Документ 224543
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
КУТРУНОВ В.Н.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов специальности
10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем»,
специализация: «Обеспечение информационной безопасности
распределенных информационных систем».
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Кутрунов В.Н.. АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов специальности 10.05.03 «Информационная безопасность
автоматизированных
систем»,
специализация:
«Обеспечение
информационной
безопасности распределенных информационных систем». Форма обучения - очная.
Тюмень, 2014, 81 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Алгебра и
геометрия, [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Кутрунов В.Н., 2014.
3
1. Пояснительная записка
1.1.Цели и задачи дисциплины
Целями освоения дисциплины «Алгебра и геометрия» являются: получение
базовых знаний по алгебре и геометрии: ознакомить студентов с фундаментальными
понятиями и методами линейной алгебры: теорией матриц, линейных уравнений,
неравенств, линейных пространств и линейных операторов;
дать введение в задачи и методы общей алгебры: теории групп, колец, полей и
алгебр;
дать понятие о задачах и методах теории вещественных и комплексных чисел, а
также теории многочленов;
развить у студентов аналитическое мышление и общую математическую
культуру;
привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную
литературу в области математики.
применять полученные знания для решения алгебраических и геометрических
задач в различных приложениях.
Получаемые знания лежат в основе математического образования, необходимы для
понимания и освоения всех курсов математики, компьютерных наук и их приложений,
естественным образом связанных с профессиональной деятельностью в области
информационной безопасности, насыщенной компьютерными технологиями с глубоким
проникновением в них методов математики.
Задачи изучения дисциплины: изучить материал дисциплины; усвоить основные
понятия; приобрести навыки самостоятельного анализа фактов, навыки постановки и
решения задач алгебры и геометрии с целью перенесения соответствующих методов в
область информационной безопасности.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина входит в базовую часть цикла С2 «Математический и
естественнонаучный цикл».
Для успешного изучения дисциплины достаточно знаний и умений,
приобретенных в средней школе.
С курса высшей алгебры и аналитической геометрии начинается математическое
образование. Знания, полученные в этом курсе, используются в математическом анализе,
основах информационной безопасности, теории вероятностей и математической
статистике, управлении информационными ресурсами, криптографических методах
защиты информации, в алгоритмах компьютерной обработки данных и других
математических и компьютерных дисциплинах.
4
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1семестр
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
3.1
+
+
+
+
+
+
+
1
Математический анализ
+
+
+
2
+
+
+
3
Теория вероятностей и
математическая статистика
Физика
+
+
+
+
4
Теория информации
+
+
5
Структуры и алгоритмы
компьютерной обработки
данных
Безопасность систем баз
данных
Информационная
безопасность открытых
систем
Криптографические методы
защиты информации
Наименование обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
6
7
8
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Математический анализ
Теория вероятностей и
математическая статистика
Физика
3.2
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
2 семестр
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.3
3.4
+
+
+
+
+
Теория информации
+
+
Криптографические
протоколы
Криптографические методы
защиты информации
Структуры и алгоритмы
компьютерной обработки
данных
+
+
+
+
+
+
+
+
5
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Наименование обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
Математический анализ
Теория вероятностей и
математическая статистика
Теория информации
Криптографические
протоколы
Криптографические методы
защиты информации
Структуры и алгоритмы
компьютерной обработки
данных
Темы дисциплины необходимые для
изучения обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
3 семестр
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.2
3.3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы
В результате освоения дисциплины выпускник должен обладать следующими
общекультурными компетенциями (ОК):
способностью понимать социальную значимость своей будущей профессии, цели и
смысл государственной службы, обладать высокой мотивацией к профессиональной
деятельности в области обеспечения информационной безопасности и защиты интересов
личности, общества и государства, готовностью и способностью к активной
состязательной деятельности в условиях информационного противоборства (ОК-5);
способностью к логическому мышлению, обобщению, анализу, критическому
осмыслению
информации,
систематизации,
прогнозированию,
постановке
исследовательских задач и выбору путей их решения на основании принципов научного
познания (ОК-9);
способностью самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и
самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых областях,
непосредственно не связанных со сферой профессиональной деятельности, развития
социальных и профессиональных компетенций, к изменению вида своей
профессиональной деятельности (ОК-10).
Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями
(ПК):
способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в
6
ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физикоматематический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);
способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием
вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК- 2).
1.4.Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
Знать основные понятия алгебры и аналитической геометрии, определения и
свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы
их доказательства, возможные сферы их приложений, в том числе в компьютерном
моделировании объектов и явлений.
Уметь решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
алгебры и геометрии трехмерного евклидова (аффинного) пространства и проективной
плоскости, доказывать утверждения.
Владеть математическим аппаратом алгебры и аналитической геометрии,
аналитическими методами исследования объектов.
2.Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр первый. Форма промежуточной аттестации – экзамен.
Семестр второй. Форма промежуточной аттестации–зачет.
Семестр третий. Форма промежуточной аттестации – экзамен.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 11 зачетных единиц, 396 академических
часов, их них 227,9 часов выделены на контактную работу с преподавателем, 168,1 часа
выделены на самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего
Семестры
часов
1
2
3
Контактная работа:
Аудиторные занятия(всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
Вид промежуточной аттестации (зачет,
экзамен)
227,9
216
72
72
11,9
168,1
396
76,65
72
36
36
4,65
67,35
144
11
4
экзамен
74,6
72
36
36
2,6
33,4
108
3
зачет
76,65
72
36
36
4,65
67,35
144
4
экзамен
7
3.Тематический план.
Таблица 3.
№
1
2
3
Семестр 1
Модуль 1
1.1 Группы, кольца и
1
поля, на примерах
подмножеств
множества
вещественных чисел.
1.2 Матрицы. Матрицы
2-3
как пример группы по
сложению и как
пример
вещественного
линейного
пространства.
Пространство Rn.
1.3 Определители.
4-5
Теорема Лапласа.
Обратная матрица.
Всего
Модуль 2
Итого
часов
по
теме
ая работа *
Семинарские
(практические)
занятия*
Самостоятельн
Лекции
Тема
недели семестра
Виды учебной работы
и самостоятельная
работа, в час.
Итого
Из них
количество
в
баллов
интерактивн
ой
форме
4
5
6
7
8
9
2
2
4
8
4
4
8
16
1
0-10
4
4
8
16
1
0-10
10
10
20
40
2
0-23
0-3
2.1 Ранг матрицы.
Линейная
зависимость и
независимость
элементов
пространства Rn и
ранг матрицы.
6-7
4
4
8
16
1
0-11
2.2 Системы линейных
8-9
4
4
8
16
1
0-14
8
уравнений.Множеств
о решений
однородных систем,
как пример
подпространствапрос
транства Rn.
2.3
Векторная алгебра.
Скалярное и
векторное
произведения в
векторной алгебре.
1011
Всего
Модуль 3
4
4
8
16
12
12
24
48
0-13
2
0-38
3.1
Вещественное
линейное
пространство.
Линейная
зависимость и
независимость. Базис
и координаты.Связь
различных базисов.
1214
6
6
12
24
3.2
Системы координат.
Скалярное и
векторное
произведения в
координатной форме.
1516
4
4
8
16
1
0-13
3.3
Преобразование
координат. Системы
координат
специального типа.
1718
4
4
8
16
1
0-11
Всего
14
14
28
56
3
0-39
Итого семестр 1*
(часов, баллов)
36
36
72
144
6
0-100
Из них часов в
интерактивной форме
3
3
0-15
6
Семестр 2
9
Модуль 1
1.1 Прямая на плоскости
и плоскость в
пространстве.
1-2
4
4
4
12
Задачи взаимного
расположения точек,
прямых, плоскостей.
Метрические задачи.
3-5
6
6
6
18
6
2
2
2
6
1
0-11
12
12
12
36
2
0-39
2.1 Частные случаи
7-8
линий и поверхностей
второго порядка.
Эллипс, парабола и
гипербола.
4
4
4
12
1
0-10
2.2 Общая теория линий
и поверхностей
второго порядка.
2
2
2
6
6
6
6
18
1.2
1.3
Всего
1
0-11
0-17
Модуль 2
9
Всего
0-10
1
0-20
Модуль 3
3.1 Элементы общей
алгебры. Группы,
кольца, поля.
1011
4
4
4
12
3.2 Поле комплексных
чисел.
Алгебраическая и
тригонометрическая
форма комплексных
чисел. Корни из
комплексного числа.
1214
6
6
6
18
3.3 Кольцо многочленов.
Наибольший общий
делитель. Алгоритм
1516
4
4
4
12
0-10
1
0-10
0-10
10
Евклида.
3.4 Корни многочлена.
4
4
4
12
1
0-11
Всего
18
18
18
54
2
41
Итого семестр 2*
(часов, баллов)
36
36
36
108
5
0-100
Из них часов в
интерактивной форме
2
3
1-2
4
4
8
16
1.2 Линейные
подпространства и их
свойства. Способы
задания
(конструирования)
линейных
подпространств.
3-4
4
4
8
16
1.3 Евклидовы и
унитарные
пространства.
Скалярное
произведение.
Матрица Грама.
Метрические задачи.
5-6
4
4
8
16
1
0-11
12
12
24
48
2
0-33
4
4
8
16
1
0-11
1718
5
Семестр 3
Модуль 1
1.1 Линейное
пространство над
произвольным полем.
Понятие базы и
базиса. Различные
базисы и матрицы
перехода.
Всего
1
0-11
0-11
Модуль 2
2.1 Линейные операторы
и функционалы.
Матрица линейного
7-8
11
оператора.
2.2 Матрица линейного
оператора в
различных базисах.
910
4
4
8
16
0-10
2.3 Устройство линейных
операторов простой
структуры.
11
2
2
4
8
0-3
2.4 Линейные операторы
в унитарных и
евклидовых
пространствах.
Нормальные и
унитарные
операторы.
1213
4
4
8
16
0-10
14
14
28
56
1
0-34
1
0-15
Всего
Модуль 3
3.1 Билинейные и
квадратичные формы
в линейном
пространстве.
1415
4
4
8
16
3.2 Квадратичные формы
в вещественном и
комплексном
пространстве.
1617
4
4
4
12
3.3 Квадратичные формы
в евклидовом и
унитарном
пространствах.
18
2
2
8
12
1
0-3
Всего
10
10
20
40
2
0-33
Всего семестр 3*
(часов, баллов):
36
36
72
144
5
0-100
Из них часов в
интерактивной форме
2
3
108
108
Итого за первый,
второй и третий
семестры*
0-15
5
180
396
16
12
*- учетом иных видов работ.
4.Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
№ темы
колло
квиум
ы
Семестр 1
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
3.3.
Всего
Итого
семестр 1
Семестр 2
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Всего
Письменные
работы
Устный опрос
-
0-5
0-5
0-5
-
-
собеседов
ание
ответ на
семинаре
контрольная
работа
0-2
0-2
0-4
0-3
0-4
0-4
0-11
0-4
0-4
0-8
0-3
0 - 10
0 - 10
0 - 23
0-3
0-3
0-3
0-9
0-4
0-4
0-4
0-12
0-4
0-7
0-6
0-17
0 - 11
0 - 14
0 - 13
0 - 38
0-4
0-2
0-1
0-7
0-20
0-5
0-4
0-2
0-11
0-34
0-6
0-7
0-3
0-16
0-41
0-15
0-13
0-11
0-39
0 - 100
0-3
0-3
0-3
0-9
0-4
0-7
0-4
0-15
0-4
0-7
0-4
0-15
0 - 11
0 - 17
0 - 11
0 - 39
0-2
0-2
0-4
0-4
0-4
0-8
0-4
0-4
0-8
0 - 10
0 - 10
0 - 20
0-5
0-5
0-4
0-10
0- 10
0 - 10
0 - 11
0- 41
0-6
0-6
Итого
количество
баллов
0-5
0-5
0-10
0-5
0-6
0-16
0-9
13
Итого
семестр 2
Семестр 3
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
2.4
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
3.3.
Всего
Итого
семестр 3
0-6
-
-
-
0-23
0-39
0-32
0 - 100
0-3
0-3
0-3
0-9
0-4
0-4
0-4
0-12
0-4
0-4
0-4
0-12
0 - 11
0 - 11
0 - 11
0 - 33
0-3
0-2
0-3
0-4
0-4
0-8
0-4
0-4
0
0-5
0-13
0 - 11
0 - 10
0-3
0 - 10
0 - 34
0-5
0-5
0-1
0-11
0-28
0-5
0-5
0-2
0-12
0-37
0-5
0-13
0-5
0-5
0-10
0-35
0-15
0-15
0-3
0-33
0 - 100
5.Содержание дисциплины.
