1. Теория множеств

1. Теория множеств
Определение:
Множество A – совокупность элементов, объединённых каким-нибудь
общим свойством.
Введём следующие обозначения. Множества будем обозначать заглавными
буквами латинского алфавита A, B,... или с подстрочным индексом A1 , A2 ,... ,
элементы множества будем обозначать строчными буквами латинского
алфавита a, b,... или с подстрочным индексом a1 , a2 ,... . Принадлежность
элемента x множеству A будем обозначать x ∈ A ; если элемент не
принадлежит множеству, тогда пишем x ∉ A . Пустое множество будем
обозначать ∅ .
Определения:
1. B является подмножеством множества A , то есть B ⊆ A ⇔
x ∈ B ⇒ x ∈ A , то есть каждый элемент x ∈ B обладает свойством x ∈ A .
2. ∀A ∅ ⊆ A , то есть ∅ является подмножеством любого множества.
3. Множества A и B равны, то есть A = B , ⇔ A ⊆ B и B ⊆ A .
4. B является строгим подмножеством множества A , будем обозначать
это B ⊂ A , ⇔ B ⊆ A и B ≠ A .
5. B является собственным подмножеством множества A ⇔ B ⊂ A и
B≠∅.
Определим операции над множествами:
• Объединение множеств A и B : A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B} ,
• Пересечение множеств A и B : A ∩ B = { x | x ∈ A & x ∈ B} ,
• Разность множеств A и B : A \ B = { x | x ∈ A & x ∉ B} ,
• Симметрическая разность A и B : A ∆ B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A) ,
• Дополнение множества A относительно U , где A ⊆ U : A = U \ A .
Из определения операций над множествами можно получить следующие
свойства:
1. x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A и x ∉ B ,
2. x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A или x ∉ B ,
3. x ∉ A \ B ⇔ x ∉ A или x ∈ B .
Пример 1.1:
Доказать равенство A ∪ B = A ∪ ( B \ A)
Доказательство:
По определению, доказательство равенства эквивалентно доказательству
двух утверждений:
1. A ∪ B ⊆ A ∪ ( B \ A) ,
2. A ∪ B ⊇ A ∪ ( B \ A) .
Докажем первое утверждение:
Пусть x ∈ A ∪ B , тогда x ∈ A или x ∈ B . Рассмотрим два случая: x ∈ A и x ∉ A .
Пусть x ∈ A , тогда для любого множества C имеет место x ∈ A ∪ C , в
качестве множества C возьмём множество B \ A , тогда x ∈ A ∪ ( B \ A) .
Пусть x ∉ A , тогда x ∈ B , то есть можно записать, что x ∈ B \ A , тогда
x ∈ A ∪ ( B \ A) .
Докажем второе утверждение:
Пусть x ∈ A ∪ ( B \ A) , тогда x ∈ A или x ∈ B \ A . Рассмотрим два случая: x ∈ A
и x∉ A.
Пусть x ∈ A , тогда x ∈ A ∪ B .
Пусть x ∉ A , тогда x ∈ B \ A , то по определению разности множеств x ∈ B и
x ∉ A , следовательно x ∈ A ∪ B .
Пример 1.2:
Доказать утверждение A ⊆ B ∩ C ⇔ A ⊆ B и A ⊆ C .
Доказательство:
Для доказательства этого утверждения нужно доказать два следующих
следствия:
1. A ⊆ B ∩ C ⇒ A ⊆ B и A ⊆ C ,
2. A ⊆ B ∩ C ⇐ A ⊆ B и A ⊆ C .
Докажем первое следствие:
Доказательство состоит в том, что нужно доказать одновременную
принадлежность элемента x ∈ A множествам B и C . Пусть x ∈ A , тогда в
силу A ⊆ B ∩ C , следует, что x ∈ B и x ∈ C .
Докажем второе следствие:
Пусть x ∈ A , тогда в силу A ⊆ B и A ⊆ C , следует, что x ∈ B и x ∈ C , по
определению операции пересечения x ∈ B ∩ C .
Пример 1.3:
Существуют ли такие множества A , B , C , что A ∩ B ≠ ∅ , A ∩ C = ∅ ,
( A ∩ B) \ C = ∅ .
