Решение. - (МИИГАиК) - Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ
Т.М. Королева, Е.Г. Маркарян, Ю.М. Нейман
ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
УЧЕБНО-СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
В ПОМОЩЬ ИЗУЧАЮЩИМ КУРС
«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Для студентов 1 курса всех специальностей
Авторы: Т.М. Королева, Е,Г. Маркарян, Ю.М. Нейман
Пособие по математике. Учебно-справочные материалы в помощь
изучающим курс «Введение в математический анализ».
- М.; МИИГАиК, 2015.
Данное методическое пособие написано в соответствии с
утвержденной программой курса «Введение в математический
анализ», рекомендовано кафедрой высшей математики, утверждено
к изданию редакционно-издательской комиссией геодезического
факультета.
Методическое пособие содержит теоретические сведения по
основным разделам математики, разбор решений типовых задач, а
также задачи для самостоятельного решения по всем предлагаемым
разделам.
Объем пособия 139 страниц.
Рецензенты: доцент кафедры вычислительной техники и автоматизированной
обработки информации МИИГАиК А.А. Зайцев,
доцент кафедры теории вероятностей Финансового университета при правительстве
Российской Федерации О.А. Баюк
2
СОДЕРЖАНИЕ
Содержание………………………………………………………………………..3
Глава 1 Действительные числа………………………………………………….4
Глава 2 Алгебраические выражения…………………………………………..23
Глава 3 Алгебраические уравнения, неравенства и системы………………..37
Глава 4 Числовые последовательности……………………………………….59
Глава 5 Функции и графики…………………………………………………...67
Глава 6 Тригонометрия………………………………………………………...97
Глава 7 Логарифмические и показательные уравнения и неравенства……113
Глава 8 Геометрия…………………………………………………………….128
3
Глава 1
Действительные числа
1.1. Элементы теории множеств и математической логики
Понятие множества является одним из основных в математике. Это
неопределяемое понятие, его можно лишь описать или пояснить на
примерах. Можно сказать так: множество— это совокупность предметов
(объектов) определенной природы. Например, множество точек на
плоскости, множество треугольников с равной площадью и т. д.
Объекты множества называются его элементами. Множество принято
обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы — строчными
латинскими буквами.
Если элемент x принадлежит множеству А, то этот факт записывается
так: 𝑥 ∈ 𝐴. Знак ∈ называется знаком принадлежности. Если элемент 𝑥 не
содержится в множестве А, то этот факт записывается так: 𝑥 ∉ 𝐴.
В математике для числовых множеств приняты следующие
обозначения:
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел.
Множество, не имеющее элементов, называется пустым множеством
и обозначается символом ∅.
Множества могут быть конечными (множество учеников в классе;
множество книг в библиотеке) или бесконечными (множество натуральных
чисел; множество звезд во Вселенной).
Конечное множество задают перечислением элементов. Например,
Запись А = {0; 1; 2; 3} означает, что множество А состоит только из
элементов 0; 1; 2; 3.
Множества, содержащие бесконечное число элементов, можно задать с
помощью характеристического свойства его элементов. Например,
𝐴 = {𝑥, 1 < 𝑥 < 2} означает, что элементами множества А являются все
числа больше 1 и меньше 2.
Если два множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то
говорят, что А и В совпадают или А = В.
Множество А называется подмножеством В, если каждый элемент
множества А принадлежит множеству В. В этом случае пишут 𝐴 ⊂ 𝐵. Знак ⊂
называется знаком включения. Например, пусть А — множество чётных
чисел, а Z — множество целых чисел. Тогда 𝐴 ⊂ 𝑍. Или: А — множество всех
ромбов, а В— множество всех параллелограммов. Тогда 𝐴 ⊂ 𝐵.
Над множествами можно производить различные операции.
Пусть даны два множества А и В. Их пересечением называется
множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят и
в А, и в В.
4
Пересечение множеств А и В обозначают символом ∩:
А ∩ В = С = {х, х ∈ А и х ∈ В}.
(1. 1. 1)
Пусть даны два множества А и В. Их объединением называется
множество С, состоящее из тех и только тех элементов, каждый из которых
принадлежит
хотя
бы
одному
из
данных
множеств.
Объединение множеств А и В обозначают символом ∪:
А ∪ В = С = {х, х ∈ А или х ∈ В}.
(1. 1. 2)
В математических предложениях (в формулировках определений,
аксиом, теорем и т. д.) часто повторяются отдельные слова и целые
выражения. Поэтому при их записи полезно использовать символику
математической логики.
Пусть даны два высказывания α и β. Если из истинности α следует
истинность β, то пишут α ⇒ β. Знак ⇒ называется знаком следования. В этом
случае говорят, что β есть необходимое условие для α, а α есть достаточное
условие для β.
Пусть даны два высказывания α и β. Если α ⇒ β и β ⇒ α, то говорят, что
высказывания α и β равносильны, и пишут α ⇔ β.
Во многих случаях вместо термина «равносильность» используют
термин «необходимость и достаточность».
Знак ⇔ называется знаком логической равносильности.
В записи математических высказываний вместо слова «существует»
или «найдётся» используют символ ∃, так называемый квантор
существования, а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» — символ ∀ —
квантор всеобщности.
Например, запись ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 означает: «для любого числа 𝑥 из множества
𝑋»; а запись ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑦 = 𝑌 читается так: «для любого числа 𝑥 из множества
𝑋 найдется число 𝑦 из множества 𝑌».
1.2. Множество натуральных чисел
Понятие натурального числа возникло из потребности счёта предметов.
Натуральные числа можно сравнивать между собой, при этом ясно, какое из
двух больше или меньше. Натуральные числа, расположенные в порядке
возрастания, образуют ряд натуральных чисел, или множество N:
N = {1; 2; 3; 4;...; n;...}.
Это бесконечное множество, оно имеет наименьший элемент 1 и не
имеет наибольшего элемента.
Если к множеству N добавить новое число — число нуль (0), то
получим расширенный ряд натуральных чисел. Заметим, что нуль не
является натуральным числом.
5
Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда
является натуральное число. Относительно вычитания и деления этого
сказать нельзя.
Если число m делится на число n нацело (n <m; n, m ∈N), то m
называется кратным числа n, а n — делителем числа m.
Если m кратно n, то существует число k ∈N такое, что m = nk.
Например, множество чисел, кратных числу 5, записывается в виде
{5n,n ∈N}.
Если натуральное число m не делится нацело на натуральное число n,
то рассматривают деление с остатком.
Вообще, для ∀m, n ∈N (m >n) имеет место формула деления
m = nk + r.
(1.2.1)
Здесь m, n, k, r — натуральные числа, 0 <r <n. При делении нацело
r = 0.
Вопрос о делении натурального числа m на натуральное число n нацело
решается с помощью признаков делимости. Приведём некоторые из них.
Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число,
то и сумма делится на это число.
Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из
сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение
делится на это число.
Признак делимости на 2. Для того чтобы число делилось на 2,
необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра делилась на 2.
Заметим, что натуральные числа, делящиеся на 2, называются
чётными.
Запись чётных чисел имеет вид
n = 2k, k ∈N.
Все остальные натуральные числа называются нечётными и
записываются в виде
m = 2k – 1, k ∈N.
Признак делимости на 5. Для того чтобы число делилось на 5,
необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была либо 0, либо 5.
Признак делимости на 3 (на 9). Для того чтобы число делилось на 3
(на 9), необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 (на 9).
Признак делимости на 4 (на 25). Для того чтобы число
делилось на 4 (на 25), необходимо и достаточно, чтобы две последние цифры
этого числа были нули или составляли число, делящееся на 4 (на 25).
Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно
не имеет делителей, кроме единицы и самого себя. В противном случае оно
называется составным. Число 1 не является ни простым, ни составным.
6
Для любого натурального числа существует единственное его
разложение на простые множители.
Если натуральные числа𝑚1 и 𝑚2 делятся на одно и то же натуральное
число n, то число n называется общим делителем. Наибольший из общих
делителей 𝑚1 и 𝑚2 называется наибольшим общим делителем 𝑚1 и 𝑚2 (НОД
(𝑚1 ,𝑚2 )).
Если НОД (𝑚1 , 𝑚2 ) = 1, то числа 𝑚1 и 𝑚2 называются взаимно
простыми.
Наименьшим общим кратным натуральных чисел 𝑚1 и 𝑚2 называется
наименьшее натуральное число, которое делится и на 𝑚1 , и на 𝑚2 (НОК
(𝑚1 , 𝑚2 )).
Заметим, что НОК (𝑚1 , 𝑚2 ) делится без остатка на НОД (𝑚1 , 𝑚2 ).
Для отыскания НОД (𝑚1 , 𝑚2 ) необходимо выполнить следующие
операции:
1) разложить каждое из данных чисел на простые множители;
2) найти произведение тех простых множителей, которые входят в
разложение каждого из чисел 𝑚1 и 𝑚2 .
Отыскание НОК (𝑚1 , 𝑚2 ) отличается только тем, что составляется
произведение простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного
числа.
Отметим, что для любых двух натуральных чисел a и b имеет место
равенство
НОД (а, b) ⋅НОК (a, b) = a ⋅b.
Пример 1.2.1. Найдите частное от деления наименьшего общего
кратного чисел 72 и 128 на их наибольший общий делитель.
Решение. Напомним, что для отыскания наименьшего общего кратного
(НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) необходимо выполнить
следующие операции:
1) Разложить каждое из данных чисел на простые множители:
72 = 23 ⋅32 и 128 =27 .
2) Найти произведение простых множителей, входящих в разложение
хотя бы одного из чисел. Это число и будет НОК. Заметим, что, если какойто множитель входит в эти разложения в разных степенях, то в НОК он
входит в наибольшей из степеней. Таким образом, HOK (72,128) =27 ∙ 32 .
3) Найти произведение простых множителей, входящих в каждое
изданных чисел. Это число и будет НОД. Заметим, что если множитель
входит в эти разложения в разных степенях, то в НОД он входит в
наименьшей из степеней.
3
27 ∙32
Таким образом, НОД (72, 128) = 2 . НОК: НОД =
О т в е т: 144.
7
23
=24 ∙ 32 =144
Пример 1.2.2. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают
остаток 1, а при делении на 5 дают остаток 3. В ответе укажите такое
наибольшее двузначное число.
Решение. Рассмотрим некоторое натуральное число n, которое при
деление на 3 даёт остаток 1, а при делении на 5 даёт остаток 3. Это число
можно представить как n =3l + 1 и n = 5m + 3, где l, m ∈N. Но это одно и то
же число. Следовательно, должно выполняться равенство 3l + 1 = 5m + 3 или
5m = 3l –2. Здесь l надо подобрать так, чтобы число 3l – 2 было бы кратно 5.
Очевидно, что, если l = 5k + 4, то 3(5k + 4) – 2 = 15k + 10 кратно 5. Тогда
общая запись всех чисел, удовлетворяющих условию задачи, имеет вид:
n = 3(5k + 4) + 1 = 15k + 13, k ∈N
и наибольшее двузначное число получается при k = 5, т. е. n = 88.
Ответ: 88.
1.3. Множество рациональных чисел
Поскольку операция вычитания не всегда выполнима в множестве
натуральных чисел, возникает необходимость в его расширении.
Вводится понятие отрицательного числа, т. е. числа вида (– т), где
т — натуральное число. Множество чисел, состоящее из всех натуральных
чисел, нуля и всех отрицательных чисел, называется множеством целых
чисел и обозначается буквой Z. В множестве целых чисел не всегда
выполнима операция деления, и потому вводятся числа вида
𝒑
𝒒
—
обыкновенные дроби, где 𝑝 и 𝑞 — целые числа, 𝑞 ≠ 0.
Дробь
𝒑
𝒒
называется несократимой, если числа 𝑝 и 𝑞 не имеют других
общих делителей, кроме ±1.
Множество, состоящее из всех чисел вида ,
𝒑
𝒒
, где 𝑞 — натуральное
число, 𝑝 — целое число, называется множеством рациональных чисел и
обозначается Q.
Если знаменатель дроби 𝑞 = 10𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑁, то дробь называется
десятичной.
Каждую десятичную дробь записывают в виде
𝑎0 , 𝑎1 𝑎2 . . . 𝑎𝑘 ,
где 𝑘 ∈ 𝑁, 𝑎0 — целое число, 𝑎1 , 𝑎2 , . . . 𝑎𝑘 — одно из чисел 0, 1, 2, . . . , 9.
Среди десятичных дробей особо отметим дробь 0,01 (сотая часть
целого), которая называется процентом.
Любая конечная десятичная дробь легко переводится в обыкновенную.
52
13
Так, например, 0,52 =
= .
100
25
Обращение обыкновенных дробей вида
𝒑
𝒒
(𝑞 ≠ 1)
в конечные
десятичные дроби возможно только в случае, когда натуральное число 𝑞 не
8
имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. В противном случае
несократимая дробь ,
𝒑
𝒒
, где 𝑞 содержит простые множители, отличные от 2
и 5, может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной
дроби, т. е. бесконечной десятичной дроби, в которой после запятой
повторяется одна или несколько цифр.
Рассмотрим на конкретных примерах обращение бесконечной
периодической дроби в обыкновенную.
Пример 1.3.1. Представьте в виде обыкновенных дробей следующие
числа:
1) 0,(47); 2) 2,3(54); 3) –1,41(3); 4) 0,2(345).
Решение. 1) Обозначим 0,(47) = х. Умножим равенство на 100. Тогда
47, (47) = 100𝑥. Вычтем из последнего равенства предыдущее и получим
99𝑥 = 47 и 𝑥 =
47
99
.
2) Обозначим 2,3(54) = 𝑥 и умножим равенство на 10 (подведём
период (54) к запятой). Тогда 23, (54) = 10𝑥. Умножим последнее
равенство на 100 (выведем один период за знак запятой). Тогда
2 354, (54) = 1 000𝑥.
Проведём вычитание:
2 331
351
39
2 354, (54)– 23, (54) = 990𝑥 или 2 331 = 990𝑥 и 𝑥 =
=2
=2
.
990
990
110
3) – 1, 41(3) = 𝑥 ⇒ – 141, (3) = 100𝑥 ⇒ – 1 413 , (3) = 1 0 0 0𝑥 ⇒
⇒– 1413, (3) + 141, (3) = 900𝑥 ⇒
1 272
372
31
⇒𝑥=−
= −1
= −1
.
900
900
75
4) 0 , 2(345) = 𝑥 ⇒ 2, (345) = 10𝑥 ⇒ 2345, (345) = 10000𝑥 ⇒
⇒ 2345, (345) – 2, (345) = 9990х;
2 343
781
𝑥=
=
.
9 990 3 330
Ответ: 1)
47
99
; 2) 2
39
110
; 3) −1
31
75
; 4)
781
3 330
.
Пример 1.3.2. Числитель и знаменатель дроби — положительные
числа. Как изменится дробь, если числитель уменьшить на 34%, а
знаменатель увеличить на 65%?
Решение. Рассмотрим дробь,
𝒑
𝒒
,
где р > 0, 𝑞 > 0. Если числитель
уменьшить на 34%, то его можно записать в виде 𝑝 – 0,34𝑝 = 0,66𝑝.
9
Знаменатель
после
𝑞 + 0,65𝑞 = 1,65𝑞.
увеличения
на
Дробь после изменения запишется в виде
40% от первоначальной дроби
𝒑
𝒒
65%
0,66𝑝
1,65𝑞
станет
равным
𝑝
= 0,4 , или составит
𝑞
. Следовательно, дробь уменьшилась на
60%.
Ответ: дробь уменьшилась на 60%.
Пример 1.3.3. Цистерна заполняется керосином за 2 ч с помощью трёх
насосов, работающих вместе. Производительности насосов относятся как
1:2:7. Сколько процентов объёма цистерны будет заполнено за 1 ч 12 мин
совместной работы первого и третьего насосов ?
Решение. Обозначим объём цистерны как 𝑉, а общую
производительность трёх насосов как 𝑣. Тогда по условию задачи 𝑉 = 2𝜈.
Производительности каждого из насосов соответственно равны 0,1𝑣,
0,2𝑣 и 0,7𝑣.
За 1 ч 12 мин первый и третий насосы, работая одновременно, заполнят
𝑣=
объём, равный 0,8𝑣 ⋅ 1,2 = 0,96𝑣. Так как
𝑉
2
,
то этот объём равен
0,48𝑉. Следовательно, будет заполнено 48% от объёма цистерны.
Ответ: 48%.
Пример 1.3.4. К сплаву, содержащему 30% меди, добавили 80 г меди и
получили сплав, содержащий 70% меди. Найдите количество граммов меди в
первоначальном сплаве.
Решение. Пусть 𝑉 — первоначальный вес сплава в граммах и 𝑥 — вес
меди в нём. Тогда 𝑥 = 0,3𝑉. После добавки в сплав меди вес сплава стал
𝑉 + 80, а меди в нём 𝑥 + 80.
По
условию
𝑥 + 80
составляет
70%
от
𝑉 + 80,
т. е. 𝑥 + 80 = 0,7(𝑉 + 80), где
𝑉=
4
10
3
𝑥 . Тогда для 𝑥 получили
уравнение 𝑥 = 24 ⇒ 𝑥 = 18 .
3
Ответ: 18 граммов.
Пример 1.3.5. 1 сентября предприниматель купил акции предприятия.
На графике (см. рис. 1.3.1.), представлено изменение курса этих акций (по
оси х откладываются числа сентября, а по оси y — стоимость одной акции в
рублях). 10 сентября предприниматель продал половину акций, а 20 сентября
продал остальные. Сколько процентов прибыли принесла предпринимателю
эта операция?
10
y
2010
2004
0
2000
1
10
20
30
x
Рис.1.3.1 к примеру 1.3.5.
Решение. 1 сентября предприниматель купил акции по цене 2 000 руб.
Обозначим число акций через x. 10 сентября его капитал в акциях составил
2010х руб.; он продал 50% акций и получил 1 005х руб.; а оставшиеся акции
он продал 20 сентября по цене 2 004 руб. и получил 1 002х руб. Таким
образом, при покупке акций он потратил 2 000х руб., а продав их, получил
2 007х руб., и его прибыль в рублях составила 7х, что равняется
100% ∙ 7𝑥
= 0,35% .
2 000𝑥
Ответ: 0,35%.
1.4. Действия с действительными числами.
𝒑
Если число 𝛼 нельзя представить в виде несократимой дроби ,
𝒒
то его называют иррациональным.
Иррациональное
число
записывается
в
виде
бесконечной
непериодической десятичной дроби.
Множество рациональных и иррациональных чисел называется
множеством действительных чисел. Множество 𝑅 всех действительных
чисел можно записать так:(– ∞; ∞).
В множестве действительных чисел аксиоматически вводятся операции
сложения и умножения: любым двум действительным числам 𝑎 и 𝑏 ставится
в соответствие число 𝑎 + 𝑏 и произведение 𝑎 ⋅ 𝑏.
11
Кроме того, в этом множестве вводятся отношения «больше»,
«меньше» и «равно»:
𝑎 > 𝑏 тогда и только тогда, когда 𝑎 – 𝑏 — положительное число;
𝑎 < 𝑏 тогда и только тогда, когда 𝑎 – 𝑏 — отрицательное число;
𝑎 = 𝑏 тогда и только тогда, когда 𝑎 – 𝑏 = 0.
Перечислим основные свойства числовых неравенств:
1. Если 𝑎 > 𝑏 и 𝑏 > 𝑐 ⇒ 𝑎 > 𝑐.
2. Если 𝑎 > 𝑏 и 𝑐 > 0 ⇒ 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐.
3. Если 𝑎 > 𝑏 и с < 0 ⇒ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐.
4. Если 𝑎 > 𝑏 и с — любое число ⇒ а + с > 𝑏 + 𝑐.
5. Если а, 𝑏, 𝑐, 𝑑 — положительные числа такие, что 𝑎 > 𝑏 и
𝑐 > 𝑑 ⇒ 𝑎𝑐 > 𝑏𝑑.
Следствие. Если 𝑎 и 𝑏 — положительные числа и 𝑎 > 𝑏 ⇒ 𝑎2 > 𝑏 2 .
6. Если 𝑎 > 𝑏 и 𝑐 > 𝑑 ⇒ а + с > 𝑏 + 𝑑; если 𝑎 > 𝑏 и 𝑐 < 𝑑 ⇒
⇒ а – с > 𝑏 – 𝑑.
1
1
7. Если 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 и 𝑎 > 𝑏 ⇒ < .
𝑎
𝑏
Модулем действительного числа а называется:
— само это число, если а — положительное число;
— нуль, если а — нуль;
— – а, если а — отрицательное число.
Модуль числа а обозначается |а|.
Определение модуля (или абсолютной величины) можно записать в
виде
𝑎, если 𝑎 ≥ 0,
(1.4.1)
−𝑎, если 𝑎 < 0.
Геометрически модуль числа а означает расстояние на числовой
прямой от начала отсчёта 0 до точки, соответствующей числу а.
Отметим некоторые свойства модуля:
1. Для любого числа а справедливо равенство |а| = |–а|.
2. Для любых чисел 𝑎 и 𝑏 справедливы равенства
𝑎
𝑎
|𝑎𝑏| = |𝑎| ∙ |𝑏|; | | = | | (𝑏 ≠ 0); |𝑎|2 = 𝑎2 .
𝑏
𝑏
3. Для любого числа а справедливо неравенство |а| ≥ 0.
4. Для любого числа а справедливо неравенство – |а| ≤ а ≤ |а|.
5. Для любых чисел a и b справедливо неравенство
|а + 𝑏| ≤ |а| + |𝑏|.
Пусть а — любое отличное от нуля число, т — любое целое число.
Тогда число а𝑚 определяется по правилу:
|𝑎| = {
12
𝑎, если 𝑚 = 1;
⏟
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … 𝑎 , если 𝑚 ∈ 𝑁, 𝑚 ≥ 2;
𝑎𝑚 =
𝑚 раз
1, если 𝑚 = 0;
1
{𝑎𝑛 , если 𝑚 = −𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 .
Прежде чем определить понятие степени с рациональным показателем,
введём понятие арифметического корня.
Арифметическим корнем степени 𝑛 (𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 ≥ 2) неотрицательного
числа а называется неотрицательное число b такое, что 𝑏 𝑛 = а. Число b
𝒏
обозначается как 𝒃 = √ 𝒂.
Свойства арифметических корней (а ≥ 0, 𝑏 ≥ 0, 𝑛, 𝑚, 𝑘 — натуральные
числа):
𝑛
𝑛
𝑛
1. √𝑎𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 .
𝑛
𝑘
𝑛
2. ( √𝑎) = √𝑎𝑘 .
𝑛
𝑎
3. √ =
𝑏
𝑛
√𝑎
𝑛
√𝑏
(𝑏 ≠ 0).
𝑛
𝑘
𝑛𝑘
4. √ √𝑎 = √𝑎 .
𝑛𝑘
𝑛
5. √𝑎𝑚 = √𝑎𝑚𝑘 .
6. √𝑎2 = |𝑎|.
2𝑛
7. √𝑎2𝑛 = |𝑎| .
Используя определение возведения в целую степень и определение
арифметического корня, дадим определение степени с рациональным
показателем.
𝑝
Пусть a — положительное число, 𝑟 =
— рациональное число,
𝑞
причём 𝑞 — натуральное число.
𝒒
Положительное число 𝒃 = √𝒂𝒑 называется степенью числа а с
𝒒
показателем 𝒓 и обозначается как 𝑏 = 𝑎𝑟 или 𝒂𝒑⁄𝒒 = √ 𝒂𝒑 , здесь 𝑞 ∈ 𝑁,
𝑞 ≥ 2.
Рассмотрим основные свойства степени с рациональным показателем.
Пусть a и b — положительные числа, 𝑟1 и 𝑟2 — любые рациональные
числа. Тогда справедливы следующие свойства:
1. (𝑎𝑏)𝑟1 = 𝑎𝑟1 ∙ 𝑏 𝑟1 .
13
𝑎 𝑟1 𝑎𝑟1
2. ( ) = 𝑟 .
𝑏
𝑏1
3. 𝑎𝑟1 ∙ 𝑎𝑟2 = 𝑎𝑟1 +𝑟2 .
4. 𝑎𝑟1 ∶ 𝑎𝑟2 = 𝑎𝑟1 −𝑟2 .
5. (𝑎𝑟1 )𝑟2 = 𝑎𝑟1 𝑟2 .
6. 𝑎0 = 1 .
7. Если 𝑎 > 1 и 𝑟1 > 0 ⟹ 𝑎𝑟1 > 1 .
8. Если 0 < 𝑎 < 1 и 𝑟1 > 0 ⟹ 0 < 𝑎𝑟1 < 1 .
9. Если 𝑎 > 1 и 𝑟1 > 𝑟2 ⟹ 𝑎𝑟1 > 𝑎𝑟2 .
10. Если 0 < 𝑎 < 1 и 𝑟1 > 𝑟2 ⟹ 0 < 𝑎𝑟1 < 𝑎𝑟2 .
Понятие степени положительного числа обобщается для любого
действительного показателя 𝛼.
Определение степени положительного числа 𝛼 с действительными
показателями 𝛼.
1. Если 𝛼 > 0 и
𝑎, при 𝑚 = 1,
𝛼
1) 𝛼 = 𝑚, 𝑚 ∈ 𝑁 ⟹ 𝑎 = {⏟
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … 𝑎 , при 𝑚 ≥ 2;
2) 𝛼 =
𝑝
𝑞
𝑚 раз
𝑞
, где 𝑝 и 𝑞 − натуральные числа ⟹ 𝑎𝛼 = √𝑎𝑝 ;
3) 𝛼 — иррациональное число, тогда
а) если а > 1, то 𝑎𝛼 — число большее, чем, 𝒂𝒓𝒊 и меньшее, чем 𝒂𝒓𝒌 ,
где
𝑟𝑖 — любое рациональное приближение числа 𝛼 с недостатком,
𝑟𝑘 — любое рациональное приближение числа 𝛼 с избытком;
b) если 0 < а < 1, то 𝒂𝜶 — число большее, чем 𝒂𝒓𝒌 , и меньшее, чем 𝒂𝒓𝒊 ;
c) если 𝛼 = 1, то 𝒂𝜶 = 1.
2. Если 𝛼 = 0, то 𝒂𝜶 = 1.
3. Если 𝛼 < 0, то 𝑎𝛼 =
1
𝑎 |𝛼|
.
Число 𝒂𝜶 называется степенью, число а — основание степени, число
𝛼 — показатель степени.
Степень положительного числа с действительным показателем
обладает теми же свойствами, что и степень с рациональным показателем.
3
3
Пример 1.4.1. Вычислите √81 ∙ √
14
16
6
.
Решение. Воспользуемся свойством корней:
16 3 81 ∙ 16 3 34 ∙ 24 3 3 3
=√
= √3 ∙ 2 = 6 .
√81 ∙ √ = √
6
6
3∙2
3
3
Ответ: 6.
3
Пример 1.4.2. Вычислите (
6
3
6
) .
√√3+√6 ∙ √9−6√2 − 6√18
√2−1
Решение. Преобразуем 9 − 6 √2 следующим образом:
2
2
2
9 − 6√2 = 3 − 2 ∙ 3√2 + 6 = (√3) − 2√3 ∙ √6 + (√6) = (√6 − √3) .
Тогда
3
2
6
3
3
√√3 + √6 ∙ √(√6 − √3) = √√3 + √6 ∙ √√6 − √3 =
2
2
3
= √(√6) − (√3) = √3 ,
и заданное выражение записывается в виде
3
(
6
√3 − √18
6
√2 − 1
3
) =(
6
3
√3(1 − √2)
6
√2 − 1
3
3
3
) = (−√3) = −3
Ответ: –3.
Пример 1.4.3. 80% числа равны (√3 − √2): (√3 + √2) + 2√6. Найдите
это число.
Решение. Преобразуем выражение:
(√3 − √2) ∶ (√3 + √2) + 2√6 =
(√3 − √2)
2
(√3 + √2)(√3 − √2)
+ 2√6 =
3 − 2 √6 + 2
+ 2√6 = 5.
3−2
Итак, 80% числа равны 5. Обозначим искомое число через х и составим
пропорцию:
80 ∶ 5 = 100 ∶ х.
5 ∙ 100
𝑥=
= 6,25
80
=
Ответ: 6,25.
15
Пример 1.4.4. Упростите выражение √17 − 4 √9 + 4√ 5 .
2
Решение. Так как 9 + 4√5 = (√5 + 2) , то √9 + 4√5 = 2 + √5. Тогда
заданное выражение запишется в виде:
√17 − 4√9 + 4 √5 = √17 − 4(2 + √5) = √9 − 4√5 = √(2 − √5)2 =
= |2 − √5| = √5 − 2.
Ответ: √5 − 2.
Пример 1.4.5. Приведите к рациональному виду знаменатель дроби
√√15 + √6
.
√√15 − √6
Решение. Напомним, что в алгебре существует понятие сопряжённых
выражений, а именно: для любых а ≥ 0 и 𝑏 ≥ 0 выражения √𝒂 + √𝒃 и √𝒂 −
√𝒃 называются сопряжёнными и их произведение не содержит корней:
(√𝒂 + √𝒃) ∙ (√𝒂 − √𝒃) = 𝒂 − 𝒃.
Перед нами стоит задача: избавиться от корней в знаменателе дроби.
Для этого умножим числитель и знаменатель на √√15 + √6 (здесь
√15 + √6 и √15 − √6 — сопряжённые выражения). Тогда
√√15 + √6 √√15 + √6 √√15 + √6 √15 + √6
∙
=
=
.
3
√15 − 6
√√15 − √6 √√15 + √6
Ответ:
√15+√6
3
.
1.5. Отношения и пропорции
Частное от деления одного числа на другое
отношением. Числа 𝑎 и 𝑏 называются членами отношения.
Пропорция — это равенство двух отношений
𝒂
𝒂
𝒃
называется
𝒄
= 𝒅 . Пропорция
𝒃
состоит из четырёх членов: а и d — крайние члены пропорции, b и c —
средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции: 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐.
Из пропорции
𝒂
𝒄
=𝒅
𝒃
можно получить следующие пропорции:
16
𝒂+𝒃 𝒄+𝒅 𝒂−𝒃 𝒄−𝒅
=
;
=
;
𝒃
𝒅
𝒃
𝒅
𝒂+𝒃 𝒄+𝒅 𝒂−𝒃 𝒄−𝒅
=
;
=
;
𝒂
𝒄
𝒂
𝒄
𝒂+𝒃 𝒄+𝒅
=
;
𝒂−𝒃 𝒄−𝒅
𝒂+𝒄 𝒂 𝒄
= = ;
𝒃+𝒅 𝒃 𝒅
𝒏𝒂 + 𝒎𝒃 𝒏𝒄 + 𝒎𝒅
=
;
𝒑𝒂 + 𝒓𝒃
𝒑𝒄 + 𝒓𝒅
𝒂 𝒏 + 𝒃𝒏 𝒂 𝒏 𝒃𝒏
=
=
.
𝒄𝒏 + 𝒅𝒏 𝒄𝒏 𝒅𝒏
Если
𝒂𝟏
𝒃𝟏
=
𝒂𝟐
𝒃𝟐
=⋯=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
⟹
𝒂𝟏 +𝒂𝟐 +⋯+𝒂𝒏
𝒃𝟏 +𝒃𝟐 +⋯+𝒃𝒏
=
𝒂𝟏
𝒃𝟏
.
Чтобы разделить число на части прямо пропорционально нескольким
данным числам, достаточно разделить это число на сумму чисел и частное
умножить на каждое из чисел.
Пример 1.5.1. Разделите 780 на части прямо пропорционально числам
1,5; 0,75; 0,4; 1,25.
Решение. Обозначим искомые числам через 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 . Тогда
𝑥1 ∶ 𝑥2 = 1,5 ∶ 0,75
𝑥2 ∶ 𝑥3 = 0,75 ∶ 0,4
𝑥3 ∶ 𝑥4 = 0,4 ∶ 1,25
или 𝑥1 : 𝑥2 : 𝑥3 : 𝑥4 = 1,5 ∶ 0,75 ∶ 0,4 ∶ 1,25. Последнее отношение можно
записать в виде 𝑥1 : 𝑥2 : 𝑥3 : 𝑥4 = 30 ∶ 15 ∶ 8 ∶ 25. По правилу получим
780
= 10 . 𝑥1 = 10 ∙ 30 = 300 ; 𝑥2 = 10 ∙ 15 = 150 ; 𝑥3 = 80 ;
30 + 15 + 8 + 25
𝑥4 = 250 .
Ответ: 300; 150; 80; 250.
17
Чтобы разделить число на части обратно пропорционально заданным
числам, нужно разделить его прямо пропорционально числам, обратным
данным числам.
Пример 1.5.2. Разделите число 52 на части обратно пропорционально
числам 4; 6; 8.
Решение. Числа, обратные данным, будут
Следовательно,
1
1
1
6
4
6
8
24
𝑥1 ∶ 𝑥2 ∶ 𝑥3 = ∶ ∶ =
Тогда
𝑥1 =
∶
4
24
∶
3
24
1 1 1
; ; .
4 6 8
=6∶4∶3.
52 ∙ 6
52 ∙ 4
52 ∙ 3
= 24 ; 𝑥2 =
= 16 ;
= 12 .
6+4+3
6+4+3
6+4+3
Ответ: 24; 16; 12.
Пример 1.5.3. Скорость парохода относится к скорости течения реки
как 36 : 5. Пароход двигался по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени ему
потребуется, чтобы вернуться назад?
Решение. Обозначим собственную скорость парохода 𝑉𝑛 , а скорость
течения реки 𝑉𝑡 . Тогда по условию задачи
𝑉𝑛 36
36
=
⟹ 𝑉𝑛 =
𝑉 .
𝑉𝑡
5
5 𝑡
По течению пароход двигался со скоростью
36
41
𝑉𝑡 + 𝑉𝑡 =
𝑉,
5
5 𝑡
а против течения скорость парохода составляет
31
𝑉 .
5 𝑡
Весь путь по течению пароход прошёл за 310 мин. Тогда время его движения
против течения составит
41 ∙ 𝑉𝑡 ∙ 310 ∙ 5
= 410 .
5 ∙ 31𝑉𝑡
Ответ: 410 мин = 6 ч 50 мин.
Пример 1.5.4. Объёмы ежегодной добычи угля первой, второй и
третьей шахтами относятся как 10 : 11 : 12. Первая шахта планирует
уменьшить добычу угля на 10%, а вторая — на 4%. На столько процентов
должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный
объём добываемого за год угля не изменился?
Решение. Обозначим через V суммарный объём ежегодной добычи
угля. Тогда объём ежегодной добычи угля первой шахтой равен
18
10
33
𝑉,
11
второй —
33
𝑉 и третьей —
12
33
𝑉 . В результате планируемого уменьшения
10
11
добычи объём добычи первой шахтой станет 0,9 ∙ V , а второй — 0,96 V.
33
33
Чтобы суммарный объём добычи не изменился, третья шахта должна иметь
следующий годовой объём добычи:
10
11
4,48
𝑉 = −0,9 𝑉 − 0,96 𝑉 =
𝑉.
33
33
11
Если считать первоначальный объём добычи третьей шахты за 100%, то
процентный объём планируемой добычи х вычисляется так:
4,48 ∙ 100 ∙ 11
𝑥=
= 112%
11 ∙ 4
Следовательно, третья шахта должна увеличить объём добычи на 12%.
Ответ: на 12%.
1.6. Задачи для самостоятельного решения
1.6.1. Найти НОД чисел:
1) 350 и 315;
2) 122 и 305;
3) 18 и 171;
4) 15, 50 и 95;
5) 64, 96 и 320;
6) 81, 90 и 71.
1.6.2. Найти НОК чисел:
1) 14 и 21;
2) 21 и 70;
3) 37 и 29;
4) 55 и 125;
5) 48, 72 и 240;
6) 27, 54 и 90.
1.6.3. Решить пропорции:
1)
2)
𝑥
3,28
= 4,15 ;
2,15
12,8
𝑥
0,505
= 0,722 ;
19
3)
4)
0,012
𝑥
=
15,2
0,0062
0,085
;
3𝑥
= 7,15 .
