КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «КАНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» ЦМК общеобразовательных, математических и общих естественнонаучных дисциплин Дисциплина: Математика МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ для специальности Земельно-имущественные отношения (по программе углубленной подготовки) 1 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 1 Действия над комплексными числами Цель: закрепить умения и навыки действий над комплексными числами записанными в алгебраической, геометрической, тригонометрической и показательной форме. Теоретическая часть Формы комплексных чисел: 1. алгебраическая z a bi 2. геометрическая z ( a; b) 3. тригонометрическая z r (cos i sin ) i 4. показательная z r e z a bi (a; b) r (cos i sin ) r ei , где r a2 b2 cos a b , sin r r Геометрическая форма 1. Сложение 1. Сложение (a bi ) (c di ) a c (b d )i (a; b) (c; d ) (a c; b d ) 2. Вычитание 2. Вычитание (a bi ) (c di ) (a c) (b d )i (a; b) (c; d ) (a c; b d ) 3. Умножение 3. Умножение (a bi ) (c di ) (ac bd ) (bc ad )i (a; b) (c; d ) (ac bd ; ad bc) 4. Деление (a bi) (a bi) (c di) (c di) c2 d 2 Алгебраическая форма Тригонометрическая форма 2 1. Умножение Показательная форма z1 z 2 r1 r2 cos(1 2 ) i sin( 1 2 ) 1. Умножение 2. Деление z1 z 2 r1 r2 e i (1 2 ) z1 z 2 2. Деление r1 cos(1 2 ) i sin( 1 2 ) r2 z1 z 2 3. Возведение в степень n r1 i (1 2 ) e r2 z n r n (cos n i sin n ) 3. Возведение в степень 4. Корень n-ой степени z n r n e in 4. Корень n-ой степени 2k 2k z U k n r cos i sin n n 2k , где k=0,1,2…n-1 n z Uk r e n n i , где k=0,1,2…n-1 Значения некоторых тригонометрических функций некоторых углов аргумент функция sin cos 0( 2 ) 0 1 15 12 3 1 3 1 2 2 2 2 18 10 5 1 4 30 6 1 2 3 2 36 5 5 5 5 1 4 45 4 1 2 2 2 5 1 4 60 3 3 2 90 2 2 2 2 2 3 54 10 5 75 12 5 5 3 1 1 2 2 2 5 5 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 1 0 3 Формулы приведения Х 2 2 cos x cos cos cos cos sin sin sin sin sin x sin sin sin sin cos cos cos cos 2 2 3 2 3 2 Практическая часть Вариант 1: 1. Даны комплексные числа в геометрической форме z1=(2;3) и z2=(-5;1). Выполните действия: 𝑧1 + 𝑧2 . 2. Даны комплексные числа в геометрической форме z1=(2;3) и z2=(-5;1), записать эти числа в алгебраическом виде и выполните действия: 𝑧1 − 𝑧2 , 𝑧1 : 𝑧2 . 3. Представить комплексное число 2 в тригонометрической форме. 4. Вычислите произведение (ответ записать в алгебраической форме): 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2 (𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ) ∙ 3 (𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ). 6 6 12 12 5.Запишите число 2 (𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ) в показательной форме. 6 6 𝜋 𝜋 6.Даны комплексные числа в показательной форме 𝑧1 = 2𝑒 𝑖 2 и 𝑧2 = 𝑒 𝑖 6 . Выполните действия: 𝑧1 ∙ 𝑧2 , (z1)3, 4 z2 7.Возведите в степень (ответ записать в алгебраической форме): (3 (𝑐𝑜𝑠 3𝜋 4 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 3𝜋 25 )) . 4 8. Извлеките корень из комплексного числа i (ответ записать в алгебраической форме). Вариант 2: 1. Даны комплексные числа в геометрической форме z1=(2;3) и z2=(-5;1). Выполните действия: 𝑧1 − 𝑧2 . 4 2. Даны комплексные числа в геометрической форме z1=(2;3) и z2=(-5;1), записать эти числа в алгебраическом виде и выполните действия: 𝑧1 + 𝑧2 , 𝑧1 ∙ 𝑧2 . 3. Представить комплексное число 6i в тригонометрической форме. 4. Вычислите частное (ответ записать в алгебраической форме): 3 (𝑐𝑜𝑠 3𝜋 4 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜋 3𝜋 𝜋 𝜋 ) : (𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 2 ). 4 𝜋 5. Запишите число 7 (𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ) в показательной форме. 2 2 𝜋 𝜋 6. Даны комплексные числа в показательной форме 𝑧1 = 2𝑒 𝑖 2 и 𝑧2 = 𝑒 𝑖 6 . Выполните действия: 𝑧1 ∙ 𝑧2 , , (z1)3, 4 z2 . 7.Возведите в степень (ответ записать в алгебраической форме): (3 (𝑐𝑜𝑠 3𝜋 4 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 3𝜋 4 25 )) . 