn 1  yn   , то процесс завершен и
  xn 1;   yn 1 , иначе перейти к п. 4.
2.3. Пример решения задачи
20
Решить методом Ньютона систему уравнений с точностью
 = 0,001
2

tg( xy  0,2)  x ,

2
2

0,6 x  2 y  1.
Построим
графики
функций
F ( x, y )  tg( xy  0,2)  x 2 ,
G ( x, y )  0,6 x 2  2 y 2  1 для того, чтобы определить координаты
их точек пересечения. Это позволит установить число корней данной системы и их начальное приближение х0 , у0  .
Из рисунка видно, что система имеет четыре корня. На примере
корня, расположенного в первой четверти (х0; у0), рассмотрим алгоритм уточнения корня по методу Ньютона.
х0  0,9; у0  0,5
Найдём частные производные
первого порядка функций F ( x, y )
и G ( x, y ) :
y
 2 x,
cos ( xy  0,2)
x
Fy ( x, y ) 
,
2
cos ( xy  0,2)
Fx ( x, y ) 
2
Gx ( x, y)  1,2 x,
Gy ( x, y)  4 y.
Расчётные формулы имеют вид:
xn 1  xn 
F ( xn ; yn ) Fy ( xn ; yn )
1
,
j ( xn ; yn ) G ( xn ; yn ) Gy ( xn ; yn )
21
yn 1  yn 
Fx ( xn ; yn ) F ( xn ; yn )
1
.
j ( xn ; yn ) Gx ( xn ; yn ) G( xn ; yn )
где F ( xп , yп )  tg( xп yп  0,2)  xп2 , G( xп , yп )  0,6 xп2  2 yп2  1 ;
yп
 2 xп
j ( xn ; yn )  cos ( xп yп  0,2)
1,2 xп
2
хп
cos ( xп yп  0,2) .
4 yп
2
Строим таблицу:
k
0
xn
0,9
yn
0,5
F(xn, yn) G(xn, yn) F'x(xn, yn) G'x(xn, yn) F'y(xn, yn) G'y(xn, yn)
-0,049796 -0,014 -1,011045
1,08
1,42012
2
1 0,877583 0,519105 -0,001141 0,001031 -0,929074 1,053100
1,396567
2,07642
2 0,876463 0,519177 -5,7087E-07 0,000002 -0,927377 1,051756 1,3936737 2,076708
j(xn, yn)
hn
0,02241
-3,555819
7
-3,399871 0,00112
0,00000
-3,391695
1
х2 = 0,876463;
kn
-0,0191
xn+1
yn+1
xn+1  xn yn+1  yn
0,877583 0,519105 0,022417
max
0,019105 0,022417
-0,000072 0,876463 0,519177 0,001120
0,000072
0,00112
3,56E-07 0,876462 0,519177 0,000001
3,56E-07 0,000001
y2 = 0,519177.
Поверка:
tg( 0,876463  0,519177  0,2)  0,8764632 ,
0,7681973  0,76819791,


2
2
0,6  0,876463  2  0,519177  1,
0,999998  1.
Ответ: х = 0,876; у = 0,519.
3.
Индивидуальные задания
Задание № 1
Решить приближенно систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001 методом итераций.
22
sin( x  1)  y  1,2
2 x  cos y  2
3. 
cos( y  1)  x  0,5
 y  cos x  3
cos( x  1)  y  0,5
 x  cos y  3
4. 
sin x  2 y  2
cos( y  1)  x  0,7
18. 
 y  cos x  1,5
2 x  sin( y  0,5)  1
19. 
sin( x  0, ,5)  y  1
cos( y  2)  x  0
20. 
cos( x  0,5)  y  0,8
sin y  2 x  1,6
21. 
sin( x  1)  1,3  y
 x  sin( y  1)  0,8
22. 
1. 
2 x  sin y  2
cos( x  1)  y  0,7
2. 
2 y  sin( x  0,5)  1
 x  cos y  0,5
5. 
sin( y  0,5)  x  1
cos( x  2)  y  0
6. 
cos( y  0,5)  x  0,8
2 y  sin x  1,6
7. 
sin( y  1)  x  1,3
 y  sin( x  1)  0,8
8. 
2 x  cos y  0
 y  sin x  0,4
9. 
2 y  cos( x  1)  0
 x  sin y  0,4
23. 
cos( y  0,5)  x  2
2 y  sin x  1
cos( x  0,5)  y  2
sin y  2 x  1
24. 
10. 
sin( y  2)  x  1,5
 y  cos( x  2)  0,5
11. 
sin( x  2)  y  1,5
 x  cos( y  2)  0,5
25. 
sin( x  1)  y  1
2 x  cos y  2
sin( y  1)  x  1,2
2 y  cos x  2
26. 
sin x  2 y  1,6
 x  cos( y  1)  1
27. 
12. 
cos( x  1)  y  0,8
 x  cos y  2
13. 
sin( x  1)  y  1,5
 x  sin( y  1)  1
14. 
23
cos x  y  1,2
2 x  sin( y  0,5)  2
28. 
sin( y  1)  x  1
2 y  cos x  2
sin( x  0,5)  y  1,2
 x  cos( y  2)  0
29. 
cos( x  0,5)  y  1
sin y  2 x  2
30. 
15. 
cos( y  1)  x  0,8
 y  cos x  2
16. 
cos( x  1)  y  1
sin y  2 x  1,6
17. 
Задание № 2
Решить приближенно систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001 методом Ньютона.
sin( x  y )  1,4 x  0
tg( xy  0,4)  x 2
1. 
0,6 x 2  2 y 2  1
sin( x  y )  1,6 x  0
2.  2
2
x  y  1
11. 
2
2
x  y  1
tg( xy  0,1)  x 2
0,5 x 2  2 y 2  1
12. 
sin( x  y )  1,1x  0,1
tg( xy  0,1)  x 2
3. 
 x 2  2 y 2  1
13. 
2
2
x  y  1
sin( x  y )  1,2 x  0,2
tg( x  y )  x 2
 x 2  2 y 2  1
4. 
14. 
2
2
x  y  1
sin( x  y )  x  1
tg( xy  0,3)  x 2
0,9 x 2  2 y 2  1
5. 
15. 
sin( x  y )  1,3 x
6.  2
2
x  y  1
tg( xy  0,2)  x 2
16. 
 x 2  2 y 2  1
2
2
x  y  1
sin( x  y )  1,5 x  0
tg xy  x 2
0,8 x 2  2 y 2  1
17. 
7. 
2
2
x  y  1
24
sin( x  y )  1,5 x  0,1
tg xy  x 2
0,5 x 2  2 y 2  1
8. 
18. 
2
2
x  y  1
sin( x  y )  1,2 x  0,2
tg xy  x 2
9. 
0,7 x 2  2 y 2  1
sin( x  y )  1,2 x  0,1
10.  2
2
x  y  1
19. 
2
2
x  y  1
tg( xy  0,1)  x 2
20. 
0,7 x 2  2 y 2  1
sin( x  y )  1,5 x  0,2
tg( xy  0,2)  x 2
0,6 x 2  2 y 2  1
21. 
26. 
sin( x  y )  1,5 x  0,1
22.  2
2
x  y  1
tg xy  x 2
27. 
0,6 x 2  2 y 2  1
sin( x  y )  1,2 x  0
28.  2
2
x  y  1
2
2
x  y  1
tg( xy  0,4)  x 2
23. 
0,8 x 2  2 y 2  1
sin( x  y )  1,2 x  0,1
tg( xy  0,3)  x 2
0,5 x 2  2 y 2  1
24. 
29. 
tg( xy  0,1)  x 2
25. 
0,9 x 2  2 y 2  1
30. 
2
2
x  y  1
sin( x  y )  1,1x  0,1
2
2
x  y  1
25
Лабораторная работа III
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Метод Гаусса
1.1. Теория метода
Пусть дана система т линейных уравнений с п неизвестными:
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,

