Алгебра высказываний

Алгебра
высказываний
А  В  А  В;
А  В  А  В.
Январь 2001
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
1. Объекты и операции алгебры высказываний
Знакомство с аппаратом математической логики мы построим так, чтобы
приобретенные сведения можно было использовать для достижения нашей
главной цели,— научиться моделировать — т. е. перепоручать нашу работу
машинам. В частности, мы имеем в виду научиться конструировать такие
устройства, которые смогут заменять числа одной системы счисления равными
им числами другой системы, образовывать специальные двоичные коды,
выполнять действия над кодами и многое другое.
В связи со сказанным изучение математической логики будет ограничено.
Мы ознакомимся только с одним из ее разделов — алгеброй высказываний.
Высказывание — это истинное или ложное повествовательное предложение.
Повествовательное предложение, в котором говорится об одном единственном
событии, называется простым высказыванием. Например:
1. Луна—планета Солнечной системы.
2. 338 • 11.
3. 8 — простое число.
Предложения «Будь осторожен!», «Справишься ли ты с заданием?» не
являются высказываниями и, следовательно, рассматриваться не будут.
Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если
высказывание А истинно, будем писать А = 1, если ложно, то А = 0.
В алгебре высказываний определены действия над высказываниями,
выполняя которые мы получаем новые высказывания.
Определение 1. Объединение двух или нескольких высказываний
в одно с помощью союза и называется операцией логического
умножения, или конъюнкцией.
Например:
если высказывание
А : 8 — простое число,
В : 2 • 2 = 4,
То
А В : 8 — простое число и 2 • 2 = 4.
Истинность логического произведения устанавливается с помощью
таблицы:
А
В
А•В
1
1
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Логическое произведение истинно только в том случае, если истинны оба
входящих в него простых высказывания.
Определение 2. Объединение двух или нескольких высказываний
в одно с помощью союза или, употребляемого в не исключающем
смысле, называется
дизъюнкцией.
операцией
логического
сложения,
или
Например:
если А:
Спортсмены находятся в спортзале,
В:
Спортсмены играют в баскетбол,
то А + В: Спортсмены находятся в спортзале или спортсмены играют в
баскетбол.
Таблица истинности для суммы высказываний имеет вид:
А
В
А+В
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Таким образом, сумма истинна только тогда, когда истинно хотя бы одно из
слагаемых.
Определение 3. Присоединение союза не к
некоторого высказывания или слова неверно
высказыванию называется операцией отрицания.
сказуемому
ко всему
Например:
если А —«Идет дождь», то отрицанием А (Ā) является высказывание «Дождь не
идет». Отрицанию соответствует таблица:
А
1
0
Ā
0
1
Соединение высказываний союзом тогда и только тогда, когда определяет
операцию эквивалентность, которой соответствует таблица:
А
В
А↔В
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Операция, при помощи которой высказывания объединяются связкой если..., то,
называется импликацией
А
В
А→В
3
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
75. Какие из следующих предложений не являются объектами алгебры
высказываний:
1. Войдите!
2. Река Волга длиннее реки Оби.
3. Не курить!
4. Трижды семь больше, чем дважды двенадцать
5. Пожалуйста, впустите!
6. Число 73 имеет четыре простых делителя.
7. Который час?
8. 2х— 5 > 11.
76. Дано высказывание: «Музыку к балету «Гайане» написал А. Хачатурян».
Если в этом высказывании сменить фамилию автора, будет ли новое
высказывание объектом алгебры высказываний?
77. Приведите высказывания, записанные в виде формулы и в виде фразы,
которые не являются объектами алгебры высказываний.
78. Даны высказывания «Семь больше девяти» и ;Баку — столица Армении».
Составьте из этих высказываний логическое произведение и определите его
истинность.
79. Истинное логическое произведение состоит из трех простых
высказываний: А, В и С. Известно, что А и В истинны. Может ли высказывание
С быть одним яз следующих:
1. Дважды три—семь.
2. Слоны живут в Африке и Индии.
3. 5х + 3 = 11Х?
