Основы теории множеств

ГБОУ «Вечерняя сменная общеобразовательная школа
г.Бежецка».
ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
ПРЕДПРОФИЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ
ОБУЧАЮЩИХСЯ 9 КЛАССОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ
НА ТЕМУ:
«ОСНОВЫ ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ».
Программу разработала
учитель математики
Уварова Т. В.
г. Бежецк.
Пояснительная записка
Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-х
классов посвящен одному из фундаментальных понятий математики МНОЖЕСТВУ. Множества могут состоять из объектов самой
различной природы. Их элементами могут быть буквы, атомы,
предметы, животные, числа, уравнения, точки, углы и т.д. Именно этим
объясняется чрезвычайная широта теории множеств, её приложимость
к самым разнообразным областям знаний (математике, физике,
экономике, лингвистике, биологии, геометрии и т.д.), её
вездесущность.
Школьный курс математики теоретически не касается изучения теории
множеств, хотя практически теоретико - множественный подход
неразрывно связан с курсом математики, алгебры и геометрии.
Учащимся значительно легче манипулировать операциями с
множествами, если они будут представлены не смешанными
словесно-символическими записями, а чисто символическими
записями, которые четко формулируют необходимые, достаточные,
необходимые и достаточные условия теорем, дают конкретные
определения объединения множества корней уравнения, числовых
промежутков, решений системы уравнений, пересечения множеств
решения уравнений и неравенств в системах и т.п. Кроме этого
расширяется спектр задач о нахождении числа элементов множеств,
заданных несколькими условиями, где применяется алгебра множеств.
Цель курса:
повышение уровня математической подготовки выпускников основной
школы и расширение спектра задач, посильных для учащихся.
Задачи курса:
- обеспечить усвоение основных понятий теории множеств,
- развивать логическое мышление, познавательные интересы и
творческие способности учащихся.
1
- показать применение теоретико - множественного подхода в других
областях знаний.
- представить учащимся возможность проанализировать свои
способности к математической деятельности.
Методы работы:
объяснительно - иллюстративный, проблемный, и частично-поисковый.
Формы работы;
фронтальная, индивидуальная и групповая.
Планируемые результаты:
- усвоение основ теории множеств.
- развитие интереса к обучению.
- использование математических знаний и умений в практической
деятельности и повседневной жизни.
- выбор профиля.
Список литературы:
1 .Калужнин Л.А. « Элементы теории множеств и математической
логики в школьные годы» М. Просвещение. 1978 г.
2.Факультативный курс « Избранные вопросы математики» 7-8 классы.
М. Просвещение. 1978 г.
3.Сборник статей « Вопросы преподавания алгебры и начала анализа в
средней школе» М. Просвещение. 1992 г.
4.Крамор В.С. « Повторяем и систематизируем школьный курс
алгебры» М. Просвещение. 1992 г.
5.Виленкин Н.Я. «Алгебра» для 9 класса, учебное пособие для учащихся
школ и классов с углубленным изучением математики. М. Просвещение
1998 г.
6.Энциклопедия для детей « Математика», том 11, М. «Аванта +».2002г.
Содержание курса:
Содержание курса реализуется на принципах последовательности и
системности. Данный курс включает 3 раздела:
- множества;
- операции над множествами;
2
- свойства операций над множествами;
которые отражают фундаментальность понятия множества.
Первый раздел формирует у учащихся понятие множества и его
элементов, дает определение конечного и бесконечного множества и
способов их задания. На основе существующих знаний и умений
систематизируется и расширяется теоретический и практический
материал, связанный с числовыми множествами и множествами точек
на плоскости.
Второй раздел кроме определений операций над множествами включает
рассмотрение чисто символических записей, на основе которых четко
формируются и определяется конкретность необходимых, достаточных,
необходимых и достаточных условий теорем, систематизируются ранее
изученные знания и умения из курса алгебры и геометрии, где особое
место уделяется графическому способу решения не линейных систем
уравнений и неравенств.
Третий раздел включает в свое содержание алгебру множеств и её
применение для решения задач о нахождении числа элементов
множеств, заданных несколькими условиями, где учащиеся знакомятся с
формулами включений и исключений. Данный материал в школьном
курсе не рассматривается.
Теория множеств доступна для разных областей знаний, поэтому
межпредметная направленность курса осуществляется не только в
подборе материала для практических задач, но и при объяснении
основных понятий и определении теории множеств. Вследствии этого
математические задания соответствуют достаточному уровню
сложности.
На изучение трех разделов отводится 16 часов и 1 час на определение
успешности усвоения материала.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№п\п Наименование разделов и
темы
1
2
Множества
Множества и их элементы
Характеристическое
кол-во Форма контроля
часов
7
1
3
практическая работа в группах
математический диктант
свойство множества
Числовые множества
Множество точек на
плоскости
2
2
2
Операции над
множествами
Подмножества
Пересечение множеств
Объединение множеств
Разность множеств
6
3
10
Свойства операций над
множествами.
Алгебра множеств
Формула включений и
исключений
11
Проверка усвоения знаний
1
3
4
5
6
7
8
9
1
2
2
1
1
практическая работа в группах
доклады, дифференцированная
самостоятельная работа
тестирование
деловая игра
2
защита проекта
Замечание:
Данный курс, с учетом возможностей учащихся (колония строгого
режима), не включает в планы занятий этапа выполнения и проверки
домашнего задания.
В следствии того, что на планирование уроков геометрии в вечерних
школах отводится 1 час в неделю, то в основном практические задания,
входящие в элективный курс, углубляют и систематизируют знания и
умения из курса алгебры, хотя теоретические вопросы посвящены и
интересным разделам из курса геометрии.
4
ЗАНЯТИЕ 1
Множества и их элементы
" Множество есть многое мыслимое
нами как единое".
Георг Кантор
- «Сережа, посмотри какая коллекция птиц за окном!» - малыш теребил
за рукав своего брата школьника.
-«Не коллекция, а стая. Бывает коллекция рисунков, марок,
драгоценных камней. А птицы летают стаями, рыбы плавают
косяками.»
-«А почему по-разному называют ? Ведь одно и то же ...?»
В повседневной жизни постоянно различные совокупности
предметов называют одним и тем же словом:
совокупность документов (как?)- архивом,
собрание музыкантов? - оркестром,
группу лошадей? - табуном,
родителей, детей и их родственников? - семья
группу людей? - толпой или очередью и т.д.
Прав малыш!
Действительно в этих понятиях заключено нечто общее. В математике в
подобных случаях чаще всего используют универсальное слово
"множество". Математическим понятием, отражающим объединение
некоторых объектов, предметов или понятий в целую совокупность,
является понятие множества. Это понятие является в математике
первичным, не определяемым, т.е. фундаментальным, таким же, как
понятие точки и прямой в геометрии, - к более простым понятиям оно
не сводится.
ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕРЫ МНОЖЕСТВА:
-множество людей живущих на Земле;
-множество рыб в Тихом океане;
-множество звезд в Галактике;
-множество всех натуральных чисел;
-множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих
условию 2< х <10;
-множество всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии
от фиксированной точки О;
-множество пар чисел (х, у), удовлетворяющих условию Зх+2у < 0;
5
-множество учащихся данной школы;
-множество императоров России и т.д.
Предметы, объекты, образующие данное множество, называются
его элементами.
Например:
Александр 1 является элементом множества Российских императоров;
Число 9 - элементом множества N чисел; но Иван 11 не является
элементом множества Российских императоров, ( Россия получила
название империя в 1721 г. Первым русским императором был Петр 1);
число
3
не является элементом множества натуральных чисел.
4
Обычно множества обозначаются латинскими прописными буквами, а
их элементы - строчными.
Если объект является элементом множества А, записывается так а  А
( читают: а принадлежит множеству А) .
Если объект а не является элементом множества А , то пишут : а  А
(читают: а не принадлежит множеству А).
Например: А - множество всех нечетных натуральных чисел; Вмножество всех российских писателей;
3  А; 6  А; Н.В. Гоголь  В; М.Твен  В ; и т.д.
Множества А и В называются равными, если они содержат одни
и те же элементы.
Например: А={1;2;3}; В ={3;2;1}; А=В
Равенство множеств А и В записываются в виде А=В.
Приведите примеры равных множеств.
Задание: Пусть М множество всех треугольников. Перечислите
геометрические фигуры, принадлежащие этому множеству. Приведите
примеры геометрических фигур не принадлежащих М. Из скольких
элементов состоит множество треугольников на данном рисунке?
6
Упражнения:
(для обсуждения и решения в группах)
№
1 группа
2 группа
1
Назовите известные вам названия Какие названия применяют для
множеств военнослужащих
обозначения множеств кораблей
2
Как называется множество точек
земной поверхности,
равноудаленных от обоих
полюсов
Как называется множество царей
(фараонов, императоров) данной
страны, принадлежащих одному
семейству
3
Как называются линии на
географических картах,
изображающие множество точек
земной поверхности, имеющих:
а) одинаковую долготу,
б) одинаковую высоту над
уровнем моря
Как называются линии на
географических картах,
изображающие множество точек
земной поверхности, имеющих:
а) одинаковую широту,
б) одинаковую среднюю годовую
температуру.
4
Назовите 3 элемента,
принадлежащих множеству:
а)полных десятков,
б)простых чисел,
принадлежащих промежутку
[81,99];
в) простых чисел вида 8n+1.
Назовите 3 элемента, принадлежащих
множеству:
а)квадратов натуральных чисел;
б)чисел, кратных 3 и не делящихся
на 5;
в)простых чисел вида 2n +1.
7
5
Пусть А - множество всех
существ, умеющих летать, В множество всех насекомых, С множество всех птиц:
а)назовите 2 элемента множества
В, не являющихся элементами
множества А,
б)существуют ли элементы,
принадлежащие всем трем
множествам?
Пусть А - множество всех существ,
умеющих летать, В - множество всех
насекомых, С - множество всех птиц:
а)назовите 2 элемента множества С,
не являющихся элементами
множества А,
б)существуют ли элементы,
принадлежащие всем трем
множествам?
6
Пусть А - множество делителей
числа 60. Верна ли запись?
а)7  А;
б)10  А;
Пусть А - множество корней
квадратного уравнения х2 - 7х+12=0.
Верна ли запись?
а)3  А;
б)-5 А;
в)20  А .
в)10  А ;
г)4  А .
Составьте список элементов
множества А.
Составьте список элементов
множества А.
7* Пусть А - множество всех
Пусть А - множество всех
многочленов от одной переменной х,
многочленов от одной
переменной х, все коэффициенты все коэффициенты которых целые.
которых целые. Верна ли запись? Верна ли запись?
3
а)х2-15х+6  А;
а) х3-1 А;
4
б)х2 + у2-1  А.
7
б) х2-5 А.
6
ЗАНЯТИЕ 2
Характеристическое свойство множества.
" Не будем спорить будем вычислять"
Г .Лейбниц
Когда в математике говорят " множество", то подразумевают, что есть
возможность выяснить принадлежит любой из данных предметов
рассматриваемому множеству или нет. Но говоря «есть возможность
выяснить», мы совсем не имеем ввиду, что сделать это просто.
8
Например, обозначим через М множество, состоящее из цифр 1,2.3. Через а
обозначим цифру, находящуюся на стотысячном месте после запятой в
десятичной записи числа  =3, 14159... Принципиально ( с помощью
компьютера ) можно определить верна ли запись а  М , но вот так сразу
сказать, какое из соотношений а  М, а М имеет место нельзя.
Так как же выяснить, Принадлежит предмет рассматриваемому
множеству или непринадлежит ? Как сказал Г Лейбниц : " Не будем
спорить - будем вычислять".
Для этого введем определения конечных и бесконечных множеств и
познакомимся со способами задания множеств.
Какое множество называется конечным?
Конечным называется множество, состоящее из конечного числа
элементов.
Приведите примеры конечных множеств.
Являются ли конечными данные множества? Почему?
а) множество людей выше 3 м роста,
б) множество нечетных чисел, делящихся на 2.
Итак, среди конечных множеств выделяют пустое множествомножество не имеющее ни одного элемента.
Какое множество называется бесконечным? Приведите примеры.
Имеется два существенно различных способа задания множества .
Способы задания.
перечислением всех своих
элементов ( множество
континентов, множество
учащихся 6 класса и т..д.)
характеристическое
свойство - свойство которым
обладают все элементы
рассматриваемого множества и
не обладают никакие другие
объекты
А={ |Р (х)}
Обозначение: {2;4;6}
Примеры : 1)А= {х |- 1 < х < 2}
( множество А состоит из тех и только из тех чисел , которые
удовлетворяют неравенству - 1 <х<2 )
2) А = { х| а есть мать х}. ( множество всех детей женщины с именем
а)
9
3)геометрическое место точек ( с данным свойством). Биссектриса угла геометрическое место точек плоскости, лежащих внутри этого угла
и равноудаленных от его сторон.
Какие множества можно задать перечислением своих элементов?
Почему? Какие с помощью характеристического свойства?
Упражнения:
1. Даны множества А={
(устно)
1
| n  N} и В ={n3 -2 |n N}.
n
Укажите а) по 3 элемента каждого из этих множеств;
б)множества, которым принадлежит число 3; 4; 5; 13; 25;
в)множества, которым не принадлежат данные числа 3; 4; 5;
13; 25.
