ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА .................................................................................................................. 1
Тема 1. Матрицы и определители................................................................................................. 2
1.1 Матрицы. Операции над матрицами ................................................................................. 2
Операции над матрицами .......................................................................................................... 2
1. Умножение матрицы на число. ............................................................................................. 2
2. Сложение матриц. ................................................................................................................... 3
3. Вычитание матриц. ................................................................................................................ 3
4. Умножение матриц. ................................................................................................................ 3
Свойства операций сложения и умножения матриц ............................................................ 3
Свойства операции транспонирования. .................................................................................. 4
1.2. Определители и их свойства............................................................................................... 4
Свойства определителей ............................................................................................................. 6
1.3. Обратная матрица ............................................................................................................... 7
1.4. Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы ........................................... 8
Линейная независимость строк матрицы ............................................................................. 10
Тема 2. Системы линейных уравнений ..................................................................................... 11
2.1. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными.................................... 11
2.2. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными................................... 14
1
Тема 1. Матрицы и определители
1.1 Матрицы. Операции над матрицами
Матрицы широко применяются для описания экономических объектов и процессов.
Определение. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, содержащая
m строк и n столбцов.
Элементами матрицы могут быть числа, буквы (символы) и другие объекты.
Обозначают прописными (заглавными) буквами A, B, C, …, элементы матрицы –
строчными буквами с двойной индексацией aij, где i - номер строки, j - номер столбца:
 a11 a12 ... a1 j ... a1n 


 a 21 a 22 ...a 2 j ... a 2 n 
...... ......  ...... 























 . Обозначают также A  ......  ......   ......  .
A 


 
mn
a a ....aij .... ain 
...... ......  ...... 
 i1 i 2

                   


 a m1 a m 2 ...a mj .. .a mn 
1) 1) Матрица-строка
 a11 


 a 21 
 ..... 
,
2) Матрица-столбец A  
 ai1 


 ..... 
a 
 m1 
4) 4) Квадратная матрица – если m  n
(например, n  2 )
 a11 a12 
 ,
A  
 a 21 a 22 
A=a11 a12 … aij … a1n,
3) 3) Нулевая матрица
 0 0 ... 0 


 0 0 ... 0 
0   ...........  ,
mn


 0 0 ... 0 


5) 5) Диагональная матрица
7) 6) Единичная матрица (например, 36) (например, 3-го порядка - здесь a11a 22 a33 го порядка)
1 0 0 
любые числа  0 )


8) E  E3   0 1 0  .
 a11 0 0 


 0 0 1
A  A3   0 a 22 0  ,


0

0
a
33 

Операции над матрицами
1. Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы A на число  называется матрица B    A ,элементы которой
bij    a ij для i  1,2,...m ; j  1,2,..., n .
5 1
 .
Пример 1.1. Вычислить 7А, если A  
3 4
2
 35 7 
 .
Решение. 7  A  
 21 28 
Если   0 , то A  0  0 (нулевая матрица того же размера).
2. Сложение матриц.
Суммой матриц A и B одинакового размера m n называется матрица C  A  B , элементы
которой cij  aij  bij для i  1,2,...m ; j  1,2,..., n .
2 3 0 
  1 7 8
 , B  
 .
Пример 1.2. Вычислить С = А + В, если A  
1 5 6 
 4 0 2
1 10 8 
 .
Решение. С  A  B  
5 5 8
3. Вычитание матриц.
Разность матриц одинакового размера определяется как A  B  A  (1)  B .
4. Умножение матриц.
Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов первой матрицы
равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц A  B
m k k  n
называется матрица C , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B :
k
сij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ai1b1 j  ...  aik bkj   aisbsj , где i  1,2,...m , j  1,2,..., n .
s 1
Пример 1.3. Вычислить произведение матриц A  B , где
  1 0 1