80. Дано высказывание: «Сережа закончил тренировку, идет по улице и
подбрасывает мяч». Выделите простые высказывания, обозначьте их буквами и
запишите составное высказывание в виде формулы.
81. Какие два из следующих высказываний, соединенных союзом или,
образуют ложную логическую сумму:
1. Утки зимуют на юге.
4
2. Трижды три — семь.
3. «Горе от ума» — написал А. С. Грибоедов.
4. Три—делитель числа 56?
82. Выделите высказывания, не являющиеся логической суммой:
1. Корнем квадратного уравнения является число а или число Ь.
2. Перед нами портрет Матвеева или Соколова.
3. Семь — делитель числа а и числа Ъ.
4. Председателем отряда изберут Володю или Сережу.
83. Даны высказывания «3 < 11» и «3 < 7 < 15». Какое из них является
логическим произведением?
84. Даны высказывания: А—Петя едет в автобусе, В; — Петя читает книгу,
С—Петя смотрит в окно. Составить формулы следующих сложных
высказываний:
1. Неверно, что Петя едет в автобусе и неверно, что он читает книгу.
2. Неверно, что Петя, находясь в автобусе, читает книгу или смотрит в окно.
3. Петя не едет в автобусе, но при этом читает книгу или не смотрит в окно.
4. Петя не едет в автобусе, не смотрит в окно — он только читает книгу.
85. Запишите в виде формулы фразу «Если Алеша решит задачу, то и Володя
решит ее; если же Алеша не решит задачи, то об успехе Володи ничего
определенного сказать нельзя,— он может решить, а может и не решить».
(Использовать импликацию не разрешается).
86. Запишите в виде формулы фразу: «Если Ваня и Алеша проголосуют «за»,
то и Сережа поступит так же. В случае противоположного мнения у Вани и
Алеши — о мнении Сережи ничего определенного сказать нельзя».
(Использовать импликацию не разрешается).
2. Тождественные преобразования над высказываниями
Высказывания, образованные при помощи операций логического сложения и
умножения, отрицания, импликации и эквивалентности, будем называть
сложными. Истинность всякого сложного высказывания устанавливают с
помощью таблиц, данных при определении логических операций. Например,
истинность высказывания С → АВ можно установить с помощью следующей
таблицы:
А
В
С
АВ С→АВ
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Данная таблица, без промежуточного результата (столбца, расположенного
под А В), является таблицей истинности сложного высказывания С → АВ.
Высказывания, у которых совпадают таблицы истинности, называются
равносильными. Например, из таблицы
А
В
А+В В+А
5
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
следует равносильность высказываний, записанных формулами А + В и В + А.
Для обозначения равносильных высказываний будем использовать знак = Таким
образом, А + В = В + А.
При тождественных преобразованиях формул алгебры высказываний можно
заменять высказывания, входящие в формулу, равносильными.
Сложные высказывания, истинные для любых значений истинности
входящих в них простых высказываний, называются тождественно истинными.
Формулы таких высказываний называются тождественно истинными.
Примеры тождественно истинных формул:
А  А  1; А  А  1.
Тождественно ложными назовем формулы, принимающие значение 0 для
любых значений истинности входящих в него простых высказываний, например:
А  А  0; А  А  АВ  0.
Тождественно истинные и тождественно ложные высказывания заменяются в
формулах соответственно единицей или нулем, например:
В  АА  В  0; С  ( В  В )  С  1.
Свойства отдельных операций
Логическое умножение
Логическое сложение
А•В = В•А
(А•В) •С = А•(В•С)
А•А = А
А•1 = А
А•0 = 0
А+В = В+А
А+(В+С) = (А+В)+С
А+А = А
А+1 = 1
А+0 = А
Отрицание
А  В  А  В;
А  В  А  В;
А  В  А  В;
А  А.
Операция отрицания не обладает распределительным свойством относительно
логического сложения и умножения. Имеют место формулы де Моргана:
А  А;
А  В  А  В;
1  0;
А  В  А  В.
0  1.
Импликация
3. А → (В • С) = (А → В) • (А → С);
А → (В + С) = (А → В) + (А → С);
А → (В↔С) = (А → В)↔(А → С);
А → (В → С) = (А → В) →(А → С).
