В.И. Олюнин, П.С. Салмин. Сборник задач по финансовым

Федеральное агентство морского и речного транспорта
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Волжская государственная академия водного транспорта
Кафедра «Финансы и кредит»
В.И. Олюнин, П.С. Салмин
Сборник задач
по финансовым вычислениям
в транспортной отрасли
Допущено Министерством транспорта Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
экономических специальностей высших учебных заведений
водного транспорта
Нижний Новгород
Издательство ФГОУ ВПО «ВГАВТ»
2006
УДК 656:336
О56
Р е це н зе н ты:
В.Н. Едронова, проректор по научной и методической работе Нижегородского коммерческого института, академик РАЕН, доктор экономических наук, профессор;
Е.Б. Мазина, руководитель УФК Министерства финансов РФ по Нижегородской области, кандидат экономических наук;
К.С. Старцев, доцент кафедры «Управление инновационной деятельностью» Нижегородского государственного технического университета,
лауреат Ленинской премии.
Олюнин, В.И.
Сборник задач по финансовым вычислениям в транспортной отрасли:
учебное пособие / В.И. Олюнин, П.С. Салмин. – Н. Новгород: Изд-во
ФГОУ ВПО «ВГАВТ», 2006. – 124 с.
Представлен теоретический материал, типовые вычисления и задания
для самостоятельного решения по основным разделам дисциплины «Финансовые вычисления», в том числе с применением электронных таблиц
MS Excel. Все рассмотренные задачи разработаны с учетом специфики
транспортной отрасли.
Учебное пособие необходимо для выработки навыков практического
применения теоретических знаний при ведении финансовых расчетов в
транспортных компаниях.
Для студентов, аспирантов и преподавателей транспортных вузов.
© ФГОУ ВПО «ВГАВТ», 2006
2
Введение
Финансы – это научная дисциплина, изучающая вопросы распределения дефицитных денежных ресурсов во времени и в условиях неопределенности. Финансовые вычисления базируются на трёх основных аналитических подходах: планировании денежных средств с учетом фактора
времени (концепция стоимости денег во времени), оценке стоимости активов и управлении риском, куда входит и портфельная теория. Ядро каждого из этих основных элементов состоит из ряда базовых законов и
принципов, которые применимы к любой соответствующей подобласти. В
данном сборнике рассматриваются типовые вычисления и задания для
самостоятельного решения по каждому из этих основных элементов.
Первый раздел посвящен базовым понятиям количественного финансового анализа, включающего в себя определение видов начисления процентов и простых процентных ставок, а также подходы к определению
реальной доходности с учетом инфляции.
Далее рассматриваются задачи, базирующиеся на концепции стоимости денег во времени. В этом разделе приведены упражнения, позволяющие оценить стоимость различных видов инвестиций с позиции их временной структуры. Здесь приводятся примеры, суть которых сводится к
тому, что любые доходы от вложения денег могут быть реинвестированы
с той же доходностью, то есть для их оценки используются формулы
сложных процентов.
В разделе «Стоимостные модели активов» рассматриваются подходы
к оценке стоимости основных финансовых инструментов, используемых
компаниями, — облигаций и акций. Данные подходы также основаны на
концепции стоимости денег во времени и позволяют оценить реальную
стоимость и доходность данных инструментов, что, в определенном
смысле, позволяет оценить стоимость компании, их выпустившей.
Раздел «Управление риском и портфельная теория» посвящен основным задачам, связанным с управлением финансовыми рисками, базирующимся на его вероятностной оценке. В этом разделе рассматриваются модели диверсификации инвестиций, которые в своё время предложили
Г. Марковиц [1] и Дж. Тобин [2].
К сожалению, сектор рынка ценных бумаг российских транспортных
компаний гораздо менее разнообразен, чем в рассматриваемых примерах.
Но авторы надеются, что в ближайшее время данная ситуация изменится
и российские транспортные компании в большей степени будут привлекать финансовые ресурсы на фондовом рынке.
3
Последний раздел, «Модель ценообразования на капитальные активы
(CAPM)», обобщает все рассмотренные выше задачи. Данная модель, которая базируется на теории оптимального портфеля, в частности, позволяет определить уровень систематического риска корпоративных ценных
бумаг, который, в свою очередь, может быть использован, например, для
определения ставки дисконтирования в расчетах эффективности реальных
инвестиций.
Все рассмотренные задачи разработаны с учетом специфики транспортной отрасли, в первую очередь с учетом специфики водного транспорта. Во всех разделах на условных примерах, каждый из которых
предполагает решение реальных задач в транспортной отрасли, приведены примеры типовых вычислений. Данные примеры включают в себя
и основной теоретический материал, необходимый для решения такого
рода задач. Все формулы и выражения, используемые для решения рассматриваемых в данном пособии упражнений, экономически и математически обоснованы, и для них, в примерах типовых вычислений, приведена доказательная база. Всего в учебном пособии рассматривается
решение 42 типовых задач и предлагается 119 заданий для самостоятельного решения.
Значительная часть рассмотренных задач решается с применением
средств электронных таблиц MS Excel. Примеры типовых вычислений в
Excel также приведены в данном пособии.
Сборник задач составлен в соответствии с утвержденной программой
по курсу «Финансовые вычисления» для студентов экономических специальностей. Авторы надеются, что данное пособие поможет студентам в
освоении таких специальных дисциплин, как «Финансы и кредит», «Основы деятельности коммерческих банков», «Рынок ценных бумаг», «Финансовый риск-менеджмент», «Страхование» и другие, с учетом специфики транспортной отрасли.
При написании данной работы авторы руководствовались следующей
установкой: пособие должно быть понятно и полезно студентам средних
курсов экономических специальностей. Хотелось также, чтобы оно оказалось полезным и преподавателям.
Таким образом, целью учебного пособия является привитие студентам
навыков финансовых расчетов с учетом отраслевой специфики транспорта. Важной задачей было желание продемонстрировать студентам полезность применения вузовской математики (уже в основном изученной
ими) в области финансовой науки.
Авторы с благодарностью примут замечания и пожелания, направленные на улучшение содержания данного сборника.
Все использованные в пособии числовые данные условны.
4
Понятие процента и процентного дохода
Наращение и дисконтирование по простым процентам
Одна и та же сумма денег неравноценна в разные периоды времени.
Это связано со способностью денег приносить доход при их инвестировании. Учет временного фактора в финансовых операциях осуществляется
путем начисления процентов. Начисленные проценты увеличивают первоначальный капитал, образуя конечную (наращенную) стоимость [3]:
S = P+I ,
(1)
где P – первоначальный капитал; I – сумма процентов (процентных денег).
Фиксированный отрезок времени, за который начисляются проценты,
называется периодом начисления (год, квартал, месяц).
Ставка процента – отношение суммы процентов, выплачиваемых за
определенный период времени, к некоторому базовому капиталу, выраженное в процентах или коэффициентом. В качестве базы расчета ставки
может использоваться либо первоначальный капитал, либо наращенная
стоимость.
i=
I S−P
=
;
P
P
(2)
d=
D S−P
=
,
S
S
(3)
где i – процентная ставка; d – учетная ставка.
Проценты, исчисленные по процентной ставке, называются антисипативными. Проценты, исчисленные по учетной ставке, называются декурсивными. Величина D в финансовых расчетах называется дисконтом.
Как правило, в финансовых расчетах ставка процента устанавливается
за период, равный одному году. Если нужно рассчитать доход кредитора
(расходы заемщика) при краткосрочных финансовых вложениях сроком
менее одного года, годовую ставку процента корректируют на коэффициент t/T, где t – количество дней в периоде, а T – количество дней в
году.
Используя формулы (2) и (3) для определения процентных и учетных
ставок, можно определить величину наращенной стоимости капитала при
краткосрочных финансовых вложениях.
It =
P ⋅i ⋅t
P ⋅i ⋅t
i ⋅t ⎞
⎛
=S −P⇒S =
+ P = P ⎜1 +
⎟;
365
365
T ⎠
⎝
5
(4)
Dt =
S ⋅d ⋅t
P
=S −P⇒S =
365
1− d ⋅ t
.
(5)
T
Можно также решить и обратную задачу, то есть определить размер
первоначального капитала или современную цену финансового актива.