2. В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают
некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите элемент, не
обладающий им:
а){ треугольник, квадрат, трапеция, круг, правильный шестиугольник};
б){ лев, лисица, гиена, слон, рысь}
в) { бежать, смотреть, синий, знать, писать}
г){2,6;15;84; 156}
д) {Москва, Санкт- Петербург; Одесса, Гомель; Лондон}
3. Опишите множество точек М на плоскости , таких, что:
а) { М| ОМ=К}; 6){М| ОМ< К}; в){ М |  АОМ =  МСВ};
г){ М| АМ=ВМ } ; д){ М| АМ =ВМ=СМ },
где - О, А, В, С - фиксированные точки плоскости.
4.Задайте характеристическим свойствам множество всех:
а) квадратов;
б)прямоугольников;
в)равнобедренных треугольников;
г) параллелограммов.
5.Укажите среди следующих множеств пустое:
а) множество параллелограммов с неравными смежными сторонами;
б) множество целых корней уравнения ( х-1)3 -1= 0;
в) множество действительных корней уравнения 2х2 +1 =0;
г) множество горных вершин высотой более 8000 м ;
е)множество положительных корней уравнения
х3+6х2+11х+6 = 0.
10
Пример: Принадлежат ли числа
1
1
n2
и множеству: А={ 2
|n  N}.
2
3
n  16
Решение:
1
n2
=
2
n  16 2
2n2 =n2+16
n2=16
n1= - 4; n2= + 4
т.к. 4  N и
1
1
42
 А, то  А.
= 2
2 4  16
2
1
n2
=
2
n  16 3
Зn2= n2+16
n2 = 8
n1 = -2 2 ; n2 = +2 2  N, значит
Ответ:
1

2
А,
1

3
1
A .
3
A.
Упражнения:
1. Исследуйте, принадлежат ли числа
2 1 5
n2 1
; ; множеству А ={ 2
| n N }.
5 7 6
n 4
n3  7
2.Напишите пять чисел, принадлежащих множеству А={ 3
| n N }.
n  15
3.Угадайте по какому закону составлено бесконечное множество:
3 4 5 6
; ; …...}
4 9 16 25
1 1 1 1 1 1
б) { ; ; ; ; ; ; ……}
2 6 12 20 30 42
а){ ; ;
в){2; 12; 36; 80; 190;……}.
4. Докажите, что указанное множество не содержит целых чисел:
n
| n N };
n 1
2n 2  1
б) А = { 2
| n N }.
n 1
а)А={
5.Пусть А = {h | h - такое число, что прямая у= х+h имеет общие
точки с окружностью х2+у2 =1}. Какие утверждения справедливы?
а) -1  А ; б) 2  А; в) 1  А; г) 2  А; д) 0  А .
11
Математический диктант.
1.Задайте перечислением элементов множество, заданное
характеристическим свойствам:
1 вариант
а)А={х|-11<х≤-3,х  N}
б)А={х|х2-8х +15=0}
2 вариант
а)А{х|-1<х≤7,3 х N}
в) А={х| х2 - 5х +6 =0 }
2. Является следующее множество пустым?
1 вариант
2 вариант
множество равносторонних
множество точек с натуральными
треугольников для которых
координатами, лежащих на прямой
2
2
2
выполняется равенство а + в = с
у= 2 х
где а, в, с - длины сторон.
3. Исследуйте принадлежит ли число
А={
n2 1
|n  N}
2
1
12
данному множеству
А={
3
n2
| n N }
4.Пусть:
А={х|х3+4х2+х - 6 = 0}
Справедливо ли утверждение
а) 2  А
в) 1  А
А= {х | 4х3+ 8х2 + 5х +1 = 0}
б)3  А
а) -1  А
в) 2 А
б)1  А
5.Задайте множество А перечислением его элементов.
Пятеро друзей - Иван, Андрей, Виктор, Ольга и Мария решили
сфотографироваться. Они хотят стать в ряд таким образом, чтобы
юноши и девушки чередовались. Перечислите все возможности.
12
Ответы.
1 вариант
2 вариант
1
А={ Ø}
А={3;5}
А={1;2;3;4;5;6;7}
А={2;3}
2
да
да
3
нет
да
4
А={-3;-2;1}
А={-1; }
5
1
2
всего 12 возможностей
всего 12 возможностей
ЗАНЯТИЕ 3
Числовые множества
" Числа не управляют миром,
но показывают как управляется мир"
И.В. Гете.
Множества могут состоять из объектов самой различной природы.
Элементами их могут быть буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и
т.д.. именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и
её приложимость к самым разнообразным областям знаний ( математике ,
физике, биологии, и т.д.)
Для математики особо важную роль играют множества, составленные из
из математических объектов - чисел, геометрических фигур и т. д. Очень
часто мы встречаемся с числовыми множествами. Их элементами
являются что? ... Их примеры мы рассматриваем в 8 классе. Давайте их
вспомним!( R, Q, Z, N - множества действительных, рациональных . целых
и натуральных чисел).
[а ,+ ∞)= {х | х≥ а}
(-∞, а] = {х| х≤ а} - числовые лучи;
[ а,b] = {х| а≤ х ≤ b } - отрезок;
( а,b) = {х| а< х < b} - интервал;
[ a, b) = {х|а≤ х < b }
13
(а,b] = {х|а< х≤ b } - числовые полуинтервалы.
Общее название ? ( числовые промежутки)
Числовыми лучами также являются множества:
(а, +∞) = {х | х>а} и (-∞, а) = {х | х< а}, а также и вся числовая ось
(-∞,+ ∞) = {х| -∞< х< +∞}
А на предыдущих занятиях мы встречались с числовыми множествами?
Как вы думаете, где используются числовые множества в курсе алгебры 78 классов ? ( при решении уравнений и неравенств, их ОДЗ)
Практическая работа в группах:
Задание.
1. Проанализировать данную тему (главу) учебника алгебры;
2. найти задания , где используются числовые множества для
решения уравнений и неравенств;
3. переформулировать задание с использованием слова "множество";
4. найти ответ своего задания, записать его в новой символике;
5. сколько элементов содержит ваше числовое множество?
(Задания выбираются учащимися в зависимости от уровня сложности или
указывается конкретная тема из курса алгебры (страницы учебника
или задачника).
Алимов 8 класс " Алгебра"
№ 679, 680, 681, 682, 695, 696, 699 - квадратные неравенства.
№ 470, 471, 551, 553 - квадратные уравнения , а также задания для
итогового повторения.
9 класс.
№ 157 - 162, № 216 - область определения функции.
№ 196 - 199;; 201 - 204, 205, 222, - иррациональные уравнения.
№192; 193; 2004; 206; 220; 221; -иррациональные неравенства.
Упражнения.
