Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Преобразование рациональных выражений
1. Рациональное выражение и методика его упрощения
Вспомним сначала определение рационального выражения.
Определение. Рациональное выражение - алгебраическое выражение, не содержащее корней
и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в
степень).
Под понятием «преобразовать рациональное выражение» мы имеем в виду, прежде всего, его
упрощение. А это осуществляется в известном нам порядке действий: сначала действия в
скобках, затем произведение чисел(возведение в степень), деление чисел, а затем действия
сложения/вычитания.
2. Упрощение рациональных выражений с суммой/разностью дробей
Основной целью сегодняшнего урока будет приобретение опыта при решении более сложных
задач на упрощение рациональных выражений.
Пример 1. Упростить рациональное выражение
.
Решение. Сначала может показаться, что указанные дроби можно сократить, т.к. выражения в
числителях дробей очень похожи на формулы полных квадратов соответствующих им
знаменателей. В данном случае важно не спешить, а отдельно проверить так ли это.
Проверим числитель первой
дроби:
. Теперь числитель
второй:
.
Как видно, наши ожидания не оправдались, и выражения в числителях не являются полными
квадратами, т.к. у них отсутствует удвоение произведения. Такие выражения, если вспомнить
курс 7 класса, называют неполными квадратами. Следует быть очень внимательными в таких
случаях, т.к. перепутывание формулы полного квадрата с неполным очень частая ошибка, а
подобные примеры проверяют внимательность учащегося.
Поскольку сокращение невозможно, то выполним сложение дробей. У знаменателей нет общих
множителей, поэтому они просто перемножаются для получения наименьшего общего
знаменателя, а дополнительным множителем для каждой из дробей является знаменатель другой
дроби.
Конечно же, далее можно раскрыть скобки и привести затем подобные слагаемые, однако, в
данном случае можно обойтись меньшими затратами сил и заметить в числителе первое
слагаемое является формулой суммы кубов, а второе разности кубов. Для удобства вспомним эти
формулы в общем виде:
и
.
В нашем же случае выражения в числителе сворачиваются следующим образом:
, второе выражение
аналогично. Имеем:
.
Ответ.
.
Пример 2. Упростить рациональное выражение
.
Решение. Данный пример похож на предыдущий, но здесь сразу видно, что в числителях дробей
находятся неполные квадраты, поэтому сокращение на начальном этапе решения невозможно.
Аналогично предыдущему примеру складываем дроби:
, здесь мы
аналогично способу, указанному выше, заметили и свернули выражения по формулам суммы и
разности кубов.
Ответ.
.
Пример 3. Упростить рациональное выражение
.
Решение. Можно заметить, что знаменатель второй дроби раскладывается на множители по
формуле суммы кубов. Как мы уже знаем, разложение знаменателей на множители является
полезным для дальнейшего поиска наименьшего общего знаменателя дробей.
.
Укажем наименьший общий знаменатель дробей, он равен:
, – т.к. делится на
знаменатель третьей дроби, а первое выражение вообще является целым и для него подойдет
любой знаменатель. Указав очевидные дополнительные множители, запишем:
.
Ответ.
3. Упрощение рациональных выражений со сложными «многоэтажными» дробями
Рассмотрим более сложный пример с «многоэтажными» дробями.
Пример 4. Доказать тождество
при всех допустимых значениях переменной.
Доказательство. Для доказательства указанного тождества постараемся упростить его левую
часть (сложную) до того простого вида, который от нас требуется. Для этого выполним все
действия с дробями в числителе и знаменателе, а затем разделим дроби и упростим результат.
. Доказано при всех допустимых
значениях переменной.
Доказано.
На следующем уроке мы подробно рассмотрим более сложные примеры на преобразование
рациональных выражений.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Преобразование более сложных рациональных выражений
1. Пример на доказательство тождества с помощью преобразований рациональных выражений
На этом уроке мы рассмотрим преобразование более сложных рациональных выражений. Первый
пример будет посвящён доказательству тождества.
Пример 1
Доказать тождество:
.
Доказательство:
В первую очередь при преобразовании рациональных выражений необходимо определиться с
порядком действий. Напомним, что в первую очередь выполняются действия в скобках, затем
умножение и деление, а затем уже сложение и вычитание. Поэтому в данном примере порядок
действий будет таким: сначала выполним действие в первых скобках, затем во вторых скобках,
затем поделим полученные результаты, а затем к полученному выражению добавим дробь. В
результате этих действий, а также упрощения, должно получиться выражение
.
Действие №1:
Действие
№2:
Действие
№3:
Действие
№4:
Доказано
2. Пример на преобразование сложного рационального выражения
Рассмотрим теперь пример на упрощение рационального выражения.
Пример 2
Упростить выражение:
.
Решение:
И снова нам необходимо определить порядок действий данного примера. Сначала необходимо
выполнить действие в скобках. Затем полученное выражение поделить на дробь, которая стоит
за скобками.
Действие
№1:
Действие
№2:
Ответ:
.
Итак, мы рассмотрели более сложные случаи преобразования рациональных выражений. Все
рассмотренные примеры и методы в дальнейшем нам очень пригодятся.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Первые представления о решении рациональных уравнений
1. Понятие рационального уравнения и повторение преобразования рациональных выражений
Определение. Рациональное уравнение – это уравнение вида
сводящиеся, где
и
– многочлены.
и все уравнения к нему
Заметим, что решение множества рациональных уравнений основано на технике преобразования
рациональных выражений, которую мы подробно рассматривали на предыдущих уроках. Начнем
с повторения технологии подобных преобразований и решим несколько примеров.
