Глава 5. ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ И ПОЛЯ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ 5.1. Функциональный интеграл для взаимодействующих частиц и поля Чтобы сформулировать динамику системы частиц , взаимодействующих с электромагнитным полем, на групповом языке необходимо определить группу для описания параметров и пространство состояний в виде множества функций на группе. Затем нужно задать сдвиг во времени, т.е. указать действие оператора энергии частиц и поля в пространстве представления группы. Для этого нужно, чтобы оператор сдвига во времени можно было рассматривать как элемент алгебры Ли группы. 5.1.1. Трудность трехлинейной формы В квантовой электродинамике оператор энергии взаимодействия электронов и электромагнитного поля является трехлинейной операторной формой относительно операторов рождения и уничтожения электронов и квантов электромагнитного поля и не является элементом какой-либо обозримой алгебры Ли. Однако, также как в случае когерентных состояний гармонического осциллятора, когерентные состояния, построенные на основе рассматриваемой в данной работе группы электромагнитного поля (см. (3.11)) обладают тем свойством, что действие операторов электромагнитного поля на когерентные состояния сводится к умножению этих состояний на комплексные числа, являющиеся параметрами когерентных состояний и следовательно при вычислении матричных элементов оператора энергии взаимодействия частиц с электромагнитным полем, можно заменить бозевские операторы рождения и уничтожения на комплексные числа, являющиеся параметрами когерентных состояний. Поэтому для малых промежутков времени в случае трехлинейного взаимодействия , используя указанное выше свойство бозевских когерентных состояний, можно вычислить матричные элементы между когерентными состояниями в интеграле (5.6). Приступая к выбору параметрической группы, описывающей систему взаимодействующих электронов и электромагнитного поля , воспользуемся тем, что в традиционной теории (в методе вторичного квантования) пространство состояний системы взаимодействующих полей является произведением пространств состояний электромагнитного поля и частиц. 94 5.1.2. Состояния системы частиц и поля Состояния квантованной системы определим с помощью функций на группе в общем случае линейными комбинациями базисных функций. Базисные функции будем задавать в виде произведения когерентного состояния для частиц (см. (5.5)) и когерентного или фоковского состояния для поля, полученного действием операторов рождения частиц на вакуумное состояние. Поэтому применение групповой схемы для взаимодействующих частиц и поля попытаемся осуществить на основе прямого произведения SO W ортогональной группы и группы электромагнитного поля. Базисные функции в пространстве состояний системы выберем в виде произведения когерентных состояний для частиц и поля wu (uu 01 ) ( ww01 ) , (5.1) (u ) dim T det 1 / 2 (a) – производящая функция полуспинорного представления ортогональной группы, (w) – производящая функция где введенного выше унитарного представления группы электромагнитного поля ( см. (3.41) ). Когерентное состояние системы частиц задается с помощью матрицы u 0 y 0 0 где , 0 строки 0 определяют волновые функции частиц, а параметры 0 матрицы y 0 s 0 s 0 задают число частиц (числа заполнения) (см. 0 (4.6) , (4.10)) В частности может быть задана одна частица или много частиц и их распределение по состояниям с помощью задания числа частиц. Мы будем рассматривать случай целого числа частиц. 