1 Севастьянов Б.А. Гурский Е.И.

1
Теория вероятности и математическая статистика.
 Севастьянов Б.А.
 Гурский Е.И.
 Гмурман В.Е.
1. Эксперимент со случайными исходом.
Реальный эксперимент (опыт, явление, процесс который характеризуется):
 Определяется некоторой совокупностью / определённым комплексом, в рамках
которого происходит эксперимент.
 Определяется некоторая совокупность / комплекс, наблюдаемых результатов.
(т.е. результаты которые могут быть однозначно зафиксированы)
Реальный эксперимент делиться на:
 Детерминированные – когда результат может однозначно определён / вычислен по
определённой совокупностью внешних / входных условий.
 Стохастические – исход определён не однозначно или является таким по своей
природе.
Опр. 1: Пусть A, некоторый наблюдаемый результат, реализуемый в реальном
эксперименте.
Пусть n – число реально проведённых экспериментов в результате которых, результат A
осуществился, тогда числовая ф-ция (k), равное отношению  n k   k A, n  - относительная
n
частота реализаций результата А в n испытаниях.
Опр. 2: S – {эксперимент со случайным исходом} называется математическая модель
реального эксперимента, удовлетворяющая по крайней мере следующим условиям:
 Математическая модель является адекватной к реальному эксперименту.
 Эксперимент со случайным исходом принципиально можно осуществлять Е
количество раз при неизменных условиях.
 В математической модели определены однозначно наблюдаемые исходы –
«случайные» события.
 Доказана принятая гипотеза стохастической устойчивости относительной частоты
наблюдаемых результатов, определённых в рамках данного эксперимента для  A при
n, n(k)p (т.е. сходится в некоторое число).
Опр. 3: Пусть эксперимент со случайным исходом задан, тогда случайное событие называют
достоверным, если оно всегда реализуется в рамках эксперимента со случайным исходом.
Событие называется не возможным, если оно никогда не реализуется в рамках эксперимента
со случайным исходом.
Опр. 4: Два случайных события А и В, реализуемых в рамках эксперимента S:
А, В – несовместны, если реализация одного из них исключает реализацию другого.
А, В – совместны, если реализация одного из них Не исключает реализацию другого.
Опр. 5: Говорят что событие А, В, С… образуют полную группу событий, если в результате
эксперимента реализуется хотя бы одно из них.
Опр. 6: Говорят что в ходе эксперимента S реализуется А и В, тем самым образуют полную
группу событий и являются попарно несовместными.
2
2. Пространство элементарных событий.
Опр. 1: Пусть в S имеется некоторое множество случайных событий, реализуемые в рамках
эксперимента, называемое пространством элементарных событий , если:
 Все события образуют полную группу.
 Являются по парно несовместны.
 Пространство элементарных событий является множеством, то оно может быть
только описано, но не определенно.
Опр. 2: Множество  называется дискретным, если оно конечно либо счётное. (элементы
могут быть пронумерованы) в противном случае  не дискретно.
Следствие 1: s={w:…} пусть пространство дискретно, так что множество простейших
событий указаны / определены / заданы так как это следует из определения пространства
элементарных событий, что при реализаций эксперимента происходит одно и только одно из
простейших элементарных событий.
Опр. 3: Если наблюдаемый результат в эксперименте со случайным исходом трактуются как
точки некоторого арифметического (координатного) пространства, то пространство
элементарных событий, соответствующее такому эксперименту называется не дискретным,
если соответствующее множество точек удовлетворяет условиям то пространство называется
непрерывным.
3. Алгебра событий.
Формальное определение случайного событий.
Случайное событие.
Опр. 1: Пусть задано некоторое множество  и пусть через А, В, С … обозначены
некоторые подмножества этого множества. Совокупность / семейство этих подмножеств
называется алгеброй множеств, если:
 Само исходное множество принадлежит этому семейству.
 Любые АВ, АВ, А\В – являются элементами множества.
Зам. 1: Алгебру множеств принято обозначать @.
Опр. 2: Пусть  - конечное множество, тогда множество всех подмножеств называется
множеством Р() элементами которого являются:
Р()={0,{w1},{w2},…,{wn},{w1w2},{w1w3},…,}
Т. 1: Число элементов множества всех подмножеств равняется 2n , где n – число элементов в
исходном множестве.
N(P())=2n
Д-во: Построение множества всех подмножеств можно создать как упорядочивание, в
которых элемент включается или не включается.
Длительность = объём множества  n
Т. 2: Если  - конечное множество, то множество всех подмножеств образует алгебру
множеств.
Д-во: Пусть задано пространство элементарных событий и для него построено множество
всех подмножеств.
B
A
Само   P() {включено}:
Р()={0,{e1},{e2},…,{en},{e1e2},{e1e3}…,}
AB={e1,e2,e3}  P()
AB={e1}  P()
A\B={e2}  P()
B\A={e3}  P()
{e2}\{e3}=0
3
Опр. 3: Пусть  есть пространство элементарных событий и пусть оно является конечным,
тогда подмножество из множества всех подмножеств называется случайным событием.
Следствие 1: АP()={wi1,wi2,…,wik}
Так как случайное событие – подмножество из множества всех подмножеств и состоит из
элементов пространства элементарных событий, то при реализаций этого события может
происходить одно и только одно.
Опр. 4: Пусть А1, А2, …, Аn - есть подмножество множества , если:
 Эти множества образуют алгебру событий


 A n  @ (алгебра событий ) ,
n 1
то совокупность подмножеств называется -алгебра событий.
Т. 3: Любая алгебра событий всегда является -алгебра событий.
Зам. 2: Пусть пространство элементарных событий является счётным (для него можно
построить множество всех подмножеств но алгоритм построения сложен).
АP() на множестве всех подмножеств могут оказаться не интерпретируемые события.
Опр. 5: Событие В влечёт за собой реализацию события А (ВА), если
происходит реализация любого элементарного события, составляющего
событие В, событие А реализуется.
Опр. 6: Событие А равносильно событию В, если В влечёт за собой реализацию А, а
реализация события А влечёт за собой реализацию В. ВА , АВ
Зам. 3: А=В подмножества, соответствующие событие А и В – совпадающие (состоят из
одних и тех же элементов).
Опр. 7: Событие С называется суммой событий А и В, С=АВ, если в
результате реализаций эксперимента происходит хотя бы одно из них.
Опр. 8: Событие D называется произведением А и В, D=АВ /АВ/, если в
результате эксперимента одновременно происходит как событие А, так и
событие В.
Опр. 9: Говорят, что событие Е является разностью событие А и В, Е=А\В
/А-В/, если событие Е заключается в том, что событие А реализуется, но
при этом событие В не реализуется.
Опр. 10:  - достоверное событие, в то время, как Ø – невозможное событие.
Т. 4: А=А\ - противоположное к событию А событие.
Опр. 11: А, В , С, … , с определёнными на них событиями , операциями сложения и т.д. –
алгебра случайных событий.
4. Алгебра событий для не дискретных событий.
Опр. 1: Пусть
R1 – одномерное
R2 – двух мерное
...
Rn – n –мерное координатное арифметическое пространство.
(x) – (координата точки) наблюдаемого результата для первого пространства.
(x,y) – координата для 2-х мерного пространства.
(x1,x2,…,xn) – n – ка – рассматриваются как наблюдаемые результаты.
4
В пространстве R1 определено B=[x0,x0+x)=[x0,x) понятие полуоткрытых справа
интервалов. x0 R1 x0-фиксирован, x -произвольный удовлетворяет условие x>x0.
В пространстве R2 определены полуоткрытые сверху прямоугольники
B={x0xx0+x, y0yy0+y}  (x0,y0)
R2
x x0+x
(x0,y0)
Т.: Объекты B множества, составляют Борелевское поле и образуют алгебру множеств, а
также в определённых
условиях .
B2
B1
В1В2
В1В2
- Триангуляция
B2
B1
В1В2= Ø
5. Вероятность случайного события.
Опр. 1: Пусть А есть некоторое случайное событие, тогда под вероятностью реализаций
события мы будем понимать некоторую объективную характеристику определяющую
реализацию этого события в рамках случайного исхода.
Опр. 2: Пусть определён эксперимент со случайным исходом, так что определено
пространство случайных событий, алгебра событий, тем самым установлены случайные
результаты (события).
A, B  @ определенны в рамках данного эксперимента, тогда числовая функция
обозначенная как Р(А), Р(В), … называется вероятностью случайного события А, В и т.д.,
если эта числовая функция удовлетворяет следующей системе аксиом:
 Аксиомы отрицательности: для любого события значение вероятности всегда больше
или равно 0,  А, Р(А)0.
 Аксиома нормировки: вероятность достоверного события тождественна строго
единице, Р()=1
 Аксиома аддитивности: если событие А и В являются несовместными, тогда
вероятность их суммы =сумма вероятности, Р(АВ)=Р(А)+Р(В).
 Аксиома непрерывности: для любой последовательности событий, для которых