4. А ↔ (В • С) ≠ (А ↔ В) • (А ↔ С);
А ↔ (В + С) ≠ (А ↔ В) + (А ↔ С);
А ↔ (В→С) ≠ (А ↔ В) → (А ↔ С);
А ↔ (В + С) ≠ (А ↔ В) ↔ (А ↔ С).
5. А  В  А  В;
Эквивалентность
А  В  В  А;
А  В  В  А;
А  ( В  С)  ( А  В)  С;
А  ( В  С)  ( А  В)  С;
А  1  1;
А  1  А;
А  0  А;
А  0  А;
А  А  1.
А  А  1.
Взаимные распределительные свойства.
1. А • (В+С) = А • В + А • С
А • (ВС) = А • В А • С
6
А • (В С) =А •В А • С
А • (В • С) = А • В • С.
2. А + (В • С) = (А + В) • (А + С);
А + (В↔С) = (А + В) ↔(А + С);
А + (В→С) = (А + В) →(А + С);
А + (В + С) = А + В +С.
Рассмотрим формулы, содержащие только знаки операций сложения, умножения
и отрицания. Используя формулы де Моргана, мы можем всякую такую формулу
записать так, чтобы знак отрицания распространялся только на простые
высказывания (отдельные буквы), входящие в эту формулу.
Запомним важное замечание, относящееся к формулам рассматриваемого вида:
Если в формуле, над которой стоит знак отрицания, все знаки + заменить на
знаки • и наоборот, все простые высказывания заменить их отрицаниями, снять
отрицание над данной формулой, то полученная формула будет равносильна
данной. Например:
1. А  В  С  А  В  С.
2. А  В  С  А  ( В  С).
7
Большое значение имеет также
Закон двойственности
Если х равносильно у, где х и у—формулы указанного вида, то при замене в
каждой из них всех знаков +, знаком Х и наоборот, символов 1 символами 0 и
наоборот, равносильность сохраняется. Например:
1. Из равносильности:
А • (В+С) =А•В+А•С
вытекает:
А + В•С = (А + В) • (А + С).
2. Из равносильности
А + 1 =-- 1
вытекает:
А • 0 = 0.
87. Среди следующих высказываний выберите тождественно ложно:
Х 1  ( А  В)  ( А  А);
Х 2  ( А  В)  ( А  В)  А;
Х 3  ( А  В)  А  В.
88. Среди следующих высказываний выберите тождественно истинно:
93. Обладает ли логическое умножение распределительным свойством
относительно эквивалентностью и наоборот? Выразите требуемые соотношения
формулами и проверьте их равносильность.
94. Обладает ли логическое сложение распределительным свойством
относительно эквивалентность?
95. Обладает ли операция отрицания распределительным свойством
относительно эквивалентность?
96. Даны два высказывания:
1. Сейчас идет дождь, а гром не гремит.
2. Сейчас не идет дождь или сейчас гремит гром. Как изменить второе
высказывание, чтобы оно оказалось равносильным первому?
97. Доказать, что высказывания А↔В и
1  А  В  А  В равносильны.
98. Доказать, что высказывания А → В и
Х1  ( А  С)  А  С;
0  А  В  А  В неравносильны.
Х 2  А  В  ( А  В);
99. Доказать, что высказывания А → AB и Ā + В равносильны.
100. В какой из следующих формул знак = использован правильно:
Х 3  ( А  А)  ( А  С  А  С).
а ) А  В  ( А  В)  ( В  А);
89. Данные высказывания запишите, используя только операции дизъюнкции и
отрицания:
Х 1  ( А  В )  А  В;
Х 2  А  В  С  А  С;
Х 3  А  В  А  С  ( А  В ).
Х 1  А  В;
Х 2  А  В  А  В  С;
Х 3  А  В  С  В  С  А.
91. Какие высказывания в каждом из двух наборов равносильны:
а ) х1  А  В; х 2  А  В; х 3  А  В; х 4  А  В;
б ) х1  А  В  С; х 2  А  В  А  В  С; х 3  ( А  В)  С ?
92, В какой из формул знак равно использован правильно:
б)
в ) А  В  В  ( А  В )?