1. Найдите множество значений переменной, при которых имеет смысл
уравнение:
а)х2+5х + 7 +
1
1
1
1
 ;
=1+
+
õ
õ õ
2( õ  1)
2( õ  1)
3
14
б)х2 + b2 +
1
õ  4à
2
= 0;
в) 100  õ2 = 3+ õ2  25 ;
г) õ2  3õ  2 = 1+ 16  õ2 ;
2. Найти множество корней уравнения:
12 x  1 9 x  5 108 x  36 x 2  9
;


6 x  2 3x  1
49 x  1
x 2  2 x  2 x 2  8 x  20 x 2  4 x  6 x 2  6 x  12



б)
;
x 1
x4
x2
x3
x4
x3
x6

 3
в)
;
2
2
2x  6x  8 2  2x
x  3x 2  x  3
x5
x7
9

 3
 0.
г)
2
2
2
2 x  6 x  8 64  4 x
x  x  16 x  16
a)
3. Совпадают ли множества корней для пары уравнений:
а) х+5 =15 -х и х+5 + õ =15 -х + õ ;
б)х+1=0 и (х+1) õ  1 =0;
õ  5 õ  3 = 14 ;
в) õ  5õ  3 = 14 и
2
2
г)х -9=0 и õ  9 =0;
Д)Х2-6Х+9=0
И
2
1
1
;


x  4 x x  2  x x  2 
2
е)х2+6х=0 и 2 õ  7 - 4 õ  5 =2;
ж )х2 -6Х +8 =0 и 1  õ - õ  2 -
õ3
15
= 0.
ЗАНЯТИЕ 4.
Множество точек на плоскости.
" Вдохновение нужно в геометрии,
как и в поэзии"
А.С.Пушкин.
Множество точек на плоскости часто задают их характеристическими
свойствами. Например, множество точек плоскости, расстояние от
которых до прямой l не превосходит числа d > 0 , есть множество точек
полосы, ограниченной двумя прямыми , параллельными прямой 1 и
отстоящими от неё на расстоянии d.
Множество точек на плоскости можно задать с помощью равенства,
связывающего их координаты. Так равенство F(х, у)= 0 задает множество
точек М (х,у) плоскости , координаты которых удовлетворяют этому
равенству. F (х ,у) = 0, как правило, задает на плоскости кривую и называется
уравнением кривой
( например, у = кх + b - уравнение прямой).
Определение кривых 2 порядка и их уравнения
(доклады)
1. окружность
2. эллипс
3. гипербола
4. парабола.
Кривая разбивает плоскость на две части .
В одной из этих частей выполняется
неравенство F(х; у) <0 , в другой - F(х;у)>0
Для определения знака неравенства в каждой части
надо:
1) взять точку и подставить её в
координаты в выражении F( х;у);
2) вычислить значение F (х;у) = с;
3)если с<0 , то выполняется неравенство F(х;у)<0,
если с>0 то F(х;у) >0
16
Пример 1. (рис. 1)
у-2х+1=0- прямая, разбивает плоскость на две части;
1) О (0;0); 2) 0  2  0  1  1 <0; 3) у = - 2х +1< 0
Пример 2.(рис. 2) (х+1)2 +(у-2)2 =25 - окружность с центром А ( -1,2)
и радиусом R = 5 , разбивает плоскость на 2 части.
1) А ( -1;2) ; 2) 0-25 = -25 < 0 ; 3) ( х+1)2 + ( у-2)2 < 25.
Упражнения
1. Напишите уравнение окружности, если,
а) центр находится в точке А ( -3; 1 ), радиус R = 8,
б) центр находится в точке А ( 3;1) и окружность проходит через и
точку В ( 7;4);
в) окружность проходит через точки А ( 4;6) и В (-2;2) , а её радиус
R=5,
г).окружность описана вокруг треугольника АВС, где А ( 9; 2);
В (7; 6), С (0;-1);
д)для всех её текущих точек М (х;у) выполняется условие АМ: ВМ=2,
гдеА(0;0), В ( 6;0).
2. Найдите уравнение множества точек М (х; у), равноудаленных от
точки F (1; -2) и от прямой х=2.
3. Постройте множество точек М (х;у) плоскости , для которых
а) х2 + у2 + 12х + 6у + 20 ≥ 0; ( окружность)
б)х 2+ у2- 8х + 6у + 25 ≥0;
( точка)
2
2
в) х + у + 8х - 6у + 34 < 0.
(Ø)
17
4. Каким уравнением задается граница множества точек М (х;у), для
которых
а)|у| < 4х-2;
б) х2+у2 < 9?
5)Постройте множество точек М (х;у) плоскости, для которых
а)у ≤ х2-6х+1;
б) |х| + |у| ≤ 1.
Дифференцируемая самостоятельная работа.
Постройте множество точек М( х;у) плоскости для которых:
1.
а) у ≥ Зх-2;
б) х2+у2+6у ≤ 0.
2.
а) х2 -5х + 6 > 0;
б) х2+у2 - 4х + 2у+5 ≤ 0.
3.
а)|у| > |х+1|;
б) х2 + у2+6х - 4у + 15 < 0.
18
ЗАНЯТИЕ 5
Подмножества
"Часть меньше целого"
Аристотель.
Если множество не является пустым, то из него можно образовать другие
множества, являющиеся его частями.
•Какие составляющие части имеет множество позвоночных? (Птицы,
рыбы, млекопитающиеся.)
•Назовите части множества натуральных чисел. ( простые, четные,
кратные 5).
В математике вместо слова " часть" используют слово " подмножество".
•Сформулируте определение подмножества.
Множество В называется подмножеством множества А, если
каждый элемент х  В в то же время является и элементом
множества А, т.е. х  А.
Обозначение:
В  А .Данный Знак является знаком включения одного
множества в другое.
Пусть А - множество всех четырехугольников,
В - множество всех трапеций,
С - множество всех параллелограммов,
Д - множество всех ромбов;
Е -множество всех квадратов.
• Какие из этих множеств являются подмножеством других?
Ответ: Е  Д  С  В  А
• Где располагалась бы множество всех прямоугольников?
Задания
1) Назовите 5 подмножеств в множестве слов русского языка.
2) Расположите множества так, чтобы каждое предыдущее множество было
подмножеством следующего,
а) А- множество всех учеников 9 класса данной школы;
В - множество всех учеников данной школы;
С - множество всех учеников 9 класса, посещающих факультативные
занятия по математике;
19
Д - множество учащихся всех школ России;
F - множество всех юношей 9 класса данной школы , посещающих
факультативные занятия по математике
б) А - множество всех четырехугольников;
В - множество всех ромбов;
С -множество всех многоугольников;
Д - множество всех параллелограммов;
Е - множество всех выпуклых многоугольников.
