Глава IX

Глава 4. СИСТЕМА ФЕРМИЕВСКИХ ЧАСТИЦ
В третьей главе мы нашли, что классические динамические переменные электромагнитного поля (напряженности поля, векторный потенциал
и т. д) можно рассматривать как параметры группы окаймленных матриц
(3.11). Иными словами, каждому элементу группы (3.11) соответствует
некоторая реализация неквантованного (классического) электромагнитного поля. Динамика (эволюция во времени) была построена в виде
группового сдвига. Квантование получили переходом к представлению
группы в пространстве подходящих функций на группе.
В данной главе мы введем аналогичное групповое описание для системы многих электронов. В этом случае “классические ” динамические
переменные неквантованных фермиевских частиц (например, компоненты волновой функции электрона) отождествим с определенными параметрами группы вращений многомерного эвклидового пространства, а
вторично квантованное поле многих электронов получим переходом к
спинорному представлению этой группы. Обоснование для выбора указанной группы в качестве объекта, определяющего классические параметры
системы многих электронов, состоит в том, что операторы рождения и
уничтожения электронов удовлетворяют антикоммутационным соотношениям и могут быть представлены элементами спинорного представления
группы вращений.
Будем предполагать, что размерность матриц, представляющих элементы группы вращений, является четной. Поэтому построим состояния в
виде функций на группе SO(2m, R).
Такой выбор объясняется тем, что в рассматриваемых далее системах
целое число m определяет полное число возможных состояний фермиевской частицы (электрона) и является очень большим, порядка числа атомов в макроскопическом объеме. Выбор четной размерности группы определяет выбор полуспинорного, а не спинорного представления и дает некоторые упрощения.
79
4.1 Структура элементов группы SO(n)
Рассмотрим сначала (вспомогательную) комплексную группу
SO(2m, C). Введем комплексное эвклидовое пространство E2m(C) со скалярным произведением
(4.1)
x, y   xSy ,
0 1
где x , y – 4m - мерные строка и столбец , S  
 , 1– единичная
1
0


матрица порядка 4m, m – целое число сравнимое с числом частиц.
Из инвариантности скалярного произведения x, y   ux, uy 
получим условия на матрицы, определяющие элементы группы
u 1  S 1uS ,
откуда найдем [16, 18] следующее матричное представление элементов
комплексной группы SO(2m, C)
a
a 
 ,
u c  
1 

a a  a 
(4.2)
где a – комплексная матрица общего вида порядка m, ν, ξ – кососимметрические матрицы, штрих обозначает транспонирование вокруг главной диагонали.
Чтобы найти матрицы, представляющие элементы вещественной
группы, рассмотрим вспомогательное эвклидовое пространство E1 , в котором скалярное произведение  x, y   xSy задается с помощью единичной матрицы S =1. Тогда элементы вещественной группы,
действующей в пространстве E1, задаются вещественными матрицами.
Переход от эвклидового пространства E1 к пространству E2m(R), в котором скалярное произведение векторов эадано формулой (4.1), осуществляется унитарным преобразованием. Поэтому, для того, чтобы получить
матрицы, представляющие элементы вещественной группы
SO(8m,R) , действующей в пространстве со скалярным произведением
(4.1), достаточно наложить на матрицы (4.2) условие унитарности.
Из условия унитарности следует, что элементы подгруппы
SO(2m,R) в группе SO(2m,C ) удовлетворяют равенству
 a
   a   a 1  a 
a 

 ,
u  u    


1 


a

a


a



a
a 

 

1
80
из которого следует соотношение


a 1    a   1.
В этом выражении 1    - эрмитовая, положительно-определенная и для
почти всех элементов группы
SO(2m,C) невырожденная матрица.

