§ 15. Гильбертовы пространства Гильбертово пространство – линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или , полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением. Рассмотрим случай действительного (вещественного) поля . Определение. Пусть X – ЛП над полем , говорят, что на этом ЛП введено скалярное (внутреннее) произведение, если каждым двум элементам этого пространства x , y X ставится в соответствие вещественное число ( x , y ) , этот закон должен обладать свойствами: 1) для любого x X : ( x, x ) 0, и, кроме того, ( x, x ) =0, тогда и только тогда, x =0; 2) для любых x, y X : ( x, y ) = ( y , x) – коммутативность скалярного произведения; 3) для любых x, y , z X : ( x y, z ) = ( x, z ) + ( y , z ) – аддитивность скалярного произведения; 4) для любых x, y X и любого : ( x, y ) = ( x, y ) – однородность скалярного произведения. Исходя из 3 и 4, скалярное произведение является линейной функцией каждого аргумента. Получили евклидово пространство. Рассмотрим случай комплексного поля . Определение. X – ЛП над полем . Каждой паре элементов X ставится в соответствие число , то есть, для любых x , y X соответствие число ( x , y ) . При этом для любых x , y X и любых выполнены свойства: 1) ( x, x ) 0, и, кроме того, ( x, x ) = 0, тогда и только тогда, x = 0; 2) ( x, y ) = ( y , x) – антикоммутативность скалярного произведения; 3) ( x y, z ) = ( x, z ) + ( y , z ) – аддитивность скалярного произведения; 4) ( , x, y ) = ( x, y ) , но ( x, y ) = ( x, y ) – однородность по первому 131 аргументу скалярного произведения, антиоднородность по второму аргументу скалярного произведения. Получим унитарное пространство. Эти пространства являются пространствами со скалярным произведением и называются предгильбертовыми, то есть, пространствами без полноты. Будем рассматривать только пространства, то есть, действительные (вещественные) предгильбертовы пространства гильбертовы со скалярным произведением и полнотой. Норма в пространстве со скалярным произведением Берем ( x, x ) , положим || x || = ( x, x) . Проверим, выполняется ли неравенство треугольника для ( x, x ) , то есть, для любых x, y X выполняется || x y || || x || + || y || . Распишем: ( x y, x y ) = ( x, x ) + ( x, y ) + ( y, y ) + ( y , x) = ( x, x ) +2 ( x, y ) + ( y, y ) . Используем коммутативность, то есть: || x y ||2 = || x ||2 + || y ||2 +2 ( x, y ) . Далее докажем: | ( x, y ) | || x || || y || , то есть, докажем || x y || || x || + || y || . Можно ли утверждать, что: | ( x, y ) | || x || || y || – это называет неравенство Коши-Буняковского-Шварца. y Случай y =0 – неинтересен. Пусть y 0, рассмотрим x, = | ( x, z ) | , || y || где z = y , || z || = 1. Итак, надо доказать неравенство | ( x, z ) | || x || для || y || любого z : || z || = 1. Видим, что x ( x, z ) z, x ( x, z ) z = ( x, x ) – 2 ( x, z )2 + ( x, z )2 = ( x, x ) – – ( x, z )2 0, то есть, | ( x, z ) | || x || , что и требовалось доказать. То есть, верно, | ( x, y ) | || x || || y || . Пусть далее, H – гильбертово пространство. 132 Примеры. 