в) А - множество всех позвоночных животных;
В - множество всех животных;
С- множество всех млекопитающих животных;
Д - множество всех волков;
Е - множество всех хищных млекопитающих;
F - множество всех Красных волков.
Игра " Наоборот"
Задание: расположите множества так, чтобы каждое множество было
подмножеством следующего, но построение цепочки начнем с последнего
( главного), самого большого множества.
Учащимся выдаются карточки с названием множеств. Они по очереди
составляют цепочку включений ( если учащихся много, то можно
организовать работу по группам)
Задание.
Пусть А - множество четных натуральных чисел,
В - множество натуральных чисел кратных 10:
20
В  А. Справедливы ли утверждения?
а) чтобы натуральное число n было четным числом необходимо, чтобы
n делилось на 10;
б) чтобы n делилось на 10, достаточно, чтобы число это было четным?
(нет) Почему? Итак : n  А достаточно, чтобы n  В
n В необходимо, чтобы n А
Вывод: Если В  А , то принадлежность элемента х множеству В
является достаточным условием его принадлежности множеству А, а
принадлежность элемента множеству А необходимым условием его
принадлежности множеству В.
Если множества А и В совпадают ( А=В), то принадлежность элемента
множеству А необходима и достаточна для его принадлежности
множеству В.
Если множества А и В совпадают ( А=В), то принадлежность элемента
множеству А необходима и достаточна для его принадлежности
множеству В.
Другими словами, теоремы о том, что некоторое условие является
необходимым и достаточным, - это теоремы о совпадении двух
множеств.
•Приведите примеры таких теорем.
Упражнения:
Опишите множества А и В и вместо многоточия подставьте один из
терминов: необходимо, достаточно, необходимо и достаточно. Какое из
соотношений А  B , В  А , А = В - справедливо?
а) Для того,чтобы четырехугольник был ромбом,..., чтобы он был
квадратом;
б)Для того чтобы число делилось на 9 ,... чтобы оно делилось на 3;
в) Для того чтобы число делилось на 10, ... чтобы его десятичная запись
оканчивалась нулем.
г)Для того, чтобы произведение двух множителей равнялось нулю ...,
чтобы по крайней мере один из них равнялся нулю.
д) Для того, чтобы число делилось на 5,... ,чтобы оно делилось на 25.
е) Для того, чтобы треугольник был прямоугольным,..., чтобы выполнялось
равенство с2 = а2 + b2, где а, b, и с - длины сторон.
ж) Для того, чтобы параллелограмм был ромбом,..., чтобы его диагонали
были взаимно перпендикулярны.
з)Для того, чтобы углы были вертикальными ,..., чтобы они были равны,
и) для того, чтобы треугольник был равносторонним,..., чтобы его углы
были равны.
21
ЗАНЯТИЕ 6
Пересечение множеств.
Существует очень удобный прием изображений взаимоотношений
между множествами - так называемые диаграммы Эйлера - Венна.
На них множества представлены плоскими фигурами, чаще всего
кругами. При этом удобно считать, что все рассматриваемые
множества являются подмножествами некоторого фиксированного
множества, которое назовем универсальным и обозначим буквой
U . Для наглядности будем изображать его в виде
прямоугольника. На рис. 1а видно, что множество В содержится в
множестве А , т.е В  А
На рисунке 1 б множества А и В совпадают т.е. А=В
На рис. 1в представлены два множества, ни одно из которых не
является подмножеством другого.
рис. 1а
рис.1б
рис.1 в
Какая операция изображена на рис 1в?
Определение: Пересечением множества Аи В называется
новое множество, содержащее те и только те элементы,
которые входят одновременно и в множество А, и в множество В.
Обозначение: А  В . (  знак пересечения)
Например, если А множество всех прямоугольников, В - множество
всех ромбов, то А  В - множество всех квадратов.
Если А - множество всех участников олимпиады, В - множество
призеров, то А  В - множество всех участников олимпиады,
получивших медали.
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию пересечения множеств А
и В на диаграммах Эйлера - Венна. На рис .2а заштриховано
множество А  В , на рис. 2б множества Аи В не пересекаются, т.е.
А В = 0
22
Определение: Множества А и В называются не пересекающимися, если
они не имеют общих элементов.
Из школьного курса геометрии можно привести много примеров
пересечения множеств:
1.)полоса - часть плоскости между двумя параллельными прямыми пересечение двух полуплоскостей; ( рис. За)
2.) параллелограмм - пересечение двух полос ( рис. 3б)
3) угол меньше развернутого - пересечение двух полуплоскостей
( рис. 3в)
4.)треугольник - пересечение трех полуплоскостей ( рис. 3г)
23
Задача1 : На плоскости даны 3 точки А ,В и С, не лежащие на
одной прямой. Требуется построить окружность, проходящую
через эти 3 точки.
Чтобы решить задачу разобьем её требования на две части:
1. искомая окружность должна проходить через точки А и В;
2. искомая окружность должна проходить через точки А и С .
Окружность, удовлетворяющая как условию 1, так и условию 2, и
есть решение задачи.
Если окружность удовлетворяет условию 1, то её центр О находится от
точек А и В на одинаковом расстоянии , равном радиусу, значит точка О
располагается на серединном перпендикуляре РАВ точек А и В. Верно и
обратное : если точка О лежит на том же серединном перпендикуляре,
то окружность С с центром О , проходящая через точку А , пройдет и
через точку В. Иначе говоря , РАВ есть множество всех центров
окружностей , удовлетворяющих условию 1. Аналогично , серединный
перпендикуляр, РАС точек А и С есть множество всех центров
окружностей, отвечающих условию 2.
24
Но искомая окружность должна удовлетворять обоим условиям,
значит её центр должен принадлежать каждому из множеств РАВ и
РАС т.е О  РАС  РАВ
Пересечение двух прямых РАВ и РАС состоит только из одной точки,
эта точка и является центром окружности (рис. 4 ) . Осталось
провести окружность.
Задача 2. Графическим способом решить систему уравнений:
{ х2-2х - у - 4 =0
х2 + у2 =16
Другими словами, нужно найти такие пары чисел х и у , которые
удовлетворяют обоим уравнениям.
Первое уравнение можно переписать в виде: у= ( х-1)2 - 5
рис.4
рис.5
Множество всех точек координатной плоскости, удовлетворяющих
25
данному уравнению, представляет собой параболу, вершина которой
имеет координаты ( 1, -5) . построим её с помощью параллельного переноса
графика функции у = х2 на 5 единиц вниз вдоль оси ординат и на 1
единицу вправо вдоль оси абсцисс.
Второе уравнение задает окружность с центром в начале координат и
радиусом, равным 4.