выполнено условие,  А1, А2, …, Аn : A1A2A3…:  A n  0
n 1
Lim PA n   0
n 
Зам. 1: Аксиома 4 относиться к бесконечным пространствам элементарных событий так, что
для конечных пространств элементарных событий основными являются первые три аксиомы,
определяющие понятие вероятности события.
Зам. 2: Аксиома 3 (аксиома сложения) несовместимых событий и при этом аксиома может
быть по индукции распространена на любое конечное количество / число попарно
несовместимых событий.
Опр. 3: (, @, Р – формализованная модель со случайным исходом) Пространство
элементарных событий, алгебра событий, вероятность – называется вероятностным
пространством.
5
6. Свойство вероятности случайного события.
Основные свойства числовой функций.
Т. 1: Пусть событие А, В являются взаимно попарно несовместными, тогда АВ=0
(невозможное событие)
Д-во: Т.к. событие взаимно попарно несовместное, то они не содержат в качестве своих
элементов элементарных случайных исходов, принадлежащих обоим множествам АВ=0.
Т. 2: (Субтрактивность) Если событие В влечёт за собой событие А (ВА), то вероятность
события А без В (Р(А\В)=Р(А)-Р(В)) равняется разности вероятностей.
Д-во:
А=В(А\В)
0=В(А\В)
Р(А)=Р(В(А\В))=Р(В)+Р(А\В)
Р(А\В)=Р(А)-Р(В)
Т. 3: (Монотонности) если ВА, то Р(А)Р(В).
Д-во: Р(А)-Р(В)0  Р(А)Р(В)
Т. 4: Если А и А – взаимно противоположные события, тогда Р(А)=1-Р(А)  Р(А)=1-Р(А).
Д-во:
А=\А
Р(А)=Р(\А)=Р()-Р(А)=1-Р(А)
Т. 5: Пусть определено невозможное событие в эксперименте со случайным исходом, тогда
Р(Ø)=0.
Д-во:
\=Ø
P(Ø)=Р()-Р()=1-1=0
Зам. 1: Р(А)=0
Т. 6: Если А и В несовместны, тогда Р(АВ)=Р(Ø)=0 совместная реализация.
Т. 7: (Сложения вероятностей) Пусть А и В – любые события, реализуемые в рамках
эксперимента, тогда Р(АВ)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ)
Д-во:
АВ=А(В\(АВ))
 АВ  В (влечёт за собой)
 А(В\(АВ))=Ø
Р(АВ)=Р(А)+Р(В\АВ))=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Зам. 1: (для любого конечного числа множеств) Но вид формулы другой для двух множеств.
Р(АВС)
6
7. Классическая вероятная схема.
A  w i1 , w i 2 , w i3 
P(A) ?
w i1 ,w i 2 ,w i 3 попарно несовместные
A  w i1  w i 2  w i3
w i1w i 2 0
P(A)  P( w i1 )  P( w i 2 )  P( w i3 )
Опр. 1: (, @, Р)s – пространство элементарных событий конечно, ={w1,w2,…,wn} что оно
содержит n элементов, тогда говорят что задана классическая вероятная схема, если:

существует множество n неотрицательных чисел pi0 таких, что сумма
n
p
i
1
i 1

каждому pi по определению поставлена вероятность элементарного события из
пространства элементарных событий, pi : p(w i ) .
Опр. 2: События А и В называются равновозможными, если по условиям эксперимента нет
основания утверждать, что какое либо из них является более предпочтительное относительно
другого.
Опр. 3: Классическая вероятная схема   w1 ,..., w n , в которой все элементарные исходы /
события, определены на пространстве элементарных событий являются равновозможными,
называются классической вероятной схемой с равновозможным исходом.
Т. 1: Если есть основания утверждать, что имеет место классическая схема с
равновозможными исходами, то вероятности равновозможных исходов, принадлежат
пространству элементарных событий восстанавливаются всегда однозначно, P(w k ), k  1,2,..., n .
Д-во: Пусть   w1 ,..., w n так, что N()=n
(достаточное событие)=w1w2wn заключается в том, что произойдёт либо w1, либо w2,
либо wn, wiwj=Ø т.к. они попарно не совместны.
P   1 
n
 Pw
k
  p  n  p  N
k 1
числа находятся однозначно.
1
1
Pw k   p  k  p  Pw k   
n N 
Т. 2: Пусть есть основание считать, что имеет место классическая вероятностная схема с
равновозможными исходами, на алгебре событий всегда определяется однозначно.
Д-во: Пусть A  w k , k N тогда A 
w
k
w k A
 PA  
 Pw
w k A
k
  NA 
N 
wi  w j  0
8. Геометрическая вероятность.
Опр. 1: Пусть пространство элементарных событий является не дискретным и непрерывным.
Пусть постоянна вероятное пространство, где  - алгебра. Пусть определенно событие А,
тогда под вероятностью события А мы понимаем функцию которая определена: PA   mesA .
R 1  пространственный реагент   А
mes мера  R 2  пространство опр. как площадь области G  A
R 3  объём тела  А
mes 
- понимается как длина полу открытого
промежутка.
Зам. 1: Аксиома 1-3.
Зам. 2: Пространство R2 наблюдаемых результатов как точек PA  
1
0 .

7
9. По парная независимость события.
Условная вероятность.
Теорема умножения вероятности.
Опр. 1: Пусть А и В (события) реализуются в рамках некоторого эксперимента S, пусть при
этом Р(В)>0. Условной вероятностью события А при условий, что событие В произошло,
def 

называется число Р(А|B)  PB A    PA  B 
 PB  
Зам. 1: События А, В - АВ (произведение событий), определена на одном и том же
пространстве элементарных событий.
Т. 1: P(AB)=P(B)P(A|B) – теорема умножения вероятностей.
Опр. 2: Событие А называется независимым от события В, если условная вероятность А при
условий В равна без условной вероятности А: P(A|B)=P(A)
Т. 2: Если событие А не зависит от события В, то и В не зависит от А. ( событие попарно
независимо).
Д-во: Пусть событие А не зависит от события В, тогда по теореме умножения:
P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A) (операция  является коммутативной АВ=ВА)
P(BA)=P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A)=P(B)P(A)
P(B)=P(B|A)
Т. 3: Если события А и В являются взаимно независимыми, то попарно не зависимыми, то
попарно не зависимыми будут : A, B A, B A, B .
Д-во: А и В независимы так, что:
Р(АВ)=Р(А)Р(В)
А=(АВ)(АВ)
(АВ)(АВ)=
АВАВ=А(ВВ)
Р(АВ)=Р(А)-Р(А)Р(В)=Р(А)(1-Р(В))=Р(А)Р(В)
Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Т. 4: Если событие А и В являются независимыми, при этом Р(А)0, Р(В)0, тогда эти
события всегда совместны.
Д-во:
Р(АВ)=Р(А)Р(В)0
Р(АВ)0  АВ0 события оказалось совместными.
Т. 5: Пусть А и В являются несовместными, тогда если Р(А|В)0, события оказываются
зависимыми.
Д-во:
PA  B  PB  PA | B  0
PA  B
PA | B 
 PA 
PB
Зам. 5: теоремы нельзя читать в обратную сторону:
Независимы  совместны
Несовместны  зависимы
8
10. Независимость в совокупности.
Основная теория умножения вероятности.
Опр. 1: Пусть события А1, А2, …, Аn реализуется в рамках эксперимента S. События
называются независимыми в совокупности, если:
 они являются попарно независимыми.
 независимыми являются любые события из указанной совокупности с любыми
возможными произведениями других событий ( Ak при k=1,2,...n).
Т. 1: (общая теорема умножения вероятностей): Пусть А1, А2, …, Аn конечное множество
событий реализованных в рамках события S. Тогда вероятность их произведения:
 n

P
A k   PA1  PA 2 | A1  PA 3 | A1A 2  ...PA n | A1A 2 ...A n 1 


 
 k 1


Д-во:
Пусть есть А, В, С  Р(АВС)=Р((АВ)С)=Р(С|АВ)Р(АВ)=Р(А)Р(В|A)P(C|AB)
Следствие 1: А1, А2 …Аn – независимые:
 n

P
A k  
 k 1


n
 PA
k

k 1
11. Вероятность сложных событий.
Т. 1: (вероятность реализаций хотя бы одного события) Пусть А1, А2, …, Аn - независимые в
совокупности, тогда вероятность реализаций хотя бы одного из них:
 w

P
A n   1 
 k 1


w
 PA  .
k
k 1
Д-во:
 Из определения суммы событий А1А2…Аn = (реализовалось хотя бы одно из Ak,
где k=1,2,…,n).
n

Из теорий множеств по закону де Моргана: A1  A 2  ...  A n   A k
k 1
n

n
A  A
k
k 1




P
A k   1  P
A k   1 
 k 1

 k 1

n
k

k 1
n


n
 PA 
k
k 1
Т. 2: (формула полной вероятности):
Пусть А в рамках эксперимента S реализуется тогда и только тогда, когда реализовалось
хотя бы одно из Hk, которые:
 являются попарно не совместимыми.
 образуют полную группу.
PA  
n
 PH
k
  PA | H k 
k  1,2,...n 
k 1
Д-во: Т.к. А реализуется в том случае, когда происходит хотя бы одно событие, тогда:
A  AH1  AH 2  ...  AH n
PA  
n

k 1
PAH k  
n
 PH
k
  PA | H k 
k 1
Опр. 1: События Hk, определённых в теореме 2, носят название гипотез (a priori)
(дополнительные гипотезы):
 n