5.1.3. Гамильтониан. Структура оператора энергии Вставка Энергия взаимодействующих частиц и поля равна сумме энергий свободных полей и энергии взаимодействия с квантованным полем и внешним полем H H el H ph H int H out . 95 (5.2) Введем обозначения по формулам (4.10), согласно которым операторы рождения электронов a2 a1 , операторы уничтожения электронов a1 a2 , где в x представлении сложный индекс x нумерует координату, индекс зоны и спин. В этих обозначениях оператор энергии в формуле (5.2), содержащий фермиевские операторные переменные, имеет вид H Hel Hint Hout B 1 CJI aI a J 1 Sp(B) . 2 2 Индексы I,J пробегают указанные выше в 4 –ой главе значения (см (4.9)) и нумеруют операторы a I рождения и уничтожения частиц, а также матричные элементы в матрицах u, υ,C и т.д. Гамильтониан (5.2) системы взаимодействующих частиц и поля можно переписать в виде H где 1 1 I J С J aI a SpB qbq bq , 2 I,J 2 (5.3) B C Cel, s Cint, s Cout, s , B (5.4) слагаемые Cel, s , Cint, s учитывают кинетическую энергию электронов и молекул и энергию взаимодействия частиц и поля в момент времени ts, слагаемое электродинамике Дирака учитывает Cout, s внешнее поле. В квантовой B – оператор энергии, фигурирующий в уравнении B iA m . t / Для малых промежутков времени операторы exp iH являются элементами представления группы. Действие этих операторов на функции состояния дается формулой вида (4.5). В частности для электронного поля, имеем exp iH T d , где d exp( iC ) , матрица C определяющая оператор энергии фермионов, дана формулой (5.4). Матрица q определяет оператор энергии бозевских частиц 96 H ph q bqbq . 5.1.4. Исходный функциональный интеграл. Волновая функция системы частиц и поля. Матричные элементы оператора эволюции. Таким образом , в групповом подходе задана система сдвигов d,1s exp(i (Cel,s Cint, s Cout,s )) , ,1s exp( is ) , (5.5) I где индекс s определяет момент времени ts , Cint, J – элементы алгебры Ли векторного представления унитарной подгруппы выраженные в разложении (4.7) I матричные элементы C int, J матрицами вида группы SO , 0 , 0 причем выражаются через параметры элементов w группы окаймленных матриц. Для электромагнитного поля имеем, (см.(3.19)), exp iH ph T , где exp( ipe ) . Используя систему сдвигов (5.5) и свойства воспроизводимости когерентных состояний, получим функциональный интеграл [11] n K(t) lim DuDw α(usd,1sus11)exp i qs exp i S , n s 1 (5.6) n1 где Du du s , t nε , S – действие электромагнитного поля, s 1 n i exp S ( ws , s ws11 ) , ,s exp i s , d,1s exp(iCs ) , s 1 Bs C s 0 , Bs Bel,s Bint, s Bout,s , 1 q s SpBs . 2 0 Bs (5.7) Величины d , s , , s являются соответственно элементами унитарной подгруппы в ортогональной группе и в группе W электромагнитного поля для текущих моментов времени ts . Предполагается, что интервал [t0 , tn ] разбивается точками t0 , t1,…, tn на малые интервалы t t s t s1 , s=1,...,n, t / , 97 Bs , s операторы, определяющие энергию фермионов и энергию свободного электромагнитного поля, индекс s определяет момент времени ts , как указано выше. 5.1.5. Функциональный интеграл, другой способ Построим функциональный интеграл также другим способом. Разбивая область в трехмерном пространстве на как угодно малые ячейки , представим оператор энергии фермиевских частиц в виде суммы H f B , где B Bel Bint Bout , (5.8) Bel , Bint , Bout – матрицы кинетической энергии и энергии взаимодействия с электромагнитным полем для одной частицы, например, электрона. Запишем, оператор эволюции системы взаимодействующих частиц и поля в виде произведения экспонент