ациональный исследовательский университет овосибирский государственный университет

Приложение 3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Национальный исследовательский университет
Новосибирский государственный университет
Механико-математический факультет
УТВЕРЖДАЮ
_______________________
«_____»__________________201__ г.
Рабочая программа дисциплины
Методы оптимизации
Направление подготовки
Error! Reference source not found.
Профиль подготовки
Error! Reference source not found.
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Новосибирск 2010
Аннотация рабочей программы
Дисциплина «Методы оптимизации» является частью математического цикла ООП
по направлению подготовки «Error! Reference source not found.», профиль «Error!
Reference source not found.». Дисциплина реализуется на Механико-математическом
факультете
Национального
исследовательского
университета
Новосибирский
государственный университет кафедрой Программирования ММФ НИУ НГУ.
Содержание дисциплины охватывает круг вопросов, связанных с решением
оптимизационных задач, прежде всего задач линейного и выпуклого программирования.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК-6, ОК-8,
ОК-11, ОК-12, профессиональных компетенций ПК-12, ПК-20, ПК-21, ПК-25, ПК-29
выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: лекции, практические занятия, контрольная работа, самостоятельная
работа студента.
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме контрольной работы, промежуточный контроль в форме
зачета. Формы рубежного контроля определяются решениями Ученого совета,
действующими в течение текущего учебного года.
Общая трудоемкость дисциплины составляет ? зачетных единиц, 86 академических
часов. Программой дисциплины предусмотрены 32 часа лекционных, и 18 часов
практических занятий, а также 32 часа самостоятельной работы студентов. Остальное
время – контроль в форме контрольной и зачета.
2
1. Цели освоения дисциплины
Курс ставит своей целью овладение студентами современными методами решения
задач оптимизации.
Данный курс знакомит студентов с постановкой и методами решения задач
математического программирования, прежде всего задач линейного и выпуклого
программирования, а также численными методами условной и безусловной оптимизации.
Такие задачи часто возникают в различных практических приложениях.
Основные цели дисциплины включают в себя обучение студентов основным методам
решения оптимизационных задач, навыкам решения задач линейного и выпуклого
программирования.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Методы оптимизации» является частью математического цикла ООП по
направлению подготовки «Error! Reference source not found.», профиль «Error!
Reference source not found.».
Дисциплина «Методы оптимизации» опирается на следующие дисциплины данной
ООП:
 Математическая логика (формализация методов рассуждений, логические связки,
аксиоматические модели);
 Теория алгоритмов (понятие временной сложности алгоритма);
 Алгебра (системы линейных уравнений);
 Математический анализ (основы дифференциального и интегрального исчисления).
Результаты освоения дисциплины «Методы оптимизации» используются в следующих
дисциплинах данной ООП:
 Исследование операций.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
«Error! Reference source not found.»:
 общекультурные компетенции: ОК-6, ОК-8, ОК-11, ОК-12;
 профессиональные компетенции: ПК-12, ПК-20, ПК-21, ПК-25, ПК-29.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 иметь представление о задачах оптимизации;
 знать основные методы решения оптимизационных задач;
 уметь решать задачи линейного и выпуклого программирования.
3
2
2
2
2
2
0
2
Зачет
Самост. работа
1
Контр. работа
Практическое
занятие
1.1 Общая постановка задачи оптимизации.
6
Общие методы решения задач оптимизации,
метод исключения, метод неопределенных
множителей Лагранжа. Постановка задач
линейного и выпуклого программирования.
1.2 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые
6
множества. Проекция и ее свойства.
Теоремы отделимости. Конус. Теорема
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость
Формы текущего контроля
(в часах)
успеваемости
(по неделям семестра)
Форма промежуточной
аттестации
(по семестрам)
Лекция
Раздел дисциплины
Семестр
№ п/п
Неделя семестра
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2,5 зачетные единицы, 49 часа.
Фаркаша.
2.1 Выпуклые и сильно выпуклые функции, их
экстремальные свойства. Критерий сильной
выпуклости. Теорема о существовании и
единственности оптимального решения.
2.2 Выпуклая оптимизация. Условия Слейтера.
Функция Лагранжа. Седловая точка и
условия ее существования.
Достаточный критерий оптимальности
задачи выпуклого программирования.
2.3 Теорема Куна-Такера. Ее применение.
2.4 Эквивалентные критерии оптимальности.
Критерий оптимальности задачи выпуклого
программирования с линейными
ограничениями.
3.1 Задачи линейного программирования.
Общая, каноническая и стандартная форма.
Их эквивалентность. Основные свойства
задачи. Базисные и базисные допустимые
решения. Существование оптимального
базисного решения. Критерий
разрешимости задачи линейного
программирования. Геометрический метод
решения ЗЛП.
3.2 Элементарные преобразования базиса.
Симплекс-метод. Свойства симплексметода. Вырожденность и конечность
симплекс-метода. Лексикографический
вариант симплекс-метода.
