линейная алгебра - Владивостокский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ, ИННОВАЦИЙ И БИЗНЕС-СИСТЕМ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Рабочая программа учебной дисциплины
Основная образовательная программа
080200.62 «Менеджмент»
Владивосток
Издательство ВГУЭС
2014
ББК **.**
Рабочая программа учебной дисциплины «Линейная алгебра» составлена в соответствии с
требованиями ООП: 080200.62 «Менеджмент» на базе ФГОС ВПО.
Составители: Шуман Г.И., доцент кафедры математики и моделирования,
Волгина О.А., канд. экон. наук, доцент кафедры математики и
моделирования.
Утверждена на заседании кафедры математики и моделирования от 7.02.2011 г.,
протокол № 7, редакция 2014г.
Рекомендована к изданию учебно-методической комиссией Института информатики,
инноваций и бизнес – систем.
© Издательство Владивостокский
государственный университет
экономики и сервиса, 2014
ВВЕДЕНИЕ
В современной науке и технике математические методы исследования,
моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено
совершенствованием вычислительной техники, благодаря которой существенно
расширяется возможность успешного применения математики при решении конкретных
задач. Математика имеет фундаментальное значение, а ее изучение способствует
развитию логического мышления, вырабатыванию умения самостоятельно расширять
математические знания и проводить математический анализ прикладных задач. Причины
введения дисциплины «Линейная алгебра» заключаются в необходимости подготовки
студентов к изучению последующих математических и специальных дисциплин,
большинство из которых связаны с основными понятиями линейной алгебры и геометрии.
Дисциплина «Линейная алгебра» тесно связана и опирается на курс математики
среднего (полного) общего образования. Знания и навыки, получаемые студентами в
результате изучения дисциплины, необходимы для успешного освоения многих
дисциплин.
Данная программа построена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к
дисциплине «Линейная алгебра». Рабочая программа разработана на основе учебных
планов направления подготовки 080200.62 «Менеджмент».
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1.1. Цели освоения учебной дисциплины
Целями освоения учебной дисциплины «Линейная алгебра» являются
ознакомление с основными понятиями алгебры, освоение методов и способов решения
алгебраических задач, развитие логического и алгоритмического мышления, овладение
основными методами исследования и решения математических задач, выработка умения
самостоятельно расширять математические знания и проводить постановку и
математический анализ прикладных задач.
Задачами дисциплины «Линейная алгебра» являются:
- обучение студентов методам алгебры, необходимых им при изучении
остальных курсов;
- привитие студентам навыков исследования с использованием методов алгебры;
- обучение студентов методам логически строгого построения доказательств;
- формирование навыков и умений, необходимых при практическом
применении математических идей и методов для анализа и моделирования сложных
систем, процессов, явлений, для поиска оптимальных решений и выбора наилучших
способов реализации.
В результате освоения данной дисциплины обеспечивается достижение целей
основной образовательной программы приобретенные знания, умения и навыки
позволяют подготовить выпускника к научно-исследовательской деятельности в области
прикладной математики и информатики,
к
проектной и производственнотехнологической деятельности в области создания современных систем обработки
информации, организационно-управленческой деятельности.
1.2. Место учебной дисциплины в структуре ООП
(связь с другими
дисциплинами)
Дисциплина «Линейная алгебра» относится к базовой части математического
и естественнонаучного цикла дисциплин и имеет логическую и содержательнометодическую взаимосвязь с дисциплинами основной образовательной программы.
Дисциплина базируется на компетенциях, сформированных на предыдущем уровне
образования. Для изучения линейной алгебры требуется качественное знание школьного
курса алгебры, геометрии, тригонометрии, начал анализа.