8. Извлеките корень из комплексного числа i (ответ записать в алгебраической форме). 5 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2 Вычисление производных Цель: закрепить навыки вычисления производных элементарных и сложных функций. Теоретическая часть Таблица производных некоторых функций Элементарные функции 1. C 0 2. ( x ) n x n 3. ( x ) Сложные функции 1. 2. (u n )x n u n 1 ux ux 3. ( u )x 2 u n 1 1 2 x 4. 1 1 2 x u 4. 1 x2 u u 5. (sin x) cos x 6. (cos x) sin x 5. (sin u)x cos u ux 6. (cos u )x sin u ux ux 7. tgu x cos2 u x 7. tgx 1 cos 2 x 1 8. ctgx sin 2 x a x 9. a x ln a e 10. e x 1 1 x2 1 1 x2 1 16. arcctgx 1 x2 ux sin 2 u 9. au x au ln a ux , a 0, a 1 1 11. ln x x 1 12. log a x x ln a 1 13. arcsin x 1 x2 15. arctgx 8. ctgu x 10. е u x 14. arccos x x x е u u x ux 11. ln u x u 12. log a u x ux , a 0, a 1 u ln a 13. arcsin u x u x 1 u2 u x 14. arccos u x 1 u2 15. arctgu x ux 1 u2 u 16. arcctgu x x 2 1 u 6 Правила дифференцирования U V U V U V U V U V U U V U V V2 V Практическая часть I Применив формулы средней школы найти производную функции: 1 2х 2 / 3 1) у 2) у 3х х 2 3) у 2х 3 3 2 х 4) у 4х1/ 3 6) f ( x) ( x 3 x 2 x 1)( x 1) 7) f ( x) (2 x 1)( x 2 3x 1) 8) y x2 2 x2 x2 x 1 9) y 2 x x 1 5) f ( x) (3x 2 1)(2 x 2 3) II Найти производную сложной функции: 1. y 3(5x 2 x 4) 6 9. y ln 2. y (2 x x 5 ) 4 1 sin x 1 sin x 2x 3. y 3 x 3 3x 2 1 10. y 5 x 4 4. y 3 x 2 5 11. y sin 3 x cos x 5. y x 2 4 x 3 12. y 1 cos x 1 cos x 13. y ( x 3 1) 4 ( x 3 1) 3 6. y 2x 1 x2 1 7. y ln( x x 2 1 ) e 2 x e 2 x 8. y 2 x 2 x e e x 3x3 x 7 14. y ln 2 x 1 3 8 1 4 15. y x sin 2 x 1 sin 4 x 32 7 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 3 Вычисление интегралов Цель: закрепить навыки и умения вычисления интегралов различными методами. Теоретическая часть Определение: Функция F (x) называется первообразной для функции f (x ) , если F ( x) f ( x) . Определение: Совокупность F ( x) C всех первообразных для функции f (x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается f ( x ) dx . Таким образом f ( x)dx F ( x) C Основные свойства неопределенных интегралов: 1. ( f ( x)dx) f ( x) 4. df ( x) f ( x) C 2. d ( f ( x)dx) f ( x)dx 5. af ( x)dx a f ( x)dx, где a 0 3. f ( x)dx f ( x) C 6. ( f ( x) g ( x)) dx f ( x)dx g ( x)dx Таблица неопределенных интегралов: 1. 0dx C 2. dx x C 6. а) dx 2 x C x б) n 1 3. а) x n dx x C (n -1) n 1 б) хdx х2 C , при n=1 2 1 4. dx C n x (n -1) x n - 1 5. dx ln x C x х dx 2 х3 C 3 7. sin x dx -cos x C 8. cos x dx sin x C 9. dx tg x C cos2 x 10. dx ctg x C sin 2 x 8 11. 19. dx 1 arctg x C , а 0 а а2 x2 а dx arcsin x C 1 x 2 12. dx arctg x C 1 x 2 13. а x dx a x C, а 0, a 1 ln a 20. dx 1 ln a x C , a 0 a-x a 2 x 2 2a 14. e x dx e x C 22. 15. tg x dx -ln cos x C 21. 23. 16. ctg x dx ln sin x C 24. 17. dx ln tg x С 2 sin x 1 x-a dx x 2 a 2 2a ln x a C , a 0 dx arcsin x C , x a, a 0 a 2 a x 2 dx ln x x 2 а 2 C 2 а x2 2 2 x a dx x 2 x a 2 2 a 2 ln x x a C 2 2 2 x dx cos x ln tg C 4 2 18. Формула интегрирования по частям: udv uv vdu Формула Ньютона-Лейбница: b f ( x)dx F (b) F (a) a Практическая часть I Найти следующие интегралы непосредственным интегрированием 1. (3х 2 х 6 х 8)dx х6 dx х 1 3. ( х 18) dx x 2 х 6 4. dx х2 1 5. 9 sin x 5 x 35 dx 2 cos х 2. 6. (5 х 2 х 9 sin х 8)dx 7. 4 4 x 2 x dx II Найти следующие интегралы методом замены переменной: 1. е 3 х 1 хdх 2 9 2. х 2 (2 х 3 1)dх 3. хdх ( х 2 1) 4. х 2 dх 5х 3 1 3 5. 35 х хdх 2 III Найти следующие интегралы методом интегрирования по частям: 1. (1 x ) sin x 2. ln xdx x2 3. (5 x)соsxdx 4. ln 2 xdx IV Вычислить следующие определённые интегралы: 1 1. (2 х 2 х 6 8) dx 0 2 2. 1 2 х dx х 3 x2 3. dx 3 0 5 3x 3 4. 5 x 3 2 x dx 0 х3 4 dx х3 1 2 5. 