В этом разделе материал структурирован на достаточно мелкие порции, так что
каждый пронумерованный пункт одновременно является и вопросом для подготовки к
зачету и экзаменам.
Семестр 1
Модуль 1
1.1 Группы, кольца и поля, на примерах подмножеств множества вещественных
чисел.
1. Множество целых чисел - группа по сложению.
2. Множество целых чисел - кольцо, коммутативное с единицей.
3. Множество рациональных чисел- кольцо, коммутативное с единицей.
4. Множество рациональных чисел - поле.
5. Множество вещественных чисел- поле.
6. Множество целых чисел не является полем.
1.2
Матрицы. Матрицы как пример группы по сложению и как пример
вещественного линейного пространства. Пространство Rn.
7. Матрицы. Определение, основные понятия и обозначения.
8. Равные матрицы. Противоположные матрицы. Операция сложения матриц и ее
свойства. Вычитание матриц.
9. Операция произведения матриц на число и ее свойства.
10. Операция произведения матриц и ее свойства.
11. Операция транспонирования матриц и ее свойства.
12. Матрицы специального вида.
14
13. Множество матриц Am×n образует группу по сложению.
14. Множество матриц Am×n образует вещественное линейное пространство.
15. Множество одномерных матриц- столбцов (векторов) образуют вещественное
линейное пространство Rn. Простейший базис.
16. Элементарные преобразования матриц и матрицы, соответствующие
элементарным преобразованиям. Трапецевидная матрица. Основные теоремы об
элементарных преобразованиях матриц.
1.3. Определители. Теорема Лапласа. Обратная матрица.
17. Основное определение определителя. Вычисление определителя треугольной
матрицы по определению.
18. Свойства определителя и доказательство одного из них.
19. Понятие минора и его алгебраического дополнения.
20. Теорема Лапласа о разложении определителя по минорам произвольных k строк
(столбцов). Частный случай разложения определителя по произвольной строке
(столбцу)
21. Теоремы о вычислении определителя квазидиагональной матрицы и
определителя произведения матриц.
22. Вычисление определителя методом Гаусса.
23. Доказательство теоремы о «фальшивом » разложении определителя.
24. Понятие об обратной, вырожденной и присоединенной матрицах. Свойства
обратной матрицы.
25. Критерий обратимости матрицы и ее вычисление с помощью присоединенной
матрицы (доказательство теоремы).
26. Теорема о приведении невырожденной матрицы к единичной матрице.
27. Решение систем алгебраических уравнений с невырожденной матрицей методом
обратной матрицы и методом Жордана.
Модуль 2
2.1. Ранг матрицы. Линейная зависимость и независимость элементов пространства
Rn и ранг матрицы.
28. Понятие о ранге матрицы.
29. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Число
линейно независимых строк (столбцов) матрицы и ее ранг.
30. Пространство Rn и его линейно независимые элементы.
31. Теоремы о ранге матрицы. Теоремы о преобразованиях матрицы, не меняющих
ее ранг.
32. Теоретическая основа метода Гаусса вычисления ранга.
33. Понятие о эквивалентных матрицах и о необходимом и достаточном условии их
эквивалентности.
2.2. Системы линейных уравнений. Множество решений однородных систем, как
пример подпространства пространства Rn.
34. Система линейных уравнений. Основные понятия и формы записи.
Эквивалентные преобразования системы уравнений.
35. Теорема об умножении системы Ax b на невырожденную матрицу.
36. Произвольная невырожденная матрица как произведение матриц элементарных
преобразований.
37. Решение систем уравнений с невырожденной матрицей методом Крамера.
38. Линейные системы уравнений общего вида. Теорема Кронекера- Капели.
39. Однородная система линейных уравнений и множество её решений как пример
подпространства пространства Rn.
15
40. Главные и свободные неизвестные алгебраической системы общего вида и
техника получения всех решений.
41. Общее решение системы уравнений.
42. Метод Гаусса исследования и решения системы линейных уравнений.
2.3. Векторная алгебра. Скалярное и векторное произведения в векторной алгебре.
43. Направленные отрезки. Равенство направленных отрезков. Отношение отрезков.
44. Понятие свободного вектора. Сложение векторов.
45. Умножение вектора на число.
46. Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
47. Угол между векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведения
векторов в векторной алгебре.
Модуль 3
3.1. Вещественное линейное пространство. Линейная зависимость и независимость.
Базис и координаты. Связь различных базисов.
48. Определения.
49. Простейшие свойства линейных пространств.
50. Линейная зависимость и линейная независимость.
51. Базис и координаты. Связь различных базисов.
3.2.Системы координат. Скалярное и векторное произведения в координатной
форме.
52. Базис и координаты на прямой.
53. Базис и координаты вектора. Условия линейной зависимости векторов в
координатах.
54. Аффинная система координат и соответствующий ей базис. Деление
направленного отрезка в данном отношении.
55. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками.
56. Ортонормированные базисы.
57. Скалярное и векторное и смешанное произведения векторов в координатной
форме.
3.3.Преобразование координат. Системы координат специального типа.
58. Преобразования координат при повороте или сдвиге декартовой системы
координат
59. Полярные координаты на плоскости.
60. Сферические и цилиндрические координаты в пространстве
Семестр 2
Модуль 1
1.1. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве.
61. Канонические уравнения прямой и плоскости.
62. Построение прямой по точке и направляющему вектору, по двум точкам. Общее
уравнение прямой. Прямая в отрезках.
63. Построение плоскости по точке и двум направляющим векторам, по трем
точкам. Общее уравнение плоскости.
64. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
65. Векторные уравнения прямой и плоскости.
1.2. Задачи взаимного расположения точек, прямых, плоскостей.
66. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости. Пучки прямых
на плоскости и плоскостей в пространстве.
67. Разбиение плоскости и пространства соответственно прямой и плоскостью.
1.3. Метрические задачи.
68. Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до прямой.
16
69. Угол между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями
Модуль 2.
2.1. Частные случаи линий и поверхностей второго порядка. Эллипс, гипербола и
парабола.
70. Канонические уравнения эллипса.
71. Канонические уравнения параболы.
72. Канонические уравнения гиперболы.
73. Приведение многочлена второго порядка от двух переменных к каноническому
виду.
74. Виды линий второго порядка.
2.2. Общая теория линий и поверхностей второго порядка.
75. Алгебраические линии и поверхности.
76. Распадающиеся линии и поверхности.
77. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения.
78. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды.
79. Прямолинейные образующие поверхностей.
Модуль3.
3.1. Элементы общей алгебры. Группы, кольца, поля.
80. Декартово произведение множеств.
81. Понятие алгебраической операции (внутренней композиции). Коммутативные и
ассоциативные алгебраические операции. Нейтральный и симметричный
элементы относительно алгебраической операции и теоремы об их
единственности. Определение операции, обратной к алгебраической.
Дистрибутивные алгебраические операции.
82. Определение группы и общепринятые обозначения группы. Абелевы группы.
83. Мультипликативное и аддитивное задание группы. Сходство и различие в
основной терминологии.
84. Перестановки и мультипликативная группа подстановок.
85. Аддитивная группа вычетов.
86. Понятие о инъективном, сюръективном и биективном отображениях.
Определение изоморфизма групп.
87. Определение кольца. Анализ аксиом кольца.
88. Коммутативное кольцо и кольцо с единицей. Свойства кольца. Понятие о
делителях нуля. Изоморфизм колец.
89. Кольцо вычетов.
90. Определение поля, свойства поля.
91. Примеры полей.
3.2. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма
комплексных чисел. Корни из комплексного числа.
92. Алгебраическое определение множества комплексных чисел.
93. Равенство, сумма и произведение комплексных чисел.
94. Корни из комплексного числа.
95. Представление комплексных чисел через мнимую единицу.
96. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства.
97. Комплексная плоскость и сложение комплексных чисел на плоскости.
98. Комплексные числа в тригонометрической форме. Модуль и аргумент
комплексного числа. Свойства аргумента. Равенство комплексных чисел,
заданных в тригонометрической форме.
99. Неравенство треугольника на комплексной плоскости.
17
100.
Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической
форме.
101.
Формула Муавра возведения комплексных чисел в целую степень.
102.
Вычисление корней из комплексного числа. О возведении комплексного
числа в рациональную степень
3.3. Кольцо многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
103.
Кольцо многочленов.
104.
Деление многочленов с остатком; теорема Безу.
105. Наибольший общий делитель многочленов и алгоритм Евклида его
нахождения.
3.4. Корни многочлена.
106.
Корни многочлена, их кратность. Разложение многочлена.
107.
Формулы Виета связи корней и коэффициентов многочлена.
Семестр 3.
Модуль 1
1.1. Линейное пространство над произвольным полем. Понятие базы и базиса.
Различные базисы и матрицы перехода.
108.
Определение линейного (векторного) пространства над произвольным
полем.
109.
База и ранг системы векторов. Базис линейного пространства.
110.
Примеры: рациональное, вещественное и комплексное пространства.
111.
Пример: поле вычетов по модулю два.
112.
Определение изоморфизма пространств над общим полем.
1.2.Линейные подпространства и их свойства. Способы задания (конструирования)
линейных подпространств.
113.
Линейная оболочка векторов и подпространство. Размерность (на примере).
114.
Однородная система линейных уравнений и подпространство. Размерность.
1.3.Евклидовы и унитарные пространства. Скалярное произведение. Матрица
Грама. Метрические задачи.
115.
Определение скалярного произведения в вещественном или комплексном
пространствах. Аксиомы скалярного произведения.
116.
Определение евклидова и унитарного пространств. Примеры таких
пространств.
117.
Скалярное произведение в вещественном пространстве – частный случай
скалярного произведения в комплексном пространстве.
118.
Неравенство Коши-Буняковского.
119.
Неравенства треугольника.
120.
Определение матрицы Грама и ее свойства.
121.
Вычисление скалярного произведения векторов при наличии
базиса евклидова (унитарного) пространства с помощью матрицы Грама.
122.
Определение изоморфизма евклидовых (унитарных)
пространств.
123.
Ортогональные векторы. Линейная независимость системы
ортонормированных векторов. Базис евклидова (унитарного) пространства.
124.
Вычисление координат вектора в пространстве с
ортонормированным базисом. Вычисление скалярного произведения.
Модуль 2.
2.1. Линейные операторы и функционалы. Матрица линейного оператора.
125.
Определение линейного оператора, действующего из
18
пространства V в пространство W, заданных над общим полем. Свойства линейного
оператора: сохранение нулевого элемента, сохранение линейной комбинации и
сохранение линейной зависимости.
126.
Функционал, как частный случай линейного оператора.
127.
Примеры линейных операторов: оператор проектирования,
оператор
отражения,
нулевой
оператор,
единичный
оператор,
оператор
дифференцирования, линейный оператор-«изоморфизм линейных пространств».
2.2. Матрица линейного оператора в различных базисах.
128.
Матрица Afe оператора A в паре базисов e и f и ее
однозначность.
129.
Использование матрицы Afe оператора A для преобразования
векторов из пространства V в пространство W.
130.
Связь матриц оператора A, преобразующего пространство в себя,
заданных в разных базисах.
2.3. Устройство линейных операторов простой структуры.
131.
Определение и простейшие свойства.
132.
Матрица линейного оператора простой структуры.
2.4. Линейные операторы в унитарных и евклидовых пространствах. Нормальные и
унитарные операторы.
133.
Сопряженный оператор.
134.
Нормальный оператор
135.
Унитарный (ортогональный) оператор.
Модуль 3
3.1. Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве.
136.
Билинейные формы. Определения. Способы записи билинейной
формы в конечномерном пространстве с заданным базисом. Матрица билинейной формы.
137.
Теорема о связи матриц билинейной формы, заданной в разных
базисах.
138.
Симметричная билинейная форма и ее связь с симметричной
матрицей.
139.
Вырожденные и невырожденные билинейные формы.
3.2. Квадратичные формы в вещественном и комплексном пространстве.
140.
Квадратичные формы и полярные к ним формы. Связь матриц
данной квадратичной формы, заданной в разных базисах. Компактная запись
квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
141.
Канонический базис и канонический вид квадратичной формы.
Канонический вид билинейной формы.
142.
Метод Якоби получения канонической формы квадратичной
формы и условия его применения.
143.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к
каноническому виду.