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения учебной
дисциплины
Таблица 1. Формируемые компетенции
Название ООП
(сокращенное название
ООП)
Блок
Компетенции
Знания/ умения/ владения (ЗУВ)
080200.62
Менеджмент
Б.2
Знания:
ОК-15 - владеть
методами
количественного
анализа и
моделирования,
Умения:
теоретического и
экспериментального
исследования
экономических задач
основных понятий и
инструментов алгебры
и геометрии;
применять
математические
методы для решения
практических задач;
Владение:
навыками применения
математического
инструментария для
решения
экономических задач;
1.4 Основные виды занятий и особенности их проведения
Курс читается для бакалавров второго курса в осеннем семестре для направления
Менеджмент» в объеме 144 часов (4 зачетные единицы). На самостоятельное изучение
дисциплины выделяется 108 часов. Итоговая аттестация по дисциплине — экзамен.
Особое место в овладении данным курсом отводится самостоятельной работе по
выполнению индивидуальных домашних заданий.
1.5 Виды контроля и отчетности по дисциплине
Текущий контроль предполагает:
- проверку уровня самостоятельной подготовки студента при выполнении
индивидуальных домашних заданий;
- опросы по основным моментам изучаемой темы;
- тестирование остаточных знаний (предварительные аттестации).
Промежуточный контроль знаний осуществляется при проведении экзамена с
использованием педагогических тестовых материалов (СИТО).
2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
2.1 Темы курса
Тема 1. «Определители». Определители второго и третьего порядков. Правила
вычисления определителя третьего порядка. Определители n -го порядка. Понятие минора
и алгебраического дополнения. Транспонирование определителя.
Тема 2. «Свойства определителей». Единичные, диагональные, треугольные
определители. Теорема Лапласа. Методы вычисления определителей (метод понижения
порядка, метод приведения к треугольному виду).
Тема 3. «Матрицы». Квадратная, единичная, диагональная, скалярная,
вырожденная (невырожденная) матрицы. Транспонирование матрицы. Матрица-строка,
матрица-столбец, нулевая матрица.
Тема 4. «Линейные операции над матрицами». Умножение матрицы на число и
сложение матриц. Свойства линейных операций. Умножение матриц, свойства умножения
матриц.
Тема 5. «Обратная матрица». Элементарные преобразования матрицы. Обратная
матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Теорема
о единственности матрицы, обратной данной. Методы нахождения обратной матрицы
(метод присоединенной матрицы, метод элементарных преобразований).
Тема 6. «Ранг матрицы». Понятие базисного минора матрицы. Различные
способы нахождение ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, приведение матрицы
к трапециевидной (ступенчатой) и диагональной форме с помощью элементарных
преобразований.
Тема 7. «Система линейных алгебраических уравнений». Система линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ). Основные понятия. Решение СЛАУ. Эквивалентные
(равносильные) системы уравнений. Определенные и неопределенные, совместные и
несовместные СЛАУ.
Тема 8. «Методы решения СЛАУ». Представление СЛАУ в матричной форме.
Матричный способ решения СЛАУ. Решение матричного уравнения. Правило Крамера
для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными (теорема).
Тема 9. «Метод Гаусса». Метод Гаусса для системы n линейных уравнений с n
неизвестными. Система m линейных уравнений с n неизвестными; базисные и свободные
неизвестные (переменные). Общее и частное решения СЛАУ.
Тема 10. «Однородная СЛАУ». Однородные системы линейных уравнений и их
решения. Основные свойства однородной системы. Фундаментальная система решений
(ФСР) однородной СЛАУ. Исследование СЛАУ на совместность. Теорема Кронекера –
Капелли.
Тема 11. «Линейные операторы». Линейные преобразования (линейные
операторы). Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы
линейного преобразования.
Тема 12. «Комплексные числа». Основные понятия. Операции над комплексными
числами: сложение (вычитание), умножение, деление. Свойства операций. Модуль
комплексного числа и его свойства. Сопряженное комплексное число и его свойства.
Комплексная плоскость, геометрическое изображение комплексного числа на
комплексной плоскости. Формы записи комплексного числа: алгебраическая,
тригонометрическая, показательная (представление Эйлера).
