лаврентьевские чтения по математике, механике и

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ ИМ. М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ЛАВРЕНТЬЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ посвященная 110-летию академика М. А. Лаврентьева 23 – 27 августа 2010 г. ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ Новосибирск 2010 Программный комитет: Tитов В. М., академик РАН — председатель (Новосибирск) Чупахин А. П., д.ф.-м.н. — зам. председателя (Новосибирск) Ерманюк Е. В., д.ф.-м.н. – зам. председателя (Новосибирск) Прууэл Э. Р., к.ф.-м.н. – уч. секретарь (Новосибирск) Андреев В. К., д.ф.-м.н. (Красноярск) Аннин Б. Д., чл.-корр. РАН (Новосибирск) Гаврилюк С. Л., профессор (Марсель, Франция) Годунов С. К., академик РАН (Новосибирск) Канель Г. И., чл.-корр. РАН (Москва) Кедринский В. К., д.ф.-м.н. (Новосибирск) Крайко А. Н., д.ф.-м.н. (Москва) Куликовский А. Г., академик РАН (Москва) Куропатенко В. Ф., д.ф.-м.н. (Снежинск) Лаврентьев М. М., академик РАН (Новосибирск) Левин В. А., академик РАН (Владивосток) Липатов И. И., д.ф.-м.н. (Москва) Лобойко Б. Г., д.т.н. (Снежинск) Михайлов А. Л., д.т.н. (Саров) Нейланд В. Я., чл.-корр. РАН (Москва) Овсянников Л. В., академик РАН (Новосибирск) Павловский Ю. Н., чл.-корр. РАН (Москва) Плотников П. И., чл.-корр. РАН (Новосибирск) Пухначев В. В., чл.-корр. РАН (Новосибирск) Ребров А. К., академик РАН (Новосибирск) Суржиков С. Т., чл-корр. РАН (Москва) Топчиян М. Е., д.ф.-м.н. (Новосибирск) Фомин В. М., академик РАН (Новосибирск) Хабиров С. В., д.ф.-м.н. (Уфа) Шагалиев Р .М. д.ф.-м.н. (Саров). VII Международная конференция “Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике” посвящена 110-летию со дня рождения выдающегося русского математика и механика, организатора Сибирского отделения Российской академии наук, академика М. А. Лаврентьева. Предыдущие шесть конференций состоялись в Новосибирске (1982, 1990, 2000, 2005), Киеве (1985) и Казани (1995). Сборник включает тезисы докладов, представленных на конференцию, проводимую 23–27 августа 2010 года. Конференция проводится при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-01-06075-г), Сибирского отделения РАН, Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, редколлегий журналов “Физика горения и взрыва” и “Прикладная механика и техническая физика”. c Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН 3 Содержание Дифференциальные уравнения и теория функций. Краевые задачи, аналитические функции, конформные и квазиконформные отображения 12 Ajaev V. S., Krechetnikov R. Application of complex analysis to the selective withdrawal problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Antontsev S. N. Wave equations with p(x, t)− Laplacian: Existence and Blow-up . . . 12 Meleshko S. V. Symmetries of Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . 13 Panov E. Yu. Parabolic H-measures and the strong pre-compactness property . . . . . . 14 Shelukhin V. V. Homogenization of time harmonic Maxwell equation and the frequency dispersion effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Shmarev S. I., Diaz J. I. Lagrangian coordinates in parabolic equations not in divergence form: application to free boundary problems in climatology . . . . . . . . . . . . . . 15 Алехно А. Г., Севрук А. Б. Однородная краевая задача Римана со счетным множеством разрывов первого рода ее коэффициента . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Алимжанов Е. С. О квазивариационном неравенстве для одной задачи теории полупроводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Багдерина Ю. Ю. Отделимость уравнений в системе двух ОДУ второго порядка 18 Базарханов Д. Б. Колмогоровские поперечники классов периодических функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Бакиров И. Б. Об одной эллиптической краевой задаче со свободными поверхностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Балгимбаева Ш. А. Восстановление некоторых сингулярных интегральных операторов на классах аналитических в полидиске функций . . . . . . . . . . . . . 21 Белоносов В. С. Спектральные свойства обобщенных функций и обоснование метода Крылова — Боголюбова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Блиев Н. К. О безусловной разрешимости уравнения Карлемана — Векуа с особой точкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Бондарь Л. Н. О неодходимых и достаточных условиях разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Боровских А. В. Уравнение эйконала для неоднородных и анизотропных сред . . . 24 Гайдомак С. В. О существовании решения одной линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных . . . . . . . . . . . . . 25 Голосов К. В. Асимптотические решения операторного уравнения, возникающего в теории внутренних волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Елизаров А. М., Маклаков Д. В. Критерий разрешимости вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Жибер А. В., Костригина О. С. Характеристические алгебры Ли и классификация нелинейных гиперболических систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Капцов О. В., Коростелев И. В. Метод преобразования специальных линейных дифференциальных уравнений в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . 29 Кожевникова Л. М., Каримов Р. Х. Убывание решений квазилинейного параболического уравнения в областях с некомпактными границами . . . . . . . . . . 29 Крайко А. Н., Пьянков К. С., Тилляева Н. И. Сопряженная задача для множителей Лагранжа при оптимальном профилировании сопла Лаваля . . . . . 30 Логинов Б. В. Бифуркация, симметрия, косимметрия и потенциальность уравнений разветвления в корневых подпространствах в неявно заданных стационарных и динамических бифуркационных задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Малютина А. Н., Елизарова М. А. Граничные свойства отображений с S-усредненной характеристикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Мамонтов А. Е., Уваровская М. И. О глобальной разрешимости двумерной задачи протекания для уравнений Эйлера с неограниченным вихрем на входе . . . 33 Миренков В. Е. Обратные задачи с ограничениями на экспериментальные данные 34 Полянин А. Д. Использование гидродинамических преобразований в математической физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Родионов А. А., Краснова Д. А. Групповые свойства одной модели термодиффузии с уравнениями в инволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ройтенберг Е. Я. Оценивание решений нелинейных диифференциальных уравнений в услолвиях неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Сахауева М. А. Об одной одномерной вырожденной задаче Маскета — Веригина . 37 Сидоров Н. А., Сидоров Д. Н. Неклассическая задача Коши для интегродифференциального уравнения Вольтерра с фредгольмовым оператором в главной части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 Шанько Ю. В. Об обобщенных функционально-инвариантных решениях одного уравнения акустики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Шляхтич Е. Н., Казанцев В. П. Функции комплексного переменного и вариационные принципы задач электростатики на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 39 Яковенко Г. Н. Краевые задачи в математической теории управления . . . . . . . 41 Математические проблемы механики сплошной среды. Задачи со свободными границами. Численный эксперимент Bizhanova G.I. On a classical solvability of a free boundary problem arising in a combustion theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Burde G. I. Generalized Kaup — Kupershmidt Solitons, Static Solitons and Boundary Generated Solitons — Solutions of the KdV and Higher Order KdV Equations . . . Chemetov N. V. Boundary layer problem: Navier — Stokes and Euler equations . . . . Chemetov N. V. Nonlinear Hyperbolic – Elliptic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . Christov C. I. Nonlinear Continuum Mechanics of Space and the Frame-Indifferent (Truly Covariant) Formulation of Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finn R. Floating bodies on capillary interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grebenev V. N. On the geometry of the correlation space for isotropic turbulence . . . Kolpakov A. G. Role of non degenerated joints in mechanics of frameworks . . . . . . . Krechetnikov R., Marsden J. Dissipation-induced instabilities in finite- and infinitedimensional systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kuibin P. A., Sharypov O. V. Structure of film flow over plate with moving local heat source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lavrenteva O. M., Rosenfeld L., Nir A. Motion and deformation of partially engulfed compound drops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Naumov I.V., Okulov V. L., Sorensen J. N. Multihelix vortex breakdown . . . . . . Okulov V. L., Sorensen J. N. Optimal rotors by Joukowsky and Betz . . . . . . . . . Scolan Y. -M. Method of Fundamental Solutions applied to highly nonlinear free surface flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Абзалилов Д. Ф., Валитов Р. А., Ильинский Н. Б. Поиск оптимальных параметров движущейся стенки для устранения отрыва пограничного слоя . . . . Адмаев О. В. Численный эксперимент для обобщения решения Бириха . . . . . . . Акимов С. В., Грешилов А. Г. Тепломассобмен при повышенных давлениях в процессах нуклеации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Актершев С. П., Овчинников В. В. Численное моделирование формы паровой полости при гетерогенном взрывном вскипании . . . . . . . . . . . . . . . . . . Алабужев А. А. Колебания сжатой капли жидкости с учетом движения контактной линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Алексеев Г. В. Двухпараметрические задачи граничного управления для стационарной модели тепловой конвекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Андреев В. К. Об устойчивости растяжения двух слоев идеальной жидкости . . Андронов А. Н. Бифуркационная задача о флотирующей границе раздела двух жидкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Архипов В. А., Усанина А. С. Формирование равновесной формы капли на горизонтальной поверхности при малых числах Вебера . . . . . . . . . . . . . . . . . Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Новые дифференциальные уравнения для описания взаимодействия нелинейных волн на свободной поверхности мелкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Асилбеков Б. К., Жапбасбаев У. К., Калиланова К. А. Динамика развития водонефтяной поверхности в пласте с радиальным каналом скважины . . . . . Астрелин В. Т., Снытников А. В. Вычисление коэффициента теплопроводности при моделировании плазмы PIC-методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Афанасьев А. А. Моделирование неизотермических многофазных течений бинарной смеси в пористой среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Афанасьев К. Е., Григорьева И. В. Численное моделирование генерации волн твердым телом, погруженным в идеальную жидкость . . . . . . . . . . . . . . Афанасьев К. Е., Рейн Т. С., Клепче В. Н. Математическое моделирование нестационарного взаимодействия гравитационного (плотностоного) течения с донным препятствием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Афанасьев К. Е., Рейн Т. С. Релей — тейлоровская неустойчивость в задаче об обтекании плотностным потоком вязкой жидкости донных препятствий . . 43 43 44 44 45 46 47 48 49 50 50 51 52 53 54 55 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 65 66 67 68 5 Ахмадеев Ф. М., Бакланова Н. И., Журавлев А. И., Игуменов И. К., Сухинин С. В. Физические и гидродинамические проблемы производства и углубленной переработки непрерывных геополимерных волокон с наноразмерными покрытиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ахмед-Заки Д. Ж., Данаев Н. Т., Мухамбетжанов С. Т. Об одной задаче неизотермической фильтрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бажин А. А., Мурашкин Е. В. О проблеме моделирования процесса релаксации напряжений в условиях больших деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Базовкин А. В., Ковеня В. М. Численный метод решения уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости на основе метода расщепления . . . . . . . . Байдулов В. Г. Точное решение задачи формирования вихревого течения при обтекании горизонтального цилиндра стратифицированной жидкостью . . . . . Балапанов Д. М., Урманчеев С. Ф. Моделирование конвективного горения газа в жесткой пористой среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Батищев В. А. Физический механизм спиральных течений крови в артериальном сосуде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Баутин С. П., Крутова И. Ю., Рощупкин А. В. Закрутка газа силой Кориолиса Баутин С. П., Первушина Н. А. Об одном численно-аналитическом методе моделирования течения вязкого теплопроводного сжимаемого газа . . . . . . . . . Баутин С. П., Дерябин С. Л., Хакимзянов Г. С. Исследование решений уравнений мелкой воды в окрестности подвижной линии уреза . . . . . . . . . . . . . Бекежанова В. Б. О малых возмущениях стационарного течения двухслойной жидкости в наклонном канале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Белолипецкий В. М., Белолипецкий П. В., Мартынова А. А. О методе оценки потока углерода между атмосферой и наземной экосистемой по измеренным на вышке вертикальным распределениям CO2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Белых В. Н. Об абсолютной ε-энтропии компакта C ∞ -гладких периодических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Блохин А. М., Семенко Р. Е. Слоистые структуры: неустойчивость ударных волн и электродинамическая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Богданов А. Н., Диесперов В. Н. К теории трансзвукового взаимодействующего пограничного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Богоявленская В. А., Шардаков И. Н. Исследование чувствительности деформаций земной поверхности к изменениям характерных параметров вулканической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бондаренко Б. В., Потапов И. И. О деформации берегового склона равнинных рек с песчаным руслом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бублик В. В. Групповая классификация уравнений Навье — Стокса вязкого теплопроводного газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Буренин А. А., Ковтанюк Л. В. Развитие и торможение прямолинейного вязкопластического течения в трехслойном упруговязкопластическом материале Буханько А. А., Кочеров Е. П., Хромов А. И. Пластические критерии разрушения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ваганова Н. А., Филимонов М. Ю. Моделирование теплового взаимодействия в системе скважина–многолетнемерзлые породы с учетом сезонного изменения температуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Васильев А. Ю. Обобщение задачи Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Водолажский А. А. О выборе потенциалов взаимодействия в методе SPH при моделировании движения жидкости со свободной поверхностью . . . . . . . . . Воеводин А. Ф., Гранкина Т. Б. Одномерная и двумерная модели для исследования термического режима водоемов с учетом фазовых переходов . . . . . . . . Воеводин А. Ф., Никифоровская В. С. Комбинированная математическая модель для исследования волновых процессов в проточных системах открытых русел и водоемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Волков П. К. Прогноз состояний гидродинамической системы при большом изменении физического параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гаврилов Н. В., Ляпидевский В. Ю. Распространение внутренних волн большой амплитуды в шельфовой зоне моря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гаврилова К. Н., Ляпидевский В. Ю., Хе А. К. Распространение нелинейных волн в слабодиссипативных средах с дисперсией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . А. М. Гайфуллин, А. В. Зубцов Вязкие течения с замкнутыми линиями тока . Георгиевский П. Ю., Левин В. А. Локализованный энерговклад как способ уменьшения волнового сопротивления и управления обтеканием тел . . . . . . . . . 69 70 71 72 73 73 74 75 76 77 78 79 80 81 81 83 84 85 86 87 88 88 89 90 91 92 92 93 94 95 6 Годунов С. К. Термодинамика и ее использование в моделировании поведения сплошной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Годунов С. К., Пешков И. М. Моделирование больших упругих и упругопластических деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Головин С. В. Использование криволинейных систем координат для описания идеальных МГД-течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Голубятников А. Н., Леонтьев Н. Е. Упругая регуляризация задачи об ускорении слоя несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Гончарова О. Н., Кабов О. А. Задачи конвекции с учетом испарения при сопутствующем потоке газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Григорьев Ю. Н., Горобчук А. Г. Моделирование ВЧ-разряда в плазмохимическом реакторе травления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Григорьев Ю. Н., Ершов И. В. Линейная и нелинейная устойчивость колебательно-возбужденного молекулярного газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Джобулаева Ж. К. Об одной задаче с двумя малыми параметрами для системы параболических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Дудко О. В., Потянихин Д. А. Автомодельное отражение плоской ударной волны от свободной границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Евстигнеев Н. К., Князева А. Г. Численное исследование влияния реологических свойств среды на режимы превращения в условиях экструзии через коническую пресс-форму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Ермаков М. К. Трехмерная устойчивость осесимметричных течений . . . . . . . 104 Ерманюк Е. В., Вуазен Б., Флор Ж. Б. Структура бароклинных приливов в окрестности подводных гор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Ефимова М. В. Возникновение конвекции в двухслойной системе бинарных смесей 106 Жук В. И. Асимптотический подход в теории устойчивости пограничного слоя . 106 Зайков А. Ф., Лаврентьев М. М.(мл.), Романенко А. А. Оперативное моделирование распространения волны цунами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Зудов В. Н. Взаимодействие продольного вихря с ударной волной . . . . . . . . . . 108 Ильинский Н. Б., Камалутдинов И. М. Об одной задаче проектирования крылового профиля экраноплана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Исаев В. И., Шапеев В. П. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье — Стокса110 Казаков А. Л. Обобщенные задачи Коши для систем с особенностями различного вида и некоторые их приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Казаков А. Л., Лемперт А. А. Численный метод решения обобщенной задачи Коши для систем с особенностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Казаков К. Е. Новое решение задачи контактного взаимодействия для тел с покрытиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Камовский Д. А., Мурашкин Е. В. Повторное пластическое течение в окрестности сферического дефекта сплошности вязкоупругопластического материала114 Карабут Е. А. Дифференциально-разностное уравнение для волн на воде и его решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Карабцев С. Н., Стуколов С. В. Математическое моделирование процессов обрушения и последующего распространения нелинейных уединенных волн в прибрежной зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Карельский К. В., Петросян А. С., Славин А. Г. Учет диссипации кинетической энергии в разностных схемах годуновского типа для неоднородных течений мелкой воды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Князева А. Г. Перераспределение элементов в трехкомпонентной системе в условиях динамического нагружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Ковалев В. А. Динамика многослойных термовязкоупругих тонкостенных конструкций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Куркина О. Е., Владыкина Е. А., Куркин А. А. Моделирование трансформации интенсивных локализованных внутренних волн в двухслойном бассейне переменной глубины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Куркина О. Е., Куркин А. А., Владыкина Е. А. Уединенные внутренние гравитационные волны большой амплитуды в трехслойной жидкости: сравнение моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Куропатенко В. Ф. Законы сохранения в теории смесей . . . . . . . . . . . . . . . 120 Латышев С. В., Хе А. К., Чесноков А. А. Квазинейтральные движения плазмы: точные решения и численное моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7 Левин В. А., Луценко Н. А. О математическом моделировании саморазогревающегося полигона твердых бытовых отходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Липатов И. И. Роль процессов конвекции и акустики в распространении возмущений в пограничных слоях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Луговцов Б. А. , Котельникова М. С. Об устойчивости МГД-течений с замкнутыми линиями тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Лычев С. А. Краевые задачи механики растущих тел . . . . . . . . . . . . . . . . . Любимов Д. В., Любимова Т. П., Марышев Б. С. Конвективная устойчивость однородного просачивания примеси в замкнутой полости насыщенной пористой среды при учете прилипания примеси к скелету . . . . . . . . . . . . Любимов Д. В., Любимова Т. П., Паршакова Я. Н. Устойчивость равновесия двухслойной системы с деформируемой границей раздела при высокочастотных вибрациях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Макарчук Р. С. Вычисление гидродинамических нагрузок на твердые стенки области методом сглаженных частиц в задачах со свободными границами . . . Маклаков Д. В., Шарипов Р. Р. Почти предельные внутренние волны на границе раздела двух жидкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Малышенко В. В. Математическое моделирование падения капли в вязкую жидкость методом частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мамонтов Е. В. Об устойчивости стационарного решения уравнений мелкой воды на сфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Манжиров А. В. Основы математической теории растущих тел . . . . . . . . . . Марчук И. В. Пленочная конденсация пара на криволинейных поверхностях. . . . . Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование трехмерных композитов типа цилиндрической панели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Матюшин П. В., Гущин В. А. Изменение топологии вихревых структур около движущейся сферы при увеличении степени стратификации жидкости . . . . Медведев С. Б., Чиркунов Ю. А. О законах сохранения для уравнений установившегося плоско-параллельного движения газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мелентьев А. Б., Тарунин Е. Л. Эффекты асимметричной модуляции ускорения свободного падения в модели Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Миколайчук М. А., Князева А. Г. Сопряженная задача диффузии в условиях механического нагружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Надкриничный Л. В. Генерация волн на поверхности жидкости при быстром погружении твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Назарова Л. А. Фрактальная размерность и деформационные свойства нарушений сплошности массивов горных пород . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Нещадим М. В., Чупахин А. П. Об особых решениях в модели движения неоднородной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Олейников А. И. Математическое моделирование анизотропной ползучести металлов при деформационном старении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Осипова Е. Б. Конечные деформации и устойчивость равновесия сжимаемого полого шара при следящем внутреннем давлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Остапенко В. В., Карабут П. Е. Метод последовательных приближений решения задачи о распаде разрыва малой амплитуды . . . . . . . . . . . . . . . . . . Паршин Д. А. Напряженно-деформированное состояние тяжелого полусферического купола, возводимого на гладком жестком основании . . . . . . . . . . . . Петров А. Г., Шундерюк М. М. Влияние силы Бассе на динамику взвешенной частицы под действием вибрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Петрова А. Г. О корректности задач термокапиллярного движения эмульсии в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Погорелова А. В. Движение источника под плавающей пластиной в жидкости конечной глубины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Полоник М. В., Рогачев Е. Е. Продавливание упругопластического материала сквозь сферическую матрицу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Поплавская Т. В., Цырюльников И. С. Аномальное усиление акустических волн при взаимодействии с ударной волной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Потапов И. И. О неравновесных деформациях несвязного дна канала . . . . . . . . Прокофьев В. В., Такмазьян А. К., Филатов Е. В. Наблюдение и расчет эффекта тяги при обрушении нелинейных диспергирующих волн над наклонной пластиной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Прокудин А. Н., Одиноков В. И. Напряженно-деформированное состояние ледяной пластины при динамическом воздействии на нее цилиндрического тела 122 123 124 125 126 126 127 128 129 130 130 131 132 133 135 135 136 137 138 139 139 140 142 143 144 145 146 146 147 148 149 150 8 Пухначев В. В. Математическая модель несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Радченко В. П., Саушкин М. Н. Разработка методов решений краевых задач для поверхностно упрочнённых цилиндрических изделий в условиях ползучести с учётом анизотропии упрочнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Роменский Е. И. Термодинамически согласованная модель течения сжимаемой жидкости в упругой пористой среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова-Райса для пластины с жестким включением и трещиной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Рыжков И. И., Степанова И. В. Групповые свойства и точные решения уравнений вибрационной конвекции бинарной смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сагитов Р. В., Шарифулин А. Н. Устойчивость адвективного течения в наклонном плоском слое с продольным градиентом температуры . . . . . . . . . Садовская О. В. Численное исследование динамических контактных задач на суперкомпьютерах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Садовский В. М. Численное моделирование локализации деформаций в разнопрочных средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Саженков С. А. Задача Дарси — Стефана о фазовых переходах в насыщенном пористом грунте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Саттаров М. А. К оценке кинематических характеристик движения частиц жидкостей в пористых средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Семенко Е. В. Сила, действующая на обтекаемое тело при наличии неподвижного точечного вихря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Семенов Э. И., Синицын А. В. Математическая модель магнитной изоляции и ее точные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сердцева Н. А., Гаврилов Н. В., Ерманюк Е. В. О влиянии формы генератора на структуру пучков внутренних волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сиковский Д. Ф. Законы подобия турбулентного газодисперсного потока с осаждающимися частицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Смирнов С. В. О волнах Кельвина в простой двухслойной модели . . . . . . . . . . Снытникова Т. В. Снижение уровня шума при использовании метода частиц-вячейках с адаптивными массами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Солонников В. А. Задача со свободной границей для уравнений магнитной гидродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Степанова Е. В., Чашечкин Ю. Д. Деформация компактного пятна примеси в каверне составного вихря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Степанова И. В. О термодиффузионной конвекции в плоском слое жидкости при нелинейной зависимости силы плавучести от температуры и концентрации . Стружанов В. В. Об устойчивости деформирования механической системы, реализующей двухосное растяжение квадратной пластины . . . . . . . . . . . . . Стружанов В. В., Привалова В. В. Об одном алгоритме расчёта критических нагрузок при квазистатическом деформировании дискретных механических систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Стурова И. В. Влияние ледового покрова на гидродинамические нагрузки для цилиндра, погруженного в стратифицированную жидкость . . . . . . . . . . . . . Суржиков С. Т. Метод нестационарных динамических переменных в радиационной газовой динамике крупномасштабных огневых шаров . . . . . . . . . . . . . Сухинин С. В., Рымаренко К. В. Гидроудар в канале гидроразрыва . . . . . . . . Терешко Д. А. Численное решение задач управления для нестационарных уравнений тепловой конвекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ткачев Д. Л., Блохин А. М. Исследование гидродинамической модели переноса зарядов в полупроводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Трахинин Ю. Л. Корректность задачи со свободной границей для уравнений нерелятивистской и релятивистской газовой динамики с “вакуумным” граничным условием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю., Тенкам Э. М. Продольные колебания стержня Рэлея — Бишопа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Федотова З. И., Хакимзянов Г. С. Нелинейно-дисперсионные модели поверхностных волн на вращающейся сфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Фоминский Д. А., Шарифулин А. Н. Численное определение границ существования аномального конвективного течения в наклоняемом цилиндре . . . . . . Черевко А. А., Чупахин А. П. О движении газового шара с закруткой . . . . . . 151 151 152 153 154 155 155 157 158 158 159 160 160 161 162 163 164 165 166 167 168 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 9 Чупахин А. П. О структуре алгебры операторов инвариантного дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Хабахпашева T. И., Коробкин A. A. Извлечение энергии волн с помощью упругой пластины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Хабиров С. В. Движение газа без расхождения с линейным полем скоростей . . Хвостова О. Е., Авербух Е. Л., Куркин А. А. Применение метода сглаженных частиц для моделирования движения жидкости со свободной поверхностью Хлуднев А. М. Оптимальное управление в задачах о равновесии упругих тел с включениями и трещинами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Хребтов М. Ю. Обратный поток энергии турбулентности по масштабам в свободной струе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Черепанов А. Н., Черепанова В. К. О конвективных течениях магматического расплава у вертикального фронта кристаллизации . . . . . . . . . . . . . . . Черепанов Р. О., Герасимов А. В. Вариационный метод размытых частиц . . Чехонин К. А. Многосеточный метод конечных элементов для задач гидродинамики со свободной поверхностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Чиркунов Ю. А. Об эволюционных системах Фридрихса, равносильных системам волновых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Чумаков Ю. А., Князева А. Г. Нестационарная модель сжигания газа в цилиндрической пористой горелке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Шалаев В. И. Взаимодействие тонкого тела со свободной и твердой поверхностью при разделении двух тел в до- и трансзвуковом потоке . . . . . . . . . Шапеев В. П., Исаев В. И., Черепанов А. Н. Численное моделирование тепломассопереноса при лазерной сварке тонких металлических пластин . . . . . Шаповалов А. В., Трифонов А. Ю., Борисов А. В. Динамика двумерных распределений в нелокальной реакционно-диффузионной модели . . . . . . . . . . Швецов Г. А. Ускорение твердых тел до высоких скоростей . . . . . . . . . . . . Шкутин Л. И. Новый взгляд на полярный механический континуум . . . . . . . . . 178 . 178 . 179 . 180 . 181 . 181 . 182 . 183 . 184 . 184 . 185 . 186 . 187 . 188 . 188 . 189 Механика и физика импульсных процессов, включая взрывные. Поведение материалов и конструкций при динамическом нагружении 190 Аринин В. А., Ткаченко Б. И. Применение современных концепций алгебры изображений в области радиографического контроля быстропротекающих процессов190 Афанасьева С. А., Белов Н. Н., Дударев Е. Ф., Скосырский А. Б., Табаченко А. Н., Югов Н. Т. Исследование и разработка наноструктурированных металлических и композиционных материалов для применения в условиях ударно-волнового нагружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Бабкин А. В., Ладов С. В., Рассоха С. С. Некоторые особенности эффекта “самозакрутки” кумулятивных струй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Бабкин В. С., Коржавин А. А., Лаевский Ю. М. Уникальность режима звуковых скоростей фильтрационного горения газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Батраев И. С., Злобин С. Б., Ульяницкий В. Ю., Штерцер А. А. Исследование детонации многокомпонентного топлива на основе метилацетилена . . . 194 Баутин С. П. О возможной конструкции мишени для реализации управляемого термоядерного синтеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Бельхеева Р. К. Уравнение состояния пористых веществ и смесей . . . . . . . . . 196 Бордзиловский С. А., Караханов С. М. Измерение яркостной температуры и сопутствующих оптических характеристик ударно-сжатого плексигласа при 35 ГПа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Быковский Ф. А., Ждан С. А., Ведерников Е. Ф. Условия реализации непрерывной детонации в режиме эжекции воздуха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Ведяев В. Я., Виноградов А. В., Иванова Е. С., Мишнев В. И. Особенности расчета и функционирования стального ведущего устройства боеприпаса . . . 198 Володина Н. А., Карпенко И. И., Спиридонов В. Ф. Численное моделирование изменения ударно-волновой чувствительности ВВ на основе ТАТБ при многократном воздействии ударных волн с промежуточной разгрузкой с применением модели кинетики МК в методике ЛЭГАК . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Воронин М. С., Мержиевский Л. А. Модель динамического деформирования резины и эпоксидной смолы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Гавриленко Т. П., Ульяницкий В. Ю. О возможности использования метана и пропан-бутана в аппаратах детонационного напыления . . . . . . . . . . . . . 201 Георгиевский П. Ю., Левин В. А., Сутырин О. Г. Газодинамика распространения ударных волн в средах с неоднородным распределением плотности . . . . 202 10 Герасимов А. В., Коняев А. А., Пашков С. В. Высокоскоростной удар по оболочкам с заполнителем компактными и удлиненными элементами . . . . . . . 203 Грязнов Е. Ф., Бойко М. М. О пластичности металлических оболочек при взрывном нагружении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Дудко О. В., Лаптева А. А. Одномерное взаимодействие сдвиговых разнополяризованных ударных волн в несжимаемой упругой среде . . . . . . . . . . . . . . . 205 Ершов А. П., Сатонкина Н. П., Пластинин А. В., Прууэл Э. Р. Профили электропроводности эмульсионного ВВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Ждан С. А., Сырямин А. С. Расчет непрерывной детонации в нестехиометрических Н2 –О2 смесях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Зелепугин С. А., Иванова О. В., Юношев А. С., Сильвестров В. В. Взрывное нагружение реакционноспособной смеси: эксперимент и численное исследование 208 Злобин С. Б., Ульяницкий В. Ю. Измерение параметров частиц при детонационном напылении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Иванова Ю. Е., Рагозина В. Е. Параметрический метод интегрирования эволюционных уравнений одномерных задач ударного деформирования в твердом теле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Иванова Ю. Е., Рагозина В. Е. Эволюционное уравнение одномерных поперечных ударных волн, созданных краевыми условиями общего вида . . . . . . . . . . . . 210 Иоилев А. Г., Краюхин А. А., Стадник А. Л. Численное моделирование высокоскоростного проникновения трубчатого ударника в бетон . . . . . . . . . . . 211 Канель Г. И., Разоренов С. В., Фортов В. Е. Температурно-скоростные зависимости сопротивления деформированию и разрушению металлов в условиях ударно-волнового нагружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Карпенко И. И., Морозов В. Г., Титова В. Б., Янилкин Ю. В., Жогов Б. М., Чернышова О. Н. Физический механизм и численное моделирование скорости роста горячих точек в инициировании детонации . . . . . . . . . . . . . . 213 Киселев С. П. Математическое моделирование разрушения нанокомпозитов методом молекулярной динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Князева А. Г., Тян А. В. Численное моделирование трехкомпонентной диффузии в двухслойном материале с учетом внутренних механических напряжений при электронно-лучевом воздействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Колесников С. А., Лавров В. В., Мочалова В. М., Прууэл Э. Р., Савченко А. В., Тен К. А., Уткин А. В. Экспериментальное исследование структуры детонационных волн в эмульсионных ВВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Колмакова Т. В. Компьютерное моделирование параметров излучения поверхности динамически нагруженных реагирующих порошковых компактов . . . . . . 217 Кривошеина M. Н., Кобенко С. В., Туч Е. В. Моделирование разрушения анизотропных материалов с усредненными механическими свойствами . . . . . . 218 Левин В. А., Мануйлович И.С., Марков В. В. Возбуждение горения и детонации тороидальным электрическим разрядом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Левин В. А., Мануйлович И.С., Марков В. В. Инициирование детонации при вращении и деформировании стенок канала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Левин В. А., Мануйлович И.С., Марков В. В. Особенности инициирования и распространения детонации в неоднородной газовой смеси . . . . . . . . . . . . 221 Лейцин В. Н., Дмитриева М. А. Пространственно-временные факторы развития повреждаемости компонентов в процессе ударного синтеза . . . . . . . . 222 Литвенко В. В., Мержиевский Л. А. Модель динамического деформирования карбида кремния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Майер А. Е., Красников В. С., Яловец А. П. Кинетика дефектов, пластичность и разрушение металлов при больших скоростях деформации . . . . . . . 223 Мали В. И. Использование сварки взрывом для получение композита с высокой ударной вязкостью и чередующимися слоями стали с различной твердостью . 224 Медведев Р. Н., Тесленко В. С., Зайковский А. В. Электродинамические автоколебания в электролите на линейных и кольцевых концентраторах тока . 225 Мержиевский Л. А., Карпов Е. В., Авсейко Е. О. Неоднородность необратимой деформации полиреных материалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Назаренко Н. Н., Князева А. Г. Модель роста покрытия при микродуговом оксидировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Пинаев А. В., Васильев А. А., Кочетков И. И. Влияние типа ВВ, его плотности и внешних условий на механизм распространения и структуру волн детонации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 11 Сильвестров В. В., Пай В. В., Гулевич М. А., Пластинин А. В., Рафейчик С. И. Параметры детонационной волны и метательная способность низкоплотных эмульсионных ВВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Синяев С. В., Анисимов А. Г., Герасимов А. В., Матросов А. Д. Электроимпульсная капельная деструкция фольговых проводников . . . . . . . . . . . . 230 Смирнов Е. Б., Лобойко Б. Г., Филин В. П., Костицын О. В., Беленовский Ю. А., Просвирнин К. М., Киселев А. Н. Стационарные двумерные режимы детонации твердых ВВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Суров В. С., Степаненко Е. Н. Модификация метода Годунова для расчета течений односкоростных многокомпонентных адиабатических смесей . . . . . . . 231 Тен К. А., Титов В. М., Прууэл Э. Р., Лукьянчиков Л. А., Толочко Б. П., Жогин И. Л. Динамика роста наночастиц конденсированного углерода при детонации конденсированных ВВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Тесленко В. С., Манжалей В. И., Медведев Р. Н., Дрожжин А. П. Сжигание углеводородных топлив непосредственно в водном теплоносителе . . . . . 232 Третьяков П. К. Применение пульсирующих режимов горения для повышения эффективности прямоточных двигателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Туч Е. В., Кривошеина M. Н., Кобенко С. В. Моделирование разрушения металлических преград при динамическом нагружении . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Федотенко Т. М., Гулевич М. А., Пай В. В., Яковлев И. В., Игнатенко А. Г., Саяпин В. В. Исследование возможности применения импульсных термопарных источников энергии для инициирования детонации взрывчатых веществ235 Фролов С. М., Аксенов В. С., Иванов В. С., Маилков А. Е., Медведев С. Н., Сметанюк В. А., Скрипник А. А. Быстрый переход горения в детонацию в метано-воздушных смесях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Фролов Ф. С., Фролов С. М. Микровзрыв капель суспензионных горючих . . . . . 236 Христенко Ю. Ф., Трушков В. Г. Новый способ получения кумулятивных струй 237 Шапеев В. П., Исаев В. И., Черепанов А. Н. Численное моделирование тепломассопереноса при лазерной сварке тонких металлических пластин . . . . . . 238 Шер Е. Н., Михайлов А. М. Оценка размеров зоны хрупкого разрушения при взрыве сосредоточенного заряда вблизи свободной поверхности . . . . . . . . . . 239 Штерцер А. А., Злобин С. Б. Нанесение градиентных покрытий керамика–металл детонационным напылением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Авторский указатель 242 Antontsev S. N. 12 Дифференциальные уравнения и теория функций. Краевые задачи, аналитические функции, конформные и квазиконформные отображения APPLICATION OF COMPLEX ANALYSIS TO THE SELECTIVE WITHDRAWAL PROBLEM V. S. Ajaev1 , R. Krechetnikov2 1 2 Southern Methodist University, Dallas TX 75275, USA University of California, Santa Barbara CA 93106, USA A common experimental set-up for studying formation of cusp-like features of fluid interfaces involves a tube immersed in a container with two viscous liquids separated by initially flat interface [1]. The tip of the tube is placed a finite distance above the interface and the upper liquid is withdrawn through the tube at a finite rate. As a result, the interface is deformed into an axisymmetric hump; its curvature increases sharply as the flow rate is increased. We use a complex analysis approach for investigation of the nature of the experimentally observed behavior of the interface. The complex stress-stream functions are expressed in terms of the Goursat representation. The conformal mapping technique is used to describe both liquid flow and interface shape. The general outline of the method follows the approach of Jeong and Moffatt [2] for description of cusp formation at a liquid-air interface in the case when the flow is generated by a pair of counter-rotated cylinders, modeled as a vortex dipole. We generalize this approach to the case of two viscous liquids and apply it to the situation when the flow is driven by a source-sink pair. This is a model of the experimental set-up used in the selective withdrawal problem. References 1. Cohen I., Nagel S. R., Scaling at the selective withdrawal transition through a tube suspended above the fluid surface, Phys. Rev. Lett. (2002) Vol. 88, 074501. 2. Jeong J.-T., Moffatt H. K., Free-surface cusps associated with flow at low Reynolds number, J. Fluid Mech. (1992) Vol. 241, 1-22. WAVE EQUATIONS WITH p(x, t)−LAPLACIAN: EXISTENCE AND BLOW-UP S. N. Antontsev CMAF, University of Lisbon, Portugal Let Ω ⊂ Rn be a bounded domain with Lipschitz-continuous boundary Γ and QT = Ω × (0, T ]. We consider the problem p(x,t)−2 utt = div a(x, t) |∇u| ∇u + α 4 ut + b(x, t)|u|σ(x,t)−2 u, (x, t) ∈ QT , (1) u(x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) = u1 (x), x ∈ Ω, (2) u|ΓT = 0, ΓT = ∂Ω × (0, T ). (3) Meleshko S. V. 13 The exponents p(x, t), σ(x, t), the coefficients a = a(x, t), b = b(x, t) are given functions of their arguments and α > 0. It is assumed that 0 ≤ a− ≤ a(x, t) ≤ a+ ≤ ∞, |at | ≤ Ca , (4) 1 < p− ≤ p(x, t) ≤ p+ < ∞, (5) |pt | = −pt ≤ Cp , (6) 1 < σ− ≤ σ(x, t) ≤ σ+ ≤ ∞, 0 ≤ σt ≤ Cσ , (7) 0 ≤ b(x, t) ≤ b+ , 0 ≤ bt , (8) u0 ∈ L2 (Ω) ∩ W 1,p(·,0) , u1 ∈ L2 (Ω), f ∈ L2 (QT ). (9) We discuss the questions of existence (local and global with respect to time) and blow up of energy solutions to the problem (1)–(3). The main attention is paid to the blow up effects caused by the variable nonlinearity of the equation under the study. The analysis is based on the methods developed in [1, 2, 3]. References 1. Antontsev S. N., Dı́az J. I., and Shmarev S. , Energy Methods for Free Boundary Problems:Applications to Non-linear PDEs and Fluid Mechanics, Bikhäuser, Boston, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, Vol. 48, 2002. 2. Antontsev S. N., Shmarev S. Vanishing solutions of anisotropic equations with variable nonlinearity. Nonlinear Anal., Theory, Methods, Applications. 2010. Vol. 71. p. 371–391. 3. Antontsev S. N., Shmarev S. Blow-up of solutions to parabolic equations with nonstandard growth conditions. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010 (in press). ON GROUP ANALYSIS OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS S. V. Meleshko School of Mathematics, Suranaree University of Technology Nakhon Ratchasima, Thailand Stochastic differential equations are often obtained by including random fluctuations in differential equations which have been deduced from phenomenological or physical view. For example, the motion of a small particle suspended in a moving liquid is described by the differential equation dx = b(t, x), dt where b(t, x) is the velocity of the fluid at the point x and at the time t. Let the function σ(t, x) represents the resistance caused by the viscosity of the liquid. If a particle is randomly bombarded by molecules of the fluid, then this can be modeled by the equation dX = b(t, X) + σ(t, X)Wt , dt (1) Panov E. Yu. 14 where Wt denotes “white noise”. The second term on the right hand side represents the large number of collisions of the pollen grain with the molecules of the liquid. Formally, the white noise is written as Wt = dBt /dt and equation (1) is rewritten in the differential form dX = b(t, X) dt + σ(t, X) dBt , (2) Here Bt is a Brownian motion. Equation (2) is called a stochastic differential equation. Solution is a stochastic process. Equations of the type (2) have been used widely in other areas of the science. In contrast to deterministic differential equations, only few attempts to apply group analysis to stochastic differential equations can be found in the literature. The presentation deals with applications of the group analysis method to stochastic differential equations. The presentation is organized as follows. Before defining an admitted symmetry for stochastic differential equations an introduction into stochastic differential equations is given. The introduction includes the discussion of a stochastic integration, a stochastic differential and a change of the variables (Itô formula) in stochastic differential equations. The Itô formula and the change of time in stochastic differential equations are the main tools of defining admitted transformations for stochastic differential equations. After introducing an admitted Lie group for SDEs and supporting material of the introduced definition, some examples of applications of the given definition are studied. This research is supported by the Center of Excellence in Mathematics, the Commission on Higher Education, Thailand. PARABOLIC H-MEASURES AND THE STRONG PRE-COMPACTNESS PROPERTY E. Yu. Panov Novgorod State University, Veliky Novgorod In a domain Ω ⊂ Rn we consider the equation divϕ(x, u) − D2 · B(x, u) = 0, (1) where D2 · B(x, u) = ∂x2i xj bij (x, u), u = u(x) (we use the conventional rule of summation over repeated indexes), B(x, u) = {bij (x, u)}ni,j=1 is a symmetric matrix such that bij (x, u) ∈ L2loc (Ω, C(R)), i, j = 1, . . . , n, and ∀x ∈ Ω, u1 , u2 ∈ R sign (u1 − u2 )(B(x, u1 ) − B(x, u2 )) ≥ 0. We also assume that B(x, u) is degenerated on a linear subspace X ⊂ Rn : ∀ξ ∈ X (B(x, u)−B(x, 0))ξ = 0. Concerning the convective terms, we suppose that ϕ(x, u) = (ϕ1 (x, u), . . . , ϕn (x, u)) ∈ L2loc (Ω, C(R, Rn )). On the base of the localization principles for parabolic H-measures we establish the following strong pre-compactness property for sequences uk (x) of approximate solutions of (1), which are supposed to be merely measurable functions satisfying the requirement that the sequences of distributions div ϕ(x, sa,b (uk (x)))−D2 ·B(x, sa,b (uk (x))) are pre-compact in the anisotropic Sobolev −1,−2 space Wd,loc (Ω) for some d > 1 and each a, b ∈ R, a < b, where sa,b (u) = max(a, min(u, b)) are cut-off functions. Theorem 1. Suppose that for almost all x ∈ Ω for all ξ˜ ∈ X, ξ¯ ∈ X ⊥ such that ξ˜ 6= 0, ξ¯ 6= 0 the function λ → ξ˜ · ϕ(x, λ), λ → B(x, λ)ξ¯ · ξ¯ are not constant on non-degenerate intervals. Then a) there exists a measurable function u(x) ∈ R ∪ {±∞} such that, after extraction of a subsequence ur , r ∈ N,R sa,b (ur ) → sa,b (u) as r → ∞ in L1loc (Ω) ∀a, b ∈ R, a < b. b) If, in addition, K m(uk (x))dx ≤ CK for each compact set K ⊂ Ω, where m(u) is a positive super-linear function, then u(x) ∈ L1loc (Ω) and ur → u in L1loc (Ω) as r → ∞. Theorem 1 allows to establish the existence of entropy solutions to the Cauchy problem for evolutionary parabolic equations of the kind (1), see the details in [1]. In the particular case Shmarev S. I., Diaz J. I. 15 B = B(u) the assertion of Theorem 1 was proved in [2] under the weaker non-degeneracy condition: for a.e. x ∈ Ω for all ξ ∈ Rn , ξ 6= 0 the functions λ → ξ · ϕ(x, λ), λ → B(λ)ξ · ξ are not constant simultaneously on non-degenerate intervals. Here no parabolicity assumptions on the existence of the subspace X are required. The work was carried out under financial support of the Russian Foundation for Basic Research (project 09-01-00490-a). References 1. Panov E. Yu. Ultra-parabolic equations with rough coefficients. Entropy solutions and strong precompactness property. J. of Mathematical Sciences. 2009. V. 159. N 2. P. 180–228. 2. Holden H., Karlsen K. H., Mitrovic D., Panov E., Yu. Strong compactness of approximate solutions to degenerate elliptic-hyperbolic equations with discontinuous flux function. Acta Mathematica Scientia. 2009. V. 29B. N6. P. 1573–1612. HOMOGENIZATION OF TIME HARMONIC MAXWELL EQUATIONS AND THE FREQUENCY DISPERSION EFFECT V. V. Shelukhin Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Novosibirsk We perform homogenization of the time-harmonic Maxwell equations in order to determine an effective dielectric permittivity εh and an effective electric conductivity σ h . We prove that εh and σ h depend on the frequency ω; this phenomenon is known as the frequency dispersion effect. Moreover, the macroscopic Maxwell equations also depend on ω; they are different for small and large values of ω. References 1. Shelukhin V. V, Terentev S. A. Frequency dispersion of dielectric permittivity and electric conductivity of rocks via two-scale homogenization of the Maxwell equations. Progress in electromagnetic research B. 2009. V. 14. P. 175–202. LAGRANGIAN COORDINATES IN PARABOLIC EQUATIONS NOT IN DIVERGENCE FORM: APPLICATION TO FREE BOUNDARY PROBLEMS IN CLIMATOLOGY S. I. Shmarev1 , J. I. Díaz2 1 2 University of Oviedo, Oviedo, Spain University Computense, Madrid, Spain We study the dynamics and regularity of the level sets in solutions of the semilinear parabolic equation ut − ∆ u ∈ a H(u − µ) in Q = Ω × (0, T ], (1) Алехно А. Г., Севрук А. Б. 16 where Ω ⊂ Rn is a ring–shaped domain, a and µ are given constants, H(·) is the Heaviside maximal monotone graph: H(s) = 1 if s > 0, H(0) = [0, 1], H(s) = 0 if s < 0. Such equations arise in climatology: equation (1) is a simplified version of the celebrated energy balance model proposed by M. Budyko in 1969 [1]. We show that under certain conditions on the initial data the level sets Γµ = {(x, t) : u(x, t) = µ} are n–dimensional hypersurfaces in the (x, t)–space even in the case when meas {u0 (x) = µ} = 6 0. We show that the dynamics of Γµ is governed by a differential equation which generalizes the classical Darcy law in filtration theory. This equation expresses the velocity of advancement of the level surface Γµ through the spatial derivatives of the solution u. Similar results are obtained for the energy balance model proposed and justified by P. Stone in 1972: ut − ∆p u + f ∈ a H(u − µ), p ∈ (1, ∞), (2) where ∆p u denotes the p-Laplace operator. The study is based on the introduction of a local set of Lagrangian coordinates which render stationary the thought free boundary: the equation is formally considered as the mass balance law in the motion of a fluid and the passage to Lagrangian coordinates allows one to watch the trajectory of each of the fluid particles. The results are published in the papers [2, 3]. References 1. Budyko M. The efects of solar radiation variations on the climate of the earth, Tellus, 1969. V. 21. P. 611–619. 2. Diaz J. I., Shmarev S. I. Lagrangian Approach to the Study of Level Sets: Application to a Free Boundary Problem in Climatology. Arch. Rational Mech. Anal. 2009. V. 194. P. 75–103. 3. Diaz J. I., Shmarev S. I. Lagrangian approach to the study of level sets II: A quasilinear equation in climatology. J. Math. Anal. Appl., 2009. V. 352. P. 475–495. ОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА СО СЧЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ РАЗРЫВОВ ПЕРВОГО РОДА ЕЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ А. Г. Алехно, А. Б. Севрук Белорусский государственный университет, Минск Пусть D — комплексная плоскость, разрезанная вдоль луча L = [0, ∞). Решена однородная краевая задача Римана, состоящая в нахождении всех ограниченных аналитических в D функций, непрерывные граничные значения которых на берегах разреза по L удовлетворяют соотношению Φ+ (t) = G(t) Φ− (t), t ∈ L. (1) Заданный коэффициент G(t) задачи подчинен условию , G(t) = exp 2πi ϕ(t) tρ(t) − α−1 α ϕ(t) tρ(t) + 21 ϕ(t) ∈ Hµ , ϕ(∞) = λ > 0, α > 1, ρ(∞) = ρ > 0, (2) где [a] означает целую часть числа a, а ρ(t) — уточненный порядок. Из условия (2) следует, что аргумент коэффициента G(t) задачи имеет счетное множество точек разрыва первого ρ(t) рода tn , в которых αϕ(t)t + 1/2 = n, n ∈ N, и arg G(t) испытывает скачок ∆n = 2πα−1 . Алимжанов Е. С. 17 Следуя методу Н.В. Говорова [1], исследование задачи сводится к изучению асимптотики при z → ∞ канонической функции задачи Римана, которая вводится по формуле Z ∞ ln G(t) dt z . X(z) = exp 2πi 0 t (t − z) Лемма. Если µ > (2ρ − 1)(2ρ + 1)−1 , то каноническая функция является ограниченным решением задачи Римана (1), (2). Вообще говоря, задача (1), (2) имеет бесконечное множество ограниченных решений вида Φ(z) = X(z)F (z), где F (z) — целые функции, множество решений которых подчинено требованиям, аналогичным установленным в [1] для задачи Римана с бесконечным индексом степенного порядка ρ. Серьезные трудности представляет вопрос об отыскании условий существования единственного ограниченного решения задачи. Теорема. Однородная краевая задача Римана (1), (2) имеет единственное ограниченное линейно независимое решение Φ(z) = CX(z), где C — произвольная комплексная постоянная, если выполнено одно из условий 1) 0 < ρ < 1/2, µ > ρ; 2) ρ(t) ≡ ρ > 0, ϕ(t) ≡ λ > 0. Список литературы 1. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, 1986. О ЗАДАЧЕ С ОДНОСТОРОННИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТЕОРИИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Е. С. Алимжанов Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан Система уравнении из теории полупроводников, описывающая процесс (p − n) – перехода в диоде, в стационарном случае приводит к задаче с односторонними ограничениями для уравнения Пуассона [1] − ∆u(x) = f (x) в D = {x ∈ Ω : ϕ(u) < u(x) < ψ(u)}, (1) где искомой функцией является электростатический потенциал u(x), а f (x) – распределение зарядов. Данная задача рассматривается внутри области Ω ⊂ Rn , которая представляет собою полупроводник. Здесь функции–препятствия ϕ(u) и ψ(u), так называемые квазипотенциалы Ферми, неявно зависят от искомой функции и делят область Ω на три части: Ωϕ = {x ∈ Ω : u = ϕ} и Ωψ = {x ∈ Ω : u = ψ} — области с p− и n− проводимостью соответственно, и D — область, где происходит (p − n) – переход. Эта задача со свободными границами, так как границы между описанными областями являются неизвестными. Для однозначного определения функции u(x) в (1) нужно задать условия на остальной части границы области Ω. Багдерина Ю. Ю. 18 Данная задача с различными условиями на границе была исследована в работе [2], где она была рассмотрена в вариационной постановке и решена с применением методов теории вариационных неравенств (см., напр. [3]). В работе задача (1) рассмотрена в постановке в виде квазивариационного неравенства K] (u) = {v ∈ H]1 (Ω) : ϕ(u) ≤ v ≤ ψ(u) п.в. в Ω} Z Z ∇u · ∇(v − u) dx ≥ f (v − u) dx + (V1 − U1 )h1 + (V2 − U2 )h2 , ∀v ∈ K] (u), Ω Ω где K] (u) – замкнутое выпуклое подмножество пространства H]1 (Ω) = {v ∈ H 1 (Ω) : v Γi = Vi − неизвестные константы, i = 1, 2}, а Γi — свободные границы. Также заданы нелокальные граничные условия на ∂Ωϕ и ∂Ωψ , однородные условия Неймана на остальной части границы ∂Ω. Доказано, что при выполнении определенных условий на данные задачи решение существует и единственно. Список литературы 1. Markowich, P. A. The Stationary Semiconductor Device Equations. Springer-Verlag / Wien, 1986. – 193 p. 2. Rodrigues, J. F. On some quasi-variational inequality arising in semiconductor theory // Universidad Computense de Madrid, vol. 5, num. 1; 1992. – P. 137–151. 3. Байокки К., Капелло А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988. ОТДЕЛИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ ДВУХ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ю. Ю. Багдерина Институт математики с вычислительным центром РАН, Уфа Рассматривается система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка относительно функций x1 (t), x2 (t). Получен критерий ее приводимости преобразованием t̄ = θ(t, x1 , x2 ), x̄1 = ϕ1 (t, x1 , x2 ), x̄2 = ϕ2 (t, x1 , x2 ) к системе, в которой уравнение на функцию x̄1 (t̄) отделяется, то есть не содержит функции x̄2 (t̄) и ее производной x̄02 (t̄). Тем самым задача интегрирования исходной системы упрощается: она сводится к решению первого уравнения относительно x̄1 (t̄) и затем при известной функции x̄1 (t̄) — к интегрированию второго уравнения относительно x̄2 (t̄). В качестве одного из примеров рассматривается система [1] 2(α − vj )vj0 = −2H 2 + hH(vk − vj ) − vk (2 + vk ) + vj (4 + 3vj ), (v1 + v2 − 2α)H 0 = −2H(1 + v1 + v2 ), (v1 + v2 − 2α)h0 = 2(1 + h2 )H, α ∈ R, k = 3 − j, j = 1, 2, (1) α 6= −1, описывающая инвариантную компоненту решения в автомодельном вихре Овсянникова для газа с уравнением состояния p = f (S)ρ3 . Исключение h, H приводит к системе двух ОДУ второго порядка относительно функций v1 , v2 . С помощью полученного критерия установлено, что при α = −1/2 в этой системе отделяется уравнение u00 + 6u0 + 8u = 0 относительно функции u = v12 + v22 + v1 + v2 . При этом в исходной системе (1) при α = −1/2 отделяются уравнения u0 = 4H 2 − 2u, H 0 = −2H относительно функций u, H. Работа выполнена при поддержке гранта N 3 Республики Башкортостан для молодых ученых и молодежных научных коллективов. Базарханов Д. Б. 19 Список литературы 1. Черевко А.А., Чупахин А.П. Автомодельный вихрь Овсянникова в газовой динамике. Тез. докл. всерос. конф. “Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение”. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2009. С. 151–152. КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Д. Б. Базарханов Институт математики, Алматы, Казахстан Пусть k ∈ N, zk = {1, . . . , k}, N0 = N ∪ {0}, R+ = (0, +∞). Для x = (x1 , . . . , xk ), y = (y1 , . . . , yk ) ∈ Rk положим xy = x1 y1 + ... + xk yk , |x|∞ = max { |xκ | : κ = 1, . . . , k}. Пусть 1 ≤ p, q ≤ ∞; Lp = Lp (Tk ) — пространство функций f : Tk → C, суммируемых в степени p (при pR = ∞ существенно ограниченных) на Tk = (R/Z)k — k-мерном торе, с нормой kf | Lp k; fˆ(ξ) = f (x)e−2πi ξx dx, ξ ∈ Zk , — тригонометрические коэффициенты Фурье функции f ∈ L1 ; `q — Tk пространство числовых последовательностей (cα ) = (cα )α∈Nn0 с конечной нормой k(cα ) | `q k. Пусть n ∈ N : n ≤ k. Фиксируем мультииндекс m = (m1 , ..., mn ) ∈ Nn с m1 +· · ·+mn = k (если n = 1, то m = k, если n = k, то m = 1 = (1, . . . , 1) ∈ Nk ). Представим x = (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk в виде x = (x1 , . . . , xn ), где xν = (xκν−1 +1 , ..., xκν ) ∈ Rmν ; здесь κ0 = 0, κν m1 + ... + mν , ν ∈ zn . Выберем функции η0ν ∈ C ∞ (Rmν ) такие, что 0 ≤ η0ν (ξ ν ) ≤ 1, ξ ν ∈ Rmν ; η0ν (ξ ν ) = 1, если |ξ ν |∞ ≥ 3/2 (ν ∈ zn ). Положим η ν (ξ ν )η0ν (2−1 ξ ν ) − η0ν (ξ ν ), ηjν (ξ ν ) = |ξ ν |∞ ≤ 1; η0ν (ξ ν ) = 0, если Q n η ν (2−j+1 ξ ν ), j ∈ N; ηα (ξ) ν=1 ηαν ν (ξ ν ), ξ ∈ Rk , α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn0 . Определение. Пусть s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Rn+ , 1 ≤ p, q ≤ ∞. Пространство типа Никольk k ского — Бесова Bsp m q (T ) состоит из всех функций f ∈ Lp (T ), для которых конечна норма k f | B k = k 2αs k X ηα (ξ)fˆ(ξ)e2πiξx | Lp k | `q k. ξ∈Zk k Пространство типа Лизоркина — Трибеля Lsp m q (T ) (p < ∞) состоит из всех функций f ∈ k Lp (T ), для которых конечна норма X k f | L k = kk 2αs ηα (ξ)fˆ(ξ)e2πiξx | `q k | Lp k. ξ∈Zk k Единичные шары Bps qm (Tk ) и Lsp m q (T ) этих пространств будем называть классами типа Никольского — Бесова и Лизоркина — Трибеля соответственно. Напомним определение колмогоровского N -поперечника класса F в метрике Lr (1 ≤ r ≤ ∞): dN (F , Lr ) inf sup inf k f − g | Lr k, GN f ∈F g∈GN где внешняя нижняя грань берется по всем линейным подпространствам GN ⊂ Lr размерности N. В работе получены точные в смысле порядка оценки колмогоровских поперечников класk сов Bps qm ( Tk ) и Lsp m q ( T ) в метрике Lr для ряда соотношений между параметрами s, m, p, q, r. Бакиров И. Б. 20 ОБ ОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ СО СВОБОДНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ И. Б. Бакиров Ферганский государственный университет, Узбекистан В работе на основе гидродинамической теории изучена нестационарная задача о линзе пресных вод при фильтрации из канала, математическая модель которой следующая: Задача. Найти решения Uj (M, t), (U (M, t) = uj M, t, M ∈ Ωi (t)), i = 1, 2, уравнений −1 ∆U1 (M, t) = kiφ q(t)δ(x − x0 )λM N (y), M (x, y) ∈ Ω1 (t); ∆U2 (M, t) = 0, M (x, y) ∈ Ω2 (t), S где ∆ = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 , а также неизвестные поверхности ΓTj , ΓTj = 0<t<Y Γj (t), j = 1, 2, 3 при следующих условиях (см. рисунок): 0 ≤ t ≤ T, U1 (M, t) = H(t), M ∈ [ECt ]; ∂U (M, t)/∂nt = 0, M ∈ (OE) ∪ (OA), U (M, t) = h2i−1 (x, t), M ∈ Γ2i−1 (t), i = 1, 2; m∂F2i−1 (M, t)/∂t + (−kiφ ∇U (M, t), ∇F2i−1 (M, t)) = 0, M ∈ Γ2i−1 (t), i = 1, 2; γ2 U2 (M, t) − γ1 U1 (M, t) = (γ2 − γ1 )h2 (x, t), M ∈ Γ2 (t); k1φ ∂U1 (M, t)/∂nt = k2φ ∂U2 (M, t)/∂nt = m∂F2 (M, t), M ∈ Γ2 (t), на границе (AAt )(At = At (1, y)) одна из следующих: либо k2φ U2x (M, t) = qk (t), M ∈ R h (1,t) (AAt ), либо 0 3 k2φ U2x (1, y, t)dy = Q(t); h2i−1 (x, 0) = h02i−1 , (i − 1)S0 ≤ x ≤ (2 − i)S0 + (i − 1), i = 1, 2; h2 (x, 0) = h02 (x), x ∈ [0, S0 ]; h1 (0, t) = H(t), t ∈ [0, T ]; h1 (S(t), t) = h2 (S(t), t) = h3 (S(t), t), 0 ≤ t ≤ T ; S(0) = s0 , где ∇ = (∂/∂x; ∂/∂y). С использованием результата [1, 2] доказано, что при выполнении определённых условий для начальных данных эта задача имеет единственное устойчивое классическое решение. Список литературы 1. Бегматов А. Б. Задачи нестационарной фильтрации в областях с подвижной границей. – Т. Фан. 1991. стр. 136 2. Бакиров И. Известия АН УзССР 1985 №3. стр. 4–14. Балгимбаева Ш. А. 21 ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛИДИСКЕ ФУНКЦИЙ Ш. А. Балгимбаева Институт математики, Алматы, Казахстан Обозначим через Dn = {z ∈ Cn ; |zj | < 1, j = 1, ..., n} полидиск в Cn , T n — остов Dn , то есть T n = {ζ ∈ Cn , |ζk | = 1, k = 1, ..., n}. α (Dn ), α > 0, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, состоит из Пространство Никольского — Бесова Bp,q n аналитических w(z), удовлетворяющих условию R 1в D функций q(s−α)−1 α k(Rs w)(rρ ei )kqLp (T n ) ρn }1/q < ∞; bp,q (w) = { 0 (1 − ρ) bαp,∞ (w) = sup[0,1) (1 − ρ)s−α k(Rs w)(rρ ei )kLp (T n ) < ∞, n P ∂w α c нормой kw|Bp,q k = |w(0)| + bαp,q (w);(Rw = zj ∂z ; α < s ∈ N) [1]. j j=1 Напомним конструкцию аналитических в единичном круге D всплесков И. Мейера [2, Ch.6, P.202]. Пусть ϕ(x) : R → R — масштабирующая функция и ψ(x) : R → R — всплеск Мейера. Рассмотрим систему алгебраических многочленов X A0,0 (z) ≡ 1, Aj,k (z) = 2−j/2+1 θ̂(ν · 2−j ) cos(2πν(k + 0.5)2−j )z ν , j ≥ 0, 0 ≤ k < 2j−1 , ν∈Z+ 1/2 , ĝ — преобразование Фурье g. где θ̂(t) = ϕ̂2 2t − ϕ̂2 (t) Эта система всплесков является базисом пространств Харди Hp (D) (1 ≤ p ≤ ∞) [2], а также пространств Hpr (D), r ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞, аналитических в D функций w(z) с угловыми значениями r - х производных w(r) из Lp (T ) при 1 ≤ p < ∞ и с w(r) ∈ C(D̄) при p = ∞ [3]. Пусть X 0 −j En = {0, 1}n ; En = En \ {(0, . . . , 0)}, Bj,k (z) = 2−j/2 ϕ̂(ν · 2−j )e2πiν2 z ν , ν∈Z j ≥ 0, −2j−1 < k ≤ 2j−1 . Q Q e e (z) = (z) = ej =0 B0,0 (zj ) ej =1 A0,0 (zj ), для k = 0, e = (e1 , . . . , en ) ∈ En и wk,m Положим w0,0 Q Q 0 k ej =0 Bk,mj (zj ) ej =1 Ak,mj (zj ), для k ∈ N, e ∈ En , 0 ≤ m ≤ 2 − 1, j = 1, ..., n. e e В сообщении устанавливается базисность системы Wn,z {w0,0 (z), e ∈ En , wk,m (z), k 0 α n mj = 0, ..., 2 − 1, j = 1, ..., n, k ∈ N, e ∈ En } в пространстве Bp,q (D ). Рассматривается задача восстановления некоторых классических сингулярных интегральных операторов на полидисα ке на классах Bp,q (Dn ) по информации о коэффициентах Фурье их граничных значений. Список литературы 1. Лизоркин П. И., Гулиев В. С. Классы голоморфных и гармонических функций в поликруге в связи с их граничными значениями. Труды МИРАН. 1993. Т. 204. С. 137–159. 2. Meyer Y. Wavelets and Operators. Cambridge: CUP, 1992. 3. Субботин Ю. Н., Черных Н. И. Базисы всплесков в пространствах аналитических функций. Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 340–355. Белоносов В. С. 22 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА КРЫЛОВА — БОГОЛЮБОВА В. С. Белоносов Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Новосибирский государственный университет Многие задачи теории колебаний в распределенных системах приводят к уравнениям вида ut = εf (t, u), (1) где u(t) — искомая функция со значениями в банаховом пространстве; f — непрерывный по (t, u) нелинейный оператор; ε — малый параметр. Нас интересуют особенности применения асимптотического метода Крылова —Боголюбова к изучению уравнения (1). Напомним, что в основе этого метода лежит идея о разложении решений на плавный медленный дрейф и малые быстрые осцилляции: ищется такая замена переменных u = v + εϕ1 (t, v) + ε2 ϕ2 (t, v) + · · · + εn ϕn (t, v), (2) чтобы функции ϕk были ограничены при t → ∞, а исходное уравнение с точностью до слагаемых порядка εn приобрело вид vt = ε f0 (v) + εf1 (v) + · · · + εn−1 fn−1 (v) . (3) Функция v приближенно описывает медленный дрейф, на который накладываются быстрые осцилляции, задаваемые отображением (2). Существующие обоснования данного метода обременены достаточно жесткими ограничениями, сужающими область его применимости. В докладе предлагается новая интерпретация: в уравнении (3) допускаются не только постоянные по переменной t, но также медленно осциллирующие функции fk (t, v). При этом степень осцилляций произвольной обобщенной функции g(t) характеризуется ее спектром σ(g), то есть носителем преобразования Фурье g̃(λ). Кроме того, в формуле (2) вместо ε выбирается другой произвольный малый параметр δ, характеризующий масштаб пространственных искажений при замене переменных. Установлено, что если f (t, u) имеет непрерывные и ограниченные производные Dum f поPn k рядков m 6 n, то для любого ω > 0 найдется переменных u = v + k=1 δ ϕk (t, v; ε, δ), Pn−1замена приводящая уравнение (1) к виду vt = ε k=0 δ k fk (t, v; ε, δ) с точностью до слагаемых порядка δ n . Все функции fk и ϕk , а также их производные Dv fk и Dv ϕk непрерывны и ограничены, причем σ(fk ) ⊂ {λ : |λ| < 2ωε/δ}, σ(ϕk ) ⊂ {λ : |λ| > ωε/δ}. На любом промежутке 0 6 t 6 T /ε норма разности между точным и приближенным решениями оценивается сверху величиной C(T )δ n . Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 09-01-00221), Президиума РАН (программа фундаментальных исследований № 2, проект № 121) и АВЦП Рособразования (проект 2.1.1.4918). Бондарь Л. Н. 23 О БЕЗУСЛОВНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ КАРЛЕМАНА — ВЕКУА С ОСОБОЙ ТОЧКОЙ Н. К. Блиев Институт математики Министерства образования и науки РК, Алматы, Казахстан Рассмотрим дифференциальное уравнение B(z) ∂w A(z) + w+ w̄ = F (z), ∂ z̄ z z (1) в круге G = {|z| < r}. Считается, что A, B и F — произвольные функции из L∞ (G). Под решением уравнения (1) будем понимать непрерывную в Ḡ функцию w(z), допускающую суммируемую в G обобщенную по Соболеву производную ∂w/∂ z̄ и удовлетворяющую уравнению (1) почти всюду в G. Уравнение (1) имеет важное приложение в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей с точкой уплощения z = 0; рассматривалось в работах Л.Г. Михайлова, З.Дж. Усманова, А.Б. Тунгатарова и др. Во всех известных нам работах существование непрерывного решения доказано при дополнительных условиях малости коэффициентов A и B или малости области G. В данной работе доказана безусловная разрешимость уравнения (1) в области G в классе непрерывных функций. О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Л. Н. Бондарь Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск В работе продолжаются исследования [1, 2, 3] по краевых задач для квазиэллиптических n = {x = (x0 , xn ) : x0 = (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 , xn > 0}, систем в R+ L(Dx )u = f (x), n x ∈ R+ , B(Dx )u|xn =0 = ϕ(x0 ), (1) где L(Dx ), B(Dx ) — матричные дифференциальные операторы. Предполагается, что оператор L(Dx ) входит в класс квазиэллиптических операторов, введенных Л. Р. Волевичем [4] и краевая задача (1) удовлетворяет условию Лопатинского. В работе получены условия разрешимости для краевых задач вида (1) в соболевских пространствах. Рассмотрен вопрос о необходимости возникающих требований на f (x) и ϕ(x0 ). Работа выполнена при поддержке ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. (гос. контракт № 02.740.11.0429) и Сибирского отделения Российской академии наук (Лаврентьевский грант для молодых ученых, междисциплинарный проект № 107). Список литературы n 1. Demidenko G. V. On solvability of boundary value problems for quasi-elliptic systems in R+ . Journal of Analysis and Applications. 2006. Vol. 4. № 1. P. 1–11. 2. Бондарь Л. Н. Условия разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем. Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7. Вып. 4. С. 9–26. Боровских А. В. 24 3. Бондарь Л. Н., Демиденко Г. В. Краевые задачи для квазиэллиптических систем. Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49. № 2. С. 256–273. 4. Волевич Л. Р. Локальные свойства решений квазиэллиптических систем. Мат. сб. 1962. Т. 59. № 3. С. 3–52. УРАВНЕНИЕ ЭЙКОНАЛА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД А. В. Боровских Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова При исследовании распространения волн в неоднородной и анизотропной среде, описываемого теми или иными уравнениями, обычно предполагается известным решение соответствующего уравнения характеристик — уравнения эйконала g ij (x)ψi ψj = 1. (1) Здесь ψ = ψ(x) — неизвестная функция, позволяющая описать фронт распространяющейся волны в виде семейства поверхностей t = ψ(x). Однако на деле известные случаи проинтегрированных уравнений единичны и не систематизированы. Фундаментальную роль и в вопросе об интегрируемости уравнения эйконала, и в вопросе о структуре группы симметрий играет геометрия, а именно структура ассоциированной с уравнением (1) римановой метрики gij (x)dxi dxj (2) (gij — матрица, обратная к g ij , которая всюду далее рассматривается как метрический тензор). Геодезические в этой метрике физически интерпретируются как лучи, то есть кривые, вдоль которых распространяются фронты. Групповой анализ изотропного уравнения эйконала в [1] позволил выделить целый ряд уравнений, которые удалось проинтегрировать в явном виде. При этом было обнаружено, что одинаковую по размерности группу симметрий имеют и уравнение для однородной среды, и некоторые уравнения для неоднородной среды. Оказалось, что рассмотрение постоянства коэффициентов в уравнении (1) как признака однородности не вполне корректно, и в основу физического понятия однородности имеет смысл положить групповые свойства, а именно наличие точечной группы симметрий уравнения, переводящей любую точку в любую другую (транзитивность) и любое направление в любое. Поскольку такими свойствами обладают группы движений римановых пространств постоянной кривизны, следует считать, что если метрика (2) определяет риманово пространство постоянной кривизны, то уравнение (1) задано в однородной среде. В докладе будут представлены также условия интегрируемости уравнений (1), которые соответствуют слоистым средам (что связано со специальной структурой метрики (2): она имеет вид ds2 = ds21 (x) + V 2 (x)ds22 (y), где ds1 (x) и ds2 (y) — метрики в подпространствах) и описана связь между указанной структурой римановой метрики и структурой группы симметрий уравнения (1). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00614). Гайдомак С. В. 25 Список литературы 1. Боровских А. В. Групповая классификация уравнений эйконала для трехмерной неоднородной среды. Матем. сборник. 2004. Т. 195. № 4. С. 23–64. 2. Borovskikh A. V. Eikonal equations for an inhomogeneous anisotropic medium. Journal of Mathematical Sciences. 2010. V. 164. № 6. P. 859–880. О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С. В. Гайдомак Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск В докладе рассматривается смешанная задача для линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных A(x, t)∂t u + B(x, t)∂x u + C(x, t)u = f, ∂t u ≡ ∂u/∂t, ∂x u ≡ ∂u/∂x, A(x, t0 )u(x, t0 ) = A(x, t0 )φ(x), B1 (x0 , t)u(x0 , t) = B1 (x0 , t)ψ(t), (1) B2 (X, t)u(X, t) = B2 (X, t)ψ(t), где fi = fi (x, t) и ui = ui (x, t), i = 1, ..., n — соответственно известная и искомая n-мерные вектор-функции, f = (f1 , f2 , . . . , fn )> , u = (u1 , u2 , . . . , un )> ; A(x, t), B(x, t), C(x, t) — заданные матрицы-функции порядка n с элементами, зависящими от переменных x ∈ R1 и t ∈ R1 , (x, t) ∈ U = [x0 ; X] × [t0 ; T ]; B(x, t) = B1 (x, t) + B2 (x, t), B1 (x, t) ≥ 0, B2 (x, t) ≤ 0 ∀(x, t) ∈ U . Предполагается, что в уравнении (1) элементы матриц A(x, t), B(x, t), C(x, t) и свободного члена f (x, t) принадлежат пространству Cp (U ), где p — некоторое целое положительное число, φ(x) ∈ Cp ([x0 , X], ψ(t) ∈ Cp ([t0 , T ]); det(A(x, t)) ≡ 0, det(B(x, t)) ≡ 0. Теорема. Пусть в начально-краевой задаче (1) выполнены следующие условия: 1) deg ∆0 (λ, x, t) = p1 , где ∆0 (λ, x, t) = det (A(x, t) + λB(x, t)) , p1 = const, p1 6= 0; 2) все корни характеристического многочлена ∆0 (λ, x, t) вещественные и простые ∀(x, t) ∈ U за исключением нулевых корней, кратность которых постоянна и равна p2 , p2 < p1 ; 3) инвариантные многочлены пучка матриц-функций µA(x, t) + λB(x, t) не содержат делителей вида λl , µl , l > 1; 4) начальные и граничные данные согласованы в точке (x0 , t0 ) со своими производными. Тогда задача (1) имеет единственное решение u(x, t) ∈ Cp−1 (U ). Доказательство теоремы выполнено методом конечных разностей [1] и основано на построении равномерно-сходящейся к решению задачи (1) последовательности функций из Cp−1 (U ), получающейся в результате аппроксимации равномерно-ограниченной [2] последовательности сеточных функций бикубическим сплайном. Единственность решения задачи (1) обосновывается с помощью энергетического тождества [3]. Список литературы 1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 2. Гайдомак С. В. Об устойчивости неявной разностной схемы для линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных. Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2010. Т. 50. № 4. С. 707–717. Елизаров А. М., Маклаков Д. В. 26 3. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩЕГО В ТЕОРИИ ВНУТРЕННИХ ВОЛН К. В. Голосов Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Рассматривается задача о нелинейных возмущениях операторного уравнения, возникающего в задаче о стационарных внутренних волнах на границе раздела однородной и экспоненциально стратифицированной жидкостей. Для данного уравнения построено семейство приближенных решений типа уединенных волн. С этой целью исследованы аналитические символы псевдодифференциальных операторов, возникающих в интегральном представлении резольвенты линеаризованного оператора, и выделена главная часть резольвенты в окрестности границы непрерывного спектра. Следует отметить, что построение приближенных решений в виде рядов возмущений непосредственно в исходной краевой задаче затруднительно ввиду сингулярного поведения границы спектра в пределе слабой стратификации [1, 2]. Полученный результат дает основу для доказательства существования точных решений уравнений Эйлера в окрестности построенных приближенных решений с помощью метода Ньютона. Список литературы 1. Макаренко Н. И., Мальцева Ж. Л. О спектре фазовых скоростей внутренних волн в слабостратифицированной двухслойной жидкости. Изв. РАН. Механика жидкости и газа, № 2, 2009. 2. Макаренко Н. И., Мальцева Ж. Л. Уединенные волны в двухслойной слабостратифицированной жидкости. ПМТФ. 2009. Т. 50. № 2. С. 72–78. КРИТЕРИЙ РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ А. М. Елизаров, Д. В. Маклаков НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского университета Задачи, обсуждаемые в докладе, восходят к [1] и связаны с поиском ответа на вопросы, какую максимальную подъемную силу можно получить на профиле крыла и какова форма такого профиля. Они получили название вариационных обратных краевых задач аэрогидродинамики (см. [2], [3]) и реализуют один из подходов к оптимизации аэродинамических форм. Форма искомого контура и его аэродинамические характеристики однозначно определяются парой {P (γ), β} (P (γ) — 2π-периодическая управляющая функция, β — теоретический угол атаки), которая по меньшей мере должна удовлетворять условиям разрешимости задачи, а также требованию ограниченности заданным значением vmax максимального значения скорости потока. Названные ограничения определяют допустимое множество K управляющих функций, и существенным является вопрос о его непустоте. В работе в рамках модели газа Чаплыгина дозвукового обтекания получены критерий непустоты этого множества и ограничения на параметры vmax и β, гарантирующие выполнение критерия. Елизаров А. М., Маклаков Д. В. 27 Условия разрешимости задачи характеризует аффинное множество K0 = {P (γ) ∈ L2 [0, 2π] : A0 (P ) = A1 (P ) = A2 (P ) = 0} из пространства L2 [0, 2π]. Здесь Z 2π Z 2π A0 (P ) = P (γ)dγ − B0 , A1 (P ) + iA2 (P ) = P (γ)eiγ dγ − B1 − iB2 , 0 B0 = 2π ln Λ∞ , 0 B1 + iB2 = −4πi c2 Λ2∞ sin β , 1 + c2 Λ2∞ Λ∞ = Λ(λ∞ ), Λ(λ) = 2λ √ ; 1 + 1 + 4c2 λ2 λ∞ = v∞ /a∗ , v∞ — заданная величина скорости потока на бесконечности, a∗ — критическая скорость звука, c2 = 0.296 — параметр модели. Ограничение на максимум скорости задает выпуклое замкнутое множество K1 = {P (γ) ∈ L2 [0, 2π] : P (γ) ≤ H(γ, β) для почти всех γ ∈ [0, 2π]}, H(γ, β) ≡ ln [Λ(λmax )/M (γ, β)] , M (γ) = 2 |sin γ + sin β| . T При фиксированном значении β имеем K = K0 K1 . Теорема [4]. При заданных значениях λ∞ > 0, λmax > 0 и 0 ≤ β ≤ π/2 необходимое и достаточное условие непустоты K имеет вид λmax > Φ(λ∞ , β) при β > 0; Φ(a, β) = λmax ≥ λ∞ aA , A cosh(A sin β) − sinh(A sin β) при β = 0, 1 A= √ . 1 + 4c2 a2 При λmax = λ∞ и β = 0 множество K состоит из функции P (γ) = H(γ, 0), которой соответствует обтекание пластины под нулевым углом атаки. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00163). Список литературы 1. Лаврентьев М. А. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана. Труды ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского. 1934. Вып. 155. 41 с. 2. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей. М.: Физматлит, 1994. 436 с. 3. Елизаров А. М., Касимов А. Р., Маклаков Д. В. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике. М.: Физматлит, 2008. 572 с. 4. Елизаров А. М., Маклаков Д. В. Об ограничениях на максимум скорости в обратных краевых задачах аэрогидродинамики. Докл. РАН. 2010. Т. 430, № 5. С. 631–634. Жибер А. В., Костригина О. С. 28 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ И КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ А. В. Жибер1 , О. С. Костригина2 1 2 Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, Уфа Уфимский государственный авиационный технический университет Известно, что симметрийный подход для решения проблемы классификации интегрируемых нелинейных гиперболических систем уравнений uxy = F (u, ux , uy ) (uixy = F i , i = 1, 2, . . . , n) (1) даже в простейших ситуациях приводит к серьезным техническим трудностям. В предлагаемой работе для решения классификационной задачи используется метод, связанный с характеристической алгеброй Ли. Идеи этого алгебраического подхода были предложены в классических работах Гурса, Вессио и других авторов, однако окончательное его формирование произошло в конце прошлого века (см., например, [1], [2]). Пусть X — характеристическая алгебра Ли системы уравнений (1) есть алгебра A, порожденная векторными полями ∞ X ∂ ∂ i ∂ Xi = , X = ū + Dk−1 (F i ) i , i = 1, 2, . . . , n, n+1 1 i i ∂ ū1 ∂u ∂uk k=1 где u1 = ux , ū1 = uy , u2 = uxx , ū2 = uyy , . . . ; D — оператор полного дифференцирования по переменной x. Аналогично определяется y — характеристическая алгебра Ли. Система уравнений (1) интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда характеристические алгебры x и y конечномерны (см. [3]). В настоящей работе получен ряд систем уравнений (1), обладающих полным набором интегралов первого и второго порядка. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00440-а, 09-01-92431-КЭ-а). Список литературы 1. Лезнов А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем. // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 51, № 1. С. 10–21. 2. Жибер А. В., Мукминов Ф. Х. Квадратичные системы, симметрия, характеристичекие и полные алгебры. // Задачи математической физики и асимптотика их решений: сборник научных трудов БНЦ УрО АН СССР. Уфа. 1991. С. 14–32. 