Пример 1. Выполните подстановку и упростите выражение
Решение. Вынесем
, где
.
за скобку:
.
Применим стандартный подход к упрощению подобных сложных выражений и выполним
преобразования по действиям: сначала упростим выражение в скобках, а затем умножим на
Подставим значение переменной
.
в выражение в скобках:
, после сокращений и сложения дробей получили упрощенный результат.
Теперь перейдем ко второму действию и умножим полученное выражение на значение
:
.
Ответ.
.
2. Доказательство рациональных тождеств и их связь с рациональными уравнениями
Пример 2. Доказать тождество
.
Доказательство. Можно задачу сформулировать и по-другому: «Решить уравнение» – т.е. найти
все значения , при которых выполняется указанное равенство. Начнем, все же, с
доказательства тождества.
Заметим, что в знаменателе второй дроби находится сумма кубов:
.
Легко увидеть, что полученные множители являются знаменателями двух других дробей,
находящихся в первых скобках, следовательно, знаменатель второй дроби является наименьшим
общим знаменателем для всех трех дробей в скобке. Аналогично предыдущему примеру
преобразуем данное выражение по действиям и начнем с первой скобки. Складывая и вычитая
дроби, укажем дополнительные множители:
.
Вторым действием упростим выражение во второй скобке:
.
Теперь перемножим полученные выражения:
, после первого сокращения в знаменателе умножим две
одинаковые скобки, а выражение в числителе свернем по формуле полного квадрата суммы.
Доказано.
Теперь вернемся к самому тождеству и попробуем рассмотреть его, как уравнение. Напомним,
что решить уравнение – это найти все значения
, которые удовлетворяют уравнению.
Решение. Мы уже доказали, что левая часть тождества тождественно равна правой при всех
допустимых значениях переменной. Вот именно «допустимые значения переменной» в данном
случае и являются важной фразой, ведь выражения с дробями, которые содержат переменную в
знаменателе, могут иметь смысл не при всех значениях этой переменной.
Левая часть рассматриваемого выражения имеет смысл, когда знаменатели входящих в нее
дробей не равны нулю:
1) Первый и четвертый знаменатели:
.
2) Поскольку второй знаменатель раскладывается на первый и третий, то сначала рассмотрим
третий знаменатель:
при любых значениях переменной
этого выдели полный квадрат в исследуемом выражении:
. Докажем это. Для
.
Попробуем объяснить, зачем мы проделали подобные действия. Поскольку в исходном
выражении старшая степень
и линейный член
его к квадрату разности по формуле:
коэффициентом выделим квадрат
произведение
вычитаются, то мы будем приводить
. Для этого из старшей степени с
, а из линейного члена выделим удвоенное
, тогда в роли квадрата второго коэффициента будет
выступать
. Но, поскольку мы прибавили член
, которого в исходном выражении
не было, то нам его придется и вычесть, а затем прибавить оставшуюся единицу, которую мы не
преобразовывали. В итоге получаем:
при любых значениях
переменной
. Мы воспользовались неотрицательностью квадратичного выражения.
Имеем, что знаменатель третьей дроби не равен нулю ни при каких значениях переменной
.
3) Знаменатель второй дроби раскладывается на множители, которые представляют собой
знаменатели первой и третьей дробей, а поскольку из них только значение первого может
равняться нулю, а второго нет,
то:
ограничение на допустимые значения переменной.
, т.е. уже найденное ранее
Таким образом, мы указали, что вся левая часть выражения имеет смысл при всех допустимых
значениях переменной, т.е. при
Ответ.
, что и является решением уравнения.
.
Пример 3. Докажите тождество
.
Доказательство. Проделаем преобразования по действиям. Упростим выражение в первой скобке.
Для этого укажем наименьший общий знаменатель трех дробей, он равен
, т.к.
именно это выражение делится на все знаменатели одновременно. По известному нам алгоритму
укажем и дополнительные множители:
.
В числителе полученной дроби нам придет воспользоваться формулами куба суммы и куба
разности, которые мы сейчас вспомним в общем виде:
– куб суммы;
– куб разности.
Применим эти формулы для упрощения числителя и откроем в нем все скобки, а затем приведем
подобные слагаемые:
, подставим это выражение в упрощаемую дробь и перепишем знаменатель в виде квадрата
разности квадратов:
.
Перейдем ко второму действию, в котором умножим упрощенную нами первую скобку на
указанную дробь, но перевернутую, т.к. на нее изначально требуется разделить. При этом, во
второй дроби разность четвертых степеней разложим, как разность квадратов квадратичных
элементов:
.
В третьем действии вычтем из полученного выражения последнюю дробь, т.к. мы можем
поменять перед ней знак на противоположный, чтобы в знаменателе получить разность,
аналогичную знаменателю полученной выше дроби.
.
Доказано.
Мы повторили методы упрощения довольно сложных рациональных выражений. Теперь можем
перейти к решению непосредственно рациональных уравнений, преобразования в которых, как
правило, легче.
3. Решение простейших рациональных уравнений
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение. Начнем, как обычно, с упрощения рационального выражения, указанного в левой части
уравнения. Для этого найдем наименьший общий знаменатель дробей, дополнительные
множители и вычтем их:
.
На данном этапе решения акцентируем внимание на важном правиле решения рациональных
уравнений:дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
В нашем случае в знаменателе уже имеется число не равное нулю, поэтому имеем линейное
уравнение из числителя:
.
Ответ.
.
Пример 5. Решить уравнение
.
Решение. Для того, чтобы воспользоваться правилом решения рациональных уравнений,
перенесем все в левую сторону, чтобы справа получился ноль:
.
