«Линейная алгебра»

Рабочая программа (syllabus) курса
«Линейная алгебра»
Совместного бакалавриата ВШЭ и РЭШ
Автор: Александр Эмилевич Гутерман, alexander.guterman@gmail.com
Раздел 1. Общая информация.
1. Название: «Линейная алгебра».
2. Краткое описание (аннотация):
Курс линейной алгебры является частью обязательного математического
курса. Курс рассчитан на один семестр и включает в себя основные
понятия алгебры и линейной алгебры: группы, поля, линейные
(векторные) пространства, базис, размерность, матрицы и операции над
ними, решение систем линейных уравнений, линейные операторы,
квадратичные и билинейные формы, их канонические виды, а также
элементы теории неотрицательных матриц, матриц над тропической
алгеброй и их приложений. Будут разобраны примеры, которые помогут
студентам применять материал курса в других предметах.
Курс содержит некоторое количество дополнительных тем, которые не
войдут в итоговую контрольную работу.
Раздел 2. Цели и задачи курса.
Основная цель курса состоит в обучении студентов основам линейной
алгебры и ее приложений. Другой образовательной целью курса является
навык работы с абстрактными понятиями, овладение теоретическим
материалом, практическое значение которого в основном будет освоено
позже, а также формирование у слушателей алгебраической интуиции.
Задачами курса является обучение студентов навыкам оперирования
такими понятиями, как поля, группы, линейные (векторные) пространства,
базис, размерность, линейные операторы, квадратичные и билинейные
формы, их канонические виды, матрицы и операции над ними, способам
решения однородных и неоднородных систем линейных уравнений.
Требования к студентам – основные знания по курсу математического
анализа (семестр 1). Знания, полученные в процессе обучения, будут
применяться во многих обязательных и необязательных курсах,
предлагаемых в ходе дальнейшего обучения, в том числе, в теории
вероятностей,
эконометрике,
дифференциальных
уравнениях,
математическом анализе многих переменных.
Раздел 3. Структура и содержание дисциплины.
№
пп
Раздел дисциплины
Не
д.
се
м
1.
Группы. Кольца. Поля. Примеры.
1
Виды учебной работы и
трудоемкость (в числе
занятий)
Лек Сем К/р Сам
ции и
раб.
нар
ст.
ы
1
1
3
2.
Комплексные числа. Действия над
комплексными
числами
в
алгебраической
и
тригонометрической
формах.
Формулировка основной теоремы
алгебры.
1
1
1
-
3
3.
Матрицы. Сложение и умножение
матриц. Алгебра матриц и ее
размерность.
Определитель.
Обратная матрица. Ранг матрицы.
2
2
1
-
6
4.
Системы линейных уравнений.
Теорема
Кронекера-Капелли.
Метод Крамера и метод Гаусса.
3
1
0.5
-
3
5.
Векторные
(линейные)
пространства. Примеры. Линейная
независимость.
Базис
и
размерность.
Теорема
единственности числа элементов
базиса. Теорема о монотонности
размерности.
Матрица перехода от одного
базиса к другому. Изоморфизм
пространств
одинаковой
размерности.
Линейное
3
1
0.5
-
3
4
2
1
-
6
6.
Список лит-ры и заданий
Какие
из
перечисленных
множеств образуют группу /
кольцо / поле?
Найти обратимые элементы /
нильпотентные
элементы
/
делители нуля в кольце.
[MM, гл. 1, пп.1.9 – 1.12], [K1,
гл. 4, пп. 1, 2, 3], [V, гл. 1]
Действия
с
комплексными
числами.
Решение уравнений 2 и 3
степени над полем комплексных
чисел.
[MM, гл. 2], [K1, гл. 5, п. 1], [V,
гл. 11, пп. 5, 6]
Найти сумму и произведение
матриц.
Найти определитель данной
матрицы (2х2, 3х3, матрицы
специального вида).
Найти обратную матрицу.
[MM, гл. 8], [K1, гл. 2], [V, гл. 1,
п. 9]
Решить систему однородных
линейных уравнений методом
Гаусса.
Проверить совместна ли система
неоднородных
линейных
уравнений и найти ее решение.