e iH ...e iH и вставим между каждой парой операторов e iH единичный оператор dws du s ws u s u s ws , где u s ws uu s1 ( wws1 ) произведение (5.1) когерентных состояний для частиц и поля. Полученный после подстановки интеграл , в котором фиксированы ферми траектории будем рассматривать как интеграл по бозе переменным, где элементы алгебры Ли, заданные матрицами вида (2.19) учитывают источники поля. Вычисляя, вообще говоря, приближенно, матричные элементы u s ws exp iH ws 1u s 1 , получим снова для матричных элементов оператора эволюции функциональный интеграл (5.6). Определение Матричные элементы оператора эволюции между начальным 0 0 (u 0 , w0 ) и конечным n n (u n , wn ) состояниями даются формулой M , n K (t ) 0 dun dwn du0 dw0 (un , wn ) K (t ) (u0 , w0 ) , (5.9) где u0 , w0 , u n , wn фермиевские и бозевские переменные в начальный 98 t0 и конечный tn моменты времени, (u ) dim T det 1 / 2 (a) – производящая функция полуспинорного представления группы SO, a u b b , (w) – производящая функция унитарного представления a группы окаймленных матриц. Ядро K (t ) определяет эволюцию системы между когерентными состояниями (5.1) для системы частиц с трехлинейным взаимодействием (см. (3.45), (3.47), (4.6)). Интеграл K определяет волновую функцию системы частиц и поля, полученную в результате эволюции из начального состояния 0 0 (u0 , w0 ) . Это состояние будем задавать в виде произведения когерентного состояния для частиц и некоторого состояния для поля. В частности можно выбрать для поля когерентное начальное состояние, а состояние системы как произведение когерентных состояний. Разлагая волновую функцию K по базисным состояниям, частиц и поля, получим матричные элементы (5.9), т.е. коэффициенты разложения волновой функции K по базису, который предполагается нормированным. Зная эти коэффициенты можно восстановить волновую функцию и вычислить средние значения операторов, в частности среднее число частиц в заданных состояниях, например, токовое состояние числа электронов с заданными скоростями, выбирая соответствующие базисные состояния. Итак, требуется вычислить матричные элементы (5.9). Выполняя в (5.6) интегрирование по промежуточным фермиевским переменным, получим интеграл K (t ) где n n i q 1 1 1 Dw (un d , n 1 ,..., d ,1u0 ) e s s 1 s 1 exp iS 1 1 ( ws , s ws 1 ) , s 1 n exp iS , (5.10) функции d ,s exp iCs являются целыми функциями от бозевских переменных. После перемножения экспонент и вычисления функций (......) dim T det 1 / 2 ....... получим в допредельном выражении функцию 99 (......) [ f ( n ,..., 0 )]1 / 2 , где f ( n ,..., 0 ) целая функция от переменных n ,..., 0 электромагнитного поля, (см. 3.1.4). Пусть C int, s являются эрмитовыми матрицами. Тогда un d , n 1,..., d ,1u01 будет унитарной а, следовательно, ограниченной матрицей, которая останется ограниченной и в пределе n 5.2. Замена переменных в функциональном интеграле В общем случае над множеством переменных, по которым ведется интегрирование, можно выполнять любые преобразования, образующие группу преобразований. Для допредельного функционального интеграла вида (5.6) мы будем рассматривать преобразования замены переменных в группах SO и W и преобразования замены подинтегрального выражения на эквивалентное выражение, например, с помощью умножения на множитель равный единице или добавлением слагаемого равного нулю. Цель этих преобразований , также как и в случае обычного интеграла , в том, чтобы получить интеграл, вычисляемый в явном виде. Как правило вычисление преобразованного интеграла будет производиться последовательным применением формул воспроизводимости когерентных состояний (см. 3.3.3.5 ). Так как параметры группы SO W имеют смысл классических переменных типа координат и импульсов, то переход к другим параметрам группы можно рассматривать, как квантовый аналог канонических (касательных) преобразований классической неквантованной системы. 