Введем эрмитову матрицу   1   

1 / 2
и матрицы   a 1 ,    .
В результате найдем, что элементы группы
цами
где
a b
  y ,
u  
b a 
 0 
  
 , y  
 ,
  
0







SO(2m,R)
задаются матри-
(4.3)
υ – унитарная, η – комплексная кососимметричная матрица, черта над
символом матрицы обозначает операцию комплексного сопряжения.
При выбранном скалярном произведении элементы алгебры Ли группы
SO(8m,R) представлены матрицами
  B D 
 ,
C   
D
B


(4.4)
где B – эрмитова , D – кососимметричная матрица, штрих означает
транспонирование матрицы.
В соответствии с принятой групповой формулировкой теории многих частиц параметры группы вращений многомерного пространства
будем рассматривать как параметры неквантованного фермиевского поля аналогичного неквантованному электромагнитному полю, а процедуру квантования выполним, как переход от группы к представлению
группы в подходящем пространстве функций на группе.
Для того, чтобы иметь физическую теорию, необходимо указать физический смысл (физическую интепретацию) параметров группы и функций на группе, описывающих данную физическую систему так, чтобы
элементы группы и функции на группе задавались параметрами, которые
сопоставлены физическим величинам.
Вопросы физической интепретации мы рассмотрим в разделе 4.6,
а на данный момент будем предполагать, что требуемое соответствие
установлено.
81
4.2 Квантование фермиевского поля.
Чтобы построить теорию квантованной системы многих фермиевских
частиц будем предполагать, учитывая доводы, изложенные в разделе
4.1 , что пространство состояний содержится в пространстве полуспинорного представления группы SO(2m, C).
4.2.1 Полуспинорное представление
Операторы полуспинорного представления определим с помощью
правых сдвигов
T u0  u    uu 0 ,
действующих в пространстве функций
(4.5)
 u   det1 / 2 a  f   ,
где f   – некоторые полиномы от параметров матрицы η [18].
Функция  0 u   det 1 2 a  является старшим вектором полуспинорного
представления. Выбирая φ0 базисным вектором и нормируя его на единицу, найдем матричный элемент
T00 u    0 , T u  0   det 1 / 2 a  .
(4.5a)
4.2.2 Когерентные состояния фермиевских частиц
По формуле ( 2.16) получим фермиевские когерентные состояния


u 0   (uu 01 )  dim T det 1 / 2 a1 (uu 01 ) ,
a b
 ,
b
a


где u  
a
u 0   0
 b0
b0 
,
a 0 
a
uu 01  u1   1
 b1
(4.6)
b1 
.
a1 
Матрица u определяет текущие аргументы состояния, а матрица u0 –
задает величины, определяющие состояние системы.
Основные свойства введенных когерентных состояний системы электронов выражаются формулами воспроизводимости (2.17), (2.18).
Параметры группы можно задавать различным способом. Исходным объектом для описания системы многих электронов является ортогональная
группа SO. Мы будем записывать элементы SO в виде следующих матриц, что имеет, как ниже покажем, прямой физический смысл
a
u 0  
b
b
 1
I
   u 0 J  
a
0
0   s  0 0 

,

1  s   0  0 
82
(4.7)
где  , 0 ,1 – унитарные матрицы, черта над буквой означает операцию
комплексного сопряжения,  ,  s – блочно- диагональные матрицы, блоки являются матрицами второго порядка вида
1 0
 0 1
 и i 
 ,
0
1

1
0




2
2
i  i  1,
i 
где
 i2 есть числа заполнения, матрица 0 в когерентном состоянии (4.6)
определяет волновые функции отдельных фермиевских частиц.
Нумерация строк и столбцов в матрицах (4.7) производится индексами I,
J. В координатном представлении будем рассматривать индексы I, J

как сложные индексы вида I  x , где значение  =1 нумерует блоки
первого столбца и первой строки,  =2 нумерует второй блочный столбец или вторую строку. Например, в матрице
имеем
a b
u  
  ,
b
a


a  a11xx  , b  b21xx  .
Индекс  =1,2,3,4 обозначает спиновые аргументы, обычный спин и