a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 ,

..........................................
a x  a x  ...  a x  b ,
mn n
m
 m1 1 m 2 2
____
____
____
где aij (i  1, m; j  1, n )  коэффициенты системы, x j ( j  1, n ) 
____
неизвестные, bi (i  1, m)  свободные члены.
Сокращенно (в матричном виде) данная система записывается в
виде АХ = В,
26
где
 а11 а12 ... а1п 


 а21 а22 ... а2 п 
А .
.
.
. ,


.
.
. 
 .

 ат1 ат 2 ... ат п 
 х1 
 b1 
 
 
 х2 
 b2 


Х  . , В   . .
 
 
 . 
 . 
 хп 
 bm 
Решением системы линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) называется упорядоченная совокупность чисел x1 , x2 , ..., xn ,
обращающих эту систему в тождество.
Наиболее распространенным методом решения СЛАУ является
метод Гаусса, который состоит в исключении слагаемых системы
путём её равносильного преобразования. Метод разбивается на две
совокупности операций, которые условно названы прямым ходом и
обратным ходом.
1.2. Алгоритм метода
1. Прямой ход состоит в исключении элементов, расположенных
ниже элементов, соответствующих главной диагонали матрицы А.
Схематически прямой ход представляется в виде:
 а11 а12 ... а1п b1 
 1 с12 ... с1п d1 




 а21 а22 ... а2 п b2 
 0 1 ... c2 п d 2 
 . .
А  .
.
.
.
.
.   D,




.
.
.
.
. 
 .

 . .

 ат1 ат 2 ... ат п bm 
 0 0 ... 1 d m 
где матрица А (соединённые в одну (расширенную) матрица А и
вектор В) преобразуется к верхнетреугольному виду с единицами на главной диагонали; D  матрица, которая содержит опорные строки, получающиеся при выполнении прямого хода, а затем используется в обратном ходе.
2. Обратный ход. От А1 переходят к системе, включающей
х1, х2 , ..., хп , и, начиная с последнего уравнения, последовательно
определяют хп , хп1, ..., х1 .
27
Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными
a11x1  a12 x2  a13x3  a14 x4  а15 ,

a21x1  a22 x2  а23x3  a24 x4  а25 ,

a31x1  a32 x2  а33x3  a34 x4  а35 ,
a x  a x  а x  a x  а .
43 3
44 4
45
 41 1 42 2
(1)
Пусть a11  0 (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (1) на a11 , получим:
x1  b12x2  b13x3  b14x4  b15 ,
где b1 j 
a1 j
a11
(2)
, ( j  2, 5 ).
Пользуясь уравнением (2), легко исключить из системы (1) неизвестную x1 . Для этого вычтем уравнение (2), умноженное соответственно на а21, а31 и на а41, из второго, третьего и четвёртого
уравнений системы (1). В результате получим систему из трёх уравнений:
(1)
(1)
(1)
(1)
a22
x2  а23
x3  а24
х4  а25
,
 (1)
(1)
(1)
(1)
(1)
a32 x2  а33 x3  а34 х4  а35 ,
 (1)
(1)
(1)
(1)
a42 x2  а43 x3  а44 х4  а45 ,
где коэффициенты aij(1) (i, j  2) вычисляются по формуле
aij(1)  aij  ai1b1 j
(i, j  2).
Разделив далее, коэффициенты первого уравнения системы (1)
(1)
на «ведущий элемент» a22
, получим уравнение
(1)
(1)
(1)
,
x2  b23
x3  b24
х4  b25
28
(2)
где
b2(1j)

a2(1j)
(1)
a22
( j  3, 5 ).
Исключив x2 , таким же способом, каким был исключен x1 ,
придем к следующей системе уравнений:
( 2)
( 2)
( 2)

a33 x3  а34 x4  а35 ,
 ( 2)
( 2)
( 2)

a43 x3  а44 x3  а45 ,
где aij( 2)  aij(1)  ai(21)b2(1j)
(1)
(i, j  3).
Разделив коэффициенты первого уравнения системы (1) на
( 2)
«ведущий элемент» a33
, получим
( 2)
( 2)
,
x3  b34
х4  b35
где b3( 2j ) 
a3( 2j )
( 2)
a33
(2)
( j  4, 5 ).
Исключив теперь x3 аналогичным путем из системы (1), будем иметь:
(3)
(3)
,
а44
x4  а45
где aij(3)  aij( 2)  ai(32)b3( 2j )
(1)
(i, j  4) .
Отсюда
( 3)
а45
( 3)
x4  (3)  b45
.
а44
(2)
Остальные неизвестные последовательно определяются из
уравнений (2), (2) и (2):
( 2)
( 2)
x3  b35
 b34
х4 ;
(1)
(1)
(1)
x2  b25
 b24
х4  b23
x3;
x1  b15  b14x4  b13x3  b12x2 .
Таким образом, процесс решения линейной системы по методу
Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (2), (2), (2),
(2), имеющей треугольную матрицу. Необходимым и достаточным
29
условием применимости метода является неравенство нулю всех
«ведущих элементов».
Вычисления удобно поместить в таблицу, называемую схемой
единственного деления.
Раздел А содержит коэффициенты системы, включая свободные
члены. Последняя строка раздела А схемы представляет собой результат деления первой строки раздела на «ведущий элемент» а11.
Раздел А1 содержит элементы aij(1) (i, j  2) равные соответствующим элементам aij предшествующего раздела без произведения
их «проекций» на ряды раздела А, содержащие элемент 1, т. е.
aij(1)  aij  ai1b1 j . Последняя строка раздела А1 схемы представляет
собой результат деления первой строки раздела на «ведущий эле(1)
мент» a22
.
Аналогично строятся следующие разделы. Прямой ход заканчивается, когда мы дойдем до раздела, состоящего из одной строки, не
считая преобразованной (раздел А3 в нашем частном случае).
Схема единственного деления