3. Жибер А. В., Костригина О. С. Точно интегрируемые модели волновых процессов. // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, № 7 (25). С. 83–89. Кожевникова Л. М., Каримов Р. Х. 29 МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ О. В. Капцов, И. В. Коростелев Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Предложен метод преобразования специальных линейных дифференциальных уравнений в частных производных с произвольным числом независимых переменных. Введены понятия результанта линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, операторов произвольного порядка, замкнутых относительно коммутирования, двумерного аналога вронскиана. Найдены достаточные условия того, что два дифференциальных оператора являются образующими левого идеала, аннулирующего конечномерное пространство функций. Доказано, что преобразования Эйлера — Дарбу порождают отношение эквивалентности на некотором классе уравнений. Получена формула суперпозиции преобразований Эйлера — Дарбу, доказана “обратимость” дифференциального отображения Эйлера. Конструктивно строятся дифференциальные операторы, переводящие решения одного дифференциального уравнения второго порядка в решения другого уравнения того же порядка. Предложено обобщение метода на системы линейных дифференциальных уравнений. Данный подход применяется для решения начально-краевых задач гиперболических уравнений. Представлены приложения данного подхода к модели неоднородной акустики и колебаниям неоднородных стержней переменного диаметра. Найдены общие решения для счетного набора классических уравнений Дарбу, указаны случаи эквивалентности многомерного уравнения Шредингера и уравнения Лапласа. УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ С НЕКОМПАКТНЫМИ ГРАНИЦАМИ Л. М. Кожевникова1 , Р. Х. Каримов2 1 2 Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. З. Биишевой Институт прикладных исследований, Стерлитамак В цилиндрической области D = {t > 0} × Ω рассматривается задача ut = n X (|∇u|m−1 uxα )xα − |u|q∗ −1 u, 1 ≤ m, 1 ≤ q∗ ≤ m + 2(m + 1)/n; (1) α=1 u(t, x)S = 0, S = {t > 0} × ∂Ω; u(0, x) = ϕ(x), ϕ(x) ∈ L2 (Ω). (2) Работа посвящена исследованию зависимости скорости стабилизации при t → ∞ от геометрии неограниченной области Ω решения задачи (1), (2) с финитной начальной функцией ϕ(x). Предполагается, что неограниченная область Ω ⊂ Rn , n ≥ 2, представлена в виде объеди∞ S нения Ω = Ω(N ) последовательности вложенных Ω(N −1) ⊂ Ω(N ) ограниченных областей N =0 T (N ) так, что дополнения Ω(N −1) = Ω(N ) \ Ω(N −1) и пересечения (∂Ω(N −1) ) Ω = S (N −1) , N = 1, ∞, являются связными подобластями и гиперповерхностями соответственно. m+1 “ m+1 (N ) ∞ ” g(x) ∈ C (Ω), kgk “ ” = 1 , Положим λ = inf k∇gk (N ) (N ) 0 Lm+1 Ω(N −1) (N ) (N ) (N −1) Lm+1 Ω(N −1) t = dist(S , S ), N = 1, ∞. Будем предполагать, что существует число θ > 0 такое, что выполняются неравенства 1 ≤ θλ(N ) (t(N ) )m+1 , N = 1, ∞. Крайко А. Н., Пьянков К. С., Тилляева Н. И. 30 n o Определим Fm (N ) = 1/ inf k∇gkLm+1 (Ω(N ) ) g(x) ∈ C0∞ (Ω), kgkL2 (Ω(N ) ) = 1 , N = 0, ∞. Пусть Nm (t), m ≥ 1 — произвольные неотрицательные функции, удовлетворяющие неравенствам Fmm+1 (Nm (t)) exp(κm (m − 1)Nm (t)) ≥ t, m > 1, t > 0; N1 (t)F12 (N1 (t)) ≤ t, t ≥ 0. Теорема. Существуют положительные числа κ∗ (θ) и Mm (m, θ, kϕk) такие, что для решения u(t, x) задачи (1), (2) справедливы оценки при m > 1 ku(t)kL2 (Ω) ≤ Mm t−1/(m−1) Fm(m+1)/(m−1) (Nm (t)), при m = 1 ku(t)kL2 (Ω) ≤ M1 exp(−κ∗ N1 (t)), t > 0, t ≥ 0. (3) (4) Точность оценок (3), (4) подтверждается оценками снизу из работ первого автора и статьи [1]. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00440-a). Список литературы 1. Тедеев А. Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений. Укр. мат. журн. 1992. Т. 44. № 10. С. 1441–1450. СОПРЯЖЁННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОФИЛИРОВАНИИ СОПЛА ЛАВАЛЯ А. Н. Крайко, К. С. Пьянков, Н. И. Тилляева Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И. Баранова, Москва Согласно [1, 2] контур сопла, реализующего максимум тяги при заданных габаритах, полной энтальпии и энтропии газа на выходе из камеры сгорания, расходе газа и внешнем давлении, содержит внезапное сужение (ВС), появляющегося из-за ограничения на полную длину сопла. Чтобы даказать, что ВС – участок краевого экстремума, привлечём метод множителей Лагранжа. В нём множители µ1 и µ2 , вводящие в функционал Лагранжа уравнения неразрывности и безвихренности, в плоском случае определятся решением сопряжённой задачи для системы смешанного типа ρ uv ∂µ1 ∂µ2 a2 − u2 ∂µ1 −ρ 2 − = 0, 2 a ∂x a ∂y ∂y ρ uv ∂µ1 a2 − v 2 ∂µ1 ∂µ2 − ρ − = 0. a2 ∂x a2 ∂y ∂x (1) В переменных годографа V и θ система (1) приводится к ρV µ1V + µ2θ = 0, ρ(M2 − 1)µ1θ + V µ2V = 0, (2) а исключение из последней множителя µ1 приведёт к уравнению для µ2 (1 − V 2 )2 µ2θθ + V 2 (1 − V 2 )(1 − εV 2 )µ2V V + V [1 + (1 − 2ε)(2 − V 2 )V 2 ]µ2V = 0, ε = γ−1 . (3) γ+1 При V и М > 1 системы (1) или (2) решаются от сечения выхода до C− -характеристики od, соединяющей центр сопла o с изломом контура в нижней точке ВС d. Слева от od для µ2 получается задача, отличающаяся от задачи Трикоми тем, что согласно (2) µ2V = 0 при М = 1. Поэтому уравнение (3) определяет µ2 слева от od независимо от его значений справа от этой C− -характеристики, и od становится линией разрыва µ2 и µ1 . Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00178) и АВЦП РНПВШ (код проекта 2.1.1/200). Логинов Б. В. 31 Список литературы 1. Крайко А. Н., Тилляева Н. И., Щербаков С. А. Сравнение интегральных характеристик и формы профилированных контуров сопел Лаваля с “плавным” и с “внезапным” сужениями. Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 4. С. 129–137. 2. Крайко А. Н., Мышенков Е. В., Пьянков К. С., Тилляева Н. И. Влияние неидеальности газа на характеристики сопел Лаваля с внезапным сужением. Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 5. С. 191–204. БИФУРКАЦИЯ, СИММЕТРИЯ, КОСИММЕТРИЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ РАЗВЕТВЛЕНИЯ В КОРНЕВЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ В НЕЯВНО ЗАДАННЫХ СТАЦИОНАРНЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ БИФУРКАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ Б. В. Логинов Ульяновский государственный технический университет В этом сообщении для стационарной F (x, ε) = 0, F (x0 , ε) ≡ 0 и для динамической бифурdx , F (0, x0 , ε) = 0 в банаховых пространствах E1 и E2 доказаны кации F (p, x, ε) = 0, p = dt теоремы о наследовании групповой симметрии нелинейных операторов F соответствующими уравнениями разветвления в корневых подпространствах (УРК) А.М. Ляпунова и Э. Шмидта, движущимися по орбите точки ветвления x0 . Затем на их основе в условиях непрерывной групповой симметрии для УРК потенциального типа установлены результаты об их редукции. Как и прежде для УР, потенциальность УРК понимается относительно точки ветвления. При наличии непрерывной групповой симметрии нелинейных уравнений группа Ли Gl = G(a), a = (a1 , . . . , al ) — ее существенные параметры, предполагается l-мерным дифференцируемым многообразием, удовлетворяющим условиям C1 ) представление a 7→ Lg(a) x0 , действующее из окрестности единичного элемента Gl (a) в пространство E1 , принадлежит классу C 1 , так что Xx0 ∈ E1 для всех инфинитезимальных операторов Xx = limt→0 t−1 [Lg(a(t)) x − x] в касательном к Lg(a) многообразии Tg(a) ; C2 ) стационарная подгруппа элемента x0 ∈ E1 определяет представление L(Gs ) локальs ной группы Ли Gs ⊂ Gl , s < l, с s-мерной подалгеброй Tg(a) инфинитезимальных операторов. Это означает, что для стационарной (нестационарной) бифуркации элементы Xk x0 , Xk ∈ l Tg(a) образуют в подпространстве нулей линеаризованного оператора κ = (l−s) (2κ = 2(l−s))l мерное подпространство и базисы в нем и в алгебре Tg(a) , можно упорядочить так, что Xk x0 = ξk ϕk (ξk ϕk + ξ k ϕk ), 1 ≤ k ≤ κ, Xj x0 = 0 для j ≥ κ + 1. В первой части работы рассмотрены стационарные задачи, во второй — динамические при бифуркации Пуанкаре — Андронова — Хопфа. Для УРК потенциального типа установлено необходимое и достаточное условие инвариантности потенциала относительно представлений группы Gl . Затем на основе косимметрических тождеств левых частей УРК с инфинитезимальными операторами доказаны теоремы о редукции УРК. Даны основы применения полученных результатов к исследованию устойчивости разветвляющихся решений. Полученные результаты поддержаны грантом РФФИ-РА №91680a, проектом № 2.1.1/6194 программы “Развитие научного потенциала ВШ” Минобразования РФ и ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” ГК № П1122. Малютина А. Н., Елизарова М. А. 32 ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ С S-УСРЕДНЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ А. Н. Малютина, М. А. Елизарова Томский государственный университет Для отображений с s-усредненной характеристикой доказаны теоремы об искажении сферическиго модуля семейства кривых, граничные теоремы единственности, построены примеры таких отображений. 0 Теорема 1. Пусть D ⊂ Rn — ограниченная область, D ⊂ Rn . Пусть f : D → Rn — отображение с KI,S -усредненной характеристикой [1], s > (n−1)−1 . Тогда существует ограниченная неотрицательная аддитивная абсолютно непрерывная функция борелевских множеств Φs в D такая, что для любого семейства кривых Γ из D и произвольного борелевского s+1 множества G ⊂ D, содержащего все кривые из Γ, выполнено неравенство Mns/(s+1) (f Γ) ≤ s Φs (G) Mn (Γ) . Отметим, что теорема 1 обобщает результат, полученный Е.А. Полецким в [2] для отображений с ограниченным искажением [3]. Рассмотрим теперь класс Ks (c) отображений с s-усредненной характеристикой f : B n → Rn , n ≥ 2, такой, что для ∀r ∈ (0, 1) справедливо следующее неравенство: N (f, B n (r)) ≤ c(1 − r)−s , где N (f, B n (r)), как и в [3] — кратность отображения. Теорема 2. Пусть f ∈ Ks (c) — произвольное нормальное отображение. Если для некоторого измеримого множества A ∈ S n−1 с нулевой (n − 1)-мерной лебеговой мерой ωn−1 (A) T пересечение e(f, b, Ab ) угловых предельных множеств e(f, b, Ab ) по всем b ∈ A непусто, то f ≡ const. Теорема 2 усиливает результат, полученный O. Martio и S. Rickman в [4] и А.А. Симушевым [5]. Работа частично профинансирована Федеральным агенством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238 и по контракту П937 по ФЦП ”Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы”. Список литературы 1. Малютина А. Н., Елизарова М. А. Теоремы о полунепрерывности снизу отображений с s-усредненной характеристикой. // Вестник ТГУ, 2009, N 4(8), С.46–52. 2. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений. // Мат.сб.,1970, Т.83, N 2, С.261–273. 3. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Изд. Наука, Сиб. отд., Новосибирск. 1982. 4. Martio O., Rickman S. Boundary behavior of quasiregular mappings. // Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. AI. Math., 1969, № 448, p. 1–40. 5. Симушев А. A. Теоремы единственности для пространственных нормальных квазимероморфных отображений. // Докл. АН СССР 1986г. т. 289. Мамонтов А. Е., Уваровская М. И. 33 О ГЛОБАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ПРОТЕКАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ВИХРЕМ НА ВХОДЕ А. Е. Мамонтов1 , М. И. Уваровская2 1 2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск НИИ математики и информатики при Якутском госуниверситете Для системы Эйлера, описывающей движение идеальной несжимаемой жидкости ∂u + (u · ∇) u + ∇p = f , ∂t div u = 0 (1) рассматривается двумерная задача протекания I рода, т. е. на участке втекания жидкости в (ограниченную односвязную) область течения Ω ⊂ R2 задается вихрь ω = rot u. В работах [1, 2], где изучалась эта задача, основной акцент был сделан на гладких решениях. Нами же доказана разрешимость в классе {rot u ∈ Lα } с α > 4/3. Итак, рассматривается система (1) в цилиндре (0, T ) × Ω с краевыми условиями u|t=0 = u0 , u · n|(0, T )×Γ = γ, (2) где n — внешняя нормаль к Γ, T > 0 — произвольное. На участке втекания Γ1 (на котором γ < 0), дополнительно задается условие ω|(0, T )×Γ1 = ω1 . (3) На входные данные задачи налагаются требования (здесь 4/3 < α < 2) ω0 = rot u0 ∈ Lα (Ω), H 1−1/α γ ∈ L1 (0, T, Wα (Γ)) ∩ L∞ ((0, T ) × Γ1 ), γ ds = 0 при п.в. t ∈ (0, T ), u0 ∈ L 2α 2−α (Ω), div u0 = 0, (4) Γ ω1 ∈ L1 (0, T ; Lα (Γ1 )), f ∈ L1 (0, T ; Wα1 (Ω)), rotf ∈ L1 (0, T ; Lα (Ω)). Теорема. При условиях (4) задача (1)–(3) имеет решение u = v + ∇Φ, где v ∈ L1 (0, T ; L2α/(2−α) (Ω)), v·n |Γ = 0, div v = 0, rot v ∈ L∞ (0, T ; Lα (Ω)), ∆Φ = 0, ∂Φ/∂n |Γ = γ, с выполнением стандартного интегрального тождества. Результат в развернутой форме будет опубликован в Вестнике НГУ за 2010 год. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 10–01–00447), Министерства образования и науки РФ (проект 2.1.1.4918) и Сибирского отделения РАН (Лаврентьевский конкурс, проект 4.3). Список литературы 1. Алексеев Г. В. О разрешимости неоднородной краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости. Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 24. С. 15–35. 2. Юдович В. И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область. Мат. сб. 1964. Т. 64(106). № 4. С. 562–588. Полянин А. Д. 34 ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ В. Е. Миренков Институт горного дела СО РАН, Новосибирск Существуют три типа обратных задач: обратные задачи по определению механических характеристик; граничные обратные задачи об идентификации нагрузок; об определении координат внутренних дефектов в упругом теле. Изучение таких задач предполагает экспериментально-аналитический подход. Разделение обратных задач на три типа достаточно условно. Действительно, остановимся, например, на третьем типе, при исследовании которого необходимо предположить, что механические характеристики рассматриваемого тела определены точно и формулируемые граничные условия при растяжении удается реализовать точно. По существу, необходимо решать сразу задачи всех трех типов. Нас интересует область Ω с ослаблением в виде трещиноподобного дефекта, на которую накладываются ограничения, заключающиеся в том, что Ω нельзя поставить на установку для сжатия (растяжение недопустимо), а тем более вынимать из конструкции и поворачивать на девяносто градусов. Натурные смещения замеряются на доступной части границы Ω вне нагружаемых участков. Получена система сингулярных интегральных уравнений, связывающая значение компонент напряжений и смещений всюду на границе рассматриваемой области с дефектом, которая моделируется прямоугольником. Решение прямых задач определяет смещения боковых граней, которые сравниваются с натурными смещениями, и по максимальным значениям определяется первое приближение линии расположения дефекта. Последовательными приближениями определяется длина ослабления и угол наклона его к оси. По этим же данным определяются граничные условия, возникающие при сжатии. На тестовом примере показано, что процесс идентификации является сходящимся. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ А. Д. Полянин Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва Преобразования Мизеса и Крокко используются в гидродинамике для понижения порядка уравнений пограничного слоя. Преобразование Мизеса представляет собой преобразование, в котором в качестве новой независимой переменной принимается искомая функция, а в качестве новой зависимой переменной — частная производная по координате, направленной по нормали к обтекаемой поверхности (здесь и далее речь идет об уравнении для функции тока). Преобразование Крокко представляет собой преобразование, в котором в качестве новой независимой переменной выбирается частная производная первого порядка, а в качестве новой зависимой переменной — частная производная второго порядка. До сих пор область применимости преобразований Мизеса и Крокко в основном ограничивалась теорией пограничного слоя. В данном докладе показано, что область применимости преобразований Мизеса и Крокко существенно шире: эти преобразования с успехом можно использовать для анализа многих других классов нелинейных уравнений математической физики. Описаны широкие классы нелинейных уравнений математической физики и механики, содержащие смешанные производные, которые допускают понижение порядка с помощью Родионов А. А., Краснова Д. А. 35 преобразований Мизеса и Крокко. Построены RF-пары и соответствующие преобразования Беклунда, связывающее эволюционные уравнения общего вида (которые как частные случаи включают в себя уравнения типа Бюргерса, Кортевега — де Фриза, Гарри Дима и многие другие нелинейные уравнения математической физики). Получены новые классы точных решений уравнений Навье — Стокса, уравнений Эйлера и уравнений пограничного слоя. Рассмотрено обобщенное уравнение Калоджеро и ряд других новых интегрируемых нелинейных уравнений математической физики (решение этих уравнений можно выразить в квадратурах или через решения линейных дифференциальных или интегральных уравнений). В частности, доказана интегрируемость следующих нелинейных уравнений ut ut ut ut = a(u−2 ux )x + [f (x)/u]x , = a(u−3 ux )xx + b, = a(u−3 ux )xx + b(u−2 ux )x , = au3/2 (u1/2 uxx )xx . Здесь первое, третье и четвертое уравнения сводятся к линейным уравнениям, а второе уравнение — к уравнению Кортевега — де Фриза. Доказательство интегрируемости указанных уравнений основано на применении к эволюционному уравнению общего вида wt = s(t)zwz + F (t, w, wz , wzz , . . . , wz(n) ) преобразования Мизеса (t, z, w =⇒ t, w, θ = wz ) с последующей конкретизацией функций s и F и дополнительном точечном преобразовании. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00553, 08-08-00530, 09-01-00343). ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ОДНОЙ МОДЕЛИ ТЕРМОДИФФУЗИИ С УРАВНЕНИЯМИ В ИНВОЛЮЦИИ А. А. Родионов1 , Д. А. Краснова2 1 2 Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Сибирский федеральный университет, Красноярск Основу рассматриваемой модели термодиффузии несжимаемой бинарной смеси жидкостей составляет система уравнений Навье — Стокса с учетом сил плавучести, дополненная уравнениями тепло- и массопереноса. Движение смеси описывается системой уравнений 1 du = − ∇p + ν∆u + R(θ, p, c)g, dt ρ0 div u = 0, (1) dθ dc = χ∆θ, = D(∆c + α∆θ), dt dt где d/dt = ∂/∂t + u · ∇; u — вектор скорости; p — давление; θ — температура среды; c — концентрация легких компонентов; g = (0, 0, −g) — вектор массовых сил; ν — кинематическая вязкость; χ, D, α — коэффициенты температуропроводности, диффузии и Соре; R(θ, p, c) — функция, определяющая силу плавучести. Система уравнений (1) дополняется дифференциальными следствиями по x, y, z, t первых четырех уравнений (div u)x = 0, (div u)y = 0, (div u)z = 0, (ux )2 + (vy )2 + (wz )2 + 2(uy vx + vz wy + wx uz ) + (div u)t = 0, 1 ∆p + Rz = 0 ρ0 (2) Ройтенберг Е. Я. 36 Уравнения (1), (2) находятся в инволюции. Решена задача групповой классификации по функции R(θ, p, c) уравнений (1) вместе с (2). Получено ядро основной алгебры Ли операторов при произвольном выборе функции R и спецификации функции, при которых ядро алгебры Ли расширяется. Проведено сравнение с результатом групповой классификации, проведенной в [1] только для системы (1). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-01-00762) и Междисциплинарного интеграционного проекта № 65 СО РАН. Список литературы 1. Родионов А.А., Степанова И.В. Групповая классификация уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. №. 5. С. 61–69. ОЦЕНИВАНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Е. Я. Ройтенберг Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Пусть E — банахово пространство, R — нормированное кольцо линейных ограниченных операторов, отображающих E в себя. Рассмотрим дифференциальное уравнение x0 = (A(t) + Ξ(t))x + ϕ(x, t) + p1 (t), x(t0 ) = x0 ∈ Bρ (ζ0 ), t ∈ T = [t0 , ∞). (1) Здесь x(t) — неизвестное решение уравнения (1, которое предполагается непрерывно дифференцируемой вектор-функцией со значениями из E; A(t) — равномерно ограниченная и непрерывная (в смысле нормы операторов) оператор-функция со значениями из R; Ξ(t) — неизвестная непрерывная оператор-функция со значениями из R такая, что ||Ξ(t)|| ≤ k3 ; ϕ(x, t) — непрерывный по t нелинейный оператор, определенный на произведении E × T со значениями из E, удовлетворяющий для любых ζ и x из E условию Липшица с постоянной q: ||ϕ(ζ, t) − ϕ(x, t)|| ≤ q||ζ − x||; p1 (t) — неизвестная непрерывная вектор-функция со значениями из E такая, что ||p1 (t)|| ≤ k1 ; x0 — постоянный вектор; Bρ (ζ0 ) — шар радиуса ρ с центром в точке ζ0 . Вектор x0 неизвестен, но известна вектор–функция y(t) со значениями из E, y(t) = (C(t) + Φ(t))x(t) + p2 (t). Здесь p2 (t) — неизвестная непрерывная вектор-функция из E такая, что ||p2 (t)|| ≤ k2 ; Φ(t) — неизвестная непрерывная оператор-функция со значениями из R такая, что ||Φ(t)|| ≤ k4 ; C(t) — равномерно ограниченная и непрерывная оператор-функция со значениями из R. Существования оператор-функции C −1 (t) не предполагается. На основе развития идей из [1] предложен метод построения дифференциального уравнения с полностью известными параметрами, осуществляющего оценивание решения уравнения (1). Полученные результаты применимы при исследовании динамических систем в отсутствие какого-либо статистического описания погрешностей эксперимента: ошибок измерений в канале наблюдения, возмущений в динамике объекта, ошибок в задании априорной информации о его начальном состоянии. Сахауева М. А. 37 Список литературы 1. Ройтенберг Е. Я. О моделируемости дискретных динамических систем в условиях неопределенности. Материалы IX международного семинара “Дискретная математика и ее приложения” (Москва, 18–23 июня 2007 г.). М.: Изд–во механико–математического факультета МГУ, 2007. — С. 117–120. ОБ ОДНОЙ ОДНОМЕРНОЙ ВЫРОЖДЕННОЙ ЗАДАЧЕ МАСКЕТА — ВЕРИГИНА М. А. Сахауева Институт математики Министерства образования и науки Республики Казахстан, Алматы Пусть p1 (x, t) и p2 (x, t) — давление жидкости в области (0, α(t)) и (α(t), b) соответственно, ΓT = { (x, t) | x = α(t), t ∈ [0, T ] } — свободная граница. Требуется найти функции p1 (x, t), p2 (x, t), α(t), удовлетворяющие следующим условиям: L1 p1 (x, t) = f1 (x, t), 0 < x < α(t), t ∈ (0, T ), (1) L2 p2 (x, t) = f2 (x, t), α(t) < x < b, t ∈ (0, T ), (2) α(0) = α0 , (3) p1 (x, 0) = p01 (x), 0 < x < α0 , (4) p2 (x, 0) = p02 (x), α0 < x < b, (5) p1 (0, t) = q1 (t), p2 (b, t) = q2 (t), t ∈ [0, T ], (6) p1 = p2 + g(x, t), на ΓT , λ1 (x, t)∂x p1 + g1 (x, t) = λ2 (x, t)∂x p2 + g2 (x, t) = 0, (7) на ΓT , (8) где Lm (x, t, ∂x , ∂t ) = ∂t − am (x, t)∂x2 − bm (x, t)∂x − cm (x, t), m = 1, 2 — параболический оператор второго порядка. Известна задача Маскета — Веригина, описывающая процесс фильтрации жидкости в пористой среде. В этом случае вместо условия (8) рассматривается условие вида λ1 (x, t)∂x p1 + g1 (x, t) = λ2 (x, t)∂x p2 + g2 (x, t) = −κ∂t α (κ > 0). Задача (1)–(8) представляет собой вырожденную задачу Маскета — Веригина (κ = 0). Это нелинейная двухфазная задача фильтрации со свободной границей. Доказана теорема существования и единственности решения задачи (1)–(8) в весовых пространствах Гельдера Csl (QT ), введенных В.С. Белоносовым [1], в малом по времени, а также установлены оценки решения. Список литературы 1. Белоносов В. С., Зеленяк Т. И. Нелокальные проблемы в теориии квазилинейных уравнений. Нововсибирск, 1975. Сидоров Н. А., Сидоров Д. Н. 38 НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА С ФРЕДГОЛЬМОВЫМ ОПЕРАТОРОМ В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ Н. А. Сидоров1 , Д. Н. Сидоров2 1 2 Иркутский государственный университет Институт систем энергетики им. Л.А.Мелентьева СО РАН, Иркутск Рассматривается уравнение Bu (n) = Au (k) + n−1 X (i) Ai u Zt K(t − s)g(s, u(s))ds + f (t) + i=0,i6=k (1) 0 в банаховых пространствах, B — фредгольмов оператор. Предполагается, что оператор B − λA обратим в проколотой окрестности 0 < |λ| < ε. Тогда определены проекторы P = (h·, γi, Φ), Q = (h·, ψi, z), порождаемые соответствующими полными A жордановыми наборами оператора B в [1]. Пусть при этом a) операторы B, A, Ai , (P, Q) – коммутируют: Ai Φ = Ai Z, A∗i Ψ = A0i γ, AΨ = AZ, A∗ Ψ = A0 γ, BΦ = BZ, B ∗ Ψ = B 0 γ и коллективно нильпотентные матрицы Ai , i = 1, n − 1/k, B размерности [N × N ], где N – размерность подпространств полных жордановых наборов, имеют индекс коллективной нильпотентности ν. b) K(t) и f (t) непрерывны, g(s, u) — непрерывное отображение, удовлетворяющее условию Липшица по u. Теорема. Пусть выполнены условия a), b), причем проекции Qf (t), QK(t) соответственно ν − 1 раз и ν − 2 раза дифференцируемы, QK (i) (t)|t=0 = 0, i = 0, n − 2. Тогда уравнение (1) с начальными условиями u(i) |t=0 = ui , i = 0, k − 1 (2) (I − P)(u(i) (0) − ui ) = 0, i = k, n − 1 (3) имеет в окрестности точки t = 0 единственное непрерывное решение. Подчеркивая роль оператора P в разрешимости задачи (1) начальную задачу (1)-(3) можно назвать P-задачей Коши. Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг., РФФИ 09-01-00377 и Минобрнауки (код проекта 111-02-000/7-05). Список литературы 1. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Dordrecht: Kluwer Ac. Publ., 2002. Шляхтич Е. Н., Казанцев В. П. 39 ОБ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ Ю. В. Шанько Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Рассмотрим двумерное уравнение распространения звука в неподвижной неоднородной среде [1] p p ptt y x + , (1) = ρc2 ρ x ρ y где ρ = ρ(x, y) > 0, c = c(x, y) > 0 — заданные функции. Будем искать функции u = u(t, x, y), q = q(t, x, y) такие, что p = uΦ(q) будет решением уравнения (1) при всех (достаточно гладких) функциях Φ. Соответствующие решения называют обобщенными функционально-инвариантными (ОФИ) [2]. ОФИ решения задают так называемые семейства относительно неискажающихся бегущих волн [3]. Функции u и q удовлетворяют переопределенной системе u u utt x y = + , ρc2 ρ x ρ y ut qt + (uqt )t ux qx uqx uy qy uqy = + + + , (2) ρc2 ρ ρ x ρ ρ y qt2 = qx2 + qy2 . c2 В работе предлагается подход, позволяющий свести систему (2) к переопределенной системе для функций от двух, а не трех независимых переменных, что значительно упрощает ее анализ на совместность. Приводятся примеры точных ОФИ решений уравнения (1). Работа выполнена в рамках Интеграционного проекта СО РАН № 103. Список литературы 1. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 2. Еругин Н. В., Смирнов М. М. Функционально–инвариантные решения дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. № 5. С. 853–865. 3. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ НА ПЛОСКОСТИ Е. Н. Шляхтич, В. П. Казанцев Сибирский федеральный университет, Красноярск Для электростатики на плоскости наиболее удобным математическим аппаратом служит комплексный анализ [1]. Теория функций комплексного переменного рассматривалась М.А. Лаврентьевым неразрывно с физическими представлениями [2]. Развитие ТФКП на Шляхтич Е. Н., Казанцев В. П. 40 основании физических представлений позволяет создавать новые методы решения важнейших практических задач. Так, методы ТФКП позволяют находить точные аналитические решения электростатических задач. Совместное применение вариационных методов и комплексного анализа к задачам электростатики позволяет разработать довольно эффективные методы решения. Данная работа посвящена разработке эффективных аналитических методов расчёта электрических полей и численной реализация этих расчётов. Для решения электростатических задач на плоскости наиболее удобно использовать комплексные переменные, при этом формулы являются универсальными и носят обобщающий характер. Так, чтобы решить целый класс задач о проводящем круге во внешних электрических полях [3], нам необходимо знать лишь комплексные потенциалы внешних полей. Причём ограничений на вид комплексного потенциала внешнего электрического поля нет. Следовательно, мы с лёгкостью можем решить задачи для незаряженного проводящего круга, находящегося в поле диполя (или нескольких диполей), в поле точечного заряда (или нескольких зарядов), в поле квадруполя, в мультипольном электрическом поле m-го порядка и др. Следует отметить, что также нетрудно получить энергетические и силовые характеристики полей. Наиболее перспективными приближенными методами расчета электростатических соотношений являются вариационные методы, основанные на вариационных принципах электростатики. Вариационные принципы Дирихле и Томсона являются дуальными принципами электростатики и позволяют, например, получать оценки сверху и снизу для матрицы емкостных коэффициентов. Причем для таких оценок, как правило, не требуется громоздких вычислений; получаемые зависимости имеют аналитическую форму, весьма удобную для практического использования. При разработке вариационных схем на плоскости удобно использовать комплексную форму представления электростатических соотношений. Главной проблемой реализации вариационных принципов является построение пробных (аппроксимирующих) полей. Их выбор имеет свои особенности для каждого типа задач. В данной работе пробные поля выбираются в виде потенциалов, создаваемых суперпозицией точечных мультиполей или суперпозицией экранированных точечных мультиполей. Следует также отметить, что при использовании вариационных методов мы можем оценивать точность полученных результатов, которая зависит от выбора вида потенциалов аппроксимирующих полей. Так аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных зарядов и экранированных точечных мультиполей позволяет вычислить емкостные и потенциальные коэффициенты различных систем проводников, например, оценить ёмкость системы, состоящей из проводящего эллипса и лежащего вне области эллипса проводящего круга. Весьма любопытным результатом является то, что использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом даёт возможность представить математическую задачу о нахождении корней многочленов как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала [4]. Вариационная схема расчёта корней многочлена основана на аппроксимации электрического поля зарядов проводника полями точечных мультиполей. Простейшими примерами являются аппроксимация поля зарядов проводящей прямой полями точечных диполей (или точечных зарядов) либо аппроксимация поля зарядов проводящего круга полями точечных диполей (или точечных зарядов). Интересные результаты были получены и при решении задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях [5]. Нами было получено и представлено в комплексных переменных решение задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях с помощью аппарата характеристических мультиполей. Рассмотрены как общая схема решения задачи, так и конкретные примеры. Построены комплексные функции Грина для внешней и внутренней областей эллипса. В решении использовалось конформное отображение внешней к эллипсу области на область, внешнюю к окружности. В процессе решения этих задач оказалось целесообразно ввести такие понятия как мнимый заряд и эллипс сходимости. Интересен Яковенко Г. Н. 41 также эффект рождения точечной особенности в распределении эквивалентных зарядов. Обоснованные теоретически методы расчёта электрических полей могут применяться в дальнейшем при практических расчётах в радиофизике и радиоэлектронике. Существенно, что некоторые результаты представленных научных исследований представляют интерес для курсов математической физики и электродинамики. Список литературы 1. Казанцев В. П. Аналитическая электростатика на плоскости - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2008. - 782 c. 2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1965. - 740 с. 3. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Проводящий круг во внешнем электрическом поле // Вестник КрасГУ. 2006. №1. с. 21–25. 4. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Задача о корнях многочленов как обратная задача электростатики // Вестник КрасГУ. 2006. №9. с. 16–20. 5. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Характеристический мультиполи эллипса и решение задачи о прводящем эллипсе во нешних электрических полях // Журнал Сибирского федерального университета. 2009, том 2, №4, с. 410–425. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ Г. Н. Яковенко Московский физико-технический институт (государственный университет) Рассматриваются системы с управлением [1] ẋ = ϕ(t, x, u(t)), t ∈ R1 , x ∈ Rn , u ∈ U ⊂ Rm , (1) точка обозначает производную по t, u(t) — управляющие воздействия, которые могут быть достаточно произвольными функциями переменной t. Системы вида (1) занимают промежуточное положение между уравнениями с частными производными и обыкновенными дифференциальными уравнениями [2]. Системы с управлением (1) наследуют от уравнений с частными производными проблематику краевых задач. Система (1) называется управляемой [1], если для любых двух состояний — начального x0 и конечного x1 — найдётся решение {x(t), u(t)}, для которого в некоторые моменты времени t0 и t1 ≥ t0 выполняется x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 . Например, для линейных неавтономных систем с одним управлением ẋ = A(t)x + b(t)u, t ∈ R1 , x ∈ Rn , u ∈ R1 . (2) критерием управляемости при отсутствии ограничений на значение управления является условие [1, 3] det ||b1 (t) b2 (t) · · · bn (t)|| = 6 0, (3) где определяющие матрицу столбцы bk (t) вычисляются следующим образом (см. (2)): b1 (t) = b(t), b2 (t) = b˙1 − Ab1 (t), . . . , bk+1 (t) = b˙k − Abk (t), . . . При условии (3) управление u(t, t0 , t1 , x0 , x1 ) вычисляется вполне определённым образом [1, 3]. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-00217) и АВЦП РНПВШ 2009–2010 гг. (проект 2.1.1/3604). Яковенко Г. Н. 42 Список литературы 1. Яковенко Г. Н. Теория управления регулярными системами. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 264 с. 2. Яковенко Г.Н. Системы с управлением — недостающее звено между уравнениями в частных производных и обыкновенными дифференциальными уравнениями. // “Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике”. Тезисы докладов VI Международной конференции, посвящённой 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева. 27–31 мая 2005 года. Новосибирск, 2005. С. 124–125. 3. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с. Bizhanova G.I. 43 Математические проблемы механики сплошной среды. Задачи со свободными границами. Численный эксперимент ON A CLASSICAL SOLVABILITY OF A FREE BOUNDARY PROBLEM ARISING IN A COMBUSTION THEORY G.I.Bizhanova Institute of Mathematics of the Ministry of Education and Sciences of Republic of Kazakhstan, Almaty, Kazakhstan Let Ω ⊂ Rn , n ≥ 2, be a bounded domain, ∂Ω := Γ, Ω(t), t ∈ (0, Tn), be a domain in Rn with a boundary γ(t) such that γ(0) ≡ Γ, Ω(0) ≡ Ω. We denote QT = (x, t) : x ∈ Ω(t), t ∈ o (0, T ) ΓT = Γ × [0, T ]. Consider the problem with unknowns u(x, t) and a free boundary γ(t) ∂t u − a ∆u = 0 in QT , γ(t)t=0 = Γ, ut=0 = u0 (x) in Ω, (1) u = 0, |∇u| = 1 on γ(t), t ∈ (0, T ), (3) (2) where a–positive constant, ∂t = ∂/∂t, ∇ = (∂x1 , . . . , ∂xn ). This problem was considered by Caffarelli L.A., Vázquez J.L., Daskalopoulos P., Lee K.-A., l, l/2 Petrosyan A. and others. We study the problem in the Hölder space Cxt (Q̄T0 ), l —positive noninteger. Let Γ ∈ C 2+α , α ∈ (0, 1), then for small time t ∈ [0, t0 ] the surface γ(t) may be represented by the equation [1], [2] x = ξ + ρ(ξ, t) N (ξ), ξ = ξ(x) ∈ Γ, t ∈ [0, t0 ], where ρt=0 = 0, N (ξ) = (N1 , . . . , Nn ) is a unit vector field determined on Γ and such that N (ξ) ∈ C 2+α (Γ; Rn ), ν0 (ξ) N T (ξ) ≥ d1 =const> 0, ν0 (ξ) — unit normal to Γ, N T — vector-row, ν0 (ξ) N T (ξ) — scalar product. Theorem 1 Let Γ ∈ C 2+α every function u0 (x, t) ∈ C 2+α , α ∈ (0, 1). For (Ω̄) satisfying the compatibility conditions u0 Γ = 0, |∇u0 (x)| Γ = 1, and the condition |∂ν0 u0 |Γ ≥ d2 , d2 = const > 2+α,1+α/2 0, there exists T0 > 0 such that the problem (1)–(3) has a unique solution u(x, t) ∈ Cxt (Q̄T0 ), 2+α,1+α/2 ρ(ξ, t) ∈ Cxt (ΓT0 ) and an estimate for it is fulfilled (2+α) |u|Qt (2+α) + |ρ|Γt (2+α) ≤ c|u0 |Ω , t ∈ [0, T0 ]. Here c is a positive constant. References 1. Bizhanova G.I., Solonnikov V.A. On the free boundary problems for the parabolic equations. Algebra i Analiz. 2000. V.12, №6. P.3–45. 2. Hanzawa E.I. Classical solutions of the Stefan problem. Tohoku Math. J. 1981. V.33, №3. P. 297–335. Chemetov N. V. 44 GENERALIZED KAUP — KUPERSHMIDT SOLUTION, STATIC SOLUTIONS AND BOUNDARY GENERATED SOLUTIONS — SOLUTIONS OF THE KdV AND HIGH ORDER KdV EQUATIONS I. Burde Georgy Jacob Blaustein Institutes for Desert Research, Ben-Gurion University, Israel The famous Korteweg — de Vries (KdV) equation discovered back in 1895 for waves on water arises in many physical contexts as an equation governing weakly nonlinear long waves when nonlinearity and dispersion are in balance at leading order. If higher order nonlinear and dispersive effects are of interest, then the asymptotic expansion can be extended to the higher orders in the wave amplitude which leads to the higher-order KdV equations. Some of those equations are generic, i.e. they can be derived, using physically meaningful asymptotic techniques, from very large classes of nonlinear PDE’s. The importance of exact solutions of the equations derived in the realm of perturbation methods comes from the fact that they may describe asymptotic limits of solutions of equations supposed to govern real systems. In this paper, new types of exact and explicit solitary wave solutions of the KdV and higherorder KdV equations are found using a direct method, designed specifically for constructing solitary wave solutions of evolution equations. The first type is the ’generalized Kaup — Kupershmidt’ (GKK) solitary waves [1], which unify the structures of the sech2 KdV-like soliton and the Kaup — Kupershmidt soliton and also provide solutions of some other equations. One of those equations is found to possess the multi-soliton solutions which makes it a good candidate for an equation integrable in terms of the GKK solitons. Another type of solutions expressed in terms of algebraic functions represents the steady-state localized structures which may be considered as (static) solitons. This view is based on the solutions describing interaction of those steady-state localized patterns with regular solitons. It is seen that the steady-state structures behave as solitons when they collide with regular solitons — their shape remains unchanged after the collision, only a phase (coordinate) shift is observed. Note that such solutions containing both hyperbolic and algebraic functions cannot be obtained by applying the popular “tanh”, “sinh” and so on methods. Some of the solutions obtained can be applied to the initial-boundary-value problem which arises naturally as a model whenever waves determined at an entry point propagate into a patch of a medium for which disturbances are governed approximately by the Korteweg — de Vries equation. Such a ’boundary generated’ solitons (solutions of a ’quarter-plane problem’) have received attention in the past being treated numerically or asymptotically. In the present paper, solutions both of the standard KdV equation and of the higher-order KdV equations, which describe solitons propagating from the boundary at which a constant value of the variable is maintained, are defined. References 1. Burde G. I. J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 085208 (13pp). BOUNDARY LAYER PROBLEM: NAVIER- AND EULER EQUATIONS N. V. Chemetov Centro de Matemática e Aplicaçőes Fundamentais, Lisbon We consider the Navier — Stokes equations in a 2D-bounded domain Ω ⊆ R2 vt + div (v ⊗ v) − ∇p = µ∆v, x ∈ Ω, t > 0, Chemetov N. V. 45 div v = 0, v(x, 0) = v0 (x), x ∈ Ω, admitting flows through the boundary ∂Ω of Ω v · n = a(x, t), x ∈ ∂Ω, t > 0, 2D(v)n · s + α(x, t)v · s = b(x, t). The last one are so-called Navier slip boundary conditions. Here v(x, t) — the velocity of the fluid; p(x, t) — the pressure; D(v) = 21 [∇v + (∇v)T ] — the rate-of-strain tensor of v; (n, s) — the pair formed by the outside normal and tangent vectors to the boundary Γ of Ω. The main result of our work: Under the viscous parameter µ → 0 we shown that the solutions vµ of the Navier — Stokes equations converge to the solution v of the Euler equations, satisfying the Navier slip boundary conditions on the part of the boundary ∂Ω where v · n = a < 0, such that vµ → v strongly in L∞ (0, T ; Wp1 (Ω)). This result solved a so-called problem of boundary layers. References 1. Chemetov N. V., Starovoitov V. N. On a Motion of a Perfect Fluid in a Domain with Sources and Sinks J. Math. Fluid Mechanics, 4, No. 2, 128–144 (2002). 2. Chemetov N. V., Antontsev S. N. Euler equations with non-homogeneous Navier slip boundary condition Physica D: Nonlinear Phenomena, 237, 1, 92–105 (2008). 3. Chemetov N. V., Cipriano F., Gavrilyuk S. Shallow water model for lakes with friction and penetration Mathematical Methods in the Applied Sciences, published online, (2009). NONLINEAR HYPERBOLIC – ELLIPTIC SYSTEMS N. V. Chemetov Centro de Matemática e Aplicaçőes Fundamentais, Lisbon We investigate a mixed hyperbolic-elliptic type system of PDEs in a bounded domain Ω ⊂ RN ωt + div (g(ω)v) = 0 with v = −∇h −∆h + h = ω. which is closed by the natural condition on the boundary ∂Ω of Ω h = a(x, t) and the initial condition ω|t=0 = ω0 (x) in Ω. Motivated by physics, on the influx part of ∂Ω, i.e. on 0 ∂Ω− (t) := {(x, t) : g ω(v · n)(x, t)) < 0}, Christov C. I. 46 we consider nonzero boundary condition ω = b(x, t, ∂h ). ∂n Here n is the outside normal to Γ. We prove the solvability of this system, using a kinetic formulation of the problem. The system can be used for different physical situations, such as a) the motion of superconducting vortices in the superconductor; b) the collective cell movement (the Keller — Segel model). References 1. Antontsev S. N., Chemetov N. V. “Flux of superconducting vortices through a domain SIAM Journal on Mathematical Analysis, 39, No. 1, 263–280 (2008). 2. Antontsev S. N., Chemetov N. V. Superconducting Vortices: Chapman Full ModelNew Directions in Mathematical Fluid Mechanics, Verlag Basel/Switzerland, Editors: Fursikov A. V., Galdi G., Pukhnachev V. V., 41–55 (2010). NONLINEAR CONTINUUM MECHANICS OF SPACE AND THE FRAME-INDIFFERENT (TRULY COVARIANT) FORMULATION OF ELECTROMAGNETISM C. I. Christov Department of Mathematics, University of Louisiana at Lafayette, USA We prove that, when linearized, the governing equations of an incompressible elastic liquid yield Maxwell’s equations as corollaries. The divergence of the deviator stress tensor is interpreted as the electric field, while the vorticity (the curl of velocity field) is interpreted as the magnetic field. Thus we establish that the electrodynamics can be fully explained as the manifestation of the internal stresses of a material space which we term the metacontinuum. Through judicious distinction between the referential (Lagrange) and local (Euler) descriptions, the principle of material invariance (frame indifference) is established and shown to be a true covariance principle, unlike the Lorentz covariance, which is valid only for non-deforming frames in rectilinear relative motion. The new nonlinear formulation of the electrodynamics incorporates the Lorentz force as an integral part of Faraday’s law, rather than as an additional empirical observable relation. We show that the Ampere-Oersted and Biot — Savart laws can be derived from the frame-indifferent modification of Maxwell’s displacement current. The material invariance of the model entails Galilean invariance as a limiting case. We propose a new concept in which the particles and charges are considered as localized nonlinear waves (solitons). They do not move through, but rather propagate over the surface of the metacontinuum. We show that a localized screw deformation possesses a topological charge and for all practical purposes can be interpreted as the charge. It is a well established fact in soliton theory that a propagating phase pattern is contracted in the direction of propagation by the Lorentz factor. This means that the Lorentz contraction is an intrinsic property of the proposed model without Lorentz Transformation. We address also the conundrum connected with the detectability of the absolute continuum. The phase-change concept of Michelson interferometer is unable, in principle, to detect the first-order Doppler effect, while the Lorentz contraction cancels exactly the secondorder. We reexamine the seminal experiment of Ives and Stilwell using a modified Bohr — Rydberg Finn R. 47 formula accounting for the motion of the emitting atom. We show that the results of Ives and Stilwell are fully compatible with the presence of an absolute medium, without assuming time dilation. Finally, we propose a new interferometry concept based on the beat frequency, which can produce results for the first-order Doppler effect, allowing detecting the relative speed with respect to the preferred frame. The model of space as an elastic continuum with relaxation (elastic Maxwell liquid) allows a reformulation of the electromagnetism in a truly covariant form: the new equations yield in the linear limit Maxwell’s equation, while their full nonlinear version is frame indifferent. Thus the new formulation is invariant in any non-inertial frame that can also deform during the motion. References 1. Christov C.I., On the Nonlinear Continuum Mechanics of Space and the Notion of Luminiferous Medium, Nonlinear Analysis, 71 (2009), e2028–e2044. FLOATING BODIES ON CAPILLARY INTERFACES R. Finn Stanford University, USA In classical capillarity theory one assumes a rigid ”support” surface (e.g., capillary tube) that is fixed in space, and one seeks to describe the surface of an adjacent liquid (into which one dips the tube), in accordance with governing physical laws. For the related problem of a body floating at a fluid interface endowed with surface tension, the relevant physical laws are the same, however neither the liquid surface nor the rigid support is at a fixed position in space, and each is subject to different kinds of constraints. Thus a new level of subtlety appears, and new procedures are needed to obtain useful information. The present work offers an initial step toward characterizing the configurations that can occur, in accordance with classical energy principles. Several specific problems are addressed, notably that of determining conditions under which a body whose density exceeds that of the ambient liquid will float or sink. In a downward gravity field, floating configurations yield in general local energy minima that are not global, as the energy can be made negatively unbounded by submerging the body to increasing depth. Both the (2-d) two dimensional case (an infinite cylinder floating horizontally) and also the 3-d case of a compact body are considered, in both cases under a convexity hypothesis. There are distinct differences in behavior. In 2-d the height h of the region |z| < h surrounding the undisturbed interface z = 0 is explicitly characterized, such that no floating cylinder can be disjoint from that set. This result is independent of cylinder shape or size, or of its composition. In 3-d one finds again such a (universal) set, however smaller objects are now shown to be restricted to regions closer to the level surface, reflecting physical experience. Again this result is explicit. In all cases it is shown that for suitable surface energy densities, floating configurations providing local energy minima that are not global can always be realized. In 3-d, surface energy relations are characterized under which any body, of any density, can be made to float by scaling it to smaller size. In general, bodies will not float freely in every orientation. Nevertheless, in 2-d for contact angle π/2 there is an infinity of distinct sectional shapes for which the cylinder can achieve floating equilibrium regardless of orientation. Representative such shapes are obtained explicitly. Noncircular sections with this property exist for at most a countable infinity of contact angles. The analogous question in 3-d leads to the quite different conclusion, that regardless of contact angle the only closed surface with such a property is a metric sphere. In both the 2-d and 3-d cases, Grebenev V. N. 48 it is shown that if the body is moved rigidly into the fluid from above, or out of the fluid from below, in any fixed orientation, the ambient fluid interface must change configuration discontinuously. Some of this work was joint with Mattie Sloss, and some was joint with Thomas Vogel. ON THE GEOMETRY OF THE CORRELATION SPACE FOR ISOTROPIC TURBULENCE V. N. Grebenev Institute of Computational Technologies SB RAS, Novosibirsk A new geometric view of homogeneous isotropic turbulence is contemplated employing the two-point velocity correlation tensor of the velocity fluctuations. We show that this correlation tensor generates a family of the so-called semi-reducible pseudo-Riemannian metrics. This enables us to specify the geometry of a singled out Eulerian fluid volume in a statistical sense and to introduce into the consideration the structure of a semi-reducible pseudo-Riemannian manifold on the correlation space. We expose the relationship of some geometric constructions with statistical quantities arising in turbulence. In particular, the formula that connects the Gaussian curvature K of the model manifold M constructed (which is realized as a surface of revolution) and the Taylor microscales λ2f (tc ) and λ2g(tc ) is given. Moreover, using the well-known relationship between turbulent √ length scales λg(tc ) = 10η 2/3 L1/3 where η (η = (ν 3 /ε)1/4 ) is the Kolmogorov length scale, L is the integral length scale characterizing the large eddies, ν denotes the viscosity and ε is the dissipation of turbulent energy, we establish that in the limit of infinite Reynolds numbers or vanishing the viscosity ν, the Gaussian curvature K of the cross-section of the model manifold M grows infinitely. It means that M has singular points which forms the so-called break circle where the manifold loses smoothness. Also, we indicate that the Riemann tensor Rm = (Rijkl ) contains only one essential component R1212 which do not vanish identically on the model manifold constructed. Hence this manifold cannot be transformed into the Euclidean plane even locally. Finally, we investigate how terms of this family of quadratic forms influence the length scales of turbulent motion and demonstrate that the action of the two-parametric scaling group admitted by the von Kármán-Howarth equation in the limit of infinite Reynolds numbers and the one-parametric scaling group in the case of finite Reynolds numbers on the semi-reducible pseudo-Riemannian manifold constructed leads to the conformal invariance of the corresponding manifolds. This work is the second paper of our series devoted to the geometric theory of isotropic turbulence [1]. This work was supported by IIP SB RAS (Grant No. 103). References 1. Grebenev V. N., Oberlack M. A geometric interpretation of the second-order structure function arising in turbulence. Math. Phys. Anal. Geom. 2009, V. 12. N 1. P. 1–18. Kolpakov A. G. 49 ROLE OF NON DEGENERATED JOINTS IN TRANSPORT IN FRAMEWORKS A. G. Kolpakov Cassino University, Italy The problem of joint of structural elements traditionally attracted attention of engineers due to the important role of the joints in industry. In fact, they often determine the (mechanical, thermal, electrical, etc.) strength of structures and devices. In the last decades, the problem of joint attracted attention of mathematicians, see, e.g., [1, 2, 3]. The most of researches accepted ideal geometry and material inhomogeneity of the joints. These conditions are restrictive for practice (we remind that the basic types of joints: bolted, riveted and welded are inhomogeneous and have complex geometry). Now, there exists an interest to joint of molecular structures, e.g., nanotubes, which have significantly nonhomogeneous structure [4]. The analysis of joint of relatively complex shape was carried out for so called notched rods and beams. Paper [5] analyzes the general case of rods (beams) with local perturbation of diameter (but not with inhomogeneities, for example, holes). It predicts a nontrivial joint condition for degenerated joints (for example, if joint has thickness more less than the thickness of the rods, see also [6]). Our paper concerns joints which have dimension compared with the thickness (diameter) of rods and material properties of the elements of the joint are different not strongly. We refer such joints as normal type joints to separate them from joints with deep notches [5, 6] and joints on the basis of soft glue layers [7] (which we referred as degenerated joints). The results can be formulated in the form of two items: 1. The joints of normal type do not influence the property of the framework (in other words, singularities related to the joints do not manifest themselves on global level). 2. Since the joints do not manifest themselves on the global level, all the specific of the joints can be observed on the local level. Then, we pay attention to local field in and near joint. We show that the computation of this field is reduced to solution for an infinite rod subjected to uniform overall field. Since in the case under consideration strong localization of the perturbation of the local field [7] takes place, the infinity means, in accordance with our numerical computations, about 5 (maximum 10) diameters of the rod or periodicity cells. Thus, our method is easy realized with standard FEM software and it can be used in practice. The research was supported through Marie Curie actions FP7, project PIIF2-GA-2008-219690. References 1. G.P. Ciarlet. Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures: An Asymptotic Analysis. Springer, Heidelberg, 1990. 2. H. Le Dret. Problémes Variationnels dans les Multi-Domaines. Modélisation des Jonctions et Applications. Masson, Paris, 1991. 3. A. Gaudiello, B. Gustafsson, C. Lefter and J. Mossino. Asymptotic Analysis of a Class of Minimization Problems in a Thin Multidomain. Calc. Var. 2002. vol. 15. N 2. p. 181–201. 4. M. Meyyappan (ed). Carbon Nanotubes: Science and Applications. CRC Press, Boca Raton, FL, 2004. 5. E. Cabib, L. Freddi, A. Morassi and D. Percivale. Thin notched beams. Vol. 64. p. 157–178. J. Elasticity. 2001. Kuibin P. A., Sharypov O. V. 50 6. J. Casado-Diaz, M. Luna-Laynez and F. Murat. The diffusion equation in notched beam. Calc. Var. 2008. vol. 31. p. 297–323. 7. A.A. Kolpakov and A.G. Kolpakov. Capacity and Transport in Contrast Composite Structures: Asymptotic Analysis and Applications. CRC Press, Boca Raton, FL, 2010. DISSIPATION-INDUCED INSTABILITIES IN FINITE- AND INFINITE-DIMENSIONAL SYSTEMS R. Krechetnikov, J. Marsden University of California, USA In this talk a joint work with Jerrold Marsden on a coherent theory of the counter-intuitive phenomena of dynamical destabilization under the action of dissipation is presented. While the existence of one class of dissipation-induced instabilities in finite-dimensional mechanical systems was known to Sir Thomson (Lord Kelvin), until recently it has not been realized that there is another major type of these phenomena hinted by one of theorems due to Russian mechanician Merkin; in fact, these two cases exhaust all the generic possibilities in finite dimensions. We put the main theoretical achievements in a general context of geometric mechanics, thus unifying the current knowledge in this area and the multitude of relevant physical problems scattered over a vast literature. Next we develop a rigorous notion of dissipation-induced instability in the infinite-dimensional case, which inherent differences from classical finite degree of freedom mechanical systems make uncovering this concept more intricate. In building this concept of dissipation-induced instability we found Arnold’s and Yudovich’s nonlinear stability methods, for conservative and dissipative systems respectively, along with some new existence theory for solutions to be the essential ingredients. As a paradigm and the first infinite-dimensional example to be carefully analyzed, we use a twolayer quasi-geostrophic beta-plane model, which describes the fundamental baroclinic instability in atmospheric and ocean dynamics. STRUCTURE OF FILM FLOW OVER PLATE WITH MOVING LOCAL HEAT SOURCE P. A. Kuibin, O. V. Sharypov Kutateladze Institute of Thermophysics, SB RAS, Novosibirsk Novosibirsk State University The work is devoted to theoretical study of the structure of gravity-driven liquid film flow in the presence of local heating by moving heat source. The film is supposed to be thin, and longwave approximation is used. The novelty of the problem statement is that both heat source motion and gravity-driven flow are taken into account. Unlike the previous works [1, 2], the temperature distribution at the free surface is unknown and the conjugate hydrodynamic and heat steady-state problem is solved under constant heat release and uniform temperature at the heater. The hydrodynamic part of the problem was reduced to equation for film thickness in the accompanying frame [1, 2], which takes into account following factors: capillary, hydrostatic, thermocapillary, mass and inertia forces. This equation together with energy equation was solved numerically using finite-difference approximation and iteration method. As a result of numerical modeling it is shown that the changing of velocity profile (heat source velocity increase with slope Lavrenteva O. M., Rosenfeld L., Nir A. 51 Fig. 1: The influence of heat source velocity on film deformation under constant flow rate, film thickness and heat release. angle decrease under other equal conditions: fixed flow rate, film thickness and heat release) leads to dramatic amplification of thermocapillary deformation of the film, see Fig. 1. The work was supported by RFBR (project No. 09-01-00765-а) and by Ministry of Education and Science of Russian Federation (Program “Development of high school scientific potential”, projects No. 2.2.1.1/1269, 2.1.2/1270, and Federal Target Program “Scientific and scientific-teaching personnel of innovation Russia”). References 1. Sharypov O. V., Kuibin P. A. Thermal-wave-induced vorticity in a liquid film. Technical Physics Letters. 2008. Vol. 34. No. 10. P. 848–850. 2. Sharypov O. V., Kuibin P. A. Heat-wave induced vortex in a thin liquid layer. International Review of Chemical Engineering. 2009. Vol. 1. No. 2. P. 158–163. MOTION AND DEFORMATION OF PARTIALLY ENGULFED COMPOUND DROPS O. M. Lavrenteva, L. Rosenfeld, A. Nir TECHNION — Israel Institute of Technology Two-phase hybrid drops, which are comprised of immiscible phases, occur in various natural and technological processes and environments, e.g. the atmosphere, liquid membranes and liquid bilayers, direct contact heat transfer and phase separation processes. One phase of such an aggregate is completely or partially engulfed by the other one. A compound drop with partial engulfment has three interfaces between the components of the aggregate and facing the ambient fluid. At equilibrium, all three interfaces are segments of spheres. The angles at the three-phase contact line are determined solely by the ratios of the interfacial tensions, and the resulting configuration of the aggregate depends on the relative volumes of the drop’s components. Exact analytical solutions describing creeping motion of such a hybrid drop in an infinite viscous domain under the influence of Marangoni effect due to various temperature distributions are constructed in [1] and [2]. However, when the drop moves in a non-isothermal ambient medium, the interfaces are deformed due to viscous stresses and to the non-homogeneous surface tension. We assume that the surfaces deform as the drop moves through the ambient fluid, and consider the deformation Naumov I.V., Okulov V. L., Sorensen J. N. 52 making use of perturbation method. It is assumed that the capillary numbers associated with all 3 interfaces are relatively small, and thus, corrections of the solutions obtained in the undeformable case, can be constructed making use of a regular perturbation technique. The problem is reduced to a 6-th order system of ordinary differential equations with four boundary and two integral conditions, the latter reflecting conservation of mass for the two phases comprising the drop. Results concerning the axisymmetric deformation of drops undergoing Marangoni migration are presented for a variety of the physical parameters involved, such as viscosity ratios, initial configuration of the compound drop and temperature dependence of the surface tension of each interface. The cases of spontaneous thermocapillary migration and the motion in an externally imposed temperature gradient are considered. For the latter case the evolution of the interface of the drop propagating to hotter region is taken into account, while for spontaneous migration, the deformations are steady. References 1. Rosenfeld L., Lavrenteva O. M., Nir A. Thermocapillary motion of hybrid drops. Phys Fluids 2008. V. 20, 072102. 2. Rosenfeld L., Lavrenteva O. M., Nir A. On the thermocapillary motion of partially engulfed compound drops. J. Fluid. Mech. 2009. V. 626, pp. 263–289. MULTIHELIX VORTEX BREAKDOWN I.V. Naumov1 , V. L. Okulov1,2 , J. N.Sorensen2 1 2 Institute of Thermophysics, SB RAS, Novosibirsk, Russia Department of Mechanical Engineering, DTU, Lyngby, Denmark Vortex breakdown is a phenomenon inherent to many practical tasks of wing and rotor aerodynamics, because for example the tip vortex breakdown influences strongly on its lift and performance. The breakdown of these vortices is associated with an abrupt deceleration of the axial velocity on the vortex axis which sometimes develops to a recirculation zone. The two predominant breakdown configurations over delta wing, the bubble and the spiral, were first identified by Lambourne & Bryer [1]. Now seven forms of vortex breakdown have been identified, and only one of them — the double helix represents stable multiple form though the stability theory of the equilibrium array from helical vortices predicts an stable existence of doublet, triplet, and other multiplets from the helical vortices (with number N<7) [2, 3]. Visualization of double, triple and quadruple modes of vortex breakdown. Here we report experimental observations of new multiple helix forms of vortex breakdown which have been discovered in the flow in cylindrical container with a rotating endwall. On the Okulov V. L., Sorensen J. N. 53 basis of the recent solution of the Kelvin’s problem on stability of vortex polygons for helical vortices and idea to look the multiple vortex breakdowns for flows where the stable helical multiples may exist, we identified the well-known double helix mode and new stable forms: triple and quadruple helix modes of the vortex breakdown which was identified by two different type of visualization on two different setups and supported by PIV and LDA measurements. This work was supported in part by “Rosobrazovanie” (project no. 2.1.2/1270) and “Rosnauka” (contract no. 5099). References 1. Lambourne NC, Bryer DW. The bursting of leading-edge vortices. Aeronautical Research Council, R and M 3282, 1961 2. Okulov V. L. On the stability of multiple helical vortices // JFM, 2004. V. 521. p. 319–342. 3. Okulov V.L., Sorensen J.N. Stability of helical tip vortices in a rotor far wake // JFM. 2007. V. 576, p.1–25. OPTIMAL ROTORS by JOUKOWSKY and BETZ V. L. Okulov1,2 , J. N. Sorensen2 1 2 Institute of Thermophysics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia Department of Mechanical Engineering, DTU, DK-2800 Lyngby, Denmark In the history of rotor aerodynamics two ’schools’ have dominated the conceptual interpretation of the optimum rotor. In Russia, Joukowsky [1] defined the optimum rotor as one having constant circulation along the blades, such that the vortex system for an N -bladed rotor consists of N helical tip vortices of strength Γ and an axial hub vortex of strength −N Γ. A simplified model of this vortex system can be obtained by representing it by rotating horseshoe vortices (Fig.1, left). The other school, which essentially was formed by Prandtl and Betz [2], assumed that optimum efficiency is obtained when the distribution of circulation along the blades generates a rigidly helicoidal wake that moves in the direction of its axis with a constant velocity. Betz used a vortex model of the rotating blades based on the lifting-line technique of Prandtl in which the vortex strength varies along the wingspan (Fig. 1, right). Fig. 1. Sketch of the vortex system corresponding to lifting line theory of the ideal propeller of Joukowsky (left) and Betz (right) Fig. 2. Power coefficient, CP , of an optimum rotor as function of axial interference factor a and number of blades referred to the number on the curves. Rotor Joukowsky (left), rotor Betz (right) On the basis of both concepts new analytical solution of the aerodynamic optimization models is developed for rotors with a finite number of blades. In the presentation for the first time, we show complete analytical solutions of both models as applied to wind turbines and compare the rotor efficiency (Fig. 2). This work was supported in part by “Rosobrazovanie” (project no. 2.1.2/1270) and “Rosnauka” (contract no. 5099). Scolan Y. -M. 54 References 1. Joukowsky N. E. Vortex theory of screw propeller, I-IV. Moskow, 1912–1918. 2. Betz A. Schraubenpropeller mit Geringstem Energieverlust. Dissertation, Gottingen, 1919. METHOD OF FUNDAMENTAL SOLUTIONS APPLIED TO HIGHLY NONLINEAR FREE SURFACE FLOWS Y. -M. Scolan Ecole Centrale, Marseille, France The Method of Fundamental Solutions (MFS as introduced by Kupradze and Aleksidze, 1963), is applied to highly nonlinear free surface flows. We simulate the so-called flip-through phenomenon as described by Cooker and Peregrine (1990). This phenomenon is known as a rapidly focusing wave without impact of liquid. It leads to high loads and rapid kinematics over a short duration. A parametric study shows that flip-through occurs at the transition between two standard wave configurations while wave arrives at a vertical wall: a run-up without overturning crest on one hand and an air pocket with overturning crest on the other hand. In between there is a configuration where the free surface has a parabolic shape with almost equal run-up velocity and velocity at the crest. Then the free surface flips and the local curvature changes sign. Subsequently a jet is formed and the fluid acceleration may reach thousands time the gravity while pressure can reach forty times the hydrostatic pressure, as shown by Bredmose et al. (2009). The main characteristics of the flip-through phenomenon are simulated in the present work. In particular it is shown that the peak of acceleration preceeds the peak of pressure. Cooker (2009) shows from a local asymptotic analysis an inverse chronology. This study is also a way to assess the ability of MFS to solve boundary value problem with a highly distorted free surface. Conservation laws (energy and mass) are discussed in terms of the desingularizing distance and some additive function of time to the velocity potential. The latter parameter has a strong influence on the accuracy and the conditioning of the linear system to be solved. Recommendations to fix these parameters are given depending on the application cases. References 1. Kupradze V. D. & M. A. Aleksidze, 1963, An approximate method of solving certain boundaryvalue problems, Soob. Akad. Nauk Gruzin. SSR 30, p.529–536. 2. Cooker M.J. and D.H. Peregrine, 1990, A model of breaking wave impact pressures. Proc. 22nd Conf. Coastal Engineering, Holland ASCE, p.1473–1486. 3. Cooker M.J., 2009, The flip-through of a plane inviscid jet with a free surface. To appear in Journal of Engineering Mathematics,. 4. Bredmose H., A. Hunt-Rabi, R. Jayaratne and G. N. Bullock, The ideal flip-through impact: experimental and numerical investigation, J Eng Math, in press DOI 10.1007/s10665-009-93543. Адмаев О. В. 55 ПОИСК ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖУЩЕЙСЯ СТЕНКИ ДЛЯ УСТРАНЕНИЯ ОТРЫВА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Д. Ф. Абзалилов, Р. А. Валитов, Н. Б. Ильинский НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева, Казань При отрывном обтекании крылового профиля с целью устранения отрыва на поверхности крыла могут располагаться устройства активного управления пограничным слоем (ПС) [1, 2]. В настоящей работе в качестве такого устройства выбрана движущаяся стенка. Поставлена и решена задача нахождения оптимальных параметров этой стенки, при которых достигается безотрывное обтекание и минимум целевой функции – результирующего коэффициента сопротивления. Параметрами задачи являются положение движущейся стенки на поверхности крыла, длина и скорость движения. Под результирующим коэффициентом сопротивления понимается сумма коэффициента сопротивления трения крылового профиля и эквивалентного коэффициента энергетических затрат на работу устройства активного управления ПС. Аэродинамические расчеты турбулентного обтекания крылового профиля с движущейся стенкой проведены с использованием неявной схемы решения уравнений ПС на адаптивной сетке [3]. Задача оптимизации решена с использованием метода штрафных функций [4]. Проведена серия расчетов для крылового профиля NASA 0012, обтекаемого с отрывом при угле атаки α. Приведены оптимальные значения искомых параметров, сделаны выводы о влиянии этих параметров на энергетические затраты и на сопротивление трения крылового профиля. Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 годы (гос. контракт №П1124). Список литературы 1. Чжен П. Управление отрывом потока. М.: пер. с англ., Мир, 1979. 2. Mohamed Gad-el-Hak. Flow Control: Passive, Active, and Reactive Flow Management. Cambridge University Press, 2007. 3. Абзалилов Д.Ф., Валитов Р.А., Ильинский Н.Б.Об управлении пограничным слоем с учетом энергетических затрат для предотвращения отрыва потока. Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 49, № 12, с. 2255–2264, 2009. 4. Bazaraa M., Sherali H., Shetty C. Nonlinear programming: theory and algorithms. 3rd Ed. New Jersey: John Wiley & Sons Inc., 2006. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ОБОБЩЕНИЯ РЕШЕНИЯ БИРИХА О. В. Адмаев Сибирский федеральный университет, Красноярск Предлагается обобщение решений Бириха [1] на трехмерный нестационарный случай, которое будем интерпретировать как течения вязкой теплопроводной жидкости в горизонтальной трубе с сечением Ω, вызванные неравномерным нагревом ее поверхности [2]. Процесс можно описать системой уравнений в безразмерных величинах ut + λ(uux + υuy ) = −qx + ∆2 u + θ, Акимов С. В., Грешилов А. Г. 56 υt + λ(uυx + υυy ) = −qy + ∆2 υ, wt + λ(uwx + υwy ) = −x + ∆2 w, ux + υy = 0, Pr θt + λ Pr(uθx + υθy ) − w = ∆2 θ, где u, υ, w — компоненты вектора скорости, θ — температура, λ = Pr Gr2 , Gr — число Грасгофа, Pr — число Прандтля. Начально-краевая задача заключается в определении решения u, υ, w, q, θ системы в области QN = {x, y, t : (x, y) ∈ Ω, 0 < t < N }, удовлетворяющего начальным условиям u = u0 (x, y), υ = υ0 (x, y), w = w0 (x, y), θ = θ0 (x, y) при {x, y, t : (x, y) ∈ Ω, t = 0} ; условиям прилипания для скоростей u = υ = w = 0 при n o X (x, y) ∈ = ∂Ω, t ∈ (0, N ) ; условиям для температуры X X ∂θ = a(x, y, t), (x, y) ∈ , t ∈ (0, N ) или θ = b(x, y, t), (x, y) ∈ , t ∈ (0, N ). ∂n В работе определяется численное решение нелинейной нестационарной задачи в терминах “функция тока – вихрь” для области Ω, представляющей собой квадрат |x| ≤1, |y| ≤1 с теми же начальными и граничными условиями, что и в задаче для единичного круга, рассмотренной в [2, 3]. Для решения нестационарных уравнений на n+1 временном слое используется явная схема. В результате численного моделирования получено, что при различных значениях параметров Pr и Gr можно выделить класс решений, выходящих на стационарный режим, но при этом даже при малых числах Gr возможны качественно иные течения. Список литературы 1. Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости. ПМТФ, 1966, № 3. 2. Пухначев В.В. Теоретико-групповая природа решения Бириха и его обобщения. Красноярск, 2000. 3. Андреев В.К., Собачкина Н.Л. Движение бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе. Вычислительные технологии. Новосибирск, 2008. Т. 13. № 2. С. 3–14. ТЕПЛОМАССОБМЕН ПРИ ПОВЫШЕННЫХ ДАВЛЕНИЯХ В ПРОЦЕССАХ НУКЛЕАЦИИ С. В. Акимов1 , А. Г. Грешилов2 1 2 Институт химической кинетики и горения СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Одним из перспективных подходов к исследованию процессов спонтанной нуклеации в газовой среде является метод ламинарного осесимметричного потока на основе диффузионной камеры, предложенной Анисимовым [1, 2]. При использовании этого метода необходимо Актершев С. П., Овчинников В. В. 57 решить задачу Навье — Стокса для стационарного осесимметричного ламинарного потока вязкого сжимаемого газа [3] PR , ρ= RT Z R ρru dr = Q, 2π 0 ∂u ∂P 1 ∂ ∂u =− + rη , ∂x ∂x r ∂r ∂r ∂u 2 1 ∂ ∂u ∂T ∂P ρuCp =u +η + rλ . ∂x ∂x ∂r r ∂r ∂r Для описания состояния реального газа мы использовали полуэмпирическое уравнение, предложенное Коплуном и Мешалкиным [4]. Оно имеет вид ρu 1 1 2 1 c4 c5 Pm = 1−c1 e− τ −1 ω−c2 e− τ −1 ω 2 −c3 e τ −1 ωϕ(ω)− ω+ ωϕ(ω)+c6 ωec7 ω , RT ρ τ τ 1 1 2 2 ϕ(ω) = 1 − 2ω + 3 − Zc ω + 4 Zc − − Zc ω 3 − c0 ω 5 . 2 6 При высоких давлениях необходимо применение уравнения состояния реального газа. Работа поддержана грантом РФФИ № 10-08-00124-а. Z(ω, τ ) = Список литературы 1. Anisimov M. P., Cherevko A. G. Gas flow diffusion chamber for vapor nucleation studies Relations between nucleation rate, critical nucleus size and entropy of transition from a metastable into a stable state. J.Aerosol Sci. 1985. V. 16. № 2. P. 97–107. 2. Anisimov M. P. Review of vapor nucleation rate studies in laminar flow. In Aerosols. Science, Industry, Health and Environment. Proc. 3th Int. Aerosol Conf., Sept.24-27, 1990, Kyoto. Oxford. V. 1. P. 146–150. 3. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 4. Каплун А. Б., Мешалкин А. Б. Уравнение состояние плотных газов однокомпонентных веществ. Доклады академии наук. 2003. Т. 392. № 1. С. 48–53. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМЫ ПАРОВОЙ ПОЛОСТИ ПРИ ГЕТЕРОГЕННОМ ВЗРЫВНОМ ВСКИПАНИИ С. П. Актершев, В. В. Овчинников Институт теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск При исследовании вскипания метастабильной жидкости было обнаружено, что при перегревах больше некоторого порогового происходит взрывное вскипание. В этом случае вскоре после вскипания вблизи основания растущего сферического пузырька формируется конусообразная паровая каверна. Лобовая точка этой каверны (фронт испарения) движется вдоль нагревателя с постоянной скоростью порядка 10 м/с. Для описания динамики паровой полости при наличии фронтов испарения на цилиндрическом нагревателе была создана упрощенная математическая модель. Алабужев А. А. 58 Рост сферического пузыря рассчитывался по модели, предложенной в [1]. Для расчета конусообразной паровой каверны использовалась система виртуальных пузырьков, эволюция которых повторяет эволюцию первичного виртуального пузырька. Межфазная поверхность паровой каверны является огибающей системы виртуальных пузырьков. В рамках такого подхода получена система уравнений, которая решалась численно. Расчеты показали, что поток массы на поверхности каверны в несколько раз больше, чем на поверхности сферического пузырька. На рисунке сравниваются результаты расчетов с экспериментальными данными [2]. Видно, что модель хорошо описывает форму паровой полости, что свидетельствует об её адекватности. Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации НШ 8888.2010.8, гранта РФФИ № 08 08 00120. Список литературы 1. Aktershev S. P., Ovchinnikov V. V. Vapor Bubble Growth at the Surface of Flat and Cylindrical Heaters. J. Engineering Termophysics. 2008. Vol. 17. N. 3. P. 227–237. 2. Авксентюк Б. П., Овчинников В. В. О динамике парообразования в воде. Сибирский физико-технический журнал. 1992. Вып. 1. С. 3–9. КОЛЕБАНИЯ СЖАТОЙ КАПЛИ ЖИДКОСТИ С УЧЕТОМ ДВИЖЕНИЯ КОНТАКТНОЙ ЛИНИИ А. А. Алабужев Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь Пермский государственный университет При высокочастотном колебательном движении контактной линии влияние вязкости играет существенную роль только в тонких пограничных слоях вблизи твердой поверхности, а движение контактной линии определяется в основном быстро осциллирующим полем давления. Таким образом, можно рассматривать невязкое поведение жидкости в ядре, учитывая вязкость лишь внутри динамического пограничного слоя вблизи твердой подложки. Сложные процессы, происходящие в непосредственной близости линии контакта, из рассмотрения исключаются с помощью эффективных граничных условий, накладываемых на динамику видимого краевого угла. В данной работе рассматривается поведение сжатой жидкой капли, представляющей собой фигуру вращения, зажатой между двумя плоскими стенками. Капля окружена жидкостью другой плотности. Равновесный краевой угол между боковой поверхностью капли и Алексеев Г. В. 59 твердой поверхностью отличен от прямого. В граничном условии [1], описывающем динамику контактной линии, учитывается равновесная форма с произвольным краевым углом. Равновесный диаметр кали велик по сравнению с толщиной слоя. На всю систему в целом действуют вибрации, направленные вдоль слоя жидкости. Рассмотрены собственные и вынужденные колебания сжатой капли. Выявлено, что существуют три характерных масштаба частот собственных колебаний. Высокие частоты не зависят от азимутального числа и для прямого равновесного краевого угла соответствуют частотам капиллярных волн на поверхности жидкости. Низкие частоты не зависят от волнового числа и при больших значениях капиллярного параметра совпадают с частотами собственных колебаний цилиндрической капли. Промежуточный характерный масштаб значений частот соответствует основной частоте трансляционной моды собственных колебаний. Обнаружено, что при конечных значениях феноменологического параметра (капиллярной постоянной) условия на линии контакта сред приводят к затуханию свободных колебаний. Диссипация на контактной линии приводит к ограничению максимальной амплитуды колебаний в резонансе, а также к сдвигу резонансной частоты. Отметим, что нулевое значение капиллярной постоянной соответствует закрепленной контактной линии, а большие — свободно скользящей контактной линии Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-91959-НИНО-а). Список литературы 1. Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // J. F luid Mech. 1987. V. 179. P. 253–266. ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ Г. В. Алексеев Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток В работе исследуются двухпараметрические задачи граничного управления для стационарной модели тепловой конвекции − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = (1 − βT )G, divu = 0 в Ω, (1) − λ∆T + u · ∇T = f в Ω, (2) рассматриваемой при следующих неоднородных краевых условиях u|Γ = g, T |ΓD = ψ, λ(∂T /∂n + αT )|ΓN = χ. (3) Здесь u — скорость; T — температура; ν — постоянный коэффициент вязкости; λ — коэффициент температуропроводности; g, ψ, α и χ — заданные на Γ, ΓD и ΓN функции. Рассматриваемые экстремальные задачи граничного управления для системы (1)–(3) заключаются в нахождении тройки (u, p, T ) и пары функциональных параметров (g, χ) либо (g, ψ), исходя из соотношений (1)–(3) и условия минимума определенного функционала качества, зависящего в общем случае от величин u, p и T . В качестве минимизируемого функционала выступает один из следующих функционалов: I1 (u) = ku − ud k2L2 (Q) , I2 (u) = krot u − ζd k2L2 (Q) , I3 (T ) = kT − Td k2L2 (Q) . Андреев В. К. 60 Здесь ud ∈ L2 (Q), ζd ∈ L2 (Q) и Td ∈ L2 (Q) — заданные в некоторой подобласти Q ⊆ Ω функции. Доказывается разрешимость соответствующей экстремальной задачи, выводятся новые априорные оценки решений, исследуется единственность и устойчивость решений. Разрабатываются эффективные численные алгоритмы решения рассматриваемых задач (детали см. в [1, 2]). Обсуждаются результаты вычислительных экспериментов по решению конкретных экстремальных задач. Исследуется зависимость решений от основных параметров: числа Рейнольдса, числа Рэлея, а также параметра регуляризации, входящего в выражение минимизируемого функционала качества. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ–“Дальний Восток” (№ 09-0198518-р-восток-а) и грантов ДВО РАН (№ 09-I-П29-01 и 09-II-СУ03-003). Список литературы 1. Алексеев Г. В., Терешко Д. А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 2. Алексеев Г. В., Терешко Д. А. Экстремальные задачи граничного управления для стационарной модели тепловой конвекции. Докл. АН. 2010. Т. 430. № 2. C. 173–178. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СОВМЕСТНОГО ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКИХ СЛОЕВ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В. К. Андреев Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Во многих прикладных задачах свойства среды хорошо описываются моделью идеальной несжимаемой жидкости. Такое положение имеет место при деформировании металлов под действием больших импульсных нагрузок, при взрывах, когда давления настолько велики, что можно пренебречь прочностными и пластическими свойствами среды и силами трения по сравнению с силами инерции [1]. Возникающие при этом нестационарные движения относятся к области гидродинамики со свободными границами, и исследование их устойчивости является чрезвычайно трудной задачей [2]. В докладе изучается устойчивость совместного нестационарного движения двух несмешивающихся идеальных жидкостей плотностей ρ1 и ρ2 соответственно. Основное движение является потенциальным и представляет собой равномерное растяжение плоских слоёв. Скорости в слоях есть линейные, а давления — нелинейные функции пространственных координат. Свободная граница первой жидкости l1 (t) = = l10 /(1 + k1 t), а второй l2 (t) = l20 /(1 + k2 t), где kj > 0 — постоянные; плоскость y = 0 — поверхность раздела жидкостей. При t → ∞ толщины слоев стремятся к нулю. В случае одного слоя (ρ1 = ρ2 , k1 = k2 , l10 = l20 ) задача об устойчивости такого движения была рассмотрена впервые в работе [3], см. также [2], где дополнительно изучались эффекты трёхмерности возмущений и начальной завихренности. В данном случае имеются не только две свободные границы, но и граница раздела. Для задачи о малых возмущениях движения получены априорные оценки. Используя метод лагранжевых координат, удается получить систему амплитудных уравнений для возмущений свободных границ и поверхности раздела с учетом сил поверхностного натяжения. Найдено асимптотическое поведение этих уравнений при t → ∞ и показано, что внешние границы слоев неустойчивы, а поверхность раздела может быть устойчивой. Для конкретных начальных данных и физических параметров приведены зависимости поведения возмущений, полученные численными методами. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта НШ-4655.2010.1. Андронов А. Н. 61 Список литературы 1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. 2. Андреев В. К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1992. 3. Кузнецов В. М., Шер Е. Н. Об устойчивости течения идеальной несжимаемой жидкости в полосе и кольце. ПМТФ. 1964. Т. 34. № 2. БИФУРКАЦИОННАЯ ЗАДАЧА О ФЛОТИРУЮЩЕЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ А. Н. Андронов Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва, Саранск В продолжение исследований [1], [2] по капиллярно-гравитационным волнам в слоях жидкости со свободной границей рассматривается задача о флотирующей границе раздела двух жидкостей. Определяются периодические с периодами 2π/a = a1 и 2π/b = b1 потенциальные течения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей c плотностями ρ1 и ρ2 в пространственном слое со свободной флотирующей границей раздела, ответвляющиеся от основных течений с постоянными скоростями V1 и V2 в направлении оси Ox в случае, когда нижняя жидкость занимает полупространство. Потенциалы скоростей имеют вид Φj (x, y, z) = −Vj x + ϕj (x, y, z). В безразмерных переменных задача описывается системой дифференциальных уравнений ∆Φ1 = 0, −∞ < z < f (x, y), ∆Φ2 = 0, f (x, y) < z < 1, ∂Φ2 = 0, z = 1, ∂z ∂Φj ∂f ∂Φj ∂f ∂Φj ∂f − = + , z = f (x, y), j = 1, 2; ∂z ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂Φ2 1 k̃0 ∂Φ1 − k̃0 + |∇Φ1 |2 − |∇Φ2 |2 + (1 − k0 )F 2 f + ∂x ∂x 2 2 k ∂ ∂Φ1 1 2 2 +q F + −∇f · ∇xy + + |∇Φ1 | = ∂z ∂x 2 2 1 + |∇f | ! !# " ∂ f ∂ f x y p p + , z = f (x, y) = γF 2 ∂x ∂y 1 + fx2 + fy2 1 + fx2 + fy2 (1) с условиями убывания функций Φj и их первых производных на бесконечности. Здесь k0 = ρ1 /ρ2 , k = σ/ρ1 , k̃0 = (V22 /V12 )k0 , F 2 = gh/V12 , γ = σ/(ρ1 h2 g). Рассматриваются случаи высоких вырождений линеаризованного оператора B. Методами теории ветвления в условиях групповой инвариантности строятся и исследуются уравнения разветвления (УР). Вычислена асимптотика разветвляющихся периодических решений с критериями их редуцированной устойчивости. Полученные результаты поддержаны проектом № 2.1.1/6194 программы “Развитие научного потенциала ВШ” Минобразования РФ. Архипов В. А., Усанина А. С. 62 Список литературы 1. Логинов Б. В. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярно-гравитационных волнах. СМЖ. 2001. Т. 42. № 4. С. 868–887. 