4 6. e 5 x dx 0 10 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Решение дифференциальных уравнений 1-ого порядка с разделяющимися переменными Цель: сформировать умения и навыки решения дифференциальных уравнений 1-ого порядка с разделяющимися переменными. Теоретическая часть Определение: Уравнения, содержащие не только сами функции, но и их производные называют дифференциальными уравнениями. Решением таких уравнений являются функции. Определение: Дифференциальные уравнения вида у f ( x) g ( x) , где f ( x), g ( x ) -заданные функции, называются уравнениями с разделяющимися переменными. Правило решения дифференциальных уравнений 1-ого порядка с разделяющимися переменным: 1. разделить переменные 2. проинтегрировать обе части уравнения 3. решить полученное уравнение относительно у. Практическая часть I Найдите общее решение дифференциальных уравнений 1-ого порядка с разделяющимися переменными: 1. x 5 dу у 2 dх 2. dy 2х x 2 dx 3. dy 5 xdx 7dx 1 8 4. 3x 2 dу у 3 dх 0 5. dy 3dx 0 y 11 6. (3 2 y )dx (1 6 x)dy 0 II Найдите частное решение дифференциальных уравнений 1-ого порядка с разделяющимися переменными: 1. x 3 dу у 3 dх , если х= 3 , у= 2 2. 2dy 1 x 2 , если х=0, у=0 dx 3. dy xdx 2dx , если х=1, у=1,5 1 2 4. x 2 dу у 3 dх 0 , если х=-1, у=1 5. xdy y dx 0 , если х=0, у=0 6. dy dx 0 , если х=0, у=3 2y 7. (1 y )dx (1 x)dy 0 , если х=0, у=1 8. 2 x 1 dx , если х=5, у=0 y 1 dy 9. (1 x 2 ) dy xy 0 , если х=0, у=4 dx 12 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5 Решение дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами Цель: сформировать умения и навыки решения линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Теоретическая часть Определение: Уравнения, содержащие не только сами функции, но и их производные называют дифференциальными уравнениями. Решением таких уравнений являются функции. Определение: Линейными однородными дифференциальными уравнениями 2-ого порядка с постоянными коэффициентами называют уравнения вида у pу qy 0 . Правило решения линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами: 1. записываем характеристическое уравнение k 2 pk q 0 2. находим корни характеристического уравнения k1 и k 2 если k1 k 2 , то общее решение y C1e k1x C 2 e k2 x если k1 = k 2 , то общее решение y e k x (С1 С 2 х) если k1 а bi , k 2 a bi , т.е. комплексные, то общее решение y e аx (С1 cos bx С2 sin bх) Практическая часть I Найдите общее решение дифференциальных уравнений 2-ого порядка: 1. у 3 у 4 y 0 2. у 9 у 14 y 0 13 3. у 8 у 16 y 0 1 4 4. у у y 0 5. у 6 у 45 y 0 6. у 4 у 8 y 0 7. 𝑦" + 4𝑦 = 0 8. 𝑦" − 16𝑦′ = 0 II Найдите частное решение дифференциальных уравнений 2-ого порядка: d2y dy dy 1 при х=0 7. 2 8 16 y 0, если у=1 и dx dx dx 8. d2y dy dy 1 при х=0 5 0, если у=1 и 2 dx dx dx 14 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 6 Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка вида 𝒚" = 𝒇(𝒙) Цель: cформировать умения и навыки решения линейных однородных дифференциальных уравнений 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Теоретическая часть Определение: Уравнения, содержащие не только сами функции, но и их производные называют дифференциальными уравнениями. Решением таких уравнений являются функции. Практическая часть I Найдите частное решение дифференциальных уравнений 2-ого порядка: d2y 1. 2 0 , при х=0 у=1 и при х=1 у=0 dx 2. d2y 5 , при х=2 у=5 и при х=4 у=11 dx 2 3. у х , при х=1 у=0 и при х=2 у=2 d2y dy 10 при х=0 4. 2 6 x , если у=0 и dx dx II Найдите общее решение дифференциальных уравнений 2-ого порядка: 5. у cos х 6. d2y 1 sin x dx 2 d2y 7. 2 12 x 2 6 x 2 dx 8. у 3 x 15 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 7 Операции над множествами Цель: научиться выполнять операции над множествами. Теоретическая часть Определение: Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множества строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (говорят, что множество А является подмножеством множества В). Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства. Например, перечислением заданы следующие множества: А={1,2,3,5,7} — множество чисел N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел С помощью определяющего свойства: М={х є R| 2х>3} – множество действительных чисел ,удовлетворяющих условию 2х>3. 