1. Пусть H = 3 . Каждому вектору ставится в соответствие координаты в 3 базисе i , j , k : x = ( x1 , x2 , x3 ) , ( x, y ) = xi yi . i 1 n 2. Пусть X , скалярное произведение ( x, y ) = xi yi . n X (, ) = H – i 1 предгильбертово пространство, но оно в конечном счете должно быть полным и соответственно гильбертовым. Можно описать все возможные скалярные произведения в n . Оказывается, что всякая симметричная положительно определенная матрица n A {aij }in, j 1 , где aij a ji , задает по формуле ( x, y ) A aij xi y j скалярное i , j 1 произведение в пространстве n . Необходимыми и достаточными условиями положительной определенности данной симметричной матрицы A {aij }in, j 1 служат неравенства a11 a12 a11 a12 a11 0 , 0 , a21 a22 a21 a22 a31 a32 a11 a1n a13 a23 0 ,…, det A 0 an1 ann a33 (критерий Сильвестра). X l2 , 3. Пусть x ( x1 ,..., xn ,...) , последовательности 2 удовлетворять условию: x : xi , причем || x ||2 = i 1 должны 2 i x . Значит, ( x, y ) = i 1 x y . Значит, l i i 2 H. i 1 1 4. Пусть X = C[0,1] , ( x, y ) = x(t ) y(t )dt . Введя такое скалярное 0 произведение, получили неполное пространство. В случае C[0,1] норма 1 || x || = x 2 (t )dt такова, что полноты нет. 0 133 Свойства скалярного произведения 1. Скалярное произведение является непрерывной функцией своих аргументов, но такое, что непрерывность (, ) : {xn } , xn x , { yn } , yn y , это значит, что числовая последовательность ( xn , yn ) сходится к ( x, y ) , значению в предельной точке. Непрерывность скалярного произведения (, ) означает, что значение последовательности в предельной точке сходится. Оценим: | ( x, y ) ( xn , yn ) | = | [( x, y ) ( xn , y )] + [( xn , y ) ( xn , yn )] | | ( x xn , y ) | + | ( xn , y yn ) | , | ( x xn , y ) | || x xn || || y || 0 при n , | ( xn , y yn ) | || xn || || y yn || 0 при n . Всякая сходящаяся последовательность ограничена, значит ( x, y ) ( xn , yn ) 0 при n . 2. Угол между x, y H X , (, ) . Рассмотрим только вещественные пространства. Определим: cos( x , y) = ( x, y ) || x || || y || ( ( x, y ) 1 в силу || x || || y || неравенства Коши-Буняковского-Шварца). 3. Ортогональность: x y означает, что ( x, y ) = 0. 4. Ортогональное дополнение множества. Возьмем любое подмножество M X , определим M = {x X : ( x, z ) = 0 для любого z M } . z k элемент ортогонального дополнения y x M 134 Пусть M H , M – произвольное множество гильбертова пространства. M – множество всех элементов, ортогональных множеству M . Пусть x M , y M , образуем новый элемент: для любых , h x y. Проверим, что h M . Знаем, ( x, z ) = 0 для z M , ( y, z ) = 0 для любого z M . Вычислим: ( h, z ) = ( x y, z ) = ( x, z ) ( y, z ) = 0 для любого z M . То есть h M . Докажем замкнутость M. Возьмем последовательность xn M : ( xn , z )=0 для любого z M при n , ( x, z ) = 0, поскольку скалярное произведение непрерывно, то x M . Каково бы ни было M , все M – замкнуто. 5. Справедливо тождество || x y ||2 || x y ||2 = ( x y, x y ) ( x y, x y ) = … = 2 || x ||2 2 || y ||2 (тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей = сумме квадратов всех сторон параллелограмма). x+y y x–y x Теорема о ближайшем элементе Пусть дано гильбертово пространство H со скалярным произведением (, ) . В этом случае можно определить расстояние между двумя элементами: ( x, z ) = || x z || = ( x z, x z ) . Можно также определить расстояние между элементами x и множеством M : ( x, M ) = inf ( x, z ) . zM Здесь d = inf – число положительное, если x M , она существует, это 135 точная нижняя граница: а) || x z || d , б) для любого 0 существует z M : || x z || d . «Ближайший» элемент – элемент, который реализует расстояние от M , до множества (но он не всегда существует). Это y M : ( x, y ) ( x, M ) = inf ( x, z ) . zM z M M y1 y y2 x x Теорема. Пусть H гильбертово пространство, M H , M – замкнутое и выпуклое, x M . Тогда в множестве M существует и единственный ближайший к x элемент y M : || x y || inf ( x, z ) . zM Доказательство. Пусть 1) d = inf || x z || . zM 2) Возьмем { yn } , n , yn : inf || x yn || d . n x y H 136 Покажем, что последовательность { yn } есть фундаментальная. Вычислим: || yn ym ||2 = || ( yn x) – ( ym x) ||2 = 2 || yn x ||2 + 2 || ym x ||2 – || ( yn x) + + ( ym x) ||2 = 2 || yn x ||2 + 2 || ym x ||2 – || yn ym 2 x ||2 = (два выносим из-под 2 y ym знака нормы) = 2 || yn x || + 2 || ym x || – 4 n x … 2 2 2 Так как, справедливо: a) y n ym M , так как, M – выпуклое; 2 2 b) yn ym x d по определению d ( d = inf). 2 … 2 || yn x ||2 + 2 || ym x ||2 – 4 d 2 2d 2 + 2d 2 – 4d 2 = 0 при n, m , lim || yn ym || 0, || yn ym || 0, то есть, { yn } – фундаментальная. n , m n , m 3) yn y (в силу полноты), y M – так как, это предельная точка замкнутого множества M . 4) Доказательство единственности: допустим, что существует два элемента y1 и y2 , y1 y2 – «ближайшее» к x : ( x, M ) ( x, y1 ) ( x, y2 ) d . Найдем расстояние между ними: || y1 y2 ||2 = || ( y1 x) ( y2 x ) ||2 = y y2 = 2 || y1 x || + 2 || y2 x || – 4 1 x 2 2 2 2 0, значит || y1 y2 || = 0 и, поэтому, y1 y2 , что противоречит допущению, что и требовалось доказать. Наряду с термином «ближайший» элемент, используют термин элемент «наилучшего приближения». Теорема об ортогональном разложении гильбертова пространства Теорема. Пусть дано гильбертово пространство H , M – замкнутое 137 линейное подпространство, M H . Тогда: H M M , то есть, для любого xH справедливо равенство x g h, g M , hM – определены единственным образом. 1) Доказательство. M – удовлетворяет условиям теоремы о «ближайшем» элементе (выпуклое и замкнутое), возьмем в качестве g – ближайший элемент (однозначно): g ПpH x (проекция x на H ). 2) Докажем: h x g M , то есть, ( x g , z ) = 0 для любого z M . Справедливо равенство: || x g z ||2 || x g ||2 , так как g – «ближайший» элемент z M , . Оценим: ( x g z , x g z ) ( x g , x g ), ( x g , x g ) – 2 ( x g , z) + 2 ( z, z ) ( x g , x g ) , 2 ( z , z ) – 2 ( x g , z ) 0, 2 ( x g , z ) 2 ( z , z ) . а) Пусть 0 , тогда 2 ( x g , z ) ( z, z ) . б) Пусть 0 , тогда 2 ( x g , z ) ( z, z ) . В каждом случае перехода к пределу, получим: а) ( x g , z ) 0, б) ( x g , z ) 0, значит ( x g , z ) = 0, для любого z M . Таким образом, элемент h M , h x g . Итак, разложение доказано, докажем единственность. 3) Единственность (доказательство от противного). Пусть x = g1 + h1 , x g 2 h2 g i M , hi M , i 1, 2 . Далее очевидно. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве Пусть дано гильбертово пространство Н и дана счетная система {k }k1 H . 138 Определение. Будем называть систему {k }k1 ортонормированной 0, i k , системой, если (i , k ) = 1, i k . Рассмотрим вопрос о нахождении коэффициентов разложения элемента x по элементам ортонормированной системы { n } . Предполагаем, что такое разложение существует: разложение x по { n } – по ортонормированной системе. Допустим, что разложение x nn имеет n 1 место. Как найти коэффициенты разложения n ? Возьмем формулу x n n будем умножать последовательно на n 1 1 ,..., n ,… Умножаем на 1 : ( x, 1 ) 1 (коэффициент = 1 в силу ортонормированной системы). Умножаем на 2 : ( x, 2 ) 2 и так далее. Умножим на k : ( x, k ) k Получаем формулу нахождения коэффициентов Фурье. Здесь k – k -й коэффициент Фурье элемента x . Получаем, что