31,4
1.6.4. Преобразовать периодическую десятичную дробь в обыкновенную:
1) 0,(45);
2) 3,1(73);
3) 1,15(2) .
1.6.5. В саду 1200 фруктовых деревьев. 54% этих деревьев составляют
яблони. 25% всех яблонь посажены студентами. Сколько яблонь посадили
студенты?
1.6.6. Вкладчик взял из сберкассы сначала 1/4 своих денег, потом 4/9
оставшихся и ещё 64 рубля. После этого у него осталось на сберкнижке 3/20
всех его денег. Как велик был вклад?
1.6.7. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды
нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила
1,5%?
1.6.8. Цену товара снизили на 20%, затем новую цену снизили ещё на 15%,
наконец, после перерасчёта произвели снижение ещё на 10%. На сколько
процентов всего снизили первоначальную цену товара?
1.6.9. Освободить подкоренное выражение от дроби:
14 7
1 √1 ;
2
9
2
6√ ;
27
5
6
6 √1
9𝑥 2 𝑦 2 5 𝑎𝑏
√
;
𝑎
81𝑥 3 𝑦 6
1
;
32
𝑎 3 𝑏
√ ;
𝑏 2 𝑎2
4 𝑏2
4𝑎2 𝑏 √ 3 ;
4𝑎
2𝑘
𝑛 𝑘
𝑚 𝑘
𝑚𝑛 √( ) − ( ) .
𝑚
𝑛
𝑝 − 𝑞 2𝑘+1 𝑝 + 𝑞
;
√
(𝑝 − 𝑞)2𝑘
𝑝+𝑞
20
1.6.10. Привести корни к простейшему виду:
23
1
√20 ;
3
4
33
8
√13 ;
5
9
𝑎𝑏 3 2
√(𝑎 − 𝑏 2 )(𝑎𝑏 −3 − 𝑎−3 𝑏)2 ;
𝑎+𝑏
𝑥 − 𝑦 2𝑘 𝑥 3𝑘 𝑦 5𝑘
√
.
(𝑥 − 𝑦)2𝑘−1
𝑥𝑦
1.6.11. Произвести действия:
√𝑎 3√𝑎 ;
5
3
√2√3
;
9
√− 5√−𝑎25 ;
3
√−2𝑎2 𝑏 4√5𝑎3 ;
1.6.12. Запишите выражение в виде степени числа 3:
27−1 ∙ 95
1) 0 −3 ;
16 ∙ 3
93 ∙ 274
2) 0 −6 .
12 ∙ 3
1.6.13. Запишите выражение в виде степени числа 2:
(26 )2 ∙ 128−5
1)
;
2−43
(29 )6 ∙ 64−4
2)
.
242
1.6.14. Найдите значение выражения:
32 − 0,3632
1)
;
3,363
2)
52 − 0,2752
.
5,275
1.6.15. Сравните:
1) 3, 456 ∙ 10−5 и 345,6 ∙ 10−7 ;
2) 259,8 ∙ 10−8 и 2,598 ∙ 10−6 .
1.6.16. Найдите значение выражения:
1)
2,097 ∙ 79,02
;
20,97 ∙ 7,902
21
5
−4
(𝑥 −3 𝑦 2 √2𝑥 3 𝑦 −2 ) .
2)
3,654 ∙ 45,63
.
0,3654 ∙ 4,563
25 −6
1.6.17. Запишите выражение (0,24)5 ( )
6
6 4
(25) в виде степени числа
20 2 13 4
1.6.18. Запишите выражение (0,65)−7 ( ) ( ) в виде степени числа
13
20
1.6.19. Внесите множитель под знак корня:
15
1) − 6√ ;
17
12
2) − 7√ .
23
1.6.20. Сократите дробь:
1)
2)
√567
72√7
√448
40√7
;
.
1.6.21. Сравните:
1) √308 − √92 и √972 − √46 ;
2) √668 − √97 и √878 − √44 .
1.6.22. Упростите:
1
1
1
1) 7 ∙ 182 + 4 ∙ 322 − 8 ∙ 502 ;
1
1
1
2) 8 ∙ 1472 + 7 ∙ 752 − 6 ∙ 122 .
1.6.23. Упростите:
1)
√2,8 ∙ √4,2
;
0,24
2)
√1,8 ∙ √6,3
.
√0,14
1.6.24. Сократите дробь:
1)
17 + 2√30
√15 + √2
;
2)
16 + 2√39
√13 + √3
22
.
6
25
13
20
.
.
1.6.25. Сравните:
1
2
1
2
1
2
1) 5 + 7 и 26 ;
1
2
1
2
1
2
2) 6 + 11 и 37 .
Глава 2
Алгебраические выражения
2.1. Основные понятия
Алгебраическим выражением (АВ) называется выражение, в котором
над числами и буквами производятся только действия сложения, вычитания,
умножения, деления и возведения в рациональную степень.
Алгебраическое выражение называется рациональным, если в нём
относительно входящих в него букв могут производиться лишь операции
сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную
𝒚
√𝟐𝒂+𝒃
степень, например: 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 ,
, 𝟑𝒙𝒚 + 𝟐 .
𝒂−𝒃
𝒙
Рациональное выражение называется целым, если знаменатель не
𝒚𝟐
содержит буквенных символов, например, 𝒙𝟑 𝒚 + .
𝟐
Рациональное выражение называется дробным, если знаменатель
содержит буквенные символы, например:
𝟐𝒙+𝒚
𝒙−𝒚
.
Алгебраическое выражение называется иррациональным, если над
входящими в него буквами производится операция извлечения
𝟑
арифметического корня, например: √𝒂 + √𝒃, √𝒙𝟐 𝒚, √𝒙𝒚 + 𝟑 .
Каждому алгебраическому выражению можно поставить в
соответствие его буквенный набор — множество букв, входящих в это
выражение. Каждому буквенному набору можно поставить в соответствие
числовой набор.
Числовой набор называется допустимым для данного алгебраического
выражения, если имеет смысл числовое выражение, которое получается при
подстановке вместо каждой буквы соответствующего ей числа из данного
числового набора.
Совокупность всех допустимых числовых наборов, соответствующих
буквенному набору алгебраического выражения, называется областью
допустимых значений (ОДЗ) данного алгебраического выражения (АВ).
𝟏
Например, для АВ вида
+ √𝒂𝒃𝒄 ОДЗ состоит из всех числовых
√𝒂−𝒙
наборов, соответствующих буквенному набору (а, b, c, x), для которых
a – x > 0 и 𝑎𝑏𝑐 ≥ 0. Так, набор (2; –1; –3; 1) входит в ОДЗ, а набор
(3; –1; –3; 4) не входит в ОДЗ.
23
Два алгебраических выражения называют тождественно равными на
области М, где область М — общая часть ОДЗ этих алгебраических
выражений, если для любого числового набора из области
М
соответствующие числовые значения рассматриваемых алгебраических
выражений равны.
Например:
тождественно
равны,
√(𝒂 − 𝒃)2 = | 𝒂 − 𝒃|
а √(𝒂 – 𝒃)2 = 𝒂 – 𝒃 тождественно равны при 𝑎 ≥ 𝑏.
Замена одного алгебраического выражения другим, тождественно
равным ему на области М, называется тождественным преобразованием.
Например, замена алгебраического выражения (a – b)(a + b)
выражением а2 – 𝑏 2 является тождественным преобразованием на области
М, где М = {(𝒂; 𝒃)| 𝒂 ∈ 𝑹, 𝒃 ∈ 𝑹}.
2.2. Многочлены
2.2.1. Формулы сокращённого умножения
Рациональное выражение, содержащее относительно входящих в него
букв только два действия — умножение и возведение в натуральную степень,
𝟏
называется одночленом, например: −𝟑𝒂𝟐 , √𝟑𝒂𝒃, 𝒙𝒚𝟐 .
𝟑
Одночлен приведён к стандартному виду, если числовой множитель
(коэффициент) записан на первом месте, а входящие в него буквы
(переменные) записаны в виде множителей в алфавитном порядке, причём
одинаковые буквы представлены степенью, например:
2𝒂3𝒂𝒃 √3𝒄𝒅𝟐 = 6 √3𝒂𝟐 𝒃𝟑 𝒄.
Одночлены называются подобными, если их стандартные виды
совпадают или отличаются только коэффициентами. Сложение и вычитание
подобных одночленов называется приведением подобных.
Многочленом называется сумма одночленов. Если все члены
многочлена записать в стандартном виде и привести подобные члены, то
получится многочлен в стандартном виде.
Если над многочленами проводятся операции сложения, вычитания,
умножения и возведения в натуральную степень, то результатами этих
действий являются многочлены.
По правилам сложения и умножения многочленов получены
тождественные равенства, которые называются формулами сокращённого
умножения:
(а ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ,
(а ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2 b ± 3𝑎𝑏 2 ± 𝑏 3 ,
24
𝑎 2 – 𝑏 2 = (𝑎 – 𝑏)(𝑎 + 𝑏),
(2.2.1)
а3 ± 𝑏 3 = (а ± 𝑏)(𝑎2 ± 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ),
(а + 𝑏 + 𝑐)2 = а 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐,
(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 − 2𝑏𝑐 .
2.2.2. Многочлены от одной переменной
Выражение вида
𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎0 𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎2 𝑥 𝑛−2 + . . . + 𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝑎𝑛 ,
(2.2.2)
где n — натуральное число, а0 , а1 , а2 ,..., а𝑛 — коэффициенты —
действительные числа, причём 𝑎0 ≠ 0, x — переменная величина,
называется многочленом n-й степени от одной переменной.
Одночлен 𝑎0 𝑥 𝑛 называется старшим членом многочлена, одночлен 𝑎 𝑛
называется свободным членом многочлена. Если 𝑎0 = 1, то многочлен
называется приведённым.
Запись многочлена в форме (2.2.2) называется стандартным видом
многочлена n-й степени.
Два многочлена одной и той же степени тождественно равны тогда и
только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях x совпадают.
Пример 2.2.1. Найдите числа α, β и γ, если многочлен
𝑥 + 6𝑥 2 + 𝛼𝑥 + 𝛽 является кубом суммы x + γ. В ответе укажите
наибольшее из них.
Решение. Составим равенство 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 𝛼𝑥 + 𝛽 = (𝑥 + 𝛾)3 или
𝑥 3 + 6𝑥 2 + 𝛼𝑥 + 𝛽 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝛾 + 3𝑥𝛾 2 + 𝛾 3 .
Из
условия
тождественного равенства двух многочленов имеем 3𝛾 = 6, 3𝛾 2 = 𝛼,
𝛾 3 = 𝛽. Отсюда 𝛾 = 2, 𝛼 = 12, 𝛽 = 8.
Ответ: 12.
3
Многочлены можно складывать, вычитать, умножать и возводить в
натуральную степень. Результатами этих операций являются многочлены.
В некоторых случаях выполнимо деление нацело. А именно, если
существует такой многочлен 𝑇(𝑥), что 𝑃(𝑥) = 𝑆(𝑥) ∙ 𝑇(𝑥), где 𝑆(𝑥) —
также многочлен, то говорят, что многочлен 𝑃(𝑥) нацело делится на
многочлен 𝑇(𝑥). Здесь 𝑃(𝑥) — делимое, 𝑇(𝑥) — делитель, 𝑆(𝑥) — частное.
Если многочлен 𝑃(𝑥) не делится на многочлен 𝑇(𝑥), то рассматривают
деление с остатком, возможность которого вытекает из следующего
утверждения.
Для любых двух многочленов 𝑃(𝑥) и 𝑇(𝑥), где 𝑇(𝑥) ≠ 0 и степень
𝑃(𝑥) не меньше степени 𝑇(𝑥), существует одна и только одна пара
25
многочленов 𝑆(𝑥) и 𝑅(𝑥) таких, что выполняется тождественное равенство
𝑃(𝑥) = 𝑇(𝑥)𝑆(𝑥) + 𝑅(𝑥),
(2.2.3)
причём либо степень многочлена 𝑅(𝑥) меньше степени многочлена 𝑇(𝑥),
либо 𝑅(𝑥) есть нуль.
Если делитель — двучлен (𝑥 – 𝛼), то формула деления (2.2.3)
принимает вид
𝑃(𝑥) = (𝑥 – 𝛼)𝑆(𝑥) + 𝑅,
(2.2.4)
где 𝑅 - число.
Заметим, что если 𝑅 = 0, то 𝑃(𝑥) = 𝑆(𝑥) ⋅ (𝑥 – 𝛼), т. е. 𝑃(𝑥) нацело
делится на (𝑥 – 𝛼).
Имеет место теорема Безу.
Остаток от деления многочлена 𝑃(𝑥) на двучлен (𝑥 – 𝛼) равен
значению многочлена 𝑃(𝑥) при 𝑥 = 𝛼, т. е. 𝑅 = 𝑃(𝛼).
Число 𝛼 называется корнем многочлена 𝑃(𝑥), если 𝑃(𝛼) = 0. Тогда
имеет место утверждение: число 𝛼 является корнем многочлена тогда и
только тогда, когда многочлен 𝑃(𝑥) делится нацело на двучлен 𝑥 – 𝛼.
Пример 2.2.2.
Найдите остаток от деления многочлена
2
− 2𝑥 + 10𝑥 – 11 на двучлен 𝑥 – 2.
Решение. Эту задачу можно решить двумя способами: делением
многочлена на двучлен или используя теорему Безу. Остаток 𝑅 равен
значению многочлена при 𝑥 = 2. 𝑅 = – 2 ⋅ 8 + 10 ⋅ 4 – 11 = 13.
Ответ: 13.
3
Как отмечалось ранее, если 𝛼 — корень многочлена 𝑃(𝑥), то
𝑃(𝑥) = (𝑥 – 𝛼)𝑆(𝑥).
Предположим, что 𝛼 — корень многочлена 𝑆(𝑥), тогда
𝑆(𝑥) = (𝑥 – 𝛼)𝑇(𝑥) и 𝑃(𝑥) = (𝑥 – 𝛼)2 𝑇(𝑥).
Если 𝑃(𝑥) можно представить в виде
𝑃(𝑥) = (𝑥 – 𝛼)𝑚 𝜙(𝑥),
где 𝜙(𝛼) ≠ 0, то говорят, что 𝛼 — корень кратности 𝑚 данного многочлена.
Если 𝑚 = 1, то 𝛼 — простой корень многочлена.
Предположим, что приведённый многочлен 𝑛 − й степени
𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎2 𝑥 𝑛−2 + . . . + 𝑎𝑛 имеет 𝑛 действительных корней
𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 . Тогда каждый из двучленов 𝑥 – 𝑥1 , 𝑥 – 𝑥2 , . . . , 𝑥 – 𝑥𝑛 является
его делителем и многочлен можно представить в виде
𝑃𝑛 (𝑥) = (𝑥 – 𝑥1 )( 𝑥 – 𝑥2 ) . . . (𝑥 – 𝑥𝑛 ).
(2.2.5)
Перемножив скобки, стоящие в правой части равенства (2.2.5), а затем
приведя подобные члены и сравнивая полученные коэффициенты с
коэффициентами приведённого многочлена 𝑃𝑛 (𝑥), мы получим равенства,
выражающие коэффициенты многочлена через его корни:
26
𝑎1 = – (𝑥1 + 𝑥2 + . . . +𝑥𝑛 ),
𝑎2 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 + . . . + 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 ,
𝑎3 = – (𝑥1 𝑥2 𝑥3 + 𝑥1 𝑥2 𝑥4 + . . . + 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 ),
......
𝑎𝑛 = (– 1)𝑛 𝑥1 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 .
(2.2.6)
Равенства (2.2.6) называются формулами Виета.
Пример 2.2.3. Найдите приведённый многочлен третьей степени,
имеющий простой корень 2 и корень 1 кратности 2.
Решение. Эту задачу можно решить двумя способами.
1) 𝑃3 (𝑥) = (𝑥 – 2)(𝑥 – 1)2 = (𝑥 – 2)(𝑥 2 – 2𝑥 + 1) = 𝑥 3 – 4𝑥 2 + 5𝑥 – 2.
2) Воспользуемся формулами Виета. Для многочлена 𝑃3 (𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎1
𝑥 2 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎3 ,
если 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 𝑥3 = 1.
Тогда 𝑎1 = – (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ) = – 4, 𝑎2 = (𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 + 𝑥2 𝑥3 ) = 5,
𝑎3 = – 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = – 2 и 𝑃3 (𝑥) = 𝑥 3 – 4𝑥 2 + 5𝑥 – 2.
Ответ: 𝑃3 (𝑥) = 𝑥 3 – 4𝑥 2 + 5𝑥 – 2.
Если все коэффициенты приведённого многочлена 𝑃𝑛 (𝑥) являются
целыми числами и многочлен имеет целый корень, то, как следует из
последнего соотношения формул Виета (2.2.6), этот корень является
делителем свободного члена 𝑎𝑛 .
Если подбором найден целый корень 𝑥1 , то многочлен 𝑃𝑛 (𝑥) делят на
𝑥 – 𝑥1 . Частное от деления — многочлен 𝑛 – 1 степени — также исследуется
на наличие целого корня. И т. д.
2.2.3. Квадратный трёхчлен
Квадратным трёхчленом называется выражение 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0.
Функция,
заданная
формулой
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, где 𝑎 ≠ 0,
называется функцией квадратного трёхчлена или квадратичной функцией.
Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке с
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝒃
𝒃
координатами 𝒙𝟎 = − , 𝒚𝟎 = 𝒇(𝒙𝟎 ) =
и осью симметрии 𝒙 = − .
𝟐𝒂
𝟒𝒂
𝟐𝒂
Ветви параболы направлены вверх при 𝑎 > 0 и вниз при 𝑎 < 0.
Если
𝐷 = 𝑏 2 – 4𝑎𝑐 — дискриминант квадратного трёхчлена —
больше нуля, то квадратный трёхчлен имеет два различных корня
−𝒃±√𝑫
𝒙𝟏,𝟐 =
.
𝟐𝒂
В этом случае квадратный трёхчлен раскладывается на множители вида
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 – 𝑥1 )(𝑥 – 𝑥2 ),
а график параболы пересекает ось 𝑂𝑋 в двух точках с абсциссами 𝑥 = 𝑥1
и 𝑥 = 𝑥2 .
27
Если 𝐷 = 0, то квадратный трёхчлен имеет два равных корня 𝒙𝟏 =
𝒃
𝒙𝟐 = − .
𝟐𝒂
В этом случае квадратный трёхчлен можно представить в виде полного
квадрата
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏 )𝟐 ,
а график параболы касается оси 𝑂𝑋 (имеет с осью 𝑂𝑋 одну общую точку).
Если 𝐷 < 0, то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней,
а график квадратичной функции не пересекает ось 𝑂𝑋 и расположен выше
(𝑎 > 0) или ниже (𝑎 < 0) этой оси.
Пример 2.2.4. Квадратный трёхчлен
полного квадрата примет вид:
1
1) 𝑦 = (𝑥 +
3
1
2) 𝑦 = (𝑥 +
3
15 2
) −
2
15 2
) +
2
237
12
213
12
𝟏
𝟑
𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏 после выделения
1
;
3) 𝑦 = (𝑥 + 15)2 − 4;
;
4) 𝑦 = (𝑥 +
3
3
1
15 2
) +
2
237
4
.
Решение. Для получения верного ответа требуется лишь аккуратно
провести все действия по выделению полного квадрата:
1
1
𝑦 = 𝑥 2 + 5𝑥 − 1 = (𝑥 2 + 15𝑥 − 3) =
3
3
1 2
15
225 225
1
15 2 237
= (𝑥 + 2 ∙ 𝑥 +
−
− 3) = [(𝑥 + ) −
]=
3
2
4
4
3
2
4
1
15 2 237
= (𝑥 + ) −
.
3
2
12
Ответ. 1.
Пример 2.2.5. Определите значение a, при котором квадратный
трёхчлен 𝑥 2 – 𝑎𝑥 + 𝑎 – 1 является полным квадратом.
Решение. Квадратный трёхчлен является полным квадратом, если 𝐷 =
2
𝑏 – 4𝑎𝑐 = 0. Применительно к нашему примеру это означает, что
2
𝑎2 – 4(𝑎 – 1) = 0 ⇒ 𝑎2 – 4𝑎 + 4 = 0 ⇒ (𝑎 — 2) = 0; 𝑎 = 2 .
Ответ: 2.
2.2.4. Разложение многочлена на множители
Тождественное преобразование многочлена к виду произведения
многочленов называется разложением многочлена на множители.
В частности, все формулы сокращённого умножения (2.2.1) и есть
формулы разложения многочлена на множители.
28
Для разложения многочлена на множители используются формулы
сокращённого умножения, метод группировки слагаемых, вынесение общих
множителей, выделение полного квадрата.
Для многочленов от одной переменной 𝑃𝑛 (𝑥) имеет место
утверждение: всякий многочлен 𝑃𝑛 (𝑥) степени 𝑛 ≥ 2 можно представить в
виде произведений многочленов не выше второй степени. При этом любому
действительному корню α многочлена соответствует множитель вида
(𝑥 – 𝛼)𝑚 , где m — кратность корня. Если же делителем многочлена является
квадратный
трёхчлен
с
отрицательным
дискриминантом
2
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝐷 = 𝑏 – 4𝑎𝑐 < 0), то он входит в разложение многочлена
на множители.
Итак, многочлен 𝑃𝑛 (𝑥) считается разложенным на множители, если он
представлен в виде произведения двучленов и их степеней, а также
квадратных трёхчленов с отрицательным дискриминантом и их степеней.
При разложении многочлена 𝑃𝑛 (𝑥) используют те же приёмы, что и
для многочленов, зависящих от двух и более переменных (букв).
Пример 2.2.6. Разложите многочлен 𝑥 3 – 3𝑥 2 + 5𝑥 – 15 на множители.
Решение. Проведём группировку слагаемых следующим образом:
(𝑥 3 – 3𝑥 2 ) + (5𝑥 – 15) = 𝑥 2 (𝑥 – 3) + 5(𝑥 – 3) = (𝑥 – 3)(𝑥 2 + 5).
Многочлен представлен в виде произведения двучлена и квадратного
трёхчлена с отрицательным дискриминантом. Следовательно, разложение
закончено.
Ответ: (𝑥 – 3)(𝑥 2 + 5).
В некоторых случаях удаётся найти корни многочлена 𝑃𝑛 (𝑥) и
воспользоваться представлением многочлена в виде 𝑃𝑛 (𝑥) = (𝑥 – 𝛼)𝑆𝑛−1 (𝑥),
где α — корень многочлена, 𝑆𝑛−1 (𝑥) — многочлен степени на единицу
меньше, чем исходный многочлен.
2.3. Алгебраические дроби
Алгебраической дробью называется дробное рациональное выражение,
представляющее собой отношение двух многочленов. Например:
2𝑎 + 𝑏 3𝑥 + 𝑦 𝑥 3 + 𝑥 2 − 1
;
;
.
𝑎3 + 1 𝑥 2 +𝑦 2 − 1
𝑥+2
Область допустимых значений (ОДЗ) алгебраической дроби
представляет собой множество всех числовых наборов, кроме тех, для
которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Над алгебраическими дробями проводятся операции сложения и
вычитания, при этом используется операция приведения к общему
29
знаменателю. В качестве общего знаменателя двух или более дробей берётся
так называемый наименьший общий знаменатель (НОЗ). В качестве НОЗ
выбирается такой многочлен, что любой другой общий знаменатель нацело
делится на выбранный НОЗ.
Схему приведения дробей к общему знаменателю продемонстрируем
на примере.
Пример 2.3.1. Приведите к общему знаменателю следующие дроби:
𝑎
𝑐
𝑑
;
;
𝑎3 − 𝑏 3 𝑎2 − 𝑏 2 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2
Решение. Разложим знаменатели дробей на множители:
𝑎3 – 𝑏 3 = (𝑎 – 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ); 𝑎2 – 𝑏 2 = (𝑎 – 𝑏)(𝑎 + 𝑏).
Знаменатель третьей дроби
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2
на множители не
раскладывается.
Составим НОЗ — многочлен, который нацело делится на каждый из
знаменателей, а, следовательно, содержит все множители, входящие в
разложения этих знаменателей.
НОЗ = (𝑎 – 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ).
Чтобы у каждой из дробей был именно этот знаменатель, надо
числитель и знаменатель первой дроби умножить на (𝑎 + 𝑏), второй — на
(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ), третьей – на (𝑎 – 𝑏)(𝑎 + 𝑏).
Тогда дроби примут вид:
𝑐(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
;
(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
𝑎(𝑎 + 𝑏)
;
(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
𝑑(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
.
(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
Умножение и деление алгебраических дробей проводится по тем же
правилам, что и для обыкновенных дробей.
Пример 2.3.2. Упростите выражение
𝑐 3 −8
𝑐 2 +2𝑐+4
:
(𝑐−2)2
𝑐 2 −4
.
Решение. Используя правило деления дробей, получим
(𝑐 3 − 8)(𝑐 2 − 4)
(𝑐 − 2)(𝑐 2 + 2𝑐 + 4)(𝑐 − 2)(𝑐 + 2)
=
.
(𝑐 2 + 2𝑐 + 4)(𝑐 − 2)2
(𝑐 2 + 2𝑐 + 4)(𝑐 − 2)2
30
Остается выполнить необходимые сокращения — деление числителя и
знаменателя на общий множитель в предположении, что этот множитель
отличен от нуля.
Очевидно, что выражение равно 𝑐 + 2 для любого 𝑐 ≠ ±2.
Ответ: 𝑐 + 2.
Рассмотрим алгебраическую дробь вида
𝑷 (𝒙)
𝑸 (𝒙)
.
Если степень числителя (степень многочлена 𝑷(𝒙)) меньше степени
знаменателя (степени многочлена 𝑸(𝒙)), то алгебраическая дробь называется
правильной.
Если степень числителя не меньше степени знаменателя, то дробь
называется неправильной.
Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы
многочлена и правильной алгебраической дроби.
Пример 2.3.3. Представьте выражение
𝑎𝑥 + 𝑏 +
𝑐𝑥+𝑑
𝑥 2 −4𝑥+2
𝑥 3 −2𝑥 2 +7𝑥+5
𝑥 2 −4𝑥+2
в виде
и укажите сумму 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 .
Решение. Выполним деление:
𝑥 3 − 2𝑥 2 + 7𝑥 + 5 𝑥 2 − 4𝑥 + 2___
13𝑥+1
𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2𝑥
𝑥+2+ 2
𝑥 −4𝑥+2
2
2𝑥 + 5𝑥 + 5
2𝑥 2 − 8𝑥 + 4_
13𝑥 + 1
Таким образом, 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 13, 𝑑 = 1 и 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 17.
Ответ: 17.
Пример 2.3.4. Найдите сумму 𝑎 + 𝑏, если имеет место тождество
2
𝑎
𝑏
= 𝑥−2 + 𝑥+3 .
𝑥 2 +𝑥−6
Решение. Так как 𝑥 2 + 𝑥 – 6 = (𝑥 – 2)(𝑥 + 3), то этот многочлен
является НОЗ для дробей правой части тождества.
Приведём эти дроби к общему знаменателю. Тогда тождество примет вид
2
=
𝑥 2 +𝑥−6
𝑎(𝑥+3)+𝑏(𝑥−2)
𝑥 2 +𝑥−6
.
Из тождественного равенства дробей на ОДЗ (𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ – 3) при равных
знаменателях следует тождественное равенство числителей:
𝑎(𝑥 + 3) + 𝑏(𝑥 – 2) = 2 или (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 3𝑎 – 2𝑏 = 2 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 0 и
31
3𝑎 – 2𝑏 = 2 ⇒ 𝑎 = – 𝑏 и – 5𝑏 = 2 ⇒ 𝑏 = – 0,4; 𝑎 = 0,4.
Ответ: 0.
2.4. Иррациональные выражения
Для иррациональных выражений имеют
умножения, аналогичные формулам (2.2.1):
𝒂 − 𝒃 = (√𝒂 − √𝒃)(√𝒂 + √𝒃),
𝒂 − 𝒃 = (√−𝒂 − √−𝒃)(√−𝒂 + √−𝒃),
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
√𝒂 − √𝒃 = ( √𝒂 − √𝒃)( √𝒂 + √𝒃),
𝒏
𝟐𝒏
𝟐𝒏
𝒏
𝟐𝒏
𝟐𝒏
√𝒂 − √𝒃 = ( √𝒂 − √𝒃)( √𝒂 + √𝒃),
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝒂 − 𝒃 = ( √𝒂 − √𝒃) ( √𝒂𝟐 + √𝒂𝒃 + √𝒃𝟐 ),
𝟑
место формулы сокращённого
𝒂 ≥ 𝟎 ,𝒃 ≥ 𝟎 ,
𝒂 ≤ 𝟎 ,𝒃 ≤ 𝟎 ,
𝒂 ≥ 𝟎 ,𝒃 ≥ 𝟎 ,
𝒂 ≥ 𝟎 ,𝒃 ≥ 𝟎 ,
(2.4.1)
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝒂 + 𝒃 = ( √𝒂 + √𝒃) ( √𝒂𝟐 − √𝒂𝒃 + √𝒃𝟐 ) .
При тождественных преобразованиях иррациональных выражений особое
значение приобретает область допустимых значений входящих в него букв.
Пример 2.4.1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
1−𝑎2
1−√𝑎
.
Решение. ОДЗ выражения находится из системы
{1 − √𝑎 ≠ 0 , ⇒
𝑎≥0
𝑎 ≠1,
{
𝑎 ≥0.
Так как выражение 1 + √ 𝒂 , сопряжённое знаменателю, не обращается
в 0, то домножим числитель и знаменатель дроби на 1 + √ 𝒂 .
Тогда получим
(1 − 𝑎2 )(1 + √𝑎)
= (1 + 𝑎)(1 + √𝑎).
1−𝑎
Ответ: (1 + 𝒂)(1 + √𝒂).
𝑥
3
Пример 2.4.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
√𝑥−1
.
Решение. Данное выражение имеет смысл при 𝑥 ≠ 1. Домножим
𝟑
𝟑
числитель и знаменатель дроби на (√𝒙𝟐 + √𝒙 + 1). Тогда получим
3
3
𝑥(√𝑥 2 + √𝑥 + 1)
.
𝑥−1
32
3
Ответ:
3
𝑥( √𝑥 2 + √𝑥+1)
𝑥−1
.
2.5. Задачи для самостоятельного решения.
2.5.1. Найдите 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, если
1. −3𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 можно представить в виде (5 − 𝑥)(3𝑥 2 + 2).
2. 2𝑥 3 + 9𝑥 2 − 9𝑥 + 2 можно представить в виде (2𝑥 − 1)(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) .
2.5.2. Запишите многочлен в стандартном виде:
1. (1 + 𝑥 + 𝑦)(1 − (𝑥 + 𝑦));
2. (2 − 𝑥)3 + (𝑥 − 1)2 ;
3. (2 + 𝑥 + 𝑥 2 )2 .
2.5.3. Разложите многочлен на множители:
1. (𝑥 − 2)3 + 27 ;
2. 𝑚𝑛 − 𝑛2 + 3𝑚 − 3𝑛 ;
3. 4𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 𝑏 2 ;
4. (2𝑥 + 𝑦)3 − 8𝑦 3 ;
5. 𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 3𝑏 2 ;
6. 𝑥 4 + 3𝑥 3 + 4 .
2.5.4. Проведите деление многочленов:
1. (𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4𝑥 + 2): (𝑥 + 1) ;
2. (𝑥 4 + 3𝑥 3 + 7𝑥 2 + 7𝑥 + 6): (𝑥 2 + 2𝑥 + 3) ;
3. (𝑥 5 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 1): (𝑥 2 − 1) ;
4. (𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 − 2𝑦 3 ): (𝑥 − 𝑦) ;
5. (−2𝑥 + 𝑥 2 − 1 + 2𝑥 3 ): (𝑥 + 1) ;
6. (𝑥 3 + 𝑥 4 − 𝑥 − 1): (𝑥 2 − 1) .
2.5.5. Найдите остаток от деления многочлена на двучлен:
33
1. (𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥 + 11): (𝑥 + 3) ;
2. (−2𝑥 3 + 10𝑥 2 − 11): (𝑥 − 2) ;
3. (10𝑥 3 + 7𝑥 + 11): (𝑥 + 1) .
2.5.6. Найдите значения 𝑎 и 𝑏, при которых данное равенство выполняется
при всех значениях 𝑥.
1. 21𝑥 + 10(𝑎𝑥 2 + 1) = 7𝑥 2 + 𝑏𝑥 2 + 5𝑎𝑥 + 3𝑏𝑥 + 10 ;
2. (𝑥 + 3𝑎)(𝑥 − 2𝑏) + 6𝑎𝑏 =
𝑎+𝑏 2
𝑥 .
20 − 𝑏
2.5.7. Выделите полный квадрат:
1. 𝑥 2 − 4𝑥 + 10 ;
1
2. 𝑥 2 − 𝑥 + 2 ;
3
3. 2𝑥 2 + 4𝑥 − 5 ;
4. −7𝑥 2 + 3𝑥 + 1 .
2.5.8. Упростите выражение:
𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
1.
;
𝑎+𝑏
3𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑥
2. 3
;
𝑦 + 3𝑥𝑦 + 𝑦
3𝑦𝑥 2 + 𝑥 2 + 3𝑦 + 1
3.
;
𝑥2 + 1
𝑥 4 + 3𝑥 2 + 4
4.
.
𝑥2 − 𝑥 + 2
2.5.9. Сократите дробь:
18𝑎4 𝑏 3 𝑐
1.
;
12𝑎𝑏 4 𝑐
135 𝑎5−𝑛 𝑏 𝑚−4
2.
;
27 𝑎3−𝑛 𝑏 𝑚−5
𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 3𝑏 2
3. 2
;
𝑎 − 3𝑎𝑏 + 2𝑏 2
𝑏 2 − 18𝑏 − 𝑐 2 + 81
4. 2
;
𝑏 + 2𝑏𝑐 + 𝑐 2 − 9𝑏 − 9𝑐
𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎2 𝑏
5. 2
;
𝑎 − 𝑏2 + 𝑎 − 𝑏
6.
(𝑎 − 2)(𝑥 + 𝑎)(𝑏 − 𝑥)
.
(4 − 𝑎2 )(𝑎2 − 𝑥 2 )(𝑥 2 − 𝑏 2 )
2.5.10. Приведите дроби к общему знаменателю:
34
1.
𝑛
𝑚
;
;
3
2
3𝑎 𝑏𝑐
9𝑎 𝑏2 𝑐 3
3.
𝑎
𝑏
1
; 3
;
.
𝑎 − 𝑏 𝑏 − 𝑎3 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2
2.
𝑥2
1
1
;
;
2
+ 3𝑥𝑦 9𝑦 − 𝑥 2
2.5.11. Выполните действия:
1.
1
1
2
+
+
;
𝑎2 − 2𝑎𝑥 2𝑎𝑥 + 4𝑥 2 4𝑥 2 − 𝑎2
2.
1
1
2
+
+
;
𝑎2 − 2𝑎𝑏 2𝑎𝑏 + 4𝑏 2 4𝑏 2 − 𝑎2
3.
𝑥−2
𝑥+2
4𝑥
+
−
;
𝑥 2 + 2𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 𝑥 2 − 4
4
3
6𝑎4
25𝑏4
4. (− 3 ) ∙ (−
) ;
5𝑏
9𝑎5
𝑎2 − 𝑎𝑏 + 3𝑏 − 9
𝑎2 + 3𝑎
5.
∙
;
(𝑎 − 𝑏)2 − 9
𝑎𝑏 + 3𝑏
𝑥 2 + 2𝑥 − 3 𝑥 2 + 7𝑥 + 12
6. 2
∶
;
𝑥 + 3𝑥 − 10 𝑥 2 − 9𝑥 + 14
(𝑎 − 𝑏)2 + 𝑎𝑏
𝑎5 + 𝑏 5 + 𝑎2 𝑏 3 + 𝑎3 𝑏 2
7.
∶
;
(𝑎 + 𝑏)2 − 𝑎𝑏 (𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 )(𝑎3 − 𝑏 3 )
8.