16 Определение: Множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств А и В, называется пересечением множеств Аи В. А∩В Определение: Множество С, состоящее из всех элементов, множеств А и В, называется суммой или объединением множеств Аи В. А∪В Определение: Множество С, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств Аи В. А\В Определение: Множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств: А либо В, но не являются общими элементами, называется симметрической разностью множеств Аи В. 17 А∆В Определение: Множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые не принадлежат В, но принадлежит А , при условии, что В является подмножеством А, называется дополнением множества В до множества А. В Практическая часть 1. Возьмите две различные точки А и В и проведите два луча [АХ) и [ВY) так , чтобы В є [АХ), А є [ВY). Назовите и покажите фигуру, которая является объединением и пересечением лучей: А) [АХ) и [АY) Ж) [АВ] и [АY) Б) [ВХ) и [ВY) З) [ВХ) и [ВА] В) [ВХ) и [АY) И) [АХ) и (ХY) Г) [АХ) и [ВY) К) (АY) и (ХY) Д) [АY) и [ВY) Л) [АВ] и (ХY) Е) [ВХ) и [АХ) 2. Пусть А={-4;-3;-2;-1;0;1;2}, В={4;3;2;1;0;-1;-2} и С={-4;-3;…;3;4}. Найдите А В, А С, В С; А В, А С, А\В, В\С, А В, А С, С В, дополнение С и В до А ( т.е. С и В ) 18 3. Пусть М-множество значений выражения 3,5-9а при а=-1; 0,35. Запишите все подмножества М (собственные и несобственные). 4. Пусть М={х є R| 2х=3}, Р={ х є N| х:3} и Е={ х є N | х-3‹5} Задайте каждое из этих множеств (кроме Р) перечислением его элементов. Почему множество Р этим способом задать не удается? Назовите первые 4 элемента множества Р. 5. Укажите пустые множества среди следующих: А) множество целых корней уравнения х2-9=0 Б) множество целых корней уравнения х2+9=0 В) множество действительных корней уравнения 1:х=0 6. Пусть А={7;8;9} и В={8;9}. Найдите А В, А В, А\В, В\А, А В, А В, В . Сделайте тоже самое для множеств А1={1;2},В1={1;2}, а также для множеств А2={1;2} и В2={3;4} 7. Отрезки АВ и СХ пересекаются в точке О. К- множество точек треугольника АОС М- множество точек треугольника ВОС Р- множество точек треугольника ВОХ Е- множество точек треугольника АВХ Назовите и покажите фигуру, которая является объединением и пересечением: К и М; К и Р; К, М и Е; К, М и Р 19 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 8 Построение графов Цель: выработать умение, навыки решения задач с использованием графов, отработать навык выполнения операций над графами. Практическая часть Решите задачи 1. Пусть орграф задан матрицей смежности (смотри . Постройте изображение этого графа, укажите степени вершин графа. По матрице смежности постройте матрицу инцидентности этого графа: А) В) V V1 V1 V2 V2 V3 V4 1 1 V3 1 1 V5 V6 V 1 1 V1 V2 1 2 V4 2 V5 1 V6 1 1 V1 2 V3 1 V4 1 V3 V4 1 1 V6 1 V5 1 1 V6 1 1 1 V5 1 Б) V2 1 1 1 1 1 1 Г) V V1 V2 V1 V3 V4 1 1 V2 1 V4 1 1 1 V5 1 1 1 1 V6 V V1 1 V3 V6 V5 1 V2 1 V3 1 V4 2 V5 V6 V1 V2 V3 V4 V5 V6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 Д) V V1 V2 V3 V4 V1 V2 V5 V6 1 1 2 1 V3 1 V4 1 V5 1 V6 1 1 1 1 1 1 2. Орграф задан матрицей смежности. Постройте его рисунок (схему, диаграмму), определите степени вершин графа и найдите маршрут длины 5. Есть ли среди них изоморфные? 3. Составьте все возможные планы маршрута путешествия по историческим местам, если автотуристам надо проехать из пункта М в пункт Т, осмотрев все памятники архитектуры не более одного раза. Как называется такой маршрут? 