5.2.1 Преобразующая функция t . Дифференциальное уравнение для преобразующей функции. Пусть задан интеграл (5.6) для оператора эволюции между когерентными состояниями. Рассмотрим частный случай замены фермиевских переменных, сдвиг групповых переменных. Введем произвольную дифференцируемую траекторию ts , в группе SO. Обозначим ts s и выполним под знаком интеграла (5.6) замену старых переменных us на новые переменные u~s , включая величины, определяющие начальное и конечное когерентные состояния u s u~s s Тогда получим 100 (5.11) ~ (usd,1sus11) (u~ssd,1ss11ss1u~s11) (u~sd,1su~s11) , (5.12) где ~ d,1s sd,1ss11ss1 . (5.13) Введем матрицу C0,s как решение уравнения exp(iC0 s ) s11 s , которое запишем в виде (5.14) s 1 iC0 s s1 ,откуда в пределе 0 получим дифференциальное уравнение i Функция (t ) (t )C0 (t ) . t распространения s t s определяет (5.15) C 0, s и, напротив, задавая C0,s , определим s из дифференциального уравнения (5.15). t s получается с помощью C0,s В методе вторичного квантования как функция Грина. Мы будем называть величину C0 t средним полем, предполагая выполнение предельного перехода от решетки в импульсном или координатном пространстве к континуальному множеству точек. 5.2.2 Преобразованный функциональный интеграл. Среднее и внутреннее поле Замена (5.11) преобразует интеграл (5.6) в интеграл n n s 1 s 1 ~ K (t , t0 ) Du~Dw (u~s d,1s u~s11 ) ( ws ,1s ws11 ) exp i qs , (5.16) где, учитывая, что как угодно малая величина и используя (5.13), (5.7), (5.14 ), получим откуда ~ d ,1s d ,1s s11 s exp( iC ,s ) , ~ exp( iC ,s ) , ~ C ,s s C ,s s1, C ,s Cs C0,s . (5.17) (5.18) Введем, кроме того, внутреннее поле C ,s Cint, s C ,s . (5.19) Подставляя (5.18) в (5.19), находим, что внутреннее поле есть часть среднего поля, оставшегося после вычитания поля кинетической энергии частиц C el , s и внешнего поля Cout,s 101 C,s C0,s Cel,s Cout,s . (5.20) Из (5.19) следует, что внутреннее поле является аппроксимацией взаимодействия C int s . Преобразованный интеграл (5.16) имеет тот же вид, что и исходный интеграл (5.6). Различие между этими интегралами C s Cel,s Cint, s Cout,s , ~ определяющая оператор энергии, заменяется матрицей C ,s , которая состоит в том, что исходная матрица получается, согласно (5.18), из матрицы Cs с помощью сдвига на матрицу C0, s и подобного преобразования. Замену переменных (5.11) можно рассматривать как квантовый аналог канонического преобразования в классической механике. 5.2.3. Блочно-диагональная форма преобразующей функции В дальнейшем будем рассматривать случай, когда матрица t для замены переменных (5.11) в функциональном интеграле и матрица среднего поля выбраны в блочно-диагональной форме Gt t B C 0 0 , G t . B0 (5.21) Тогда, учитывая уравнение (5.15), получим для матрицы G уравнение i G G t B0 t (5.22) и приближенное решение этого уравнения G t e i t G0 G0 exp iB0 t / . Отсюда следует, что строки матрицы G t (5.23) образуют собственные функции невозмущенного оператора энергии B0 . Каждый столбец Gk t умножается на exp ik t / G t G0 e i t . (5.24) Будем называть матрицу G t матрицей полного набора состояний частиц (электронов и молекул). При этом необходимо учесть, что, как выше было показано в 4 – ой главе, элементы группы SO определяют волновые функции фермиевских частиц и числа заполнения фермионов. 