Тема 13. «Действия над комплексными числами». Действия над комплексными
числами в тригонометрической форме. Определение комплексной степени. Возведение
комплексного числа в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного
числа. Основная теорема алгебры.
3. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Программой дисциплины не предусмотрено чтение лекций и проведение практических
занятий. Студентам предлагается самостоятельное изучение дисциплины с
использованием электронной обучающей среды «Moodle», проведение промежуточной
аттестации в форме компьютерного тестирования (СИТО).
Для студентов в качестве самостоятельной работы предполагается выполнения
индивидуальных домашних заданий.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА
4.1 Перечень и тематика самостоятельных работ студентов по дисциплине
Индивидуальные домашние задания (ИДЗ):
1. Определители. Действия над матрицами. Обратная матрица.
2. Решение СЛАУ.
3. Ранг матрицы. Исследование СЛАУ на совместность.
4. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.
4.2 Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества освоения
учебной дисциплины.
1. Дать определения определителей второго и третьего порядков.
2. Сформулировать свойства определителей.
3. Каковы методы вычисления определителей?
4. Что называется матрицей? Перечислить виды матриц.
5. Какая матрица называется невырожденной?
6. Какие линейные операции выполнимы над матрицами?
7. Перечислить свойства линейных операций над матрицами.
8. Что называется произведением матриц? Перечислить свойства произведения
матриц.
9. Сформулировать необходимое и достаточное условие существования матрицы,
обратной данной.
10. Каков алгоритм нахождения матрицы, обратной данной?
11. Как связаны определители взаимно-обратных матриц?
12. Что называется рангом матрицы (два определения)?
13. Что такое система линейных алгебраических уравнений, решение системы?
14. Какое уравнение называется матричным и каково его решение?
15. Сформулировать правило Крамера.
16. В чем заключается суть метода Гаусса решения системы уравнений?
17.Какие системы уравнений называются однородными? Что такое тривиальное
решение?
18.Какие системы называются совместными (несовместными)? Определенные
(неопределенные) системы.
19.Что называется рангом матрицы? Сформулировать теорему о ранге матрицы.
20.Дать формулировку теоремы Кронекера-Капелли.
21.Что называется линейным оператором? Каково представление линейного
оператора?
22.Что такое собственные векторы и собственные значения линейного оператора?
23.Что называется квадратичной формой? Как привести квадратичную форму к
каноническому виду?
24.Какие
квадратичные
формы
называются
знакоположительными
и
знакоотрицательными?
25. Какое число называется комплексным?
26. Каковы формы записи комплексного числа?
27. Как выполняются действия сложения, умножения и деления комплексных
чисел?
28. Что называется модулем комплексного числа?
29. Что такое сопряженное число комплексного числа?
30. Как выполняется действие возведения комплексного числа в степень?
31. Как извлечь корень показателя n из комплексного числа?
32. Как геометрическое изображается комплексное число?
4.3
Методические рекомендации по организации СРС
Самостоятельная работа студентов является наиболее продуктивной формой
образовательной и познавательной деятельности студента в период обучения. Текущая
самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студентов,
развитие практических умений. Текущая самостоятельная работа включает в себя: работу
с лекционным материалом, опережающую самостоятельную работу, подготовку к
промежуточной аттестации и экзамену.
Контроль самостоятельной работы студентов и качество освоения дисциплины
осуществляется посредством:
- опроса студентов;
- выполнения студентами индивидуальных домашних заданий по вариантам;
- проверки выполнения домашних заданий.
При решении индивидуальных домашних заданий необходимо использовать
теоретический материал, делать ссылки на соответствующие теоремы, свойства, формулы
и пр. Решение ИДЗ излагается подробно и содержит необходимые пояснительные ссылки.
Студенты, для достаточного освоения теоретического материала по дисциплине
«Линейная алгебра» должны:
- ознакомиться с перечнем вопросов, указанных в теме и изучить их по конспекту
лекций с учетом пометок в конспекте;
- выбрать источник из списка литературы, если по данной теме недостаточно
материала в конспекте лекций.