21 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 9 Элементы математической логики Цель: выработать умение построения таблиц истинности для сложных логических формул. Теоретическая часть Сводная таблица истинности логических операций p q p р ∙q p q pq p→q p~q 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 Определение: Формула называется тавтологией (или тождественно истинной), если она истинна при любых значениях своих переменных. Определение: Формула называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 на всех наборах входящих в неё переменных. Практическая часть 1. Пусть р={Гале нравится вязать}, а q ={ Гале нравится вышивать}. Выразите следующие формулы на естественном языке: а) p q д) p q и) p q б) p q е) p q к) p q в) p q ж) p q л) p q г) p q з) p q м) p q 2. Какие из следующих формул являются тавтологиями (проверить с помощью таблиц истинности): 22 а) ( а а ) б) a (b a) в) (a b) a 3. Докажите, что формула a (a b) (a b) является тождественно ложной. 4. В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций составное высказывание: а) Если вчера было воскресенье, то Дима вчера не был в школе и весь день гулял. б) Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то число делится на 3. в) Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. 5. Формализуйте истинности для следующие каждой из высказывания, полученных формул постройте и таблицы убедитесь, что результирующие столбцы совпадают. F1 = {если все стороны четырёхугольника равны и один из его углов прямой, то этот четырёхугольник является квадратом} F2 = {если все стороны четырёхугольника равны, а он не является квадратом, то один из его углов не является прямым}. Докажите следующие соотношения: 6. а) a b a b б) a ~ b a b a b г) a b b a д) a ~ b (a b) (b a) в) a b a b a b 7. Доказать с помощью таблиц истинности законы алгебры логики: 2б, 4б, 9б, 10б. 23 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 10 Решение задач по теории вероятностей Цель: отработать навыки решения задач по теории вероятностей. Теоретическая часть Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез. Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n несовместных событий (гипотез) 𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , … , 𝐻𝑛 . Пусть также имеется некоторое событие А и известны 𝑃(𝐻𝑖 ) - вероятность гипотезы, 𝑃(𝐴|𝐻𝑖 ) условная вероятность события А при этой гипотезе. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: 𝑛 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐻𝑖 )𝑃(𝐴|𝐻𝑖 ) 𝑖=1 Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества? Решение: обозначим событие А={выбрана деталь отличного качества}, 𝐻𝑖 ={выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i=1, 2, 3. Тогда 𝑃(𝐻1 ) = 10 40 1 25 4 40 = ; 𝑃(𝐻2 ) = 5 5 8 40 = ; 𝑃(𝐻3 ) = = 1 8 По условию задачи 𝑃(𝐴|𝐻1 ) = 𝑃(𝐴|𝐻3 ) = 0,9, 𝑃(𝐴|𝐻2 ) = 0,7 По формуле полной вероятности находим1 искомую вероятность: 3 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐻𝑖 )𝑃(𝐴|𝐻𝑖 ) = 𝑖=1 1 5 1 ∙ 0,9 + ∙ 0,7 + ∙ 0,9 = 0,775 4 8 8 24 Случайной величиной, связанной с данным опытом называется величина, которая при данном осуществлении данного опыта принимает то или иное числовое значение, заранее не известное какое именно. Случайные величины обозначаются Х, Y и т.д. Примеры. 1) Опыт - бросается игральная кость один раз. Случайная величина Х число выпавших очков. Множество значений случайной величины Х={1,2,3,4,5,6}. 2) Опыт стрельба по цели до первого попадания. Случайная величина Y число израсходованных патронов – имеет множество значений {1,2,3,…}=N. Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, кроме множества значений необходимо указать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное своё значение. Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины. Для дискретной случайной величины Х закон распределения может быть задан виде таблицы. В верхней строке перечисляются все возможные значения xi случайной величины Х (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке указываются вероятности pi соответствующих значений: pi = P (X = xi ) - это вероятность того, что случайная величина Х принимает значение xi . X x1 x2 … xn (…) P p1 p2 … pn (…) Зная закон распределения случайной величины можно найти дисперсию и математическое ожидание случайной величины. n МХ х к р к k 1 DX=M(X2)-(MX)2 25 Практическая часть 1. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 - во втором, остальные в третьем. Первый и третий цех дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, 2-ой с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что взятая на удачу деталь будет отличного качества? 2. Прибор работает в 2-х режимах :в благоприятном и в неблагоприятном, причем в благоприятном режиме работа прибора происходит в 80% всех случаев. Вероятность выхода прибора из строя в течение часа при благоприятном режиме работы равна 0,1, при неблагоприятном-0,7. Определить вероятность безотказной работы прибора в течение часа. 3. Три станка производят соответственно50%, 30%, 20% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно1%, 2%, 1,5%. Какова вероятность того, что выбранное наугад изделие окажется бракованным? 4. Радиолампа поступила с одного из трех заводов соответственно с вероятностями 0,25, 0,50 и 0,25. Вероятность выйти из строя в течение года для ламп, изготовленных первым заводом, равна 0,1, вторым-0,2, третьим-0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает год. 5. станке, В ящике находятся детали, из которых 12 изготовлены на первом 20-на втором,16- на третьем. Вероятность того, что детали изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества, соответственно равна 0,9, 0,8 и 0,6. Какова вероятность того, что взятая на удачу деталь будет отличного качества? 6. На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором-35% и на третьем 25%, причем на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором-80% и на третьем-70%. Какова вероятность того, что взятая на удачу деталь будет первого сорта? 7. 18 деталей изготовлены в первом цехе, 20 - во втором, 21- в третьем, 15- в четвертом. Первый и третий цех дают не бракованную 26 продукцию с вероятностью 0,9; 2-ой и 4-ый с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что взятая на удачу деталь будет бракованной? 8. Прибор работает в 2-х режимах :в благоприятном и в неблагоприятном, причем в благоприятном режиме работа прибора происходит в 32% всех случаев. Вероятность выхода прибора из строя в течение часа при благоприятном режиме работы равна 0,2, при неблагоприятном-0,6. Определить вероятность поломки прибора в течение часа. 9. Четыре станка производят соответственно 25%, 25%, 30%, 20% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 2%, 1%, 2%, 1,5%. Какова вероятность того, что выбранное наугад изделие окажется отличного качества? 10. Радиолампа поступила с одного из трех заводов соответственно с вероятностями 0,35, 0,50 и 0,15. Вероятность выйти из строя в течение года для ламп, изготовленных первым заводом, равна 0,15, вторым-0,12, третьим-0,41. Определить вероятность того, что лампа выйдет из строя в течение года. 11. Случайная величина Х имеет следующий закон распределения: 2 1/4 4 6 8 10 1/8 1/4 1/8 1/4 Найти MX и DX . 12. Производится 4 выстрела. Вероятность поподания в цель, при каждом выстреле равна 0,6. Найти закон распределения случайной величины Х(число попаданий в мишень), MX и DX. 13. Монета подбрасывается 5раз. Рассматривается случайная величина Х –число появлений герба. Найти закон распределения случайной величины Х, MX и DX. 14. Игральная кость подбрасывается 3 раза. Рассматривается случайная величина Х –число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения случайной величины Х, MX и DX. 27 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 11 Решение простейших задач по математической статистике Цель: отработать навыки решения простейших задач по математической статистике. Теоретическая часть Математическая статистика – раздел математики, посвящённый методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей. Математическая статистика тесно связана с теорией вероятности и опирается на её выводы. Практическая часть 1. Записать вариационный ряд и статистическое распределение элементов выборки 5, 0, 3, 7, 0, 10, 5, 0, 5, 2, 10, 2, 0, 7, 2, 0, 4, 7, 7, 4 – из числа рабочих дней в году, пропущенных по болезни работниками магазина. Определить размах выборки. 