1. В квадрате 7×7 клеток закрасьте несколько клеток так, чтобы в

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по гор. Краснодару.
23 сентября 2015 года
5 класс
1. В квадрате 7×7 клеток закрасьте несколько клеток так, чтобы в каждой строке
и в каждом столбце стало ровно по три закрашенных клетки.
2. В стране «Демократия» всего 2015 избирательных округов, в каждом из которых ровно
по 2015 избирателей. Каждый избиратель может отдать свой голос только за одного
кандидата. Чтобы стать президентом кандидату необходимо победить в большинстве
избирательных округов (больше половины). Для победы в одном избирательном округе
необходимо набрать больше половины голосов избирателей этого округа.
А) Сколько всего избирателей в этой стране?
Б) Какое наименьшее число избирателей могло проголосовать за кандидата ставшего
президентом, если известно, что все избиратели проголосовали в день выборов?
3.
Вдоль
прямолинейной
велодорожки
равномерно
расставлены
пронумерованные столбы. Старт был дан у первого столба. Скорость
велосипедиста постоянная. Через 12 минут велосипедист был у четвертого
столба. Через сколько минут от начала старта велосипедист будет у двадцатого
столба? Обоснуйте свой ответ.
4. В одной школе проходила олимпиада по математике. Оказалось что,
количество девочек, решивших задачу №4, оказалось равно числу мальчиков, не
решивших эту задачу. Кого больше — решивших задачу №4 или мальчиков?
Обоснуйте свой ответ.
5.
Расшифруйте
числовой
ребус:
ВЕТКА + ВЕТКА = ДЕРЕВО,
если известно, что одинаковые буквы — одинаковые цифры, разные буквы —
разные цифры.
6 класс.
1. Имеется горизонтальная полоска бумаги размером 1×100 (сто клеток).
Сколькими различными способами ее можно заполнить натуральными числами
от 1 до 100 (в каждой клетке по числу) без повторений, так, что бы любые два
соседних числа отличались не более чем на 1?
2. Найдите сумму цифр числа
.
3. Девять одинаковых тетрадок стоят 11 рублей с копейками (меньше 12
рублей), а 13 таких же тетрадок — 15 рублей с копейками (меньше 16 рублей).
Сколько стоит одна такая тетрадка, если в одном рубле 100 копеек, а одна
копейка – это наименьшая денежная единица?
4. В ряду растёт ровно 8 кустов малины. Количества ягод на любых двух
соседних кустах отличаются на 3 ягоды. Может ли общее число ягод равняться
2015?
5. Может ли быть верным равенство
К×О×Т = З×Е×Б×Р×А ,
где каждая буква означает цифру, причем, разные буквы обозначают разные
цифры.
7 класс.
1. Фигура, изображенная на рисунке, составлена из
квадратов. Найдите сторону левого нижнего квадрата
(№3), если известно, что сторона самого маленького
квадрата (без номера) равна 1.
2. В один не очень прекрасный день все цены выросли на
25 процентов. На сколько процентов меньше теперь
можно купить сахара на ту же сумму?
3. Электронные часы показывают на табло часы и минуты, от 00:00 до 23:59.
Сколько времени в течение суток на табло этих часов присутствует хотя бы одна
цифра 2?
4. Верно ли, что из любых пяти натуральных чисел (не обязательно идущих
подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится нацело на три?
5. Имеется набор из 2015 гирь массами по: 1; 2; 3;…; 2015 граммов. Можно ли
их все разложить на три равные по массе группы?
8 класс.
1. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей и хорошим, если в
нём менее 10 червей. Возможно ли чтобы в лукошке, в котором находятся 90
плохих и 10 хороших грибов все грибы стали бы хорошими после того, как
некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие.
2. В один прекрасный день правительство повысило пенсии для всех
пенсионеров на 20 процентов. Однако, на следующий день все цены выросли на
25 процентов. На сколько процентов меньше теперь пенсионеры смогут купить
конфет внукам на всю свою пенсию?
3. Постройте график функции
| |
4. На какую наибольшую степень числа 2 делится нацело число
?
5. В треугольнике ABC, в котором угол B является острым, провели медиану
BM. Докажите, что BM > MC.
9 класс.
1. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 77.
2. В городе «Правдолжец» живут только: рыцари, которые всегда говорят
правду и лжецы, которые всегда лгут. В городской Думе 2015 депутатов. Мэр
города решил сократить Думу на одного депутата. Но каждый из депутатов
заявил, что, если именно его выведут из состава Думы, то среди оставшихся
депутатов большинство (больше половины) будут лжецами. Помогите мэру
определить, сколько рыцарей и сколько лжецов на самом деле в Думе на данный
момент.
3. Постройте график функции
4. На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены
квадраты АСDЕ и ВFKC. Точка М – середина стороны АВ. Докажите, что
.
5. Упростите выражение √
10 класс.
√
√
√
1. На какое наименьшее натуральное число надо умножить 9, чтобы получить
число, состоящее из одних семёрок?
2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
3. Петя поставил в ряд несколько фишек. Каждая фишка окрашена в один из
двух цветов. Известно, что в ряду присутствуют фишки каждого цвета. Также
известно, что фишки, между которыми стоят 6 или 9 других фишек, окрашены
одинаково. Какое максимальное число фишек мог поставить Петя?
4. На координатной плоскости xOy дано множество, состоящее из всех точек,
координаты которых (x; y) удовлетворяют условию:
Найдите площадь этого множества.
5. Около равностороннего треугольника ABC описана окружность, на которой
отмечена точка F, не совпадающая с вершинами треугольника ABC. Докажите,
что расстояние от точки F до одной из вершин треугольника ABC равно сумме
расстояний до двух других вершин.
11 класс.
1. В кабинете министров страны «Невезения» ровно 2015 министров. Среди них
есть жулики и честные министры. Известно, что из любых пятнадцати
министров, по крайней мере, один министр – жулик. Какое наименьшее число
министров-жуликов может быть в кабинете?
2. Автомобилист каждый день ездит на работу одним и тем же маршрутом.
Обычно, треть времени нахождения в пути он движется в «пробке», а две трети
времени — движется без помех. В дни, когда проводится ремонт дорог, он две
трети времени движется в «пробке» и одну треть времени движется без помех.
На сколько процентов больше времени тратит автомобилист в дни ремонта
дорог по сравнению со временем нахождения в пути в обычный день, если
считать, что скорость движения в «пробке» составляет 6 км/ч, а без помех он
движется со скоростью 60 км/ч.
3. Решите систему:
{
4. Решите уравнение в целых числах:
5. В остроугольном треугольнике ABC угол С равен 30°. Сторона AB = 8.
Проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника А1B1C1.