P
Hk  1


 k 1


9
Т. 3: (Бейеса) Если в результате S реализовалось событие А, которое могло произойти тогда
и только тогда, когда реализуется хотя бы одна из гипотез H k nk 1 . Пусть событие А
n
PH k PA H k 
, PA    PH k PA H k 
произошло, тогда: PH k A  
PA 
k 1
Д-во: P(AHk)=P(HkA)=P(A)P(Hk|A)P(Hk|A)= PA  H k   PH k PA | H k 
PA
PA
12. Последовательность испытаний.
Опр. 1: Пусть имеется некоторая совокупность Sk: k Последовательностью n испытаний
k=1,2…n называется сложный эксперимент, заключается в:
 Пространство элементарных событий этого эксперимента: =12…n
 Элементы явл. n-ки или картежи: w w=(w1,w2,…,wn)
wkk
 P(w)=P(w1)P(w2|w1)…(P(wn|w1w2…wn-1)
Опр. 2: P(w)=P(w1)P(w2)…P(wn), т.е. события w1,w2,…,wn является независимыми в
совокупности, то последовательность испытаний называется последовательностью n –
независимых испытаний.
Зам. 1: Если не указано что события независимые, то нужно доказывать.
Опр. 3: Если в каждом из k=1,2…n экспериментов, некоторое событие А, может
реализоваться (не реализоваться) с не которой вероятностью PA   p PA   q  1  p то говорят,
что заданна последовательность n-независимых испытаний по схеме Бернулли.
Зам. 2: Соответствующие n-ки всегда можно кодировать, достаточно считать появление
истины р=1, если не реализовывается то q=0, тогда любую последовательность можно
закодировать.
Т. 1: Пусть задана последовательность эксперимента по схеме Бернулли, тогда
последовательное испытание реализуется ровно k раз равняется: Pn k   C kn p k q nk
Д-во: Пусть имеется n – независимых испытаний по схеме Бернулли: w  1101...10...1  С kn p k q n k
1k штук
0 n  k
Т. 2: Пусть имеется испытания по схеме Бернулли, тогда существуют по крайней мере одно
число m0, что Pn(m0-1)Pn(m0)Pn(m0+1), существуют такое число, последовательностей
испытаний при котором достигается max вероятности.
Д-во:
Pn m 0  1  Pn m 0 

m0 1 m0 1 m0 1
Cn p
q
n!
0 m0 n  m0
 Cm
n p q
q
n!
p
m 0  1n  m 0  1! m 0 !n  m 0 !
m 0 q  n  m 0  1p  m 0 q  m 0 p  n  1p  m 0  n  1p
Опр. 4: Число m0 называется наивероятнейшим числом появления события А если
удовлетворяет условию: np  q  m0  n  1p
Следствие 1:Если p(n+1) – целое число, то наивероятнейших чисел может быть 2.
Следствие 2: p=P(1) вероятность реализаций события А после испытаний по схеме Б.
n
n
k 1
k 0
 q  px  q  pxn   C kn q k pxnk  по ф  ле Бинома Ньютона
p  P1
q  P0 
 n

dk 
C kn q k pxn k 


1
 k 0

Pn k  
k!
dx k

x 0
Опр. 5: Пусть имеется последовательность по схеме Бернулли, но при этом в зависимости от
k, вероятность появления 1 - P(1)=pk , для 0 P(0)=qk становиться не постоянным числом, а
переменным:
n
1 d k  G n x 
Pn k  
G n x    q i  p i x  - функция биномиальной схемы испытаний.
где
k
k!
dx
x 0
i 1
10
13. Случайные величины.
Дискретный случай.
Опр. 1: Пусть для S сформулировано: (, @, Р)s, Пусть  - дискретно, тогда X - любая
числовая функция, определённая на  пространстве элементарных событий, X  Xw  :
называется дискретной случайной величиной.
Зам. 1: (задать Случайную Величину Дискретного Типа - СВДТ)
 указать  - область задания
 множество возможных значений xk, k=1,2,…n;
 Задать вероятность с которой величина принимает значение P(X=xk), k=1,2,…n;
Зам. 2: Случайные величины
x
R
X
X  Xw  :   R
Опр. 2: Будем говорить, что СВДТ задано, если указан законченный алгоритм, но каждому
возможному значению случайной величены ставиться в соответствие единственное число,
которое является вероятностью того, что вероятность приняло значение  xk  P(X=xk)
называется закон распределения СВДТ.
Пусть известно Xk и P(X=xk), тогда если закон распределения представлен в виде:
X
X1 X2 … Xn Xn+1
P(X=xk) P1 P2 … Pn Pn+1 n or 
 PX  x k    p k  1
k 1
k 1
14. Классическая распределения.
Дискретно – случайных величин.
Опр. 1: Говорят что Х имеет равномерный закон распределение, если X U(n)
X
1
2
...
n
P(X=xk) 1/n
1/n
...
1/n
X – число, выпадающих на верхней грани, n – мерной игральной кости.
Опр. 2: Говорят, что случайная величина имеет геометрический закон распределения, если
её табличный вид: X Glo(p)
X
1
2
3
… k
2
P(X=xk) p
qp q p ... qk-1p
Pn X  x k   q k 1 p x k  N, k  1..n
Это есть случайная величина определяющая число последовательностей испытанных по
схеме Бернулли до появления первого успеха.
p  P1 q  P0   1  p

q
k 1
p 1
k 1


S k  p  qp  q 2 p  ...  q k 1 p  p 1  q  q 2  ...  q k 1  p
1 qk
Lim p
k   1  q

1 qk
1 q
k 
k


  p  Lim  1  q   p  1  Lim q  0  p  1

k   1  q 1  q 
1  q k  1  q
1 q



т.к. q 1
Опр. 3: Говорят, что случайные величины Х имеет XHGeo(n, m, n1) гипергеометрическое
распределение с параметрами (n, m, n1), если её возможные значения:
Pn X  x k  
Опр. 4: Случайная величина Х называется XB(n, p) – биноминальным законом
распределения, если Pn X  x k   Ckn p k q nk , x k  0,1,2..., n
Опр. 5: Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если
X  P   , если : Pn X  x k  
k 
e , где   np  const
k!
k
C kn  C m
n n
1
1
Cm
n
11
Т. 1: Пусть иметься последовательность испытаний по схеме Бернулли, и при этом n
(число испытаний) и P(1)=p << 0 но, если np==const, при n, то при распределение
Бернулли сходиться по вероятности к распределению Пуассона: B(n,p)();
Д-во: Пусть:
k
n
 np k k  k n n  1n  2...n  k  1 
n!
 


X  Bn, p   P(X  x k )  C kn p k q n k 
 p k 1  p n k  

1   1   

 nk
k!n  k !
n 
n

n k  k!
nk

k
n

1 
2 
k  1 
 
 
k 
 Lim  1  1  ...1 
e
1   1     Lim
n  k! 
n 
n 
n 
n 
n   n  k!


15. Случайные величины не дискретного типа.
Функция распределения и её свойства.
Опр. 1: Пусть (, @, P)s  - пространство не дискретного типа, тогда X=x(w) называется
случайной величиной не дискретного типа, если для любого X из R события, заключается в
том (w:X<x)@.
Опр. 2: Пусть X= x(w) есть определённая случайная величина не дискретного тип, тогда
def
Fx   PX  x , x  R называется
функцией распределения одномерной случайной величены не
дискретного типа.
Т. 1: Значение функций распределения не превосходят 1: 0F(x)1, т.к. задана через Р.
Т. 2: (монотонности)  x1 , x 2 из множества значений случайных величин, таких
что : x 2  x1 Fx 2   Fx1 
Д-во:
A=X<x1
B=x1Xx2
C=X<x2=AB, при AB=0 А и В несовместны
тогда P(C)=P(A)+P(B)  P(C)=P(X<x2)=F(x2)
P(A)=P(X<x1)=F(x1)
F(x2)=F(x1)+P(x1X<x2)
F(x2)F(x1) x1,x2)  Bi – борелевский промежуток.
Т. 3: P(x1X<x2)=P(Bi)=F(x2)-F(x1)
Т. 4: Пусть задан промежуток x1 , x 
Т. 5:
Lim Fx   Fx 0 
Lim P(x1  X  x)  [P(x1  X  x1 )]  Fx1   Fx1   0
xx1 0
xx 0 0
Следствие 1: Px1  X  x 2   Px1  X  x 2   Px1  X  x 2   Px1  X  x 2 
Т. 6: Lim Fx   1 - распределение функций на бесконечности.
x 
Т. 7:
Lim Fx   0
x 
Д-во:
Fx   PX  x   P(  X  x )
Lim Fx   P   X    P  1
x 
Следствие 2: Любая числовая функция удовлетворяющая T1-T7, является функцией
распределения некоторой случайной величены.
Т. 8: X=X(w) есть случайная величина дискретного типа, которая утверждает, что F(x) всегда
определена и представлена в виде непрерывной и постоянной функций, графиком которой
является множества отрезков прямых параллельных оси Ox.
Т. 9: Пусть F(x) непрерывная функция, тогда придел приращения Lim Fx 0   0
x 0
Д-во: Fx 0   Fx 0  x  Fx 0  , при x  0  0
Опр. 3: СВнеДT, где F(x) – непрерывная функция называется непрерывными случайными
величинами.
12
16. Абсолютно непрерывные случайными величины.
Плотность распределения. Его свойства.
Опр. 1: (, @, P)s  - не дискретно.
Числовая функция PX(x), называется плотностью распределения некоторый случайной
x2
величиной Х, если
x 1 , x 2 : x 2  x 1

Px 1  X  x 2   R  PX r dr
x1
x2
Зам. 1: Px1  X  x 2    PX x dx  P(Bi )  Px1  X  x 2 
x1
Т. 1: Плотность распределения
функция.
x2
Д-во:
P
X
PX x   0 ,
если она существует всегда не отрицательная
X dx  PX x 2  x1   PX x   0
x1

Т. 2: Если существует плотность распределения, то
P
X
x dx  1


Д-во:
P
X
x dx  P   X    P   1

Опр. 2: Если у X имеется p(x), то такие случайные величины называются x абсолютно
непрерывные.
Т. 3: Если PX(x) задано, тогда F(X) – восстанавливается однозначно.
Д–во:
P   X  x  
x
P
X
x dx  PX  x   Fx 

