Алгебра в примерах и задачах. Результант. Дискриминант

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Алгебра в примерах и задачах.
Результант. Дискриминант. Системы двух алгебраических уравнений
с двумя неизвестными и их решение методом исключения
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
Результант. Дискриминант
Рассмотрим два многочлена натуральной степени над полем K :
f  a 0 x n  a1 x n 1    a n 1 x  a n , g  b0 x m  b1 x m 1    bm 1 x  bm .
Результантом многочленов f и g является определитель
a 0 a1  a n 1 a n 0 0  0 
0 a 0  a n  2 a n 1 a n 0  0 
m строк
       

.
R f , g   0    0
a 0 a1  a n 
b0 b1   bm 0 0  0 

0 b0   bm 1 bm 0  0  n строк

0   0
b1  bm 1 bm 
R f , g   0 тогда и только тогда, когда f и g имеют хотя бы один общий
корень.
Задача 54. Имеют ли многочлены f  x 3  3 2  1 , g  2 x 4  5 x 2  x  1
над  хотя бы один общий корень?
Решение. Составляем результант R f , g  и проверяем, равен ли он 0.
1 3 0
1
0
0
0
0 1 3 0
1
0
0
0 0
1 3 0
1
0
R f , g   0 0
0
1 3 0
1  543  0 , значит,
2 0  5 1 1 0
0
0 2
0  5 1 1 0
0 0
2
0  5 1 1
многочлены f и g общих корней не имеют.
f  a 0 x n  a1 x n 1    a n 1 x  a n
nn 1
является многочлен  f   R f, f '    1 2  a 01 .
Дискриминант  f  тогда и только тогда равен нулю, когда многочлен
f имеет хотя бы один кратный корень.
Дискриминантом
многочлена
Задача 55. Имеет ли многочлен f  x 3  3 x  7 кратные корни?
Решение. Найдем f ' и построим  f  . Если  f   0 , то кратных
корней f не имеет, если D  f   0 , то f имеет кратные корни.
f '  3x 2  3 .-
1
0
 f   3
0
0
0 3 7
0
1 0 3 7
0
1 0 3 7
0 1 0 3 7
3
1
0 3 0
0   1  1   3 0  3 0
0  1215  0 .
3 0 3 0
0 3 0 3 0
0 3
0 3
0 0 3
0 3
Следовательно f  x 3  3 x  7 кратных корней не имеет.
Системы двух алгебраических уравнений
с двумя неизвестными и их решение методом исключения
Пусть даны два многочлена f и g от двух неизвестных x и y над
некоторым полем K .
Система уравнений
 f  x, y   0
(1)



g
x
,
y

0

называется системой двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными.
Решением такой системы называется упорядоченная пара  ,   элементов
поля K , удовлетворяющая каждому уравнению этой системы. Решить
систему – это значит найти множество ее решений.
Метод исключения неизвестного состоит из выполнения следующих
шагов.
1 шаг. Выделим в многочленах f и g одно из неизвестных, например,
x . Тогда система принимает вид:
a 0  y  x n  a1  y  x n 1    a n 1  y  x  a n  y   0
(2)

m
m 1








b
y
x

b
y
x



b
y
x

b
y

0
1
m 1
m
 0
Это система двух уравнений от одного неизвестного x с
коэффициентами из кольца K  y  , где K – поля:
F  x   0
на K x .



G
x

0

Многочлены F  x  и G x  имеют общий корень тогда и только тогда,
когда их результант равен 0.
2 шаг. Находим RF , G     y  и смотрим, при каких значениях y он
равен нулю. Например, при y  y1 .
3 шаг. Подставляем значения y  y1 в систему (2):
q x   0
(3) над K .

h x   0
Многочлены g  x  и h x  имеют множество общих совпадающее с
множеством корней НОД q, h  .
4 шаг. Находим НОД q, h   d  x  и все его корни. Пусть таким корнем
будут x  x1 и x  x 2 .
5 шаг. Определяем все корни системы (1):
 x1 , y1  , x 2 , y1  .
Задача 56. Решить систему в :
 x 2 y  3xy  2 y  3  0
.

2 xy  2 x  2 y  3  0
f  x, y   x 2 y 3xy 2 y  3 ,
Решение.
Обозначим
g  x, y   2 xy 2 x 2 y  3 .
1 шаг. Исключим из системы неизвестное x :
 y  x 2  3 y  x  2 y  3  0
F  x    y  x 2  3 y  x  2 y  3,
, где

G  x   2 y  2 x  2 y  3.




2
y

2
x

2
y

3

0

2 шаг. Найдем результант многочленов F и G :
g
3y
2y  3
RF , G   2 y  2 2 y  3
0
 2 y 2  11 y  12 .
0
2y  2 2y  3
3
RF , G   0 только при y1  4 , y 2   .
2
3 шаг. 1) Подставляем y1  4 в исходную систему:
 4 x 2  12 x  5  0,

 10 x  5  0,
q1  x   4 x 2  12 x  5,
h1  x   10 x  5.
1
Находим НОД q1 , h1   2 x  1 , единственный корень которого x1   .
2
 1

Решение заданной системы: 1    ;  4  .
 2

3
2) Подставляем y 2   в исходную систему:
2
 3 2 9
 x  x0
.
 2
2
 5 x  0
Единственный корень этой системы x  0 .
3

Решение заданной системы  2   0;   .
2

Следовательно, исходная система имеет два решения:
 1
 2




3
2
1    ;  4  и  2   0;   .
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.
3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. –
160 с.
4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре.
Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.
5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. –
144 с.
6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.
7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.
8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.:
Просвещение, 1969. – 276 с.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.
10.Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
11.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
12.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во
МГУ, 1965. – 40 с.
13.Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. –
183 с.
14.Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. –
302 с.
15.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. –
332 с.
16.Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.
17.Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:
Наука, 1977. – 228 с.
18.Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш.
шк., 1982. – 223 с.