n n n 1 – ряд Фурье элемента по ортонормированном системе { n } . Сходимость ряда Фурье, это значит, что ряд n n – сходится, это n 1 N означает, что последовательность RN nn , {RN } – сходится, то есть, n 1 lim RN R : || RN R || 0 при N . N Некоторые свойства ряда Фурье Теорема. Пусть { n } – ортонормированная система в гильбертовом пространстве Н, n ( x, n ) – коэффициент Фурье. Тогда выполнено следующее: 139 m m 1) x n n x n n для любого x H для любого { n } и n 1 n 1 для любого m ; 2) 2 n || x ||2 – неравенство Бесселя. n 1 Теорема. Пусть { n } – ортонормированная система в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Следующие утверждения эквивалентны: 1) Sp{n } = H (замыкание линейной оболочки = Н); 2) Sp{ n } {0} ; 3) { n } – ортонормированный базис в Н; 4) ( x, ) n 2 = || x ||2 для любого x H . n 1 Комментарии к утверждениям 1-4. Свойство 2 называют полнотой системы { n } . Свойство 3: для любого x H существует единственный набор { n } , такой, что x nn . Свойство 4: равенство Парсеваля-Стеклова n 1 (аналог теоремы Пифагора). Примеры ортонормированных систем – базис тригонометрических и полиномиальных функций. Ортогонализация Грама-Шмидта Пусть Н – гильбертово пространство (а также может быть и в предгильбертовом пространство). Пусть { n } – линейно независимая система, нужно из нее получить { n } – ортонормированную систему, и при этом Sp{ n } = Sp{ n } . Предложить алгоритм: 1) возьмем: h1 1 , 1 = h1 – нормировка элемента; || h1 || 140 2) затем возьмем: h2 2 1 1 , 1 ( 2 , 1 ) , 2 h2 2 ( 2 ,1 ) 1 , h2 . || h2 || Выполняем эти действия: k ) hk k 11 – 2 2 – … – k 1 k 1 , где i ( k , i ) , k 1 hk k ( k , i ) i , k (*) i 1 hk , k 2,3,... || hk || Совпадение линейной оболочек систем n и n вытекает из формулы (*), связывающей элементы этих систем. Теорема. Во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве Н, существует ортонормированный базис (см. п. 3 предыдущей теоремы). Пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное, всюду плотное множество. Доказательство. Пусть { n } – счетная, всюду плотная система в Н. После ортонормировки Грама-Шмидта получится { n } , замыкание линейной оболочки этой системы: Sp{n } = Н, смотри п. 1 теоремы об эквивалентности в силу сепарабельности Н. Значит, { n } – это ортонормированный базис в гильбертовом пространстве H. Пример. l2 x ( x1 ,..., xn ,...), 2 i x i 1 – линейное пространство, ( x, y ) xi yi определим скалярное произведение. Тогда H = l2 . i 1 Теорема. Всякое сепарабельное гильбертово пространство изоморфно пространству l2 . Доказательство вытекает непосредственно из предыдущей теоремы. Соответствующий элемент пространства l2 представляет собой последовательность коэффициентов Фурье элемента x пространства Н. Обозначение: H l2 , то есть, изоморфно, xH соответствует {1 ,..., n ,...} l2 , y H соответствует {1 ,..., n ,...} l2 . Тогда x + y H , и, 141 соответственно {1 ,..., n ,...} + {1 ,..., n ,...} l2 . Примеры. 1. Пространство L2 [a, b] L2[a, b] классов действительнозначных функций является гильбертовым пространством, если положить b ( x, y ) x(t ) y (t ) dt . a 2. Вещественное L2 [a, b] L2, [a, b] пространство классов функций, измеримых на отрезке [a, b] и имеющих на этом отрезке суммируемый с весом (t ) ( (t ) 0 п.в.) квадрат модуля, является гильбертовым пространством, если положить b ( x, y ) (t ) x(t ) y (t ) dt . a Пространство n , l2 и пространства из примеров 1, 2 называются классическими вещественными пространствами Гильберта. Заметим, что эти пространства сепарабельны. 