Решение:
Будем считать, что такие множества существуют. Тогда ∃x ∈ A ∩ B в силу
того, что A ∩ B ≠ ∅ , по определению операции пересечения x ∈ A и x ∈ B . Так
как x ∈ A и A ∩ C = ∅ , тогда x ∉ C . Так как x ∈ A , x ∈ B и x ∉ C , следовательно
x ∈ ( A ∩ B ) \ C , тогда возникает противоречие с равенством ( A ∩ B ) \ C = ∅ .
Следовательно ¬ ∃x ∈ A ∩ B , поэтому множеств удовлетворяющих условию
задачи не существует.
Пример 1.4:
Доказать равенство A ∩ B = A ∪ B .
Доказательство:
По определению, доказательство равенства эквивалентно доказательству
двух утверждений:
1. A ∩ B ⊆ A ∪ B ,
2. A ∩ B ⊇ A ∪ B .
Докажем первое утверждение:
Пусть x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ U \ ( A ∩ B ) ⇒ x ∈U и x ∉ A ∩ B ⇒ x ∈ U & x ∉ A или
x ∈ U & x ∉ B . Если x ∈ U & x ∉ A , тогда x ∈ A и следовательно x ∈ A ∪ B . Если
x ∈ U & x ∉ B , тогда x ∈ B и следовательно x ∈ A ∪ B .
Докажем второе утверждение:
Пусть x ∈ A ∪ B , тогда по определению операции объединения x ∈ A или
x ∈ B . Если x ∈ A , тогда x ∈U \ A , следовательно x ∈U и x ∉ A , если элемент не
принадлежит какому-либо множеству C , то он не будет принадлежать и
пересечению данного множества C с любым другим множеством, то есть
x ∉ A ⇒ x ∉ A ∩ B , из этого следует x ∈ U \ ( A ∩ B ) , то x ∈ A ∩ B . Аналогично
проводится доказательство для случая x ∈ B .
Пример 1.5:
Доказать равенство A \ ( A \ B ) = A ∩ B .
Доказательство:
Для доказательства будем использовать эквивалентные преобразования:
x ∈ A \ ( A \ B) ⇔ x ∈ A & x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A &
∨
(x∈ A
(x∉ A
∨ x ∈ B) ⇔
(x∈ A
& x ∉ A)
& x ∈ B) ⇔ x ∈ A & x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B .
2. Декартово произведение множеств
Определения:
1. Мощность множества A – это число его элементов, обозначается A .
2. Мощность множеств всех подмножеств множества
A
P ( A) = 2 .
A
равна
3. Декартово произведение множеств A и B – есть множество вида
A× B =
{ x, y
4. Мощность
}
x ∈ A& y ∈ B .
декартова
произведения
множеств
A
и
B
равна
A× B = A B .
Пример 2.1
Пусть A = {1, 2,3} и B = {a, b} . Найти декартовы произведения A × B и
B × A . Найти мощности этих декартовых произведений.
Решение:
По определению декартова произведения:
A × B = { 1, a , 1, b , 2, a , 2, b , 3, a , 3, b } ,
B × A = { a,1 , b,1 , a, 2 , b, 2 , a,3 , b, 3 } .
Очевидно, что A × B ≠ B × A . Мощности полученных декартовых произведений
A× B = B × A = A B = 3⋅ 2 = 6 .
Пример 2.2
Доказать равенство ( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C ) .
Доказательство:
Для доказательства равенства докажем два утверждения:
1. ( A ∪ B ) × C ⊆ ( A × C ) ∪ ( B × C ) ,
2. ( A ∪ B ) × C ⊇ ( A × C ) ∪ ( B × C ) .
Докажем первое утверждение:
Пусть x, y ∈ ( A ∪ B ) × C , тогда x ∈ A ∪ B и y ∈ C . Если x ∈ A и y ∈ C , тогда
x, y ∈ A × C , следовательно
x, y ∈ ( A × C ) ∪ ( B × C ) . Если x ∈ B и y ∈ C , тогда
x, y ∈ B × C , следовательно x, y ∈ ( A × C ) ∪ ( B × C ) .
Докажем второе утверждение:
Пусть x, y ∈ ( A × C ) ∪ ( B × C ) , тогда
x, y ∈ A × C , тогда x ∈ A и
x, y ∈ A × C или
x, y ∈ B × C . Если
y ∈ C , следовательно x ∈ A ∪ B и
y ∈ C , тогда
x, y ∈ ( A ∪ B ) × C . Аналогично доказывается для случая x, y ∈ B × C .