2. Андронов А. Н. Об устойчивости разветвляющихся решений задачи о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Известия вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2009. № 3(11). С. 11–20. ФОРМИРОВАНИЕ РАВНОВЕСНОЙ ФОРМЫ КАПЛИ НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ВЕБЕРА В. А. Архипов1 , А. С. Усанина2 1 НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета 2 Томский государственный университет В данной работе представлены результаты экспериментального исследования процесса формирования равновесной формы капли, растекающейся по твердой сухой горизонтальной поверхности. Вопрос о динамики растекания капли и определении основных характеристик равновесной формы (радиуса пятна контакта и высоты капли, равновесного краевого угла) представляют очевидный практический интерес в целом ряде отраслей современной техники и технологии [1]. Вследствие существенной нестационарности в задачах аэрогидродинамики важными являются процессы взаимодействия капельной среды с подстилающими поверхностями. Экспериментальные формы капли получены путем скоростной видеосъемки процесса ее растекания. В работе проведен анализ процесса установления равновесной формы капли в зависимости от ее материала при малых числах Вебера, то есть при малых скоростях столкновения капли с поверхностью. Получены экспериментальные зависимости основных характеристик растекания от времени процесса. Из обработки экспериментальных данных получена зависимость динамического краевого угла от капиллярного числа. Проведено сравнение экспериментальных результатов с аппроксимационными кривыми Воинова и Хоффмана. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 10-08-90700 моб-ст, 08-08-00064а) и в рамках реализации Федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 годы при поддержке государственного контракта П474 от 04.08.2009 “Создание и переработка высокоэнергетических наполненных полимерных композиций”. Список литературы 1. Де Жен П. Ж. Смачивание: статика и динамика. Успехи физических наук. 1987. Т. 151. Вып 2. С. 619–678. Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. 63 НОВЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН НА СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ МЕЛКОЙ ЖИДКОСТИ Д. Г. Архипов1,2 , Г. А. Хабахпашев1,3 1 Институт теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск НФ Института проблем безопасного развития атомной энергетики РАН 3 Новосибирский государственный университет 2 Формально (с математической точки зрения) уравнения типа уравнения Буссинеска (например, [1]) позволяют изучать столкновение плоских возмущений малой, но конечной амплитуды, движущихся навстречу друг другу. Однако на самом деле такие уравнения можно вывести только для волн, бегущих в одну и ту же сторону. В данном докладе рассмотрено взаимодействие умеренно длинных плоских локализованных возмущений свободной поверхности η (η → 0 при x → ±∞), одновременно распространяющихся как в направлении роста горизонтальной координаты x, так и в противоположную сторону. Вспомогательная функция ψ введена с помощью равенств ∂ψ/∂t = −hhui и ∂ψ/∂x = η, где t — время, hui — значение скорости жидкости, усредненное по глубине слоя h(x). Это позволило из модели, предложенной в статье [2], получить следующее эволюционное уравнение в частных производных: " 2 # 2 1 ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ g ∂ψ ∂ 4ψ ∂ 2ψ + − g h − − β = 0. ∂t2 ∂x ∂x ∂x 2 ∂x h ∂t ∂t2 ∂x2 Здесь g — ускорение свободного падения, β = h2 (1/3−1/Bo), Bo = ρgh2 /σ — число Бонда, ρ — плотность жидкости, σ — поверхностное натяжение. В качестве тестовых задач рассчитаны распространения одной и двух уединенных волн. В случае, когда и бассейн, и возмущения обладают аксиальной симметрией, вспомогательная функция ψr введена с помощью равенств ∂ψr /∂t = −h rhur i и ∂ψr /∂r = = rη, где ur – радиальная скорость жидкости. Тогда новое уравнение имеет форму " 2 2 # 1 ∂ 2 ψr ∂ h ∂ψr ∂ g ∂ψr 1 ∂ψr ∂ 1 ∂ 3 ψr −g − + 2 −β = 0. r ∂t2 ∂r r ∂x ∂r 2r2 ∂r hr ∂t ∂r r ∂t2 ∂r Найдены численные решения ряда задач: столкновения двух плоских волн, взаимодействие расходящихся и центростремительных возмущений в бассейнах с пологим дном, а также их отражения от стенки. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 10-05-00526). Список литературы 1. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 2. Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Новый подход к описанию пространственных нелинейных волн в диспергирующих средах. Доклады Академии наук. 2006. Т. 409, № 4. С. 476–480. Асилбеков Б. К., Жапбасбаев У. К., Калиланова К. А. 64 ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ ВОДОНЕФТЯНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ПЛАСТЕ С РАДИАЛЬНЫМ КАНАЛОМ СКВАЖИНЫ Б. К. Асилбеков, У. К. Жапбасбаев, К. А. Калиланова Казахстанско-Британский технический университет, Алматы Одним из современных способов повышения нефтеотдачи пластов являтся технология радиального бурения, при котором создаются радиальные каналы скважины с высокой проводимостью для отбора нефти из пластов с большой мощностью и низкими фильтрационноемкостными свойствами [1]. Рассматривается канал в виде плоской трещины с высотой 0,05 м, длиной 95 м и протяженной шириной. Считаются, что скорости фильтрации малы и подчиняются линейному закону Дарси, коэффициент проницаемости трещины намного больше проницаемости пласта. Обе жидкости — несжимаемые, пласт — анизотропный, учитывается капиллярная сила. Обобщенная модель двухфазной фильтрации несмешивающейся жидкости в нефтенасыщенном пласте с радиальным каналом скважины исследуется для описания с единой позиции динамику развития водонефтяной поверхности в процессе конусообразования подошвенной пластовой воды. Система состоит из эллиптического и параболического уравнений для определения давления и насыщенности, соответственно [2, 3]. Граничными условиями для давления являются: на кровле и подошве — условия отсутствия перетока, на скважине — постоянство дебита или забойного давления, вдали от скважины — постоянство пластового давления Для насыщенности воды: на подошве — постоянство, на левой границе — равенство нулю производной по нормали. Предложенный единый подход позволяет построить эффективный алгоритм расчета с автоматическим удовлетворением условия сопряжения на границах раздела сред. Расчетные данные выявили закономерности динамики развития водонефтяной поверхности: 1. Высокая проводимость радиального канала создает повышенную депрессию и приводит к росту времени прорыва воды и снижению степени обводненности скважины. 2. Расчетные данные подтверждают экспериментальные факты, что технология радиального бурения горизонтального канала снижает процесс конусообразования подошвенной воды в призабойной зоне скважины. Список литературы 1. http://www.radialdrilling.com. 2. Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1988. 3. Дробышевич В. И., Литвиненко С. А. Численные исследования процесса вытеснения нефти водой из пласта. Вычислительная технология. 2007. Т. 12. № 6. С. 12–17. Афанасьев А. А. 65 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПЛАЗМЫ PIC-МЕТОДОМ В. Т. Астрелин1 , А. В. Снытников2 1 Институт ядерной физики СО РАН, Новосибирск Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирск 2 Проведены методические расчеты по моделированию процесса теплопроводности в плазме с использованием кинетического подхода. PIC-методом [1] моделируется двухкомпонентная плазма с градиентом температуры и направленной потоковой скоростью. В условиях значительной статистической погрешности модели предложен метод вычисления температуры и коэффициента теплопроводности через средние по области пространства характеристики частиц. Температура компонент плазмы в области определяется через среднюю кинетическую энергию хаотического (теплового) движения модельных частиц в данной области за вычетом средней направленной скорости частиц. Теплопроводность компоненты плазмы вычисляется через плотность потока тепловой энергии за вычетом конвективного теплового потока компоненты и градиент ее температуры. Проведено моделирование динамики электронного теплового потока в плазме для сравнения коэффициента теплопроводности с классическим значением, определяемым кулоновскими столкновениями. Расчеты выполнены на суперЭВМ НКС-30Т (ИВМиМГ СО РАН) и МВС-100К (МСЦ РАН). Проведены вычислительные эксперименты по моделированию взаимодействия плазмы с релятивистским электронным пучком. В результате взаимодействия плазмы с пучком развивается неустойчивость, приводящая к турбулентному состоянию плазмы и ее нагреву. Исследовано влияние турбулентных электрических полей на величину коэффициента электронной теплопроводности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов гранты 08-01-615, 08-01-622), Интеграционных проектов СО РАН № 103 и № 113, и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых № МК3562.2009.9. Список литературы 1. Бедсел Ч., Лэнгдон Б. Физика плазмы и математическое моделирование, М.: “Мир”, 1989. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ МНОГОФАЗНЫХ ТЕЧЕНИЙ БИНАРНОЙ СМЕСИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ А. А. Афанасьев Институт механики Московского государственного университета Геотермальные системы представляют собой нагретые проницаемые породы в недрах Земли, насыщенные смесью веществ, в частных случаях бинарной смесью углекислый газ–вода [1]. Исследование фильтрационных течений в геотермальных системах существенно осложняется тем, что они происходят в широком диапазоне значений давления и температуры, содержащем термодинамические критические условия для смеси. При приближении к критическим условиям различие между двумя фазами в термодинамическом равновесии смеси Афанасьев К. Е., Григорьева И. В. 66 исчезает, а параметры фаз имеют математические особенности. Существует проблема описания свойств смеси в подобных условиях, в связи с чем исследование процессов в глубоких пластах геотермальных систем, где давление и температура выше критических значений, при помощи имеющихся в настоящее время моделей затруднено [1]. В работе предложен новый подход моделирования свойств бинарной смеси, удобный для исследования её фильтрационных течений, в том числе при критических условиях. Метод определения свойств, основанный на расчёте термодинамического потенциала среды, существенно отличается от классических подходов в термодинамике [2] и позволяет определять не только двухфазные, но и трёхфазные термодинамические равновесия бинарной смеси. Исследована фазовая диаграмма смеси углекислый газ–вода и показано, что возможны двухфазные равновесия типа жидкость–пар и жидкость–жидкость, а также трёхфазные равновесия жидкость–жидкость–пар. В одномерной и трёхмерной постановках решена задача о подпитке геотермальной системы водой, находящейся при закритических условиях. Выявлена немонотонная динамика развития процесса со свободными границами — фронтами фазового перехода, — распространяющимися после реализации критических условий как вверх, к поверхности Земли, так и вниз. Показано, что в трёхмерном решении задачи над областью подпитки системы водой имеется однофазное течение, соответствующее непрерывному превращению закритической жидкости в пар, а области двухфазного течения формируются в периферийных областях. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00016, 09-01-92434) и программы “Ведущие научные школы” (грант НШ 1959.2008.1). Список литературы 1. Rinaldi A. P., Todesco M., Bonafede M. Hydrothermal instability and ground displacement at the Campi Flegrei caldera. Physics of the Earth and Planetary Interiors 178 (2010) 155-161. 2. Брусиловский А. И. Фазовые превращения при разработке месторождений нефти и газа. М.: Грааль, 2002. 575 с. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ ВОЛН ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ, ПОГРУЖЕННЫМ В ИДЕАЛЬНУЮ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ К. Е. Афанасьев, И. В. Григорьева Кемеровский государственный университет В работе описывается решение трехмерных нестационарных задач генерации возмущений твердыми телами, погруженными в идеальную несжимаемую жидкость. Задача решается в линейной постановке. Для моделирования волновых процессов используется метод граничных элементов, ранее успешно применявшийся авторами к моделированию нелинейных процессов в задачах движения и деформации газовых пузырей [1]. Пусть в области течения происходит безвихревое движение однородной невязкой несжимаемой весомой жидкости. Тело погружено в жидкость, ограниченную снизу твердой стенкой, сверху — свободной поверхностью. На боковых границах области выставляются неотражающие граничные условия. При заданных предположениях потенциал поля скоростей в области течения удовлетворяет уравнению Лапласа, а также кинематическому и динамическому условиям на свободной границе. Потенциал удобно представить в виде суммы волнового потенциала и потенциала, учитывающего распространение возмущений, генерируемых погруженным Афанасьев К. Е., Рейн Т. С., Клепче В. Н. 67 телом [2]. Цуг волн генерируется согласно заданного значения волнового потенциала. Боковые границы, благодаря заданным граничным условиям, позволяют уводить сгенерированные волны за границы расчетной области не нарушая волновой структуры течения. В качестве тестовой была выбрана задача задача о распространении волн в прямоугольном бассейне. Основной задачей является моделирование процессов колебания твердой сферы под свободной поверхностью, а также взаимодействия волн с погруженным в жидкость телом. В процессе колебаний твердого тела возмущения распространяются от центра свободной поверхности к краям расчетной области, при этом осевая симметрия течения сохраняется. Случай взаимодействия волн с погруженным твердым телом является наиболее общим, так как оба слагаемых, входящих в состав потенциала поля скоростей, являются ненулевыми. В работе приводятся различные картины волновых течений в зависимости от частоты колеблющегося тела, гидродинамические характеристики, приводятся эмпирические зависимости шага по времени от размеров сетки и некоторые другие важные зависимости. Список литературы 1. Afanasiev K.E. Grigorieva I.V. Numerical investigation of three-dimensional bubble dynamics // Journal of Engineering Mathematics. Springer. 2006. Volume 55. P. 65-80. 2. Vimal V. V. Boundary-Integral Analysis of Nonlinear Diffraction Forces on a Submerged Body. / Florida Atlantic University, 2003, 205 p. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО (ПЛОТНОСТОНОГО) ТЕЧЕНИЯ С ДОННЫМ ПРЕПЯТСТВИЕМ К. Е. Афанасьев, Т. С. Рейн, В. Н. Клепче Кемеровский государственный университет Задача о взаимодействии гравитационных (плотностных) течений с береговыми и донными сооружениями имеет большую актуальность в приложениях. Примерами таких течений являются снежные лавины, сели, пирокластические потоки, возникающие при извержениях вулканов, подводные переносящие взвеси течения, возникающие при перемещениях осадочных пород на наклонном дне. Многочисленные примеры техногенных катастроф, вызванных плотностными течениями, приведены в монографии [1]. Однако следует отметить, что данной задаче посвящено сравнительно небольшое количество фундаментальных исследований. Экспериментальные результаты [2] сформировали некоторое представление о качественном характере эффектов, наблюдаемых при взаимодействии гравитационного течения с круговым цилиндром, но их сложно использовать для количественного сопоставления с расчетами. В силу значительных деформаций свободных границ и границ раздела, а также возможного взаимного перемешивания слоев жидкости, применение для этих задач классических методов математического моделирования, таких, как методы конечных и граничных элементов, не представляется возможным. В данной работе приводится попытка обобщить накопленный опыт по решению задач вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами бессеточным методом естественных соседей (NEM) [3] на новый класс нелинейных гравитационных (плотностных) течений, сопровождающихся большими деформациями расчетной области и свободной границы, и их взаимодействие с подводными сооружениями. В качестве модельной рассматривается задача об обтекание гравитационным (плотностным) потоком трубопровода, расположенного вблизи дна. Задача рассматривается в двумерной постановке, для конструкции предлагается модель абсолютно твердого тела. Используется модель вязкой весомой несжимаемой жидкости. Афанасьев К. Е., Рейн Т. С. 68 Список литературы 1. Simpson J. E. Gravity currents: In the environment and the Laboratory. London: Cambridge University Press, 1997. 2. Ermanyuk E. V. The rule of affine similitude for the force coefficients of a body oscillating in a uniformly stratified fluid. Experiments in Fluids. 2002. V. 32. P. 242–251. 3. Афанасьев К. Е., Рейн Т. С. Моделирование задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами бессеточным методом естественных соседей. Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 4. С. 7–24. РЕЛЕЙ — ТЕЙЛОРОВСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ЗАДАЧЕ ОБ ОБТЕКАНИИ ПЛОТНОСТНЫМ ПОТОКОМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ДОННЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ К. Е. Афанасьев, Т. С. Рейн Кемеровский государственный университет Распространение подводных гравитационных течений и их взаимодействие с подводными сооружениями и трубопроводами представляет собой актуальную задачу газо- и нефтедобычи. Современные добывающие комплексы зачастую располагаются в шельфовой зоне на значительном удалении от берега, вследствие чего подводные трубопроводы и линии коммуникаций подвержены опасному влиянию гравитационных течений. Последние экспериментальные исследования показали, что проблемы взаимодействия таких течений с подводными структурами принципиально отличаются от хорошо изученных задач, в которых течения с постоянной плотностью взаимодействуют с твердыми телами [1]. В данной работе представлено исследование влияния релей — тейлоровской неустойчивости (РТН) в задаче взаимодействия гравитационного (плотностного) течения с расположенным на дне препятствием. РТН отличается достаточно простой математической постановкой задачи и, как правило, возникает на границе, разделяющей две жидкости разной плотности [2], однако ее развитие является сложным нестационарным процессом механики сплошной среды. Помимо теоретического интереса, связанного с исследованием самого нелинейного процесса неустойчивости, задача имеет большое практическое значение в математическом моделировании турбулентного перемешивания плотностного потока вязкой жидкости при его накате на донные преграды. В качестве модельной в работе рассматривается задача о распространении жидкости с большей плотностью вглубь жидкости с меньшей плотностью под действием силы тяжести. Движение жидкости описывается полной системой уравнений Навье — Стокса. В качестве численного метода используется обобщенный метод естественных соседей, позволяющий проводить моделирование динамики вязкой жидкости на всех этапах вычислительного эксперимента [3]. Список литературы 1. Ermanyuk E. V., Gavrilov N. V.On internal waves generated by large-amplitude circular and rectilinear oscillations of a circular cylinder in a uniformly stratified fluid. J. Fluid Mech. 2008. V. 613. P. 329–356. Ахмадеев Ф. М. и др. 69 2. Давыдов Ю. М. Исследование релей — тейлоровской неустойчивости. Академия наук СССР. Дальневосточное отделение. Институт морской геологии и геофизики. Препринт. Владивосток. 1991. С. 86. 3. Афанасьев К. Е., Рейн Т. С. Моделирование задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами бессеточным методом естественных соседей. Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 4. С. 7–24. ФИЗИЧЕСКИЕ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОИЗВОДСТВА И УГЛУБЛЕННОЙ ПЕРЕРАБОТКИ НЕПРЕРЫВНЫХ ГЕОПОЛИМЕРНЫХ ВОЛОКОН С НАНОРАЗМЕРНЫМИ ПОКРЫТИЯМИ Ф. М. Ахмадеев1 , Н. И. Бакланова2 , А. И. Журавлев1 , И. К. Игуменов3 , С. В. Сухинин4 1 НПО ”Вулкан”, Пермь, Институт химии твердого тела и механохимии СО РАН, Новосибирск 3 Институт неорганической химии СО РАН, Новосибирск 4 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск 2 Актуальность. Использование геополимерных волокон из базальта с управляемыми наноразмерными покрытиями даёт возможность значительно улучшить и качественно изменить композиционные изделия с матрицей из металлов, керамики, органических и неорганических полимеров и многих других материалов. При этом изделия из геополимерных волокон прочнее и легче металла, абсолютно не горючи, экологически и радиационно безопасны с широким температурным диапазоном применения от -250 ◦ C до +600 ◦ C, долговечны, инертны к агрессивным средам и очень экономичны. Есть основания считать, что геополимеры являются основой для новых материалов XXI века. Цель. Крупнейшее в мире промышленное производство новых высокоэкономичных материалов с рекордными эксплуатационными характеристиками. Задачи. Оптимизация и управление гидродинамическими, газодинамическими и термодинамическими параметрами для совершенствования производственных технологий вытяжки непрерывных геополимерных волокон повышенного качества и при нанесении наноразмерных покрытий на волокна, геотекстиль и 3D преформы Разработка золь–гель технологий нанесения наноразмерных керамических покрытий на геополимерные волокна. Разработка CVD-технологии нанесения наноразмерных покрытий на геополимерные волокна и основных (выработочных) параметров производства геополимерных волокон повышенного качества. Проектирование композиционных материалов армированных геополимерными волокнами с матрицей из металлов, керамики, неорганических или органических полимеров с управляемыми эксплуатационными физико-химическими характеристиками и высоко экономичных. Методы. Теоретические и экспериментальные исследования. Лабораторные испытания и лабораторное моделирование. Производственные испытания. Результаты. Разработаны методы контроля температуры расплава геополимеров. Созданы лабораторные технологии нанесения наноразмерных покрытий различного состава и назначения на волокна из геополимеров. Ахмед-Заки Д. Ж., Данаев Н. Т., Мухамбетжанов С. Т. 70 ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Д. Ж. Ахмед-Заки1 , Н. Т. Данаев1 , С. Т. Мухамбетжанов2 1 2 Казахский национальный университет им. Аль-Фараби, Алматы, Казахстан Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Алматы Законы переноса тепла в пластах как гетерогенных структурах, аналогичны законам обмена солями, поскольку эти процессы имеют одинаковую физическую основу. Оба процесса, прежде всего, ограничены внутрипоровой диффузией массы или тепла, то есть протекают во внутридиффузионной области кинетики. Поскольку размеры пор реальных пластовых структур находятся в пределах нескольких долей микрона, то скорость таких обменов можно считать бесконечно быстрой для теплофизически однородных областей [1–3]. При расчетах это проявляется в виде возникновения дополнительного фронта вытеснения (области больших градиентов насыщенности), соответствующего тепловому фронту (области больших градиентов температуры) [1–3]. С другой стороны, известно, что в реальности встречаются случаи, когда структура и строение пор пласта однородно (пористость и проницаемость постоянны), но пласт состоит из различных пород с разными теплофизическими свойствами. Возникает вопрос о структуре движения жидкости в коллекторе и алгоритмах решения данных проблем. В работе рассмотрено моделирования подобных процессов, когда задан полный расход фаз v + v1 = V (t) с учетом процессов теплообмена на базе математической модели Баклея — Леверетта [1, 2] и, считая насыщенный флюидами пласт гетерогенной структурой, теплообмен p θ − θp . между элементами этой структуры представим уравнением кинетики вида αT ∂θ ∂t 0 ∂ ∂ ∂θ {b(s) · θ + c(s)} = λ(s) · − (b(s) · θ + c(s))V (t)F (s) , (1) ∂t ∂x ∂x  ∗  θ < θ∗ s , s(x, t) = χ(θ) = (s∗ , s∗ ), θ = θ∗ (2)   ∗ s∗ , θ>θ . Схема процесса Граничные и начальные условия записываются в виде ∂s s t=0 = s0 , s(0, t) = s̄, = 0, p(0)p̄0 , p(1) = p̄1 ; ∂x x=1 θt=0 = θ0 , θ(0, t)θ0 , θ(1, t) = θp ; [s] ± 6= 0, [v] ± = 0, [s] 6= 0; x=R (t) − x=R (t) + R (0) = R (0) = x0 Возможны следующие случаи [4]: x=H(t) − + и R (t) < R (t) при t > 0. Бажин А. А., Мурашкин Е. В. 71 1. R− (t) < R+ (t) < H(t); 2. R− (t) < H(t) ≤ R+ (t). В зависимости от этих случаев получаем структурно различные профили для искомых параметров задачи, так оба варианта соответствуют случаю, когда структура и строение пор пласта однородно (пористость и проницаемость постоянны), но пласт состоит из различных пород с разными теплофизическими свойствами. Список литературы 1. Бочаров О. Б., Монахов В. Н. Краевые задачи неизотермической двухфазной фильтрации в пористых средах//Динамика сплошной среды. — 1988. — Вып. 86. — С. 47–59. 2. Mukhambetzhanov S. T., Akhmed-Zaki D. Zh. Modeling of a problem of phase transitions at not isothermal filtration and qualitative properties of the decision//Wiertnictwo Nafta gaz — Zakopane, Poland, 2008. — Vol. 25/2. — P. 541–550. 3. Мейрманов А.М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. — 239 с. О ПРОБЛЕМЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В УСЛОВИЯХ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ А. А. Бажин, Е. В. Мурашкин Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Малые размеры дефектов уже при умеренных внешних нагрузках приводят к пластическому течению материала в их окрестностях и к возникновению внутренних остаточных напряжений, которые также существенно влияют на длительную прочность изделий. При этом хотя бы необратимые деформации в окрестностях дефектов сплошности считать малыми нельзя. Ранее [1] было показано, что в рамках такой теории больших упругопластических деформаций при идеальном характере пластического течения наблюдается эффект приспособляемости одиночных дефектов сплошности к циклическим нагрузкам по типу "нагрузка разгрузка”. То есть после каждой разгрузки размеры дефекта не изменяются, как и уровень и распределение деформаций и напряжений. Очевидно, что учет реологических свойств материала должен выводить из такой ситуации. Однако в [2] показано, что учет вязких свойств материалов на стадии, предваряющей пластическое течение, или на стадии разгрузки приводит к значительному по сравнению со случаем идеальной пластичности уменьшению размера дефекта, но при использовании модели вязкоупругопластической среды релаксация напряжений не проявляет себя в процессе разгрузки. Для изучения этого явления предлагается модель среды с учетом больших деформаций, когда все необратимые деформации относятся к деформациям ползучести. В построенной модели решается задача о гидростатическом сжатии образца с одиночным сферическим дефектом сплошности. Для ее решения разработаны численно-аналитические методы решения интегро-дифференциальной системы уравнений. Проводилось сравнение решений построенных для случая, когда по заданной нагрузке ищется поле перемещений среды и когда по заданному полю перемещений восстанавливается нагружающее усилие, вызывающее такое деформированное состояние. Базовкин А. В., Ковеня В. М. 72 Список литературы 1. Буренин А. А., Ковтанюк Л. В., Полоник М. В. Возможность повторного пластического течения при общей разгрузке упругопластической среды. ДАН. 2000. Т. 375, № 6. С. 767 769. 2. Буренин А. А., Ковтанюк Л. В., Мурашкин Е. В.Об остаточных напряжениях в окрестности цилиндрического дефекта сплошности вязкоупругопластического материала. ПМТФ, Т. 47, № 2. 2006. С. 110–119. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА РАСЩЕПЛЕНИЯ А. В. Базовкин, В. М. Ковеня Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск Уравнения Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости являются базовыми при численном моделировании различных классов задач гидродинамики. Традиционно задачи движения вязкой несжимаемой жидкости решаются в формулировке функция тока – вихрь. Но при решении многих, в особенности пространственных задач, использование естественных физических переменных может оказаться предпочтительнее. Поэтому задача построения эффективных численных алгоритмов их решения, обладающих достаточной точностью, является актуальной и сегодня. В докладе излагается численный метод решения уравнений Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости в естественных физических переменных, основанный на специальном расщеплении уравнений по физическим процессам и пространственным направлениям [1, 2]. Особенностью алгоритма является тождественное выполнение разностных законов сохранения для уравнения неразрывности. На дробных шагах решение расщепленных уравнений находится скалярными прогонками по каждому пространственному направлению. Для вычисления давления неявно решается уравнение Пуассона. Предложенный алгоритм аппроксимирует исходные уравнения со вторым порядком по всем переменным. Дается его обобщение на уравнения в преобразованных координатах, в том числе и для решения пространственных задач. Для оценки эффективности предложенного алгоритма проведены расчеты течений в каверне с движущейся крышкой, плоских и осесимметричных течений за уступом при различных числах Рейнольдса. В приближении полных уравнений Навье — Стокса проведены расчеты ламинарных и турбулентных течений вязкого газа около пластины, в том числе со вдувом газа с части поверхности в двумерном и трехмерном приближении. Оценено влияние вдува на аэродинамические характеристики течения. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта № 08-01-00264а), интеграционного проекта СО РАН № 103. Список литературы 1. Базовкин А. В., Ковеня В. М., Вавилова О. М. Метод факторизации для численного решения уравнений вязкой несжимаемой жидкости//Вычислительные технологии. 2009. Т. 14, № 2. С. 13–31. Балапанов Д. М., Урманчеев С. Ф. 73 2. Ковеня В. М. Об одном алгоритме решения уравнений Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости//Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, № 2. С. 39–51. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ФОРМИРОВАНИЯ ВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЦИЛИНДРА СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТЬЮ В. Г. Байдулов Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва Построено точное решение нелинейной задачи формирования течения, возникающего при обтекании кругового цилиндра постоянным потоком стратифицированной жидкости в горизонтальном и вертикальном направлениях. Решение строится в виде временных рядов, числовые коэффициенты которых удовлетворяют системе рекуррентных уравнений. Исследован процесс формирования областей блокировки перед телом и образования вихревой структуры в спутном течении. Проанализированы особенности эволюции внутренних волн при движении тела в вертикальном и горизонтальном направлениях, построены критерии смены режима течения и определены моменты обрушения присоединенных внутренних волн. Результаты расчетов сравнивались с экспериментальными данными и данными линейной теории. Показано хорошее согласие между предсказаниями линейной и нелинейной теориями на временах эволюции течения до двух периодов плавучести. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00562). МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ГОРЕНИЯ ГАЗА В ЖЕСТКОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ Д. М. Балапанов, С. Ф. Урманчеев Институт механики Уфимского научного центра РАН, Уфа В экспериментах [1] исследовались волны горения в разбавленной гремучей смеси, насыщающей насыпки из кварцевого песка. Обнаружен особый режим, названный авторами быстрым горением. Выбор такого названия продиктован тем, что фронт горения движется с высокой (∼ 100 м/с), но дозвуковой скоростью, из-за чего режим нельзя причислить ни к детонационному, ни к медленному горению. Распределение давления в такой волне имеет вид пилообразного импульса шириной ∼ 0.1 м с гладкими фронтами без характерного для детонации головного скачка, а свечение реакции регистрируется за пиком давления. В [2] предложено объяснение механизма похожего явления — конвективной детонации в пористых средах. При конвективном горении поджигание холодной смеси осуществляется горячими струями продуктов реакции в результате их нерегулярного выброса из зоны повышенного давления, то есть можно рассматривать этот механизм как турбулентный теплоперенос. Плавность пика давления объясняется сильной выгнутостью фронта пламени. Течение газа в [2] описывается стохастической моделью решеточного газа, что ставит получаемые результаты в зависимость от начальных условий и снижает предсказательную силу модели из-за необходимости оперировать конечным числом дискретных частиц газа. Цель данной работы — разработка модели быстрого горения на основе континуальных уравнений динамики Батищев В. А. 74 многофазных систем [3] и численное исследование характеристик волн быстрого горения в зависимости от свойств газовой и твердой фаз. В численных экспериментах получены эпюры давления, соответствующие экспериментальным данным [1]. Найдена зависимость скорости волны горения от начального давления и установлены условия перехода от быстрого горение к детонации. Выяснено, что в режиме быстрого горения основными факторами, определяющими устойчивость и самоподдерживаемость волны реакции, являются турбулентная диффузия и теплопроводность, а также теплоотвод из зоны реакции. Работа выполнена при поддерже научной школы НШ-3483.2008.1 и гранта РФФИ № 0801-97033 р_поволжье_а. Список литературы 1. Лямин Г. А., Пинаев А. В. О режиме быстрого дозвукового горения газов в инертной пористой среде с плавным подъемом давления в волне. Физика горения и взрыва. 1987. Т. 23. № 4. 2. Ершов А. П., Куперштох А. Л., Медведев Д. А. Моделирование конвективных детонационных волн в пористой среде методом решеточных газов. Физика горения и взрыва. 2001. Т. 37. № 2. 3. Нигматулин Р. И. Механика многофазных систем. М.: Наука, 1987. ФИЗИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ СПИРАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ КРОВИ В АРТЕРИАЛЬНОМ СОСУДЕ В. А. Батищев Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону Изучается один из физических механизмов возникновения закрученного потока жидкости в кровеносном сосуде. В конце прошлого века новосибирскими учеными обнаружено “винтовое” течение крови в артериальных сосудах [1]. В [2] разработан один из механизмов возникновения спиральных волн. Однако в этой модели спиральные волны локализованы в пограничном слое вблизи стенок цилиндрического сосуда, тогда как эксперименты обнаружили “винтовое” течение в окрестности оси сосуда. Отметим, что в монографии М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [3] приведены примеры и предложено объяснение эффектов локализации вращающихся жидких частиц вблизи оси вращения. В докладе показано, что при течении жидкости в цилиндрической области, ограниченной тонкой упругой оболочкой, могут возникать два семейства спиральных бегущих волн. Одно семейство волн локализуется вблизи оси цилиндра, а другое — в пограничном слое вблизи стенок цилиндра. Решение проблемы строится на основе уравнений Навье — Стокса и уравнений тонкой упругой цилиндрической оболочки [2]. Известно, что в кровеносном сосуде распространяются длинные пульсовые волны с фазовыми скоростями Моэнса — Кортевега. В докладе приведены уравнения спиральных волн, взаимодействующих с пульсовыми волнами. Изучены свойства спиральных волн, локализованных вблизи оси цилиндра. Показано, что для этих волн применима асимптотическая теория критического слоя. Декременты затухания этих волн уменьшаются, а фазовые скорости и длины волн увеличиваются при увеличении скорости среднего стационарного потока крови. Область локализации волн перемещается к оси цилиндра при увеличении номера моды или при уменьшении вязкости жидкости. Поведение спиральных волн в критическом слое соответствует результатам экспериментов по описанию “винтового” течения крови. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Рощупкин А. В. 75 Список литературы 1. Багаев С. Н., Захаров В. А., Орлов В. А. О необходимости винтового движении крови. Российский журнал биомеханики. 2002. Т. 6. № 4. С. 30–51. 2. Богаченко С. Е., Устинов Ю. А. Модель движения крови в артериальном сосуде во время систолы и анализ напряженного состояния стенки с учетом винтовой анизотропии. Российский журнал биомеханики. 2009. Т. 13. № 1. С. 29–42. 3. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. ЗАКРУТКА ГАЗА СИЛОЙ КОРИОЛИСА С. П. Баутин1 , И. Ю. Крутова2 , А. В. Рощупкин1 1 2 Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург Снежинский физико-технический институт В работе рассмотрены придонные течения газа, встречающиеся в смерчах, торнадо и тропических циклонах [1]. Для этого исследуются плоские изэнтропические течения политропного газа при учете действия силы Кориолиса [2], вызванные заданным стоком газа на окружности ненулевого радиуса. С использованием методики характеристической задачи Коши стандартного вида [3] доказано, что в начальные моменты времени в исходном однородном покоящемся газе одновременно с радиальным стоком возникает закрутка газа: в положительном направлении в северном полушарии и в отрицательном в южном. С помощью интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений получено стационарное течение с достаточно большой закруткой газа в окрестности окружности стока и имеющее нулевую закрутку на окружности заданного притока газа. Динамика перехода от начала радиального стока к стационарному закрученному состоянию описана при численном построении нестационарных течений методом характеристик, а также с использованием одного специального численно-аналитического метода. Показано, что время выхода на стационарный режим определяется значением широты точки рассматриваемого течения. Итоговое значение окружной скорости в окрестности стока определяется заданным значением радиальной скорости на окружности притока: чем меньше по модулю вторая из указанных скоростей, тем больше первая. Заметим, что достаточно большие значения окружной скорости движения воздушных масс наблюдаются в придонных частях тропических циклонов [4]. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00052). Список литературы 1. Баутин С. П. Торнадо и сила Кориолиса. Наука, Новосибирск, 2008. 2. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, Москва, 1963. 3. Баутин С. П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. Наука, Новосибирск, 2009. 4. Интенсивные атмосферные вихри./Ред. Бенгтссон Л., Лайтхилл Дж. Мир, Москва, 1985. Баутин С. П., Первушина Н. А. 76 ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА С. П. Баутин1 , Н. А. Первушина2 1 2 Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург Снежинский физико-технический институт Пусть для искомой функции u(t, x) задано нелинейное уравнение и начальное условие ut = F (t, x, u, ux , uxx ), u(t, x)|t=t0 = c0 Ψ(x) с постоянным вектором c0 и вектором Ψ(x) = (ϕ1 (x), ϕ2 (x), ..., ϕK (x)), в котором функции ϕi (x) автоматически удовлетворяют нужным краевым условиям. Приближенное решение поставленной задачи строится в виде u(t, x) = c(t)Ψ(x), где вектор-функция c(t) определяется дискретно: c0 , c1 , ..., cn , cn+1 ... по следующим рекуррентным формулам: un1 = F (tn , x, un (x), u0n (x), u00n (x)), en,k = M X un1 (xj )ϕk (xj ); cn1 = A−1 en ; j=0 cn+1 = cn + cn1 ∆t; a`k = M X ϕ` (xj )ϕk (xj ); 1 ≤ `, k ≤ K j=0 с заданной матрицей A = (a`k ) и разбиением отрезка [a, b] точками xj . Предложенный метод отличается от метода Бубнова — Галеркина [1], поскольку при решении нелинейного уравнения для нахождения cn1 решается линейная система с одной и той же матрицей A на каждом временном слое, вычисление пространственных производных происходит точно в аналитическом виде. В качестве примеров применения предложенного метода в широком диапазоне изменения постоянных коэффицицентов вязкости и теплопроводности моделируются одномерные и двумерные нестационарные течения вязкого теплопроводного сжимаемого газа, которые описываются решениями полной системы уравнений Навье — Стокса [2]. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00052). Список литературы 1. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. Мир, Москва, 1988. 2. Баутин С. П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. Новосибирск, Наука, 2009. Баутин С. П., Дерябин С. Л., Хакимзянов Г. С. 77 ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ В ОКРЕСТНОСТИ ПОДВИЖНОЙ ЛИНИИ УРЕЗА С. П. Баутин1 , С. Л. Дерябин1 , Г. С. Хакимзянов2 1 2 Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск Для расчета распространения длинных волн в морских акваториях и последующего наката таких волн на берег широкое распространение получили численные методы, основанные на аппроксимации уравнений мелкой воды. При приближении волны к берегу линия уреза начинает смещаться в сторону суши, поэтому решение задачи приходится отыскивать в области с подвижной границей. Кроме того, на само́й линии уреза полная глубина жидкости обращается в нуль, что создает дополнительные трудности при численном моделировании взаимодействия волн с берегом. Вследствие этих обстоятельств, для оценки точности различных численных методов решения задач с подвижной линией уреза необходимы аналитические исследования поведения решения в процессе наката и отката волн. Для крутых плоских откосов оценки зоны затопления известны [1]. На пологих откосах возможно обрушение волн еще до момента их выхода на берег, поэтому ранее известные подходы не позволяли определить величину максимального заплеска. В работе выполнено аналитическое исследование решений уравнений мелкой воды в окрестности границы вода– суша для произвольного рельефа дна. Рассмотрены три различных режима взаимодействия волны с берегом: накат необрушенной волны в общем случае, накат необрушенной волны при совпадении в начальный момент времени касательных в точке уреза к свободной границе и рельефу дна, накат с обрушением. Решения поставленных начально-краевых задач построены по методологии [2] в виде локально сходящихся рядов. Получен закон движения границы уреза и найдены условия и моменты времени, когда один режим течения переходит в другой. Для расчета волновых режимов в процессе набегания волн на берег использована явная схема предиктор–корректор второго порядка аппроксимации на адаптивных сетках, четко отслеживающих положение границы вода–суша [3]. Разработаны новые аппроксимации краевых условий на подвижной линии уреза. Для их тестирования использованы полученные результаты аналитического исследования решений, в частности, закон движения границы уреза. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00052 и 09-05-00294). Список литературы 1. Synolakis C. E. The runup of solitary waves. J. Fluid Mech. 1987. Vol. 185. P. 523–545. 2. Баутин С. П., Дерябин С. Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Наука, Новосибирск, 2005. 3. Хакимзянов Г. С., Шокин Ю. И., Барахнин В. Б., Шокина Н. Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. Бекежанова В. Б. 78 О МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ В НАКЛОННОМ КАНАЛЕ В. Б. Бекежанова Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Развитие новых технологий в области космического материаловедения требует изучения задач о совместном движении двух жидких сред, контактирующих по некоторой поверхности, и его устойчивости. В таких системах решающее влияние на нарушение устойчивости могут оказывать многочисленные и разнородные физико-химические факторы. В [1] рассмотрена задача о стационарном течении двух несмешивающихся жидкостей с общей поверхностью раздела в наклонном канале при совместном действии градиента давления, термокапиллярных и массовых сил (задача Наполитано). В настоящей работе в рамках линейной теории изучена устойчивость таких течений. Гладкая поверхность Γ делит область течения на две подобласти: Ω2 = {| x| < ∞, −h2 < y < 0} и Ω1 = {| x| < ∞, 0 < y < h1 }. На стенках канала y = −h2 , y = h1 заданы условия прилипания и линейный закон изменения температуры θj = Tj x + θj0 , j = 1, 2. В каждой из областей справедлива система уравнений Обербека — Буссинеска, в которой вектор ~g имеет координаты ~g = (g sin ϕ, −g cos ϕ); здесь g — ускорение свободного падения, ϕ — угол отклонения от горизонтали. Получены точные решения, описывающие двухслойное течение вязкой термокапиллярной жидкости. Исследована устойчивость полученных решений относительно плоских и пространственных возмущений. Для всех классов точных решений построены нейтральные кривые. Изучено влияние направления продольного градиента температуры и ориентации системы относительно силы тяжести на устойчивость течения. Имеет место смена форм неустойчивости при различных режимах. В случае горизонтальной ориентации слоя появление неустойчивостей связано с нарушением симметрии слоев (толщина, условия подогрева, вязкие и тепловые свойства жидкостей). В условиях невесомости (~g = 0) обнаружена колебательная термокапиллярная неустойчивость. Учет силы тяжести приводит к подавлению колебаний, так что для системы горизонтальных слоев имеет место только монотонная неустойчивость. При любом отклонении системы от горизонтали при ~g 6= 0 возникают колебательные возмущения. В случае малых углов наиболее опасными являются плоские возмущения (как и в случае изотермических течений), а при больших углах ϕ (близких к 90o ) — пространственные возмущения. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00762). Список литературы 1. Napolitano L. G. Plane Marangoni — Poiseulle flow of two immiscible fluids. Acta Astronautica. 1980. Vol. 7. № 4. P. 461–478. Белолипецкий В. М., Белолипецкий П. В., Мартынова А. А. 79 О МЕТОДЕ ОЦЕНКИ ПОТОКА УГЛЕРОДА МЕЖДУ АТМОСФЕРОЙ И НАЗЕМНОЙ ЭКОСИСТЕМОЙ ПО ИЗМЕРЕННЫМ НА ВЫШКЕ ВЕРТИКАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ CO2 В. М. Белолипецкий1,2 , П. В. Белолипецкий1,2 , А. А. Мартынова2 1 2 Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Сибирский федеральный университет, Красноярск В настоящее время в различных местах имеются высотные вышки, на которых выполняются измерения концентраций CO2 . Практический интерес представляет задача оценки потока углекислого газа вблизи поверхности земли. В летний период вследствие нагрева приземного слоя атмосферы из-за неустойчивой стратификации образуется слой конвективного перемешивания высоты HK . Предположим, что в перемешанном слое H ≤ z ≤ HK концентрация CO2 C(t, z) = C(t, H) = CH (t), где H — высота вышки. Тогда средняя концентрация в слое высотой НК вычисляется по формуле 1 ϕ= HK ZHK C(t, z)dz = HK − H H ϕb + CH , HK HK (1) 0 ZH 1 здесь ϕb = C(t, z)dz — средняя концентрация в слое 0 ≤ z ≤ H, вычисляется по измеH 0 ренным на вышке распределениям. Из уравнения баланса углекислого газа в слое высоты HK следует HK dϕ = QC − QCH , dt (2) где QC , QCH — потоки на границах рассматриваемого слоя. Обмен между нижним и верхним слоями атмосферы можно оценить по формуле QCH = α · (ĈH − Ctr ). 1 Здесь ĈH = T (3) ZT CH dt — средняя концентрация CO2 на интервале [0, T ], Ctr — характерная 0 концентрация CO2 в тропосфере, α — коэффициент массообмена. Из (1)–(3) получается приближенная формула для определения потока QС на интервале времени [0, Т] QC = H ϕb (T ) − ϕb (0) CH (T ) − CH (0) + (HK − H) + α(ĈH − Ctr ). T T (4) Приводятся примеры пробных расчетов по известным измерениям на вышке. Работа выполнена при финансовой поддержке междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН (№ 50-2009). Белых В. Н. 80 ОБ АБСОЛЮТНОЙ ε-ЭНТРОПИИ КОМПАКТА C ∞-ГЛАДКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В. Н. Белых Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, Новосибирск Решена проблема К. И. Бабенко [1, с. 301]: вычислен главный член асимптотики колмогоровской ε-энтропии компакта периодических C ∞ -гладких функций, непрерывно вложенного в пространство C непрерывных периодических функций [2]. Полученный результат является своеобразным откликом на реальную потребность вычислительной гидродинамики [3]: проблему продолжения “ далеко” по времени гладких решений трехмерных уравнений Эйлера. Известно, что указанная проблематика – одна из труднейших в фундаментальной науке и в своей точной математической постановке до сих пор находится вне компетенции современных аналитических и численных методов (см. УМН, т. 62, вып. 3, 2007, с. 3–46; 95–116). Задача о всплывании газового пузыря в идеальной несжимаемой жидкости относится к указанной проблематике и в трехмерном случае представляется очень сложной. Однако существует возможность, которая, не слишком ограничивая физический смысл проблемы, приводит нас к более простой математической задаче. Состоит она в предположении потенциальности и осевой симметричности течения жидкости. При этом исходная задача о пузыре редуцируется к одномерному ее аналогу, описываемому системой эволюционных нелинейных уравнений, дополненной данными Коши. Последнюю можно исследовать численными методами. При этом вопрос о разумном ограничении числа n (степеней свободы конечномерного аналога задачи Коши) оказывается определяющим, поскольку связан с доведением численного исследования задачи о пузыре в целом до конца. Параметр n можно минимизировать, исходя из принадлежности решения задачи компакту X бесконечно дифференцируемых функций на отрезке. При этом вычислению подлежит величина Hε (X) — колмогоровская ε-энтропия компакта X, связанная с параметром n неравенством n log2 (1/ε) ≥ C Hε (X) и C > 0 — константа. Полученный результат, в частности, показывает, что для ε = 10−9 оптимальное значение n может быть небольшим, n ∼ 30. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00207-а). Список литературы 1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. РХД, Москва–Ижевск,2002. 2. Белых В. Н. Об асимптотике колмогоровской ε-энтропии некоторых классов бесконечно дифференцируемых периодических функций (к проблеме К.И. Бабенко) // ДАН. 2010. Т. 431. № 6. С. 727–732. 3. Belykh V. N. To the problem of evolutionary “ blow-up” of axially symmetric gas bubble in ideal incompressible fluid (main constructive hypothesis) // Proceedings of Intern. Conf. dedicated to M.A. Lavrentyev on the occasion on his birthday centenary, Kiev (Ukraine), 31 October–3 November, 2000. Kiev: Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, 2000. P. 6–8. Богданов А. Н., Диесперов В. Н. 81 СЛОИСТЫЕ СТРУКТУРЫ: НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ ВОЛН И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ А. М. Блохин1,2 , Р. Е. Семенко2 1 2 Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Известно, что проблема повышения отдачи нефтяных пластов имеет важное значение для современной энергетики. Трудность в решении этой проблемы заключается в том, что в процессе эксплуатации в трещиноватых зонах коллекторов формируются водонефтяные слоистые системы, которые, блокируя транспортные структуры коллекторов, выводят значительные нефтеносные области из режимов водного вытеснения. Восстановление проницаемости коллектора возможно лишь в условиях разрушения слоистых водонефтяных структур. В работе предлагается обеспечивать силовое воздействие на слоистую структуру методами электроразведки. Дело в том, что водонефтяные слоистые системы являются анизотропными диэлектриками, слабо проводящими электрический ток. В качестве возможных механизмов разрушения таких образований рассматриваются ударные волны, а также электродинамическая неустойчивость системы. В работе выводится система гидродинамических уравнений для газосодержащих водонефтяных слоистых структур с электрическим током в присутствии сторонних (объемных) зарядов. В основу способа получения модели положен континуальный подход. Кроме того, обсуждается вывод более простой математической модели слоистых структур в электрогидродинамическом приближении. На основе этой модели формулируется линейная задача об устойчивости ударных волн в слоистых структурах и доказывается некорректность этой задачи с помощью построения примера некорректности типа Адамара, что означает неустойчивость ударных волн в данной модели слоистых структур. Наконец, в работе исследуется возможность организации электродинамической неустойчивости системы при протекании электрического тока достаточно малой амплитуды. Список литературы 1. Dorovski V. N., Dorovski S. V. A hydrodynamic model of water-oil layered systems containing gas Mathematical and Computer Modelling 35(2002), 751–757. 2. Blokhin A. M., Dorovski V. N. Shock waves stability in layered structures Mathematical and Computer Modelling 47(2004), 427–440. К ТЕОРИИ ТРАНСЗВУКОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ А. Н. Богданов1 , В. Н. Диесперов2 1 2 Институт механики МГУ имени М.В. Ломоносова Московский физико-технический институт (государственный университет) Рассмотрены особенности моделирования нестационарного свободного вязко-невязкого взаимодействия на основе трехпалубной структуры взаимодействия; проведено сравнение имеющихся моделей, приведены решения задач такого рода течений. Трансзвуковой режим имеет значительные отличия и от дозвукового, и от сверхзвукового режимов: наличие особенностей сверхзвукового течения (в первую очередь — ударных Богданов А. Н., Диесперов В. Н. 82 волн) сочетается с ростом слабых возмущений пограничного слоя в околозвуковом диапазоне скоростей [1] (для сверхзвукового режима растущих возмущений не обнаружено [2]). При исследовании нестационарного трансзвукового взаимодействия в классической трехпалубной модели использовалось уравнение Линя — Рейсснера —Цяня [3]. Это уравнение, однако, является вырожденным гиперболическим уравнением [4], что не позволяет правильно описать распространение в потоке именно нестационарных возмущений. В этой связи была предложена [5] модифицированная модель, использующая уравнение Линя —Рейсснера — Цяня с сингулярным членом. Модифицированная модель позволяет учесть возмущение, выпадающее из рассмотрения при использовании классической модели, и определить его поведение в ряде задач свободного нестационарного вязко-невязкого взаимодействия на трансзвуковых скоростях [5, 6, 7] Подавляющее большинство исследований было выполнено для пограничного слоя с профилем продольной скорости, линейно зависящим от поперечной координаты u = y. При таком выборе уравнения, описывающие развитие возмущений, получаются уникальными по своей относительной простоте — сводятся к уравнению Эйри, что позволяет провести аналитическое исследование в достаточно законченном виде. На практике реализуются профили скорости более общего, чем простой линейный, вида. В этой связи представляет интерес исследование поведения возмущений в случае профиля скорости, отличного от линейного вида. Подходящим для аналитического исследования оказывается выбор u = y 2 /2 + y, v = 0, p = x — предотрывное течение пограничного слоя при неблагоприятном градиенте давления [8]. В этом случае систему уравнений, определяющих развитие нестационарных возмущений трансзвукового течения, удается свести [9] к одному уравнению — уравнению Уиттекера. Хотя общность полученных таким путем результатов ограничена, они позволяют избежать абсолютизации результатов, полученных для линейного профиля скорости. Исследование предотрывной зоны с квадратичным профилем скорости u = y 2 /2 при стационарном взаимодействии было проведено [10] в связи с выяснением возможности устранения особенности отрывного течения. Полученное решение было выписано в виде ряда по степеням поперечной координаты, но не ставилось в соответствие с известными видами специальных функций. Исследование течения с профилем u = y 2 /2 + By при стационарном сверхзвуковом взаимодействии [8] для малых B привело к решению в виде линейной комбинации модифицированных функций Бесселя и Струве. Список литературы 1. Рыжов О.С., Савенков И.В. Об устойчивости пограничного слоя при трансзвуковых скоростях внешнего потока // ПМТФ, 1990, № 2. С. 65–71. 2. Терентьев Е.Д. Нестационарные задачи пограничного слоя со свободным взаимодействием. Дисс. на соиск. уч. степ. докт. физ.-мат. наук. М.: ВЦ РАН, 1986, 202 с. 3. Рыжов О.С. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего потока // Докл. АН СССР. 1977. Т. 236. № 5. С. 1091– 1094. 4. Богданов А.Н. Высшие приближения трансзвукового разложения взадачах нестационарных трансзвуковых течений // ПММ, 1997, Т. 61, вып. 5. С. 798–811. 5. Богданов А.Н., Диесперов В.Н. Моделирование нестационарного трансзвукового течения и устойчивость трансзвукового пограничного слоя // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 3. С. 394– 403. Богоявленская В. А., Шардаков И. Н. 83 6. Богданов А.Н., Диесперов В.Н. Волны Толлмина —Шлихтинга в трансзвуковом пограничном слое. Возбуждение извне и с обтекаемой поверхности // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 1. С. 289–300. 7. Богданов А.Н., Диесперов В.Н. К устойчивости трансзвукового пограничного слоя над упругой поверхностью // ПММ. 2010. В печати. 8. Нейланд В.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н., Липатов И.И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа М.: Физматлит, 2003. 456 с. 9. Богданов А.Н. К теории устойчивости взаимодействующего трансзвукового пограничного слоя с нелинейным профилем невозмущенной скорости // ПММ. 2010. В печати. 10. Stewartson K. Is the singularity at separation removable?// J.Fluid Mech.1970. V. 44. № 2. P. 347–364. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ К ИЗМЕНЕНИЯМ ХАРАКТЕРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ВУЛКАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В. А. Богоявленская, И. Н. Шардаков Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь Мониторинг вулканической деятельности осуществляется различными способами. Наиболее широкое распространение получили методы регистрации и анализа сейсмических волн, вызванных вулканической активностью. Регистрация сейсмических проявлений происходит уже на этапе высокой вулканической активности. Но с точки зрения возможности прогнозирования наиболее интересны квазистатические процессы деформирования, предшествующие динамическим процессам. Одним из основных факторов, определяющих квазистатическое состояние вулканической системы, является гидростатическое давление в ее очаге. Однако непосредственная регистрация давления магмы в очаге невозможна. Поэтому для регистрации эволюции давления в очаге вулкана необходимо искать косвенные способы. В качестве индикаторов изменения внутреннего давления в очаге выбраны деформации земной поверхности в окрестности вулканической постройки. Регистрация деформационных процессов земной поверхности в окрестности вулканической постройки осуществляется при помощи геодезических или спутниковых измерений. В данной работе предлагается для мониторинга таких деформаций использовать оптоволоконные датчики, которые позволяют проводить измерения деформаций с точностью до 10−6 на базе 23 мм. Рассматривается система, состоящая из вулканической постройки, очага магмы, канала вулкана и окружающих горных пород. Материал пород — однородный, изотропный и упругий. Система деформируется под действием давления, распределенного на поверхности очага и канала. Поле деформаций земной поверхности рассчитывается c помощью двумерной осесимметричной конечно-элементной модели. В работе исследовано влияние размеров, формы очага и глубины его залегания на деформации земной поверхности; произведена оценка размеров зон вокруг вулканической постройки, в которых можно измерять деформации с указанной точностью; исследована возможность регистрации изменения положения пробки в канале вулкана; изучено поведение системы при наличии нескольких очагов. Бондаренко Б. В., Потапов И. И. 84 Анализ результатов решения показал, что деформации εrr менее чувствительны к изменениям параметров вулканической системы; более предпочтительно использовать для регистрации изменений состояния вулкана деформации εϕϕ . Работа выполнена при финансовой поддержке Программы Президиума РАН (проект № 09-П-1-1010), Научно образовательного центра “Неравновесные переходы в сплошных средах” (грант № 19-14н-01а). Список литературы 1. Russo G., Grazia G. Numerical modeling of surface deformations on Mt. Vesuvius volcano (Italy) in presence of asymmetric elastic heterogeneities. Jornal of Volcanology and Geothermal Research. 2004. Vol. 133. P. 41–54. О ДЕФОРМАЦИИ БЕРЕГОВОГО СКЛОНА РАВНИННЫХ РЕК С ПЕСЧАНЫМ РУСЛОМ Б. В. Бондаренко1 , И. И. Потапов2 1 2 Дальневосточный государственный университет путей сообщения, Хабаровск Вычислительный центр ДВО РАН, Хабаровск В работе [1] предложена математическая модель развития берегового склона равнинной реки, имеющей песчаное основание. Особенность данной модели заключается в жесткости получаемой дискретной схемы задачи, связанной с тем, что механизмы переноса влекомых наносов — турбулентно-диффузионный и лавинный — имеют различное характерное время релаксации. Данная особенность приводит к необходимости существенно ограничивать шаг по времени при численном решении задачи. В рассматриваемой работе с целью уменьшения жесткости получаемых алгебраических аналогов задачи рассмотрена методика расщепления расчетной области задачи по механизмам транспорта влекомых наносов в придонном активном слое. Построен алгоритм расчета границы сопряжения подобластей и определены формулы по которым проводится вычисление расхода влекомых наносов в лавинных склонах. Проведенные численные эксперименты показывают хорошее согласование получаемых решений с известными экспериментальными данными. Список литературы 1. Потапов И. И., Бондаренко Б. В. Моделирование эволюции поперечного сечения песчаного канала. Вычислительные технологии. 2009. Т. 14. С. 72–91. Бублик В. В. 85 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА В. В. Бублик Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Рассматривается система уравнений Навье — Стокса сжимаемого вязкого теплопроводного газа d~v = −∇p + ∇ (λ div ~v ) + div (2µD) , dt dρ + ρ div ~v = 0, dt dS ρT = div (κ∇T ) + λ (div ~v )2 + 2µD : D. dt ρ (1) (2) (3) Здесь ~v = (u, v, w) — скорость, D — тензор скоростей деформации, ρ — плотность, T — температура, µ = µ(ρ, T ) — первый коэффициент вязкости, λ = λ(ρ, T ) — второй коэффициент вязкости, κ = κ(ρ, T ) — коэффициент теплопроводности, p = p(ρ, T ) — давление, S = S(ρ, T ) — энтропия. Предполагается, что 3λ + 2µ ≥ 0. Для системы (1)–(3) ставится задача групповой классификации по отношению к произвольным элементам µ, λ, κ, p, S [1]. Ранее групповая классификация была проведена только для частных случаев системы (1)–(3): для уравнений газовой динамики (µ = λ = κ = 0) [Л. В. Овсянников]; для уравнений радиационной гидродинамики (µ = λ = 0) [S. V. Coggeshall, R. A. Axford]; для уравнений двумерных движений вязкого теплопроводного совершенного газа (µ = µ(T ), 3λ + 2µ = 0, κ = κ(T ), p = ρT ) [2]; для трёхмерных уравнений движения вязкого теплопроводного газа с постоянным коэффициентами вязкости и теплопроводности (µ ≡ 1, 3λ + 2µ = 0, κ ≡ 1) [2]; для двумерных стационарных течений вязкого тепопроводного совершенного газа (µ = µ(T ), 3λ + 2µ = 0, κ = κ(T ), p = ρT ) [S. V. Meleshko]. В данной работе эти ограничения сняты. Работа поддержана проектом СО РАН № 26, выполняемом совместно с организациями УрО РАН и ДВО РАН. Список литературы 1. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 2. Андреев В. К., Бублик В. В., Бытев В. О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. Буренин А. А., Ковтанюк Л. В. 86 РАЗВИТИЕ И ТОРМОЖЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ В ТРЕХСЛОЙНОМ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОМ МАТЕРИАЛЕ А. А. Буренин, Л. В. Ковтанюк Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Основной проблемой при расчете вязкопластических течений материалов является определение неизвестных границ течения (границ жестких ядер и застойных зон). Изучая закономерности вязкопластических течений, свойствами упругости материалов, как правило, пренебрегают. Однако существуют эффекты, определяемые именно этим свойством интенсивно деформируемого материала. К таким эффектам относятся формирование полей остаточных напряжений после торможения или остановки течения при разгрузке материала; изменения в геометрии тела при его общей разгрузке, включая потерю устойчивости и коробление тонкостенных конструкций после изготовления и др. Главная сложность в постановках и решениях краевых задач упруговязкопластичности, вносимая учетом упругих свойств, связана с тем, что в области вязкопластического течения задача решается в скоростях, а в упругих областях — в перемещениях. Непрерывность параметров деформирования на неизвестных движущихся границах застойных зон и жестких ядер требует вычисления перемещений и в областях вязкопластических течений. В этих областях перемещения никак нельзя считать малыми, поэтому исходно задача должна формулироваться в рамках теории больших деформаций. Здесь рассмотрена постановка и получено решение краевой задачи теории больших упруговязкопластических деформаций о прямолинейном движении материала в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями. Материал полагается трехслойным, когда слой материала с меньшим пределом текучести, расположен в слое материала с большим пределом текучести. Решения задач получены в рамках модели больших деформаций, предложенной ранее [1]. Изучено упругое равновесие, предшествующее вязкопластическому течению, собственно вязкопластическое течение при равноускоренном движении каждой из поверхностей (внутренней или внешней), в то время как другая поверхность остается неподвижной. Вязкопластическое течение включает течение в слое с меньшим пределом текучести и затем течение в основном материале, когда от одной из его границ отделяется поверхность, являющаяся упругопластической границей, с одной стороны которой материал находится в упругом состоянии, а с другой осуществляется вязкопластическое течение. Рассмотрено замедление течения с последующей его остановкой и расчетом остаточных напряжений. Указаны законы продвижения упругопластических границ как при развитии течения, так и при его торможении. Список литературы 1. Ковтанюк Л. В., Шитиков А. В.О теории больших упругопластических деформаций при учете температурных и реологических эффектов. Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 87–93. Буханько А. А., Кочеров Е. П., Хромов А. И. 87 ПЛАСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ А. А. Буханько1 , Е. П. Кочеров2 , А. И. Хромов1 1 Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королева (Национальный исследовательский университет) 2 ОАО “Самарское конструкторское бюро машиностроения" На основе теории упрочняющегося несжимаемого жесткопластического тела формулируется подход к описанию процессов зарождения и распространения трещин в пластических телах. Целью рассматриваемого подхода является формулировка условия разрушения, учитывающих повреждаемость материала вследствие диссипации механической работы внутренних сил, которая считается основной характеристикой истории деформирования материала. Показано, что вид этих условий существенно зависит от вида условия пластичности и наиболее простая формулировка критериев разрушения получается при условии пластичности, связанном с поверхностью деформационных состояний несжимаемого жесткопластического тела, точнее, с линиями пересечения этой поверхности с плоскостями, параллельными девиаторной плоскости [1]. За меру деформации принимается тензор конечных деформаций Альманси E, за параметр упрочнения принимается его первый инвариант, который может быть заменен энергетическим параметром, связанным с удельной диссипацией энергии W . Процесс разрушения понимается как процесс зарождения макротрещины и процесс дальнейшего ее распространения. В связи с этим вводятся механические характеристики разрушения W∗∗ и W∗ , определяющие момент зарождения макротрещины и скорость ее распространения соответственно. Определение констант W∗∗ и W∗ производится на основе одноосного растяжения цилиндрического образца по (σ − ε)-диаграмме и величин δ, ψ, соответствующих относительному удлинению и относительному сужению образца при разрушении [2]. Обобщение рассматриваемого подхода на процесс распространения трещины в упругопластическом теле проводится следующим образом: распространение трещины в упругом теле рассматривается как движение углового выреза вместе с небольшой жесткопластической областью [3]. Это обобщение позволяет связать значение инвариантного контурного J-интеграла с константой W∗ . Влияние предварительного деформирования учитывается с помощью экспериментально определяемых зависимостей W∗∗ и W∗ от накопленной удельной диссипации энергии. Работа выполнена в рамках АВЦП “Развитие научного потенциала высшей школы (2009– 2010)” (РНП 2.1.1/889). Список литературы 1. Буханько А. А., Григорьева А. Л., Кочеров Е. П., Хромов А. И. Деформационноэнергетический критерий разрушения жесткопластических тел. Известия РАН. МТТ. 2009. № 6. С. 177–184. 2. Хромов А. И., Буханько А. А., Козлова О. В., Степанов С. Л. Пластические константы разрушения. ПМТФ. 2006. Т. 47. № 2. С. 147–155. 3. Хромов А. И., Буханько А. А., Степанов С. Л. Концентраторы деформаций. ДАН. 2006. Т. 407. № 6. С. 777–781. Васильев А. Ю. 88 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СИСТЕМЕ СКВАЖИНА –МНОГОЛЕТНЕМЕРЗЛЫЕ ПОРОДЫ С УЧЕТОМ СЕЗОННОГО ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ Н. А. Ваганова, М. Ю. Филимонов Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург Построена новая трехмерная модель теплового взаимодействия в системе скважина–порода в зоне распространения многолетнемерзлых пород (ММП). Для этой модели реализован численный алгоритм для решения задачи типа Стефана, основанный на идее статьи [1], в которой используется сглаживание разрывных коэффициентов в уравнении теплопроводности по температуре в окрестности фазового превращения. Приведены результаты численных расчетов по сезонному промерзанию (прогреву) верхней поверхности грунта, рекомендации по ее теплоизоляции и результаты численных экспериментов по растеплению ММП в зоне скважина–грунт с учетом реальных характеристик грунта. В отличие от известных результатов по расчету растепления в системе скважина-грунт в зоне ММП, в данную математическую модель включены не только геометрические и теплоизоляционные характеристики инженерных сооружений вокруг скважины и различные варианты теплоизоляции внешней поверхности скважины, но и сезонное изменение температур с учетом солнечного излучения. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований – Урал (код проекта 10-08-96014), программой поддержки фундаментальных исследований Президиума РАН и программой интеграционных проектов между УрО РАН, СО РАН и ДВО РАН. Список литературы 1. Самарский А. А., Моисеенко Б. Д. Экономическая схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. ЖВМиМФ. 1965. Т. 5. № 5. С. 816–827. ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ СТОКСА А. Ю. Васильев Институт проблем механики Российской академии наук, Москва В работе развит подход к решению задач генерации периодических внутренних волн в вязкой непрерывно стратифицированной жидкости с учетом эффектов диффузии компактным источником на основе фундаментальных уравнений течения жидкости. Источником волн служит часть плоскости, совершающей колебания вдоль своей поверхности (аналог задачи Стокса для стратифицированных течений). Решение задачи находится методом преобразований Фурье —Бесселя. Получененные спектральные коэффициенты вычисляются из граничных условий (условия прилипания на излучающей поверхности и непротекания для вещества). Точное решение линеаризованной задачи содержит два типа решения: регулярное (волновые пучки) и сингулярное (пограничные слои различной природы). Сингулярные по вязкости и диффузии решения описывают пограничные слои различной природы. Два из них, зависящие от вязкости, диффузии, стратификации и частоты волны, не имеют аналогов в однородной жидкости. Третий компонент является аналогом периодического течения Стокса. Волны и пограничные слои образуют единую систему периодических движений в непрерывно стратифицированной жидкости. Водолажский А. А. 89 Для оценки влияния диссипативных факторов (диффузии, вязкости) и стратификации построены предельные переходы к случаям вязкой неоднородной жидкости без учёта эффектов диффузии, однородной вязкой, вязкой неоднородной жидкости. Отдельно детально рассматриваются случаи горизонтального и вертикального наклона излучателя и случай критических углов и переход к двумерной (источником является часть плоскости в виде полосы) и одномерной задачи (источником волн является плоскость). При переходе к двумерным задачам полученные решения совпадают с известными решениями для тел в вязкой стратифицированной жидкости. Сравнение проведенных аналитических расчетов структуры волновых пучков с данными лабораторных экспериментов показывает, что они согласуются качественно и количественно. Сингулярные компоненты течения в пучках и вихри, возникающие в результате их нелинейного взаимодействия, визуализируются при больших амплитудах колебаний источника. Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия отечественной науке и РФФИ (коды проектов 08-05-00473-а, 08-01-00662-а). О ВЫБОРЕ ПОТЕНЦИАЛОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В МЕТОДЕ SPH ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ А. А. Водолажский Дальневосточный университет путей сообщения, Хабаровск В работе рассматривается влияние выбора потенциалов взаимодействия для различных физических механизмов при моделировании движения жидкости со свободной поверхностью SPH методом. Движение жидкости по наклонной поверхности моделируется в рамках модели Навье — Стокса, в формулировке SPH [1] n X pi pj dvia = Fi − mj ( 2 + 2 )∇a W 1 (rij , hj ) dt ρi ρj j=1 n X 2 j i X µi Tba µj Tba + mj ( + )∇b W 2 (rij , hj ), ρ ρ i j j=1 b=1 2 (1) n dρi X X = mj (via − vja )∇a W 3 (rij , hj ), dt a=1 j=1 (2) p где via — скорость i-й частицы по координате a; rij = ri − rj = (xi − xj )2 + (yi − yj )2 — расстояние между i-й и j-й частицами; Fi — компоненты вектора внешних сил; pi , mi , ρi , µi — давление, масса, плотность и коэффициент динамической вязкости i-й частицы соответственно. В качестве тестовой использовалась задача о ламинарном течении в канале с конечной глубиной. Первоначально все частицы среды в канале находятся в покое. На дне потока задано условие прилипания (вектор скорости на границе равен нулю). Твердые границы моделируются виртуальными частицами Морриса. Бесконечность канала имитируется циклическим возвращением частиц, вышедших за пределы правой открытой границы, на левую с сохранением приобретенных скоростей. Перепад уровня дна заменяется действием горизонтальной силы F , направленной от левой стенки к правой. Воеводин А. Ф., Гранкина Т. Б. 90 Список литературы 1. Афанасьев К. Е., Попов А. Ю. Метод SPH для моделирования динамики жидкости со свободной поверхностью. Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование2006, IX Международная летняя научная школа, Кемеровский государственный университет, 2006. ОДНОМЕРНАЯ И ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕРМИЧЕСКОГО РЕЖИМА ВОДОЕМОВ С УЧЕТОМ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ А. Ф. Воеводин1 , Т. Б. Гранкина2 1 2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск. Институт водных и экологических проблем НФ СО РАН, Новосибирск. Рассмотрена модель Обербека — Буссинеска [1] для исследования естественной конвекции течений слабопроточных водоемов. Основные уравнения являются следствием двумерных уравнений гидродинамики, уравнения распространения тепла и консервативных примесей ∂u ∂w + = o; ∂x ∂z ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 1 ∂P ∂u +u +w =− +ν + ; ∂t ∂x ∂z ρ ∂x ∂x2 ∂z 2 ∂ 2w ∂ 2w ∂w ∂w ∂w 1 ∂P +u +w =− +ν + + g(βT T + βC C); ∂t ∂x ∂z ρ ∂z ∂x2 ∂z 2 ∂ 2T ∂T ∂T ∂T ∂ 2T +u +w =k + 2 ; ρcp ∂t ∂x ∂z ∂x2 ∂z ∂ 2C ∂ 2C ∂C ∂C ∂C +u +w =d + . ∂t ∂x ∂z ∂x2 ∂z 2 Уравнения рассчитываются в области, границами которой являются три твердые стенки — две боковые и дно. Верхняя свободная граница является границей фазового перехода (снежно-ледяной покров). Для определения ее положения решается сопряженная температурная задача с условиями Стефана, которые учитывают зависимость температуры фазового перехода от концентрации примеси. В математическом отношении решение проблемы сводится к интегрированию уравнений гидродинамики в переменных функции тока–вихрь, уравнений теплопроводности, диффузии в областях с неизвестными подвижными границами и условиями сопряжения на этих границах. Рассматриваемая задача решается численно с помощью метода расщепления [2]. Работа выполнена при финансовой поддержке НШ № 2260.2008.1 и Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-98001 Р-Сибирь-а). Список литературы 1. Полежаев В. И., Бунэ А. В., Верезуб Н. А. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 2. Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988, 264 с. Воеводин А. Ф., Никифоровская В. С. 91 КОМБИНИРОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРОТОЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТКРЫТЫХ РУСЕЛ И ВОДОЕМОВ А. Ф. Воеводин, В. С. Никифоровская Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Разработана комплексная двумерно-одномерная математическая модель и численный метод для исследования волновых процессов в проточных системах открытых русел и водоемов. Проточная система может включать как глубоководные (вытянутой формы водоемы-озера), так и мелководные водотоки (русла рек) в любом сочетании и последовательности. Математическая модель основана на базе одномерных осредненных по поперечному сечению уравнений гидродинамики (уравнения Сен-Венана) и двумерных, осредненных по ширине русла или водотока (продольно-вертикальная модель). При построении моделей, как одномерных, так и двумерных, учитываются реальные морфометрические и гидравлические характеристики русла и прилегающих к нему пойменных массивов, их взаимодействие, а также воздействие метеорологических факторов (ветер, атмосферное давление) на волновые процессы. С математической точки зрения решение рассматриваемых задач сводится к решению начально-краевых задач для эволюционных квазилинейных уравнений в сложных областях, топологическая структура которых описывается графом (одномерно-двумерный комплекс). Численный метод разработан с применением абсолютно устойчивых неявных разностных схем. На основе системного подхода разработан алгоритм и программы на ЭВМ для расчета неустановившихся течений в системах открытых русел с учетом различных физических факторов. Исследуется область практического применения разработанных моделей. Предварительный анализ и сравнение результатов численного моделирования гидродинамических режимов по сопряженной (комбинированной) модели с результатами, полученными по чисто двумерным (одномерным) моделям, показал эффективность разработанной математической модели, экономичность численного метода, алгоритма и программы на ЭВМ и, следовательно, полезность использования их при решении широкого круга задач прикладной гидромеханики. Приводятся примеры расчетов. Работа выполнена при финансовой поддержке проекта № 16.7 Программы фундаментальных исследований Президиума РАН, гранта НШ № 2260.2008.1 и гранта РФФИ № 09-01-98001 Р-Сибирь-а. Список литературы 1. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1993. 2. Vasiliev O.F. Vertical two-dimensional hydrodynamic models of water bodies: the state of the art and current issues // Proc. of the 5th Intern. Conf. On Hydro-Science and Engineering, Warsaw, Poland. 2002. Vol. 5. P. 3. 3. Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф., Никифоровская В.С. Численное моделирование температурно-стратифицированных течений в системах глубоких водоемов // Выч. технологии. 2005. Т. 10, № 5. С. 29–38. Гаврилов Н. В., Ляпидевский В. Ю. 92 ПРОГНОЗ СОСТОЯНИЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ БОЛЬШОМ ИЗМЕНЕНИИ ФИЗИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА П. К. Волков Югорский государственный университет, Ханты-Мансийск На основе теории подобия определяются геометрические параметры и физические константы среды, при которых процессы происходят подобно, если одна физическая характеристика системы изменяется в большом диапазоне. Определяются качественные изменения баланса парных взаимодействий сил, действующих в системе [1]. Полученные данные позволяют уточнить математическую модель и на основании вычислительного эксперимента получить прогноз о состоянии системы в новых условиях. Эффективность подхода апробирована на примере хорошо изученного процесса всплывания пузыря в жидкости. Выводы иллюстрируются картами режимов течений [2], построенными на основе экспериментальных и расчетных данных. Подтвержден прогноз о принципиальных изменениях в процессе всплывания в связи с изменением величины ускорения свободного падения, даже при одной и той же выталкивающей силе. Исследованы состояния системы в связи с изменением в ней давления в больших пределах. Получено, что течение воды в каналах с большим давлением происходит подобно тому, как в газе при нормальном давлении. Таким образом, обосновывается возможность построения стенда для исследования течений жидкостей в подземных пластах. Для учета сжимаемости в системах Навье — Стокса и Буссинеска использована регуляризация, учитывающая слабую сжимаемость частиц вдоль траекторий. Модельные расчеты течений в капиллярах указывают на наличие эффектов, объясняющих падение расходов при заданных перепадах давления. Проведены модельные расчеты течений в подземном пласте при наличии добывающих и нагнетательной скважин. Отмечено значительное преобладание конвективных процессов в пласте от нагнетательной скважины. Список литературы 1. Волков П. К. Моделирование в наземных условиях природных сред в пластах месторождений. ДАН. 2007. Т. 417. № 3. С. 332–336. 2. Volkov P. K. Prediction of properties of nonlinear processes. CP1067,’34-AMEE’08. 2008. С. 174–184. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ВОЛН БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЫ В ШЕЛЬФОВОЙ ЗОНЕ МОРЯ Н. В. Гаврилов, В. Ю. Ляпидевский Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Одним из эффективных механизмов трансформации энергии крупномасштабных течений в океане и атмосфере в движения более мелкого масштаба и последующей ее диссипации является генерация внутренних волн в стратифицированной по плотности среде. В шельфовой зоне моря нелинейные внутренние волны, генерируемые приливами и в результате взаимодействия течений с топографией, распространяются в сторону берега в виде пакетов уединенных волн. Характерной особенностью внутренних волн большой амплитуды, как придонных, так и приповерхностных, является их способность переносить частицы жидкости и Гаврилова К. Н., Ляпидевский В. Ю., Хе А. К. 93 примесей на большие расстояния. Структура такого течения в последнее время интенсивно изучается теоретически и экспериментально. В стратифицированных водоемах внутренние волны с “захваченным ядром” обнаружены в придонном и поверхностном слоях, а также на границе раздела однородных слоев жидкости различной плотности. Интрузионные течения в виде симметричных уединенных волн на границе раздела жидкостей в настоящее время интенсивно исследуются экспериментальными и теоретическими методами. Интерес к этому классу течений вызван уникальной способностью вихреволновых течений переносить массу вдоль высокоградиентных прослоек в стратифицированной жидкости за счет начального горизонтального импульса. В работе проведено теоретическое и экспериментальное исследование симметричных уединенных волн на границе раздела двухслойной жидкости. На основе математической модели двухслойной мелкой воды, учитывающей влияние нелинейности и дисперсии, построены аналитические и численные решения задачи о распространении внутренних волн в интрузионных и гравитационных течениях. Показано, что учет трения на границах раздела в математической модели позволяет адекватно описать изменение фазовых и амплитудных характеристик уединенных волн в процессе их распространения. Построенные аналитические и численные решения применены для описания эволюции приповерхностных и придонных внутренних волн большой амплитуды в шельфовой зоне моря. Работа выполнена при финансовой поддержке Интеграционного гранта СО РАН № 65, Программ РАН 14.14, 17.10 и Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00427). РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В СЛАБОДИССИПАТИВНЫХ СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ К. Н. Гаврилова, В. Ю. Ляпидевский, А. К. Хе Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет При распространении нелинейных возмущений в средах с внутренними и внешними свободными границами определяющую роль в формировании фронта волны играют диссипация и дисперсия. Так, существование стационарных возмущений в средах с внутренней инерцией, связанной с генераций мелкомасштабных движений в окрестности свободной границы, обусловлено взаимной компенсацией нелинейных, дисперсионных и диссипативных эффектов. При численной реализации волновых движений среды с интенсивными внутренними колебаниями на структуру течений может оказывать существенное влияние аппроксимативная вязкость, присущая данной численной схеме. Диссипация энергии также может быть связана с оттоком энергии в движения подсеточного масштаба. Указанные эффекты проявляются, в частности, при формировании нелинейных волновых накатов, описываемых в рамках нового класса гиперболических дисперсионных моделей течений сжимаемой и несжимаемой жидкости [1]. В работе рассматриваются уравнения Грина — Нагди, Иорданского — Когарко и их гиперболические аппроксимации, описывающие распространение нелинейных волн в однородной и пузырьковой жидкостях. Исследовано влияние диссипации энергии на структуру волновых накатов. Проведено сравнение аналитических и численных решений задачи о генерации нелинейных волн в открытом канале с экспериментальными данными [2]. Показана эффективность гиперболической аппроксимации уравнений в задаче о накате волнового бора на берег. Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 16.7, Российского фонда фундаментальных исследований (код А. М. Гайфуллин, А. В. Зубцов 94 проекта 10-01-00338), а также гранта Президента РФ для Молодых кандидатов наук (МК4417.2009.1). Список литературы 1. Ляпидевский В. Ю., Гаврилова К. Н. Дисперсионные эффекты и блокировка потока при обтекании порога. ПМТФ. 2008. Т. 49. № 1. С. 45–58. 2. Jensen A., Pedersen G.K., Wood D.J. An experimental study of wave run-up at a steep beach. J. Fluid Mech. 2003. V. 486. pp. 161–188. ВЯЗКИЕ ТЕЧЕНИЯ С ЗАМКНУТЫМИ ЛИНИЯМИ ТОКА А. М. Гайфуллин, А. В. Зубцов ЦАГИ им проф. Н.Е. Жуковского, Жуковский Рассмотрен случай, когда в области с замкнутыми линиями тока, завихренность нестационарного течения жидкости ω в главном приближении зависит лишь от функции тока ψ и времени t. Из уравнений Навье — Стокса получено интегро-дифференциальное уравнение для функции ω(ψ, t), которое связывает изменение по времени циркуляции по замкнутому контуру ψ =const с расширением этого контура и с диффузией завихренности через его границу. Показано, что полученное уравнение допускает решения, которые автомодельны по t. При этом возможно только три класса автомодельных решений: стационарный класс, степенной класс, √ соответствующий рециркуляционным зонам, размер которых растет пропорционально t, а поток завихренности через рециркуляционную область изменяется по времени по степенному закону с произвольным показателем степени и экспоненциальный класс, в котором характерные линейные размеры не меняются со временем, а поток завихренности через рециркуляционную область со временем экспоненциально возрастает. Рассматриваются конкретные примеры. Для случая диффузии двух противоположно закрученных вихрей раскрыт механизм диссипации циркуляции вихрей. Построено асимптотическое решение задачи, найдены скорости движения центров вихрей. На больших временах течение √ выходит на автомодельный режим. Размер вихревого кластера√растет пропорционально t, а циркуляция половины области падает пропорционально 1/ t. Рассматривается также задача Лаврентьева и Шабата об эволюции вихревого диполя в пространстве с переменной по времени турбулентной вязкостью [1], §35. Получены асимптотические зависимости поведения завихренности при изменении функции тока вблизи центра вихря и вблизи границы вихревой области. Исследовано обтекание пластины, поверхность которой движется навстречу набегающему потоку жидкости. В зависимости от величины относительной скорости поверхности пластины реализуются три типа течений. По мере увеличения u0 течение описывается сначала уравнениями стационарного пограничного слоя, затем течение жидкости сохраняет стационарный характер и соответствует вихрепотенциальному течению, а при достаточно больших скоростях обтекание пластины нестационарно. В последнем случае при t 1 течение выходит на автомодельный режим. В случае стационарного вихрепотенциального течения обсуждается предельная картина течения при Re → ∞. При максимальной скорости u0 , при которой еще реализуется такое течение, вихрепотенциальная область соответствует области, описанной Лаврентьевым и Шабатом в задаче о склейке [1], §22). Сопротивление пластины в этом случае в главном приближении обращается в нуль. √ Рассмотрен случай обтекания расширяющейся пропорционально t пластины потоком, √ набегающим на нее со скоростью пропорциональной 1/ t. В случае невязкой жидкости такое Георгиевский П. Ю., Левин В. А. 95 обтекание пластины известно. Оно соответствует предельному классу автомодельных течений — течений с отрывными вихревыми структурами с постоянной по времени циркуляцией. Вместо вихревых пелен при таком обтекании образуются дискретные вихри. Оказалось, что и вязкая жидкость допускает в этом случае автомодельное решение. Образующиеся при обтекании расширяющейся пластины вихри также имеют постоянную циркуляцию, а в автомодельных переменных еще и неизменный размер, стремящийся к нулю при Re → ∞. Обсуждается структура слоя смешения, сбегающего с поверхности пластины. Численное решение уравнений Навье — Стокса подтвердило, что на больших временах во всех рассмотренных примерах поведение характеристик течения выходит на автомодельный режим. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№10-08-00375, №10-01-00516) и ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” (Государственный контракт № 02.740.11.0203). Список литературы 1. М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977, 407 с. ЛОКАЛИЗОВАННЫЙ ЭНЕРГОВКЛАД КАК СПОСОБ УМЕНЬШЕНИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ОБТЕКАНИЕМ ТЕЛ П. Ю. Георгиевский1 , В. А. Левин2 1 2 Институт механики МГУ имени М. В. Ломоносова Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Идея использования локализованного в ограниченной области сверхзвукового потока энерговклада для уменьшения сопротивления тел была сформулирована в СССР более 20 лет назад [1]. В настоящем докладе обсуждаются новые результаты по управлению обтеканием тел, полученные авторами в последние годы. Эффект понижения волнового сопротивления тела при энерговкладе в набегающий поток обусловлен возникновением позади области энерговклада температурного следа с пониженными значениями плотности и полного давления. Если температурный след содержит все тело целиком, то уменьшение сопротивления является очевидным следствием уменьшения скоростного напора, однако сэкономленная мощность в этом случае оказывается значительно меньше затраченной. При энерговкладе, организованном в области малого размера, за счет взаимодействия тонкого температурного следа с ударным слоем возможно формирование передних отрывных зон. В этом случае эффективность понижения сопротивления теоретически может быть сколь угодно высокой, поскольку статическое давление внутри передней отрывной зоны зависит только от полного давления в следе и не зависит от его толщины. Однако на практике серьезной проблемой являются пульсационная и сдвиговая неустойчивости отрывных зон, которые наблюдались в численных расчетах для малых областей энерговклада. Был обнаружен эффект гистерезиса при формировании отрывных зон, подтверждающий возможность избежать развития пульсационной неустойчивости, и предложен способ подавления сдвиговой неустойчивости, основанный на использовании импульсно-периодического энерговклада. При энерговкладе, организованном в тороидальной области, проявляется эффект маховского отражения ударной волны от оси симметрии течения, что наряду с понижением полного Годунов С. К., Пешков И. М. 96 давления в кольцевом температурном следе является причиной реструктуризации течения. При определенных условиях зафиксировано формирование передних отрывных зон и внезапное расширение температурного следа. В расчетах наблюдается эффективное снижение сопротивления при сохранении устойчивости течения. Отмечено наличие холодной кольцевой струи, изолирующей поверхность тела от растекающегося в ударном слое высокотемпературного следа. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 08-01-00033) и Федерального агентства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ (проект НШ-8424.2010.1). Список литературы 1. Георгиевский П. Ю., Левин В. А. Сверхзвуковое обтекание тел при наличии внешних источников тепловыделения. Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14. Вып. 8. С. 684–687. ТЕРМОДИНАМИКА И ЕЁ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В МОДЕЛИРОВАНИИ ПОВЕДЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ С. К. Годунов Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск Лекция посвящена основному для моей многолетней работе вопросу, а именно принципам построения дискретных моделей сплошной среды и гипотезам, которые должны быть положены в основу понятия обобщённого решения систем законов сохранения. Насколько мне известно, понятие обобщённого решения ещё окончательно не выработалось, хотя и широко используется. Я изложу свою точку решения по этому поводу. В докладе использованы исследования, выполняющиеся при поддержке гранта президента Российской Федерации “Ведущие научные школы” НШ-4292.2008.1 и заказного междисциплинарного проекта № 40 Президиума СО РАН. МОДЕЛИРОВАНИЕ БОЛЬШИХ УПРУГИХ И УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ С. К. Годунов, И. М. Пешков Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск В работе рассматривается вопрос вычислительного моделирования больших упругих и упругопластических деформаций твердых тел. Для этого построена математическая модель твердого тела в виде законов сохранения в лагранжевых переменных [1, 2]. Для описания пластических деформаций используется подход максвелловских вязкостей. В этом случае естественным образом возникает понятие тензора эффективной, или мгновенной, упругой дисторсии E, который представляется произведением тензора реальной дисторсии (тензора градиентов деформации) C на тензор пластической дисторсии B: E = CB. Элементы cij тензора реальной дисторсии C вычисляются как cij = ∂xi /∂ξj , где xi , ξj — эйлеровы и лагранжевы координаты точек среды соответственно. Головин С. В. 97 В таком описании тензор пластической дисторсии B описывает накопление дефектов (дислокаций) в среде при пластических деформациях. При этом подразумевается, что при разгрузке среда возвращается в состояние, характеризуемое тензором E −1 , а не C −1 . Другими словами, в среде остаются так называемые остаточные деформации, определяемые пластическим тензором B. В докладе также будут продемонстрированы различные примеры расчетов. Работа выполнена при поддержке гранта президента Российской Федерации “Ведущие научные школы” НШ-4242.2010.1 и заказного междисциплинарного проекта №40 (тема Д6 220409) Президиума СО РАН. Список литературы 1. Годунов С. К., Пешков И. М. Симметрические гиперболические уравнения нелинейной теории упругости. Журн. выч. математики и мат. физики. 2008. Т. 48. № 6. С. 1034–1055. 2. Пешков И. М. Численное моделирование разрывных решений в нелинейной теории упругости. ПМТФ. 2009. Т. 5. С. 152–161. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ МГД-ТЕЧЕНИЙ С. В. Головин Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Геометрические и теоретико-групповые методы играют важную роль при исследовании математических моделей идеальной (бездиссипативной) механики сплошных сред. Геометрические соображения позволяют увязать в одну картину переменные Клебша и их обобщения, гамильтоновскую формулировку уравнений, лагранжевы координаты и их инвариантность относительно перенумерации частиц, топологические инварианты движения жидкости типа спиральности и многие другие вопросы [1, 2]. Для уравнений магнитостатики введение криволинейных систем координат, согласованных с равновесными магнитными поверхностями, позволяет дать описание нетривиальных тороидальных конфигураций магнитного поля, важных для задач магнитного удержания плазмы [3]. В работе [4] путем введения специальной криволинейной системы координат, согласованной с течением жидкости и конфигурацией вмороженного магнитного поля, дано описание стационарных течений идеальной бесконечно проводящей жидкости с постоянным полным давлением. Показано, что в таких течениях контактные магнитные поверхности являются поверхностями переноса, то есть получаются в результате параллельного переноса одной пространственной кривой вдоль другой. В настоящей работе полученная система уравнений исследуется на предмет геометрической интерпретации введенных криволинейных координат, их связи с переменными Клебша, описанием топологических инвариантов течения жидкости. Предлагаются обобщения данного подхода на случаи стационарной идеальной магнитной газодинамики (сжимаемая среда) и нестационарной магнитной гидродинамики. Показано, что в нестационарном случае одновременное использование криволинейных и лагранжевых координат позволяет разделить описание движения бесконечно проводящей жидкости и эволюцию вмороженного магнитного поля. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00047), Министерства науки и образования РФ (проект 2.1.1/3543) и программой ОЭММПУ РАН (проект 14.14.1). Голубятников А. Н., Леонтьев Н. Е. 98 Список литературы 1. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн. УФН. 1997. Т. 167, № 11. 1137–1167. 2. Арнольд B. И., Хесин Б. А. Топологические методы в гидродинамике. М.: МЦНМО, 2007. 3. Сковорода А. А. Магнитные ловушки для удержания плазмы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 4. Golovin S. V. Analytical description of stationary ideal MHD flows with constant total pressure. Phys. Lett. A. 2010. V. 374, 901–905. УПРУГАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ОБ УСКОРЕНИИ СЛОЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ А. Н. Голубятников, Н. Е. Леонтьев Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова На примере точного решения задачи об ускорении слоя мягкого материала с однородной деформацией продемонстрированы трудности, возникающие в рамках модели несжимаемой жидкости, преодоление которых возможно при учете поперечной к движению упругости среды. Ранее модель такого жидкокристаллического поведения материала была использована для подавления неустойчивостей метания взрывом металлических оболочек [1]. Создание движения с однородной деформацией обеспечивает наилучшее энергетическое использование работы внешнего давления [2]. Понимание поведения решения необходимо для развития асимптотических методов динамики тонких оболочек [3]. В простейшем случае рассматривается слой материала, заключенного между гиперболоидом вращения H и его асимптотическим конусом C. Внешнее давление на H равно нулю, на C однородно, но зависит от времени и определяется решением задачи. Материал несжимаем. Для начала движения необходимо приложить мгновенный удар, импульс которого удовлетворяет таким же краевым условиям. В этом случае решение определяет единственный угол раствора конуса в 109.4◦ . Но в рамках модели несжимаемой жидкости величина импульса оказывается бесконечной. Вместе с этим бесконечны распределения начальных скорости и давления. Для преодоления этой трудности вводится модель слоистой упругости, подобная известной модели Муни для каучука. Такого рода остаточная упругость может быть связана с расслоением материала на начальном этапе нагружения за счет прохождения серии волн нагрузки и разгрузки. Введение упругого, даже малого, сопротивления деформированию слоя делает конечными все указанные величины. Постановка задачи допускает различные расширения. Вместо конуса можно взять другой гиперболоид с тем же или параллельным ему асимптотическим конусом, рассмотреть переменное вдоль границы давление. При других углах раствора конуса решение существует при переменных граничных значениях начального импульса. При этом часть поверхности переднего гиперболоида приходится тормозить для организации движения с однородной деформацией. В противном случае будет образовываться осевая или кольцевая струя. Можно рассмотреть конус эллиптического сечения и исследовать переход к плоской задаче, поставить оптимизационную задачу по параметрам и т.д. Все эти вопросы будут обсуждаться в докладе. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00026, 08-01-00401). Гончарова О. Н., Кабов О. А. 99 Список литературы 1. Голубятников А. Н., Зоненко С. И., Черный Г. Г. Новые модели и задачи теории кумуляции. Успехи механики. 2005. Т. 3. № 1. С. 31–93. 2. Голубятников А. Н. Интегральные неравенства в задачах газовой динамики. Аэромеханика и газовая динамика. 2001. № 1. С. 74–81. 3. Голубятников А. Н., Зоненко С. И., Черный Г. Г. Новые модели оболочек, метаемых взрывом. Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 5. С. 727–743. ЗАДАЧИ КОНВЕКЦИИ С УЧЕТОМ ИСПАРЕНИЯ ПРИ СОПУТСТВУЮЩЕМ ПОТОКЕ ГАЗА О. Н. Гончарова1,3 , О. А. Кабов2,3 1 Алтайский государственный университет, Барнаул Институт теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск 3 Heat Transfer Institute of Universite Libre de Bruxelles, Belgium 2 В данной работе изучаются постановки задач, описывающих процессы конвекции жидкости в областях с границей раздела в условиях гравитации и микрогравитации. Изучаются особенности конвекции, обусловленные дополнительными касательными напряжениями со стороны газа, а также испарением с границы раздела. Возросший интерес к подобным задачам вызван проведением экспериментов в наземных условиях и подготовкой новых экспериментов на Международной космической станции в рамках научного проекта CIMEX [1]. Основным вопросом математического моделирования вышеназванных процессов переноса является формулировка условий на границе раздела двух сред [2]. При выводе условий на термокапиллярной границе раздела используются соотношения на сильном разрыве (Овсянников Л.В., 1977), а также некоторые дополнительные условия (дополнительное условие баланса массы, некоторые законы и эмпирические соотношения). Представлены результаты безразмерного анализа, аналитического и численного исследования упрощенных задач конвекции с учетом испарения в полной постановке и в приближении тонкого слоя. Приводится обзор точных решений модельных задач, которые описывают стационарную и нестационарную конвекцию в бесконечном слое жидкости со свободными границами при сопутствующем потоке газа. Данные двумерные и трехмерные решения являются обобщением известных решений (Левич В.Г., 1956; Бирих Р.В., 1966; Napolitano, 1980; Пухначёв В.В., 1999), групповая природа которых изучена в [3]. Работа выполнена в рамках научных проектов SAFIR PRODEX и CIMEX PRODEX (Бельгия) при финансовой поддержке Сибирского Отделения РАН (совместные Интеграционные проекты № 116, № 64) и РФФИ (коды проектов 10-01-00007, 09-08-01127). Список литературы 1. Iorio C. S., Kabov O. A., Legros J-C. Thermal Patterns in evaporating liquid. Microgravity sci. technol. 2007. Vol. XIX-3/4. P. 27–29. 2. Iorio C. S., Goncharova O. N., Kabov O. A.. Study of evaporative convection in an open cavity under shear stress flow. Microgravity sci. technol. 2009. Vol. 21-1. P. 313–319. 3. Пухначёв В. В. Теоретико-групповая природа решения Бириха и его обобщения. Сб. трудов “Симметрии и дифференциальные уравнения”, Красноярск. 2000. С. 180–183. Григорьев Ю. Н., Горобчук А. Г. 100 МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЧ-РАЗРЯДА В ПЛАЗМОХИМИЧЕСКОМ РЕАКТОРЕ ТРАВЛЕНИЯ Ю. Н. Григорьев, А. Г. Горобчук Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск В последнее время ведутся интенсивные исследования ВЧ-разряда в реакторах плазмохимического травления, используемых в полупроводниковой промышленности. С вычислительной точки зрения исследование физики ВЧ-разряда даже в одномерной постановке является сложной и трудоемкой задачей, особенно при использовании кинетического подхода. Поэтому в расчетах часто преобладают одномерные модели ВЧ-разряда. В реакторах плазмохимического травления для исследования физических механизмов влияния электронной компоненты необходимо математическое моделирование ВЧ-разряда в двумерной постановке. Работы, посвященные таким расчетам, крайне немногочисленны и отличаются используемыми моделями и рабочими режимами ВЧ-разряда (давлением, составом газа, протекающими токами и т.д.). В работе в рамках наиболее полного гидродинамического приближения исследуется влияние двумерной структуры ВЧ-разряда на процессы тепломассобмена в плазмохимическом реакторе при травлении кремния в CF4 /O2 . Расчеты выполнены с использованием двумерной математической модели неизотермического реактора, в которой движение газовой смеси описывалось уравнениями многокомпонентной гидродинамики с учетом конвективно-диффузионного переноса отдельных компонент смеси [1]. Для определения внутренних характеристик низкотемпературной плазмы в диапазоне рабочих давлений 0.1–1.0 торр использовалась гидродинамическая модель аксиально-симметричного ВЧ-разряда в трехмоментном приближении [2]. Модель включает уравнения непрерывности для электронов и положительных ионов, уравнение баланса энергии электронов и уравнение Пуассона для электрического потенциала. Для численного решения системы уравнений кинетики ВЧ-разряда были разработаны экономичные конечноразностные методы на основе модифицированной схемы Шарфетера — Гуммеля, обеспечивающие положительность средней энергии и концентраций компонент плазмы. Исследовано влияние ВЧ-разряда на скорость и однородность травления кремниевых образцов в смеси тетрафторметана CF4 с кислородом. Найдено, что однородность травления образцов существенно зависит от изменения электронной плотности в радиальном направлении, которым часто пренебрегают, рассчитывая разряд в одномерной постановке. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00116). Список литературы 1. Grigoryev Yu. N., Gorobchuk A. G. Numerical simulation of plasma-chemical processing semiconductors. Micro Electronic and Mechanical Systems. Ed. by Kenichi Takahata. In-Tech Education and Publishing, 2009. 2. Graves D. B., Jensen K. F. A continuum model of DC and RF discharges. IEEE Transactions on plasma science. 1986. Vol. PS-14. P. 78–91. Джобулаева Ж. К. 101 ЛИНЕЙНАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАТЕЛЬНО-ВОЗБУЖДЕННОГО МОЛЕКУЛЯРНОГО ГАЗА Ю. Н. Григорьев1 , И. В. Ершов2 1 2 Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет В докладе представлены результаты исследований влияния возбуждения колебательных мод на устойчивость сдвиговых течений молекулярных газов. Линейная устойчивость рассматривалась на основе линеаризованной системы уравнений двухтемпературной невязкой газовой динамики, в которой релаксация колебательной моды описывается линеаризованным уравнением Ландау — Теллера. На основе энергетических интегралов для возмущений получены необходимые и достаточные условия устойчивости рассматриваемых течения. Доказано, что термическая релаксация создает дополнительный диссипативный фактор, повышающий устойчивость потока. В верхней комплексной полуплоскости выделена область собственных значений неустойчивых возмущений. Выполнены численные расчеты собственных значений и собственных функций неустойчивых невязких мод для конкретных стационарных течений — течения Куэтта, вихревой пелены, кусочно-линейной струи. Проанализирована их зависимость от числа Маха несущего потока, времени колебательной релаксации и степени неравновесности колебательной моды. Найдены наиболее неустойчивые моды с максимальной скоростью нарастания. Показано, что релаксация, так же, как и сжимаемость, снижает инкременты нарастания неустойчивых возмущений. Нелинейная устойчивость рассматривалась на основе энергетической теории устойчивости в рамках полной системы Навье — Стокса сжимаемого газа, дополненной уравнением Ландау — Теллера. Исследованы качественные свойства возникающей здесь вариационной задачи. Получены асимптотическое и численное решения соответствующей спектральной задачи о критическом числе Рейнольдса в течении Куэтта, меньше которого все возмущения затухают. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00116). ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С ДВУМЯ МАЛЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Ж. К. Джобулаева Институт математики Министерства образования и науки Республики Казахстан, Алматы Рассматривается задача с двумя малыми параметрами κ > 0 и æ > 0 для системы параболических уравнений в пространстве Гельдера. Пусть Ω1 = (0, ρ0 ), Ω2 = (ρ0 , l), 0 < ρ0 < l, ΩjT = Ωj × (0, T ), σT = (0, T ). Обозначим через Lk (∂t , ∂x ; x, t), k = 1 − 4, параболические операторы второго порядка. Требуется найти функции vj (x, t), zj (x, t), j = 1, 2, и ψ(t), удовлетворяющие параболическим уравнениям Lj vj − qj (x, t)χ(x − ρ0 )ψ 0 (t) = Fj (x, t) в Lj+2 zj − qj+2 (x, t)χ(x − ρ0 )ψ 0 (t) = Gj (x, t) в ΩjT , ΩjT , j = 1, 2, j = 1, 2, начальным и граничным условиям ψ t=0 = 0, vj t=0 = 0, zj t=0 = 0 в Ωj , j = 1, 2, (1) (2) (3) Дудко О. В., Потянихин Д. А. 102 v1 x=0 = p1 (t), z1 x=0 = q1 (t), v2 x=l = p2 (t), t ∈ σT , z2 x=l = q2 (t), t ∈ σT (4) (5) и условиям сопряжения при x = ρ0 , t ∈ σT v1 − v2 = ϕ1 (t), (6) zj − σj (vj ) = ϕ2 (t), j = 1, 2, (7) λ1 (x, t)∂x v1 − λ2 (x, t)∂x v2 + κψ 0 (t) = ϕ3 (t) (8) k1 (x, t)∂x z1 − k2 (x, t)∂x z2 + æψ 0 (t) = ϕ4 (t), (9) где λj , kj , j = 1, 2 — положительные постоянные, χ(λ) — гладкая срезающая функция, равная единице при |λ| ≤ δ0 , и нулю при |λ| ≥ 2δ0 и имеющая оценку |dj χ/dxj | ≤ cj δ0−j , δ0 =const> 0. (1)−(9) является линеаризованной задачей нелинейной задачи со свободной границей с двумя малыми параметрами, описывающей процесс фазовых переходов (плавление, кристализацию) вещества с температурой vj (x, t), j = 1, 2, в котором содержится примесь с концентрацией zj (x, t), j = 1, 2. Доказаны существование и единственность решения задачи (1)–(9) в пространстве Гельдера при κ > 0, æ > 0 локально по времени, получены коэрцитивные оценки решения с константой, не зависящей от малых параметров κ, æ. Это позволяет при помощи предельного перехода при κ → 0, æ → 0 в решении получить разрешимость задач со свободной границей с κ = 0, æ > 0; κ > 0, æ = 0 и κ = 0, æ = 0. АВТОМОДЕЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ О. В. Дудко, Д. А. Потянихин Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Предположение об адиабатичности процессов приводит к неединственности решения в задачах ударного деформирования упругих сред. При одних и тех же граничных воздействиях деформации с математической точки зрения могут распространяться посредством различных волновых фронтов. Рассматривается задача об отражении плоской продольной ударной волны Σ1 от свободной границы нелинейно упругого полупространства. Анализ системы модельных соотношений в предположении автомодельности процесса деформирования показывает, что волновая картина может состоять из различных комбинаций плоских ударных фронтов и простых волн Римана (рис. 1, 2). На ударных и слабых волнах параметры напряженно-деформированного состояния и движения точек среды связаны динамическими и кинематическими условиями совместности первого и второго порядка [2] соответственно. В предложенном исследовании задача решается одновременно в двух постановках (рис. 1, 2), а в качестве реализуемого решения выбирается то, которое удовлетворяет условию эволюционности и условию термодинамической совместности ударных волн [1], аналогом которого в газовой динамике является теорема Цемплена. Серия вычислительных экспериментов позволила изучить зависимость напряженно-деформированного состояния в упругом теле от угла падения и интенсивности ударной волны Σ1 . Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00001-a). Евстигнеев Н. К., Князева А. Г. Рис. 1: Первая постановка задачи 103 Рис. 2: Вторая постановка задачи Список литературы 1. Буренин А. А., Чернышов А. Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве. ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 4. С. 711–717. 2. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СРЕДЫ НА РЕЖИМЫ ПРЕВРАЩЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ЭКСТРУЗИИ ЧЕРЕЗ КОНИЧЕСКУЮ ПРЕСС-ФОРМУ Н. К. Евстигнеев1 , А. Г. Князева2 1 2 Томский государственный университет Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск Одной из актуальных задач теории и практики СВС-экструзии порошковых материалов является изучение напряженного состояния продуктов синтеза под действием приложенных сил. При описании поведения пористых материалов в этих условиях часто используется макрореологический подход, предложенный в [1]. Как правило, при описании реологии подобных систем в качестве исходной принимается модель вязкой сжимаемой жидкости [2]. В настоящей работе анализируется влияние различных реологических соотношений, соответствующих материалам с разными реологическими свойствами, на распределения температуры, степени превращения, компонент тензоров напряжений, деформаций и скоростей при варьировании геометрических размеров камеры, условий нагрева и нагружения. Проанализировано несколько реологических моделей. В гипоупругой модели приращения компонент тензора напряжений линейно связаны с приращениями компонент тензора деформаций, приращениями температуры и степени превращения. В модели вязкой среды известная аналогия между компонентами тензоров напряжений и деформаций распространена на внутренние напряжения, вызванные неравномерным нагревом и изменением свойств в ходе реакции. Вязкоупругая модель учитывает все названные эффекты. Рассмотрены связанные и несвязанные варианты моделей. Объектом исследования является цилиндрическая камера с конической выходной частью, заполненная порошковой прессовкой. В камере инициируется экзотермическая химическая реакция, формируется продукт реакции, после чего начинается выдавливание прессом смеси веществ, содержащихся в камере. Остывание системы с боковых поверхностей описывается в соответствии с законом Ньютона. В модели учитывается, что на скорость химического превращения оказывают влияние механические напряжения, как внешние, так и внутренние. Ермаков М. К. 104 Задача является осесимметричной и сформулирована в двумерной постановке в цилиндрической системе координат. Исследование модели проведено численно. На первом этапе решаются уравнения баланса тепла и химической кинетики с использованием схемы переменных направлений. Далее осуществляется решение уравнений движения вещества в камере методом последовательной верхней релаксации. Список литературы 1. Ковальченко М. C. Теоретические основы горячей обработки пористых материалов давлением. Киев: Наукова думка, 1980. 2. Стельмах Л. С., Жиляева Н. Н., Столин А. М. О неизотермической реодинамике при СВСпрессовании порошковых материалов. ИФЖ. 1991. Т. 61. № 1. С. 33–40. ТРЕХМЕРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ М. К. Ермаков Институт проблем механики им. А.Ю̇. Ишлинского РАН, Москва Моделирование и исследование линейной устойчивости осесимметричных конвективных течений в ограниченных областях осуществляется на основе матричного подхода. Стационарное основное течение определяется применением метода Ньютона в матричной форме для невязок конечно-разностных аппроксимаций. Исследование устойчивости возмущений в виде нормальных мод в азимутальном направлении сводится к решению обобщенной задачи на собственные значения. Для нахождения собственных значений и собственных векторов используется метод обратных итераций со сдвигами. Решение возникающих систем линейных уравнений (над полем действительных чисел для нахождения основного течения и над полем комплексных чисел для решения задачи на собственные значения) реализуется методом сопряженных градиентов с переобуславливанием. Исследуется устойчивость термокапиллярной конвекции в жидких мостах при больших числах Прандтля, в частности, для условий космического эксперимента MEIS-2 (Япония, 2009). Исследованы зависимости критического термокапиллярного числа Рейнольдса от числа Прандтля жидкости и отношения высоты жидкого моста к диаметру. Приводятся результаты сравнения параметров течения и критических значений для бенчмарка по методу Чохральского [1]. Исследуется влияние глубины кругового бассейна и вращения бассейна вокруг своей оси на критические параметры термокапиллярного течения при горизонтальном направлении температурного градиента. Результаты, полученные численным путем, сравниваются с результатами эксперимента MAGIA в условиях невесомости и нормальной силы тяжести [2, 3]. Список литературы 1. Crnogorac N., Wilke H., Cliffe K.A., Gelfgat A. Yu., and Kit E. Numerical modeling of instability and supercritical oscillatory states in a Czochralski model system of oxide melts. Crystal Research and Technology, 43 (2008) 606–615. 2. Schwabe D., Zebib A., Sim B-C. Oscillatory thermocapillary convection in open cylindrical annuli. Part 1. Experiments under microgravity. J. Fluid Mech., 491 (2003) 491. Ерманюк Е. В., Вуазен Б., Флор Ж. Б. 105 3. Schwabe D., Benz S. Termocapillary flow instabilities in an annulus under microgravity results of experiment Magia. Adv. Space Res., 29 (2002) 629. СТРУКТУРА БАРОКЛИННЫХ ПРИЛИВОВ В ОКРЕСТНОСТИ ПОДВОДНЫХ ГОР Е. В. Ерманюк1 , Б. Вуазен2 , Ж. Б. Флор2 , 1 2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Лаборатория геофизических и индустриальных течений, Гренобль Генерация внутренних волн при взаимодействии приливных течений с топографией дна играет существенную роль в общем балансе потерь энергии баротропных приливов [1]. Случай плоской задачи исследован наиболее полно [2, 3]. Структура поля внутренних волн в пространственном случае значительно менее изучена. В настоящей работе представлены результаты экспериментального и теоретического исследования модельной задачи о структуре пространственных полей внутренних волн, генерируемых горизонтальными колебаниями сферы в однородно стратифицированной жидкости. Разработан метод измерения параметров внутренних волн с помощью компьютерного анализа смещений флуоресцентных прослоек в толще жидкости. Проведено сопоставление экспериментальных данных и теоретических результатов, полученных на основе [4]. Показано, что параметры волн, излучаемых на фундаментальной частоте колебаний ω, хорошо согласуются с оценками в рамках линейной теории волн в вязкой однородно стратифицированной жидкости в широком диапазоне безразмерных амплитуд колебаний. Определен диапазон применимости теорий ближнего и дальнего поля. Указана необходимость учета эффекта присоединенной массы для корректной оценки амплитуд излучаемых волн. Показано, что волны, излучаемые на кратных частотах nω, являются эффектами n-го порядка по амплитуде колебаний, причем диаграммы направленности излучения для кратных гармоник соответствуют мультиполям порядка 2n. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00427) и Президиума РАН (программа 17.4). Список литературы 1. Garrett C. , Kunze E. Internal tide generation in the deep ocean. Annu. Rev. Fluid Mech. 2007. V. 39. P. 57–87. 2. Vlasenko V. Stashchuk N. , Hutter K. Baroclinic Tides: Theoretical Modeling and Observational Evidence. Cambridge University Press, 2005. 3. Korobov A. S., Lamb K. G. Interharmonics in internal gravity waves generated by tidetopography interaction. J. Fluid Mech. 2008. V. 611. P. 61–95. 4. Voisin B. Limit states of internal wave beams. J. Fluid Mech. 2003. V. 496. P. 243–293. Жук В. И. 106 ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОНВЕКЦИИ В ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ БИНАРНЫХ СМЕСЕЙ М. В. Ефимова Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск С развитием современной технологии возникают новые задачи, когда на поверхности раздела сред необходимо учитывать зависимость поверхностного натяжения как от температуры, так и от концентрации. В данной работе исследуется система двух горизонтальных плоских слоев бинарных смесей с деформируемыми поверхностью раздела и свободной границей в отсутствии массовых сил. В качестве математической модели используются уравнения термодиффузионного движения [1]. Считается, что на твердой стенке выполнено условие прилипания, задана температура и отсутствует поток вещества. На поверхности раздела должны быть выполнены динамическое и кинематическое условия, а также равенства скоростей, температур, потоков тепла, вещества и баланса концентраций. На свободной границе ставятся кинематическое и динамическое условия, отсутствие потока вещества, теплообмена. Считается, что поверхностное натяжение как на свободной границе, так и на поверхности раздела линейно зависит от температуры и концентрации. Для равновесного состояния выписана система уравнений малых возмущений, решение которой ищется в виде нормальных волн. Для монотонных возмущений получена аналитическая зависимость числа Марангони от безразмерных физических и геометрических характеристик системы. Показано, что рост числа Марангони приводит к увеличению области длинноволновой устойчивости. Для произвольных возмущений задача решена численно методом ортогонализации. Обнаружено, что при малых значениях числа Марангони потеря устойчивости происходит за счет термодиффузионных эффектов. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-01-00762) и интеграционного проекта № 116 СО РАН. Список литературы 1. Андреев В. К., Захватаев В. Е., Рябицкий Е. А. Термокапиллярная неустойчивость. Н.: Наука, 2000. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В. И. Жук Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, Москва Распространение идей теории неклассического пограничного слоя с самоиндуцированным давлением на случай чисел Маха M∞ , близких к единице, приводит к краевой задаче ∂ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2ϕ + K∞ + α − 2 = 0, (1) ∂t∂x ∂x ∂x2 ∂y ∂ϕ(t, x, 0) = −p(t, x), ∂x ϕ(t, x, 0) ∂A(t, x) =− , ∂y ∂x (2) Зайков А. Ф., Лаврентьев М. М.(мл.), Романенко А. А. ∂u` ∂u` ∂u` ∂p ∂ 2 u` + u` + v` − + , ∂t ∂x y` ∂x ∂y`2 ∂u` ∂v` + = 0, ∂x ∂y` y ` = 0 : u` = v` = 0 , ∂p = 0, ∂y` y` → ∞ : u` → y` + A(t, x) . 107 (3) (4) (5) Трансзвуковой параметр K∞ = O(1) вводится формулой M2∞ − 1 = αK∞ , α → 0 . Уравнение (1) известно как уравнение Линя — Рейсснера — Цяня. Линеаризация системы (1)–(5) и выделение у всех входящих в нее функций экспоненциального множителя exp [ik(x − ct)] дает дисперсионное соотношение ∞ −1 Z i1/3 k 4/3 dAi(ζ)  Ai(Z) dZ  = , ζ = −i1/3 k 1/3 c . (6) dZ (c − K∞ )1/2 ζ Таким образом, задача (1)–(5) имеет решение, если параметры c и k связаны уравнением (6). Построенные по соответствующим собственным функциям флуктуационные поля представляют не что иное, как волны Толлмина — Шлихтинга с критическими слоями, прилегающими к обтекаемой трансзвуковым потоком поверхности. Некоторые свойства дисперсионного соотношения (6) указаны в [1, 2] . Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 10-01-00850 и 10-01-00715), а также АВЦП “Развитие научного потенциала высшей школы” (проект 2.1.1/500). Список литературы 1. Жук В. И. Волны Толлмина — Шлихтинга и солитоны. М.: Наука, 2001. 2. Жук В. И., Чернышев А.В. Дисперсионные уравнения в задаче устойчивости трансзвуковых течений и некоторые их свойства. ЖВМ и МФ. 2010. Т. 50. № 1. С. 164–187. ОПЕРАТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ ЦУНАМИ А. Ф. Зайков1 , М. М. Лаврентьев (мл.)2 , А. А. Романенко1 1 2 Новосибирский государственный университет Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск Защита населения прибрежных территорий от волны цунами базируется на основе системы предупреждения. Система предупреждения о реальности опасности цунами предназначена для прогнозирования параметров волны в различных участках побережья и оценки зон затопления. Чем раньше и правильнее дан прогноз, тем эффективнее будет защищена прибрежная территория. После чилийского землетрясения 27 февраля 2010 г. (с магнитудой M =8.8 оно является пятым по силе за всю историю инструментальных наблюдений) волна цунами вызвала значительные жертвы и разрушения на побережье рядом с эпицентром. В Японии, куда волна пришла в середине дня 28 февраля, на основе прогноза высоты волны до 3 метров из прибрежных районов были эвакуированы сотни тысяч человек. В действительности максимальная зарегистрированная волна на побережье Японии не превышала 1,2 метра и достаточно дорогих эвакуационных мероприятий можно было избежать. Зудов В. Н. 108 Современные алгоритмы способны обрабатывать данные глубоководных измерительных станций (цунамометров) в режиме реального времени при использовании современных аппаратных архитектур, таких, как кластеры с распределенной памятью, многопроцессорные системы с общей памятью, графические процессоры (GPU), IBM Cell BE решения. Рассмотривается одна из составляющих системы предупреждения цунами: расчет распространения волн цунами на глубокой воде (исключая моделирование наката на берег и оценку зон затопления). Моделирование волн цунами на глубокой воде является одной из наиболее трудоемких задач системы предупреждения. Так, размер расчетной области в Тихом океане при шаге сетки 2 минуты (то есть примерно 3.6 км) составляет 2581×2879 точек при 9000 итераций по времени. Авторы демонстрируют результаты адаптации пакета MOST[1], [2], реализующего метод расщепления в нелинейном приближении теории мелкой воды. Прямой перенос исходных кодов на любую из вышеперечисленных платформ не дает желаемых результатов. После проведенных оптимизаций авторы достигли ускорения от 16 до 100 раз в зависимости от используемой архитектуры. Список литературы 1. V.V. Titov, Numerical Modeling of Tsunami Propagation by using Variable Grid, in The IUGG/IOC International Tsunami Symposium, pp. 46–51, Computing Center Siberian Division USSR Academy of Sciences, Novosibirsk, USSR (1989). 2. V. Titov and F. Gonzalez, Implementation and Testing of the Method of Splitting Tsunami (MOST), Technical Memorandum ERL PMEL-112, National Oceanic and Atmospheric Administration, Washington DC (1997). ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНОГО ВИХРЯ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ В. Н. Зудов Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск Исследуются режимы взаимодействия сверхзвукового продольного вихря с поверхностью тела. В качестве тел были рассмотрены клин и простейший воздухозаборник. Рассматриваемая задача может представлять интерес для управления газодинамическим сопротивлением тел, волновой структурой в течениях со скачками уплотнения и процессами смешения и горения при сверхзвуковых скоростях потока. С использованием нестационарных трехмерных уравнений Эйлера и Навье — Стокса численно изучено взаимодействие продольного вихря с различными ударными волнами. Численное моделирование структуры потока при взаимодействии продольного вихря с присоединенной ударной волной, сгенерированной клином, выполнено в диапазоне чисел Маха набегающего потока М=1.5–6 и диапазоне изменения угла клина 15–40 градусов. Показано, что при фиксированных параметрах набегающего потока и параметрах, характеризующих продольный вихрь, наблюдается монотонный переход от режима слабого взаимодействия к сильному взаимодействию. Так, М=2 при угле клина 15 градусов соответствует режиму слабого взаимодействия. Этот режим характеризуется отсутствием дозвуковой зоны за ударной волной. Изменение давления на поверхности клина было незначительным. При фиксированных остальных параметрах дальнейшее монотонное увеличение угла клина приводило к появлению режима умеренного взаимодействия. В режиме умеренного взаимодействия за фронтом Ильинский Н. Б., Камалутдинов И. М. 109 ударной волны возникает замкнутая зона дозвукового течения. В этой зоне не наблюдаются рециркуляционные области. Течение имеет стационарный характер. На плоскости клина появляется область с пониженным давлением. Давление в этой области на 10 процентов меньше давления на клине в случае отсутствия вихря. Зона с пониженным давлением находится ниже осевой линии вихря. Дальнейшее увеличение угла клина приводило к непрерывному переходу от умеренного режима взаимодействия к сильному режиму взаимодействия. Результаты расчетов при М=2 и угле клина 22 градуса показывают, что в этом случае резко меняется форма ударной волны. Формируется локальная, но довольно протяженная, зона дозвукового рециркуляционного течения. Для чисел Маха М=2–6 набегающего потока была рассмотрена задача о взаимодействии сверхзвукового вихря с отошедшей ударной волной, сформированной клином с углом выше критического. Исследовано влияние определяющих параметров на этот тип взаимодействия. Показано изменение в структуре течения по сравнению с присоединенной ударной волной. ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ ЭКРАНОПЛАНА Н. Б. Ильинский, И. М. Камалутдинов НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева, Казань В задачах расчета и проектирования крылового профиля экраноплана под экраном понимают плоскую поверхность, над которой движется профиль. Экран оказывает сильное влияние на аэродинамические характеристики крылового профиля. В частности, на умеренных углах атаки при приближении к экрану наблюдается падение сопротивления и значительный рост подъемной силы (см., напр., [1]). Если для учета изменения подъемной силы достаточно использовать модель идеальной несжимаемой жидкости, то для расчета сопротивления необходимо учитывать вязкость потока. Поскольку число Рейнольдса набегающего потока достаточно велико, то можно воспользоваться моделью пограничного слоя (ПС). Также при этом имеет смысл учитывать ПС, индуцируемый профилем на экране, поскольку, например, согласно работе [2], он может давать до десяти процентов профильного сопротивления. В настоящей работе рассмотрен численно-аналитический метод проектирования крылового профиля над движущимся экраном. Индуцируемый профилем ПС на экране рассчитан прямым решением уравнений Прандтля с применением конечно-разностной связной схемы Дэвиса (см., напр., [3]). Для расчета ПС на профиле использован полуэмпирический метод Кочина — Лойцянского [4]. Высота полета выбрана из соображения отсутствия слияния ПС на профиле и экране. Решение задачи реализовано в виде итерационного процесса. Идея одной итерации этого процесса состоит в проектировании полутела вытеснения профиля над некоторым приближением к полутелу вытеснения на экране (см., напр., [5]). Последующий расчет ПС позволяет определить новое приближение к контуру полутела вытеснения на экране. Проведена серия числовых расчетов. Работа выполнена при финансовой поддержке федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 гг. Список литературы 1. Серебрийский Я. М. Исследование в трубе горизонтального установившегося движения крыла на небольшом расстоянии от земли. Труды ЦАГИ. 1939 вып. 347. 32 с. 2. 2. Бегак М. В. О дополнительной силе сопротивления движению тела вблизи границы раздела сред в вязкой несжимаемой жидкости. Сб. НТО им. акад. А. Н.Крылова. Л.: Судостроение, 1977. вып. 253. С. 18–27. Исаев В. И., Шапеев В. П. 110 3. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен М.: Мир, 1990. Т. 2. 4. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 5. Ильинский Н. Б., Лотфуллин М. В., Маклаков Д. В., Поташев А. В. Определение формы крылового профиля, обтекаемого вблизи границы раздела сред, по заданной эпюре скоростей// Механика жидкости и газа. 1992. № 6. С. 15–21. ВАРИАНТЫ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИЙ И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА В. И. Исаев1 , В. П. Шапеев2 1 Новосибирский государственный университет Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск 2 Метод коллокаций успешно применялся различными исследователями для численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Суть метода заключается в следующем. Приближенное решение ищется в конечномерном линейном пространстве функций. Неизвестные коэффициенты его разложения по базису пространства определяются из уравнений коллокаций и краевых условий. Уравнения коллокаций — требования того, чтобы приближенное решение удовлетворяло уравнениям исходной дифференциальной задачи в конечном множестве точек области (точках коллокаций), в которой ставится эта задача. Краевые условия получаются из соответствующих условий рассматриваемой задачи, записанных в нескольких точках на границе области. В методе коллокаций записывается ровно столько уравнений, сколько имеется неизвестных. В методе коллокаций и наименьших квадратов (КНК) число уравнений превосходит количество неизвестных, то есть система, из которой ищутся неизвестные коэффициенты, является переопределенной. Для ее решения используется метод наименьших квадратов (МНК). В данной работе предложен подход построения вариантов метода КНК высокого порядка точности для уравнений Навье — Стокса. На его основе созданы новые варианты метода до восьмого порядка включительно. Для исследования их возможностей проведены расчеты задачи о течении в каверне с движущейся крышкой, которая в настоящее время считается многими исследователями эталонной для численных методов решения уравнений Навье — Стокса. Среди публикаций, доступных авторам данной работы, в [1, 2] выполнены одни из наиболее точных расчетов этой задачи. Сравнением с ними показано, что новые варианты метода КНК позволяют с высокой точностью рассчитывать подробные детали вихревой структуры течения. В частности, для центрального вихря в каверне при Re00 результаты для функции тока, полученные методом КНК, совпадают с приведенными в [1, 2] c точностью 2 · 10−8 . Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ — грант 08-08-00249-а и интеграционного проекта СО РАН №26. Список литературы 1. Botella O., Peyret R. Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow. Computers & Fluids. 1998. Vol. 27, No. 4. P. 421–433. Казаков А. Л. 111 2. Shapeev A. V., Lin P. An asymptotic fitting finite element method with exponential mesh refinement for accurate computation of corner eddies in viscous flows. SIAM J. Sci. Comput. 2009. 31(3). P. 1874–1900. ОБОБЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ А. Л. Казаков Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск Доказательство аналогов и обобщений теоремы Коши — Ковалевской является одной из актуальных задач теории дифференциальных уравнений с частными производными, в том числе, в связи с наличием у таких теорем содержательных приложений. Данная работа посвящена изучению начально-краевой задачи специального вида, которую, следуя Н.А. Ледневу [1], мы называем обобщенной задачей Коши (ОЗК). К ОЗК для квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными сводится, например, математическое описание течений идеального газа с ударными волнами [2, 3, 4]. Ранее исследована ОЗК с данными на двух поверхностях для квазилинейной аналитической системы [3, 5]. Теперь рассматривается ОЗК с данными на двух поверхностях в случае, когда в системе имеются особенности вида u/x, v/y. При этом исследованы задачи, в которых особенности имеются как в слагаемых, не содержащих производные, так и в коэффициентах перед производными. Для всех рассмотренных задач доказаны теоремы существования и единственности решения в классе аналитических функций, являющиеся аналогами теоремы Коши — Ковалевской. Решения построены в виде двойных рядов по степеням независимых переменных, коэффициенты которых рекуррентно определяются при решении систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость рядов доказывается с помощью классического метода мажорант. При этом получены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения в виде формальных рядов и достаточные условия их сходимости. Приведены примеры, которые показывают, что указанные достаточные условия близки к необходимым. Часть доказанных теорем применяются для построения течений идеального газа в окрестности оси или центра симметрии с расходящимися ударными волнами. Список литературы 1. Леднёв Н.А. Новый метод решения дифференциальных уравнений с частными производными. // Мат. сб. 1948. Вып. 2. C. 205–266. 2. Тешуков В.М. Постpоение фpонта удаpной волны в пpостpанственной задаче о поpшне // Динамика сплошной сpеды. 1978. Вып. 33. С. 114–133. 3. Тешуков В.М. О pегуляpном отpажении удаpной волны от жесткой стенки // ПММ. 1982. Т. 46, №. 2. C. 225-234. 4. Казаков А.Л. Построение кусочно аналитических течений газа, состыкованных через ударные волны, вблизи оси или центра симметрии // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 5. С. 25–38. 5. Казаков А.Л. Обобщенная задача Коши с данными на двух поверхностях для квазилинейной аналитической системы // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 5. С. 1041–1055. Казаков А. Л., Лемперт А. А. 112 ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ КОШИ А. Л. Казаков, А. А. Лемперт Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск В работе рассматривается численное решение краевой задачи для системы квазилинейных уравнений с частыми производными следующего вида:    ux = a(x, y, u, v)uy + b(x, y, u, v)vx + f (x, y, u, v), vy = c(x, y, u, v)uy + d(x, y, u, v)vx + g(x, y, u, v),   u(0, y) = 0, v(x, 0) = 0, где u и v — искомые функции, x и y — независимые переменные. Рассмотрены случаи, когда функции f (x, y, u, v) и g(x, y, u, v) являются аналитическими и когда имеют особенность вида u/x. К задачам такого вида сводится, в частности, аналитическое описание течений идеального газа с ударными волнами, например, задача о резком вдвижении в газ непроницаемого поршня [1], задача об отражении ударной волны от жесткой стенки [2], задача о расхождении ударной волны от оси или центра симметрии [3]. Теоремы существования и единственности аналитических решений для расматриваемых задач доказаны в монографии [4]. В настоящей работе предлагается неявный численный метод, базирующийся на представлении производных функций u и v в виде разностей. Система разностных уравнений сводится к трехдиагональной системе, для которой получены условия осуществимости прогонки, не являющиеся условиями диагонального преобладания. Тестирование алгоритма проводилось на ряде модельных примерах, в том числе результаты расчетов сравнивались с точным аналитическим (в виде ряда) решением задачи. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-07-00264а). Список литературы 1. Тешуков В.М. Постpоение фpонта удаpной волны в пpостpанственной задаче о поpшне // Динамика сплошной сpеды. 1978. Вып. 33. С. 114–133. 2. Тешуков В.М. О pегуляpном отpажении удаpной волны от жесткой стенки // ПММ. 1982. Т. 46, №. 2. C. 225-234. 3. Казаков А.Л. Построение кусочно аналитических течений газа, состыкованных через ударные волны, вблизи оси или центра симметрии // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 5. С. 25–38. 4. Баутин С. П., Казаков А. Л. Обобщенная задача Коши и ее приложения. Наука, Новосибирск. 2006. 399 с. Казаков К. Е. 113 НОВОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ТЕЛ С ПОКРЫТИЯМИ К. Е. Казаков Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва Работа посвящена построению нового решения известной задачи контактного взаимодействия между вязкоупругим основанием с тонким покрытием и жестким штампом в случае, когда форма основания штампа описывается сложной функцией. Задача о действии жесткого штампа на основание с тонким по сравнению с шириной штампа покрытием приводит к решению смешанного интегрального уравнения с дополнительными условиями, которые в случае плоской деформации имеют вид [1] c(t)(I − V1 )q(x, t) + (I − V2 )Fq(x, t) = δ(t) + α(t)x − g(x), Z 1 Z 1 ξq(ξ, t) dξ = M (t). q(ξ, t) dξ = P (t), x ∈ [−1, 1], −1 −1 Функции и переменные, входящие в эти уравнения, являются безразмерными. функция q(x, t) пропорциональна контактному давлению, P (t) — приложенной силе, M (t) — моменту приложения этой силы, δ(t) — осадке штампа, α(t) — углу поворота штампа, g(x) — функции формы основания штампа; I — единичный оператор, Vk (k = 1, 2) — интегральный оператор Вольтерра, F — интегральный оператор Фредгольма. Решение интегрального уравнения при дополнительных условиях необходимо искать в классе функций непрерывных по времени t в гильбертовом пространстве L2 [−1, 1] (см., например [1]). Для этого сначала строится специальная ортонормированная в L2 [−1, 1] систему функций. На основании обобщенного проекционного метода Манжирова [2] можно получить решение, которое будет иметь следующую структуру: q(x, t) = z0 (t)p0 (x) + z1 (t)p1 (x) + y(t)g(x) + . . . , где zk (t), y(t) — функции времени t. Таким образом, удается выделить в решении функцию формы основания штампа, то есть найти тонкую структуру решения. Это позволяет получать эффективные решения задач контактного взаимодействия для оснований с покрытиями в случае, когда форма основания штампа описывается сложными, в частности, быстро осциллирующими функциями. Определив контактные давления под штампом можно найти неизвестные осадку и угол поворота штампа. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 08-01-00003, 08-01-00553, 09-08-01180). Список литературы 1. Арутюнян Н. Х., Манжиров А. В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Изд-во НАН РА, 1999. 2. Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbook of Integral Equations, 2nd Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2008. Карабут Е. А. 114 ПОВТОРНОЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСНОСТИ СФЕРИЧЕСКОГО ДЕФЕКТА СПЛОШНОСТИ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА Д. Д. Камовский1 , Е. В. Мурашкин2 1 2 Дальневосточный государственный технический университет, Владивосток Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Настоящее сообщение развивает и обобщает теорию больших упругопластических деформаций на случай учета реологических свойств материалов. Проявление таких свойств, прежде всего, связано с процессами релаксации напряжений и процессами неустановившейся ползучести. Основная цель приводимых здесь исследований — изучение влияние учета вязкостных свойств материала на следствия подобных процессов. Вязкие свойства материалов учитываются на стадии, предшествующей пластическому течению и на стадии разгрузки [1]. В рамках построенной модели решены следующие задачи: задача вязкоупругого деформирования материала со сферическим микродефектом; динамическая задача о пластическом течении в окрестности такого дефекта сплошности и задачи о разгрузке с повторным пластическим течением при снятии внешней сжимающей нагрузки. Для интегрирования систем уравнений в частных производных, полученных в ходе решения краевых задач, предлагается представление для компонент девиатора напряжений в виде бесконечных сумм, что позволяет свести результирующую систему к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. По результатам численных экспериментов указаны законы движения границы микродефекта сплошности, границ пластической области и упругопластической границы повторного пластического течения, построены поля остаточных деформаций и напряжений после полной разгрузки среды. Учет вязкоупругих свойств материала приводит к значительному уменьшению радиуса дефекта после разгрузки, однако, предполагаемого эффекта значительного уменьшения уровня остаточных напряжений после разгрузки численно не обнаружено. Список литературы 1. Буренин А. А., Ковтанюк Л. В., Мурашкин Е. В.Об остаточных напряжениях в окрестности цилиндрического дефекта сплошности вязкоупругопластического материала. ПМТФ, Т. 47, № 2. 2006. С. 110–119. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВОЛН НА ВОДЕ И ЕГО РЕШЕНИЯ Е. А. Карабут Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Рассматриваются стационарные плоские течения тяжелой идеальной несжимаемой жидкости, расположенной над ровным горизонтальным дном. Показано, что функция f (χ), осуществляющая комформное отображение полосы в плоскости χ на область течения, удовлетворяет уравнению df (χ − 2ι) df (χ + 2ι) {1 + ι[f (χ + 2ι) − f (χ)]} = {1 + ι[f (χ) − f (χ − 2ι)]} . dχ dχ Исследованы точные и приближенные решения этого уравнения. Найдены нелинейные преобразования, связывающие уединенные волны и волны на поверхности бесконечно глубокой жидкости. Карабцев С. Н., Стуколов С. В. 115 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРУШЕНИЯ И ПОСЛЕДУЮЩЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ С. Н. Карабцев, С. В. Стуколов Кемеровский государственный университет Для принятия оптимальных решений при проектировании морских и прибрежных сооружений необходима обширная информация о возможном влиянии на эти объекты различных внешних факторов, среди которых наиболее значимыми являются набегающие и обрушающиеся волны, которые могут вызывать движение осадочных пород, изменение формы дна, разрушение конструкций. Процесс обрушения волн до сих пор полностью не изучен. Детально не известны механизмы формирования и опрокидывания гребня волны, образования пелены брызг, захвата гребнем смеси воздуха, приводящей к появлению неустойчивостей и турбулентности в течениях, а также образованию вихрей. Не так давно экспериментальная [1] и вычислительная гидродинамика [2] сконцентрировали свои усилия на более качественном описании процессов обрушения волн, диссипации энергии, образовании двух- и трехмерных вихрей, вовлечении воздуха гребнем волны, а также моделировании волновых ударов и гидродинамических процессов в прибрежной зоне. В настоящей работе проводится комплексное исследование процессов обрушения и последующего распространения нелинейных уединенных волн в прибрежной зоне. Математическое моделирование данных процессов проводится в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости в полной нелинейной постановке на основе уравнений Эйлера. В силу значительных деформаций свободных границ применение классических сеточных методов становится невозможным. Кроме того, необходима модификация самих математических моделей, позволяющая учитывать эффекты взаимодействия жидкости с воздухом. Для численного моделирования в данной работе используется модифицированный метод естественных соседей (NEM) [3], позволяющий получать кинематические и динамические характеристики исследуемых процессов распространения и обрушения нелинейных уединенных волн. Список литературы 1. Peregrine D.H. Breaking Waves on Beaches. Ann. Rev. of Fluid Mech. 1983. Vol. 15. P. 149–178. 2. Iafrati A. Air-water interaction in breaking waves. Proceedings of International Conference on Violent Flows, Japan. 2007. 3. Карабцев С.Н., Стуколов С.В. Численное моделирование задачи о взаимодействии уединенной волны с подводной ступенькой методом естественных соседей. Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8, № 2. С. 120–127. Карельский К. В., Петросян А. С., Славин А. Г. 116 УЧЕТ ДИССИПАЦИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ ГОДУНОВСКОГО ТИПА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЧЕНИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ К. В. Карельский, А. С. Петросян, А. Г. Славин Институт космических исследований РАН, Москва В работе предложен численный метод для моделирования течений жидкости над произвольным профилем дна в присутствии внешней силы. Наличие неоднородностей и особенностей топографии зачастую приводит к вертикальной неоднородности горизонтальных течений, что в свою очередь изменяет значения усредненных по глубине гидродинамических величин. Для более адекватного описания указанных эффектов необходимо учитывать вертикальную структуру вблизи особенностей. В данной работе предлагается модернизированный метод Годунова, адаптирующийся к параметрам потока. Предлагаемый метод принадлежит к семейству методов, основанных на решении задачи о распаде произвольного разрыва, и базируется на последовательном решении классических уравнений мелкой воды на ровной плоскости методом Годунова с учетом влияния вертикальной неоднородности течения при расчете потоков через границы ячеек, примыкающих к ступенчатым границам. Учет вертикальной неоднородности обеспечивается использованием решения задачи Римана на ступеньке на основе квазидвухслойной модели мелкой воды. Отличительной особенностью данной модели является разделение исследуемого течения на два слоя при расчете потоковых величин вблизи каждой ступеньки, с улучшением аппроксимации исходных трехмерных уравнений Эйлера. Однозначность такого разделения обеспечивается единственностью решения обратной задачи Дирихле для нахождения этой границы. Адаптируясь к параметрам потока, метод позволяет учитывать особенности течения жидкости в каждой точке пространства и в каждый момент времени. Отличительной особенностью предлагаемого метода является автоматический учет режима водосброса, то есть течения жидкости на уступе дна, при котором жидкость уступа не смачивает часть вертикальной составляющей уступа. Диссипация в таком случае обуславливается отсутствием для части жидкости твердой подстилающей поверхности, посредством которой работа поля силы тяжести по изменению относительной глубины жидкости уравновешивается изменением горизонтальной составляющей импульса жидкости. Таким образом, наличие сухой зоны на вертикальной части уступа свидетельствует о нарушении условия гидростатичности течения, поскольку указанная работа частично идет на изменения вертикального импульса течения, которыми в рамках приближения мелкой воды пренебрегают. Квазидвухслойный подход позволяет определить размер сухой зоны на вертикальной составляющей уступа, а следовательно, объем диссипации кинетической энергии. В работе проведены численные эксперименты для задачи стекания ударной волны с уступа и показано, что решение квазидвухслойным методом описывает в зависимости от параметров течения как недисипативные решения для достаточно глубоких течений умеренной скорости, так и диссипативные для сверхбурных и достаточно мелких течений. Князева А. Г. 117 ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ В ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЕ В УСЛОВИЯХ ДИНАМИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ А. Г. Князева Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск Многочисленными авторами при анализе эффектов, сопровождающих диффузию в твердых средах, продемонстрировано, что взаимовлияние диффузии и напряжений должно играть существенную роль в процессах механического поведения материалов, что проявляется через изменение кажущегося коэффициента диффузии и появлении дополнительных к диффузии механизмов переноса массы. В [1], например, показано, что механизм переноса массы под действием напряжений в твердой фазе аналогичен механизму бародиффузии в газах и жидкостях и должен проявляться как при механических воздействиях на материалы, так и в иных условиях неравновесной обработки. В большинстве теоретических работ, так или иначе связанных с модификацией поверхностей материалов, задачи диффузии в деформируемых твердых средах анализируются в квазистатической постановке. Более того, большинство известных моделей ограничено расчетом полей напряжений, сопровождающих диффузию, а их влияние на массоперенос в известных публикациях сводится к изменению эффективного коэффициента диффузии. В некоторых условиях с помощью частных квазистатических задач можно корректно оценить напряжения в диффузионной зоне в процессе реакционной диффузии или исследовать влияние внутренних полей напряжений на рост центров новой фазы. Но для описания процессов переноса массы в случае диффузионной сварки, в условиях акустических и ударно-волновых воздействий; при обработке материалов интенсивными потоками частиц разного сорта и т.п. квазистатическое приближение, особенно для начальных стадий процесса, оказывается некорректным. Представления об эффективном коэффициенте диффузии здесь также теряют смысл. В настоящей работе предложена модель перераспределения элементов в трехкомпонентной двухслойной (материал с покрытием) системе в условиях импульсного и импульснопериодического нагружения. Предполагается, что деформации малы, возникающие напряжения — упругие, температура постоянная. Учитываются перекрестные диффузионные потоки, конечность времени релаксации системы к состоянию механического равновесия. Задача решается численно. Эволюция полей концентраций, напряжений и деформаций исследуется на примере приближений идеального и регулярного растворов. Показано, что следствием взаимодействия полей может быть "проникание" элементов из покрытия на достаточно большие расстояния, недостижимые при обычной диффузии. Список литературы 1. Князева А. Г. Диффузия и реология в локально-равновесной термодинамике// Математическое моделирование систем и процессов: Сб. науч. тр. под ред. П.В.Трусова. Пермь: Изд-во Перм. ГТУ. 2005. С. 45–60. Ковалев В. А. 118 ДИНАМИКА МНОГОСЛОЙНЫХ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГИХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ В. А. Ковалев Московский городской университет управления Правительства Москвы Исследования собственных и вынужденных колебаний трехслойных тонкостенных конструкций имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Это связано, в частности, с тем, что тонкостенные конструкции, образуемые тонкими несущими внешними слоями и средним слоем (заполнителем) значительно большей толщины, имеют меньший вес при заданной жесткости в сравнении с однородными конструкциями. Кроме того, средний слой может выполнять дополнительные конструктивные функции, не связанные с обеспечением жесткости, например, теплоизоляционные. Следует также отметить, что наиболее жесткими трехслойными непологими оболочками (то есть обладающими наибольшей жесткостью при фиксированной массе) являются оболочки с несимметричной структурой слоев. В работе рассматриваются трехслойные тонкостенные конструкции. Полагается, что толщина среднего слоя значительно больше толщин внешних слоев. Средний слой рассматривается в постановке теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью (теория Миндлина — Рейснера), внешние слои — в постановке мембранной теории. Деформирование пакета слоев определяется гипотезой ломаной нормали. Материал внешних слоев полагается изотропным термоупругим, а внутреннего слоя — изотропным термовязкоупругим. Для указанных трехслойных конструкций предлагается вариационный принцип конволютивного типа. Из вариационного принципа выводятся связанные уравнения движения и теплопроводности, а также краевые и начальные условия. Краевые условия рассматриваются в наиболее общей форме, соответствующие упругому закреплению тонкостенной конструкции на опорном контуре. Показано, что если кривизна поверхности осреднения равна нулю, то есть тонкостенная конструкция представляет собой трехслойную пластину, то уравнения движения и теплопроводности допускают решения, представленные посредством скалярных потенциалов. Выделен специальный класс краевых условий, при которых порождающие уравнения сводятся к системе линейных алгебраических уравнений и вспомогательной краевой задаче для волнового уравнения. Решения последней для канонических областей хорошо известны и записываются в терминах табулированных специальных функций. Решение исходной неоднородной краевой задачи, соответствующее вынужденным колебаниям пластины, может быть получено в форме разложений по биортогональной системе собственных функций, вычисляемых в замкнутом виде по найденным решениям вспомогательной краевой задачи. Рассмотрен численный пример для шарнирно закрепленной эллиптической термовязкоупругой пластины. Найдены комплекснозначные собственные значения и собственные функции. Отрицательные действительные части собственных значений характеризуют затухание собственных колебаний, вызванных собственной и термической диссипацией. Построены разложения, определяющие динамическую реакцию при импульсных воздействиях. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00553-a, 09-08-01180-a, 09-08-01194-a). Куркина О. Е., Куркин А. А., Владыкина Е. А. 119 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСФОРМАЦИИ ИНТЕНСИВНЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОМ БАССЕЙНЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ О. Е. Куркина1,2 , Е. А. Владыкина2,3 , А. А. Куркин2 1 Нижегородский филиал государственного университета “Высшая школа экономики” 2 Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева 3 Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород В настоящей работе рассмотрены различные подходы к решению задачи о трансформации длинных уединенных внутренних гравитационных волн на границе раздела двух жидкостей при их распространении над плоским наклонным дном: использвание адиабатического приближения, основанного на уравнениях энергетического баланса, слабонелинейной теории (представленной уравнением Гарднера с переменными коэффициентами) и, наконец, численное моделирование в рамках полной системы уравнений гидродинамики невязкой несжимаемой стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска. В рамках трех перечисленных подходов для трассы распространения со сменой знака коэффициента квадратичной нелинейности проведено сравнение основных качественных этапов трансформации уединенных волн различных амплитуд со сменой их полярности и проанализировано изменение амплитуд и форм самих перестраивающихся солитонов, а также масс “хвостов”, образующихся при их перестройке. Даны оценки применимости приближенных моделей относительно величин уклонов дна и расстояний до критических точек. УЕДИНЕННЫЕ ВНУТРЕННИЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЫ В ТРЕХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ: СРАВНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ О. Е. Куркина1,2 , А. А. Куркин2 , Е. А. Владыкина2,3 1 Нижегородский филиал государственного университета “Высшая школа экономики” 2 ГОУ ВПО Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева 3 Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород В настоящей работе рассматривается задача описания динамики длинных внутренних гравитационных волн большой амплитуды в стратифицированной среде на примере трехслойной жидкости с симметричным относительно полуглубины расположением слоев и одинаковыми малыми скачками плотности на их границах. Задача решается для низшей моды внутренних волн как аналитически, в рамках слабонелинейной теории, так и с помощью численного моделирования полной нелинейной системы уравнений идеальной гидродинамики. Выбор стратификации обусловлен, во-первых, тем, что симметрия приводит к вырождению коэффициента квадратичной нелинейности в слабонелинейных асимптотических схемах, а во-вторых, сменой знака кубического нелинейного коэффициента в модифицированном уравнении Кортевега — де Вриза (мКдВ). Учет возможности смены знака коэффициента кубической нелинейности при изменении соотношения толщин слоев жидкости делает необходимым включение высших нелинейных слагаемых в эволюционные модели для более точного Куропатенко В. Ф. 120 описания волновых процессов, что, в свою очередь, ведет к качественно новой волновой динамике. Нами были получены расширенные версии нелинейных эволюционных уравнений (четвертого порядка точности по малым параметрам нелинейности и дисперсии) для отклонений поверхностей раздела слоев. Коэффициенты этих уравнений найдены в явном виде как функции параметров среды, их знаки проанализированы. Предложено упрощающее нелинейное асимптотическое преобразование волновых полей, которое сводит исходные уравнения к более простому уравнению, имеющему вид мКдВ с аддитивным членом нелинейности пятой степени. Асимптотическое преобразование заключает в себе асимметрию волнового поля для смещений границ слоев, тогда как полученное в результате уравнение универсально для обеих поверхностей. Построено односолитонное решение уточненного уравнения мКдВ при положительной кубической нелинейности, которое в пределе малой амплитуды совпадает с солитоном обычного уравнения мКдВ. Как и в случае солитонов уравнения мКдВ, решения могут иметь произвольную полярность, однако, в отличие от мКдВ, эффективная длина волны неограниченно растет при ограниченной амплитуде. Свойства этих решений проанализированы в зависимости от их амплитуд, проведено сравнение со стационарными уединенными возмущениями в рамках полной нелинейной системы уравнений идеальной гидродинамики, а также с известными результатами теории сопряженных потоков. Показано, что уточненное слабонелинейное эволюционное уравнение удовлетворительно описывает локализованные внутренние импульсы большой амплитуды в трехслойной жидкости в окрестности точки смены знака коэффициента кубической нелинейности. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ СМЕСЕЙ В. Ф. Куропатенко Российский Федеральный Ядерный Центр — ВНИИТФ им. академ. Е.И. Забабахина, Снежинск В моделях многоскоростных взаимопроникающих взаимодействующих континуумов законы сохранения массы, импульса и энергии записываются для каждого компонента в отдельности в виде дифференциальных уравнений в частных производных. Характеристики смеси получаются из характеристик компонентов с помощью законов сохранения в каждый фиксированный момент времени. Эти величины так же, как и величины, характеризующие компоненты, непрерывны в пространстве (x, y, z, t). Для них также записываются законы сохранения массы, импульса и энергии в форме дифференциальных уравнений. Рассматриваются необходимые условия, при выполнении которых дифференциальные уравнения смеси получаются из дифференциальных уравнений компонентов. Выполнение этих условий приводит к новому типу взаимодействия компонентов — кластерному взаимодействию, зависящему от разности скоростей компонента и смеси. После выравнивания скоростей кластерное взаимодействие исчезает. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 10-01-00032, 10-0196001). Латышев С. В., Хе А. К., Чесноков А. А. 121 КВАЗИНЕЙТРАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПЛАЗМЫ: ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С. В. Латышев, А. К. Хе, А. А. Чесноков Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Нелинейное кинетическое уравнение для функции распределения ионов f (t, x, v) Z nx ft + vfx − fv = 0, n = f dv n (1) описывает одномерные движения квазинейтральной бесстолкновительной плазмы [1]. Модель (1), записанная в полулагранжевых переменных, попадает в класс систем с операторными коэффициентами, для которых в [2] предложено понятие обобщенной гиперболичности. Установлена аналогия между моделью квазинейтральной плазмы (1) и уравнениями, описывающими сдвиговое движение идеальной жидкости в протяженном канале с упругими стенками [3]. С использованием развитых в [2] подходов и результатов исследований, представленных в [3], определены скорости распространения возмущений в квазинейтральной плазме, сформулированы необходимые и достаточные условия обобщенной гиперболичности уравнений движения. Доказано существование решений модели в классе простых волн и дано решение задачи о распространении малых возмущений по однородной покоящейся среде. Построены точные решения (1) в классе бегущих волн, непрерывно примыкающих к заданному стационарному однородному по пространству фону. Особенностью этих решений является функциональный произвол, что позволяет рассмотреть последовательность гладких решений, стремящуюся к разрывному решению. Исследованы решения модели (1) типа “waterbag”, в которых функция распределения f представляется кусочно-постоянной по переменной v. Для проведения численного моделирования путем дискретизации и осреднения по скоростям ионов v кинетическое уравнение (1) преобразовано к гиперболической системе дифференциальных законов сохранения. На основе конечно-объемных центральных схем выполнены численные расчеты распространения непрерывных и разрывных возмущений. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-01-00338) и гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых МК-4417.2009.1. Список литературы 1. Гуревич А. В., Питаевский Л. П. Нелинейная динамика разреженной плазмы и ионосферная аэродинамика. В сб. Вопросы теории плазмы. Вып. 10. М.: Атомиздат, 1980. 2. Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Изд-во СО РАН, Новосибирск: 2000. 3. Чесноков А. А. Осесимметричные вихревые движения жидкости в длинной эластичной трубе. ПМТФ. 2001. Т. 42, № 4. С. 76–87. Левин В. А., Луценко Н. А. 122 О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ САМОРАЗОГРЕВАЮЩЕГОСЯ ПОЛИГОНА ТВЕРДЫХ БЫТОВЫХ ОТХОДОВ В. А. Левин, Н. А. Луценко Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток В настоящее время основным способом обезвреживания твердых бытовых отходов (ТБО) во всем мире является захоронение их на полигонах. В этих условиях отходы подвергаются интенсивному биохимическому разложению, вызывая, в частности, генерацию свалочного биогаза, основным компонентом которого является метан. Но особенно остро при эксплуатации полигонов ТБО стоит проблема их возгораний. Горение возникает при достаточном количестве кислорода в толще полигона, когда помимо окисления органических компонентов происходит окисление неорганических веществ. Биохимическое разложение начинает повышать температуру отходов, что активизирует процессы химического окисления и ведёт к дальнейшему повышению температуры в полигоне. Часто отток тепла из толщи свалки недостаточен, что приводит к самовозгоранию полигона. Возгорание полигонов твердых бытовых отходов представляют серьезную экологическую опасность, так как приводит к сильному загрязнению атмосферы близлежащих населенных пунктов. Для выработки методов предотвращения и ликвидации возгорания полигонов ТБО необходимо моделирование процессов, происходящих на таких объектах. В настоящей работе предложено использовать методы механики сплошных гетерогенных сред для моделирования течений газа на саморазогревающихся полигонах ТБО. Свалка представляется пористым объектом с источниками выделения тепла. Модель строится в предположении двух взаимодействующих взаимопроникающих континуумов [1] и включает в себя уравнения энергии, движения, неразрывности и состояния для каждой компоненты (твердой и газообразной). При этом учитываются реальные свойства газа, но химическая кинетика подробно не рассматривается. Отличительной особенностью модели является открытость саморазогревающегося пористого объекта в атмосферу всюду, кроме нижнего основания, поэтому расход газа на границах неизвестен и должен определяться при решении задачи. В работе показано, что для моделирования нестационарных двумерных (плоских и осесимметричных) течений газа через саморазогревающиеся полигоны ТБО можно использовать оригинальный численный метод, основанный на комбинации явных и неявных конечноразностных схем [2, 3]. Этот метод позволяет достичь достаточно высокой точности вычисления скорости фильтрации даже при очень незначительном движении газа, которое характерно для реальных свалок. С помощью вычислительного эксперимента показано, что в очаге выделения тепла и в его окрестности возможно возникновение вихревых течений газа. Обнаружено, что изменение искомых величин при развитии процесса саморазогрева приводит к смещению вихревых образований в рассматриваемом пористом объекте. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ДВО РАН (код проекта 09-0198519-р_восток_а), . Список литературы 1. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с. 2. Левин В. А., Луценко Н. А. Численное моделирование двумерных нестационарных течений газа через пористые тепловыделяющие элементы. Вычислительные технологии. 2006. Т. 11. № 6. с. 44–58. Липатов И. И. 123 3. Левин В. А., Луценко Н. А. Нестационарные течения газа через осесимметричные пористые тепловыделяющие объекты. Математическое моделирование. 2010. Т. 21. № 3. с. 26– 44. РОЛЬ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКЦИИ И АКУСТИКИ В РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ И. И. Липатов Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н. Е. Жуковского, Жуковский Развитие и распространение возмущений в пограничных слоях является составной частью проблемы гидродинамической устойчивости. Анализ распространения возмущений в пограничном слое соответствует исследованию устойчивости к длинноволновым возмущениям и необходим для формулирования корректных постановок задач для уравнений двумерного нестационарного пограничного слоя и построения вычислительных моделей. Для описания указанных эффектов необходимы соответствующие математические модели. Классические уравнения пограничного слоя Прандтля не описывают процессы распространения возмущений вверх по потоку в силу их параболичности. Собственные решения вблизи передней кромки характеризуются наличием затухающих вверх по потоку функций [1] и соответствуют заданию произвольного начального профиля скорости. В то же время, присутствие в пограничном слое возвратных линий тока может обеспечить существование механизма распространения возмущений вверх по потоку. Кроме отрывных течений, существуют течения, в которых задана направленная против основного потока скорость движения стенки. Задачи такого типа рассмотрены в [2], показано, что для автомодельных решений уравнений пограничного слоя существует предельная скорость движения поверхности, для которой собственное число в координатном разложении обращается в ноль. Последнее означает, что в решении уравнений пограничного слоя из-за навязанного граничным условием механизма распространения возмущений появляется влияние течения выше по потоку. В условиях влияния эффектов взаимодействия, описывающихся уравнениями с индуцированным градиентом давления, возникает возможность учета эффектов распространения возмущений вверх по потоку за счет их распространения по дозвуковой части пограничного слоя. Это приводит к появлению в разложении решений около передней кромки собственных решений, характеризующихся положительными собственными значениями. Последнее означает, что постановка задачи должна быть изменена и необходимо учитывать для отбора единственного решения некоторые краевые условия, задаваемые ниже по течению. В условиях, когда стенка движется вверх по потоку, в модели взаимодействующего пограничного слоя появляется дополнительный механизм распространения возмущений вверх по потоку за счет конвективных эффектов. Цель настоящей работы состоит в выяснении количественных зависимостей эффектов распространения возмущений вверх по потоку в течениях, где существенны два механизма передачи информации — конвективный и акустический. Список литературы 1. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 2. Черный Г. Г. Пограничный слой на движущейся поверхности. Аэромеханика. М.: Наука, 1976. С. 99–104. Луговцов Б. А., Котельникова М. С. 124 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ МГД-ТЕЧЕНИЙ С ЗАМКНУТЫМИ ЛИНИЯМИ ТОКА Б. А. Луговцов , М. С. Котельникова Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск В работе [1] впервые была сформулирована задача об устойчивости, названная впоследствии проблемой спонтанной закрутки, — о возможности возникновения вращательно-симметричного течения при отсутствии явных внешних источников вращения, то есть в условиях, когда осесимметричное движение без вращения заведомо возможно. Более жесткая формулировка, обеспечивающая строгий контроль кинематического потока осевой составляющей момента импульса и исключающая втекание вращающейся жидкости в область течения, дана в работе [2]. В данной работе рассматривается ряд осесимметричных МГД-течений идеальной и вязкой жидкостей с замкнутыми линиями тока, в частности, течения типа вихря Хилла — Шафранова и модельные течения с круговыми линиями тока. Решение ищется в виде суммы исходного стационарного осесимметричного течения без закрутки и осесимметричных возмущений. Исследование устойчивости течений проводится в линейном приближении, в этом случае эволюция азимутальных компонент скорости v и магнитного поля h не зависит от полоидальных компонент и уравнения для них могут рассматриваться независимо: ∂(rh) U3 ∂(v sin θ) ∂(h sin θ) ∂v U1 ∂(rv) + − + − = ∂t r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ 1 1 ∂ ∂(rv) 1 ∂ 1 ∂(v sin θ) 1 2 = + 2 = D v, R r ∂r ∂r r ∂θ sin θ ∂θ R ∂h h ∂h ∂v U3 ∂h ∂v cos θ v + U1 − + − − U1 + U3 − = 0, ∂t ∂r ∂r r ∂θ ∂θ sin θ r r (4a) (4b) где 1 ∂Φ 1 ∂Φ U = (U1 , U3 , 0) = 2 ,− ,0 r sin θ ∂θ r sin θ ∂r — компоненты исходного стационарного течения в сферических координатах, Φ — его функция тока, D2 = ∇2 − 1/r2 sin2 θ. Для численного исследования устойчивости течений использовалась процедура Галеркина. Определены структура возникающего течения, и условия возникновения спонтанной закрутки. Список литературы 1. Гольдштик М. А., Жданова Е. М., Штерн В. Н. Спонтанная закрутка затопленной струи. Докл. АН СССР. 1984. Т.277, № 4. С.815–818. 2. Луговцов Б. А., Котельникова М. С. О спонтанной закрутке в осесимметричных МГДтечениях с замкнутыми линиями тока идеально проводящей жидкости. ПМТФ. 2007. Т. 34. № 2. С. 24–31. Лычев С. А. 125 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАСТУЩИХ ТЕЛ С. А. Лычев Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва Краевые задачи механики растущих тел, в отличие от задач для тел постоянного состава, содержат тензорное поле дисторсии, которое может быть найдено из дополнительных условий, определяемых параметрами наращивания тела. Простейшим условием такого рода является заданный поверхностный тензор натяжения присоединяемой материальной поверхности. В общем случае, если наращивание происходит за счет непрерывного присоединения напряженных материальных поверхностей, в качестве таких условий могут быть использованы уравнения равновесия границы роста, рассматриваемой как деформируемая материальная поверхность, контактирующая с деформируемым трехмерным телом. Растущее тело, вообще говоря, не имеет естественной (свободной от напряжений) конфигурации, погружаемой в трехмерное евклидово пространство, однако таковая имеется в трехмерном пространстве с неевклидовой аффинной связностью, что проявляется в отличие от нуля тензора кручения, который является мерой несовместности деформаций растущего тела. С этих позиций математическое описание напряженно-деформированного состояния растущего тела эквивалентно моделям тел с непрерывным распределением дислокаций. Таким образом, теория расслоений дифференцируемых многообразий может рассматриваться как геометрический фундамент математической теории растущих тел. Кроме того, геометрическое понятие расслоения многообразия соответствует физически реализуемому распределению свойств растущего тела, рост которого моделируется как непрерывный процесс присоединения деформированных материальных поверхностей. В качестве примера рассматривается задача о центральносимметричном деформировании растущего упругого шара. Деформации считаем конечными. Полагается, что материал несжимаем, следовательно, допускаются только изохорические (сохраняющие объем) деформации пространственной конфигурации тела. Закон состояния формулируется относительно полного тензора дисторсии, который может быть представлен как композиция тензора начальной дисторсии и градиента деформаций, реализуемых в составе растущего тела. Поле начальной дисторсии, наряду с полями напряжений и градиента деформаций, определяется в процессе решения краевой задачи. В силу центральной симметрии рассматриваемой задачи начальная дисторсия полностью определяется скалярной функцией (параметром дисторсии), которая определяется из решения интегрального уравнения. Тензорное поле дисторсии индуцирует связность на материальном многообразии, которое в результате становится плоским пространством аффинной связности (то есть с пространством нулевой кривизны) с нетривиальным кручением. Тензор кручения обращается в ноль, если параметр дисторсии постоянен. Это соответствует согласованному наращиванию, в результате которого получаем тело, неотличимое от тела постоянного состава. В таком и только в таком теле отсутствуют остаточные напряжения. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00553-a, 09-08-01180-a, 09-08-01194-a). Любимов Д. В., Любимова Т. П., Паршакова Я. Н. 126 КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНОГО ПРОСАЧИВАНИЯ ПРИМЕСИ В ЗАМКНУТОЙ ПОЛОСТИ НАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ ПРИ УЧЕТЕ ПРИЛИПАНИЯ ЧАСТИЦ ПРИМЕСИ К СКЕЛЕТУ Д. В. Любимов1 , Т. П. Любимова2 , Б. С. Марышев2 1 2 Пермский государственный университет Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь При диффузии в пористой среде важную роль играют эффекты, обусловленные взаимодействием примеси с твердым скелетом, в том числе прилипание частиц примеси. Прилипание может описываться как в терминах случайных величин — фрактальный вариант MIM модели (MIM — mobile immobile medium), так и с помощью двухфазных моделей. В нашем случае используется модель с кинетикой второго порядка, описывающей переход примеси между фазами. Существует множество экспериментальных данных, которые подтверждают применимость обеих моделей. Более того, в некоторых случаях результаты, получаемые с помощью обеих моделей схожи, а отличия проявляются лишь на очень больших временах (времена, порядка десятка характерных диффузионных времен, что зачастую соответствует годам). Однако в ряде задач это оказывается существенным, а применение разных моделей приводит к совершенно различным результатам (не только количественно, но и качественно). В настоящей работе исследована устойчивость течения, вызываемого равномерной прокачкой примеси через ограниченный объем пористой среды в направлении силы тяжести. Задача решалась в двумерной постановке, в прямоугольной области, на верхней и нижней границах которой задается скорость просачивания жидкости и концентрации примеси. Боковые стенки считаются непроницаемыми для жидкости и примеси. Получено основное решение для распределения примеси, соответствующее режиму однородного вертикального просачивания. Неустойчивость в такой системе носит колебательный характер, получены карты устойчивости в пространстве параметров системы: число Пекле — концентрационный аналог числа Релея, при использовании обеих моделей. Построены зависимости от параметров каждой модели. Учет аномальности диффузии приводит к повышению устойчивости по сравнению с классической моделью. Однако в случае двухфазной модели имеет место немонотонная зависимость критических параметров и частоты критических возмущений от параметров модели. В случае MIM модели зависимости монотонны. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 09-01-00618а). УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЫ С ДЕФОРМИРУЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА ПРИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВИБРАЦИЯХ Д. В. Любимов1 , Т. П. Любимова2 , Я. Н. Паршакова2 1 2 Пермский государственный университет Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь Для развития современных технологий необходимо уметь управлять устойчивостью механического равновесия систем. Вибрационное воздействие высокой частоты может являться Макарчук Р. С. 127 одним из аппаратов управления, поскольку такие вибрации могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на устойчивость равновесных состояний и течений. В рамках настоящей работы рассмотрена система горизонтальных слоев одинаковой толщины. Слои состоят из несмешивающихся жидкостей близкой плотности. На внешних границах системы задан постоянный вертикальный тепловой поток. Задача решается в рамках приближения Буссинеска, обобщенного на случай деформируемости поверхности раздела жидкостей. К системе приложены вертикальные вибрации. При исследовании воздействия вибраций высокой частоты применялась процедура осреднения, которая заключалась в том, что поля разбивались на две составляющие — пульсационную и осредненную, не зависящую от быстрого, вибрационного, времени. Задача характеризуется большим числом параметров, поэтому был рассмотрен частный случай: система жидкостей муравьиная кислота — трансформаторное масло. Анализ показывает, что при конечных значениях вибрационных чисел Релея и Галилея вибрации не оказывают влияния на длинноволновую неустойчивость механического равновесия. Влияние вибраций на устойчивость относительно ячеистых возмущений исследовалась численно, при помощи метода дифференциальной прогонки и метода численного построения фундаментальной системы решений. В результате вычислений получено, что высокочастотные вертикальные вибрации оказывают как стабилизирующее, так и дестабилизирующее действие на неустойчивость равновесия по отношению к возмущениям с конечным волновым числом. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК НА ТВЕРДЫЕ СТЕНКИ ОБЛАСТИ МЕТОДОМ СГЛАЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЗАДАЧАХ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ Р. С. Макарчук Кемеровский государственный университет Рассматриваются плоские течения жидкости со свободными границами, описываемые уравнениями Навье — Стокса в полной постановке. Большой практический интерес представляют гидродинамические нагрузки, вычисление которых требует получения качественного поля давления. Наличие больших деформаций границ области расчета в таких задачах делает разумным применение метода сглаженных частиц. Однако, как использование уравнения состояния для расчета давления, так и применение схемы Чорина [1] с источниковым членом в виде производной от плотности для уравнения Пуассона на давление не дают приемлемых результатов. Кроме того, в задачах, характеризуемых большими значениями числа Рейнольдса, влияние вязкого члена, оказывающего сглаживающий эффект на вычисляемое поле давления, ослабевает, что приводит к возникновению существенных осцилляций его величин. В работе [2] источниковый член в уравнении Пуассона предложено вычислять через дивергенцию скорости, что позволяет значительно улучшить получаемые результаты, а использование дополнительного вязкого члена — турбулентной вязкости, способствует регуляризации поля давления. В работе используются модель пути смешения Прандтля и популярная k − ε модель. Численные решения по обеим моделям показывают их хорошее согласование. В качестве примера на рисунке приведены хронограммы гидродинамических нагрузок на правую (кривая 1) и левую (кривая 2) стенки бассейна для классической задачи о разрушении плотины. Маклаков Д. В., Шарипов Р. Р. 128 Список литературы 1. Chorin A. J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations. Math. Comput. 1968. № 22. P. 745–762. 2. Lee E. S., Moulinec C., Xu R., Violeau D., Laurence D., Stansby P. Comparisons of weakly compressible and truly incompressible algorithms for the SPH mesh free particle method. J. Comp. Phys. 2008. № 227. P. 8417–8436. ПОЧТИ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ Д. В. Маклаков1 , Р. Р. Шарипов2 1 2 НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского университета Казанский государственный архитектурно-строительный университет Разработан новый метод расчета внутренних гравитационных волн, основанный на сведении задачи к определению кусочно-аналитической функции с неизвестной линией скачка, на которой одновременно задаются условия задачи о скачке и условия задачи Гильберта. Метод применен к расчету внутренних периодических волн, возникающих на границе раздела двух безграничных сред разной плотности. Доказано, что максимальный угол наклона θmax линии раздела внутренних волн меньше 180◦ , а предельная величина θmax = 180◦ является недостижимой. Получены почти предельные конфигурации внутренних волн, для которых θmax близко к значению 180◦ . Одна из таких почти предельных конфигураций, когда отношение плотностей в слоях ρ1 /ρ2 = 0.1 и θmax = 179.99◦ показана на рис. 1. Рис.1 Малышенко В. В. 129 Рис. 3 Рис. 2 На рис. 2 для ρ1 /ρ2 = 0.1 приведена зависимость параметра µ = 2πc2 /λ, определяющего скорость распространения волны c, от крутизны волны s = (ymax − ymin )/λ, где λ — длина волны, ymax и ymin — максимальное и минимальное возвышения линии раздела соответственно. Для сравнения на рис. 3 приведен аналогичный график, заимствованный из статьи Turner R. E. L. и Vanden-Broeck J.-M. (The limiting configuration of interfacial gravity waves. Phys. Fluids. 1986. V. 29, № 2. P. 372–375). Сравнение показывает полное рассогласование полученных решений для крутых волн. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00163). МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАДЕНИЯ КАПЛИ В ВЯЗКУЮ ЖИДКОСТЬ МЕТОДОМ ЧАСТИЦ В. В. Малышенко Кемеровский государственный университет В работе исследовано взаимодействие падающей капли со свободной поверхностью вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей бассейн с наклонным к горизонту дном. Поставленная задача решена параллельным бессеточным методом лагранжево-эйлеровых частиц [1], [2]. Были проведены серии расчетов с различным набором параметров: размер капли, высота падения капли, угол наклона дна, вязкостью жидкости. Проведен анализ форм и амплитуд волн, образующихся в результате падения капли, высот подъема столбика Релея. В работе приведено сравнение результатов расчетов задачи с результатами, полученными при проведении натурных экспериментов [3]. Список литературы 1. Франк А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.:Физматлит, 2001. 224 c. 2. Малышенко В. В., Авзалов Д. Р. Решение задачи схлопывания каверны на поверхности жидкости в трехмерной постановке на кластере СКИФ Cyberia // Тезисы чет-вертой Сибирской школы-семинара по параллельным вычислениям/ Под ред. проф. А.В. Старченко. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. С.40. 3. Макарихин И. Ю., Макаров С. О., Рыбкин К. А. Замечания о падении капли на свободную поверхность другой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 1. С. 40–44. Манжиров А. В. 130 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ НА СФЕРЕ Е. В. Мамонтов Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Рассматриваются уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере [1] 1 2 r sin θ cos θ − f0 hθ , 4 0 f0 D0 w = −v w ctg θ − r0 v cos θ − hϕ , sin θ 1 D0 h + h (wϕ + (v sin θ)θ ) = 0, sin θ D0 v = w2 ctg θ + r0 w cos θ + где D0 = ∂t + v ∂θ + (1) w ∂ϕ ; r0 , f0 — параметры. Система (1) допускает стационарное решение sin θ v = 0, w = 0, h=− r02 + k2. 16 f0 Определение устойчивости этого решения сводится к исследованию решений задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого система (1) линеаризуется на рассматриваемом решении и строятся решения получающейся линейной системы с помощью разделения переменных. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00047-а). Список литературы 1. Черевко А. А., Чупахин А. П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере. 1. Вывод и общие свойства. ПМТФ. 2009. Т. 50. № 2. С. 24–36. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАСТУЩИХ ТЕЛ А. В. Манжиров Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва В рамках механики растущих тел рассматриваются деформируемые твердые тела переменного состава. Это означает, что в процессе деформирования к телу присоединяются части, которые деформировались до присоединения независимо. Непрерывное наращивание рассматривается как процесс непрерывного присоединения к телу инфинитезимальных областей, то есть областей инфинитезимальной меры. В качестве меры используется мера массы. Таким образом, к инфинитезимальным областям могут быть причислены, например, бесконечно тонкие слои, нити, точки. Так как такие инфинитезимальные области представляют собой непрерывные тела различных размерностей, то они могут переносить напряженнодеформированное состояние, соответствующее их размерности, например, слои могут переносить мембранные напряжения, нити — линейное и т. д. В этой связи характер распределения напряжений в непрерывно растущем теле зависит от геометрического класса присоединяемых инфинитезимальных областей, что подразумевает построение различных вариантов теории Марчук И. В. 131 наращивания. В настоящей работе рассматриваются тела, растущие за счет непрерывного присоединения бесконечно тонких двумерных поверхностей, называемых также материальными поверхностями. В качестве геометрического фундамента математической теории растущих тел используется теория расслоений дифференцируемых многообразий. Аналитические свойства дифференцируемых многообразий определяются без привлечения априорно заданной метрики. Многообразия в таком виде позволяют сформулировать краевую задачу, в ходе решения которой определяется частный вид связности, соответствующий кинематическим и статическим характеристикам процесса наращивания. Кроме того, геометрическое понятие расслоения многообразия соответствует физически реализуемому распределению свойств растущего тела, рост которого моделируется как непрерывный процесс присоединения деформированных материальных поверхностей. Такая сборка тела порождает нетривиальное расслоение материального многообразия, причем структура этого расслоения полностью определяется режимом наращивания. Следует отметить,что теория растущих тел строилась ранее как некоторый специальный вариант теории деформируемых в трехмерном евклидовом пространстве твердых тел. Однако геометрических свойств евклидова пространства недостаточно для описания напряженнодеформированного состояния тела, которое было образовано путем непрерывного объединения предварительно напряженных частей. Представляется чрезвычайно важным, что растущие тела могут быть рассмотрены как частный класс неоднородных тел, в которых неоднородность возникает в силу неголономной дисторсии, вызванной соединением несогласованно напряженных элементов. С этой точки зрения механика растущих тел имеет много общего с теорией дефектов, в частности, с геометрической теорией непрерывно распределенных дислокаций и дисклинаций. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00553-а, 09-08-01180-a, 09-08-01194-a). ПЛЕНОЧНАЯ КОНДЕНСАЦИЯ ПАРА НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И. В. Марчук Институт теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск Разработана трехмерная модель пленочной конденсации пара на криволинейных поверхностях с учетом капиллярных эффектов. Получено эволюционное уравнение для толщины пленки конденсата. Данное уравнение является обобщением известных в литературе уравнений, использующихся для расчета пленочной конденсации пара на криволинейных поверхностях [1–3]. С использованием разработанной модели выполнены расчеты нестационарной конденсации движущегося пара этилового спирта в круглой трубе диаметром 5 мм. В численных расчетах применяется метод конечных объемов с неявной схемой по времени. Решение на каждом шаге по времени находится методом Ньютона с численной линеаризацией. В результате численных экспериментов определены времена установления стационарной конденсации при изменении определяющих параметров, которые составили 10–30 секунд. Получены и проанализированы зависимости коэффициента теплоотдачи от режимных параметров и от времени. Найдено объяснение, наблюдаемым в экспериментах скачкам коэффициента теплоотдачи при резком изменении температуры стенки трубы. Матвеев А.Д. 132 Список литературы 1. Gregorig R. Hautkondensation an feingewellten Oberflachen bei Beruksichtigung der Oberflachenspannungen // Zeitschrift fur angewandte Mathematik and Physik, 1954, Bd. 5,N 1, P. 36–49. 2. Adamek T. Bestimmung der Kondensationgrossen auf feingewellten Oberflachen zur Auslegung optimaler Wandprofile // Warme - und Stoffubertragung, 1981, Vol. 15, P. 255–270. 3. Марчук И.В., Глущук А.В., Кабов О.А. Конденсация пара на неизотермических криволинейных ребрах // Письма в Журн. техн. физики. – 2006. – Т. 32(9). – С. 42–49 МНОГОСЕТОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КОМПОЗИТОВ ТИПА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ А. Д. Матвеев Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск В работе исследуется многосеточное моделирование трехмерных упругих композитов типа цилиндрической панели сложной формы и структуры, суть которого состоит в следующем. В окрестности крепления композита используем мелкое (базовое) разбиение R1 , которое учитывает структуру композита и состоит из известных однородных трехмерных конечных элементов (КЭ) V0 первого порядка (узловыми неизвестными КЭ V0 являются значения перемещений u, v, w). Остальную часть композита представляем крупным разбиением R2 , состоящим из многосеточных конечных элементов (МнКЭ) [1]. Используем два типа МнКЭ: V1 , V2 . МнКЭ V1 имеет форму прямой призмы ABCDA1 B1 C1 D1 . Основания этой призмы есть трапеции AA1 D1 D, BB1 C1 C высотой h, при этом h = DD1 = CC1 , h — толщина панели, ABCD (A1 B1 C1 D1 ) — нижняя (верхняя) поверхность МнКЭ V1 , т. е. панели. МнКЭ V2 имеет форму прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 , причем ABCD (A1 B1 C1 D1 ) нижняя (верхняя) поверхность МнКЭ V2 , т. е. панели, AA1 D1 D и DD1 C1 C — смежные боковые грани (h = DD1 — толщина панели). Процедура построения МнКЭ V1 , V2 сводится к следующему. Область МнКЭ представляем разбиением, которое состоит из однородных КЭ V0 (т. е. состоит из КЭ базовой дискретной модели композита), учитывает структуру и порождает мелкую сетку. Используя метод конденсации, выражаем неизвестные внутренних узлов мелкой сетки, и узлов, расположенных на верхней и нижней поверхностях МнКЭ, через неизвестные узлов, Матюшин П. В., Гущин В. А. 133 которые лежат на боковых гранях. На боковых гранях МнКЭ определяем крупные узловые сетки, вложенные в мелкую. На противоположных боковых гранях МнКЭ (на AA1 D1 D, BB1 C1 C и AA1 B1 B, DD1 C1 C) крупные сетки одинаковы, на смежных гранях (AA1 D1 D и DD1 C1 C) различны. С помощью аппроксимаций, построенных на крупных сетках (для перемещений МнКЭ), исключаем неизвестные узлов мелкой сетки, расположенных на боковых гранях МнКЭ. Мелкое R1 и крупное R2 разбиения композита склеиваем с помощью связующих МнКЭ. На общей границе разбиения R1 и связующего МнКЭ неизвестные узлов мелкой сетки не исключаются. При построении МнКЭ V1 , V2 используются три различные узловые сетки: одна мелкая и две крупные, т. е. МнКЭ V1 , V2 являются трехсеточными. Достоинства предлагаемого моделирования заключаются в следующем. Многосеточное моделирование учитывает сложное крепление, сложную форму и структуру трехмерных композитов, и порождает дискретные модели, размерности которых на несколько порядков меньше размерностей базовых моделей композитов и максимальные напряжения которых отличаются от точных значений на заданную малую величину. Список литературы 1. Матвеев А. Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения. ПМТФ. 2004. № 3. С. 161–171. ИЗМЕНЕНИЕ ТОПОЛОГИИ ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР ОКОЛО ДВИЖУЩЕЙСЯ СФЕРЫ ПРИ УВЕЛИЧЕНИИ СТЕПЕНИ СТРАТИФИКАЦИИ ЖИДКОСТИ П. В. Матюшин, В. А. Гущин Институт автоматизации проектирования РАН, Москва С помощью математического моделирования и визуализации вихревых структур в настоящей работе впервые подробно проанализировано изменение полной вихревой структуры течения около сферы, равномерно движущейся в линейно стратифицированной вязкой жидкости, при уменьшении внутреннего числа Фруда F r от бесконечности до 0.005 (в диапазоне чисел Рейнольдса 10 ≤ Re = U d/ν ≤ 500, F r = U/(N d), где d — диаметр сферы). Уточнена классификация режимов течения. Для моделирования течений жидкости, описываемых системой уравнений Навье — Стокса в приближении Буссинеска, включающей уравнение диффузии стратифицирующей компоненты, используется метод расщепления по физическим факторам МЕРАНЖ с явной гибридной конечно-разностной схемой, имеющей второй порядок аппроксимации по пространственным переменным, минимальную схемную вязкость и диссипацию, работоспособную в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Фруда, монотонную [1, 2]. Для визуализации вихревых структур отрывных течений строятся изоповерхности мнимой части β комплексносопряженных собственных значений тензора градиента скорости [3, 4]. На рисунке приведен пример использования β-визуализации при F r = 1 и Re = 100 (β = 0.02). Расчеты проводились на многопроцессорном вычислительном комплексе МВС - 100k (МСЦ РАН). Матюшин П. В., Гущин В. А. 134 В результате можно выделить семь режимов течения, постепенно сменяющих друг друга при уменьшении числа F r (при Re < 500): 1) F r > 10 — режимы течения, характерные для однородной жидкости; 2) 1.5 < F r < 10 — квазиоднородный режим с четырьмя доминирующими вихревыми нитями, соединенными с вихревой оболочкой, окружающей сферу (см. рисунок); 3) 0.9 < F r < 1.5 — квазистационарный неосесимметричный прикрепленный вихрь в рециркуляционной области следа (см. рисунок); 4) 0.6 < F r < 0.9 — две симметричные вихревые петли в рециркуляционной области следа; 5) 0.4 < F r < 0.6 — отсутствие рециркуляционной области следа (внутренние волны); 6) 0.25 < F r < 0.4 — новая рециркуляционная область следа; 7) F r < 0.25 — два вертикальных вихря в новой рециркуляционной области следа, ограниченные сверху и снизу внутренними волнами. При F r < 0.3 и Re > 120 в следе наблюдается периодический отрыв. Данная классификация более близка к классификации из экспериментальной работы [5]. Интегральные характеристики промоделированных течений, такие, как вертикальный и горизонтальный углы отрыва, хорошо согласуются с экспериментальными данными [6]. В отличие от экспериментов математическое моделирование дает четкую детальную топологию вихревых структур течения около обтекаемого тела. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов: 08-01-00662, 08-01-91306, 08-07-00159), программ фундаментальных исследований Президиума РАН (No. 2) и ОМН РАН (No. 3). Список литературы 1. Белоцерковский О. М., Гущин В. А., Коньшин В. Н. Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. Т. 27. № 4. С. 594–609. 2. Gushchin V. A., Konshin V. N. Computational aspects of the splitting method for incompressible flow with a free surface. Journal of Computers and Fluids. 1992. V. 21. № 3. P. 345–353. 3. Chong M. S., Perry A. E., Cantwell B. J. A general classification of three-dimensional flow field. 1990. Phys. Fluids. V. A 2. № 5, P. 765–777. 4. Gushchin V. A., Matyushin P. V. Vortex formation mechanisms in the wake behind a sphere for 200 < Re < 380. Fluid Dynamics. 2006. V. 41. № 5. P. 795–809. 5. Chomaz J. M., Bonneton P., Hopfinger E. J. The structure of the near wake of a sphere moving horizontally in a stratified fluid. J. Fluid Mechanics. 1993. V. 254. P. 1–21. 6. Lin Q., Lindberg W. R., Boyer D. L., Fernando H. J. S. Stratified flow past a sphere. J. Fluid Mech. 1992. V. 240. P. 315–354. Мелентьев А. Б., Тарунин Е. Л. 135 О ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С. Б. Медведев1 , Ю. А. Чиркунов2 1 2 Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный технический университет Показано, что множество законов сохранения для нелинейной системы, описывающей установившееся безвихревое изоэнтропическое плоскопараллельное движение газа, исчерпывается законами сохранения для линейной системы Чаплыгина. Найдены все законы сохранения нулевого порядка для системы Чаплыгина, среди которых содержатся как уже известные [1], так и новый нелинейный закон сохранения. Установлено, что число не зависящих от потенциала вектора скорости неочевидных законов сохранения первого порядка, которыми обладает система Чаплыгина, не более трех, и их компоненты квадратичны относительно функции тока и ее производных. Перечислены все функции Чаплыгина, для которых система Чаплыгина имеет три неочевидных закона сохранения первого порядка, не зависящие от потенциала вектора скорости. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-01-00497) и интеграционного проекта СО РАН № 103. Список литературы 1. Рылов А. И. Уравнения С. А. Чаплыгина и бесконечное множество однороднодивергентных уравнений газовой динамики. Докл. АН. 2002. Т. 383. № 1. С. 34–36. ЭФФЕКТЫ АСИММЕТРИЧНОЙ МОДУЛЯЦИИ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ В МОДЕЛИ ЛОРЕНЦА А. Б. Мелентьев, Е. Л. Тарунин Пермский государственный университет Известно, что асимметричные модуляции обладают рядом специфических эффектов [1]. В данной работе асимметричные модуляции силы тяжести применяются к модели Лоренца [2]   ẋ = σ(g0 + g(t))y − σx, (1) ẏ = rx − y − xz,   ż = −bz + xy, ( −Aω12 cos ω1 t, 0 6 t < T1 , (2) g(t) = Aω22 cos ω2 t, T1 6 t 6 T. В модели Лоренца переменная x соответствует интенсивности конвективного движения, а переменные y, z описывают распределение температуры в горизонтальном и вертикальном направлении соответственно, r — нормированное число Рэлея; σ — число Прандтля; b — параметр, определяемый геометрическими размерами конвективной ячейки; ωi — частоты модуляции на долях полного периода T ; A — амплитуда модуляции; g0 — постоянное ускорение Миколайчук М. А., Князева А. Г. 136 свободного падения. Пример модуляционного слагаемого приведён на рис. 1 для параметра асимметрии T − T1 ξ= = 2. (3) T1 Рис. 1. Модуляция ускорения свободного падения Основное внимание при численных исследованиях уделено резонансным эффектам при различных значениях числа Рэлея. Получена зависимость резонансной частоты от числа Рэлея. Список литературы 1. Тарунин Е. Л. Обзор особенностей асимметричных колебаний. Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. Пермь: Перм. ун-т, 2005. № 37. С. 169–187. 2. Лоренц Э. Н. Детерминированное непериодическое течение. Новое в зарубежной науке: Странные аттракторы. Сб. переводных статей. М.: Мир, 1981. № 22. С. 88–116. СОПРЯЖЕННАЯ ЗАДАЧА ДИФФУЗИИ В УСЛОВИЯХ МЕХАНИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ М. А. Миколайчук, А. Г. Князева Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск Рассмотрена задача о перераспредeлении примеси в пластине длиной L, шириной h и толщиной δ1 (L h δ1 ), находящейся в условиях одноосного нагружения. Примесь нанесена симметрично на поверхности z = ±δ1 слоем толщиной δ2 и в процессе диффузионного отжига проникает внутрь. Надкриничный Л. В. 137 К поверхностям пластины y = ±L/2 приложена равномерно распределенная нагрузка P . Перераспределение примеси может происходить как из-за диффузии, так и в результате приложения нагрузки. В силу геометрических особенностей задачи, а так же наличия диффундирующей примеси, предполагаем, что образец находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. Возникающее при этом поле напряжений в общем случае является трёхмерным. В рамках данной работы ограничимся напряжениями, возникающими в диффузионной зоне, удаленной от поверхности нагружения, таким образом, рассматривается одномерный случай. Решение механической части задачи сводится к поиску компонент тензора напряжений, определяющих напряженное состояние рассматриваемой пластины. В случае пренебрежения сдвиговыми напряжениями и деформациями, это есть σxx и σyy . Их легко определить из уравнений совместности ∂ 2 εxx ∂ 2 εyy = 0, = 0, ∂ 2z ∂ 2z решения которых имеют вид εxx = Az + B, εyy = Cz + D. Используя для определения констант интегрирования условия нагружения и выражая σxx , σyy из соотношений закона Дюамеля — Неймана σij = 2µεij + δij (εkk · λ − Kw), где w — функция концентрации, переходим к задаче диффузии. ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ ПРИ БЫСТРОМ ПОГРУЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Л. В. Надкриничный Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Особый интерес вызывает возможность возникновения катастрофических волн цунами при падении в океан тел из межпланетного пространства. Такие волны в современной научной литературе принято называть космогенными цунами [1]. Падение метеорита в океан может привести к возникновению цунами колоссальной высоты, а при учёте того, что поверхность океана занимает значительную площадь земной поверхности, то падение метеорита в океан более вероятно, чем на сушу. Хотя сценарий падения метеорита с размерами, необходимыми для возбуждения достаточно крупной волны, маловероятен, всё же остаётся проблема прогнозирования такого явления [1]. В качестве прогноза рассматривается взаимосвязь параметров образованной волны и падающего тела. Рассматривается задача моделирования поверхностных волн, возникающих при быстром погружении твёрдого тела в жидкость. Твёрдое тело представляет собой цилиндр с круговым сечением; в одном случае — с затуплением в форме плоского торца, в другом — с полусферическим затуплением. Возникшие волны имеют нелинейный характер, для их адекватного описания необходимо привлекать нелинейные модели волновой гидродинамики. Были использованы уравнения мелкой воды в цилиндрической системе координат. Численное решение представлено на разностной сетке типа «C» по классификации Аракавы с использованием явной TVD схемы первого порядка точности по пространству и времени [2, 3]. Проведённые численные расчёты показали, что амплитуда образованных волн находится в прямой зависимости от радиуса и скорости погружения тела: чем оно больше, тем большую амплитуду имеют образованные волны. Полученные закономерности подтверждают тот Назарова Л. А. 138 факт, что падение крупного тела с большой скоростью в открытый океан является очагом катастрофических волн большой амплитуды. Форма затупления погружающегося цилиндра не влияет на форму образованной волны. Ключевым для образования волн катастрофической амплитуды при данном процессе является именно радиус тела. Таким образом, падение тела в открытый океан является действенным механизмом образования крупных волн. Список литературы 1. Левин Б. В., Носов М. А. Физика цунами и родственных явлений в океане. Научное издание. М., “Янус-К”, 2005. 2. Мезингер Ф., Аракава А. Численные методы, используемые в атмосферных моделях. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1979. 3. Yee H. C. and Warming R. F.Implicit Total Variation Diminishing (TVD) Schemes for SteadyState Calculations. Journal of computational physics 57, 327–360, 1985. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА НАРУШЕНИЙ СПЛОШНОСТИ МАССИВОВ ГОРНЫХ ПОРОД Л. А. Назарова Институт горного дела СО РАН, Новосибирск Конфигурация и физические свойства нарушений сплошности оказывают решающее влияние на эволюцию состояния блочных породных массивов различного масштабного уровня, находящихся под действием природных и техногенных факторов: практически все эпицентры землетрясений расположены в окрестности тектонических разломов литосферы. Фрактальная размерность D — обобщенная характеристика геометрии поверхности, описываемой с заданной (выбираемой исследователем) степенью точности M . В работе изложены результаты решения задач, иллюстрирующие возможность использования фрактальной размерности для описания процессов деформирования структурированных сред. Разработан алгоритм генерации линий и поверхностей с заданным значением D. На основе статистической обработки данных численных экспериментов найдены зависимости от D и M величины предельного раскрытия нарушения W ; верхней оценки угла дилатансии; длины береговой линии и площади поверхности нарушения, позволяющие по специализированным картам оценить значение D, при этом величина параметра M зависит от масштаба последних. Разработана модель контактного взаимодействия упруго-хрупких тел с поверхностями одинаковой фрактальной размерности, синтезирована формула для количественной оценки нормальной жесткости нарушений сплошности по значениям W , D и величине прочности на сжатие вмещающей среды. Ассоциируя фокальную область F сейсмического события с аномальным участком тектонического нарушения (имеющего, например, повышенную фрактальную размерность), на основе упругопластической дилатантной модели описана эволюция зон необратимых деформаций в окрестности F . Эти зоны являются причиной вариации геомеханических полей вплоть до поверхности Земли, которые могут быть зарегистрированы методами космической геодезии. На основе решения обратных задач создан метод оценки параметров F по информации о приращениях вертикальных и горизонтальных смещений на дневной поверхности. Олейников А. И. 139 Предложен подход к построению эквивалентных моделей породных массивов с нарушениями сплошности, получены зависимости эквивалентных модулей от деформационных параметров вмещающей среды и фрактальной размерности нарушений. Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 09-05-00975) и Интеграционного проекта СО РАН № 61. ОБ ОСОБЫХ РЕШЕНИЯХ В МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ М. В. Нещадим1,3 , А. П. Чупахин2,3 1 Институт математики СО РАН им. С.Л.Соболева, Новосибирск Институт гидродинамики СО РАН им. М.А.Лаврентьева, Новосибирск 3 Новосибирский государственный университет 2 Исследуются решения модели движения неоднородной среды − − D→ u + ∇h = 0, div→ u = 0, Dh = 0. (1) − Здесь скорость → u = (u, v) и термодинамическая функция h зависят от времени t и про− − странственных координат → x = (x, y), D = ∂t + → u · ∇, ∇ = (∂x , ∂y ). Система (1) является переопределенной, полная система ее условий совместности на сегодняшний день не получена. Доказано, что в лагранжевых координатах система (1) записывается в виде Xt − Yξξ = 0, Yt + Xξξ = 0, Xξ Yη − Xη Yξ = ε, (2) где ε = 0, 1. Исследуются условия совместности системы (2). Описаны особые решения системы (2), для которых ε = 0. Среди них имеются решения с функциональным произволом. Работа выполнена при финансовой поддержке Интеграционного проекта СО РАН № 65. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ МЕТАЛЛОВ ПРИ ДЕФОРМАЦИОННОМ СТАРЕНИИ А. И. Олейников Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, Косомольск-на-Амуре Рассматриваются проблемы определяющих соотношений анизотропной ползучести алюминиевых сплавов ([1]) в условиях искусственного старения. Анализируются экспериментальные данные о влиянии температуры деформационного старения на микроструктуру материалов. Оцениваются эффекты взаимосвязи процессов деформирования и искусственного старения. Формулируется система связанных уравнений физико-механических процессов при деформационном старении. Приводятся решения связанных задач трансверсально-изотропной ползучести при термомеханической обработке. Осипова Е. Б. 140 Список литературы 1. Олейников А. И., Пекарш А. И. Интегрированное проектирование процессов изготовленич монолитных панелей. М: Эком, 2009. КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СЖИМАЕМОГО ПОЛОГО ШАРА ПРИ СЛЕДЯЩЕМ ВНУТРЕННЕМ ДАВЛЕНИИ Е. Б. Осипова Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичёва ДВО РАН, Владивосток Современные геофизические модели Земли РЕМ (Parametric Earth Model) представляют собой обобщение количественных сведений о строении Земли [1]. Эти модели отражают существование аномальных масс — различия в строении коры и верхней мантии океанических и континентальных регионов, локализованных до глубины 420 км. В общей трехмерной постановке в рамках линеаризованной теории упругой устойчивости [2] и теории конечных деформаций [3] исследована устойчивость равновесия трехслойной сжимаемой упругой Земли при основном радиально-симметричном состоянии. Полученные результаты применены к анализу тектонических последствий сил гравитации и внутреннего следящего давления на границе локализации аномальных масс Земли, представленной литосферой, астеносферой и подастеносферной мантией. Решение задачи выполнено в сферической системе координат Oρϕθ в физических составляющих компонент тензора деформаций Грина ε(ij) , несимметричного тензора напряжений Кирхгофа t(ij) , физических составляющих вектора перемещений uk , параметра удлинения λk в направлении координатных k-линий. В возмущенном состоянии линеаризованное уравнение устойчивости равновесия для произвольной формы нелинейно-упругого потенциала для каждого i-го слоя шара преобразуется к виду  ∂u1 ∂ 2 u1 ∂δ 2 2   + A δ + A (∇ + 2) + γω ρ u + A + A = 0, A 2 3 1 4 5 1   ∂ρ ∂ρ ∂ρ2    ∂ 2δ ∂δ    ∇ 2 δ + K1 2 + K 2 + K3 δ + K4 (∇2 + 2) + K5 u1 + ∂ρ ∂ρ (1) ∂u1 ∂ 2 u1 ∂ 3 u1  2  + K8 2 + K9 3 = 0, K6 (∇ + 3) + K7    ∂ρ ∂ρ ∂ρ   2  ∂ χ ∂χ   ∇2 χ + L1 2 + L2 + L3 χ = 0. ∂ρ ∂ρ Линеаризованная система (1) является системой уравнений в частных производных относительно переменных, определяющих для каждого слоя радиальное перемещение точки u1 , результирующую по главным направлениям деформацию точки δ/ρ, перемещение поворота вокруг точки χ. В развернутом виде получаем ∂u1 ∂u2 1 ∂u3 1 ∂u3 1 ∂u2 δ=ρ + + 2u1 + + u2 ctg ϕ, χ = + u3 ctg ϕ + . ∂ρ ∂ϕ sin ϕ ∂θ 2 ∂ϕ sin ϕ ∂θ Система (1), рассмотренная для каждого слоя шара, позволяет найти решение с точностью до постоянных. Конкретизация выбора постоянных величин в выражениях для u1 , δ и χ решается присоединением граничных условий, соответствующих возмущенному состоянию Осипова Е. Б. 141 устойчивости равновесия. Решение системы (1) определяем методом разделения переменных в виде ∞ X u1 = u10m (ρ)Mm (α) cos mθ, α = cos ϕ, δ= ∞ X m=0 δ0m (ρ)Mm (α) cos mθ, χ= m=0 ∞ X (2) χ0m (ρ)Mm (α) sin mθ. m=0 Непосредственная подстановка выражений (2) в систему (1) дает для каждого из уравнений два уравнения. Одно из них, одинаковое для всех уравнений системы, имеет вид d m2 2 d M (α) (1 − α ) + n(n + 1) − M (α) = 0 dα dα 1 − α2 и имеет решением присоединенные функции Лежандра Pnm (α) первого рода степени n и порядка m, n ≤ m; n и m — параметры волнообразования. Каждое второе уравнение, получающееся в результате разделения переменных в системе (1), является линейным дифференциальным уравнением относительно коэффициентов разложения (2), зависящих только от координаты ρ, и решается методом Фробениуса. Соответствующие преобразования в граничных условиях позволяют также разделить переменные. Конкретизация закона состояния для каждого слоя шара в виде закона Мурнагана [3] в обстановке конкретной модели РЕМ [1] позволяет проанализировать возмущенное состояние всего шара и взаимодействие сил гравитации и внутреннего следящего давления. Изменение параметров отражает общую картину устойчивости (неустойчивости) основного состояния равновесия, позволяет исследовать различные формы потери устойчивости и конкретизировать зоны утоньшения, направления максимальных и минимальных перемещений, поворотов, результирующего напряженнодеформированного состояния трехслойного шара под действием внутреннего давления [4]. Полученные результаты позволяют реконструировать и объяснить особенности структурновещественной эволюции подастеносферной мантии, астеносферы и литосферы в результате тектонического воздействия собственной гравитации и внутреннего следящего давления. Работа выполнена при финансовой поддержке ДВО РАН (код 09-III-А-07-325). Список литературы 1. Dziewonski A.M., Hales A.L., Lapwood E.R. Parametrically simple Earth models consistent with geophysical data // Phys.Earth Planet. Inter. 1975. V. 10. P. 12–48. 2. Biot M.A. Non-linear theory of elasticity and the linearized case for a body under initial stress // Phil.Mag. 1939. V. 27. P. 89–115. 3. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 4. Осипова Е.Б. Конечные деформации и устойчивость равновесия сжимаемого упругого полого шара при следящем внутреннем давлении // Физическая мезомеханика. 2009. Т. 12. № 6. С. 79–86. Остапенко В. В., Карабут П. Е. 142 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСПАДЕ РАЗРЫВА МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ В. В. Остапенко, П. Е. Карабут Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Задача о распаде разрыва для гиперболических систем законов сохранения является одной из наиболее распространенных при получении и качественном анализе автомодельных обобщенных решений, на которых тестируются разнообразные численные методы. Однако однозначная разрешимость этой задачи в целом, то есть для начального разрыва произвольной амплитуды, доказана для достаточно узкого класса гиперболических систем, таких, как системы законов сохранения газовой динамики или первого приближения теории однослойной мелкой воды. В [1] для произвольной сильно нелинейной гиперболической системы теорема об однозначной разрешимости задачи о распаде разрыва доказана в малом, то есть для начального разрыва достаточно малой амплитуды. Основной недостаток этой теоремы заключается в том, что она не дает явного алгоритма для построения соответствующего автомодельного решения. В настоящей работе для построения решения задачи о распаде разрыва малой амплитуды предлагается метод последовательных приближений. В линейном приближении этого метода получается задачи Коши для линейной гиперболической системы. Ее решение представляет собой линии разрыва, разделенные областями, в которых решение является постоянным. Основное внимание уделяется первому приближению этого метода, в рамках которого разрывы, получаемые в линейном приближении, разделяются на устойчивые ударные волны, волны разрежения и контактные разрывы. В качестве конкретного примера проведен анализ качественно различных режимов течения, возникающих в первом приближении при решении задачи о распаде разрыва малой амплитуды для модели двухслойной мелкой воды со свободной границей (в линейном приближении эта задача была детально изучена в [2]). Наиболее подробно изучен частный случай данной задачи — задача о разрушении плотины. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-98001) и проектов фундаментальных исследований Президиума РАН № 16.7 и Президиума СО РАН № 40. Список литературы 1. Lax P. D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. Philadelphia: Soc. Industr. and Appl. Math., 1972. 2. Карабут П. Е., Остапенко В. В. Задача о разрушении плотины в двухслойной мелкой воде (линейное приближение) // ПММ. 2009. Т. 72. Вып. 6. С. 958–970. Паршин Д. А. 143 НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЯЖЕЛОГО ПОЛУСФЕРИЧЕСКОГО КУПОЛА, ВОЗВОДИМОГО НА ГЛАДКОМ ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ Д. А. Паршин Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва При расчете крупногабаритных сооружений нельзя не считаться с действующими на них силами тяжести. Между тем, подавляющее большинство таких сооружений не устанавливается в готовом виде на подготовленное для них основание, а сооружается на нем постепенно. В этом случае учет влияния сил тяжести не может осуществляться на основании расчетной схемы, оперирующей лишь с конечной конфигурацией рассматриваемого объекта, а должен охватывать всю историю его возведения. Действительно, вес каждого дополнительно присоединяемого элемента вызывает дополнительную деформацию всей уже существующей части конструкции, сообразно с ее текущей жесткостью. Поэтому напряженно-деформированное состояние объекта формируется инкрементально и должно в общем случае принципиально отличаться от того состояния, которое бы он приобрел, будучи подвергнутым воздействию сил тяжести уже в готовом виде. Анализ процессов деформирования наращиваемых тел, то есть тел, формируемых за счет присоединения дополнительного материала к их поверхности, показывает, что учет влияния сил тяжести на возводимый объект не может быть осуществлен и при рассмотрении классических уравнений и граничных условий механики твердого тела в переменной во времени пространственной области. Постановка и решение соответствующих задач должны проводиться в рамках концепций механики наращиваемых тел. Это и проделывается в настоящей работе на примере процесса постепенного возведения на гладком жестком основании тяжелого полусферического купола из однородного изотропного линейно упругого материала. Процесс возведения начинается с установки на основание полусферической заготовки, выполненной заранее без остаточных напряжений. Далее осуществляется ее равномерное утолщение за счет непрерывного присоединения к внутренней поверхности слоев дополнительного материала, свободного от начальных напряжений. В работе поставлена квазистатическая начально-краевая задача механики наращиваемых тел, описывающая процесс формирования напряженно-деформированного состояния рассматриваемого возводимого купола под действием сил тяжести в случае малых деформаций. Построено аналитическое решение этой задачи в рядах и квадратурах. На основании данного решения осуществлен качественный и количественный анализ процесса развития напряжений в возводимом куполе. Его итоговое напряженное состояние сопоставлено с состоянием тяжелого купола, имеющего те же размеры и характеристики, но установленного на основание сразу в готовом виде. Обнаружены принципиально новые механические эффекты, сделан ряд практически важных выводов. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00553-а, 08-01-91302-ИНД_а, 09-08-01180-а, 09-08-01194-а, 10-01-92653-ИНД_а), Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления Российской академии наук (Программа 13 ОЭ), а также Фонда содействия отечественной науке. Петров А. Г., Шундерюк М. М. 144 ВЛИЯНИЕ СИЛЫ БАССЕ НА ДИНАМИКУ ВЗВЕШЕННОЙ ЧАСТИЦЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВИБРАЦИИ А. Г. Петров, М. М. Шундерюк Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва Рассматривается движение взвешенной частицы в жидкости. На дне сосуда с жидкостью создается вибрация высокой частоты ω и амплитуды A. В результате в жидкости создается акустическая стоячая волна давления с длиной волны l = 2πc/ω. Исследование этой задачи представлено в монографиях [1, 2] без учета наследственной силы Бассе. При условии |γ| = (2/9)|s − 1|(2s + 1)gc/(A2 ω 3 ) < |2s − 1|/6, частицы распределяются по горизонтальным слоям, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном полудлине волны, где g — ускорение силы тяжести, s = ρs /ρ — отношение плотностей частицы и жидкости, c — скорость звука в жидкости. В настоящей работе показано, p что с учетом силы Бассе существенным оказывается третий Aρω 2 /(cµ), где µ — коэффициент динамической вязкости. безразмерный параметр λ = Условие с учетом силы Бассе таково: |γ| < |2s − 1| p 1 − F (s)λ8 . 6 (1) Здесь F (s) — некоторая функция s, подлежащая определению. На графике штриховой линией изображена граница условия расслоения без учета силы Бассе, а сплошными линиями — границы условий расслоения с ее учетом. Для параметра λ выбраны следующие значения (слева направо): λ = 0.25, λ = 0.5, λ = 0.75, λ = 1. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00251). Список литературы 1. Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. Динамика частиц при воздействии вибраций — Киев: НАУКОВА ДУМКА, 1975. 168 с. 2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред М.: Наука. Ч. 1. 1987. 464 с. Петрова А. Г. 145 О КОРРЕКТНОСТИ ЗАДАЧ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЭМУЛЬСИИ В ПРОСТРАНСТВЕ А. Г. Петрова Алтайский государственный университет, Барнаул Математическая модель термокапиллярного движения эмульсии под действием микроускорений и термокапиллярных сил, предложенная В.В. Пухначевым и О.В. Воиновым в 1995 году, представляет собой систему неопределенного типа, состоящую из 9 уравнений в частных производных второго и первого порядков для определения концентрации дисперсной фазы, температуры смеси, векторов скоростей несущей и дисперсной фаз и общего давления. Простейшие решения, соответствующие однородному распределению дисперсных включений, исследовались на устойчивость в [1]. В случае одномерного движения эмульсии с плоскими волнами корректность постановки простейшей начально-краевой задачи изучалась в [2]. Вопрос о корректности начальных и начально-краевых задач в пространстве до сих пор не рассматривался. Данная работа посвящена исследованию трехмерной задачи в двух постановках: задачи Коши для модели эмульсии, линеаризованной на простейших решениях, о которых шла речь выше и нелинейной начально-краевой задачи с нулевыми граничными условиями при отсутствии силы тяжести. Для линеаризованной задачи Коши при помощи преобразования Фурье по времени и пространственным переменным удается доказать существование и единственность (при некотором условии на малость концентрации дисперсной фазы, обеспечивающем параболичность для уравнений второго порядка) решения задачи в классе функций, суммируемых с квадратом вместе с квадратами производных, входящих в уравнения на множестве R3 × [0, T ] при условии, что начальные функции также суммируемы с квадратом по всему пространству вместе с квадратами соответствующих производных. Для нелинейной начально-краевой задачи на основе теоремы Шаудера о неподвижной точке оператора доказывается существование классического решения в малом по времени. Список литературы 1. Pukhnachov V. V., Voinov O. V., Petrova A. G., Zhuravleva E. N., Gudz O. A. Dynamics, stability and solidification of emulsion under the action of thermocapillary forces and microacceleration Interfacial Fluid Dynamics and Transport Processes. Lecture Notes on Physics. Springer, 2003. 2. Петрова А. Г. О начально-краевой задаче для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил. СибЖИМ. 2009. Т. XII.№ 2(38). Полоник М. В., Рогачев Е. Е. 146 ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА ПОД ПЛАВАЮЩЕЙ ПЛАСТИНОЙ В ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ А. В. Погорелова Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, Комсомольск-на-Амуре Рассматривается бесконечная упругая однородная изотропная тонкая пластина, плавающая на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Точечный источник массы движется в жидкости прямолинейно и нестационарно на заданной глубине погружения под пластиной. Решение задачи проводится с использованием известных интегральных и асимптотических методов. На основе полученных интегральных формул проводится численный анализ влияния толщины пластины, глубины погружения источника, глубины водоема, ускорения, торможения и скорости равномерного движения источника на высоту изгибно-гравитационной волны. Получено, что уменьшение глубины водоема, уменьшение глубины погружения источника и уменьшение толщины пластины приводит к увеличению прогибов пластины. Для равномерного движения источника после разгона показано, что существует критическая скорость движения источника, соответствующая максимальной высоте образующейся изгибно-гравитационной волны. Значение критической скорости источника близко к значению скорости гравитационной волны на мелководье и, кроме того, зависит от толщины пластины. Для движения источника в жидкости бесконечной глубины подобного эффекта (существования критической скорости равномерного движения источника) не наблюдается. Предлагаются режимы движения источника (ускорение, торможение, движение на заданной скорости), позволяющие повысить или понизить высоту образующейся изгибногравитационной волны. ПРОДАВЛИВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА СКВОЗЬ СФЕРИЧЕСКУЮ МАТРИЦУ М. В. Полоник1 , Е. Е. Рогачев2 1 2 Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Дальневосточный государственный технический университет, Владивосток Технологические процессы обработки металлов давлением, такие, как прокатка, штамповка, продавливание и т.д., как правило, сопровождаются большими перемещениями и деформациями, поэтому при моделировании и решении такого сорта задач невозможно ограничиться теорией упругости. Более того, пластические деформации превосходят упругие и при определении усилий, действующих на материал, упругими деформациями, как правило, пренебрегают. Соответствующая модель жесткопластического тела используется и в моделировании таких технологических процессов, где упругими деформациями пренебрегать уже нельзя. Несмотря на то, что в некоторых случаях могут быть обеспечены простые решения, достаточно хорошо согласующиеся с экспериментом, однозначное определение напряжений в жестких областях, а, следовательно, и их границ, невозможно. В связи с этим в рамках данной модели неправомочно полагать достоверность полученных решений для всех характеристик, в частности, для поля перемещений и их скоростей. В представленном исследовании рассматривается задача о продавливании упругопластического материала сквозь сферическую матрицу в рамках ранее разработанной теории больших упругопластических деформаций [1]. Выбранная модель хорошо зарекомендовала себя в решении данного класса задач [2] и позволяет учесть как уровень накопленных необратимых, так и обратимых деформаций. Поплавская Т. В., Цырюльников И. С. 147 Движение среды осуществляется под действием заданных внешнего и внутреннего давлений. Решением упругой задачи определяется условие возникновения в материале пластического течения на некоторой сферической поверхности. Указывается характер движения упругопластических границ, и рассчитываются остаточные напряжения. Целью исследования является также определение условий установившегося пластического течения в материале. Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия отечественной науке. Список литературы 1. Буренин А. А., Быковцев Г. И., Ковтанюк Л. В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях. Докл. Ан. 1996. Т. 347. № 2. С. 199–201. 2. Буренин А. А., Ковтанюк Л. В., Мазелис А. Л. Продавливание упругопластического материала между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями. ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 3. С. 481–489. АНОМАЛЬНОЕ УСИЛЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ Т. В. Поплавская, И. С. Цырюльников Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, Новосибирск Усиление амплитуд возмущений за ударной волной (УВ) может играть ключевую роль в восприимчивости пограничных и ударных слоев при больших числах Маха M∞ набегающего потока. Согласно линейной теории взаимодействия малых возмущений с УВ [1], при падении акустических волн в определенном диапазоне углов падения амплитуда прошедшей акустической волны резко возрастает. В данной работе методом прямого численного моделирования выполнено исследование прохождения акустических возмущений за УВ при помощи программы расчета двумерных уравнений Навье — Стокса с использованием схем сквозного счета высокого порядка точности [2]. Рассматривалось невязкое течение на пластине под углом атаки 10◦ к набегающему потоку с числом M∞ = 21. Внешние возмущения представляли собой плоские акустические волны быстрой моды. Были выполнены параметрические расчеты коэффициента прохождения звука в зависимости от угла падения и длины волны акустического возмущения. При уменьшении длины волны величины коэффициентов прохождения звука увеличиваются и стремятся к значениям, полученным по классической теории [1]. Это связано с процессом постепенного увеличения амплитуды колебаний УВ вниз по потоку. Максимальные значения коэффициента прохождения звука реализуются после установления постоянной амплитуды колебаний УВ. Таким образом, в работе получено аномальное усиление акустических волн и подтверждена справедливость классической линейной теории взаимодействия [1] для диапазона углов падения внешних акустических возмущений, близких к критическому углу. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-08-00557). Потапов И. И. 148 Список литературы 1. McKenzie J. F., Westphal K. O. Interaction of linear waves with oblique shock waves. Phys. Fluids. 1968. V. 11. P. 2350–2362. 2. Кудрявцев А. Н., Поплавская Т. В., Хотяновский Д. В. Применение схем высокого порядка точности при моделировании нестационарных сверхзвуковых течений. Мат. моделирование. 2007. Т. 19. N. 7. С. 39–55. О НЕРАВНОВЕСНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ НЕСВЯЗНОГО ДНА КАНАЛА И. И. Потапов Вычислительный центр ДВО РАН, Хабаровск Предложена математическая модель, задачи о деформировании дна канала прямоугольной формы. Задача деформаций дна русла формулируется с уточненной в работе формулой расхода наносов. Уточнение связано с необходимостью учета влияния неустановившегося руслового режима на транспорт влекомых наносов. Математическая постановка задачи следующая: ∂q ∂ζ + = 0, ∂t ∂x ∂ζ q = q0 1 − χ − (1 − 0.5χ) , ∂x ∂ξ w ∂ξ + u∗ (1 − ξ), ∂t ∂x h где 4 m ξ τ 1.5 , √ 3 (1 − )(ρs − ρw )g tg ϕ ρw κ r r 4 τ∗ τ∗ 3 d(ρs − ρw )g tg ϕκ2 u∗ = , χ= , τ∗ = , 3κ ρw τ 8 cx q0 = m = (1 : χ < 1, 0 : χ ≥ 1) . Здесь ζ — отметка дна канала; ξ — коэффициент насыщения активного слоя влекомыми наносами; h — глубина активного слоя; ρw , ρs — плотность жидкости и частиц песка; ε — коэффициент пористости песчаного дна; κ = 0.4 — постоянная Кармана; ϕ — угол внутреннего трения песка; g — ускорение свободного падения; τ — касательное напряжение на поверхности дна; d, cx — диаметр частиц и коэффициент их лобового сопротивления; w — гидравлическая крупность частиц. Получено решение сформулированной задачи для случая набегания осветленного гидродинамического потока на размываемое дно. Это решение имеет хорошее количественное согласование с экспериментальными данными. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-99035 р-офи). Прокофьев В. В., Такмазьян А. К., Филатов Е. В. 149 НАБЛЮДЕНИЕ И РАСЧЕТ ЭФФЕКТА ТЯГИ ПРИ ОБРУШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСПЕРГИРУЮЩИХ ВОЛН НАД НАКЛОННОЙ ПЛАСТИНОЙ. В. В. Прокофьев, А. К. Такмазьян, Е. В. Филатов НИИ механики МГУ им. М. В. Ломоносова В Институте механики МГУ создана экспериментальная установка, преобразующая энергию волнового движения воды в поступательное движение судна. Такие установки называются волновыми движителями, они позволяют судам передвигаться, в том числе и против движения волн. В данном случае принципиальное отличие от известных схем волнодвижителей состоит в том, что отбор энергии происходит без наличия колебательного движения какой-либо части механизма или судна в целом [1]. Установка представляет собой пластину, закрепленную по вертикали на малой глубине под свободной поверхностью воды, и имеющую небольшой уклон навстречу набегающим волнам. При этом пластина моделирует накат морских волн на мелководье, в процессе которого волны разрушаются из-за мелководного увеличения крутизны их переднего фронта. Масса воды, вовлеченной в процесс обрушения, исключается из волнового движения, в котором происходит постоянное преобразование кинетической энергии жидкости в потенциальную и обратно, и при падении с высоты гребня приобретает импульс, с которым выносится за пределы пластины. Таким образом, на вертикальной границе некоторого объема, включающего в себя жидкость и пластину, возникает ненулевой поток импульса, при компенсации которого пластина приобретает противоположно направленную тягу. При определенном заглублении и наклоне пластины горизонтальная составляющая тяги пластины направлена против движения волн. В эксперименте пластина, установленная в волновом гидроканале, была закреплена на тележке, свободно передвигающейся по рельсам вдоль канала. При этом наблюдалось движение пластины как в направлении распространения волн, так и против них, в зависимости от расположения пластины относительно свободной поверхности воды. Проведены исследования зависимости эффекта движения пластины против волн от параметров волн, а также от угла наклона и глубины погружения пластины. Целью настоящего исследования является адекватное описание обрушивающихся волн на мелководье для получения оценок возникающего импульса пластины в зависимости от соотношения длины и крутизны волн и заглубления и углов наклона пластины. Волновое движение описывается системой уравнений Эйлера с условием отсутствия завихренности. Учитывая малость отношения глубины воды над пластиной к длине волн, в данном случае применимо приближение Буссинеска, когда решение ищется в виде конечного числа членов ряда разложения продольной скорости жидкости в ряд Тейлора по вертикальной координате около некоторой фиксированной глубины [2]. Для замыкания системы вводится предположение о малости амплитуды искомых волн по отношению к их глубине и о порядке отношения двух введенных малых величин — нелинейности волн и их мелководности [3]. Подстановкой разложения скорости в уравнения неразрывности и отсутствия вихря, с учетом кинематических граничных условий, производные по вертикальной координате заменяются на производные по горизонтальному направлению. Окончательно зависимость от вертикальной координаты исключается осреднением по толщине слоя воды. Таким образом, двумерные нестационарные уравнения Эйлера для плоских волн сводятся к одномерной эволюционной системе уравнений типа Буссинеска с дисперсией. Используя известные системы уравнений Буссинеска различного порядка приближения по обоим малым параметрам [2, 4], получены решения для наката и обрушения периодических дисперсных волн на наклонный берег. Отметим, что подобные системы ранее успешно использовались только для решения задач наката очень пологих уединенных волн на отмели. Рассчитанная эволюция профиля волны хорошо согласуется с результатами экспериментальных наблюдений. Оценка положения точки обрушения Прокудин А. Н., Одиноков В. И. 150 волны производилась по критерию превышения скорости частиц на поверхности гребня волны фазовой скорости самого гребня. Авторами предложена простая методика расчета массы воды, участвующей в обрушении, и оценки потока импульса, возникающего при выносе обрушившейся воды за пределы волнового движения над пластиной. Оценка по порядку совпадает с измеренной в эксперименте силой тяги пластины. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-08-00360-а). Список литературы 1. Якимов А. Ю., Якимов Ю. Л. Прямоточный волновой движитель судна. Вестн. МГУ. Сер.1. Матем. Механ. 2005. № 4. C. 59–62. 2. Nwogu O. An alternative form of the Boussinesq equations for nearshore wave propagation. J . Waterway, Port, Coast. Ocean Engng. 1993. V. 119. P. 618–638. 3. Peregrine D. Long waves on a beach. J. Fluid Mech. 1967. V. 27. P. 815–827. 4. Wei G., Kirby J. T., Grilli S. T., Subramanya R. A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves. Part 1. Highly nonlinear unsteady waves. J. Fluid Mech. 1995. V. 294. P. 71–92. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЛЕДЯНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА НЕЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА А. Н. Прокудин, В. И. Одиноков Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, Комсомольск-на-Амуре На основе уравнений теории упругости для малых деформаций и уравнений Навье — Стокса для ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости строится математическая модель деформирования ледяной пластины, находящейся под динамическим воздействием цилиндрического тела. Цилиндрическое тело представляет собой устройство для разрушения ледяного покрова, состоящее из цилиндра, имеющего каналы, по которым проходит гибкая система, включающая газовый шланг и электропровод. После установки устройства подо льдом по системе поступает определённый объем газовоздушной смеси. Затем подается искровой разряд в свечах, происходит взрыв газовоздушной смеси, цилиндр устремляется вверх, разрушая локальную область ледяного покрова. Сформулированная система уравнений решалась апробированным численным методом [1]. Давление, создаваемое взрывом газовоздушной смеси, задавалось с помощью экспериментальных данных [2]. Определены необходимые значения геометрических параметров устройства и объем газовоздушной смеси для полного разрушения льда толщиной 1 м, 2 м и 2.5 м в области с радиусом, равном радиусу цилиндра. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ДВО РАН (код проекта 09-II-УО03-002). Радченко В. П., Саушкин М. Н. 151 Список литературы 1. Одиноков В. И., Каплунов Б. Г., Песков А. В., Баков А. А. Математическое моделирование сложных технологических процессов. М.: Наука, 2008. 2. Равич М. Б. Беспламенное поверхностное горение. М.-Л.: Издательство Академии наук СССР, 1949. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ МАКСВЕЛЛА В. В. Пухначев Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Рассматриваются неустановившиеся движения несжимаемого вязкоупругого континуума Максвелла с постоянным временем релаксации. Как известно, в несжимаемой сплошной среде давление не является термодинамической переменной, а с точностью до множителя совпадает со следом тензора напряжений. Выделяя из этого тензора шаровую часть, мы вправе предположить, что оставшаяся часть тензора напряжений имеет нулевой след. Для несжимаемой среды уравнения для скорости, давления и тензора напряжений образуют замкнутую систему уравнений первого порядка. Эта система имеет как вещественные, так и комплексные характеристики, что осложняет постановку начально-краевых задач. Тем не менее, удается доказать разрешимость задачи Коши в классе аналитических функций. В классах функций конечной гладкости установлена однозначная разрешимость линейной версии задачи. Изучен класс эффективно одномерных движений, для которых подсистема трех уравнений является гиперболической. Асимптотический анализ последней указывает на возможность образования разрывов в процессе эволюции решения. Общая система уравнений движения допускает бесконечномерную псевдогруппу Ли, которая содержит расширенную группу Галилея. С целью получения точных решений задач со свободными поверхностями доказана теорема об инвариантности условий на априори неизвестной свободной границе. В качестве примера приложения этой теоремы рассмотрена задача о деформации вязкоупругой полосы под действием касательных напряжений, приложенных к свободной границе. В этой задаче обнаружен масштабный эффект коротковолновой неустойчивости, вызванный отсутствием диагонального преобладания девиатора тензора напряжений. Работа выполнена при финансовой поддержке программы 14.3 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНО УПРОЧНЁННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ С УЧЁТОМ АНИЗОТРОПИИ УПРОЧНЕНИЯ В. П. Радченко, М. Н. Саушкин Самарский государственный технический университет В монографии [1] и ряде других работ авторами разработан и апробирован расчётнофеноменологический метод определения компонент остаточных напряжений и пластических Роменский Е. И. 152 деформаций в цилиндрическом образце по экспериментально определённой окружной компоненте остаточных напряжений в упрочнённом слое. Ззадача решается в цилиндрической системе координат (r, θ, z). Для решения поставленной задачи в [1] вводится ряд гипотез, одна из которых сводится к следующему: характер распределения пластических деформаций в упрочнённом слое цилиндрического образца такой же, как и в полуплоскости, что означает выполнение равенства qz = qθ (qz и qθ — осевая и окружная компоненты остаточных пластических деформаций). Технологии упрочнения (пневмо- и гидродробеструйная обработки, обработка микрошариками и т. д.), соответствующие этой гипотезе, авторы предлагают называть “изотропным” упрочнением поверхности в направлениях z и θ. Однако построенная на основании этой гипотезы математическая модель не удовлетворяет экспериментальным данным для ряда упрочняющих обработок, например, таких, как обкатка роликом, алмазное выглаживание и др. (“анизотропное” упрочнение), для которых величины экспериментальных осевых и окружных компонент остаточных напряжений в слое существенно различаются. В настоящей работе проводится уточнение ранее разработанной модели: вводится феноменологический параметр анизотропности α, учитывающий анизотропность распределения полей остаточных деформаций, а именно, рассмотрена гипотеза вида qz = αqθ , 0 < α < ∞. На основании этой гипотезы разработана математическая модель, позволяющая рассчитать остаточное напряжённо-деформированное состояние цилиндрического образца после “анизотропных” упрочняющих технологий, и реализованы методы расчёта полей остаточных напряжений и пластических деформаций. Предложена математическая модель, позволяющая производить расчёт релаксации остаточных напряжений в условиях ползучести для гладкого образца и образца с концентраторами и получить полную картину кинетики напряжённодеформированного состояния в упрочнённом слое. Проведён анализ влияния параметра α на процесс релаксации остаточных напряжений в процессе ползучести. Выполнена проверка адекватности предложенных моделей экспериментальным данным. Наблюдается соответствие расчётных и экспериментальных данных. Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (код проекта РНП 2.1.1/3397). Список литературы 1. Радченко В. П., Саушкин М. Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях. М.: Машиностроение-1, 2005. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ СОГЛАСОВАННАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ Е. И. Роменский Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирск Для описания течений жидкости в пористых средах существует ряд моделей, из которых наиболее широко применяется уравнения Био [1], представляющие собой систему уравнений второго порядка для перемещений в упругой матрице и в жидкости. Упомянутая модель обладает рядом недостатков, которых лишена модель, предложенная в [2]. Определяющие уравнения образуют систему дифференциальных уравнений первого порядка, вывод которых основан на выполнении законов феноменологической термодинамики. Однако не все уравнения этой модели могут быть записаны в дивергентной форме, система также не приводится к симметрической гиперболической форме. Рудой Е. М. 153 В докладе предлагается формулировка определяющих уравнений для течения сжимаемой жидкости сквозь упругий скелет на основе формализма термодинамически согласованных систем [3]. Все уравнения имеют дивергентный вид и образуют симметрическую гиперболическую систему. Методика вывода уравнений успешно применялась при моделировании двухфазных сжимаемых течений [4]. Сформулированы также уравнения для моделирования волн малой амплитуды, которые могут быть использованы в задачах сейсмики и акустического каротажа скважин. Исследована зависимость скоростей распространения волн в зависимости от объемного соотношения фаз. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 09-05-00221,10-05-00233,10-01-92604) и Программы Президиума РАН (проект №2), Список литературы 1. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Lowfrequency range. J. Acoust. Soc. Am. 1956. V. 28, № 2. P. 168–178. 2. Blokhin A. M., Dorovsky V. N. Mathematical modeling in the theory of multivelocity continuum. Nova Science. NY, 1995. 3. Годунов С. К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная Книга, 1998. 4. Romenski E., Drikakis D., Toro E. F., Conservative models and numerical methods for compressible two-phase flow. J. Sci. Comput. 2010. V. 42. № 1. P. 68–95. ФОРМУЛА ГРИФФИТСА И ИНТЕГРАЛ ЧЕРЕПАНОВА — РАЙСА ДЛЯ ПЛАСТИНЫ С ЖЕСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ И ТРЕЩИНОЙ Е. М. Рудой Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, Новосибирский государственный университет В работе рассматривается пластина, содержащая жесткое включение и прямолинейную трещину, расположенную на границе жесткого включения и упругой части пластины. Пластина находится в равновесии под действием внешней силы, которая действует как на ее упругую часть, так и на жесткое включение. Это означает, что смещения жесткого включения в общем случае ненулевые. На берегах трещины задаются естественные краевые условия. В настоящей статье получена производная функционала энергии по длине трещины и показано, что значение такой производной представимо в виде инвариантного интеграла — криволинейного интеграла по произвольному достаточно гладкому контуру, окружающему вершину трещины. Формула для производной функционала энергии по длине трещины является аналогом формулы Гриффитса для упругого тела, а инвариантный интеграл — интегралом типа Черепанова — Райса, которые используются в механике разрушения [1, 2]. Работа выполнена при финансовой поддержке по ГК N НК-527П ФЦП “Кадры”. Рыжков И. И., Степанова И. В. 154 Список литературы 1. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974. 2. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ БИНАРНОЙ СМЕСИ И. И. Рыжков, И. В. Степанова Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Вибрационной конвекцией называют специальные течения, возникающие в неоднородной по плотности жидкости под действием периодически меняющейся внешней силы. Неоднородность плотности может быть вызвана как градиентом температуры, так и градиентом концентрации (в случае, если рассматривается смесь двух или более компонент). Если период колебаний значительно меньше характерных времен системы (вязкого, теплового и диффузионного), то говорят о высокочастотных вибрациях. В этом случае поля скорости, давления, температуры и концентрации можно представить в виде суммы “быстрой” составляющей, которая осциллирует с частотой внешнего воздействия, и “медленной”, которая получается путем осреднения соответствующей величины по времени [1]. Осредненные конвективные течения, вызванные внешней вибрацией, могут возникать в отсутствии силы тяжести и приводить к переносу тепла и массы. Теоретическое и экспериментальное исследование термовибрационной конвекции в условиях микрогравитации было недавно выполнено в [2, 3]. В данной работе рассматривается модель осредненных течений в бинарной смеси с учетом эффекта Соре. Отличие данной модели от стандратных уравнений Навье — Стокса и тепломассобмена заключается в дополнительном уравнении на амплитуду пульсаций давления, а также наличии члена, характеризующего осредненную силу, в уравнении импульса. В работе выполнена групповая классификация модели относительно постоянных параметров (коэффициентов теплового и концентрационного расширения, теплопроводности, диффузии и термодиффузии). Дана теоретико–групповая интерпретация известных решений данной модели. Построены примеры новых инвариантных решений и указана их физическая интерпретация (вибрационные течения в плоских и цилиндрических слоях). Работа выполнена при финансовой поддержке Интеграционного проекта СО РАН № 65. Список литературы 1. Gershuni G. Z. and Lyubimov D. V. Thermal Vibrational Convection. Wiley & Sons, 1998. 2. Mialdun A., Ryzhkov I. I., Melnikov D. E., and Shevtsova V. Experimental evidence of thermal vibrational convection in a nonuniformly heated fluid in a reduced gravity environment. Physical Review Letters, 2008. V. 101, 084501. 3. Shevtsova V., Ryzhkov I. I., Melnikov D. E., Gaponenko Y. A., and Mialdun A. Experimental and theoretical study of vibration–induced thermal convection in low gravity. Journal of Fluid Mechanics, 2010. Accepted, in press. Садовская О. В. 155 УСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В НАКЛОННОМ ПЛОСКОМ СЛОЕ С ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ Р. В. Сагитов, А. Н. Шарифулин Пермский государственный технический университет Интерес к адвективным течениям в бесконечных слоях, обусловленным продольным градиентом температуры, связан с рядом геофизических и технологических приложений. К ним относятся, например, горизонтальные течения в атмосфере и океане, конвекция в шахтных выработках. Теоретическое исследование такого рода течений начато в [1], где сформулирована задача о плоскопараллельном течении в наклоненном плоском слое при наличии как продольного, так и поперечного градиента температуры. Там же аналитически получены точные выражения для профилей скорости и температуры в общем случае произвольного наклона. Результаты исследования устойчивости этого течения для двух предельных случаев (подогреваемый снизу вертикальный слой; горизонтальный слой с продольным градиентом температуры) различными авторами приведены в [2, 3]. Исследование устойчивости течения Остроумова в наклоненном на произвольный угол плоском слое с продольным градиентом температуры на идеально теплопроводных твердых границах ранее не проводилось. Особенностью рассматриваемой задачи является сингулярность основного течения, проявляющаяся в многократном переходе через бесконечность максимальной скорости при увеличении числа Грасгофа для случая наклона промежуточного между подогревом снизу и сбоку. Приводятся результаты линейной устойчивости течения по отношению к гидродинамическим, спиральным и релеевским возмущениям для всех углов наклона в широком интервале чисел Прандтля. Показано, что хорошо известная карта устойчивости, соответствующая горизонтальному слою с продольным градиентом претерпевает качественные изменения даже при отклонении от горизонтали всего на 1 градус. Список литературы 1. Остроумов Г. А. Свободная тепловая конвекция в условиях внутренней задачи. Гостехиздат: Москва–Ленинград, 1952. 2. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 3. Гершуни Г. 3, Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА СУПЕРКОМПЬЮТЕРАХ О. В. Садовская Институт вычислительного моделирования СО РАН Сибирский федеральный университет, Красноярск Предлагается алгоритм численной реализации граничных условий контактного взаимодействия упругопластических тел с учетом трения в зоне контакта. Контактные условия Садовская О. В. 156 формулируются в терминах квазивариационных неравенств с односторонними ограничениями, моделирующими взаимное непроникание деформированных поверхностей. Дискретные неравенства решаются численно в граничных ячейках сеточной области с помощью метода последовательных приближений, на каждом шаге которого строятся проекции векторов скорости и некоторых вспомогательных векторов, служащих для учета трения, на специальные выпуклые и замкнутые множества [1]. Это гарантирует вычислительную устойчивость алгоритма. Динамическое взаимодействие упругопластических тел с заранее неизвестной, изменяющейся со временем зоной контакта, в плоской и осесимметричной постановках описывается на основе математической модели, учитывающей конечные повороты элементов тел при малых деформациях. В модель входят уравнения движения, закон Гука для упругих составляющих тензора деформации, уравнение для угла поворота и вариационное неравенство принципа максимума мощности диссипации энергии, записанное относительно пластических составляющих [2]. Переход материала из упругого состояния в пластическое описывается условием пластичности Мизеса. Для численной реализации модели на многопроцессорных вычислительных системах разработан параллельный алгоритм сквозного счета, основанный на комбинации методов расщепления по физическим процессам и по пространственным переменным. К решению полученных в результате расщепления одномерных систем уравнений применяется явная ENO–схема, адаптированная к разрывам решения. Приводятся результаты расчетов косого соударения пластин в процессе сварки взрывом с образованием хорошо известного из экспериментов [3] волнообразного профиля контактной поверхности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00148), Комплексной программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 2 и Междисциплинарного интеграционного проекта Сибирского отделения РАН № 40. Список литературы 1. Садовская О. В., Садовский В. М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М.: Физматлит, 2008. 2. Аннин Б. Д., Садовская О. В., Садовский В. М. Численное моделирование косого соударения пластин в упругопластической постановке. Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3. № 4. С. 23–28. 3. Волнообразование при косых соударениях: Сб. статей (под ред. И. В. Яковлева и др.). Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2000. Садовский В. М. 157 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЕФОРМАЦИЙ В РАЗНОПРОЧНЫХ СРЕДАХ В. М. Садовский Институт вычислительного моделирования СО РАН Сибирский федеральный университет, Красноярск На основе специальной математической модели упругопластического деформирования материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию, исследуется процесс локализации деформаций в разнопрочной среде под действием квазистатических нагрузок. Вариационная формулировка задачи сводится к минимизации квадратичного функционала энергии Z Z 2 1 ε(u) + σ0 : ε(u) − f · u dΩ − q · u dΓ I(u) = 2 Ω Γ на выпуклом и замкнутом конусе U = u ∈ H01 (Ω) | ε(u) ∈ C с вершиной в нуле пространства смещений [1]. Здесь ε(u) = ∇u + ∇u∗ /2 — тензор деформаций; σ0 — тензор напряжений, характеризующий связность среды; f и q — заданные распределения объемных и поверхностных сил. Дается обоснование гипотезы Друккера и Прагера о том, что в отличие от идеальной пластичности, в которой локализация деформаций в плоском деформированном состоянии происходит на прямых, линиями локализации в разнопрочных средах являются логарифмические спирали [2]. Численное решение регуляризованной задачи минимизации строится с помощью итерационной процедуры, на каждом шаге которой решается система уравнений линейной теории упругости с начальными напряжениями по методу конечных элементов. Предложенный алгоритм применяется к исследованию локализации деформаций в цилиндрическом образце с радиальным надрезом под действием распределенного давления на берегах надреза и к анализу деформации углеграфитового футеровочного блока алюминиевого электролизера в процессе термического расширения. Простейшие поля напряжений и смещений в окрестности поверхностей, на которых заданы внешние напряжения и смещения, строятся на основе прямого характеристического метода [3]. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00148) и Междисциплинарного интеграционного проекта Сибирского отделения РАН № 40. Список литературы 1. Мясников В. П., Садовский В. М. Вариационные принципы теории предельного равновесия разнопрочных сред. В.П. Мясников. Избранные труды: в 3 т. Т. III. Механика технологических процессов (сост. чл.-корр. РАН М. А. Гузев). Владивосток: Дальнаука, 2008. С. 184–196. 2. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование. Определяющие законы механики грунтов. Сер. Новое в зарубежной науке. Вып. 2. М.: Мир, 1975. С. 166–177. 3. Садовская О. В., Садовский В. М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М.: Физматлит, 2008. Саттаров М. А. 158 ЗАДАЧА ДАРСИ — СТЕФАНА О ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ В НАСЫЩЕННОМ ПОРИСТОМ ГРУНТЕ С. А. Саженков Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск В 1999 году Ж. Ф. Родригеш и Ж. М. Урбану предложили версию многомерной модели Дарси — Стефана достаточно общего вида для описания процессов замерзания/оттаивания вязкой жидкости в неподвижном пористом грунте с одинаковыми значениями плотности в жидкой и замерзшей фазах и с учетом силы плавучести, нелинейно зависящей от температуры [1]. В предлагаемом докладе для этой модели формулируется и исследуется задача Коши с периодическими начальными данными. Изучение задачи проводится в терминах неизвестной удельной внутренней энергии, а не температуры, что существенно усложняет математическую постановку, поскольку при таком выборе искомой функции уравнение баланса энергии имеет вырожденный параболико-гиперболический тип, причем вырождение происходит на целом отрезке значений удельной внутренней энергии. Вводится определение энтропийного решения задачи, которое является более ограничительным, чем стандартное определение слабого обобщенного решения. Показывается, что всякое возможное энтропийное решение обязательно удовлетворяет второму закону термодинамики, постулирующему неотрицательное производство энтропии. С физической точки зрения, в этом заключается преимущество понятия энтропийного решения перед стандартным понятием слабого обобщенного решения. Основным результатом работы является теорема существования энтропийного решения. Ее доказательство основано на положениях теории Антонцева — Монахова двухфазных сред и на недавно разработанном методе кинетического уравнения. Полное содержание работы опубликовано в [2]. Список литературы 1. Rodrigues J. F., Urbano J. M. On a Darcy–Stefan problem arising in freezing and thawing of saturated porous media // Contin. Mech. Thermodyn. 1999. V. 11. №3. P. 181–191. 2. Саженков С.А. Исследование задачи Дарси — Стефана о фазовых переходах в насыщенном пористом грунте // ПМТФ. 2008. Т. 49. №4. С. 81–93. К ОЦЕНКЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ М. А. Саттаров Институт водных проблем, гидроэнергетики и экологии Академии наук Республики Таджикистан, Душанбе В рамках теории мелкомасштабной турбулентности автором была получена новая система уравнений движения частиц жидкостей в пористых средах [1]. В двумерном случае для проекций u1 , u3 вектора скорости частиц она имеет следующий вид: " # 2 0 00 ∂u ∂u1 ∂u1 ∂h ∂ τxz ε ∂u du1 1 1 + u1 + u3 =X −g + + (ν + ε0xz ) + xz + ... ; dt ∂x ∂z ∂x ∂z ρ ∂z 2! ∂z (1) ∂u1 ∂u3 + = 0. ∂x ∂z Семенко Е. В. 159 Здесь ν, ρ — кинематическая вязкость и плотность жидкости; h — пьезометрический напор; X — напряжения, обусловленные объемными p и другими силами пористой среды; g00 — уско2 0 0 /ρ = u — динамическая скорость; ε рение; ε̄xz = εxz /ν — вихревая вязкость; τxz ∗ xz = l◦ — длина пути смешения Прандтля [1]. В системе (1) замена средней истинной скорости частиц жидкости на скорость фильтрации дает новую модификацию уравнений Н. Е. Жуковского [3]. Система уравнений (1) является гидромеханическим представлением предложенной ранее автором модельной теории фильтрации [2, 3]. Известно [3], что под влиянием электромолекулярных поверхностных сил твердой стенки обычные свойства жидкости несколько изменяются: вязкость и плотность воды, увеличиваясь вблизи стенки, формируют слой прочно- и рыхлосвязанной воды. Поэтому при оценке кинематических характеристик течения в порах введены следующие понятия: ν(1 + εxz ) = εf — эффективная вязкость, u∗ — динамическая скорость в точке между прочно 00 связанной жидкостью и турбулентным потоком, l0 и θf = εf /εxz — длина и частота пульсации. Обработка данных ряда опытов показала, что решения системы (1) позволяют значительно глубже изучить физико-химические свойства фильтрата в зависимости от формы и типа упаковки частиц пористого тела, от их взаимодействия с частицами жидкости и частицами инородных тел при различных значениях градиента давления. Список литературы 1. Саттаров М. А. Гидромеханические аспекты изучения структуры турбулентного потока с поперечным сдвигом в каналах и пористых средах. Вiсник Харкiвського нацiонального унiверситету. 2009. № 863. С. 190–201 2. Саттаров М. А. К изучению особенностей течения жидкостей через пористые среды. Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. № 5. С. 163–167. 3. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ОБТЕКАЕМОЕ ТЕЛО ПРИ НАЛИЧИИ НЕПОДВИЖНОГО ТОЧЕЧНОГО ВИХРЯ Е. В. Семенко Новосибирский государственный педагогический университет Рассматривается задача плоского обтекания тела потоком идеальной несжимаемой жидкости при наличии неподвижного точечного вихря в области течения. Точечный вихрь моделируется как второе обтекаемое тело нулевых размеров с ненулевой циркуляцией вокруг него. Комплексная скорость течения вычисляется как предел комплексной скорости для обтекания системы двух тел, когда второе из них стягивается в точку. По формуле Чаплыгина — Блазиуса вычисляется сила, действующая на обтекаемое тело. Установлено, что эта сила состоит из двух слагаемых, одно из которых не зависит от скорости набегающего потока, пропорционально циркуляции вокруг точечного вихря и действует в направлении прямой, соединяющей точку вихря и обтекаемое тело; второе слагаемое зависит от скорости набегающего потока, но, в отличие от вычисляемой по формуле Жуковского силе, не перпендикулярно направлению этой скорости. Также определяется множество значений параметров течения (скорость набегающего потока и циркуляции вокруг обтекаемого тела и точки вихря), при которых схема течения имеет вид каверны, окружающей точечный вихрь и примыкающей к обтекаемому телу. Сердцева Н. А., Гаврилов Н. В., Ерманюк Е. В. 160 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТНОЙ ИЗОЛЯЦИИ И ЕЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ Э. И. Семенов, А. В. Синицын Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск В докладе предлагается обобщение модели магнитной изоляции вакуумного диода предложенной в [1], на случай двух пространственных переменных. В этом случае математическая модель описывается следующей системой нелинейных сингулярных эллиптических уравнений: ψ(x, y) , ∆x y ψ = j(x, y) p ψ 2 (x, y) − a2 − 1 a ∆x y a = j(x, y) p . 2 ψ (x, y) − a2 − 1 2 ∂ ∂2 Здесь ∆x y · = ∂x · + · — двумерный оператор Лапласа в пространстве переменных (x, y), 2 ∂y 2 φ(x, y) — потенциал электрического поля, a(x, y) — потенциал магнитного поля, j(x, y) > 0 — плотность тока. Рассмотрены два физически важных случая: с постоянной и переменной плотностью тока. Указан бесконечномерный класс систем уравнений магнитной изоляции с переменной плотностью тока, которые нетривиальными преобразованиями сводятся к уравнениям аналогичного вида с постоянной плотностью тока. Построены точные радиально-симметричные решения указанной модели. Список литературы 1. Ben Abdallah N., Degond P., Mehats F. Mathematical model of magnetic insulation. Rapport interne MIP 1997. № 97.20. Universite Paul Sabatier, Toulouse, France. О ВЛИЯНИИ ФОРМЫ ГЕНЕРАТОРА НА СТРУКТУРУ ПУЧКОВ ВНУТРЕННИХ ВОЛН Н. А. Сердцева, Н. В. Гаврилов, Е. В. Ерманюк Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Известно [1], что распределение амплитуд колебаний частиц жидкости поперек волновых пучков, генерируемых гармоническими колебаниями кругового цилиндра в однородно стратифицированной вязкой жидкости, на больших расстояниях стремится к автомодельному решению [2]. В настоящей работе исследована возможность приближенного описания структуры пучков внутренних волн, генерируемых колебаниями цилиндров с произвольным поперечным сечением, с помощью теории для эквивалентного кругового цилиндра [1]. В качестве условия эквивалентности принято равенство характерных размеров цилиндров и мощностей излучения внутренних волн, оцененных с помощью [3]. Показано, что применение данного условия дает хорошую оценку распределения амплитуд возмущений градиента плотности поперек пучка внутренних волн при достаточном удалении от генератора, когда распределение возмущений является одномодальным, а пучок можно рассматривать как изолированный. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00427) и Президиума РАН (программа 17.4). Сиковский Д. Ф. 161 Список литературы 1. Hurley, D. G., Keady, G. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 2. Approximate viscous solution. J. Fluid Mech. 1997. V. 351. P. 119–138. 2. Thomas, N. H., Stevenson, T. N. A similarity solution for viscous internal waves. J. Fluid Mech. 1972. V. 54. P. 495–506. 3. Ерманюк Е. В., Гаврилов Н. В. О колебаниях цилиндров в линейно стратифицированной жидкости. ПМТФ. 2002. Т. 43. № 4. С. 15–26. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ГАЗОДИСПЕРСНОГО ПОТОКА С ОСАЖДАЮЩИМИСЯ ЧАСТИЦАМИ Д. Ф. Сиковский Институт теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Методами теории подобия и размерностей в сочетании с методом сращиваемых асимптотических разложений проведён анализ задачи осаждения частиц из турбулентного потока на ограничивающие поверхности. Показано, что при больших числах Рейнольдса потока статистические характеристики движения частиц вблизи стенки подчиняются законам подобия, аналогичным известным закономерностям пристенной турбулентности, таким, как логарифмический закон для средней скорости. В частности, в области применимости этого закона — логарифмическом слое — профили концентрации и моментов пульсационной скорости частиц являются универсальными функциями отношения расстояния от стенки к пути торможения частицы. Проведённый анализ показал, что влияние инерционности частиц существенно в прилегающей к стенке “области инерционности” толщиной порядка пути торможения частицы, а вне этой области частицы ведут себя как пассивная примесь, что связано с существенным ростом лагранжева масштаба времени пристенной турбулентности с удалением от стенки. На основании выведенных законов подобия впервые получены асимптотические выражения для скорости осаждения частиц в диффузионно-импактном и инерционном режимах осаждения, хорошо согласующиеся как с имеющимися экспериментальными данными, так и данными DNS- и LES-моделирования. Получены составные разложения для концентрации частиц и вторых моментов пульсаций скорости частиц в логарифмическом слое, равномерно пригодные в широком диапазоне изменения времени релаксации частиц [1]. Обнаруженная локализация влияния инерционности частиц в пристенной “области инерционности” позволяет использовать следующую стратегию численного моделирования турбулентных дисперсных течений: в основной области течения, находящейся вне пристенной “области инерционности”, использовать равновесные эйлеровы модели для малоинерционных частиц, сращивая их решение в пристенной области с полученными законами подобия. Такая стратегия известна в моделировании однофазных турбулентных течений как метод пристеночных функций, поэтому полученные закономерности статистического режима дисперсной фазы в пристенной области могут быть использованы как пристеночные функции для равновесных эйлеровых RANS-моделей дисперсных потоков. Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований №11 ОЭММПУ РАН. Смирнов С. В. 162 Список литературы 1. Сиковский Д. Ф. Закономерности осаждения частиц из турбулентного газодисперсного потока в каналах. Известия РАН. МЖГ. 2010. № 1. С. 84–95. О ВОЛНАХ КЕЛЬВИНА В ПРОСТОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ МОДЕЛИ С. В. Смирнов Институт автоматизации и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Для решения задач динамики Мирового океана применяются нелинейные математические модели, описывающие широкий спектр движений - баротропные и бароклинные волны Россби, инерционно-гравитационные волны, экваториальные и береговые волны Кельвина и др. Исследование теоретическими методами возможно лишь в рамках подсистем, описывающих тот или иной физический процесс в бассейне с упрощенной геометрией. Теория позволяет оценить характерные пространственно-временные масштабы процессов, из чего следуют, например, условия, налагаемые на шаги сетки и методы дискретизации. Важную роль в динамике областей океана, примыкающих к материковому склону, играют волны Кельвина, которые принадлежат к типу волн, захваченных вращением Земли у вертикальной стенки. Отметим, что при построении моделей динамики океана узкий шельф и резкий материковый склон часто заменяют вертикальной стенкой. В докладе рассматриваются решения для внутренних субинерциальных волн Кельвина в бассейне с плоским дном и одной прямой вертикальной стенкой, содержащем два несмешивающихся слоя несжимаемой вязкой жидкости. В относительно тонком верхнем слое жидкость менее плотная. Анализ проводится в рамках линеаризованной системы уравнений крупномасштабной динамики океана в приближении гидростатики. Используются приближение твердой крышки и условия прилипания на стенке и на дне, параметр Кориолиса полагается постоянным. Параметризация трения между слоями и трения нижнего слоя о дно основана на классической экмановской теории. Целью работы является исследование влияния горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости на соответствующие волнам Кельвина модельные решения. Решение системы уравнений для захваченных волн ищется в виде суммы четырех компонент с различными масштабами экспоненциального убывания при удалении от вертикальной стенки. Одна компонента соответствует основной волне Кельвина, две компоненты описывают вертикальные вязкие пограничные слои у стенки, четвертая компонента характеризуется относительно большим поперечным масштабом. Предполагается, что поперечные масштабы вертикальных пограничных слоев малы по сравнению с радиусом деформации Россби для внутренней моды. В докладе представлены упрощенные уравнения и приближенные выражения для зависимостей компонент решения от модельных параметров. Излагаются результаты анализа решений, полученных при некоторых характерных значениях модельных параметров. Полученные результаты могут быть полезны для анализа численных решений в моделях динамики океана. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ДВО РАН (проекты № 09-0198519_р_восток_а и 09-II-СУ-03-003). Список литературы 1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 2. Катушев А. Г. Распространение ударных волн в полидисперсных газовзвесях. ПМТФ. 1993. Т. 34. № 2. С. 24–31. Снытникова Т. В. 163 СНИЖЕНИЕ УРОВНЯ ШУМА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА ЧАСТИЦ-В-ЯЧЕЙКАХ С АДАПТИВНЫМИ МАССАМИ Т. В. Снытникова Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирск В математическом моделировании широко распространены алгоритмы, известные как метод частиц-в-ячейках [1, 2]. Из-за разницы размеров модельных частиц и их реальных прототипов возникает шум в вычислении плотности (под шумом понимается максимальная доля вклада одной частицы в значение плотности). Универсальный метод снижения шума — увеличение числа частиц. Но он приводит к увеличению ресурсов, необходимых для решения задачи. Поэтому разрабатываются методы, позволяющие контролировать число частиц в ячейках [3, 4]. Метод частиц-в-ячейках с адаптивными массами является модификацией метода частицв-ячейках и заключается в том, что при выходе числа частиц в ячейке за заданные пределы [N b(ρ), N t(ρ)] происходит коррекция числа частиц в ячейке с выравниванием масс и сохранением распределения частиц как по координате, так и по скорости. Частицы разной массы позволяют снизить уровень шума плотности в начальный момент времени за счет увеличения числа частиц в ячейках с низкой плотностью и уменьшения частиц в ячейках с высокой плотностью. Сохранение распределения по координате и скорости гарантирует сохранение характера движения. В качестве модельной рассмотрим одномерную задачу о распаде разрыва плотности ионов в дисперсионной среде неизотермической разреженной плазмы с больцмановским распределением электронов [2]. Проведенные расчеты показывают, что использование метода частиц-в-ячейках с адаптивными массами для решения модельной задачи приводит к снижению как уровня среднего по ячейкам шума, так и максимального шума плотности относительно метода частиц-в-ячейках с постоянными массами. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-01-00622, 08-01-00615). Список литературы 1. Хокни Р., Иствуд Дж.Численное моделирование методом частиц. Мир, Москва, 1987. 2. Григорьев Ю. Н., Вшивков В. А., Федорук М. П. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках.Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. 3. Lapenta G., Brackbill J. U. Dynamic and selective control of the number of particles in kinetic plasma simulations. Journal of computional physics. 1994.№ 115. P. 213–217. 4. Welch D. R., Genoni T. C., Clark R. E., Rose D. V. Adaptive particle managment in a Particlein-Cell Code. Journal of computional physics. 2007. № 227. P. 143–155. Солонников В. А. 164 ЗАДАЧА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ В. А. Солонников Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Санкт-Петербург Рассматривается задача, в которой требуется найти переменную ограниченную область Ω1t , t > 0, а также векторные поля v(x, t), H(x, t) и функцию p(x, t), x ∈ Ω1t , удовлетворяющие в этой области системе уравнений  2   v t + (v · ∇)v − ν∇ v + ∇p = 0, ∇ · v = 0,   µ H + α−1 rot rot H − µ rot(v × H) = 0 1 t 1 с положительными постоянными коэффициентами ν, µ1 , α. Кроме того, поле H(x, t) рассматривается и вне Ω1t , а именно, в области Ω2t , ограниченной свободной поверхностью Γt = ∂Ω1t и фиксированной границей S, не пересекающейся с Γt . Предполагается, что rotH(x, t) = 0, ∇ · H(x, t) = 0, x ∈ Ω2t . На Γt задаются динамическое и кинематическое краевые условия и условия скачка для H ( (T (v, p) + [T (H)])n = σnH, Vn = v · n, µ1 H (1) · n = µ2 H (2) · n, (2) H (1) τ = Hτ , где T (v, p) = −pI + ν(∇v + (∇v)T ) — гидродинамический тензор напряжений, [T (H)] = T (1) (H) − T (2) (H), T (i) (H) = µi (H ⊗ H − 21 |H|2 I), — магнитный тензор напряжений в Ωit , σ, µi = const > 0, Vn — скорость эволюции Γt в направлении внешней нормали n, H (i) = H|Ωit , H τ = H − n(n · H), H — удвоенная средняя кривизна Γt , отрицательная для выпуклых поверхностей. На поверхности S, являющейся идеальным проводником, задается краевое условие H · n = 0. Наконец, задаются начальные условия v(x, 0) = v 0 (x), x ∈ Ω10 , H(x, 0) = H 0 (x), x ∈ Ω10 ∪ Ω20 . Предполагается, что области Ω1t и Ω = Ω1t ∪ Ω̄2t односвязны. l,l/2 Решение разыскивается в пространствах Соболева — Слободецкого W2 . Доказывается, что оно существует на некотором конечном интервале времени при произвольных данных задачи, обладающих некоторой регулярностью и подчиняющихся естественным условиям согласования. Степанова Е. В., Чашечкин Ю. Д. 165 ДЕФОРМАЦИЯ КОМПАКТНОГО ПЯТНА ПРИМЕСИ В КАВЕРНЕ СОСТАВНОГО ВИХРЯ Е. В. Степанова, Ю. Д. Чашечкин Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва В экспериментальной механике жидкости для визуализации структуры течений применяются различные маркирующие примеси. Алгоритмы расчета скорости строятся на предположении, что раствор красителя или мелкие частицы увлекаются средним течением (гипотеза “пассивности примеси”). В полной системе уравнений механики неоднородных жидкостей каждой компоненте соответствует свое уравнение переноса. При этом каждое из полей независимых переменных (давления, компонент скорости, концентрации частиц или примеси) характеризуется собственной геометрией и структурой. Поля различных переменных не являются подобными. Регистрация картины переноса примеси в составном вихре, образованном вращающимся диском в цилиндрическом контейнере, показывает, что примесь, образованная как смешивающимися окрашенными жидкостями, так и несмешивающимися (пятно масла на поверхности воды), ведет себя не только как пассивный маркер. Выполнена оптическая регистрация формы маркера — компактного пятна, внесенного на свободную поверхность каверны составного вихря в двух направлениях: сбоку и сверху. Сложное спиральное течение, частицы жидкости в котором вращаются вокруг вертикальной оси и одновременно смещаются в радиальном направлении, создавалось равномерно вращающимся диском. Пятно смешивающейся примеси (водный раствор уранила, анилиновые чернила) вносилось на свободную поверхность в установившемся режиме течения на различном расстоянии от центра деформированной свободной поверхности. Подсолнечное или касторовое масло помещалось на поверхность покоящейся жидкости, которая затем раскручивалась диском. На поверхности каверны составного вихря пятно краски трансформировалось в спиральные рукава. В толщу жидкости краска поступала вдоль отдельных цилиндрических поверхностей. Определены геометрические характеристики структур течения при различных значениях определяющих параметров задачи (глубины слоя жидкости, радиуса диска, угловой скорости его вращения). Форма свободной поверхности (границы воздух–вода или масло) зависит от объема масла. Поверхность толстого слоя масла, которое вращается вместе с подстилающей водой, остается плоской при тех режимах течения, когда чистая жидкость формирует глубокую поверхностную каверну, возмущенную двумя типами волн. Каверна формируется на границе раздела воды и масла. Небольшое масляное пятно в широком диапазоне параметров собирается в окрестности оси контейнера. С краев масляного пятна, нерегулярно меняющего свою форму, вытягиваются спиральные рукава, растущие в антициклоническом направлении (навстречу основному движению жидкости). Обсуждаются аналогии между эффектами стратификации и вращения. Проводится сравнение картин течения, зарегистрированных в лабораторных и естественных условиях (со спиральными структурами льда и примесей на поверхности океана). Степанова И. В. 166 О ТЕРМОДИФФУЗИОННЙ КОНВЕКЦИИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СИЛЫ ПЛАВУЧЕСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ И КОНЦЕНТРАЦИИ И. В. Степанова Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск В работе исследовано решение краевой задачи, описывающее стационарный процесс течения бинарной смеси между двумя твердыми вертикальными стенками. При постановке задачи учтен эффект термодиффузии, а также нелинейность силы плавучести относительно температуры и концентрации. Уравнения движения и граничные условия в безразмерных переменных имеют вид [1] w00 = ϕ + gf (λT − K + a1 x + a2 ), T 00 = δ Pr w, K 00 = 2δ Sc w, (1) w(0) = w(1) = 0, T (0) = T (1) = 0, K 0 (0) = K 0 (1) = 0, (2) где αd θ1 − θ2 θ1 + θ2 δ δ(χ + d) T = θ+ x− − z, K = c + αθ − z, χ−d 2l 2 4l 4dl w — вертикальная компонента скорости; θ — малое отклонение температуры от ее среднего значения; c — малое отклонение концентрации легкой компоненты от ее среднего значения; 2l — толщина слоя; A = δ/4l — продольный градиент температуры и концентрации; ν — кинематическая вязкость, ϕ = ν 2 ϕ/4l3 — поперечный градиент давления; g = ν 2 g/4l3 — ускорение силы тяжести; χ — коэффициент температуропроводности; d — коэффициент диффузии; α — коэффициент Соре; f — положительная функция, определяющая силу плавучести; Pr — число Прандтля; Sc — число Шмидта; θ1 , θ2 — заданная температура на стенках; λ = 1 + Pr/Sc, a1 = λ(θ2 − θ1 ), a2 = λθ1 , штрих обозначает дифференцирование по x. Установлен ряд общих свойств решения задачи (1), (2): доказана теорема существования решения; показано, что решение при δ 6= 0 существует только для ϕ < 0; определено, что при δ = 0 температура и концентрация являются линейными функциями координат (x, z), скорость выражается в квадратурах и не меняет знак. Проведен анализ численного решения задачи (1), (2) при фиксированных параметрах Pr, Sc, ϕ, g, θ1 , θ2 и степенной зависимости силы плавучести от ее аргумента. Установлено, что при δ 6= 0 скорость меняет знак, появляются области возвратного течения, а также имеются неоднородности температуры и концентрации: они распределены нелинейно. Работа выполнена при финансовой поддержке интеграционного проекта СО РАН № 65. Список литературы 1. Гебхарт Б., Махаджан, Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. М.: Мир, 1991. Стружанов В. В. 167 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, РЕАЛИЗУЮЩЕЙ ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ КВАДРАТНОЙ ПЛАСТИНЫ. В. В. Стружанов Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург В работе рассматривается механическая система, реализующая двухосное растяжение квадратной пластины, на которую нагрузка подается через упругие стержни жесткостью λ1 , λ2 . Связь напряжений (σ1 , σ2 ) и деформаций (ε1 , ε2 ) задана отображением p = ∇ε V пространства деформаций R2e в пространство напряжений R2p (V — потенциал напряжений). При этом матрица Якоби отображения, совпадающая с матрицей Гессе H(V ) потенциала V , вырождена на некоторых кривых в R2e . Таким образом, определяющие соотношения есть отображения с особенностями, что является необходимым, но не достаточным условием для нарушения устойчивости равновесия всей системы. Для анализа устойчивости всей системы строится ее потенциальная функция W от параметров управления и состояния. Пространство состояний — R2e , пространство управлений — R2λ × R2u , где R2λ , R2u — пространства жесткостей и нагрузок. Критические точки функции W определяет система уравнений ∇e W = 0, решения которой образуют четырехмерное многообразие равновесных состояний в пространстве R2e × R2λ × R2u . Если зафиксировать параметры λ1 и λ2 , то данные уравнения определяют отображение χ : R2e −→ R2u . Из условия вырожденности матрицы Гессе H(W ) функции W в пространстве R2u находятся критические линии этого отображения, разделяющие пространство R2u на области единственности и неединственности решений. Затем определяются вырожденные критические точки функции W , в которых и происходит смена типа равновесия. При проектировании многообразия катастроф в пространство управлений вырожденные критические точки образуют множество меры нуль (сепаратрису). Сепаратриса разбивает пространство управлений на области, каждая из которых параметризует лишь качественно подобные функции, имеющие одно и то же число положений равновесия. Наконец, для исследования устойчивости положений равновесия был применен метод дискриминантых конусов. Компоненты матрицы Гессе H(W ) параметризуют некоторое трехмерное евклидово пространство, где строится коническая поверхность, в точках которой матрица H(W ) вырождена. Внутри конуса матрица H(W ) положительно определена. При изменении параметров управления изображающая точка сначала расположена внутри конуса (устойчивость положений равновесия). Затем изображающая точка пересекает коническую поверхность. При этом путь в R2u пересекает бифуркационную кривую, а путь в R2λ × R2u — сепаратрису. Следовательно, происходит смена типа равновесия и происходит скачкообразный переход системы из одного положения равновесия в другое. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-08-00135). Стурова И. В. 168 ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ РАСЧЁТА КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ПРИ КВАЗИСТАТИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ ДИСКРЕТНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В. В. Стружанов, В. В. Привалова Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург При квазистатическом нагружении дискретная механическая система плавно переходит из одного положения равновесия в другое. Сначала эти положения равновесия устойчивы. Когда же нагрузка достигает некоторых критических значений, то равновесие становится неустойчивым. Незначительное возмущение нагрузки приводит к потере устойчивости процесса деформирования конструкции и её разрушению. Если силы, действующие на конструкцию, консервативны, а поведение материала отвечает закону нелинейной упругости, то тип равновесия определяется собственными значениями матрицы Гессе потенциальной функции механической системы. Когда матрица Гессе положительно определена, то равновесие устойчиво. Если матрица Гессе вырождена, то равновесие системы неустойчивое. Потенциальная функция дискретной системы зависит от конечного числа параметров состояния и параметров управления. Традиционный подход к исследованию устойчивости заключается в следующем. Сначала выписывают систему уравнений равновесия, приравнивая к нулю частные производные от потенциальной функции по параметрам состояния. Разрешая эти уравнения, получают множество критических точек и определяют те из них, которые обращают в нуль детерминант матрицы Гессе. В этих вырожденных критических точках и происходит смена типа равновесия. Данная схема не всегда удобна, так как требует решения большого числа нелинейных алгебраических уравнений. Возможен другой подход. Сначала дискретизируем с некоторым достаточно малым шагом евклидовы многомерные пространства состояний управлений. В узлах сетки дискретизации получаем значения параметров состояний и управления, рассчитываем для них числовые значения компонент матрицы Гессе и вычисляем её дискриминант. Затем выделяем множество узлов, где гессиан достаточно близок к нулю. Координаты таких узлов подставляем в уравнения равновесия и выделяем те из них, которые этим уравнениям удовлетворяют и, следовательно, отвечают вырожденным критическим точкам потенциальной функции системы. После проведения данной процедуры не составляет большого труда рассчитать критические значения нагрузок. Таким образом, минуя стадию расчёта параметров равновесных состояний, определяются критические нагрузки, что достаточно для оценки прочности и живучести конструкции. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-01-96018). ВЛИЯНИЕ ЛЕДЯНОГО ПОКРОВА НА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА, ПОГРУЖЕННОГО В СТРАТИФИЦИРОВАННУЮ ЖИДКОСТЬ И. В. Стурова Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск В линейной постановке задача о колебаниях тела, погруженного под свободной поверхностью жидкости, и возникающих при этом гидродинамических нагрузках достаточно полно рассмотрена как для однородной жидкости, так и для некоторых случаев плотностной Суржиков С. Т. 169 стратификации (обзор этих работ можно найти в [1]). Однако влияние ледяного покрова на гидродинамические характеристики погруженного тела еще мало изучено. Лишь в последние годы появились работы [2, 3], в которых определены коэффициенты присоединенных масс и демпфирования для погруженной сферы в однородной и двухслойной жидкости. Появление этих исследований обусловлено возрастающей активностью в освоении полярных районов Мирового океана. В данной работе предложен метод решения двумерной задачи о малых колебаниях горизонтального цилиндра произвольного сечения, погруженного в слой линейно стратифицированной жидкости, верхняя граница которого является ледяным покровом. Используется модель ледяного покрова в виде тонкой упругой пластины постоянной толщины. Известно, что поведение решения рассматриваемой задачи существенно зависит от частоты ω колебания тела. При ω < N , где N — частота плавучести линейно стратифицированной жидкости, колебания тела генерируют как поверхностные, так и внутренние волны. При ω > N внутренние волны отсутствуют и в жидкости возбуждаются только поверхностные волны. Рассмотрены случаи сплошного ледяного покрова и битого льда. Выполнено сопоставление с приближением “твердой крышки” и обычной свободной поверхностью. Показано, что только в диапазоне низких частот гидродинамические нагрузки существенно зависят от стратификации. При этом влияние различных условий на верхней границе жидкости не сказывается, решение практически совпадает с приближением “твердой крышки” и гидродинамические нагрузки незначительно меняются с увеличением глубины погружения цилиндра. Ледяной покров оказывает воздействие в области высоких частот. Работа выполнена при финансовой поддержке Программы РАН (код проекта 17.4). Список литературы 1. Korotkin A. I. Added masses of ship structures. Ser.: Fluid Mechanics and its Applications, vol. 88, Springer, 2009. 2. Das D., Mandal B. N. Water wave radiation by a sphere submerged in water with an ice-cover. Arch. Appl. Mech. 2008. V. 78, N 8. P. 649–661. 3. Mohapatra S., Bora S. N. Radiation of water waves by a sphere in an ice-covered two-layer fluid of finite depth. J. Advanced Research in Appl. Mathem. 2010. V. 2, N 1. P. 46–63. МЕТОД НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В РАДИАЦИОННОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ КРУПНОМАСШТАБНЫХ ОГНЕВЫХ ШАРОВ С. Т. Суржиков Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва Дана постановка задачи о выносе мелкодисперсных примесей в верхние слои атмосферы при всплытии крупномасштабного огневого шара под действием силы Архимеда. Сформулирована вычислительная радиационно-газодинамическая модель, основанная на уравнениях движения вязкого теплопроводного химически реагирующего и селективно излучающего газа. Рассмотрены ламинарный и турбулентный режимы всплытия огневого шара. С целью модельного описания турбулентного смешения газов используются усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье — Стокса и некоторые модели турбулентности. Задача решается в нестационарной двумерной осесимметричной постановке. Сухинин С. В., Рымаренко К. В. 170 Исследованы режимы сильного радиационно-газодинамического взаимодействия, когда заметное влияние на газодинамическую структуру течения (на начальной стадии процесса) оказывают потери энергии излучением из высокотемпературной области огневого шара и поглощение ее собственного теплового излучения в окружающих слоях газа. Используемая в данной работе модель гипозвуковых течений (не учитываются изменения плотности за счет малых возмущений давлений) позволяет переформулировать систему уравнений неразрывности и Навье — Стокса, записанной в переменных “скорость – давление” к почти эквивалентной системе уравнений метода нестационарных динамических переменных “вихрь – функция тока – функция термической сжимаемости”. В основу указанного метода положена гипотеза о том, что в условиях гипозвуковых течений изменение плотности газа во времени вызвано, прежде всего, внутренними источниками тепла (например, процессами горения). Таким образом, это изменение плотности можно считать известной функцией координат и времени, и определять ее из уравнения сохранения энергии и уравнения состояния, а не из уравнений динамики газа. С другой стороны, уравнение неразрывности, которое должно удовлетворяться безусловно, диктует дивергентный вид функции частной производной плотности по времени (функция “термической сжимаемости”). Ценой введения этой новой скалярной функции удается сформулировать систему уравнений вязкой сжимаемой жидкости в динамических переменных (“вихрь – функция тока”), позволяющих решать нестационарные задачи дозвуковой динамики излучающего газа. Представлены результаты численного моделирования крупномасштабных огневых шаров в атмосфере Земли вплоть до высот 80 км. ГИДРОУДАР В КАНАЛЕ ГИДРОРАЗРЫВА С. В. Сухинин, К. В. Рымаренко Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Цель. Увеличение эффективного радиуса скважин. Задача. Улучшение параметров канала гидроразрыва или каналов перфорации при помощи создания нелинейных гидроупругих волн давления или волн разрежения с заданными параметрами в канале гидроразрыва, образования гидравлических ударных волн или управляемого гидроудара в канале гидроразрыва или каналах перфорации. Метод. Теоретические исследования управляемых ударно-волновых явлений в канале гидроразрыва с учетом упругости и проницаемости стенок. Натурные экспериментальные исследования. Актуальность. Практическое использование результатов исследований в нефтяной промышленности для увеличения эффективного радиуса промысловых скважин и в угольной промышленностях для повышения эффективного радиуса скважин для дегазации угольных пластов. Трудности: 1. Нет возможности прямого исследования натурных гидроударных явлений в канале гидроразрыва. 2. Авторам неизвестны лабораторные экспериментальные исследования гидроударных явлений в неоднородных каналах с упругими проницаемыми стенками. Поэтому решающее значение имеет математическое моделирование и косвенные данные экспериментальных исследований и натурных испытаний. Результаты. В рамках теории продольных волн в каналах с проницаемыми упругими стенками показано, что управление условиями на входе в канал гидроразрыва позволяет управлять гидроударными явлениями в канале. Показано, что можно управлять образованием сильными разрывов в упругих, термодинамических и кинематических параметрах задачи. Терешко Д. А. 171 Проведены экспериментальные натурные исследования влияния гидроударных волн на свойства канала гидроразрыва пористых пластов. Экспериментально показано, что гидроударные волны в канале с упругими пористыми стенками увеличивают его проницаемость. Список литературы 1. Сухинин С. В., Рымаренко К. В. Способ гидроразрыва пласта. Заявка № 2010101521 от 18.01.2010. 2. Сухинин С. В. и др. Способ гидравлического разрыва пласта. Заявка № 97114642/03 20.08.1997 публикация заявки: 27.06.1999 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ Д. А. Терешко Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток В области Ω с границей Γ рассматривается начально-краевая задача ut + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p − βT G в Q, div u = 0 в Q, ∂u − pn = g2 на Σ2 , ∂n Tt + u · ∇T − λ∆T = f в Q, T |t=0 = T0 в Ω, u|t=0 = u0 в Ω, u = g1 на Σ1 , ν ∂T = χ на ΣN , ∂n описывающая процесс распространения тепла в вязкой жидкости. Здесь u, p и T — вектор скорости, давление и температура жидкости соответственно; ν=const>0 — коэффициент кинематической вязкости; β — объемный коэффициент теплового расширения; G – вектор ускорения свободного падения; λ=const>0 — коэффициент температуропроводности; f — объемная плотность источников тепла; Γ = Γ1 ∪ Γ2 = ΓD ∪ ΓN , Γ1 ∩ Γ2 = ∅, ΓD ∩ ΓN = ∅; Q = Ω × (0, tmax ); Σ = Γ × (0, tmax ), Σ1 = Γ1 × (0, tmax ), Σ2 = Γ2 × (0, tmax ), ΣD = ΓD × (0, tmax ), ΣN = ΓN × (0, tmax ). Для данной модели формулируются задачи условной минимизации функционалов качества, зависящих как от слабых решений исходной начально-краевой задачи, так и от граничных функций g1 , g2 и χ, играющих роль управлений. На основе методов исследования экстремальных задач из работ [1, 2] выводится система оптимальности, описывающая необходимые условия минимума. Разрабатывается алгоритм численного решения задачи граничного управления, основанный на методе Ньютона решения нелинейной системы оптимальности. Для дискретизации краевых задач используется метод конечных элементов. При проведении вычислительных экспериментов исследуется эффективность воздействия температурных и скоростных управлений на течения жидкости, а также влияние числа Рейнольдса, параметра регуляризации и других величин на точность решения экстремальной задачи. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ-“Дальний Восток” (код проекта 09-01-98518-р-восток-а) и грантов ДВО РАН (проекты 09-I-П29-01, 09-I-ОМН-03, 09-IIСУ03-003 и 09-III-A-03-07). T = ψ на ΣD , λ Ткачев Д. Л., Блохин А. М. 172 Список литературы 1. Алексеев Г. В., Терешко Д. А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 2. Алексеев Г. В., Терешко Д. А. Экстремальные задачи граничного управления для стационарной модели тепловой конвекции. Докл. АН. 2010. Т. 430. № 2. C. 173–178. ИССЛЕДОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ Д. Л. Ткачев, А. М. Блохин Институт Математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск В настоящее время для описания процесса переноса зарядов в полупроводниках наряду с широко известными drift-diffusion equations и energy-transport models используются модели гидродинамического типа, вывод которых основан на применении специальной процедуры замыкания с использованием принципа максимума энтропии к бесконечной системе моментных соотношений, вытекающих из уравнения переноса Больцмана. Одна из таких моделей в случае плоского кремниевого полупроводника MESFET (“metal semiconductor field effect transistor”) представляет собой систему, состоящую из уравнений типа законов сохранения и уравнения Пуассона  Rt + div(Ru) = 0,      2   RE = R{Q + c11 u + c12 q}, (Ru)t + ∇   3   (RE)t + div(Rq) = R{(u, Q) + cσ}, (1)    10 5  RE 2 = R EQ + c21 u + c22 q , (Rq)t + ∇    9 3    ∆ϕ = β(R − ρ). Здесь R — электронная плотность; E — энергия электронов; u — вектор скорости электронов; q — поток энергии; ϕ — электрический потенциал; Q = ∇ϕ; σ = 32 E − 1; c = c(E); cij = cij (E), i, j = 1, 2 — известные гладкие функции; ρ = ρ(x, y) — плотность легирования; β = const > 0. Естественно, возникает вопрос о том, насколько адекватно сформулированная модель описывает реальный физический процесс. Характерная ситуация — отсутствует напряжение смещения на границе полупроводника. Тогда с возрастанием времени система должна приходить в стационарное состояние, так называемое состояние термодинамического равновесия. В докладе на основе регуляризации соответствующей эллиптической системы (см. систему (1) в стационарном случае) с помощью оператора Соболева доказано, что обобщенное решение смешанной проблемы для регуляризованной системы при определенных условиях на данные задачи существует в целом по времени и сходится к единственному стационарному решению. Доказательство основано на построении и использовании свойств специального интеграла энергии. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-01-00585-a), в рамках Аналитической ведомственной целевой программы Федерального агенства по образованию и Министерства образования и науки РФ “Развитие научного потенциала высшей школы” (проект № 2.1.1/4591; 2009-2010 гг.) и программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” 2009-2013 (ГК № П1180 от 27.08.2009). Трахинин Ю. Л. 173 КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ И РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С “ВАКУУМНЫМ” ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ Ю. Л. Трахинин Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск Рассматривается движение идеальной сжимаемой жидкости в вакууме, описываемое уравнениями Эйлера в области с границей Σ(t), движущейся со скоростью частиц газа на границе, с граничным условием p|Σ(t) = 0, где p — давление. Недавно локальная по времени теорема существования и единственности гладких решений этой задачи доказана в [1] для изэнтропического течения, случая жидкости (плотность ρ|Σ(0) ≥ ε > 0) в предположении, что выполнено физическое условие ∂p/∂N |Σ(0) ≤ − < 0. В [1] использован кажущийся естественным гидродинамический подход, связанный с переходом к лагранжевым координатам. Вместе с тем, в рамках такого подхода возможность получения аналогичных результатов для более сложных моделей механики сплошной среды, например, для релятивистского случая или магнитной гидродинамики (МГД), кажется очень сомнительной. Даже распространение результата из [1] на случай полной системы газовой динамики не является столь очевидным. Нами предложен новый подход к исследованию указанной задачи. Мы работаем в эйлеровых координатах и подход связан с адаптацией техники, использованной ранее для тангенциальных МГД разрывов [2, 3] и включающей в себя распрямление границы, переход к “хорошему неизвестному” Алиньяка [3], итерации Нэша — Мозера. Результат из [1] распространен на случай полной системы газовой динамики и на релятивистский случай в рамках частной теории относительности [4]. В конце доклада коротко обсуждаются случай общей теории относительности, а также первые результаты для задачи с границей плазма–вакуум для МГД сжимаемой жидкости. Работа выполнена при финансовой поддержке ведомственной целевой программы “Развитие научного потенциала высшей школы” (код проекта 2.1.1/4591). Список литературы 1. Lindblad H. Well-posedness for the motion of a compressible liquid with free surface boundary. Commun. Math. Phys. 2005. V. 260. P. 319–392. 2. Trakhinin Y. On existence of compressible current-vortex sheets: variable coefficients linear analysis. Arch. Ration. Mech. Anal. 2005. V. 177. P. 331–366. 3. Trakhinin Y. The existence of current-vortex sheets in ideal compressible magnetohydrodynamics. Arch. Ration. Mech. Anal. 2009. V. 191. P. 245–310. 4. Trakhinin Y. Local existence for the free boundary problem for nonrelativistic and relativistic compressible Euler equations with a vacuum boundary condition. Comm. Pure Appl. Math. 2009. V. 62. P. 1551–1594. Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю., Тенкам Э. М. 174 ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СТЕРЖНЯ РЭЛЕЯ — БИШОПА И. А. Федотов1 , А. Д. Полянин2 , М. Ю. Шаталов1,3 , Э. М. Тенкам1 1 Технологический университет Цване, Претория, Южная Африка Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва 3 Департамент научного материаловедения и производства Совета по научнотехническим разработкам, Претория, Южная Африка 2 Исследуются свободные и вынужденные продольные колебания осесимметричного стержня с защемленными концами. Используется модель Рэлея — Бишопа, которая учитывает как боковые смещения, так и напряжения сдвига в поперечном сечении. Колебания стержня описываются линейным уравнением с частными производными четвертого порядка с переменными коэффициентами, содержащим смешанную производную [1] ∂ 2u ∂u ∂ 3u ∂2 ∂ ∂ 2u 2 2 ρS(x) 2 − ES(x) + ρη Ip (x) 2 + 2 µη Ip (x) 2 = S(x)F (x, t). ∂t ∂x ∂x ∂t ∂x ∂x ∂x Здесь ρ — массовая плотность стержня, E — модуль Юнга (упругости первого рода), η — коэффициент Пуассона, µ — модуль упругости второго рода, S(x) — площадь поперечного сечения, Ip (x) — полярный момент инерции. Уравнение колебаний рассматривается с однородными граничными условиями u= ∂ 2u = 0 при x = 0, ∂x2 и начальными условиями общего вида u = g(x), t=0 u= ∂ 2u = 0 при x = l ∂x2 ∂u = h(x). ∂t t=0 Обсуждаются два типа неклассических ортогональностей собственных функций, соответствующих собственным значениям для гармонических колебаний стержня при F (x, t) ≡ 0. Показано, что для конического стержня собственные функции выражаются через обобщенные гипергеометрические функции [2]. Построена функция Грина и формальное решение общей задачи о колебаниях осесимметричного стержня Рэлея — Бишопа с произвольными начальными условиями в виде ряда по собственным функциям. В качестве примера рассмотрены свободные колебания короткого конического стержня, сделанного из алюминиевого сплава. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проекта 08-01-00553, 08-08-00530, 09-01-00343). Список литературы 1. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration. New York: Wiley and Sons, 1992. 2. Dwork B. Generalized Hypergeometric Functions. Oxford: Clarendon Press, 1990. Федотова З. И., Хакимзянов Г. С. 175 НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫЕ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СФЕРЕ З. И. Федотова, Г. С. Хакимзянов Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск Для численного моделирования крупномасштабных процессов в океане часто применяют приближенные гидродинамические модели различной степени точности, полученные при условии, что слой воды, лежащий на поверхности планеты, тонок по сравнению с ее радиусом, так что течение в радиальном направлении незначительно. Преимущественно используется бездисперсионная модель мелкой воды, выведенная в гидростатическом приближении [1, 3]. Однако в последние годы для исследования катастрофических волновых процессов в океане наблюдается переход к использованию более содержательных моделей. Такая тенденция обусловлена новыми данными, полученными в ходе численного моделирования крупнейших цунами двух последних десятилетий. Было установлено (например, в [1, 2]), что для приемлемого описания распространения волн в течение продолжительного времени на океанических просторах требуются модели, способные учитывать дисперсию и описывать эффекты, связанные со сферичностью и вращением Земли. Это приводит к необходимости применять нелинейно-дисперсионные (НЛД) модели на сфере. В статье [4] разработан единообразный вывод известных НЛД-уравнений, описывающих поверхностные волны на воде в локальной декартовой системе координат с учетом подвижности донной поверхности. В настоящей работе развитый в [4] подход применяется для вывода НЛД-уравнений мелкой воды на вращающейся сфере. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код 09-05-00294) и программы Государственной поддержки научных школ Российской Федерации (код 931.2008.9). Список литературы 1. Murty T. S., Rao A. D., Nirupama N., Nistor I. Numerical modelling concepts for tsunami warning systems. Current Science. 2006. V. 90, N 8. P. 1073–1081. 2. Черевко А. А., Чупахин А. П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере. 1. Вывод и общие свойства Прикладная механика и теоретическая физика. 2009. Т. 50, № 2. C. 24–36. 3. Dalrymple R. A., Grilli S. T., Kirby J. T., Watts P. Tsunamis and challenges for accurate modeling. Oceanography. 2006. V. 19, N 1. P. 142–151. 4. Федотова З.И., Хакимзянов Г.С. Нелинейно-дисперсионные уравнения мелкой воды на нестационарном дне Вычисл. технологии. 2008. Т. 13, № 4. C. 114–126. Фоминский Д. А., Шарифулин А. Н. 176 ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ СУЩЕСТВОВАНИЯ АНОМАЛЬНОГО КОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В НАКЛОНЯЕМОМ ЦИЛИНДРЕ Д. А. Фоминский, А. Н. Шарифулин Пермский государственный технический университет Интерес к бифуркациям стационарных режимов конвекции в замкнутой наклоняемой полости связан с надеждой, что через понимание закономерностей их бифуркаций в лабораторных моделях будет достигнуто понимание механизмов зарождения сложных конвективных явлений в атмосфере и мантии Земли. Наклон полости используется для лабораторного моделирования, например, внезапного зарождения тропических циклонов [1] и парадоксального переноса загрязнений воздуха из города в горные районы с дорогой недвижимостью [2]. Стационарные надкритические режимы конвекции в замкнутой полости часто имеют форму валов, то есть вихрей с горизонтальной осью. В них частицы жидкости движутся вдоль плоских линий тока вокруг точки пересечения этой плоскости с осью вихря. Поэтому такие режимы можно назвать квазидвумерными. Исследование плоских двумерных течений, то есть бесконечно вытянутых горизонтальных вихрей, в абстрактном бесконечном цилиндре поможет в понимании закономерностей бифуркаций стационарных режимов конвекции в полостях лабораторных экспериментов. Поясним, что наклон при малых докритических значениях числа Рэлея приводит к формированию горизонтального вихря с таким направлением циркуляции, что воздух около более нагретой вертикальной стенки полости движется вверх. Это вихрь с нормальным вращением. Однако при значениях числа Рэлея, превышающих критическое значение Rac , наряду с таким нормальным вихрем возможен и вихрь с обратным направлением циркуляции, то есть аномальный вихрь. В таком вихре жидкость пародоксальным образом вдоль нагретой стенки движется вниз. Цель настоящей работы — путем численного решения полных уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска определить зависимость критического угла наклона (до достижения которого возможно существование аномального вихря) от числа Рэлея для значений числа Прандтля P = 7 и P = 14. Такая зависимость, то есть бифуркационная кривая, определяющая границы существования аномального вихря, была построена в [3] для значения числа Прандтля P = 1. Бифуркационная кривая имела экстремум, максимальное значение критического угла составляло 12◦ при примерно двукратной надкритичности. При ее пересечении аномальное течение переходит в нормальное. Бифуркационная кривая, полученная в настоящей работе, имеет более сложную форму и при ее пересечении не всегда происходит переход к нормальному одноячеистому режиму. В определенном интервале чисел Рэлея осуществляется переход к двухячеистому течению. Список литературы 1. Шарифулин А. Н., Полудницин А. Н., Кравчук А. С.Лабораторное моделирование нелокального возникновения тропического циклона. ЖЭТФ. 2008. Т. 134. № 6. С. 1269–1273. 2. Princevac M., Fernando H. J.S.A criterion for the generation of turbulent anabatic flows. Physics of fluids. 2007. vol. 19. C. 105102–7. 3. Никитин А. И., Шарифулин А. Н. О бифуркациях стационарных режимов тепловой конвекции в замкнутой полости порождаемых особенностью типа сборки Уитни. В кн.: Процессы тепло и массопереноса вязкой жидкости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 32–39. Черевко А. А., Чупахин А. П. 177 О ДВИЖЕНИИ ГАЗОВОГО ШАРА С ЗАКРУТКОЙ А. А. Черевко, А. П. Чупахин Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Автомодельные движения сжимаемой жидкости (газа) были предметом классических исследований (Л.И. Седов, В.П. Коробейников, К.В. Брушлинский и Я.М. Каждан, С.К. Годунов и И.Л. Киреева и др.) нашедших яркие приложения в задаче о сильном взрыве. Анализ таких решений уравнений газовой динамики с позиции общей теории динамических систем был выполнен О.И. Богоявленским. Во всех этих работах исследовались одномерные движения газа с волнами цилиндрической или сферической геометрии. Многомерные автомодельные движения газа описываются частично инвариантными решениями уравнений газовой динамики и основываются на конструкции “особого вихря” или “вихря Овсянникова”. Принципиальное отличие этих решений от классических автомодельных решений Седова состоит в многомерности: вектор скорости газа u имеет, вообще говоря, ненулевыми как радиальную U , так и касательную к сферам |x| =const компоненту uτ . Величина H = |uτ | характеризует отклонение движения газа от сферически-симметричного, то есть степень закрутки, завихренности движения, в классическом случае H = 0. Для политропного газа с показателем политропы γ описание таких движений сводится к анализу динамической системы (Черевко, Чупахин, 2005) 2(α − w)ẇ 2(α − v)v̇ (v + w − 2α)Ḣ (v + w − 2α)ḣ = = = = −2H 2 + hH(v − w) − v(2 + v) + w(4 + 3w), −2H 2 + hH(w − v) − w(2 + w) + v(4 + 3v), −2H(1 + v + w), 2(1 + h2 )H, где v и w — аналоги инвариантов Римана, величина h характеризует движение частицы газа. Каждому решению этой системы соответствует некоторое движение газа. В работе описаны все особые точки и многообразия динамической системы, лежащие как на плоскости Седова H = 0, h = 0, так и в пространстве Овсянникова R4 (v, w, h, H). Доказано, что существует двумерная поверхность H 2 = (1/2)(α(4 + 3α) − 2w − w2 + Hh(w − α)), полностью состоящая из особых точек. В зависимости от значений параметра α поверхность разбивается на подобласти, отвечающие различным типам особых точек. Исследуется разрешимость задачи о расширении в вакуум газового шара с закруткой (H 6= 0). Обсуждаются режимы движения газа со сферической ударной волной. Работа выполнена при финансовой поддержке грантов Минобразования РФ 2.1.1/3543 и Интеграционного проекта СО РАН №65. Хабахпашева T. И., Коробкин A. A. 178 О СТРУКТУРЕ АЛГЕБРЫ ОПЕРАТОРОВ ИНВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ А. П. Чупахин Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Дифференциально инвариантные решения (ДИР) дифференциальных уравнений порождаются инвариантами допускаемой уравнениями группы Ли, зависящими от производных. Важную роль в теории ДИР играют алгебры Ли операторов инвариантного дифференцирования (АОИД), действующие на модуле дифференциальных инвариантов. В работе исследуются общие свойства таких алгебр, рассмотрены примеры АОИД для групп Ли симметрии уравнений Грина — Нагди и газовой динамики. Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 08-01-00047а, Минобразования РФ 2.1.1/3543. ИЗВЛЕЧЕНИЕ ЭНЕРГИИ ВОЛН С ПОМОЩЬЮ ПЛАВАЮЩЕЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ T. И. Хабахпашева1 , A. A. Коробкин2 1 2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Университет Восточной Англии, Норидж, Великобритания Гидроупругое поведение плавающих тонких конструкций на волнении широко исследуется последние 15–20 лет в связи с проектами строительства плавучих аэропортов и промышленных платформ для различных целей, связанных с освоением Мирового океана. Изгибная жесткость таких сооружений очень мала, поэтому при их проектировании необходимо учитывать влияние волнения на изгибные колебания. В работе [1] основное внимание уделялось методам решения линейных задач о гидроупругом поведении пластины на волнении. Было предложено два способа снижения колебаний основной части пластины. В данной работе исследуется возможность извлечения энергии волн с помощью плавающей пластины. С этой целью рассматривается плоская задача о колебаниях на волнах плавающей пластины, концы которой соединены с дном посредством упругих связей с вязким демпфированием. Вязкое демпфирование моделирует работу электрического генератора, который преобразует упругие колебания связей. В модели вязко-упругой связи эффект демпфирования представлен слагаемым, пропорциональным скорости упругих перемещений, с коэффициентом, являющимся характеристикой работы электрического генератора. Задача исследуется методами гидроупругости, в рамках которых упругая и гидродинамическая части задачи решаются одновременно. Используется метод, предложенный в [1]. Оценка энергии поверхностных волн дана в работе [2]. Для того, чтобы оценить энергию, которую можно аккумулировать при помощи плавающей пластины со специальным присоединением ее кромок, произведен параметрический анализ задачи, в результате которого найдены оптимальные значения жесткости соединения и характеристик электрического генератора. Показано, что пружинное соединение (без демпфирования) задней кромки пластины с дном и присоединение генератора к передней кромке (без упругой связи) является наиболее эффективным способом снижения упругих колебаний пластины на волнении и производства электрической энергии. Отметим, что в данном случае извлечение энергии волн не является основной целью строительства платформы, а рассматривается как дополнительная возможность ее использования. Хабиров С. В. 179 Однако, показано, что предложенный способ соединения пластины с дном не только гасит колебания платформы, но и позволяет получить достаточное количество электрической энергии. Работа выполнена при финансовой поддержке Программы РАН (14-14-2). Список литературы 1. Khabakhpasheva T. I., Korobkin A. A. Hydroelastic behaviour of compound floating plate in waves. J. Engineering Mathematics, 2002. V. 44. N 1. P. 21–40. 2. C.C. Mei, M. Stiassnie, D.K.-P. YueTheory and applications of ocean surface waves. Part 1: Linear Aspects. World Scientific. 2009. 516 p. ДВИЖЕНИЕ ГАЗА БЕЗ РАСХОЖДЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ C. В. Хабиров Институт механики УНЦ РАН, Уфа Движение идеального газа без расхождения задаются системой уравнений D~u + ρ−1 ∇p = 0, ∇ · ~u = 0, Dp = 0, Dρ = 0, где D = ∂t + ~u · ∇, ρ — плотность, p — давление, ~u — скорость. Эта модель справедлива для любого уравнения состояния, из которого определяется энтропия. Совместность этой переопределенной системы не изучена. Решения с линейным полем скоростей ~u = A(t)~x + ~u0 дают подмодель из обыкновенных дифференциальных уравнений A0 + A2 = B, B 0 + AT B + BA = 0, ~u00 + A~u0 = ~a, trA = 0, ~a0 + AT ~a + B~u0 = 0. В лагранжевых переменных ~x = ~x0 (t) + M (t)ξ~ имеем ~x00 = A~x0 + ~u0 , M 0 = AM, M T M 00 = S0 + Ω0 , M 00 = BM, M (0) = I, |M | = 1, M 0 (0) = S1 + Ω1 , где Si = SiT , Ωi = Eh~ωi i = −ΩTi , i = 0, 1, — постоянные матрицы trS1 = 0, S0 ω ~ 0 = 0. Имеем три скалярных интеграла M T M 0 − M T 0 M = 2tΩ0 + 2Ω1 . Представление M = OΛ, OOT = I, ΛT = Λ приводит к подмодели Λ200 − 2−1 Λ20 Λ−2 Λ20 + ΩΛ−2 Λ20 − Λ20 Λ−2 Ω + 2ΩΛ−2 Ω = 2S0 , Λ2 (0) = I, Λ20 (0) = 2S1 , trS1 = 0, Ω = tΩ0 + Ω1 . Условия совместности получаются дифференцированием уравнения |Λ2 | = 1: tr(Λ20 Λ−2 ) = 0, ... При t = 0 получаем условия для постоянных матриц Si , Ωi : trS0 =trS12 − 2|~ω1 |2 , ... Хвостова О. Е., Авербух Е. Л., Куркин А. А. 180 Тривиальный случай Λ2 = I возможен при Ω0 = 0, S0 = Ω21 , S1 = 0. Если Ωi = 0, матрица Λ2 диагональна или Λ2 = I + 2tS1 , то возможен только тривиальный случай. Нетривиальных случаев не обнаружено, кроме M = I + t(S1 + Ω1 ) ⇒ Λ2 = I + 2tS1 + t2 (S12 + Ω21 + S1 Ω1 − Ω1 S1 ). ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СГЛАЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ О. Е. Хвостова1,2 , Е. Л. Авербух2 , А. А. Куркин1,2 1 Нижегородский филиал Государственного университета “Высшая школы экономики” 2 Нижегородский Государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева Метод сглаженных частиц в гидродинамике (SPH, Smoothed Particle Hydrodynamics) является одним из бессеточных методов, использующих свободно-лагранжевое моделирование динамики жидкости [1]. В работе исследовано применение метода SPH для расчета течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. Основные уравнения механики сплошной среды (уравнения движения Навье — Стокса и уравнение неразрывности) для ньютоновской вязкой жидкости имеют вид dv a 1 ∂p µ ∂ = Fa − + T ab , a b dt ρ ∂x ρ ∂x (1) dρ = −ρ div v, (2) dt где a, b = 1, 2, 3 — числовые индексы координат, v a — компоненты вектора скорости, F a — компоненты вектора плотности объемных сил, p и ρ — давление и плотность жидкости соответственно, µ — коэффициент динамической вязкости, а T ab — тензор поверхностных напряжений. Основная идея метода сглаженных частиц состоит в дискретизации сплошной среды конечным набором лагранжевых частиц, которые движутся со скоростью потока и допускают произвольную связность между собой. По своей сути метод сглаженных частиц является интерполяционным методом, который позволяет представить любую функцию в терминах собственных значений на наборе беспорядочных точек-частиц. В настоящей работе рассматриваются варианты применения различных функций ядра W , в частности, Гауссова и сплайн-функции различных порядков. Отмечено, что весовые функции для различных членов уравнений движения (давления, вязкости, и др.) могут выбираться различным образом исходя из их собственных свойств. В работе также рассматриваются вопросы постановки граничных условий как на твердой границе, так и на свободной поверхности. Описан метод нахождения граничных частиц, а также способ задания силы поверхностного натяжения. В заключение отметим важную особенность метода. Если область расчета ограничена твердыми стенками, то количество частиц жидкости остается постоянным, закон сохранения массы выполняется, и уравнение (2) рассматривать не нужно. Это позволяет упростить и ускорить вычисления. Хребтов М. Ю. 181 Список литературы 1. Monaghan J. J. Smoothed Particle Hydrodynamics Annual Reviews Astronomy. Astrophisics. 1992. No. 30. P. 543–574. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧАХ О РАВНОВЕСИИ УПРУГИХ ТЕЛ С ВКЛЮЧЕНИЯМИ И ТРЕЩИНАМИ А. М. Хлуднев Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Рассматривается задача о равновесии упругого тела, содержащего включение и трещину. На берегах трещины задаются нелинейные краевые условия, обеспечивающие взаимное непроникание берегов. Параметры включения меняются таким образом, что охватываются случаи упругого включения, жесткого включения и отверстия, см. [1]. Функционал качества совпадает с производной функционала потенциальной энергии по длине трещины. Доказывается существование такого значения параметра включения, которое максимизирует функционал качества, см. [2]. С точки зрения критерия разрушения Гриффитса оптимальное включение в этом случае является наиболее безопасным. Работа выполнена при финансовой поддержке ГК N НК-527 П “Кадры”. Список литературы 1. Лойгеринг Г., Хлуднев А. М. О равновесии упругих тел, содержащих жесткие включения. ДАН. 2010. Т. 430. N 1, С. 1–4. 2. Khludnev A. M. Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions. European Journal of Mechanics — A/Solids. 2010. V. 29. N 3, P. 392–399. ОБРАТНЫЙ ПОТОК ЭНЕРГИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПО МАСШТАБАМ В СВОБОДНОЙ СТРУЕ М. Ю. Хребтов Институт теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск Как известно, для течений с развитой турбулентностью передача энергии между пульсациями различного масштаба может носить каскадный характер. Основным фактором, влияющим на направление передачи энергии в каскаде, является размерность задачи. В случае трехмерного течения имеет место прямой энергетический каскад, направленный от крупных масштабов к мелким. В двумерном случае, напротив, наблюдается инверсионный энергетический каскад c переносом энергии от мелких масштабов к крупным за счет отсутствия механизма растяжения вихревых трубок [1]. Поскольку ряд течений в своем развитии проходят как через двумерную, так и через трехмерную стадии, то представляет интерес выявление в них наличия одного или обоих энергетических каскадов. К таким течениям относятся струйные и следовые течения, обладающие осевой симметрией. Черепанов А. Н., Черепанова В. К. 182 В данной работе путем численного моделирования методом крупных вихрей (LES [2]) исследовалась свободная осесимметричная затопленная струя (Re=25000). Для каждой расчетной точки продольного сечения струи вычислялся осредненный по времени поток энергии через набор пространственных масштабов, что давало возможность анализировать результаты как в физическом, так и в спектральном пространствах. Проведенный анализ показал наличие в исследуемом течении областей, где динамика турбулентности для широкого диапазона масштабов приобретает “квазидвумерные” свойства, и доминирует обратный каскад энергии турбулентности. Измеренный спектр турбулентных пульсаций при этом являлся достаточно наполненным, чтобы можно было говорить об установившемся статистическом режиме течения. Данный эффект может наблюдаться в широком классе течений с похожей геометрией и достаточно высоким уровнем турбулентных пульсаций и требует учета при построении статистических моделей турбулентности. Список литературы 1. Lesieur M. Turbulence in Fluids. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997 2. Sagaut P. Large Eddy Simulation for Incompressible Flows:An Introduction. Springer-Verlag, Berlin, 2001. О КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЯХ МАГМАТИЧЕСКОГО РАСПЛАВА У ВЕРТИКАЛЬНОГО ФРОНТА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ А. Н. Черепанов, В. К. Черепанова Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, Новосибирск Одним из факторов разделения компонентов при фракционировании базитовых расплавов в магматических камерах является концентрационная конвекция. Поэтому исследование процессов тепло- и массопереноса при свободной конвекции расплава у плоского фронта кристаллизации представляет интерес для изучения характера конвективных движений и их влияния на развитие процессов дифференциации в затвердевающем расплаве. На примере квазибинарной системы Fe2 SiO4 + Fe3 O4 рассмотрен установившийся процесс, при котором расплав, занимающий полубесконечное пространство y > 0, затвердевает в горизонтальном направлении вдоль координаты y с постоянной скоростью. Фронт затвердевания считали плоским, допуская, что соблюдаются условия, обеспечивающие подобный режим кристаллизации. В математической постановке задачи использованы безразмерные уравнения движения, неразрывности и тепломассопереноса в приближении Буссинеска, записанные в подвижной декартовой системе координат, в которой ось x расположена в плоскости фронта и направлена сверху вниз, а ось y перпендикулярна фронту. Физические параметры сплава считали постоянными и равными их средним значениям в рассматриваемом интервале температур, а диаграмму состояния системы — линейной. В результате было найдено аналитическое решение, анализ которого показал, что режим течения расплава у фронта кристаллизации зависит от соотношения теплового GrT и концентрационного GrC чисел Грасгофа. Полученные соотношения позволяют считать, что в зависимости от параметра G = |GrT |/|GrC |: 1) при GrC = 0 имеет место чисто тепловая конвекция; с увеличением концентрационного числа Грасгофа сохраняется одноячеистый режим течения (конвекция термоконцентрационная); 2) при G1 < G < G2 нарушается безотрывный характер течения и устанавливается двухъячеистый режим термоконцентрационной конвекции; 3) дальнейшая Черепанов Р. О., Герасимов А. В. 183 смена типа течения происходит при G < G1 , когда преобладает процесс диффузии и реализуется одноячеистый режим конвекции (концентрационно-термическая); 4) при GrT = 0 имеет место чисто концентрационная конвекция. Рассматриваемые силикатные и алюмосиликатные расплавы характеризуются большой вязкостью и малым значением коэффициента диффузии (D ≈ 10−12 ÷ 10−11 м2 /с), следовательно, большими числами Шмидта (Sc ≈ 108 ÷ 109 ). Поэтому толщина пограничного диффузионного слоя на границе фазового раздела в случае затвердевания магмы в интрузивной камере, когда скорости превышают 10−11 м/с, составляет не более 1 мм. Следовательно, концентрационная конвекция у фронта кристаллизации практически не развивается, а движение в объемной фазе расплава в основном обусловлено тепловой конвекцией. В представленной работе предложен численно-аналитический метод исследования свободной конвекции квазибинарного расплава у вертикального фронта кристаллизации, с помощью которого получено критериальное условие, определяющее режим конвективного движения в зависимости от соотношения между тепловым и концентрационным числами Грасгофа. В частности, показана возможность перехода одноячеистого режима движения в двухячеистый с образованием зон повышенной химической неоднородности. Получены соотношения для толщины пограничного диффузионного слоя и эффективного коэффициента распределения, позволяющие оценить характер и область этой неоднородности. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАЗМЫТЫХ ЧАСТИЦ Р. О. Черепанов, А. В. Герасимов Научно-исследовательский институт прикладной математики Томского государственного университета В работе предложена новая вычислительная технология, основанная на методе Smooth particle hydrodynamics — SPH-методе размытых частиц [1, 2], для решения динамических задач механики деформируемого твердого тела, в частности, высокоскоростного соударения. Используя метод восстановления узловой согласованности [3], разработаны алгоритмы расчета условий на контактной границе, позволяющие стыковать метод SPH с сеточными методам и предложен новый алгоритм вычисления ускорений на свободной поверхности, формально имеющий высокую точность. Предложен новый способ расчета движения среды. В совокупности эти алгоритмы позволяют применять SPH-метод к решению задач высокоскоростного соударения и к решению динамических задач механики деформируемого твердого тела со свободными границами и контактными границами скольжения. Список литературы 1. Lucy L. B. A numerical approach to the testing of fusion hypothesis. Astronomical Journal 1977; 82:1013 -1024 2. Chen J. K., Beraun J. E. , Jin C. J. A corrective smoothed particle method for transient elastoplastic dynamics. Computational Mechanics 27 (2001). pp. 177-187. 3. Liu M. B., Liu G. R. Restoring particle consistency in smoothed particle hydrodynamics. Applied Numerical Mathematics, Elsevier, ANM1760. Чиркунов Ю. А. 184 МНОГОСЕТОЧНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ К. А. Чехонин Дальневосточный государственный университет путей сообщения, Хабаровск Рассматривается трехмерный процесс эволюции формы капли в поток вязкой несжимаемой жидкости, реализуемый в области 4 × 0, 5 × 1 под действием движения верхней и нижней пластин. Капля радиусом r = 0.125 и окружающая её жидкость имеют различную плотность и вязкость. Учитываются капиллярные силы на неизвестной границе их раздела. В основу математической модели положены уравнения Навье — Стокса и уравнение неразрывности. Реализация граничных условий на неизвестной границе раздела капли и жидкости производится с использованием VOF-метода [1]. Численное решение задачи находится многосеточным методом конечных элементов с использованием изопараметрических элементов в виде тетраэдров [2]. Конечно-элементная сетка адаптируется решению задачи в окрестности больших значений кривизны границы раздела. Система нелинейных проекционно-сеточных уравнений задачи решается GMRES методом. Исследовано влияние числа Рейнольдса, капиллярного числа и соотношения вязкостей капли и окружающей её жидкости (λ) на характер гидродинамического процесса деформирования капли. Получено, что при деформировании капли при малых числах Рейнольдса и значении капиллярного числа Ca = 0.42, λ = µk .µg = 1, в момент времени t0 у капли образуется ярко выраженный перешеек, а в момент времени t ≈ 40 происходит её деление на несколько капель меньшего объёма. Найдены критические значения капиллярного числа, приводящие к разрушению капли в куэттовском потоке вязкой жидкости, как функции от соотношений вязкости капли и окружающей её жидкости при различных числах Рейнольдса. Приводятся результаты исследований для случаев, когда деформируемые среды проявляют неньютоновские свойства. Список литературы 1. Чехонин К. А. Движение нелинейно-вязкопластичной жикости со свободной поверхностью при заполнении осесимметричного объёма. Математическое моделирование. 2001. Т. 1, № 1. C. 89–102. 2. Чехонин К. А., Булгаков В. К. Основы теории метода смешанных конечных элемнтов для задач гидродинамики. Хабаровск: Изд-во ХТГУ, 1999. ОБ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СИСТЕМАХ ФРИДРИХСА, РАВНОСИЛЬНЫХ СИСТЕМАМ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ Ю. А. Чиркунов Новосибирский государственный технический университет С точностью до преобразований эквивалентности найдены все эволюционные симметрические t-гиперболические по Фридрихсу системы, равносильные системам двумерных и трехмерных волновых уравнений. Получены эволюционные симметрические t-гиперболические по Фридрихсу системы, описывающие волны сдвига в трехмерной изотропной упругой среде как Чумаков Ю. А., Князева А. Г. 185 при наличии, так и при отсутствии массовых сил. Исследованы групповые свойства некоторых из этих систем. Указана система, равносильная уравнениям Максвелла, описывающим электромагнитное поле в пустоте, состоящая из уравнений эволюционной симметрической t-гиперболической по Фридрихсу системы и условия Лоренца, которая в силу закона сохранения заряда приведена в инволюцию. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-01-00497) и Интеграционного проекта СО РАН № 103. НЕСТАЦИОНАРНАЯ МОДЕЛЬ СЖИГАНИЯ ГАЗА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОРИСТОЙ ГОРЕЛКЕ Ю. А. Чумаков, А. Г. Князева Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск Для того чтобы ответить на различные вопросы, стоящие перед разработчиками радиационных пористых горелок (где стабилизируется зона реакции, возможен ли тепловой взрыв в такой системе, в какой области технологических параметров устойчив стационарный режим работы горелочного устройства и т.п.) исследуется нестационарная модель фильтрационного горения газа в цилиндрической полой пористой горелке в двухтемпературном приближение геометрии и свойств [1]. Математическая модель в цилиндрической системе координат включает уравнение теплопроводности для расчета температуры газа с учетом конвективного переноса и тепловыделения за счет химических реакций; уравнение для расчета температуры каркаса с учетом теплообмена между твердой и газообразной фазой; уравнения движения для расчета скорости газа, а также уравнение неразрывности. Модель замыкают уравнения состояния идеального газа, а также граничные и начальные условия: в начальный момент времени температура газа и каркаса равны температуре окружающей среды, скорость и концентрация газа равны нулю, плотность вычисляется из уравнения состояния. На внутренней границе горелки между набегающим газом, реагентом и каркасом происходит теплообмен по закону Ньютона, задается начальное избыточное давление и начальный расход газа, концентрация реагента равна единице. Предполагается, что на внешней границе между газом, каркасом и продуктами реакции происходит теплообмен по закону Ньютона, учитывается излучение каркаса по закону Стефана — Больцмана, давление газа равно атмосферному. Процесс зажигания горючей смеси инициировался действием горячей стенки с температурой Ti на внешней границе горелки в течение определенного времени tign . Напряжения и деформации в твердом каркасе рассчитывались на основе аналитического решения несвязанной задачи термоупругости [2] с использованием найденного численно распределения температуры пористого каркаса. Численное исследование модели показало, что в зависимости от соотношения параметров модели, в том числе от Ti , tign , реализуются различные режимы горения: стационарный, автоколебательный, режим теплового взрыва. В последнем случае рассчитанная температура газа в несколько раз превышает максимальную температуру эксплуатации горелки, а возникающие напряжения превышают предел прочности материала в десятки раз, что может привести к очень быстрому разрушению пористой структуры каркаса и выходу из строя горелочного устройства. Список литературы 1. Кирдяшкин А. И., Максимов Ю. М. Инфракрасная горелка на основе пористой керамики. Энергосбережение и энергоэффективность. 2005. C. 24–25. Шалаев В. И. 186 2. Тимошенко С. П., Гудер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОНКОГО ТЕЛА СО СВОБОДНОЙ И ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРИ РАЗДЕЛЕНИИ ДВУХ ТЕЛ В ДО- И ТРАНСЗВУКОВОМ ПОТОКЕ Шалаев В. И. Московский физико-технический институт С помощью асимптотического подхода изучена динамика течения при отделении тонкого тела вращения от тела существенно большего размера в до- и трансзвуковом однородном потоке газа. Рассмотрено два случая: отделение тонкого тела от твердой поверхности и его падение из каверны в поток. Во втором случае движение тела подразделяется на три стадии по времени: а) движение внутри каверны; б) пересечение слоя смешения на внешней границе каверны; в) движение в набегающем потоке; для первого случая имеется только третья стадия. Область течения подразделяется на две асимптотические области: внутренняя (ближняя) область с характерным размером порядка толщины тела и внешняя (дальняя) область, размер которой определяется длиной тела. Течение во внутренней области в главном приближении описывается теорией тонкого тела и сводится к решению двумерного уравнения Лапласа в плоскости поперечного сечения при наличии сложных границ; слой смешения на границе каверны аппроксимируется свободной вихревой поверхностью нулевого потенциала [1]. Для всех трех стадий получены аналитические решения уравнения Лапласа: для стадий а) и в) использованы разложения в ряды Лорана, для стадии б) — конформные отображения. Выведены явные выражения для подъемной силы, силы сопротивления давления и вращающего момента сечения как функции локального радиуса тела, расстояния между внешней границей и осью тонкого тела, его угла атаки и вертикальной скорости. Во внешней области задача сведена к обтеканию эквивалентного тела вращения: для дозвукового потока течение описывается уравнением Лапласа, для трансзвукового течения — уравнением Кармана — Гудерлея [1]. Получены формы эквивалентного тела вращения для стадий б) и в). Проанализированы различные эффекты второго порядка теории тонкого тела и определена зависимость волнового сопротивления от параметров задачи; для дозвукового течения получено явное выражение для этой характеристики, для трансзвукового течения использовались численные решения. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь- ных исследований (проект No 09-01-00206) и Министерства образования и науки (проект АВЦП РНПВШ No 2.1.1/200). Список литературы 1. Shalaev V. I., Fedorov A. V., Malmuth N. D. Analytical Modeling of Transonic Store Separation from a Cavity. AIAA Pap. 2003. No. 0004. Шапеев В. П., Исаев В. И., Черепанов А. Н. 187 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ЛАЗЕРНОЙ СВАРКЕ ТОНКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛАСТИН В. П. Шапеев1 , В. И. Исаев2 , А. Н. Черепанов1 1 Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск 2 Новосибирский государственный университет Рассматривается установившийся процесс лазерной сварки встык тонких металлических пластин. Последние являются прямоугольными параллелепипедами, состыкованными между собой узкими боковыми гранями. Ось луча лазера лежит в плоскости стыка пластин и направлена перпендикулярно к их поверхности. Лазер движется параллельно пластинам вдоль стыка. В рассматриваемой области введем декартову систему координат, в которой лазерный луч неподвижен, а пластины перемещаются со скоростью сварки Vw . Ось z направлена вниз вдоль оси луча, ось x — вдоль стыка в направлении перемещения пластин, а ось y — перпендикулярно стыку. В данной работе предложена трехмерная квазистационарная математическая модель процесса лазерной сварки. В ней для описания теплопереноса используется уравнение теплопроводности с конвективными членами, а для моделирования течения жидкого металла в сварочной ванне — уравнения Навье — Стокса. В модели учитывается наличие парогазового канала в окрестности луча лазера. Ввиду существенной сложности трехмерной модели, в данной работе на ее основе путем осреднения уравнений по переменной y создана квазитрехмерная модель. В ней учитывается конечность в направлении оси y характерных размеров области, в которой протекают физические процессы. Приближенно учитываются поток тепла в направлении оси y и трение между перпендикулярными к оси y слоями жидкого металла в ванной. Для численного решения краевых задач для уравнений Навье — Стокса и теплопроводности в областях с криволинейной границей применяются варианты метода коллокаций и наименьших квадратов (КНК). Последний хорошо зарекомендовал себя при решении известной эталонной задачи о течении вязкой жидкости в каверне с движущейся крышкой. На рис. приведены результаты моделирования сварки титановых пластин толщиной 2 мм со скоростью Vw =0.0167 м/с (1 м/мин) лазером мощностью 1.5 кВт. Область черного цвета, через которую проходит прямая x = 0, соответствует паровому каналу. (а) (б) Рис. Поле температур (a) и картина линий тока расплава в сварочной ванне (б). Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 08-08-00249-а), Интеграционных проектов СО РАН № 11.5, № 26 и комплексного интеграционного проекта СО РАН № 140. Швецов Г. А. 188 ДИНАМИКА ДВУМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В НЕЛОКАЛЬНОЙ РЕАКЦИОННО-ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ А. В. Шаповалов1 , А. Ю. Трифонов2 , А. В. Борисов1 1 2 Томский государственный университет Томский политехнический университет Рассматривается задача Коши для уравнения реакционно-диффузионного типа с нелокальной нелинейностью Z ut (~x, t) = D∆2 u(~x, t) + au(~x, t) − κu(~x, t) b(~x, ~y , t)u(~y , t)d~y , (1) R2 где функция u(~x, t) убывает при ||~x|| → ∞, ||~x|| — норма вектора ~x в двумерном евклидовом пространстве R2 , коэффициент диффузии D, параметры a и κ постоянны, ∆2 — двумерный оператор Лапласа. Уравнение (1) описывает динамические процессы в нелинейных физических, химических и биологических системах, в которых рост кинетической переменной u(~x, t) характеризуется коэффициентом a, потери описываются интегральным членом, а диффузия определяет пространственное распределение величины u(~x, t) в момент времени t. Для ядра интегрального оператора вида b(~x, ~y , t) = b(r, ρ, t), r = ||~x||, ρ = ||~y || с помощью разделения переменных в полярных координатах и найденного нелинейного принципа суперпозиции построено асимптотическое решение задачи Коши в специальном классе функций, произвольно зависящих от угловой переменной и квазиклассически сосредоточенных по радиальной переменной. Угловая зависимость в решении определена точно, а для радиального уравнения развит формализм квазиклассических асимптотик в классе функций, сингулярно зависящих от асимптотического малого параметра, роль которого играет коэффициент диффузии D. В явном виде построен оператор эволюции в рассматриваемом классе функций. Для случая b0 , ||~x − ~y || 6 ρ0 , b0 = const, b(~x, ~y , t) = 0, ||~x − ~y || > ρ0 численными методами рассмотрена эволюция начальных распределений u(~x, 0) в виде одного гауссова распределения и суперпозиции двух гауссовых распределений. Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП ФАО Министерства образования и науки РФ № 2.1.1/3436, гранта Президента РФ НШ-3400.2010.2; Федерального агентства по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238. УСКОРЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ДО ВЫСОКИХ СКОРОСТЕЙ Г. А. Швецов Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск В докладе анализируется современное состояние исследований по ускорению твердых тел до высоких скоростей. Основное внимание уделяется ускорителям, использующим для получения высоких скоростей электромагнитную энергию: электротермическим, электротермохимическим, электромагнитным ускорителям. Обсуждаются основные научные проблемы, Шкутин Л. И. 189 которые стоят перед исследователями, работающими в этом научном направлении, успехи в решении которых могут привести к достижению более высоких скоростей по сравнению с достигнутыми в настоящее время. НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА ПОЛЯРНЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ КОНТИНУУМ Л. И. Шкутин Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск В основу теории классического (неполярного) механического континуума заложены два постулата: — симметрия тензора напряжений, — симметрия тензора линейных определяющих соотношений, то есть тензора упругости или вязкости континуума. Эти постулаты обеспечивают выполнение закона сохранения механической энергии в процессе движения континуума. Нарушение хотя бы одного из постулатов ведет к нарушению закона сохранения и, как следствие, к нарушению объективности — инвариантности теории. В докладе обсуждается модифицированная формулировка теории полярного механического континуума с несимметричным тензором напряжений. Аринин В. А., Ткаченко Б. И. 190 Механика и физика импульсных процессов, включая взрывные. Поведение материалов и конструкций при динамическом нагружении ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ КОНЦЕПЦИЙ АЛГЕБРЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ОБЛАСТИ РАДИОГРАФИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ БЫСТРОПРОТЕКАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ В. А. Аринин, Б. И. Ткаченко Институт физики взрыва Российский федеральный ядерный центр — ВНИИЭФ, Саров Импульсная радиография относится к невозмущающим методам контроля внутреннего состояния изучаемого объекта. Именно поэтому она нашла широкое применение при изучении поведения материалов и конструкций при динамическом нагружении. До недавнего времени использовалось в основном рентгеновское излучение, в настоящее время все более широкое применение находит протонография. Радиографические изображения изучаемых объектов получают с использованием импульсных установок, их качество, как правило, оставляет желать лучшего. Поэтому при проведении метрологической обработки таких изображений “циркуля и линейки” оказывается не достаточно. Данная работа посвящена решению следующего круга задач. — Определение геометрических характеристик: расстояний, углов, радиусов, положения центров и осей симметрии. — Взаимное позиционирование изображений через проективные преобразования. — Геометрические преобразования: повороты, кадрирование, ресемплирование, коррекция дисторсии, конформные преобразования разных типов, переходы между полярной и декартовой системами координат. — Оценка функции плотностей материалов через преобразование Абеля. — Амплитудная коррекция: устранение полос переноса в ПЗС-матрицах и линейках, коррекция неравномерности экспозиции по полю снимка, компенсация различных регулярных структур. Все геометрические измерения и преобразования выполняются с субпиксельной точностью за счет того, что изображения рассматриваются как существенно двумерные непрерывные функции, заданные на дискретной сетке. Бабкин А. В., Ладов С. В., Рассоха С. С. 191 ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА НАНОСТРУКТУРИРОВАННЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ И КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ УДАРНО-ВОЛНОВОГО НАГРУЖЕНИЯ С. А. Афанасьева, Н. Н. Белов, Е. Ф. Дударев, А. Б. Скосырский, А. Н. Табаченко, Н. Т. Югов Томский государственный университет Условия высокоскоростного соударения предъявляют к конструкционным материалам повышенные требования прочности, жаростойкости и т. д. При ударе происходит также частичное или полное разрушение соударяющихся тел. Возможности традиционных высокопрочных сталей и сплавов для применения в качестве эффективных средств защиты и ударников с высокой проникающей способностью в условиях высокоскоростного соударения практически исчерпаны. В последние годы активно разрабатываются и исследуются объемные металлические наноструктурные материалы, а также материалы с ультрамелкозеренной структурой с упрочняющими наноразмерными частицами, для формирования наноструктуры в которых используются специальные методы интенсивной пластической деформации. Метод интенсивной пластической деформации всесторонней ковкой, или так называемое “a, b, c -прессование”, был использован для измельчения структуры в чистой меди для получения субмикрокристаллических структур в массивных образцах. Ультрамелкозернистая структура меди была сформирована при интенсивной пластической деформации посредством разностороннего изотермического прессования. Электронномикроскопические исследования с применением темнопольной методики показали, что при использованном режиме разностороннего прессования происходит диспергирование зеренной структуры до среднего размера 450 нм. Для определения влияния легирования на прочностные свойства металлокерамического материала на основе TiC со связкой из NiTi (TiC–NiTi) использовали легирующие добавки: оксиды, нитриды, углерод. Введение в шихту моноклинного диоксида циркония в объеме до 6 % заметно повышает прочность металлокерамического материала TiC–NiTi . Введение частиц графита реакторной чистоты и особенно нитрида кремния снижает прочность композита TiC–NiTi. Работа выполнена при поддержке АВЦП РНПВШ №2.1.2/4147 и РФФИ № 08-01-00268. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЭФФЕКТА “САМОЗАКРУТКИ” КУМУЛЯТИВНЫХ СТРУЙ А. В. Бабкин, С. В. Ладов, С. С. Рассоха Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана При функционировании кумулятивного боеприпаса с кумулятивной облицовкой (КО), изготовленной методом ротационной вытяжки (раскатки), образуется вращающаяся кумулятивная струя (КС) (т. н. “самозакрутка” кумулятивной струи), проникающая способность которой падает с ростом начальной угловой скорости заряда [1, 2]. Чу и Сеглетесом предложены две гипотезы возникновения самозакрутки — наличие остаточных касательных напряжений и пластическая анизотропия материала облицовки [1]. В результате действия двух этих факторов КС приобретает угловую скорость, согласно данным Винера, 1500–2000 об/с для заряда диаметром 113 мм [3]. На основании гипотезы пластической анизотропии предложен подход по оценке глубины пробития КС, образованной из КО, изготовленной методом ротационной вытяжки. Бабкин А. В., Ладов С. В., Рассоха С. С. 192 Глубина пробития КС определялась с помощью последовательности оценок: приобретенной пластической анизотропии вследствие процесса ротационной вытяжки; угловой скорости КС, полученной при схлопывании пластически анизотропной КО, на основании распределений параметров пластической анизотропии; глубины пробития КС с учетом ее угловой скорости. Оценка приобретенной пластической анизотропии выполнялась посредством физико-математического моделирования ротационной вытяжки с помощью программного комплекса ANSYS—LS-DYNA. Определялось два параметра пластической анизотропии согласно модели [1]. Первый из них – это степень пластической анизотропии, т. е. отношение пределов текучести в окружном и радиальном направлениях. На основании экспериментальных данных Чу и Сеглетеса [1], а также Брюханова, Войтенко и др. [4] величина степени пластической анизотропии принималась в расчетах постоянной и равной 1.2. Второй параметр пластической анизотропии — это угол ориентации главных осей пластической анизотропии [1]. Он определялся по углу ориентации главных направлений тензора деформации. Угловая скорость КС оценивалась по инженерной зависимости, выведенной на основании результатов физико-математического моделирования процесса схлопывания упруго-пластической пластически анизотропной оболочки в квазидвумерной осесимметричной постановке с использованием гипотезы плоских сечений [5]. Главной особенностью решаемой задачи было использование модифицированного критерия пластичности Мизеса (критерия Хилла) в главных осях анизотропии, а также прямое решение уравнений пластичности Прандтля — Рейсса. Глубина пробития КС определялась с помощью модифицированной методики В.М. Маринина [6], путем учета в ней эффектов, связанных с разуплотнением струи вследствие вращения [7]. Проведен численный анализ процессов растяжения и последующего центробежного разрушения градиентных стержней — вращающихся кумулятивных струй, предложены критерии их разрушения. На основе данных критериев разработана инженерная методика расчета параметров функционирования вращающихся кумулятивных зарядов. Таким образом, рассмотрены некоторые особенности эффекта “самозакрутки” КС. Список литературы 1. Chou P. C., Segletes S. B. Jet Rotation Resulting From Anisotropy of Shaped-Charge Liners. / Proc. of the 11th International Symp. on Ballistics. Brussell, 9-11 May, 1989. Vol. II, P. 37–46. 2. Бабкин А. В., Федоров С. В., Ладов С. В. Численное исследование эффекта “самозакрутки” кумулятивных струй, формируемых зарядами с раскатными облицовками VII Харитоновские тематические научные чтения: Труды Международной конференции. – Саров: РФЯЦ–ВНИИЭФ. – 2005. – С. 637–645. 3. Dynamic Behavior of a Shear-Formed Shaped-Chage Liner / Winer K., Shaw L., Muelder S., Breithaupt D., Baum D. // Propellants, Explosives, Pyrotechnics. – 1993. –Vol. 18. –P. 345–351. 4. Анизотропия упругих и прочностных свойств холоднокатаных листов меди / А. А. Брюханов, А. Ф. Войтенко, В. В. Усов и др. // Проблемы прочности. 1979. №8. C.103–105. 5. Рассоха С. С., Бабкин А. В., Ладов С. В. Определение возможностей спин-компенсации собственного вращения кумулятивных зарядов за счет применения раскатных облицовок с эффектом самозакрутки // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия “Машиностроение”. 2008. Специальный выпуск “Актуальные проблемы развития ракетно-космической техники и систем вооружения”. С. 70–78. Бабкин В. С., Коржавин А. А., Лаевский Ю. М. 193 6. Маринин В. М., Бабкин А. В., Колпаков В. И. Методика расчета параметров функционирования кумулятивного заряда // Оборонная техника. 1995. № 4. C. 34–49. 7. Бабкин А.В., Рассоха С.C. Ладов С.В. Методика расчета параметров функционирования вращающихся кумулятивных зарядов // Оборонная техника. 2010. № 1–2. УНИКАЛЬНОСТЬ РЕЖИМА ЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ ГАЗОВ В. С. Бабкин1 , А. А. Коржавин1 , Ю. М. Лаевский2 1 Институт химической кинетики и горения СО РАН, Новосибирск Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирск 2 Большое число стационарных режимов фильтрационного горения газов (ФГГ) диктует необходимость их классификации. Однако их систематизация затруднена слабой изученностью свойств этих режимов. Режим звуковых скоростей (РЗС) занимает особое место среди режимов ФГГ как наименее изученный и занимающий промежуточное положение в скоростной шкале дефлаграции — детонации. Весьма мало изучены особенности волн РЗС, отличающие их от волн других стационарных режимов: определяющие параметры, структурные характеристики волны горения, природа и условия критических явлений. В данном сообщении показана возможность обобщения новых и имеющихся в литературе данных по скоростям распространения волн в хорошо изученном режиме высоких скоростей (РВС) и в РЗС в виде зависимости Re(Pe), где Re и Pe числа Рейнольдса и Пекле, построенные по скорости распространения и нормальной скорости ламинарного пламени, а также по характерному размеру поровых каналов. Обобщенные скоростные зависимости позволили выявить область множественности режимов высоких и звуковых скоростей в диапазоне значений Pe 102 − 103 . Вблизи нижней границы области РЗС вырождается в РВС. Вблизи верхней — РВС перерождается в РВС. Существенное различие РВС и РЗС состоит в наличии барической волны с плавным подъемом давления в зоне горения в случае РЗС. По данным Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева и Института химической кинетики и горения СО РАН, барическая волна в зоне горения наблюдается как в системах с периодическими препятствиями, так и в системах с пористой средой. С целью прогноза условий возникновения барической волны использовано решение задачи о движении газа в трубе с сопротивлением, создаваемым пористой средой. Полагая, что рост давления в зоне горения обусловлен нарушением баланса скоростей выделения тепловой энергии и выносу энергии из этой зоны, был получен искомый критерий рождения волны сжатия. Экспериментально показана адекватность этого критерия. Из проведенного анализа проблемы РЗС следует, что, во-первых, параметр сопротивления определяет существование, механизм распространения волн горения и уникальность режима звуковых скоростей. Во-вторых, в РЗС максимальное давление в волне горения в адиабатическом случае равно давлению при сгорании газа при постоянном объеме. Далее, скорость волны РЗС может быть ниже или выше скорости звука свежей смеси. РЗС может реализоваться в различных системах с сопротивлением. Кроме того, режимы высоких и звуковых скоростей создают область множественности, обусловленную фактором сопротивления. Наконец, режим звуковых скоростей поднимает новые проблемы теории волн газового горения. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-03-00865). Батраев И. С., Злобин С. Б., Ульяницкий В. Ю., Штерцер А. А. 194 ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕТОНАЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ТОПЛИВА НА ОСНОВЕ МЕТИЛАЦЕТИЛЕНА И. С. Батраев, С. Б. Злобин, В. Ю. Ульяницкий, А. А. Штерцер Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск В промышленной практике все большее распространение получают многокомпонентные газовые топлива. Например, ранее разработанная в качестве эффективного ракетного топлива смесь пропилен-пропан-метилацетилен-ален (МАФ), уже широко используется в газосварке как заменитель значительно более взрывоопасного ацетилена. Близкие к ацетилену энергетические характеристики дают основание для изучения возможности применения МАФа в качестве топлива и в технологии детонационного напыления. При этом детонация взрывчатых смесей на основе такого топлива до сих пор не была изучена. Проведено исследование детонации МАФ-кислородных смесей. Выполнены расчеты параметров самоподдерживающейся детонации. По техническим характеристикам промышленного МАФа жестко регламентируется только относительное содержание компонент пропилена с пропаном к метилацетилену-алену (30/70). Показано, что относительное содержание пропана и пропилена несущественно сказывается на параметрах продуктов детонации (ПД). При одинаковом количестве окислителя скорость детонации и температура ПД изменяются в пределах 5%. При сравнении расчетных параметров детонации основных газовых топлив ацетилена и пропан/бутана и МАФа установлено, что в области “бедных” смесей (содержание кислорода выше стехиометрии) МАФ и пропан/бутан, особенно по температуре продуктов детонации, мало отличаются и несущественно превосходят ацетилен. А в области “богатых” смесей картина существенно меняется. И по динамическим (скорость детонации) и по тепловым (температура ПД) видно существенное “расслоение” — при бесспорном превосходстве ацетилена над пропан/бутаном МАФ занимает практически среднее положение между ними. В экспериментах, которые выполнены на аппарате с проточной подачей компонентов взрывчатой смеси, измерялась скорость детонации и фиксировалась ячейка многофронтовой структуры на следовых отпечатках. Благодаря оригинальной конструкции камеры зажигания удалось добиться устойчивого возбуждения детонации вплоть до спиновых режимов в канале диаметром до 30 мм. Для тестирования методики и сравнения детонационных параметров в этих же условиях исследованы и ацетилен-кислородные, и пропан-бутан-кислородные смеси. Полученные для них данные находятся в хорошем соответствии с расчетом и данными, ранее полученными в закрытых камерах. Данные по размерам ячейки также отражают бо́льшую в сравнении с пропан/бутаном взрывчатую способность МАФа. Наименьшее значение продольного размера ячейки в пропан/бутановых смесях (2 ÷ 3) мм в четыре раза превышает наименьшее значение в смесях МАФа — (0, 5 ÷ 0, 7) мм, что в свою в 3–4 раза меньше характерного минимального размера ячейки 0.15 мм в ацетиленовых смесях при начальном давлении 1 атм. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00433-а, гранта НШ 5770.2010.1 и Программы президиума РАН № 12. Баутин С. П. 195 О ВОЗМОЖНОЙ КОНСТРУКЦИИ МИШЕНИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМОГО ТЕРМОЯДЕРНОГО СИНТЕЗА С. П. Баутин Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург В работе представлены два типа мишеней для управляемого термоядерного синтеза (УТС). Сжатие мишени первого типа осуществляется со всех сторон (3D-мишень), сжатие мишени второго типа идет с боковых сторон (2D-мишень). Для сопоставления предлагаемых конструкций с уже существующими используется мишень, обсуждаемая и рассчитываемая в работе [1]. В данной работе приведена достаточно упрощенная схема функционирования мишеней для УТС и опущены некоторые детали, принципиальные для физики процесса. В частности, не рассматриваются вопросы повышения температуры сжатого топлива и влияния лучистого переноса энергии, обгоняющего волну сжатия. В предложенных конструкциях мишеней предлагается внешнее вложение энергии осуществлять через достаточно малое число отверстий во внешнем прочном кожухе мишеней. В случае 2D-мишени это три или шесть, в случае 3D-мишени — четыре. Границы раздела между сжимающей и сжимаемой средами являются поверхностями, выпуклыми в сторону DT смеси. Предлагается использовать предложенную в [2] методику стабилизации движения металлических поверхностей, которое вызвано приложением к одной стороне поверхности больших нагрузок, что позволит сделать процесс движения этих поверхностей еще более устойчивым. В работе обсуждаются возможные эффекты при сжатии предложенных мишеней. Помимо проработки физических и технических аспектов функционирования мишеней необходимо предварительное математическое моделирование сильного сжатия этих мишеней. Одним из обязательных результатов такого моделирования должно стать определение законов движения сжимающих поверхностей [3] для получения нужного физического эффекта при сжатии предложенных мишеней. Выражаю благодарность профессору Г.В. Долголёвой за полезные обсуждения и ценные замечания. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00052). Список литературы 1. Долголева Г. В., Забродин А. В. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия. Физматлит, Москва, 2004. 2. Голубятников А. Н., Зоненко С. И., Черный Г. Г. Новые модели и задачи теории кумуляции. Успехи механики. 2005. № 1. С. 31–93. 3. Баутин С. П. Математическое моделирование сильного сжатия газа. Новосибирск, Наука, 2007. Бордзиловский С. А., Караханов С. М. 196 УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПОРИСТЫХ ВЕЩЕСТВ И СМЕСЕЙ Р. К. Бельхеева Новосибирский военный институт ВВ им. генерала армии И.К. Яковлева МВД России Новосибирский государственный университет Работа посвящена проблеме описания поведения многокомпонентных смесей различных порошков при динамическом нагружении. Актуальность подобных исследований обусловлена как широким представлением гетерогенных систем в различных отраслях науки и техники, так и широким спектром задач, стоящих перед наукой на современном этапе. Пористая смесь нескольких конденсированных веществ, находящаяся в термодинамическом равновесии, представляется как однофазная сплошная среда с уравнением состояния в форме Ми — Грюнайзена, параметры которого выражаются через соответствующие параметры составляющих. При описании смеси используется модель взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов. Равновесное состояние определяется условиями равенства давлений, температур и скоростей составляющих смеси. Учитывается наличие газа в порах. Численные расчеты ударно-волнового нагружения пористых веществ и пористых смесей конденсированных веществ проведены с использованием различных моделей уравнения состояния смеси, учитывающих: — только “холодные” составляющие; — как упругие, так и тепловые составляющие с постоянными удельными теплоемкостями и коэффициентами Грюнайзена; — упругие и тепловые составляющие с привлечением данных о температурной зависимости удельной теплоемкости вещества и переменным коэффициентом Грюнайзена. Результаты расчетов сравниваются с экспериментальными данными. ИЗМЕРЕНИЕ ЯРКОСТНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ И СОПУТСТВУЮЩИХ ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК УДАРНО-СЖАТОГО ПОЛИМЕТИЛМЕТАКРИЛАТА ПРИ 35 ГПа С. А. Бордзиловский, С. М. Караханов Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Для описания термодинамического состояния конденсированных веществ при ударном сжатии используются полуэмпирические уравнения состояния. Численные значения коэффициентов для потенциалов в этих уравнениях уточняются при сравнении с экспериментальными данными. Наиболее чувствительным и информативным параметром в теоретической модели уравнения состояния является температура [1]. Основы измерения температуры в ударно-сжатых прозрачных веществах пирометрическими методами заложены в работе [2], в которой исследован полиметилметакрилат (ПММА) в широком диапазоне давлений ударного сжатия. Однако при давлениях 30 ÷ 50 ГПа наблюдается отклонение измеряемых цветовых температур от расчета по уравнению состояния [1]. В [3] спектральные характеристики излучения при квазиизоэнтропическом сжатии ПММА до 22.5 ГПа дали высокие значения температуры 3700 ± 400 К. Для выяснения вопроса о температуре ПММА в области низких давлений ударного сжатия необходимо проведение более тщательных измерений. Цель настоящих исследований — повышение точности температурных измерений в ПММА в низком Быковский Ф. А., Ждан С. А., Ведерников Е. Ф. 197 диапазоне давлений (35 ГПа). Регистрация такой температуры существующими быстродействующими пирометрами затруднена ввиду слабого теплового излучения. В экспериментах исследовались образцы ПММА с начальной плотностью 1.18 г/см3 . Ударная волна (УВ) в образце генерировалась ударником из дюралюминия, разогнанным продуктами взрыва до 5.4 км/с. Ударная волна подводилась к образцу через дюралюминиевый экран. Параметры УВ в образце следующие: давление 35 ГПа, скорость 8.02 км/с, плотность 2.22 г/см3 . Излучение с фронта УВ регистрировалось в направлении ее распространения на двух длинах волн: λ1 = 550 нм и λ2 = 630 нм. Излучение выводилось из взрывной камеры с помощью кварцевых световодов и регистрировалось ФЭУ. Пирометр измерял абсолютные значения интенсивностей и перед опытом калибровался. В качестве стандарта температуры использовали термометрическую ленточную вольфрамовую лампу накаливания ТРУ-11002350. Калибровочные зависимости снимали в диапазоне температур 1000 ÷ 2200 К для каждого канала пирометра, включающего в себя световод, интерференционный светофильтр и ФЭУ. Временную привязку профилей излучения к моменту выхода УВ из образца осуществляли с помощью контактного датчика, помещенного на свободной поверхности образца. Проведенные исследования показали, что профиль излучения позволяет выделить зону плавного нарастания яркости в течение ≈ 300 нс и зону плато, по которой определяли яркостную температуру, которая составила 1550 ± 50 К на обеих длинах волн. Измеренное значение дает более низкую температуру по сравнению с работами [2, 3] и согласуется с результатами расчета по уравнению состояния [1]. Полученное соответствие позволяет сделать вывод о тепловом характере регистрируемого излучения. Кроме того, зависимость яркости от времени позволила оценить размер зоны излучения и коэффициент поглощения ударно-сжатого ПММА. Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президиума РАН (проект 12.11) и гранта Президента РФ № НШ-5770.2010.1. Список литературы 1. Гударенко Л. Ф., Жерноклетов М. В., Киршанов С. И. и др. Экспериментальные исследования свойств ударно-сжатого карбогала. Уравнение состояния карбогала и оргстекла // Физика горения и взрыва. 2004. Т. 40, № 3. С. 104–116. 2. Кормер С. Б. Оптические исследования свойств ударно сжатых конденсированных диэлектриков // УФН. 1968. Т. 94, № 4. С. 641–687. 3. W.G. Proud, N.K. Bourne, J.E. Field, Shock-induced luminescence in polymethylmethacrylate, Proc. SCCM Conf. - 1997, ed. by S.C. Schmidt, D.P. Dandekar, J.W. Forbes, AIP Press, New York, 1998, P. 801–804. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ДЕТОНАЦИИ В РЕЖИМЕ ЭЖЕКЦИИ ВОЗДУХА Ф. А. Быковский, С. А. Ждан, Е. Ф. Ведерников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Ранее авторами была показана возможность получения детонации в камерах сгорания в режиме эжекции как кислорода [1], так и воздуха [2]. В докладе описываются результаты систематических экспериментов, в которых реализовано непрерывное детонационное сжигание водородовоздушных смесей в режиме эжекции воздуха. Опыты проведены в осесимметричной кольцевой проточной камере диаметром dc 30.6 см, длиной Lc = 39.5 см с расширением Ведяев В. Я., Виноградов А. В., Иванова Е. С., Мишнев В. И. 198 к выходу площади проходного сечения, минимальное расстояние основания конуса от наружной стенки ∆ = 23 мм. Воздух поступал в камеру из окружающей атмосферы. Водород подавался через форсунку, имеющую число и размеры отверстий (мм): F3 - 400×0.5×0.4. Его расходы изменялись в диапазоне Gf =140–6 г/с. Образующаяся в начале эжекции воздуха горючая смесь поджигалась подрывом полоски из алюминиевой фольги электротоком. Продукты сгорания вытекали в атмосферу. В различных постановках эксперимента при варьировании удельного расхода горючего, ширины щели подачи воздуха δ от 3 до 23 мм установлено, что водород сгорал в режимах обычного турбулентного пламени, непрерывной спиновой детонации или пульсирующей детонации с продольными волнами. Определяющими параметрами являются: расход водорода, количество и сечение отверстий форсунок, размер щели δ. Обнаружен минимальный размер щели δmin = 9 мм, при котором реализуется устойчивый одноволновый режим непрерывной спиновой детонации, распространяющейся со скоростью D = 1.48 км/с. С ростом параметра δ (при δ ≥ 12 мм) число волн увеличивается, их скорость уменьшается, а область существования по расходу Gf сужается. При δ = ∆ = 23 мм волны исчезают и реализуется обычное горение. Использование дополнительной форсунки типа F3 со стороны внутренней стенки камеры также не привело к детонационному горению, то есть детонационная волна не может распространяться без перегородки в канале. Грубое смешение (форсунка F1) также вызывает обычное горение. Таким образом, в проточной камере кольцевой геометрии для водородовоздушной смеси при эжекции воздуха определена область существования режимов непрерывной спиновой детонации и пульсирующей детонации с продольными волнами. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке программы Президиума РАН № 12.6 и гранта Президента РФ НШ-5770.2010.1. Список литературы 1. Быковский Ф. А., Ждан С. А., Ведерников Е. Ф. Непрерывная детонация в режиме нестационарной эжекции окислителя. ДАН. 2009. Т. 424, № 1. С. 40–42. 2. Bykovskii F. A., Zhdan S. A., Vedernikov E. F. Continuous detonation combustion of hydrogen in the regime of air ejection. Nonequilibrium Phenomena: Plasma, Com-bustion, Atmosphere [ Edited by G.D. Roy, S.M. Frolov, A.M. Starik]. Moscow: TO-RUS PRESS Ltd., 2009, p. 341– 347. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЁТА И ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СТАЛЬНОГО ВЕДУЩЕГО УСТРОЙСТВА БОЕПРИПАСА В. Я. Ведяев1 , А. В. Виноградов1 , Е. С. Иванова2 , В. И. Мишнёв1 1 Новосибирский государственный технический университет ФГУП Центральный научно-исследовательский институт материалов, Санкт-Петербург 2 Применение стальных ведущих устройств (СВУ), сформированных непосредственно из материала корпуса боеприпаса (БП), является одним из направлений ресурсосбережения при производстве БП, одновременно обеспечивающим повышение боевой эффективности артиллерийского вооружения. СВУ формируется вместо штатного ведущего пояска в виде совокупности чередующихся кольцевых канавок и перемычек. Канавки позволяют регулировать радиальное давление на поля нарезов, а сформировавшиеся на перемычках боевые выступы обеспечивают восприятие усилий боевых граней. Володина Н. А., Карпенко И. И., Спиридонов В. Ф. 199 Наличие канавок в СВУ кардинально меняет схему формирования впадин между боевыми выступами (с объёмной на практически плоскую). Если объём частей канавок Vк , находящихся ниже полей нарезов, превышает объем перемычек Vп , находящихся выше полей нарезов, то материал перемычек, сминаемый полями нарезов, течет в канавки без заклинивания, без скачкообразного увеличения реакции. Для СВУ критичен момент окончания врезания, так как необходимо обеспечить прочность полей нарезов в условиях термопластического состояния их материала. Прочность корпуса БП и восприятие усилия боевой грани нареза отходят на второй план (т.к. обеспечиваются высокими механическими свойствами материала корпуса). В расчетах соотношения объемов удобно характеризовать коэффициентом заполнения канавки k = Vк /Vп . Экспериментально установлено, что для правильного функционирования СВУ в калибрах 122 мм и 30 мм необходимо обеспечить условие k ≥ 1.2. Вторым условием правильного функционирования СВУ является отсутствие изгиба перемычек, то есть напряжения в основаниях перемычек σΣ = (σсж + σиз ) ≤ σ02 . При расчёте СВУ исходят из того, что материал перемычек работает на сжатие по схеме “расплющивание” и пластические деформации развиваются по всей высоте h перемычки, при этом коэффициент расплющивания εi ∆i /h, где ∆i — текущее внедрение поля нареза, не должен превышать 40÷45%, иначе происходит нарушение сплошности материала перемычек. СВУ опробовано на осколочно-фугасной гранате выстрела ГПД-30 для АГС-30 [1]. Предложенные конструкторско-технологические решения СВУ (материал — сталь 20, σв ≥ 60 кгс/мм2 ) обеспечили требуемую живучесть ствола гранатомёта (более 6700 выстрелов); снизили затраты на изготовление корпуса гранаты на 15%; увеличили дальность стрельбы с 1720 м до 2500 м, превысив показатели лучших зарубежных аналогов. Список литературы 1. А. В. Брызжев, В. Я. Ведяев, В. К. Зеленко, В. И. Мишнёв. Результаты модернизации 30 мм осколочно-фугасной гранаты к автоматическим гранатомётным комплексам. // Научный вестник НГТУ. 2009. Вып. 2(35). С. 207 - 221. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ УДАРНО-ВОЛНОВОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ВВ НА ОСНОВЕ ТАТБ ПРИ МНОГОКРАТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ УДАРНЫХ ВОЛН С ПРОМЕЖУТОЧНОЙ РАЗГРУЗКОЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ МОДЕЛИ КИНЕТИКИ МК В МЕТОДИКЕ ЛЭГАК Н. А. Володина, И. И. Карпенко, В. Ф. Спиридонов Российский федеральный ядерный центр — Институт технической физики, Саров Известно, что процесс инициирования детонации в ВВ на основе ТАТБ существенным образом зависит от начальной плотности, которая определяется как степенью запрессовки, так и технологией изготовления ВВ (например, процессом термостабилизации). При уменьшении плотности ВВ увеличивается его ударно-волновая чувствительность (свойство “сенсибилизации”) и, наоборот, при увеличении плотности ВВ такого типа уменьшается его ударноволновая чувствительность вплоть до отказа (свойство “десенсибилизации”). Особо сильная зависимость ударно-волновой чувствительности ВВ на основе ТАТБ от начальной плотности Воронин М. С., Мержиевский Л. А. 200 проявляется при ρ0 > 1.88 г/см3 . Поэтому определение влияния начальной плотности является необходимым требованием к моделям кинетики детонации при численном моделировании ударно-волновой чувствительности ВВ. Это относится и к модели кинетики МК, являющейся базовой моделью кинетики детонации во ВНИИЭФ и реализованной в основных методиках математического отделения, в том числе и в методике ЛЭГАК. Отметим, что если эффект десенсибилизации в настоящее время учитывается в некоторых моделях, то алгоритм сенсибилизации в волне разгрузки разработан и применяется только в модели МК. Данная работа посвящена усовершенствованию кинетической модели детонации МК в методике ЛЭГАК для учета зависимости ударно-волновой чувствительности ВВ на основе ТАТБ от его состояния перед фронтом УВ. Изменения в модели коснулись формулы, отвечающей за плотность рождения горячих очагов и выгорание на фронте ударной волны, а также алгоритма выделения фронта УВ и анализа состояния вещества перед фронтом УВ. Реализованная модификация модели кинетики МК протестирована на широком диапазоне имеющихся во ВНИИЭФ экспериментальных данных для ВВ на основе ТАТБ при начальных плотностях 1.3 г/см3 ≤ ρ0 ≤ 1.92 г/см3 . Предложенный алгоритм позволяет автоматически учитывать состояние ВВ перед фронтом УВ и в едином подходе описывать экспериментальные данные как по сенсибилизации, так и по десенсибилизации ВВ при многократных ударно-волновых воздействиях. МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ РЕЗИНЫ И ЭПОКСИДНОЙ СМОЛЫ М. С. Воронин1 , Л. А. Мержиевский1,2 1 2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный технический университет Полимерные материалы демонстрируют сложное поведение при динамическом и ударноволновом сжатии. Особенности поведения связаны со сложной молекулярной структурой полимеров и последовательной сменой механизмов необратимого деформирования, зависящих от приложенной нагрузки. В данной работе для описания динамического деформирования резин и эпоксидной смолы строится модель вязкоупругого тела, основанная на максвелловских представлениях о механизмах необратимого деформирования. Для ее замыкания построены определяющие соотношения — уравнение состояния при нешаровом тензоре деформаций и зависимость времени релаксации касательных напряжений от параметров, характеризующих состояние среды. Построение зависимости для времени релаксации основывается на учете микроструктурных механизмов необратимого деформирования. В рамках сформулированной модели решен ряд задач динамического и ударно-волнового деформирования, результаты которых сравниваются с соответствующими экспериментальными данными. Работа выполнена при поддержке Интеграционного проекта СО РАН № 115 и гранта Президента РФ № НШ-5710.2010.1. Гавриленко Т. П., Ульяницкий В. Ю. 201 О ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТАНА И ПРОПАН-БУТАНА В АППАРАТАХ ДЕТОНАЦИОННОГО НАПЫЛЕНИЯ Т. П. Гавриленко, В. Ю. Ульяницкий Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Ацетилен является наиболее удобным топливом для детонационного напыления. Ацетиленокислородные взрывчатые смеси отличаются наибольшей температурой и высоким динамическим напором продуктов детонации, которые определяют разгон и разогрев частиц напыляемого порошка. При относительно малой энергии инициирования длина участка перехода горения в детонацию в этих смесях не превышает диаметра ствола. Однако использование ацетилена требует соблюдения повышенных мер безопасности, поскольку детонация в ацетиленокислородных смесях распространяется по зазорам менее 0, 1 мм и, кроме того, ацетилен способен детонировать в отсутствии окислителя. Более привлекательными в этом отношении являются метан или пропан-бутан, которые хотя и уступают ацетилену по температуре и динамическому напору продуктов детонации, зато являются существенно менее взрывоопасными при реализации процесса детонационного напыления. Главным препятствием для их эффективного использования является существенно бо́льшая протяженность участков перехода горения в детонацию (ПГД), достигающая десятков калибров канала даже в хорошо детонирующих смесях с кислородом. В данной работе проведено экспериментальное исследование перехода горения в детонацию во взрывчатых газовых смесях на основе метана, пропан-бутана и ацетилена с кислородом в каналах с постоянным и сужающимся сечением. Получены данные по ПГД для большого спектра взрывчатых газовых смесей. Разработана, экспериментально апробирована и запатентована конструкция ускорителя ПГД, который представляет собой объемную систему препятствий, размер и расстояние между которыми соизмеримы с размером ячейки детонации Чепмена — Жуге в этих смесях. Принципиальным отличием предложенной конструкции ускорителя ПГД является экспериментально установленная связь размера ячейки пространственной решетки ускорителя с размером ячейки на фронте детонации Чепмена — Жуге для конкретной взрывчатой смеси. Предложенное устройство позволяет сократить длину перехода горения в детонацию до одного калибра трубы в смесях пропан-бутана с кислородом (при содержании в смеси от 15% до 30% топлива) без увеличения габаритов установки детонационного напыления. Производительность установки при этом сохраняется, а использование пропан-бутана гарантированно обеспечивает её безопасную эксплуатацию. Установлено, что при использовании ускорителя ПГД пропан-бутан является оптимальным топливом для детонационного напыления. По динамическому напору продуктов детонации кислородные смеси пропан-бутана практически не уступают ацетиленовым и в 1,5 раза превосходят метановые. Максимальный динамический напор имеет смесь 25%ПБ+75%О2 . Следует также учитывать, что содержание пропан-бутана в смеси с кислородом, во избежание нежелательного образования сажи при выстреле детонационной установки, не должно превышать 30%. Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № НШ-5770.2010.1. Георгиевский П. Ю., Левин В. А., Сутырин О. Г. 202 ГАЗОДИНАМИКА РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН В СРЕДАХ С НЕОДНОРОДНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПЛОТНОСТИ П. Ю. Георгиевский1 , В. А. Левин2 , О. Г. Сутырин1 1 НИИ механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова 2 Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Проведено численное исследование газодинамики взаимодействия плоского скачка уплотнения с областями газа пониженной или повышенной плотности. Рассмотрены различные геометрические конфигурации областей: четверть плоскости, узкий прямоугольный слой, симметричный клин, а также эллипсоид вращения. Выявлены новые качественные характеристики взаимодействия. Выделено два класса течений — регулярные и нерегулярные. Определены тенденции изменения качественных характеристик течения при изменении определяющих параметров. Применение подробных расчетных сеток в задаче о взаимодействии ударной волны с прямоугольной областью, занятой газом пониженной плотности, исследованной ранее в [1, 2], позволило выявить новые элементы конфигурации течения, такие, как высоконапорная струя со сложной внутренней структурой и слоистый вихрь. Регулярное (а) и нерегулярное (б) взаимодействие ударной волны с четвертью плоскости, занятой газом пониженной плотности. Список литературы 1. Артемьев В.И., Бергельсон В.И., Калмыков А.А., Немчинов И.В., Орлова Т.И., Рыбаков В.А., Смирнов В.А., Хазинс В.М. Развитие предвестника при взаимодействии ударной волны со слоем пониженной плотности//Изв. РАН. МЖГ. 1988. № 2. С. 158–163. 2. Войнович П.А, Жмакин А.И., Фурсенко А.А. Моделирование взаимодействия ударных волн в газах с пространственными неоднородностями параметров// Ж. техн. физики. 1988. Т. 58. № 7. С. 1259–1267. Герасимов А. В., Коняев А. А., Пашков С. В. 203 ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО ОБОЛОЧКАМ С ЗАПОЛНИТЕЛЕМ КОМПАКТНЫМИ И УДЛИНЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ А. В. Герасимов, А. А. Коняев, С. В. Пашков НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета Исследование воздействия локальных импульсов давления, включая ударное нагружение, на оболочки с заполнителем необходимо для совершенствования защиты объектов современной техники, оценки возможных последствий аварийных ситуаций и т. д. В случае заполнителя с реакционной способностью существующие литературные данные показывают многообразие и сложность явлений, связанных с эволюцией ударной волны в детонационную. Для построения алгоритма инженерных расчетов инициирования детонации в данной работе использованы наиболее простые критерии, включающие амплитудные и временные параметры нестационарных дивергентных волн напряжений. Для описания процессов деформирования и дробления твердых тел используется модель прочного сжимаемого идеально упругопластического тела. Основные соотношения, описывающие движение прочной сжимаемой идеально упругопластической среды, базируются на законах сохранения массы, импульса и энергии и замыкаются соотношениями Прандтля — Рейсса при условии текучести Мизеса. Уравнение состояния берется в форме Тета и Ми — Грюнайзена. Кроме ряда различных факторов, характер разрушения реальных материалов определяется также естественной гетерогенностью структуры, которая влияет на характер распределения физико-механических характеристик по объему рассматриваемого объекта. Поэтому для адекватного моделирования процесса дробления, отражающего реальную картину поведения разрушаемых тел, полученную в экспериментах, необходим учет неоднородности структуры материала в уравнениях механики деформируемого твердого тела, что реализуется внесением случайного распределения начальных отклонений прочностных свойств от номинального значения в физико-механические характеристики тела. Достижение эквивалентной пластической деформацией своего предельного значения используется в качестве критерия разрушения при интенсивных сдвиговых деформациях. Для расчета упругопластических течений применялась методика, реализованная на тетраэдрических ячейках и базирующаяся на совместном использовании метода Уилкинса для расчета внутренних точек тела и метода Джонсона для расчета контактных взаимодействий. Разбиение трехмерной области на тетраэдры происходит последовательно с помощью подпрограмм автоматического построения сетки. В работе проведено исследование влияния скорости соударения, материала ударника, оболочки и заполнителя, а также угла подхода ударника к оболочке на напряженно-деформированное состояние и разрушение системы оболочка–заполнитель. Работа выполнена при частичном финансировании по программе Минобрнауки РФ “Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 годы)” (проект РНП 2.1.2. 2509) и частичной поддержке гранта РФФИ № 09-08-00662а. Грязнов Е. Ф., Бойко М. М. 204 О ПЛАСТИЧНОСТИ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ВЗРЫВНОМ НАГРУЖЕНИИ Е. Ф. Грязнов, М. М. Бойко Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Исследованию пластических свойств металлических оболочек, нагружаемых взрывом, посвящены многие работы, в большинстве из которых отмечается заметное повышение уровня пластичности в динамических условиях, характерных для взрывного нагружения: увеличение скорости деформаций ε̇ приводит к росту деформации разрушения. Данное явление в [1] названо динамической сверхпластичностью и объясняется равномерным распределением деформаций по сечению стенки оболочки. В [2] и ряде последующих работ показано, что при ε̇ ≈ 104 с−1 в стальных оболочках достигается максимум деформации разрушения, названный авторами “пиком пластичности”. В качестве характеристики пластичности в отмеченных известных работах использовался радиус разрушения оболочек, который определялся экспериментально с применением либо высокоскоростной оптической, либо рентгеноимпульсной съемки. Радиус разрушения фактически эквивалентен одной из стандартных характеристик пластичности — относительному удлинению, то есть характеристике, являющейся нестабильной и существенно зависящей от размеров образца. Сравнительное обобщение результатов известных работ, в которых за критерий оценки пластичности принято относительное удлинение, показало, что у многих металлов (сталей и цветных металлов) действительно наблюдается заметное увеличение уровня динамического относительного удлинения по сравнению со статическим. Причем данная тенденция становится более яркой с понижением статической пластичности. Однако, если за критерий пластичности принять другую стандартную характеристику — относительное сужение, то практически во всех известных работах, включая результаты авторов настоящей работы, наблюдается обратная картина: уровень динамического относительного сужения, определяемого по толщине фрагментов оболочек, лежит ниже статического. Основные причины столь явного противоречия связаны, с одной стороны, с некорректностью выбора критерия пластичности, а именно радиуса разрушения, а с другой стороны, неучетом ряда факторов, влияющих на величину деформации разрушения. Основным из этих факторов является существенно неравномерное распределение деформации в стенке оболочки. В настоящей работе теоретически и экспериментально исследовано распределение деформаций по слоям стенки оболочки в процессе ее деформирования. Получены кривые распределения деформаций в радиальном направлении. В частности, для толстой оболочки с относительной толщиной стенки δ̄ = 0.2 (δ̄ = δ0 /D, δ0 и D — начальная толщина стенки и внешний диаметр оболочки) деформации тонкого слоя, прилегающего к внутренней поверхности оболочки, более чем в 2.5 раза выше, чем у тонкого наружного слоя. Экспериментальное исследование распределения деформации в стальных оболочках проведено микроструктурным методом измерения деформаций [3]. Установлено, что в слоях, прилегающих к внутренней поверхности, уровень деформации заметно выше, чем в срединных и наружных слоях оболочки и существенно превышает статические характеристики пластичности. В срединных и внешних слоях динамический уровень, наоборот, ниже статического. Сопоставление экспериментальных и расчетных распределений деформаций позволило построить (R − t)-диаграмму процесса разрушения оболочки в ее поперечном сечении, определить место зарождения и направление развития трещин. В настоящей работе проведено также исследование уровня пластичности оболочек для двух сталей (сталь 10 и 45) в широком диапазоне скоростей деформаций (ε̇ ≈ 0.35÷5.5· 105 с−1 ), при этом в качестве критерия пластичности использовалась величина относительного сужения. Широкий диапазон значений ε̇ достигнут за счет изменения толщины стенки (0.2÷10.0 мм) Дудко О. В., Лаптева А. А. 205 и применения взрывчатых веществ, значительно различающихся по своим детонационным параметрам. Полученные зависимости деформации разрушения от ε̇ имеют ярко выраженный максимум (при ε̇ ≈ 0.6 ÷ 0.7 · 105 с−1 ), при этом максимальный уровень динамической пластичности не превышает статического уровня. Снижение уровня пластичности при высоких значениях ε̇ сопровождается сменой механизма разрушения: при увеличении ε̇ радиальноотрывной тип растрескивания меняется на чисто сдвиговый с заметным увеличением объема зон локализации деформаций, при наиболее высоких значениях ε̇ локализация деформаций, по-видимому, является доминирующей, при этом наряду с локализованным сдвигом наблюдается принципиально новый тип локализации — отрыв с образованием “шейки”. Определение относительного сужения по толщине фрагмента в зоне шейки (как при статических испытаниях) показало, что уровень пластичности сталей при ε̇ > 5 · 105 с−1 существенно превосходит статические характеристики. Основной причиной столь заметного повышения пластических свойств сталей является нагрев оболочек в процессе деформирования. Выполненные оценки показали, что в оболочках средней толщины температура достигает в среднем 600–800◦ С, в зонах локализации она заметно выше 1200–1400◦ С, а во многих случаях достигает уровня температуры плавления. Список литературы 1. Физика взрыва. Изд. 3-е, исправленное/Под ред. Орленко Л.П., М.: Физматлит, 2004, т. 2. 2. Иванов А.Г. Особенности взрывной деформации и разрушения труб//Проблемы прочности. 1976. № 11. 3. Смирнов-Аляев Г.А. Сопротивление материалов пластическому деформированию. 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд., 1978. ОДНОМЕРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СДВИГОВЫХ РАЗНОПОЛЯРИЗОВАННЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ О. В. Дудко, А. А. Лаптева Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Решение краевых задач ударного динамического деформирования твердых тел часто вызывает существенные затруднения, связанные с определением волновых картин, распространяющихся по деформируемому материалу. В каждом отдельном случае могут возникать различные сочетания поверхностей как сильных, так и слабых разрывов деформаций. Взаимодействие таких фронтов с преградами и между собой вносит свои особенности в решение задач. В представленном исследовании рассматривается одномерная автомодельная задача динамики нелинейной несжимаемой упругой среды о взаимодействии двух идущих навстречу друг другу плоских сдвиговых ударных волн, поляризованных в различных плоскостях. Введенное предположение об отсутствии объемных деформаций позволяет рассматривать только один класс поверхностей разрывов — волны изменения формы. Одной из целей настоящего исследования является установление факторов, позволяющих заранее, возможно, на этапе постановки задачи, определить количество и характер возникающих поверхностей разрывов. Показано, что результатом взаимодействия могут являться отраженные волновые картины (в виде двух пакетов, движущихся в противоположных направлениях), состоящие либо из Ершов А. П., Сатонкина Н. П., Пластинин А. В., Прууэл Э. Р. 206 четырех ударных волн, либо двух групп из ударного и простого фронтов, либо трех ударных и одной простой волны Римана. Другой целью исследования является определение влияния на характер волновых фронтов краевых параметров задачи — модуля волнового вектора разрывов сдвиговых деформаций и угла между плоскостями поляризации взаимодействующих ударных волн. Анализ возможных волновых картин проводится при помощи математического аппарата теории особых поверхностей [1]. Работа выполняется при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00001-a). Список литературы 1. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. ПРОФИЛЬ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ЭМУЛЬСИОННОГО ВВ А. П. Ершов, Н. П. Сатонкина, А. В. Пластинин, Э. Р. Прууэл Институт гидродинамики им. М А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск В результате предыдущих исследований было выяснено, что в конденсированных ВВ зона реакции и ширина пика электропроводности близки [1]. Сейчас широкое распространение и практическое применение получили эмульсионные ВВ. Но этот объект сложен для исследования традиционными методами. Поэтому, исследуя электрические свойства данного ВВ, можно получить информацию о детонационной волне, недоступную при исследовании другими методами. Методом высокого разрешения проведено исследование эмульсионного ВВ при разном процентном содержании сенсибилизирующей добавки. Обнаружена сильная зависимость формы профиля электропроводности от состава ВВ. Получены широкие (по сравнению с другими конденсированными ВВ) области повышенной электропроводности. Считая, что зона повышенной электропроводности следит за зоной химической реакции, можно сделать следующие выводы: — Полученная величина максимальной электропроводности слабо зависит от состава ВВ и составляет 0.3–0.4 Ом−1 см−1 . — Ширина пика увеличивается с уменьшением содержания сенсибилизатора и составляет порядка нескольких микросекунд. — Значение максимальной электропроводности нельзя объяснить проводимостью воды, которая при данных давлениях меньше полученного в эксперименте значения на четыре порядка. Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП ГК № П 412, Лаврентьевского молодежного проекта 4.5. Ждан С. А., Сырямин А. С. 207 Список литературы 1. А.П.Ершов А.П., Сатонкина Н.П., Иванов Г.М. Профили электропроводности в плотных взрывчатых веществах Химическая физика. 2007, Т. 26, № 12. РАСЧЕТ НЕПРЕРЫВНОЙ ДЕТОНАЦИИ В НЕСТЕХИОМЕТРИЧЕСКИХ Н2–О2 СМЕСЯХ С. А. Ждан1 , А. С. Сырямин2 1 2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Альтернативой традиционному сгоранию топлив в турбулентном пламени может рассматриваться детонационный способ их сжигания в поперечных детонационных волнах (ПДВ). К настоящему времени в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева реализованы и исследованы [1] режимы с непрерывно вращающейся детонационной волной в кольцевых камерах сгорания типа ЖРД. В работе [2] в двумерной нестационарной постановке сформулирована математическая модель непрерывно вращающейся детонации в кольцевой цилиндрической камере сгорания, численно исследована динамика волны для стехиометрической водородокислородной смеси. В докладе рассмотрено обобщение постановки [2] на нестехиометрические водородокислородные смеси и приводится анализ результатов ее численного исследования. При заданных термодинамических свойствах компонентов смеси решение нестационарной задачи о непрерывной вращающейся детонации в кольцевой камере сгорания зависит от шести определяющих параметров: pm /p0 , Tm /T0 , S∗ /S, L/l, l и φ. Здесь первые три — безразмерные параметры в системе подачи: pm /p0 — давление торможения смеси, Tm /T0 — температура торможения смеси, S∗ /S — отношение площадей критического и выходного сечений форсунок; два масштабных фактора (длина камеры L и ее периметр l) и коэффициент избытка горючего φ. При численном моделировании установлено, что для сверхкритических параметров инициирования детонации реализуется периодическое газодинамическое течение с вращающейся ПДВ. Определено собственное число задачи — минимальный период lmin в зависимости от φ. Рассчитаны и проанализированы двумерные структуры ПДВ для бедной (φ = 0.5) и богатой (φ = 2) по горючему Н2 — О2 смеси, качественно согласующиеся со структурой ПДВ в стехиометрической смеси. Показано, что в кольцевой цилиндрической камере сгорания типа ЖРД удельный импульс на единицу массы горючего Isp монотонно увеличивается с уменьшением параметра φ. Причем для бедной смеси (φ = 0.5) он достигает значения Isp = 3584 сек, что в 1,5 раза больше, чем для стехиометрической водородокислородной смеси. Проведено сравнение с экспериментами и получено удовлетворительное соответствие по скорости детонации и давлению в камере и заметное отличие по размерам и форме ПДВ. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-00174) и гранта Президента РФ № НШ-5770.2010.1. Список литературы 1. Bykovskii F. A., Zhdan S. A. and Vedernikov E. F. Continuous Spin Detonations. J. of Propulsion and Power. 2006. Vol. 22, No. 6. P. 1204–1216. 2. Ждан С. А., Быковский Ф. А., Ведерников Е. Ф. Математическое моделирование вращающейся волны детонации в водородно-кислородной смеси. Физика горения и взрыва. 2007. Т. 43. № 4. С. 90–101. Злобин С. Б., Ульяницкий В. Ю. 208 ВЗРЫВНОЕ НАГРУЖЕНИЕ РЕАКЦИОННОСПОСОБНОЙ СМЕСИ: ЭКСПЕРИМЕНТ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ С. А. Зелепугин1 , О. В. Иванова1 , А. С. Юношев2 , В. В. Сильвестров2 1 2 Отдел структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск В данной работе экспериментально с рентгено-импульсной регистрацией динамики процесса и численно методом конечных элементов с использованием модели многокомпонентной среды исследуются особенности поведения пористой реакционноспособной смеси Al-S, помещенной в цилиндрическую ампулу, в условиях взрывного нагружения. Проведенными экспериментами по взрывному компактированию реагирующей пористой смеси Al–S, помещенной в стальную цилиндрическую ампулу сохранения, установлено, что процесс синтеза сульфида алюминия (Al2 S3 ) существенно зависит от дисперсности компонентов и условий подготовки смеси. Химическая реакция синтеза в реагирующей пористой многокомпонентной смеси описывается с помощью феноменологической модели химических превращений, основанной на кинетике нулевого порядка, причем обратных превращений нет. Химическая реакция в данных условиях является вынужденной, инициируется и протекает при выполнении критерия по давлению или по температуре. В рамках модели многокомпонентной среды компоненты смеси взаимодействуют друг с другом, обмениваясь количеством движения, энергией и при наличии химических реакций — массой. В качестве условия совместного деформирования компонентов выбрано условие равенства давлений компонентов смеси. Анализ численных результатов показал, что в верхней части ампулы химическая реакция инициируется в ударной волне, а протекает и завершается уже за фронтом ударной волны. В данном случае амплитуды и длительности ударной волны недостаточно для полного протекания химической реакции за время действия ударной волны. При отражении ударной волны от нижней крышки ампулы химическая реакция инициируется и протекает непосредственно в ударной волне. Высокая скорость тепловыделения в ходе химической реакции в нижней части ампулы приводит к образованию газовой фазы, что в свою очередь ведет к росту давления в данной области и разрушению ампулы, причем, как показывают эксперименты и численные расчеты, процесс разрушения инициируется в нижней части ампулы. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-08-99059) и гранта Президента РФ № НШ-5770.2010.1. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЧАСТИЦ ПРИ ДЕТОНАЦИОННОМ НАПЫЛЕНИИ С. Б. Злобин, В. Ю. Ульяницкий Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Современные численные методы позволяют уже достаточно точно моделировать непрерывные процессы нанесения покрытий, такие как HVOF, Plasma and Cold Spray, и достоверно прогнозировать параметры частиц. Существуют экспериментальные методики регистрации скорости и температуры частиц в таких процессах. Измерения этих параметров в условиях детонационного напыления существенно усложняются в силу импульсного характера процесса. Иванова Ю. Е., Рагозина В. Е. 209 В данной работе исследовались параметры частиц в условиях детонационного напыления. Эксперименты проводились на компьютеризированном детонационном комплексе CCDS, разработанном в ИГиЛ СО РАН. Особенностью комплекса является импульсный вброс порошка в ствол, при котором частицы локализованы в узкой области на заданном расстоянии от открытого конца ствола. Измерения проводились с помощью диагностического оборудования на базе CCD-камеры, разработанного в лаборатории DIPI ENISE (Сент-Этьен, Франция), позволяющего регистрировать поток вылетающих из ствола частиц порошка. Для исследований были выбраны порошки преимущественно сферической формы, сильно отличающиеся по физическим свойствам, прежде всего по плотности: Ti — 4,5 г/см3 , Inox 316L — 8 г/см3 и WC/Co (88/12) — 15 г/см3 . Порошки рассеивались на фракции: 0 ÷ 20, 20 ÷ 40 и 40 ÷ 50 микрон. Величина заряда взрывчатой газовой смеси (C2 H2 +1.05 O2 ) варьировалась в диапазоне 40 ÷ 80% от полного объема ствола. Съемка велась с экспозицией 10 микросекунд с вариацией места съемки вне ствола в диапазоне 0 ÷ 900 мм. Для управления синхронизацией фотосъемки сигнал от инициирующего разряда подавался на камеру через стандартный генератор с задержкой, регулируемой в диапазоне 0 ÷ 100 миллисекунд. Для контроля синхронизации напротив камеры устанавливался фотоэлемент, регистрировавший интегральный импульс свечения газопорошкового потока, который записывался вместе с синхроимпульсом на осциллографе. Последовательные фотографии треков частиц показывают ярко выраженную стратификацию по скоростям частиц в “пакете”. Длительность свечения частиц на выходе из ствола составляет 1 ÷ 2 миллисекунды, что при характерной скорости частиц 400 м/с соответствует пространственной протяженности пакета 400 ÷ 800 мм. Сравнение с расчетом по численной модели показывает хорошее совпадение экспериментально измеренных скоростей частиц на срезе ствола с теоретическими значениями. Например, для частиц размером 40 ÷ 50 мкм на всех изученных материалах разница не превышает 10%. Результаты второй серии экспериментов по анализу внешней баллистики детонационного напыления показывают, что относительно “тяжелые” частицы WC/Co практически не меняют свою скорость на дистанции до 500 мм за пределами ствола и только затем начинают медленно тормозиться. Скорость “средних” по плотности частиц Inox в середине пакета немного увеличивается, достигая максимума на дистанции около 400 мм, после чего наступает резкое торможение. Скорость “легких” частиц Ti на короткой дистанции (до 200 мм) увеличивается почти на 30%, после чего наступает замедление. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00433-а, проекта СО РАН № 82 и гранта Президента РФ № НШ-5770.2010.1. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ УДАРНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ Ю. Е. Иванова, В. Е. Рагозина Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Возникновение и движение ударных волн в твердом теле — процесс, нелинейный по своей сути, поэтому его достоверное математическое описание возможно только в рамках нелинейной модели. При этом даже для простейших моделей, таких как нелинейно упругий изотропный материал, необходимо учитывать взаимосвязь объемного и сдвигового деформирования, а также зависимость скоростей ударных волн от строящегося решения и поля предварительных деформаций. Перечисленные факторы обуславливают необходимость применения Иванова Ю. Е., Рагозина В. Е. 210 приближенных методов решения, как численных, так и аналитических. Применение метода сращиваемых асимптотических разложений к одномерным задачам объемного ударного деформирования приводит к эволюционному уравнению квазипростых волн (уравнение Хопфа) в прифронтовой области ударной волны. В данном сообщении основной интерес сосредоточен на описании закономерностей чисто поперечных волн, поэтому моделью среды выбран нелинейно-упругий несжимаемый изотропный материал. Необходимо отметить, что изучение решений эволюционных уравнений волновых процессов в твердом теле обычно предполагало наиболее простой вид краевых условий: перемещения на границе считались квадратичными функциями времени, а для поперечных волн в решении эволюционного уравнения учитывались только линейные по времени слагаемые. В данном сообщении предлагается новый вариант интегрирования эволюционных уравнений динамических задач ударного деформирования в нелинейно упругих несжимаемых средах. Данный подход связан с включением в решение наряду с основными независимыми пространственно-временными переменными еще одной переменной, играющей роль параметра, который сохраняет свое значение вдоль характеристических направлений. Этот метод позволяет построить большое число решений одномерных краевых задач при различных условиях нагружения на границе. Поскольку в прифронтовой области ударной волны основные изменения в решении связаны с производной в направлении нормали к волновому фронту, то для неодномерных задач в этой области также следует эволюционное уравнение. Его структура должна учитывать наличие переменной кривизны волнового фронта, также в основном приближении координата эйконала входит в него только как параметр. Дифференциальный оператор, соответствующий плоским волнам, переходит и в эволюционные уравнения неодномерных процессов. Это определяет возможность дальнейшего обобщения предлагаемого метода на случай многомерного ударного деформирования. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00001-а). ЭВОЛЮЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН, СОЗДАННЫХ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ОБЩЕГО ВИДА Ю. Е. Иванова, В. Е. Рагозина Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток Одномерный процесс объемного ударного деформирования в твердом теле в прифронтовой области переднего фронта волны описывается решениями уравнения Хопфа, известного также как нелинейное уравнение квазипростых волн. Этот факт подтверждает схожесть механизма объемного деформирования в твердых телах и жидкостях и газах. В отличие от газовой динамики, в твердом теле деформирование приводит и к появлению сдвиговых ударных волн, закономерности движения которых изучены намного меньше. В общем случае процессы объемного и сдвигового деформирования в упругих средах оказываются взаимосвязанными. С целью изучения чисто сдвиговых волн в сообщении рассматриваются одномерные задачи, возникающие при ударном нагружении границы нелинейно упругого изотропного полупространства. Показано, что применение метода сращиваемых асимптотических разложений в прифронтовой области ударной волны сводит задачу к решению нелинейного волнового уравнения первого порядка, в котором угол наклона характеристик зависит от квадрата интенсивности волны, а не первой степени, как в уравнении Хопфа v,n + αv 2 v,p = 0, v = v(n, p), α = const. (1) Иоилев А. Г., Краюхин А. А., Стадник А. Л. 211 Это простое математическое обстоятельство приводит к существенным различиям в процессах образования и последующего движения объемных и сдвиговых ударных волн. В сообщении предлагается несколько методов определения поля перемещений задачи с помощью решений эволюционного уравнения (1). Они иллюстрируются конкретными примерами различных краевых условий на границе полупространства. Если в рассматриваемых одномерных процессах учитывается ненулевая кривизна волнового фронта, либо диссипация или дисперсия в процессе распространения граничного возмущения, то это приводит к соответствующим волновым эволюционным уравнениям, уточняющим изучаемое здесь сдвиговое уравнение. Можно показать, что применение метода малого параметра в неодномерных задачах ударного деформирования в прифронтовой области ударной волны приводит на нулевом шаге к сходному эволюционному уравнению. В этом уравнении основная пространственная координата выбрана вдоль луча, координата эйконала является параметром уравнения. Сравнительная простота строящихся решений позволяет их использовать для разработки схем численного счета в задачах, связанных с интенсивными воздействиями. Отметим, что такие схемы позволяют точно указать положение переднего фронта ударной волны. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00001-а). ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ПРОНИКАНИЯ ТРУБЧАТЫХ УДАРНИКОВ В БЕТОН А. Г. Иоилев, А. А. Краюхин, А. Л. Стадник Российский федеральный ядерный центр — ВНИИЭФ, Саров С помощью эйлеровой методики ЭГАК проведено двумерное численное моделирование внедрения трубчатых стальных ударников в преграду из бетона при нормальном ударе со скоростью V0 = 3 км/с. В сериях расчетов варьировались геометрические параметры ударника: длина L от 5 до 10 см, радиус R от 0.5 до 1.118 см, толщина стенки h от 0.118 до 0.309 см (относительное удлинение L/2R от 2.24 до 10, относительная толщина стенки h/R от 0.106 до 0.592); для сравнения рассмотрены также два стержневых ударника длиной L = 5 см и радиусом R = 0.5 и 0.1545 см (L/2R = 5 и 16.18). Для описания динамического поведения стали использовалась упругопластическая модель Джонсона — Кука, для бетона — модель с учетом разупрочнения при разрушении. Результаты проведенных расчетов показали следующее: 1. Процесс внедрения трубчатого ударника, как и стержневого, можно разделить на четыре характерных участка: ударно-волновая стадия, стадия гидродинамического срабатывания, стадия пластического деформирования и стадия движения остатка ударника в виде жесткого тела (для трубчатых ударников остаток весьма незначителен, поэтому быстро останавливается). Исследована зависимость скорости срабатывания ударника от времени. 2. Каверна имеет бочкообразную форму — сечение максимального диаметра находится на некоторой глубине от лицевой поверхности преграды. Исследована зависимость глубины и объема каверны от относительной толщины стенки h/R. 3. В процессе проникания трубчатого ударника формируется осевой выброс материала преграды через полость ударника, состоящий из толстого “столба” и тонкой “струи”. Причиной формирования “струи” является схлопывание материала преграды на оси симметрии на ударно-волновой стадии внедрения. Массовая скорость вещества в “струе” Канель Г. И., Разоренов С. В., Фортов В. Е. 212 направлена против движения ударника и имеет максимум у своей вершины, величина которого определяется только отношением h/R и уменьшается с ростом последнего. Формирование “столба” обусловлено продавливанием материала преграды через внутреннюю полость в ударнике на квазистационарном этапе внедрения (стадии гидродинамического срабатывания и пластического деформирования ударника); в “столбе” отсутствует существенный осевой градиент массовой скорости. Величина и направление массовой скорости в осевом “столбе” определяются конкуренцией двух противоположно действующих факторов: разгон материала преграды на фронте УВ, движущейся по преграде перед ударником, и затекание материала преграды во внутреннюю полость ударника. Вклад этих факторов зависит от скорости удара, свойств материалов трубки и преграды, а также от поперечных размеров ударника h и R; при определенных условиях материал в осевом “столбе” может двигаться в сторону, противоположную направлению удара. ТЕМПЕРАТУРНО-СКОРОСТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЮ И РАЗРУШЕНИЮ МЕТАЛЛОВ В УСЛОВИЯХ УДАРНО-ВОЛНОВОГО НАГРУЖЕНИЯ Г. И. Канель1 , С. В. Разоренов2 , В. Е. Фортов1 1 2 Объединенный институт высоких температур РАН, Москва Институт проблем химической физики РАН, Черноголовка Исследования температурных зависимостей сопротивления деформированию и разрушению металлов и сплавов при высоких скоростях деформирования позволяют изучить основные закономерности движения носителей пластической деформации — дислокаций, выявить определяющие факторы и закономерности формирования и развития поврежденностей в материале. Эти сведения нужны для понимания механизмов локализации деформации в полосах адиабатического сдвига, оптимизации режимов механической обработки материалов, а также для решения задач высокоскоростного удара и пробивания. В докладе представлены новые и обобщаются опубликованные ранее результаты измерений динамического предела упругости и откольной прочности при ударно-волновом нагружении металлов и сплавов. Подтверждено аномальное термическое упрочнение алюминия, меди, ионных кристаллов и других кристаллических материалов с низким пределом текучести в условиях высокоскоростного деформирования. Эффект связан со сменой основного механизма торможения дислокаций. Анализ затухания предвестников показывает, что смена основного механизма торможения дислокаций происходит при скорости деформирования примерно (1 ÷ 5) · 103 c−1 , что согласуется с результатами измерений методом стержней Гопкинсона. Сопротивление высокоскоростному разрушению (откольная прочность) менее чувствительно к температуре, чем это можно было бы ожидать. С увеличением скорости деформирования величина разрушающего напряжения возрастает и в наносекундном диапазоне длительностей становится сравнимой со значением так называемой идеальной прочности, то есть максимально возможного растягивающего напряжения в твердом теле. Монокристаллы демонстрируют обычно вдвое большие значения откольной прочности, чем поликристаллические металлы, что объясняется более легким зарождением разрушений на границах зерен. Тем не менее, измерения показывают, что с уменьшением размера зерна откольная прочность поликристаллических металлов возрастает. Карпенко И. И. и др. 213 ФИЗИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СКОРОСТИ РОСТА ГОРЯЧИХ ТОЧЕК В ИНИЦИИРОВАНИИ ДЕТОНАЦИИ И. И. Карпенко, В. Г. Морозов, В. Б. Титова, Ю. В. Янилкин, Б. М.Жогов, О. Н.Чернышова Российский федеральный ядерный центр — ВНИИЭФ, Саров Концепция горячих точек (ГТ) и очаговый механизм инициирования детонации — базовые представления современной физики взрыва. Твердые ВВ негомогенны: поры и трещины, границы зерен и границы раздела фаз. Гетерогенность требует рассчитывать переносы массы и энергии в соответствии с принципами механики сплошной среды и термодинамики. В общем случае задача настолько сложна, что единственной альтернативой является численное моделирование, где процессы идентифицируются по степени важности и характерным временам. Взаимодействие ударной волны (УВ) с дефектами структуры твердых гетерогенных ВВ приводит к неоднородности деформации сжатого объема ВВ, локализации и диссипации энергии в отдельных очагах, горячих точках, в которых начинается процесс реакции разложения ВВ. Развиваясь в дальнейшем, они приводят к макроскопическому взрыву. Условно картину инициирования гетерогенных ВВ можно представить поэтапно: 1. Формирование горячих точек — стадия от момента сжатия ВВ ударной волной до начала химической реакции в локальных очагах. 2. Рост горячего очага (ГТ) — развитие реакции разложения в окружающем ВВ. 3. Взаимодействие и быстрое слияние очагов — быстрое завершение реакции при высокой температуре и давлении в момент, когда реагирующие области начинают сливаться, что и обеспечивает быстрый переход к самоподдерживающемуся стационарному детонационному процессу (собственно взрыв). Время индукции детонации определяется характерным временем второго этапа — роста ГТ до их соприкосновения. При характерных размерах гранул ВВ ∼ 100 микрон и характерном времени индукции детонации ∼ 1 мкс, скорость роста ГТ должна быть не менее 50 ÷ 100 м/с. Это гораздо выше скорости обычного послойного горения. В докладе рассмотрены возможные физические механизмы роста ГТ. Построено квазиавтомодельное решение задачи о горении ГТ в сжатом ВВ после прохождения УВ. Рассмотрена изобарическая газодинамика с горением по закону Аррениуса. Определяющим механизмом переноса энергии является турбулентность, которая возникает из-за многомерности процесса горения и роста ГТ и вследствие газодинамической сдвиговой неустойчивости на фронте горения. Благодаря большой интенсивности турбулентного перемешивания такие течения обладают повышенной способностью к передаче теплоты, ускоренному распространению химических реакций, в частности, горения. Представлены двумерные расчеты роста ГТ с использованием (k −ε) — модели турбулентности и трехмерные расчеты с прямым численным моделированием развития неустойчивости и эволюции горячего очага с учетом турбулентности и теплопроводности в методике ЭГАК3D. Задача рассмотрена с момента формирования ГТ за счет сильного разогрева сжатого в порах газа под действием ударной волны и его эволюция. Показано, что только одновременное включение в расчеты турбулентности и теплопроводности обеспечивает ожидаемую скорость роста ГТ. Для подтверждения полученной картины проведены расчеты в двумерной программе МЕДУЗА с использованием вихревой подсеточной модели турбулентности. Полученная в процессе численного моделирования скорость роста ГТ более 100 м/сек подтверждает гипотезу о турбулентном механизме переноса энергии в процессе роста горячих Киселев С. П. 214 точек при инициировании детонации. Физическая картина выглядит так: под действием УВ и в результате вихревого течения крупномасштабные частицы дробятся до мелких размеров и перемешиваются. Основной процесс энергопереноса в пространстве происходит турбулентно, при этом за счет развитой поверхности контакта ВВ и продуктов разложения (ПВ) успевает происходить прогрев ВВ посредством молекулярной теплопроводности (передача энергии от ПВ) и эффективно продолжается реакция разложения (горение с теплопроводностью с поверхности мелких частиц). МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ НАНОКОМПОЗИТОВ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ C. П. Киселев Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, Новосибирск В работе представлены результаты численного моделирования методом молекулярной динамики (МД) процесса разрушения нанокомпозитов. Исследовалось два типа нанокомпозитов. Нанокомпозит первого типа состоял из медной матрицы, содержащей цилиндрические включения из молибдена. Нанокомпозит второго типа состоял из медной матрицы, содержащей цилиндрические включения из вольфрама. В расчетах методом МД моделировалось поведение “ячейки” нанокомпозита, содержащей одно включение, при ее растяжении. Ячейка представляла собой прямоугольный параллелепипед, на боковых границах которого ставилось условие периодичности (вдоль оси x), которое позволяло моделировать влияние соседних включений. Боковые грани параллелепипеда, перпендикулярные оси y, были свободны от напряжений. Верхняя и нижняя грани параллелепипеда растягивались в противоположные стороны вдоль оси z с постоянной скоростью. Методом МД рассчитывались координаты и скорости всех атомов, после чего находились средние деформации и напряжения в “ячейке”. Взаимодействие между атомами в ячейке описывалось с помощью многочастичного МЕАМ потенциала (M. Baskes, 1992). Показано, что разрушение нанокомпозитов происходит в более мягкой медной компоненте. Разрушению предшествовала значительная пластическая деформация, которая приводит к локализации деформации, образованию шейки и разрушению нанокомпозита. Пластическая деформация происходила путем сдвигов, которые зарождались вблизи контактной границы матрица — включение, где за счет несовместности решеток матрицы и включения имелись значительные внутренние напряжения, связанные с нарушениями кристаллических решеток. Наличие более прочных включений из вольфрама и молибдена приводит к увеличению прочности нанокомпозита по сравнению с прочностью поликристаллической меди. Расчеты растяжения нанокомпозита с разной скоростью показали, что прочность нанокомпозита возрастает при увеличении скорости деформации материала. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 08-01-00108-а) и Интеграционного проекта СО РАН № 40. Князева А. Г., Тян А. В. 215 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ В ДВУХСЛОЙНОМ МАТЕРИАЛЕ С УЧЕТОМ ВНУТРЕННИХ МЕХАНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ А. Г. Князева1 , А. В. Тян2 1 2 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск Томский государственный университет Изучение диффузии в многокомпонентных и многослойных материалах является комплексной многофакторной проблемой. Диффузионные процессы в трехкомпонентных системах в отличие от процессов в двухкомпонентных системах имеют свои особенности, которые приходится учитывать при построении математических моделей данных систем. В частности, перекрестные потоки, когда диффузия одного элемента влияет на диффузию другого элемента, следует описывать методами неравновесной термодинамики. В экстремальных условиях электронно-лучевых воздействий, когда за малые времена (порядка 10−6 c) происходит локальный разогрев поверхности материала вплоть до температуры его плавления, математическое моделирование приобретает важное значение для оценки глубины и характера прогрева и характеристик диффузионной зоны, а также для выбора технологических параметров электронно-лучевой обработки. В литературе (см., например, работы П.Н. Захарова, А.П. Мокрова, М.А. Криштала и др.) подробно изучены различные многокомпонентные железистые сплавы, получены оценки парциальных коэффициентов диффузии. При этом, как правило, авторы принимают условия постоянства температуры, а в случае многослойной системы — условия малого перепада концентраций на границе материалов, что в итоге позволяет им либо пренебречь зависимостью коэффициента диффузии от концентрации (то есть принять коэффициенты диффузии постоянными), либо пренебречь перекрестными эффектами. В настоящей работе предложена связанная математическая модель трехкомпонентной диффузии в двухслойном сплаве. На внешней поверхности образца моделируются условия, соответствующие импульсной электронно-лучевой обработке. На внутренней границе раздела двух областей с существенно различающимися механическими, диффузионными и теплофизическими свойствами приняты условия идеального контакта. В начальный момент времени на внутренней границе раздела областей имеем ступенчатый перепад концентраций диффундирующих компонентов. В модели учитываются перекрестные потоки, зависимость парциальных коэффициентов диффузии от температуры и влияние на диффузию внутренних механических напряжений и деформаций, возникающих вследствие изменения температуры и различия мольных объемов компонентов. Задача исследуется в безразмерных переменных методом конечных разностей. Численные расчеты позволяют получать распределения температуры, концентраций диффундирующих элементов, напряжений и деформаций по глубине материала в различные моменты времени, зависимости осредненных характеристик от времени. Кроме этого, приводится оценка зон прогрева и диффузии для разных условий воздействия. Колесников С. А. и др. 216 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН В ЭМУЛЬСИОННЫХ ВВ С. А. Колесников1 , В. В. Лавров1 , В. М. Мочалова1 , Э. Р. Прууэл2 , А. В. Савченко1 , К. А. Тен2 , А. В. Уткин1 1 2 Институт проблем химической физики РАН, Черноголовка Институт гидродинамики имени М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Эмульсионные взрывчатые вещества (ЭВВ) находят широкое практическое применение, однако процесс детонации для них до сих пор остается недостаточно исследованным, а имеющиеся экспериментальные данные носят ограниченный характер. В то же время известно, что детонационные режимы ЭВВ обладают целым рядом признаков, нехарактерных для индивидуальных ВВ, как то обратной зависимостью критического диаметра заряда от плотности, существованием режимов с одинаковой скоростью фронта в зарядах одного диаметра при разной начальной плотности, немонотонным изменением скорости детонации при росте плотности состава. Также следует отметить, что ЭВВ являются гетерогенной средой с контролируемой на стадии изготовления концентрацией и распределением неоднородностей (сенсибилизирующих микросфер, выступающих в качестве “горячих очагов” при инициировании детонации) по размерам, что делает их важной модельной средой при исследовании кинетики инициирования и протекания детонационных процессов. В этой связи большой интерес представляет экспериментальное исследование структуры детонационных волн в зарядах эмульсионного ВВ различного диаметра и начальной плотности. В данной работе такое исследование проведено с использованием методов лазерной допплеровской интерферометрии и рентгеновской томографии плотности с применением синхротронного излучения. Основные измерения проводились для эмульсионной матрицы, содержащей 92–95% окислителя и 8–5% горючего, включая эмульгатор, с добавкой 3% по массе полых стеклянных микросфер марки С15 фирмы 3М со средним размером частиц 80 мкм. Плотность исследуемого ЭВВ составляла 1.07 г/см3 . Заряды ЭВВ помещались в тонкостенные пластиковые оболочки с внутренним диаметром d = 20 и 36 мм и длиной 5–6 d. Инициирование детонации осуществлялось зарядами тротила или тэна. Опыты по регистрации профилей массовой скорости детонационных волн в исследуемых зарядах ЭВВ с d = 20 и 36 мм проводились с использованием лазерного допплеровского интерферометра VISAR. Дополнительно производились опыты по измерению скорости детонации в аналогичных зарядах. Полученные результаты показывают, что детонационная волна в эмульсионном ВВ имеет зону повышенных давлений (“химпик”), предсказанную классической гидродинамической теорией детонации. Характерное время реакции для зарядов d=36 мм составляет 0.8 мкс, давление в точке Чепмена — Жуге, рассчитанное по результатам проведенных измерений, равно 7.8 ГПа. При использовании заряда меньшего диаметра d=20 мм время реакции увеличивается до 0.94 мкс, а давление в точке Чепмена — Жуге снижается до 6.2 ГПа. Плотность в этой точке равна 1.47 г/см3 , что в пределах точности измерений совпадает со значением, ожидаемым из гидродинамической теории детонации. Исследование распределения объемной плотности в детонирующем ЭВВ с применением синхротронного излучения от электронного ускорителя ВЭП-3 проводилось для зарядов с d=20 мм. Полученные данные так же показали, что детонационная волна в ЭВВ имеет “химпик”. Однако изменение плотности на восстановленных профилях плотности происходит плавным образом, без ярко выраженных изломов, поэтому точно выделить зону реакции на них оказывается сложным, и можно только сделать вывод, что ее длительность лежит в диапазоне от 0.5 до 1 мкc. При этом значения плотности на этих профилях оказались на 6% выше значения, пересчитанного из профиля массовой скорости, на фронте детонационной волны, и на 21% ниже аналогичного значения в точке 0.94 мкс, соответствующей точке Чепмена — Жуге, полученной в опытах с VISAR. Колмакова Т. В. 217 Параметры детонационной волны в заряде ЭВВ ρ0 = 1.07 г/см3 и d=20 мм. МетоD, tCJ , XCJ , ρCJ , uCJ , pCJ , uf ront , 3 дика км/с мкс мм г/см км/с ГПа км/с VISAR 4.95∗∗ 0.94 4.3 1.47 1.26 6.2 1.81∗∗∗∗ 4.6∗∗∗ СИ 4.6 0.55–0.90 2.5–4.1 1.39–1.21 1.06–0.53 5.2–2.6 2.0 ρf ront , г/см3 1.77 1.89 * Ширина зоны реакции определялась визуально по экспериментальным профилям. ** Скорость завышена из-за близости первого датчика к инициирующей линзе *** Скорость более точно измерена электроконтактными датчиками в отдельном опыте **** Экстраполяция КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ИЗЛУЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ДИНАМИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ РЕАГИРУЮЩИХ ПОРОШКОВЫХ КОМПАКТОВ Т. В. Колмакова Томский государственный университет Разработана модель физико-химических процессов синтеза композитов в химически реагирующих порошковых системах типа NiO-Al, Ni-Al. Алгоритм численного решения задач имитационного моделирования на основе созданной модели [1] обеспечивает решение связанных задач механической модификации порошковой смеси в процессе динамического нагружения, макрокинетики химических превращений, теплового баланса, фильтрации жидкой фазы и позволяет определить характеристики теплового и люминесцентного излучения поверхности порошковых компактов в режиме СВС или нагружения макроскопически плоским импульсом давления. Разделение решения связанных краевых задач достигается рассмотрением задач на разных структурных уровнях. Связанность решений этих задач достигается итерационным уточнением всех параметров модели в каждый момент времени. Теоретический прогноз изменения температуры излучения поверхности образца реагирующей смеси, получаемый по разработанной методике [1], позволяет отделить тепловое излучение от люминесцентного. Температура теплового излучения поверхности оценивается по расчетным значениям термодинамической температуры, структурных характеристик излучающего приповерхностного слоя и эффективных теплофизических параметров с использованием выражений, полученных по законам теплового излучения твердых тел. В люминесцентном излучении различаются хемилюминесценция и механолюминесценция. Хемилюминесцентное излучение является результатом экзотермических химических процессов, происходящих в реагирующих порошковых системах. Для оценки интенсивности хемилюминесцентного излучения используется скорость прироста энтальпии компонентов порошковой смеси. Механолюминисценция тыльной поверхности образца может быть вызвана откольными эффектами в моменты выхода фронтов ударной волны и волны горения на тыльную поверхность. Интенсивность механолюминисцентного излучения пропорциональна энергии, затраченной на разрушение частиц в результате неравномерного теплового расширения и откольных эффектов. Теоретическое исследование режимов синтеза и установление связи между параметрами излучения и параметрами состояния реагирующих материалов возможно после изучения Кривошеина M. Н., Кобенко С. В., Туч Е. В. 218 законов деформирования реагирующих твердых порошковых тел со структурой, механизмов взаимодействия в динамически нагруженных порошковых компактах, влияния параметров структуры и условий термомеханического воздействия на режимы, кинетику протекания физико-химических процессов в реагирующем порошковом теле и на характер излучения поверхности порошкового компакта. Разработанный подход к моделированию может быть применен для решения задач бесконтактного контроля технологических операций механоактивированного синтеза композиционных материалов и покрытий конструкционного назначения. Список литературы 1. Лейцин В. Н., Дмитриева М. А., Колмакова Т. В., Кобраль И. В. Моделирование физикохимических процессов в реагирующих порошковых материалах. Известия вузов. Физика. 