8
90. Данные высказывания запишите, только операции конъюнкции и отрицания:
а)
б ) А  В  А  ( В  А)  В;
101. В какой из следующих формул знак = использован неправильно:
а ) А  В  А  В; в) А  В  В  А;
б ) А  В  А  В;
г ) А  ( В  С)  А  В  С ?
102. Данные формулы преобразуйте
использовалась операция импликации:
а ) ( А  В )  А; в )
А  В  С  В;
б ) А  В  С;
А  В  С  Е.
г)
в
равносильные
так,
чтобы
не
103. Данные формулы преобразуйте в равносильные, введя операцию
импликации (ответ может быть многозначным):
9
а ) АВ  С; в ) А  ВС; д) АС  В;
б)
АС;
г ) ( А  В )  С; е) ( А  В )  С.
А  В  А  В  А  В;
3. Минимизация формул алгебры высказываний
А  В  А В  А В?
Сложное высказывание является результатом действий над простыми
высказываниями. Формула сложного высказывания помогает лучше рассмотреть
связи между простыми высказываниями, входящими в сложное. Используя
основные свойства операций алгебры высказываний, можно одну формулу
заменять другой, ей равносильной.
Позже мы воспользуемся этим в практических целях. А сейчас рассмотрим
специальное преобразование формул, которое называется минимизацией формул
алгебры высказываний.
Определение. Преобразование формулы алгебры высказываний в равносильную
ей так, чтобы новая формула содержала наименьшее число букв, называется
минимизацией, формулы алгебры высказываний.
Рассмотрим один из многих способов минимизации. Минимизацию
произвольной формулы осуществим в два этапа. На первом этапе данную
формулу запишем в совершенной дизъюнктивной нормальной форме {СДНФ).
На втором этапе СДНФ подвергнем преобразованиям, результатом которых и
будет минимальная форма записи данной формулы. Для этого необходимо
применить следующий алгоритм:
1. Если данная формула содержит операции импликации и эквивалентность, то
их следует выразить через операции логического сложения, умножения и
отрицания.
2. Если данная формула содержит отрицания сложных высказываний, то,
пользуясь формулами де Моргана, ее следует преобразовать так, чтобы
отрицание распространялось только на простые высказывания.
Например:
АВ  С  АВ  С  ( А  В )  С;
Результат (5) есть СДНФ формулы данной первоначально в (1).
Получение СДНФ — первый этап всего процесса минимизации. На втором
этапе мы будем использовать геометрические модели высказываний, уже
записанных в СДНФ. В качестве моделей используем многомерные кубы. При
этом формулы, содержащие более четырех простых высказываний,
рассматривать не будем.
Заметим, что существуют и другие важные формы записи формул. Например,
всякая формула приводима к конъюнктивной нормальной форме (КНФ), которая
представляет собой произведение сумм простых высказываний (или их
отрицаний), а также к совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ).
Примером СКНФ является высказывание (А+В) • (А+ В ) • (Ā+В)
К обеим совершенным формам записи (СДНФ и СКНФ), содержащим два
простых высказывания, применимо следующее преобразование:
или в силу закона двойственности (А+В) •(А+ В )=А, называется склеиванием.
К некоторым нормальным формам применимо преобразование, называемое
поглощением:
11
А+А•В=А, или А•(А+В)=В.
Алгоритм минимизации
три простых высказывания
1. Записать данную формулу в СДНФ.
2. Формулу, записанную в СДНФ, нанести
на трехмерный куб, т. е. каждому
( А  С )  В  С  АСВ  С;
( 2)
10
слагаемому
СДНФ
поставить
в
соответствие
одну
вершину
куба
(отметить
АВ  С  В  АВ  С  В  АВ  С  В. (3)
эти вершины).
3. Затем в полученной формуле нужно раскрыть все скобки так, чтобы вся запись
3. Если отмеченными окажутся все
представляла сумму произведений простых высказываний (или их отрицании).
вершины куба, то данное высказывание
формула алгебры высказываний, представляющая собой сумму произволении
тождественно истинно.