знак энергии. Переменная x перечисляет точки трехмерного пространства
(координатного, импульсного или какого-либо другого пространства).
Чтобы иметь дело с группой SO, имеющей конечное число параметров, будем рассматривать трехмерное пространство E3 , как набор конеч

ного, но, как угодно, большого числа точек x1,......x2m . Элементы
u  SO описываются тогда матрицами порядка 2m.
В импульсном представлении будем применять сложные индексы

I  p , где значения   1,2 определяют соответственно первую и вто
рую блочные строку или столбец в матрице вида (4.3), p пробегает множество узлов кубической решетки в трехмерном импульсном пространстве, κ – номер зоны , σ – спиновая переменная.
4.3 Спинорное представление алгебры Ли
Для общности и, чтобы получить, например, базисные функции как
элементы нулевой строки представления (см. (2.14) ), будем рассматривать в данном разделе группу SO(2m,R), как подгруппу в группе
SO(2m+1,R), элементы алгебры Ли которой даются формулой
83
  B x D 


C   x 0 x  ,
 D x B 


(4.8)
где, по сравнению с (4.4), добавляется строка и столбец x  , x в качестве
параметров группы.
4.3.1 Алгебра Клиффорда
Спинорное представление можно, как известно [18, 22], построить с
помощью алгебры Клиффорда. Введем одноиндексные элементы алгебры Клиффорда e I , образующие базис в пространстве E2m+1 и удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям
eI e J  e J eI  2 IJ .
(4.9)
Индексы I , J пробегают значение равное нулю и множество слож-

ных индексов вида I  p ,
применяемых
выше в конце раздела
4.3.2 для нумерации строк и столбцов матриц, определяющих по формулам (4.7) элементы группы SO(2m,R). Индексу τ, принимающему, как
указано выше, значения   1,2 , в некоторых случаях будем присваивать значения   , . Например, в формуле (4.9) встречаем элементы
e1i  ei , e2i  ei  ei , где для краткости индекс i обозначаем сложные

индексы вида p (импульс, номер зоны, спин).
Заменой ортонормированного базиса e I на расщепленный базис aI
введем операторы
a 2i  a i   i 
1
ei  iei , a1i  a i   i  1 ei  iei  ,
2
2
(4.10)
имеющие, как увидим ниже, смысл операторов рождения и уничтожения
частиц, а также оператор
a 0  e0 / 2 .
Базисные матрицы выберем в виде [29]:
0
ai  a1i  1  1  
0
e0  2 a0  1    1 ,
0
a2i  ai  1   1  
1
0
где матрицы 
0

1 0
0
и 
1

0 0
0
  1  1 ,
0
1
  1    1,
0
(4.11)
в прямом произведении находятся на
i - ом месте.
84
Элементы
расщепленного базиса удовлетворяют антикоммутацион-
ным соотношениям
a I a J  a J a I   IJ , где I,J пробегают множество
указанных выше индексов.
Введем, кроме того, элементы с верхними индексами, полагая
ai  a i  ai

Поднятие или опускание индекса I  p   i ,
разом, циклическое смещение индекса
+ на – .
  1,2
означает, таким об-
на единицу или замену
4.3.2. Операторы представления
Прямой проверкой нетрудно убедиться, что элементам C  C JI
век-
торного представления алгебры Ли группы SO(2m+1,R) соответствуют
операторы
T C  
1
C JI a I a J

2 IJ
(4.12)
спинорного представления алгебры Ли этой группы. В случае полуспинорного представления нужно отбросить коэффициенты с нулевыми значениями индексов.
Если, в частности, матрица C в (4.12) имеет блочно- диагональный
вид
  B 0 
С 
,
0
B