   X  x   X  x 
Т. 4: Если F(x) задана и является дифференциалом, тогда PX(x) восстанавливается
однозначно: PX x   dF
dx
x2
Д-во: Px1  X  x 2   Fx 2   Fx1    PX x d x
Fx   px 
x1
Пусть X абсолютная непрерывная случайная величина, тогда:
Fx 0   Fx 0 x  ox   p X x x  ox 
Fx 0   Px 0  x  x 0  x 
- откуда следует, что pX(x) с точностью до бесконечно малых,
определяет вероятность попадания случайных величин в сколь угодно малый промежуток.
Поэтому не говорят о попадание в точке, а о промежутке (интервале).
Зам. 1: f x   p x x 
x 0  x
p
x0
X0 X0+X
X
x x - представляет собой площадь криволинейной трапеций.
13
17. Некоторые классические распределения абсолютно случайных величин.
1. Равномерное распределение случайной величены U[a,b].
Опр. 1: Говорят что случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке
[a,b]: X U[a,b], если плотность распределения этой величены задана при помощи
соотношения:
0, x  a


p x x   const, a  x  b

0, x  b

Задача 1: (ф-ция постоянна) Найти то значение const или найти те значения параметров что
бы f(x)=const, когда x[a,b) действительно являлось плотностью распределения.
Т.:
1. Ф-ция может быть плотностью распределения только, если: f x   0  const  0

2.

f x dx  1 



a

constdx 



b

0dx  constdx 
a

b
0dx  1 
b
 constdx  1
const 
1
b
 dx
a

1
X
a
b

1
ba
a
если случайная величена задана на [a,b), то она имеет вид:
 0, x  a
 1
p x x   
axb
b  a
 0, x  b
Задача 2: Пусть задана плотность распределения величены, распределены равномерно на
[a,b]. Найти / восстановить функцию распределения величены.
Fx x  
x
p
x
x dx 

b
x

a
 0dx  
dx
x

ba ba
x
a
xb

,
ba
xb
a  x  b Limf x   Lim
x b  0 b  a
x 
0, x  a


x  a
FX x   
, axb
b  a
1, x  b


2. Экспоненциальное распределение (зависящее от параметра ).
Exp()
 0, x  0
X  Exp () , если p x x    x
e , x  0
Задача 3: Докажите что записанная функция действительно при >0 представляет собой
плотность распределения: e x , x  0 .
 Записанная функция =плотность распределения



e x dx  1 



e x dx  1
0

Ft   e t dt   e t

0
x
x
e x dx  Lim
x 
 e
0
 t
 
dt  Lim  e t   e 0  1  Lim
x 
x 
1
e x
0
 первообразная
0
0 записанная функция является законом распределения случайной величены.
Следствие: Fx x   1  e x - функция распределения.
Опр. 3: Пусть Т есть переменная, определённая как время безотказной работы элемента /
устройства, тогда функцию: Ft   PT  t  - фиксированное произвольное значение времени –
называется функцией вероятности отказа элемента за промежуток времени, длительностью t:
R(t)=P(T>t) – противоположное событие - называется функцией надёжности элемента, тогда
по Опр. 4, если в качестве функция надёжности выбрана R(t)=1-FT(t), где через FT(t)
обозначена функция распределения случайной величены, имеющей показательный закон
распределения. Функция имеет вид (показательный закон распределения) и при этом
параметр  есть интенсивность элемента в единицу времени.
Т.: Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени t не зависит от
времени предыдущей работы системы до начала интервала и зависит только от длительности
t и заданной интенсивности отказа, если случайная величина имеет показательный закон
надёжности.
14
18. Центральное распределение абсолютно непрерывных случайных величин.
Опр. 1: Говорят, что случайная величена Х имеет нормальный закон распределения
XN(,), если плотность распределения задана как:
p X x  

1
x a 2
2 2
e
 2
x  R
Задачи:
 при каких  и  является плотность распределения.
 Докажите, что записанная функция является функцией плотности распределения.
1. p X x  0 , тогда    0


2.


1
2
x a 2
2
e
2
x  

t  
xa
1
dx 
t 
 
x




 2
x  t  a

t




e

t2
2 dt
1

dx dt


t2

e 2 dt
- интеграл Пуассона.
 2

Зам. 1:

1
2


1
2
t2

e 2 dt
e

t2
2 dt
1
в силу симметричности относительно точки t=0 можно утверждать, что

 0.5

Зам. 2: x  
x
1
2
e

t2
2 dt
(-х)=-(х) – функция не чётна.
0
Зам. 3:
p X x  

1
 2
e
x a 2
2 2
x  R - функция чётна относительно точки x=a;
1. имеется точка локального максимума где максимум достигается в точке x=a;
2. из функций есть 2 точки перегиба:
а-
а+
3. есть 2 горизонтальные асимптоты y=0

1 
  a ,
  точка локального максимума
  2 
а-
а
а+
Опр. 2: Пусть XN(,), тогда
x  
x
e
2 
1

t2
2 dt
при
xa
 t называется

интегралом
0
вероятности или функцией Лапласа.
Т. 1: Пусть Х имеет нормальный закон распределения, тогда p  X             а  для
  
  
нормального распределения случайной величены всегда определена вероятность, что Х
борелевскому промежутку P(XB)
15
Д-во: P(<X<)=(по опр. плотности вероятности)=P(X<)=



1
2

e
x  a 
2
2 2
dx 
1
2
a


 a


e
2
t
2
а   а 
dt  
  

     
xa
t

dx  dt
a
x t

a
x  t 

Зам. 4: т.к. Ф(х) положительна, разность положительна всегда.
Т. 2: P X  a

  

   Pa    X  a            2 
  

19. Функций одномерных случайных величин.
Опр. 1:Пусть задана случайная величина X=X(w) и пусть задана числовая функция : y=(x)
Случайная величина Y называется функцией случайной величены x, если на вероятностном
пространстве (, @, Р)s рассматриваемого эксперимента:
Y  x i , PY  PX  x i 
Y i
X  : Y  y @
Зам. 1: задана функция случайных величин Y=[X()]=Y() – суперпозиция.
Т. 1: Если известна функция распределения случайной величены Fx(X)Fy(X) то тогда
функция распределения случайной величены Y восстанавливается однозначно.
Д-во: Пусть числ. функция : y=(x) является:
 Монотонно возрастающей 
 Так, что существует обратная функция -1
E     Y  y  Y  y: FX y - функция случайной величены y;
В силу того, что существует обратная функция -1 , то событие (-Y y) равносильно
1
событию, что случ. X приняло значение (X<x)    1   ,
x   y 
Равносильность  из условия Y=y следует, что X=x и наоборот (X=x  Y=y)
Следовательно P(-<Y<y)=P(<X<x)
Fy y  PY  y  P   Y  y  P  X  x   Fx x   Fx 
Зам. 2: Fx(x) и Fy(y) – представляет собой функцию распределения дискретной случайной
величены.
Т. 2: Если плотность распределения случайной величены x известна, то Px(x)Py(y) –
восстанавливается однозначно.
Д-во: Пусть Fy(y) известна и восстановлена, тогда
dFy y  d
Fx x   Fx    d Fx x   Fx   dx   dFx x   0  1  Px x  1
Py y  

dy
 d 1  d

1 
 dy  dx


dy
Py y  
dx
dy

dx
 dy
dx
 dy 
 
 dx 
Px x 
 dy 
 
 dx 
Зам. 3: обратные функций существуют, если исходная функция является монотонно
возрастающей / убывающей.
(-, y)

(x,)
множество убывает
поменяется местами
16
20. Математическое ожидание одномерной случайной величены.
Опр. 1: Математическое ожидание случайной величены x:

 xP X  x k , X  случ. велич. случ. типа

 C
MX   EX   
 xP x dx, X  абсолютно непрер. случ. велич

 

называется число, которое равно сумме по всем возможным значениям случайной величены
или  и при этом сумма  понимается в смысле абсолютной их сходимости.
Т. 1: (относительно всех числовых характеристик) Если задана случайная величина y
являющаяся функцией случайной величены x Y  X,  : y  x  , то для нахождения
математического ожидания функций случайной величены достаточно знать лишь плотность
распределения аргумента (нет необходимости восстанавливать плотность распределения
функция случайной величены).
Д-во: Пусть требуется найти:



p x 
M y   ypy y dy  x  x
 dy  x p x x   dx




dy
dx


Свойства:
1. M(C)=C {C-постоянная}
Д-во: : y=C x
{C-принимает единственное значение с вероятность =1}
M C  
1
 C  PX  C  C
k 1
2. M(CX)=CM(X)
Д-во: : y=CX
Px(x)
M CX  


Cxp x x dx  C


 xp
x
x dx  CMX 

3. M(CX+B)=CM(X)+B
Д-во: : y=CX+B
M CX  B 






 CX  Bpx x dx  C  xp x x dx  B  px x dx CM X  B
4. M(X ), kN {всегда существует}
Д-во: : M(Xk), kN
k

   x p x dx
M X    X PX  x
M Xk 
k
x

k
k
k

если x – случайная величина дискретного типа.

5. Пусть X – случайная величена, M(X) – есть величена неслучайная.
Д-во: Пусть случайная величена определена (задан закон её распределения), тогда
 x k PX  x k  - есть числа без вероятности.

