Математика. Алгебраические уравнения. Жиляковская Т.В.

Жилякова Татьяна Васильевна – учитель математики МБОУ
Рождественская средняя общеобразовательная школа,
zilaykjva@mail.ru
Сборник понятий по теме «Алгебраические уравнения»
Приведённые и неприведённые уравнения - алгебраические уравнения
Линейные уравнения, квадратные уравнения , уравнения n-ой степени–
целые уравнения;
Рациональные уравнения, иррациональные уравнения – алгебраические
уравнения;
Дробно-рациональные уравнения, целые уравнения – рациональные
уравнения.
№ понятие
Содержание понятия
1
1.Алгебраические уравнения- I. По наличию
уравнения вида
радикала
Р(х1, ……хn)=0, где
1.1. Рациональные
Р – многочлен от
уравнения;
переменных х1, ……хn [12,
1.2. Иррациональстр.17].
ные
уравнения.
Алгебраические
уравнения
Объём понятия
II. По значению
старшего
коэффициента
2.1. Приведённые
уравнения
2.2.
Неприведённые
уравнения
2.
Рациональные
уравнения
1.Если Р(Х) – рациональное
выражение, то уравнение
I.
По наличию
деления на
Р(Х)=0, называется
рациональным [2, стр.19]
3.
Целые
уравнения
выражение,
содержащее
переменную
2. Уравнение f(х)=g(х)
называется рациональным,
если
f(х) и g(х) – рациональные
выражения.[6, стр.141]
1.1.
1. Рациональное уравнение
f(х)=g(х) называется целым,
если f(х) и g(х) – целые
выражения. [6, стр.141]
I.
По степени
1.1.
Линейные
уравнения;
Квадратные
уравнения;
Уравнения n-ой
степени
1.2.
1.2.
1.3.
4.
Линейные
уравнения
1.Уравнение, левая и правая
часть которого есть
многочлены степени не
выше первой относительно х
или числа.[1, стр.174];
2. Уравнение вида ах=в, где
х – переменная, а и в –
некоторые числа [7, стр.12];
3.Уравнение вида ах=в,
где а и в – действительные
числа, х – переменная, а –
коэффициент при
переменной, в – свободный
член.[6,стр.132];
4. Уравнение вида
а1 х1 + а2 х2, + … + аn хn=в с
неизвестными х1, х2, …, хn
где а1, а2,… аn называют
коэффициентами, число в –
свободным членом.
Целые
уравнения;
Дробные
уравнения.
Примеры:
1) 3х =6
2) 5 – 4х = 3х +19
[12, стр. 158]
5.
Квадратные
уравнения
1.Уравнение вида
ах2 +вх +с = 0, где а,в,с –
любые действительные
числа, а ≠0
[9, стр.132];
2.Алгебраическое уравнение
2-ой степени, т.е. уравнение
вида
ах2 +вх +с = 0, где а ≠0
[12, стр.133]
I.
По наличию
коэффициентов
равных нулю
1.1.
Полные
уравнения
Неполные
уравнения
1.2.
6.
Полные
квадратные
уравнения
Уравнение ах2 +вх +с = 0, у
Примеры:
которого коэффициенты а и с
Х2 -5х +6 = 0
отличны от нуля.
[9, стр.132]
7.
Неполные
квадратные
уравнения
Уравнение ах2 +вх +с = 0, у
которого либо в = 0, либо с =
0.
[9, стр.132]
Примеры:
1) 2Х – 7Х = 0
2) Х2 – 16 = 0
3) 5Х2 = 0
Уравнения n-ой
степени
1.Уравнение вида
а0хn + а1хn-1+…аn-1х +аn = 0
[11, стр.90]
Примеры:
Рациональное уравнение
f(х)=g(х) называется
дробным, если хотя бы одно
из выражений f(х) и g(х)
является дробным.
Примеры:
8.
9.
Дробные
уравнения
2
2х3+ х2+3х +6 = 0
Место для формулы.
3х−7
6+х
-2=0
[6 стр.141].
10 Иррациональные 1.Уравнение, в котором
Примеры:
уравнения
алгебраическое выражение,
содержащее неизвестное,
находится под знаком корня.