102 Так как функции (u s d ,1s u s11 ) u s , находящиеся под знаком функционального интеграла, пропорциональны функциям detas , где a u s s , то элементы группы можно записать в виде произведения , где u y y s s , – унитарная матрица, строки которой kj (5.25) имеют смысл волновых функций частиц, μ – диагональная матрица (см. (4.32)), определяющая числа заполнения фермионов. Пусть, для определенности, исходные переменные фермиевской системы заданы в координатном представлении, а преобразованные переменные в некотором k –представлении. Тогда, принимая во внимание (5.21), преобразование (5.11) запишется в виде si x ~ski Gsk x , (5.26) k где новые переменные ~ski можно рассматривать как коэффициенты разложения волновых функций частиц по базисным волновым функциям Gsk x , причем x , – текущие аргументы волновой функции (точки трехмерного пространства, спин и т п), k – номер базисной функции. Переменная si x si ( x ) V есть волновая функция i-ой частицы в дискретной форме в координатном представлении взятая в s – ый момент времени , спиновые переменные, si ( x ) – волновая функция в непрерывной форме.. Ниже (см. раздел 5.3.3 , а также ( 5.39 )) более подробно рассмотрим связь непрерывной и дискретной формы задания величин. Мы имеем, таким образом, обычное разложение волновой функции по базисным функциям, коэффициенты этого разложения являются новыми компонентами волновой функции. Разложение выполняется независимо для каждого s – ого момента времени. Базисные функции, вообще говоря, различаются для различных моментов времени. Выполняя в (5.16) интегрирование по промежуточным фермиевским переменным, получим интеграл 103 n ~ ~ K (t ) Dw (u~n d,1n 1 ,..., d,11u~01 ) e i q s exp(iS / ) , (5.27) s 1 n где exp( iS / ) ( ws ,s ws11 ) , s 1 ~ d ,1s – являются целыми функциями от бозевских переменных, через которые выражается взаимодействие. 5.3.1. Некоторые общие свойства функционального интеграла Пусть задано начальное состояние свободных и связанных электронов с помощью параметра u0 когерентного состояния системы частиц. Эволюция этого состояния дается функциональным интегралом (5.27). Перепишем этот интеграл в другой, более удобной форме. Принимая во внимание (5.18), введем величины ~ ~ ~ ~ d s d t s exp i C ,1 .... exp i C , s , ~ ~ ~ d 1 t s exp iC ,s ... ... exp iC ,1 , ~ где C ,s s C ,s s1 , C ,s Cint, s C ,s Cel,s Cint, s C0,s , (5.28) (5.29) (5.30) s t s , u~n , u~0 – элементы ортогональной группы, ~ C ,s элементы алгебры Ли векторного представления, s=1,…n. ~ Обозначим u~ts u~0 d ts (5.31) и запишем (5.27) в виде n K t Dw (u~n u~ 1 t ) e i q s exp( iS / ) , s 1 где под знаком функционального интеграла имеем функцию ~ u~n u~ 1 t u~n d 1 t u~01 . Используя (5.29) найдем, что матрица ~ d 1 t s g t s определяет элемент группы и является решением уравнения i g t ~ C t g t . t (5.32) 5.3.2. Структура преобразованного параметра u~0 t , матрица c~ t s Учитывая формулы (5.18 ) и блочно-диагональную структуру матрицы (5.21) , используемой при замене переменных интегрирования в интеграле (5.6), запишем 104 B ~ C ,s ,s ~ 1 ~ , d ts c ts B ,s , ~ c t s (5.33) где в соответствии с (5.18) и (5.21) ~ B t s Gs B Gs , t , t n t . (5.34) Принимая во внимание формулы (5.30), (5.18), найдем, что матрица c~ts имеет вид ~ ~ c~ t s exp iB ,s ... .. exp iB ,1 и удовлетворяет уравнению i (5.35) c~ t ~ B t c~ t . t (5.36) Используя (5.33), представим (5.31) в виде где ~0 t s ~0 t s ~ ~ ~ u t s u 0 d t s y 0 ~ t , s получена начальную матрицу ~0 действием (5.37) оператора эволюции c~ t s на ~0 t s ~0 c~t s . ~0 t c~t ~0 также удовлетворяет уравнению (5.36). Полагая С0 Сel Cout , получим представление взаимодействия. ~ ~ В этом случае C 0 , С Сint . Матрица B ,s Bint, s (5.27) Матрица определяет оператор энергии частиц в представлении взаимодействия. В представлении взаимодействия, согласно (5.27) ~ ~ B ,s Bint, s и, следовательно, ~ Bint, s t s Gs Bint, s Gs . 5.3.3 Индексация матриц u u xI (5.38) и блоков xi 0 . 0 нумеруются индексами x , и В исходном непреобразованном интеграле имеем u 0 y 0 Строки матриц xi , 0 , G0 являются волновыми функциями. 105 Будем применять тензорные обозначения в виде верхних и нижних индексов. Явное умножение матриц элементов группы или алгебры Ли запишем в тензорной форме с помощью суммирования. В случае x представления условимся, что, применяя тензорное обозначение зависимости волновой функции от координат обычного трехмерного пространства, мы имеем дискретное задание волновой функции, когда норма волновой функции, равная единице, записана в виде суммы квадратов. задания волновой функции i -ой строки в виде 0i x , , В случае когда аргумент задается в скобках, норма волновой функции выражается интегралом d 3 x 0i x, 0i x, . Такая функция в x представлении является непрерывной величиной, распределенной в трехмерном пространстве. Будем для краткости называть такое задание (непрерывной) волновой функции плотностью. x , Замечание 1 Действие безразмерного оператора iBint, s i Bint y, на непрерывную волновую функцию дает непрерывную функцию. В силу унитарности матриц величина 0 0 1 выражается интегралом по объему в трехмерном пространстве. По общему правилу квантовой механики модуль волновой функции 0i , x 0i x , V , т. е. величина 0i x, 0i x, V есть вероятность обнаружения i–ой частицы в малом объеме V , содержащем точку x , . Таким образом, для перехода от непрерывной к дискретной форме в x представлении в допредельном выражении нужно умножить плотность на квадратный корень из малого элемента объема V 0i , x 0i x , V . (5.39) Индекс i является дискретным индексом, нумерующем состояния. По дискретному индексу производится суммирование. Рассмотрим далее структуру элементов алгебры Ли ортогональной группы. 5.3.4. Структура элементов C int, s , C , s , Bint, s алгебры Ли Bs Каждая из матриц C int, s , C , s , C ,s имеет вид C s 106 . Bs в x представлении нумеруются x представлении индексами x , . В квантовой электродинамике в Строки и столбцы матриц C s , Bs Bint, s блочно- диагональная по индексу x матрица. Чтобы записать матрицу Bint, s введем диагональную матрицу 0 y xy, x 1 , 0 где только матричный элемент с номером y равен единице , остальные элементы матрицы равны нулю. Индекс y в этой матрице фиксирован, обозначает номер матрицы и номер ненулевого диагонального элемента, а индексы x , x являются текущими индексами, пробегающими некоторую область в трехмерном пространстве (точки трехмерного пространства) и нумерующими элементы квадратной диагональной матрицы. Таким образом, Bint e y A y , (5.40) ,y где, также как функция 0i x , в формуле (5.39), функция от y A y является плотностью, которая однако умножается в матрице вида (5.40) как дискретная величина. Суммирование в (5.40) производится по индексам, базисные элементы , y нумерующим y . Каждая базисная функция является тензорным произведением матрицы четвертого порядка и матрицы y xy, x , ,y y 0 . 