Пары чисел х и у , удовлетворяющие обоим уравнениям, - не что иное,
как координаты точек пересечения параболы и окружности ( рис. 5) и
таких точек всего четыре, значит система имеет четыре решения :
{ ( -1,9; 3,5) (0; - 4); (2,3; -3,3); ( 3,6; 1,7)}
Упражнения:
1 Найдите А  В если:
а) А-[0,4]; В= [1,5];
б)А- множество четных натуральных чисел,
В- множество целых чисел, делящихся на 3;
в) А - множество корней уравнения х2 - 4х + 3 = 0 ;
В множество корней уравнения х2 - Зх + 2 = 0;
г) А = { х | х =2m + 1, m  Z),
B ={х|х = 3n +2 , n  Z}
2. Докажите , что если А  В ,то А  В = А.
3. Найдите решение системы уравнений:
а) {х2+у2 =25;
б) {х+у=9
в) {х2 + у2 =29
х+у=7;
ху=14
ху=10
4. Найдите НОД и НОК чисел:
а) 54 и 72;
б) 18 и 84;
5. Опишите множество точек плоскости, принадлежащих множеству
А  В, если А и В - множества точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют неравенствам: (сделайте чертеж)
а) х2+у2 ≤ 16, х + у ≥ - 1
б)х2+у2 ≤ 25, ху > 1.
6. Опишите и постройте множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют системе неравенств:
а) {у< 9х2,
у≥ х2 ,
1 2
х,
2
3
у ≥ х - 1.
2
б) {х2+ у2 ≤ 25,
в) {у ≥
у>х 2 ,
26
ЗАНЯТИЕ 7
Объединение множеств.
Определение : Объединением множеств АиВ называется
новое множество, состоящее из тех и только из тех
элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А
или В.
Обозначение А  В (  - знак объединения).
Операция объединения множеств изображена на диаграммах
Эйлера - Венна ( рис . 1)
рис. 1
Например, если в школе два девятых класса, А и В - множество
учеников 9-Аи 9-Б классов соответственно, то А  В множество учеников 9-х классов данной школы.
Если А= { 1;3;5;6;}, В = { 2;4;6},то А  В = { 1;2;3;4;5;6}
Общие элементы множеств Аи В в объединение входят только
один раз ( число 6)
Чтобы получить объединение А  В , можно взять все
элементы множества А и добавить к ним те элементы множества
В , которые в А не входят ( и наоборот). Отсюда видно, что
пересечение множеств Аи В содержится в их объединении:
А В А В
Для любого элемента множества А  В имеются 3 возможности:
если х А  В, то
1)х  А
х В
(точка К)
2) Х  А
х В
(точка М)
27
3)х  А  В
(точка N)
Несомненно, представление об объединении двух непересекающихся
множеств (например, соединение двух отдельных кучек предметов в одну
общую кучу) предшествовало понятию о сумме двух чисел. Если два
конечных множества А и В не пересекаются , причем первое из них
содержит а элементов, а второе - b элементов, то множеств А  В содержит
а + b элементов.
Поскольку для "смешивания в одну кучу" безразлично в каком порядке
берутся "кучки" А и В , то А  В = В  А . Следовательно сумма чисел не
зависит от порядка слагаемых а + b = b + а. Разумеется это не
доказательство, а лишь пояснение переместительного закона сложения.
Примеры объединения множеств легко найти в геометрии. Например,
угол больше развернутого легко представить в виде объединения двух
полуплоскостей, (рис.2).
рис. 2
Всякий четырёхугольник легко разбить по диагонали на 2 треугольника,
причем это верно не только для выпуклых, но и для невыпуклых
четырехугольников.
Вообще любой n-угольник можно разбить диагоналями на n - 2
треугольника. В случае выпуклого многоугольника достаточно провести все
диагонали, выходящие из одной её вершины ( рис. За) Для не
выпуклого - не всякая диагональ пригодна, однако и в этом случае удается
подобрать диагонали, которые делят его на n-2 треугольника ( рис.Зб)
28
рис.3 а
рис.3 б
Задание 1:
Найдите множество корней уравнения ( х3- Зх2 + 4х - 12 ) (х2 -5х
+6)=0
Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда один из
множителей равен нулю. Поэтому надо решить уравнения:
х3 - Зх2+4х -12 = 0 и х2 -5х +6 = 0, а потом объединить множества
корней первого и второго уравнений.
х2 -5х +6 = 0
х2 = 2 ; х3 = 3
х2(х-3) + 4(х-3) = 0
(х – 3)(х+4) = 0
Х1 = 3
Ответ: {2; 3}
29
Задание 2:
Найдите множество решений системы уравнений.
{(х+у) (х-2у) = 0,
y2 = 50
Множество решений данной системы получается путем
объединения множеств решения первой системы { х+ у = 0,
х2 +У2 = 50
с множеством решения системы { х - 2у = 0,
х2 + у2 = 50.
Используя способ подстановки, получаем решения первой
системы{(5; -5); (-5; 5)},
решение второй системы{( 2 10 ; 10 ); (  2 10 ; 10 )}
Х2 +
Ответ: {(5; -5); (-5;5); ( 2 10 ; 10 );(  2 10 ; 10 )}
Упражнения:
1 .Найдите А  В если:
а)А=[2;6], В = [4;9];
б) А множество целых чисел вида 4k+1,
В - множество целых чисел вида 4k +3;
в) А - множество чисел неравенства х2 - 4х + 3 > 0,
В - множество чисел неравенства х2 - Зх + 2 ≤ 0.
2.Докажите , что если А  В , то А  В =В.
3. Найдите множество корней уравнения, разложив
предварительно левую часть на множители:
а)х3 - Зх -2 = 0;
в) (х-1 )3 + (2х +3)3 - 27х3 - 8 = 0;
б)2х3 - х2 -1 = 0;
г) 6х4 -13х3 -27х2 +40х -12 = 0.
4. Найдите множество решений системы уравнений :
{х2 -4x =0 ,
{ х2 -Зху + 2у2 =0,
х2 +6ху +8у2 =96 ;
х+4у =5;
{х2 - 4х +3у2 =0,
(х+у-1)(х+2у+5)=0.
30
ЗАНЯТИЕ 8
Разность множеств.
Определение: Разностью двух множеств A и В называют
такое множество, в которое входят все элементы из
множества А, не принадлежащие множеству В.
Обозначение А\В.
Диаграммы Эйлера -Венна, соответствующие операции вычитания
множеств А и В. построены на рис 1. Если А = В ,то А\ В = 0, если
А  B =0, тоА\В=А
Задания:
1. Пусть А = [1;4] ,В = [2;6]. Найдите множества А\ В и В\А. Чему
равно множество( А\В)  (В\А)?
2.ПустьА= {х|х=2m-1,т  Z} ,В = {х|х=4n+1, n }.