1 0 2 
 , B   5 1 4  .
A  
3 1 0 
 - 1 0 1


Решение. Найдем размер матрицы произведения A  B  C , следовательно, умножение
23 33
23
возможно.
1  (1)  0  5  2  (1) 1  0  0  1  2  0 1  1  0  4  2  1  - 3
 = 
C  
 3  (-1)  1  5  0  (-1) 3  0  1  1  0  0 3  1  1  4  0  1   2
0
1
3
.
7 
Свойства операций сложения и умножения матриц
A

B

B

A
1)
.
2)  A  B  C  A  B  C .
3)  ( A  B)  A  B .
4) A( B  C )  AB  AC .
5) ( A  B)C  AC  BC
6)  ( AB)  (A) B  A(B)
7) A( BC )  ( AB)C
8) AB  BA (в общем случае). Кроме того, если AB существует, то BA может вообще не
существовать.
9) AE  EA  A , где E - единичная квадратная матрица.
10) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. если
A  B  0 , то не следует, что A  0 или B  0 .
3
Пример 1.4.
1 1
 1 1
0 0
  0 , но A  B  
  0 .
A     0 , B  
1 1
  1 - 1
0 0
1.
Возведение в степень.
Целой положительной степенью
Am m  1
квадратной
матрицы
A
называют
произведение m матриц, равных A , т.е.
Am  
A 
A
 ...
A.

m раз
2.
Транспонирование матриц.
Транспонирование матрицы есть переход матрицы A к матрице A , в которой строки и
столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
 a11 a12 ... a1n 
 a11 a21 ... am1 




 a1 a22 ... a2 n 
a
a
...
a


12
22
m
2
A
, A  AT  
,

.........................
......................... 




a

 a a ... a 
 m1 am 2 ... amn 
mn 
 1n n 2
т.е. если A имеет размер m  n , то A имеет размер n  m .
1)
2)
3)
4)
( A)  A .
(A)  A .
( A  B)  A  B .
( AB)  BA .
Свойства операции транспонирования.
1.2. Определители и их свойства
Понятие определителя - числа, характеризующего квадратную матрицу A , необходимо
для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Определитель матрицы A обозначают A ,  , det A .
1) Определителем матицы 1-го порядка A  a11  , называется элемент a11 .
2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
a a
 2  A  11 12  a11  a22  a21a12 .
a21 a22
 2 3
 .
Пример 1.5. Вычислить определитель матрицы A  
 1 5
Решение.   A  2  5  1  3  7 .
3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
a11 a12 a13
 3  A  a21 a22 a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a31a22 a13  a32 a23a11  a33a21a12 .
a31 a32 a33
Данная формула получила название правила треугольников.
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться следующей схемой,
показывающей произведения каких элементов берутся со знаком “+”, а каких со знаком “-“:
4
1 1 1
Пример 1.6. Вычислить определитель 2 1 1 .
1 1 2
1 1 1
Решение. 2 1 1  1  1  2  (1)  1  1  2  1  1  1  1  1  1  1  1  2  2  (1)  5 .
1 1 2
4) Определитель квадратной матрицы n -го порядка (определитель n -го порядка).
Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка. Зачеркнем элемент матрицы, стоящий на
пересечении i -й строки и j -го столбца. В результате получается матрица порядка n  1 .
 a11 a12 ......a1n 


 a 21 a 22 ......a 2 n 
 ...................... 
.
A
 a i1 a i 2 ..a ij ..a in 


 ...................... 
 a a .... a 
nn 
 n1 n 2
Определение. Минором M ij элемента aij матрицы n -го порядка называется
определитель матрицы n  1 -го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i -й
строки и j -го столбца.
Пример 1.7. Определить для матрицы 3-го порядка M12 .
Решение. M12 
a21 a23
a31 a33
 a21a33  a31a23 .
Определение. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы n -го порядка
называется минор, взятый со знаком  1
i j
:
Aij   1 M ij .
i j
Пример 1.8. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы
1 1 1