0 (5.41) Матрица (блок) находится в (5.41) на диагонали с номером y , другие элементы матрицы (5.41) равны нулю (5.41). 107 Матрицу в (5.40) можно рассматривать как вектор. Разложение Bint (5.40) есть обычное разложение элемента векторного пространства по базисным элементам. Коэффициенты разложения суть eA y . Построим базис, блочно - диагональные матрицы ,y ,y 0 0 , ,y , y даны формулой (5.41), откуда представим элемент алгебры Ли где x матрицу Сint y , в виде суммы Cint e y A y e , y A y ,y Итак, в сумма (5.42) ,y x представлении разложение (5.42) матрицы C int блочно - диагональных y матриц с есть числовыми eA y . коэффициентами Введем теперь разложение матриц C int и Bint по другому базису. 5.3.5. Разложение Фурье вектор потенциала Рассмотрим разложение Фурье вектор -потенциала A y k Ak S y k S y , A y A k k k где, в частности, можно взять y Sk V 12 ik y e 1 k , A y Ak ( S ) y . k Имеем следующее разложение матричных элементов , y по базисным y элементам S , k ,y ,k h1 k y S , k ,k h1 108 y ,y 1 k (S ) y . (5.43) Здесь сумма по y является координатного пространства. суммой по точкам трехмерного Каждое слагаемое в этой сумме есть четырехмерный блок . 5.3.6. Подвижный репер Используя (5.40) и (5.43) , получим ,k Bint e h1 . A (5.44) ,k ,k Введем в трехмерном пространстве волновых векторов репер (базис) ,k n1 используя вращение подвижный e h1 ,k u ,k ), (5.45) неподвижных базисных векторного потенциала A ,k u ,k ,k A матриц (5.41) и с помощью вещественной ортогональной матрицы u ,k . В каждой точке разложение пространства волновых k , блока Bint A ,k ( 5.46) Bint в матрице Cint (5.45) подвижного репера. Преобразуем введенную получим ,k Bint e n1 векторов Bint по базисным элементам выше по формуле (5.37) с помощью преобразования подобия матрицу Bint t s Gs Bint t s Gs . ~ Используя (5.44), (5.45) получим ~ k Bint, s j s A , k s k где мы ввели матрицу тока перехода k js k eGs n1 Gs . 5.4. Функциональный интеграл для состояний с целыми числами заполнения 5.4.1. Оператор эволюции 109 (5.47) (5.48) В разделе 5.1.4 был получен в виде функционального интеграла (5.10) оператор эволюции системы электронов, взаимодействующих с электромагнитным полем, действующий на начальное состояние uu 01 ww01 , в течении времени t n K (t ) где n i q 1 1 1 Dw (un d , n 1 ,..., d ,1u0 ) e s s 1 exp( iS / ) , Bs , C s cs exp( iBs ) , cs ds1 exp( iCs ) c s , Bs (5.49) матрица Bs определена формулой (5.7). Преобразуем подинтегральное выражение (un d,1n1 ,..., d,11u01 ) в интеграле (5.10) с помощью операторов представления (u n d,1n1 ,..., d,11u01 ) T dn1 ...T d11 (u n u01 ) . Учитывая запишем блочно-диагональную структуру (см. (5.7)) (5.50) матрицы Сs , 1 1 T C s B ijs ai a j SpBs H s SpBs , 2 2 i, j p q H s Bqs a pa где (5.50а) p ,q – оператор энергии системы частиц, откуда i T d s1 exp i B ijs ai a j exp SpBs 2 i, j i exp iH s exp SpBs (5.51) 2 Функция uu 01 , в правой части формулы (5.50) есть волновая функция начального состояния системы частиц, заданная матричными параметрами когерентного состояния с целыми числами заполнения , y 0 0 u 0 y0 0 0 s 0 s 0 , 0 где 0 диагональная матрица чисел заполнения, строки матрицы 0 задают волновые функции отдельных частиц (см. (4.7), (4.26)). 