2. Дано время недельной загрузки электрических духовых шкафов 50 обследованных предприятий общественного питания в часах: 38 60 41 51 33 42 45 21 53 60 60 52 47 46 49 49 14 57 54 59 77 47 28 48 58 32 42 58 61 30 61 35 47 72 41 45 44 56 30 40 67 65 39 48 43 60 54 42 59 50 Найти размах выборки, число и длину интервалов, а также составить таблицу частот (записать групированное статистическое распределение) Первый интервал 14-23. 3. Построить полигон и гистограмму частот и относительных частот по группированной выборке задачи 2. 28 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядка Цель: сформировать умения и навыки вычисления определителей 2-ого и 3-его порядка. Теоретическая часть определители 2-ого порядка вычисляются по формуле: а1 в1 а 2 в2 a1 в2 a 2 в1 определители 3-ого порядка вычисляются по схеме (метод треугольников): определители 3-ого порядка можно вычислить, разложив по 1-ой строке: а 1 в1 с1 а 2 в 2 с 2 а1 а 3 в3 с3 в2 с2 в3 с3 - в1 а 2 с2 а 3 с3 с1 а 2 в2 а 3 в3 Знаки перед множителями а1, в1, с1 определяются по схеме: - - - Практическая часть 1 Вычислить определители 2-ого порядка: 4 3 21 25 , , 30 40 5 8 8 4 , 12 2 01 , 4 2 28 46 , 31 12 28 32 64 19 2 Вычислить определители 3-ого порядка методом треугольников, либо расширением: 29 32 33 4 80 30 55 , 40 45 82 2 8 7 15 31 18 , 10 12 20 2 12 14 11 4 15 , 13 16 6 31 28 11 25 0 36 . 18 22 43 3 Вычислить определители 3-ого порядка: А) разложив определитель по 1-ой строке 0 8 25 4 3 2 5 8 16 25 31 62 Б) разложив определитель по 2-ой строке 0 21 0 44 33 22 31 28 11 В) разложив определитель по 2-му столбцу 25 0 36 18 0 43 61 23 35 54 85 77 Г) наиболее удобным способом 55 64 23 и 54 65 0 . 56 0 0 55 12 0 4 Проверьте правильность вычислений с помощью электронных таблиц. 30 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 13 Действия над матрицами Цель: Сформировать навыки и умения действий над матрицами. Теоретическая часть Сложение матриц: результатом сложения двух матриц является матрица, каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц. А+В=С, где сij aij bij Умножение матриц: результатом умножения двух матриц является матрица, каждый элемент которой является результатом перемножения соответствующей строки первой матрицы на соответствующий столбец второй матрицы. n АВ=С, где сij ail blj l 1 Умножение матрицы на число: результатом умножения матрицы на число является матрица, каждый элемент которой умножен на это число. dА=С, где сij d aij Определение: Единичной матрицей называется такая квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единицам, а остальные равны нулю. 1 0 0 Е 0 1 0 0 0 1 Практическая часть Даны матрицы А и В (смотри ниже). 1 Выполните действия: АВ, ВА, А2, В2 2 Найти значение матричного многочлена: 31 А) 4(2А+3В) Г) (Е+А)6+В Б) А2+В+3Е Д) (В+5А)10+ А2+4В2 В) 4В2+Е+2А Е) 2 А2 +3(Е+4 В2) 3 Какую матрицу С нужно прибавить к матрице А, чтобы получить единичную? 4 Какую матрицу D нужно прибавить к матрице В, чтобы получить единичную? 5 Проверьте правильность вычислений с помощью электронных таблиц. Вариант 1: Вариант 6: 2 2 3 1 2 2 A 1 1 0 , B 2 1 - 2 1 2 1 2 - 2 1 1 2 2 2 2 3 A 2 1 - 2 , B 1 1 0 2 - 2 1 1 2 1 Вариант 2: Вариант 7: 1 1 2 3 2 - 1 A 2 - 1 2 , B 1 - 1 3 4 1 4 2 - 3 4 - 2 - 2 3 1 - 2 2 A - 1 1 0 , B 2 1 2 1 2 -1 2 2 - 1 Вариант 3: Вариант 8: 3 2 - 1 1 1 2 A 1 - 1 3 , B 2 - 1 2 2 - 3 4 4 1 4 1 1 - 2 3 - 2 -1 A 2 1 2 , B 1 1 3 4 1 4 2 3 - 4 Вариант 4: Вариант 9: 1 - 2 3 1 2 2 A 2 - 4 1 , B 2 1 - 2 3 - 3 2 2 - 2 1 - 3 2 1 1 1 2 A - 1 1 3 , B 2 1 2 2 3 - 4 4 -1 4 Вариант 5: Вариант 10: 1 1 2 1 - 2 3 A 2 - 1 2 , B 2 - 4 1 4 1 4 3 - 3 2 1 2 3 -1 2 2 A 2 - 4 - 1 , B - 2 1 2 3 3 - 2 2 - 2 1 32 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 14 Решение систем