Опишите множество А\В.
31
Тест - контроль
1. Найдите А  В , если:
А=(-4;4); В=[0;5].
а){0;1;2;3}; в)[0;4];
б)(-4;5] ;
г) [0;4].
А=(0;3); В=[1;7].
а)(0;7]; в) {1;2};
б)[1;3); г)[1;3].
2. Найдите А  В ,если:
1 1 1 1
2 3 5 6
А={-3;-1;1;3},
В={-3;-2;-1}.
а){-2},
в){-3;-1},
1 1 1
3 4 5
А={ ; ; ; },
В = { ; ; }.
1 1 1 1 1
; ; ; ; },
2 3 4 5 6
1 1
б) { ; },
3 5
а){
1 1
2 6
1
г){ }.
4
в) { ; },
б){1;3},
г){-3;-2;-1;1;3}.
3. Какими свойствами выделяется
подмножество квадратов
в множестве ромбов ?
а) равенством всех сторон,
б) неравными диагоналями,
в) перпендикулярными
диагоналями;
г) равенством всех углов.
подмножество млекопитающих в
множестве всех живых существ?
а) живорождением;
б) теплокровностью;
в) одноклеточностью;
г) многоклеточностью.
4. Найдите множество корней уравнения:
(х2- 4)(х2- 9) = 0
а) Ø ;
б){-3;-2;2;3};
(х2 -1)(х2 + 4) = 0
а){-2;-1;1;2};
б){-1;1};
в){2;3};
г){-2;2}.
32
в){1;2};
г) Ø.
5. Найдите множество В\А:
А=[0;5]; В = [3;8].
а) [0;3);
в) (5;8];
б)[5;8];
г) [0;8].
А=[4;8]; В = [5;10].
а) (8;10];
в) [4;5];
б)(5;8];
г) [4;10].
6. Какой термин нужно подставить вместо многоточия?
Для того чтобы
Для того, чтобы число
четырехугольник был
прямоугольником, .......
чтобы он был квадратом.
а)необходимо,
б)достаточно,
в)необходимо и
достаточно.
делилось на четыре, .......... ,
чтобы оно делилось на 2.
а)необходимо и достаточно,
б)необходимо,
в)достаточно.
7. Найдите пересечение
7.Найдите объединение
множества натуральных
чисел, делящихся на 4 и
множества натуральных
чисел, делящихся на 6.
а) множество натуральных
чисел, делящихся на 24;
б) множество целых
чисел;
в)пустое множество;
г) множество натуральных
чисел, делящихся на 12.
множества четных чисел и
множества нечетных чисел.
а) множество натуральных чисел;
б)пустое множество;
в) множество целых чисел;
г)множество рациональных чисел.
33
\
1
8. Найдите множество решений системы уравнений:
{х2+ у2 =25,
х + у = 7.
а){(3;4),(4;3)};
б){(-3;-4);(-4;-3)};
в){(4;3);(-4;-3;};
г){(-3;-4);(-3;4);(3;-4);(3;4)}.
{х2+ у2 =169,
х- у= 119.
а){(5;12);(12;5)};
б){(-12;5);(12;-5)};
в){(-12;-5);(12;5)};
г){(-12;-5);(-12;5);(12;-5);(12;5)}.
9. Какой системе неравенств удовлетворяет построенное множество
точек плоскости:
Ответы:
Б,А,Г,Б,В,Б,Г,А,Г.
В,Г,А,Б,А,Б,В,Г,Б.
34
ЗАНЯТИЕ 9
Алгебра множеств.
Алгеброй множеств называется часть теории множеств, в которой
изучаются свойства операций над множествами. Операции
пересечения и объединения множеств обладают многими
свойствами, напоминающими свойства умножения и сложения
действительных чисел.
Рассмотрим основные операции над множествами.
1. Свойства коммутативности ( перестановочности объединения и
пересечения:
А В = В А ;
А В = В А .
2.Свойства ассоциативности ( сочетательности) объединения и
пересечения:
(А  В)  С = А  (В  С) ;
(А  В)  С = А  (В  С) ;
3.Свойство дистрибутивности( распределительности) пересечения
относительно объединения.
А  {В  С) = {А  В)  (А  С) .
4. Наличие нулевого элемента.
В алгебре множеств роль нуля играет пустое множество, те.
А  Ø =А; А  Ø = Ø.
Доказывать мы эти свойства не будем, но проиллюстрируем их
справедливость с помощь диаграмм Эйлера - Венна. рассмотрим
свойство дистрибутивности, (рис 1а,б).
Алгебра множеств имеет и своеобразные черты:
если А  В,
то А  В =В, А  В = А;
если А = В,
то А  А =А,
А  А =А.
Отметим,что для множеств есть второй «распределительный
закон», аналога которому нет для чисел. Он выражается
формулой:
35
А  (В  С) = (А  В)  (А  С) .
Задание 1. Проиллюстрируйте справедливость этого свойства с
помощью диаграмм Эйлера - Венна.
Задание 2: Пользуясь правилами алгебры множеств и
определениями операций над множествами, упростите
выражение:
((А  В  С)  (А  В)\((А  (В\С)  А)
рис. 1а
рис. 1б
Упражнения
1. Чему равно:
а) объединение множеств остроугольных, прямоугольных и
тупоугольных треугольников;
б) объединение множеств положительных чисел, отрицательных
чисел и нуля;
в)пересечение множеств натуральных чисел, делящихся на 3,
36
делящихся на 6 и делящихся на 4;
г) пересечение множеств всех прямоугольников, ромбов и
квадратов;
д) переселение множеств всех насекомых, птиц, и живых существ,
умеющих летать.
2. Пусть А - множество учащихся данного класса, изучающих
английский язык,
В - множество учащихся, изучающих немецкий язык.
С - множество учащихся, изучающих французский язык.
Охарактеризуйте множество:
а) (А  В)  С ;
б) А  (В  С) ;
в) (А  В)  (В  С) .
3. Пусть А = [1;6]; В= [2;7]; С= [-1;3], D= [ 2;5].
Найдите множество:
а) А  В  С  D;
б) А  В  С  D;
в) (А  В)  (С  D);
г) (А  B)  (C  D);
д) ((А  B)  C)  D;
е) ((В  D)  А)\С;
ж) (B\А)  (D\C) .
4. Покажите с помощью диаграмм Эйлера- Венна, что:
а) (А  B)\(А  С) = А\(В  С);
б) (А  В)\(А  С) = (А  В)\С;
в) (A\С)  (A\B) = А\В\С.
5. Докажите:
а) (А  (B  С))  (В  С) = А  (B  C);
б) (A  C)  (B  D)  (А  B)  (C  D);
в) А  В  С  (А\В)  (В\С)  (С\А).