[11, стр.91];
√3х + 2 = 1 - х
2. Если в уравнении
переменная содержится под
знаком корня [9, стр.202]
3. Уравнение, одна или обе
части которого представляют
собой выражения,
иррациональные по
отношении к переменной
неизвестной х; [5, стр.158];
11 Приведённые
алгебраические
уравнения
Алгебраические уравнения,
Примеры:
у которых старший
коэффициент равен единице. х3+ х2+3х +6 =0
12 Неприведённые
алгебраические
уравнения
Алгебраические уравнения,
у которых старший
коэффициент не равен
единице.
Примеры:
2х3+ х2+3х +6 =0
Литература:
1. Алгебра .7класс: учебник для общеобразовательных организаций.
2. Алгебра .7класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
3. Алгебра 9. Учебник для общеобразовательных организаций./Колягин
Ю.М.. Ткачёва М.В.. Фёдорова Н.Е.. Шабунин М.И. – М: Просвещение.
2014.304с.
4. Виленкин Н.Я.. Гутер Р.С.. Шварцбурд С.И.. Овчинский Б.В.. Ашкинузе
В.Г.. Алгебра. Учебное пособие для IX – X классов средних школ с
математической специализацией. Второе издание. Издительство
«Просвещение». Москва , 1972.-303с.
5. Гибш И.А Академия педагогических наук РСФСР. Институт методов
обучения. Алгебра. Пособие для учителей IX – XI классов.
Государственное учебно-педагогическое издательство министерства
просвещения РСФСР. Москва, 1960. – 664с.
6. Гусев Н.А, Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. Кн.
Для учащихся.- М: Просвещение. 1988. – 416с.
Изд.2-е. 556с.
7. Мерзляк А.Г.. Алгебра .7класс: учебник для общеобразовательных
учреждений./ Поляков В.М.. – М.:Вентана-Граф.2013.-288с.
8. Микиша А.М. и Орлова В.Б. Толковый математический словарь.
Основные термины: около 2500 терминов. – М.: Рус.яз. 1988. – 244с.
9. Мордкович А.Г. Алгебра .8класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений./ Николаев Н.П..- 9-е изд., стер. –
М: Мнемозина, 2013. – 240с.
10.Мордкович А.Г. Алгебра .9класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений./ Математика Николаев Н.П.- 9-е
изд., доп. – М: Мнемозина, 2013. – 272с
Никольский С.М.. Потапов М.К. . Решетников Н.Н.. Шевкин А.В.. М.:
Просвещение. 2013. – 287с.
11.Рывкин А.А., Справочник по математике. Рывкин А.З., Хренов Л.С
12.Энциклопедический словарь юного математика. Сост.Э-68 Савин. А.П.М: Педагогика. 1989.-352с.
Логическая схема
Алгебраические уравнения
По наличию радикала
по значению старшего коэффициента
Рациональные
Иррациональные
Приведённые
Неприведённые
уравнения
уравнения
уравнения
уравнения
х3+ х2+3х +6 =0
2х3+ х2+3х +6
=0
По наличию деления на выражение,
√3х + 2 = 1 - х
содержащее переменную
Целые уравнения
Дробные
уравнения
3х−7
6+х
-2=0
По степени
Линейные
уравнения
3х =6
По наличию
Квадратные
уравнения
Уравнения
n-ой степени
По наличию коэффициента, равного нулю
5 – 4х = 3х +19
Полные
уравнения
Х2 - 5х +6 = 0
Неполные
уравнения
1) 2Х2 – 7Х = 0
2) Х2 – 16 = 0
3) 5Х2 = 0
2х3+ х2+3х +6 = 0
Алгебраические уравнения
Карточка №1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Что называется алгебраическим уравнением?
Что считается уравнением?
Что понимается под переменной?
Что представляет область допустимых значений?
Что выражает степень переменной?
Что является корнем уравнения?
Что такое коэффициент уравнения?
Каковы свойства и виды алгебраического уравнения?
В чём заключается сущность решения алгебраического уравнения?
Карточка №2.
1.Чем объяснить, что алгебраическое уравнение является
равенством?
2.Как доказать, что уравнение 2х3+ х2+3х +6 = 0 является
алгебраическим уравнением?
3. В каком случае алгебраическое уравнение будет считаться дробнорациональным уравнением?
4. Когда алгебраическое уравнение является приведённым
уравнением?
5. Каким образом рациональное уравнение отличается от
иррационального уравнения?