A  2 1 1 .
 1 1 2


Решение.
A11   1
11
1 1
 1,
1 2
A12   1
1 2
2 1
 3 ,
1 2
5
A13   1
1 3
2 1
 1,
1 1
A21   1
1 1
 3,
1 2
A22   1
1 1
 1,
1 2
A23   1
1 1
 2 ,
1 1
A31   1
1 1
 2 ,
1 1
A32   1
1 1
1,
2 1
A33   1
1 1
 3.
2 1
2 1
3 1
2 2
3 2
23
3 3
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений
элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
n
  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain   ais Ais
s 1
(разложение по элементам i -й строки; i  1,2,..., n ).
n
  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj   asj Asj
s 1
(разложение по элементам j -го столбца; j  1,2,..., n ).
Пример 1.10. Вычислить определитель (см. пример 1.8) разложением по элементам
а) 1-й строки; б) 1-го столбца.
Решение. а)   a11 A11  a12 A12  a13 A13  1  1   1   3  1  1  5 ,
б)   a11 A11  a21 A21  a31 A31  1  1  2  3  1   2  5 .
Свойства определителей
1.
Если какая-либо строка (столбца) матрицы состоит из одних нулей, то ее
определитель равен 0.
2.
Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число
 ,то ее определитель умножится на это число  .
Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки
(столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех
элементов.
3.
При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: A  A .
4.
При перестановки двух строк(столбцов) матрицы ее определитель меняет знак
на противоположный.
5.
Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель
равен 0.
6.
Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее
определитель равен 0.
7.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на
алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.
8.
Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки
(столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно
умноженные на одно и то же число.
9.
Сумма произведений произвольных чисел b1 , b2 ,..., bn на алгебраические
дополнения любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной
заменой элементов этой строки (столбца) на числа b1 , b2 ,..., bn .
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их
определителей:
C  A  B , где C  A  B , а A и B - матрицы n -го порядка.
6
Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их
вычисления для определителей высоких порядков. При этом с помощью свойств 1-9
желательно преобразовать исходную матрицу таким образом, чтобы она имела строку
(столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом вычислить определитель,
разложенный по этой строке (столбцу).
1.3. Обратная матрица
Для каждого числа a  0 существует обратное число a 1 такое, что произведение
a  a 1  1. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.
Определение. Матрица A1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A ,
если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная
матрица:
A1  A  A  A1  E .
Только квадратная матрица может иметь обратную.
Определение. Матрица A является невырожденной (неособенной), если
A  0, в
противном случае при A  0 матрица A называется вырожденной (особенной).
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).
Обратная матрица A1 существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная
матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле
1 ~
A1  A ,
A
~
где A - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов
 А11 А 21  А n1 


~  А12 А 22  А n 2 
транспонированной матрицы, т.е. A  
.
 


А А  А 
2n
nn 
 1n
Алгоритм вычисления обратной матрицы.
1. Находим определитель исходной матрицы. Если A  0 , то матрица A - вырожденная и
обратной матрицы A1 не существует. Если A  0 , то матрица A невырожденная и
обратная матрица существует.
2. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A и составляем из них
~
присоединенную матрицу A .
1 ~
3. Составляем обратную матрицу по формуле A1  A .
A
4. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы A1 , исходя из ее определения:
A1  A  A  A1  E .
Пример 1.11. Найти матрицу, обратную данной:
7
1

A  2
1

1
1
1
1

1 .
2

Решение.
1) Определитель матрицы
1 1 1
А  2 1 1  2 1 2 11 4  5  0 .
1 1 2
2)
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них
~
присоединенную матрицу A :
11 1 1
2 1  1 1
3 1  1 1
A11   1 
1
A21   1 
3
A31   1 
 2
1 2
1 2
1 1
1
1 2 2
2 2 1 1
3 2 1 1
A12   1 
 3
A22   1 
1
A32   1 
1
1 2
1 2
2 1
1
1 3 2 1
23 1  1
3 3 1
A13   1 
1
A23   1 
 2
A33   1 
3
1 1
1 1
2 1
3  2
 1