Такой расчет называется дисконтированием, а цена – современной, или
приведенной, величиной наращенного капитала.
В зависимости от вида ставки существует два вида дисконтирования.
Если используется процентная ставка – математическое дисконтирование,
если учетная ставка – коммерческий, или банковский, учет.
Математическое дисконтирование:
P=
S
1+ i ⋅ t
.
T
(6)
Коммерческий учет:
⎛ d ⋅t ⎞
P = S ⎜1 −
(7)
⎟.
T ⎠
⎝
При условии периодической выплаты процентов (количество периодов начисления больше одного) первоначальная сумма долга не изменяется, а наращенная стоимость за каждый период начисления увеличивается
на сумму процентов.
Наращенная стоимость определяется формулой (1).
При продолжительности финансовых вложений в n лет (периодов начисления)
S = P + n ⋅ I = [I = P ⋅ i ] = P + n ⋅ P ⋅ i = P (1 + n ⋅ i ) .
(8)
Зависимость S(n) – линейная и называется наращением по простым
процентам.
Если процентная ставка i изменяется во времени, то наращенная
стоимость определяется следующим образом:
m
⎛
⎞
S =P (1 + n1 i1 + n 2 i 2 + ... + n1m i m ) = P⎜1 + ∑ nt it ⎟ .
t =1
⎝
⎠
(9)
Примеры типовых вычислений
1. Депозитный сертификат1 с номиналом 100 тыс.р. выдан банком
транспортной компании 20.01 с погашением 05.10 под 10 % годовых (год
1
Обязательство (письменное свидетельство, ценная бумага), выдаваемое юридическому
лицу коммерческим банком по выплате в безналичной форме размещенных у него депозитов.
6
невисокосный). Определить сумму начисленных процентов и сумму погашения долгового обязательства.
Решение
Определим количество дней в периоде:
t = 11 дн . янв . + 28 дн . фев . + 31 д . мар . + 30 дн . апр . +
+ 31 д . мая + 30 дн . июня + 31 д . июл . + 31 д . авг . +
+ 30 дн . сент . + 5 дн . окт . = 258 дн .
По сертификату доход начисляется по процентной ставке. Для определения процентного дохода и суммы погашения сертификата воспользуемся выражением (4):
I=
0,1⋅100 000,00 ⋅ 258
= 7 068,49 .
365
Цена погашения сертификата в соответствии с (1):
S = 100 000,00 + 7 068,49 = 107 068,49 .
2. В уплату за поставленные горючесмазочные материалы судоходная
компания выписывает вексель, который должен быть оплачен через 3 месяца и сумма погашения по которому составляет 210 тыс. р. Стоимость
ГСМ составляет 200 тыс. р. У поставщика имеется возможность сразу
учесть (погасить) этот вексель в банке, учетная ставка которого по такого
вида обязательствам составляет 20 % годовых. Определить, какую сумму
поставщик имеет возможность получить, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка. Какова должна быть вексельная сумма, чтобы при
учете векселя поставщик получил 200 тыс. р.? Определить процентную
ставку, эквивалентную банковской учетной ставке.
Решение
Определим сумму, которую банк заплатит поставщику за данный вексель в соответствии с выражением (7). Поскольку точные даты выписки
векселя, его учета и погашения в условиях задачи не даны, воспользуемся
приблизительным методом, который подразумевает, что в году 360 дней,
а в каждом месяце – по 30 дней. Тогда
d ⋅t ⎞
0 ,2 ⋅ 90 ⎞
⎛
⎛
P = S ⎜1 −
⎟ = 199 500 ,00 .
⎟ = 210 000 ,00 ⎜1 −
T ⎠
360 ⎠
⎝
⎝
Соответственно дисконт в пользу банка составит:
D = S − P = 210 000,00 − 199 500,00 = 10 500,00 .
7
Очевидно, что в данном случае поставщик получит сумму, меньшую,
чем стоимость поставленных материалов. Для того чтобы вексельная
сумма была эквивалентна стоимости поставленных ГСМ с учетом дисконта в пользу банка, рассчитаем ее в соответствии с (5):
200 000 ,00
= 210 526,32 .
1 − 0,2 ⋅ 90
360
Процентная ставка, характеризующая доходность по векселю, определяется в соответствии с выражением (2):
S=
i=
210 000 ,00 − 200 000 ,00
= 0 ,05 ,
200 000 ,00
или 5 % за 3 месяца.
Соответственно годовая доходность (по процентной ставке) равна 20 %,
что составляет ту же величину, что и банковская учетная ставка. Но, как
видно из данного примера, результат от применения равных процентной и
учетной ставок получается различный. Это связано с тем, что базой для
расчета процентного дохода (дисконта) в каждом случае выступают различные величины. Для процентной ставки – это первоначальная сумма
долга, для учетной – вексельная сумма (конечная стоимость). Таким образом, в случае равенства процентной и учетной ставок, дисконт, полученный по учетной ставке, превышает процентный доход, исчисленный по
процентной ставке.
Для того чтобы результат от применения различных ставок был одинаков, приравняем друг другу выражения для определения величины наращенной стоимости капитала при краткосрочных финансовых вложениях (4) и (5):
P
⎛ i ⋅t ⎞
;
P ⎜1 +
⎟=
T
⎝
⎠ 1− d ⋅ t
T
1+
1
i ⋅t
=
T 1− d ⋅ t
⇒i=
T
d
1− d ⋅ t
.
(10)
T
Применительно к рассматриваемой задаче
i=
0 ,2
1 − 0 ,2 ⋅ 90
= 0 ,2105263 .
360
Таким образом, вексельная сумма, рассчитанная на основе процентной ставки от первоначальной стоимости в соответствии с (4), то есть от
стоимости поставляемых ГСМ, составляет
8
90 ⎞
⎛
S = 200 000 ,00 ⎜1 + 0 ,2105263 ⋅
⎟ = 210 526 ,32 ,
360 ⎠
⎝
что подтверждает полученный ранее результат.
Задачи для самостоятельного решения
3. Рассчитать вексельную сумму для задачи 2, если точное количество
дней до погашения векселя равно 92, а год невисокосный.
Ответ: 210 617,43 р.
4. В уплату за погрузоразгрузочные работы в морском порту, 10 мая
судоходная компания выписывает вексель, который должен быть оплачен
через 1,5 месяца – 25 июня и сумма погашения по которому составляет
370 тыс. р. Стоимость работ составляет 360 тыс. р. Морской порт имеет
возможность сразу учесть (погасить) этот вексель в банке, учетная ставка
которого по такого вида обязательствам составляет 24 % годовых. Определить, какую сумму получит порт, учитывая вексель в банке и дисконт в
пользу банка. Какова должна быть вексельная сумма, чтобы при учете
векселя порт получил 360 тыс. р.? Определить процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке.
Ответ: P = 358 808,77 р., D = 11 191,23 р., S = 371 228,39 р., i = 24,75 %.
5. Долговое обязательство со сроком погашения через 210 дней, выданное транспортной компанией поставщику ГСМ, обеспечивает поставщику дополнительный доход в виде дисконта в 12 % от суммы погашения. Определить размер годовой учетной ставки и эквивалентной процентной ставки.
Ответ: dгод. = 20,57 %, iгод. = 23,38 %.
6. Определить размер периодических процентных выплат по долговому обязательству, выданному судоходной компанией с целью финансирования инвестиционного проекта на сумму 500 млн. р., если ставка доходности, предлагаемая заемщиком, составляет 15 % в год. Вычислить сумму
платежей по данному обязательству. Составить график выплат по обслуживанию долга. Обязательство выдано на 3 года с полугодовым начислением процентного дохода.
7. Определить размер периодических процентных выплат по кредиту,
привлеченному транспортной компанией на приобретение основных
средств на сумму 30 млн. р. по ставке 17 % годовых. Вычислить сумму
процентных платежей по данному обязательству, если сумма основного
9
долга погашается в конце срока займа. Составить график выплат по обслуживанию долга. Кредит выдан на 5 лет с ежегодным начислением процента.
8. RaiffeisenBANK предлагает компании ЗАО «Совтрансавто» разместить свободные денежные средства в сумме 1 млн. р. на его депозитных
счетах с плавающей процентной ставкой сроком на один год. Процентный
доход выплачивается ежемесячно – первые полгода по ставке 5 % годовых,
затем с увеличением доходности на 0,5 % на каждые последующие 2 месяца. Составить график платежей по данному банковскому депозиту. Вычислить сумму платежей.