S
Раздел
схемы
A
х1 х2
х3
х4
Свободный
член
а11
а21
а31
а41
а12
а22
а32
а42
а13
а23
а33
а43
а14
а24
а34
а44
а15
а25
а35
а45
а16
а26
а36
а46
1 b12
b13
b14
b15
b16
а16= а11+ а12 +а13 +а14+ а15
а26= а21+ а22+ а23+ а24+ а25
а36= а31+ а32+ а33+ а34+ а35
а46= а41+ а42+ а43+ а44+ а45
b16  1  b12  b13  b14  b15
(1)
(1)
a 22
a 23
(1)
a 24
(1)
a 25
(1)
a 26
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
a 26
 a 22
 a 23
 a 24
 a 25
(1)
(1)
a 32
a 33
(1)
a34
(1)
a35
(1)
a 36
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
a 36
 a 32
 a 33
 a 34
 a 35
(1)
(1)
a 42
а 43
(1)
a 44
(1)
a 45
(1)
a 46
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
а46
 a42
 а43
 а44
 а45
(1)
b23
(1)
b24
(1)
b25
(1)
b26
(1)
(1)
(1)
(1)
b26
 1  b23
 b24
 b25
( 2)
a33
( 2)
a34
( 2)
a 35
( 2)
a 36
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
a 36
 a 33
 a 34
 a 35
( 2)
a 43
( 2)
a 44
( 2)
a 45
( 2)
a 46
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
a 46
 a 43
 a 44
 a 45
1
30
А1
А2
1
1
1
1
( 2)
b34
( 2)
b35
( 2)
b36
(1)
(1)
( 2)
b36
 1  b34
 b36
( 3)
a 44
( 3)
a 45
( 2)
a 46
( 2)
( 2)
( 2)
a 46
 a 44
 a 45
1
( 3)
b 45
( 2)
b46
(1)
( 2)
b46
 1  b46
1
(3)
x4  b45
х4  1  х4
( 2)
( 2)
x3  b35
 b34
х4
х3  1  х3
(1)
(1)
(1)
x2  b25
 b24
х4  b23
x3
x1  b15  b14 x4  b13x3  b12 x2
х2  1  х2
х1  1  х1
А3
В
При обратном ходе используются лишь последние строки разде( 3)
лов А и Ai, т. е. содержащие единицы. Элемент b45
из раздела А3,
стоящий в столбце свободных членов отмеченной строки раздела,
дает значение x4 . Далее, все остальные неизвестные xi (i = 3, 2, 1)
шаг за шагом находятся с помощью вычитания из свободного члена
отмеченной строки суммы произведений ее коэффициентов на соответствующие значения ранее найденных неизвестных. Значения неизвестных последовательно выписываются в последний раздел В. Расставленные там единицы помогают находить для xi соответствующие коэффициенты в отмеченных строках.
Для контроля вычислений используются так называемые «контрольные суммы» ai 6 
5
 aij ,
(i = 1, 2,…, 5), помещенные в столб-
j 1
це Σ и представляющие собой сумму элементов строк матрицы исходной системы (1), включая свободные члены. Над контрольными
суммами в каждой строке проделывают те же операции, что и над
остальными элементами этой строки. При отсутствии ошибок в вычислениях элементы столбца Σ равны суммам элементов соответствующих преобразованных строк (столбец S).
1.3. Пример решения задачи
Решить систему линейных уравнений АХ = В с точностью до
0,001 методом Гаусса, если
31
10
 1,3 2,1 
 1,7


 2,1 5,4 
 3,1 1,7
А =
3,3  7,7 4,4  5,1


 10  20,1 20,4 1,7 


 3,1 
 
 2,1
В=  
1,9
 
 1,8 
 
Вычисления запишем в таблицу:
х1
х2
1,7
3,1
3,3
10
1
0
0
0
10
1,7
-7,7
-20,1
5,882353
-16,5353
-27,1118
-78,9235
1
0
0
х1
х2
х3
х4
-1,3
2,1
-2,1
5,4
4,4
-5,1
20,4
1,7
-0,76471 1,235294
0,270588 1,570588
6,923529 -9,17647
28,04706 -10,6529
-0,01636 -0,09498
6,479865 -11,7517
26,75553 -18,1494
1
-1,81356
х3
х4
0
30,37348
1
x4 =
x3 =
x2 =
x1 =
Ответ: x1 = 0,861,
Свободный
S

член
3,1
15,6
15,6
2,1
10,2
10,2
1,9
-3,2
-3,2
1,8
13,8
13,8
1,823529
9,17647059 9,17647059
-3,55294
-18,247059 -18,247059
-4,11765
-33,482353 -33,482353
-16,4353
-77,964706 -77,964706
0,21487
1,10352188 1,10352188
1,707862
-3,5639274 -3,5639274
0,523017
9,12913554 9,12913554
0,263564
-0,5500003 -0,5500003
Свободный
член
-6,52879
-0,21495
-0,21495
-0,12626
0,192387
0,860814

23,8446854 23,8446854
0,78504962 0,78504962
x2 = 0,192, x3 = -0,126, x4 = -0,215.
32
S
2.
Нахождение обратной матрицы
по схеме единственного деления
2.1. Теория метода
Опр. 1. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее
определитель отличен от нуля, и вырожденной, если
det А = 0.
Опр. 2. Квадратная матрица А 1 называется обратной для матрицы
А того же порядка, если их произведение равно единичной
матрице того же порядка, что и матрицы А и А 1 , т. е.
А  А1 = А 1  А = Е.
Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Таким образом, если det А = 0, то А 1 не существует.
Для нахождения обратной матрицы А1  [ xij ] используем ос1
новное соотношение А  А = Е.
Перемножая матрицы А и А 1 , будем иметь систему n уравнений относительно n2 неизвестных [ xij ] :
n
 aik xkj  ij
(i, j = 1, 2, …, n),
k 1
1, если i  j,
0, если i  j.
где ij  
Полученные системы n линейных уравнений, имеющих одну и
ту же матрицу А и различные свободные члены, одновременно можно решить методом Гаусса (см. предыдущий пункт).
2.2. Пример решения задачи
Найти обратную матрицу для матрицы А с точностью до 0,001
по схеме единственного деления.
33
10
 1,3 2,1 
 1,7