144.
Критерий Сильвестра положительно (отрицательно)
определенной квадратичной формы.
3.3. Квадратичные формы в евклидовом и унитарном пространствах.
145. Приведение квадратичной формы к главным осям.
146. Теорема о паре квадратичных форм.
19
6.Планы семинарских занятий.
1
1.1
1.2
1.3
2
Семестр 1
Модуль 1
Группы, кольца
и поля, на
примерах
подмножеств
множества
вещественных
чисел.
Матрицы.
Матрицы как
пример группы
по сложению и
как пример
вещественного
линейного
пространства.
Пространство
Rn .
Определители.
Теорема
Лапласа.
Семинарские
(практические)
занятия*
Самостоятельн
ая работа*
Виды учебной работы
в часах.
Лекции*
Модули
недели семестра
№
Тема аудиторных семинарских занятий
7
3
4
5
6
1
2
2
4
Показать что: Множество целых чисел- группа по сложению. Множество целых чисел коммутативное кольцо с единицей. Множество рациональных чисел- коммутативное кольцо
с единицей. Множество рациональных чисел - поле. Множество вещественных чисел- поле.
Множество целых чисел не является полем.
2-3
4
4
8
Сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц. Матрицы специального
вида. Элементарные преобразования матриц. Квадратные матрицы. Алгебра квадратных матриц.
Показать групповые свойства матриц. Показать, что матрицы одинакового размера образуют
линейное вещественное пространство и рассмотреть частный случай одномерных матриц (nмерных векторов, проcтранство Rn).
4-5
4
4
8
Перестановки. Вычисление определителя с использованием его свойств. Миноры и
алгебраические дополнения. Вычисление определителя по теореме Лапласа. Вычисление
определителя методом Гаусса. Обратная матрица, вычисление обратной матрицы с помощью
присоединенной матрицы. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Жордана.
Обратная
матрица.
Всего
10
10
20
Модуль 2
2.1
Ранг матрицы.
Линейная
зависимость и
независимость
элементов
пространства
Rn и ранг
матрицы.
6-7
4
4
8
Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы через максимальный порядок отличного от нуля
минора. Вычисление ранга матрицы через вычисление линейной независимости ее строк , в том
числе, методом Гаусса. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и
Крамера.
2.2
Системы
линейных
уравнений.
Множество
решений
однородных
систем, как
пример
подпространст
ва
пространства
Rn .
8-9
4
4
8
Системы линейных уравнений общего вида, выяснение их совместности или несовместности по
теореме Кронекера-Капелли. Выявление главных и свободных неизвестных системы уравнений.
Приведение системы уравнений к системе с трапецевидной матрицей методом элементарных
преобразований. Вычисление общего решения системы методом Гаусса. Однородные системы
уравнений. Представление общего решения системы уравнений через частное решение
неоднородной и общее решение однородной систем
2.3
Векторная
алгебра.
1011
4
4
8
Понятие свободного вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Линейная
зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
21
Геометрические векторы, как примеры одно, двух и трех мерных линейных пространств.
Скалярное и векторное произведения векторов в векторной алгебре. Смешанное произведение и
его геометрический смысл.
Базис, как инструмент изоморфного преобразования линейного пространства в арифметическое
пространство. Координаты вектора в конкретном базисе. Условия линейной зависимости
векторов в координатах.
Скалярное и
векторное
произведения в
векторной
алгебре.
Всего
Модуль 3
12
12
24
3.1
Вещественное
линейное
пространство.
Линейная
зависимость и
независимость.
Базис и
координаты.
Связь
различных
базисов.
1214
6
6
12
Примеры различных линейных вещественных пространств. Примеры линейно зависимых и
независимых элементов пространств. Примеры вычисления координат элементов в различных
базисах. Взаимное преобразование базисов и преобразование координат элемента пространства
при изменении базиса.
3.2
Системы
координат.
Скалярное и
векторное
произведения в
координатной
форме.
1516
4
4
8
Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном отношении.
Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Угол и направленный угол (на
плоскости) между векторами. Скалярное произведение векторов. Ортонормированные базисы и
реперы. Векторное и смешанное произведение векторов в координатной форме.
3.3
Преобразовани
17-
4
4
8
Преобразование аффинных координат вектора и точки. Ортогональные матрицы.
Преобразование прямоугольных координат вектора и точки. Ориентации плоскости и
22
е координат.
Системы
координат
специального
типа.
пространства. Ориентированные площади и объем параллелепипеда. Смешанное произведение
векторов. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты в
пространстве
18
Всего
14
14
28
Итого семестр
1* (часов,
баллов)
36
36
72
Из них часов в
интерактивной
форме
3
3
Семестр 2
Модуль 1
1.1
Прямая на
плоскости и
плоскость в
пространстве.
1-2
4
4
4
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух переменных. Плоскость и уравнение
первой степени от трех переменных. Построение уравнений прямых по двум точкам, точке и
направляющему вектору, по точке перпендикулярно некоторому вектору, праллельно данной
прямой.
1.2
Задачи
взаимного
расположения
точек, прямых,
плоскостей.
Метрические
задачи.
3-5
6
6
6
Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости. Разбиение плоскости и
пространства соответственно прямой и плоскостью.
6
2
2
2
Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до прямой. Угол между
прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями.
1.3
23
Всего
12
12
12
7-8
4
4
4
Два способа определения кривых эллипса, гиперболы, параболы, не использующих координаты.
Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы.
9
2
2
2
Алгебраические линии и поверхности. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические
и конические поверхности, поверхности вращения. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды.
Прямолинейные образующие поверхностей. Приведение многочлена второго порядка от трех
переменных к каноническому виду. Виды поверхностей второго порядка.
Модуль 2
2.1
2.2
Частные
случаи линий и
поверхностей
второго
порядка.
Эллипс,
парабола и
гипербола.
Общая теория
линий и
поверхностей
второго
порядка.
Модуль 3
3.1
Элементы
общей алгебры.
Группы,
кольца, поля.
1011
4
4
4
Подробный разбор аддитивной группы вычетов. Примеры изоморфных групп. Простейшие
примеры числовых колец. Подробный разбор кольца вычетов. Примеры изоморфизма колец
Определение полей. Простейшие числовые поля.
3.2
Поле
комплексных
чисел.
Алгебраическа
яи
1214
6
6
6
Поле комплексных чисел. Вычисления с комплексными числами. Вычисления с использованием
тригонометрической формы. Формула Муавра. Корни комплексного числа.
24
тригонометрич
еская форма
комплексных
чисел. Корни
из
комплексного
числа.
3.3
Кольцо
многочленов.
Наибольший
общий
делитель.
Алгоритм
Евклида.
1516
4
4
4
Многочлены над произвольным полем. Операции сложения и умножения многочленов.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов.
3.4
Корни
многочлена.
1718
4
4
4
Корни многочлена. Разложение многочлена в произведение n линейных множителей. Формулы
Вьета. Многочлены над полем действительных чисел и их разложение на неразложимые
множители.
Всего
18
18
18
Итого семестр
2* (часов,
баллов)
36
36
36
Из них часов в
интерактивной
форме
2
3
25
Семестр 3
n
1.1
Модуль 1
Линейное
пространство
над
произвольным
полем. Понятие
базы и базиса.
Различные
базисы и
матрицы
перехода.
1.2
1.3
1-2
4
4
8
Примеры линейных пространств над произвольным полем. Примеры: рациональное,
вещественное и комплексное пространства.
Пример: поле вычетов по модулю два как линейное пространство
Линейные
подпространст
ва и их
свойства.
Способы
задания
(конструирован
ия) линейных
подпространст
в.
3-4
4
4
8
Конструирование линейного подпространства как линейной оболочки некоторого количества
элементов. Базис и размерность такого подпространства.
Конструирование линейного подпространства пространства Rn, как множества решений
некоторой системы линейных однородных уравнений.
Евклидовы и
унитарные
пространства.
Скалярное
произведение.
5-6
4
4
8
Примеры введения скалярного произведения в вещественных и комплексных пространствах.
Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в евклидовом и унитарном пространствах.
Матрица Грама, линейная независимость векторов и базис в евклидовом и унитарном
пространствах. Вычисление скалярного произведения и матрица Грама. Изоморфизм
евклидовых или унитарных пространств. Ортонормированный базис, вычисление координат
векторов. Унитарная и ортогональная матрицы.
26
Матрица Грама
Метрические
задачи.
Всего
12
12
24
Модуль 2
2.1
Линейные
операторы и
функционалы.
Матрица
линейного
оператора.
7-8
4
4
8
Примеры линейных операторов и функционалов. Примеры операторов, не являющихся
линейными. Матрица линейного оператора.
2.2
Матрица
линейного
оператора в
различных
базисах.
9-10
4
4
8
Вычисление матрицы оператора, действующего из одного пространства в другое в паре базисов.
Линейный оператор, действующий в данном пространстве и его матричное представление.
Подобие матриц конкретного оператора в разных базисах. Обратный оператор.
2.3
Устройство
линейных
операторов
простой
структуры.
11
2
2
4
Примеры операторов простой структуры.
2.4
Линейные
операторы в
унитарных и
евклидовых
1213
4
4
8
Примеры линейных операторов в евклидовых и унитарных пространствах.
27
пространствах.
Нормальные и
унитарные
операторы.
Всего
14
14
28
Модуль 3
3.1
Билинейные и
квадратичные
формы в
линейном
пространстве.
1415
4
4
8
Билинейные формы. Квадратичные формы Матрицы билинейной и квадратичной форм.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Выяснение
положительной определенности квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра.
3.2
Квадратичные
формы в
вещественном
и комплексном
пространстве.
1617
4
4
4
Квадратичные формы в вещественном пространстве. Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределенные квадратичные формы. Квадратичные формы в комплексном пространстве.
3.3
Квадратичные
формы в
евклидовом и
унитарном
пространствах
18
2
2
8
Квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве.
Всего
10
10
20
Всего семестр
3* (часов,
36
36
72
28
баллов):
Из них часов в
интерактивной
форме
2
Итого за
108
первый, второй
и третий
семестры*
*- учетом иных видов работ.
3
108
180
29
7.Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Лабораторные работы не предусмотрены.
8.Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы по дисциплине не предусмотрены.
9.Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица 5.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Семестр 1
Модуль 1
1.1 Группы, кольца
и поля, на
примерах
подмножеств
множества
вещественных
чисел.
1.2 Матрицы.
Матрицы как
пример группы
по сложению и
как пример
вещественного
линейного
пространства.
Пространство
Rn.
1.3 Определители.
Теорема
Лапласа.
Обратная
матрица.
Виды СРС
обязательные
дополнительны
е
Системы
линейных
уравнений.
Объе Кол-во
м
баллов
часов
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
1
4
0-3
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Знакомство с
содержанием
электронных
источников
2-3
8
0 - 10
4-5
8
0 - 10
20
0-23
6-7
8
0 - 11
8-9
8
0 - 14
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Ранг матрицы.
Индивидуальное
Линейная
домашнее
зависимость и
расчетное
независимость
задание
элементов
пространства Rn
и ранг матрицы.
2.2
Неделя
семестра
Индивидуальное
домашнее
расчетное
Чтение
дополнительной
литературы
2.3
Множество
решений
однородных
систем, как
пример
подпространства
пространства Rn
задание
Векторная
алгебра.
Скалярное и
векторное
произведения в
векторной
алгебре
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Вещественное
Индивидуальное
линейное
домашнее
пространство.
расчетное
Линейная
задание
зависимость и
независимость.
Базис и
координаты.
Связь различных
базисов
3.2
Системы
координат.
Скалярное и
векторное
произведения в
координатной
форме.
3.3
Преобразование
координат.
Системы
координат
специального
типа.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Всего по модулю 3:
ИТОГО семестр 1*
Чтение
дополнительной
литературы
10-11
8
0 - 13
24
38
Чтение
дополнительной
литературы
12-14
12
0-15
Чтение
дополнительной
литературы
15-16
8
0-13
Чтение
дополнительной
литературы
17-18
8
0-11
28
72
0-39
0-100
31
Семестр 2
Модуль 1
1.1 Прямая на
плоскости и
плоскость в
пространстве
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
1-2
4
0 - 11
1.2
Задачи
взаимного
расположения
точек, прямых,
плоскостей.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
3-5
6
0 - 17
1.3
Метрические
задачи.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
6
2
0 - 11
12
0-39
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
2.2
Частные случаи
линий и
поверхностей
второго порядка.