142 Задачи к § 15 1. Доказать, что в вещественном линейном пространстве со скалярным произведением: а) для любых элементов x, y , z имеет место тождество Аполлония: || z x ||2 || z y ||2 = 1 x y 2 || x y ||2 2 || z || ; 2 2 б) для любых элементов x, y , z, t имеет место неравенство Птолемея: || x z || || y t || ≤ || x y || || z t || || y z || || x t || ; когда в нем реализуется равенство. 2. Доказать, что в гильбертовом пространстве имеет место тождество параллелограмма: || x y ||2 || x y ||2 = 2 || x ||2 2 || y ||2 . 2. В гильбертовом пространстве , ( x, y ) = 3 3 x y , для данного элемента i i i 1 f найти в подпространстве M 3 ближайший элемент и вычислить ( f ,M ) : а) f = (1,1,1), M – линейная оболочка, натянутая на элементы (1,0,1) и (0,1,1); б) f = (2,3,1), M – линейная оболочка, натянутая на элементы (1,1,1) и (0,0,0); в) f = (– 4,1,2), M – линейная оболочка, натянутая на элементы (1,1,0) и (2,0,3); г) f = (2,1,2), M – множество решений однородного уравнения x1 – x2 + 2 x3 = 0. Указание: воспользоваться тем, что ближайшим элементом для f в подпространстве M является первое слагаемое в ортогональном расположении f = g h, g M , hM . 3. Пусть элементы 1 , 2 предгильбертова пространства H линейно 143 независимы. Среди линейных комбинаций элементов 1 и 2 найти элемент , ортогональный к 1 и имеющий единичную норму: а) H = 3 , 1 = (1,1,0), 2 = (1,1,1); 1 б) H = C[0,1] , ( x, y ) = x(t ) y(t )dt , (t ) t , 1 2 (t ) = t 2 ; 0 в) предположить алгоритм нахождения в общем случае. 4. Убедиться в том. что функции 1, sin t , cos t образуют ортогональную систему в предгильбертовом пространстве C[ , ] со скалярным произведением ( x, y ) = x(t ) y (t )dt . 5. Найти угол между элементами x(t ) = sin t и y (t ) = t в пространстве L2 [0,1] . 6. Найти углы треугольника, образованного в пространстве L2 [1,1] элементами x1 (t ) = 0, x2 (t ) = t , x3 (t ) = t 2 . 7. Доказать, что в пространстве L2 [0,1] множество 1 M = x L2 [0,1]: x(t )dt 0 0 является подпространством. Описать подпространство M . 8. В пространстве L2 [0,1] найти расстояние от элемента x (t ) t 2 до 1 подпространства M = x L2 [0,1]: x(t )dt 0 . 0 9. В пространстве L2 [0,1] найти расстояние от элемента x (t ) t 2 до подпространства многочленов степени не выше первой. 10. В пространстве L2 [0,1] найти проекцию элемента подпространство многочленов степени m n : а) n = 0, б) n = 1, в) n = 2. 144 x (t ) t 3 на Список литературы к § 15 1. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1988. 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. Серия «Классический университетский учебник». М: Физматлит, 2004. 3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. 2-е изд. Учеб. пособие. М.: Лань, 2009. 4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1965. 5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ / Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 6. Треногин В.А. Функциональный анализ: Учеб. пособие. 3-е изд., испр. М.: Физматлит, 2002. 7. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. М.: Физматлит, 2002. 8. Функциональный анализ / Под общей ред. С.Г. Крейна. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1972. 9. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 10. Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). Ч. 3. М.: Науки, 1970. 145