𝑎2𝑛 − 𝑏 2𝑛
𝑎𝑛 − 𝑏 𝑛
∶
;
𝑎3𝑛 + 𝑏 3𝑛 𝑎2𝑛 − 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 + 𝑏 2𝑛
1
2
1
𝑐 − 4 2 4𝑐 + 16
9. ( 2
+
+
;
):(
) + 2
𝑐 − 4𝑐 16 − 𝑐 2 4𝑐 + 16
2𝑐 + 8
4𝑐 − 𝑐 3
1 − 2𝑥
1 + 2𝑥 6𝑥 2 − 1
10. (
+ 2𝑥 − 1) ∙
+
.
3 + 6𝑥 2
1 − 2𝑥
3𝑥
2.5.12. Упростите выражение и вычислите его при заданных значениях
входящих в него букв.
35
2𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2
𝑦 2
1.
при
= ;
6𝑥 2 − 7𝑥𝑦 + 𝑦 2
𝑥 5
4𝑏 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑏 − 𝑎
𝑎
1
2.
при
=
−
;
2𝑏 2 + 4𝑎𝑏 − 2𝑎 − 𝑏
𝑏
3
4𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
𝑧
3.
при
условии,
что
=2,
2𝑦𝑧 − 𝑦 2 − 2𝑧 2
𝑦
𝑦
= −2 ;
𝑥
𝑎 𝑎2
𝑎
𝑎𝑏 2
4. (1 + + 2 ) (1 − ) ∙ 3
при 𝑎 = 121 , 𝑏 = 11 ;
𝑏 𝑏
𝑏 𝑎 − 𝑏3
𝑎𝑏
𝑏2
2𝑎𝑏 2
1
𝑏
2𝑏
5. (
+
+ 2
+
−
)
(
)
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏 2 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏 2
при 𝑎 = 13, 𝑏 = 78 ;
2.5.13. Найдите числа 𝐴, 𝐵, 𝐶, при которых справедливо равенство:
1.
1
𝐴
𝐵
𝐶
= +
+
;
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
2.
2𝑥 + 1
𝐴
𝐵𝑥 + 𝐶
=
+
;
(𝑥 2 + 1)(𝑥 + 2) 𝑥 + 2 𝑥 2 + 1
3.
𝑥+3
𝐴 𝐵
𝐶
=
+
+
.
𝑥 2 (𝑥 − 1) 𝑥 𝑥 2 𝑥 − 1
2.5.14. Выполните действия:
1. (𝑥 2 𝑦 −3 + 𝑥 −1 ) ∶ (𝑥𝑦 −2 − 𝑦 −1 + 𝑥 −1 ) − 1 ;
𝑎1,5 + 𝑏1,5
2𝑏 0,5
0,5 0,5
2. ( 0,5
− 𝑎 𝑏 ) ∶ (𝑎 − 𝑏) + 0,5
;
𝑎 + 𝑏 0,5
𝑎 + 𝑏 0,5
𝑎3⁄2 − 𝑏 3/2 𝑎2/3 𝑏1/2 + 𝑎1/2 𝑏 2/3
3. 1/2
−
;
𝑎 − 𝑏1/2
𝑎1/6 + 𝑏1/6
36
1+𝑎
1−𝑎
4. (√
+√
) : √1 − 𝑎 2 ;
1−𝑎
1+𝑎
5. (1 +
6.
7.
𝑥
√𝑥 2
+1
) ∙ (√𝑥 2 + 1 − 𝑥) ;
𝑎 + √𝑎2 − 𝑎𝑏
𝑎 − √𝑎2 − 𝑎𝑏
3
( √𝑎 2 𝑏
+
𝑎 − √𝑎2 − 𝑎𝑏
𝑎 + √𝑎2 − 𝑎𝑏
.
3 𝑎2
𝑏2 3
2
+ √ 2 − √𝑎𝑏 ) ∙ ( √ 2 ) ;
𝑎
𝑏
3
3
5
15
3
8. (√𝑎 − √𝑎2 + √𝑎4 ) ∙ ( √𝑎 − √𝑎4 ) ;
2
4
4
4
4
2
1
( √𝑎 + √𝑏) + ( √𝑎 − √𝑏)
9.
∶
− 3√𝑎𝑏 ;
2(𝑎 − 𝑏)
√𝑎3 − √𝑏 3
10. √𝑥 + 2√𝑥 − 1 − √𝑥 − 2√𝑥 − 1 .
2.5.15. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.
1.
3.
√𝑥 2 − 𝑎2 + √𝑥 2 + 𝑎2
√𝑥 2 − 𝑎2 − √𝑥 2 + 𝑎2
1
3
3
√𝑎 + √𝑏
;
;
2.
4.
1
√𝑎 + √𝑏
;
1
3
3
3
√𝑎2 − √𝑎𝑏 + √𝑏 2
.
Глава 3
Алгебраические уравнения, неравенства и системы
3.1. Рациональные уравнения
3.1.1. Уравнения с одной переменной
Равенство 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) называется уравнением с одним неизвестным.
37
Всякое значение переменной, при котором 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) принимают
равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение
— значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же
корни или не имеют корней.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести в другую часть
уравнения, поменяв знак на противоположный, то получим уравнение,
равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить на одно и то же отличное от нуля
число, то получим уравнение, равносильное данному.
Если в уравнении функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) — многочлены, то уравнение
называется целым рациональным; если 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) — рациональные
выражения, причём хотя бы одно из них дробное, то уравнение называется
дробно-рациональным; если хотя бы одно из выражений 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) —
алгебраическое иррациональное выражение, то уравнение называется
иррациональным.
3.1.2. Линейные уравнения
Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение
вида
𝑎𝑥 = 𝑏,
где 𝑎 и 𝑏 — некоторые заданные числа.
1. Если 𝑎 ≠ 0 ⇒ 𝑥 =
𝑏
𝑎
(3.1.1)
.
2. Если 𝑎 = 0, 𝑏 = 0 ⇒ уравнение имеет бесчисленное множество
корней, так как при любом 𝑥 выполняется равенство 0 ⋅ 𝑥 = 0.
3. Если 𝑎 = 0; 𝑏 ≠ 0 ⇒ уравнение корней не имеет.
Пример 3.1.1. При каких значениях 𝑘 уравнение
3(𝑘𝑥 + 15)
2𝑘 + 3(𝑥 + 1) =
5
1) имеет единственное и, в частности, нулевое решение;
2) не имеет решений?
Решение. Освободимся от знаменателя, для чего умножим обе части
уравнения на 5. Получим: 10𝑘 + 15(𝑥 + 1) = 3(𝑘𝑥 + 15). Далее:
10𝑘 + 15𝑥 + 15 = 3𝑘𝑥 + 45; 3𝑥(𝑘 – 5) = 10(𝑘 – 3).
Ответ: 1) Если 𝑘 ≠ 5, то уравнение имеет единственное решение 𝑥 =
10(𝑘−3)
3(𝑘−5)
; при 𝑘 = 3, 𝑥 = 0.
2) Если 𝑘 = 5, то уравнение не имеет решений.
3.1.3. Квадратные уравнения
Уравнение вида
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0),
38
(3.1.2)
где 𝑎, 𝑏, 𝑐 — произвольные числа, называется квадратным уравнением.
Если 𝑎 = 1, то уравнение называется приведённым квадратным
уравнением.
Корни квадратного уравнения 3.1.2 находятся по формулам
𝑥=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
.
(3.1.3)
Выражение 𝐷 = 𝑏 2 – 4𝑎𝑐 называют дискриминантом.
1. Если 𝐷 > 0 — уравнение имеет два различных корня.
2. Если 𝐷 < 0 — уравнение не имеет корней.
3. Если 𝐷 = 0 — уравнение имеет два равных корня.
Теорема Виета: Если 𝑥1 и 𝑥2 — корни квадратного уравнения
2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, то
𝑏
𝑐
𝑥1 + 𝑥2 = − и 𝑥1 𝑥2 = .
(3.1.4)
𝑎
𝑎
Теорема Виета применяется при решении различных задач. Рассмотрим
некоторые из них.
Пример 3.1.2. Найдите сумму кубов корней уравнения
2𝑥 2 – 13𝑥 – 17 = 0.
Решение. Если задачу решать с помощью нахождения корней
квадратного уравнения, то это приведёт к громоздким преобразованиям над
радикалами. Воспользуемся теоремой Виета, сделав необходимые
преобразования формулы суммы кубов:
𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2 )(𝑥12 + 𝑥22 − 𝑥1 𝑥2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 )((𝑥1 + 𝑥2 )2 − 3𝑥1 𝑥2 ) =
= (𝑥1 + 𝑥2 )3 − 3(𝑥1 + 𝑥2 )𝑥1 𝑥2 .
Если 𝑥1 и 𝑥2 — корни заданного уравнения, то по теореме Виета
𝑥1 +𝑥2 =
13
2
и 𝑥1 𝑥2 = −
17
полученную выше формулу:
2
. Подставим значения (𝑥1 + 𝑥2 ) и 𝑥1 𝑥2 в
13 3
13
17
3
(𝑥1 + 𝑥2 − 3(𝑥1 + 𝑥2 )𝑥1 𝑥2 = ( ) − 3 ∙
∙ (− ) = 440 .
2
2
2
8
3
Ответ: 440 .
)3
8
Пример 3.1.3. Найдите сумму значений или значение, если оно
единственное, параметра 𝑝, при которых отношение корней уравнения
3𝑥 2 + (𝑝 — 11)𝑥 + 6 = 0 равно 18.
Решение. Пусть 𝑥1 и 𝑥2 — корни заданного уравнения. Тогда по
условию задачи 𝑥1 = 18𝑥2 , а по теореме Виета
11 − 𝑝
𝑥1 + 𝑥2 =
, 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 2 .
3
Решим систему уравнений
39
11 − 𝑝
11 − 𝑝
𝑥1 + 𝑥2 =
,
𝑥1 + 𝑥2 =
,
3
3
⇒ {
⇒
{
𝑥1 ∙ 𝑥2 = 2 ,
18𝑥22 = 2 ,
𝑥1 = 18𝑥2
𝑥1 = 18𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 =
11 − 𝑝
,
3
1
𝑥2 = ± ,
3
{ 𝑥1 = 18𝑥2 .
Так как произведение корней уравнения равно 2, т. е. положительно, то
1
𝑥1 и 𝑥2
имеют
одинаковые
знаки:
либо
𝑥1 = 6 , 𝑥2 = ,
3
1
либо 𝑥1 = −6 , 𝑥2 = − . Подставляя эти значения в первое уравнение
3
системы, получим два значения 𝑝: 𝑝 = 30 и 𝑝 = – 8.
Ответ: 22.
3.1.5. Дробно-рациональные уравнения
Уравнение вида
𝑃(𝑥)
=0,
𝑄(𝑥)
(3.1.5)
где 𝑃(𝑥) и 𝑄(𝑥) — многочлены, называется дробно-рациональным. Оно
равносильно системе
𝑃(𝑥) = 0 ,
(3.1.6)
{
𝑄(𝑥) = 0 .
Пример 3.1.4. Найдите сумму корней или корень,
единственный, уравнения
𝑥(𝑥 − 2)
2
𝑥−9
−
1
𝑥−7
15
=
2
𝑥−9
+
1
если он
.
7−𝑥
Решение. Знаменатели левой и правой частей уравнения одинаковы
1
1
(так как
=−
) . Следовательно, числители также равны:
7−𝑥
𝑥−7
𝑥(𝑥 – 2) = 15 ⇒ 𝑥2 – 2𝑥 – 15 = 0 ⇒ 𝑥1 = 5, 𝑥2 = – 3. Однако, исходное
уравнение равносильно системе
𝑥 2 − 5𝑥 − 15 = 0 ,
𝑥 ≠9,
𝑥 ≠7,
2
1
≠
{𝑥 − 9 𝑥 − 7 .
Проверяя полученные корни, убеждаемся, что последнее условие
нарушается при 𝑥 = 5, и потому 5 — посторонний корень.
Ответ: –3.
40
В некоторых случаях дробно-рациональное уравнение решается
методом замены переменной.
Пример 3.1.5. Решите уравнение
𝑥+1 2
𝑥+1
𝑥−1 2
+ 3(
(
) −4
) =0.
𝑥−1
𝑥
𝑥
В ответе укажите произведение корней.
Решение. Это уравнение решается
по
алгебраического уравнения. Разделим уравнение на (
типу
однородного
𝑥−1 2
𝑥
) ≠ 0 и запишем
(𝑥+1)𝑥
𝑥(𝑥+1) 2
полученное уравнение в виде (
)
−
4
+3=0.
(𝑥−1)2
(𝑥−1)2
𝑥(𝑥+1)
Введём переменную 𝑡 =
. Тогда для 𝑡 получим уравнение
(𝑥−1)2
𝑡 2 – 4𝑡 + 3 = 0 ⇒ 𝑡1 = 1, 𝑡2 = 3. Возвращаясь к 𝑥, имеем два равнения:
𝑥(𝑥 + 1)
1
1)
=
1
⇒
3𝑥
−
1
=
0
и
𝑥
=
;
(𝑥 − 1)2
3
𝑥(𝑥 + 1)
1
2
2)
=
3
⇒
2𝑥
−
7𝑥
+
3
=
0
и
𝑥
=
3,
𝑥
=
.
(𝑥 − 1)2
2
Так как область допустимых значений 𝑥: 𝑥 ≠ 1 и 𝑥 ≠ 0, то все
1
1
полученные решения 𝑥 = , 𝑥 = , 𝑥 = 3 являются корнями исходного
3
2
уравнения.
Ответ: 0,5.
3.2. Рациональные неравенства
Рациональным неравенством называется неравенство вида
𝑃(𝑥)
∨0,
(3.2.1)
𝑄(𝑥)
где 𝑃(𝑥) и 𝑄(𝑥) — многочлены, а под символом ∨ понимают один из знаков
>, <, ≥, ≤.
Решением неравенства называется значение 𝑥, удовлетворяющие
заданному неравенству.
Два неравенства эквивалентны или равносильны, если множества их
решений совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба они не
имеют решений.
Сформулируем теоремы о равносильности неравенств.
1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с
противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.
41
2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или
разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство,
равносильное данному.
3. Если обе части неравенства с одной переменной разделить или
умножить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на
противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Рациональные неравенства удобно решать методом интервалов,
который основывается на следующей теореме.
Теорема. Если функция 𝑓(𝑥) определена и непрерывна на интервале
(𝑎; 𝑏) и не имеет на нём нулей, то для всех 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) функция 𝑓(𝑥)
сохраняет свой знак.
Геометрический смысл этой теоремы очевиден: непрерывная кривая —
график функции 𝑓(𝑥) — не пересекает ось 𝑂𝑋 на интервале (𝑎; 𝑏),
так как функция 𝑓(𝑥) не имеет на этом интервале нулей. Следовательно, эта
кривая лежит по одну сторону оси 𝑂𝑋.
Поясним суть метода интервалов на примере неравенства
𝑃(𝑥) > 0,
(3.2.2)
где
𝑃(𝑥) = 𝑥 𝑛 + 𝑎1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎2 𝑥 𝑛−2 + . . . + 𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝑎𝑛 (3.2.3)
Известно, что многочлен можно разложить на линейные множители
и квадратные трёхчлены с отрицательным дискриминантом.
Так как квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом
сохраняет свой знак на всей числовой оси, то знак многочлена 𝑃(𝑥) > 0
при различных значениях 𝑥 зависит только от знаков его линейных
множителей.
Поэтому будем считать, что разложение многочлена 𝑃(𝑥) на
множители имеет вид
𝑃(𝑥) = (𝑥 – 𝛼1 )(𝑥 – 𝛼2 )(𝑥 – 𝛼3 ). . . (𝑥 – 𝛼𝑛 ).
Положим для определённости, что n = 4. Отметим на числовой оси
значения 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 , 𝛼4 .
Числовая ось разобьётся на несколько промежутков (в данном случае
их пять).
Внутри каждого промежутка, в силу сформулированной выше теоремы,
многочлен 𝑃(𝑥) = (𝑥 – 𝛼1 )(𝑥 – 𝛼2 )(𝑥 – 𝛼3 )(𝑥 – 𝛼4 ) сохраняет свой знак. Если
𝑥 > 𝛼4 , то каждый из множителей (𝑥 – 𝛼1 ), (𝑥 – 𝛼2 ), (𝑥 – 𝛼3 ), (𝑥 – 𝛼4 )
положителен, и поэтому 𝑃(𝑥) > 0 при 𝑥 > 𝛼4 . Если 𝑥 ∈ (𝛼3 ; 𝛼4 ), то в
указанном разложении (𝑥 – 𝛼4 ) < 0, а все остальные множители
положительны.
Следовательно, если 𝑥 ∈ (𝛼3 ; 𝛼4 ), то 𝑃(𝑥) < 0.
Далее, на интервале (𝛼2 ; 𝛼3 ) многочлен 𝑃(𝑥) положителен и т. д. На
числовой оси отмечаем полученные знаки и выбираем те промежутки, на
которых знак многочлена соответствует знаку заданного неравенства (см.
рис. 3.2.1).
42
+
+
𝑎1
-
𝑎2
+
-
𝑎3
𝑎4
X
Рис. 3.2.1: Графическая интерпретация метода интервалов.
В нашем случае решением неравенства является объединение
множеств (– ∞; 𝛼1 ) ∪ (𝛼2 ; 𝛼3 ) ∪ (𝛼4 ; ∞).
Заметим, что в разложении 𝑃(𝑥) на множители могут встречаться
множители вида (𝑥 – 𝑎)𝑘 . Если 𝑘 чётно, то справа и слева от числа 𝑥 = 𝑎
многочлен сохраняет свой знак. Если 𝑘 нечётно, то (𝑥 – 𝑎)𝑘 ведёт себя как
(𝑥 – 𝑎). Следовательно, неравенство 𝑃(𝑥) > 0 (𝑃(𝑥) < 0) можно свести к
решению неравенства
(𝑥 – 𝑎1 )(𝑥– 𝑎2 ) . . . (𝑥– 𝑎𝑚 ) > 0 (либо < 0), где 𝛼1 , 𝛼2 , . . . , 𝛼𝑚
— различные действительные корни многочлена 𝑃(𝑥).
Множество решений неравенства 𝑃(𝑥) ≥ 0 или 𝑃(𝑥) ≤ 0 является
объединением двух множеств: множество решений строгого неравенства
𝑃(𝑥) > 0 или 𝑃(𝑥) < 0 и множество решений уравнения 𝑃(𝑥) = 0.
Неравенства вида
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
> 0 или
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
< 0 равносильны неравенствам
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) > 0 или 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) < 0.
При решении неравенства
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≥ 0 или
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≤0
необходимо
исключить нули знаменателя и включить в решение нули числителя, не
совпадающие с нулями знаменателя, а далее решать строгое неравенство
𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) > 0 или 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄(𝑥) < 0.
Таким образом,
𝑃(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) > 0,
𝑃(𝑥)
≥ 0 ⟺ [ 𝑃(𝑥) = 0,
{
𝑄(𝑥)
𝑄(𝑥) ≠ 0.
𝑃(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) < 0,
𝑃(𝑥)
≤ 0 ⟺ [ 𝑃(𝑥) = 0,
{
𝑄(𝑥)
𝑄(𝑥) ≠ 0.
Здесь использованы обозначения системы { и [ совокупности условий.
Напомним, что решением системы условий являются те значения 𝑥,
которые удовлетворяют всем условиям системы, а решением совокупности
условий являются все значения 𝑥, удовлетворяющие хотя бы одному из
условий.
43
Пример 3.2.1. Решите неравенство
Решение.
(𝑥+1)(𝑥−4)
(𝑥+7)2
+
(𝑥+1)(𝑥−4)
(𝑥+7)2
≥0.
≥ 0 ⟺ {(𝑥 + 1)(𝑥 − 4) ≥ 0,
𝑥 ≠ −7 .
_
+
-7
+
-1
4
X
Рис. 3.2.2: Графическая интерпретация решения примера 3.2.1.
Ответ: (– ∞; – 7) ∪ (– 7; – 1] ∪ [4; ∞).
Пример 3.2.2. Решите неравенство
Решение.
(𝑥−3)2
(𝑥−3)2
(𝑥−2)(𝑥+5)
≤0
𝑥 = 3,
≤ 0 ⟺ [(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) < 0.
(𝑥−2)(𝑥+5)
_
+
+
+
-5
2
X
3
Рис. 3.2.3: Графическая интерпретация решения примера 3.2.2.
Ответ: (– 5; 2) ∪ {3}.
Пример 3.2.3. Решите неравенство
𝑥 3 −𝑥 2 +4𝑥−4
𝑥 4 +𝑥 3 +5𝑥 2 +5𝑥
≥ 0.
Решение. Применяя метод группировки, разложим числитель и
знаменатель на множители.
𝑥 3 – 𝑥 2 + 4𝑥 – 4 = 𝑥 2 (𝑥 – 1) + 4(𝑥 – 1) = (𝑥 – 1)(𝑥 2 + 4),
𝑥 4 + 𝑥 3 + 5𝑥 2 + 5𝑥 = 𝑥 3 (𝑥 + 1) + 5𝑥(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)𝑥(𝑥 2 + 5).
Исходное неравенство запишется в виде
(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 4)
𝑥−1
≥
0
⟺
≥0.
𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 5)
𝑥(𝑥 + 1)
Применяя метод интервалов, получим 𝑥 ∈ (– 1; 0) ∪ [1; ∞).
44
_
_
+
-1
+
X
1
0
Рис. 3.2.4: Графическая интерпретация решения примера 3.2.3.
Ответ: (– 1; 0) ∪ [1; ∞).
Пример 3.2.4. Решите систему неравенств – 18 < 𝑥 4 – 9𝑥 2 < 0.
Решение. Запишем систему неравенств в виде:
𝑥 2 (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) < 0,
𝑥 2 (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) < 0,
𝑥 4 − 9𝑥 2 < 0,
⟺ { 4
⟺ { 2
⟺
{ 4
(𝑥 − 3)(𝑥 2 − 6) > 0
𝑥 − 9𝑥 2 > −18
𝑥 − 9𝑥 2 + 18 > 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) < 0, 𝑥 ≠ 0,
⟺ {
(𝑥 − √3)(𝑥 + √3)(𝑥 − √6)(𝑥 + √6) > 0.
В приведённых преобразованиях в обоих неравенствах мы произвели
разложение на множители и сократили первое неравенство на 𝑥 2 при
условии, что 𝑥 ≠ 0. Далее каждое из неравенств по отдельности решаем
методом интервалов и выбираем те значения переменной, при которых
удовлетворяется каждое из неравенств.
_
+
-3
+
_
0
_
−√6
+
3
_
+
−√3
√3
+
√6
X
Рис. 3.2.5: Графическая интерпретация решения примера 3.2.4.
Из рис. 3.2.5 видно, что системе неравенств удовлетворяют значения
𝑥 ∈ (−3; − √6) ∪ (− √3; 0) ∪ (0; √3) ∪ (√6; 3).
Ответ: (−3; − √6) ∪ (− √3; 0) ∪ (0; √3) ∪ (√6; 3).
45
3.3. Уравнения и неравенства, содержащие переменную
под знаком модуля
3.3.1. Уравнения, содержащие знак модуля
Рассмотрим основные приёмы решения уравнений и неравенств,
содержащих переменную под знаком модуля.
1. Уравнения вида | 𝑓(𝑥) | = 𝑎.
(3.3.1)
Если 𝑎 < 0, то решений нет.
Если 𝑎 = 0, то 𝑓 (𝑥) = 0.
Если 𝑎 > 0, то данное уравнение равносильно совокупности
уравнений
𝑓(𝑥) = 𝑎,
[
𝑓(𝑥) = −𝑎.
2. Уравнение вида | 𝑓(𝑥)| = | 𝑔(𝑥)|
(3.3.2)
равносильно уравнению
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥),
𝑓 2 (𝑥) = 𝑔2 (𝑥) ⟺ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 0 ⟺ [
𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥).
3. Уравнение вида | 𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥)
(3.3.3)
равносильно совокупности систем
𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥),
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥),
1) {
2) {
𝑔(𝑥) ≥ 0;
𝑔(𝑥) ≥ 0.
4. Уравнения, представляющие алгебраическую сумму двух и более
модулей, а именно | 𝑓1 (𝑥)| + | 𝑓2 (𝑥)| + . . . + |𝑓𝑛 (𝑥)| = 𝑔(𝑥), (3.3.4)
решаются методом интервалов.
На практике это делается так:
1) находят значения 𝑥, при которых выражения, стоящие под знаком
модуля обращаются в нуль;
2) полученными точками разбивают область допустимых значений
переменной 𝑥 на промежутки, на каждом из которых выражения под
знаком модуля, сохраняют знак;
3) раскрывают все модули на каждом из полученных промежутков;
4) на каждом промежутке исходное уравнение заменяется
равносильным уравнением, не содержащим знака модуля.
Объединение найденных решений составляет множество решений
заданного уравнения.
Пример 3.3.1. Найдите сумму корней уравнения
|𝑥 2 – 4𝑥 – 1| = 4.
Решение.
2
2
|𝑥 2 − 4𝑥 − 1| = 4 ⟺ [𝑥 2 − 4𝑥 − 1 = 4, ⟹ [ 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0,
𝑥 − 4𝑥 + 3 = 0
𝑥 − 4𝑥 − 1 = −4
⟹ 𝑥1 = −1,
⟹ 𝑥3 = 1,
46
𝑥2 = 5,
𝑥4 = 3.
⟹
⟹
Исходное уравнение имеет 4 корня, сумма которых равна 8.
Ответ: 8.
Пример 3.3.2. Найдите сумму корней уравнения
|𝑥 2 – 2𝑥| = |1– 2𝑥|.
Решение. Заданное уравнение равносильно совокупности уравнений
𝑥 2 = 1,
𝑥 2 − 2𝑥 = 1 − 2𝑥,
⟹ [ 2
[ 2
𝑥 − 4𝑥 + 1 = 0.
𝑥 − 2𝑥 = 2𝑥 − 1
Сумма корней первого уравнения равна нулю, а сумма корней второго
уравнения по теореме Виета равна 4.
Ответ: 4.
Пример 3.3.3. Найдите разность между наибольшим и наименьшим из
корней уравнения 𝑥 2 – 7 | 𝑥 | + 6 = 0.
Решение. Из свойств модуля вытекает, что функция 𝑥 2 – 7 | 𝑥 | + 6 —
чётная, и потому корнями заданного уравнения будут корни уравнения
𝑥 2 – 7 𝑥 + 6 = 0, удовлетворяющие условию 𝑥 ≥ 0, и противоположные им
числа. Корнями уравнения 𝑥 2 – 7 𝑥 + 6 = 0 являются числа 1 и 6. Значит,
корни исходного уравнения 𝑥1,2 = ±1 и 𝑥3,4 = ±6. Наибольший из корней
𝑥 = 6, а наименьший 𝑥 = – 6. Искомая разность равна 12.
Ответ: 12.
3.3.2. Неравенства, содержащие знак модуля
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решаются
аналогично уравнениям подобного вида. Так, неравенство
| 𝑓(𝑥)| < а
(3.3.5)
не имеет решения, если а ≤ 0.
Если же а > 0, то | 𝑓(𝑥)| < 𝑎 ⇔ – 𝑎 < 𝑓(𝑥) < а.
Неравенство
| 𝑓(𝑥) | > а
(3.3.6)
имеет в качестве решения область определения 𝑓(𝑥), если а ≤ 0, и
𝑓(𝑥) > 𝑎,
|𝑓(𝑥)| > 𝑎 ⟺ [
,
𝑓(𝑥) < −𝑎
Неравенство
| 𝑓(𝑥)| ≤ | 𝑔(𝑥)|
(3.3.7)
2
2
равносильно неравенству 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑔 (𝑥).
Неравенства, содержащие алгебраическую сумму двух и более
модулей, решаются методом интервалов по той же схеме, что и аналогичные
уравнения.
При решении неравенств, содержащих знак модуля, необходимо иметь
ввиду следующие схемы:
47
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥),
|𝑓(𝑥)| > 𝑔(𝑥) ≥ 0 ⟺ [
𝑓(𝑥) < −𝑔(𝑥)
(3.3.8)
𝑓(𝑥) > 0,
|𝑓(𝑥)| < 𝑔(𝑥) ≥ 0 ⟺ [
−𝑔(𝑥) < 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥).
(3.3.9)
и
Пример 3.3.4. Найдите наибольшее целое решение неравенства
3𝑥+5
|4𝑥−1| > 1.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств
3𝑥 + 5
6−𝑥
1)
> 1,
1)
> 0,
4𝑥
−
1
4𝑥
−
1
[
⟺ [
7𝑥 + 4
3𝑥 + 5
2)
< 0.
2)
< −1
4𝑥 − 1
4𝑥 − 1
Решением совокупности неравенств является объединение множеств
4
1
1
7
4
4
(− ; ) ∪ ( ; 6). Наибольшее целое число этого множества 5.
Ответ: 5.
3.4. Иррациональные уравнения и неравенства
3.4.1. Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее
неизвестную величину под знаком корня.
Необходимо иметь в виду:
1) если 𝑛 — чётное число, то 𝑛√𝑓(𝑥) ≥ 0, причём область допустимых
значений подкоренной функции 𝑓(𝑥) ≥ 0;
2𝑛
2) √(𝑓 (𝑥))2𝑛 = |𝑓 (𝑥)|;
3) если 𝑛 — нечётное число, то 𝑛√𝑓 (𝑥) и 𝑓(𝑥) имеют одинаковые
знаки при любом допустимом значении 𝑥.
Решение иррациональных уравнений основано на сведении их к
рациональному.
Это осуществляется возведением обеих частей уравнения в степень с
соответствующим показателем или с помощью введения новой переменной.
При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень следует
иметь в виду: при натуральном 𝑛
2𝑛
𝑓(𝑥) = (𝜑(𝑥)) ,
2𝑛
уравнение √𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥) равносильно системе {
𝜑(𝑥) ≥ 0;
2𝑛+1
уравнение √𝑓 (𝑥) = 𝜑(𝑥) равносильно уравнению 𝑓(𝑥) = (𝜑(𝑥))2𝑛+1 .
Обычно при решении иррациональных уравнений придерживаются
следующего порядка действий:
48
1) находят область допустимых значений уравнения;
2) переходят к соответствующему рациональному уравнению;
3) делают проверку полученных решений.
Однако, если, например, нахождение области допустимых значений
функций, входящих в уравнение, приводит к громоздким преобразованиям,
можно сразу возвести уравнение в соответствующую степень. В этом случае
обязательна проверка найденных решений путём подстановки их в исходное
уравнение.
С другой стороны, проверка подстановкой в исходное уравнение тоже
бывает весьма затруднительной. Тогда решают систему неравенств,
включающую условие совпадения знаков обеих частей уравнения и ОДЗ
функций, входящих в уравнение. После этого переходят к рациональному
уравнению.
В некоторых случаях, не решая иррационального уравнения, а только
анализируя его, можно определить, что оно не имеет решения, или даже
найти решение.
Пример 3.4.1. Решите уравнение √𝑥 − 6 + √2 − 𝑥 = 1.
Решение. Уравнение не имеет корней. Действительно, найдём область
𝑥 − 6 ≥ 0,
𝑥 ≥ 6,
определения этого уравнения: {
⟹ {
2−𝑥 ≥0
𝑥 ≤ 2.
Последняя система противоречива, и потому область определения уравнения
— пустое множество и, следовательно, ни одно число не может быть корнем
уравнения.
6
3
Пример 3.4.2. Решите уравнение √2𝑥 − 4 + √𝑥 + 6 = 2 − √2 − 𝑥.
2 − 𝑥 ≥ 0,
𝑥 ≤ 2,
⟹ {
⟹𝑥=2
2𝑥 − 4 ≥ 0
𝑥≤2
Проверкой убеждаемся, что 𝑥 = 2 — корень заданного уравнения.
Ответ: 2.
Решение. Выпишем ОДЗ: {
Пример 3.4.3. Решите уравнение √𝑥 + 1 − √2𝑥 − 1 = √𝑥 − 3 + 1.
Решение. Составим систему условий, включающих ОДЗ, и условие
совпадения знаков обеих частей уравнения.
𝑥 + 1 ≥ 0,
2𝑥 − 1 ≥ 0,
𝑥 ≥ 3,
𝑥 ≥ 3,
⟹ {
⟹ {
{ 𝑥 − 3 ≥ 0,
𝑥 + 1 ≥ 2𝑥 − 1
𝑥 ≤ 2.
√𝑥 + 1 − √2𝑥 − 1 ≥ 0
Так как система несовместна, то уравнение не имеет решения.
Пример 3.4.4. Решите уравнение √5𝑥 + 2 = 3 − √2𝑥 − 1.
Решение. Заданное уравнение эквивалентно системе условий:
49
2
𝑥≥− ,
5
⟺ 𝑥 ≥ 0,5 ,
⟺
𝑥 ≤5,
2
{5𝑥 + 2 = (3 − √2𝑥 − 1)
{3𝑥 − 6 = −6√2𝑥 − 1 ,
5𝑥 + 2 ≥ 0,
2𝑥 − 1 ≥ 0,
3 − √2𝑥 − 1 ≥ 0,
0,5 ≤ 𝑥 ≤ 5 ,
0,5 ≤ 𝑥 ≤ 5 ,
⟺{
⟺ {2 − 𝑥 ≥ 0 ,
⟺
2 − 𝑥 = 2√2𝑥 − 1
2
(2 − 𝑥) = 4(2𝑥 − 1)
0,5 ≤ 𝑥 ≤ 5 ,
0,5 ≤ 𝑥 ≤ 2 ,
⟺ {𝑥 ≤ 2 ,
⟺
{
𝑥1 = 6 + 2√7; 𝑥2 = 6 − 2√7 .
𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
Последняя система имеет единственное решение: 𝑥 = 6 − 2 √7 .
Заметим, что, если бы мы делали проверку значений 𝑥1,2 = 6 ± 2 √7
подстановкой в исходное уравнение, нам бы пришлось делать громоздкие
вычисления с радикалами.
Ответ: 6 − 2 √7 .
3.4.2. Иррациональные неравенства
Иррациональным неравенством называется неравенство, содержащее
переменную величину под знаком корня.
Решение иррациональных неравенств сводится к решению
равносильной ему совокупности систем рациональных неравенств.
При этом следует помнить, что:
1) если обе части неравенства возвести в нечётную степень, то
получится неравенство, равносильное заданному;
2) обе части неравенства можно возводить в чётную степень только
тогда, когда они неотрицательны. В этом случае получается неравенство,
равносильное заданному на области допустимых значений.
Рассмотрим простейшие иррациональные неравенства:
𝑔(𝑥) ≥ 0,
{
2𝑛
𝑓(𝑥) > (𝑔(𝑥)) ,
2𝑛
1) √𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⟺
𝑓(𝑥) ≥ 0,
{
[ 𝑔(𝑥) < 0.
𝑓(𝑥) ≥ 0,
2𝑛
2) √𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) ⟺ {𝑔(𝑥) > 0,
2𝑛
𝑓(𝑥) < (𝑔(𝑥)) .
Пример 3.4.5. Решите неравенство √4𝑥 + 5 > √5𝑥 + 4.
Решение. Заданное неравенство равносильно такой системе неравенств:
50
5
𝑥
>
−
,
4𝑥 + 5 > 0,
4
⟹
4
5𝑥 + 4 ≥ 0,
𝑥
≥
−
,
4𝑥 + 5 > 5𝑥 + 4
5
{
{ 𝑥 < 1.
-5/4
1
-4/5
X
Рис. 3.4.1: Графическая интерпретация решения примера 3.4.5.
4
Очевидно, решением неравенства является множество [− ; 1) .
5
4
Ответ: [− ; 1) .
5
3
Пример 3.4.6. Решите неравенство √27 + 7𝑥 < 𝑥 + 3.
Решение. Возведём в куб обе части неравенства. Получим неравенство,
равносильное заданному:
27 + 7𝑥 < (𝑥 + 3)3 ⇔ 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 27𝑥 + 27 > 27 + 7𝑥 ⇔
⇔ 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 20𝑥 > 0 ⇔ 𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 + 5) > 0.
Последнее неравенство решаем методом интервалов.