[MM, гл. 3], [K1, гл. 1, пп. 1 – 3],
[V, гл. 2, п. 1]
Какие
из
перечисленных
множеств образуют линейное
пространство?
Определение
базиса
и
размерности пространства.
[MM, гл. 9, пп. 9.1 – 9.4], [K2,
гл. 1, пп. 1, 2], [V, гл. 2, пп. 1, 2]
Проверить,
образуют
ли
системы векторов базис, и найти
матрицу перехода от одного
базиса к другому.
отображение. Матрица линейного
отображения. Ядро и образ
линейного
отображения.
Изменение матрицы линейного
отображения при замене базиса.
Линейные
функционалы.
Двойственность.
Изоморфизмы
пространств.
Изоморфизм
пространства и его сопряженного,
второго сопряженного.
Подпространства.
Задание
подпространств
линейной
однородной системой уравнений.
Сумма линейных подпространств.
Пересечение
линейных
подпространств.
Размерность
суммы
и
пересечения
подпространств. Прямая сумма.
Разложение
пространства
в
прямую
сумму.
Прямые
дополнения.
Повторение
5
1
0
-
2
5-6
2
1
-
4
6
0
1
-
-
10.
Собственные числа и собственные
векторы линейных операторов.
Инвариантные подпространства.
Собственные
подпространства.
Диагонализуемые
и
недиагонализуемые
операторы.
Характеристический многочлен и
его инвариантность при замене
базиса.
Алгебраическая
и
геометрическая кратность корня.
6-7
2.5
0.7
-
2
11.
Определение корней многочлена.
Схема
Горнера.
Множество
возможных рациональных корней.
7
0.5
0.3
-
2
12.
Тропическая алгебра. Линейная
алгебра
над
тропическим
полукольцом.
Приложения
к
задачам
синхронизации
расписаний.
8
1
-
-
3
13.
Неотрицательные матрицы. Связь
с графами. Неразложимые и
примитивные матрицы. Теорема
Перрона-Фробениуса.
Приложения.
Жорданова клетка. Жорданова
нормальная
форма
матрицы.
Определение жорданова базиса.
Минимальный многочлен. Его
существование и единственность.
Теорема
Гамильтона-Кэли.
8
1
1
-
3
910
2
2
-
6
7.
8.
9.
14.
Проверить,
изоморфны
ли
пространства.
Построить матрицу линейного
отображения в заданном базисе.
Найти ядро и образ линейного
отображения.
[K2, гл.2, пп.1 – 2], [V, гл. 2, п.3]
Сдача обязательного д.з.
Какие
из
перечисленных
отображений
являются
линейными
функционалами?
Изоморфны ли пространства?
[K2, гл.1, п.3], [V, гл. 5, п.2]
Исследовать
возможные
взаимные расположения трех
плоскостей в пространстве.
Сдача обязательного д.з.
[MM, гл. 9, пп. 9.10 – 9.14], [K2,
гл. 1, п. 2], [V, гл. 5, п. 1], [K, гл.
7, п.37]
Решение различных задач по
пройденным темам.
Проверить,
является
ли
оператор
диагонализуемым.
Привести
диагонализуемый
оператор к диагональной форме.
Найти
характеристический
многочлен
и
собственные
значения оператора.
[MM, гл. 9, п. 9.19], [K2, гл. 2,
п. 3], [V, гл. 6, п. 2], [K, гл. 7,
п. 33], [HD, гл. 1]
Сдача обязательного д.з.
Найти
множество
всех
рациональных
корней
многочлена (5-6 степени).
Найти множество всех корней
многочлена специального вида
(3-4 степени).
[MM, гл. 1, п. 1.13], [K1, гл. 6,
п. 1], [V, гл. 3], [K, гл. 5]
Арифметические операции в
тропической алгебре.
Решить тропическую систему
линейных уравнений.
Тропический спектр.
[But], [BCOQ]
Проверить, является ли матрица
неразложимой.
Найти Перроновы числа и
векторы матриц.
[K2, гл. 7, п. 4], [HD, гл. 8]
Привести матрицу к жордановой
нормальной
форме,
найти
жорданов базис.
Вычислить
n-тую
степень
матрицы.