(4.13)
то переобозначая операторы рождения и уничтожения фермиевских частиц следующим образом ai  a2i  a1i , ai  a1i , получим
1
F   B ij ai a j  T (C )  Sp ( B) ,
2
(4.14)
где
T (C ) 
1
 CJI aI a J .
2
В формуле (4.14) имеем слева обычное определение вторично квантованного оператора (гамильтониан, число частиц, плотность тока и т.п.) а
справа групповую форму оператора, как элемента полуспинорного представления алгебры Ли ортогональной группы. Каждый индекс i в сумме
(4.14) обозначает индивидуальное состояние отдельного электрона.
85
Используя (4.12 ) найдем операторы спинорного (полуспинорного) представления группы
T u   exp
1
C JI a I a J .

2 IJ
(4.15)
4.3.3. Основные свойства операторов представления
Итак, пусть T u   матричные элементы спинорного представления группы, (индексы  , , нумерующие матричные элементы, конкретизируем ниже).
Рассмотрим подробнее структуру матриц спинорного представления группы вращений.
Запишем основное свойство операторов представления
(4.16)
T uu1   T u T u1 
для матричного элемента нулевой строки и нулевого столбца
T00 uu1    T0 u T0 u1  .
(4.17)

Пусть в формулах (4.16), (4.17) u1 есть элемент однопараметрической подгруппы, как угодно близкий к единичному элементу группы
u1  1  i C 0j , где через C 0j обозначили матрицу вида (4.8), в которой
только матричный элемент нулевой строки и j-ого столбца и сопряженные элементы не равны нулю.
Элементу 1  i C 0j  exp iC 0j векторного представления группы соответствует оператор T u1   exp i a j e0  1  i a j e0
ления.
Отсюда, обозначая
оператор представления
пределе   0 равенство
T C 0j   X j 0 , получим в
 
X j 0T00u  T0u a je0 0 ,

спинорного представ-
(4.18)
где T0 u   матричные элементы первой строки,
X j0,a je0 – дифференциальный и матричный инфинитезимальные операторы спинорного
представления, т. е. элементы алгебры Ли, соответ-
ствующие элементу группы 1  i C 0j .
86
С целью вычисления правой части (4.18) найдем явный вид матриц
a j e0 . Будем нумеровать матричные элементы матриц второго порядка
простыми индексами 0 и 1 , так
матрицу в виде
что в общем случае запишем такую
 a00
a   1
 a0
a10 
.
a11 
(4.19)
Пусть a, b,, d – матрицы второго порядка. Записывая прямое произведение c  a  b    d , с учетом обозначений (4.19), получим матрицу c , матричные элементы которой имеют вид


 
c  a 1b 2 d m  c 1 m .
1
2
m
1
m
(4.20)
Таким образом, матричные элементы c нумеруются двоичными числами   1  m ,   1   m , где индексы  i ,  i , i  1, 2,  m принимают
значения 0 или 1.
Применяя формулу (4.20) к компонентам нулевого столбца (a j e0 )0 матрицы a  j e0 , найдем, что в этом столбце не равным нулю является матричный элемент, нумеруемый индексом   010 , в котором простой индекс, равный единице, находится на j -ом месте . Отсюда следует, что
формула (4.18) переписывается в виде
X j 0T00 u   T0 u ,
(4.21)
где индекс ν является двоичным числом, в котором простой символ 1
находится на j - ом месте .
Произведение операторов соответствующих операторам рождения дает, как нетрудно проверить, матричный элемент нулевой строки
X 0 j1 X 0 j2 T00 u   T0 u  ,
(4.22)
где в двоичном числе   011 0 символ 1 находится на j1 - ом, на
j2 - ом месте и т.д.
Компоненты нулевого столбца
(a j e0 )0 для оператора уничтожения
a  j равны нулю.
Рассмотрим действие оператора T C   ai a j на вакуумное состояние, где ai a j является элементом алгебры Ли спинорного представле-
87
ния группы вращений, С – элемент алгебры Ли векторного представления. Учитывая общий вид ( 4.12 ) элементов алгебры Ли, находим, что
элемент алгебры Ли векторного представления , соответствующий элементу T C   ai a j спинорного представления, имеет вид
 0 0
 ,
C  
D
0