MX 
x1  NX  x1   x 2  NX  x 2   ...  x n  NX  x n 
N
X
x1
P(X=xk) p1
NX  x k 
pk 
N
x2
p2
…
…
xn
pn
- среднее арифметическое значение
17
21. Дисперсия и среднеарифметическое отклонение одномерной случайной
величены.
o
Опр. 1: Пусть y случайная величина X существует MX, тогда X  MX  X / X называется
отклонением случайной величины X от математического ожидание.
Опр. 2: операция перехода от функций X  X называется операцией центрирования.
Т. 1:
Д-во:

M X   0 (всегда
 
тождественно равно 0)

M X   MX  MX  MX  MX  0
 
Опр. 3: DX   MX  M X2 
Свойство:


D(x)0 {всегда}
 x  M X p
2
x
x dx

Опр. 4: арифметический квадратный корень
отклонением X от его ожидания: DX   x  0
называется
среднеарифметическим
Свойство:
 DC   0

Д-во:
 C  Cp
x
x dx  0

 D(CX)  C 2 D(X)
Д-во: DCX   MCX  MCX2   MCX  CMX2   MC 2 X  MX2   C 2 MX  MX2 
 DX   M X 2   M X2
Д-во: DX   MX  M X2   MX 2  2XM X  M X2   M X2  M X  2M X  M X2  MX 2   M X2
 В силу того, что дисперсия определена через М(Х), то и дисперсия есть случайная
величина.
Зам.: дисперсия введена как мера размещения возможных значений случайной величины
относительно математического среднеквадратичного ожидания характеризует меру разброса
х.
22. Начальные и центральные моменты одномерной случайной величены.
Опр. 1: Начальным моментом Хк – того порядка называется:
Опр. 2: Центральным моментом к-того порядка называется:

M X  MXk



x i  MXk PX  x i 

 
  
k

x  MXk p x x dx

 

 
M Xk


X k pX  x k 


  
k
k

x p x x dx

 

18
23. Структурные числовые характеристики одномерных случайных величин.
Опр. 1: М0Х – модой (модальное значение) случайных величин Х называется то её
возможное значение, на котором достигается максимум вероятности того, что случайная
величина примет значение:
Max P(X<x) или max px(x) – для абсолютно непрерывных случайных величин.
Следствие 1: Если х – случайная величина дискретного типа, то max P(X:=xm), то мода есть
всегда. Модальные значений может быть несколько как для дискретных, так и для не
дискретных величин.
- унимодальные
- мультимодальные
Следствие 2: Если х - случайная величина абсолютно непрерывного типа, то Xm
удовлетворяет условию p x x   0 в тех точках, где достигается локальный максимум.
Опр. 2: Медиальный MeX случайный величиной Х называется то её возможное значение hХ,
для которого имеет место равенство: PX  hx   PX  hx 
Зам.: Медиальное значение, если оно существует, по определению делит всё множество
возможных значений случайных величин на два непересекающихся подмножества,
вероятности попадания в которые для случайной величины одинаковы.
Следствие 3: Если для случайной величины построена функция распределения, то
медиальное значение определяется так: Fx x   1
2
Зам.: Для дискретной случайной величены медиана может не существовать.
Опр. 3: Квантиль р - ого порядка называется то возможное значение случайной величины Х,
для k – ого имеет место утверждать, что PX  t p   p - некоторая заданная вероятность,
определяет порядок квантиля.
tp – квантиль
0,1 – 10 % квантиль
Опр. 4: æ Критической точкой р – ого порядка называется то возможное значение
случайной величены Х, для которого P(Xæp)=p
Опр. 5: Симметрический квантилями и критическими точками называются такие возможные
значения случайной величены Х, tp и æp для которых:


P(|X|æp)=p
P x  tp  p
19
Многомерные случайные величины или случайные вектора.
1. Многомерные случайные вектора или многомерные случайные величины.
Функция распределения и её основные свойства.
Опр. 1: Пусть определено вероятностное пространство (,@,P)s на котором определенны
случайные величины X1 , X 2 ,..., X n  . Тогда, если наблюдаемым результатом в
x  X 
эксперименте являются n-ки   x 1 , x 2 ,..., x n , где 1 1 которые трактуются либо как точки nx 2  X 2 
мерного координатного пространства, либо как компоненты n-мерного вектора, то тогда

многомерной случайной величины или n-мерным вектором X  X1 , X 2 ,..., X n  называется
совокупность случайных величин, которые рассматриваются совместно и при этом
x1 , x 2 ,..., x n  .
Зам. 1:

X
- случайный вектор,

X  X, Y
- компоненты.
Зам. 2: все случай определены на одном и том же пространстве элементарных событий.

Опр. 2: Пусть задан n-мерный случайный вектор X  X1 , X 2 ,..., X n  , тогда функция
распределения этого случайного вектора, F x   Fx1 , x 2 ,..., x n   p по определению называется
X
x1 , x 2 ,..., x n
вероятностью того, что X1  x1 , X 2  x 2 ,..., X n  x n  .

x,y
Зам. 3: Пусть X  X, Y
F x , y   FX,Y x , y   PX  x , Y  y  - двухмерное координатное пространство R2.
X

X :   X, Y 
- множество всех возможных точек на координатной плоскости.
Основные свойства: (только для двухмерного пространства)
F x , y 
X
1.
2.
0  F x , y   1
X
lim F x, y   1
x  X
y


F  ,  PX  , Y    P x , y  R 2  P   1
X
- любое значение из числовой плотности.
lim F x , y   0
3.
x  X
lim F x , y   0
y X
4. условие согласования:
lim F x, y   Fy y 
x  X
lim F x, y   Fx x 
y X
Д-во: Пусть
y   F x,  PX  x , Y    pX  x,    Y    PX  x   FX X 
X
- функция
распределения компоненты, безразлично для какого значения Y.
Опр. 3: Функция распределения одномерных компонентов, получается из обшей функций
распределения случайного вектора при помощи условия согласования называющегося
Маргинальным.
Зам. 4: Если функция распределения (совместна) случайного вектора задана, то всегда
восстанавливаются одномерные законы распределения компонентов (обратное не возможно).
20
5. Функция распределения вектора является возрастающей по каждой из своих
компонентов.
Д-во: Пусть выбрано некоторое конкретное значение y (y), x1 ,x2 , x2>x1
A  X  x 1 , Y  y
B  x 1  X  x 2 , Y  y
C  X  x 2 , Y  y
A  B  C PA  B  0 - события не совместимые
PA  B  PA   PB  PC  PA   PB
PX  x 2 , Y  y   PX  x 1 , Y  y   Px 1  X  x 2 , Y  y 
PX  x 2 , Y  y   PX  x 1 , Y  y 
x2
x1
Fx 2 , y  Fx1 , y F  x
Т.: Пусть B  x 0  x  x 0  x, y0  y  y0  yЕсли задана совместная функция распределения, то
вероятность того, что


P X   


- вычисляется однозначно.
x0,y0+y
A  X  x 0  x, Y  y 0  y
B  X  x 0 , Y  y 0  y
C  X  x 0  x, Y  y 0 
x0,y0 B
x0+x,y0+y
x0+x,y0
  A \ B  C 
P  x 0  x  x 0  x  PA   PB  C  PA   PB  PC  PBC 
BC


 X  x 0  x, Y  y 0  y  F x  x 0 , Y  y 0  y   F x 0  x, y 0   P X     ...  FX  x 0 , Y  y 0 
X
X


Следствие: Пусть G – некоторая квадратируемая область, тогда если G представляет собой
некоторое событие и известна функция распределения, всегда может быть определена P(G).
Д-во: Если G квадратируема, то:
n

lim
x i yi
 n 
k 1

max Si 0
Si

 dxdy
G
2. Дискретные случай векторов.
Опр. 1: Говорят что задан дискретный случайный вектор (двухмерная случайная величина),
если:
 Указан полный спектр x i , y j  этого вектора и спектр является дискретным
i  1,2,..., n
j  1,2,..., m

p ij  0
 p
i
Задано множество чисел, заиндексированных двумя индексами
ij
1
j
 PX  x i , Y  y i   p ij
Опр. 1: Говорят что случайный вектор задан таблично nm:
m
Y1
Y2
…
Ym
p ij  p i

j1
X1
X2
…
Xn
pij
n
p
ij
 pj
i 1
Т. 1: Утверждается что матрица распределения восстанавливается суммированием.
Зам. 1: X, Y – восстанавливаются однозначно, тогда однозначно определяется центр
распределения, даже у дискретного случайного вектора. У любого вектора существует центр
распределения (MX,MY) – точка на плоскости, x, y – могут быть вычислены.
21
3. Непрерывные и абсолютно непрерывные случайные вектора.
Опр. 1: Пусть в вероятностном пространстве пространство элементарных событий
представляет собой пространство не дискретного типа, пусть   x 0  x  x 0  x, y0  y  y0  y
- пространственный прямоугольник и пусть на пространстве элементарных событий заданы,
X, Y , так что наблюдаемыми результатами являются пары   x, y  , образующие спектр

случайного вектора с компонентами X  X, Y , тогда двумерная случайная величина
называется абсолютно непрерывным случайным вектором, если существует такая числовая
функция
p  x , y 
X
(независимые переменные), такая что


P X    


 p


X
x, yds ds  dxdy 
Т. 1: Если существует совместная плотность распределения, то функция обязательно
неотрицательна: p  x, y   0
X
Д-во:


P X    


0
 p


X
x, y ds  p  , S  p  x, y   0
X
X
0

Т. 2: (нормировки) Утверждается, что
 p


X
x, y dxdy  1

Д-во:
?
над ним понимается незамкнутая область D, где
D     x  ,    y  



P X   2   P   1


Следствие 1: Теоремы 1 и 2, могут быть выбраны в качестве аксиом (любая числовая
функция удовлетворяющая им, может быть плотность распределения некоторого случайного
вектора)
Т. 3: Пусть определена собственная плотность распределения, так что:
x 0  x  y 0  y


P X    





p  x , y dy dx

X


x 0  y0

p  x , y ds 
y 0  y  x 0  x

X




 Ox
p
x
,
y
dx


dy
X


y0  x 0

 Oy






Д-во: По построению область В является регулярной (правильной) по обойм направлениям
(Ox, Oy). Данный интеграл сводиться к двукратному.
Следствие 2: Если G есть некоторая область, которая определяет GR2, некоторое событие в
двухмерном пространстве и является регулярным хотя бы по одному из направлений, то


P X  G  вытекает


из теоремы 3.
Следствие 3: Пусть задана совместная плотность распределения. События заданы
треугольником В. Тогда:


p  x , y dxdy 
X
x 0  x

x0
p  x dx
X
y0  y
p
y0

X
y dy
если p  x , y   p  x p  y 
X
X
X
22
Т. 4: Если задана совместная плотность распределения, то однозначно восстанавливается

совместная функция распределения: p  x, y  FX x, y
X
Д-во: По определению функция распределения двумерного вектора есть:
FX x , y   PX  x , Y  y   P   X  x ,    Y  y  
x
y
y  x
 y





x, y dxdy   p X x, y dy dx   p X x, y dx dy




  
  


x


p X
 
 
 
функция распределения восстанавливается однозначно.