простых высказываний (или их отрицании), называется дизъюнктивной
4. Если отмечены все вершины какойнормальной формой записи высказывания (ДНФ).
нибудь грани, то сумму четырех слагаемых,
Например, формула (1) после раскрытия скобок представляет собой ДНФ:
отмечающих вершины грани, заменить
( А  В)  С  АС  ВС.
( 4)
одной буквой — названием грани.
5. Если отмечены вершины какого-нибудь
Правые части равенств (2) п (3) также являются ДНФ.
ребра, то сумму двух трехбуквенных
4. Все полученные ДНФ следует преобразовать в СДНФ, отличающуюся от ДНФ
слагаемых, отмечающих ребро, заменить
тем, что в ней каждое слагаемое (помним, что оно есть произведение) содержит
двухбуквенным слагаемым — названием
все простые высказывания (или их отрицания), входящие в формулу.
ребра.
СДНФ, например, для формулы (4) будет АС  ВС Умножим первое слагаемое
Чтобы получить минимизированную
А С на 1 = В + В , а второе, В С ,—на 1 = А+ Ā и получим
формулу, выбирайте ребра,
вершины
так,
чтобы
АС  ВС  АС( В  В )  ВС( А  А)  АВС  АВС  АВС  АВС  АВС  АВС  покрывающие
АВС (5)
меньшим числом ребер покрыть все
отмеченные вершины. Например:
(1)
А•В +А• В =А,
формул, содержащих
Минимизировать формулу
х2=А В С+АВ С + В С+ ĀС;
х3=АС+А С + Ā С.
АВС АВС АВС АВС АВС
х




,
1
2
3
4
5
106. Какие из следующих формул не записаны в СКНФ:
данную в СДНФ.
Так как: 1) вершины 1, 2, 4, 5 принадлежат одной
грани А, 2) вершины 3, 5 принадлежат ребру ВС,
х1=(А+В) •( Ā+В) • С ;
х2=(А+ С )•( Ā +С)•(А+С);
х3=(А+ С )•(А+ В )•(Ā+С).
значит, можем написать: х = А + В С (рис. 1).
Ниже приводим чертежи трехмерного и
четырехмерного кубов и названия некоторых
их ребер, граней п подкубов. На рис. 2 показан
трехмерный куб. Его
грани: ребра:
(1,2,3,4) – А;
(5,6,7,8) – Ā;
(1,2,5,6) – С;
(3,4,7,8) - С ;
(2,4,6,8) - В ;
(1,5,3,7) – В.
(1,2) – АС;
(1,3) – АВ;
(1,5) – ВС;
(2,4) - А В ;
(2,6) - В С;
107. Записать СДНФ тождественно истинного высказывания и СКНФ
тождественно ложного высказывания, составленных из простых высказываний А
и В.
108. Из простых высказываний:
А — Виктор хороший пловец;
В — Виктор хорошо ныряет;
С – Виктор хорошо поёт – составлена фраза, формула которой имеет вид х=(
Ā + В +С) •( Ā + В ). Установить, равносильно ли высказывание х
Рис. 3
х1  АВ  АВС;
На рис. 3 показан четырехмерный куб. Его подкубы:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)—А;
(1, 2, 5, 6, 9, 10, 11. 12)—С;
грани: ребра:
(1,2,3,4) - А D ;
(11,12) - Ā С D ;
(5,6,7,8) – АD;
(11,10) - Ā В С;
(5,6,9,10) – СD; и тд.
(2,5) - А В С и тд.
12
104. Используя законы де Моргана, преобразуйте формулы данных
высказываний так, чтобы отрицание не распространялось на сложные
высказывания:
а ) АВ  С;
д) АВС  АС;
б ) ( А  В )  ( А  В  С );
е) АВ  ( В  С)  АВС;
в ) АВ  АС  ( В  С );
ё) АВС  А  ( В  С);
г ) А  ( ВС  А);
ж ) АВ  АС.
105. Какая из следующих формул записана в СДНФ:
х1= ĀВ+ ĀС+А В ;
высказыванию D – Виктор хороший пловец и он хорошо поет.
109. Данные высказывания записать в СДНФ:
х 2  АВ  АС  АВС;
х 3  АВС  АВ  АС.