9. Какой должна быть годовая процентная ставка по банковскому депозиту, чтобы обеспечить ежемесячный процентный доход для ЗАО
«Совтрансавто» (задача 8) в размере 12 тыс. р. Какой должна быть величина депозита, если предлагаемая банком доходность составляет 9 % годовых?
Ответ: iгод. = 14,40 %, P = 1 600 000,00 р.
10. Долговое обязательство, погашаемое транспортной компанией через 2 года за 180 тыс. р., приобретено инвестором за 100 тыс. р. Определить годовую доходность по простой процентной и учетной ставке.
Ответ: iгод. = 40 %, dгод. = 28,57 %.
Инфляция и реальные процентные ставки
Для достоверного сравнения экономических показателей в различные
периоды времени необходимо, чтобы цены на товары, услуги и активы
корректировались с учетом уровня инфляции. Исходя из этого, различаются так называемые номинальные цены (nominal prices), то есть цены в
том виде, как они указаны на ценниках товаров и услуг, и реальные цены
(real prices), отражающие покупательную способность денег.
Точно так же, как различаются реальные и номинальные цены, различаются реальные и номинальные процентные ставки. Номинальная процентная ставка (nominal interest rate) представляет собой процентную
ставку, по которой заемщик обещает кредитору выплачивать процентный
доход, или ставку, по которой кредитор предлагает воспользоваться ссудой. Реальная ставка доходности (real rate of return) – это заработанная
кредитором номинальная процентная ставка, откорректированная с учетом изменения покупательной способности денег. Например, если начисленная номинальная процентная ставка составляет 8 % годовых, а уровень
10
инфляции также равен 8 %, то реальная ставка доходности будет равна
нулю.
В качестве средства для вычисления реальной ставки доходности используется определенная стандартизованная потребительская корзина.
Следовательно, реальная ставка доходности зависит от состава этой корзины. При вычислении национального индекса потребительских цен ИПЦ
(CPI — consumer price index) используется сопоставимая корзина потребительских товаров [4].
Примеры типовых вычислений
11. Определить реальную годовую доходность по облигациям ОАО
«Волга-Флот», если номинальная процентная ставка (ставка купона по
облигации) составляет 15 % в год, а уровень инфляции, который изменяется пропорционально изменению индекса потребительских цен, составляет 12 % в год.
Решение
Предположим, что инвестор вкладывает в данные ценные бумаги
10 тыс. р. и через год получает 11 500,00 р. Однако потребительская корзина, которая год назад стоила 10 000,00 р., подорожала и стала стоить
11 200,00 р. Какова же реальная стоимость 11 500,00 р., полученных по
прошествии 1 года применительно к потребительским товарам, которые
можно на них приобрести? Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо разделить 11 500,00 р. на будущую цену потребительской корзины:
11 500 ,00
= 1,026786 .
11 200 ,00
Таким образом, за каждый рль потребительской корзины, не приобретенной в начале года, взамен вкладывая свой капитал, спустя год инвестор
получает эквивалент 1,026786 корзины. Следовательно, реальная ставка
доходности составляет 2,6786 % в год.
Общая формула, отображающая соотношение реальной ставки доходности, номинальной процентной ставки и уровня инфляции, выражается
следующим образом:
r=
i nom − rinf
1 + i nom
−1 =
,
1 + rinf
1 + rinf
где r – реальная процентная ставка;
inom – номинальная процентная ставка;
11
(11)
rinf – уровень инфляции.
Задачи для самостоятельного решения
12. Определить реальную годовую доходность по облигациям ОАО
«РЖД», если номинальная процентная ставка составляет 14 % в год, а
уровень инфляции – 8 % в год.
Ответ: r = 5,56 %.
13. Для задачи 12 определить, какой должна быть ставка доходности,
указанная в облигациях, чтобы обеспечить инвестору реальную доходность не ниже 12 % годовых.
Ответ: r = 21 %.
14. Транспортная компания размещает 1,5 млн. р. на банковском депозите сроком на 0,5 года. Ставка доходности по депозиту составляет 8 %
годовых. Прогнозируемый уровень инфляции 12 % в год. Определить реальную доходность по депозиту за полгода.
Ответ: r = - 1,89 %.
15. Для задачи 14 определить, какой должна быть ставка доходности
по депозиту, чтобы обеспечить инвестору реальную доходность 2 % годовых.
Ответ: r = 14,24 %.
16. В уплату за песок и гравийную массу, компания выписывает вексель, который должен быть оплачен через 1 год и сумма погашения по
которому составляет 850 тыс. р. Стоимость песка и гравийной массы составляет 680 тыс. р. Прогнозируемый уровень инфляции 20 % годовых.
Определить ожидаемую реальную доходность держателя векселя.
Ответ: r = 4,17 % годовых.
17. Компания оказала заказчику услуги по перевозкам грузов. Заказчик выписал транспортной компании вексель на сумму 407 тыс. р. с погашением через 6 месяцев. Стоимость услуг составила 370 тыс. р. Прогнозируемый на ближайшие полгода уровень инфляции составляет 6 %. Определить реальную доходность по векселю за полгода.
12
Ответ: r = 3,77 %.
Стоимость денег во времени
и дисконтный анализ денежных потоков
Будущая и приведенная стоимость денег
Под будущей стоимостью денег (Future Value) понимается сумма, которой будут равняться инвестированные деньги к определенной дате с
учетом начисления сложных процентов (compound interest). При этом исходят из предположения, что доход, который будет получен в будущем,
может быть реинвестирован с такой же доходностью. Например, если инвестор имеет возможность (и желание) инвестировать 1 млн. р. сроком на
1 год с доходностью 30 % годовых, то будущая стоимость этих денег через два года составит:
FV = 1 000 000,00 + 0,3 ⋅ 1 000 000,00 + 0,3 (1 000 000,00 + 0,3 ⋅ 1 000 000,00) =
= 1 000 000,00 (1 + 0,3) = 1 690 000,00,
2
то есть будущая стоимость денег определяется по формуле сложных процентов:
n
(12)
FV = PV (1 + i ) ,
где PV – текущая стоимость денег (в рассмотренном примере 1 000 000,00 р.);
i – ставка доходности, выраженная десятичной дробью; n – количество
периодов (одинаковых временных интервалов), за которые инвестор планирует получать доход.
По данной концепции (Time Value of Money) текущая (приведенная,
современная) стоимость денег (Present Value) определяется исходя из будущих планируемых платежей и/или поступлений по обратной формуле:
PV =
FV
(1 + i )n
,
(13)
то есть по формуле математического дисконтирования по сложным процентам.
Примеры типовых вычислений
13
18. Определить будущую стоимость 100 тыс. р., внесенных транспортной компанией на депозитный счет в банке сроком на 2 года по ставке 12 % годовых с ежемесячным начислением процентного дохода.
Решение
Формализуем начальные условия:
PV = 100 тыс. р.; n = 2 года.
Следует обратить внимание, что в данном примере дана годовая ставка (Annual Percentage Rate), а начисление процентного дохода происходит
каждый месяц. То есть необходимо ввести дополнительный показатель –
частоту начисления процентного дохода (m): APR = 0,12; m = 12 раз в год.
Это означает, что процентный доход начисляется ежемесячно по
ставке, равной APR m = 0,12 12 , то есть 1 % ежемесячно.
То есть будущая стоимость данных вложений будет определяться
следующим образом:
APR ⎞
⎛
FV = PV ⎜1 +
⎟
m ⎠
⎝
FV = 100 000 ,00 (1 + 0 ,12 12 )
24
m⋅n
(14)
,
= 126 973,46 .
Ввиду того, что частота начисления может быть различной, достаточно важно знать способ сравнения процентных ставок. Это делается путем
вычисления эффективной (действующей) годовой процентной ставки
(effective annual rate, EFF), эквивалентной APR при условии начисления
процентов один раз в году. Эквивалентность означает равенство результатов, то есть будущих стоимостей, вычисленных по APR и EFF:
APR ⎞
⎛
FV = PV ⎜1 +
⎟
m ⎠
⎝
m⋅ n
= PV (1 + EFF ) ,
n
m
APR ⎞
⎛
EFF = ⎜1 +
⎟ −1 ,
m ⎠
⎝
(15)
EFF = (1 + 0 ,12 12 ) − 1 = 0 ,126825
12
Проверим полученный результат:
FV = 100 000 ,00 (1 + 0 ,126825 ) = 126 973 ,46 .