Сдача обязательного д.з.
Возведение матрицы в степень и
другие функции от матриц.
[K2, гл. 2, п. 4], [V, гл. 6, п. 4],
[HD, гл. 13]
Сдача обязательного д.з.
Методы и алгоритмы решения
основных
задач
линейной
алгебры. Повторение перед к/р.
Привести
симметрическую
билинейную
форму
к
каноническому виду.
Выписать матрицу билинейной
формы в заданном базисе.
[K2, гл. 1, п. 4] , [V, гл. 5, п. 3]
Сдача обязательного д.з.
15.
Различные методы и алгоритмы
линейной алгебры.
10
1
-
-
2
16.
Билинейные
и полилинейные
отображения. Билинейные формы
и их матрицы. Изменение матрицы
при замене базиса. Канонический
базис
для
симметрической
билинейной формы.
12
1
1
-
6
17.
Промежуточная
контрольная
работа
Квадратичные формы и их
матрицы.
Канонический
и
нормальный вид квадратичной
формы. Метод Лагранжа. Закон
инерции
для
вещественных
квадратичных форм. Теорема
Якоби. Критерий Сильвестра.
Канонический
вид
кососимметрической билинейной
формы.
Евклидово
пространство.
Неравенство Коши-Буняковского
и его следствия.
12
-
-
1
1213
2
1
-
8
Найти
канонический
и
нормальный виды квадратичной
формы.
Привести кососимметричекую
билинейную
форму
к
каноническому виду, вычислить
ее ранг и индексы инерции.
[K2, гл. 1, п. 4], [V, гл. 5, п. 3]
13
1
-
-
3
Ортогональность
векторов.
Существование
ортонормированного базиса в
евклидовом
пространстве.
Ортогональное
дополнение.
Ортогональные многочлены.
Скалярное произведение. Матрица
Грама. Невырожденное скалярное
произведение.
Процесс
ортогонализации Грама-Шмидта.
Метод наименьших квадратов.
14
1
1
-
3
Определить,
является
ли
пространство евклидовым.
[K2, гл. 3, п. 1], [K, гл. 8], [V, гл.
5, п. 4]
Найти
ортогональное
дополнение к подпространству.
Сдача обязательного д.з.
[K2, гл. 3, пп. 4, 5]
1415
2
1
-
6
22.
Сопряженный
оператор.
Самосопряженный
оператор.
Теорема
о
существовании
ортонормированного базиса из
собственных
векторов
для
самосопряженного
оператора.
Нормальный оператор.
17
2
1
-
6
23.
Ортогональные
и
унитарные
операторы.
Приведение
квадратичной формы к главным
осям.
Изометрия.
Запись
ортогонального
оператора
в
ортонормированном базисе.
18
2
1
-
4
18.
19.
20.
21.
Задает ли квадратичная форма
скалярное произведение?
Выписать
матрицу
Грама
скалярного произведения.
Найти
ортонормированный
базис линейного пространства.
Найти
ортогональное
дополнение к подпространству,
заданному системой векторов
или
системой
линейных
уравнений.
[K2, гл. 3, пп. 1, 5], [V, гл. 5, п.
4], [HD, гл. 2]
Найти
сопряженный
к
оператору.
Какие собственные векторы
нормального
оператора
ортогональны?
Сдача обязательного д.з.
[K2, гл. 3, п. 3], [V, гл. 6, п. 3],
[HD, гл. 2]
Найти
собственный
ортонормированный базис и
матрицу
в
этом
базисе
ортогонального / унитарного
оператора.
Доказать, что ортогональные
24.
Полярное разложение линейного
оператора.
19
-
1
-
2
25.
Итоговая контрольная работа
19
-
-
-
6
операторы образуют группу.
[K2, гл. 3, п. 2], [V, гл. 6, п. 3],
[HD, гл. 2]
Вычислить
полярное
разложение
линейного
оператора.
[K2, гл. 3, п. 3], [V, гл. 6, п. 3],
[HD, гл. 2]
Сдача обязательного д.з.
Раздел 4. Описание методологии.