линейных уравнений методом Крамера Цель: закрепить умения и навыки решения систем 2-х и 3-х линейных уравнений методом Крамера. Теоретическая часть Определение1: Совокупность чисел называется решением системы, если она обращает все уравнения в тождества. Определение2: Система совместна, если имеет хотя бы одно решение, и несовместна если не имеет ни одного решения. Определение3: Система определённая и совместная, если обладает единственным решением; неопределённая совместная, если решений больше одного (бесконечно много). Формулы см. в лекциях. Практическая часть Решить системы уравнений методом Крамера: x 2 y z 0 3x 5 y 2 z 0 А) 2 x y 1 5 4 x 2 y 1 3 Б) 3x 2 y 1 6 9 x 6 y 1 2 В) 3x 2 y z 8 Г) x 3 y z 1 2 x 13 y 5 z 13 x y z 0 Д) 3x 6 y 5 z 0 x 4 y 3z 0 5 х y z 0 Е) x 6 y z 0 x y 7 z 0 х 3 y 6 z 12 Ж) 3x 2 y 5 z 10 2 x 5 y 3z 6 (a b) x (a b) y 4ab З) 2 2 (a b) x (a b) y 2(a b ) ax by (a b) z 0 И) bx ay (a b) z 0 x y 2z 0 Проверьте правильность помощью (где возможно) вычислений электронных с таблиц. 33 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 15 Решение систем линейных уравнений матричным методом Цель: закрепить умения и навыки решения систем линейных уравнений матричным методом. Теоретическая часть Алгоритм решения систем линейных уравнений матричным методом: 1) Записать систему уравнений в матричном виде : АХ=В, где Аматрица коэффициентов перед неизвестными, Х – матрица-столбец неизвестных, В- матрица-столбец свободных членов. 2) Вычислить А−1 (обратную матрицу) 3) Х = А−1 ∙ В Практическая часть Решить системы уравнений матричным методом 2 х y 2 z 1 А) 3x y 2 z 1 4 x y 5 z 3 4 x 3 y 2 z 1 0 Д) 2 x 5 y 3z 16 0 3x 2 y 4 z 4 0 3x 3 y 2 z 7 0 Б) x 2 y 3z 4 0 2 x e z 3 0 3x y z 1 0 Е) x 2 y 3z 4 0 2 x 4 y 5 z 3 0 2 x 4 y 3 z 1 В) 3x y 5 z 2 x 2 y 4z 3 3x 2 y z 3 Ж) 2 x y 3z 21 x y z 5 2 х у 3z 0 Г) x 3 y 4 z 11 3x 2 y z 7 Проверьте вычислений правильность с помощью электронных таблиц. 34 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 16 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Цель: закрепить умения и навыки решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Теоретическая часть Определение1: Совокупность чисел называется решением системы, если она обращает все уравнения в тождества. Определение2: Система совместна, если имеет хотя бы одно решение, и несовместна, если не имеет ни одного решения. Определение3: Система определённая и совместная, если обладает единственным решением; неопределённая совместная, если решений больше одного (бесконечно много). Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса: 1 Записать расширенную матрицу системы линейных уравнений 2 Привести матрицу к ступенчатому виду 3 СЛУ определённая и совместная (имеет одно решение), если матрица принимает треугольный вид (решение находят подстановкой) СЛУ неопределённая и совместная (имеет бесконечно много решений), если матрица принимает трапецеидальный вид. Практическая часть Решить системы уравнений методом Гаусса: x y z 2 А) 2 x y z 3 x y z 6 2 x 2 y z 4 В) 3x y 3z 7 x y 2z 3 3x y 5 Б) 2 x y z 0 2 x y 4 z 15 4 x 2 y 3z 2 Г) 2 x 8 y z 8 9 x y 8 z 0 35 2 x 3 y 5 z 0 Д) 3x y 9 z 33 0 5 x 3 y 2 z 21 0 5 x y 7 z 15 0 Е) 3x 4 y 2 z 26 0 7 x 2 y 5 z 24 0 Проверьте правильность вычислений с помощью электронных таблиц. 36 СПИСОК ИСТОЧНИКОВ 1 Пехлецкий И.Д. Математика, М. Издательский дом «Академия», 2007 2 Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика, М. Издательский дом «Академия», 2010 3 Григорьев С.Г., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики, М. Издательский дом «Академия», 2008 4 Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, М. Издательский дом «Академия», 2007 5 Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика, М. Издательский дом «Академия», 2010 6 Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, ч2, М. «Наука», 1978 5 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, М. «Оникс», 2006 37