А =  3,1 1,7  2,1 5,4  .
 3,3  7,7 4,4  5,1


 10  20,1 20,4 1,7 


Вычисления поместим в таблицу:
х1
х2
1,7
10
3,1
1,7
3,3
-7,7
10 -20,1
1 5,88235
-16,5353
-27,11176
-78,92353
1
х3
х4
-1,3
2,1
-2,1
5,4
4,4
-5,1
20,4
1,7
-0,76471 1,23529
0,27059
1,57059
6,92353 -9,17647
28,04706 -10,65294
-0,01636 -0,09498
6,47986 -11,75165
26,75553 -18,14941
1
-1,81356
30,37348
1
4 стр.
3 стр.
2 стр.
1 стр.
j=1
1
0
0
0
0,58824
-1,82353
-1,94118
-5,88235
0,11028
1,04874
2,82142
0,16185
-1,50885
-0,04968
-0,04968
0,07176
0,10674
0,07661
j=2
0
1
0
0
0
1
0
0
-0,06048
-1,63963
-4,77303
-0,25303
1,99704
0,06575
0,06575
-0,13379
-0,05642
0,14836
j=3
j=4
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0,15432
0
-4,12903
1
-0,13594 0,03292
-0,13594 0,03292
-0,09222 0,05971
-0,01442 0,00410
0,18224 -0,01915
Проверим правильность вычислений
S

13,5
13,5
9,1
9,1
-4,1
-4,1
13
13
7,94118 7,941176
-15,51765 -15,51765
-30,30588 -30,30588
-66,41176 -66,41176
0,93846 0,93846
-4,86268 -4,86268
7,65450 7,65450
-0,75043 -0,75043
27,73264 27,73264
0,91305 0,91305
А  А1 =
0,14836
0,18224  0,01915 
 1,7 10  1,3 2,1   0,07661



=  3,1 1,7  2,1 5,4    0,10674  0,05642  0,01442 0,00410  =
 3,3  7,7 4,4  5,1  0,07176  0,13379  0,09222 0,05971 


 
 10  20,1 20,4 1,7    0,04968 0,06575  0,13594 0,03292 


 
1

= 0
0

0

0
1
0
0
0
0
1
0
34
0

0  = Е.
0

1 
Так как в результате перемножения матриц получилась единичная матрица, то вычисления произведены правильно.
Ответ: А
3.
1
0,148
0,182  0,019 
 0,077


  0,107  0,056  0,014 0,004 
 0,072  0,134  0,092 0,060 


  0,050 0,066  0,136 0,033 


Нахождение определителя матрицы по схеме Гаусса
3.1. Теория и алгоритм метода
Приведенная ранее схема единственного деления, может быть
использована для вычисления определителей. По этой схеме определитель равен произведению «ведущих» элементов
а11 а12 ... а1п
а21 а22 ... а2 п
(1) ( 2 )
( п 1)
а33 ...апп
,
.
.
.
.  а11а22
.
.
.
.
ап1 ап 2 ... апп
(1)
( 2)
( п1)
где а11, а22
 ведущие элементы схемы единствен, а33
, ..., апп
ного деления.
Заметим, что если для какого-нибудь шага элемент аii(i 1)  0
или близок к нулю (что влечет за собой уменьшение точности вычислений), то следует соответствующим образом изменить порядок
строк и столбцов матрицы.
3.2. Пример решения задачи
Найти приближенно определитель матрицы А с точностью до
0,0001 по схеме Гаусса.
35
10
 1,3 2,1 
 1,7


 2,1 5,4 
 3,1 1,7
А =
.
3,3  7,7 4,4  5,1


 10  20,1 20,4 1,7 


Для удобства поместим вычисления в таблицу.
i
1
2
3
4
1'
2'
3'
4'
2''
3''
4''
3''
'
4''
'
ai1
1,7
3,1
3,3
10
1
ai2
10
1,7
-7,7
-20,1
5,882353
-16,535294
-27,111765
-78,923529
1
ai3
-1,3
-2,1
4,4
20,4
-0,764706
0,2705882
6,923529
28,047059
-0,0163643
6,4798648
26,755532
ai4
2,1
5,4
-5,1
1,7
1,235294
1,570588
-9,176471
-10,652941
-0,094984
-11,751654
-18,149413

12,5
8,1
-5,1
12
7,352941
-14,694118
-29,364706
-61,529412
0,888652
-5,271789
8,606119
S
12,5
8,1
-5,1
12
7,352941
-14,694118
-29,364706
-61,529412
0,888652
-5,271789
8,606119
1
-1,813565
-0,813565
-0,813565
30,373476
30,373476
30,373476
 = -5532,4982
Ответ:  = -5532,498.
4.
Метод итераций
4.1. Теория и алгоритм метода
При большом числе неизвестных линейной системы удобнее
пользоваться приближенными численными методами. Рассмотрим
один из этих методов  метод итерации.
Пусть дана система т линейных уравнений с п неизвестными
36
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,

a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 ,

..........................................
a x  a x  ...  a x  b ,
m2 2
mn n
m
 m1 1
(1)
которая сокращенно записывается в виде АХ = В,
 а11 а12 ... а1п 


 а21 а22 ... а2 п 
А .
.
.
. ,


.
.
. 
 .

 ат1 ат 2 ... ат п 
где
 х1 
 b1 
 
 
 х2 
 b2 


Х  . , В   . .
 
 
 . 
 . 
 хп 
 bm 
___
Предполагая, что диагональные элементы aii  0 ( i  1, n ), разрешим первое уравнение системы относительно х1, второе – относительно х2 и т.д. В результате получаем систему, эквивалентную исходной системе:
 x1  1  12 x2  ...  1n xn ,

 x2  2   21x1  ...   2 n xn ,

..........................................
 x     x  ...  a x ,
п
п1 1
nп 1 n 1
 п
где i 
(2)
____
aij
bi
, ij  
при i  j;  ij  0 при i  j (i, j  1, n ) .
aii
aii
Систему (2) можно записать в матричной форме
X    X ,
если ввести матрицы:
37
(2)
 x1 
x 
 2
Х = .  ,
 . 
 
 xn 
 11 12 ... 1п 


  21  22 ...  2 п 
=  .
.
.
. ,


.
.
. 
 .

  n1  n 2 ...  nп 
 1 
 
 2 
 =  . .
 