110 Учитывая результаты раздела 4.4., представим волновую функцию (вектор состояния) uu 01 ( см. (5.50)) многих фермиевских частиц как функцию, полученную действием на вакуумное состояние произведением A jk a p операторов p состояниях p jk p jk , рождения 0 T00 u N частиц в , заданных матричным параметром 0 , где p – текущая переменная, пробегающая, например, точки трехмерного координатного пространства и значения спиновой переменной, a p оператор рождения частицы в точке p. Индекс jk принадлежит выборке j1 ... jM из множества индексов, нумерующих допустимые индивиду- альные состояния в матрице полного набора, например, набора стационарных состояний молекул. Таким образом, uu 01 = j1 ... j M u Aj k T00 u N Aj k 0 . M M k 1 (5.52) k 1 Система имеет набор частиц в состояниях, заданных выборкой j1... jM . Используя интегралу операторы K t Dwe iH n (5.51), преобразуем ...e iH1 j1... jM u n e i S . интеграл (5.10) к (5.53) 5.4.2. Закон коммутации Выведем формулу, определяющую закон коммутации элементов exp( iH s ) , и операторов a p , A jk в формулах (5.50а), (5.53), (5.52). Полагая exp( iH s ) 1 iH s , когда 0, и используя пере- становочные соотношения, получим e iH s A j a p cps, p p iH s j e . (5.54) Отсюда получим преобразование подобия e iH s A j e iH s a p cps, p jp . p , p 111 (5.55) Итак, для оператора A j a p преобразование подобия (5.55) p j p есть преобразование коэффициентов этого оператора p,s , j cp,s ,q qj . (5.56) q В каждый момент времени ts при коммутации оператора e оператором A j a p p p j с коэффициенты последнего преобразуются по формуле (5.56). Выполняя каждого iH s преобразование оператора A j1 A jM , для коммутации произведения (5.54) для e iH n ...e iH1 получим линейное преобразование коэффициентов по формуле sp, j jp t s c sp,q qj , (5.57) (5.58) q где c s c t s exp iBs ... .. exp iB1 . Используя (5.55) или (5.56), виде K t перепишем интеграл (5.53) в следующем m p Dw a p jk k 1 p t n e i S 0 . (5.59) 5.4.3. Функциональный интеграл, представление взаимодействия Преобразуем функциональный интеграл (5.59) к представлению взаимодействия с помощью преобразований под знаком интеграла, используя матрицу G t полного набора состояний (см. (5.21), (5.24)) t n ct n t 0 , ct n Gn c~t n G0 , откуда t n Gn c~t n ~t0 , Gn t n ~t n c~t n ~t 0 , ~t 0 G0 t 0 , (5.60) где мы обозначили Gn Gt n , матрица c~t n определяется формулой (5.35). Введем операторы рождения квазичастиц a~ j a p G t n pj , p (5.61) где G t s exp iB0,s ... ... exp iB0,1 G0 , 112 (5.61а) G t s матрица полного набора состояний в произвольный момент времени, заданных в представлении Шредингера. В представлении взаимодействия интеграл (5.59) принимает вид S ~ ~ i K t DwA j1 A jM e 0 , (5.62) где ~ A jk a~ p~ jp t s , (5.63) k p ~ jp t s cqp t s qj t 0 . (5.64) q Принимая во внимание формулу (5.35), найдем, что в представлении взаимодействия матрица c~ t s имеет вид ~ ~ c~ t s exp iBint, s ... .. exp iBint, 1 . (5.65) В общем случае матрица ~ jjk t 0 определяет произвольное начальное состояние системы частиц. Далее будем предполагать, что начальные состояния частиц определяются матрицей полного набора состояний Gt 0 в начальный момент времени t 0 Gt 0 . ~ jjk t 0 jjk . (5.65а) В этом случае в представлении взаимодействия приходим к матрице , записанной в своем собственном представлении, что дает единичную матрицу начального состояния ~ jj t 0 jj . k k (5.66) Дискретные индексы суммирования p в формулах (5.59), (5.61) и других являются кратким обозначением сложных индексов x , или p, , определяющих, соответственно, точки трехмерного координатного или импульсного пространства и спиновые переменные частиц. Вектор p определяет точку в импульсном пространстве E3 p в сферической системе координат или координатном пространстве, индекс определяет дополнительные переменные, спин, номер зоны. 113