Для упрощения выражения, находящегося слева, сложим/вычтем дроби по хорошо известному
нам алгоритму. Наименьший общий знаменатель дробей:
.
.
В конце мы воспользовались уже сформулированным правилом решения рациональных
уравнений (дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).
Полученные ограничения на область допустимых значений переменной не повлияли на
полученный корень уравнения.
Ответ.
.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основы техники решения рациональных уравнений и
убедились, что, прежде всего, она базируется на умении преобразовывать рациональные
выражения.
На следующем уроке мы продолжим работать с рациональными уравнениями.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Решение рациональных уравнений
1. Пример решения рационального уравнения, являющегося математической моделью текстовой
задачи
Как вы уже успели заметить на предыдущем уроке, основа решения рациональных уравнений –
техника преобразования рациональных выражений. Рассмотрим пример решения рационального
уравнения.
Пример 1
Решить уравнение:
.
Решение:
В первую очередь обратим внимание на то, что в числителях обеих дробей, а также в правой
части уравнения стоят чётные числа. То есть, можно упростить уравнение, поделив обе его части
на . Этот шаг не является обязательным, но, чем проще уравнение, тем легче его решать, а чем
меньше числа, фигурирующие в уравнении, тем легче арифметические вычисления при его
решении.
В результате сокращения получаем:
Теперь перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить справа
приведём полученные в левой части дроби к общему знаменателю:
Напомним, что дробь равна
не равен
тогда и только тогда, когда её числитель равен
. Поэтому наше уравнение превращается в следующую систему:
, а затем
, а знаменатель
Теперь вспомним ещё один важный факт: произведение равно
тогда и только тогда, когда хотя
бы один из его множителей равен , а остальные множители при этом существуют. И наша
система превращается в следующую:
.
Оба полученных корня являются решениями данного уравнения, так как при них знаменатель
определён.
Ответ:
.
2. Пример текстовой задачи и решения её с помощью математического моделирования
Рассмотренное нами уравнение является моделью для такой задачи:
Задача 1
Лодка прошла
по течению реки и
против течения реки, затратив на весь путь
Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна
.
.
Решение:
Решение данной задачи осуществим с помощью метода математического моделирования и
выделим 3 этапа данного метода.
Этап 1. Составление математической модели
Обозначим через
– собственную скорость лодки (это стандартный приём при решении
текстовых задач – обозначить с помощью неизвестной ту величину, которая спрашивается в
условии задачи). Тогда:
– скорость движения лодки по течению реки;
– скорость движения лодки против течения реки.
В этом случае, воспользовавшись формулой:
течению реки выражается как:
, получаем, что время движения лодки по
, а время движения лодки против течения реки:
общее время движения лодки равно
. Тогда
, откуда получаем уравнение:
– это и есть математическая модель данной задачи.
Этап 2. Работа с математической моделью
В данном случае работа с математической моделью сводится к решению данного рационального
уравнения, что мы уже сделали в примере 1. При этом получили корни уравнения:
.
Этап 3. Ответ на вопрос задачи
Дело в том, что математическая модель потому и является математической, что абстрагирована
от реальной жизни. Если брать конкретно данную задачу, то математическая модель – это
уравнение, которое может иметь любые корни. Однако неизвестная величина обозначает
скорость лодки, поэтому не может быть, к примеру, отрицательной. Или: не может быть меньше
скорости течения реки, иначе бы лодка не смогла бы плыть против течения. И такие ограничения
могут быть в самых разных задачах. Поэтому, прежде чем записать ответ, необходимо оценить –
является ли он правдоподобным.
В данном случае очевидно, что
не подходит, так как лодка не смогла бы с такой скоростью
плыть против течения. Поэтому в ответ пойдёт только одна величина:
.
Ответ:
3. Различные примеры решения рациональных уравнений
Рассмотрим несколько примеров на решение непосредственно рациональных уравнений.
Пример 2
Решить уравнение:
.
Решение:
Перенесём все слагаемые в левую часть, а затем приведём дроби к общему знаменателю.
Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна
равен , а знаменатель не равен
системе:
тогда и только тогда, когда её числитель
. Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно
Ответ: .
Пример 3
Решить уравнение:
.
Решение:
В данном уравнении в правой части уже стоит , поэтому ничего переносить левую часть не
нужно. Сразу приведём дроби в левой части к общему знаменателю:
.
Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна
равен , а знаменатель не равен
системе:
тогда и только тогда, когда её числитель
. Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно
. Подставив данное значение в знаменатель, убеждаемся,
что он не равен
. Значит, это значение переменной является ответом.
Ответ: .
Пример 4
Решить уравнение:
.
Решение:
Схема решения данного уравнения абсолютно такая же, как и у предыдущих:
Ответ: .
4. Решение задачи, сводящейся к рациональному уравнению
К решению рациональных уравнений часто сводятся различные задачи. Рассмотрим один из
таких примеров.
Задача 2
Существует ли такое значение
, при котором разность дробей
и
равна
?
Решение:
Запишем уравнение, соответствующее условию данной задачи:
.
Решим данное рациональное уравнение точно так же, как и в предыдущих примерах.
Приведём подобные слагаемые в числителе (они отмечены одинаковым цветом):
То есть, такое значение
существует.
Ответ: существует:
.
Тема: Рациональные неравенства и их системы
Урок: Решение рациональных неравенств методом интервалов
1. Тема урока. Введение
Напоминание: Мы решаем неравенство вида
На прошлом уроке мы рассмотрели
функцию
На примере подобной функции мы рассмотрели метод интервалов для
решения рациональных неравенств и схематического построения графика функции.
2. Решение дробно-квадратичного неравенства
Вместо
могут быть другие функции, например, дробно-линейные или дробно-квадратичные.