 . 
 n 
Систему (2) решим методом последовательных приближений.
За нулевое приближение принимаем, например, столбец свободных
членов X ( 0)   .
Далее, последовательно строим матрицы-столбцы X (1)    X ( 0)
(первое приближение), X ( 2)    X (1) (второе приближение) и т. д.
Вообще говоря, любое (k+1)-e приближение вычисляют по
формуле
X ( k 1)    X ( k ) k  0, 1, 2, ... .
(3)
Метод последовательных приближений, определяемых формулой (3). Итерации прерываются при выполнении условия
x( k 1)  x( k )   ,
где   заданная точность, ||х||  норма вектора х.
Для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы (1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы
(свободные члены при этом роли не играют), т. е. для системы (2)
выполняется условие
n
 1  max  ij  1.
i
j 1
4.2. Пример решения задачи
Решить приближенно систему линейных уравнений АХ = В с
точностью до 0,001 методом итераций, предварительно преобразовав её к виду, подходящему для итераций.
38
 0,87 x1  0,27 x2  0,22 x3  0,18 x4  1,21,
 0,21x  x  0,45 x  0,18 x  0,33,

1
2
3
4

0
,
12
x

0
,
13
x

1
,
33
x

0
,
18
x4  0,48,
1
2
3

0,33x1  0,05 x2  0,06 x3  1,28 x4  0,17.
Модули диагональных коэффициентов аii данной системы превышают модули недиагональных коэффициентов. Преобразуем систему к виду, подходящему для итераций
 0,87 x1  1,21  0,27 x2  0,22 x3  0,18 x4
 x  0,33  0,21x  0,45 x  0,18 x ,
 2
1
3
41

 1,33x3  0,48  0,12 x1  0,13x2  0,18 x4 ,
 1,28 x4  0,17  0,33x1  0,05 x2  0,06 x3.
1,21 0,27
0,22
0,18

 x1  0,87  0,87 x2  0,87 x3  0,87 x4

 x2  0,33  0,21x1  0,45 x3  0,18 x4 ,

0,48 0,12
0,13
0,18

 x3   1,33  1,33 x1  1,33 x2  1,33 x4 ,

0,17 0,33
0,05
0,06

 x4   1,28  1,28 x1  1,28 x2  1,28 x3 .

В матричном виде система имеет вид:
 1,21  

  0
 х1   0,87  
    0,33    0,21
 х2   0,48   0,12

 х   

3
   1,33   1,33
х 
 4    0,17   0,33
 1,28   1,28

 
0,27
0,87
0
0,13
1,33
0,05
1,28
39
0,22
0,87
 0,45

0
0,06
1,28
0,18 

0,87   х1 
0,18   х 
0,18    2  .
х
1,33   3 
 х 
0   4 


Проверим выполнение условия сходимости

 0

  0,21
   0,12

 1,33
 0,33
 1,28

0,27
0,87
0
0,13
1,33
0,05
1,28
0,22
0,87
 0,45

0
0,06
1,28
0,18 

0,87 
0,18 
0,18 

1,33 
0 


n
0,67
 1,
0,87
 1 j

 2 j
 0,84  1,
 3 j

0,43
 1,
1,33

0,44
 1.
1,28
j 1
n
j 1
n
j 1
n
 4 j
j 1
Так как сумма модулей элементов строк меньше единицы, то
процесс итераций для данной системы сходится к единственному
решению, независимо от выбора начального приближения.
За нулевое приближение примем, столбец свободных членов, т. е.
X (0)
 1,21 


 0,87   1,39080 
  0,33    0,33000 


  0,48   
,

 1,33   0,36090 

   0,13281 
0
,
17


 
 1,28 


и по формуле X ( k 1)    X ( k ) k  0, 1, 2, ... вычисляем все последующие приближения.
Результат вычисления поместим в таблицу:
k
0
1
2
3
4
x1k
1,39080
1,40713
1,27242
1,27103
1,28476
x2k
-0,33
-0,48357
-0,46168
-0,44701
-0,44816
x3k
-0,3609
-0,28565
-0,25469
-0,26447
-0,26755
x 4k
-0,13281
0,19595
0,19768
0,16526
0,16502
x1k+1
1,40713
1,27242
1,27103
1,28476
1,28523
40
x2k+1
-0,48357
-0,46168
-0,44702
-0,44816
-0,4497
x3k+1
-0,28565
-0,25469
-0,26447
-0,26755
-0,26646
x4k+1
0,19595
0,19768
0,16526
0,16502
0,16837
||xk+1-xk||
0,37094
0,13995
0,03693
0,01412
0,00387
5 1,28523 -0,4497 -0,26646 0,16837 1,28379 -0,44968 -0,26611 0,16848 0,00149
6 1,28379 -0,44968 -0,26611 0,16848 1,28368 -0,44952 -0,26622 0,16813 0,00042
Ответ: х1 = 1,284; х2 = -0,450; х3 = -0,266; х4 = 0,168.
5.
Индивидуальные задания
Задание № 1
Решить приближенно систему линейных уравнений с точностью до 0,001 методом Гаусса.
Задание № 2
Найти приближенно обратную матрицу для матрицы A с точностью до 0,001 по схеме единственного деления.
Задание № 3
Найти приближенно определитель матрицы A с точностью до
0,001 по схеме Гаусса.
№1
0,63x1  1,00 x2  0,71x3  0,34 x4  2,08
1,17 x +0,18 x  0,65 x +0,71x  0,17

1
2
3
4

2,71x1  0,75 x2+1,17 x3  2,35 x4  1,28

3,58 x1  0,21x2  3,45 x3  1,18 x4  0,05
№2
3,51x1  0,17 x2  3,75 x3  0,28 x4  0,75
4,52 x +2,11x  0,11x  0,12 x  1,11

1
2
3
4

 2,11x1  3,17 x2+0,12 x3  0,15 x4  0,21

3,17 x1  1,81x2  3,17 x3  0,22 x4  0,05
№3
41
0,17 x1  0,75 x2  0,18 x3  0,21x4  0,11
0,75 x +0,13x  0,11x +1,00 x  2,00

1
2
3
4

 0,33x1  0,11x2+3,01x3  2,01x4  0,11

0,11x1  1,12 x2  1,11x3  1,31x4  0,13
№4
 1,00 x1  0,13x2  2,00 x3  0,14 x4  0,15
0,75 x +0,18 x  0,21x  0,77 x  0,11

1
2
3
4

0
,
28
x

0
,
17
x
+
0
,
39
x

0
,
48
x
1
2
3
4  0 ,12


1.00 x1  3,14 x2  0,21x3  1,00 x4  0,11
№5
3,01x1  0,14 x2  1,00 x3  0,15 x4  1,00
 1,75 x +1,11x  0,13x  0,75 x  0,13

