p(x, y) = A + Bx + Cy + Dx 2 + Ey 2 + F xy и (0, 0)¹ в f (0, 0) µ 3x2 +

2008 február 19.
II. elemz® analízis 1. soport
2007-2008/II. félév
2. feladatsor
1. a) Igaz-e, hogy minden kétváltozós másodfokú polinom
p(x, y) = A + Bx + Cy + Dx2 + Ey 2 + F xy
alakú?
b) Határozzuk meg a fenti p polinom nulladik, els® és másodrend¶ pariális deriváltjait (0, 0)-ban!
) Határozzuk meg azt a kétváltozós másodfokú polinomot, amelynek minden legfeljebb másodrend¶ pariális deriváltja megegyezik egy adott kétszer diereniálható f
függvény megfelel® pariális deriváltjával a (0, 0) pontban, majd ellen®rizzük le, hogy
f (0, 0)-beli második Taylor polinomját kaptuk!
(HF) d) Írjuk föl egy kétváltozós kétszer diereniálható f (x, y) függvény (a, b) pontbeli második Taylor polinomját!
(HF) e) Mutassuk meg, hogy az el®bb kapott polinom minden legfeljebb másodrend¶
pariális deriváltja megegyezik f megfelel® pariális deriváltjaival az (a, b) pontban!
2. Határozzuk meg az alábbi függvények lokális maximum illetve minimumhelyeit!
b) 23 x3 + y 4 + xy
) xy
a) 3x2 + 5y 2
(HF) d) ey −x
h) −2x2 − y 4
2
2
e) xyz + x2 + y 2 + z 2
f) x3 + y 3
i) (2x − 5y)2
j) (1 + ey ) cos x − yey
g) x4 + y 4
3. Jelölje E(x, y) egy test energiáját az (x, y) pontban! Mely pontokban van a test
egyensúlyban? Milyen az egyensúlyi helyzet (stabil, labilis, közömbös)?
b) E(x, y) = x2 − y 2
) E(x, y) = (x − y)2
a) E(x, y) = x2 + y 2
2
2
(HF) d) E(x, y) = e−(x +y ) e) E(x, y) = x3 +y 3 −9xy f) E(x, y) = x3 y 2(5−x−y)
4. (HF) a) Bizonyítsuk be, hogy ha
fx′ (a, b) = fy′ (a, b) = 0
és
′′
′′
′′
fxx
(a, b)fyy
(a, b) > fxy
(a, b)
2
,
akkor f -nek (a, b)-ben szigorú lokális széls®értékhelye van!
b) Mit®l függ a fenti esetben, hogy (a, b)-ben szigorú lokális minimum vagy maximum
van?
′′
′′
′′
) Mit mondhatunk, ha fx′ (a, b) = fy′ (a, b) = 0 és fxx
(a, b)fyy
(a, b) < (fxy
(a, b))2 ?
′′
′′
′′
(a, b)fyy
(a, b) = (fxy
(a, b))2 ?
d) És ha fx′ (a, b) = fy′ (a, b) = 0 és fxx
Ne felejtsék el, hogy házi feladat az el®z® feladatsorról elnapolt 4/d,e, 7. és 8. feladat is!
A feladatsorok (remélhet®en) letölthet®ek a
www.s.elte.hu/anal/keleti/gyak oldalról is.