Т. 5: Если задана совместная функция распределения, то в той области, в которой она
дважды непрерывно дифференцируема, существует дифференциал 2-ого порядка
непрерывный, то в этой области плотность распределения восстанавливается однозначно.
Д-во:


P X    


 p


P X   


xy
 p


X

xy dxdy  p x , xy

X
xy dxdy  p x , 


P X    F x  x, y  y   F x , y  y   F x  x, y   Fx , y 
0
0
0
0
0
0 0

 X 0
X
X
xy
xy


P X     2 F


X
lim

 x 0 xy
xy

 y0
Т. 6:
P x, y  
X
 2F
xy
x , y 
lim F x, y  FX x  - если совместная плотность распределения задана p  x, y  , то
y X
X
одномерная плотность распределения
Д-во: Пусть имеется событие G,
p X x 
и
p Y y
восстановлена однозначно.
x  




dF x 


G     X  x,    Y    P X  G    p X xy dy dx  FX x   p x x   x
 p  x, y dy
dx
X


   


 

FX x   lim F x , y 
y   X
FY y   lim F x , y 
p X x  
p Y y  
x   X

p
X
p
X



F x , y  
X
p  x , y  
X


x, y dy
x, y dy
x y
 p


X
x, y dxdy
 2 FX
xy
Опр. 2: Случайный вектор

X  X, Y называется
просто непрерывным, если функция
распределения этого вектора есть функция двух независимых переменных x и y
  
F x, y  p  .
 X
 X
23
4. Условные распределения случайного вектора.
Условное математическое ожидание и его основные свойства.
Опр. 1: Пусть определён двумерный случайные вектор, пусть (x,y) – спектр случайного
вектора.
x, y

x i , y j   случайны вектор дискретного типа Тогда
закон распределения одной из компонент
x, y  2  некоторые точки
вектора при условий, что другая компонента приняла некоторую определённое
(фиксированное) значение, называется условным законом распределения первой из
указанных компонент.

Зам. 1: Закон распределения случайного вектора определяется как вероятность, что x
приняло значение из некоторого открытого прямоугольника:
F x , y   FX X Y  FY Y X 


X
P X   
и всегда существует функция распределения и может
p  x , y  
p x x y  p y y x 


X
существовать плотность распределения.

Зам. 2: Если X есть случайный вектор дискретного типа, то условные законы распределения
всегда восстанавливаются однозначно.
Опр. 2: Условное распределение компоненты X при условий, что компонента Y приняла
некоторое условное значение, выражается тогда множеством случайных величин X и Y
 PPXY, Yy yj   PX,PY  y j 
j
j

P XY  yj 
i
Опр. 3: Условной плотностью распределения компоненты X при условий, что компонента Y
приняла некоторое условное значение и такое, что p y y  0 , называется неотрицательная
P x , y 
p X X Y   X
функция переменной X
Py y 
P x, y 
Зам. 3: Плотность распределения p Y Y X   X
Px x 
Зам. 4:
p X X, Y  
p  x , y 

p

X

X
x, y dx
Т.: Из определения следует, что плотность совместного распределения x и y:
 p y y   p x x y 
p  x, y  
 p x x   p y y x 
X
Опр. 4: Пусть

X
есть СВДТ, тогда условным математическим ожиданием случайной

компоненты Xx, y  при условий, что Y  y j , называется число
MX Y  y j    x i pX Y  y j  для j получаем разные M X Y  y j  . На множестве возможных
величины
или
i
значений y условное математическое ожидание в свою очередь представляет из себя
некоторую новую случайную величину.
Опр. 5: Математическим ожиданием M X Y  случайной величины X при условий Y
называется случайная величина, определяемая как возможное значение:


 
  

M X Y 
xiP X Y  y j
j

i
M XY :
P X  x i , Y  y j  pj
P Y  y j 

i




24
Зам. 5:


 

M Y X 
y jP Y X  x i


j
M YX :
p ij  p  j
 PX  x i  

i



i

Опр. 6: Пусть теперь Xx, y  - случайные вектора абсолютно непрерывного типа, тогда



 xp x ydx
M XY 
x




 yp y x dy
M YX 
y

Зам. 6: p x x y - представляет из себя некоторую функцию переменной y, то в случае как и
дискретного условного вектора M X Y  и M Y X  так же являются случайными величинами.
Т. 1: (Формула полного математического ожидания) Пусть существует
M X Y   MM X Y   MX 
Д-во:


M XY
 , тогда


j
M X Y  y j
M XY 

P Y  y j  p j






    p  j MX Y  y j    p  j  x i PX  x i | Y  y j    p  j  x i P X  xpi , Y  y j 
j
M M XY 
j

j
i
j
 x  PX  x , Y  y   x PX  x   MX
i
i
Т. 2:
i
j

j


i
i

i
i

M X1  X 2  Y  M X1 Y  M X 2 Y

5. Независимость компонент случайного вектора.

Опр. 1: Пусть задан случайный вектор Xx, y  , тогда говорят что компонента X не зависит от
компоненты Y, если их совместная функция распределения F x, y  Fx x   Fy y 
X
Зам. 1: Пусть X – случайный вектор дискретного типа, тогда функцию его распределения
всегда восстанавливается однозначно, всегда восстанавливаются функций распределения
компонент, всегда могут быть построены законы распределения (таблично заданные).
Из опр. 1 следует, что компоненты не зависимы тогда и только тогда, когда совпадают все
условные законы распределения, все они оказываются равными маргинальному закону
распределения.
Зам. 2: (правило отбора) Что бы узнать (X,Y) – зависимы или нет, то:
 маргинальный закон распределения
 строиться последовательный условный закон распределения до первого отказа.
Т. 1: Пусть

Xx, y  ,
тогда компоненты (X,Y) независимы, то вероятность того, что значение
спектра будут принадлежать полуоткрытому прямоугольнику:


P X     PX   x P Y   y




Д-во:
Вy
В
Вx


P X     F x 0  x , y 0  y   F x 0 , y 0  y   F x 0  x , y 0   F x 0 , y 0  
X
X
X
X


 Fx x 0  x   Fy y 0  y   Fx x 0 Fy y 0  y   Fx x 0  x Fy y 0   Fx x 0 Fy y 0 

 

25


P X     Fy y 0  y FX x 0  x   FX x 0   Fy y 0 FX x 0  x   FX x 0  


 FX x 0  x   FX x 0 Fy 0  y   FY y 0 
P x 0 X x 0  x 
P xx 
P y0 Y y0  y 
P x y


Следствие: Пусть
X

- абсолютно непрерывный вектор, тогда
p  x , y  что
x
бы компоненты
были не зависимыми, нужно:
p  x , y   p x x p y y 
X
PX   x  
x 0  x
p
x0
Зам. 3: PX Y 
x
x dx

P YX

6. Законы распределения преобразования случайного вектора.
Опр. 1: Случайный вектор

XX, Y называется
преобразованным / отображением и т.д.
x   x x, y
случайного вектора XX, Y , если существует такое преобразование, что F : 
которое
 y  yx, y
ставит однозначное соответствие пару x, y  x , y

Т. 1: Если преобразование F таково, что оно осуществляет взаимно однозначное
отображение, т.е. существует обратное преобразование, являющиеся дифференцируемым:
F
1
x  x x , y
так,
:
 y  yx , y
что существует якобиан обратного преобразования:
совместная плотность распределения
p  x , y 
x
 
JF
1
x
x 

y
x 
x
y 
y
y 
- то
восстанавливается однозначно.
Д-во: взаимная однозначность, дифференцируемость определяет понятие криволинейной
системы координат, но тогда:


P X    


y’
y
B’
В



x’
x
 p


X
x, y dxdy 
 


p  x x , y , yx , y  J F 1 dx dy   P X   
X


 
p  x , y   p  x x , y , yx , y  J F 1
X
X
Т. 2: Пусть задана функция  : u  x, y  , тогда p u u  восстанавливаеться однозначно.
Д-во:
u  x, y
- задана функция  дополняем функцию до первообразной.
F: 
v  x симитрична я
x  v
F 1 : 
y  u, v 
0
1


по абсолютной величине 
J F 1     
 J F 1 
du
u
du dv


pu , v   p  x ,  u , v 
 p  x ,  u , x 
u
u
X
X
 
p u u  
 

p


X
x, u, x    dx
u
u, v  x, y
26
Т. 3: Пусть  : u  x  y , тогда
u  x  y
F:
v  x
 
J F 1 
x  v
F 1  
y  u  x
0 1
 1
1 1

p
p u u   pX  Y  


X
x, u  x   1dx
Следствие: (Закон композиций) Суммы независемых компонент случайного вектора. Пусть
X и Y независемы, тогда из полученного выражения: pX  Y  

p

x p u  x dx
X
Y
Т. 4: Пусть  : u  xy
x  v

F 1  
u
 y  x
u  xy
F:
v  x
 
0
J F 1  1
x
1
u 1

x
x2
p u u   pXY  

p


 u 1
 x ,   dx
x x
X

Опр. 1: Пусть XX, Y - случайный вектор дискретного типа и пусть x i , y j  - дискретный
спектр случайного вектора и p ij  PX  x i , Y  y j  , тогда по определению законом распределения
суммы называется таблица распределения (если X,Y независимы и
X+Y
P(U=uk)
x1+y1
x1+y2
p1  ~
p1
x1+y3
p1  ~
p2
...
p1  ~
p3
x2+y1
x2+y2
p2  ~
p1
p2  ~
p2
Опр. 2:
...
XY
x1y1 x1y2 x1y3
x2y1 x2y2
~
~
~
p2  ~
p1
p2  ~
p2
P(U=uk) p1  p1 p1  p2 p1  p3
PU  U k   PX  x i   PY  y j  - если X и Y независимы.