Пример 2.3
Доказать
( A × B ) ∪ ( C × D ) ⊆ ( A ∪ C ) × ( B ∪ D ) , при каких
получается равенство?
Доказательство:
Пусть
x, y ∈ ( A × B ) ∪ ( C × D ) ,
тогда
x, y ∈ A × B
или
A, B, C , D ≠ ∅
x, y ∈ C × D ,
( x ∈ A ∨ x ∈ C ) & ( y ∈ B ∨ y ∈ D ) , из этого условия следует, что
y ∈ B ∪ D , тогда x, y ∈ ( A ∪ C ) × ( B ∪ D ) .
x∈ A∪C
то
и
Попробуем
сделать доказательство в обратную сторону. Пусть
x, y ∈ ( A ∪ C ) × ( B ∪ D ) , тогда x ∈ A ∪ C и y ∈ B ∪ D , из этого следует, что
( x ∈ A ∨ x ∈ C ) & ( y ∈ B ∨ y ∈ D ) , тогда следует рассмотреть четыре варианта:
1. x ∈ A и y ∈ B , тогда x, y ∈ A × B , следовательно x, y ∈ ( A × B ) ∪ ( C × D ) ,
2. x ∈ C и y ∈ D , тогда x, y ∈ C × D , следовательно x, y ∈ ( A × B ) ∪ ( C × D ) ,
3. x ∈ A и y ∈ D , тогда x, y ∈ A × D ,
4. x ∈ C и y ∈ B , тогда x, y ∈ C × B .
Тогда возникают дополнительные условия: D ⊆ B и C ⊆ A или B ⊆ D и A ⊆ C
или A = C или B = D .
3. Бинарные отношения, функции, порядок.
Определения:
1. Бинарным отношением между элементами множеств A и B
называется любое подмножество декартова произведения R ⊆ A × B .
2. Если в предыдущем определении A = B , то R – бинарное отношение
на A .
3. Обозначение x, y ∈ R ⇔ xRy .
4.
Область определения бинарного отношения R есть множество
δ R = { x ∃y : x, y ∈ R} .
5.
Область
6.
Дополнение бинарного отношения R между элементами A и B есть
множество − R = ( A × B ) \ R .
7.
Обратное
значений
ρ R = { y ∃x : x, y ∈ R} .
R −1 =
8.
отношение
{ y, x
для
отношения
бинарного
R
есть
множество
отношения
R
есть
}
x, y ∈ R .
Произведение отношений R1 ⊆ A × B и R2 ⊆ B × C есть отношение
R1 ⋅ R2 =
9.
бинарного
{ x, y
}
∃z ∈ B : x, z ∈ R1 & z , y ∈ R2 .
Отношение f называется функцией из A в B , обозначается f : A → B ,
если:
• δf = A и ρf ⊆ B,
• ∀x, y, z x, y ∈ f и x, z ∈ f ⇒ y = z .
10. Отношение
f
называется функцией из A на B , обозначается
HA
f : A 
→ B , если:
• δf = A и ρf = B,
• ∀x, y, z x, y ∈ f и x, z ∈ f ⇒ y = z .
11. Если f – функция, то x, y ∈ f обозначают y = f ( x ) .
12. Тождественная функция iA : A → A определяется iA ( x ) = x .
13. Функция
f
называется 1-1-функцией, если ∀x1 , x2 , y
y = f ( x1 )
и
y = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 .
14. Функция
HA
f : A 
→B
осуществляет
взаимно
однозначное
соответствие между множествами A и B , если f является 1-1функцией.
15. Множества A1 , A2 ,..., Ar из P ( A) образуют разбиение множества A ,
если:
• Ai ≠ ∅, ∀i = 1, r ,
•
A = A1 ∪ A1 ∪ ... ∪ Ar ,
•
Ai ∩ A j ≠ ∅, ∀i ≠ j ,
Ai – блоки разбиения.
16. Бинарное отношение R на множестве A может иметь следующие
свойства:
• рефлексивность ∀x ∈ A x, x ∈ R ,
• иррефлексивность ∀x ∈ A x, x ∉ R ,
• симметричность ∀x, y ∈ A x, y ∈ R ⇒ y, x ∈ R ,
• антисимметричность ∀x, y x, y ∈ R и y, x ∈ R ⇒ x = y ,
• транзитивность ∀x, y, z x, y ∈ R и y, z ∈ R ⇒ x, z ∈ R ,
• дихотомия ∀x ≠ y либо x, y ∈ R , либо y, x ∈ R .
