Элементы теории чисел, Шифр Шамираx

Элементы теории чисел
Пример: 3, 11 – простое
4, 36 – составное
1 – не простое число
Пример: 33=3*11, 27=3*3*3
Пример: 36 и 49 – взаимнопростые, 27 и 18 – не взаимнопростые
Пример:
φ(10)= 4
123456789
φ(12)=4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Пример: φ(11)=10
Доказательство:
Рассмотрим ряд:
1, 2,……pq-1
p, 2p, 3p, … , (q-1)p, т.е. (q-1) член
q, 2q, 3q,….,(p-1)q, т.е. (p-1) член
Следовательно,
φ(pq)=pq-1-p+1-q+1=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)
Пример:
212 mod 13 = 1
1010 mod 11 =1
Пример:
φ(12)=4
54 mod 12 =1
φ(21)= φ (3*7)=2*6=12
212 mod 21 =1
Пример:
949 mod 35 =92*24+1 mod 35 = 9
1049 mod 35 =102*24+1 mod 35 = 10
Пример:
gcd(10,15)=5, gcd(8,28)=4
Пример:
a=28, b=8
1. r=4 a=8 b=4
2. r=0 a=4 b=0
gcd(28,8)=a=4
Обобщенный алгоритм Евклида
Пример:
a=28, b=19
U=(28,1,0)
V=(19,0,1)
1. q=28 div 19=1
T=(28 mod 19, 1-1*0, 0-1*1)=(9,1,-1)
U=(19,0,1)
V=(9,1,-1)
2. q=19 div 9=2
T=(19 mod 9, 0-2*1, 1-2*(-1))=(1,-2,3)
U=(9,1,-1)
V=(1,-2,3)
3. q=9 div 1=9
T=(9 mod 1, 1-9*(-2), -1-9*3)=(0,19,-28)
U=(1,-2,3)
V=(0,19,-28)
U=(gcd(28,19),x,y)=(1,-2,3)
Проверка:
28*(-2)+19*3=1 - верно
Инверсия
Для заданных чисел c и m (c и m взаимнопростые) число d
(d<m)называется инверсией числа c по модулю m, если
выполняется:
cd mod m = 1
d=c-1 mod m
Пример:
c=3, m=11
Число d=4 является инверсией числа 3 по модулю 11, т.к.
3*4 mod 11 =1
4=3-1 mod 11
Для нахождения инверсии можно применять обобщенный алгоритм
Евклида.
cd mod m=1
cd =k*m+1
(-k)*m+d*c=1
m и c взаимнопростые
(-k)*m+d*c=gcd(m,c)
(-k)*m+d*c=gcd(m,c)
a=m, b=c
U=(m,1,0)=(m,0)
V=(c,0,1)=(c,1)
Если в результате вычислений d<0, то d=d+m,
Т.к. d mod m= d+m mod m
Пример:
7-1 mod 11
a=11, b=7
U=(11, 0)
V=(7,1)
1. q=11 div 7=1
T=(11 mod 7, 0-1*1)=(4,-1)
U=(7,1)
V=(4,-1)
2. q=7 div 4=1
T=(7 mod 4, 1-1*(-1))=(3,2)
U=(4,-1)
V=(3,2)
3. q=4 div 3=1
T=(4 mod 3, -1-1*2)=(1,-3)
U=(3,2)
V=(1,-3)
4. q=3 div 1=3
T=(3 mod 1, 2-3*(-3))=(0,11)
U=(1,-3)
V=(0,11)
d=-3
d=-3+11 = 8
Проверка:
cd mod m =1
7*8 mod 11 =1 - верно
Шифр Шамира
Протокол:
p
 A: p – большое простое число. А
B
 A: CaDa mod (p-1) = 1
B: CbDb mod (p-1) = 1
(Ca, Cb – взаимнопростые с (p-1), инверсия)
 m – сообщение, m<p
Если m>p : m=m1m2…mt, mi <p
1. x1=mCa mod p
x1
A
B
2. x2= x1Cb mod p
x2
B
A
3. x3= x2Da mod p
x3
A
B
4. x4= x3Db mod p
x4 = m
Доказательство:
Пусть e=k(p-1)+r, где r=e mod (p-1)
Т.е. xe mod p = x e mod (p-1) mod p
Чтд.
Пример:
 p=23
 A: Ca=7, Da=19 (7*19 mod 22 = 1)
B: Cb=5, Db=9 (5*9 mod 22 = 1)
 m=10