Эллипс парабола
и гипербола
Общая теория
линий и
поверхностей
второго порядка
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
7-8
4
0 - 10
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
9
2
0 - 10
6
0 - 20
Всего по
модулю 2:
Модуль 3
3.1
Элементы общей
алгебры.
Группы, кольца,
поля.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
10-11
4
0-10
3.2
Поле
комплексных
чисел.
Алгебраическая
и
тригонометричес
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
12-14
6
0-10
32
кая форма
комплексных
чисел. Корни из
комплексного
числа.
3.3
Кольцо
многочленов.
Наибольший
общий делитель.
Алгоритм
Евклида
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
15-16
4
0-10
3.4
Корни
многочлена
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
17-18
4
0-11
18
36
0-41
0-100
Всего по модулю 3:
ИТОГО семестр 2*
Семестр 3
Модуль 1
1.1 Линейное
Индивидуальное
пространство
домашнее
над
расчетное
произвольным
задание
полем. Понятие
базы и базиса.
Различные
базисы и
матрицы
перехода.
Чтение
дополнительной
литературы
1-2
8
0 - 11
1.2
Линейные
подпространства
и их свойства.
Способы
задания
(конструировани
я) линейных
подпространств.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
3-4
8
0 - 11
1.3
Евклидовы и
унитарные
Индивидуальное
домашнее
Чтение
дополнительной
5-6
8
0 - 11
33
пространства.
Скалярное
произведение.
Матрица Грама
Метрические
задачи.
расчетное
задание
литературы
Всего по модулю 1:
Модуль 2
24
0-33
2.1
Линейные
операторы и
функционалы.
Матрица
линейного
оператора.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
7-8
8
0 - 11
2.2
Матрица
линейного
оператора в
различных
базисах.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
9-10
8
0 - 10
2.3
Устройство
линейных
операторов
простой
структуры.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
11
4
0-3
2.4
Линейные
операторы в
унитарных и
евклидовых
пространствах.
Нормальные и
унитарные
операторы.
Чтение
дополнительной
литературы
12-13
8
0-10
28
0 - 34
8
0-15
Всего по
модулю 2:
Модуль 3
3.1
Билинейные и
квадратичные
формы в
линейном
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
14-15
34
пространстве.
3.2
Квадратичные
формы в
вещественном и
комплексном
пространстве.
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
16-17
4
0-15
3.3
Квадратичные
формы в
евклидовом и
унитарном
пространствах
Индивидуальное
домашнее
расчетное
задание
Чтение
дополнительной
литературы
18
8
0-3
20
72
0-33
0-100
Всего по модулю 3:
ИТОГО семестр 3*
*- учетом иных видов работ.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
Таблица 6.
Циклы
С1. базовая часть
С2. базовая часть
С2. базовая часть
С3. базовая часть
С5.
Название дисциплины (модуля), практики, ИГА
ОК5
Экономика
Алгебра и геометрия
Безопасность жизнедеятельности
Организационное и правовое обеспечение
информационной безопасности
Учебная практика
Производственная практика
Выпускная квалификационная работа
Итоговый междисциплинарный экзамен по
специальности
ОК-9
Философия
Алгебра и геометрия
Информатика
Основы информационной безопасности
Производственная практика
С5.
Учебная практика
С6.
Выпускная квалификационная работа
С1.базовая часть
С2. базовая часть
С2. базовая часть
С3. базовая часть
С5.
С5.
С6.
С6.
Семестр
3
1,2,3
9
9
6
8,10
10
10
7
1,2,3
1
5
8,10
6
.
10
35
Итоговый междисциплинарный экзамен по
специальности
ОК-10
С1. базовая часть
Русский язык и культура речи
С1. базовая часть
Экономика
С2. базовая часть
Алгебра и геометрия
С2. базовая часть
Математический анализ
С3. базовая часть
Основы информационной безопасности
С5.
Производственная практика
С6.
Выпускная квалификационная работа
Итоговый междисциплинарный экзамен по
С6.
специальности
ПК-1
С2. базовая часть
Алгебра и геометрия
С2. базовая часть
Дискретная математика
С2. базовая часть
Математический анализ
С2. базовая часть
Физика
С3. базовая часть
Управление информационной безопасностью
С3.вариативная часть Информационные технологии
С5.
Учебная практика
С5.
Производственная практика
С6.
Выпускная квалификационная работа
Итоговый междисциплинарный экзамен по
С6.
специальности
ПК-2
С2. базовая часть
Алгебра и геометрия
С2. базовая часть
Математическая логика и теория алгоритмов
С2. базовая часть
Математический анализ
С2. базовая часть
Теория вероятностей и математическая статистика
С3. базовая часть
Криптографические методы защиты информации
С5.
Учебная практика
С6.
Выпускная квалификационная работа
Итоговый междисциплинарный экзамен по
С6.
специальности
С6.
10
2
3
1,2,3
1,2,3
5
8,10
10
10
1,2,3
3
1,2,3
1,2
8
9
6
8,10
10
10
1,2,3
2
1,2,3
6,7
5
6
10
10
36
10.2 Описание показателей
оценивания:
и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал
Таблица 6.
Код компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
ОК-5
Знает: О роли алгебры и
геометрии в области
обеспечения информационной
безопасности личности
государства.
Умеет: сформулировать
простейшие способы
шифрования информации,
вытекающие непосредственно
из линейной алгебры и
аналитической геометрии.
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: О роли некоторых
конкретных алгебраических и
геометрических теорий в
области обеспечения
информационной безопасности
личности государства.
Умеет: выполнить простейшее
шифрование информации,
вытекающие непосредственно
из линейной алгебры и
аналитической геометрии.
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: О роли многих
конкретных алгебраических и
геометрических теорий в
области обеспечения
информационной безопасности
личности государства.
Умеет: выполнить простейшее
шифрование и дешифровку
информации, вытекающие
непосредственно из линейной
алгебры и аналитической
геометрии.
Виды занятий
(лекции,
семинар
ские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства (тесты,
творческие
работы, проекты
и др.)
Лекции,
практические
занятия.
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания.
ОК-9
Владеет: элементарным
математическим аппаратом
линейной алгебры и
аналитической геометрии, как
инструментом состязательного
противоборства в процессе
обеспечения информационной
безопасности.
Знает: О том, что необходимо
критически относиться к
простейшим собственным
формулировкам утверждений
из области алгебры и геометрии
.
Умеет: видеть неточности в
собственных простейших
утверждениях из алгебры и
геометрии.
Владеет: методами анализа и
исправления собственных
простейших утверждений из
алгебры и геометрии.
Владеет: математическим
аппаратом линейной алгебры и
аналитической геометрии, как
инструментом состязательного
противоборства в процессе
обеспечения информационной
безопасности в простейших
случаях.
Знает: О том, что необходимо
критически относиться к
стандартным собственным
формулировкам утверждений из
области алгебры и геометрии.
Владеет: :математическим
аппаратом линейной алгебры и
аналитической геометрии, как
инструментом состязательного
противоборства в процессе
обеспечения информационной
безопасности .
Умеет: видеть неточности в
собственных стандартных
утверждениях из алгебры и
геометрии.
Владеет: методами анализа и
исправления собственных
стандартных утверждений из
алгебры и геометрии.
Умеет: видеть неточности в
собственных утверждениях из
алгебры и геометрии.
Знает: О том, что необходимо
критически относиться к
собственным формулировкам
утверждений из области алгебры
и геометрии.
Лекции,
практические
занятия.
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания.
Владеет: методами анализа и
исправления собственных
утверждений из алгебры и
геометрии.
38
ОК-10
Знает:об элементарных методах
и средствах познания, обучения
и самоконтроля для
приобретения новых знаний и
умений по алгебре и
аналитической геометрии, а
также в областях,
непосредственно не связанных
со сферой профессиональной
деятельности.
Умеет: применять
элементарные методы и
средства познания, обучения и
самоконтроля для
приобретения новых знаний и
умений по алгебре и
аналитической геометрии, а
также в областях,
непосредственно не связанных
со сферой профессиональной
деятельности.
Знает: о методах и средствах
познания, обучения и
самоконтроля для приобретения
новых знаний и умений по
алгебре и аналитической
геометрии, а также в областях,
непосредственно не связанных
со сферой профессиональной
деятельности в стандартных
ситуациях.
Знает: о методах и средствах
Лекции,
познания, обучения и
практические
самоконтроля для приобретения
занятия.
новых знаний и умений по
алгебре и аналитической
геометрии, а также в областях,
непосредственно не связанных со
сферой профессиональной
деятельности в любых ситуациях.
Умеет: применять методы и
средства познания, обучения и
самоконтроля для приобретения
новых знаний и умений по
алгебре и аналитической
геометрии, а также в областях,
непосредственно не связанных
со сферой профессиональной
деятельности в стандартных
ситуациях.
Умеет: применять методы и
средства познания, обучения и
самоконтроля для приобретения
новых знаний и умений по
алгебре и аналитической
геометрии, а также в областях,
непосредственно не связанных со
сферой профессиональной
деятельности, используя
диапазон качественной и
количественной информации.
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания.
39
ПК-1
Владеет: элементарными
методами и средствами
познания, обучения и
самоконтроля для
приобретения новых знаний и
умений по алгебре и
аналитической геометрии, а
также в областях,
непосредственно не связанных
со сферой профессиональной
деятельности.
Знает: о методах выявления
естественнонаучной сущности
проблем, возникающих в
ходе профессиональной
деятельности по
информационной безопасности.
:
Умеет: выявлять
естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в
ходе профессиональной
деятельности по
информационной безопасности
в простых случаях.
Владеет: методами и
средствами познания, обучения
и самоконтроля для
приобретения новых знаний и
умений по алгебре и
аналитической геометрии, а
также в областях,
непосредственно не связанных
со сферой профессиональной
деятельности в стандартных
ситуациях.
Владеет: методами и средствами
познания, обучения и
самоконтроля для приобретения
новых знаний и умений по
алгебре и аналитической
геометрии, а также в областях,
непосредственно не связанных со
сферой профессиональной
деятельности, используя
диапазон качественной и
количественной информации.
Знает: основные понятия и
утверждения о методах
выявления естественнонаучной
сущности проблем,
возникающих в
ходе профессиональной
деятельности по
информационной безопасности.
Умеет: выявлять
естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в ходе
профессиональной
деятельности по
информационной безопасности.
Знает основные методы
Лекции,
выявления естественнонаучной
практические
сущности проблем, возникающих занятия.
в ходе профессиональной
деятельности по
информационной безопасности.
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания.
Умеет: выявлять
естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности
по информационной
безопасности.
40
ПК-2
Владеет: элементами
математического аппарата
линейной алгебры и
аналитической геометрии, для
формализации, анализа и
выработки решения проблем
информационной безопасности
в простейших случаях.
Знает: о некоторых идеях
применения вычислительной
техники и математического
аппарата линейной алгебры и
аналитической геометрии
для решения
профессиональных задач в
области информационной
безопасности.
Умеет на элементарном уровне
пользоваться отдельными
элементами вычислительной
техники и математическим
аппаратом линейной алгебры и
аналитической геометрии
для решения
профессиональных задач в
области информационной
безопасности.
Владеет: элементами
математического аппарата
линейной алгебры и
аналитической геометрии, для
формализации, анализа и
выработки решения проблем
информационной безопасности
в стандартных случаях.
Знает: основные применения
вычислительной техники и
математического аппарата
линейной алгебры и
аналитической геометрии
для решения профессиональных
задач в области
информационной безопасности.
Владеет: математическим
аппаратом линейной алгебры и
аналитической геометрии, для
формализации, анализа и
выработки решения проблем
информационной безопасности.
Умеет: Умеет на элементарном
уровне пользоваться
элементами вычислительной
техники и математическим
аппаратом линейной алгебры и
аналитической геометрии
для решения профессиональных
задач в области
информационной безопасности.
Умеет: Умеет пользоваться
элементами вычислительной
техники и математическим
аппаратом линейной алгебры и
аналитической геометрии
для решения профессиональных
задач в области информационной
безопасности.
Знает: идеи применения
вычислительной техники и
математического аппарата
линейной алгебры и
аналитической геометрии
для решения профессиональных
задач в области информационной
безопасности.
Лекции,
практические
занятия.
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания.
41
Владеет: элементарными
навыками использования
вычислительной техники и
математическим аппаратом
линейной алгебры и
аналитической геометрии
для решения
профессиональных задач в
области информационной
безопасности.