17. Эквивалентность на множестве A – это рефлексивное, симметричное
и транзитивное отношение на A .
18. Класс эквивалентности элемента x по эквивалентности R есть
множество [ x ]R = { y x, y ∈ R} .
19. Фактор множество A по R есть множество классов
эквивалентности элементов множества A и обозначается A / R .
20. Свойства классов эквивалентности:
• классы эквивалентности образуют разбиение множества A ,
• любому разбиению множества A соответствует отношение
эквивалентности, классы эквивалентности которого совпадают с
блоками указанного разбиения,
• ∀x ∈ A попадает в некоторый класс эквивалентности из A / R ,
• классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.
21. Предпорядок на множестве A – это рефлексивное и транзитивное
отношение на A .
22. Частичный порядок на множестве A – это рефлексивное,
транзитивное и антисимметричное отношение на множестве A .
23. Линейный порядок на множестве A – это рефлексивное, транзитивное
и антисимметричное отношение на множестве A , удовлетворяющее
условию дихотомии.
24. Пусть ≤ – отношение порядка на множестве A , тогда:
• минимальный элемент x множества A – это элемент для
которого ¬ ∃y y < x ,
• максимальный элемент x множества A – это элемент для
которого ¬ ∃y x < y ,
• наименьший элемент x множества A – это элемент для которого
∀y x ≤ y ,
• наибольший элемент x множества A – это элемент для которого
∀y y ≤ x .
25. Если между множеством A и множеством натуральных чисел N
можно установить взаимно однозначное соответствие, то множество
A – счётное множество.
Пример 3.1
Пусть
A = {1, 2,3}
R = { 1, a , 1, b , 2, b } .
и
B = {a, b} ,
Будет ли
R
бинарное
отношение
определим
функцией? Как изменить бинарное
отношение R , чтобы R стала функцией?
Решение:
Рассмотрим первый пункт определения функции
δ R = {1, 2} ≠ {1, 2,3} = A ,
следовательно R не является функцией. Добавим в R пару 3, a , тогда
δ R = {1, 2,3} = {1, 2,3} = A , но существуют пары 1, a
и 1, b , что противоречит
второму пункту определения функции, для этого исключим одну пару,
например 1, b и определим бинарное отношение R′ = { 1, a , 2, b , 3, a } ,
которое будет функцией.
Пример 3.2
Пусть A = {1, 2,3} и пусть бинарное отношение R на A имеет вид
R = { 1,1 , 2,1 , 2, 3 } .
Какими
свойствами
обладает
данное
бинарное
отношение?
Решение:
Это отношение
не обладает свойством рефлексивности, так как
∃ x = 2 ∈ A : x, x ∉ R . Также R не обладает свойствами иррефлексивности и
симметричности.
Обладает
свойствами
транзитивности
антисимметричности, так как пар вида x, y , y, z и y, x нет в R .
Пример 3.3
Пусть R = { x, y x, y ∈ N y mod x = 0} . Найти δ R , ρ R , R −1 , R ⋅ R, R ⋅ R −1 , R −1 ⋅ R .
Решение:
δ R ≡ { x ∃y x, y ∈ R} = { x ∀x ∃y = x : x mod x = 0} = Ν ,
ρ R ≡ { y ∃x x, y ∈ R} = { y ∀y ∃x = 1: y mod1 = 0} = Ν ,
и
{ y, x x, y ∈ R} = { y, x y mod x = 0} ,
R ⋅ R ≡ { x, y ∃z x, z ∈ R & z , y ∈ R} = { x, y ∃z = x : x mod x = 0 & y mod x = 0} = R ,
R ⋅ R ≡ { x, y ∃z x, z ∈ R & y , z ∈ R} = { x, y ∃z = xy : ( xy ) mod x = 0 & ( xy ) mod y = 0} = N
R ⋅ R ≡ { x, y ∃z z , x ∈ R & z , y ∈ R} = { x, y ∃z = 1 : x mod1 = 0 & y mod1 = 0} = N .
R −1 ≡
−1
−1
2
,
2
Пример 3.4
−1
Доказать ( R1 ⋅ R2 ) = R2−1 ⋅ R1−1 .
