090301_s2.dv3_.1_prikladnaya_universalnaya_algebra

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Прикладная универсальная алгебра
Специальность
090301 Компьютерная безопасность
Специализация
Математические методы защиты информации
Квалификация выпускника
Специалист
Форма обучения
очная
Cаратов,
2012
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Прикладная универсальная алгебра»
являются: знакомство с основными структурами прикладной универсальной
алгебры, овладение основными приемами их применения к работе с
дискретными системами, использование универсально-алгебраических
методов и конструкций в криптографии.
2.Место дисциплины в структуре ООП
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и
естественнонаучный цикл. Дисциплины по выбору» ФГОС-3.
Для изучения дисциплины необходимы компетенции, знания, умения и
готовности, сформированные у обучающихся в результате освоения курсов
«Алгебра», «Дискретная математика», «Математическая логика и теория
алгоритмов»,
Компетенции, знания, умения и готовности, сформированные у
обучающихся в результате освоения данной дисциплины, могут быть
полезны при изучении следующих курсов: «Криптографические методы
защиты информации», «Криптографические протоколы», «Теоретикочисловые методы в криптографии», «Модели безопасности компьютерных
систем», «Введение в криптоанализ», «Методы алгебраической геометрии в
криптографии».
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины
Данная
дисциплина
способствует
формированию
следующих
профессиональных компетенций (ПК):
общепрофессиональные:
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем,
возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять
соответствующий
физико-математический
аппарат
для
их
формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
способностью применять математический аппарат, в том числе с
использованием
вычислительной
техники,
для
решения
профессиональных задач (ПК-2);
способностью формулировать результат проведенных исследований в
виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной
области изучавшегося явления (ПК-10).
В области научно-исследовательской деятельности:
способностью осуществлять подбор, изучение и обобщение научнотехнической информации, нормативных и методических материалов по
методам
обеспечения
информационной
безопасности
компьютерных систем (ПК-14);
способностью применять современные методы и средства
исследований для обеспечения информационной безопасности
компьютерных систем (ПК-15).
В области проектной деятельности:
способностью участвовать в разработке проектной документации (ПК22).
В области контрольно-аналитической деятельности:
способностью обосновывать правильность выбранной модели решения
профессиональной задачи, сопоставлять экспериментальные данные и
теоретические решения (ПК-28).
(ПК-33).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать:
основные конструкции универсальной алгебры;
автоматную интерпретацию дискретных систем;
важнейшие математические факты из универсальной алгебры и
алгебраической теории автоматов.
•Уметь:
корректно применять методы современной универсальной алгебры в
теории систем;
формулировать задачу оптимизации дискретной системы в терминах
универсальной алгебры и алгебраической теории автоматов;
разрабатывать алгоритмы оптимизации дискретной системы в желаемом
направлении.
•Владеть:
терминологией современной универсальной алгебры и теории автоматов.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц 216 часов.
№
п/п
Раздел
дисциплины
Семестр
Неделя
семестра
Виды учебной работы,
включая
самостоятельную работу
студентов и
трудоемкость (в часах)
1
Множества и
отношения
5
1-4
Ле:8
2
Основные
5
конструкции
универсально
й алгебры
Упорядоченн
5
ые множества
и решетки
Решетки
в 5
теории
автоматов
5-8
3
4
П:4
Ла:
С:4
Ла:
10
С:6
Ле:10
9-14
Ле:10 П: 5
Ла:
С:4
15-18
Ле:8
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям
семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
Контрольная
работа №1
на 4 неделе
П:4
П:5
С:6
Контрольная
работа №2
на 17 неделе
Промежуточн
ая аттестация
Зачет
5
5
6
Моноиды
и 6
группы
Эндоморфизм 6
ы
и
автоморфизм
ы автоматов
Промежуточн
ая аттестация
6
5-6
Итого:
Ле:36 П:
Ла:
С:20
1-8
Ле:16
9-16
Ле:16
Ла:
16
Ла:
16
С:
17
С:
18
Контрольная
работа №3
на 15 неделе
Экзамен
Итого:
Л:32
П:16
Всего:
Ле:68 П:16
Ла:
32
Ла:
32
С:
35
С:55
45
45
Раздел «Множества и отношения». Алгебра множеств. Алгебра логики.
Алгебры отношений. Эквивалентности и разбиения. Отношения порядка.
Автоматы и способы их задания.
Раздел «Основные конструкции универсальной алгебры». Алгебра.
Подалгебры и редукты. Морфизмы. Конгруэнции и факторалгебры. Три
теоремы Нётер о гомоморфизмах. Автоматы как алгебры. Достижимость
состояний в автоматах. Подавтоматы, главные подавтоматы.