Владеет: стандартными
средствами использования
вычислительной техники и
математического аппарата
линейной алгебры и
аналитической геометрии
для решения профессиональных
задач в области
информационной безопасности.
Владеет: навыками
использования вычислительной
техники и математическим
аппаратом линейной алгебры и
аналитической геометрии
для решения профессиональных
задач в области информационной
безопасности.
42
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Вопросы к зачету (второй семестр) и экзамену (первый и третий семестры) к
каждому семестру расписаны выше и соответствуют номерам пунктов раздела 5Содержание дисциплины.
Темы коллоквиума.
Коллоквиумы запланированы в конце каждого семестра. На коллоквиум выносятся
вопросы модулей:
В первом семестре – вопросы 3.1,3.2,3.3, модуля 3.
Во втором семестре - вопросы 3.1,3.2, модуля 3.
Варианты контрольных работ
Контрольная работа №1.
1. Вычислить определитель:
1
4
1
1
2
2
3
2
1
3
2
1
2
4 5
1 11
2 9
1 11
5
9
8
9
4
4
3
4
6
5
6
7
2. Решить систему уравнений методом Крамера:
x1 2 x2 3x3 6
x1 4 x2 3x3 8
2 x 6 x 9 x 17
2
3
1
3. Решить матричное уравнение:
2 1 2
1 1 1 1 1 1
3 2 4 X 3 2 2 1 1 2
5 3 7
6 3 4 1 2 3
Контрольная работа №2.
1. Вычислить ранг матрицы:
7 4
2 0
3 4
8 8
15 12
12 11
21 9
30 7
63 5
75 6
2. Решить систему линейных уравнений:
2
16
34
36
38
4
15
26
21
17
2 x1 x2 3 x3 7 x4 5
6 x 3x x 4 x 7
1
2
3
4
4 x1 2 x2 2 x3 3 x4 2
4 x1 2 x2 14 x3 31x4 18
3. Решить систему линейных однородных уравнений:
2 x1 x2 3 x3 5 x4 0
x 2x 2x x 0
1
2
3
4
3 x2 7 x3 7 x4 0
x1 4 x2 12 x3 13 x4 0
4. Известны координаты вектора
Найти
координаты
этого
e ,e ,e ,e
в базисе 1 2 3 4 .
вектора
в
базисе
a 1, 2, 3, 2
e1 e2 e3 e4 , e1 e2 e3, e1 e2 , e1 .
Контрольная работа № 3.
1. Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит
параллелограмм. Найдите координаты вектора SD в базисе {SA, SB, SC}.
2. В треугольнике AB = c, AC = b, BC = a. Найдите длину медианы CM.
3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
его сторон.
4. Векторы
a
и
b образуют угол
. Зная, что a 1 и b 2 , вычислить
6
a 3b 3a b .
Доказать, что abc b(ac) a(bc) .
2
5.
6. Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,-1), В(3,0,1),
С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на
оси ординат.
Контрольная работа № 4.
Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой
системе координат. Найти:
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
3. Углы треугольника ABC.
4. Длину высоты СН.
5. Уравнение медианы АМ.
6. Уравнение высоты СН.
7. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
44
8. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
9. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
10. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Контрольная работа №5.
1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора,
заданного в некотором базисе матрицей:
1 3 1
3 5 1
3 3 1
2. Вычислить в поле комплексных чисел:
4 64
3. Найти наибольший общий делитель многочленов:
x5 2 x 4 2 x 3 3 x 2 и x 4 2 x 3 3 x 2 2 x 4 .
10.4.Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы. В каждом семестре проводятся контрольные работы (на
семинарах).
Коллоквиумы. Проводятся в конце каждого семестра.
Тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины.
Промежуточная аттестация:
Экзамены и зачет (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе:
неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Зачет – зачтено не зачтено.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной)
систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, контрольной работы, сдачи коллоквиумов и
результатов тестирования. Эта оценка характеризует уровень информированности,
практических умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины.
45
Соответствующие умения и навыки, а также критерии их оценивания приведены в
таблице 6.
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется
на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 5, а
также решения задач, примерный уровень которых соответвует уровню задач, приведенных в
п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень знаний, приобретенных
студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания и критерии их оценивания
приведены в таблице 6.
11.Образовательные технологии.
аудиторные занятия:
лекционные и практические занятия (коллоквиумы, семинары,
специализированные практикумы); на практических занятиях контроль
осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В
течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем к
каждому семинару.
активные и интерактивные формы (лекционные и семинарские занятия в
диалоговом режиме).
внеаудиторные занятия:
самостоятельная работа: индивидуальные расчетные задания по каждому
модулю с индивидуальным (интерактивным) отчетом преподавателю в
конце каждой контрольной точки.
индивидуальные консультации.
12.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1.Основная литература:
1. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебник для студентов
вузов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика
и информатика» / В.А Ильин, Г.Д. Ким.- 3-е изд., перераб. И доп. Москва:
Проспект, 2015.-400 с.
2. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры: учебник для студ. вузов, обуч. по спец.
«Математика», «Прикладная математика»/ А. Г. Курош. – 17-е изд., стер. – СанктПетербург: Лань, 2008.
12.2. Дополнительная литература:
1. Алгебра: Сборник индивидуальных контрольных заданий по алгебре для
студентов института математики и компьютерных наук: учебно-методический
комплекс/ Горечин Е.Н. [и др.], отв.ред. В.Н. Кутрунов: Тюм. гос. ун-т, Ин-т
математики и компьютерных наук, - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2014.-38 с.
2. Воеводин, В.В. Линейная алгебра: учебное пособие / В.В. Воеводин. – 4-е изд.,
стер.- Санкт-Петербург: Лань. 2008. – 416 с.
3. Геометрия: сборник индивидуальных контрольных заданий по аналитической
геометрии : дидактические материалы для самоконтроля, текущего контроля
знаний и промежуточной аттестации : учебно-методический комплекс/ Л. В.
Абдубакова [и др.] ; отв. ред. В. Н. Кутрунов; Тюм. гос. ун-т, Ин-т математики и
компьютерных наук. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2014. - 64 с.
4. Ильин, В. А. Аналитическая геометрия: учеб.для студентов физ. спец. и спец. "Прикл.
мат./ В. А.Ильин, Э. Г. Позняк. - 7-е изд., стер. - Москва:Физматлит, 2009. - 234 с.
46
5. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии/ Д. В. Клетеник . - 17-е изд.,
стер. - Санкт-Петербург: Профессия, 2009. - 200 с.
6. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры. Учеб./А.И. Мальцев.-5-еизд.,стер.Санкт-Петербург: Лань,2009.-480 с.
7. Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре/ И.В Проскуряков.- СанктПетербург: Лань, 2008. -480 с.
12.3. Интернет – ресурсы:
Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru /.
Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных
ресурсов»: http://school-collection.edu.ru /.
Научная электронная библиотека ТюмГУ elibrary.ru: http://elibrary.ru /.
13.Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
Microsoft Word.
Microsoft Excel.
Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в
частности, оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для успешного освоения материала дисциплины необходимо перед каждым
занятием просматривать материал предыдущего занятия, так как новый материал подаётся
с учетом достигнутых знаний. Для повторения материала достаточно изучить конспект
лекций, с целью углубленного понимания материала нужно воспользоваться
рекомендованной литературой. Перед практическими занятиями обратить внимание на
примеры , приведённые в лекционном материале.
Для подготовки к контрольной работе следует прорешать типовые задачи,
представленные преподавателем в учебно-методическом комплексе для текущей
контрольной работы, повторить все изученные определения.
Для подготовки к зачету или экзамену рекомендуется проработать вопросы,
рассмотренные на лекционных и практических занятиях и вопросы, представленные в
учебно-методическом комплексе, используя конспект лекций,
основную и
дополнительную литературу.
Ниже приведены образцы решения некоторых типичных задач для подготовки к
контрольным работам, а также задания для самостоятельного решения.
47
ЗАДАЧИ по геометрии. Треугольник ABC задан координатами своих вершин в
прямоугольной декартовой системе координат. Найти:
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно стороне AB.
3. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
4. Периметр треугольника ABC.
5. Углы треугольника ABC.
6. Длину высоты СН.
7. Уравнение медианы АМ.
8. Уравнение высоты СН.
9. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
10. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
11. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
12. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Сделать чертеж.
ВАРИАНТЫ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
А(-5,2); В(5,7); С(1,-1).
А(-1,11); В(14,6); С(2,2).
А(4,0); В(-6,-5); С(-2,3).
А(4,-8); В(-11,-3); С(1,1).
А(-11,-10); В(13,17); С(1,1).
А(-6,5); В(4,10); С(0,2).
А(-3,11); В(12,6); С(0,5).
А(2,-3); В(-10,-8); С(-6,0).
А(4,-2); В(-11,3); С(1,7).
А(-10,9); В(14,6); С(2,0).
А(-3,3); В(7,8); С(3,0).
А(-1,9); В(14,4); С(2,0).
А(10,-4); В(0,-9); С(4,-1).
А(-1,-7); В(-16,0); С(-4,2).
А(-12,11); В(12,18); С(0,3).
А(2,9); В(12,14); С(8,6).
А(0,16); В(15,5); С(3,1).
А(1,-2); В(-9,-7); С(-5,1).
А(0,-6); В(-15,-1); С(-3,3).
А(-9,9); В(15,16); С(3,0).
А(-7,7); В(3,12); С(-1,4).
А(-2,12); В(13,7); С(1,3).
А(7,-6); В(-3,11); С(1,-3).
А(1,-5); В(-14,0); С(-2,4).
А(-4,15); В(20,22); С(8,6).
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
А(-5,8); В(5,13); С(1,5).
А(1,7); В(16,2); С(4,-2).
А(9,-5); В(-1,-10); С(3,-2).
А(4,-10); В(-11,-5); С(1,-1).
А(-13,13); В(11,20); С(-1,4).
А(1,4); В(11,9); С(7,1).
А(2,8); В(17,3); С(5,-1).
А(0,-7); В(-10,-12); С(-6,-4).
А(2,-8); В(-13,-3); С(-1,1).
А(-11,14); В(13,21); С(1,5).
А(-8,6); В(2,11); С(-2,3).
А(3,9); В(18,4); С(6,0).
А(5,-1); В(-5,-6); С(-1,2).
А(3,-7); В(-12,-2); С(0,2).
А(-5,10); В(19,17); С(7,1).
А(2,5); В(12,10); С(8,2).
А(-2,4); В(13,-1); С(1,-5).
А(8,-3); В(-2,-8); С(2,0).
А(5,-9); В(-10,-4); С(2,-3).
А(-14,12); В(10,19); С(-2,3).
А(-2,2); В(8,7); С(4,-1).
А(-2,10); В(13,5); С(1,1).
А(6,-1); В(-4,-6); С(0,2).
А(3,-9); В(-12,-4); С(0,0).
А(-4,11); В(20,18); С(8,2).
Образец решения геометрических задач.
Пусть А(-3,10); В(2,13); С(8,-2).
48
y
B
P
H
A
K
M
j
O
i
x
C
1. Составим уравнение стороны АВ треугольника АВС. Для этого используем уравнение
прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и В(x1.y1):
x x0
y y0
x1 x 0 y1 y 0
.
В нашем случае оно примет вид:
x 3 y 10
2 3 13 10
или
3 x 5 y 59 0.
Аналогично находятся уравнения остальных сторон треугольника АВС:
49
АС: 12 x 11y 74 0,
ВС: 15 x 6 y 108 0.
2. Составим уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно прямой АВ.
Поскольку прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Уравнение искомой
прямой можно составить, как уравнение прямой, проходящей через данную точку C(x0,y0)
перпендикулярно данному вектору
N ( А, В) :
A( x x 0 ) B( y y 0 ) 0.
В нашем случае С(8,-2) и
N (3,5). Имеем:
3( x 8) 5( y 2) 0,
или
3 x 5 y 34 0.
3.Прямая l : Ax By C 0, лежащая на плоскости, разбивает ее на две полуплоскости с
границей l, которые задаются неравенствами:
Ax By C 0 или Ax By C 0.
Для того чтобы определить, каким из неравенств задается данная полуплоскость достаточно в левую часть уравнения прямой lподставить координаты любой точки, принадлежащей
этой полуплоскости, и определить знак полученного числового выражения.
В рассматриваемом случае, треугольник АВС лежит по отношению к прямой АВ в той
полуплоскости, которой принадлежит точка С. Найдем неравенство, задающее эту полуплоскость.
Для этого в левую часть уравнения прямой АВ подставим координаты точки С:
3 8 5 (2) 59 93 0.