где D – кососимметрическая матрица. в которой не равны нулю только
матричные элементы
Dij   Di j .
Вычисляя действие оператора T 1  C  на вакуумное состояние
T 1  C  u , получим следующее выражение для коэффициента при
бесконечно малой величине ε
1
T C  u    u SpD  .
2
(4.23)
С другой стороны, тот же результат ( 4.23 ) получим , если подействуем на вакуумное состояние оператором спинорного представления

T  y 01 , где y 0   0
D
D
.
 0 


Отсюда получим формулу ai a j  u    uy01 , где справа имеем ко-
герентное состояние с целыми числами заполнения двух состояний.
В общем случае, подействуем на вакуумное состояние произведением четного числа операторов рождения. Каждая пара операторов коммутирует с другими. Отсюда получим нормированные базисные функции
eI u   ai1 ...ai
M
0 


N1  TI0 u   N   uy01 ,
(4.24)
где справа имеем когерентное фермиевское состояние с целыми числами
заполнения состояний, N  dim T , N12  N , функции (4.24) для
различных, сложных индексов ортонормированы.
0 s 


y 0   0
  0 s 0 
(4.25)
определяет заполненные состояния, числа
 0 j диагональной матрицы
Матрица
 0 принимают целые значения ( 0 или 1), сложный индекс J  j1 ,..., j M
88
задает занятые состояния, отмечая те значения j  jk , k  1,, M , для
которых  0 j  1 .
Мы получили в формулах (4.24) состояние с целыми числами заполнения в трех формах :
1) действием операторов рождения на вакуумное состояние

j1
a ...a

jM
M
0   a jk 0 ,
k 1
2) заданием матричного элемента TJ0 u  нулевой ( или другой ) строки,
3) заданием матричного аргумента y 0 когерентного состояния  uy 01 .
Более общее когерентное состояние для фиксированного числа частиц с целыми числами заполнения дается функцией
u 0  N 11 uu 01 ,
(4.26)
где матричный параметр



u 0  y 0  0


0 
определен матрицей
 0 чисел заполнения и матрицей  0 , полного
набора состояний, причем матрица y0 задана формулой (4.25).
Полученные результаты по структуре фермиевских состояний, подтверждаются в следующем разделе вычислением средних значений физических величин, в частности, мы оправдаем термин "полный набор состояний" и покажем, что строки матрицы  0 определяют волновые функции отдельных частиц.
4.4. Средние значения между когерентными состояниями. Матрица
плотности
Пусть F – некоторый оператор вида (4.14), где B – эрмитова матрица.
Будем вычислять среднее значение оператора F по формуле
F 
u0 F u0
u0 u0
.
(4.27)
Допустим, что когерентное состояние u0   (uu01 ) задано элементом u0
группы
89
 0  0

u0   1
 0 1   0
 0  0 0   2 0   0 0 


,

0  0  0   0  2  0  0 
(4.28)
где 1 ,  0 , 2 – унитарные матрицы, 0 ,  0 – блочно-диагональные матрицы, составленные из блоков второго порядка
 1 0
0
 ,  0i 
0 1
 1
exp iF   1  iF , где
0i 
Введем оператор
1
.
0 
(4.29)
ε – бесконечно малая вели-
чина. Применяя формулу
eiT (C) (uu01)   (ueiCu01) ,
получим для среднего значения оператора F следующее выражение:
1