Решение неравенств такого рода является нашей целью.
1. Решить неравенство
Это же неравенство может быть представлено в виде
разложить на множители числитель и знаменатель дроби.
тогда нужно вначале
1. Рассмотрим функцию
2. Область определения:
3. Найдем нули функции
4. Выделим интервалы знакопостоянства.
5. Находим знак функции на каждом интервале.
Можно проверить знаки по методу пробной точки. Например, на промежутке
На остальных промежутках аналогично.(Рис.1)
Теперь возвращаемся к неравенству
Ответ:
Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.
Найти наименьшее решение неравенства.
Ответ:
Найти число натуральных решений неравенства
Ответ: 2.
Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства.
Ответ:2.
3. Решение дробно-линейных неравенств
Мы рассмотрели метод интервалов на примере дробно-квадратичного рационального
неравенства. Рекомендуется самостоятельно построить эскиз графика функции для данного
примера.
2. Решить неравенство:
Эквивалентными преобразованиями приведем неравенство к нужному виду.
Множество решений этого неравенства совпадает со множеством решений исходного неравенства
Неравенство такого вида мы уже умеем решать методом интервалов.
1.
2. Область допустимых значений
3. Нули функции
4. Определяем интервалы знакопостоянства.
4 – выколотая точка, т.к. при
пунктирной линией.
функция не существует, изобразим это на графике
5. Расставим знаки на промежутках. Самостоятельно можно проверить знаки методом пробной
точки (Рис.2).
Теперь можно вернуться к неравенству и выбрать интервалы, удовлетворяющие заданным
условиям.
Ответ:
Мы привели исходное неравенство к дробно-линейному виду. Самостоятельно можно построить
эскиз графика функции.
3. Решить неравенство
При решении данного неравенства может быть допущена грубая ошибка. Решать его методом
умножения обеих частей на
категорически нельзя, будет потеряно множество решений!
Можно умножить обе части неравенства на положительное число, тогда знак неравенства
останется прежним. Можно умножить на отрицательное число, тогда знак неравенства
поменяется. Но умножать на
мы не можем, т.к. не знаем его знака.
Поэтому решаем неравенство методом эквивалентных преобразований.
1. Рассмотрим функцию
2. Область определения
3. Нули функции
4. Определим интервалы знакопостоянства.
Точка 0 выколотая, в ней функция не существует, отметим это на графике пунктирной линией.
5. Расставим знаки на интервалах (Рис. 3).
Возвращаемся к неравенству.
Ответ:
4. Вывод
Мы рассмотрели решение неравенств методом интервалов. В качестве функции выступала дробь,
в числителе и знаменателе либо линейная, либо квадратичная функция.
Мы и дальше будем использовать метод интервалов при решении сложных рациональных
неравенств.
Тема: Рациональные неравенства и их системы
Урок: Решение рациональных неравенств повышенной сложности
1. Тема урока, введение
Мы решали рациональные неравенства вида
и для их решения использовали метод
интервалов. Функция была либо линейная, либо дробно-линейная, либо многочлен.
2. Решение задач
Рассмотрим неравенства другого типа.
1. Решить неравенство
Преобразуем неравенство с помощью эквивалентных преобразований.
Теперь можно исследовать функцию
Рассмотрим функцию
Схематически изобразим и прочитаем график функции
нет корней.
(Рис. 1).
Функция
положительна при любом
Т.к. мы установили, что
выражение.
.
можем поделить обе части неравенства на это
Чтобы дробь была положительной, при положительном числителе должен быть положительный
знаменатель.
Рассмотрим функцию
Схематически изобразим график функции - параболу,
(Рис. 2).
Ответ:
2. Решить неравенство
Рассмотрим функцию
1. Область определения
значит ветви направлены вниз
.
2. Нули функции
3. Выделяем интервалы знакопостоянства.
4. Расставляем
знаки (Рис. 3).
Если скобка находится в нечетной степени, при переходе через корень функция меняет знак.
Если скобка находится в четной степени, функция не меняет знак.
Мы допустили типовую ошибку – не включили в ответ корень
равенство нулю допускается, т.к. неравенство нестрогое.
. В данном случае
Чтобы не допускать таких ошибок, необходимо помнить, что
Ответ:
Мы рассмотрели метод интервалов для сложных неравенств и возможные типовые ошибки, а
также пути их устранения.
Рассмотрим еще один пример.
3. Решить неравенство
Разложим на множители каждую скобку в отдельности.
т.к.
, потому можно не учитывать этот множитель.
Теперь можно применить метод интервалов.
Рассмотрим
будем, это ошибка.
Сокращать числитель и знаменатель на
мы не
1. Область определения
2. Нули функции нам уже известны
не является нулем функции, т.к. не входит в область определения - в этом случае
знаменатель равен нулю.
3. Определяем интервалы знакопостоянства.
4. Расставляем знаки на интервалах и выбираем промежутки, удовлетворяющие нашим условиям
(Рис. 4).
Ответ:
3. Заключение
Мы рассмотрели неравенства повышенной сложности, но метод интервалов дает нам ключ к их
решению, поэтому мы будем использовать его и в дальнейшем.
Урок: Системы с рациональными неравенствами
1. Решение системы с рациональным неравенством
Ранее мы рассматривали системы линейных неравенств, затем ввели квадратные неравенства, а
теперь вводимрациональное неравенство.
1.
Решаем первое неравенство методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию
2. Область определения
3. Нули функции
4. Выделяем интервалы знакопостоянства.
5. Определяем знак функции на каждом промежутке (Рис. 1).
Неравенству удовлетворяют промежутки
Вернемся к системе.