Таким образом, искомая полуплоскость задается неравенством:
3 x 5 y 59 0.
Аналогично получим неравенства, задающие две другие полуплоскости:
50
12 x 11y 74 0 и 15 x 6 y 108 0.
4. Длина отрезка с концами А(x0,y0) и В(x1.y1) вычисляется по формуле:
AB ( x1 x 0 ) 2 ( y1 y 0 ) 2 .
Тогда
AB (2 3) 2 (13 10) 2 34 .
Аналогично
AC 265иBC 261.
Таким образом, периметр треугольника АВС равен
34 265 261 лин. ед.
b
a
(
a
,
a
)
5. Косинус угла между векторами
1
2 и (b1 , b2 ) находится по формуле:
a1b1 a 2 b2
cos
a12
a 22
b12
b22
.
Найдем косинус угла ВАС. Так как вектор с началом в точке А и концом в точке В имеет
координаты (5,3), а вектор с началом в точке А и концом в точке С имеет координаты (11,-12), то
получим:
5 11 3 (12)
cos BAC
34 625
19
9010
.
Аналогично вычисляя, получим:
cos АВС
15
8874
и cos ACB
246
69165
.
6. Для нахождения длины высоты СН воспользуемся формулой, с помощью которой вычисляется расстояние от точки
C ( x 0 , y 0 ) до прямой l : Ax By C 0 :
51
Ax0 By 0 C
A B
2
2
.
Итак, для рассматриваемой задачи:
CH
3 8 5 (2) 59
9 25
93
34
.
7. Найдем уравнение медианы АМ. Для этого сначала вычислим координаты точки М, а
потом составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Точка М делит отрезок ВС
пополам, поэтому ее координаты равны:
x
x B xC 8 2
5 и
2
2
y
y B y C 11
.
2
2
Тогда уравнение прямой АМ имеет вид:
x 3 y 10
5 3 11
10
2
или
9 x 16 y 133 0.
8. Прямая, проходящая через точку
C ( x 0 , y 0 ) и имеющая угловой коэффициент k, зада-
ется уравнением:
y y 0 k ( x x 0 ).
52
Прямые СН и АВ перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты удовлетворяют
условию k CH k AB 1 , а так как угловой коэффициент прямой АВ равен
3
, то угловой
5
5
( ) . Запишем уравнение прямой СН:
3
коэффициент прямой СН равен
5
y 2 ( x 8)
3
или
5 x 3 y 34 0.
9. Прямая ВК проходит через точки В и К. Координаты точки В известны. Чтобы найти координаты точки К достаточно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых АМ
и СН:
9 x 16 y 133 0
,
5 x 3 y 34 0
145 359
,
).
53 53
решением которой является К (
Теперь можно записать уравнение прямой ВК, так как известны координаты двух точек,
через которые она проходит.
10. Точка Р – точка пересечения биссектрисы внутреннего угла С со стороной АВ. Основание биссектрисы внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части,
пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Тогда точка Р делит сторону АВ в
отношении
АС
265
. Найдем координаты точки Р
ВС
261
53
x
x A x B
1
265
261 2 265 3 261
265
261 265
1
261
3 2
и
y
y A y B
1
265
261 13 265 10 261
.
265
261 265
1
261
10 13
Далее остается записать уравнение прямой, проходящей через точки С и Р:
x 8
2 265 3 261
261 265
8
y2
13 265 10 261
261 265
.
2
Упрощая последнее уравнение, получим:
x(5 265 12 29 ) y (2 265 11 29 ) 36 265 74 29 0.
11. Прямая A1B1 симметрична прямой АВ относительно точки С. Тогда точка С является
серединой отрезков АА1 и ВВ1.
B
C
A1
A
B1
Координаты точек А, В и С известны. По формулам для вычисления координат точки, делящей
отрезок пополам, найдем координаты точек A1 и B1.
A1(19, -6) и В1(14, -17).
Далее можно записать уравнение прямой, проходящей
через две точки.
54
12. Точка С1, симметричная точке С, принадлежит прямой СН, и точка Н является серединой отрезка СС1.
C
B
H
A
C1
Поэтому найдем координаты точки Н, как точки пересечения прямых СН и АВ:
3x 5 y 59 0
,
5 x 3 y 34 0
Решив последнюю систему уравнений, получим, что Н (
7 397
,
).
34 34
Найдем координаты точки С1:
x 2*(
7
143
)8
34
17
и
y 2*
397
431
2
.
34
17
Задачи из алгебры.
Решение задач с матрицами и определителями.
и
одного и того же порядка
называется матрица C cij порядка m n , где cij aij bij i 1.. m ; j 1.. n .
1 . Суммой двух матриц A aij
B bij
m n
Пример 1.
55
2 1 4 5 6 2 2 5 1 6 4 2 7 7 6
1 3 2 3 4 1 1 3 3 4 2 1 4 7 3 .
3 4 5 5 1 2 3 5 4 1 5 2 8 5 7
2 . Произведением матрицы A aij на число называется матрица, у которой
каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число
:
A aij aij i 1..m, j 1..n .
Пример 2.
1 2 2 1 2 2 2 4
.
3 4 2 3 2 4 6 8
2
3 .
A aij , имеющей m строк и k столбцов, на матрицу
Произведением матрицы
имеющую k строк и n столбцов, называется матрица
C cij , имеющая mстрок и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений
B bij ,
элементов
i ой
строки
матрицы
cij ai1b1 j ai 2b2 j aik bkj
A
и
j ого столбца
i 1..m, j 1..n.
B,
матрицы
т.
е.
При этом число k столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B . В
противном случае произведение не определено.
Пример 3.
3 2
1 3 2 5 3 0 1 2 2 4 3 1 13 13
1 2 3
.
5 4
1 3 2 0 1 1 3 3 5 2 0 1 2 3 4 2 1 18 16
Вычисление определителей.
Если в матрице зафиксировать
элементы составят матрицу порядка
k различных
k,
строк и столбцов, то на их пересечении
определитель которой называется минором
порядка этой матрицы. Если же исходная матрица квадратная и в ней вычеркнуть
k
k ого
различных
строк и столбцов с номерами i1 ,..., ik и j1 ,..., j k , то определитель, составленный из элементов
оставшихся
nk
строк и столбцов, умноженный на число
алгебраическим дополнением исходного минора
k ого
(1)i1 ... ik j1 ... jk
называется
порядка.
56
ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА. Зафиксируем в определителе
k строк.
Тогда сумма произведений
всех миноров k ого порядка, лежащих в этих фиксированных строках, на их алгебраические
дополнения равна исходному определителю.
Полезно запомнить правила вычислений определителей второго и третьего порядка.
a11 a12
a11a22 a12 a21.
a21 a22
Пример 4.
2 3
2 5 3 4 2 .
4 5
a11a12 a13
a21a22 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a31a32 a33
a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33 .
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком ‹‹+››, а
какие со знаком ‹‹-›› полезно использовать следующее правило треугольников:
Пример 5.
3 2 1
2 3
1 3 3 2 2 1 4 1 2 0 1 3 4 2 2 2
4 0 2
3 1 0 18 8 12 8 22.
Для вычисления определителей более высоких порядков пользуются следующим
алгоритмом: с помощью свойства 9 определителей добиваются того, чтобы в одной строке (или в
одном столбце) все элементы за исключением одного равнялись нулю, затем по следствию 1 из
теоремы Лапласа расписывают определитель по этой строке (столбцу). Тем самым вычисление
57
определителя
n ого
сводят к вычислению определителя
n 1 ого
порядка. При
необходимости процедуру повторяют.
Пример 6. Вычислить определитель
1 2 3 2
2 0
1 3
.
D
1 2
3
2
2 2 1
3
Решение. Домножив первую строку на (-2), (-1), (-2) и добавляя её соответственно ко
второй, третьей и четвёртой строке, получим
1 2 3 2
0 4 7 7
D
.
0 0
6
0
0 6 7 1
Распишем определитель по первому столбцу:
4 7 7
D 1 111 0 6 0 .
6 7 1
Расписывая полученный определитель третьего порядка по второй строке, получим
D 6 12 2
4 7
228.
6 1
Обратная матрица. Правило Крамера.
Пусть A и B матрицы порядка
n . Матрица B
называется обратной для матрицы A ,
если AB BA E . Матрица A называется невырожденной, если
A 0.
ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица A - невырожденная матрица, то она
имеет обратную матрицу
A1 , где
58
A11 An1
...
A
A11 ... An1
A
1
1
A ............... .............. (4)
A
A ... A
A1n Ann
nn
1n
A ... A
Иными словами,
ij ый элемент A1 равен алгебраическому дополнению ji го элемента
A , деленному на A .
Пример 7.
Дана матрица
3 1 0
A 2 1 1 . Её определитель A 5 , поэтому обратная матрица
2 1 4
A1 существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A :
1 1
5;
1 4
A13 11 3
2 1
0;
2 1
A21 12 1
1 0
4;
1 4
3 0
12;
2 4
A23 12 3
3 1
1;
2 1
1 0
1;
1 1
A32 13 2
3 0
3 ;
2 1
A22 12 2
A31 131
A12 11 2
A33 13 3
Тогда
2 1
10 ;
2 4
A11 111
A11
1
A1 A12
5
A13
A21
A22
A23
Линейным уравнением от
3 1
1.
2 1
A31
5 4 1
1
A32 10 12 3 .
5
A33
1
0 1
n
неизвестных x1 ,..., x n называется уравнением вида
59
a1 x a 2 x 2 ... a n x n b .
Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
.......................................
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bn
Эта СЛУ состоит из
m
уравнений от
n
неизвестных. Матрица
(5)
A aij , составленная из
коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из
b1 ,..., bm - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной. СЛУ (5)
можно записать и в матричном виде
x1 b1
x b
A 2 2
x b
n n
(6)
СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных
m n и основная матрица ее невырожденная.
ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение
x1 ,..., xn ,
которое находится по формулам
x1 1 , x2 2 ,..., xn n
где определитель основной матрицы СЛУ, а
,
i получается из в результате замены в
i го столбца на столбец из свободных членов.
Пример 8. Решить систему уравнений
x 2y z 1
2 x y z 1
x 3 y z 2.
1 2 1
Решение. 2 1 1 1;
1 3 1
60
1 2 1
1 1 1
1 2 1
1 1 1 1 1; 2 2 1 1 1; 3 2 1 1 0,
2 3 1
1 2 1
1 3 2
т. о.
1
0
y 2 1; z 3 0.
1
1
1
x 1
1;
1
Ранг матриц. Линейные пространства и системы линейных уравнений.
Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом
матрицы.
ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу.
Пример 1. Найти ранг матрицы
3
1
A
2
2
3 1 0
2 2 1
.
3 3 1
1 1 1
4
2
3
2
Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от
нуля.
d
3 4
2.
1 2
Минор третьего порядка
3 4 3
d 1 2 2 1,
2 3 3
/
окаймляющий
равны нулю:
d , отличен от нуля, однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие d / ,
3
1
2
2
4
2
3
2
3 1
2 2
0;
3 3
1 1
3
1
2
2
4
2
3
2
3 0
2 1
0,
3 1
1 1
61
т. е. ранг матрицы A равен трём.
Ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный на утв. 1, 2: с помощью
элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому виду; количество её строк и
будет рангом матрицы.
Пример 2. Найти ранг матрицы
1 2
3
4
2 2 1
0
.
3 0
4
4
1 4 3 5
Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно,
ко второй, третьей и четвёртой строкам, получим
1 2
3
4
0 6 5 8
.
0 6 5 8
0 6 6 9
Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам.
Вычеркнув нулевую строку, получим матрицу
3
4
1 2
0 6 5 8
0 0 1 1
ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём.
Системы линейных уравнений.
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной.
Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если они обе
не совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать, что полученная
СЛУ равносильна исходной, если
из СЛУ вычеркнуть уравнение вида 0 0 ;
обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля;
прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число.
62
Переставить местами любые два уравнения.
Переименование неизвестных (с последующей перестановкой слагаемых в
уравнениях)
Преобразования назовем элементарными. Если элементарными преобразованиями
можно получить равносильную (ступенчатую)СЛУ вида (все аiiотличны от нуля),
a11 x1 a12 x2 a1r xr a1r 1 xr 1 a1n xn b1
a22/ x2 a2/ r xr a2/ r 1 xr 1 a2 n xn b2/
a rr/ xr arr/ 1 xr 1 a rn/ xn br/ .