2
Теперь проанализируем процесс увеличения будущей стоимости вложений в зависимости от количества периодов начисления процентов:
FV1 = 100 000 ,00 (1 + 0 ,12 12 ) = 101 000 ,00 ⇒ I 1 = 1 000 ,00 ,
1
FV2 = 100 000,00 (1 + 0,12 12) = 102 010 ,00 ⇒ I 1 = 2 010,00 ,
…………………………………………………………………
2
14
FV 24 = 100 000 ,00 (1 + 0 ,12 12 ) = 126 973,46 ⇒ I 1 = 26 973,46 ,
24
где I t – процентный доход, накопленный за n периодов начисления (табл. 1).
Таблица 1
Номер периода
Будущая стоимость, р.
t
APR ⎞
⎛
FVt = PV ⎜1 +
⎟
m ⎠
⎝
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
100 000,00
101 000,00
102 010,00
103 030,10
104 060,40
105 101,01
106 152,02
107 213,54
108 285,67
109 368,53
110 462,21
111 566,83
112 682,50
113 809,33
114 947,42
116 096,90
117 257,86
118 430,44
119 614,75
120 810,90
122 019,00
123 239,19
124 471,59
125 716,30
126 973,46
Процентный доход, р.
t
I t = FVt − PV
0,00
1 000,00
2 010,00
3 030,10
4 060,40
5 101,01
6 152,02
7 213,54
8 285,67
9 368,53
10 462,21
11 566,83
12 682,50
13 809,33
14 947,42
16 096,90
17 257,86
18 430,44
19 614,75
20 810,90
22 019,00
23 239,19
24 471,59
25 716,30
26 973,46
19. Сформулируем условия задачи 18 следующим образом. Ожидаемые денежные поступления в конце 2-го года составляют 126 973,46 р.
Определить их текущую стоимость в начале 1-го года, в середине 1-го
15
года, в конце 1-го года (начале 2-го) и в середине 2-го года, то есть в точках t = 0, t = 6, t = 12, t = 18 .
Используя формулу математического дисконтирования, получим значения приведенной стоимости для указанных точек:
FV24
126 973,46
PV0 =
=
= 100 000 ,00 ,
24
(1 + APR m ) (1 + 0,12 12)24
FVm⋅n
126 973,46
PV6 =
=
= 106 152 ,02 ,
(1 + APR m )m⋅n −t (1 + 0,12 12)18
FVm⋅n
126 973,46
PV12 =
=
= 112 682 ,50 ,
m⋅ n − t
(1 + APR m )
(1 + 0,12 12)12
FVm⋅n
126 973,46
PV18 =
=
= 119 614 ,75 .
m⋅ n − t
(1 + APR m )
(1 + 0,12 12)6
Легко убедиться в том, что любые значения приведенных стоимостей
(PVt), полученные путем дисконтирования будущих стоимостей (FVt), и не
только конечной (в точке 24), в точности совпадают с промежуточными
значениями будущих стоимостей в каждой временной точке, полученных
в результате капитализации первоначальной стоимости, и наоборот (рис. 1).
Рис. 1. Будущая стоимость денег и дисконтирование
16
Например:
PV7 =
или
FV15
=
116 096,90
= 107 213,54 ⇒ FV ( PV ) = 116 096,90 ,
15
7
(1 + APR m)
(1 + 0,01)8
19 −10
9
FV19 = PV10 (1 + APR m)
= 110 462,21(1 + 0,01) = 120 810,90 .
15− 7
Задачи для самостоятельного решения
20. Предполагаемые денежные поступления от реализации добываемых речным портом нерудных материалов составляют – 1 200 000,00 р. в
конце 1-го квартала, 900 тыс. р. в конце 2-го квартала, 1 500 000,00 р. в
конце 3-го квартала и 1 300 000,00 р. в конце 4-го. Определить стоимость
данного денежного потока в начале каждого квартала и в конце года, если
требуемая доходность составляет 24 % в год.
21. Банк предлагает своему клиенту – транспортной компании депозиты сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов по ставке 9 %
годовых при условии периодической выплаты процентов и 8,5 % годовых
при условии капитализации процентов. Сравнить варианты вложений.
Ответ: для APR = 0,085, EFF ≈ 0,088 . Эффективная ставка 8,8 % < 9 %.
22. Для задачи 21 составить план капитализации стоимости для депозитов на сумму 50 000,00 р. и 100 000,00 р. Решение проиллюстрировать
графиком.
23. Для задачи 22 определить современную и будущую стоимость
ежемесячно выплачиваемых банком (по ставке 9 % годовых) процентов.
Ответ: для депозита 50 000,00 р. PV = 4288,09 р.; FV = 4690,34 р.;
для депозита 100 000,00 р. PV = 8576,18 р., FV = 9380,69 р.
24. Банк предлагает компании «Волга-Флот-Тур» для размещения
временно свободных денежных средств приобрести депозитные сертификаты со сроком обращения и погашения 2 года и ставкой 10 % в год, а
также сроком обращения и погашения 1 год со ставкой 8 % годовых.
Ставка реинвестирования (reinvestment rate), то есть ставка, по которой
деньги, полученные до окончания намеченного срока инвестирования (до
истечения 2-х лет), могут быть вложены повторно, планируется на уровне
12 % годовых. Необходимо принять решение о вложении 150 тыс. р.
Ответ: FV1 = 181 500,00 р.; FV2 = 181 440,00 р.
25. Заём, привлеченный судоходной компанией на модернизацию
флота, на сумму 9 000 000,00 р. погашается через 4 года. Ставка 19 % го17
довых. Определить будущую стоимость в конце срока займа, если начисление процентов производится один раз в полугодие. Рассчитать эффективную ставку. Определить будущую стоимость по эффективной
ставке.
Ответ: FV = 18 601 821,08 р.; EFF = 19,9025 %.
26. Долговое обязательство, выданное ОАО «РЖД» строительному
подрядчику и погашаемое через 3 года по цене 180 млн. р., предполагает
ежеквартальное начисление процентов по ставке 15 % годовых. Определить современную стоимость обязательства, эффективную ставку доходности и современную стоимость по эффективной ставке.
Ответ: PV = 115 721 816,04 р., EFF = 15,86504 %.
27. Для задачи 26 рассчитать, за какую сумму инвестор согласится
приобрести долговое обязательство, если требуемая доходность, которую
он предъявляет к инвестициям с таким уровнем риска, составляет 18 % в
год. Определить ставку доходности предлагаемую заемщиком, которая
удовлетворила бы инвестора. Проверить расчеты.
Ответ: PV = 109 553 557,08 р., APR = 16,89865 %.
28. Для задачи 26 рассчитать текущую стоимость данного долгового
обязательства, если рыночная доходность по аналогичным финансовым
инструментам составляет 14 % годовых. Сформулировать выводы по результатам решения данной задачи и по результатам решения задач 26 и 27.
29. Инвестор располагает суммой в $50 000,00, которой может распорядиться следующим образом:
внести на депозит в банк под 12 % годовых с ежемесячным начислением процентов сроком на 1 год;
приобрести квартиру в строящемся доме (на стадии начала строительства, планируемый строительной организацией срок сдачи дома – через
1 год), предполагая продать её через год в 1,7 раз дороже;
приобрести облигации ОАО «Волга-флот», с предлагаемой доходностью 15 % годовых и процентными выплатами – 2 раза в год;
приобрести облигации муниципального займа с предлагаемой доходностью 10 % годовых и ежеквартальными процентными выплатами.
Определить будущую стоимость вложений через один год по вариантам. Проанализировать доходность вложений с точки зрения риска.
Ответ: FV1 = $56 341,25; FV2 = $85 000,00; FV3 = $57 781,25;
FV4 = $55 190,64.
18
Денежные потоки и оценка аннуитетов
Часто в инвестиционном проекте или схеме возврата кредита будущие
денежные поступления или выплаты остаются неизменными из года в год.