~ 
A   3 1
1 .
 1 2 3 


2) Вычисляем обратную матрицу:
3  2   0,2
0,6  0,4 
 1
 

1 ~ 1
1
A  A   3 1
1     0,6 0,2
0,2  ,
A
5
 

 1  2 3    0,2  0,4 0,6 
3) Проверяем:
1
A A  AA1  E .
1.4. Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы
Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение
имеет понятие ранга матрицы.
В матрице A размером m n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно
вычленить квадратные матрицы k -го порядка, где k  min( m; n) . Определители таких
подматриц называются минорами k -го порядка матрицы A .
Например, из матриц A34 можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка.
Определение. Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля
миноров этой матрицы.
Обозначение: rangA или r  A .
Из определения следует:
1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. rang  A  min m; n .
2) r  A  0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. A  0 .
8
3) Для квадратной матрицы n -го порядка r  A  n тогда и только тогда, когда матрица A
- невырожденная.
Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы A , начиная с
наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными
преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы.
Элементарные преобразования матрицы:
1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).
2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число   0 .
3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих
элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
5) Транспонирование матрицы.
Определение. Матрица A , полученная из матрицы B при помощи элементарных
преобразований, называется эквивалентной и обозначается А В.
Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому
ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.
Матрица A называется ступенчатой если она имеет вид:
 a11 a12 ...a1r ...a1k 


 0 a22 ...a2 r ...a2 k 
, где aii  0 , i  1,2,...r , r  k .
A
......................... 


 0 0 ...a ...a 
rr
rk 

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк r , т.к. имеется
минор r -го порядка, не равный нулю:
a11 a12 ....a1r
0
a 22 ....a 2 r
...................
0 0 .....a rr
 a11  a 22  ...  a rr  0 .
Пример 1.12. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
 2 2

 1 1
A
1 1

 -1 -1

-5
1
2
2
-6
1
-1
3
- 7

-2
0

3 
1 1 1 2
1


 0  7 0  8  3
0 1 0  2
2


0 3 0 4 1 


 1 1

 2 2
 1 1

 -1 -1

1 1 -2 

- 5 - 6 - 7
2 -1 0 

2 3 3 
1 1 1 1  2 


0 1 0  2 2 
 0  7 0  8  3


0 3 0 4 1 


9
1

0
0

0

1 1 1 2

0  7  8  3
0 1  2 2

0 3 4 1 
1

0
0

0

1
1
0
0
1 1 2

0 2 2
0  22 11

0 10  5 
1

0
0

0

1
1
0
0
1 1  2

0  2 2
0  2 1

0 2  1
1

0
0

0

1
1
0
0
1 1  2

0  2 2
0  2 1

0 0 0 
1

0
0

0

1 1 1 2

1 2 0 2 
.
02 0 1

0 0 0 0 
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. rang  A  3 .
Линейная независимость строк матрицы
Дана матрица A размера m n
 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2 n 
.
A
 


a a  a 
mn 
 m1 m 2
Обозначим строки матрицы следующим образом:
l1  ( a11 a12  a1n ),
l 2  ( a 21 a 22  a 2 n ),
................................
l m  ( a m1 a m 2  a mn ).
Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции,
проводимые поэлементно:
l k  a k1 a k 2  a kn ,
l k  l s  ak1  a s1  ak 2  a s 2   akn  a sn  .
Определение. Строка l называется линейной комбинацией строк l1 , l2 ,ls матрицы, если
она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа
1, 2 ,, s :
l   1 l1   2 l 2     s l s .
Определение. Строки матрицы l1 , l2 ,, lm называются линейно зависимыми, если
существует такие числа  1 ,  2 , ,  m , не равные одновременно нулю, что линейная
комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
 1 l1   2 l 2     m l m  O , где O  0000 .
(1.1)
Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда,
когда все коэффициенты  i  0 , то строки l1 , l2 ,, lm называются линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно
независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки
(столбцы).
10
Тема 2. Системы линейных уравнений
2.1. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными
Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.
Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:
a11x1  a12 x2  ...  a1 j x j  ...  a1n xn  b1

a21x1  a22 x2  ...  a2 j x j  ...  a2 n xn  b2
.............................................................
,
(2.1)

ai1 x1  ai 2 x2  ...  aij x j  ...  ain xn  bi
.............................................................