А
А
1
ВС
А
2
ВС
3
ВС
Рис 4
110. Дана СДНФ: х=А В С+ Ā В С+А В С +АВС. Какая из моделей
показанных на рис. 4 ей соответствует?
111. Дана модель куба с отмеченными вершинами (рис. 5). Какая из
приведенных СДНФ ей соответствует:
а) х1=АВС+ Ā В С+ ĀВ С ĀВС;
б) х2=ĀВС+АВС+А В С+А В С ;
в) х3=Ā В С+А В С +ĀВС+АВ С +АВС
г) х4= ĀВС+А В С +Ā В С+ Ā В С +АВС
112. Сформулируйте принцип присваивания названий граням и ребрам
трехмерного куба.
113. Сформулируйте принцип присваивания названий ребрам, граням и
подкубам четырехмерного куба.
114. Дана модель четырехмерного куба (рис.6). На ней отмечены вершины,
соответствующие сложному высказыванию , содержащему 4 простых. Составить
формулу этого сложного высказывания.
115. Сформулируйте правила, по которым проводится минимизация на
четырехмерном кубе. Нет ли другого способа изображать функции четырех
переменных?
116. Найти минимальные формы высказываний, используя геометрический
метод:
х1  АС  АВ;
х 2  АВС  ВСD  ( А  С );
2
1
7
6
8
9
3
А
А5
Рис. 5
В С
х1  А  В  А  В;
х 2  А  В  С  А  С;
х 3  А  В  А  С  А  В;
90. х1  АВ; х 2  АВ  АВ  С; х3  АВС  ВС  А.
91. Равносильны высказывания а) х1 и х2; б) х1 и х3.
96. х1  Д Г ; х 2  Д  Г ; х1  х 2.
102. Образец решения примера а): ( А +В)→А=А В +А=А.
103. а) А В +С=( А +В) →С.
15
104. а) АВ  С  ( А  В)  С;
х 3  АВD  ( А  С )  ( В  АС ).
10
87. Тождественно ложным является высказывание х2=(А+В)∙(А+ В )∙ А .
88. Тождественно истинным является высказывание х3=(А+ А )∙(АС+ А + С ).
89.
14
4
Рис. 6
В С
Ответы и решения
75. 1., 3., 5., 7., 8.
76. да.
78. «Семь больше девяти и Баку – столица Армении» является ложным
высказыванием.
79. Да. Высказывание «Слоны живут в Африке и Индии».
80. х = АВС, где А – Сережа закончил тренировку, В – Сережа идет по улице, С –
Сережа подбрасывает мяч.
81. Высказывания 2 и 4, т.к. они оба ложны.
82. Высказывания 2 и 4, т.к. союз или в них употребляется в разделительном
смысле.
84. х1  АВ; х 2  А( В  С ); х 3  А( В  С ); х 4  АВС.
85. Фраза, формулу которой нужно составить говорит о трех возможных
событиях: АВ, А В, А В . Формула имеет вид: х=АВС+ А В С+ А В С
86. х1 = АВС + А В С + А В С
ж) АВ  АС  ( А  В )  ( А  С ).
105. В СДНФ записано высказывание х3.
109. Пример того, как следует решать задачу:
х3=АВС+ А В (С+ С )+ А С(В+ В ) = АВС+А В С+А В С + А ВС+ А В С.
110. Приведенной формуле соответствует модуль 2.
111. Приведенной модели соответствует формула В.
114. х= А В С D + АВС D + АВ С D + А В С D + А В С D + А В СD + АВСD
+ АВ С D + А В С D + А В С D.
116. Находим в качестве примера минимальную формулу де Моргана, снимем
отрицания над сложными высказываниями: х1  АС  АВ  ( А  С)  ( А  В).
Полученную формулу запишем в СДНФ:
х1= А В +А С + В С =
А В (С+ С )+А С (В+ В )+ В С (А+ А )=
А В С+ А В С +АВ С +А В С +А В С + А В С =
А В С+ А В С +АВ С +А В С ;
х1= А В +А С .
Можно произвести проверку с помощью таблиц.