Отметим все решения на координатной оси (Рис. 1а).
Ответ:
Методика решения более сложных систем точно такая же.
2. Сопутствующая задача
Рассмотрим сопутствующие задачи.
Найти наименьшее решение данного неравенства.
Ответ:
3. Решение этой же системы другим способом
Рассмотрим еще один способ решения данной системы и увидим, что иногда систему решать
легче, чем неравенство.
Если
Знаменатель больше нуля, частное больше нуля, значит, и числитель должен быть больше нуля.
Поэтому должно выполняться только неравенство
Мы получили тот же ответ, но решение гораздо короче.
При решении системы необходимо учитывать влияние одного неравенства на второе.
4. Решение систем, сопутствующие задачи
Решить систему неравенств.
2.
Пользуемся только эквивалентными преобразованиями.
Числитель положительный, частное отрицательное, значит знаменатель отрицательный.
Ответ:
Сопутствующие задачи:
Укажите натуральные решения данной системы.
Ответ:
Укажите число натуральных решений.
Ответ:
Рассмотрим следующую систему неравенств.
3.
Решим первое неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию
Область определения:
Нули:
Решим второе неравенство. Рассмотрим функцию
График функции – парабола, ветви направлены вверх.
Получаем систему
Изобразим решения неравенств на координатной оси.
Ответ:
Сопутствующие задачи.
Найдите натуральное решение неравенства.
Ответ:
Найдите число натуральных решений.
Ответ: 1.
5. Заключение
Мы рассмотрели системы неравенств, где одно из неравенств рациональное.
Мы указали случаи, когда систему легче решить, чем неравенство, т.к. решение одного
неравенства может многое сказать о решении второго.
В целом, методика сохраняется. Необходимо поочередно решить каждое неравенство и найти
пересечение полученных множеств.
Тема: Рациональные неравенства и их системы
Урок: Системы рациональных неравенств повышенной сложности
1. Напоминание, определение рационального выражения
На этом уроке рассмотрим решение более сложных рациональных неравенств.
1. Решить систему
Напомним, что рациональное выражение – это любое выражение, состоящее из чисел,
переменных, арифметических операций и операций возведения в степень. Так что любое
линейное либо квадратное неравенство тоже является рациональным.
2. Решение системы с рациональным выражением
Рассмотрим систему дробно-линейных неравенств:
Рассмотрим первое неравенство
Рассмотрим функцию
Область определения:
Нули функции:
Как можно было проще решить такое неравенство?
3. Отступление: обобщенное правило для дробно-рациональных неравенств
Сформулируем обобщенное правило: Дробь положительна тогда и только тогда, когда
произведение числителя и знаменателя положительно.
Числа должны быть одного знака, либо оба положительные, либо оба отрицательные.
Рассмотрим второе неравенство:
хорошо нам знакомая квадратичная функция. Графиком является
парабола, ветви направлены вверх.
4. Решение системы, продолжение
Вернемся к системе.
Нанесем эти промежутки на ось координат.
Ответ:
При нанесении корней на координатную ось нужно четко понимать, какая дробь больше, а какая
меньше, для этого их необходимо привести к общему знаменателю.
Мы рассмотрели решение довольно сложной системы, которая была нам дана.
5. Задание на составление системы
В следующем примере систему нужно сначала составить.
2. Найти область определения выражения
Рассмотрим функцию
Функция существует, когда существуют оба квадратных корня.
Решаем первое неравенство, рассмотрим функцию
; (Рис. 4).
Решаем второе неравенство, рассмотрим функцию
(Рис. 5).
Вернемся к системе неравенств.
Отметим все решения на координатной прямой (Рис. 6).
Ответ:
6. Заключение
Мы рассмотрели решение рациональных неравенств повышенной сложности, в частности систему
из двух дробно-линейных неравенств. Методика остается прежней, она же будет использоваться
и в дальнейшем.
Урок: Метод введения новых переменных
1. Тема урока, введение
На предыдущих уроках для решения систем уравнений применялись графический метод,
метод подстановки и метод алгебраического сложения. Сейчас будет рассмотрен
метод введения новых переменных.
2. Пример на введение новых переменных
Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему. Рассмотрим в качестве
примера систему, которая предлагалась на вступительном экзамене в 1979 г. в МГУ на механикоматематический факультет.
Пример 1. Решить систему
Решение.
Полезно ввести новые переменные
Довольно сложная исходная система свелась к более простой. Это система двух линейных
уравнений относительно a и b. Решим ее методом алгебраического сложения, вычтем из первого
уравнения второе.
Мы ввели новые переменные и решили систему относительно этих переменных. Возвращаемся к
старым переменным.
Мы получили вторую систему двух линейных уравнений относительно x и y.
Решим систему методом подстановки.
Ответ:
3. Основные сведения о квадратных уравнениях
Часто при замене переменных мы получаем квадратное уравнение. Напомним основные сведения
о них:
Квадратное уравнение в общем виде:
Формула корней квадратного уравнения через дискриминант:
Если b – четное число, имеем формулу:
Напомним теорему Виета: Если
корни квадратного уравнения
,
то
Верно и обратное: Если числа
корнями квадратного уравнения
удовлетворяют системе
, то они являются
.
Напомним прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения.
Умножим квадратное уравнение на
Получим
Получили новое уравнение относительно новой переменной
Мы получили приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами (если они были
целыми в исходном уравнении).
4. Примеры приведенных квадратных уравнений с заменой переменных
Пример 2. Решить уравнение
Решение:
;
Это приведенное уравнение, коэффициенты – целые числа.