Раздел «Упорядоченные множества и решетки». Экстремальные элементы в
конечных упорядоченных множествах. Линейные продолжения порядков.
Условия, равносильные индуктивности (теорема Цермело).
Полные
решетки. Теорема о неподвижной точке. Дистрибутивные решетки и их
представления. Булевы алгебры. Теорема Стоуна.
Раздел «Решетки в теории автоматов». Решетка подавтоматов автомата.
Конечные дистрибутивные решетки как решетки подавтоматов (теорема
Джонсона и Сейферта). Примитивные автоматы и их характеризация.
Связные автоматы. Цепные автоматы. Неразложимые элементы решетки
подавтоматов. Каркас автомата.
Раздел «Моноиды и группы». Тесты ассоциативности. Представление
моноидов преобразованиями (теорема Кэли). Циклические полугруппы,
индекс и период элемента. Нормальные подгруппы. Характеризация
нормальных подгрупп. Простые группы. Теорема Лагранжа. Симметрические
группы.
Раздел
«Эндоморфизмы
и
автоморфизмы
автоматов».
Моноид
эндоморфизмов
автомата.
Представление
конечных
моноидов
эндоморфизмами автоматов (теорема Биркгофа). Сильно жесткие автоматы,
теорема Вегга. Эндоморфизмы примитивных автоматов. Группа
автоморфизмов автомата. Представление конечных групп автоморфизмами
автоматов. Жесткие автоматы, примеры.
Лабораторный практикум (32 часа).
1) Освоение действий в кольцах вычетов: арифметические операции,
вычисление определителей, нахождение обратной матрицы (2 часа);
2) Построение диаграмм упорядоченных множеств (4 часа);
3) Построение решетки подавтоматов (4 часа);
4) Работа с компьютерной программой вычисления конгруэнций (2 часа);
5) Вычисление индексов и периодов графов (4 часа);
6) Программная реализация тестов ассоциативности Лайта и Берна (4
часа);
7) Построение моноида эндоморфизмов автомата и автомата с заданным
моноидом эндоморфизмов (4 часа);
8) Построение группы автоморфизмов автомата и автомата с заданной
группой автоморфизмов (4 часа):
9) Построение примеров сильно жестких, жестких и примитивных
автоматов и рассмотрение их свойств (4 часа).
Практические занятия (семинары) (16 часов):
1) Тесты ассоциативности для группоидов ( 2 часа);
2) Моноиды преобразований и теорема Кэли (2 часа);
3) Симметрические группы (2 часа);
4) Нормальные подгруппы и конгруэнции группы (2 часа);
5) Теорема Лагранжа (2 часа);
6) Представление конечных моноидов эндоморфизмами автоматов.
Сильно жесткие автоматы (2 часа);
7) Эндоморфизмы примитивных автоматов (2 часа);
8) Представление конечных групп автоморфизмами автоматов. Жесткие
автоматы (2 часа).
5. Образовательные технологии
Рекомендуемые образовательные технологии: самостоятельная работа
студентов, проведение коллоквиумов по ключевым для приложений темам,
привлечение студентов к работе в научном семинаре кафедры, к переводам
текстов из зарубежных изданий по дисциплине, демонстрация работы
компьютерных программ по прикладной универсальной алгебре и теории
автоматов, встречи со специалистами из профильных организаций и фирм.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7.
Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение
дисциплины
а) основная литература:
1. Салий В.Н. Универсальная алгебра и автоматы, 2008
http://www.sgu.ru/files/nodes/11017/Салий В.Н. Универсальная алгебра и
автоматы
б) дополнительная литература:
1. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра (учебник в 2-х томах).-
М.: Гелиос АРВ, 2003.
2... Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных
систем. – М.: Наука, 1997.
3. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – СПб.; М.;
Краснодар: Лань, 2005.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
Стандартное программное обеспечение компьютерного класса, пакет
«Mathematica” компьютерной алгебры, доступ к сети Интернет.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционная аудитория с возможностью демонстрации электронных
презентаций при уровне освещения, достаточном для работы с конспектом.
Для проведения лабораторных работ необходимо наличие компьютерного
класса из расчета одна ПЭВМ на одного человека. В целях сохранения
результатов работы желательно наличие у студентов носителей информации.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению 090301
«Компьютерная безопасность» и специализации «Математические методы
защиты информации».
Автор
профессор
В.Н.Салий
Программа одобрена на заседании кафедры теоретических основ
компьютерной безопасности и криптографии от « 25 » мая 2012 года,
протокол № 18.
Зав. кафедрой
теоретических основ
компьютерной безопасности и криптографии
профессор
В.Н.Салий
Декан факультета
компьютерных наук
и информационных технологий
доцент
А.Г.Федорова