Доказательство:
Пусть x, y ∈ ( R1 ⋅ R2 )
z , y ∈ R1−1 и x, z ∈ R2−1 ⇔
−1
⇔
y, x ∈ R1 ⋅ R2 ⇔ ∃z
y, z ∈ R1 и z , x ∈ R2 ⇔ ∃z
x, y ∈ R2−1 ⋅ R1−1 .
Пример 3.5
Для каких бинарных отношений R имеет место R −1 = − R ?
Решение:
R ⊆ A × B , тогда возможны два случая:
1. A ∩ B ≠ ∅ .
Тогда ∃x ∈ A ∩ B . Если x, x ∈ R , тогда x, x ∈ R −1 и по условию R −1 = − R
следует x, x ∈ − R , тогда x, x ∉ R .
2. A ∩ B = ∅ .
Пусть x ∈ A и y ∈ B и
x, y ∈ R , тогда
y, x ∈ R −1 , тогда по условию
R −1 = − R следует y, x ∈ − R ⇒ y ∈ A и x ∈ B , то есть x ∈ A ∩ B и y ∈ A ∩ B ,
по предположению таких x и y не существует.
Тогда можно сделать вывод, что при условии A, B ≠ ∅ , то R −1 ≠ − R .
Пример 3.6
На множестве D – всех действительных чисел определим отношение R
следующим образом: x, y ∈ R ⇔ ( x − y ) – рациональное число. Доказать, что
R – отношение эквивалентности.
Доказательство:
Для доказательства отношения эквивалентности
рефлексивность, симметричность и транзитивность.
1. рефлексивность:
∀x ∈ D x − x = 0 – рационально число,
2. симметричность:
следует
доказать
если
то
x, y ∈ R ,
y − x = −( x − y) = −
x− y =
p
q
–
рационально
число,
тогда
p
– рациональное число, тогда y, x ∈ R ,
q
3. транзитивность:
если
x, y ∈ R
и
y, z ∈ R ,
то
x− y =
p
q
и
y−z =
m
,
n
сложим
p m
np + mq
+ = x−z =
– рациональное число, тогда x, z ∈ R .
q n
nq
Следовательно R есть отношение эквивалентности.
Пример 3.7
HA
HA
HA
Доказать, что если f : A 
→ B и g : B 
→ C , то f ⋅ g : A 
→C .
Доказательство:
Для доказательства докажем оба пункта определения функции. Для
доказательства первого пункта необходимо доказать, что ∀x ∈ A ∃z ∈ C :
x, z ∈ f ⋅ g и ∀z ∈ C ∃x ∈ A : x, z ∈ f ⋅ g . Рассмотрим ∀x пару x, z ∈ f ⋅ g , тогда
∃y ∈ B :
x, y ∈ f
и
y, z ∈ g , такой
y
всегда найдётся по определению
функций f и g . Рассмотрим ∀z пару x, z ∈ f ⋅ g , тогда ∃y ∈ B :
x, y ∈ f и
y, z ∈ g , такой y всегда найдётся по определению функций f и g . Для
доказательства второго пункта определения предположим, что ∃z1 ≠ z2 :
x, z1 ∈ f ⋅ g
и
x, z2 ∈ f ⋅ g , тогда ∃y1 , y2 :
y2 , z2 ∈ g , по определению функций f
x, y1 ∈ f ,
x, y2 ∈ f ,
y1 , z1 ∈ g
и
и g следует, что y1 = y2 , из чего
следует z1 = z2 .
Пример 3.8
Разбиение плоскости D 2 состоит из лучей, выходящих из начала
координат. Выписать отношение эквивалентности R , соответствующее
данному разбиению, выписать классы эквивалентности.
y
x
Решение:
Блок разбиения совпадает с классом эквивалентности. Блоками
разбиения в данной задаче являются лучи, выходящие из начала координат.
Элементом класса эквивалентности является точка, поэтому отношение
эквивалентности состоит из пар точек. Блоки разбиения не пересекаются или
совпадают, поэтому точку ( 0;0 ) выделим в отдельный класс эквивалентности,
так как все лучи пересекаются в этой точке.
Две точки попадают в один класс эквивалентности если они лежат на
одном луче, то есть точки представимы в виде ( t cos ϕ , t sin ϕ ) . Тогда
( t1 cos ϕ , t1 sin ϕ ) , ( t2 cos ϕ , t2 sin ϕ )
∈ R , где ϕ – любой угол и t1 ≤ t2 .