По теореме Виета
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение
Решение:
Получили приведенное квадратное уравнение относительно z.
По теореме Виета
Ответ:
Мы рассмотрели еще один прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного
уравнения.
5. Решение систем уравнений
После сделанных напоминаний для квадратных уравнений решим систему:
Пример 4. Решить систему
Решение: Произведем замену:
Вернемся к исходной системе:
Ответ:
Пример 5. Решить систему:
Решение:
Введем новую переменную:
переменной.
Получаем квадратное уравнение относительно новой
Исходная система свелась к совокупности двух систем:
Каждую систему решаем методом подстановки.
1.
2.
Находим y при известных x.
Ответ:
6. Пример симметрической системы
Следующая система – симметрическая. Симметрической называется такая система, которая не
изменится, если переменные поменять местами.
Решение: Произведем замену
Получаем систему:
Мы ввели новые переменные, и нашли их.
Вернемся к старым переменным. Получаем две системы:
1.
2.
нет решений.
Ответ:
Заметим, что решением симметрической системы являются симметричные пары чисел.
7. Заключение
Мы рассмотрели метод введения новых переменных. На следующем уроке рассмотрим системы
повышенной сложности.
Урок: Основные методы решения систем повышенной сложности
1. Тема урока, введение
Выбор метода решения системы зависит от её специфики. Основными являются стандартные
методы – метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых
переменных. Возможны иные методы и их комбинации. Рассмотрим их на примерах.
2. Пример решения системы комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения
Пример 1. Решить систему
Решение: Специфика данной системы в том, что второе уравнение раскладывается на множители
3. Решение системы методом подстановки
Мы получили систему, линейную относительно
. Исходную систему упростили методом
подстановки. Полученную систему решаем методом алгебраического сложения.
4. Решение системы методом алгебраического сложения
Мы решили систему комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения.
Ответ:
5. Решение систем уравнений
Пример 2. Решить систему
Решение: Можно сделать замену переменной и тем самым понизить степень уравнения. Но мы
применим метод подстановки, выразим
Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета
Ответ:
Пример 3. Решить систему
Решение: Применим метод алгебраического сложения, чтобы избавиться от у.
Ответ:
Пример 4. Решить систему
Решение: Важно увидеть, что левая часть первого уравнения – это формула квадрата разности.
Мы получили линейную систему двух уравнений относительно x и y Вычтем из первого
уравнения второе.
Ответ: (2; 1).
Пример 5. Решить систему
Заметим, что
и произведем замену переменных:
Решаем систему относительно новых переменных:
Мы решили систему относительно новых переменных, перейдем к старым переменным.
Ответ:
Пример 6. Решить систему
Решение: Заметим одинаковые члены и почленно поделим одно уравнение на другое.
Мы можем сократить на
только если
случае исходная система содержала бы противоречие.
но это так и есть, т.к. в противном
По этой же причине и
Подставим x в первое уравнение.
Мы решили систему методом почленного деления уравнений.
Ответ:
6. Решение систем неоднородных уравнений второй степени
Пример 7. Решить систему
Решение:
В левой части каждого уравнения стоит квадратный трехчлен относительно x с параметром y.
Каждый одночлен имеет степень 2, уравнение неоднородное. Есть метод решения таких
уравнений, но справа должен быть 0. Умножим первое уравнение на -2.
1.
2.
Ответ:
Пример 8. Решить систему
Решение: Имеем систему двух неоднородных уравнений второй степени. Как и в предыдущей
системе, нам необходимо обнулить правую часть одного из уравнений. Умножим первое
уравнение на -2.
Мы получили однородное уравнение второй степени.
Решим первое уравнение путем деления на старшую степень x или y.
Тут возможны два варианта
1.
В таком случае и
Но это создает противоречие во втором уравнении системы.
2.
Разделим обе части уравнения на
Получили квадратное уравнение относительно
.
Корни квадратного уравнения
a.
b.
возникает противоречие, система не имеет решения.
Ответ:
7. Вывод, заключение
Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, решили их, обсудили методы
решения. Важно, что эти системы были даны в явном виде. На следующих уроках нам придется
получать системы, решая текстовые задачи.
Урок: Системы уравнений в задачах на движение
1. Тема урока, введение
В этом уроке мы рассмотрим задачи на движение, переведем реальные ситуации на
математический язык, составим математические модели – нелинейные системы уравнений – и
решим их, тем самым решив исходную задачу.
2. Решение простейшей задачи
Задача 1.
Расстояние между двумя пунктами по реке составляет 14 км. Лодка проходит этот путь по
течению за 2 часа, против течения – за 2 часа 48 минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде
и скорость течения реки.
Решение:
Вспомним уравнение прямолинейного равномерного движения:
S – расстояние,
V – скорость,
T – время.
Переведем 2 часа 48 минут в часы, это составит
Пусть x км/ч – скорость лодки в стоячей воде, y км/ч – скорость течения реки. Составим
математическую модель.
Если лодка движется по течению, то она имеет скорость
время
км/ч и пройдет 14 км за
Если лодка движется против течения, она идет со скоростью
пройдет 14 км за время
км/ч и
.
Мы получили математическую модель. То же самое можно получить с помощью таблицы.
S
По течению
V
T
14
Против течения 14
Решим полученную систему.
Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.
3. Решение опорных задач
Перед тем как приступить к более сложным задачам, решим две опорные задачи на движение.
1. Первая опорная задача (сближение).
Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг другу два поезда.
Дано:
x, y – скорости поездов, км/ч.
Найти: Время t до их встречи, и расстояния
из поездов.