Каким образом иррациональное уравнение можно преобразовать в
рациональное уравнение?
6. Вследствие чего иррациональное уравнение можно преобразовать
в рациональное уравнение?
7. Почему множество корней иррационального уравнения не всегда
совпадает с множеством корней рационального уравнения, к
которому оно было приведено?
Карточка №3. (Рациональные и иррациональные уравнения)
1. По сравнению с рациональными уравнениями, которые не имеют
радикала, иррациональные уравнения имеют радикал.
2. Так же как и рациональные уравнения, иррациональные уравнения
являются алгебраическими уравнениями.
3. Как рациональные уравнения, так и иррациональные уравнения имеют
область допустимых значений.
4. Сравнивая рациональные и иррациональные уравнения, можно
сказать, что при их решении применяются основные равносильные
преобразования уравнений.
5. Кроме некоторых рациональных уравнений ещё и иррациональные
уравнения могут иметь областью допустимых значений все
действительные числа.
6. Помимо рациональных уравнений, ещё и иррациональные уравнения
используются при решении задач.
7. У рациональных уравнений видов больше, чем у иррациональных
уравнений.
8. Не только рациональные уравнения, а и иррациональные уравнения
могут иметь посторонние корни.
9. Наряду с рациональными уравнениями, иррациональные уравнения
могут иметь деление на переменную.
10. Если решения рациональных уравнений начинают с нахождения
области допустимых значений, то и иррациональные уравнения
начинают решать так же.
11.В отличии от рациональных уравнений части которых не нужно
возводить в степень при решении, иррациональные уравнения
решаются способом возведения обеих частей уравнения в n-ую степень
Карточка №4.
1.Известно, что уравнение - это равенство верное лишь при некоторых
значениях, входящих в него переменных, однако существуют уравнения,
множество корней которых представляют собой все действительные
числа (т.е. верно при любом значении переменной).
2.Все квадратные полные уравнения имеют вид ах2 +вх +с = 0,однако
уравнение Х2 - 5х +0 = 0 не является полным квадратным уравнением.
Карточка №5.
качество
Алгебраические уравнения 4-ой
степени
количество
Корней не более 4.
Наивысшая степень переменной 4.
содержание
Равенство, верное при всех
допустимых значениях
переменных
форма
тождество
единство
Целое уравнение
многообразие
Линейное уравнение, квадратное
уравнение, уравнение n-ой
степени.
явление
уравнение
сущность
равенство с переменной
общее
Иррациональное уравнение
частное
√3х + 2 = 1 - х
Причина
Правя часть дробнорационального уравнения равно
нулю
общее
уравнения
следствие
Числитель равен нулю
особенное
Иррациональное
уравнение
единичное
√3х + 2 = 1 - х
действительность
Алгебраическое уравнение
возможность
Рациональное уравнение
Иррациональное уравнение
необходимость
Решение уравнения
случайность
Выбор способа решения
целое
уравнение
часть
правая часть, левая часть
Карточка №6.
1. Уравнения √3х + 2 = 1 – х имеет радикал.
Уравнение √5 − 2у = у имеет радикал.
Уравнения 0,2х +1 = √6х + 7 имеет радикал.
Уравнения √3х + 2 = 1 – х, уравнение √5 − 2у = у ,уравнения 0,2х +1 =
√6х + 7 - иррациональные уравнения.
----------------------------------------------------------------------------------Иррациональные уравнения имеют радикал.
2. Все уравнения, имеющие знаменатель, содержащий переменную –
дробно-рациональные уравнения.
Уравнение
3х−7
6+х
- 2 = 0 имеет знаменатель, содержащий переменную.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Уравнение
3х−7
6+х
- 2 = 0 является дробно-рациональным уравнением.
3. Если знаменатель дроби равен нулю, то данная дробь не имеет
смысла.
А если знаменатель дроби не равен нулю, то данная дробь имеет
смысл ( причина – следствие).
4. Если уравнение
3х−7
6+х
- 2 = 0 является дробно-рациональным
уравнением, то уравнение √5 − 2у = у является иррациональным (вид
– род).
5. Аналогия свойств:
Уравнение Х2 - 5х +6 = 0 – квадратное, полное, приведённое, целое.
Уравнение Х2 - х +7= 0 – квадратное, полное, приведённое.
Следовательно, уравнение Х2 - х +7= 0 тоже является целым
уравнением.