Курс линейной алгебры является первым достаточно абстрактным
математическим курсом, приложения которого будут применяться во
многих следующих обязательных и необязательных курсах, прежде всего
в теории вероятностей, эконометрике, дифференциальных уравнениях,
математическом анализе многих переменных. Сложность курса
определяется его абстрактностью. Курс представляет собой замкнутую
систему понятий и результатов, логически выстроенную таким образом,
чтобы все используемые в доказательствах понятия, утверждения и факты
были к моменту использования уже введены и обоснованы. Курс
содержит примеры, помогающие студентам применять пройденный
материал в других предметах. Курс состоит из лекций, задач,
рассчитанных на отработку необходимых навыков использования
линейно-алгебраических понятий, и теоретических вопросов для
самостоятельного продумывания студентами. Рассчитывается, что
бóльшая часть материала будет успешно освоена большинством
студентов. Однако тропическая математика, теория неотрицательных
матриц, нормальные операторы и полярные разложения не войдут в
итоговую контрольную работу.
Раздел 5. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
А) Основная литература.
[V] Э.Б. Винберг. Курс Алгебры. Москва: Факториал Пресс, 2001, 543 стр.
[K1] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры.
Москва: Физико-математическая литература, 2000, 271 стр.
[K2] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра.
Москва: Физико-математическая литература, 2000, 367 стр.
[K] А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. Москва: Наука, 1975, 431 стр.
[MM] А.В. Михалев, А.А. Михалев. Начала алгебры. Часть 1. Москва:
Интернет-университет информационных технологий, Серия: Основы
информатики и математики, 2005, 144 стр.
[HD] Р. Хорн, Ч. Джонсон. Матричный анализ. Москва: Мир, 1989,
655стр.
[K3] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2001, 464 стр.
Б) Дополнительная литература.
[Ar] В. А. Артамонов. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(Курс лекций для экономических специальностей). М.: Изд. Дело, 2012.
[Gel] И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971,
271 стр.
[Pr] И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука,
1966, 381 стр.
[BCOQ] F. Baccelli and G. Cohen and G.J. Olsder and J.P. Quadrat.
Synchronization and Linearity. Wiley, 1992, 485 pp.
[But] P. Butkovic. Max-Linear Systems: Theory and Algorithms. Springer,
2010, 272 pp.
В) Программное обеспечение и интернет-ресурсы.
Не требуется.
Раздел 6. Формы и методы контроля знаний студентов.
А) В ходе курса будет проведено две письменные контрольные работы: в
середине семестра на 2 часа и в конце семестра на 4 часа. В контрольные
работы войдут все пройденные материалы, кроме тем: теория
неотрицательных матриц, тропическая математика, нормальные
операторы и полярные разложения. Основное содержание контрольных
работ составят задачи по темам, аналогичные рассмотренным на занятиях
и в домашних работах (приблизительно 70 %). Также контрольные работы
будут содержать теоретический материал (приблизительно 20 %) и задачи
повышенной трудности (приблизительно 10 %). Решение задач
повышенной трудности не является необходимым для получения
максимального балла.
Также будет дано 7 обязательных домашних заданий, оценка за которые
войдет в состав итоговой оценки по курсу. Задания будут
индивидуальными и будут покрывать весь прочитанный материал.
Б) По курсу не предполагается зачет или экзамен.
В) Итоговая оценка складывается из следующих составляющих:
40 % - итоговая контрольная работа,
20 % - промежуточная контрольная работа,
30 % - работа в течение семестра, в том числе обязательные домашние
задания,
10 % - самостоятельные работы на лекциях.
Г) Пересдача проводится в письменной форме. Пересдаются обе
контрольные работы.
Домашние задания пересдаче не подлежат.
В случае несвоевременной сдачи домашнего задания, оценка за него
снижается на 10% за каждые просроченные сутки.
За оформление домашнего задания в системе LaTex, за него добавляется
5% от суммы набранных баллов.
Необязательные домашние задания и работа на семинарах учитываются в
виде дополнительных плюсов. В частности, могут использоваться для
улучшения оценок за обязательные домашние задания и/или
самостоятельные работы по той же теме.
При выставлении суммарной оценки за самостоятельные две самые
плохие работы не будут учитываться. Пропущенные самостоятельные
оцениваются 0 баллов.