~
Pi  PX  x i  P j  P Y  y j
~
Pi j  P Y  y j X  x i


…
xn+y1
xn+y2
…
…
xny1
xny2
…
pn  ~
p1
pn  ~
p1
pn  ~
p2
pn  ~
p2
pn  ~
pm
xnym
pn  ~
pm
Т. 1: Пусть есть случайный вектор XX, Y и  : u  x, y  , тогда M(u) функция на векторе.
p u u  - нет необходимости знать, нужно знать только p  x , y 
X
Д-во:
p u u  


p  x x , y , yx , y 

X

dv 
u
 

p


X
x, x , u   dx
u




 

 



M u   up u du   x , y  p  x ,  x , u 
dx du 
x , y p x x , y 
dvdu  
x , y p  x , y dxdy
u
X
X
u


 u
 

 










Т. 2: Пусть задана сумма компонент случайного вектора Z=X+Y, XX, Y , тогда
M(X+Y)=M(X)+M(Y), каковы бы ни были X и Y, зависемы или нет.
Д-во:
n
m
n
m
n
m
n
m
i 1
j1
 x i  y j PX  x i , Y  y j   x i PX  x i , Y  y j   y jPX  x i , Y  y j   x i  PX  x i , Y  y j  
i 1 j1
m

i 1 j1
n
 
n
m
i 1
j1
  x i PX  x i , Y  y j    y j PX  x i , Y  y j   MX   XY 
P X  xi , Y  y j 
yj
j1
i 1 j1
i 1
:
xn+ym
7. Основные теоремы о математическом ожидание.


27
Зам.: Теорема обобщаеться на любое число слагаемых, справедливо для вектора любой
размерности.

Т. 3: Пусть  XX, Y , тогда если компоненты вектора независимы, тогда и только тогда
M XY  M X   M Y 
8. Числовые характеристики случайного вектора.
Начальные и центральные моменты.
Опр. 1: Начальные моменты порадка k1+k2:


x i k1 y j k 2 P X  x i , Y  y j если X  СВДТ


1,0  MX
 i j
  


 0,1  MY

x i k1 y j k 2 p  x, y dxdy если X  СВДТ непрерывного типа

X
 


 k1  k 2 k
k1 ,k 2



Опр. 2: Пусть сушествуют MX и MY, тогда центральным моментом:


 k1 k 2  M X  MXk1 Y  MYk 2 
1,0  0
 2,0  DX 
 0,1  0
 0,2  DY
Опр. 3:  21,1  MX  MXY  MY  covx, y - называеться корреляция случайных велечин или
корреляционным моментом.
Т. 1: covX, Y  1,1  MXY  MX  MY
Д-во:
covX, Y   MX  MXY  MY  MXY  XMY  YMX  MX  MY 
 MXY  MXMY  MYMX  MXMY MXY  MX   MY 
Следствие: Пусть X и Y независемы, тогда
covX, Y   MXMY MX   MY   0
Зам. 1: Следствие даёт только необходимое условие. Но не отверждает обратное, если cov=0
– это не значит, что случайные велечены независимы.
Опр. 4: Если cov(x,y)=0, то случайные велечины x и y называються неколлирируемые.
9. Коэфициэнт корреляций и его свойства.

Опр. 1: XX, Y и пусть  MX, MY и x, y, тогда нормированный корреляционный момент
cov x , y 
p  x , y  
- называется коэффициентом корреляция.
X
xy
Свойства:
1. Если X и Y независимы,
p  x , y   0
X
2. Абсолютная величина коэффициентом корреляция 1 -
p  x, y  1
X
3.
Y  X   
p  x, y  1
- если связаны между собой линейной зависемостью.
x
4. DX  Y   DX   DY   2 covX, Y 
2 X  Y p  x , y 
X
Д-во:
4.

 

D(X  Y)  M X  Y   MX  Y 2  M X  MX  Y  MY2 
 MX  MX  M2X  MXY  MY  M Y  MY   DX   DY   2 covX, Y 
Следствие: Если X, Y независимы, тогда и только тогда DX  Y   DX   DY 
2
2
28
3. Пусть  MX и x, тогда

 
M Y  MX    M X  
 

DY  M Y  MY  M X    MX  2  M  2 X  MX2   2 DX   2  2X
2


cov x , y   MX  M XY  M Y  MX  M XX    M X    M X  M X2   2X
 x   2X   x
 y   2  2X    x
p 
X
 2X
  1


x  x
  1
2. Введёми новую случайную как функцию:
Z   yX  x Y






DZ    D  y X  D x Y   2 cov  y X,  x Y   2y  2x   2x  2y  2 y  x p  x , y   2 2x  2y  2 x  y p  x , y   0
X
cov x , y 
p  x , y  
1
xy
X
Z   yX  x Y


X
DZ    D  y X  D x Y   2 cov  y X,  x Y   2y  2x   2x  2y  2 y  x p  x , y   2 2x  2y  2 x  y p  x , y   0
X
cov x , y 
p  x , y  
1
xy
X
X
10. Линейная регрессия и корреляция.
Опр. 1: Стохастическую зависемостью между случайными величинами называеться
зависемость при которой изменение одной из них влечёт изменение закона распределение
другой. Если при этом зависемость проявляеться в том, что если изменение одной влечёт за
собой изменение среднего значения другой, то такая зависемость называеться
корреляционной.

Пусть XX, Y неважно дискретного или абсолютно непрерывного типа, пусть X, Y  есть
спектр этого случайного вектора.
Опр. 2: Функция случайной величины Y  gx   X   аппроксимирует случайную величину У
(приближённо представляет) и называется наилучшим приближением случайной величины У
в смысле метода наименьших квадратов , если MY  g 2  - принимает наименьшее
возможное значение, при этом сама функция gx   X   называется среднеквадратической
регрессий случайной величины У на Х.
Т. 1: Линейная среднеквадратичная регрессия У на Х имеет вид gx   Y  m y  p  x, y
X
Д-во:
F,   MY  X  2    2y   2x


X
MX  m x   0 M Y  m y  0




 2 x  y   x , y   m y      m x
y
x
X  m x 
2
M X  m x  Y  m y  covX, Y    x  y   x , y 
min F,  
X
1. множество критических точек первого рода (множество точек в которых возможны
локальные экстремумы):
 F
0

K I :  
F

0
 
В силу того что сама функция от  и  представляет из себя парабалойд с единственной
вершиной, то если существует критическая точка, то в этой точке обязательно будет
локальный минимум.
29


F
 2 m y    m x  m x   0

F
  2x  2 x  y   x, y   2 m y    m x  1  0

X
    x, y  x  y

X
  m y  
X
y
x

- критические точки.
mx
Прямая среднеквадратической регрессий:
Y  m y  
X
Опр. 3:
  
X
y
x
y
x
X  m x   Y  m y   
X
y
x
X  m x 
- называется коэффициентом линейной регрессий У и Х , а прямая
называется среднеквадратичной регрессией по методу наименьших квадратов.
Следствие 1: Если вычислить минимальное значение функций, то в результате минимальное
значение функций:


min F,    2y 1   2 
X

- остаточная дисперсия случайной велечины У на Х.
Зам. 1: Задача двойственна в том смысле, что вместо апроксимаций
X  g y    Y   X  m x   X
расматривать апроксимацию:

x
Y  my
y
Y  g x  можно



 2x   x   2x 1   2 
X

- остаточная лисперсия случайной велечинаы Х на У.


 2y   y   2y 1   2 
X

- остаточная дисперсия случайной велечины У на Х.
11. Основные классические распределение случайных векторов.