37
ЗАНЯТИЕ 10.
Формула включений и исключений.
"Мир математики - не что иное , как
отражение в нашем сознании
реального мира"
Гиппократ.
Проиллюстрируем теперь применение операций над
множествами для решения задач о нахождении числа элементов
множеств, заданных несколькими условиями. В задачах
рассматриваются только конечные множества А, через n(А)
будем обозначать число их элементов.
Задача 1.: В классе 30 учащихся , 16 из них занимаются музыкой,
17 увлекаются теннисом, а 10 занимаются и музыкой и теннисом.
Есть ли в классе ученики, равнодушные и к музыке, и к теннису.
Если есть то сколько их?
Решение: Если сложить число учащихся, занимающихся
музыкой, с числом учащихся, любящих теннис (16+17 =33), то
учащиеся, интересующиеся и музыкой и теннисом, окажутся
учтенными дважды, поэтому 16+ 17-10=23 ученика увлекаются
теннисом, или музыкой. А так как в классе 30 учащихся, то 30-23 =
7 учащихся равнодушны и к музыке и к теннису.
Пусть А - множество учащихся, интересующихся музыкой, а В теннисом, тогда n(А) =16, n( A  B ) = 17, n( А  В ) =10,
получаем формулу : n( А  В ) = n (А) + n (В) - n( А  В ).
Усложним задачу: пусть к тем, кто интересуется в классе музыкой
- множеству А, и к тем, кто увлекается теннисом - множеству В,
добавляются ещё и те, кто интересуется театром - множество С.
Сколько учеников увлекается или музыкой, или теннисом, или
театром, т. е. ему равно число n( А  В  С ).
Если множества А, В и С пересекаются лишь попарно, т.е. А  В  С = Ø, то
подсчет можно вести, как и прежде: сначала сложим n(А) + n(В) + n(С), а
затем вычтем число тех элементов, которые подсчитаны дважды, т.е.
38
-n( A  B ) -n( А  С ) - n ( В  С ) . Если же множество
А  В  С ≠ Ø, то его элементы оказались неучтенными: их сначала
трижды учли, когда складывали n(А) + n(В) + n(С), а затем трижды их
отнимали, вычитая - n ( А  В ) - n ( А  С ) - n ( В  С ), тогда для
получения верного результата остается добавить это число, равное
n( А  В  С )
Получаем формулу: n( А  В  С )=n(А)+n(В)+n(С)-n( А  В )-n(А  С )
- n ( В  С )+n( А  В  С ).
Аналогичная формула может быть получена для любого числа
множеств. В данных формулах подсчитывается, сколько раз
каждый элемент включается и исключается, поэтому их называют
формулами включений и исключений.
Задача 2: На вступительном экзамене по математике были
предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии.
Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по
планиметрии 700, а по стереометрии 600 человек. При этом задачи
по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и
стереометрии 500, по планиметрии и стереометрии - 400. Все три
задачи решили 300 человек. Существуют ли абитуриенты, не
решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?
Решение:
n(U)=1000; n(А)=800; n(В)=700; n(С)=600, n( А  В )=600;
n( А  С )=500; n( В  С )=400; n( А  В  С) =300;
n( А  В  С ) = 800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 +300 =900
абитуриентов решили хотя бы одну задачу,
значит ни одной задачи не решили:
n(U) - n( А  В  С ) = 1000 - 900 = 100 абитуриентов.
Упражнения:
1. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с
колбасой взяли 48 человек, с сыром 38 человек, с ветчиной 42
человека, с сыром и колбасой - 28 человек, с колбасой и ветчиной
31 человек, с сыром и с ветчиной 26 человек, 25 человек взяли все
три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов
взяли с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?
39
2. Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кружок,
11 физический, 10 не посещают ни одного из этих кружков.
Сколько учеников посещают и математический и физический
кружки? Сколько учащихся посещают только кружок по
математике?
3. Каждый ученик класса либо девочка либо блондин, либо любит
математику. В классе 20 девочек, из их 12 блондинок и 1 блондинка
любит математику. Всего в классе 24 ученика - блондина,
математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и
девочек), которые любят математику 11, из них 6 девочек.
Сколько учеников в данном классе?
4. В отделе института работают несколько человек. Каждый из них
знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек знают
английский язык, 6 человек знают немецкий язык, 7 - французский
язык, 4 - знают и английский и немецкий язык, 3 - немецкий и
французский язык, 2- французский и английский язык, 1 человек
знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из
них знает только английский язык? Сколько человек знает только
французский язык? Сколько человек знает ровно один язык?
5. Сколько целых чисел от 0 до 999 не делятся ни на "5"; ни на
"7"? А сколько чисел от 0 до 999 не делятся ни на "2" ; ни на "3";
ни на "5" ни на "7" ?
Деловая игра
«Именно математика в первую
очередь защищает нас от обмана
чувств и учит, что одно делокак на самом деле устроены
предметы, воспринимаемые
чувствами, другое дело - какими
они окажутся. Эта наука дает
надежнейшие правила. Кто им
следует тому не опасен обман.»
Л.Эйлер.
40
Министерство
Министерство поставило в один из
лицеев инспектора для проверки , как
в нем ведется преподавание
иностранных языков. Сотрудник
министерства в отчете записал:" В
лицее учатся 100 детей, каждый
изучает по крайней мере один из трех
языков, немецкий, французский или
испанский. Причем все три языка
изучают 5 человек, немецкий и
испанский -10 человек французский и
испанский -8 человек, немецкий и
французский 20 человек, испанский 30 человек, немецкий - 23 , а
французский - 50 человек".
Уволите вы инспектора,
представившего отчет или нет?
Объясните почему?
ГОРОНО
Социолог проводил опрос учащихся
девятых классов по запросу из
ГОРОНО. Его просили сопоставить
количество хорошистов среди
юношей, которые занимаются
спортом. Социолог опросил 45
учащихся среди которых 25 юношей.
При этом выяснилось: 30 человек
имеют за полугодие оценки "4" и "5 ",
из них 16 юношей; спортом
занимаются 28 учеников, среди них
18 юношей, и 17 учеников,
успевающих только на хорошо и
отлично, 15 юношей учатся
на хорошо и отлично и занимаются
спортом.
Методист по математике взглянул на
результаты и заявил, что там есть
ошибки. Как ему это удалось
выяснить?
Приведите несколько вариантов доказательств, проиллюстрируйте
решение с помощью диаграмм Эйлера -Венна, сделайте
соответствующие выводы.
Темы проектов.
1.Счетные множества.
2. Несчетные множества.
3. Мощность множества.
4. Дополнение множеств.
5. Симметрическая разность.
6. Парадокс равных отрезков.
7. Мощность объединения двух множеств.
8. Прямое произведение двух множеств.
41