Решение:
пройденные до момента их встречи каждым
Найдем скорость сближения:
Найдем время t до встречи:
Найдем искомые расстояния:
Ответ:
2. Вторая опорная задача.
Первый турист вышел из пункта А. Одновременно второй турист вышел из пункта В. Оба
двигаются в направлении луча АВ. Первый догнал второго в пункте С.
Дано:
x, y – скорости первого и второго туристов, км/ч.
Найти: Время t до встречи туристов, расстояния
до встречи.
пройденные первым и вторым туристами
Решение:
Найдем скорость сближения:
Найдем время t до встречи:
Найдем искомые расстояния:
Ответ:
4. Решение задач
Задача 2.
Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу
отправляются два поезда, и встречаются через 5 часов. Если второй поезд отправится на 7 часов
раньше первого, то они встретятся через два часа после отправления первого поезда. Найти
скорость каждого поезда.
Решение:
Пусть x км/ч, y км/ч – скорости первого и второго поездов.
S – расстояние между городами.
Рассмотрим вначале первый случай. Легко увидеть, что это задача на сближение, т.е. мы сможем
пользоваться данными, полученными в первой опорной задаче.
700 км оба поезда пройдут за 5 часов со скоростью сближения
Второй случай: те же условия, но первый поезд начал движение через 7 часов после второго. За
7 часов второй поезд прошел
км, осталось
км, и только тогда начинает движение
первый поезд. Начинается сближение. Поездам нужно пройти
скоростью
км с общей
и они встретятся через 2 часа, т.е.
Мы получили математическую модель.
Упростим полученные уравнения.
Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч.
Задача 3.
Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км.
Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В,
затратив на весь путь 4 часа 40 минут. В другой раз эта же лодка отошла от пристани, дошла до
А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 часов. Чему равна собственная
скорость лодки и скорость течения реки?
Решение:
Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, y км/ч – скорость течения реки.
Время движения переведем в часы, 4 часа 40 минут =
Опишем первый рейс:
Из А в С лодка шла 45 км по течению со скоростью
Из С в В лодка шла 15 км против течения, т.е.
км/ч, время в пути составило
ч. Суммарное время в пути составило
ч.
ч,
т.е.
Опишем второй рейс:
Из С в А лодка шла 45 км против течения, т.е. была в пути
т.е. была в пути
ч. Из А в В шла 30 км по течению,
ч. Общее время в пути составило 7 ч, т.е.
Решаем полученную систему:
Произведем замену переменных:
Переходим к старым переменным:
Ответ: 12 км/ч, 3 км/ч.
5. Заключение
Мы рассмотрели текстовые задачи на движение, составили для них математические модели и
решили полученные системы. На следующем уроке будут рассматриваться задачи на работу.
Тема: Системы уравнений
Урок: Системы уравнений в задачах на работу
1. Тема урока, введение
В данном уроке будут рассмотрены задачи на работу. Как и в задачах на движение, здесь
потребуется техника перевода из словесной модели в математическую, получение системы
уравнений и её решение.
2. Решение задач
Задача 1.
Два комбайна, работая вместе, могут выполнить задание за 6 часов. Первый комбайн, работая
один, может выполнить задание на 5 часов быстрее, чем второй комбайн. За сколько времени
может выполнить задание первый комбайн, работая один?
Решение:
Вспомним основное уравнение для работы
А – объем работы,
П – производительность,
Т – время.
А
Первый комбайн
1
Второй комбайн
1
П
x
Два комбайна вместе 1
Пусть всю работу первый комбайн может выполнить за x часов, с производительностью
комбайн может выполнить всю работу за y часов, причем
Оба комбайна, работая вместе, имеют производительность
часов, т.е.
Второй
с производительностью
и выполняют всю работу за 6
. Составим и решим систему.
Ответ: 10 часов.
Задача 2.
Две бригады, работая вместе, могут выполнить работу за 8 часов. Первая бригада, работая одна,
могла бы выполнить эту работу на 12 часов быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла
бы выполнить всю работу первая бригада, если бы она работала одна?
Решение:
Опишем каждого участника работы на каждом участке работы, и выявим связи между ними.
А
Первая бригада
1
П
Вторая бригада
1
Обе бригады вместе 1
Первая бригада может выполнить всю работу за x часов с производительностью
бригада может выполнить всю работу за y часов,
бригады вместе имеют производительность
Вторая
с производительностью
Обе
. Всю работу они выполнят за время
Составим и решим систему уравнений.
Ответ: 12 часов.
Задача 3.
Чан наполняется двумя кранами при совместной работе за 1 час. Наполнение чана только через
первый кран длится вдвое больше, чем только через второй кран. За какой промежуток времени
каждый кран может наполнить чан?
Решение:
А
Первый кран
1
Второй кран
1
П
y
Оба крана вместе 1
Пусть первый кран наполняет чан за x часов, с производительностью
чан за y часов,
производительностью
с производительностью
за время
Второй кран наполняет
Оба крана выполняют работу с
1 часу Составим и решим систему.
Ответ: 3 часа и 1,5 часа.
Задача 4.
Два тракториста, работая вместе, вспахали поле за 48 часов. Если бы половину поля вспахал
один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 часов.
За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно?
Решение:
А
П
Первый трактор всю работу
1
x
Второй трактор всю работу
1
y
Два трактора вместе
1
Первый трактор половину работы
Второй трактор половину работы
Пусть первый трактор делает всю работу за x часов с производительностью
трактор делает всю работу за y часов с производительностью
производительность равна
и они будут работать 48 часов,
тракторист вспашет за x часов, то половину поля – за
вспашет половину поля за
Cоставим и решим систему.