то число r является рангом основной матрицы СЛУ и оно же равно рангу расширенной.
Следовательно, у системы есть решения и их можно находить.
Если такое приведение не возможно, то в процессе преобразования обязательно
получится хотя бы одно уравнение вида
0x1+0x2+……..0xn=p≠0
Это уравнение противоречиво по смыслу. Ноль не может равняться отличному от нуля
числу. Одновременно, это приведет и к тому, что ранг основной и ранг расширенной матрицы не
совпадут. Иначе говоря, система не может иметь решений.
Эта часть метода Гаусса носит название «прямого хода». Если решения есть, то теперь для
нахождения общего решения СЛУ (*) воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего
x r через x r 1 ,..., x n . Зная это выражение из предпоследнего
уравнения можно выразить x r 1 также через x r 1 ,..., x n , и так далее. Наконец получим
уравнения системы выразим
систему
x1 c1 d1r 1xr 1 d1n xn
x c d
r
rr 1 xr 1 d rn xn .
r
Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя
вместо неизвестных произвольные значения
xr 1,..., xn и вычисляя x1, x2 ,..., xr можно
получить все частные решения ( x1, x2 ,..., xn ) СЛУ (*).
Пример 3. Решить систему уравнений
x1 2 x2 5 x3 20
x1 x2 3x3 8
3x 3x 13 x 48.
2
3
1
63
Решение. Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы:
1 2 5
1 1 3
3
3 13
20 1
8 0
48 0
2
5 20 1
2
5 20
3 2 12 0 3 2 12 .
3 2 12 0
0
0
0
Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Приходим,
следовательно, к системе уравнений, равносильной исходной
x1 2 x2 5 x3 20
,
3
x
2
x
12
2
3
в которой одна переменная является независимой. В качестве независимой переменной возьмём
x3 , и выразим через неё остальные, получим:
11
x
12
x3
1
3 .
2
x2 4 x3
3
Полагая, например, x3
x1 1;
x2 2;
3 , получим одно из частных решений системы:
x3 3.
Если все свободные члены СЛУ
b1 ,..., bm равны 0 , то СЛУ называется системой
линейных однородных уравнений (СЛОУ). Все решения однородной системы уравнений образуют
подпространство пространства Rn. Базис этого подпространства называется фундаментальной
системой решений СЛОУ.
ТЕОРЕМА(о СЛОУ).Фундаментальная система решений СЛОУ состоит из n r
некоторых ее частных решений, где n число неизвестных СЛОУ, а r ранг ее основной
матрицы.
Пример 4. Решить систему
x1 2 x2 2 x3 3 x4 0
2 x1 3 x2 x3 5 x4 0
x x 3 x 8 x 0.
2
3
4
1
Решение. Так как все свободные члены равны нулю, то будем подвергать
преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:
64
3
1 2 2 3 1 2 2
1 2 2
3
.
5 11
2 3 1 5 0 1
0
1
5
11
1 1 3 8 0 1
5 11
Мы пришли к эквивалентной системе уравнений
x1 2 x2 2 x3 3 x4 0
x2 5 x3 11x4 0.
В качестве независимых выберем две переменные, например
x3 , x4 . Выразим остальные
переменные через независимые. Получим
x1 8 x3 19 x4
x2 5 x3 11x4 .
Задавая независимые переменные линейно независимыми наборами из нулей си единиц (так
проще всего) получим фундаментальную систему решений:
x1
x2
x3
x4
-8
-5
1
0
19
11
0
1
Любое частное решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации
фундаментальных решений, т. е. общее решение системы
x 8,5, 1, 0 19, 11, 0, 1; , R.
Линейные операторы. Матрицы линейных операторов.
Отображение A : L L называется линейным оператором, если выполнены условия:
для всех
x, y L и числа :
(а) Ax y Ax A y
(б) A x Ax ,
Матрицей линейного оператора A в базисе e1 ,, en называется такая матрица Ae
i 1..n ; j 1..n. , у которой
aij
i ый столбец есть координаты вектора A(ei ) в
базисе e1 ,, en . Т. е.,
65
A(e1 ),
Пусть
другому
A(e2 ), A(en ) e1
e1/ ,...,en/
e1/ ,...,en/
11 12
22
en 21
n1 n 2
e2
1n
2n
.
nn
другой базис L. Матрицей перехода от одного базиса
называется такая матрица
e1 ,...,en
к
i 1..n ; j 1..n, у которой i-ый
T ij
/
столбец есть координаты вектора ei в базисе e ,...,en , т. е.
1
e1/
11 12
e2/ en/ e1 e2 en 21 22
n1 n 2
1n
2n
.
nn
Пример 1.
Векторы
e1/ (1, 1, 1); e2/ (1, 1, 2); e3/ (1, 2, 3); x (6, 9, 14)
/
заданы
/
своими
/
координатами в некотором базисе e1 , e2 , e3 . Показать, что векторы e , e , e сами образуют
1 2 3
базис, и найти координаты вектора x в этом базисе.
/
/
/
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к системе векторов e , e , e
1 2 3
:
1 1 1
T 1 1 2 ,
1 2 3
она невырожденная, значит, векторы
e1/ , e2/ , e3/
линейно независимы и могут образовывать
базис трёхмерного пространства. Тогда
1 1
1
T 1 1 2 1 .
1 1
0
Найдём координаты вектора
x в базисе e1/ , e2/ , e3/ :
66
x/ 1
1 1 6 1
1
x / 1 2 1 9 2 .
2
0 14 3
x3/ 1 1
ТЕОРЕМА (о связи матриц линейного оператора). Пусть Ae и Ae ' – матрицы линейного
оператора A в базисах
e1 ,...,en
и
e1/ ,...,en/
первого базиса ко второму. Тогда
соответственно и T матрица перехода от
Ae ' T 1 Ae T
(матрицы
Ae
и
Ae ' называются
подобными).
1 2 1
Пример 2. Линейный оператор в базисе e1 , e2 , e3 имеет матрицу Ae 3 2 1 .
1 1 0
Найти его матрицу Ae ' в базисе
e1/ (1, 1, 1);
e2/ (1, 2, 1);
e3/ (0, 1, 1).
/
/
/
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису e , e , e :
1 2 3
1
0
1
T 1 2 1.
1 1
1
Найдём обратную матрицу для T :
1
1
1
T 1 0 1 1 .
1 2
3
Тогда
67
1
1 1 1 1 2 1 1
Be ' T Ae T 0 1 1 3 2 1 1 2
1 2
3 1 1 0 1
1
5 2 1
1 0 8 3
5
4 3 1 1 2 1 6
1
10
9
3 1
1 1 16 5
1
0
1
1
3
2 .
6
Характеристические корни и собственные значения.
A ij квадратная матрица порядка n с действительными элементами. Пусть,
с другой стороны, некоторое неизвестное. Тогда матрица ( A E ), где E единичная
матрица порядка n , называется характеристической матрицей матрицы A . Так как в матрице (
E ) по главной диагонали стоит , все же остальные элементы равны нулю, то
Пусть
12
11
22
21
A E
n2
n1
Многочлен n ой степени
1n
2n
.
nn
A E называется характеристическим многочленом
матрицы A , а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными,
называются характеристическими корнями этой матрицы.
Пусть в линейном пространстве L задан линейный оператор A . Если вектор
от нуля, переводится оператором в вектор, пропорциональный самому
b , отличный
b,
A(b) 0 b,
где
0
оператора
некоторое действительное число, то вектор
,
а число
собственный вектор
0 собственным
b
(6)
называется собственным вектором
значением этого оператора, причем говорят, что
b относится, к собственному значению 0 .
ТЕОРЕМА (о собственных значениях). Действительные характеристические корни
линейного оператора A , если они существуют, и только они служат собственными
значениями этого оператора.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора,
заданного в некотором базисе матрицей
4 5 2
Ae 5 7 3 .
6 9 4
68
Решение: Составим характеристическое уравнение
4
5
6
5
7
9
2
3 0.
4
Раскрывая определитель, получим уравнение
3 2 0 ,
корни которого
оператора .
1 0, 2 0, 3 1
являются собственными значениями линейного
Найдём собственные векторы, соответствующие собственному значению 1,2
решим систему (10), считая
0. Для этого
0 0.
4 x1 5 x2 2 x3 0
5 x1 7 x2 3x3 0
6 x 9 x 4 x 0.
2
3
1
После преобразования получим:
x1 2 x2 x3 0
3 x2 2 x3 0
или
1
x1 x3
3
2
x2 x3 .
3
Фундаментальная система решений имеет вид:
Собственный вектор
x1
x2
x3
1
2
3
x 0 (1, 2, 3); 0.
Аналогично, для 3
1 , получим систему линейных однородных уравнений
3x1 5 x 2 2 x3 0
5 x1 8 x 2 3x3 0
6 x 9 x 3x 0,
2
3
1
фундаментальным решением которой будет:
69
и
x1
x2
x3
1
1
1
x 1 (1, 1, 1); 0 собственный вектор, соответствующий собственному значению
3 1.
Основные алгебраические структуры. Группы, кольца, поля.
Множество
G
элементов
a, b, c, ,
в котором определён закон композиции,
называемый сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементов
определённый элемент
(обозначается
cab
a, b
множества
G
этого множества, называется аддитивной группой
G, ), если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:
a (b c) (a b) c (ассоциативность).
Существует элемент e множества G такой, что
1.
для любого элемента a этого
множества a e a (существование нейтрального (нулевого) элемента).
3.
Для любого элемента a множества G существует противоположный элемент
a такой, что a (a) e .
Если дополнительно
a b b a (коммутативность),
4.
2.
то группа
G
называется коммутативной или абелевой.
Пример 1. Множество Z целых чисел образует абелеву группу относительно сложения.
Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом
является целое число
0 , а обратным для a
служит целое число
a.
Пример 2. Множество положительных вещественных чисел
R образует абелеву группу
относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно. Нейтральный
элемент 1 R , а обратным элементом для числа
Множество K элементов
a, b, c, ,
a 0 служит вещественное число 1
a
.
в котором определены законы композиции,
называемые сложением и умножением, называется кольцом (обозначается
K , , ), если
эти законы удовлетворяют следующим требованиям:
1.
2.
3.
K , коммутативная группа.
a (b c) (a b) c (ассоциативность).
a (b c) a b a c и (b c) a b a c a
(дистрибутивность
умножения относительно сложения).
70
Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце имеется
a, b K называются
делителями нуля нейтрального элемента относительно , если a 0 и b 0 , но a b 0 .
единичный элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы
Пример 4. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является
коммутативным кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число 1 .
Пример 5. Множество квадратных матриц n ого порядка относительно сложения и
умножения образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения
и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения для матриц были отмечены в
§. Нейтральным элементом по сложению является нулевая квадратная матрица порядка n ,
нейтральным элементом по умножению единичная матрица порядка n .
Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является
обратимым, т.е. для любого
a0
существует
a 1 , такой, что aa 1 e , называется полем.
В поле содержится не менее двух элементов, так как наличие нуля и единицы
гарантируется аксиомами.
Пример 6. Множество рациональных чисел
Q
с операциями сложения и умножения
образует поле. Действительно, для всякого ненулевого рационального
рациональный обратный элемент
b
a
a
b
, существует так же
.
Поле комплексных чисел.
В качестве материала для построения новой системы чисел возьмём точки плоскости
C ( x, y ) : x, y R, каждая из которых однозначно определяется упорядоченной парой
действительных чисел. Введём операции сложения и умножения для таких элементов следующим
образом:
(a, b) (c, d ) (a c, b d );
(a, b) (c, d ) (ac bd , cd bc).
Множество
комплексных чисел.
C
с введёнными операциями сложения и умножения образует поле
Между декартовыми и полярными координатами существует следующая связь,
справедливая при любом расположении точек на плоскости:
a r cos , b r sin .
Для произвольного комплексного числа имеем:
a bi r cos r sin i r cos i sin .
71
3 i.
Пример 7. Найти тригонометрическую форму числа
Решение. Здесь
a 3 , b 1 . Тогда r
3
cos
2
sin 1
2.
3 2 12 2 .
11
6
Решая систему, получаем
11
. Таким образом
6
11
11
3 1 2 cos i sin .
6
6
Формулы Муавра:
r cos i sin n r n cosn i sin n .
Пример 8. Вычислить
Решение.
1 i
4
1 i 4 .
4
2 cos i sin
4
4
Пример 9. Вычислить
2 4 cos i sin 4.
i.