Опр. 1: Говорят что случайный вектор XX, Y имеет равномерное распределение в некоторой
области


G X  X, Y   R G  если:


const , x, y  G
  x, y   
X
 0, вне области
 1
, x, y  G

   x, y    S G
X

0, вне области

Опр. 2: Говорят, что случайный вектор X абсолютно непрерывного типа имеет нормальный
закон распределения, зависящую от 5-ти параметров, если:



X  N a x , a y ,  x ,  y ,   x , y 
X


  x , y  
X
1
2 x  y 1   2x

e
1
2 12x



 
 x a 2
 x a x  y  a y y  a y
x

 2 

2
x  y
2y
 x
X
2 

- МХ,МУ
 x ,  y - средне квадротичное отклонение
p  - центр распределения
ax ,ay
X
Т.: Если Х имеет нормальное распределение на плоскости, то из независимоти компонент
слкдует некоррилируемость. Из некоррилируемости следует независемость.
30
Д-во: Пусть X, Y  независимы, тогда по свойствам коэффициента корреляций:
2
ya y 2
1  x a x 2 x  y a y  
x a x 2

 

2
2
2
2  x

y
1
1
1
2 2y
 
  x , y   0 и   x , y  
e 
e 2 x 
e
  x x  y y 
X
2 x  y
X
 x 2
пусть случайная величина некоррелируемая, тогда
 y 2
  x , y  
X
1
2 x  y
,кривые на плоскости
2
x, y  R 2 называются линиями или кривыми равной плотности x  a2x 
x

y  a y 2  k 2 должно
 2y
быть постоянным.
Опр. 3:
x  a x 2
 x

 k



2

Ox
y  a y 2  1 - называется эллипсом рассеивания с центром в точке a , a  и
x y
2
 y

 k





Oy
главными осями, которые коллинеарные оси Ох и Оу.
Пусть задано нормальное распределение в общем виде и если
  x , y   const
X
, то кривые будут
также называется линиями рассеивания.
 x  a 2
x  a x y  a y  y  a y 2  2
x

*
  2x

x  a x  x
y  a y  y
 2 
xy
X

 2y


 k  const
a 11x  2  2a 12 x y   a 22 y  2  k 2
1


 2x
a 11 a 12

a 21 a 22   x
xy
x
xy
 2x
1   2x
1



0
2 2
2 2
1
xy xy
 2x  2y
 2y


px 1
Следовательно уравнение * эллептическое (сущесвует такое преобразование поворота, в
который записанной выражение может быть приведено к каноническому виду):
 x  U cos   V sin 
F 1  
y   U sin   v cos 
 
J F 1  1   2arctg
2a 12
a 11  a 22
после преобразования поворота:
1
p  u , v  
e
2 u  v
U
u Mu 2  vMv 2
 2u
 2v
Следствие: независемые координаты после поворота некоррелируемые.
Опр. 4: Пусть в
  x , y  
X
1
e ...
2 x  y
x  y ,
тогда рассеивание называется круговым.
12. Закон больших цифр.

X  X1 , X 2 ,..., X n n  мерный вектор
- совокупность случайных велечин.
Закон больших чисел устанаквливает, как ведут себя значения и не которые средний их
характеристики, когда n n   становяться очень далеко.
Т.: (Неравенство Чебышева) Пусть Х – случайная величина, всё равно какого типа, лишь бы
существовало конечное математическое ожидание и конечная дисперсия  2x  DX , тогда
DX
E  0  (сколь малым оно не было) вероятность PX  MX  E
2
31
Д-во: Х-абсолютно не прерывная величина
DX  

 x  M X p
x dx 
2

X
 X  M X p
E
x dx 
2
X  MX  E
 MX, DX
X
2
X  MX  E
Следствие: При противоположном событий
x dx  E 2
p
X


p
X  MX  E

P X  MX  E  1 
DX
E2
X
x dx  E 2 P X  M X  E 
дисперсия действительно
являеться мерой рассейвания (она определяет рассейвание).

Т. 2: (Теорема Чебышева) Пусть X  X1 , X 2 ,..., X n  и при этом:
1. существует MXk  , k (для любой компоненты)
2. существует DX k   , k , DX k   c
3. X1 , X 2 ,... - независемые компоненты
, тогда
 X  X 2  ...  X n
 X  X 2  ...  X n
lim P 1
 M 1
n  
n
n




  E   1 E  1



Д-во:
n
 MX
X  X 2  ...  X n
Yn  1
 MYn  
n
k

k 1
n
 X  X 2  ...  X n  DX1  X 2  ...  X n 
DYn   D 1

 
n
n2


nc c
т.к.. DX k   c  DYk  

n2 n
 DX
k

n2
для Yn имеет место неравенство Чебышева:
c
lim P Yn  MYn  E   1 
 1  1 (нижняя граница 1)
2
n 
nE
0
Следствие 1:
X1  X 2  ...  X n
n
P сходиться

 X  X 2  ...  X n 
M 1
 при
n


увеличение количества испытаний
среднее значение становиться неслучайным.
Т.: X k nk 1

X  Rn
- n-мерный вектор, если компоненты являються независемыми, обладает
конечным математическим ожиданием и дисперсией:
Yn 
X1  X 2  ...  X n p

n
n 
MX
k
n
сходиться
по вероятности.
Д-во:
MX
k
n

p
na
 a  Yn  a , n  
n
X1  X 2  ...  X n
n

Зам. 1: в теореме 2 DYn   D

 

 DY   если Yk имеет одинаковое
n
n
2
распределение, то D(Xk) каждой компоненты будет являться одним и тем же числом
DX
k
   2 , k 
Следствие: DYn   
2
n
  Yn 

n
при увеличений случайных величин, состовляющую
систему, рассесивание средне арефметического начинает убывать и чем больше n, тем
меньше становиться .
32
Т. 4: Пусть имееться n независемых испытаний по схеме Бернули и пусть  n k  есть
относительная частота появления события А в последотельности из n испытаний, тогда
P(A)=p, то


p
lim P  n k   p  E  1   n k   p  PA  в
n 
каждом из испытаний.
Д-во: Xk={число реализаций события А в к-том испытаний}
X
n
k
  n k   Yn
Xk
P(X=xk)
0
q
1
p
MX  1 p
Следствие: Теорема Бернули с теоретической точки зрения являеться доказательством того,
что мы действительно имеем дело с экспериметном со случайным исходом. Одно из условий
 условие стохастической устойчивости частоты.
13. Центральная предельная теорема.
(Совокупность утверждений, как ведут себя законы распределения)

Т. 1: (Ляпунова-Леви) Пусть имееться X k nk 1 X  R n тогда, если:
1. все случайные величины являются независемыми и одинаково распределение
случайных велечин.
2. k существует MXk , DX k , X k  - конечные велечины, то
 X1  X 2  ...  X n



a


n
lim P
 x   F X   N0,1,

n 
X


n


1
F X  
2
X
x
e


t2
2
dt 
1
  x 
2
стандартизированное среднеарефметическое одинаково распределённых случайных велечин
сходиться по вероятности к нормальному закону распределения с параметром (0,1).
Зам.: Пусть имееться случайная величина X, обладающая MX (конечным) и x, тогда
X  X  MX 
центрирование
X  MX
x
стандартизация




 Yn  a

P
 x



n


- функция распределения есть нормальный закон рапределения с параметрами (0,1)
33
Элементы математической статистики.
1. Статистические данные. Предварительная обработка статистических
данных.
Опр. 1: Пусть имееться реальный эксперимент и пусть в результате этого эксперимента
получен некоторый набор x1 , x 2 ,..., x n некоторые числовых значений, относяшихся к
выделенному наблюдаемому результату, тогда указанный набор носит название исходно
статистических данных и при этом, если в реальном эксперементе присутствовало N
некоторых обьектов, обладаемых заданным качеством и n=N (совпадает с числом обьектов),
то тогда исходная совокупность обьектов называеться генеральной совокупностью, а любой
набор при условий nN называеться выборкой.
Опр. 2: (Принцеп двойственности) Каждая выборка, полученная из некоторой генеральной
совокупности, всегда может быть трактована, как n-мерный вектор X1, X 2 ,..., X n  и при этом
x1 – одно из возмодных значений X1
x2 – X2
и т.д. и при этом все компоненты могут рассматриваться как одинаково распределённые
независемые случайные велечины, подченнёные тому же самому закону распределения, что
и распределение X  на генеральной совокупности, при этом указанное утверждение
являеться точным, если выборка построена по схеме с возрашением и являеться
приблежённым для выборок без возрашения, но тем точнее, чем больше n n  
Т. 2: (Предельная теорема Муавра-Лапласса) Если имееться последовательность n
независемых испытаний по схеме Бернули и при этом n достаточно велико n   , то





npq 

npq 
вероятность Pk1  X  k 2    k 2  np    k1  np 
Д-во:
Xk={число реализаций события А в к-том испытаний}
X
n
k
  n k   Yn
Xk
0
1
P(X=xk) q
p
MX k   p
MX1  X 2  ...  X n   np
DX k   M X 2k   MXk 2  p  p 2  pq
DX1  X 2  ...  X n   npq
  npq
Опр. 3: Любая измеримая числовая функция, определённая на выборке обьёма nN,
называеться статистической. При этом, если n=N (выборка произведена из всей
совокупности), то такая статитистическа теоретическая если n<N выборочная статистика.
 - теоретическая
ˆ 
ˆ x , x ,..., x  - выборочная

n
1 2
n
Опр. 4: Пусть имееться выборка x1  x 2  ...  x n  как реализация, тогда
x1  x 2  ...  x n * называется вариационным рядом.
Зам.: При больших объёмах ряд упрощается.
34
Опр. 5: Пусть вариационный ряд записан как * (некоторые значения встречаються несколько
раз), тогда :
n
X1
X2
…
Xn
:m j  n
m1
m2
mj
…
  n m k   1 j1
n
n
n
k 1
- называеться статистическим рядом.
X k   n m k  - то это статистический ряд по относительной частоте.
Зам. 4: В подовляющем большенстве случаев генеральная совокупность всегда конечна 
статистические ряды всегда конечны.
Зам. 5: Статистический ряд тогда являеться некоторй выборочной ̂ n статистикой.
Т. 1: Пусть построенна выборочная статистика ̂ n ,тогда ̂ n есть случайная величина.
Д-во: Зависит от объёма.
Опр. 6: Xn-X1 – называеться размахом статистического ряда.
~
X
 n m n 
m1
X1
X2
…
Xn
n
m2
n
…
mn
n
Операция построения статистического ряда, котором отдельные возможные значения
собраны в некоторые группы, называються группировкой.
№
 n m n 
[)
[)
…
…
[xk,xk+1)
Верхняя граница (её частота) в суммирование не входит.
Зам. 6: Если интервалы, на которые разбиты значения вариационного ряда, являються
равными, то групировку называют равностоящей.
Зам. 7: При любой групперовке возникает проблема граничных точек, решаються они при
помощи введения поправок (поправки Шеперда).