Пример 3.9
Плоскость M 2 состоит из лучей, выходящих из окружности, описанной
вокруг начала координат. Два точки сравнимы между собой, если они лежат
на одном луче не ближе к началу координат, чем радиус окружности, та
точка, которая ближе к началу координат является меньшей. Найти
наименьший и минимальный элемент.
y
x
Решение:
Найдём минимальный элемент – такой элемент, меньше которого не
существует элементов. Возьмём любую точку на окружности, образованной
окружностью, меньше этой точки элементов нет. Поэтому минимальный
элемент – любая точка на окружности. Наименьшего элемента не
существует, так как нельзя найти точки, которая хотя бы сравнима со всеми
остальными. В случае если бы рассматривалась вся область D 2 , то
минимальными элементами были бы все точки круга.
Пример 3.10
Доказать, что если R – симметрично и антисимметрично, то оно
транзитивно, будет ли данной отношение рефлексивно?
Доказательство:
Для доказательства транзитивности рассмотрим две пары
y, z ∈ R .Так как R – симметрично, тогда
y, x ∈ R и
антисимметрично, тогда x = y = z . Следовательно
x, y ∈ R
и
z , y ∈ R . Так как R –
x, z ∈ R , то есть R
–
транзитивно. Отношение может быть не рефлексивным, например взяв
A = {1, 2} и R = { 1,1 } .
Пример 3.11
Доказать, что
∪A
i
– счетное множество, если все Ai – счётные
i∈N
множества.
Доказательство:
Представим множества Ai в виде:
A0 = {a00 , a01 , a02 ,...}
A1 = {a10 , a11 , a12 ,...}
A2 = {a20 , a21 , a22 ,...}
…
Объединение
множеств
A = ∪ Ai = {aik ∀i, k ∈ N } .
Определим
взаимно
i∈N
однозначное соответствие
f ( 0 ) = a00 ,
f (1) = a01 ,
f ( 2 ) = a10 , … (нумерация
«змейкой») между множеством натуральных чисел N и множеством A .
Таким образом A = ∪ Ai – счётное множество.
i∈N
Пример 3.12
Пусть A = {a, b,..., c}
алфавит
–
конечное
множество
символов,
состоящий из k символов. A* – слова в алфавите. Доказать, что A* –счётное
множество.
Доказательство:
Упорядочим слова в алфавите по длине, а слова с одинаковой длиной
упорядочим лексикографически. Затем пронумеруем слова f ( 0 ) = "" ,
f (1) = " a " , …,
f ( k ) = "c " ,
f ( k + 1) = " aa " , … Следовательно
A* – счётное
множество.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что множество всех корней многочлена α ( x ) = β ( x ) ⋅ γ ( x ) есть
объединение множеств корней многочленов β ( x ) и γ ( x ) .
2. Доказать A ⊆ B и C ⊆ D ⇔ A × C ⊆ B × D .
3. Доказать ( A \ B ) × C = ( A × C ) \ ( B × C ) .
4. Пусть A, B ≠ ∅ и ( A × B ) ∪ ( B × A ) = ( C × D ) . Доказать, что A = B = C = D .
5. Пусть R = { x, y x, y ∈ N y + x ≤ 0} . Найти δ R , ρ R , R −1 , R ⋅ R, R ⋅ R −1 , R −1 ⋅ R .
6. Доказать, что f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) .
7. Доказать, что множество всех подмножеств данного множества
частично упорядоченно отношением включения ⊆ .
8. Пусть R – это частичный порядок, будет ли R–1 являться частичным
порядком?
9. Определим отношение R на множестве натуральных чисел следующим
образом: a, b ∈ R ⇔ ( a − b )⋮ 2 . Доказать, что R является отношением
эквивалентности. Построить классы эквивалентности.
10.Пусть R1 и R2 отношения эквивалентности на множестве A . Доказать,
что R1 ∪ R2 – эквивалентность ⇔ R1 ∪ R2 = R1 ⋅ R2 .
11.Дано множество A = {a, b, c, d } , отношение < определено следующим
образом:
a<c,
b<c,
≤ = {< x, y > x < y или x = y}
c<d, a<d, b<d. Будет ли отношение
- частичным порядком. Найти наибольший,
наименьший, максимальный, минимальный элементы множества A .