1
2
3
4

0,17 x1  2,11x2+0,71x3  1,71x4  1,00

0,21x1  0,21x2  0,35 x3  0,33x4  0,17
№6
1,15 x1  0,62 x2  0,83x3  0,92 x4  2,15
0,82 x  0,54 x  0,43x  0,25 x  0,62

1
2
3
4

0,24 x1  1,15 x2  0,33x3  1,42 x4  0,62

0,73x1  0,81x2  1,27 x3  0,67 x4  0,88
№7
2,20 x1  3,17 x2  1,24 x3  0,87 x4  0,46
1,50 x  2,11x  0,45 x  1,44 x  1,50

1
2
3
4

0,86 x1  1,44 x2  0,62 x3  0,28 x4  0,12

0,48 x1  1,25 x2  0,63x3  0,97 x4  0,35
№8
42
0,64 x1  0,72 x2  0,83x3  4,2 x4  2,23
0,58 x  0,83x  1,43x  0,62 x  1,71

1
2
3
4

0,86 x1  0,77 x2  1,83x3  0,88 x4  0,54

1,32 x1  0,52 x2  0,65 x3  1,22 x4  0,65
№9
1,42 x1  0,32 x2  0,42 x3  0,85 x4  1,32
0,63x  0,43x  1,27 x  0,58 x  0,44

1
2
3
4

0,84 x1  2,23x2  0,52 x3  0,47 x4  0,64

0,27 x1  1,37 x2  0,64 x3  1,27 x4  0,85
№ 10
0,73x1  1,24 x2  0,38 x3  1,43x4  0,58
1,07 x  0,77 x  1,25 x  0,66 x  0,66

1
2
3
4

1,56 x1  0,66 x2  1,44 x3  0,87 x4  1,24

0,75 x1  1,22 x2  0,83x3  0,37 x4  0,92
№ 11
1,32 x1  0,83x2  0,44 x3  0,62 x4  0,68
0,83x  0,42 x  0,56 x  0,77 x  1,24

1
2
3
4

0,58 x1  0,37 x2  1,24 x3  0,62 x4  0,87

0,35 x1  0,66 x2  1,38 x3  0,93x4  1,08
№ 12
0,11x1  0,17 x2  0,72 x3  0,34 x4  0,17
0,81x  0,12 x  0,91x  0,17 x  1,00

1
2
3
4

0,17 x1  0,18 x2  1,00 x3  0,23x4  0,21

0,13x1  0,17 x2  0,99 x3  0,35 x4  2,71
№ 13
43
0,18 x1  2,11x2  0,13x3  0,22 x4  0,22
0,33x  0,22 x  1,00 x  0,17 x  0,11

1
2
3
4

 1,00 x1  0,11x2  2,00 x3  0,45 x4  1,00

7,00 x1  0,17 x2  0,22 x3  0,33x4  0,21
№ 14
2,00 x1  0,05 x2  3,01x3  0,11x4  0,21
1,00 x  2,00 x  3,02 x  0,05 x  0,18

1
2
3
4

0,17 x1  0,99 x2  2,00 x3  0,17 x4  0,17

0,33x1  0,07 x2  0,33x3  2,00 x4  0,17
№ 15
0,17 x1  0,13x2  0,11x3  0,12 x4  0,22
1,00 x  1,00 x  0,13x  0,13x  0,11

1
2
3
4

0,35 x1  0,33x2  0,12 x3  0,13x4  0,12

0,13x1  0,11x2  0,13x3  0,11x4  1,00
№ 16
0,11x1  1,13x2  0,17 x3  0,18 x4  1,00
0,13x  1,17 x  0,18 x  0,14 x  0,13

1
2
3
4

0,11x1  1,05 x2  0,17 x3  0,15 x4  0,11

0,15 x1  0,05 x2  0,18 x3  0,11x4  1,00
№ 17
1,00 x1  0,17 x2  0,11x3  0,15 x4  0,17
0,14 x +0,21x  0,33x  0,11x  1,00

1
2
3
4

0,22 x1  3,44 x2  0,11x3  0,12 x4  2,00

0,11x1  0,13x2  0,12 x3  0,14 x4  0,13
№ 18
44
1,00 x1  0,55 x2  0,13x3  0,34 x4  0,13
0,13x  0,17 x  0,33x +0,17 x  0,11

1
2
3
4

0,11x1  0,18 x2  0,22 x3  0,11x4  1,00

0,13x1  0,12 x2  0,21x3  0,22 x4  0,18
№ 19
1,00 x1  0,51x2  0,12 x3  0,55 x4  0,12
0,12 x +0,18 x  0,22 x  0,41x  0,13

1
2
3
4

0,22 x1  3,01x2+0,31x3  0,58 x4  1,00

1,00 x1  0,24 x2  3,05 x3  0,22 x4  3,41
№ 20
0,13x1  0,22 x2  0,14 x3  0,15 x4  1,00
0,22 x  0,31x  0,42 x  5,10 x  6,01

1
2
3
4

0,62 x1  0,74 x2+0,85 x3  0,96 x4  0,11

0,12 x1  0,13x2  0,14 x3  0,45 x4  0,16
№ 21
0,18 x1  0,19 x2  0,20 x3  0,21x4  0,22
0,51x  0,50 x  0,49 x  0,48 x  0,47

1
2
3
4

0,61x1  0,62 x2  0,63x3  0,64 x4  0,65

0,11x1  0,15 x2  0,22 x3  0,38 x4  0,42
№ 22
0,17 x1  0,18 x2  0,19 x3  5,74 x4  1,00
0,11x  0,43x  0,15 x  0,17 x  1,90

1
2
3
4

0,12 x1  0,14 x2  0,16 x3  0,18 x4  2,00

0,1x1  0,13x2  0,41x3  0,52 x4  1,00
№ 23
45
1,00 x1  2,01x2  2,04 x3  0,17 x4  0,18
0,33x  0,77 x  0,44 x  0,51x  0,19

1
2
3
4

0,31x1  0,17 x2  0,21x3  0,54 x4  0,21

0,17 x1  1,00 x2  0,13x3  0,21x4  0,31
№ 24
2,34 x1  1,42 x2  0,54 x3  0,21x4  0,66
1,44 x  0,53x  1,43x  1,27 x  1,44

1
2
3
4

0,63x1  1,32 x2  0,65 x3  1,43x4  0,94

0,56 x1  0,88 x2  0,67 x3  2,38 x4  0,73
№ 25
0,63x1  0,76 x2  1,34 x3  0,37 x4  1,21
0,54 x  0,83x  0,74 x  1,27 x  0,86

1
2
3
4

0,24 x1  0,44 x2  0,35 x3  0,55 x4  0,25

0,43x1  1,21x2  2,32 x3  1,41x4  1,55
№ 26
1,43x1  0,87 x2  1,57 x3  0,58 x4  2,34
0,63x  0,57 x  2,34 x  0,66 x  0,77

1
2
3
4

1,57 x1  0,66 x2  0,57 x3  1,15 x4  0,24

0,88 x1  0,67 x2  0,55 x3  0,45 х4  0,56
№ 27
1,71x1  0,83x2  1,44 x3  0,72 x4  1,35
0,64 x  0,85 x  0,43x  0,88 x  0,77

1
2
3
4

0,38 x1  1,42 x2  0,63x3  1,55 x4  0,28

0,83x1  0,66 x2  0,58 x3  1,22 x4  0,47
№ 28
46
0,85 x1  1,27 x2  2,37 x3  0,57 x4  1,47
1,47 x  0,28 x  0,56 x  1,21x  0,86

1
2
3
4

0,66 x1  1,31x2  0,63x3  0,43x4  0,55

0,57 x1  0,78 x2  0,56 x3  0,83x4  0,27
№ 29
0,68 x1  1,32 x2  0,63x3  0,87 x4  1,43
0,57 x  0,36 x  1,24 x  0,23x  0,33

1
2
3
4

0,82 x1  0,32 x2  1,42 x3  1,48 x4  0,84

0,56 x1  1,20 x2  1,50 x3  0,64 x4  0,45
№ 30
1,42 x1  2,34 x2  0,88 x3  0,53x4  0,72
0,71x  1,15 x  0,53x  0,67 x  0,18

1
2
3
4

0
,
55
x

0
,
93
x

1
,
42
x

1
,
32
x
1
2
3
4  0,68


0,44 x1  0,25 x2  1,92 x3  1,08 x4  0,43
Задание № 4
Решить приближенно систему линейных уравнений с точностью до 0,001 методом итераций, предварительно преобразовав ее к
виду, подходящему для итераций.
№1
47
 x1  0,23x1  0,04 x2  0,21x3  0,18 x4  1,24;
 x  0,45 x  0,23x  0,06 x  0,88;
 2
1
2
3

 x3  0,26 x1  0,34 x2  0,11x3  0,62;

 x4  0,05 x1  0,26 x2  0,34 x3  0,12 x4  1,17.
№2
 x1  0,21x1  0,12 x2  0,34 x3  0,16 x4  0,64;
 x  0,34 x  0,08 x  0,17 x  0,18 x  1,42;
 2
1
2
3
4

 x3  0,16 x1  0,34 x2+0,15 x3  0,31x4  0,42;

 x4  0,12 x1  0,26 x2  0,08 x3  0,25 x4  0,83.
№3
 x1  0,32 x1  0,18 x2  0,02 x3  0,21x4  1,83;
 x  0,16 x  0,12 x  0,14 x  0,27 x  0,65;
 2
1
2
3
4

x

0
,
37
x

0,27
x

0,02
x

0
,
24
x
1
2
3
4  2,23;
 3

 x4  0,12 x1  0,21x2  0,18 x3  0,25 x4  1,13.
№4
 x1  0,42 x1  0,32 x2  0,03x3  0,44;
 x  0,11x  0,26 x  0,36 x  1,42;
 2
1
2
3

 x3  0,12 x1  0,08 x2  0,14 x3  0,24 x4  0,83;

 x4  0,15 x1  0,35 x2  0,18 x3  1,42.
№5
48
 x1  0,18 x1  0,34 x2  0,12 x3  0,15 x4  1,33;
 x  0,11x + 0,23x  0,15 x  0,32 x  0,84;
 2
1
2
3
4

 x3  0,05 x1  0,12 x2 + 0,14 x3  0,18 x4  1,16;

 x4  0,12 x1  0,08 x2  0,06 x3  0,57.
№6
 x1  0,13x1  0,23x2  0,44 x3  0.05 x4  2,13;
 x  0,24 x  0,31x  0,15 x  0,18;
 2
1
3
4

x

0
,
06
x

0,15
x

0,23
x
1
2
4  1,44;
 3

 x4  0,72 x1  0,08 x2  0,05 x3  2,42.
№7
 x1  0,17 x1  0,31x2  0,18 x3  0,22 x4  1,71
 x  0,21x  0,33x  0,22 x  0,62
 2
1
3
4

x

0
,
32
x

0,18
x

0,05
x
1
2
3  0,19 x4  0,89
 3

 x4  0,12 x1  0,28 x2  0,14 x3  0,94
№8
 x1  0,13x1  0,27 x2  0,22 x3  0,18 x4  1,21;
 x  0,21x  0,45 x  0,18 x  0,33;
 2
1
3
4

 x3  0,12 x1  0,13x2  0,33x4  0,18 x4  0,48;

 x4  0,33x1  0,05 x2  0,06 x3  0,28 x4  0,17.
№9
 x1  0,19 x1  0,07 x2  0,38 x3  0,21x4  0,81;
 x  0,22 x  0,08 x  0,11x  0,33x  0,64;
 2
1
2
3
4

 x3  0,51x1  0,07 x2  0,09 x3  0,11x4  1,71;

 x4  0,33x1  0,41x2  1,21.
№ 10
49
 x1  0,22 x2  0,11x3  0,31x4  2,7;
 x  0,38 x  2 х  0,12 x  0,22 x  1,5;
 2
1
2
3
4

 x3  0,11x1  0,23x2  0,51x4  1,2;

 x4  0,17 x1  0,21x2  0,31x3  2 х4  0,17.
№ 11
 x1  0,07 x1  0,08 x2  0,11x3  0,18 x4  0,51;
 x  0,18 x  0,52 x  0,21x  1,17;
 2
1
2
4

 x3  0,13x1  0,31x2  0,21x4  1,02;

 x4  0,08 x1  0,33x3  0,28 x4  0,28.
№ 12
 x1  0,05 x1  0,06 x2  0,2 x3  0,14 x4  2,17;
 x  0,04 x  0,12 x  0,08 x  0,11x  1,4;
 2
1
2
3
4

 x3  0,34 x1  0,08 x2  0,06 x3  0,14 x4  2,1;

 x4  0,11x1  0,12 x2  0,03x4  0,8.
№ 13
 x1  0,08 x1  0,03x2  0,04 x4  1,2;
 x  0,31x  0,27 x  0,08 x  0,81;
 2
2
3
4

 x3  0,33x1  0,07 x3  0,21x4  0,92;

 x4  0,11x1  0,03x3  0,58 x4  0,17.
№ 14
 x1  0,12 x1  0,23x2  0,25 x3  0,16 x4  1,24;
 x  0,14 x  0,34 x  0,18 x  0,24 x  0,89;
 2
1
2
3
4