F  T C   SpB  Sp( 0 B 0 )  Sp(n0 0 B 0 ) 
2
  B ij (0 ) kj 0ki   B ij 0k j 0ki  0 k  Sp( B ) .
2
ijk
(4.30)
ijk
2
Здесь  0 – диагональная матрица,  0 k  ее элементы, 0k – числа заполнения
для фермионов,  0 – унитарная матрица, в которой строки
 0k j   0k ( j ) определяют волновые функции отдельных частиц, k – номер
частицы, j – текущий аргумент волновой функции,  i   0k j 0ki  0 k
j
2
–
k
элементы матрицы плотности.
Найдем, в частности, среднее значение числа электронов с импульсом

p , спином σ для κ -ой зоны. Записывая оператор N p    p   p 
в групповой форме как сумму оператора вида (4.12) и числового слагаемого с матрицей С вида (4.13), найдем, что матрица B в этом случае
диагональна и единственный ненулевой, равный единице элемент этой


p -го столбматрицы находится на пересечении p -ой строки и
ца. Из (4.30) получим
2
N p    02j  0jp  .
(4.31)
Если когерентное состояние описывает один электрон, то в матрице  0
имеем не равный нулю элемент только для какого-то одного значения j .
90
В этом случае (4.31) является обычной плотностью числа частиц для одj
ного электрона, а  0 p 
есть

p -я
компонента волновой функции
j -го электрона. В общем случае каждая строка в матрице  0   0ji
соот-
ветствует одной частице и j-я строка в этой матрице определяет волновую функцию j-го электрона, а
матричный параметр  0   0ji
задает
все возможные (занятые и не занятые ) состояния, что оправдывает
данное выше в формуле (4.25) для матрицы  0ji
название параметра
полного набора состояний.
Таким образом, пусть задан набор волновых функций одной частицы

для определенности в x  представлении. Составим матрицу    xj ,
строки которой являются волновыми функциями частицы, находящейся в
состоянии, определенном индексом j . Набор назовем полным, если

матрица 


 определяет элемент группы и, следовательно,    xj

невырождена.
Будем называть нижние индексы матрицы    xj , координатными ( текущими) индексами, а верхние индексы назовем индексами состояния частицы.
Если волновые функции частиц заданы в координатном представле
нии, то индекс x обозначает точку трехмерного координатного про
странства E3 x  , индекс  определяет дополнительные переменные
частицы, спин, номер зоны, групповые параметры.
Задавая волновые функции в импульсном представлении, запишем
матрицу υ в виде    pj  , где дискретный индекс p обозначает точ-

ку в импульсном пространстве E3  p  .
Верхним индексом j обозначим величины, определяющие волновую
функцию отдельной частицы, например, электрона: энергию частицы,
координаты центра тяжести молекулы, содержащей частицу, момент
связанного состояния частицы (электрона) относительно центра тяжести
молекулы и т. п. Параметры  i определяют числа заполнения. Если
91
 i  0 для всех значений i , то элемент u0 в формуле (4.6) определяет
вакуумное состояние. Таким образом, производящая функция полуспинорного представления
e   ( g )  dim T det1/ 2 a 
отождествляется с
вакуумным состоянием невзаимодействующих фермионов, e – единица
группы SO(2m,R). Вакуумное состояние инвариантно относительно действия тех операторов (4.12) , для которых C – верхняя треугольная матрица вида
0 D

 . Отсюда следует, что операторы a1i  a 2i необхо0 0 
димо отождествить с операторами уничтожения электронов. Из анализа
действия операторов a2i на когерентные состояния найдем, что операторы a2i  a1i
следует отождествить с операторами рождения электронов,
а состояния вида a2i ...a2i e
1
являются фермиевскими состояниями в
n
пространстве чисел заполнения, когда числа  j принимают целые значения (0 или 1).
В общем случае параметры  j
принадлежат интервалу [0,1]. Если
 j – нецелое число, то электроны частично находятся в вакуумном состоянии. Процесс эволюции можно описать, как изменение параметра u0 когерентного состояния со временем, что дает состояние  (uu01 t ) . Функ-
ция u 0 t  определяет в некотором приближении среднее поле (см.,
например, раздел 5.2.1.).
4.5. Физический смысл параметров ортогональной группы
Остановимся на вопросе о физическом смысле параметров группы.
Покажем, что строки матрицы  0   0i , x ,
в формулах
(4.28) опи-
сывают волновые функции частиц, а элементы диагональной матрицы μ
описывают плотность распределения частиц в трехмерном пространстве,