am1 x1  am 2 x2  ...  amj x j  ...  amn xn  bn
a ij , bi
где
( i  1, 2, ..., m; j  1, 2, ..., n )
произвольные
числа,
называемые
коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений, соответственно.
Краткая запись:
n
a x
j 1
ij
j
 bi ( i  1,2,...m ).
Определение. Решением системы называется такая совокупность значений x1 , x2 ,, xn ,
при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
1) Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и
несовместной, если она не имеет решений.
2) Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет
единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они
имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).
Рассмотрим систему линейных уравнений, состоящую из n уравнений и n неизвестных:
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2
(2.2)

..........
..........
..........
..........
....

an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
Теорема Крамера. Пусть  - определитель матрицы A системы, а  j - определитель
матрицы, получаемой из матрицы A заменой j -го столбца столбцом свободных членов.
Тогда, если   0 , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x j  j , j  1,2,..., n - формула Крамера.

Пример 2.1. Решить систему уравнений по формулам Крамера
 x1  2 x2  x3  0

2 x1  x2  3x3  0
x  x  x  1
3
 1 2
11
Решение. Определитель матрицы системы
1 2 1
  2  1 3  5  0 . Следовательно,
1 1 1
система имеет единственное решение. Вычислим 1 ,  2 ,  3 , полученные из  заменой
соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов:
0 2 1
1 0 1
1 2 0
1  0  1 3  5,  2  2 0 3  5,  3  2  1 0  5.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
По формулам Крамера:



5
5
5
x1  1 
 1, x2  2 
 1, x3  3 
 1.
 5
 5
 5
Метод обратной матрицы. Запишем систему (2.2) в матричной форме:
A  X  B , где
 a11 a12 ...a1n 


 a21 a22 ...a2 n 
A
- матрица коэффициентов при переменных,
..................... 


 a a ...a 
 n1 n 2 nn 
 x1 
 
x 
X  2
- матрица-столбец переменных,
....
 
x 
 n
 b1 
 
b 
B 2
....
 
b 
 n
- матрица столбец свободных членов.
Умножим слева обе части равенства на матрицу A1 :
A1   A  X   A1B ;
A1  A  X  A1  B ;
E  X  A1  B ;
X  A1  B .
Таким образом, решение системы (2.2) в матричном виде X  A1  B .
Пример 2.2. Решить систему уравнений (смотри пример 2.1.) методом обратной матрицы.
 1 2  1
 x1 
0


 
 
Решение: Обозначим A   2  1 3  ; X   x2  ; B   0  .
1 1 1 
x 
1


 3
 


12
Тогда в матричной форме система имеет вид: A  X  B . Определитель матрицы A
1 2 1
5
 4  3


1
det A  2  1 3  5  0 , т.е. обратная матрица A1 существует: A 1 
2  5 .
 1
5
1 1 1
1  5 
 3
5   0
 4  3
 5    1