_
_
_
+
-5
+
0
-4
X
Рис. 3.4.2: Графическая интерпретация решения примера 3.4.6.
Ответ: (– 5; – 4) ∪ (0; ∞).
Пример 3.4.7. Решите неравенство √𝑥 + 1 + √𝑥 + 13 ≤ 6.
Решение. ОДЗ заданного неравенства есть множество [– 1; ∞).
Возведём обе части неравенства в квадрат и перейдём к равносильной ему
системе неравенств:
𝑥 + 1 + 𝑥 + 13 + 2√𝑥 2 + 14𝑥 + 13 ≤ 36,
2
⟺ {√𝑥 + 14𝑥 + 13 ≤ 11 − 𝑥, ⟺
{ 𝑥 ≥ −1,
𝑥 ≥ −1
𝑥 ≥ −13
51
36𝑥 ≤ 108,
𝑥 2 + 14𝑥 + 13 ≤ (11 − 𝑥)2 ,
𝑥 ≤ 3,
⟺ { 𝑥 ≤ 11,
⟺ { 𝑥 ≤ 11,
⟺ {
𝑥 ≥ −1.
𝑥 ≥ −1
𝑥 ≥ −1
Ответ: [– 1; 3].
3.5. Системы алгебраических уравнений и неравенств
3.5.1. Системы рациональных уравнений
Рассмотрим два уравнения с двумя переменными 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 и
𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. Они образуют систему, если ставится задача об отыскании всех
пар чисел (𝑥, 𝑦), которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений.
Каждая такая пара называется решением системы. Решить систему
уравнений — значит найти все её решения. Если множество решений пусто,
то система называется несовместной. Две системы называются
равносильными, если множества их решений совпадают. Если, в частности,
обе системы не имеют решений, они тоже считаются равносильными.
Если система содержит 𝑛 переменных и 𝑚 уравнений, то её называют
системой 𝑚 уравнений от 𝑛 переменных. Решением системы уравнений с 𝑛
переменными называется упорядоченный набор из 𝑛 чисел, являющийся
решением каждого из уравнений системы.
При решении системы преобразования уравнений не должны
приводить к потере или появлению лишних решений. В случае появления
лишних корней необходима проверка исходных уравнений.
Отметим здесь некоторые утверждения о равносильности систем:
1) Если одно из уравнений системы заменить на равносильное ему, а
другое уравнение оставить без изменения, то получится система,
равносильная данной.
2) Если одно уравнение системы заменить суммой или разностью двух
каких-либо уравнений системы, а другие оставить без изменения, то
получится система, равносильная исходной.
Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется
система вида
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 ,
(3.5.1)
{ 1
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.
1) Если
2) Если
𝑎1
𝑎2
𝑎1
𝑎2
3) Если
≠
=
𝑎1
𝑎2
𝑏1
𝑏2
𝑏1
𝑏2
=
, то система имеет единственное решение.
≠
𝑏1
𝑏2
𝑐1
𝑐2
=
, то система не имеет решений.
𝑐1
𝑐2
, то система имеет бесконечное множество
решений.
52
Пример 3.5.1. При каких значениях параметра а, система уравнений
(𝑎2 + 2)𝑥 + (2𝑎 + 1)𝑦 = 𝑎2 + 𝑎 + 1,
{
(2𝑎 − 1)𝑥 + 𝑦 = 2𝑎3 − 1
1) имеет единственное решение;
2) имеет бесчисленное множество решений;
3) не имеет решений?
Решение. 1) Система имеет единственное решение, если выполняется
условие
𝑎2 + 2 2𝑎 + 1
≠
⟹ 𝑎 ≠ ±1.
2𝑎 − 1
1
2) Если 𝑎 = 1, то выполняется условие пропорциональности
коэффициентов:
𝑎1 𝑏1 𝑐1
3 3 3
=
= ⟹ = = ,
𝑎2 𝑏2 𝑐2
1 1 1
т. е. система имеет бесчисленное множество решений.
3) Если 𝑎 = – 1, то система не имеет решений, так как
𝑎1 𝑏1 𝑐1
3
−1
1
=
≠ ⟹
=
≠
.
𝑎2 𝑏2 𝑐2
−3
1
−3
Ответ: 1) 𝑎 ≠ ±1; 2) 𝑎 = 1; 3) 𝑎 = – 1.
Систему линейных уравнений можно решать методом исключения
неизвестных или методом подстановки.
3𝑥 − 5𝑦 = 1,
Пример 3.5.2. Решите систему уравнений {
4𝑥 + 3𝑦 = 11.
Решение. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5 и сложим
полученные уравнения:
9𝑥 − 15𝑦 = 3,
𝑥 = 2,
29𝑥 = 58,
⟹ {
⟹{
{
𝑦 = 1.
4𝑥 + 3𝑦 = 11
20𝑥 + 15𝑦 = 55
Ответ: (2; 1).
Метод исключения неизвестных можно применять к решению системы
трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2,
Пример 3.5.3. Решите систему уравнений { 3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1,
2𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 2.
Решение. С целью исключения неизвестного 𝑥 из второго и третьего
уравнений, умножим первое уравнение на (–3) и (–2) и прибавим
соответственно ко второму и третьему уравнениям системы.
53
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2,
Заменим данную систему равносильной: { 5𝑦 − 10𝑧 = −5,
𝑦 − 3𝑧 = −2.
Из последних двух уравнений
𝑦 − 2𝑧 = −1,
5𝑦 − 10𝑧 = −5,
⟺ {
⟹ 𝑦 = 1, 𝑧 = 1.
{
𝑦 − 3𝑧 = −2
𝑦 − 3𝑧 = −2
Подставляя 𝑦 и 𝑧 в первое уравнение, получим 𝑥 = 1.
Ответ: (1; 1; 1).
3.6. Задачи для самостоятельного решения
3.6.1. Решите уравнение:
3𝑥 2 + 5𝑥 + 2 5𝑥 2 + 2𝑥 + 3
1)
=
;
3
5
3.6.2. Решите уравнение:
1) 64,25𝑥 2 −
257
= 0;
4
4𝑥 2 + 7𝑥 + 3 7𝑥 2 + 3𝑥 + 4
2)
=
.
4
7
2) 7,54𝑥 2 −
377
= 0.
50
3.6.3. Решите уравнение:
1) 3𝑥 2 + 𝑥√17 = 0;
2) 11𝑥 2 + 𝑥√19 = 0.
3.6.4. Решите уравнение:
1) (𝑥 − 3)2 = 16;
2) (𝑥 − 4)2 = 9.
3.6.5. Решите уравнение:
2
1 − √6𝑥 4
(𝑥 + √6)
1)
+
= ;
6
3
3
3.6.6. Решите уравнение:
2
1 − √3𝑥 5
(𝑥 + √3)
2)
+
= .
4
2
4
1) (3𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = 4(𝑥 − 1)2 ; 2) (2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 5(𝑥 − 2)2 .
3.6.7. Решите уравнение:
1) |𝑥 2 − 10| = 6;
2) |𝑥 2 − 17| = 8.
3.6.8. Решите уравнение:
1) |5𝑥 − 4| = |8 − 5𝑥|;
2) |7𝑥 + 5| = |3 − 7𝑥|.
3.6.9. Решите уравнение:
1)
2𝑥 + 5
= 6;
3𝑥 − 1
2)
3𝑥 − 4
= 4.
2𝑥 + 3
3.6.10. Решите уравнение:
54
𝑥 2 − 7𝑥 + 12
1)
= 0;
𝑥−3
𝑥 2 + 6𝑥 + 8
2)
= 0.
𝑥+4
3.6.11. Решите уравнение:
1)
𝑥−4
= 5;
𝑥+4
2)
𝑥+3
= 4.
𝑥−3
3.6.12. Решите уравнение:
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
(𝑥 + 4)𝑥 + (𝑥 + 1)
=
0;
2)
= 0.
𝑥2 − 4
𝑥2 − 1
3.6.13. Решите уравнение:
1)
1)
𝑥+3 6
1
= +
;
𝑥+2 𝑥 𝑥+2
2)
𝑥+4 4
7
= +
.
𝑥−3 𝑥 𝑥−3
3.6.14. Найдите все значения переменной 𝑏, для каждого из которых равны
значения выражений:
1)
6𝑏 + 5
𝑏−5
и
;
𝑏−2
3𝑏 + 2
2)
5𝑏 + 4
𝑏−4
и
.
𝑏−2
3𝑏 + 2
3.6.15. Решите уравнение:
𝑥 2 − 5𝑥 − 6
1) 2
= 0;
𝑥 + 2𝑥 − 3
𝑥 2 + 3𝑥 + 2
2) 2
=0.
𝑥 − 4𝑥 + 3
3.6.16. Решите уравнение:
1)
𝑥 − 15
2
𝑥 + 14
3
+
= 2; 2)
+
= 3.
𝑥(𝑥 + 7) 𝑥 + 7
𝑥(𝑥 + 1) 𝑥 + 1
3.6.17. Решите уравнение:
1) √4 − 𝑥 = 5;
2) √5 − 𝑥 = 4.
3.6.18. Решите уравнение:
2) √5𝑥 − 4 = 3.
1) √3𝑥 − 4 = 5;
3.6.19. Решите уравнение:
7
1
1) √
= ;
𝑥+2 4
6
1
2) √
= .
𝑥+7 5
3.6.20. Решите уравнение:
1) √6𝑥 2 − 7𝑥 + 2 = 1;
2) √3𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 2 .
3.6.21. Решите уравнение:
55
1) √3𝑥 − 2 = 4𝑥 − 3;
2) √2𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2 .
3.6.22. Решите уравнение:
𝑥+3
1) √
= 𝑥 + 2;
2
𝑥−1
2) √
=𝑥−3.
3
3.6.23. Решите уравнение:
1) √𝑥 − 5 = √𝑥 2 − 25;
2) √𝑥 − 3 = √𝑥 2 − 9 .
3.6.24. Решите неравенство:
1) 3(2𝑥 − 3) − 2(3𝑥 − 2) ≤ 1 − 4𝑥 ;
2) 4(3𝑥 − 4) − 3(4𝑥 − 3) ≤ 1 − 5𝑥 .
3.6.25. Решите неравенство:
1) (2 − 𝑥)(√5 − √7) > 0;
2) (1 − 𝑥)(√3 − √5) > 0.
3.6.26. Решите неравенство:
1) (2𝑥 − 3)(5𝑥 + 2) ≥ (2𝑥 − 3)(5𝑥 − 2);
2) (3𝑥 − 1)(4𝑥 + 3) ≤ (3𝑥 − 1)(4𝑥 − 3).
3.6.27. Решите неравенство:
1)
4 + 5𝑥
> 3𝑥 + 1;
2
2)
3 + 7𝑥
> 2𝑥 + 1 .
4
3.6.28. Решите неравенство:
1) 36𝑥 2 − 25 ≥ 0;
2) 49𝑥 2 − 16 ≥ 0 .
3.6.29. Решение неравенство:
1) 𝑥 2 − 19𝑥 + 18 ≥ 0;
2) 𝑥 2 − 17𝑥 + 16 ≥ 0 .
3.6.30. Решите неравенство:
1)(3𝑥 − 7)2 ≥ (7𝑥 − 3)2 ;
2) (5𝑥 − 4)2 ≥ (4𝑥 − 5)2 .
3.6.31. Решите неравенство:
1)
2𝑥 − 1
>0;
4𝑥 2 + 3
2)
3𝑥 − 2
<0.
5𝑥 2 + 7
3.6.32. Решите неравенство:
4𝑥 2
7
5𝑥 2
9
1)
<−
; 2)
>−
.
4𝑥 + 3
4𝑥 + 3
5𝑥 − 4
5𝑥 − 4
3.6.33. Решите неравенство:
56
𝑥2 + 4
1
1)
≥
;
4𝑥 − 1 4𝑥 − 1
𝑥2 + 3
2
2)
≤
.
4𝑥 + 5 4𝑥 + 5
3.6.34. Решите неравенство:
1)
4
3
≥
;
𝑥 2 − 16 16 − 𝑥 2
2)
5
2
≤
.
𝑥 2 − 81 81 − 𝑥 2
3.6.35. Решите неравенство:
7𝑥 2
9
1)
>
−
;
49𝑥 2 − 36
49𝑥 2 − 36
3.6.36. Решите неравенство:
4𝑥 2
9
2)
<
.
36𝑥 2 − 49 36𝑥 2 − 49
2
3
<
;
𝑥 2 − 2𝑥 − 24 𝑥 2 − 2𝑥 − 24
3
4
2) 2
> 2
.
𝑥 − 3𝑥 − 18 𝑥 − 3𝑥 − 18
3.6.37. Решите неравенство:
1)
1) 3√2𝑥 − 9 > 0 ;
2) 7√3𝑥 − 8 > 0 .
3.6.38. Решите неравенство:
1) (𝑥 2 + 8)√𝑥 + 8 > 0 ; 2) (𝑥 2 + 6)√𝑥 + 6 > 0 .
3.6.39. Решите неравенство:
1)
7
√3𝑥 − 5
≥
5
√3𝑥 − 5
; 2)
5
√4𝑥 − 7
≥
3
√4𝑥 − 7
3.6.40. Решите неравенство:
3
2
√4𝑥 2 + 7
√5𝑥 2 + 9
1)
≥
; 2)
≥
.
2𝑥 − 5
5 − 2𝑥
3𝑥 − 7
7 − 3𝑥
3.6.41. Решите систему уравнений:
5𝑥 + 𝑦 = −2 ,
1) {
7𝑥 − 𝑦 = −10 ;
3𝑥 + 𝑦 = 13 ,
2) {
4𝑥 − 𝑦 = 15 .
3.6.42. Решите систему уравнений:
8𝑥 + 3𝑦 = −3 ,
1) {
4𝑥 + 3𝑦 = −6 ;
2) {
9𝑥 + 2𝑦 = 23 ,
3𝑥 + 2𝑦 = 13 .
3.6.43. Решите систему уравнений:
5𝑥 − 3𝑦 = 7 ,
1) {
7𝑥 + 𝑦 = −11 ;
2) {
4𝑥 + 3𝑦 = −5 ,
5𝑥 + 𝑦 = −9 .
57
.
3.6.44. Решите систему уравнений:
3
2
𝑥 − 𝑦 = −8 ,
3
1) { 2
1
−𝑥 + 𝑦 = 5 ;
3
1
3
𝑥− 𝑦 =3,
5
2) {2
1
−𝑥 + 𝑦 = 4 .
5
3.6.45. Решите систему уравнений:
5
= 1,
1) { 2𝑥 + 𝑦
2𝑥 − 𝑦 = 7 ;
3
=1,
2) { 4𝑥 + 𝑦
4𝑥 − 𝑦 = 13 .
3.6.46. Решите систему уравнений:
4
= −0,5 ,
1) {3𝑥 − 𝑦
0,2𝑥 − 𝑦 = −2,4 ;
5
= −0,5 ,
2) {2𝑥 − 𝑦
0,3𝑥 − 𝑦 = −4,9 .
3.6.47. Решите систему уравнений:
3𝑥 − 2𝑦
= −5 ,
1) { 2𝑥 + 3𝑦
2𝑥 − 3𝑦 = 5 ;
2𝑥 − 3𝑦
=5,
2) {3𝑥 + 2𝑦
3𝑥 − 2𝑦 = 5 .
3.6.48. Решите систему неравенств:
4𝑥 + 9 ≤ 9𝑥 + 4 ,
1) {
1,7𝑥 < 51 ;
5𝑥 + 8 ≤ 8𝑥 + 5 ,
2) {
2,3𝑥 < 46 .
3.6.49. Решите систему неравенств:
2𝑥 + 5 5𝑥 + 2
>
,
5
2
1) {
𝑥+2 𝑥+5
<
;
5
2
3𝑥 + 2 2𝑥 + 3
>
,
2
3
2) {
𝑥+2 𝑥+3
<
.
3
2
3.6.50. Решите систему неравенств:
(𝑥 + 6)2 < (𝑥 + 4)2 ,
1) {
6𝑥 + 13 > 5𝑥 − 7 ;
2) {
(𝑥 + 5)2 < (𝑥 + 3)2 ,
5𝑥 + 12 > 4𝑥 − 9 .
58
Глава 4
Числовые последовательности
4.1. Основные понятия
Если каждому натуральному числу 𝑛 поставлено в соответствие число
𝑥𝑛 , то говорят, что задана числовая последовательность 𝑥1 , 𝑥2 , . . . 𝑥𝑛 , или
{𝑥𝑛 }. Чтобы задать последовательность, надо задать закон, по которому
каждому натуральному числу 𝑛 поставлено в соответствие число 𝑓(𝑛) = 𝑥𝑛 .
Это число называют 𝑛 − м членом, или общим членом, последовательности.
Задание последовательности формулой для n-го члена называется
аналитическим способом задания последовательности.
Имея аналитическое выражение для 𝑥𝑛 , можно найти любой член
последовательности. Если, например,
𝑥𝑛 =
(−1)𝑛
2𝑛−1
,
то
(−1)1
(−1)2 1
(−1)3
1
𝑥1 =
= −1 ; 𝑥2 =
= ; 𝑥3 =
= − и т. д.
1
3
3
5
5
В некоторых случаях последовательность задают рекуррентным
соотношением, т. е. формулой, выражающей 𝑥𝑛 через предшествующие ему
члены последовательности. Например, последовательность чисел Фибоначчи
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ... задается формулой 𝑥0 = 1, 𝑥1 = 1,
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛−1 .
Последовательность {𝑥𝑛 } называется возрастающей (неубывающей),
если 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 (𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛+1 ) для любого натурального 𝑛, и убывающей
(невозрастающей), если 𝑥𝑛 > 𝑥𝑛+1 (𝑥𝑛 ≥ 𝑥𝑛+1 ) для любого натурального 𝑛.
Например, последовательность
последовательность
1
𝑛
{𝑛+1}
является возрастающей, а
{𝑛} является убывающей.
Последовательность {𝑥𝑛 } называется ограниченной сверху, если
существует число 𝑀 такое, что 𝑥𝑛 ≤ 𝑀 для любого натурального 𝑛.
Последовательность {𝑥𝑛 } называется ограниченной снизу, если
существует число 𝑚 такое, что 𝑥𝑛 ≥ 𝑚 для любого натурального 𝑛.
Последовательность {𝑥𝑛 } называется ограниченной, если она
ограничена и снизу и сверху.
Например, последовательность 3; 2; 1; 0; –1; –2; –3; ... ограничена
сверху, так как 𝑥𝑛 ≤ 3 для любого 𝑛 ∈ 𝑁; последовательность 1, 2, 3, ...;
n; ... ограничена снизу, так как 𝑥𝑛 ≥ 1 для любого 𝑛 ∈ 𝑁;
последовательность
𝑁.
{
𝑛+1
𝑛
} ограничена, так как
59
1 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 2 для любого 𝑛 ∈
Последовательность {𝑥𝑛 } называется сходящейся к числу 𝑎, если
выполняется условие: для любого 𝜀 > 0 можно указать такое натуральное
число 𝑛0 , что член последовательности с этим номером и все следующие за
ним члены отклоняются от числа 𝑎 меньше, чем на 𝜀. Иными словами, из
неравенства 𝑛 ≥ 𝑛0 следует неравенство | 𝑥𝑛 – 𝑎| < 𝜀 . Число 𝑎 в этом
случае называют пределом последовательности {𝑥𝑛 } и записывают так:
𝑛→∞
lim 𝑥𝑛 = 𝑎 или 𝑥𝑛 → 𝑎 или 𝑛 → ∞
Воспользуемся определением
1
доказательства того, что lim 2 = 0 .
предела
(4.1.1)
последовательности
для
𝑛→∞ 𝑛
Возьмём произвольное 𝜀 > 0. Нам надо найти номер 𝑛0 , начиная
с которого члены последовательности удовлетворяют неравенству
1
| 2 − 0| < 𝜀 . Для этого решим это неравенство относительно 𝑛:
𝑛
1
1
1
2
<
𝜀
⇔
𝑛
>
⇔
𝑛
>
.
𝑛2
𝜀
√𝜀
В качестве 𝑛0 возьмём число на единицу больше целой части числа
1
√
,
𝜀
1
т. е. 𝑛0 = 1 + [ ] .
√𝜀
Если, например,
1
𝜀 = 1 000 , то 𝑛0 = [√1 000] + 1 = 32, так как целая
часть числа √1 000 равна 31. Следовательно, для любого натурального 𝑛,
удовлетворяющего условию 𝑛 ≥ 32, выполняется неравенство
1
1
.
| 2 − 0| <
𝑛
1 000
Если последовательность не имеет предела, она называется
расходящейся. Например, последовательность 1, 4, 9, . . . , 𝑛2 , . .. не имеет
предела.
4.2. Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность чисел
{𝑎𝑛 }, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему,
сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности
числом 𝑑. Это число называется разностью прогрессии.
Если рассматривается не вся арифметическая прогрессия, а лишь её
первые 𝑛 членов, то говорят о конечной арифметической прогрессии,
состоящей из 𝑛 членов.
Арифметическая прогрессия задаётся рекуррентным соотношением:
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑, 𝑛 ∈ 𝑁, где 𝑎1 = 𝑎.
60
(4.2.1)
Для любой арифметической прогрессии её n-й член можно задать
формулой
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 – 1)𝑑.
(4.2.2)
Отметим основные свойства арифметической прогрессии.
1. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен
среднему арифметическому соседних членов:
𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛+1
𝑎𝑛 =
,𝑛 ≥ 2 .
(4.2.3)
2
2. Для любой арифметической прогрессии {𝑎𝑛 } если 𝑛 + 𝑚 = 𝑘 + 𝑙, то
𝑎𝑛 + 𝑎𝑚 = 𝑎𝑘 + 𝑎𝑙 .
(4.2.4)
Действительно, используя равенство (4.2.2), запишем:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 – 1),
𝑎𝑚 = 𝑎1 + 𝑑(𝑚 – 1),
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑑(𝑘 – 1),
𝑎𝑙 = 𝑎1 + 𝑑(𝑙 – 1).
Тогда
𝑎𝑛 + 𝑎𝑚 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 – 1) + 𝑎1 + 𝑑(𝑚 – 1) = 2𝑎1 + 𝑑(𝑛 + 𝑚– 2) =
= 2𝑎1 + 𝑑(𝑘 + 𝑙 – 2) = 𝑎𝑘 + 𝑎𝑙 .
Из этого свойства следует, что для конечной арифметической
прогрессии суммы членов, равноотстоящих от концов прогрессии, равны.
Например, если {𝑎𝑛 } — арифметическая прогрессия и 1 ≤ 𝑛 ≤ 20, то
𝑎1 + 𝑎20 = 𝑎2 + 𝑎19 = 𝑎3 + 𝑎18 = . . . = 𝑎10 + 𝑎11
Если в конечной арифметической прогрессии число членов нечетно,
например, 1 ≤ 𝑛 ≤ 19, то
𝑎1 + 𝑎19 = 𝑎2 + 𝑎18 = . . . = 𝑎9 + 𝑎11 = 2𝑎10 .
т. е.
Сумма первых 𝑛 членов арифметической прогрессии обозначается 𝑆𝑛 ,
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + . . . +𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 .
Используя свойство
определяется формулой
можно
(4.2.4),
𝑆𝑛 =
𝑎1 +𝑎𝑛
2
доказать,
∙𝑛 .
что
эта
сумма
(4.2.5)
Если в равенство (4.2.5) вместо 𝑎𝑛 подставить выражение из равенства
(4.2.2), то получим
61
𝑆𝑛 =
2𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1)
∙𝑛 .
2
(4.2.6)
Так как арифметическая прогрессия задаётся своим первым членом 𝑎1
и разностью 𝑑, то для решения задач чаще всего требуемые величины
выражают через 𝑎1 и 𝑑 и по условиям задачи составляют систему уравнений
относительно этих неизвестных.
Пример 4.2.1. При делении девятого члена арифметической
прогрессии на её третий член в частном получается 2, а при делении
двенадцатого члена на четвёртый в частном получается 2 и в остатке 2.
Найдите двадцать второй член прогрессии.
Решение. Из условий задачи следует, что 𝑎9 = 2𝑎3 и 𝑎12 = 2𝑎4 + 2.
Так как 𝑎9 = 𝑎1 + 8𝑑, 𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑑, 𝑎12 = 𝑎1 + 11𝑑 и 𝑎4 = 𝑎1 + 3 𝑑, то
для неизвестных 𝑎1 и 𝑑 имеем систему уравнений:
𝑎1 + 8𝑑 = 2𝑎1 + 4𝑑
𝑎 − 4𝑑 = 0
⇔ { 1
⇒ 𝑎1 = 8 , 𝑑 = 2
{
𝑎1 + 11𝑑 = 2𝑎1 + 6𝑑 + 2
𝑎1 − 5𝑑 = −2
Тогда 𝑎22 = 𝑎1 + 21𝑑 = 50.
Ответ: 50.
Пример 4.2.2. Найдите количество двузначных натуральных чисел,
кратных 6.
Решение. Как известно, число 𝑚 кратно 6, если оно записывается в
виде 𝑚 = 6𝑘, 𝑚, 𝑘 ∈ 𝑁. Двузначные натуральные числа, кратные 6,
образуют арифметическую прогрессию, в которой 𝑎1 = 12, 𝑑 = 6 и 𝑎𝑛 = 96.
Используя формулу общего члена
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 – 1) ⇒ 96 = 12 + 6(𝑛 – 1), находим 𝑛 = 15.
Ответ: 15.
Пример 4.2.3. Найдите сумму первых пятнадцати членов
арифметической прогрессии, если сумма четвёртого, пятого, седьмого и
шестнадцатого членов равна 32.
Решение. По условию дано:
𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎7 + 𝑎16 = 32 или 𝑎1 + 3𝑑 + 𝑎1 + 4𝑑 + 𝑎1 + 6𝑑 + 𝑎1 + 15𝑑 =
= 32 ⇒ 4𝑎1 + 28𝑑 = 32 ⇒ 𝑎1 + 7𝑑 = 8 ⇒ 𝑎8 = 8.
По свойству членов арифметической прогрессии
Тогда
𝑆15 =
𝑎1 + 𝑎15 = 𝑎2 + 𝑎14 = 𝑎3 + 𝑎13 = . . . = 𝑎7 + 𝑎9 = 2𝑎8 = 16.
𝑎1 + 𝑎15
16
∙ 15 =
∙ 15 = 120
2
2
62
Ответ: 120.
4.3. Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность,
каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему,
умноженному на одно и то же число 𝑞 ≠ 0. Это число называется
знаменателем прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия может быть задана
рекуррентным соотношением:
𝑏1 = 𝑏,
𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 ⋅ 𝑞,
𝑛 ∈ 𝑁,
𝑏 ≠ 0,
𝑞 ≠ 0.
Приведём примеры геометрических прогрессий:
2; 8; 32, 128; 512; . . . ;
2; – 8; 32, – 128; 512; . . . ;
1; – 1; 1; – 1; 1; . . . ;
здесь 𝑏1 = 2, 𝑞 = 4.
здесь 𝑏1 = 2, 𝑞 = – 4.
здесь 𝑏1 = 1, 𝑞 = – 1.
Отметим основные свойства геометрической прогрессии.
1. Пусть {𝑏𝑛 } — геометрическая прогрессия. Тогда её n-й член можно
задать следующей формулой:
𝑏𝑛 = 𝑏1 ⋅ 𝑞 𝑛−1 .
(4.3.1)
2. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Каждый
член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен по модулю
среднему геометрическому соседних членов:
|𝑏𝑛 | = √𝑏𝑛−1 ∙ 𝑏𝑛+1 ,
𝑛≥2
(4.3.2)
или
𝑏𝑛2 = 𝑏𝑛−1 ∙ 𝑏𝑛+1
3. Для любой геометрической прогрессии {𝑏𝑛 } если 𝑛 + 𝑚 = 𝑘 + 𝑙, то
𝑏𝑛 ⋅ 𝑏𝑚 = 𝑏𝑘 ⋅ 𝑏𝑙 .
Действительно, используя формулу (4.3.1), запишем:
𝑏𝑛 = 𝑏1 ⋅ 𝑞 𝑛−1 , 𝑏𝑚 = 𝑏1 ⋅ 𝑞 𝑚−1 , 𝑏𝑘 = 𝑏1 ⋅ 𝑞 𝑘−1 , 𝑏𝑙 = 𝑏1 ⋅ 𝑞 𝑙−1 .
Тогда
𝑏𝑛 𝑏𝑚 = 𝑏1 𝑞 𝑛−1 ∙ 𝑏1 𝑞 𝑚−1 = 𝑏12 𝑞 𝑛+𝑚 ∙ 𝑞 −2 = 𝑏12 𝑞 𝑘+𝑙−2 = 𝑏1 𝑞 𝑘−1 ∙ 𝑏1 𝑞 𝑙−1 = 𝑏𝑘 𝑏𝑙
Из этого свойства следует, что для конечной геометрической
прогрессии произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии,
есть величина постоянная.
Например, если {𝑏𝑛 } — геометрическая прогрессия и 1 ≤ 𝑛 ≤ 17, то
𝑏1 ∙ 𝑏17 = 𝑏2 ∙ 𝑏16 = 𝑏3 ∙ 𝑏15 = ⋯ = 𝑏92 .
Сумма 𝑛 первых членов геометрической прогрессии определяется
формулой:
63
𝑆𝑛 = {
𝑏1 (1 − 𝑞 𝑛 )
𝑏1 (𝑞 𝑛 − 1)
или
1−𝑞
𝑞−1
𝑏1 𝑛
при 𝑞 = 1
при 𝑞 ≠ 1 ,
(4.3.3)
Геометрическая
прогрессия
является
возрастающей,
если
𝑏1 > 0 и 𝑞 > 1 или 𝑏1 < 0 и 0 < 𝑞 < 1.
Геометрическая прогрессия является убывающей, если 𝑏1 > 0 и
0 < 𝑞 < 1 или 𝑏1 < 0 и 𝑞 > 1.
Геометрическая прогрессия является знакопостоянной, если 𝑞 > 0.
Геометрическая прогрессия является знакочередующейся, если 𝑞 < 0.
Так как геометрическая прогрессия задаётся своим первым членом 𝑏1
и знаменателем 𝑞, то для решения задач на геометрическую прогрессию
обычно все соотношения выражают через 𝑏1 и 𝑞 и по условиям задачи
составляют систему уравнений относительно этих неизвестных.
Пример 4.3.1. Найдите сумму первых шести членов геометрической
прогрессии, если сумма первого и шестого членов этой прогрессии равна 55,
2
а их разность равна 51 .
3
2
Решение. Условия задачи 𝑏1 + 𝑏6 = 55 и 𝑏1 − 𝑏6 = 51
3
виде системы уравнений
𝑏1 (1 + 𝑞 5 ) = 55
{
2
𝑏1 (1 − 𝑞 5 ) = 51 .
3
Решая её, получим 𝑞 =
1
2
и 𝑏1 =
160
3
.Тогда 𝑆6 =
𝑏1 (1−𝑞6 )
1−𝑞
запишем в
= 105.
Ответ: 105.
Пример 4.3.2. Найдите сумму членов геометрической прогрессии с
семнадцатого по двадцать четвёртый, если сумма первых восьми членов этой
прогрессии равна 24, а сумма следующих восьми членов равна 36.
Решение. Пусть 𝑏1 — первый член геометрической прогрессии, 𝑞 — её
знаменатель. По условиям задачи 𝑆8 =
𝑏1 (1−𝑞8 )
1−𝑞
= 24. Следующие восемь
членов прогрессии можно рассматривать как первые восемь членов
прогрессии с первым членом 𝑏1 𝑞 8 и знаменателем 𝑞. Тогда сумма этих
членов равна
𝑏1 𝑞8 (1−𝑞8 )
1−𝑞
= 36. Для неизвестных 𝑏1 и 𝑞 имеем систему
уравнений
𝑏1 (1 − 𝑞 8 )
= 24 ,
3
1−𝑞
8
из
которой
следует,
что
𝑞
=
.
2
𝑏1 𝑞 8 (1 − 𝑞 8 )
= 36
1−𝑞
{
64
`
Искомая сумма членов от семнадцатого по двадцать четвёртый 𝑆 —
это сумма восьми членов геометрической прогрессии с первым членом 𝑏1 𝑞16
и знаменателем 𝑞.
Тогда
𝑏1 𝑞16 (1 − 𝑞 8 )
𝑏1 (1 − 𝑞 8 ) 9
16
𝑆=
=𝑞 ∙
= ∙ 24 = 54 .
1−𝑞
1−𝑞
4
Отметим, что если бы 𝑞 = 1, то суммы первых восьми членов и следующих
восьми членов совпадали.
Ответ: 54.
4.4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Пусть задана геометрическая прогрессия {𝑏𝑛 }, знаменатель которой
удовлетворяет условию
0 < |𝑞| < 1.
Сумма первых 𝑛 членов этой прогрессии 𝑆𝑛 определяется, как
известно, формулой
1 − 𝑞𝑛
𝑆𝑛 = 𝑏1
,
1−𝑞
а сумма 𝑆 всех членов убывающей геометрической прогрессии вводится как
𝑏1
lim 𝑆𝑛 = 𝑆 =
,
(4.4.1)
𝑛→∞
1−𝑞
здесь 𝑆 = 𝑏1 + 𝑏1 𝑞 + 𝑏1 𝑞 2 + . . . + 𝑏1 𝑞 𝑛−1 + . ..
убывающей геометрической прогрессии.
—
сумма
бесконечно
Пример 4.4.1. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической
12 24 48
прогрессии 15; 6; ; ;
;… .
5
25
125
6
2
Решение. Так как 𝑏1 = 15 и 𝑏2 = 6, то 𝑞 = = < 1.
15
5
Следовательно, сумма
12 24
𝑏1
15
𝑆 = 15 + 6 +
+
+⋯=
=
= 25 .
5 25
1−𝑞 1−2
5
Ответ: 25.
Пример 4.4.2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, если 𝑏1 = 1, а каждый член, начиная со второго, в
меньше суммы предыдущего и последующего.
6
Решение. По условию задачи 𝑏2 = (𝑏1 + 𝑏3 )
13
13
6
раза
или, используя
6
представление членов геометрической прогрессии, 𝑏1 𝑞 = (𝑏1 + 𝑏1 𝑞 2 ). Так
13
как 𝑏1 ≠ 0, то для знаменателя 𝑞 имеем уравнение
3
2
6𝑞 2 − 13𝑞 + 6 = 0 ⇒ 𝑞1 = ; 𝑞2 = .
2
3
65
Очевидно, что бесконечно убывающей геометрической прогрессии
2
соответствует 𝑞 = . Тогда сумма
3
𝑏1
1
𝑆=
=
=3.
1−𝑞 1−2
Ответ: 3.
3
4.5. Задачи для самостоятельного решения
Пример 4.5.1. Сумма первого и четвёртого членов арифметической
прогрессии равна 14, а её второй член меньше пятого на 6. Найдите сумму
третьего и пятого членов прогрессии.
Пример 4.5.2. В арифметической прогрессии сумма пятого и девятого членов
равна 36. Вычислите сумму первых тринадцати членов прогрессии.
Пример 4.5.3. В арифметической прогрессии известны члены 𝑎11 =– 121 и
𝑎34 = 132. Укажите номер 𝑘 члена этой прогрессии, начиная с которого все
её члены неотрицательны.
Пример 4.5.4. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел.
Пример 4.5.5. В арифметической прогрессии первый член равен 8, а разность
равна –2. Найдите сумму тех членов прогрессии, которые принадлежат
интервалу (–44; –23).
Пример 4.5.6. Найдите сумму трёхзначных натуральных чисел, кратных 23.
Пример 4.5.7. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые
при делении на 7 дают в остатке 2.
Пример 4.5.8. Найдите сумму всех целых чисел, кратных 7 и
удовлетворяющих условию – 126 < 𝑚 ≤ 154.
Пример 4.5.9. Найдите шестой член геометрической прогрессии, если
известно, что третий член прогрессии больше первого на 9, а второй больше
четвёртого на 18.
Пример 4.5.10. В геометрической прогрессии известны члены 𝑎2 =
– 1 215 и 𝑎5 = – 45. Укажите номер 𝑘 члена этой прогрессии, начиная с
которого все её члены не меньше
5
− 243 .