часов. По условию задачи
Пусть второй
Если они работают вместе, их
Если всё поле первый
часов. Аналогично, второй тракторист
Ответ: 120 часов и 80 часов.
3. Заключение
Мы решили серию текстовых задач на работу, используя стандартную методику для составления
математической модели.
Тема: Системы уравнений
Урок: Системы уравнений в текстовых задачах с алгебраическим или геометрическим
содержанием
1. Тема урока, введение
На этом уроке мы продолжим решение текстовых задач методом математического
моделирования. Здесь требуется перевести задачу на математический язык, получить
математическую модель – систему уравнений – и решить ее.
2. Задача с алгебраическим содержанием
Задача 1. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то
получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
Решение:
Пусть
(Например,
искомое число, где x – число десятков, y – число единиц.
).
Мы записали искомое число с помощью двух неизвестных.
Что нам известно, чтобы найти x и y?
1.
сумма квадратов цифр равна 13.
2.
Мы получили математическую модель – систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Далее следует работа с математической моделью, нужно решить систему:
Ответ: 32.
3. Задача на движение
Задача 2. По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки.
Одна из них совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой. При этом совпадение точек
происходит каждый раз через 1 минуту. Определите скорости движения точек.
Решение:
Пусть x м/с, y м/с – искомые скорости точек, и пусть
т.е. первая точка движется быстрее,
чем вторая, тогда
время прохождения одного оборота первой точкой,
прохождения одного оборота второй точкой.
время
По условию
Упростив это выражение, получим
По условию совпадения происходят через 1 минуту, это значит, что за время 1 мин = 60 с между
соседними совпадениями точек первая точка пройдет на один круг – 60 м – больше, чем вторая.
Со скоростью сближения
м/с расстояние в 60 м будет пройдено за 60 с, т.е.
Мы получили второе уравнение.
Мы получили математическую модель, теперь переходим ко второму этапу – работа с
математической моделью.
Необходимо решить систему:
Полученную упрощенную систему решаем методом подстановки.
По теореме Виета
Третий этап: Ответ на вопрос задачи.
не подходит, т.к.
Ответ: 4 м/с; 3 м/с.
Значит
4. Задача с геометрическим содержанием
Задача 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 м, его периметр равен 48 м.
Найдите площадь прямоугольного треугольника.
Решение:
Пусть
длины катетов (Рис.2).
Тогда
Мы получили математическую модель. Важно понять, что нам нужно найти не x и y, а
Поэтому при решении системы мы постараемся выделить xy.
Выделим во втором уравнении полный квадрат.
нам известно из первого уравнения, подставляем:
Ответ: 96
.
5. Задача с алгебраическим содержанием
Задача 4. Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно 720. Если первое
число разделить на второе, то в частном получится 3 и в остатке 3. Какие числа задуманы?
Решение:
Пусть x, y – искомые числа. Тогда по условию задачи составим систему:
Ответ: 48 и 15.
6. Вывод, заключение
Мы рассмотрели решение текстовых задач и алгебраического, и геометрического содержания.
Еще раз подтвердили, что они сводятся к решению систем уравнений. На следующем уроке мы
сделаем обзор по решению систем уравнений.
Тема: Числовые функции
Урок: Задачи на нахождение области определения и области значения функции в
более сложных случаях
1. Вступление
Важными характеристиками конкретных функций являются область определения и область
значений. На уроке будут рассматриваться задачи на нахождение области определения, области
значений функции, сопутствующие задачи на функции, включая задачи с параметрами.
2. Задача 1
Найдите область определения функции
.
Решение. Область определения задается неравенством
Рис. 1. Область определения функции
Ответ:
3. Задача 2
Найдите область определения функции
Решение. Область определения задается системой
Рис. 2. Область определения функции
Ответ:
.
4. Задача 3
Найдите область определения и область значения функции
схематически ее графики.
Изобразите
Решение.
1. Область определения задается неравенством (см. Рис. 3)
.
2. Под корнем имеем функцию
этой функции
Ответ:
Рис. 3. График функции
Поскольку
, где
и
(см. Рис. 4). Область значения
то
.
Рис. 4. График функции
при
.
Рис. 5. Схематический график функции
.
3. Схематический график функции
изображен на Рис.5.
.
.
x -4 0 4
y 0 4 0
5. Примечание
На примере данной функции иллюстрируется связь между областью значения, областью
определения и графиком.
1. Проекция графика функции
(см. Рис. 6).
на ось
Рис. 6. Проекция графика функции
- область определения:
на ось
2. Область значений функции
.
– проекция графика на ось
.
6. Сопутствующая задача с параметром
Найдите все значения параметра
хотя бы одно решение.
, при каждом из которых уравнение
Решение. Строится график функции
Пересечение прямой
когда
.
и графика функции существует тогда и только тогда,
(см. Рис. 7).
Ответ:
Рис. 7. График функций
7. Задача с кусочно заданной функцией
а. Найдите
б. Вычислите
в. Постройте график функции.
имеет
г. Найдите
д. Найдите все значения параметра
бы одно решение.
, при каждом из которых уравнение
имеет хотя
Решение.
в. Построим график функции
(см. Рис. 8).
Рис. 8. График функции f(х)
С помощью графика решим остальные задачи.
а. Область определения
– проекция графика на ось
б. Из графика (см. Рис. 9 )
не существует.
Рис. 9. График функции f(x) и ее значение в соотвествующих точках
г. Область значения
– проекция графика на ось
д. Искомое множество совпадает с областью значения функции. Значит
.
8. Итог урока
На уроке были рассмотрены задачи на нахождение области определения и области значений
конкретных функций. Рассмотрены сопутствующие задачи, включая задачи с параметрами.