Такого рода постоянные поступления или выплаты денег называются аннуитетом, или рентой (annuity). Этот термин пришел к нам из сферы
страхования жизни, в которой договором аннуитета называется договор,
гарантирующий покупателю ряд выплат за определенный период времени. В финансах этот термин применяется по отношению к любому количеству денежных платежей [4].
Итак, денежный поток – это последовательность величин (отрицательных и положительных) самих платежей и моментов времени, в которые они осуществлены. Элементы денежного потока со знаком плюс – это
поступления; платежи со знаком минус представляют собой выплаты.
Денежный поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества элементов в нем.
Аннуитет – денежный поток, все члены которого – равные величины
одного знака, а временные интервалы между двумя последовательными
платежами постоянны.
Аннуитет постнумерандо – платежи, которые осуществляются в конце каждого временного интервала.
Аннуитет пренумерандо – платежи, которые осуществляются в начале каждого временного интервала.
Примеры типовых вычислений
30. Определить будущую стоимость денежного потока через 5 лет,
представленного равными выплатами по 100 тыс. р. в конце каждого года,
если требуемая доходность – 10 % в год (рис. 2).
19
Рис. 2. Аннуитет постнумерандо и его будущая стоимость
Решение
Денежный поток представляет собой аннуитет постнумерандо. Для
определения будущей стоимости данного денежного потока необходимо
капитализировать каждый его элемент за то количество периодов, которое
осталось до конца 5-го года:
4
3
2
FV a = 100 000 ,00 (1 + 0 ,1) + 100 000 ,00 (1 + 0 ,1) + 100 000 ,00 (1 + 0 ,1) +
+ 100 000 ,00 (1 + 0 ,1) + 100 000 ,00 = 610 510 ,00 .
Последние 100 тыс. р. не капитализируются, поскольку имеют место в
конце 5-го года.
Запишем выражение для будущей стоимости в формальном виде через показатель аннуитета:
FVa = a (1 + i )
n
+ Κ + a (1 + i ) + a (1 + i ) + a = a ∑ (1 + i )
n −1
2
n −t
t =1
где a – каждый элемент аннуитета.
Обозначим полученную сумму через F:
n
F = ∑ (1 + i )
n −t
= (1 + i )
+ (1 + i )
n −1
n−2
+ Κ + (1 + i ) + 1 .
1
t =1
Преобразуем данное выражение:
F = (1 + i )
n −1
+ (1 + i )
n−2
+ Κ + (1 + i ) + 1 ⋅ (1 + i ) ,
1
F (1 + i ) = (1 + i ) + (1 + i )
n
n −1
+ (1 + i )
n−2
вычтем из него F:
20
+ Κ + (1 + i ) + (1 + i ) ,
2
,
F (1 + i ) − F = (1 + i ) + (1 + i )
n
(
− (1 + i )
⇒F=
n −1
+ (1 + i )
n−2
n −1
+ (1 + i )
n−2
)
+ Κ + (1 + i ) + (1 + i ) −
2
+ Κ + (1 + i ) + 1 ⇒ F ⋅ i = (1 + i ) − 1 ⇒
1
(1 + i )n − 1 ,
n
i
FVa = a
FV a = a
(1 + i )n − 1 ,
(16)
i
(1 + i )n − 1 = 100 000,00 (1 + 0,1)5
i
0,1
= 610 510,00 .
31. Сформулируем условия задачи 30 следующим образом: определить, чему должны быть равны одинаковые поступления в конце каждого
из периодов начислений (года), если при ежегодном их инвестировании и
реинвестировании в итоге получится заданная будущая стоимость FV.
Дано: первоначальная стоимость вложений РV = 1 млн. р. Ставка доходности i = 0,1 или 10 % годовых. Чему будет равна цена данного актива через 5 лет и чему будет равна стоимость равных сумм вложений, реинвестированных в конце каждого из периодических интервалов по той
же ставке и дающих такой же финансовый результат?
Решение
FV = 1 000 000 ,00 (1 + 0 ,1) = 1 610 510 ,00 ,
5
F=
(1 + 0,1)5 − 1 = 6 ,1051 ,
0 ,1
a=
FV 1 610 510 ,00
=
= 263 797 ,48 ,
F
6 ,1051
то есть в конце каждого года необходимо инвестировать (под 10 % годовых) по 263 797,48 р., реинвестируя полученную сумму, чтобы в итоге
получить 1 610 510,00 р.
Несложно заметить, что процентный доход можно определить, используя величину F:
FV
n
(
1 + i) − 1
= PV (1 + i ) = a ⋅ F = a
,
n
i
при этом процентный доход составит
(
)
I = FV − PV = PV (1 + i ) − PV = PV (1 + i ) − 1 = PV ⋅ F ⋅ i .
n
Для рассмотренного примера
I = 1 000 000,00 ⋅ 6,1051⋅ 0,1 = 610 510,00 .
21
n
32. Определить современную стоимость денежного потока, представляющего собой купонные выплаты по облигациям ОАО «РЖД», каждый
элемент которого равен 100 тыс. р. Средства поступают в течение 5 лет в
конце каждого года. Ставка процента для дисконтирования составляет
10 % годовых.
Решение
Приведение денежного потока к одному моменту времени осуществляется при помощи функции, называемой текущей стоимостью аннуитета
и эквивалентной формуле математического дисконтирования для каждого
элемента потока:
PVa =
n
a
a
a
1
+
+Κ +
= a∑
= a ⋅F ' .
2
n
t
1 + i (1 + i )
(1 + i )
t =1 (1 + i )
Преобразуем сумму дисконтированного денежного потока следующим образом:
F ' = (1 + i ) + (1 + i ) + Κ + (1 + i )
−1
−2
−n
⋅ (1 + i ) ,
F' ⋅ (1 + i ) = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + Κ + (1 + i ) ,
вычтем из него F':
−1
−2
− n +1
−
F '⋅ (1 + i ) − F ' = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + Κ + (1 + i )
−1
(
− (1 + i ) + (1 + i )
−1
−2
−2
+ Κ + (1 + i )
PV a = a
−n
− n +1
) , F '⋅i = 1 − (1 + i )
1 − (1 + i )
i
−n
⇒ F'=
1 − (1 + i )
i
−n
.
−n
.
(17)
Таким образом, приведенная стоимость данного денежного потока составит:
−n
−5
1 − (1 + i )
1 − (1 + 0 ,1)
PV a = a
= 100 000 ,00
= 379 078 ,68 .
i
0 ,1
Если стоимость денежного потока необходимо определить на более
ранний период времени, то есть если с момента оценки аннуитета до начала его поступления проходит определенное число временных интервалов (n1), полученную приведенную стоимость аннуитета необходимо дополнительно продисконтировать за период n1 – 1.
Например, указанные средства начинают поступать с конца 3-го года – с момента анализа (рис. 3). Тогда приведенная стоимость аннуитета
22
Рис. 3. Определение текущей стоимости аннуитета
будет вычислена на конец 2-го года, и, чтобы определить стоимость денежного потока на начало 1-го года, необходимо полученную стоимость
дисконтировать по двум оставшимся годам:
379 078 ,68
PV aт .0 =
= 313 288 ,17 .
(1 + 0 ,1)2
33. Продается теплоход за $500 000,00. Собственник в равной степени
расположен сдать это судно в аренду, с ежемесячный оплатой в $10 000,00.
Определить требуемую доходность собственника теплохода и какое решение должен принять потенциальный покупатель или арендатор этого судна.
Решение
Сначала проанализируем ситуацию с позиции потенциального покупателя (арендатора). Для принятия решения необходимо сравнить
$500 000,00 и стоимость арендных платежей на текущий момент времени.
Условиями задачи не оговорена длительность договора аренды. Исходя из
худших (с позиции количества арендных платежей) для арендатора условий, сделаем допущение, что количество таких платежей не ограничено,
то есть стремится к бесконечности. Предположим также, что выплаты
осуществляются в конце каждого месяца. При таком условии современная
стоимость денежного потока платежей за аренду будет определяться исходя из формулы текущей стоимости аннуитета1 следующим образом:
⎛ 1 − (1 + i )− n
lim PV a = lim ⎜⎜ a
n→∞
n→∞
i
⎝
⎞ a
⎟= .