   
1
1
Определим X  A 1  B 
2  5   0  
 1
  5   1  ,
5
5   



1  5  1 
 3
  5  1 
x1  1, x2  1, x3  1.
Существенным недостатком решения систем n линейных уравнений с n переменными по
формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость,
связанная с вычислением определителей и нахождения обратной матрицы.
Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и
перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого
(или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру)
переменных, находятся все остальные переменные.
Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной
матрицей их коэффициентов Ap , получаемой приписыванием к матрице A столбца
свободных членов B :
 a11 a12  a1n b1 


 a 21 a 22  a 2 n b2 
.
Ap  
 


 a a a b 
nn
n 
 n1 n 2
Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида
(2.1).
Пример 2.3. Методом Гаусса решить систему:
2 x1  3 x 2  x  7

 x1  4 x 2  2 x3  1
 x  4 x  5
2
 1
Выпишем расширенную матрицу системы. Шаг 1. Поменяем местами первую и вторую
строки, чтобы a11 стал равным 1. Шаг 2. Умножим элементы первой строки на –2 и –1 и
прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом a11 в первом столбце
образовались нули. Шаг 3. Умножим элементы третьей строки на –0,5. Шаг 4. Поменяем
местами вторую и третью строки. Шаг 5. Поменяем местами второй и третий столбец. (Шаги
3, 4, 5 приведены с тем, чтобы a22  1 ). Шаг 6. Элементы второй строки умножим на 3 и
прибавим их к элементам третьей строки, тогда под элементом a22 появится нуль.
2  3 1  7 


1 4 2 1 
1  4 0  5 


1 4 2 1 


2  3 1  7 
1  4 0  5 


2 1 
1 4


 0  11  3  5 
0  8  2  4 


13
4
2 1 
1


 0  11  3  5 
0
4
1 2 

1
4
2 1 


4
1 2 
0
 0  11  3  5 


1
2
4 1 


1
4 2 
0
 0  3  11  5 


1 2 4 1 


0 1 4 2  .
0 0 1 1 


Расширенная матрица приведена к треугольному виду. Соответствующая ей система
имеет вид:
 x1  2 x3  4 x 2  1

 x3  4 x 2  2
x  1
 2
Из
последнего
уравнения
x2  1 ;
из
второго
x3  2  4 x2  2 ;
из
первого
x1  1  2 x3  4 x2  1  4  4  1.
Таким образом, x1  1, x2  1 , x3  2 .
2.2. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только
тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы:
r  A  r  A p  .
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:
Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r  n ,
то система имеет единственное решение.
Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r  n ,
то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.
Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок
которого равен рангу матрицы.
Определение. Те r неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного
минора, называются базисными (или основными), остальные n  r  неизвестных
называются свободными (или неосновными).
Решить систему уравнений в случае r  n - это значит выразить базисные переменные
через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все n  r 
свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным.
Пример 2.4. Решить систему методом Гаусса:
2 x1  x2  x3  x4  1

 x 2  x3  2 x 4  2
2 x  2 x  3x  3
2
4
 1
Решение. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к
элементам третьей строки элементы первой строки, умноженные на –1. А затем элементы
второй строки умножим на –1 и прибавим к элементам третьей строки:
2 1 1 1 1 
 2 1 1 1 1
 2 1 1 1 1






 0 1 1 2 2
 0 1 1 2 2 .
 0 1 1 2 2
 0 1 1 2 2
0 0 0 0 0
2 2 0 3 3 






Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду.
14
r  A  r Ap   2 . Так как ранг матрицы равен 2, а количество неизвестных равно 4, то
система имеет бесконечное множество решений. В качестве базисных неизвестных возьмем
2 1
 2  0 ),
x1 и x2 (т.к. определитель, составленный из их коэффициентов не равен нулю
0 1
тогда x3 и x4 - свободные неизвестные.
Выразим базисные переменные через свободные.
Из второй строки полученной матрицы выразим переменную x2 :
x2  x3  2 x4  2 , x2  2  x3  2 x4 .
Из первой строки выразим x1 : 2 x1  x2  x3  x4  1 ,
1
1
1
1
x1  1  x 2  x3  x 4   1  2  x3  2 x 4  x3  x 4     x3  x 4 .
2
2
2
2
Общее решение системы уравнений:
1
1
x1    x3  x4 , x2  2  x3  2 x4 .
2
2
15