Пример 4.5.11. Найдите произведение трёх чисел, зная, что они являются
последовательными членами геометрической прогрессии и их сумма равна
14, а сумма их квадратов равна 364.
Пример 4.5.12. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма
их первых членов равна –3, сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых
членов равна 5. Найдите разность арифметической прогрессии.
Пример 4.5.13. В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и
последнего членов равна 66, произведение второго и предпоследнего членов
равна 128, сумма всех членов равна 126. Найдите знаменатель прогрессии.
66
Пример 4.5.14. Разность между четвёртым и первым членами
геометрической прогрессии равна — 27, а сумма первых трёх членов этой
прогрессии равна 9. Найдите пятый член прогрессии.
Пример 4.5.15. Сумма первых пяти членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии равна
31
256
31
8
, а последующих пяти членов равна
. Найдите сумму всех членов прогрессии.
Пример 4.5.16. Найдите сумму корней или корень, если он единственный,
уравнения
1
𝑥
+𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ = 3,5.
Глава 5
Функции и графики
5.1. Определение функции
и способы её задания
Пусть 𝑋 и 𝑌 — некоторые числовые множества. Если каждому числу 𝑥
из множества 𝑋 ставится в соответствие по некоторому правилу
𝑓 единственное число 𝑦 из множества 𝑌, то говорят, что на множестве
𝑋 задана функция 𝑦 = 𝑓(𝑥). Переменную 𝑥 называют независимой
переменной (или аргументом), а переменную 𝑦 — зависимой переменной(или
функцией). Множество 𝑋 называют областью определения функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) и обозначают 𝐷(𝑓), а множество 𝑌 — множество всех значений,
которые принимает переменная 𝑦, называют областью изменения функции и
обозначают 𝐸(𝑓).
Наряду с термином «функция» употребляют термин «отображение», а
вместо записи 𝑦 = 𝑓 (𝑥) пишут 𝑓: 𝑥 → 𝑦 и говорят, что отображение 𝑓
отображает число 𝑥 в число 𝑦.
Задать функцию — это значит, во-первых, указать числовое множество
𝑋 — область определения функции и, во-вторых, указать правило
соответствия 𝑓.
Существует три основных способа задания функции: аналитический,
графический и табличный.
Если зависимость между переменными величинами определяется с
помощью формулы, указывающей, какие действия надо выполнить над
аргументом 𝑥, чтобы получить значение функции, то говорят, что функция
sin 𝑥
задана аналитически: 𝑦 = 𝑥 2 ; 𝑦 =
1+cos 𝑥
и т. д.
Введём на плоскости прямоугольную систему координат 0𝑋𝑌 и
рассмотрим функцию 𝑓, заданную аналитическим выражением 𝑓(𝑥), т. е.
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋.
67
Графиком функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называется множество точек на
плоскости 0𝑋𝑌с координатами 𝑥 и 𝑓(𝑥), где 𝑥 ∈ 𝑋, т. е. множество
𝐹{(𝑥; 𝑓(𝑥)), 𝑥 ∈ 𝑋}.
Множество 𝐹 точек координатной плоскости 0𝑋𝑌 задаёт функцию,
если прямая, параллельная оси ординат, может пересекать указанное
множество не более чем в одной точке (а именно, в одной, если 𝑥 ∈ 𝑋, и ни в
одной, если 𝑥 ∉ 𝑋).
Итак, пусть на плоскости 0𝑋𝑌задан график 𝐹(см. рис. 5.1.1).
Y
M
0
a
F
x
b
X
Рис. 5.1.1. Графическое задание функции.
Возьмём некоторое 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] и проведём через точку 𝑥 прямую,
параллельную оси ординат. Эта прямая пересечёт график 𝐹 в одной точке 𝑀.
Спроектировав точку 𝑀 на ось 0𝑌, найдём число 𝑓(𝑥), соответствующее
числу 𝑥. Таким образом, множество 𝐹 задаёт графически функцию𝑓(𝑥) в
области 𝑋 = [𝑎; 𝑏].
Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) задаётся в виде таблицы, в которой каждому 𝑥𝑖 ,
записанному в первой строке, ставится в соответствие единственное значение
𝑦𝑖 , стоящее во второй строке, то говорят о табличном задании функции.
𝑥
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋯
𝑥𝑖
⋯
𝑥𝑛
𝑦
𝑦1
𝑦2
𝑦3
⋯
𝑦𝑖
⋯
𝑦𝑛
Областью определения данной функции является множество,
состоящее из 𝑛 чисел 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 , а множество её значений состоит из 𝑛
68
чисел 𝑦1 , 𝑦2 , . . . , 𝑦𝑛 . С помощью таблицы можно задать функцию только при
конечном числе значений аргумента. Табличное задание функции
используется, в частности, в тех случаях, когда зависимость одной величины
от другой находят опытным путём.
Пример 5.1.1. Найдите сумму целых значений 𝑥, принадлежащих
области определения функции
1
𝑦=
− 2√18 − 𝑥 2 − 3𝑥 .
2
√𝑥 − 7𝑥 + 12
Решение. Так как арифметический корень имеет смысл, если
подкоренное выражение неотрицательно, то областью определения данной
функции является решение системы:
(𝑥 − 3)(𝑥 + 6) ≤ 0 ,
18 − 𝑥 2 − 3𝑥 ≥ 0 ,
⟺ {
(см. рис. 5.1.2).
{ 2
(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) > 0
𝑥 − 7𝑥 + 12 > 0
3
-6
4
X
Рис. 5.1.2. Решение системы.
Из этой схемы видно, что решением системы является множество 𝑋 =
[– 6; 3) , сумма целых значений которого равна – 18.
Ответ: – 18.
Пример 5.1.2. Постройте график функции 𝑦 = [𝑥], где [𝑥] — целая
часть числа 𝑥.
Решение. Если число 𝑥 удовлетворяет условию 𝐾 ≤ 𝑥 < 𝐾 + 1, где 𝐾—
целое число, то [𝑥] = 𝐾. Например, если 𝑥 ∈ [0; 1), то [𝑥] = 0; если 𝑥 ∈
[1; 2), то [𝑥] = 1 и т. д.
Следовательно, график функции 𝑦 = [𝑥] состоит из горизонтальных
отрезков, у которых исключены их правые концы (отмечены стрелками; см.
рис. 5.1.3).
69
Y
-2
-1
0
1
2
3
X
Рис. 5.1.3. График функции 𝑦 = [𝑥].
5.2. Общие свойства функции
5.2.1. Чётные и нечётные функции
Введём понятие симметричного множества.
Числовое множество называется симметричным относительно начала
координат, если для каждого элемента 𝑥 ∈ 𝑋найдётся противоположный
элемент (– 𝑥), принадлежащий множеству 𝑋.
Примерами симметричных множеств являются: отрезок [– 𝑎; 𝑎],
интервал (– 𝑎; 𝑎), числовая ось (– ∞; ∞).
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называется чётной, если:
1) 𝑋— симметричное множество;
2) для любого 𝑥 ∈ 𝑋выполняется равенство 𝑓(– 𝑥) = 𝑓(𝑥).
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называется нечётной, если:
1) 𝑋— симметричное множество;
2) для любого 𝑥 ∈ 𝑋 выполняется равенство 𝑓(– 𝑥) = – 𝑓 (𝑥).
Если функция 𝑦 = 𝑓 (𝑥) не является ни чётной, ни нечётной, то
говорят, что она не обладает свойством чётности или 𝑦 = 𝑓 (𝑥) — функция
общего вида.
Для того чтобы установить, является ли аналитически заданная
функция 𝑦 = 𝑓 (𝑥) чётной или нечётной, надо прежде всего выяснить,
симметрична ли область определения X.
Если же эта область — симметричное множество, то в аналитическом
выражении 𝑓 (𝑥) нужно заменить 𝑥 на – 𝑥, выполнить упрощения и сравнить
результат с 𝑓 (𝑥): если окажется, что 𝑓 (– 𝑥) = 𝑓 (𝑥), то функция чётная;
если окажется, что 𝑓 (– 𝑥) = – 𝑓 (𝑥), то функция нечётная; если же 𝑓 (– 𝑥)
70
отличается и от 𝑓(𝑥), и от – 𝑓(𝑥), то функция не является ни чётной, ни
нечётной.
Пример 5.2.1. Исследуйте на чётность и нечётность функции:
𝑥
1) 𝑦 = 𝑥 4 – 2𝑥 2 ; 2) 𝑦 = 𝑥|𝑥|; 3) 𝑦 = √𝑥 ; 4) 𝑦 = 2
; 5) 𝑦 = 𝑥 2 + 2|𝑥|– 3𝑥.
𝑥 −4
Решение. 1) Функция 𝑦 = 𝑥 4 – 2𝑥 2 определена на всей числовой оси
(– ∞; +∞) — симметричное множество и
4
2
𝑓(– 𝑥) = (– 𝑥) – 2(– 𝑥) = 𝑥 4 – 2𝑥 2 = 𝑓(𝑥). Следовательно, это чётная
функция.
2) Функция 𝑦 = 𝑥|𝑥| определена на всей числовой оси (– ∞; +∞) —
симметричное множество и 𝑓(– 𝑥) = (– 𝑥)|– 𝑥| = – 𝑥|𝑥| = – 𝑓(𝑥).
Следовательно, это нечётная функция.
3) Областью определения функции 𝑦 = 𝑥 является луч [0; +∞) —
несимметричное множество. Следовательно, эта функция не является ни
чётной, ни нечётной.
𝑥
4) Область определения функции 𝑦 = 2
𝑥 −4
имеет вид (– ∞; – 2) ∪ (– 2; 2) ∪ (2; +∞). Это симметричное множество.
(−𝑥)
𝑥
Кроме того, 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 = − 2 = −𝑓(𝑥). Следовательно, это нечётная
−4
𝑥 −4
функция.
5) Область определения функции 𝑦 = 𝑥 2 + 2|𝑥|– 3𝑥— числовая ось
(– ∞; +∞). Далее, 𝑦(– 𝑥) = (– 𝑥)2 + 2|– 𝑥| – 3(– 𝑥) = 𝑥 2 + 2|𝑥| + 3𝑥. Так
как 𝑦(– 𝑥) ≠ 𝑦(𝑥) и 𝑦(– 𝑥) ≠ – 𝑦(𝑥), то функция не является ни чётной, ни
нечётной.
Следующие утверждения выявляют особенности графиков чётных и
нечётных функций.
Утверждение 1. Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 является чётной, то её
график симметричен относительно оси ординат.
Действительно,
для
любого
𝑥 ∈ 𝑋
точки
плоскости
𝑀(𝑥, 𝑓(𝑥)) и 𝑀 ’(– 𝑥, 𝑓(– 𝑥)) симметричны относительно оси 0𝑌, так как
𝑓(– 𝑥) = 𝑓(𝑥) (см. рис. 5.2.1).
71
M(-х, f(-x))
-х
Y
M(х, f(x))
0
х
Х
Рис. 5.2.1. Точки М и М′ симметричны относительно оси координат.
Утверждение 2. Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 является нечётной, то
её график симметричен относительно начала координат.
Действительно,
для
любого
𝑥 ∈ 𝑋
точки
плоскости
𝑀(𝑥, 𝑓(𝑥)) и 𝑀 ’(– 𝑥, 𝑓(– 𝑥)) симметричны относительно начала координат,
так как 𝑓(– 𝑥) = – 𝑓(𝑥) (см. рис. 5.2.2).
𝑀(x, f(x))
Y
0
-x
x
X
𝑀′ (-x, f(-x))
Рис. 5.2.2. Точки М и М′ симметричны началу координат.
Пример 5.2.2. На одном из рис. 5.2.3 изображён график чётной функции.
Укажите этот рисунок.
72
1)
Y
2)
0
3)
X
0
Y
4)
0
Y
X
X
Y
0
X
Рис. 5.2.3. Графики функций к примеру 5.2.2.
Решение. Чётная функция изображена на рис. 4, так как только на этом
рисунке график симметричен относительно оси 0𝑌.
Ответ: 4.
5.2.2. Убывание и возрастание функций
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называется возрастающей (неубывающей)
на множестве 𝑋, если для любых 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑋 из неравенства 𝑥1 < 𝑥2 следует
неравенство 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) (соответственно из неравенства 𝑥1 < 𝑥2 следует
𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ).
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называется убывающей (невозрастающей)
на множестве 𝑋, если для любых 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑋 из неравенства 𝑥1 < 𝑥2 следует
неравенство 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) (соответственно из неравенства 𝑥1 < 𝑥2 следует
𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 )).
При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика
возрастающей функции увеличивается, а ордината графика убывающей
функции уменьшается.
Если функция невозрастающая или неубывающая, то её график может
иметь участки постоянства ординат.
Функции
возрастающие
(невозрастающие)
и
убывающие
(неубывающие) называются монотонными функциями.
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется строго монотонной на множестве
𝑋,если она либо возрастающая, либо убывающая на этом множестве.
73
Пример
5.2.3.
Исследуйте
на
монотонность
функции:
3
2
1) 𝑦 = 𝑥 ; 2) 𝑦 = 𝑥 + |𝑥|.
Решение. 1) Функция 𝑦 = 𝑥 3 нечётная, поэтому проведём
исследование на промежутке (0; +∞).
Пусть 0 < 𝑥1 < 𝑥2 . Тогда, согласно свойствам числовых неравенств,
3
𝑥1 < 𝑥23 , т. е. функция возрастает на множестве (0; +∞) и в силу нечётности
следует её возрастание на всей числовой прямой.
2) Функция 𝑦 = 𝑥 2 + |𝑥| — чётная. Проведём исследование на
монотонность на промежутке (0; +∞).
Пусть 0 < 𝑥1 < 𝑥2 . Тогда 𝑥12 < 𝑥22 и, согласно свойствам числовых
неравенств, 𝑥12 + 𝑥1 < 𝑥22 + 𝑥2 (сложение неравенств одинакового смысла),
т.е. функция возрастает на множестве (0; +∞). Из чётности функции
следует, что на множестве (– ∞; 0) она убывает.
5.2.3. Периодические функции
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называется периодической, если существует
число 𝑇 ≠ 0 такое, что выполнены два условия:
1) если 𝑥 ∈ 𝑋, то числа 𝑥 ± 𝑇 также принадлежат области
определения функции, т. е. множеству 𝑋;
2) для любого 𝑥 ∈ 𝑋 выполняется равенство 𝑓(𝑥 ± 𝑇) = 𝑓(𝑥).
Число T называется периодом функции.
Из этого определения следует, что если 𝑇 — период функции
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋, то число (– 𝑇) также является периодом функции.
Действительно, 𝑥– 𝑇 ∈ 𝑋 и 𝑓(𝑥) = 𝑓((𝑥 – 𝑇) + 𝑇) = 𝑓(𝑥 – 𝑇).
Имеют место следующие утверждения.
Утверждение 1. Если число 𝑇 является периодом функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), то
число 𝑄 = 𝑚𝑇, где 𝑚— любое целое число, отличное от нуля, также
является периодом этой функции.
Утверждение 2. Если число 𝑇 является периодом функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), то
число
𝑇
𝜔
является периодом функции 𝑦 = 𝑓(𝜔 𝑥), где 𝜔 — любое
действительное число, отличное от нуля.
Из утверждения 1 следует, что периодическая функция имеет
бесконечное множество периодов. Чаще всего (но не всегда) среди
множества положительных периодов функции можно найти наименьший.
Его называют основным периодом функции.
Графики периодических функций обладают следующим свойством.
Если 𝑇 — основной период функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), то достаточно построить
график этой функции на любом промежутке длины 𝑇, а затем произвести
параллельный перенос этой ветви вдоль оси 0𝑋 на ±𝑇, ±2𝑇, ±3𝑇, . .. .
74
5.2.4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Ограниченные функции
Пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена на множестве 𝑋. Если существует
такое число 𝑥0 ∈ 𝑋, что для любого 𝑥 ∈ 𝑋 справедливо неравенство 𝑓(𝑥) ≥
𝑓(𝑥0 ), то говорят, что функция 𝑓(𝑥) принимает наименьшее значение при
𝑥 = 𝑥0 .
Если существует такое число 𝑥0 ∈ 𝑋, что для любого 𝑥 ∈ 𝑋
справедливо неравенство 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ), то 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) — наибольшее
значение функции на множестве 𝑋.
Пример 5.2.4. Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = – 𝑥 2 +
4𝑥– 5, если оно существует.
Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене
2
– 𝑥 + 4𝑥– 5.
– 𝑥 2 + 4𝑥– 5 = – (𝑥 2 – 4𝑥 + 4– 4)– 5 = – (𝑥– 2)2 – 1.
Очевидно, что наибольшего значения квадратный трёхчлен достигает в
точке 𝑥 = 2. Следовательно, 𝑦0 = 𝑓(2) = – 1 — наибольшее значение
функции.
Ответ: – 1.
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называется ограниченной снизу, если
существует число 𝐴 такое, что 𝑓(𝑥) ≥ 𝐴 для любого 𝑥 ∈ 𝑋.
Например, функция
𝑦 = √1 + 𝑥 2
ограничена снизу, так как
2
√1 + 𝑥 ≥ 1 для любого 𝑥.
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называется ограниченной сверху, если
существует число 𝐵 такое, что 𝑓(𝑥) ≤ 𝐵 для любого 𝑥 ∈ 𝑋.
Например, функция 𝑦 = √1 − 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [– 1; 1] ограничена сверху, так
как √1 − 𝑥 2 ≤ 1 для любого 𝑥 ∈ [– 1; 1].
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называется ограниченной, если существует
число 𝐾 > 0 такое, что |𝑓(𝑥)| ≤ 𝐾 для любого 𝑥 ∈ 𝑋.
Например, функция 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ограничена на всей числовой оси, так как
|𝑠𝑖𝑛 𝑥| ≤ 1.
Пример 5.2.5. Найдите множество значений функции
3𝑥 2 − 6𝑥 + 7
𝑦= 2
𝑥 − 2𝑥 + 2
Решение.
3𝑥 2 − 6𝑥 + 7
1
1
𝑦= 2
=3+ 2
=3+
.
(𝑥 − 1)2 + 1
𝑥 − 2𝑥 + 2
𝑥 − 2𝑥 + 2
Так
как
при
неограниченном
возрастании
|𝑥|
дробь
1
(𝑥−1)2 +1
неограниченно убывает, оставаясь положительной величиной, то 𝑦 > 3. С
75
другой стороны, дробь
1
принимает наибольшее значение, когда
(𝑥−1)2 +1
выражение (𝑥– 1)2 + 1 принимает наименьшее значение, т. е. при 𝑥 = 1. Это
наибольшее значение дроби равно 1, а наибольшее значение исходной
функции равно 4. Таким образом, множеством значений является множество
(3; 4].
Ответ: (3; 4].
5.3. Обратная функция
5.3.1. Взаимно однозначное отображение
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) производит отображение области определения 𝑋
функции на область её возможных значений 𝑌 так, что каждому значению
𝑥 ∈ 𝑋 соответствует единственное значение 𝑦 ∈ 𝑌.
Это отображение может быть взаимно однозначным отображением
области 𝑋на область 𝑌, если каждому значению 𝑥 ∈ 𝑋 соответствует
единственное значение 𝑦 ∈ 𝑌, и наоборот, полученному значению 𝑦 ∈ 𝑌
ставится в соответствие 𝑥 ∈ 𝑋.
Например, для функции 𝑦 = 2𝑥 + 1 каждое значение 𝑦 ∈ (– ∞; +∞)
получается лишь при одном значении 𝑥. Эта функция осуществляет взаимно
однозначное отображение области 𝑋 = (– ∞; +∞) на область 𝑌 =
(– ∞; +∞).
Заметим, что существуют функции, не обладающие этим свойством.
Например, функция 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ (– ∞; +∞), для которой разным значениям
𝑥 могут соответствовать одинаковые значения 𝑦 (при 𝑥 = ±𝑥0 , 𝑥0 ≠ 0, 𝑦 =
𝑥02 ). Но если функцию 𝑦 = 𝑥 2 задать на множестве [0; +∞), то эта функция
осуществляет взаимно однозначное соответствие области [0; +∞) на область
𝑌 = [0; +∞). При этом по каждому значению 𝑦 ∈ [0; +∞) можно
однозначно восстановить единственное значение 𝑥 ∈ [0; +∞), т. е.
установить по правилу 𝑥 = √𝑦 взаимно однозначное отображение области 𝑌
на область 𝑋. Это правило называется обратным для функции 𝑦 = 𝑥 2 ,
𝑥 ∈ [0; +∞).
5.3.2. Обратная функция
Пусть дана функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋. Обозначим множество её
значений через 𝑌. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) задаёт отображение 𝑓 множества 𝑋 на
множество 𝑌. Если это отображение взаимно однозначное, то можно указать
обратное правило 𝑓 –1 , которое отображает множество 𝑌 на множество 𝑋.
Иначе говоря, по каждому значению 𝑦 из области 𝑌 можно однозначно
восстановить 𝑥 из области 𝑋. Найденное 𝑥 обозначается как 𝑓 –1 (𝑦),
т. е. 𝑥 = 𝑓 –1 (𝑦). Если в этом равенстве заменить 𝑥 на 𝑦, а 𝑦 на 𝑥 с
одновременной заменой области определения и области изменения, то
76
полученная функция вида 𝑦 = 𝑓 –1 (𝑥) называется обратной для функции 𝑦 =
𝑓(𝑥).
Очевидно, что область изменения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) становится
областью определения функции 𝑦 = 𝑓 –1 (𝑥), а область определения функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) становится областью изменения обратной функции.
Возникает вопрос, каким условиям должна удовлетворять функция 𝑦 =
𝑓(𝑥), чтобы для неё существовала обратная функция?
Теорема существования обратной функции.
Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 строго монотонна на промежутке 𝑋 и 𝑌
— множество её значений, то существует обратная функция 𝑥 = 𝑓 –1 (𝑦),
𝑦 ∈ 𝑌 также строго монотонна на промежутке 𝑌.
Пример 5.3.1. Для данных функций найдите обратные, если они
существуют:
1−𝑥
1) 𝑦 = 3𝑥– 2; 2) 𝑦 = 3– 𝑥 3 ; 3) 𝑦 =
.
1+𝑥
Решение. 1) Функция 𝑦 = 3𝑥– 2 возрастает на всей числовой прямой,
значит, она имеет обратную. Из уравнения 𝑦 = 3𝑥– 2 находим 𝑥 =
Поменяв местами 𝑦 и 𝑥, получим 𝑦 =
𝑥+2
3
𝑦+2
3
.
— обратная функция.
2) Функция 𝑦 = 3 – 𝑥 3 убывает на всей числовой оси. Найдём 𝑥 из
уравнения 𝑥 3 = 3 – 𝑦, а именно 𝑥 = 3√3 − 𝑦. Тогда обратная функция имеет
3
вид 𝑦 = √3 − 𝑥 .
1−𝑥
определена на множестве (– ∞; – 1) ∪ (– 1; +∞),
1+𝑥
1−𝑥
а область её значений (– ∞; – 1) ∪ (– 1; +∞). Функция 𝑦 =
1+𝑥
1−𝑥
убывает на (– ∞; – 1) и на (– 1; +∞) . Из уравнения 𝑦 =
найдём 𝑥, а
1+𝑥
1−𝑦
именно 𝑥 =
. Поменяв местами 𝑥 и 𝑦, получим обратную функцию того
1+𝑦
1−𝑥
жевида, т. е. 𝑦 =
.
1+𝑥
3) Функция 𝑦 =
5.3.3. График обратной функции
Если точка 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) лежит на графике функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), имеющей
обратную функцию 𝑥 = 𝑓 –1 (𝑦), то её координаты удовлетворяют как
условию 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ), так и условию 𝑥0 = 𝑓 –1 (𝑦0 ).
Другими словами, все точки (и только они) графика 𝑦 = 𝑓(𝑥)
удовлетворяют условию 𝑥 = 𝑓 –1 (𝑦).
Так как для получения обратной функции надо в равенстве 𝑥 = 𝑓 –1 (𝑦)
заменить 𝑥 на 𝑦, а 𝑦 на 𝑥, то каждая точка графика 𝑦 = 𝑓 –1 (𝑥) получается
77
из точки графика 𝑦 = 𝑓(𝑥) симметричным отображением относительно
прямой 𝑦 = 𝑥 (см. рис. 5.3.1).
𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥)
𝑦
𝑦=𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥
0
Рис. 5.3.1. Графики взаимнообратных функций.
5.4. Основные элементарные функции
5.4.1. Степенная функция 𝒚 = 𝒙𝛼
Рассмотрим частные случаи этой функции.
Линейная функция 𝑦 = 𝑥 называется прямой пропорциональной
зависимостью, и её графиком является прямая (см. рис. 5.4.1).
Y
0
Рис. 5.4.1. График функции 𝑦 = 𝑥.
78
X
1
Функция 𝑦 = называется обратной пропорциональной зависимостью, и её
𝑥
графиком является гипербола (см. рис. 5.4.2 а).
Функция 𝑦 = 𝑥 2 называется квадратичной, и её графиком является
парабола (см. рис. 5.4.2 б).
1
Рис. 5.4.2. Графики функций а) 𝑦 = ; б) 𝑦 = 𝑥 2 .
𝑥
Из функций с рациональными показателями отметим здесь часто
3
встречающиеся функции 𝑦 = √𝑥 и 𝑦 = √𝑥. (см. рис. 5.4.3 а, b). Они являются
обратными соответственно функциям 𝑦 = 𝑥 2 и 𝑦 = 𝑥 3 .
а)
Y
1
0
b)
б)
Y
1
1
0
XX
1
X
3
Рис. 5.4.3. Графики функций 𝑎) 𝑦 = √𝑥; 𝑏) 𝑦 = √𝑥 .
79
2𝑛
Вообще, график функции 𝑦 = √𝑥 будет аналогичен графику 𝑦 = √𝑥, а
2𝑛+1
3
график 𝑦 =
√𝑥 — графику 𝑦 = √𝑥 (𝑛 ∈ 𝑁).
Рис. 5.4.4. Графики функций 𝑎) 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 4 ; 𝑏) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 𝑥 5 .
Рассмотрим более общие случаи:
1) 𝑦 = 𝑥 2𝑚 (𝑚 — натуральное число):
а) область определения: (– ∞; +∞);
б) область значений: [0; +∞);
в) функция ограничена снизу: 𝑦 ≥ 0;
г) функция чётная;
д) функция принимает наименьшее значение 𝑦 = 0 при 𝑥 = 0;
е) функция убывает на промежутке (– ∞; 0) и возрастает на
промежутке (0; + ∞).
Графики функций 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 4 изображены на рис. 5.4.4 а.
2) 𝑦 = 𝑥 2𝑚–1 (𝑚 — натуральное число):
а) область определения: (– ∞; +∞);
б) область изменения: (– ∞; +∞);
в) функция нечётная;
г) функция возрастает на всей области определения;
д) точка (0; 0) — единственная точка пересечения с осями координат.
Графики функций 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 и 𝑦 = 𝑥 5 изображены на рис. 5.4.4 b.
80
5.4.2. Показательная и логарифмическая функции
Функция 𝑦 = а𝑥 , где 𝑎 — фиксированное число такое, что 𝑎 > 0 и
𝑎 ≠ 1, называется показательной функцией. Показательная функция
обладает следующими свойствами:
а) область определения: (– ∞; +∞);
б) область значений: (0; +∞);
в) функция ограничена снизу: 𝑦 > 0;
г) если 𝑎 > 1, то функция 𝑦 = 𝑎 𝑥 возрастает на всей области
определения; если 0 < 𝑎 < 1, то функция 𝑦 = 𝑎 𝑥 убывает на всей области
определения;
д) при 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 и точка (0; 1) — единственная точка пересечения
с осью 0𝑌.
1 𝑥
Графики функций 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = ( ) изображены на рис 5.4.5 a.
2
a)
b)
y
6
y
4
2
y=log2 x
4
1 𝑥
𝑦=( )
2
2
0
𝑦 = 2𝑥
2
0
-4
-2
0
2
4
x
x
y=log1/2 x
4
1 𝑥
Рис.5.4.5: Графики функций 𝑎) 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = ( ) 𝑏) 𝑦 = log 2 𝑥 и 𝑦 = log 1⁄2 𝑥 .
2
𝑥
Так как 𝑦 = 𝑎 — монотонная, то она имеет обратную функцию 𝑦 =
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, где 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, которая называется логарифмической. Напомним,
что логарифмом числа 𝑥 по основанию 𝑎 называется показатель степени, в
который нужно возвести основание 𝑎 чтобы получить число 𝑥.
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
а) область определения: (0; + ∞);
б) область значений: (– ∞; + ∞ );
в) если 𝑎 > 1, то функция 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 возрастает по всей области
определения;
если 0 < 𝑎 < 1, то функция 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 убывает на всей области
определения;
г) точка (1; 0) — единственная точка пересечения с осью 0𝑋.
Графики функций 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 и 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1/2 𝑥 изображены на рис 5.4.5 b.
81
Пример 5.4.1. На рис. 5.4.6. изображён график функции 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥.
Найдите а.
Y
1
0
1
2
X
-1
Рис 5.4.6. Графическая интерпретация решения примера 5.4.2.
Решение. Так как на графике изображена убывающая функция, то 0 <
а < 1. По свойствам логарифмической функции,
𝑙𝑜𝑔𝛼 а =
1
1
1 и 𝑙𝑜𝑔𝛼 = −1 и, следовательно, 𝑎 = = 0,5.
𝑎
2
Ответ: 0,5.
5.4.3. Тригонометрические функции
Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале
0 прямоугольной системы координат 0𝑋𝑌 (см. рис. 5.4.7.).
Пусть подвижный единичный радиус 0𝑀 задает угол 𝛼. Тогда число,
равное абсциссе конца подвижного единичного радиуса, задающего этот угол
𝛼, называется косинусом угла 𝛼 и обозначается 𝑐𝑜𝑠 𝛼, а число, равное
соответствующей ординате, называется синусом угла 𝛼 и обозначается 𝑠𝑖𝑛 𝛼.
Y
M (cos𝛼, sin𝛼)
𝛼
0
1
X
Рис. 5.4.7. Определение тригонометрических функций на единичной окружности.
82
Тангенсом угла 𝛼 называется число, равное отношению синуса угла 𝛼 к
косинусу того же угла, и обозначается 𝑡𝑔 𝛼 , т. е.
sin 𝛼
𝑡𝑔𝛼 =
, cos 𝛼 ≠ 0 .
cos 𝛼
Котангенсом угла 𝛼 называется число, равное отношению косинуса
угла 𝛼 к синусу того же угла, и обозначается 𝑐𝑡𝑔 𝛼, т. е.
cos 𝛼
𝑐𝑡𝑔 𝛼 =
, sin 𝛼 ≠ 0 .
sin 𝛼
Из определения синуса угла вытекают следующие свойства функции
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥:
1) область определения: (– ∞; +∞);
2) область значений: [–1; 1];
3) функция ограничена: |𝑠𝑖𝑛 𝑥| ≤ 1;
𝜋
4) функция принимает наименьшее значение 𝑦 = – 1 при 𝑥 = − +
2
𝜋
2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 и наибольшее значение 𝑦 = 1 при 𝑥 = + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍;
2
5) функция периодическая с основным периодом 2𝜋;
6) функция нечётная: 𝑠𝑖𝑛(– 𝑥) = – 𝑠𝑖𝑛 𝑥;
7) точки пересечения с осью 0𝑋(𝜋𝑘; 0), 𝑘 ∈ 𝑍.
График функции — синусоида (см. рис. 5.4.8).
Y
1
π
-π
0
X
-1
Рис. 5.4.8. График функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥.
Из определения косинуса угла вытекают следующие свойства функции
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥:
1) область определения: (– ∞; +∞);
2) область значений: [– 1; 1];
3) функция ограничена: |𝑐𝑜𝑠 𝑥| ≤ 1;
83
4) функция принимает наименьшее значение 𝑦 = – 1 при 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘,
𝑘 ∈ 𝑍 и наибольшее значение 𝑦 = 1 при 𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍;
5) функция периодическая с основным периодом 2𝜋;
6) функция чётная: 𝑐𝑜𝑠(– 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥;
𝜋
7) точки пересечения с осями координат (0; 1) и ( + 𝜋𝑘; 0) , 𝑘 ∈ 𝑍.
2
График функции — косинусоида (см. рис. 5.4.9).
Y
1
π
-π
0
X
-1
Рис. 5.4.9. График функции 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥.
Из определения тангенса угла вытекают следующие свойства функции
𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥:
𝜋
1) область определения: 𝑥 ≠ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍;
2
2) область значений: (– ∞; +∞);
3) функция периодическая с основным периодом 𝜋;
4) функция нечётная: 𝑡𝑔(– 𝑥) = – 𝑡𝑔 𝑥;
5) функция возрастает на каждом из интервалов
𝜋
𝜋
(𝜋𝑘 − ; 𝜋𝑘 + ) , 𝑘 ∈ 𝑍;
2
2
6) точки пересечения с осью 0𝑋: (𝜋𝑘; 0), 𝑘 ∈ 𝑍.
График функции — тангенсоида (см. рис. 5.4.10).
Из определения котангенса угла вытекают следующие свойства
функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥:
1) область определения: 𝑥 ≠ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍;
2) область значений: (– ∞; +∞);
3) функция периодическая с основным периодом 𝜋;
4) функция нечётная: 𝑐𝑡𝑔(– 𝑥) = – 𝑐𝑡𝑔 𝑥;
5) функция убывает на каждом из интервалов (𝜋𝑘; 𝜋 + 𝜋𝑘), 𝑘 ∈ 𝑍;
84
6) точки пересечения с осью 0𝑋:
𝜋
( + 𝜋𝑘; 0) , 𝑘 ∈ 𝑍;
2
График функции — котангенсоида (см. рис. 5.4.11).
-π
π
0
π
x= π/2
x= - π/2
x
x= 3π/2
x= - 3π/2
y
Рис. 5.4.10. График функции 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥.
x= π
y
π/2
-π/2
x
x= - π
0
Рис. 5.4.11. График функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥.
85
Пример
5.4.2.
Найдите
наибольшее
значение
функции
𝑦 = 2,5 + 0,5 𝑐𝑜𝑠 𝑥.
Решение. Так как – 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 1, то 2 ≤ 𝑦 = 2,5 + 0,5 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 3.
Ответ: 3.
Пример 5.4.3. Найдите наименьший положительный период функции
𝜋𝑥
𝜋𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑐𝑡𝑔
.
3
4
Решение. Найдём периоды каждого из слагаемых:
𝜋𝑥
2𝜋
cos имеет период 𝑇1 =
= 6,
3
𝜋 ⁄3
𝜋𝑥
𝜋
𝑐𝑡𝑔
имеет период𝑇2 =
= 4.
4
𝜋 ⁄4
Периодом суммы является наименьшее общее кратное 𝑇1 = 6 и 𝑇2 = 4,
а именно𝑇 = 12.
Ответ: 12.
5.4.4. Обратные тригонометрические функции
По определению 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎— это угол, удовлетворяющий одновременно
двум условиям:
𝜋
𝜋
− ≤ arcsin 𝑎 ≤ , sin(arcsin 𝑎) = 𝑎 .
2
2
Таким образом, для любого числа 𝑎 ∈ [– 1; 1] 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎 существует, и
притом единственный.
Для любого числа 𝑎 ∈ (– ∞; – 1) ∪ (1; +∞) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 этого числа не
существует.
Функция 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 определяется как обратная функция к 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥
с областью определения
𝜋 𝜋
[− 2 ; 2 ]
По правилу построения графика
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 имеет вид (см. рис. 5.4.12).
86
обратной
функции
график
y
2
y
π/2
arcsin x
y=x
1
sin x
-π/2
0
π/2
sin x
x
-1
- π/2
arcsin x
-2
-2
-1
0
1
2
Рис. 5.4.12. График функции 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥.
Отметим следующие свойства этой функции:
1) область определения: [– 1; 1];
2) область значений: [−
𝜋
2
𝜋
; ]
2
, функция ограничена;
3) функция принимает наименьшее значение 𝑦 = −
𝜋
𝜋
при 𝑥 = – 1 и
2
наибольшее значение 𝑦 = при 𝑥 = 1;
2
4) график функции проходит через точку 0;
5) функция нечётная: 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (– 𝑥) = – 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥;
6) функция возрастает в области определения.