Решение. Найдём тригонометрическую форму числа i :
i cos
3
3
i sin
2
2
.
3
3
2k
2k
3
3
2
2
i sin
cos
i sin
Тогда cos
2
2
2
2
При
k 0 имеем: 0 cos
При
k 1: 1 cos
.
3
3
2
2
i sin
i
.
4
4
2
2
7
7
2
2
i sin
i
.
4
4
2
2
72
Пример 10. Вычислить
38.
Решение. В тригонометрической форме
8 8 cos 0 i sin 0 .
2k
2k
3 8cos0 i sin 0 2 cos
i sin
.
3
3
k 0 : 0 2cos 0 i sin 0 2 ;
2
2
i sin 3 i ;
k 1: 1 2 cos
3
3
4
4
i sin 3 i .
k 2 : 2 2 cos
3
3
Кольца многочленов.
Пусть P произвольное поле. Через
P x обозначим множество многочленов от x с
коэффициентами из P . Многочлен имеет вид:
f x a0 a1x an 1x n 1 an x n .
Множество
C x с операциями сложения и умножения, определяемыми приведением
подобных (сложение многочленов) и раскрытием скобок ( умножение многочленов) образует
коммутативное кольцо с единицей, но не поле. Это же утверждение будет справедливо для
многочленов над произвольным полем.
Пример 11. Найти наибольший общий делитель многочленов:
f x x 4 3x 3 x 2 4 x 3; g x 3x 3 10 x 2 2 x 3.
Решение. Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, мы
можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить делитель на
любое не равное нулю число, причём, не только начиная какое-либо из последовательных
делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить, понятно, к искажению
частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой
степени, что, как мы знаем, при разыскании наибольшего общего делителя допускается.
Делим
f x на g x , предварительно умножив f x на 3:
73
3
2
3x 4 9 x 3 3x 2 12 x 9 3x 10 x 2 x 3
3x 4 10 x 3 2 x 2 3x
x 1
x3 5x 2 9 x 9
(умножаем на 3)
3x 3 15 x 2 27 x 27
3x 3 10 x 2 2 x 3
5 x 2 25 x 30
Степень остатка стала меньше степени делителя, таким образом, после сокращения на
5 получим первый остаток r1
x x 2 5x 6 . Делим на него многочлен g x :
2
3x 3 10 x 2 2 x 3 x 5 x 6
3x 3 15 x 2 18 x
3x 5
5 x 2 16 x 3
5 x 2 25 x 30
9 x 27
Вторым остатком, после сокращения на 9, будет
r2 x x 3 . Очевидно, что
r1 x r2 x x 2 , т. е. последним остатком, отличным от нуля будет r2 x x 3 . Он и
будет искомым наибольшим делителем:
f x , g x x 3.
Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в соответствующих
пространствах.
Будем говорить, что в
n мерном
действительном линейном пространстве
определено скалярное умножение, если всякой паре векторов
действительное число, обозначаемое символом
векторов
a
пространства
I.
поставлено в соответствие
a, b и называемое скалярным произведением
b ,причем выполняются следующие
Ln , любое действительное число):
и
a, b
Ln
условия (здесь
a, b, c любые
в ек т о р ы
a, b b, a ,
II. a b, c a, c b, c ,
74
III.
a, b a, b ,
IV.
Если
a , то скалярный квадрат вектора a
строго положителен,
a, a 0.
Опишем далее так называемый процесс ортогонализации, т. е. некоторый способ перехода
k векторов a1, a2 ,, ak евклидова пространства
состоящей из k ненулевых лекторов; эти векторы будут
от любой линейно независимой системы из
En к ортогональной системе, также
обозначены через b1 , b2 ,, bk .
Положим b1 a1 , т. е. первый вектор системы ( a1 , a2 ,, ak ) войдёт и в строящуюся нами
ортогональную систему. Положим, далее,
b2 1b1 a2 .
a1 а векторы a1 и a 2 линейно независимы, то вектор b2 отличен от нуля при
любом числе 1 .Подберем это число из условии, что вектор b2 должен быть ортогонален к
Так как b1
вектору b1 :
0 b1 , b2 b1 , 1b1 a2 1 b1, b1 b1, a2 ,
откуда, ввиду IV,
b , a
1 1 2 .
b1, b1
Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов
дополнительно предположим, что для всякого
i, 1 i l ,
вектор
b1, b2 ,, bl ;
bi является линейной
комбинацией векторов a1 , a 2 ,, ai . Это предположение будет выполняться тогда и для
вектора bl 1 если он будет выбран в виде
bl 1 1b1 2b2 l bl al 1.
bl 1 будет при этом отличен от нуля, так как система ( a1, a2 ,, ak ) линейно
независимая, а вектор al 1 не входит в записи векторов b1 , b2 ,, bl . Коэффициенты
Вектор
i , i 1, 2,, l ,
векторам bi ,
подберем из условия, что вектор
bl 1 должен быть ортогонален ко всем
i 1, 2,, l :
0 bi , bl 1 bi , 1b1 2b2 l bl al 1
1bi , b1 2 bi , b2 l bi , bl bi , al 1 ;
75
отсюда, так как векторы b1 , b2 ,, bl ортогональны между собой,
i bi , bi bi , al 1 0,
т. е.
b , a
i i l 1 , i 1, 2,, l.
bi , bi
Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему b1 , b2 ,, bk .
Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства
En , мы
получим ортогональную систему из n ненулевых векторов, т. е., так как эта система по
доказанному линейно независима, ортогональный базис.
Назовем вектор
b, b 1.
Если a ,откуда
b нормированным,
если его скалярный квадрат равен единице, т. е.
a, a 0 , то нормированием вектора a называется переход к вектору
b
Вектор
1
a.
a, a
b будет нормированным, так как
b, b
1
a,
a, a
1
a
a, a
2
1
a, a 1.
a, a
Пример 1. Привести систему векторов
a1 2, 1, 2; a2 1, 1, 4; a3 6, 3, 3
к ортонормированному виду.
Решение.
Применим
к
указанным
b1 a1 2, 1, 2 . Вектор b2 ищем в виде
b , a 9
b2 a2 kb1, где k 1 2 1.
b1, b1 9
b2 1, 2, 2 .
Далее
ищем
векторам
процесс
Подставляя
ортогонализации.
значения,
b3 a3 1b1 2b2 .
получим
Здесь
76
b , a 9
b , a 18
1 1 3 1, 2 2 3
2.
b1, b1 9
b2 , b2
9
После подстановки, имеем:
b3 6, 3, 3 2, 1, 2 2 1, 2, 2 2, 2, 1.
Осталось нормировать систему b1 , b2 , b3 .
c1
1
1
2 1 2
b1 2, 1, 2 , , ,
3
b1, b1
3 3 3
c2
1
1
1 2 2
b2 1, 2, 2 , , ,
3
b2 , b2
3 3 3
c3
1
1
2 2 1
b3 2, 2, 1 , , .
3
b3 , b3
3 3 3
Итак, c1 , c2 , c3
искомая ортонормированная система.
Линейные функции.
Рассмотрим произвольное линейное пространство L над полем P . Отображение
: L P называется линейной функцией, если
x y x y , x, y L è , P.
Линейная функция является частным случаем линейного оператора.
Сопряжённые операторы.
Оператор
y a y называется сопряжённым к , т. е.
x , y x , y .
задан в евклидовом пространстве в базисе из векторов
f1 1,1, 0 матрицей
Пример 1. Линейный оператор
f1 1, 2,1 ,
f1 1,1, 2 ,
3
1 1
A 0 5 1 .
2 7 3
Найти матрицу сопряжённого оператора
в том же базисе, считая, что координаты векторов
базиса даны в некотором ортонормированном базисе.
77
f1, f 2 , f3 заданы в некотором ортонормированном
базисе e1, e2 , e3 . Матрица перехода от e1, e2 , e3 к f1, f 2 , f3 будет
Решение. Координаты векторов
1 1 1
T 2 1 1 .
1 2 0
Значит,
Откуда
A T 1BT , где B матрица того же оператора в ортонормированном базисе.
B T A T 1 .
Находим
2 2 0
1
T 1 1 1 1 .
2
3 1 1
Тогда
1 1 1 1 1 3 2 2 0 2 3 7
1 1 1 1 6 4 6 .
B 2 1 1
0
5
1
1 2 0 2 7 3 2 3 1 1 6 5 5
Матрица сопряжённого оператора
будет по предыдущей теореме сопряжено
транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто
транспонированной.
2 6 6
B B 3 4 5 .
7
6 5
Возвращаемся к исходному базису
A T
2 2 0 2 6 6 1 1 1
1
2 1 1
B T 1 1 1
3
4
5
2
7 6 5 1 2 0
3
1
1
36 37 15
30 30 14 .
26 27
9
1
78
Нормальные операторы.
Линейный оператор унитарного пространства U называется нормальным, если
,
т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.
ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора
U найдётся ортонормированный базис, составленный
собственных векторов оператора . Матрица имеет в этом базисе диагональный вид.
в унитарном пространстве
из
Унитарные операторы.
Линейный оператор
унитарного пространства
U
называется унитарным, если он
сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
x, y U x, y x , y .
Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет
1
скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что A A , т. е.
транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а
его матрицу ортогональной.
ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора
подходящем ортонормированном базисе
элементами, равными по модулю единице.
является
диагональной,
с
в
диагональными
Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
f
n
неизвестных x1, x2 ,..., xn называется сумма, каждое
слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух
разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в
зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или же могут быль любыми
комплексными числами.
Квадратичной формой
от
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму
f x1x2 x2 x3 x3 x1
Решение. Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала
невырожденное линейное преобразование
x1 y1 y2 , x2 y1 y2 , x3 y3
с матрицей
79
1 1 0
A 1 1 0 ,
0 0 1
после чего получим:
f y12 y22 2 y1 y3 .
2
Теперь коэффициент при y1 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно выделить
квадрат одного неизвестного. Полагая
z1 y1 y3 , z2 y2 , z3 y3 ,
т. е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу
1 0 1
B 0 1 0 ,
0 0 1
мы приведем
f
к каноническому виду
f z12 z22 z32 .
Линейное преобразование, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому
виду, будет иметь своей матрицей произведение
1 1 1
AB 1 1 1 .
0 0 1
Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как
определитель равен 2 ) линейное преобразование
x1 z1 z2 z3 ,
x2 z1 z2 z3 ,
x3 z3
превращает исходную квадратичную форму к каноническому виду.
Приведение квадратичной формы к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием
может быть приведена к каноническому виду.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
f x12 x22 x32 4 x1x2 4 x1x3 4 x2 x3
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
80
1 2 2
A 2 1 2 ,
2 2 1
Найдём её характеристический многочлен:
1
2
2
2
A E 2
1
2 1 5 .
2
2
1
Таким образом, матрица A имеет двукратный корень 1 и простой корень
Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет
5.
f y12 y22 5 y32 .
Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого
найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям
1,2 1; 3 5 , т. е. решим системы линейных однородных уравнений A E 0
каждого
для
.
При 1,2
1 имеем
x1 x2 x3 0
x1 x2 x3 0 .
x x x 0
1 2 3
Откуда
x1 x2 x3 , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный набор
решений будет:
b1 1,1, 0 ,
b2 1, 0,1 .
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
c1 1,1, 0 ,
1 1
c2 , ,1 .
2 2
При 3
5 имеем
4 x1 2 x2 2 x3 0
2 x1 4 x2 2 x3 0 .
2x 2x 4x 0
2
3
1
Данная система эквивалентна следующей:
81
x1 x2 2 x3 0
,
x2 x3 0
решением которой будет
c3 1,1,1 .
Остаётся нормировать систему c1, c2 , c3 :
1 1
d1
,
, 0 ,
2 2
1
1
2
d2
,
,
,
6
6
3
1 1 1
d3
,
,
.
3 3 3
Таким образом искомое преобразование имеет вид:
1
1
x1
x2 ,
2
2
y1
1
1
2
x1
x2
x3 ,
6
6
3
1
1
1
y3
x1
x2
x3.
3
3
3
y2
Для того чтобы найти матрицу преобразования
Q,
нужно выразить переменные
x1, x2 , x3 через y1, y2 , y3 , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования . А так
как
Q 1 Q ,
то достаточно транспонировать матрицу преобразования
.
Окончательно
имеем:
1
1
1
y1
y2
y3 ,
2
6
3
1
1
1
x2
y1
y2
y3 , .
2
6
3
x1
x3
2
1
y2
y3.
3
3
82