 x3  0,33x1  0,03x2  0,16 x3  0,32 x4  1,15;

 x4  0,12 x1  0,05 x2  0,15 x4  0,57.
№ 15
50
 x1  0,23x1  0,14 x2  0,06 x3  0,12 x4  1,21;
 x  0,12 x  0,32 x  0,18 x  0,72;
 2
1
3
4

 x3  0,08 x1  0,12 x2  0,23x3  0,32 x4  0,58;

 x4  0,25 x1  0,22 x2  0,14 x3  1,56.
№ 16
 x1  0,14 x1  0,23x2  0,18 x3  0,17 x4  1,42;
 x  0,12 x  0,14 x  0,08 x  0,09 x  0,83;
 2
1
2
3
4

 x3  0,16 x1  0,24 x2  0,35 x4  1,21;

 x4  0,23x1  0,08 x2  0,05 x3  0,25 x4  0,65.
№17
 x1  0,24 x1  0,21x2  0,06 x3  0,34 x4  1,42;
 x  0,05 x  0,32 x  0,12 x  0,57;
 2
1
3
4

 x3  0,35 x1  0,27 x2  0,05 x4  0,68;

 x4  0,12 x1  0,43x2  0,04 x3  0,21x4  2,14.
№ 18
 x1  0,17 x1  0,27 x2  0,13x3  0,11x4  1,42;
 x  0,13x  0,12 x  0,09 x  0,06 x  0,48;
 2
1
2
3
4

x

0
,
11
x

0,05
x

0,02
x

0
,
12
x
1
2
3
4  2,34;
 3

 x4  0,13x1  0,18 x2  0,24 x3  0,43x4  0,72.
№ 19
 x1  0,15 x1  0,05 x2  0,08 x3  0,14 x4  0,48;
 x  0,32 x  0,13x  0,12 x  0,11x  1,24;
 2
1
2
3
4

 x3  0,17 x1  0,06 x2  0,08 x3  0,12 x4  1,15;

 x4  0,21x1  0,16 x2  0,36 x3  0,88.
№ 20
51
 x1  0,28 x2  0,17 x3  0,06 x4  0,21;
 x  0,52 x  0,12 x  0,17 x  1,17;
 2
1
3
4

 x3  0,17 x1  0,18 x2  0,21x3  0,81;

 x4  0,11x1  0,22 x2  0,03x3  0,05 x4  0,72.
№ 21
 x1  0,52 x2  0,08 x3  0,13x4  0,22;
 x  0,07 x  0,38 x  0,05 x  0,41x  1,8;
 2
1
2
3
4

 x3  0,04 x1  0,42 x2  0,11x3  0,07 x4  1,3;

 x4  0,17 x1  0,18 x2  0,13x3  0,19 x4  0,33.
№ 22
 x1  0,01x1  0,02 x2  0,62 x3  0,08 x4  1,3;
 x  0,03x  0,28 x  0,33x  0,07 x  1,1;
 2
1
2
3
4

 x3  0,09 x1  0,13x2  0,42 x3  0,28 x4  1,7;

 x4  0,19 x1  0,23x2  0,08 x3  0,37 x4  1,5.
№ 23
 x1  0,17 x2  0,33x3  0,18 x4  1,2;
 x  0,18 x  0,43 x  0,08 x  0,33;
 2
2
3
4

 x3  0,22 x1  0,18 x2  0,21x3  0,07 x4  0,48;

 x4  0,08 x1  0,07 x2  0,21x3  0,04 x4  1,2.
№ 24
 x1  0,03x1  0,05 x2  0,22 x3  0,33x4  0,43;
 x  0,22 x  0,55 x  0,08 x  0,07 x  1,8;
 2
1
2
3
4

x

0
,
33
x

0,13
x

0,08
x

0
,
05
x
1
2
3
4  0,8;
 3

 x4  0,08 x1  0,17 x2  0,29 x3  0,33x4  1,7.
№ 25
52
 x1  0,13x1  0,22 x2  0,33x3  0,07 x4  0,11;
 x  0,45 x  0,23x  0,07 x  0,33;
 2
2
3
4

 x3  0,11x1  0,08 x3  0,18 x4  0,85;

 x4  0,08 x1  0,09 x2  0,33x3  0,21x4  1,7.
№26
 x1  0,32 x1  0,16 x2  0,08 x3  0,15 x4  2,42;
 x  0,16 x  0,23x  0,11x  0,21x  1,43;
 2
1
2
3
4

 x3  0,05 x1  0,08 x2  0,34 x4  0,16;

 x4  0,12 x1  0,14 x2  0,18 x3  0,06 x4  1,62.
№ 27
 x1  0,08 x2  0,23x3  0,32 x4  1,34;
 x  0,16 x  0,23x  0,18 x  0,16 x  2,33;
 2
1
2
3
4

 x3  0,15 x1  0,12 x2  0,32 x3  0,18 x4  0,34;

 x4  0,25 x1  0,21x2  0,16 x3  0,03x4  0,63.
№ 28
 x1  0,06 x1  0,18 x2  0,33x3  0,16 x4  2,43;
 x  0,32 x  0,23x  0,05 x  1,12;
 2
1
3
4

 x3  0,16 x1  0,08 x2  0.12 x4  0,43;

 x4  0,09 x1  0,22 x2  0,13x3  0,83.
№ 29
 x1  0,34 x2  0,23x3  0,06 x4  1,42;
 x  0,11x  0,23x  0,18 x  0,36 x  0,66;
 2
1
2
3
4

x

0
,
23
x

0,12
x

0,16
x

0
,
35
x
1
2
3
4  1,08;
 3

 x4  0,12 x1  0,12 x2  0,47 x3  0,18 x4  1,72.
№ 30
53
 x1  0,32 x1  0,23x2  0,11x3  0,06 x4  0,67;
 x  0,18 x  0,12 x  0,33x  0,88;
 2
1
2
3

 x3  0,12 x1  0,32 x2  0,05 x3  0,07 x4  0,18;

 x4  0,05 x1  0,11x2  0,09 x3  0,12 x4  1,44.
Порядок оформления отчёта
Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие
материалы по каждой задаче: 1) постановка задачи; 2) необходимый
теоретический материал; 3) результаты вычислительного эксперимента; 4) анализ полученных результатов; 5) графический материал.
Литература
1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные
методы для инженеров. М., Изд-во МЭИ, 2003.
2. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в
задачах и упражнениях. М., Высшая школа, 2000.
3. Волков Е. А. Численные методы. СПб., Лань, 2004.
4. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1989.
54