По определению 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎— это угол, удовлетворяющий одновременно
двум условиям:
0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎 ≤ 𝜋, 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎) = 𝑎.
Таким образом, для любого числа 𝑎 ∈ [– 1; 1] 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎 существует, и
притом единственный.
Для любого числа 𝑎 ∈ (– ∞; – 1) ∪ (1; +∞) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 этого числа не
существует.
Функция 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 определяется как обратная функция к 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
с областью определения [0; 𝜋].
По правилу построения графика обратной функции график
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 имеет вид (см. рис. 5.4.13).
Отметим следующие свойства этой функции:
1) область определения: [– 1; 1];
87
2) область значений: [0; 𝜋], функция ограничена;
3) функция принимает наибольшее значение 𝑦 = 𝜋 при 𝑥 = – 1 и
наименьшее значение 𝑦 = 0 при 𝑥 = 1;
y
5
4
π
3
arccos x
2
y
1
π/2
x
0
π/2
π
-1
cos x
-2
-2
-1
0
1
2
6
4
Рис. 5.4.13.График функции 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥.
4) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (– 𝑥) = 𝜋 – 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥;
𝜋
5) график функции пересекает ось 0𝑌 в точке (0; ) ;
2
6) функция убывает в области определения.
Для любого 𝑥 ∈ [– 1; 1] имеет место тождество:
𝜋
arcsin 𝑥 + arccos 𝑥 = .
2
По определению 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 — это угол, удовлетворяющий одновременно
двум условиям:
𝜋
𝜋
– < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 < , 𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎) = 𝑎 .
2
2
Таким образом, для любого числа 𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 существует, и притом
единственный.
Функция 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 определяется как обратная функция к 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥,
𝜋 𝜋
где 𝑥 ∈ (− ; ).
2 2
По правилу построения графика обратной функции график
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 имеет вид (см. рис. 5.4.14).
88
3
Y
2
π/2
1
0
π/2
0
X
π/2
-1
π/2
-2
-3
-4
-2
0
2
4
Рис. 5.4.14. График функции 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 (сплошная линия).
Отметим следующие свойства этой функции:
1) область определения: (– ∞; +∞);
𝜋 𝜋
2) область значений: (− ; ), функция ограничена;
2 2
3) график функции проходит через точку 0;
4) функция возрастает;
5) функция нечётная: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (– 𝑥) = – 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥;
𝜋
𝜋
6) 𝑦 → при 𝑥 → +∞ и 𝑦 → − при x → –∞.
2
2
По определению 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 — это угол, удовлетворяющий
одновременно двум условиям:
0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 < 𝜋, 𝑐𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎) = 𝑎.
Таким образом, для любого числа 𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 существует, и притом
единственный.
Функция 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥 определяется как обратная функция к 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥,
где 𝑥 ∈ (0; 𝜋).
По правилу построения графика обратной функции график
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥 имеет вид (см. рис. 5.4.15).
89
y
4
y=x
π
2
π/2
0
0
π/2
π
x
-2
-4
-6
-2
0
2
4
6
Рис. 5.4.15. График функции 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥.
Отметим следующие свойства этой функции:
1) область определения: (– ∞; +∞);
2) область значений: (0; 𝜋), функция ограничена;
𝜋
3) график функции пересекает ось 0𝑌 в точке(0; ) ;
4) функция убывает;
5) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(– 𝑥) = 𝜋 – 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥;
6) 𝑦 → 0 при 𝑥 → +∞ и 𝑦 → 𝜋 при 𝑥 → – ∞.
2
𝜋
Для любого 𝑥 имеет место тождество 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥 = .
2
Пример 5.4.4. Укажите номер наименьшего числа из заданной
последовательности чисел.
1) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(– 0,1) 2) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3,5 3) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 3,5
4) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(– 0, 1) 5) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 5.
𝜋
𝜋
Решение. Как известно, − < 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 < и 0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥 < 𝜋,
2
2
причём только 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 при 𝑥 < 0 принимает отрицательное значение.
Следовательно, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (– 0,1) — наименьшее число из заданной
последовательности чисел.
Ответ: 4.
5.5. Суперпозиции функций и их графики
5.5.1. Сложная функция
Пусть функция 𝑢 = 𝜑(𝑥) определена на множестве 𝑋 и множество её
90
значений является областью определения функции 𝑦 = 𝐹(𝑢). Тогда любому
𝑥 из множества 𝑋 соответствует определённое значение 𝑢, а этому значению
𝑢 функция 𝑦 = 𝐹(𝑢) ставит в соответствие определённое значение 𝑦, т. е.
переменная 𝑦 является функцией 𝑥 на множестве 𝑋:
𝑦 = 𝐹 [𝜑(𝑥)].
Эта функция называется сложной функцией переменной 𝑥 или
суперпозицией двух функций: внутренней 𝑢 = 𝜑(𝑥) и внешней 𝑦 = 𝐹(𝑢).
Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью
конечного числа алгебраических операций и применения конечного числа
суперпозиций, называются элементарными.
Например, 𝑦 = 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑦 = 𝑡𝑔√𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2 (3𝑥 − 1) .
Пример 5.5.1. Найдите область определения функции
3𝑥 − 1
𝑦 = √1 − 2𝑥 + 3 arcsin
.
2
Решение. Первое слагаемое определено при 1 – 2𝑥 ≥ 0, а второе — при
3𝑥 − 1
−1 ≤
≤ 1.
2
Следовательно, для нахождения области определения данной функции
надо решить систему неравенств
1
1 − 2𝑥 ≥ 0
𝑥
≤
3𝑥 − 1
2
1
1
≤1
⇔
⇔ − ≤𝑥≤ .
𝑥
≤
1
2
3
2
3𝑥 − 1
1
≥ −1
𝑥≥−
{ 2
{
3
Ответ:[−
1
1
; ].
3 2
Пример 5.5.2. Найдите значение функции 𝑓(√𝑥 − 1) в точке
𝑥 = 2, если 𝑓 (𝑥) = (𝑥 + 1)6 .
Решение. Для того чтобы найти 𝑓(√𝑥 − 1), нужно в выражение
функции 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)6
вместо
𝑥
подставить √𝑥 − 1:
6
𝑓(√𝑥 − 1) = (√𝑥 − 1 + 1) = (√𝑥)6 = 𝑥 3 ; 𝑥 ≥ 0.
Значение функции 𝑓(√𝑥 − 1) будет равно 8.
Ответ: 8.
5.5.2. Основные приёмы построения графиков функций
График функции 𝑦 = – 𝑓(𝑥) получается из графика функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) симметричным отражением последнего относительно оси 0𝑋.
График функции 𝑦 = 𝑓(– 𝑥) получается из графика функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) симметричным отражением последнего относительно оси 0𝑌.
91
График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏 получается из графика функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) смещением последнего вдоль оси 0𝑌 на величину 𝑏 вверх, если 𝑏 >
0, и на величину |𝑏| вниз, если 𝑏 < 0.
График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥– 𝑎) получается из графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
смещением последнего вдоль оси 0𝑋. При этом, если 𝑎 > 0, то смещение
производится вправо на величину 𝑎, а если 𝑎 < 0 — смещение влево на
величину |𝑎|.
График функции 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥), где 𝑘 > 0, получается из графика функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) деформацией графика вдоль оси 0𝑋. При этом, если 𝑘 > 1, то
происходит сжатие абсцисс всех точек в 𝑘 раз, а если 0 < 𝑘 < 1, то
растяжение абсцисс всех точек в
1
𝑘
раз.
График функции 𝑦 = 𝐴 𝑓(𝑥), где 𝐴 > 0, получается из графика
функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) деформацией графика вдоль оси 0𝑌. При этом, если 𝐴 >
1, то происходит растяжение ординат всех точек в 𝐴 раз, а если
0 <
𝐴 < 1, то сжатие ординат всех точек в
1
𝐴
раз. Если 𝐴 < 0, то вначале
строится график 𝑦 = |𝐴| 𝑓(𝑥), а затем 𝑦 = – |𝐴| 𝑓(𝑥).
График функции 𝑦 = 𝐴 𝑓 [𝑘(𝑥 – 𝑎)] + 𝑏 получается из графика 𝑦 =
𝑓(𝑥) последовательным построением:
𝑦 = 𝑓 (𝑥) → 𝑦 = 𝑓 (𝑘𝑥) → 𝑦 = 𝐴 𝑓 (𝑘𝑥) → 𝑦 = 𝐴 𝑓 [𝑘(𝑥 – 𝑎)] → 𝑦 =
= 𝐴 𝑓 [𝑘(𝑥 – 𝑎)] + 𝑏.
График функции 𝑦 = |𝑓(𝑥)| получается из графика функции
𝑦 = 𝑓(𝑥) следующим образом: все точки графика 𝑦 = 𝑓(𝑥), лежащие на
оси 0𝑋 и выше её, остаются на месте; все точки графика 𝑦 = 𝑓(𝑥), лежащие
ниже оси 0𝑋, симметрично отображаются относительно оси 0𝑋.
График функции 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) получается из графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
по правилу построения чётной функции, а именно: часть графика
𝑦 = 𝑓(𝑥), лежащая справа от оси 0𝑌, остаётся и отображается симметрично
относительно оси 0𝑌.
График функции 𝑦 = 𝐹 (𝑓(𝑥)) строят, используя график 𝑦 = 𝐹 (𝑥) и
свойства функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥).
Пример 5.5.3. Постройте график функции 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑥 𝑥 .
Решение. Проведём исследование функции:
1) область определения функции 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑥 𝑥 — все действительные числа х;
1
2) область значений: так как – 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 1, то ≤ 2cos 𝑥 ≤ 2 ;
2
3)функция периодическая с периодом 2𝜋, так как 𝑐𝑜𝑠 𝑥 — функция
периодическая с периодом 2𝜋;
4) функция чётная, так как 𝑐𝑜𝑠 (– 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥;
92
5) так как 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 возрастает от –1 до 1 на отрезке [– 𝜋; 0], то функция
𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 возрастает на этом промежутке от
1
2
до 2; на отрезке [0; 𝜋] 𝑦 =
𝑐𝑜𝑠 𝑥 убывает, и функция 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 убывает от 2 до
2
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
2
.
Перечисленные свойства позволяют построить график функции 𝑦 =
на отрезке[– 𝜋; 𝜋] и продолжить его периодически(см. рис. 5.5.1).
y
2
1
0
-π
π
0
x
-1
-4
-2
0
2
4
Рис. 5.5.1. График функции 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 (сплошная линия).
На рис. 5.5.1 график 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑥 ∈ [– 𝜋; 𝜋] изображён пунктиром, а
график 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 — сплошной линией.
График функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) можно построить методом сложения
ординат. Для этого надо:
1) оставить те точки графиков 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑔(𝑥), которые входят в
общую область определения этих функций;
2) для каждого 𝑥 из общей области определения произвести сложение
ординат этих графиков.
5.6. Задачи для самостоятельного решения.
5.6.1. Найдите области определения функций:
|𝑥 − 1|
2𝑥 + 1
;
2.
𝑦
=
; 3. 𝑦 = lg(𝑥 2 + 3𝑥 − 4) ;
3𝑥 2 − 4𝑥 + 1
𝑥−1
3𝑥 + 2
4. 𝑦 = arcsin(2𝑥 − 1) ; 5. 𝑦 = arccos
;
4
1. 𝑦 =
93
6. 𝑦 = lg
|𝑥 + 3|
;
𝑥
7. 𝑦 = cos
𝑥+2
.
𝑥 2 + 3𝑥 − 4
5.6.2. Определите множество значений 𝑥 , для которых тождественны
заданные функции.
1. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2√𝑥 + 3 и 𝜑(𝑥) = √𝑥 2 + 𝑥 − 6;
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 и 𝜑(𝑥) = 23 log2 𝑥 ;
3. 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| и 𝜑(𝑥) = √𝑥 2 + 2𝑥 + 1 ;
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 и 𝜑(𝑥) = sin arcsin 𝑥 ;
5. 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
и 𝜑(𝑥) = 2log2 (𝑥+1)−log2 (𝑥−1) .
𝑥−1
5.6.3. Найдите значения функций в указанных точках.
1. 𝑓(𝑥) =
|2 − 𝑥|
,
𝑥+2
𝑥 =0,
2. 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 3| − |2𝑥 − 1|,
𝑥 = −1 ,
𝑥 =3;
𝑥 = −1 , 𝑥 = −4 , 𝑥 = 5.
𝑥 2 − 1 , если 𝑥 ≤ 2 ,
3. 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1 , если 𝑥 > 2 ,
𝑥 =0,
𝑥 =2,
𝑥 =3.
𝜋
,
4
4. 𝑓(𝑥) = {
𝜋
1 + 𝑥 2, 𝑥 ≥ ,
4
𝜋
𝑥 =0,
𝑥= ,
𝑥 =2.
4
sin 𝑥 , 𝑥 <
5.6.4. Найдите множество значений функций:
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 ;
2. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3𝑥 − 2 ;
𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 2 sin + 3 ; 4. 𝑓(𝑥) = 3 sin2 𝑥 − cos 2 𝑥 − 3 ;
2
5. 𝑓(𝑥) = 2 arctg 𝑥 + 1 ;
6. 𝑓(𝑥) = 3 arccos 𝑥 − 3 .
94
5.6.5. Исследуйте функции на четность.
1. 𝑦 = 3 + 𝑥 2 + 4𝑥 6 ;
2. 𝑦 = tg𝑥 3 + 4𝑥 ;
3. 𝑦 = sin 3𝑥 cos 2𝑥 ;
4. 𝑦 = 𝑥 2 arctg 𝑥 ;
5. 𝑦 = log 2
1+𝑥
;
1−𝑥
6. 𝑦 = √𝑥 2 + 3𝑥 2 ;
3
7. 𝑦 − √𝑥 3 − 𝑥 ;
8. 𝑦 = 𝑥 2 + 3|𝑥| − 2 ;
9. 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑥 tg 𝑥 ;
10. 𝑦 = 𝑥 2 log 2 𝑥 .
5.6.6. Исследуйте функции на периодичность и найдите период в случае,
когда он существует.
𝑥
;
3
1. 𝑦 = sin 3𝑥 ;
2. 𝑦 = cos
3. 𝑦 = tg 6𝑥 ;
4. 𝑦 = ctg
5. 𝑦 = 3sin 𝑥 ;
6. 𝑦 = sin 2𝑥 + cos 3𝑥 ;
7. 𝑦 = sin 3𝑥 cos 2𝑥 ;
8. 𝑦 = tg 5𝑥 + ctg 2𝑥 ;
9. 𝑦 = sin2 𝑥 + 3 ;
10. 𝑦 = tg√𝑥 .
𝑥
;
4
5.6.7. Даны функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 и 𝜑(𝑥) = 2𝑥 . Найдите 𝑓[𝜑(𝑥)], 𝜑[𝜑(𝑥)],
𝑓[𝑓(𝑥)], 𝜑[𝑓(𝑥)].
5.6.8.
Даны
функции
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −
2
𝑥
и 𝑔(𝑥) = 1 + √2𝑥 .
𝑓[𝑔(𝑥)] и 𝑔[𝑓(𝑥)] .
5.6.9. Для данных функций найдите обратные, если они существуют:
1. 𝑦 =
𝑥
−3;
2
4. 𝑦 = √1 − 2𝑥 ;
2. 𝑦 =
2+𝑥
;
1−𝑥
3. 𝑦 = 2 − 𝑥 5 ;
5. 𝑦 = arccos 𝑥 ;
95
Найдите
5.6.10. Найдите нули функций:
1. 𝑦 = 5𝑥 2 + 3𝑥 − 8 ;
2. 𝑦 = |𝑥 + 3| − 2 ;
3. 𝑦 = 𝑥 − √2 − 𝑥 2 ;
4. 𝑦 = 2 cos 𝑥 + 1 ;
5. 𝑦 = 𝑥 cos 𝑥 ;
6. 𝑦 =
tg 𝑥
.
𝑥
5.6.11. Найдите интервалы знакопостоянства функций:
(𝑥 − 2)2
1. 𝑦 =
;
𝑥+1
2. 𝑦 = (𝑥 2 + 3𝑥 − 4)(𝑥 3 − 1);
3. 𝑦 = 2 − 3√2 − 𝑥 ;
4. 𝑦 =
√𝑥 2 + 2𝑥 − 3
.
𝑥+2
5.6.12. Постройте графики функций:
1. 𝑦 = (𝑥 + 1)|𝑥 + 3| ;
2. 𝑦 = |𝑥 2 − 𝑥 − 2| ;
3. 𝑦 = 𝑥 2 + 2|𝑥| − 3 ;
4. 𝑦 =
5. 𝑦 = |sin 𝑥| + 2 sin 𝑥 ;
6. 𝑦 = |sin 2𝑥| ;
7. 𝑦 = 𝑥|𝑥 + 2| ;
8. 𝑦 = 2 sin 𝑥|cos 𝑥| .
𝑥+1
;
𝑥−2
1
1
5.6.13. Найдите 𝑓(𝑥) , если 𝑓 (𝑥 + ) = 𝑥 2 + 2 .
𝑥
𝑥
5.6.14. Найдите 𝑓(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, если 𝑓(sin2 𝑥) = cos 2 𝑥 .
5.6.15. Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 + 1 .
5.6.16.
Найдите
наибольшее
и
наименьшее
𝑦 = sin 𝑥 cos 𝑥 + cos 2 𝑥 .
5.6.17. Постройте графики функций:
1. 𝑦 = 2sin 𝑥 ;
3. 𝑦 = 2𝑥
2 −1
;
2. 𝑦 = log 2 (𝑥 2 + 3𝑥 − 4) ;
4. 𝑦 = log 2 sin 𝑥 .
96
значения
функции
Глава 6
Тригонометрия
1.1.
Тригонометрические преобразования и вычисления
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и
того же аргумента 1.
sin 𝛼
cos 𝛼
sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1; tg 𝛼 =
; ctg 𝛼 =
;
cos 𝛼
sin 𝛼
1
1
2
=
1
+
tg
𝛼
;
= 1 + ctg 2 𝛼 .
cos 2 𝛼
sin2 𝛼
Формулы сложения
cos (𝛼 ± 𝛽) = cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 ± sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽;
sin (𝛼 ± 𝛽) = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 ± sin 𝛽 ⋅ cos 𝛼;
tg (𝛼 ± 𝛽) =
tg 𝛼 ± tg 𝛽
.
1 ∓ tg 𝛼 ∙ tg 𝛽
Формулы двойного аргумента
2tg 𝛼
;
1 − tg 2 𝛼
1 + cos 2𝛼 = 2 cos 2 𝛼 ; 1– cos 2𝛼 = 2 sin2 𝛼 ; 1 ± sin 2𝛼 = (sin 𝛼 ± cos 𝛼)2 .
sin 2𝛼 = 2sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼 ; cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 – sin2 𝛼 ; tg 2𝛼 =
Формулы половинного аргумента
sin2
𝛼 1 − cos 𝛼
𝛼 1 + cos 𝛼
𝛼
sin 𝛼
1 − cos 𝛼
=
; cos 2 =
; tg =
=
.
2
2
2
2
2 1 + cos 𝛼
sin 𝛼
Формулы преобразования суммы в произведение
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
∙ cos
;
2
2
𝛼−𝛽
𝛼+𝛽
sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 sin
∙ cos
;
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
∙ cos
;
2
2
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin
__________________________
Все приведённые здесь соотношения рассматриваются в области определения
соответствующих функций.
1
97
𝛽−𝛼
𝛽+𝛼
∙ sin
;
2
2
sin(α + β)
tg α + tg β =
;
cos α ∙ cos β
sin(α − β)
tg α − tg β =
.
cos α ∙ cos β
cos 𝛼 − cos 𝛽 = 2 sin
Формулы преобразования произведения в сумму
1
sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 = [cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)];
2
1
cos 𝛼 ∙ cos 𝛽 = [cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)];
2
1
sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 = [sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)].
2
Формулы, выражающие 𝐬𝐢𝐧 𝜶, 𝐜𝐨𝐬 𝜶 , 𝒕𝒈 𝜶 через 𝒕𝒈
sin 𝛼 =
2tg
1+
α
2
α
2
tg
2
; cos 𝛼 =
1 − tg 2
1+
α
2
α
2
tg
2
; tg α =
2tg
1−
α
𝜶
.
𝟐
2
α
2
tg
2
.
Формулы приведения
𝜋
𝜋
sin ( ± 𝛼) = cos 𝛼 ; cos ( ± 𝛼) = ∓ sin 𝛼 ;
2
2
𝜋
𝜋
tg ( ± 𝛼) = ∓ ctg 𝛼 ; ctg ( ± 𝛼) = ∓tg 𝛼 ;
2
2
sin(𝜋 ± 𝛼) = ∓ sin 𝛼 ; cos(𝜋 ± 𝛼) = − cos 𝛼 .
Ограничимся приведёнными выше соотношениями и сформулируем
цель и правило приведения.
Формулы приведения позволяют перейти от тригонометрических
функций любого допустимого аргумента к тригонометрическим функциям
острого угла. Этот переход осуществляется по следующему правилу:
1) если угол 𝛼 откладывается от горизонтального диаметра
тригонометрической
окружности
(𝜋 ± 𝛼, 2𝜋 ± 𝛼),
то
название
тригонометрической функции сохраняется;
2) если угол 𝛼 откладывается от вертикального диаметра
𝜋
3𝜋
( 2 ± 𝛼, 2 ± 𝛼 ) , то название функции меняется на родственное (синус — на
косинус и наоборот, тангенс — на котангенс и наоборот);
3) перед полученной функцией от аргумента 𝛼 надо поставить тот знак,
который имела бы преобразуемая функция.
Замечание.
Если
первоначальный
аргумент
преобразуемой
тригонометрической функции содержит один или несколько периодов этой
98
функции, то от аргумента необходимо вычесть соответствующее число
периодов.
Это правило используется и в тех случаях, когда аргумент задан в
градусах.
Например,
sin 2 745° = sin(360° ∙ 7 + 225° ) =
= sin 225° = sin(180° + 45° ) = − sin 45° = −
√2
.
2
Преобразование выражения 𝑎𝒄𝒐𝒔 𝛼 + 𝑏𝒔𝒊𝒏 𝛼 путём введения
вспомогательного аргумента
𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝜑),
где 𝐴 = √𝑎2 + 𝑏 2 ≠ 0, 𝜑 — вспомогательный угол — такой, что
𝑎
𝑏
sin 𝜑 =
,
cos 𝜑 =
.
√𝑎2 + 𝑏 2
√𝑎2 + 𝑏 2
Пример 6.1.1. Вычислите √2 sin15° − √6 cos15° .
Решение.
Воспользуемся
преобразованием
выражения
𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝛼. Для этого умножим и разделим √2 𝑠𝑖𝑛15° − √6 𝑐𝑜𝑠15° на
√𝑎2 + 𝑏 2 = √2 + 6 = √8 = 2 √2.
sin 15° √3 cos 15°
2√2 (
−
) = 2√2(sin 15° cos 60° − cos 15° sin 60° ) =
2
2
2√2 ∙ √2
= 2√2 sin(15° − 60° ) = 2√2 sin(−45° ) = −
= −2 .
2
Ответ: –2.
Пример 6.1.2. Укажите количество целых значений, которые может
принимать функция 𝑓(𝑥) = 6 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 8 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥.
Решение. Представим 𝑓(𝑥) в виде
𝑓(𝑥) = 6 (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) + 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 7 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥.
Преобразуем выражение 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 (см. пример 6.1.1):
1
2
cos 2𝑥 + 2 sin 2𝑥 = √5 (
cos 2𝑥 +
sin 2𝑥) = √5 sin(2𝑥 + 𝛼) ,
√5
√5
1
где tg 𝛼 = .
2
Тогда 𝑓 (𝑥) = 7 + √ 5 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 𝛼) и 7 − √5 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 7 + √5 для ∀ 𝑥.
На отрезке [7 − √5; 7 + √5] находятся 5 целых значений.
Ответ: 5.
99
Пример 6.1.3. Найдите значение выражения
3(cos 20° −sin 20° )
√2∙sin 25°
.
Решение. По формулам приведения cos 20° = cos (90°– 70°) = sin 70°.
Подставляя это значение в выражение, преобразуем разность синусов в
произведение:
3(cos 20° − sin 20° )
√2 ∙ sin 25°
=
3(sin 70° − sin 20° )
√2 sin 25°
=
3 ∙ 2 sin 25° cos 45°
√2 sin 25°
=
3 ∙ 2 ∙ √2
√2 ∙ 2
=3.
Ответ: 3.
Пример 6.1.4. Найдите значение выражения
3 − sin 𝛼 ∙ cos 𝛼
, если tg 𝛼 = −2 .
6 cos 2 𝛼 − sin2 𝛼
Решение. В данном выражении число 3 запишем в виде
3 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 и затем разделим числитель и знаменатель на 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼:
3(sin2 𝛼 + cos 2 𝛼) − sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 3 tg 2 𝛼 + 3 − tg 𝛼
=
.
6 cos 2 𝛼 − sin2 𝛼
6 − tg 2 𝛼
Подставив в полученное выражение значение tg 𝛼 = – 2, получим:
2
Ответ: 8,5.
3(−2)2 + 3 + 2 17
=
= 8,5 .
6 − (−2)2
2
6.2. Действия с обратными тригонометрическими функциями
Определения 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝜶, 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝜶, 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝜶, 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈 𝜶.
𝜋 𝜋
1. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎 = 𝛼, если 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝑎 и 𝛼 ∈ [− ; ] ;
2 2
2. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎 = 𝛼, если 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑎 и 𝛼 ∈ [0; 𝜋];
𝜋 𝜋
3. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 = 𝛼, если 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑎 и 𝛼 ∈ (− ; ) ;
2 2
4. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 = 𝛼, если 𝑐𝑡𝑔 𝛼 = 𝑎 и 𝛼 ∈ (0; 𝜋).
Основные тождества
𝜋
1. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎 = , |𝑎| ≤ 1;
2
𝜋
2. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 = , 𝑎 ∈ 𝑅;
2
3. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(– 𝑎) = – 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎, |𝑎| ≤ 1;
4. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(– 𝑎) = 𝜋 – 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎, |𝑎| ≤ 1;
100
=
5. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(– 𝑎) = – 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎, 𝑎 ∈ 𝑅;
6. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(– 𝑎) = 𝜋 – 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎, 𝑎 ∈ 𝑅.
Из определения значений обратных тригонометрических функций
вытекают следующие соотношения:
𝜋
𝜋
1. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑠𝑖𝑛 𝛼 ) = 𝛼, если − ≤ 𝛼 ≤ ;
2
2
2. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑐𝑜𝑠 𝛼 ) = 𝛼, если 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋;
𝜋
𝜋
3. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔 𝛼 ) = 𝛼, если − < 𝛼 < ;
2
2
(𝑐𝑡𝑔
)
4. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔
𝛼 = 𝛼, если 0 < 𝛼 < 𝜋.
Из определения обратных тригонометрических функций и
соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента вытекают следующие тождества, справедливые в области
определения соответствующих функций:
1) 𝑠𝑖𝑛 (arcsin 𝑎 ) = 𝑎;
𝑐𝑜𝑠 (arccos 𝑎 ) = 𝑎;
2) 𝑐𝑜𝑠 (arcsin 𝑎) = √1 − 𝑎2 ;
𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎) = √1 − 𝑎2 ;
3) 𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎) =
𝑎
√1 − 𝑎2
√1 − 𝑎2
𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎) =
;
𝑎
;
√1 − 𝑎2
4) 𝑐𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎) =
;
𝑎
𝑐𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎) =
5) 𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎) = 𝑎;
𝑐𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎) = 𝑎;
6) 𝑐𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎) =
7) 𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎) =
8) 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎) =
1
;
𝑎
𝑡𝑔 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎) =
𝑎
√1 + 𝑎2
1
√1 + 𝑎2
𝑎
√1 − 𝑎2
;
1
;
𝑎
;
𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎) =
;
𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎) =
1
√1 + 𝑎2
𝑎
√1 + 𝑎2
;
;
Пример 6.2.1. Найдите произведение двух последовательных целых
1
чисел, между которыми находится число 2 arccos − 3 arcsin 1.
2
101
Решение.
1 𝜋
𝜋
1
5𝜋
Так как arccos = и arcsin 1 = , то2 arccos − 3 arcsin 1 = −
.
2 3
2
2
6
5𝜋
Очевидно, что − 3 < −
< −2 и (−3) ∙ (−2) = 6.
6
Ответ: 6.
2
Пример 6.2.2. Вычислите cos (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) .
5
Решение.
2
2
= 𝛼 ⟹ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = .
5
5
2
8
17
Тогда cos (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) = cos 2𝛼 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 1 −
=
= 0,68 .
5
25 25
Ответ: 0,68 .
Обозначим 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
6.3. Тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения
1. 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑎, |𝑎| ≤ 1;
2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑎, |𝑎| ≤ 1;
3. 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑎, – ∞ < 𝑎 < ∞;
4. 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑎, – ∞ < 𝑎 < ∞.
Решения этих уравнений имеют следующий вид:
1. 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = (– 1)𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = ± 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
3. 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
4. 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
где Z — множество целых чисел.
Пример 6.3.1. Решите уравнение √𝑥 3 − 𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝜋𝑥 = 0 . В ответе
укажите наименьший положительный корень.
Решение. ОДЗ данного уравнения имеет вид
𝑥 ≥ 1,
3
[
𝑥
−
𝑥
≥
0,
⟺ { −1 ≤ 𝑥 ≤ 0,
{
𝜋𝑥 ≠ 𝜋𝑘
𝑥 ≠ 𝑘 ,𝑘 ∈ 𝑍 .
Исходное уравнение эквивалентно системе условий
𝑥 = 0 ; 𝑥 = ±1 ,
𝑥3 − 𝑥2 ≥ 0 ,
[
1
[
𝑐𝑡𝑔 𝜋𝑥 = 0 ,
𝑥
=
+ 𝑛 ,𝑛 ∈ 𝑍 , ⟹ 𝑥 = −3 + 𝑚 ,𝑚 ∈ 𝑁 ,𝑚 ≠ 2 .
⟹
𝑥 ≥1,
2
2
[
−1 ≤ 𝑥 ≤ 0 , 𝑥 ≥ 1,
−1 ≤ 𝑥 ≤ 0 ,
{ 𝑥 ≠ 𝑘 ,𝑘 ∈ 𝑍
{ 𝑥 ≠ 𝑘 ,𝑘 ∈ 𝑍
102
Следовательно, наименьшее положительное решение
𝑥=
3
= 1,5.
2
Ответ: 1,5.
Уравнения вида 𝒂 ⋅ 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒃 ⋅ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒄
Методом
введения
вспомогательного
аргумента
выражение
𝑎 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 заменяется на √𝑎2 + 𝑏 2 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝜑), где 𝜑 —
вспомогательный аргумент, определяемый из условий:
𝑎
𝑏
cos 𝜑 =
, sin 𝜑 =
.
√𝑎2 + 𝑏 2
√𝑎2 + 𝑏 2
Тогда уравнение приводится к простейшему:
𝑐
sin(𝑥 + 𝜑) =
.
√𝑎2 + 𝑏 2
Пример 6.3.2. Найдите число корней уравнения 𝑐𝑜𝑠𝑥 + √3 𝑠𝑖𝑛𝑥 = √2
на интервале (0; 3𝜋).
Решение. Это уравнение решается методом введения вспомогательного
аргумента. Разделив обе части уравнения на √𝑎2 + 𝑏 2 = √1 + 3 = 2,
получим:
1
𝜋
𝜋
𝜋
√2
√2
√3
cos 𝑥 +
sin 𝑥 =
⟹ sin cos 𝑥 + cos sin 𝑥 =
⟹ sin ( + 𝑥) =
2
2
2
6
6
2
6
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
√2
=
⟹ + 𝑥 = (−1)𝑘 + 𝜋𝑘 ⟹ 𝑥 = − + (−1)𝑘 + 𝜋𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 .
2
6
4
6
4
Подсчитаем число корней, принадлежащих интервалу (0; 3𝜋):
𝜋
при 𝑘 = 0 𝑥 =
∈ (0; 3𝜋),
12
𝜋 𝜋
7𝜋
при 𝑘 = 1 𝑥 = − − + 𝜋 =
∈ (0; 3𝜋),
6 4
12
𝜋 𝜋
25𝜋
при 𝑘 = 2 𝑥 = − − + 2𝜋 =
∈ (0; 3𝜋),
6 4
12
𝜋 𝜋
31𝜋
при 𝑘 = 3 𝑥 = − − + 3𝜋 =
∈ (0; 3𝜋).
6 4
12
При 𝑘 < 0 и 𝑘 > 3 корни не принадлежат интервалу (0; 3𝜋).
Следовательно, число корней равно 4.
Ответ: 4.
103
Тригонометрические уравнения, содержащие функции
одного аргумента
Пусть тригонометрическое уравнение имеет вид 𝑓(𝑠𝑖𝑛 𝑥) = 0. Тогда
подстановкой 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑧 оно сводится к алгебраическому уравнению 𝑓(𝑧) =
0.
Пусть 𝑧1 , 𝑧2 , . . . 𝑧𝑘 — его корни, причём |𝑧𝑘 | ≤ 1. Тогда уравнение
𝑓(𝑠𝑖𝑛 𝑥) = 0 равносильно совокупности уравнений:
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑧1 , 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑧2 , . . . 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑧𝑘 .
Аналогично решаются уравнения вида 𝑓(𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 0, 𝑓(𝑡𝑔 𝑥) = 0 и
𝑓(𝑐𝑡𝑔 𝑥) = 0.
Зачастую, прежде чем переходить к новой переменной, надо входящие
в уравнение тригонометрические функции выразить через одну из них.
Покажем основные приёмы таких преобразований.
Уравнения вида 𝑎 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐 = 0 приводятся к квадратным
уравнениям относительно новой переменной 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, |𝑦| ≤ 1.
Аналогично, в уравнении 𝑎 ⋅ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐 = 0 полагают 𝑦 =
𝑐𝑜𝑠 𝑥.
Пример 6.3.3. Решите уравнение 2 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 – 7 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2 = 0. В
ответе укажите в градусах наименьший положительный корень уравнения.
Решение. Обозначим 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 𝑦, |𝑦| ≤ 1, и запишем исходное
уравнение через 𝑦:
1
2(1 − 𝑦 2 ) − 7𝑦 + 2 = 0 ⟺ 2𝑦 2 + 7𝑦 − 4 = 0 ⟹ 𝑦1 = , 𝑦2 = −4 −
2
посторонний корень.
Следовательно,
1
𝜋
cos 2𝑥 =
⟹ 𝑥 = ± + 𝜋𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 .
2
6
Наименьший положительный корень равен 30°.
Ответ: 30.
Уравнения вида 𝑎 ⋅ 𝑠𝑖𝑛2𝑛 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 + 𝑐 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑛 𝑥 = 0
называются однородными относительно 𝑠𝑖𝑛 𝑥 и 𝑐𝑜𝑠 𝑥.
Если 𝑎 ≠ 0, то, разделив обе части на 𝑐𝑜𝑠 2𝑛 𝑥, получаем уравнение
относительно 𝑡𝑔 𝑥:
𝑎 ⋅ 𝑡𝑔2𝑛 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑡𝑔𝑛 𝑥 + 𝑐 = 0 ,
которое сводится к алгебраическому заменой 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥.
Заметим, что это преобразование приводит к равносильному
уравнению, так как 𝑐𝑜𝑠 2𝑛 𝑥 ≠ 0. В противном случае получим равенство
𝑠𝑖𝑛2𝑛 𝑥 = 0, что невозможно для одних и тех же значений 𝑥.
Если 𝑎 = 0, то уравнение эквивалентно совокупности уравнений
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0 и 𝑏 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑥 + 𝑐 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 = 0. Последнее решается путём замены
𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥.
104
Уравнения вида 𝑎 ⋅ 𝑠𝑖𝑛2𝑛 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 + 𝑐 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑛 𝑥 = 𝑑
сводятся
к
однородным,
если
воспользоваться
тождеством
2
2 𝑛
𝑑 = 𝑑(𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥) , а затем привести подобные члены в обеих частях
уравнения.