⎟ i
⎠
(18)
Зная требуемую доходность арендатора, можно определить приведенную стоимость такого денежного потока. Но условиями задачи не опреде-
1
Такой денежный поток носит название «перпетуитет» (perpetuity).
23
лена доходность арендатора, поэтому попробуем решить следующее
уравнение:
$10 000,00
$500 000,00 =
⇒ i = 0,02 , APR = 24% .
i
Следует отметить, что в качестве ставки требуемой доходности логичней рассматривать эффективную годовую ставку EFF, поскольку количество периодов начисления внутри года может быть различным. То
есть требуемая доходность арендатора, при которой ему безразлично,
приобретать судно или взять его в аренду, составляет
EFF = (1 + 0,24 12) − 1 = 0,2682 .
12
То есть, если требуемая доходность потенциального покупателя
(арендатора) превышает 26,82 %, ему выгоднее взять теплоход в аренду,
поскольку даже при условии бесконечности арендных платежей стоимость такого денежного потока для него составит величину меньшую, чем
$500 000,00. Например, при требуемой доходности арендатора, выраженной
ставкой APR = 30 %, современная стоимость арендных платежей составит
$10 000,00
= $400 000,00 ,
PV a =
0,3 12
или, другими словами, арендатор имеет альтернативную возможность
инвестировать $500 000,00 и ежемесячно зарабатывать на этом сумму,
превышающую величину арендного платежа.
И наоборот, если требуемая доходность меньше чем 26,82 %, например APR = 20 %, современная стоимость арендных платежей составит
PV a =
$10 000,00
= $600 000,00 ,
0,2 12
то есть выгоднее купить теплоход, если срок аренды не определен и предполагается длительное использование данного судна. Следует иметь в
виду, что каждый последующий платеж оказывает все меньшее влияние
на сумму дисконтированных платежей. Например, стоимость 240-го
арендного платежа (последний платеж 20-го года) в современной оценке
при требуемой доходности APR = 20 % составит
PV =
$10 000,00
(1 + 0,2 12 )240
= $189,29 ,
то есть, если теплоход предполагается использовать, например, не менее
10 лет, текущая стоимость арендных платежей за этот срок составит
24
PV a = $10 000,00
1 − (1 + 0,2 12 )
0,2 12
−120
= $517 449,24 ,
а оставшиеся $82 550,76 приходятся на все последующие периоды.
Если оценивать доходность с позиции судовладельца, очевидно, что
его требуемая доходность не превышает APR = 24 % или 26,82 % в виде
эффективной годовой ставки, поскольку в противном случае ему выгоднее продать теплоход и инвестировать $500 000,00 с большей доходностью. В этом случае судовладелец должен быть в большей степени склонен к риску.
Задачи для самостоятельного решения
34. Для задачи 33 определить критерии принятия решения при условии выплаты арендных платежей в начале каждого месяца. Сформулировать выводы.
35. Определить будущую стоимость денежного потока, представленного ежеквартальными процентными выплатами по облигациям ОАО Судоходная компания «Волжское речное пароходство «Волга-Флот» по
ставке 18 % годовых на сумму в 500 млн. р. в течение 3-х лет.
Ответ: FVa = 347 940 716,38 р.
36. Определить стоимость равных сумм вложений на банковский депозит судоходной компанией для модернизации флота через 2 года, если
известна их будущая стоимость (необходимая для этого сумма), равная
$720 000,00. Ставка доходности 20 % годовых. Определить альтернативный вариант единовременных вложений.
Ответ: a = $327 272,73; PV = $500 000,00.
37. Определить значения одинаковых сумм поступлений на банковские счета собственника судоходной компании в конце каждого года, начиная с 3-го, в течение 7 лет, если их будущая стоимость должна составить $700 000,00 при ставке доходности 10 % годовых, а также приведенную стоимость аннуитета в начале 1-го года.
Ответ: a = $73 783,85; PVa = $296 868,33.
38. Определить, чему должны быть равны в конце каждого года одинаковые суммы поступлений на банковские счета речного порта за оказываемые судоходным компаниям услуги, начиная с 4-го года, в течение 6
лет, если их будущая стоимость должна составить 750 млн. р. Ставка до25
ходности 8 % годовых. Определить приведенную стоимость аннуитета в
начале 1-го года.
Ответ: a = 102 236,54 тыс. р.; PVa = 375 186,73 тыс. р.
39. Кредит 500 тыс. р. выдан автотранспортной компании для приобретения седельного тягача российского производства на 2 года, с ежемесячным начислением процента по ставке 24 % годовых. Заемщик обязуется ежемесячно погашать кредит равными платежами. Определить сумму
выплат и эффективную ставку кредитора.
Ответ: a = 26 435,55 р.; EFF = 26,824 %.
40. Определить современную стоимость денежного потока по данным
табл. 2. Каждый элемент потока поступает через одинаковый промежуток
времени в конце периода.
Таблица 2
Номер периода
1
2
3
4
5
6
7
Ставка дисконтирования, % 10
15
15
15
15
20
20
Элемент потока, р.
10 000 10 000 20 000 20 000 20 000 25 000 25 000
Ответ: PV = 72 947,01 р.
41. На модернизацию оборудования прогулочного судна выдан кредит
1 500 000,00 р. на 1,5 года, с ежемесячным начислением процента по ставке
18 % годовых. Заемщик обязуется ежемесячно погашать кредит равными
платежами. Определить сумму выплат и эффективную ставку кредитора.
Ответ: a = 95 708,67 р.; EFF = 19,5618 %.
42. Судоходной компании на капитальный ремонт судна выдан кредит
в размере 10 млн. р. на 3 года, с ежемесячным начислением процента по
ставке 18 % годовых. Кредитным соглашением предусмотрено, что заемщик начинает ежемесячно погашать кредит равными платежами с момента ввода судна в эксплуатацию, по прошествии одного года с момента
получения кредита, в конце каждого последующего месяца. Определить
сумму выплат по кредиту.
Ответ: a = 596 901,64 р.
43. Речному порту на приобретение портального крана выдан кредит 8
млн. р. на 2 года, с ежемесячным начислением процента по ставке 15 %
годовых. Кредитным соглашением предусмотрено, что в течение первых
6 месяцев заемщик ничего не выплачивает кредитору, а, начиная с конца
7-го месяца 1-го года, ежемесячно погашает кредит равными платежами.
Определить сумму выплат.
26
Ответ: a = 537 698,56 р.
44. Для покрытия расходов, связанных с холодным отстоем судов в
зимний период, 1 декабря пароходство привлекает кредит на сумму
12 млн. р., сроком на 10 месяцев, планируя погашать данный кредит в
навигационный период, начиная с начала мая следующего года по сентябрь включительно, равными ежемесячными платежами. Определить
размер платежа, если ставка по кредиту составляет APR = 12 %, а начисление процентов производится ежемесячно.
45. Продается сухогруз типа река-море за $2 500 000,00. Судоверфь
предлагает следующие варианты:
1. Покупатель платит $300 000,00 сразу, а остаток в течение 5 лет,
равными месячными платежами. Процентная ставка за предоставленный
кредит APR = 1,9 %. Чему равен месячный платеж?
2. Стоимость судна оплачивается сразу, и покупатель получает скидку
8 %. Стоит ли платить сразу или лучше взять кредит? Предположите, что
требуемая доходность покупателя APR = 5 % при ежемесячном начислении процентов.
46. Судоходная компания решила купить круизный катер, и ей необходимо занять $100 000,00. Банк, в который она обратилась, предлагает
взять кредит с погашением его в течение 30 лет. Количество ежемесячных
платежей – 360. Если процентная ставка по кредиту равна 12 % годовых,
то какова сумма месячного платежа? Другой банк предлагает 15-летний
кредит с ежемесячной выплатой по $1 100,00. Какой заем для судоходной
компании выгодней?
Амортизация кредитов
Примеры типовых вычислений
47. Кредит на сумму 10 млн. р. выдан сроком на 1 год для пополнения
оборотных средств судоходной компании перед началом навигации с
ежемесячным начислением простого процента по ставке APR = 18 % на
остаток долга. Существует альтернативный вариант получения кредита на
ту же сумму и срок, также с ежемесячным начислением 18%, но погашение осуществляется аннуитетными платежами. Необходимо составить
планы погашения кредита и проанализировать варианты амортизации
кредита с позиций заемщика и кредитора.