4.4 Рекомендации по работе с литературой
В процессе изучения дисциплины «Линейная алгебра» помимо теоретического
материала, предоставленного преподавателем во время лекционных занятий, может
возникнуть необходимость в использовании учебной литературы.
Наиболее подробно и просто теория большинства тем изложена в учебнике «Вся
высшая математика» Краснова М.Л. и др., однако примеров решения практических задач
данное пособие содержит в небольшом объеме.
В качестве учебника для формирования практических навыков решения
алгебраических и геометрических задач наилучшим образом подходит «Высшая
математика в упражнениях и задачах» Данко П.Е. и др. Это пособие содержит
практические задачи, часть из которых приведена с решениями, и краткую теорию,
необходимую для их решения.
Тема «Комплексные числа» рассмотрена в учебнике Кудрявцева В.А., Демидовича
Б.П. «Краткий курс высшей математики».
Кроме учебников студентам рекомендуется «Справочник по высшей математике»
под ред. Выгодского М.Я., в котором кратко рассмотрены все темы, указаны все
необходимые формулы и приведены пояснительные примеры.
Остальные учебники, указанные в списке рекомендованной литературы,
характеризуются либо сложностью изложения, либо подробным освещением некоторых
тем.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1 Основная литература
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М,:
Наука, 2005.
2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 2005.
3. Гусак А. А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и
линейная алгебра. – Минск: ТетраСистемс, 2007.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. – М.: Высшая школа, 2010, ч.1.
5. Кострикин А. И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб: Лань, 2005.
6. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И.,
Соболев С.К. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2008.
7. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. Изд. 3 –11.
Гостехиздат,;М., Наука, 2001-2008.
8.
Бугров Я.С., Никольский М.С. Высшая математика. Элементы линейной
алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 2005.
9.
Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука,
2006.
10. Гусак А. А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия
и линейная алгебра. – Минск: ТетраСистемс, 2006.
5.2 Дополнительная литература
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Физматлит, 2005.
2. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 2004.
3. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1, 2. – Минск, изд. Тетра Системс, 2006
4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 2001.
5. Шуман Г.И., Волгина О.А., Гусев Е.Г. Высшая математика, часть 1, учебное
пособие - Владивосток, ВГУЭС, 2008.
6. СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ
1. Матрица — это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой
длины.
2. Квадратная матрица — матрица, у которой число строк равно числу столбцов.
3. Невырожденная матрица — квадратная матрица, определитель которой не равен
нулю.
4. Диагональная матрица — квадратная матрица, у которой все элементы, кроме
элементов главной диагонали, равны нулю.
5. Треугольная матрица — квадратная матрица, все элементы которой,
расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
6. Транспонированная матрица — матрица, полученная из данной заменой каждой
ее строки столбцом с тем же номером.
7. Эквивалентные матрицы — матрицы, полученные одна из другой с помощью
элементарных преобразований.
8. Минор некоторого элемента определителя n-го порядка — определитель (n-1)-го
порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении
которых находится выбранный элемент. .
9. Алгебраическое дополнение элемента - минор этого элемента, умноженный на -1
в степени, равной сумме номера строки и номера столбца, на пересечении которых
находится выбранный элемент.
10.Присоединенная (союзная) матрица — матрица, составленная из
алгебраических дополнений элементов данной квадратной матрицы.
11.Ранг матрицы — наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных
от нуля.
12.Совместная система уравнений — система, имеющая хотя бы одно решение.
13.Определенная система — совместная система, имеющая единственное решение.
14.Тривиальное решение — нулевое решение системы.
15. Выражение вида z  x  yi , где x и y – действительные числа, а i – мнимая
единица, называется комплексным числом.
16. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется
комплексной плоскостью.
17. Длина вектора, изображающего комплексное число z , называется модулем этого
числа и обозначается z или r .