Пример 6.3.4. Решите уравнение 𝑠𝑖𝑛4 𝑥– 4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 0.
В ответе укажите в градусах наибольший отрицательный корень.
Решение. Уравнение однородного вида, и, разделив обе части на
4
𝑐𝑜𝑠 𝑥, получим 𝑦 4 – 4𝑦 2 + 3 = 0, где у = 𝑡𝑔 𝑥.
Решая биквадратное уравнение, находим 𝑦1,2 = ±1, 𝑦3,4 = ± 3.
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности
уравнений: 𝑡𝑔 𝑥 = ±1, 𝑡𝑔 𝑥 = ± √3.
𝜋
𝜋
Отсюда 𝑥 = ± + 𝜋𝑘 , 𝑥 = ± + 𝜋𝑛 , где 𝑘, 𝑛 ∈ 𝑍.
4
3
𝜋
Следовательно, наибольший отрицательный корень 𝑥 = −
или
4
𝑥 = – 45°.
Ответ: –45°.
Подстановки, которые мы рассматривали до сих пор, годились лишь
для специальных случаев уравнений вида 𝑅(𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 0, где
𝑅(𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑐𝑜𝑠 𝑥) — рациональная функция от 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 𝑠𝑖𝑛 𝑥, т. е. функция,
получающаяся из 𝑠𝑖𝑛 𝑥 и 𝑐𝑜𝑠 𝑥 с помощью операций сложения, умножения,
деления и возведения в степень с целым показателем.
Однако существует так называемая универсальная тригонометрическая
𝑥
подстановка 𝑡 = 𝑡𝑔
, позволяющая превратить в рациональное
2
алгебраическое уравнение любое уравнение вида 𝑅(𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 0. При
𝑥
этом используются формулы, выражающие 𝑠𝑖𝑛 𝑥 и 𝑐𝑜𝑠 𝑥 через 𝑡𝑔 :
2
2 ⁄
⁄
2𝑡𝑔(𝑥 2)
1 − 𝑡𝑔 (𝑥 2)
𝑥
sin 𝑥 =
и
cos
𝑥
=
≠ 0) .
(cos
1 + 𝑡𝑔2 (𝑥 ⁄2)
1 + 𝑡𝑔2 (𝑥 ⁄2)
2
Пример 6.3.5. Решите уравнение 𝑐𝑜𝑠 𝑥 – 4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 – 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0.
Решение. Разделим на 𝑠𝑖𝑛 𝑥 обе части уравнения (𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≠ 0).
Уравнение принимает вид 𝑐𝑡𝑔 𝑥 – 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 – 1 = 0. Делаем замену 𝑡 = 𝑡𝑔 𝑥,
1
2𝑡
тогда 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = , sin 2𝑥 =
.
𝑡
1 + 𝑡2
Уравнение записывается через переменную 𝑡 следующим образом:
𝑡 3 + 3𝑡 2 + 𝑡 − 1 = 0 ⇒ (𝑡 + 1)(𝑡 2 + 2𝑡 − 1) = 0 ⇒ 𝑡1 = −1, 𝑡2,3 = −1 ± √2.
Возвращаясь к переменной 𝑡, получим:
𝑡𝑔 𝑥 = −1 ,
𝜋
⟹ 𝑥 = − + 𝜋𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 , 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1 ± √2) + 𝜋𝑚, 𝑚 ∈ 𝑍.
[
4
𝑡𝑔 𝑥 = −1 ± √2
𝜋
Ответ: 𝑥 = − + 𝜋𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 , 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1 ± √2) + 𝜋𝑚, 𝑚 ∈ 𝑍.
4
105
Тригонометрические уравнения с функциями разных аргументов
обычно решаются путём сведения их к функциям одного и того же аргумента
или к равенству одноименных тригонометрических функций.
Из условий равенства одноименных тригонометрических функций
устанавливаются следующие связи между аргументами:
𝑦 − 𝑥 = 2𝜋𝑚 ,
sin 𝑥 = sin 𝑦 ⇒ [
𝑦 + 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛 .
𝑦 − 𝑥 = 2𝜋𝑚 ,
cos 𝑥 = cos 𝑦 ⇒ [
𝑦 + 𝑥 = 2𝜋𝑛 .
𝜋
𝜋
𝑡𝑔 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 ⇒ 𝑦 − 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑦 ≠ + 𝑘𝑛 , 𝑥 ≠ + 𝜋𝑙 ,
2
2
𝑐𝑡𝑔 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥 ⇒ 𝑦 − 𝑥 = 𝜋𝑚 , 𝑥 ≠ 𝜋𝑛 , 𝑦 ≠ 𝜋𝑙 ,
где 𝑛, 𝑚, 𝑘, 𝑙 ∈ 𝑍 .
Уравнения вида
cos 𝛼𝑥 ∙ cos 𝛽𝑥 = cos 𝛾𝑥 ∙ cos 𝛿𝑥 ,
sin 𝛼𝑥∙ sin 𝛽𝑥 = sin 𝛾𝑥 ∙ sin 𝛿𝑥 ,
sin 𝛼𝑥 ∙ cos 𝛽𝑥 = sin 𝛾𝑥 ∙ cos 𝛿𝑥 .
путем преобразования произведений в суммы и разности при определенных
соотношениях между 𝑎, 𝑏, 𝑔 и 𝑑 можно привести к условиям равенства
тригонометрических функций.
Уравнения вида
cos 𝛼𝑥 + cos 𝛽𝑥 = cos 𝛾𝑥 + cos 𝛿𝑥 ,
cos 𝛼𝑥 ± cos 𝛽𝑥 = sin 𝛾𝑥 ± sin 𝛿𝑥 ,
sin 𝛼𝑥 + sin 𝛽𝑥 = sin 𝛾𝑥 + sin 𝛿𝑥 .
путем преобразования сумм и разностей тригонометрических функций в
произведения с последующим разложением на множители можно привести к
совокупностям более простых уравнений.
Пример 6.3.6. Решите уравнение 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 6𝑥. В
ответе укажите в градусах наименьший положительный корень.
Решение. Умножим обе части уравнения на 𝑠𝑖𝑛 𝑥, при условии, что
𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≠ 0. Тогда:
4 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ⇒ 2𝑠𝑖𝑛 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 =
= 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ⇒ 𝑠𝑖𝑛 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 ⇒ (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 7𝑥) =
1
(sin 7𝑥 − sin 5𝑥) ⇒ sin 𝑥 + sin 5𝑥 = 0 ⇒ sin 3𝑥 ∙ cos 2𝑥 = 0 ⇒
2
𝜋𝑛
1) sin 3𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 =
, 𝑛 ∈ 𝑍 при условии 𝑛 = 3𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 ,
3
[
𝜋 𝜋𝑘
2) cos 2𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = +
,𝑘 ∈ 𝑍 .
4
2
106
Следовательно, наименьший положительный корень равен 45°.
Ответ: 45°.
6.4. Тригонометрические неравенства
Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции,
сводится к решению простейших неравенств вида sin 𝑥 ≥ 𝑎, cos 𝑥 ≥ 𝑎,
𝑡𝑔 𝑥 ≥ 𝑎 и т. п.
Простейшие тригонометрические неравенства удобно решать
графическим способом.
1
Пример 6.4.1. Решите неравенство sin 𝑥 ≤ .
2
Решение. Построим график функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 и проведём прямую
𝑦=
1
.
2
Y
1
0,5
𝑦=
-π
−2𝜋
1
2
0
π/6
-7π/6
y = sin x
X
0, 5
-1
Рис. 6.4.1. Графики функций 𝑦 = sin 𝑥 и 𝑦 =
1
2
.
Решением указанного неравенства будут те значения 𝑥, которым
соответствуют точки графика 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, лежащие ниже прямой
1
7𝜋
2
6
𝑦 = . Одним из таких промежутков будет [−
𝜋
; ].
6
Воспользовавшись периодичностью функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, получим, что
7𝜋
𝜋
𝑥 ∈ [−
+ 2𝑘𝜋; + 2𝑘𝜋] , 𝑘 ∈ 𝑍 .
6
6
7𝜋
𝜋
Ответ: [− + 2𝑘𝜋; + 2𝑘𝜋]
6
6
Пример 6.4.2. Решите неравенство 𝑡𝑔 𝑥 ≥ – 1.
Решение. Построим графики 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 и 𝑦 = – 1.
107
Из рис.6.4.2. видно, что одним из промежутков, удовлетворяющих
𝜋 𝜋
неравенству, будет [− ; ) . Учитывая периодичность тангенса, получим
4 2
𝜋
𝜋
𝑥 ∈ [− + 𝑘𝜋; + 𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 .
4
2
𝜋
𝜋
Ответ: [− + 𝑘𝜋; + 𝑘𝜋).
4
2
𝑌
𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥
1
−𝜋
−
𝜋
2
−
𝜋
4
𝜋
2
𝜋
0
𝑋
𝑦 = −1
−1
Рис. 6.4.2. Графики функций 𝑦 = tg 𝑥 и 𝑦 = −1 .
6.5. Задачи для самостоятельного решения.
6.5.1. Найдите значения выражений:
1. sin 150° sin 240° − tg 360° cos 315° + 3tg 2 210°;
2. ctg 225° − cos 240° − sin2 120° + 0,75 ∙ tg 2 210°;
7𝜋
5𝜋
11𝜋
+ cos 2 (
) − ctg 2
);
4
3
6
5𝜋
7𝜋
13𝜋
4. sin2 ( ) + cos ( ) − tg 2
.
2
2
6
3. tg (
6.5.2.Найдите sin 𝛼 и 𝑡𝑔𝛼, если
cos 𝛼 = −
1
,
3
3
𝜋<𝛼< 𝜋.
2
6.5.3. Найдите sin 𝛼 и cos 𝛼 , если
108
tg 𝛼 = −2 ,
3
𝜋 < 𝛼 < 2𝜋 .
2
6.5.4. Вычислите:
1.
2.
3.
tg 𝛼 + ctg 𝛼
√6
, если 𝑡𝑔 𝛼 =
;
tg 𝛼 − ctg 𝛼
2
1 + tg 𝛼
3
𝜋
, если sin 𝛼 = , 0 < 𝛼 < ;
1 − tg 𝛼
5
2
sin 𝛼 − cos 𝛼
, если 𝑡𝑔 𝛼 = 3 ;
sin 𝛼 + cos 𝛼
1
4. sin 𝛼 ∙ cos 𝛼, если sin 𝛼 + cos 𝛼 = ;
2
1
5. sin3 𝛼 + cos 3 𝛼, если sin 𝛼 + cos 𝛼 = ;
3
6. tg 2 𝛼 + ctg 2 𝛼, если tg 𝛼 + ctg 𝛼 = 3;
7. tg(270° + 𝛼), если sin 𝛼 =
7
, 90° < 𝛼 < 180°;
25
8. сtg(360° − 𝛼), если cos 𝛼 = −0,6 , 90° < 𝛼 < 180°.
6.5.5. Вычислите:
1.
cos 71° + cos 49°
;
7 cos 11° − 3 sin 79°
2.
sin 44° + cos 74°
;
2 cos 14° + 2 sin 104°
3.
8 sin 194° + cos 256°
;
sin 14°
4.
cos 25° cos 15° − sin 25° sin 15°
;
cos 100° + cos 20°
5. sin 10° ∙ sin 50° ∙ sin 70° ;
2
tg 2 43° − tg 2 17°
6. [
∙ tg 64°] ;
1 − tg 2 43° ∙ tg 2 17°
7. sin 50°(1 − 2 cos 80°) ;
109
8. sin 10°(0,5 + sin 70°) ;
9. cos
2π
4π
6π
+ cos
+ cos .
7
7
7
6.5.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:
1. 𝑦 = 2 cos 2𝑥 + sin2 𝑥 ;
𝜋
2. 𝑦 = sin2 ( − 𝑥) + (sin 𝑥 −cos 𝑥)2 ;
4
𝜋
𝜋
3. 𝑦 = sin (𝑥 + ) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − ) ;
4
4
4. 𝑦 = sin4 𝑥 + cos 4 𝑥 ;
6.5.7. Упростите выражения:
1.
2.
1 + cos 2𝛼
;
1 − cos 2𝛼
cos 𝛼
√1 − cos 2𝛼
−
sin 𝛼
√1 + cos 2𝛼
,0 < 𝛼 <
𝜋
;
2
3. cos 2 𝛼 − sin 4𝛼 ∙ 𝑐𝑡𝑔 2𝛼 ;
4. √1 + cos 8𝛼 ;
𝜋
𝜋
5. sin2 ( + 2𝛼) + cos ( + 4𝛼) 𝑐𝑡𝑔 (𝜋 + 2𝛼);
2
2
6.
sin 4𝛼
cos 2𝛼
∙
;
1 + cos 4𝛼 1 + cos 2𝛼
7.
2 sin 𝛼 + sin 2𝛼 1 − cos 𝛼
∙
.
2 cos 𝛼 + sin 2𝛼 1 − sin 𝛼
6.5.8. Преобразуйте в произведение:
1. cos(𝛼 + 𝛽) − cos(𝛼 − 𝛽) ;
2. 1 + cos 3𝛼 ;
3. 1 + sin 𝛼 +cos 𝛼 ;
4. cos 𝛼 + sin 2𝛼 + cos 3𝛼 + sin 4𝛼 .
110
6.5.9. Введением вспомогательного аргумента преобразуйте сумму в
произведение:
1. sin 𝑥 + √3 cos 𝑥 ;
2. 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 ;
3. 2 sin2 𝛼 + √3 sin 2𝛼 − 1 ;
4. 1 + sin 𝛼 − cos 2𝛼 .
6.5.10. Вычислите:
3
√3
1. sin (arcsin + arcsin ) ;
5
2
2. sin (3 arccos
12
√2
− arcsin ) ;
2
13
3
3. cos (2 arccos ) ;
5
4. tg (arctg 1 + arctg 2) ;
4
5. tg (2 arccos ) ;
5
6. sin(2 arctg 3) ;
1
5
7. cos ( arccos ) ;
2
13
1
3
8. sin ( arccos (− )) .
2
5
6.5.11. Решите уравнения:
𝑥 √3
1. cos =
;
2
2
1
2. sin 3𝑥 = − ;
2
4. 2 sin2 𝑥 + sin 𝑥 = 0 ;
3. tg 2𝑥 = −√3;
5. √3 cos 𝑥 − 2 cos 2 𝑥 = 0 .
6.5.12. Решите уравнение на заданном промежутке:
𝜋
1. cos ( (𝑥 − 1)) = 1 , 0 < 𝑥 < 9 ;
3
111
𝜋
2. sin ( (𝑥 + 3)) = 0 , 2 < 𝑥 < 4 ;
2
𝜋
3. 𝑡𝑔 ( (𝑥 − 3)) = 1 , 5 < 𝑥 < 9 ;
4
4. √3 + 2 cos
𝜋𝑥
= 0 , 15 < 𝑥 < 30 ;
15
5. 1 − √2 sin
𝜋𝑥
=0 , 1<𝑥 <5.
4
6.5.13. Решите уравнение:
1. sin(9𝑥 − 45°) sin 2𝑥 = 0 ;
2. cos(𝑥 + 120°) sin 4𝑥 = 0 ;
𝑥
3. tg(2𝑥 − 60°) cos = 0 ;
2
4. cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 =
√3
;
2
5. 2 sin 2𝑥 cos 2𝑥 = 1 ;
6. 2 cos 2 𝑥 + 5 cos 𝑥 + 2 = 0 ;
7. √3 sin 𝑥 + cos 𝑥 = 0 ;
8. sin 𝑥 cos 𝑥 − √3 cos 2 𝑥 = 0 ;
9. √3 cos 𝑥 − sin 𝑥 = 1 ;
10. sin 𝑥 + sin 5𝑥 = 2 cos 2𝑥 ;
11. cos 3𝑥 − cos 7𝑥 = sin 5𝑥 ;
12. cos 5𝑥 − sin 5𝑥 = sin 7𝑥 − cos 7𝑥 ;
6.5.14. Решите неравенство:
1. sin 𝑥 < 1 ;
2. cos 𝑥 > −1 ;
3. tg 𝑥 > 1 ;
4. ctg 𝑥 < −1 ;
5. cos 𝑥 >
1
;
2
6. sin 𝑥 < −
1
;
2
112
7. tg 𝑥 >
9. −
√3
;
3
√2
< cos 𝑥 < 0 ;
2
11. 0 < tg 𝑥 < √3 ;
8. ctg 𝑥 < −√3 ;
10. 0 < sin 𝑥 <
√3
;
2
12. −√3 < ctg 𝑥 < 0 .
Глава 7
Логарифмические и показательные уравнения
и неравенства
7.1. Тождественные преобразования и вычисление
показательных и логарифмических выражений
Для решения задач на вычисление и упрощение выражений,
содержащих степени и логарифмы, необходимо знать свойства степеней и
логарифмов 1.
Определение логарифма
Логарифмом числа 𝑏 (𝑏 > 0) по основанию 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) называется
показатель степени 𝛼, в которую надо возвести основание 𝑎, чтобы получить
число 𝑏, т. е. если 𝑎𝛼 = 𝑏, то 𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏.
Из определения логарифма следует основное логарифмическое
тождество:
𝑎𝑙𝑜𝑔𝒂𝒃 = 𝑏 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0.
Основные свойства логарифмов
1. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1, 𝑎 ≠ 1, 𝑎 > 0.
2. 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑎 > 0.
3. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 , 𝑎 ≠ 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0.
𝑏
4. 𝑙𝑜𝑔𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 , 𝑎 ≠ 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0.
𝑐
5. 𝑙𝑜𝑔𝒂 𝑏𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑘 ∈ 𝑅.
6. Формула перехода к новому основанию логарифма:
log 𝑐 𝑏
1
log 𝑎 𝑏 =
, log 𝑎 𝑏 =
⇒
log 𝑐 𝑎
log 𝑏 𝑎
⇒ log 𝑎 𝑏 ∙ log 𝑏 𝑎 = 1, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0, 𝑎 > 1, 𝑐 ≠ 1.
113
1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, 𝑘 ≠ 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0.
𝑘
8. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑘 𝑏 𝑘 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑘 ≠ 0.
𝑚
9. log 𝑎𝑘 𝑏 𝑚 = log 𝑎 𝑏 , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑘 ≠ 0.
𝑘
log𝑎 𝑏
log𝑎 𝑐
10. 𝑐
=𝑏
, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0.
Если основание логарифма 𝑎 = 10, то вводится обозначение
десятичного логарифма 𝑙𝑔.
7. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝒌 𝑏 =
Пример 7.1.1. Вычислите значение выражения
4
16𝑙𝑜𝑔813+𝑙𝑜𝑔2 √3
Решение.
4
16𝑙𝑜𝑔813+𝑙𝑜𝑔2 √3 = 16log3
Ответ: 6.
4
3
1
∙ (24 )1⁄4∙log2 3 = (24 )4 ∙ 2log2 3 = 2 ∙ 3 = 6.
Пример 7.1.2. Вычислите значение выражения
5𝑙𝑜𝑔1⁄54∙ 𝑙𝑜𝑔1/43 .
Решение.
1
1 log1⁄4 3
𝑙𝑜𝑔1/54
−𝑙𝑜𝑔5 4
Так как 5
=5
= , то ( )
= 3.
4
4
Ответ: 3.
Пример 7.1.3. Вычислите значение выражения
6 log 2 18 5 log 2 9
−
.
log 32 2
log 64 2
Решение.
1
1
6 log 2 18 5 log 2 9
Так как log 32 2 = и log 64 2 = , то
−
= 30 log 2 2 = 30 .
5
6
log 32 2
log 64 2
Ответ: 30.
Пример 7.1.4. Найдите значение выражения
𝑙𝑜𝑔3 7
4𝑙𝑜𝑔32 + 𝑙𝑜𝑔6 (𝑙𝑜𝑔7 125 ∙ 𝑙𝑜𝑔5 49).
Решение.
4log2 3∙log3 7 + log 6 (log 7 53 ∙ log 5 72 ) =
= (22 log2 3 )
log3 7
+ log 6 (3 log 7 5 ∙ 2 log 5 7) = (2log2 3 )
log3 49
+ log 6 (6 log 7 5 ∙ log 5 7) = 3log3 49 + log 6 6 = 49 + 1 = 50 .
Ответ: 50.
114
+
3
Пример 7.1.5. Вычислите значение выражения log 𝑎3𝑏4 √𝑎2 𝑏 при
1
условии, что log 𝑎 𝑏 = .
4
Решение. В данном выражении перейдём к основанию 𝑎:
3
log
√𝑎2 𝑏 2⁄3 + (1⁄3) log 𝑎 𝑏
3
𝑎
2
log 𝑎3𝑏4 √𝑎 𝑏 =
=
.
log 𝑎 𝑎3 𝑏 4
3 + 4 log 𝑎 𝑏
1
3
Подставив в полученное выражение log 𝑎 𝑏 = , получим
= 0,1875.
4
16
Ответ: 0,1875.
Пример 7.1.6. Вычислите значение выражения 𝑙𝑜𝑔1/16 (𝑙𝑜𝑔2 3 ∙ 𝑙𝑜𝑔3 4).
Решение. 𝑙𝑜𝑔2 3 ⋅ 𝑙𝑜𝑔3 4 = 𝑙𝑜𝑔2 3 ⋅ 2𝑙𝑜𝑔3 2 = 2. Тогда
1
log 1⁄16 2 = log 2−4 2 = − = −0,25 .
4
Ответ: – 0,25.
Пример 7.1.7. Упростите выражение 𝑙𝑜𝑔3 2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔4 3 ⋅ . . .⋅ 𝑙𝑜𝑔10 9.
Решение. Перейдём к десятичным логарифмам по формуле
lg 𝑏
log 𝑎 𝑏 =
.
lg 𝑎
lg 2 lg 3
lg 8 lg 9
lg 2
Тогда log 3 2 ∙ log 4 3 ∙ … ∙ log10 9 =
∙
∙… ∙
∙
=
= lg 2 .
lg 3 lg 4
lg 9 lg 10 lg 10
Ответ: 𝑙𝑔 2.
Пример 7.1.8. Упростите выражение
(𝑙𝑜𝑔4 6 + 𝑙𝑜𝑔6 4 + 2) ⋅ (𝑙𝑜𝑔4 6 – 𝑙𝑜𝑔24 6)𝑙𝑜𝑔6 4 – 𝑙𝑜𝑔4 6.
Решение. Обозначим 𝑙𝑜𝑔4 6 = 𝑡. Тогда
1
log 4 6
log 4 6
𝑡
log 6 4 = , log 24 6 =
=
=
.
𝑡
log 4 24 1 + log 4 6 1 + 𝑡
Заданное выражение перепишем с помощью 𝑡:
(𝑡 2 + 2𝑡 + 1)𝑡 2
1
𝑡
1
−𝑡 =𝑡+1−𝑡 =1.
(𝑡 + + 2) ∙ (𝑡 −
)∙ −𝑡 =
𝑡
1+𝑡 𝑡
𝑡 2 (1 + 𝑡)
Ответ: 1.
Пример 7.1.9. Найдите значение выражения
log √𝑦 𝑦 , если log 𝑥 3𝑦3 (𝑥 2 𝑦) = 𝑎 .
𝑥3
Решение. Из условия следует, что 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, причём 𝑥 и 𝑦 не
могут одновременно равняться 1.
Пусть 𝑥 = 1, 𝑦 ≠ 1. Тогда 𝑙𝑜𝑔√𝑦 𝑦 = 2. Пусть 𝑦 = 1, 𝑥 ≠ 1. Тогда
log 1 1 = 0 .
𝑥3
Если 𝑥 ≠ 1, 𝑦 ≠ 1, то, переходя к основанию 𝑥 в равенстве
115
𝑙𝑜𝑔𝑥 3𝑦3 (𝑥 2 𝑦) = 𝑎 получим
log 𝑥 𝑥 2 𝑦
2 + log 𝑥 𝑦
3𝑎 − 2
𝑎=
=
⟹
log
𝑦
=
.
𝑥
log 𝑥 𝑥 3 𝑦 3 3 + 3 log 𝑥 𝑦
1 − 3𝑎
Преобразуем заданное выражение
log 𝑥 𝑦
6𝑎 − 4
log √𝑦 𝑦 = 1
=
.
21𝑎
−
8
3
log 𝑥 𝑦 − 3
𝑥
2
Ответ:
6𝑎 − 4
, если 𝑥 ≠ 1, 𝑦 ≠ 1; 2, если 𝑥 = 1, 𝑦 ≠ 1; 0, если 𝑥 = 1, 𝑦 = 1.
21𝑎 − 8
Задачи на сравнение степеней и логарифмов связаны с использованием
свойств монотонности показательной и логарифмической функций.
Сравнение степеней
1. Если 0 < 𝑎 < 𝑏, то 𝑎 𝑥 < 𝑏 𝑥 при 𝑥 > 0 и 𝑎 𝑥 > 𝑏 𝑥 при 𝑥 < 0.
2. Если 𝑥 > 𝑦, то 𝑎 𝑥 > 𝑎 𝑦 при 𝑎 > 1 и 𝑎 𝑥 < 𝑎 𝑦 при 0 < 𝑎 < 1.
3. 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦 при 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1.
Сравнение логарифмов
1. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦, если 𝑎 > 1, 𝑥 > 𝑦 > 0.
2. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦, если 0 < 𝑎 < 1, 0 < 𝑥 < 𝑦.
3. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦, если 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0.
433
Пример 7.1.10. Сравните числа 344 и 433 .
Решение. Представим эти числа в виде 344 = (34 )11 = 8111 и
= (43 )11 = 6411 . Так как 81 > 64, то 344 > 433 .
Ответ: 344 > 433 .
Пример 7.1.11. Сравните числа 𝑙𝑜𝑔8 13 + 𝑙𝑜𝑔13 8 и 2.
Решение. Обозначим 𝑙𝑜𝑔13 8 = 𝑡 > 1, тогда
1
𝑙𝑜𝑔13 8 = .
𝑡
Оценим разность
1
𝑡 2 −2𝑡+1
𝑡
𝑡
𝑡+ −2=
=
(𝑡−1)2
𝑡
так
> 0,
Следовательно, 𝑙𝑜𝑔8 13 + 𝑙𝑜𝑔13 8 > 2.
Ответ: 𝑙𝑜𝑔8 13 + 𝑙𝑜𝑔13 8 > 2.
116
как
по
условию
𝑡 > 1.
7.2. Показательные уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное только в показателе степени,
называется показательным.
Рассмотрим основные приёмы решения показательных уравнений.
Метод уравнивания оснований степеней, т. е. метод преобразования
заданного уравнения к виду 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝜑(𝑥) (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1).
По свойствам показательной функции из равенства 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝜑(𝑥)
следует равенство 𝑓(𝑥) = 𝜙(𝑥). Таким образом, решение показательных
уравнений данного вида сводится к решению алгебраических уравнений.
2
5
Пример 7.2.1. Решите уравнение 5𝒙 −9 𝒙/5 = √25. В ответе укажите
сумму корней.
5
Решение. Так как √25 = 52/5 , то на основании вышесказанного
9
2
1
𝑥 2 − 𝑥 = и 5𝑥 2 − 9𝑥 − 2 = 0, откуда 𝑥1 = − , 𝑥2 = 2 и 𝑥1 + 𝑥2 = 1,8.
5
5
5
Ответ: 1,8.
Пример 7.2.2. Решите уравнение
3(𝑥−7)
1
1 0,2
= (0,25 ∙ 81)𝑥−2 .
(4 )
2
Решение. Приведём обе части уравнения к одному основанию
3(𝑥−7)
0,2
1
9 2(𝑥−2)
=( )
.
2
Переходим к равенству показателей степеней:
3(𝑥 − 7)
1
= 2 (𝑥 − ) ⇒ 15(𝑥 − 7) = 2𝑥 − 1 ⇒ 13𝑥 = 104; 𝑥 = 8.
0,2
2
Ответ: 8.
9
( )
2
Пример 7.2.3. Решите уравнение 5𝒙−3 − 5𝒙−4 − 16 ∙ 5𝒙−5 = 2𝒙−3 .
Решение. Вынесем в левой части уравнения 5𝑥–3 :
1 16
4
5 𝑥−3 25
𝑥−3
𝑥−3
𝑥−3
𝑥−3
5
⟹5
∙
=2
⟹( )
=
⟹
(1 − − ) = 2
5 25
25
2
4
⟹ 𝑥 − 3 = 2 ⟹ 𝑥 = 5.
Ответ: 5.
𝑥
Пример 7.2.4. Решите уравнение 3𝑥 ∙ 8𝑥+1 = 36. В ответе укажите
наибольший корень уравнения.
Решение. Представим данное уравнение в виде
3𝑥
2−𝑥
2−𝑥
3𝑥 ∙ 2𝑥+1 = 22 ∙ 32 ⟺ 3𝑥−2 = 2𝑥+1 ⟺ 3𝑥−2 = 3𝑥+1 log3 2 ⟺ 𝑥 − 2 =
117
2−𝑥
log 3 2 ⟹ 𝑥1 = 2, 𝑥2 = −1 − log 3 2,
𝑥+1
и наибольший корень 𝑥1 = 2.
Ответ: 2.
=
Метод логарифмирования применяется при решении уравнений вида
𝑎
= 𝑏.
Простейшим уравнением такого вида является уравнение 𝑎 𝑥 = 𝑏,
𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1, решением которого является 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏.
Аналогично путём логарифмирования решаются следующие
показательные уравнения:
1. 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1.
2. 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝜑(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥)𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ≠ 1.
3. 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 0, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 𝑏.
𝜑(𝑥)
Пример 7.2.5. Решите уравнение 73𝑥+1 = 42–𝑥 . В ответе укажите сумму
двух последовательных целых чисел, между которыми находится корень
уравнения.
Решение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 7
(можно прологарифмировать по любому другому основанию):
3𝑥 + 1 = 𝑙𝑜𝑔7 42 – 𝑥 ⇒ 3𝑥 + 1 = (2 – 𝑥)𝑙𝑜𝑔7 4 ⇒ 𝑥(3 + 𝑙𝑜𝑔7 4) =
2 log 7 4 − 1
2𝑙𝑜𝑔7 4– 1 ⇒ 𝑥 =
.
3 + log 7 4
2 log 7 4 − 1
Так как 0 < 2 log 7 4 – 1 < 1 и 3 + log 7 4 > 1, то 0 <
<1.
3 + log 7 4
Следовательно, искомая сумма равна 1.
Ответ: 1.
Пример 7.2.6. Решите уравнение 23𝑥 ⋅ 7𝑥–2 = 4𝑥+1 .
Решение. Разделив обе части уравнения на 4𝑥+1 = 22𝑥+2 ≠ 0, получим
уравнение
23𝑥 ∙ 7𝑥−2
=1,
22𝑥+2
равносильное данному.
Последнее уравнение примет вид 2𝑥–2 ⋅ 7𝑥–2 = 1 или (2 ⋅ 7)𝑥–2 = 1,
откуда 𝑥 – 2 = 0; 𝑥 = 2.
Ответ: 2.
7.3. Логарифмические уравнения
К логарифмическим уравнениям относятся уравнения, содержащие
неизвестное под знаком логарифма или в основании логарифма.
118
При решении логарифмических уравнений используются определение
логарифма и его свойства, операции логарифмирования и потенцирования,
метод введения новой переменной, а также специальные приёмы с
использованием монотонности и ограниченности выражений, входящих в
уравнение.
1. Простейшее логарифмическое уравнение вида
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏, где 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1,
𝑏
имеет решение 𝑥 = 𝑎 .
2. Уравнение
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏, где а > 0, 𝑎 ≠ 1,
сводится к решению эквивалентного ему уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑏 .
3. Уравнение вида
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝜑(𝑥), где а > 0, 𝑎 ≠ 1,
методом потенцирования приводится к равносильной системе
𝑓(𝑥) > 0,
{
𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑥).
Этот метод лежит в основе решения многих логарифмических
уравнений, приводимых к равенству логарифмов.
4. Простейшее уравнение вида 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑎 = 𝑏, где 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ≠ 0,
приводится к равносильному уравнению
1
log 𝑎 𝑥 =
𝑏
с множеством допустимых значений 𝑥 > 0, 𝑥 ≠ 1.
5. Уравнение вида 𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥) 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥) 𝑏, 𝑏 > 0 равносильно системе
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥),
{𝑔(𝑥) > 0,
𝑔(𝑥) ≠ 1.
Уравнение вида 𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥) 𝜑(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥) 𝜓(𝑥) равносильно системе
𝜑(𝑥) = 𝜓(𝑥),
𝑓(𝑥) > 0,
𝑓(𝑥) ≠ 1,
{𝜑(𝑥) > 0.
При решении логарифмических уравнений иногда применяются
следующие преобразования:
1. log 𝑛𝑎 𝑥 𝑘 =(log 𝑎 𝑥 𝑘 )𝑛 = (𝑘 ∙ log 𝑎 𝑥)𝑛 = 𝑘 𝑛 ∙ log 𝑛𝑎 𝑥 , где 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 , 𝑥 > 0
log 𝑛𝑎 𝑥 2𝑘 = (2𝑘)𝑛 log 𝑛𝑎 |𝑥| , где 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 ≠ 0 .
1
𝑘
2. log 𝑛𝑎 √𝑥 = 𝑛 log 𝑛𝑎 𝑥 , где 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 , 𝑥 > 0 .
𝑘
𝑛
1
1
𝑛
𝑛
3. log 𝑎𝑘 𝑥 = (log 𝑎𝑘 𝑥) = ( log 𝑎 𝑥) = 𝑛 log 𝑛𝑎 𝑥,
𝑘
𝑘
где 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0, 𝑘 ≠ 0.
4. 𝑓(𝑥)log𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥)log𝑎 𝑓(𝑥) , где 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 , 𝑓(𝑥) > 0 , 𝑔(𝑥) > 0 .
119
5. log 𝜑(𝑥) 𝑓(𝑥) =
1
log 𝑓(𝑥) 𝜑(𝑥)
, где 𝜑(𝑥) > 0 , 𝑓(𝑥) > 0 , 𝜑(𝑥) ≠ 1, 𝑓(𝑥) ≠ 1.
Пример 7.3.1. Решите уравнение
log 7 (√𝑥 + 2 + 1)
=5.
5
log 7 √𝑥 − 27
Решение. Область допустимых значений переменной 𝑥 определяется
неравенствами
𝑥 − 27 ≠ 1 ,
𝑥 ≠ 28 ,
⟺ {
{ 𝑥 > 27 ,
𝑥 > 27 .
𝑥+2≥0
На ОДЗ выполним преобразования, приводящие к равносильному
уравнению:
𝟓
log 7 (√𝒙 + 2 + 1) = 5 log 7 √𝒙 − 27 ⟹ log 7 (√𝒙 + 2 + 1) = log 7 (𝒙 − 27) ⟹
⟹ √𝒙 + 2 + 1 = 𝒙 − 27; √𝒙 + 2 = 𝒙 − 28.
Последнее уравнение решаем заменой переменной: √𝑥 + 2 = 𝑡 ≥ 0 .
Тогда 𝑥 = 𝑡 2 – 2, и получим уравнение 𝑡 = 𝑡 2 – 30 или 𝑡 2 – 𝑡– 30 = 0,
откуда 𝑡 = – 5 и 𝑡 = 6. Первое из значений 𝑡 не подходит, так как 𝑡 ≥ 0,
следовательно, √𝒙 + 2 = 6 и 𝑥 = 34. Проверка подтверждает, что значение
𝑥 = 34 — корень уравнения.
Ответ: 34.
Пример 7.3.2. Найдите произведение корней уравнения
[𝑙𝑜𝑔0,5 (𝑥 + 5) + 𝑙𝑜𝑔0,5 (17– 𝑥)] (𝑥 2 + 2𝑥– 15) = 0.
Решение. Область определения уравнения:
𝑥+5>0,
⟺ −5 < 𝑥 < 17 .
{
17 − 𝑥 > 0
На области определения исходное уравнение равносильно
совокупности уравнений:
𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 0 ,
[
log 0,5 (𝑥 + 5) + log 0,5 (17 − 𝑥) = 0 .