которое не обязательно является координатным x - пространством.
Действительно, так как матрица υ1 входит в когерентные состояния
(4.6) под знаком детерминанта, то параметры унитарной матрицы υ1 не
92
используются при построении фермиевских (электронных) когерентных
состояний. Выбирая элементы группы SO в виде (4.28) и сравнивая
средние значения операторов, полученные методом вторичного квантования и групповым методом, найдем, что строки матрицы  0   0i , x ,
имеют смысл волновых функций отдельных
 0j, x ,
частиц (электронов), т. е.
есть компонента с номером  волновой
функции j - ого элек
трона в точке x .
Индекс j нумерует состояния частиц. Для нумерации состояний частиц,
т.е. строк в матрице υ, нужно применить сложные индексы, вообще гово
ря, отличающиеся от индексов x  , обозначающих аргументы волновых
функций. Например, если строки матрицы υ0 образуют набор волновых
функций вида плоских волн (например, для частиц газа), то аргументом


волновых функций нужно взять p , где p – импульс, характеризующий состояние свободной частицы, σ – спиновая переменная и номер зоны. В задачах рассеяния индексы j
характеризуют набор сферических
функций ( момент, его проекции и т.д.). В частности, для частиц, состояния которых можно задать в квазиклассическом приближении, матрица υ0
может быть набором функций, являющимися волновыми пакетами. Пакеты могут перекрываться ( не равные нулю числа разных строк могут находиться в одном столбце). Это означает столкновение частиц. Столбцы и
  s 
строки матрицы y  
 нумеруется индексами j , обозначающими

s



состояния частиц. Числа  k2 этой матрицы есть числа заполнения, матрица μs является блочно-диагональной и имеет вид
 1 s



2s

,



 0 1
(4.32)
 , 1 ,...,  m – вещественные числа из интервала [0,1] .
где s  

1
0


93
Если
μj 1 , то j - ое состояние занято реальным электроном. Если
μj 0 , то j -ое состояние свободно. Семейство матричных элементов,
принимающих значения μj 1, определяет конфигурацию реальных частиц,
находящихся в трехмерном пространстве E3 . Точки пространства E3
нумеруются индексами j  x , где вектор x нумерует точки трехмерного не обязательно координатного пространства. Например, j может содержать координаты импульсного пространства, спин частиц и номер зоны.
В общем случае μ кососимметрическая матрица общего вида и ее
элементы нумеруются двумя индексами. Унитарным преобразованием ее
можно преобразовать к блочно – диагональной матрице вида (4.32). Это
унитарное преобразование одновременно преобразует матрицу
рая определяет волновые функции частиц.
υ0 , кото-
Кроме реальных частиц матрица υ описывает волновые функции частиц, относящихся к вакууму. К вакуумным состояниям относятся, кроме пустого пространства в квантовой электродинамике, заполненные состояния в твердом теле и нейтральный газ в ионизованном газе. Также как
для реальных частиц , если μj 1 , то занято j - ое состояние вакуума, т.е.,
электрона, находящегося в состоянии с отрицательной энергией. Из структуры фермиевских когерентных состояний видно, что когерентные состояния выражаются через элементы матрицы μ, матричные элементы которой близки к нулю, когда соответствующее состояние не занято частицей.
Задавая структуру этой матрицы, мы выделяем среди всех волновых
функций, т. е. среди строк матрицы  0   0i , x ,
в формулах (4.28),
только те состояния, которые заняты реальными частицами.
94