Дано: PV0 = 10 000 000,00 р.; APR = 0,18; m = 12.
27
Решение
Первая схема амортизации кредита предполагает ежемесячную выплату равных частей основного долга:
PV 0 10 000 000,00
=
= 833 333,33 ,
m
12
а процентные платежи рассчитываются исходя из остатка долга на конец
каждого месяца (табл. 3).
a1 =
Таблица 3
Месяц
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Итого
Выплата основного
долга, р.
PV 0
m⋅n
833 333,33
833 333,33
833 333,33
833 333,33
833 333,33
833 333,33
833 333,33
833 333,33
833 333,33
833 333,33
833 333,33
833 333,33
10 000 000,00
a=
Остаток долга, р.
PVt = PV0 −
− at (t − 1)
10 000 000,00
9 166 666,67
8 333 333,33
7 500 000,00
6 666 666,67
5 833 333,33
5 000 000,00
4 166 666,67
3 333 333,33
2 500 000,00
1 666 666,67
833 333,33
Процентный
платеж, р.
Выплата
по кредиту, р.
APR
m
PMTt = a + I t
150 000,00
137 500,00
125 000,00
112 500,00
100 000,00
87 500,00
75 000,00
62 500,00
50 000,00
37 500,00
25 000,00
12 500,00
975 000,00
983 333,33
970 833,33
958 333,33
945 833,33
933 333,33
920 833,33
908 333,33
895 833,33
883 333,33
870 833,33
858 333,33
845 833,33
10 975 000,00
I t = PVt
Определим современную стоимость денежного потока, представленного выплатами по кредиту (PMT), исходя из той же ставки доходности
APR = 18 %:
983 333,33 970 833,33 958 333,33 945 833,33 933 333,33
+
+
+
+
+
1 + 0,015 (1 + 0,015)2 (1 + 0,015)3 (1 + 0,015)4 (1 + 0,015)5
920 833,33 908 333,33 895 833,33 883 333,33 870 833,33
+
+
+
+
+
+
(1 + 0,015)6 (1 + 0,015)7 (1 + 0,015)8 (1 + 0,015)9 (1 + 0,015)10
858 333,33
845 833,33
+
+
= 10 000 000,00
11
(1 + 0,015) (1 + 0,015)12
PVPMT =
Таким образом, современная стоимость полученного путем начисления простых процентов на остаток долга плюс выплаты основного долга
28
денежного потока в точности равна сумме выданного кредита, на который
начисляется указанный процент.
Другой способ погашения (амортизации) кредита предполагает выплату основного долга и начисляемых процентов одинаковыми суммами
через одинаковые интервалы времени, то есть аннуитетом:
PV0 ⋅ APR
m = 10 000 000,00 ⋅ 0,015 = 916 799,93 .
a=
− m⋅n
−12
1 − (1 + 0,015 )
1 − 1 + APR
m
При этом существует необходимость разделения ежемесячного платежа на процентную выплату и выплату в погашение основного долга,
поскольку сумма начисленных процентов представляет собой доход кредитора и, соответственно, расходы заемщика, тогда как сумма выплат в погашение основного долга не влияет напрямую на финансовый результат (табл. 4).
Поскольку каждая выплата является одной и той же суммой, то очевидно, что процентные платежи и выплаты в счет основного долга будут
разными. Для решения этой задачи воспользуемся концепцией стоимости
денег во времени, исходя из которой, каждый элемент денежного потока
представляет собой будущую стоимость, а разница между будущей стоимостью и его современной стоимостью представляет собой процентный
доход инвестора (или кредитора).
Таким образом (см. табл. 4),
916 799,93
a
I1 = a −
= 916 799,93 −
= 13 548,77 ,
1 + 0,015
1 + APR
m
916 799,93
a
= 916 799,93 −
= 26 897,31 ,
I2 = a −
2
(1 + 0,015)2
1 + APR
m
(
)
(
)
……………………………………………………………………
I 12 = a −
a
(1 + APR m)
12
= 916 799,93 −
916 799,93
(1 + 0,015 )12
= 150 000,00 .
Таблица 4
Месяц
t
1
2
3
Выплата по кредиту, р.
(аннуитет)
a=
PV 0 ⋅ APR
(
1 − 1 + APR
m
)
m
916 799,93
916 799,93
916 799,93
− m⋅n
Выплата основного
долга, р.
bt =
a
1 + APR
(
903 251,16
889 902,62
876 751,35
29
)
m
t
Процентный платеж, р.
It = a −
a
APR
1+
(
13 548,77
26 897,31
40 048,58
m
)
t
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Итого
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
11 001 599,15
863 794,44
851 029,00
838 452,22
826 061,30
813 853,50
801 826,10
789 976,46
778 301,93
766 799,93
10 000 000,00
53 005,49
65 770,93
78 347,71
90 738,63
102 946,43
114 973,83
126 823,47
138 498,00
150 000,00
1 001 599,15
Несмотря на то, что приведенная стоимость выплат по кредиту, представленных аннуитетом, также составляет 10 000 000,00 р., то есть сумму
выданного кредита, сумма процентов по такой схеме превышает процентные выплаты за год по схеме амортизации кредита с убыванием основного долга и начислением процентов на остаток долга. Это связано с тем,
что при расчете аннуитетного платежа использовалась формула дисконтирования по сложным процентам, а, как известно, будущая стоимость по
сложным процентам растёт быстрее, чем по простым.
Также следует отметить, что рассмотренная схема амортизации кредита предполагает увеличение размера процентных выплат с течением
времени, хотя сумма основного долга уменьшается.
Для того чтобы процентные выплаты уменьшались вместе с убыванием основного долга, для аннуитетной схемы амортизации кредита можно
применить подход, аналогичный первой схеме погашения кредита. То
есть процентные выплаты и выплаты в счет основного долга будут определяться следующим образом:
I 1 = PV0 ⋅ APR m = 10 000 000,00 ⋅ 0,015 = 150 000,00 – первый процентный платеж;
b1 = a − I 1 = 916 799,93 − 150 000,00 = 766 799,93 – первая выплата в
счет основного долга;
a1 = b1 + I 1 = 766 799,93 + 150 000,00 = 916 799,93 – первый платеж
по кредиту;
I 2 = (PV0 − b1 ) APR m = (10 000 000,00 − 766 799,93) 0,015 = 138 498,00
– второй процентный платеж;
b2 = a − I 2 = 916 799,93 − 138 498,00 = 778 301,93 – вторая выплата в
счет основного долга;
a 2 = b2 + I 2 = 778 301,93 + 138 498,00 = 916 799,93 – второй платеж
по кредиту и так далее (табл. 5).
30
Таблица 5
Месяц
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Выплата по кредиту, р.
(аннуитет)
a=
PV 0 ⋅ APR
(
1 − 1 + APR
m
)
m
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
916 799,93
− m⋅n
Остаток долга, р.
Процентный
платеж, р.
PV t = PV t −1 − bt −1 I t = PVt
10 000 000,00
9 233 200,07
8 454 898,14
7 664 921,69
6 863 095,58
6 049 242,09
5 223 180,79
4 384 728,57
3 533 699,57
2 669 905,14
1 793 153,78
903 251,16
Итого
APR
m
150 000,00
138 498,00
126 823,47
114 973,83
102 946,43
90 738,63
78 347,71
65 770,93
53 005,49
40 048,58
26 897,31
13 548,77
1 001 599,15
Выплата
основного долга, р.
bt = a − I t
766 799,93
778 301,93
789 976,46
801 826,10
813 853,50
826 061,30
838 452,22
851 029,00
863 794,44
876 751,35
889 902,62
903 251,16
10 000 000,00
Несложно заметить, что для вариантов амортизации кредита при помощи аннуитета процентные выплаты равны друг другу, но осуществляются в обратном порядке. То же касается и сумм, выплачиваемых в погашение основного долга.
Задачи для самостоятельного решения
48. Транспортной компании выдан кредит на сумму 12 млн. р. с ежемесячным начислением простого процента по ставке APR = 18 % на остаток долга сроком на 1 год. Существует альтернативный вариант получения кредита на ту же сумму и срок, также с ежемесячным начислением,
но погашение осуществляется аннуитетными платежами. При этом ставка
по кредиту составляет 16 % годовых. Необходимо принять решение о варианте заимствования денежных средств. Составить планы амортизации
кредита по вариантам погашения.