Решая первое уравнение, получим 𝑥1 = 3 и 𝑥2 = – 5. Очевидно, что 𝑥2
не принадлежит интервалу (– 5; 17) и, следовательно, не является корнем
исходного уравнения.
Из второго уравнения следует
(𝑥 + 5)(17 − 𝑥) = 1 ⟺ 𝑥 2 − 12𝑥 − 84 = 0 ⟹ 𝑥1,2 = 6 ± 2√30 .
Оба корня принадлежат интервалу (– 5; 17). Действительно, так как
2√30 = √120 < √121 = 11, то 6 + 2√30 < 17 и 6 − 2√30 > −5.
Произведение этих корней согласно теореме Виета равно – 84, а
произведение всех корней исходного уравнения равно – 84 ⋅ 3 = – 252.
Ответ: – 252.
120
Пример 7.3.3. Найдите сумму корней (или корень, если он
единственный) уравнения 𝑙𝑜𝑔𝑥–1 0,2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔0,2 (𝑥 2 – 6𝑥 + 9) = 1.
Решение. На множестве допустимых значений переменной 𝑥,
удовлетворяющих системе неравенств
𝑥 >1,
𝑥 − 1 > 0 ,𝑥 ≠ 2 ,
⟹ {𝑥 ≠ 2 ,
{ 2
𝑥 − 6𝑥 + 9 > 0
𝑥 ≠3,
преобразуем заданное уравнение к виду
log 0,2 (𝑥 2 − 6𝑥 + 9) = log 0,2 (𝑥 − 1) ⇒ 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 𝑥 − 1 ⇒
⇒ 𝑥 2 – 7𝑥 + 10 = 0.
Корнями последнего уравнения являются числа 5 и 2. Последнее не
удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения.
Ответ: 5.
7.4. Системы показательных и логарифмических
уравнений
Для решения систем показательных и логарифмических уравнений
используются те же методы и приёмы, что и для решения систем
алгебраических уравнений.
Пример 7.4.1. Решите систему
3𝑥 ∙ 4𝑦 = 48 ,
{ 𝑥 𝑦
4 ∙ 3 = 36 .
Решение. В результате умножения и деления уравнений исходной
системы получим равносильную ей систему вида
4 𝑦−𝑥 4
3 𝑥 4 𝑦 4
= , ⟺ {𝑦 − 𝑥 = 1, ⟹ 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2.
{(4) ∙ (3) = 3 , ⟺ {(3)
3
𝑦+𝑥 =3
𝑥
𝑦
𝑥+𝑦
12 ∙ 12 = 48 ∙ 36
12
= 123
Ответ: (1; 2).
Пример 7.4.2. Решите систему уравнений
𝑥 2𝑦 = 16 + 6 ∙ 𝑥 𝑦 ,
{ 2𝑦
𝑥 + 5 = 𝑦 ∙ 𝑥 𝑦 + 5𝑦 2 .
Решение. Пусть 𝑥 𝑦 = 𝑧 > 0. Тогда система уравнений запишется в
виде
𝑧 2 − 6𝑧 − 16 = 0 ,
{ 2
𝑧 − 𝑦𝑧 = 5𝑦 2 − 5 .
Решая первое уравнение системы, получим 𝑧1 = – 2; 𝑧2 = 8. Так как 𝑧 > 0,
то 𝑧 = 8 подставим во второе уравнение системы:
23
64– 8𝑦 = 5𝑦2 – 5 ⇒ 5𝑦 2 + 8𝑦 – 69 = 0 ⇒ 𝑦1 = −
; 𝑦2 = 3 .
5
Полученные значения 𝑦 и 𝑧 подставим в равенство 𝑥 𝑦 = 𝑧:
121
1. 𝑥 23/5 = 8 ⟹ 𝑥 = 85/23 = 215/23 ,
2. 𝑥 3 = 8 ⟹
𝑥 =2.
Таким образом, получили две пары значений
23
(215/23 ; − ) ; (2; 3)
5
23
Ответ: (215/23 ; − ) ; (2; 3).
5
Пример 7.4.3. Решите систему уравнений
2𝑥 log 2 𝑥 − 2𝑦(2𝑥 + log 2 𝑥) + 4𝑦 2 = 0 ,
{
𝑥𝑦 = 4 .
Решение. Первое из уравнений системы является квадратным
уравнением относительно переменной 𝑦:
2𝑥 + log 2 𝑥
2𝑥 log 2 𝑥
2
𝑦 −
𝑦+
=0.
2
4
Замечая, что второй коэффициент этого уравнения есть сумма чисел
log2 𝑥
2
2𝑥
2
и
, взятая со знаком минус, а свободный член равен произведению тех
же чисел, делаем вывод (на основании теоремы Виета), что корни этого
2𝑥
уравнения таковы:
log2 𝑥
и
2
2
.
Таким образом, исходная система
уравнений эквивалентна совокупности двух систем:
8
,
𝑥
{
4
𝑦=
𝑥
2𝑥 =
2𝑥 = 2𝑦 ,
{
𝑥𝑦 = 4
[
⟹
log 2 𝑥 = 2𝑦 ,
{
𝑥𝑦 = 4
Уравнение
2𝑥 =
8
𝑥
имеет единственный корень 𝑥 = 2, так как
монотонно возрастает, а
уравнение log 2 𝑥 =
8
𝑥
8
log 2 𝑥 = ,
𝑥
{
4
[ 𝑦=𝑥.
8
𝑥
2𝑥
монотонно убывает. По той же причине
имеет единственный корень 𝑥 = 4. Итак, получили
два решения системы: 𝑥1 = 2, 𝑦1 = 2; 𝑥2 = 4, 𝑦2 = 1.
Ответ: (2; 2); (4; 1).
122
7.5. Показательные и логарифмические неравенства
Решение показательных неравенств основано на свойстве
монотонности функции 𝑦 = 𝑎 𝑥 :
𝑓(𝑥)
> 𝑎𝜑(𝑥) ,
{𝑎
𝑎>1
⟺
𝑓(𝑥) > 𝜑(𝑥),
{
𝑎>1
𝑓(𝑥)
> 𝑎𝜑(𝑥) ,
{𝑎
0<𝑎<1
⟺
{
𝑓(𝑥) < 𝜑(𝑥),
0 < 𝑎 < 1.
С помощью методов, аналогичных методам решения показательных
уравнений, показательное неравенство сводится к простейшему виду:
𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑏 (𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑏).
При условии, что 𝑏 > 0, это неравенство записывают следующим
образом:
𝒂𝒇 ( 𝒙) > 𝒂𝑙𝑜𝑔𝒂 𝒃
и решают, используя свойство монотонности показательной функции.
Решение логарифмических неравенств основано на том, что функция
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 при 𝑎 > 1 монотонно возрастает, а при 0 < 𝑎 < 1 монотонно
убывает.
С помощью методов, аналогичных методам решения логарифмических
уравнений, логарифмическое неравенство сводится к простейшему виду:
log 𝑓(𝑥) > 𝑏 ,
1. { 𝑎
𝑎>1
⟺
𝑏
{𝑓(𝑥) > 𝑎 ,
𝑎 >1.
log 𝑓(𝑥) > 𝑏 ,
2. { 𝑎
0<𝑎<1
⟺
𝑏
{ 0 < 𝑓(𝑥) < 𝑎 ,
0<𝑎 <1.
log 𝑓(𝑥) < 𝑏 ,
3. { 𝑎
𝑎>1
⟺
𝑏
{0 < 𝑓(𝑥) < 𝑎 ,
𝑎 >1.
log 𝑓(𝑥) < 𝑏 ,
4. { 𝑎
0<𝑎<1
⟺
{𝑓(𝑥) > 𝑎 ,
0<𝑎 <1.
𝑏
5. log 𝑎(𝑥) 𝑓(𝑥) > log 𝑎(𝑥) 𝑔(𝑥).
Последнее неравенство эквивалентно совокупности двух систем
неравенств:
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) > 0 ,
0 < 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥),
и {
{
𝑎(𝑥) > 1
0 < 𝑎(𝑥) < 1 .
Множество решений нестрогого неравенства находится
объединение множеств решений строгого неравенства и уравнения.
Пример 7.5.1. Укажите количество целых решений неравенства
4
2𝑥−1
𝑥+1
≥ 64 .
123
как
Решение. Представим неравенство в виде
4
Так как 4 > 1 , то
2𝑥−1
𝑥+1
≥ 43 .
2𝑥 − 1
𝑥+4
≥3 ⟺
≤ 0 ⟺ −4 ≤ 𝑥 ≤ −1 .
𝑥+1
𝑥+1
Следовательно, число целых решений равно 3.
Ответ: 3.
Пример 7.5.2. Найдите сумму целых решений неравенства
𝜋 3−√4𝑥−17
𝜋 3−√4𝑥−17
𝑡𝑔 ( )
≤ 𝑐𝑡𝑔 ( )
.
6
6
Решение. Данное неравенство представим в виде
𝜋 6−2√4𝑥−17
𝑡𝑔 ( )
≤1.
6
𝜋 √3
Так как 𝑡𝑔 =
< 1 , то 6 − 2√4𝑥 − 17 ≥ 0 ⇔ √4𝑥 − 17 ≤ 3 ⇔
6
3
⇔ 0 ≤ 4𝑥 − 17 ≤ 9 ⇔ 4,25 ≤ 𝑥 ≤ 6,5 .
Интервал [4,25; 6,5] включает в себя два целых числа: 5 и 6.
Ответ: 11.
Пример 7.5.3. Найдите количество целых решений неравенства
1
.
3𝑥 + 10
Решение. Переходя к основанию 2 под знаком логарифма, получим
неравенство вида
𝑥 2 − 𝑥 − 2 ≤ 3𝑥 + 10 ,
log 2 (𝑥 2 − 𝑥 − 2) ≤ log 2 (3𝑥 + 10) ⇔ { 2
⇔
𝑥 −𝑥−2>0
log 2 (𝑥 2 − 𝑥 − 2) ≤ log 1⁄2
2<𝑥 ≤6,
𝑥 2 − 4𝑥 − 12 ≤ 0 ,
⇔{ 2
⇔ {
−2 ≤ 𝑥 < −1 .
𝑥 −𝑥−2>
Целыми решениями являются числа – 2; 3; 4; 5 и 6.
Ответ: 5.
7.6. Задачи для самостоятельного решения.
7.6.1. Найдите значения выражений:
3
6
1. √49 ∙ √49 ;
2. 23√7−1 ∙ 81−√7 ;
124
3.
5.
6√ 3 ∙ 7√ 3
0,5√10−1
;
2−√10
7. √
4. 𝑥 ∙ 32𝑥+1 ∙ 9−𝑥 , если 𝑥 = 5 ;
;
42√3−1
6.
log8 5
√25 +
log8 7
√49 ;
𝑏 3√2+2
(𝑏√2 )
3
, если 𝑏 = 6 ;
log5 3
8.
√81 +
log6 3
√27 +
log7 3
√9 .
7.6.2. Прологарифмируйте:
2
3𝑎3 𝑏
√
2. 𝑥 =
;
𝑐4
3
3
1. 𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑐 ;
4
3. 𝑥 =
3
4. 𝑥 = 0,8 √0,5 ;
5. 𝑥 = 0,5 √0,4 ;
6𝑎√2(𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑐
;
5(𝑎 − 𝑏)2
6. 𝑥 = log 𝑐 √(𝑎 + 𝑏)log𝑐(𝑎+𝑏) .
7.6.3. Постройте графики функций:
1
2. 𝑦 = lg 𝑥 ;
2
1. 𝑦 = 2 ∙ 3𝑥 ;
3. 𝑦 = lg(2 − 𝑥) ;
7.6.4. При каких значениях
𝑥
расположен ниже прямой 𝑦 = 1.
точку
7.6.5.Найдите
log6 (6+𝑥)
(3,61+log3,6(10+𝑥) )
4. 𝑦 = log 2 𝑥 + log 2 |𝑥| .
график функции
пересечения
графика
𝑦 = 0,7𝑙𝑔(𝑥
2 −8𝑥+8)
функции
с осью ординат.
7.6.6. Вычислите:
1. log 6 0,9 + log 6 40 ;
2. log 5 2,5 − log 5 0,1 ;
3. log 3 0,9 + log 3 90 ;
4. log 7 49 + log 7 0,1 ;
5. 11 ∙ 3log3 7 ;
6. 125log5 2 ;
7. (4log7 3 )
log3 7
;
8.
log 5 49
;
log 5 7
10. (8log5 2 )
9. log 3 125 ∙ log 5 9 ;
log8 5
.
7.6.7. Найдите значения выражений:
1. 21+log2 5 ;
2. 5log5 10−1 ;
125
3. log 5 √10 − log 5 √2 ;
𝑦=
4.
lg 𝑏
2
+
− log 𝑎 𝑏 3 ;
lg 𝑎 log 𝑏 𝑎
5. log 𝑏 𝑏 𝑎 − 𝑏 2 log𝑏 √𝑎 ;
1
7. 3log3 2− log3 6 ;
6. log 0,75 log 27 81 ;
3
5
8. 10 log 9 √27 + log 6 log 5 √√5 ;
9. log √7 2 ∙ log 4 5 ∙ log125 49 ;
10. 3log4 5 − 5log4 3 ;
11. log 𝑎 (𝑎2 𝑏 3 ) , если log 𝑎 𝑏 = −2 ;
3
12. log 𝑎 √𝑎2 𝑏 , если log 𝑏 𝑎 =
1
;
7
5 𝑎
13. log 𝑎 √ , если log 𝑎 𝑏 = 6 .
𝑏
7.6.8. Решите показательные уравнения:
1. 2𝑥
2 −5𝑥+1
2. 5(𝑥
= 1;
2 +𝑥−2)(3−𝑥)
3. 0,125 ∙ 4
2𝑥−3
= 1;
0,25 −𝑥
=(
) ;
√2
2
2𝑥
4. 𝑥 = 8 ;
4
5.
(2,56)4√𝑥−1
6. 64 ∙
3√𝑥−8
125 √𝑥−3
=(
;
)
512
=6
𝑥−8
√𝑥−8
;
7. 11𝑥−7 = 177−𝑥 ;
8. 52𝑥−3 = 111−𝑥 ;
𝑥
9. 5 ∙ 8
𝑥
𝑥+1
= 100 ;
10. 23𝑥 ∙ 7𝑥−2 = 4𝑥+1 ;
11. 3𝑥+2 − 3𝑥 = 72 ;
12. 2𝑥+3 − 2𝑥 = 112 ;
13. 24𝑥 − 502𝑥 = 896 ;
14. 52𝑥−1 + 5𝑥+1 = 250 ;
𝑥
15. 4 ∙ 3𝑥 − 9 ∙ 2𝑥 = 5 ∙ 62 ;
16. 4𝑥 + 6𝑥 = 9𝑥 .
126
7.6.9. Решите логарифмические уравнения:
1. lg(𝑥 + 2) − lg 5 = lg(𝑥 − 6) ;
2. lg(𝑥 − 1) + lg(𝑥 + 1) = 3 lg 2 + lg(𝑥 − 2) ;
3. log 3 (𝑥 + 5) − log 3 (3𝑥 + 25) = log 3 (𝑥 − 15) − log 3 17 ;
4.
lg 𝑥 − lg 3
= 0,5 ;
lg 𝑥 − lg 2
5. 5lg 𝑥 − 3lg 𝑥−1 = 3lg 𝑥+1 − 5lg 𝑥−1 ;
6. lg 2 𝑥 − lg 𝑥 4 = lg 2 5 − 4 ;
7.
17 − lg 𝑥
= 4 lg 𝑥 ;
4 lg 𝑥
8. log 7 2 + log 49 𝑥 = log 1 √3 ;
7
9. 2 log 5 3 + 4 log 25 7 = log 5 𝑥 ;
7.6.10. Решите системы уравнений:
3𝑥 ∙ 5𝑦 = 75
;
3𝑦 ∙ 5𝑥 = 45
lg 𝑥 + lg 𝑦 = 1
3. { 2
;
4𝑥 − 9𝑦 2 = 64
1. {
2𝑥 ∙ 4𝑦 = 16
;
53𝑥 − 54𝑦+7 = 0
lg 𝑥 + lg 𝑦 = lg 2
4. { 2
.
𝑥 + 𝑦2 = 5
2. {
7.6.11. Решите неравенства:
𝑥−3
1. 33𝑥−2 <
3. log 8
1
;
2
(𝑥 2
− 4𝑥 + 3) < 1 ;
2𝑥 + 1
<1;
2 𝑥 −3
5. √log 1
2. lg √
4. 0,2
𝑥−5
>0;
7𝑥 − 𝑥 2 − 10
𝑥2 +2𝑥+3
𝑥2 −2𝑥
6. 2log3(𝑥
127
> 25 ;
2 +2𝑥−3)
<4.
Глава 8
Геометрия
8.1. Планиметрия
Треугольники
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.
Основные свойства медианы.
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
2. Медиана делит треугольник на два равновеликих (имеющих
одинаковые площади) треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины,
называется отрезок прямой, делящий угол пополам и соединяющий эту
вершину с точкой на противоположной стороне.
Основные свойства биссектрисы.
1. Биссектриса угла треугольника при пересечении со стороной
треугольника делит её на части, пропорциональные прилежащим
сторонам.
2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая лежит
внутри треугольника и является центром вписанной окружности.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из
вершины треугольника на противоположную сторону или на её
продолжение.
Основные свойства высоты.
1. Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника,
является также биссектрисой и медианой.
2. В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса,
проведенные из одной вершины, совпадают.
Три
серединных
перпендикуляра
пересекаются
в
точке,
равноудалённой от вершин треугольника (центр описанной окружности).
В прямоугольном треугольнике катеты 𝑎, 𝑏 и гипотенуза 𝑐 связаны
равенством:
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 (теорема Пифагора).
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
1. Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и
проекцией этого катета на гипотенузу.
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, является средним пропорциональным между
проекциями катетов на гипотенузу.
Если 𝑎, 𝑏, 𝑐 — стороны произвольного треугольника и 𝐴, 𝐵, 𝐶 — углы,
лежащие против этих сторон, то:
128
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
= 2𝑅 (теорема синусов);
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∙ cos 𝐴 (теорема косинусов);
Формулы для вычисления площади треугольника.
1
𝑆 = 𝑎ℎ𝑎 ; 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) (теорема Герона) ;
2
1
𝑎𝑏𝑐
𝑆 = 𝑎𝑏 ∙ sin 𝐶 ; 𝑆 =
; 𝑆 = 𝑝𝑟 ,
2
4𝑅
где ℎ𝑎 — высота, опущенная на сторону 𝑎; 𝑅 — радиус описанной
1
окружности, 𝑟 — радиус вписанной окружности, 𝑝 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) .
2
Четырёхугольники
Параллелограмм
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно
параллельны, называется параллелограммом.
Свойства параллелограмма:
1) противоположные стороны параллелограмма равны;
2) противоположные углы параллелограмма равны;
3) диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам;
4) сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов длин его сторон.
Ромб
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его
внутренних углов.
Прямоугольник
Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Площадь параллелограмма:
𝑆 = 𝑎ℎ𝑎 ; 𝑆 = 𝑎𝑏 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝛼,
где 𝑎, 𝑏 — стороны параллелограмма, ℎ𝑎 — высота параллелограмма,
опущенная на сторону 𝑎; 𝛼 — угол между смежными сторонами 𝑎 и 𝑏.
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда,
когда он является ромбом.
Параллелограмм можно вписать в окружность тогда и только тогда,
когда он является прямоугольником.
Трапеция
Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две — нет,
называется трапецией.
Формула для вычисления площади трапеции:
1
𝑆 = (𝑎 + 𝑏)ℎ ,
2
где 𝑆 — площадь, 𝑎 и 𝑏 — основания трапеции, ℎ — высота.
129
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда
сумма боковых сторон равна сумме оснований.
Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она
равнобочная.
Следующие утверждения характеризуют свойства произвольных
вписанных и описанных четырёхугольников:
1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы
противоположных углов равны между собой; если у четырёхугольника
суммы противоположных углов равны, то около него можно описать
окружность.
2. В описанном четырёхугольнике суммы противолежащих сторон
равны; если у выпуклого четырёхугольника суммы противолежащих сторон
равны, то в него можно вписать окружность.
3. Во всяком четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма
произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его
диагоналей.
Окружность и круг
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен к ней.
Равные хорды окружности равноудалены от её центра; равноудалённые
от центра окружности хорды равны.
Если через точку 𝐴, лежащую внутри окружности радиуса 𝑅,
проведены две хорды 𝑀𝑁 и 𝐾𝐿, то 𝑀𝐴 ⋅ 𝐴𝑁 = 𝐾𝐴 ⋅ 𝐴𝐿 = 𝑅 2 – 𝐴𝑂2 (см. левую
часть рис. 8.1.1).
Если из точки 𝐴, лежащей вне окружности, проведены касательная 𝐴𝐵
и секущая 𝐴𝐷, то 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷 ⋅ 𝐴𝐶 = 𝐴𝑂2 – 𝑅2 , (см. правую часть рис. 8.1.1).
K
B
A
N
O
M
O
L
A
C
D
Рис. 8.1.1.
Длины касательных, проведённых из одной точки к заданной
окружности, равны между собой.
130
Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки
окружности, называется вписанным. Вписанный угол измеряется половиной
дуги, на которую он опирается.
Длина окружности вычисляется по формуле: 𝐿 = 2𝜋𝑅 ,
площадь круга: 𝑆 = 𝜋𝑅2 ,
длина дуги окружности: 𝑙 = 𝑅𝛼,
1
площадь сектора круга: 𝑆сектор = 𝑅2 𝛼 ,
2
где 𝑅 — радиус окружности, 𝛼 — центральный угол, выраженный в
радианах.
Пример 8.1.1. Две хорды окружности 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 (cм. рис. 8.1.2.)
пересекаются в точке М, АМ = МВ, 𝐶𝑀 = 16. Найдите длину отрезка AB,
если
𝐷𝑀
𝑀𝐶
1
=4.
Решение.
C
M
B
A
D
Рис.8.1.2.
𝐷𝑀
1
Из соотношения
= следует, что 𝑀𝐶 = 4𝐷𝑀. Подставляя в это
𝑀𝐶
4
равенство значение MC = 16, получаем, что DM = 4. Так как
𝐶𝑀 ⋅ 𝑀𝐷 = 𝐴𝑀 ⋅ 𝑀𝐵 (свойство пересекающихся в окружности хорд), то,
подставляя в это равенство CM и MD и учитывая, что AM = MB, получим
64 = 𝐴𝑀2 ; 𝐴𝑀 = 8. Тогда AB = 16.
Ответ: 16.
Пример 8.1.2. Найдите площадь правильного многоугольника, если его
внешний угол равен 30°, а диаметр описанной около него окружности равен
0,8.
Решение. Пусть AB и BC — смежные стороны вписанного n-угольника.
Так как внешний угол многоугольника равен 30°, то внутренний угол ABC,
как смежный ему, равен 150° (см. рис. 8.1.3).
131
30°
B
C
150°
A
O
Рис. 8.1.3.
Тогда сумма всех внутренних углов рассматриваемого n-угольника
равна 150° ∙ 𝑛 . С другой стороны, по известной формуле эта сумма должна
быть равной 180° ∙ 𝑛 − 360° . Из равенства 180° ∙ 𝑛 − 360° = 150° ∙ 𝑛
находим 𝑛 = 12.
Очевидно, что угол BOC, опирающийся на сторону вписанного 12угольника, равен 30°, а площадь ∆𝐵𝑂𝐶 находим по формуле
1
1
𝑆∆𝐵𝑂𝐶 = 𝑟 2 sin 30° = ∙ 0,42 . Искомая площадь 12-угольника равна
1
2
4
2
12 ∙ ∙ 0,4 = 0,48 .
4
Ответ: 0,48.
Пример 8.1.3. Дан ромб ABCD с острым углом С. Его сторона равна
6√11 , а косинус угла С равен
5
6
. Высота ВТ пересекает диагональ АС в
точке К. Найдите длину отрезка КТ.
C
T
α
K
D
B
A
Рис. 8.1.4.
132
Решение. Из прямоугольного треугольника ВСТ (см. рис. 8.1.4.)
находим СТ.
𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 ∙ cos 𝛼 =
6√11∙5
6
= 5√11. Так как диагонали ромба делят углы
пополам, то угол 𝐾𝐶𝑇 равен
𝛼
2
. Из треугольника 𝐾𝐶𝑇 можно найти 𝐾𝑇:
5
1−
𝛼
1 − cos 𝛼
1
6
𝐾𝑇 = 𝐶𝑇 ∙ = 𝐶𝑇 ∙ √
= 5√11 ∙ √
= 5√11 ∙ √ = 5 .
5
2
1 + cos 𝛼
11
1+
6
Ответ: 5.
8.2. Стереометрия
Основные геометрические объекты пространства — точка, прямая,
плоскость.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой.
Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно
провести плоскость, и притом только одну.
Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость,
притом только одну.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести
плоскость, и притом только одну.
Две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости —
параллельны; две непересекающиеся прямые, не лежащие в одной плоскости,
— скрещивающиеся. Расстоянием между скрещивающимися прямыми
называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между
параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые, т.е. это
расстояние равно расстоянию от произвольной точки одной из
скрещивающихся прямых до плоскости, содержащей вторую прямую и
расположенной параллельно первой прямой.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют
общих точек.
Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (признак
параллельности прямой и плоскости).
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум
пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости (признак
параллельности двух плоскостей).
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость,
параллельную данной, и притом только одну.
133
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые
пересечения параллельны.
Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя
параллельными плоскостями, равны.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой
плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости,
проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым
в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она
перпендикулярна плоскости (признак перпендикулярности прямой и
плоскости).
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых,
то она перпендикулярна и другой.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,
параллельны.
Прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной
перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И
обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она
перпендикулярна и проекции наклонной (теорема о трёх перпендикулярах).
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если
какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих
плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой
плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (признак перпендикулярности
плоскостей).
Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей,
перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой
плоскости.
Призма — многогранник, две параллельные грани которого
(основания) — n-угольники, а остальные n граней — параллелограммы.
Очевидно, что все боковые рёбра призмы равны, и в основаниях — равные
n-угольники с соответственно параллельными сторонами.
Имеют место формулы:
𝑆бок. = 𝑃𝑙 ; 𝑉 = 𝑆осн. ∙ 𝐻 ,
где 𝑆бок. – площадь боковой поверхности, 𝑃 – периметр перпендикулярного
сечения, 𝑙 – длина бокового ребра, 𝑉 – объем, 𝑆осн. – площадь основания, 𝐻 –
высота призмы.
Параллелепипед — призма, у которой основаниями служат
параллелограммы.
Прямой параллелепипед — параллелепипед, у которого боковые рёбра
перпендикулярны плоскости основания.
Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед,
основаниями которого являются прямоугольники.
134
Куб — прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
Пирамида — многогранник, в основании которого n-угольник, а
остальные n граней — треугольники с общей вершиной.
Объём пирамиды V вычисляется по формуле:
1
𝑉 = 𝑆𝐻 ,
3
где 𝑆 – площадь основания пирамиды, 𝐻 – высота пирамиды.
Правильная пирамида — пирамида, основанием которой является
правильный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр
основания.
Усечённая пирамида — это часть пирамиды, заключённая между
основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
1
𝑉 = 𝐻(𝑆1 + 𝑆2 + √𝑆1 ∙ 𝑆2 ),
3
где 𝐻 – высота усеченной пирамиды, 𝑆1 и 𝑆2 – площади ее оснований.
Прямой круговой цилиндр — это тело, полученное при вращении
прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Имеют место формулы:
𝑉 = 𝜋𝑅2 𝐻; 𝑆бок. = 2𝜋𝑅𝐻; 𝑆 = 2𝜋𝑅𝐻 + 2𝜋𝑅2 ,
где 𝑉 — объём, 𝑆бок. — площадь боковой поверхности, 𝑆 — площадь полной
поверхности цилиндра, 𝑅 — радиус основания, 𝐻 — высота цилиндра.
Прямой круговой конус — это тело, полученное при вращении
прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
Имеют место формулы:
1
𝑉 = 𝜋𝑅2 𝐻; 𝑆бок. = 𝜋𝑅𝐿,
3
где 𝑉 — объём конуса, 𝑆бок. — площадь боковой поверхности, 𝑅 — радиус
основания, 𝐻 — высота, 𝐿 — образующая конуса.
Усечённый конус — это часть конуса, ограниченная его основанием и
сечением, параллельным плоскости основания.
Имеют место формулы:
1
𝑉 = 𝜋ℎ(𝑅12 + 𝑅1 ∙ 𝑅2 + 𝑅22 ) ; 𝑆бок. = 𝜋(𝑅1 + 𝑅2 )𝑙,
3
где 𝑉 — объём усечённого конуса, 𝑆бок. — площадь его боковой поверхности,
ℎ — высота усечённого конуса, 𝑅1 и 𝑅2 — радиусы верхнего и нижнего
оснований, 𝑙 — его образующая.
Шар — это тело, полученное вращением полукруга вокруг диаметра.
Поверхность шара называется сферой.
Объём шара радиуса 𝑅 вычисляется по формуле:
4
𝑉 = 𝜋𝑅3 .
3
Площадь сферы радиуса 𝑅 вычисляется по формуле:
𝑆 = 4𝜋𝑅2 .
135
Шаровой сегмент — это часть шара, ограниченная секущей
плоскостью.
Имеют место формулы:
1
𝑉 = 𝜋ℎ2 (𝑅 − ℎ) ; 𝑆 = 2𝜋𝑅ℎ,
3
где 𝑉 — объём шарового сегмента, 𝑆 — площадь его поверхности,
𝑅 — радиус шара, ℎ — высота сегмента.
При решении задач на комбинацию тел вращения и многогранников
необходимо помнить:
1. Если шар описан около многогранника, то все его вершины лежат на
поверхности шара.
2. Если многогранник вписан в шар, то вокруг каждой из его граней
можно описать окружность.
3. Если шар вписан в многогранник (все грани касаются шара), то его
центр равноудалён от всех граней. Этот центр лежит на пересечении
плоскостей, делящих двугранные углы многогранника пополам.
Пример 8.2.1. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро
равно 3√2 , а угол между ним и плоскостью основания равен 45°. Найдите
объём пирамиды.
Решение. Основание пирамиды — квадрат, и вершина пирамиды 𝑆
проектируется в центр квадрата точку О (см. рис. 8.2.1).
S
B
C
O
A
D
Рис. 8.2.1.
По условию задачи ∠ 𝑆𝐴𝑂 = 45° и 𝛥 𝑆𝐴𝑂 — равнобедренный и
прямоугольный. Следовательно, 𝑆𝑂 = 𝐴𝑂 = ℎ — высота пирамиды.
Из 𝛥 𝑆𝐴𝑂: 𝐴𝑂2 + 𝑂𝑆 2 = 𝐴𝑆 2 ⇒ 2ℎ2 = 18 ⇒ ℎ = 3.
Из 𝛥 𝐴𝐶𝐷: 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐶 2 = 𝐴𝐶 2 ⇒ 2𝐴𝐷2 = 36 ⇒ 𝐴𝐷2 = 18.
1
1
Тогда объём пирамиды 𝑉 = ℎ𝑆осн. = ℎ ∙ 𝐴𝐷2 = 18.
3
3
Ответ: 18.
136
Пример 8.2.2. В основании пирамиды лежит прямоугольный
треугольник с катетами 6 см и 8 см. Объём пирамиды равен 40 см3 . Все
боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.
Найдите этот угол.
Решение. Так как боковые рёбра наклонены к плоскости основания под
одинаковым углом, то эти рёбра равны, а вершина 𝑆 пирамиды
проектируется в точку 𝐾 — середину гипотенузы 𝐴𝐵 (cм. рис. 8.2.2.). По
условию 𝐴𝐵 = √𝐴𝐶 2 + 𝐶𝐵2 = √100 = 10 см и 𝐴𝐾 = 5 см.
S
K
Рис. 8.2.2.
Так как объём пирамиды 𝑉 =
1
3
ℎ𝑆осн. , где ℎ — высота пирамиды и ℎ = 𝑆𝐾,
1
3𝑉
2
𝑆осн.
𝑆𝑜𝑐н. — площадь основания и 𝑆осн. = 𝐴𝐶 ∙ 𝐶𝐵 = 24см2 , то ℎ =
=
120
24
=
= 5 см. Следовательно, 𝛥 𝐴𝑆𝐾 — равнобедренный и прямоугольный, а это
значит, что 𝐴𝐾 = 𝐾𝑆 = 5 см и ∠𝑆𝐴𝐵 = 45°.
Ответ: 45°.
Пример 8.2.3. Боковое ребро правильной четырёхугольной призмы
равно стороне основания. Расстояние между серединами двух
непараллельных рёбер, принадлежащих разным основаниям, равно 3√6 .
Найдите объём призмы.
Решение. На рис. 8.2.3 изображена правильная четырёхугольная
призма, т. е. в основании её лежит квадрат.
Так как боковое ребро равно стороне основания, то заданная призма
есть куб, ребро которого обозначим 𝑎. Отрезок 𝐸𝐾 соединяет середины рёбер
𝐷𝐶 и 𝐴1 𝐷1 . Через точку 𝐸 в плоскости 𝐴𝐴1 𝐷𝐷1 проводим прямую 𝐸𝐹 || 𝐴𝐴1 .
Следовательно, 𝐸𝐹 перпендикулярна плоскости основания, и потому
𝑎
𝐸𝐹 ⊥ 𝐹𝐾. Из треугольника 𝐹𝐷𝐾 находим 𝐹𝐾 = √2.
2
137
D1
C1
E
B1
F D
K
C
A
Рис. 8.2.3.
Из треугольника 𝐸𝐹𝐾 следует 𝐸𝐾 2 = 𝐸𝐹 2 + 𝐹𝐾 2 ⇒
2
𝑎 √2
2
2
𝑎 + ( ) = (3√6) ⟹ 𝑎 = 6 .
2
Тогда объём куба равен 63 = 216.
Ответ: 216.
8.3. Задачи для самостоятельного решения.
8.3.1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 24. Найдите длину
окружности, описанной около этого треугольника.
8.3.2. В треугольнике
𝐴𝐵𝐶
угол 𝐶 равен
90°, 𝐴𝐶 = 10, sin 𝐴 =
2√6
5
.
Найдите 𝐴𝐶.
8.3.3. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐶𝐵 = 12, tg 𝐴 =
3
4
. Найдите
𝐴𝐶.
8.3.4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐶 = 12, 𝐵𝐶 = 16. Найдите
cos 𝐴.
8.3.5. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание
равно 12. Найдите радиус вписанной окружности.
8.3.6. Основания трапеции равны 10 и 16, а высота равна 8. Найдите площадь
трапеции.
8.3.7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 21, а
отношение соседних сторон равно 2 : 5.
138
8.3.8. В четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписана окружность, 𝐴𝐵 = 30, 𝐵𝐶 = 14,
𝐶𝐷 = 12. Найдите 𝐴𝐷.
8.3.9. Стороны параллелограмма равны 4 и 6. Косинус одного из углов равен
1
3
. Найдите диагональ параллелограмма, противолежащую этому углу.
8.3.10. Один из внутренних углов выпуклого четырехугольника равен 100°, а
остальные относятся между собой как 3 : 4 : 6. Найдите больший угол.
8.3.11. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если
его ребра равны 2, 3 и 5.
8.3.12. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой
лежит ромб с диагоналями 6 и 8, а боковое ребро равно 5.
8.3.13. Длина окружности основания конуса равна 13, образующая равна 6.
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
8.3.14. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 5.
Найдите его объем.
8.3.15. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 27.
Найдите площадь поверхности шара.
8.3.16. Объем параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 равен 36. Найдите объем
треугольной пирамиды 𝐴1 𝐶1 𝐷1 𝐷 .
8.3.17. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем
цилиндра, если объем конуса равен 12.
8.3.18. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара.
Объем конуса равен 10. Найдите объем шара.
8.3.19. Конус получается при вращении равнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶
вокруг катета, равного 4. Найдите объем конуса.
8.3.20. Высота конуса равна 12, а длина образующей равна 15. Найдите
полную поверхность конуса.
8.3.21. Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
139