Вопросы вступительного экзамена в аспирантуру по специальности

Вопросы вступительного экзамена в аспирантуру по специальности
математическая логика, алгебра и теория чисел (теория чисел).
I. Делимость
1. Теорема о делении с остатком. Отношения делимости и сравнимости в кольце целых
чисел. НОД и НОК.
2. Простые составные числа. Решето Эратосфена.
3. Многочлены с простыми значениями. Алгоритм Евклида. Нахождение НОД и НОК.
4. Неопределенные уравнения 1-й степени.
5. Свойства взаимно простых чисел. Основное свойство простого числа. Каноническое
разложение.
6. Арифметические функции. Целая и дробная часть числа. Сумма и число делителей.
II. Числовые функции
1. Основная теорема арифметики. Кольца с однозначным и неоднозначным
разложением на множители. Арифметические приложения основной теоремы.
Классы иррациональностей.
2. Числовые функции. Функция Мёбиуса. Функция Эйлера. Мультипликативность.
Явные формулы.
3. Тождество Гаусса для функции Эйлера. Формула Лежандра для числа простых
чисел.
4. Теорема П.Л. Чебышева для числа простых чисел, не превосходящих данной
границы.
5. Оценка n-го простого числа. Расходимость ряда, обратных простым.
6. Понятие об асимптотическом законе распределения простых чисел.
III. Теория сравнений
1. Сравнение по натуральному модулю. Классы целых чисел по данному модулю.
Кольцо классов чисел.
2. Мультипликативная группа классов чисел, взаимно простых с модулем. Полная и
приведенная система вычетов по данному модулю.
3. Теорема Эйлера и Ферма. Псевдопростые числа.
4. Приложения теории сравнений к выводу признаков делимости, определению
остатков от деления арифметических выражений и др.
5. Показатель числа по данному модулю. Свойства показателей. Вычисление
показателя. Редукция к простому модулю.
6. Длина периода разложения обыкновенной дроби в систематическую.
7. Первообразные корни по простому и составному модулю. Индексы и их свойства.
8. Сравнения и системы сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках.
9. Неопределенное уравнение первой степени. Способы решения сравнений первой
степени.
10. Сравнение по простому модулю. Теоремы о числе решений и о понижении степени.
11. Теорема Вильсона.
12. Точная формула для числа простых чисел и для n-го простого числа.
13. Сравнение с одним неизвестным по составному модулю. Редукция к сравнению по
степени простого и к простому модулю.
14. Двучленные сравнения. Сравнения второй степени. Квадратичные вычеты и
невычеты. Символ Лежандра и его свойства.
15. Критерий Эйлера. Квадратичный закон взаимности.
16. Приложения свойств символа Лежандра к определению простых делителей
квадратичной формы, доказательства бесконечности множества простых чисел в
арифметических прогрессиях.
17. Теорема Дирихле о бесконечности простых в арифметических прогрессиях.
IV. Цепные дроби
1. Цепные дроби. Полные частные и подходящие дроби, их свойства.
2. Представление действительных чисел цепными дробями. Возможность и
единственность такого представления.
3. Приближение действительных чисел подходящими дробями.
4. Теорема Дирихле о приближении действительных чисел рациональными дробями с
заданным ограничением на знаменателя.
5. Приложение теоремы Дирихле к представлению простого числа в виде суммы двух
квадратов натуральных чисел.
6. Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби.
7. Решение диофантовых уравнений с помощью цепных дробей. Уравнение Пелля.
V. Алгебраические и трансцендентные числа.
1. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля. Построение
трансцендентных чисел.
2. Иррациональность чисел e и .
3. Теорема Линдемана и арифметические следствия из нее.
4. Теорема Гельфонда.
VI. Дополнительные теоремы теории чисел.
1. Число целых точек под гиперболой и среднее значение. Число целых точек в
круге.
2. Теорема Дирихле. Теорема Гаусса.
3. Теорема о среднем значении . Среднее значение функции Эйлера.
4. Фареевы дроби.
5. Отношение числа всех дробей на [ ] к числу несократимых дробей.
6. Теорема Гегенбауэра о числе бесквадратных чисел.
7. Отношение числа бесквадратных чисел к количеству чисел, содержащих квадраты.