Рандомизированный симплекс-метод.
Метод искусственного базиса.
3.3 Двойственность в задачах линейного
программирования. Теоремы
двойственности. Двойственный симплексметод, его применение.
3.4 Алгоритмическая сложность. Метод
эллипсоидов.
4.1 Численные методы решения задач
оптимизации. Понятие о скорости
сходимости. Методы нулевого, первого и
второго порядков. Градиентные методы.
4.2 Метод наискорейшего спуска. Метод с
регулировкой шага. Теоремы о сходимости
градиентных методов. Метод Ньютона.
Теорема о квадратичной скорости
сходимости.
4.3 Метод Ньютона. Теорема о квадратичной
скорости сходимости. Метод
покоординатного спуска. Теорема о
сходимости. Метод возможных
направлений. Теорема о сходимости метода.
4.4 Метод возможных направлений. Теорема о
сходимости метода. Метод штрафных
функций. Теорема о сходимости метода
4.5 Метод сопряженных направлений. Теоремы
о сходимости.
6
3
2
2
2
6
4
2
0
2
6
6
5
6
2
2
0
2
2
2
6
7
2
0
2
6
8
2
2
2
6
9
2
0
2
6
10
2
2
2
6
11
2
0
2
6
12
2
2
2
6
13
2
0
2
6
14
2
2
2
6
15
2
0
2
6
16
2
2
2
2
6
17
32
18
32
2
Контрольная
(см. п. 6)
2 Зачет
2
работа
5. Образовательные технологии
(Указываются образовательные технологии, используемые при реализации различных
видов учебной работы. Наиболее распространенные виды/формы образовательных
технологий: традиционные лекционно-семинарские системы обучения, информационные
технологии (обучение в электронной образовательной среде), работа в команде, casestudy (анализ реальных проблемных ситуаций и поиск решений), ролевая игра, проблемное
изучение, контекстное изучение, обучение на основе опыта, индивидуальное обучение,
междисциплинарное обучение, опережающая самостоятельная работа.
4
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки реализация
компетентностного подхода должна предусматривать широкое использование в
учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий (компьютерных
симуляций, деловых и ролевых игр, разбор конкретных ситуаций, психологические и иные
тренинги) в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития
профессиональных навыков обучающихся. В рамках учебных курсов должны быть
предусмотрены встречи с представителями российских и зарубежных компаний,
государственных и общественных организаций, мастер-классы экспертов и
специалистов.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной
целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием
конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе они должны составлять не менее
30% аудиторных занятий (определяется требованиями ФГОС с учетом специфики
ООП). Занятия лекционного типа для соответствующих групп студентов не могут
составлять более 50% аудиторных занятий (определяется соответствующим ФГОС)).
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные
средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины
Образец задания контрольной работы:
ВАРИАНТ I
1) Решить задачу линейного программирования
2x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + 4x5  min
x1 + 2x2 – x3 + x4
5
– x1 + x2
– 3x5  1
xi0, i=1,2,3,4,5
построив и решив двойственную к ней.
2) При каких значениях a система
2x1 – x2 – 4x3  a
2x1 + 2x2 + x3  0
x2 + 2x3  –2
x1 + x2
 0
– x1 +
x3  –1
будет несовместна? (Использовать первую теорему двойственности)
3) Построить двойственную задачу к данной задаче линейного программирования
m
m n
 cixi +   cijxij  min
i=1
i=1 j=1
n
m
j=1
i=1
 xij  xi i=1,…,m;  xij = 1 j=1,…,n;
xi0; xij0 i=1,…,m; j=1,…,n.
Образцы билетов для подготовки к экзамену.
БИЛЕТ № 1
5
1. Проекция точки на множество. Теорема о проекции точки на множество.
2. Решить симплекс-методом задачу линейного программирования
БИЛЕТ № 17
1. Построение симплекс-таблицы. Симплекс-метод. Свойства алгоритма.
2. Проверить точки на оптимальность в задаче выпуклого программирования.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Глебов Н.И., Кочетов Ю.А., Плясунов А.В. Методы оптимизации. Учебное
пособие. Изд. НГУ, Новосибирск, 2000.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
Изд. АСТ, 2007.
3. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. Изд.
Физматлит., 2005.
4. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. СПб, Изд.
СПбГУ, 2001.
5. Ларин Р.М., Плясунов А.В., Пяткин А.В. Методы оптимизации. Примеры и
задачи. Учебное пособие. Изд. НГУ, Новосибирск, 2003.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению «Error! Reference source not found.» и
профилю подготовки «Error! Reference source not found.».
Автор:
Черных Илья Дмитриевич
к.ф.-м.н., ст.преп ММФ НГУ
с.н.с. ИМ СО РАН
Рецензент (ы)
Программа одобрена на заседании
(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от ___________ года, протокол № ________
6