2006. № 11. С. 43–48. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ С УСРЕДНЕННЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ M. Н. Кривошеина1 , С. В. Кобенко2 , Е. В. Туч1 , 1 2 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск Нижневартовский государственный гуманитарный университет Цель данной работы — исследование влияния усреднения упругих и прочностных свойств конструкционного материала на его разрушение при динамических нагрузках. В качестве численного метода используется метод конечных элементов, модифицированный Г.Р. Джонсоном для задач удара. Упругое деформирование ортотропного материала преграды описывается с помощью обобщенного закона Гука. В качестве критерия прочности используется критерий Мизеса — Хилла, позволяющий учитывать анизотропию прочностных характеристик материала. Проведено численное моделирование нормального ударного нагружения преград из конструкционных ортотропных материалов стальными ударниками различных форм со скоростями 200 и 600 м/с. Результаты сравнивались с результатами моделирования ударного нагружения преграды из материала с усредненными упругими (по методу Фогта — Рейсса — Хилла) и прочностными характеристиками. В работе проанализирована возможность усреднения упругих и прочностных характеристик ортотропных материалов для моделирования напряженно-деформированного состояния анизотропных преград при ударном нагружении. Для материалов, имеющих высокую степень анизотропии, учет анизотропии упругих и прочностных характеристик при скоростях нагружения 200÷600 м/с приводит к появлению в расчетах дополнительных зон разрушения, образующихся при растяжении и сжатии материала, которые отсутствуют в материале с усредненными свойствами. Левин В. А., Мануйлович И.С., Марков В. В. 219 ВОЗБУЖДЕНИЕ ГОРЕНИЯ И ДЕТОНАЦИИ ТОРОИДАЛЬНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ РАЗРЯДОМ В. А. Левин1 , И. С. Мануйлович1 , В. В. Марков2 1 Институт механики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова 2 Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва В последнее десятилетие наблюдается повышенный интерес к проблемам детонации, которая благодаря высокому термическому коэффициенту полезного действия рабочего цикла и возможности высокоскоростного сжигания топлива может быть эффективно использована в двигательных устройствах. В центре внимания специалистов находятся две проблемы фундаментального характера — инициирование детонации и ее стабилизация в ограниченном объеме камеры сгорания. . Одним из способов, которые позволяют в той или иной степени решить эти проблемы, является воздействие на горючую смесь электрическими разрядами различной конфигурации, распределенными по пространству и срабатывающими в заданные моменты времени. В настоящей работе рассматривается тороидальный электрический разряд специальной конструкции, который генерирует осесимметричные волны сжатия и формирует течение с кумуляцией вблизи оси симметрии. Исследуется возможность прямого инициирования детонации в неподвижной и движущейся горючей смеси на примере стехиометрической смеси метана с кислородом. Приводятся данные по критическим энергиям в зависимости от вида газообразного горючего, его концентрации в смеси с окислителем и инертными добавками, а также геометрических параметров кольцевого разряда. Обнаружен аномальный режим отражения от оси симметрии ударных и детонационных волн, связанный с распространением вдоль оси высокоскоростной струи, перед которой, как перед острым телом, формируется конический скачок уплотнения. Установлено, что при небольших докритических величинах энергии разряда формируется режим быстрого горения со скоростями на несколько порядков превосходящими скорости нормального горения. Показано, что наблюдаемое явление связано с развитием неустойчивости Рихтмайера — Мешкова под воздействием систем ударных волн, возникающих благодаря осевой симметрии камеры сгорания и ее ограниченности в радиальном направлении. Фронт воспламенения, являясь поверхностью разрыва, разделяющей газы с сильно отличающимися плотностями, интенсивно деформируется при многократном взаимодействии с ударными волнами, и распространение горения приобретает турбулентный характер. Исследование проводится численно с использованием оригинального вычислительного комплекса, предназначенного для решения широкого круга задач нестационарной динамики газообразных горючих смесей. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-08-00297, 08-01-00032), Федерального агентства по науке и инновациям (НШ 319.2008.1), Программ фундаментальных исследований Президиума РАН и ОЭММПУ РАН. Левин В. А., Мануйлович И.С., Марков В. В. 220 ИНИЦИИРОВАНИЕ ДЕТОНАЦИИ ПРИ ВРАЩЕНИИ И ДЕФОРМИРОВАНИИ СТЕНОК КАНАЛА В. А. Левин1 , И. С. Мануйлович1 , В. В. Марков2 1 Институт механики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова 2 Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва Попытки практического использования детонации в двигателях и других разнообразных энергетических устройствах поставили перед исследователями ряд проблем. Среди этих проблем наиболее важной представляется задача инициирования детонации в ограниченном пространстве. Одним из возможных механизмов инициирования детонации является воздействие на горючую смесь подвижных стенок камеры сгорания подобно тому, как это происходит при инициировании детонации поршнем. Реализовать данный механизм можно, например, при вращении. Для оценки возможности инициирования детонации в этом случае рассмотрено течение горючей смеси внутри и вне вращающегося эллиптического цилиндра, заключенного в круговой цилиндр. Определены значения критических параметров, при которых формируется детонация. На базе гипотезы плоских сечений предложен способ оценки параметров в трехмерных каналах винтовой формы. Исследование проводится в рамках одностадийной кинетики горения стехиометрической пропановоздушной смеси. Используется численный метод, основанный на схеме Годунова с подвижной расчетной сеткой. Получена детальная картина течения, позволяющая выявить особенности возникновения детонации при движении границ области, содержащей горючую смесь. Рассмотрено инициирование детонации в замкнутой плоской камере сгорания, уменьшающейся со временем в размерах. Как и в предыдущей задаче, использование гипотезы плоских сечений позволяет сделать выводы об инициировании детонации в сверхзвуковых потоках в сужающихся каналах с различной формой поперечного сечения. Исследован процесс инициирования детонации внутри цилиндрического канала вращающимися параболическими “лепестками”, равномерно распределенными вдоль границы цилиндра или выходящими из его центра. Угловая скорость вращения либо задается как функция времени, либо рассчитывается в процессе решения с учетом момента сил давления и момента инерции. Установлены критические условия формирования детонации. Получена и исследована сложная волновая картина течения с кумуляцией в центре цилиндра. Рассмотрен механизм инициирования детонации в прямоугольном и цилиндрическом боксе, боковая стенка которого является гибкой мембраной, имеющей форму параболы, испытывающей гармонические колебания. Найдены критические условия по частоте и амплитуде колебаний мембраны, определяющие инициирование детонации. Исследование проводится с помощью оригинального вычислительного комплекса, предназначенного для решения широкого круга задач нестационарной динамики газообразных горючих смесей. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-08-00297, 08-01-00032), Федерального агентства по науке и инновациям (НШ 319.2008.1), Программ фундаментальных исследований Президиума РАН и ОЭММПУ РАН. Левин В. А., Мануйлович И.С., Марков В. В. 221 ОСОБЕННОСТИ ИНИЦИИРОВАНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ДЕТОНАЦИИ В НЕОДНОРОДНОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ В. А. Левин1 , И. С. Мануйлович1 , В. В. Марков2 1 Институт механики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова 2 Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва В связи с развернувшимися во всем мире исследованиями по использованию детонации в двигателях возникает необходимость более детального исследования фундаментальных проблем теории детонации. При этом основным и, по-видимому, единственным методом получения информации является вычислительный эксперимент, базирующийся на адекватных физико-математических моделях и численных алгоритмах, выверенных в сравнении с экспериментальными данными. Без рассмотрения многомерных быстропротекающих процессов невозможно решить задачи, связанные с разработкой эффективных энергетических устройств нового поколения. В настоящей работе рассмотрены некоторые проблемы детонации, которые возникли при решении прикладных вопросов. Исследование проводится на оригинальном вычислительном комплексе, основанном на схеме Годунова и предназначенном для решения широкого круга двумерных задач нестационарной динамики реагирующих газов. Используется одностадийная кинетика горения. Приведены данные по распространению ударной волны в канале с препятствиями, образованными решетками различных размеров и конфигураций. Исследовано явление ускорения фронта пламени, обусловленное его неустойчивостью как поверхности разрыва плотности. Рассмотрены задачи об инициировании детонации в сверхзвуковом потоке и неподвижной стехиометрической пропановоздушной смеси, заполняющей плоский (осесимметричный) канал в поперечном направлении частично или полностью. Инициирование в потоке происходит за счет уступа (центрального тела) или стенки, полностью перекрывающей канал, а в неподвижном газе — электрическим разрядом. Определены критические условия возникновения детонации и обнаружен неизвестный галопирующий режим детонации в неоднородной поперек канала смеси, когда горючая смесь находится в пристеночном слое (в струе около оси симметрии) под слоем инертного газа. Он обусловлен формированием волновой структуры течения, при которой ударная волна, формирующаяся в слое инертного газа, проникает в слой горючего перед волной детонации и поджигает его. Процесс имеет периодический характер, отличный от обычной ячеистой детонации в однородной среде. Кроме этого режима реализуются еще два: один — со стационарной волной на уступе (центральном теле), а другой — со стационарным волновым комплексом, распространяющимся ко входу в канал. Эти режимы наблюдаются и при втекании горючей смеси по всему входному сечению. Получены критические значения скорости набегающего потока, разделяющие различные режимы. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 08-08-00297, 08-01-00032), Федерального агентства по науке и инновациям (НШ 319.2008.1), Программ фундаментальных исследований Президиума РАН и ОЭММПУ РАН. Лейцин В. Н., Дмитриева М. А. 222 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ ФАКТОРЫ РАЗВИТИЯ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ КОМПОНЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ УДАРНОГО СИНТЕЗА В. Н. Лейцин, М. А. Дмитриева Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград На основе подхода, сочетающего элементы дискретных и континуальных представлений [1] развита модель физико-химических процессов в ударно-нагруженных реагирующих ультрадисперсных порошковых смесях. Математическая модель представляется совокупностью нестационарных задач теплового баланса, ударной модификации порошкового материала, вынужденной фильтрации, макрокинетики химических превращений. Базовая концепция моделирования дополнена учетом неоднородности пластического деформирования порошковых частиц; инкубационных времен фазовых переходов; кинетики развития повреждаемости порошковых компонентов в процессе динамического деформирования. Термомеханическое состояние и фазовый состав реагирующей среды рассматриваются одновременно на макро- и микроскопических уровнях. Рассматривается иерархия пространственно-временных структур неравновесных физико-химических процессов, приводящих к формированию наноструктуры продукта синтеза, запуску и реализации сверхбыстрых химических реакций в реагирующих порошковых смесях на фронте ударного импульса. Моделирование процессов ударной модификации реагирующей порошковой среды проводится с использованием энергетического подхода. Считается, что в процессе ударного перехода запасенная энергия ударного импульса диссипирует по различным механизмам, смена которых для каждого компонента смеси в каждом микрослое моделируется поэтапно. Представляется, что на первом этапе всегда реализуется сферически-симметричный механизм схлопывания пор. Первый этап характеризует стационарный процесс упругопластического уплотнения пористого порошкового компакта. При этом учет существования инкубационного времени разрушения, мгновенной и текущей повреждаемости материала частиц порошковой смеси, позволяет адекватно моделировать процесс на фронте ударного импульса. Для каждого материального компонента первый этап завершается при достижении предельного значения деформации. На последующих этапах уплотнения энергия ударного импульса расходуется на разрушение поверхностных слоев частиц и реализацию нестационарных режимов. Для учета кинетики развития повреждаемости порошковых компонентов в процессе динамического деформирования модель порошковой среды [1] уточнена введением структурно-временного критерия [2]. Он позволяет ввести в рассмотрение дискретность процесса динамического разрушения и характеризуется инкубационным временем разрушения, которое имеет физический смысл характерного времени релаксации при микроразрушении, предшествующем макроскопическому разрыву материала. Разделяются мгновенная составляющая повреждаемости частиц реагирующих компонентов на фронте ударного импульса и повреждаемость материала, накопленная за инкубационное время. Такой подход позволяет рассматривать “стартовый” и текущий уровни ударной активации реагирующих порошковых компонентов. Интенсивное механическое воздействие на порошковое тело приводит к его модификации за счет изменения структуры порошкового тела (уплотнение и как следствие — уменьшение размера реакционной ячейки, повышение коэффициента теплопроводности), пластической деформации, разрушения оксидных и адсорбированных слоев на поверхности частиц. Следствием этих процессов является изменение реакционной способности реагирующей смеси — механическая активация. Исследовалось влияние размера частиц реагирующих компонентов на характеристики физико-химических превращений. Моделировался процесс ударного синтеза в порошковом компакте Ni-Al. NiAl, предварительно спрессованном до значения среднего относительного Майер А. Е., Красников В. С., Яловец А. П. 223 объема пор 0.4, характеризующийся дисперсией концентрации алюминия 0.014, под действием ударного импульса с амплитудой 2 ГПа и длительностью 1 мкс. В результате вычислительных экспериментов выявлено влияние пространственно-временных факторов развития повреждаемости на кинетику физико-химических процессов. Список литературы 1. Лейцин В. Н., Дмитриева М. А. Моделирование механохимических процессов в реагирующих порошковых средах. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. 2. Каштанов А. В., Петров Ю. В. Энергетический подход к определению уровня мгновенной поврежденности. ЖТФ. 2006. Т. 76. № 5. С. 71–75. МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КАРБИДА КРЕМНИЯ В. В. Литвенко1 , Л. А. Мержиевский1,2 1 2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет В процессе ударного сжатия карбид кремния претерпевает полиморфные фазовые превращения. Для описания такого его поведения сформулирована модель, базирующаяся на максвелловских представлениях об упруговязком поведении деформирующихся сред. Для замыкания модели построено уравнение состояния при нешаровом тензоре деформации и зависимость времени релаксации касательных напряжений и объёма в процессе фазовых переходов. Построение замыкающих соотношений основывается на учете и описании микроструктурных механизмов необратимого деформирования и фазовых переходов. Решен ряд задач ударно-волнового деформирования, результаты решения сопоставляются с существующими экспериментальными данными. Это позволяет апробировать модель и установить границы её применимости. Pабота выполнена при поддержке Интеграционного проекта СО РАН № 115 и гранта Президента РФ № НШ-5770.2010.1. КИНЕТИКА ДЕФЕКТОВ, ПЛАСТИЧНОСТЬ И РАЗРУШЕНИЕ МЕТАЛЛОВ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ ДЕФОРМАЦИИ А. Е. Майер1 , В. С. Красников1 , А. П. Яловец2 1 2 Челябинский государственный университет Южно-Уральский государственный университет, Челябинск Пластичность и разрушение играют существенную роль в реакции металлов на интенсивное воздействие, такое как высокоскоростной удар, облучение интенсивными потоками электронов, ионов и лазерного излучения. В настоящее время при моделировании пластичности и разрушения в основном используются эмпирические модели. Такие модели содержат большое количество параметров, которые могут зависеть как от термодинамического состояния среды, так и от скорости деформации. В данной работе пластичность и разрушение рассматриваются как результат образования и движения дефектов — дислокаций и микротрещин. Система уравнений механики сплошной Мали В. И. 224 среды дополняется уравнениями кинетики дефектов, что позволяет сократить число эмпирических параметров и учесть зависимость процесса развития пластичности и разрушения от скорости деформации. Описание кинетики и движения дислокаций основано на известных результатах [1, 2] и осуществлено в рамках континуальной теории дислокаций [1]. Для микротрещин записано уравнение нуклеации на базе термофлуктуационного подхода и, при помощи лагранжева формализма, уравнение роста. Влияние кинетики дефектов на движение материала учтено через тензор пластической деформации и тензор деформации, связанной с ростом микротрещин. Эти тензоры рассчитываются через характеристики ансамбля дефектов: скалярную плотность дислокаций, концентрацию и размер микротрещин. Проведено моделирование экспериментов по высокоскоростному удару [3] и облучению металлов сильноточным релятивистским потоком электронов [4], получено соответствие расчетных и экспериментальных данных по динамике упругого предвестника и разрушению. Показана возможность откольного разрушения облучаемой поверхности при воздействии субнаносекундных импульсов электронного облучения. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-08-00521). Список литературы 1. Kossevich A. M. The Crysstal Lattice: Phonons, Solitons, Dislocations. Berlin: WILEY-VCH Verlag, 1999. 2. Hirth J., Lothe J. Theory of Dislocations. New York: Wiley, 1982. 3. Канель Г. И., Фортов В. Е., Разоренов С. В. Ударные волны в физике конденсированного состояния. УФН. 2007. Т. 177. № 8. С. 809–830. 4. Марков А. Б., Кицанов С. А., Ротштейн В. П. и др. Динамическое разрушение меди при воздействии релятивистского сильноточного электронного пучка. Известия вузов. Физика. 2006. № 7, C. 69–74. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВАРКИ ВЗРЫВОМ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЕ КОМПОЗИТА С ВЫСОКОЙ УДАРНОЙ ВЯЗКОСТЬЮ И ЧЕРЕДУЮЩИМИСЯ СЛОЯМИ СТАЛИ С РАЗЛИЧНОЙ ТВЕРДОСТЬЮ В. И. Мали Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Впервые в 1946–1947 гг. волнообразное соединение стали и меди, образовавшееся при обжатии вставленных друг в друга кумулятивных конусов, наблюдал М. А. Лаврентьев. Почти через двадцать лет это важнейшее для промышленности явление было снова открыто и начаты исследования уже под названием сварка взрывом в Институте гидродинамики в Новосибирске, позже в Москве, Санкт-Петербурге, Волгограде, Екатеринбурге, Перми и других городах нашей страны. Известно, что прочность шва при сварке металлов взрывом превышает прочность соединяемых металлов, менее прочный из которых обычно разрушается при испытаниях на разрыв. Возможно ли, увеличивая количество сварных швов в слоистом композите, повысить его прочностные свойства? Положительный ответ на этот вопрос получен в работе [1], в которой Медведев Р. Н., Тесленко В. С., Зайковский А. В. 225 на примере сварки взрывом одинаковых стальных (сталь 20) пластин толщиной 1 мм был получен слоистый композит, ударная вязкость которого, в полтора–два раза превысила ударную вязкость исходной стали. В этой же работе показано, что повышенное значение ударной вязкости слоистого композита сохраняется при замене части пластин из мягкой стали 20 на пластины из твердой стали 60 Г (в состоянии до закалки), которая обычно используется для рессор, пружин и не предназначена для традиционных методов сварки. Увеличение ударной вязкости слоистых композитов сваренных взрывом по сравнению с ударной вязкостью однородных материалов объяснялось благоприятным влиянием сварных швов с волнообразной конфигурацией сопрягаемых поверхностей, претерпевающих интенсивную пластическую деформацию, которая прослеживалась по изменению формы зерен феррита. Фрактографические исследования композитов показали, что разрушение сварных швов характеризуются наличием явных признаков вязкого течения материала и требует существенных затрат внешней энергии. В настоящем докладе приводятся данные по исследованию композитов при нагревании до 800◦ C, закалке в масле и отпуске при 400◦ C, позволивших получить чередование твердых закаленных до 550 HB слоев стали 60 Г и сохранивших исходное значение твердости 190 HB слоев стали 20. Обсуждается влияние температуры на диффузию материалов, изменения структуры и фаз в окрестности сварных швов. Обнаружено, что высокие значения ударной вязкости слоистого композита определяются в основном значениями ударной вязкости стали 20, а максимальные значения пилообразного профиля твердости в поперечном сечении соответствуют твердости закаленной стали 60 Г. Сочетание таких свойств в композитах невозможно получить существующими в промышленности методами, что открывает широкие перспективы их практического применения. Список литературы 1. Батаев И. А., Батаев А. А., Мали В. И., Есиков М. А. Увеличение ударной вязкости слоистых композитов, полученных методом сварки взрывом стальных пластин. X Забабахинские научные чтения. РФЯЦ–ВНИИТФ. 15–19 марта 2010, Снежинск, http://www.vniitf.ru ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРОЛИТЕ НА ЛИНЕЙНЫХ И КОЛЬЦЕВЫХ КОНЦЕНТРАТОРАХ ТОКА Р. Н. Медведев, В. С. Тесленко, А. В. Зайковский 1 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Впервые получены режимы электрогидродинамических автоколебаний на линейных и кольцевых концентраторах тока, выполненных из металла в виде диафрагм. Показано, что в таких системах прерывание тока обеспечивается образованием пузырей в виде цилиндра для линейных электродов и в виде тора для кольцевых концентраторов тока. Показано, что стабильность автоколебаний обеспечивается за счет гидродинамической коалесценции расширяющихся локальных пузырьков в единый пузырь и выравнивания его геометрии за счет пробоев в перетяжках. Общая постановка экспериментов аналогична постановкам с точечными концентраторами тока [1, 2]. В данной работе использовались линейные и кольцевые концентраторы тока трех видов: Мержиевский Л. А., Карпов Е. В., Авсейко Е. О. 226 1. линейный металлический концентратор тока длиной l = 9.5 мм, с шириной полоски h = 0.17 ÷ 0.9 мм, 2. кольцевой металлический концентратор тока с внешним диаметром D = 3 ÷ 10 мм, с шириной кольца h = 0.17 ÷ 0.9 мм, 3. кольцевой концентратор тока в виде кольцевого отверстия в лавсановой пленке толщиной δ = 100 мкм, D = 6 ÷ 8 мм, h = 0.35 мм. Эксперименты проводились для напряжений 50÷700 Вольт. В качестве электролита использовались водные растворы хлористого натрия с концентрацией 1%. Из экспериментальных результатов следует, что автоколебания тока с полным прерыванием тока в каждом импульсе развиваются как для случая включения в цепь дополнительной индуктивности, так и без индуктивности: 1. При отсутствии в разрядной цепи дополнительной индуктивности (собственная индуктивность установки L0 = 3 µH) на концентраторе наблюдаются локальные пробои на границе пузырьков при их захлопывании. 2. При включении в цепь индуктивности L = 7 ÷ 18 µH пробои возникают за счет генерации индуктивного перенапряжения на стадиях расширения пузырьков. При этом пробои происходят в наименьших сечениях кольцевых пузырей (в перетяжках), это обеспечивает выравнивание сечения пузыря по длине. Результаты экспериментов показали, что период автоколебаний пропорционален ширине концентратора тока h и не зависит от его длины l и диаметра кольца D. Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 06-02-17453. Список литературы 1. Тесленко В. С., Медведев Р.Н., Дрожжин А.П. Самосинхронизация электрогидродинамических автоколебаний при многоочаговых разрядах в электролите // Письма в ЖТФ, 2007, т. 33, в. 19, с. 55–63, http://www.swsl.newmail.ru. 2. R. Medvedev, V. Teslenko, A. Drozhzhin. Electrohydrodynamic self-synchronization of selfoscillations on two diaphragm current concentrators in electrolyte. Physics Letters A, 2008, v. 373, p. 102–106, http://www.swsl.newmail.ru. НЕОДНОРОДНОСТЬ НЕОБРАТИМОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ Л. А. Мержиевский1 , Е. В.Карпов1 , Е. О.Авсейко2 1 2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный технический университет Полимерные тела имеют сложное неоднородное строение на разных структурных уровнях. Это приводит к неоднородности необратимых деформаций на микро- и мезоуровнях, при определенных условиях проявляющихся и на макроскопическом уровне. Одним из таких проявлений является прерывистая текучесть. Исследование явления скачкообразной текучести полимеров проведено в данной работе. Традиционные способы записи диаграмм деформирования зачастую нивелируют гетерогенность структуры и локализацию деформации и сглаживают получаемые кривые. В данной работе для снятия диаграмм деформирования Назаренко Н. Н., Князева А. Г. 227 использовалась установка ZWICK TC-FR100TL.A4K c электрическим приводом, оборудованная системой автоматизированного управления, с выводом измеряемых параметров на персональный компьютер. Нагружение осуществлялось при постоянной скорости деформирования. Получены диаграммы деформирования полиметилметакрилата (ПММА) и фторопласта (ПТФЭ) в широком диапазоне изменения скоростей деформации. Установлено, что при необратимом деформировании ПММА И ПТФЭ прерывистая текучесть возникает, по крайней мере, на трех масштабных уровнях и имеет периодический характер. Выявлены области существования скачков разных масштабных уровней. Проведен статистический анализ скачков напряжения на диаграммах деформирования. Результаты позволяют проследить тенденции изменения характера прерывистой текучести в зависимости от скорости деформации. Полученные статистические данные позволяют сделать вывод о масштабной инвариантности скачкообразной деформации исследованных полимеров. Проведено обсуждение связи особенностей прерывистой текучести с механизмами необратимого деформирования полимеров. Работа поддержана Интеграционными проектами СО РАН № 115 и 119. МОДЕЛЬ РОСТА ПОКРЫТИЯ ПРИ МИКРОДУГОВОМ ОКСИДИРОВАНИИ Н. Н. Назаренко, А. Г. Князева Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск Формирование покрытия при микродуговом оксидировании связано с протеканием высокотемпературных химических превращений и происходит за счет окисления основного материала, а также переноса к растущему покрытию ультрадисперсной фазы, находящейся в электролите, то есть рост покрытия определяется диффузионными и кинетическими явлениями у поверхности образца, на которое наносится покрытие. Общая толщина покрытия складывается из толщины диффузионной зоны (внутренней части покрытия) и толщины наружного слоя. Из эксперимента установлено, что в состав покрытия входят следующие вещества: CaTi4 (PO4 )6 , Ca2 P2 O7 , TiP2 O7 , TiO2 , TiO. Вследствие высокой скорости переноса ионов в жидкой фазе по сравнению со скоростью жидкой фазы при построении модели распределением ионов в жидкости пренебрегаем. Это позволяет аналитически решить “электрическую” часть задачи. В результате математическая модель процесса роста покрытия на пластине включает уравнения диффузии в твердой фазе; уравнения кинетики для веществ и ионов, поступающих из жидкой фазы и фазы частиц и нелинейные граничные условия для (на границе твердого образца). Полученная задача решена численно с использованием неявной разностной схемы и метода прогонки. Подробное параметрическое исследование модели проведено в безразмерных переменных. В расчетах определяются распределения концентраций ионов в поверхностном слое пластины, а также изменение толщины и состава покрытия во времени в зависимости от параметров модели, характеризующих технологические условия. Из численных расчетов установлено, что на изменение толщины покрытия наибольшее влияние оказывают начальные концентрации веществ и ионов (исходный состав электролита), коэффициент межфазного массообмена между жидкой фазой и фазой частиц, а также разность потенциалов. Пинаев А. В., Васильев А. А., Кочетков И. И. 228 ВЛИЯНИЕ ТИПА ВВ, ЕГО ПЛОТНОСТИ И ВНЕШНИХ УСЛОВИЙ НА МЕХАНИЗМ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И СТРУКТУРУ ВОЛН ДЕТОНАЦИИ А. В. Пинаев, А. А. Васильев, И. И. Кочетков Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск В докладе обсуждаются и классифицируются экспериментально наблюдаемые характерные режимы распространения волн детонации в зарядах взрывчатого вещества при изменении среднеобъемной плотности ВВ на несколько порядков — от монолита до аэровзвеси. Известно, что если диаметр заряда ВВ превышает критический диаметр детонации (d ≥ d∗ ), то по такому заряду распространяется классическая детонационная волна. Основной механизм распространения — ударно-волновое сжатие вещества и последующая быстрая химическая реакция в сравнительно короткой зоне. При этом для большинства типичных ВВ скорость детонации и плотность ВВ связаны линейной зависимостью D = Aρ0 . В зарядах с d ≤ d∗ при понижении плотности ВВ ρBB на 10 − 20% наблюдается срыв классической детонации (D ≈ D0 ) и переход к режиму квазидетонации (D ≈ αD0 , α < 1) или горения, и в этом смысле можно говорить о критической плотности ВВ ρ∗BB . Во взрывчатых веществах с добавками частиц инертного вещества (смесевых ВВ) среднеобъемная плотность ВВ ρo6 может быть ниже ρ∗BB , но при этом квазидетонация устойчиво распространяется благодаря уже не ударно-волновому, а конвективному механизму инициирования. Давление во фронте такой волны испытывает скачок ( 103 атм), частицы ВВ сгорают с большой скоростью по механизму послойного горения и зона реакции остается короткой. Принципиальное отличие возникает в случае, когда среднеобъемная плотность ВВ понижается на 2 − 3 порядка, и особенно в экзотической ситуации, когда низкоплотное ВВ находится в вакуумированной среде. В таких системах легко возбуждается стационарная квазидетонация с давлением во фронте p ≥ 10 ÷ 102 атм и увеличенной длиной зоны реакции. Во вторичных ВВ при ρo6 = 0, 4 ÷ 40 мг/см3 впервые получены волны низкоскоростной детонации во взвеси частиц вторичного ВВ в вакууме без ударного скачка. Во взвесях порошковых вторичных ВВ (октоген, гексоген) с величиной ρo6 < 1 мг/см3 получены самоподдерживающиеся волны детонации в вакууме. Фронт свечения следует с задержкой 3÷20 мкс за плавным передним фронтом давления. Давление растет с увеличением ρo6 и составляет 3 ÷ 7, 5 атм. Скорость вакуумной детонации D50 ± 50 м/с, длина зоны реакции 0.4–0.5 м. В низкоплотных вторичных ВВ реализуется конвективно-струйный механизм распространения волны, структура волны и механизм воспламенения не соответствуют модели ЗНД. Частицы вторичных ВВ в слабых волнах не детонируют за ударным скачком и сгорают по механизму послойного горения (дольше частиц первичных ВВ). При исследованиях детонации низкоплотных вторичных ВВ в газонаполненной инертной пористой среде выяснено, что при наличии воздуха существуют два предела по начальному давлению газа. С уменьшением ρo6 пределы сближаются, и для некоторого ρ∗o6 детонация существует лишь при одном значении начального давления. Для исследованного диапазона ρo6 длина зоны реакции 0, 15 ÷ 0, 4 м. Работа поддержана РФФИ (код проекта 09-01-00317) и грантом Президента РФ № НШ5770.2010.1. Сильвестров В. В., Пай В. В., Гулевич М. А., Пластинин А. В., Рафейчик С. И. 229 ПАРАМЕТРЫ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ И МЕТАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ НИЗКОПЛОТНЫХ ЭМУЛЬСИОННЫХ ВВ В. В. Сильвестров1 , В. В. Пай1 , М. А. Гулевич1 , А. В. Пластинин1 , С. И. Рафейчик2 1 2 Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Новосибирский государственный университет Исследуются эмульсионные ВВ с плотностью 0.5 ÷ 1 г/см3 и скоростью детонации 2 ÷ 4.5 км/с. Низкая скорость детонации реализована путем добавления в высокодисперсную эмульсионную матрицу большого количества полых стеклянных микросфер — до 50 весовых процентов сверх массы эмульсии. Для регистрации профилей массовая скорость–время за фронтом детонационной волны использован оригинальный бесконтактный электромагнитный метод. Для исследованных композиций на профилях наблюдается зона повышенных скоростей за исключением композиции с плотностью 0.5 г/см3 . Эту область можно интерпретировать как “химический пик”, предсказываемый теорией ЗНД. Массовая скорость и детонационное давление для этих ВВ изменяются от 0.6 до 1.1 км/с и от 0.7 до 5 ГПа соответственно, и показатель политропы продуктов взрыва n — от 1.5 до 3, если количество микробаллонов из стекла уменьшается. Время реакции составляет 0.4 ÷ 0.8 мкс и уменьшается при увеличении плотности ВВ, что обусловлено ростом детонационного давления и температуры. Ширина зоны реакции около 1 мм и соответствует ее зависимости от плотности ВВ при плотностях более 1.1 г/см3 . Выделение энергии для низкоплотных эмульсионных ВВ достигает 1.6 кДж/г. Для оценки метательной способности эмульсионных ВВ использовался метод “наклонной проволочки”, который является аналогом известного “метода цилиндра”. Исследовалось ускорение медной пластины толщиной 1 мм скользящей детонацией плоского слоя ВВ. Получены эффективные значения для показателя политропы продуктов взрыва, при которых описывается геометрический профиль метаемой пластины при различных значениях отношения удельных (на единицу площади) масс ВВ и пластины. Для анализа экспериментальных профилей использовался двумерный численный код, разработанный Г. Е. Кузьминым. Полученные результаты необходимы для оценки параметров соударения при использовании эмульсионных ВВ для сварки взрывом и находятся в качественном соответствии с данными для смесей аммонитов с инертными добавками, которые обычно используются в России для сварки металлов взрывом. Выполнено сравнение результатов для показателей n, полученных двумя методами. Наблюдается качественная корреляция данных: показатели политропы продуктов взрыва увеличиваются по мере роста плотности и скорости детонации ВВ, но наблюдается существенная количественная разница между двумя наборами данных. Это отличие связано, возможно, с наблюдаемой зависимостью показателя политропы от толщины слоя ВВ в методе “наклонной проволочки”. При малом зазоре между метаемой пластиной и мишенью необходимо принимать во внимание зависимость эффективного показателя n от толщины слоя ВВ. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 09-08-00164-а), программы Президиума РАН (проект 12.10) и гранта Президента РФ № НШ-5770.2010.1. Синяев С. В., Анисимов А. Г., Герасимов А. В., Матросов А. Д. 230 ЭЛЕКТРОИМПУЛЬСНАЯ КАПЕЛЬНАЯ ДЕСТРУКЦИЯ ФОЛЬГОВЫХ ПРОВОДНИКОВ С. В. Синяев1 , А. Г. Анисимов2 , А. В. Герасимов1 , А. Д. Матросов2 1 2 НИИ прикладной математики и механики Томского госуниверситета Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск Одним из эффективных способов зажигания метательных зарядов из высокоэнергетических топлив с несформированной поверхностью горения (например, пастообразных) является электроимпульсная спрей-технология, основанная на генерации потоков мелкодисперсных раскаленных металлических частиц в объеме заряда. В отличие от режимов электровзрыва изучаемый процесс является существенно более медленным, он протекает при относительно малой удельной мощности омического нагрева, а электроимпульсное воздействие на проводник заканчивается, когда он находится в жидком агрегатном состоянии. Металлический спрей генерируется при относительно однородном омическом нагреве и одновременном ускорении фольгового проводника пондеромоторной силой с его последующей капельной деструкцией. По принципу действия капельная деструкция проводника включает в себя процессы, характерные как для плавкого предохранителя, так и для электродинамического размыкателя тока. Такие режимы реализуются при выполнении ряда условий, накладываемых на электротехнические и электродинамические параметры устройства зажигания, а также геометрические, электрофизические, прочностные и другие характеристики диспергируемых фольговых проводников. В зависимости от выбранных условий мелкодисперсная деструкция проводника может начинаться либо в твердом агрегатном состоянии, либо под действием инерционных сил в расплавленном состоянии, а генерируемые при этом мелкодисперсные частицы и капли металла могут обладать различными тепловыми и скоростными параметрами. Для изучения влияния перечисленных факторов в работе проводятся постановка и варианты решения задачи по расчету динамических характеристик тонкостенных цилиндрических проводников под действием сильноточного электрического разряда низковольтной конденсаторной батареи. Поведение материала проводников моделируется в пространственной осесимметричной постановке и последовательно описывается моделями идеально упругопластического тела и идеальной жидкости, которые замыкаются уравнениями Прандтля — Рейсса при условии текучести Мизеса и уравнением состояния типа Ми — Грюнайзена. Расчет объемной пондеромоторной силы проводится в предположении об однородном распределении тока в оболочке. Уравнения механики дополняются системой электротехнических уравнений. В работе получены оценки времен развития неустойчивостей в оболочке и длин волн с максимальным ростом их инкремента нарастания. Оценки основаны на классической методике линеаризации уравнений магнитной гидродинамики несжимаемой идеальной жидкости. Обсуждаются результаты модельных расчетов. Показано, что оценочные значения длин волн согласуются с толщиной оболочки и характерными размерами капель металла, а времена разрушения фольговых элементов в жидком агрегатном состоянии коррелируют с временами индукции при низковольтном инициировании пастообразных гетерогенных топлив. Работа выполнена при частичном финансировании по программе Минобрнауки РФ “Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010)” (проект РНП 2.1.2.2509) и поддержке гранта РФФИ №10-08-00453а. Суров В. С., Степаненко Е. Н. 231 СТАЦИОНАРНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ РЕЖИМЫ ДЕТОНАЦИИ ТВЕРДЫХ ВВ Е. Б. Смирнов, Б. Г. Лобойко, В. П. Филин, О. В. Костицын, Ю. А. Беленовский, К. М. Просвирнин, А. Н. Киселев Российский федеральный ядерный центр — Институт технической физики, Снежинск Нестационарные одномерные и стационарные двумерные режимы распространения детонационной волны в конденсированных, в том числе твердых ВВ, широко используются для верификации расчетных моделей детонации, учитывающих кинетику протекания химической реакции. Изучению нестационарных одномерных процессов, таких, как, инициирование или переход плоской ударной волны в детонационную, традиционно уделяется серьезное внимание исследователей. Заметно меньшее внимание уделяется исследованию закономерностей распространения стационарных двухмерных режимом детонации. Однако кроме прагматического интереса такие режимы распространения детонации имеют важное фундаментальное значение. Во всем многообразии возможных двумерных режимов распространения детонации лишь немногие являются стационарными. К таковым относятся детонация слоя или цилиндра ВВ, а также детонация образца из ВВ в виде кольца. С позиции теории DSD, постулирующей связь нормальной составляющая скорости детонации заданного участка детонационного фронта с локальной кривизной данного участка фронта, рассмотрены стационарные двумерные режимы детонации. При анализе стационарных двумерных режимов также учитывалось, что краевой угол между нормалью к фронту и краем ВВ уникален для каждой комбинации ВВ и материала облицовки. В рамках данного приближения были получены обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие форму стационарного двумерного детонационного фронта для зарядов ВВ в виде пластины, цилиндра и кольца. Обнаружено, что одна и та же форма детонационного фронта соответствует нескольким комбинациям материала облицовки и определяющего размера заряда (толщины пластины, радиуса цилиндра или внутреннего радиуса кольца). Сравнение экспериментальных профилей фронта вблизи краев для этих комбинаций позволяет получить информацию о зависимости скорости детонации от кривизны фронта D(k) при низких скоростях детонации, соответствующих вынужденным режимам детонации. Приводятся результаты экспериментальных исследований детонации цилиндров различного диаметра и детонация колец различной толщины из ВВ на основе ТАТБ. Анализ данных для детонирующих кольцевых зарядов из низкочувствительного ВВ показал, что при уменьшении скорости детонации полная кривизна фронта стремится к пределу около 0.05 мм−1 , то есть порядка обратного критического диаметра. Обнаруженный предел кривизны фронта детонационной волны позволяет предсказывать критический диаметр детонации. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ГОДУНОВА ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ ОДНОСКОРОСТНЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ АДИАБАТИЧЕСКИХ СМЕСЕЙ В. С. Суров1 , Е. Н. Степаненко2 1 2 Южно-Уральский государственный университет, Челябинск Лицей 31, Челябинск Метод Годунова, широко используемый для решения газодинамических задач, предназначен для численного интегрирования гиперболических систем уравнений записанных в дивергентной форме. В частности, с его помощью можно проинтегрировать систему уравнений Тесленко В. С., Манжалей В. И., Медведев Р. Н., Дрожжин А. П. 232 движения односкоростной смеси в случае, когда все ее компоненты кроме одного являются идеальными газами. В общем случае применение оригинального (без модификации) метода Годунова невозможно, поскольку система уравнений многокомпонентной смеси не является дивергентной. В представленной работе описан модифицированный метод Годунова, позволяющий численно решить систему уравнений для многокомпонентной смеси недивергентного вида. При расчете задач Римана использован приближенный, основанный на характеристических соотношениях, способ вычислений. В качестве примера применения алгоритма модифицированного метода Годунова рассчитана плоская задача распада произвольного разрыва в газожидкостной смеси с двумя сжимаемыми фракциями, имеющая точное решение. ДИНАМИКА РОСТА НАНОЧАСТИЦ КОНДЕНСИРОВАННОГО УГЛЕРОДА ПРИ ДЕТОНАЦИИ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВВ К. А Тен1 , В. М. Титов1 , Э. Р. Прууэл1 , Л. А. Лукьянчиков1 , Б. П. Толочко2 , И. Л. Жогин2 1 2 Институт гидродинамики им. М А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, Институт химии твердого тела и механохимии СО РАН, Новосибирск Синхротронное излучение (СИ), как источник рентгеновского излучения, обладает рядом уникальных свойств, основными из которых являются большая интенсивность потока, позволяющая использовать очень малое время экспозиции (1 нс), высокая периодичность во времени (5÷250 нс) и малая угловая расходимость. Это выгодно отличает СИ от обычного импульсного рентгена и позволяет получать многокадровую картину не только распределения плотности в детонирующем ВВ, но и регистрировать дифракционный сигнал от образца в области малых углов. Метод измерения мало-углового рентгеновского рассеяния (МУРР) широко применяется при анализе структуры нанодисперсных систем. Использование высоко-периодичного синхротронного излучения от ускорительного комплекса при измерениях МУРР с экспозицией 1 нс позволяет проследить эволюцию сигнала в процессе детонации ВВ, анализ которой дает возможность определить размеры образующихся частиц конденсированного углерода и изменение этих размеров во времени после прохождения детонационной волны. На экспериментальной станции ускорителя ВЭПП-3, расположенного на территории ИЯФ СО РАН, были проведены эксперименты по исследованию с помощью СИ детонирующих образцов смесей тротила и гексогена, а также образцов из ТАТБ. СЖИГАНИЕ УГЛЕВОДОРОДНЫХ ТОПЛИВ НЕПОСРЕДСТВЕННО В ВОДНОМ ТЕПЛОНОСИТЕЛЕ В. С. Тесленко, В. И. Манжалей, Р. Н. Медведев, А. П. Дрожжин Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск В мире существуют проблемы экономии энергии. Экономят энергию преимущественно при ее потреблении. Наиболее важным является экономия природных энергоресурсов на этапе производства тепловой и электрической энергии. Для дальнейшего увеличения эффективности передачи тепла теплоносителю необходимы новые принципы и подходы с существенным уменьшением концентраций выбросов вредных продуктов в биосферу. В настоящее время в промышленных тепловых генераторах сжигание углеводородных топлив осуществляется в режимах непрерывного горения с выбросом продуктов сгорания в атмосферу. В данной работе экспериментально показана принципиальная возможность импульсного сжигания углеводородных топлив непосредственно в водном теплоносителе. На примере Третьяков П. К. 233 сжигания ацетилена в воде представлены первые экспериментальные результаты с инициированием зажигания газа в пузырьке электрическим разрядом, показывающие возможность перехода на новые принципы работы тепловых генераторов. Опыты были проведены со стехиометрической смесью ацетилена с кислородом (C2 H2 + 2.5·O2 ). Газовая смесь выдувалась в воду с проводимостью ≈ 1 Ом−1 м−1 через трубку-электрод с внешним диаметром dc = 2.1 мм и внутренним диаметром din = 1.5 мм. При размере пузырька d ≈ dc на электрод подавалось напряжение 350 ÷ 500 Bольт. Для отсечения распространения пламени в систему газопровода в трубке устанавливался огнепреградитель. Динамика расширения и пульсации пузырька, в котором происходило сгорание газа, качественно подобна динамике пузыря при взрыве ВВ в воде. В наших экспериментах с хорошей повторяемостью в результате сгорания ацетилен–кислородной смеси в исходном пузырьке диаметром d происходило его расширение до диаметра D = 3d (±0.1). Сферический пузырек при схлопывании превращался в торообразный, движущийся от электрода в жидкость, с последующим диспергированием на мелкие пузырьки и их коллапсом. Эта особенность процесса указывала на увеличение эффективности теплопередачи от сгоревшего газа в воду, увеличение контактной площади пузырьков и их вращения. Экспериментально показана принципиальная возможность импульсного сжигания в автоматическом режиме углеводородных топлив непосредственно в водном теплоносителе для создания тепловых генераторов нового типа. Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 06-02-17453. ПРИМЕНЕНИЕ ПУЛЬСИРУЮЩИХ РЕЖИМОВ ГОРЕНИЯ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРЯМОТОЧНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ П. К. Третьяков Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, Новосибирск Кратко излагаются достижения по организации рабочего процесса в камерах сгорания воздушно-реактивных двигателей для полёта летательных аппаратов (ЛА) со сверх- и гиперзвуковыми скоростями. Отмечается, что наземные и лётные испытания двигателей подтверждают ожидаемые характеристики. Практическая реализация зависит от уровня технологической готовности, которая определятся высокими тепловыми нагрузками на элементы двигателя. Вместе с тем, необходимость обеспечения стабильного горения и высокой полноты сгорания топлива приводит к существенным потерям полного давления в двигательном тракте и тем самым к снижению удельного импульса. Показано, что существует принципиальная возможность заметно уменьшить эти потери, если не допускать снижения скорости потока продуктов сгорания ниже скорости звука на участке постоянного сечения камеры сгорания (для чисел Маха полёта Mu . 7.0). В настоящее время ведётся интенсивное изучение двигателей с реализацией процесса горения при постоянном объёме (CVC – Combustion Volume Constant), которые имеют преимущества перед традиционными схемами. Рассматриваются комбинированные схемы двигателей: турбореактивный, прямоточный со сверхзвуковым горением и двигатель с горением в постоянном объёме в различных комбинациях (TJ/CVC; scramjet/CVC; TJ/CVC/scramjet). Причём в качестве СVС-модуля предполагается использование пульсирующих детонационных двигателей (ПДД, PDE) или двигателей с непрерывной детонацией (с вращающейся детонационной волной – НДД, CDE). Рассмотрен ряд схем ПДД, приведены результаты и примеры реализации в виде двигателей. Основное внимание уделено изучаемой в настоящее время в Туч Е. В., Кривошеина M. Н., Кобенко С. В. 234 лаборатории сверхзвукового горения ИТПМ СО РАН схемы сверхзвукового прямоточного воздушно-реактивного двигателя с пульсирующим режимом горения (СПВРД с ПРГ). Рассматривается псевдоскачковый режим горения в канале постоянного сечения, который может поддерживаться только при наличии внешнего энергетического воздействия на течение. Параметры течения на входе в канал таковы, что происходит инициирование и развитие диффузионного горения топлива. Количество топлива определяется тепловым запиранием течения. Длина постоянного участка канала выбирается приблизительно равной протяжённости псевдоскачка с полным сгоранием этого топлива. При импульсно-периодическом энергетическом (определённой интенсивности) воздействии на поток горение можно перевести из диффузионного режима в псевдоскачковый. При этом в конце псевдоскачка будет устанавливаться приблизительно звуковая скорость потока. Псевдоскачковый режим горения будет переходить в диффузионный режим при перемещении головной части псевдоскачка к месту инжекции топлива вследствие ухудшения процесса смешения. Псевдоскачок будет колебаться в канале с периодом, равным периоду энергетического воздействия. Длительность импульса и величина периода связаны с энергией, необходимой для формирования псевдоскачка, и скоростью его движения навстречу потоку. Возможно несколько пульсирующих режимов горения: переход от диффузионного горения к псевдоскачковому и обратно (при низких частотах); смешанный (диффузионно-псевдоскачковый), когда псевдоскачок не исчезает с увеличением частоты, и квазистационарный, когда псевдоскачок сохраняет своё положение в канале. Основным преимуществом такого способа организации горения является достижение высокой эффективности протекания процесса, которая определяется минимальными потерями полного давления и максимальным приростом температуры. Как отмечалось выше, скорость потока за скачком будет близка к скорости звука. Этому режиму соответствует максимальное значение коэффициента восстановления полного давления. Дальнейшее развитие процесса горения продолжается в расширяющемся канале. Проведённые эксперименты показали принципиальную возможность осуществления таких режимов горения. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПРЕГРАД ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ Е. В. Туч1 , M. Н. Кривошеина1 , С. В. Кобенко2 1 2 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск Нижневартовский государственный гуманитарный университет Цель данной работы заключается в исследовании влияния учета анизотропии механических характеристик материалов преград на их разрушение при динамическом нагружении стальными деформируемыми ударниками. Для моделирования деформационного поведения преграды и ударника используются уравнения механики сплошной среды. Упругое деформирование ортотропного материала преграды описывается с помощью обобщенного закона Гука. Пластическое деформирование анизотропного материала моделируется согласно условию пластичности Мизеса — Хилла, учитывающего изотропное упрочнение. В качестве критерия прочности также используется критерий Мизеса — Хилла, позволяющий учитывать анизотропию прочностных характеристик материала. В качестве численного метода используется метод конечных элементов, модифицированный Г. Р. Джонсоном для задач удара. В работе рассматривается нагружение транстропной преграды, упругие, пластические и прочностные свойства которой по толщине меньше, чем в плоскости проката. Результаты расчетов ударного нагружения такой преграды сравнивались с результатами расчетов ударного нагружения изотропной преграды, в которой упругие, пластические и прочностные свойства Федотенко Т. М. и др. 235 материала преграды соответствуют свойствам транстропного материала преграды в плоскости проката. При численном моделировании ударного нагружения преграды из транстропного материала на примере алюминиевого сплава Д16Т показано, что неучет анизотропии механических свойств материала приводит к меньшей области разрушения в преграде. Список литературы 1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 2. Катушев А. Г. Распространение ударных волн в полидисперсных газовзвесях. ПМТФ. 1993. Т. 34. № 2. С. 24–31. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ ТЕРМОПАРНЫХ ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ИНИЦИИРОВАНИЯ ДЕТОНАЦИИ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ Т. М. Федотенко1 , М. А. Гулевич1 , В. В. Пай1 , И. В. Яковлев1 , А. Г. Игнатенко2 , В. В. Саяпин2 1 2 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск ФГУП “НМЗ Искра” При ведении горных работ особое значение имеет использование массовых взрывов скважинных зарядов. Точная синхронизация моментов инициирования скважинных зарядов дает возможность экономить до 25–30% взрывчатых веществ. Традиционно используемые детонаторы с пирозамедлением, как правило, не обладают необходимой точностью задержки и в последние годы вытесняются детонаторами с электронным замедлением. Несмотря на высокую стоимость детонаторов с электронным замедлением (16–70 дол/шт), общий экономический эффект при проведении массовых подрывов значителен. Повышение точности задержки инициирования позволяет использовать рассредоточенные внутрискважинные заряды, что снижает их вес в полтора–два раза при сохранении эффективности воздействия. Поверхностная разводка сети к детонаторам электрического типа проводится электрической цепью, а пиротехнического — ударно-волновой трубкой. Применение ударно-волновой трубки во многих случаях предпочтительней из-за большей надежности, технической и организационной простоты монтажа, низкой цены, помехозащищенности, безопасности. Чтобы использовать преимущества детонаторов с электронным замедлением и разводки ударно-волновой трубкой, необходимо создать детонатор с электронным замедлением, но срабатывающим от ударно-волновой трубки. Для этого необходимо разработать источник, преобразующий энергию плазменной струи из ударно-волновой трубки в электрический импульс для запитывания электроники детонатора и его инициирования. Таким источником может служить термобатарея. В рамках разработки импульсного источника были проведены эксперименты по определению скорости выхода плазменной струи из ударно-волновой трубки. С помощью планарных терморезисторов определена величина теплового потока струи при различных условиях их экспозиции. Показано, что один элемент термобатареи, представляющий собой микротермопару, выдает электрический импульс длительностью 100 мкс, амплитудой 12÷18 мв. Характерное время выравнивания температуры порядка 100 микросекунд, а батарея таких термопар может генерировать за это время электрическую энергию порядка 0.01 Дж. При планарном размещении микротермопар габариты термобатареи позволяют разместить ее в стандартном корпусе детонатора и ее энергии достаточно для запитывания электронной линии Фролов Ф. С., Фролов С. М. 236 задержки и последующего подрыва детонатора. Детонатор, запитываемый таким импульсным источником, будет обладать высокой точностью задержки, безопасностью в применении, так как не будет реагировать на источники энергии с большими характерными временами нарастания мощности. Итак, установлено, что создание термопарного импульсного источника, использующего энергию плазменной струи из ударно-волновой трубки для запитывания электронной линии задержки и последующего подрыва детонатора нового типа возможно, а сам импульсный источник не имеет мировых аналогов. Работы выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ № НШ-5770.2010.1 БЫСТРЫЙ ПЕРЕХОД ГОРЕНИЯ В ДЕТОНАЦИЮ В МЕТАНО-ВОЗДУШНЫХ СМЕСЯХ С. М. Фролов, В. С. Аксенов, В. С. Иванов, А. Е. Маилков, С. Н. Медведев, В. А. Сметанюк, А. А. Скрипник Институт химической физики РАН, Москва Представлены результаты расчетных и экспериментальных исследований быстрого перехода горения в детонацию (ПГД) в метано-воздушной смеси в трубе с одним открытым концом, моделирующей импульсно-детонационную горелку на природном газе. Оптимальную компоновку трубы, состоящей из зажигающего устройства (форкамеры), ускорителя пламени (препятствий) и устройства (сопла), переводящего ударную волну в детонацию, рассчитывали, решая осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье — Стокса методом контрольных объемов с явным выделением фронта турбулентного пламени с использованием метода частиц для моделирования объемных предпламенных реакций. Для доводки устройств провели систематические экспериментальные исследования зажигательной способности форкамер, ускорения пламени регулярными препятствиями разной формы, с разным шагом установки и т. д., а также эффективности сопел, фокусирующих ударные волны. Экспериментально получен быстрый ПГД в смесях метана с воздухом при форкамерном зажигании в трубе диаметром 94 мм длиной 3 м. Полученные результаты могут быть использованы для проведения работ, направленных на создание импульсно-детонационных горелочных устройств на природном газе. Работа выполнена в рамках Государственных контрактов № П502 “Разработка методов численного моделирования нестационарного горения и детонации газов и капельных смесей в каналах сложной геометрии и полуограниченных объемах для применения в импульснодетонационных энергетических установках” и № 02.516.12.6026 “Разработка процесса импульсного детонационного горения природного газа для повышения эффективности работы энергетических установок”. МИКРОВЗРЫВ КАПЕЛЬ СУСПЕНЗИОННЫХ ГОРЮЧИХ Ф. С. Фролов, С. М. Фролов Институт химической физики РАН, Москва Один из перспективных способов повышения эффективности рабочего процесса в двигателях внутреннего сгорания, включая поршневые двигатели, а также жидкостные ракетные и прямоточные воздушно-реактивные двигатели, — использование суспензионных горючих с добавками ультрадисперсных частиц механоактивированных нанокомпозитных порошков Христенко Ю. Ф., Трушков В. Г. 237 энергоемких материалов, содержащих металлическое горючее (например, Mg или Al) и твердый окислитель (например, MoO3 или фторопласт). Реакционная способность таких порошков характеризуется исключительно высокой температурной чувствительностью, обусловленной термическим взаимодействием между активированными компонентами. Цель данной работы — на основе теоретического анализа прогрева капель углеводородного топлива при их испарении, самовоспламенении и горении выяснить, достигаются ли внутри капли условия для ее “микровзрыва”. Для определенности рассматривали капли н-тетрадекана (индивидуальный углеводород, часто используемый для моделирования дизельного топлива) и н-гептана с малыми добавками ультрадисперсных частиц механоактивированного нанокомпозита Mg–MoO3 . В качестве условия “микровзрыва” приняли прогрев жидкости в капле до пороговой температуры 567 К, обнаруженной экспериментально. Прогрев капли рассчитывали, используя вычислительную программу, позволяющую проследить за эволюцией пространственных распределений скорости, плотности, температуры и концентраций компонентов в капле и в газе на основе решения системы сопряженных нестационарных дифференциальных уравнений неразрывности, многокомпонентной диффузии и теплопроводности, записанных в сферической системе координат, при переменных теплофизических свойствах веществ и постоянном давлении. Влиянием частиц нанокомпозита на прогрев и испарение капли пренебрегали. Показано, что в условиях такта сжатия дизеля характерное время “микровзрыва” капли суспензионного горючего, вызванного термическим взаимодействием между активированными компонентами внутри капли, сопоставимо с задержкой самовоспламенения н-тетрадекана. Следовательно, в этих условиях возможны “микровзрывы” капель, приводящие к гомогенизации заряда топливно-воздушной смеси и повышению эффективности сжигания топлива. В отличие от капель н-тетрадекана, для капель н-гептана с добавками ультрадисперсных частиц механоактивированного нанокомпозита Mg–MoO3 условие “микровзрыва” не выполняется. Наблюдаемое в опытах снижение задержки самовоспламенения при температурах выше порогового значения, можно объяснить, например, реакцией наноразмерного магния с кислородом воздуха. Работа выполнена по Государственному контракту № 019-600.2009 “Разработка технологий изготовления пульсирующих реактивных детонационных микродвигателей на жидких топливах с добавками наночастиц высокоэнергетических компонент для универсальной системы стабилизации космических аппаратов” в рамках Научно-технической программы Союзного государства “Разработка нанотехнологий создания материалов, устройств и систем космической техники и их адаптация к другим отраслям техники и массовому производству"на 2009–2012 годы (“Нанотехнология-СГ”). НОВЫЙ СПОСОБ ПОЛУЧЕНИЯ КУМУЛЯТИВНЫХ СТРУЙ Ю. Ф. Христенко, В. Г. Трушков НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета Работа относится к экспериментальной технике высокоскоростного метания для получения космических скоростей ударников в лабораторных условиях. Такие экспериментальные исследования необходимы при отработке противометеоритной защиты космических аппаратов, а также защиты от космического мусора. Известны различные способы получения кумулятивных струй: газокумулятивные струи при детонации цилиндрического заряда ВВ с центральным каналом; кумулятивная струя из пластика при ударе поддона (обоймы) по трубке из нейлона, поликарбоната и т.п.; наиболее близким к ним по технической сущности является способ получения кумулятивных струй Шапеев В. П., Исаев В. И., Черепанов А. Н. 238 при обжатии продуктами детонации конической полости с металлической облицовкой. Недостатки этого способа заключаются в следующем: особые требования к экспериментальному помещению и к обслуживающему персоналу, а также требования по безопасности, звукоизоляции, защите оборудования от продуктов детонации. Целью данной работы является разработка рекомендаций по повышению безопасности проведения экспериментов, позволяющих обойтись без защитных устройств для оборудования. Решение поставленной задачи достигается тем, что полость выполняют в переднем торце пластического поршня, который разгоняют в канале ствола, снабжённого коническим насадком. При таком способе может быть получена “чистая” струя без сопутствующих продуктов детонации, что существенно упрощает проведение экспериментов, а также снижает требования к экспериментальному помещению. Если использовать для ускорения поршня сжатый лёгкий газ, а выстрел производить в вакуумированную камеру, то можно обеспечить практически бесшумное проведение эксперимента. Проведены экспериментальные исследования и численное моделирование предложенного способа получения кумулятивных струй. Работа выполнена при частичном финансировании по программе Минобрнауки РФ “Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)” (код проекта РНП 2.1.2. 2509) и частичной поддержке грантов РФФИ (коды проектов 09-08-00662а, 10-08-00633а, 10-0800398а). ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ЛАЗЕРНОЙ СВАРКЕ ТОНКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛАСТИН В. П. Шапеев1 , В. И. Исаев2 , А. Н. Черепанов1 1 Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск 2 Новосибирский государственный университет Рассматривается установившийся процесс лазерной сварки встык тонких металлических пластин. Последние являются прямоугольными параллелепипедами, состыкованными между собой узкими боковыми гранями. Ось луча лазера лежит в плоскости стыка пластин и направлена перпендикулярно к их поверхности. Лазер движется параллельно пластинам вдоль стыка. В рассматриваемой области введем декартову систему координат, в которой лазерный луч неподвижен, а пластины перемещаются со скоростью сварки Vw . Ось z направлена вниз вдоль оси луча, ось x — вдоль стыка в направлении перемещения пластин, а ось y — перпендикулярно стыку. В данной работе предложена трехмерная квазистационарная математическая модель процесса лазерной сварки. В ней для описания теплопереноса используется уравнение теплопроводности с конвективными членами, а для моделирования течения жидкого металла в сварочной ванне — уравнения Навье — Стокса. В модели учитывается наличие парогазового канала в окрестности луча лазера. Ввиду существенной сложности трехмерной модели, в данной работе на ее основе путем осреднения уравнений по переменной y создана квазитрехмерная модель. В ней учитывается конечность в направлении оси y характерных размеров области, в которой протекают физические процессы. Приближенно учитываются поток тепла в направлении оси y и трение между перпендикулярными к оси y слоями жидкого металла в ванной. Для численного решения краевых задач для уравнений Навье — Стокса и теплопроводности в областях с криволинейной границей применяются варианты метода коллокаций и наименьших квадратов (КНК). Последний хорошо зарекомендовал себя при решении известной эталонной задачи о течении вязкой жидкости в каверне с движущейся крышкой. На Шер Е. Н., Михайлов А. М. 239 рис. приведены результаты моделирования сварки титановых пластин толщиной 2 мм со скоростью Vw =0.0167 м/с (1 м/мин) лазером мощностью 1.5 кВт. Область черного цвета, через которую проходит прямая x = 0, соответствует паровому каналу. (а) (б) Рис. Поле температур (a) и картина линий тока расплава в сварочной ванне (б). Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 08-08-00249-а), Интеграционных проектов СО РАН № 11.5, № 26 и комплексного интеграционного проекта СО РАН № 140. ОЦЕНКА РАЗМЕРОВ ЗОНЫ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ВЗРЫВЕ СОСРЕДОТОЧЕННОГО ЗАРЯДА ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Шер Е. Н., Михайлов А. М. Институт горного дела СО РАН, Новосибирск Разрушающее действие взрыва сосредоточенного заряда ВВ на горные породы было предметом многих теоретических исследований [1-3]. Проведенные исследования в основном касались разрушения горных пород при камуфлетном взрыве сосредоточенного заряда. Для описания деформирования горной породы на разных расстояниях от эпицентра взрыва использовался зонный подход. При этом вблизи заряда обычно выделяется зона интенсивного дробления. К ней примыкает зона радиальных трещин и зона упругости. В этом случае удается сводить решение задач к обыкновенным дифференциальным уравнениям и получать их оценки в аналитическом виде. Задача о взрыве вблизи свободной поверхности является более сложной и требует применения численных подходов. В монолитных хрупких породах габариты и основной объем разрушенной среды определяется размерами зоны трещин, развивающихся после остановки зоны дробления. При камуфлетном взрыве такие трещины развиваются радиально. При взрыве вблизи свободной поверхности их развитие происходит по криволинейным траекториям, их расчет позволяет определить размеры воронки выкола. В развиваемой модели предполагается, что на начальном этапе взрыва развитие разрушения происходит как при камуфлетном взрыве. После детонации заряда в среду выходит волна разрушения, формирующая зону интенсивного дробления горной породы. После остановки волны дробления дальнейшее разрушение хрупкой горной породы происходит в результате развития зоны радиальных трещин. Для оценки параметров такой зоны при взрыве вблизи свободной поверхности рассматривается развитие осесимметричных трещин, первоначально конических и выходящих из эпицентра взрыва под разными углами. Размеры таких начальных трещин L0 необходимо связать с параметрами заряда ВВ. Предполагается, что L0 = bm , где bm — максимальный размер зоны дробления при камуфлетном взрыве заряда. Для определения размера зоны дробления использовались формулы, приведенные в [3] и выражающие радиус зоны дробления через упругие и прочностные параметры среды и энергию заряда ВВ. Для расчетов развития осесимметричных трещин разработан численный метод разрывных Штерцер А. А., Злобин С. Б. 240 смещений. Аналогичный метод для случая плоского деформирования был разработан ранее С. Краучем и А. Старфилдом [4]. Проведенные расчеты позволили оценить размеры зоны разрушения и форму воронки выкола при взрыве сосредоточенного заряда вблизи свободной поверхности при различных его заглублениях и энергии. Список литературы 1. Чедвик П. , Кокс А. , Гопкинсон Г. Механика глубинных подземных взрывов. М: Наука, 1966. 2. Григорян С. С. Некоторые вопросы математической теории деформирования и разрушения твердых горных пород. Прикл. математика и механика. 1967. Т. 31. вып. 4. С. 643–649. 3. Родионов В. Н. , Адушкин В. В. , Ромашев А. Н. и др. : Механический эффект подземного взрыва. М: Недра, 1971. 4. Крауч С. , Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М: Мир, 1987. НАНЕСЕНИЕ ГРАДИЕНТНЫХ ПОКРЫТИЙ КЕРАМИКА-МЕТАЛЛ ДЕТОНАЦИОННЫМ НАПЫЛЕНИЕМ А. А. Штерцер, С. Б. Злобин Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск С применением компьютеризированного детонационного комплекса “Дракон”, оснащенного двумя дозаторами запатентованной конструкции [1], проводилось напыление градиентных покрытий на основе Ti и Al2 O3 . Управление дозаторами при помощи компьютера позволяет попеременно напылять керамическую и металлическую компоненты. Чередуя выстрелы с той или иной компонентой при послойном напылении можно в широких пределах изменять структуру покрытия. Получены покрытия с различной структурой, изменяющейся от “грубой” до “тонкой”. В покрытиях с грубой структурой значения микротвердости, измеренные в различных слоях, существенно различаются и соответствуют этим параметрам для керамической и металлической компонент. В покрытиях с тонкой структурой колебания микротвердости в объеме, где керамика и металл сильно перемешаны, практически отсутствуют. Проводились испытания покрытий на срез по специально разработанной методике. Прочность на срез, в частности, покрытия Al2 O3 на подложке из алюминия с подслоем Ti составила 152 МПа. Микроструктура градиентного покрытия Al2 O3 – Ti показана на рисунке. Штерцер А. А., Злобин С. Б. 241 Градиентные покрытия могут найти применение в качестве, например, термобарьерных слоев, наносимых на детали газовых турбин [2]. Работа выполнена при поддержке Программы Президиума РАН № 11, интеграционных проектов СО РАН № 82 и 108, и гранта Президента РФ № НШ-5770.2010.1. Список литературы 1. В. Ю. Ульяницкий, А. А. Штерцер, С. Б. Злобин, А. Л. Кирякин Импульсный порошковый питатель для установки детонационного напыления. Патент РФ №2342201 от 27.08.08, приоритет от 20.02.07. Опубликовано 27.12.2008, бюл. № 36. 2. А. В. Сударев. Перспективы создания для стационарной энергетики экологичных керамических газотурбинных двигателей. Известия РАН. Энергетика. 1992. № 1. С. 49–59. Авторский указатель Ajaev V. S., 12 Antontsev S. N., 12 Bizhanova G.I., 43 Burde G. I., 44 Chemetov N. V., 44, 45 Christov C. I., 46 Diaz J. I., 15 Аринин В. А., 190 Архипов В. А., 62 Архипов Д. Г., 63 Асилбеков Б. К., 64 Астрелин В. Т., 65 Афанасьев А.А., 65 Афанасьев К. Е., 66–68 Афанасьева С. А., 191 Ахмадеев Ф. М., 69 Ахмед-Заки Д. Ж., 70 Finn R., 47 Grebenev V. N., 48 Kolpakov A. G., 49 Krechetnikov R., 12, 50 Kuibin P. A., 50 Lavrenteva O. M., 51 Marsden J., 50 Meleshko S. V., 13 Naumov I. V., 52 Nir A., 51 Okulov V. L., 52, 53 Panov E. Yu., 14 Rosenfeld L., 51 Sharypov O. V., 50 Shelukhin V. V., 15 Shmarev S. I., 15 Sorensen J. N., 52, 53 Абзалилов Д. Ф., 55 Авербух Е. Л., 180 Авсейко Е. О., 226 Адмаев О. В., 55 Акимов С. В., 56 Аксенов В. С., 236 Актершев С. П., 57 Алабужев А. А., 58 Алексеев Г. В., 59 Алехно А. Г., 16 Алимжанов Е. С., 17 Андреев В. К., 60 Андронов А. Н., 61 Анисимов А. Г., 230 Бабкин А. В., 191 Бабкин В. С., 193 Багдерина Ю. Ю., 18 Бажин А. А., 71 Базарханов Д. Б., 19 Базовкин А. В., 72 Байдулов В. Г., 73 Бакиров И. Б., 20 Бакланова Н. И., 69 Балапанов Д. М., 73 Балгимбаева Ш. А., 21 Батищев В. А., 74 Батраев И. С., 194 Баутин С. П., 75–77, 195 Бекежанова В. Б., 78 Беленовский Ю. А., 231 Белов Н. Н., 191 Белолипецкий В. М., 79 Белолипецкий П. В., 79 Белоносов В. С., 22 Белых В. Н., 80 Бельхеева Р. К., 196 Блиев Н. К., 23 Блохин А. М., 81, 172 Богданов А. Н., 81 Богоявленская В. А., 83 Бойко М. М., 204 Бондаренко Б. В., 84 Бондарь Л. Н., 23 Бордзиловский С. А., 196 Борисов А. В., 188 Боровских А. В., 24 Бублик В. В., 85 Буренин А. А., 86 Буханько А. А., 87 Быковский Ф. А., 197 Ваганова Н. А., 88 242 Авторский указатель Валитов Р. А., 55 Васильев А. А., 228 Васильев А. Ю., 88 Ведерников Е. Ф., 197 Ведяев В. Я., 198 Виноградов А. В., 198 Владыкина Е. А., 119 Водолажский А. А., 89 Воеводин А. Ф., 90, 91 Волков П. К., 92 Володина Н. А., 199 Воронин М. С., 200 Вуазен Б., 105 Гавриленко Т. П., 201 Гаврилов Н. В., 92, 160 Гаврилова К. Н., 93 Гайдомак С. В., 25 Гайфуллин А. М., 94 Георгиевский П. Ю., 95 Герасимов А. В., 183, 203, 230 Годунов С. К., 96 Головин С. В., 97 Голосов К. В., 26 Голубятников А. Н., 98 Гончарова О. Н., 99 Горобчук А. Г., 100 Гранкина Т. Б., 90 Грешилов А. Г., 56 Григорьев Ю. Н., 100, 101 Григорьева И. В., 66 Грязнов Е. Ф., 204 Гулевич М. А., 229, 235 Гущин В. А., 133 Данаев Н. Т., 70 Дерябин С. Л., 77 Джобулаева Ж. К., 101 Диесперов В. Н., 81 Дмитриева М. А., 222 Дрожжин А. П., 232 Дударев Е. Ф., 191 Дудко О. В., 102, 205 Евстигнеев Н. К., 103 Елизаров А. М., 26 Елизарова М. А., 32 Ермаков М. К., 104 Ерманюк Е. В., 105, 160 Ершов А. П., 206 Ершов И. В., 101 Ефимова М. В., 106 243 Жапбасбаев У. К., 64 Ждан С. А., 197, 207 Жибер А. В., 28 Жогин И. Л., 232 Жогов Б. М., 213 Жук В. И., 106 Журавлев А. И., 69 Зайков А. Ф., 107 Зайковский А. В., 225 Зелепугин С. А., 208 Злобин С. Б., 194, 208, 240 Зубцов А. В., 94 Зудов В. Н., 108 Иванов В. С., 236 Иванова Е. С., 198 Иванова О. В., 208 Иванова Ю. Е., 209, 210 Игнатенко А. Г., 235 Игуменов И. К., 69 Ильинский Н. Б., 55, 109 Иоилев А. Г., 211 Исаев В. И., 110, 187, 238 Кабов О. А., 99 Казаков А. Л., 111, 112 Казаков К. Е., 113 Казанцев В. П., 39 Калиланова К. А., 64 Камалутдинов И. М., 109 Камовский Д. А., 114 Канель Г. И., 212 Карабут Е. А., 114 Карабут П. Е., 142 Карабцев С. Н., 115 Караханов С. М., 196 Карельский К. В., 116 Каримов Р. Х., 29 Карпенко И. И., 199, 213 Карпов Е. В., 226 Киселев А. Н., 231 Киселев С. П., 214 Клепче В. Н., 67 Князева А. Г., 103, 117, 136, 185, 215, 227 Кобенко С. В., 218, 234 Ковалев В. А., 118 Ковеня В. М., 72 Ковтанюк Л. В., 86 Кожевникова Л. М., 29 Колесников С. А., 216 Колмакова Т. В., 217 Авторский указатель Коняев А. А., 203 Коржавин А. А., 193 Коробкин A. A., 178 Костицын О. В., 231 Костригина О. С., 28 Котельникова М. С., 124 Кочеров Е. П., 87 Кочетков И. И., 228 Крайко А. Н., 30 Красников В. С., 223 Краснова Д. А., 35 Краюхин А. А., 211 Кривошеина M. Н., 218, 234 Крутова И. Ю., 75 Куркин А. А, 180 Куркин А. А., 119 Куркина О. Е., 119 Куропатенко В. Ф., 120 Лаврентьев М. М. (мл.), 107 Лавров В. В., 216 Ладов С. В., 191 Лаевский Ю. М., 193 Лаптева А. А., 205 Латышев С. В., 121 Левин В. А., 95, 122, 219–221 Лейцин В. Н., 222 Лемперт А. А., 112 Леонтьев Н. Е., 98 Липатов И. И., 123 Литвенко В. В., 223 Лобойко Б. Г., 231 Логинов Б. В., 31 Луговцов Б. А., 124 Лукьянчиков Л. А., 232 Луценко Н. А., 122 Лычев С. А., 125 Любимов Д. В, 126 Любимова Т. П., 126 Ляпидевский В. Ю., 92, 93 Маилков А. Е., 236 Майер А. Е., 223 Макарчук Р. С., 127 Маклаков Д. В., 26, 128 Мали В. И., 224 Малышенко В. В., 129 Малютина А. Н., 32 Мамонтов А. Е., 33 Мамонтов Е. В., 130 Манжалей В. И., 232 Манжиров А. В., 130 244 Мануйлович И. С., 219–221 Марков В. В., 219–221 Мартынова А. А., 79 Марчук И. В., 131 Марышев Б. С., 126 Матвеев А. Д., 132 Матросов А. Д., 230 Матюшин П. В., 133 Медведев Р. Н., 225, 232 Медведев С. Б., 135 Медведев С. Н., 236 Мелентьев А. Б., 135 Мержиевский Л. А., 200, 223, 226 Миколайчук М. А., 136 Миренков В. Е., 34 Михайлов А. М., 239 Мишнев В. И., 198 Морозов В. Г., 213 Мочалова В. М., 216 Мурашкин Е. В., 71, 114 Мухамбетжанов С. Т., 70 Надкриничный Л. В., 137 Назаренко Н. Н., 227 Назарова Л. А., 138 Нещадим М. В., 139 Никифоровская В. С., 91 Овчинников В. В., 57 Одиноков В. И., 150 Олейников А. И., 139 Осипова Е. Б., 140 Остапенко В. В., 142 Пай В. В., 229, 235 Паршакова Я. Н., 126 Паршин Д. А., 143 Пашков С. В., 203 Первушина Н. А., 76 Петров А. Г., 144 Петрова А. Г., 145 Петросян А. С., 116 Пешков И. М., 96 Пинаев А. В., 228 Пластинин А. В., 206, 229 Погорелова А. В., 146 Полоник М. В., 146 Полянин А. Д., 34, 174 Поплавская Т. В., 147 Потапов И. И., 84, 148 Потянихин Д. А., 102 Привалова В. В., 168 Авторский указатель Прокофьев В. В., 149 Прокудин А. Н., 150 Просвирнин К. М., 231 Прууэл Э. Р., 206, 216, 232 Пухначев В. В., 151 Пьянков К. С., 30 Рагозина В. Е., 209, 210 Радченко В. П., 151 Разоренов С. В., 212 Рассоха С. С., 191 Рафейчик С. И., 229 Рейн Т. С., 67, 68 Рогачев Е. Е., 146 Родионов А. А., 35 Ройтенберг Е. Я., 36 Романенко А. А., 107 Роменский Е. И., 152 Рощупкин А. В., 75 Рудой Е. М., 153 Рыжков И. И., 154 Рымаренко К. В., 170 Савченко А. В., 216 Сагитов Р. В., 155 Садовская О. В., 155 Садовский В. М., 157 Саженков С. А., 158 Сатонкина Н. П., 206 Саттаров М. А., 158 Саушкин М. Н., 151 Сахауева М. А., 37 Саяпин В. В., 235 Севрук А. Б., 16 Семенко Е. В., 159 Семенко Р. Е., 81 Семенов Э. И., 160 Сердцева Н. А., 160 Сидоров Д. Н., 38 Сидоров Н. А., 38 Сиковский Д. Ф., 161 Сильвестров В. В., 208, 229 Синицын А. В., 160 Синяев С. В., 230 Скосырский А. Б., 191 Скрипник А. А., 236 СлавинА. Г., 116 Сметанюк В. А., 236 Смирнов Е. Б., 231 Смирнов С. В., 162 Снытников А. В., 65 Снытникова Т. В., 163 245 Спиридонов В. Ф., 199 Стадник А. Л., 211 Степаненко Е. Н., 231 Степанова Е. В. , 165 Степанова И. В., 154, 166 Стружанов В. В., 167, 168 Стуколов С. В., 115 Стурова И. В., 168 Суржиков С. Т., 169 Суров В. С., 231 Сухинин С. В., 69, 170 Сырямин А. С., 207 Табаченко А. Н., 191 Такмазьян А. К., 149 Тарунин Е. Л., 135 Тен К. А., 216, 232 Тенкам Э. М., 174 Терешко Д. А., 171 Тесленко В. С., 225, 232 Тилляева Н. И., 30 Титов В. М., 232 Титова В. Б., 213 Ткачев Д. Л., 172 Ткаченко Б. И., 190 Толочко Б. П., 232 Трахинин Ю. Л., 173 Третьяков П. К., 233 Трифонов А. Ю., 188 Трушков В. Г., 237 Туч Е. В., 218, 234 Тян А. В., 215 Уваровская М. И., 33 Ульяницкий В. Ю., 194, 201, 208 Урманчеев С. Ф., 73 Усанина А. С., 62 Уткин А. В., 216 Федотенко Т. М., 235 Федотов И. А., 174 Федотова З. И., 175 Филатов Е. В., 149 Филимонов М. Ю., 88 Филин В. П., 231 Флор Ж. Б., 105 Фоминский Д. А., 176 Фортов В. Е., 212 Фролов С. М., 236 Фролов Ф. С., 236 Хабахпашев Г. А., 63 Авторский указатель Хабахпашева T. И., 178 Хабиров С. В., 179 Хакимзянов Г. С., 77, 175 Хвостова О. Е., 180 Хе А. К., 93, 121 Хлуднев А. М., 181 Хребтов М. Ю., 181 Христенко Ю. Ф., 237 Хромов А. И., 87 Цырюльников И. С., 147 Чашечкин Ю. Д. , 165 Черевко А. А., 177 Черепанов А. Н., 182, 187, 238 Черепанов Р. О., 183 Черепанова В. К., 182 Чернышова О. Н., 213 Чесноков А. А., 121 Чехонин К. А., 184 Чиркунов Ю. А., 135, 184 Чумаков Ю. А., 185 Чупахин А. П., 139, 177, 178 246 Шалаев В. И., 186 Шанько Ю. В., 39 Шапеев В. П., 110, 187, 238 Шаповалов А. В., 188 Шардаков И. Н., 83 Шарипов Р. Р., 128 Шарифулин А. Н., 155, 176 Шаталов М. Ю., 174 Швецов Г. А., 188 Шер Е. Н., 239 Шкутин Л. И., 189 Шляхтич Е. Н., 39 Штерцер А. А., 194, 240 Шундерюк М. М., 144 Югов Н. Т., 191 Юношев А. С., 208 Яковенко Г. Н., 41 Яковлев И. В., 235 Яловец А. П., 223 Янилкин Ю. В., 213 Подписано в печать 25.06.2010. Формат 60×84 1/8. Усл. печ. л. 25 Уч.-изд. л. 23.8. Тираж 220 экз. Лицензия ПД N 12-0143 от 22.10.2001 Отпечатано на полиграфическом участке Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090, Новосибирск, проспект акад. Лаврентьева, 15. Офсетная печать. Заказ № 54.

лаврентьевские чтения по математике, механике и

Похожие документы

Разделы

Поддержка

лаврентьевские чтения по математике, механике и

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib