Логические основы ПК

1
Логические основы ПК
Алгебра логики.
Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют,
упрощают и преобразовывают логические высказывания.
Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении
которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Логические связки "не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из
уже заданных высказываний строить новые высказывания.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок,
называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются
элементарными.
Существуют три основные логические операции:

Отрицание (инверсия, операция, выражаемая словом “не”). Инверсия высказывания
истина, когда само высказывание ложно, и ложно, когда высказывание истинно.

Дизъюнкция (логическое сложение, операция, выражаемая связкой “или”) двух или более
высказываний ложно тогда и только тогда, когда все простые высказывания, входящие в
неё, ложны.

Конъюнкция (логическое умножение, операция, выражаемая связкой “и”) двух или более
высказываний истинно тогда и только тогда, когда все простые высказывания, входящие в
неё, истины.
Существуют и другие логические операции.
1. Операция, выражаемая связками “если ..., то”, “из ... следует”, “... влечет ...”, называется
импликацией.
2. Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “...
равносильно ...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией.
3. Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание.
4. Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
Любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.
Формулы, принимающие значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них
переменных называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.
Формулы, принимающие значение “ложно” при любых значениях истинности входящих в них
переменных , называются тождественно ложными формулами или противоречиями.
Две формулы при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимающие
одинаковые значения, называются равносильными.
Элементы математической логики. Законы логики. Упрощение логических формул.
Логика — наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних
высказываний на основе истинности или ложности других высказываний (утверждений).
Математическая логика — современная форма логики, опирающаяся на формальные
математические методы.
Основные объекты логики — высказывания, то есть предложения, которые могут быть либо
истинными, либо ложными.
2
Существуют такие наборы логических функций, с помощью которых можно выразить любые
другие логические функции.. Наиболее известный — это набор функций И, ИЛИ, НЕ.
Функция штрих Шеффера является базисной, также как и функция стрелка Пирса.
Поэтому, с помощью логических элементов ИЛИ - НЕ или И - НЕ можно собрать любую
логическую схему. На таких элементах собран микропроцессор компьютера и другие
логические устройства. Логические схемы состоят из логических элементов, осуществляющих
логические операции.
Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и
преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или
приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.
Под упрощением формулы понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле,
которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и
дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее
число вхождений переменных.
Логические элементы и логические функции.
Логическая функция — это функция логических переменных, которая может принимать
только два значения: 0 или 1.
Логический элемент — это устройство, реализующее ту или иную логическую функцию. Y =
f(X1,X2,X3,...,Xn) — логическая функция, может быть задана таблицей, которая называется
таблицей истинности.
Логические функции одной переменной
Таблица истинности функции одной переменной Y=f(X) содержит всего 2 строки, а число
функций одной переменной равно 4.
1. Функция константа 0, Y=0. Техническая реализация этой функции — соединение вывода Y
с общей шиной с нулевым потенциалом.
2. Функция Y= f(X) = X — функция повторения. Техническая реализация этой функции —
соединение между собой выводов X и Y.
3. Функция Y=f(X)=NOT(X) — отрицание НЕ или инверсия (NOT(X) — это НЕ X). (инвертор
на любом транзисторе или логическом элементе, или транзисторный ключ).
4. Функция константа 1, Y=1. Техническая реализация этой функции — соединение вывода Y
с источником питания.
Важнейшей функцией одной переменной является отрицание НЕ, остальные функции
являются тривиальными.
Логические функции двух переменных
Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция): Y= X1 + X2 = X1VX2
Логическое И (логическое умножение, конъюнкция, схема совпадений): Y = X1X2 = X1&X2
Логический элемент ИЛИ-НЕ
Функция (И-НЕ): Y = X1|X2 = NOT(X1X2)
Элемент памяти триггер. Сумматор.
Триггер — это логическое устройство, способное хранить 1 бит информации. К триггерам
относятся устройства, имеющие два устойчивых состояния. Простейший триггер — RSтриггер, образован из двух элементов И-НЕ (или ИЛИ-НЕ).
3
В обычном (исходном) состоянии на входы триггера поданы 1. Для записи информации на
вход R подан 0. Для сброса информации и подготовки к приёму новой информации на вход S
подается 0 и триггер вернётся в исходное состояние.
Один триггер запоминает 1 бит информации, для запоминания 1 байта (8 бит) нужно 8
триггеров.
Сумматор — это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.
Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения много разрядных
двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров.
Одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами.
Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать
последовательное соединение таких сумматоров.
Функциональные схемы. Таблицы истинности.
Функциональная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего
из основных элементов и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на
которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.
Равносильными схемы — если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он
проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).
Из двух равносильных схем более простой считается та схема, которая содержит меньшее
число логических операций или логических элементов.
Для этого нахождения среди равносильных схем наиболее простых надо: составить таблицу
истинности данной схемы, упростить ее.
1. Определить количество входных наборов значений переменных по формуле Q=2n, где
n-количество входных переменных, для двух переменных Q=4. для трех Q=8 и т.д.
2. Определить порядок выполнения операций в формуле.
3. Найти значения промежуточных формул и конечного результата.