49. Для реализации проекта добычи нерудных материалов привлекается кредит на лицензирование, покупку плавкрана, барж, буксира, наземной техники на сумму 50 млн. р. Планируемый чистый денежный поток
от продажи песка и гравийной массы (поступления за минусом выплат,
без учета платежей по кредиту) составляет 9 млн. р. в месяц в навигаци31
онный период с середины мая до середины октября. Кредит погашается в
течение периода навигации, начиная с середины мая, в течение 6 месяцев
по ставке 18 % годовых равными выплатами, а привлекается за два месяца
до начала навигации. Обосновать целесообразность (или нецелесообразность) привлечения такого кредита.
Пример типовых вычислений в MS Excel
50. Для задачи 49 определить ставку, по которой привлечение данного
кредита целесообразно. Составить план амортизации кредита.
Решение
Для решения первой части этой задачи необходимо составить уравнение:
(
)
50 000 000,00 (1 + X ) 2 = 9 000 000,00 1 − (1 + X ) −6 X .
Левая часть этого уравнения характеризует капитализированную
стоимость кредита через два месяца, а правая – текущую стоимость аннуитета в той же временной точке. Очевидно, что выплаты по кредиту не
должны превышать 9 млн. р., поэтому необходимо найти такую ставку по
кредиту X = APR/12, при которой выполнялось бы условие равенства каждого элемента аннуитета 9 млн. р.:
a = 9 000 000,00 =
50 000 000,00 ⋅ X ⋅ (1 + X ) 2
.
1 − (1 + X ) − 6
Для определения искомой ставки (а равно и для составления плана
амортизации кредита) рекомендуется применять средства электронных
таблиц MS Excel [5]. Для этого занесем начальные данные задачи и необходимую формулу для расчета в табл. 6.
Таблица 6
A
1
2
3
4
5
6
7
B
PV =
a=
m=
n=
50 000 000,00
9 000 000,00
12
0,5
Подбор параметра APR/12 для аннуитета:
a=
APR/12 =
9 000 000,00
1,41%
32
8
APR =
16,97%
В ячейку В6 введите формулу = (B1 * СТЕПЕНЬ (1+B7;2)*B8) /(1 –
–СТЕПЕНЬ(1+B7;–6)) и воспользуйтесь командой «Подбор параметра»
(главное меню → сервис → подбор параметра) для ячейки В6 (значение
9 000 000), изменяя значение ячейки В7 (рис. 4).
Рис. 4. Диалоговое окно MS Excel «Подбор параметра»
Очевидно, что ставка по кредиту не должна превышать найденное
значение APR = 16,97 %. Поэтому план погашения кредита требуется составить для APR = 16 %.
51. Судоходной компании на модернизацию флота выдан кредит в
размере $100 000,00 сроком на 2 года с ежемесячным начислением процента по ставке 15 % годовых. Кредитным соглашением предусмотрено,
что заемщик начинает ежемесячно погашать кредит равными платежами
через полгода после получения кредита, в конце каждого последующего
месяца. Определить сумму выплат по кредиту. Составить план погашения
кредита.
52. Для задачи 51 подобрать такое значение ставки по кредиту, чтобы
ежемесячные платежи составляли $6 000,00.
Ответ: APR = 6 %.
53. Для задачи 51 подобрать такое значение ставки по кредиту, чтобы
ежемесячные платежи составляли $6 500,00.
Ответ: APR = 12,33 %.
54. Судоходной компании на приобретение экраноплана выдан кредит
$120 000,00 на 5 лет с ежемесячным начислением процента по ставке 12 %
33
годовых. Кредитным соглашением предусмотрено, что заемщик ежемесячно погашает кредит равными платежами. Определить сумму выплат.
Составить план погашения кредита.
55. Для задачи 54 определить значение ставки по кредиту таким образом, чтобы ежемесячные платежи составляли $3 000,00.
Ответ: APR = 17,27 %.
56. Для задачи 54 определить количество месяцев и соответственно
срок погашения кредита таким образом, чтобы ежемесячные платежи составляли $2 391,93.
Ответ: ≈ 70 месяцев.
Критерии принятия инвестиционных решений
Примеры типовых вычислений
57. Сформулируем условия задачи 33 следующим образом. Судоходная компания планирует приобрести теплоход стоимостью $500 000,00
для последующей сдачи его в аренду. Величина арендных платежей составляет $10 000,00 в конце каждого месяца. Определить, стоит ли судоходной компании вкладывать капитал в данный проект, если срок аренды:
a) не определен; b) равен 10 годам; c) 20 годам. Требуемая доходность
(стоимость капитала / cost of capital) проекта составляет: 1) 24 %; 2) 30 %;
3) 20 %.
Решение
Для решения этой задачи также необходимо воспользоваться концепцией стоимости денег во времени для сопоставления суммы капиталовложений и денежного потока, представляющего собой выплаты арендных
платежей. В этих целях используется критерий принятия инвестиционных
решений, который носит название чистой приведенной стоимости – NPV
(Net Present Value). NPV вычисляется как разница между приведенной
стоимостью денежного потока от реализации инвестиционного проекта
CF (Cash Flow) и величиной капиталовложений IC:
m
NPV = ∑
l =1
CFl
(1 + k )l
− IC ,
(19)
где k — стоимость капитала проекта (ставка дисконтирования); l – номер
периода, в котором поступает элемент денежного потока CFl; m – количество таких периодов.
34
В случае если срок аренды не определен, оценим современную стоимость арендных платежей исходя из предположения, что данный денежный поток является бесконечным. Для этого воспользуемся выражением
(18). Тогда чистая приведенная стоимость проекта NPV = a/i – IC, где a –
величина арендного платежа.
Для этого случая, если требуемая доходность составляет 24 % годовых, NPV = 0.
NPV =
$10 000,00
− $500 000,00 = $0,00 .
0,24 12
Это означает, что при заданных условиях (арендные платежи бесконечны, доходность 24 %) планируемый денежный поток в точности соответствует заданной доходности в 24 %. При этом очевидно, что арендные
платежи ограничены во времени (например, сроком службы судна). Кроме того, в случае наступления в будущем некоего неблагоприятного для
данного проекта события (например, снижение суммы арендных платежей
или отказ арендатора от аренды) величина приведенного денежного потока снизится и, как следствие, NPV станет меньше 0. Это означает, что требуемая доходность в 24 % не будет достигнута. То есть для случаев, когда
NPV ≤ 0 , проект не позволяет достигнуть требуемой доходности. При
заданной стоимости капитала в 30 % данный проект также не позволит ее
достигнуть и его NPV<0. Для ставки дисконтирования в 20 %,
NPV = $100 000,00. При этом денежный поток арендных платежей рассматривается как бесконечный. Для принятия решения в этом случае необходимо проанализировать проект для конечного числа платежей. Воспользуемся выражениями (17) и (19):
b)
c)
0,2 ⎞
⎛
1 − ⎜1 +
⎟
12 ⎠
⎝
NPV = $10 000,00
0,2 12
⎛ 0,2 ⎞
1 − ⎜1 +
⎟
12 ⎠
NPV = $10 000,00 ⎝
0,2 12
−120
− $500 000,00 = $17 449,24 ;
−240
− $500 000,00 = $88 642,29 .
То есть чем больше платежей в потоке, тем выше чистая приведенная
стоимость и тем выше вероятность получения заданной требуемой доходности.
Для ставок в 24 и 30 % NPV вычисляется аналогичным образом:
35
b)
0,24 ⎞
⎛
1 − ⎜1 +
⎟
12 ⎠
⎝
NPV = $10 000,00
0,24 12
0,3 ⎞
⎛
1 − ⎜1 +
⎟
12 ⎠
⎝
NPV = $10 000,00
0,3 12
c)
− $500 000,00 = $ − 46 446,12 ,
−120
− $500 000,00 = $ − 120 663,13 ;
⎛ 0,24 ⎞
1 − ⎜1 +
⎟
12 ⎠
NPV = $10 000,00 ⎝
0,24 12
⎛ 0,3 ⎞
1 − ⎜1 +
⎟
12 ⎠
NPV = $10 000,00 ⎝
0,3 12
−120
−240
− $500 000,00 = $ − 4 314,48 ,
− 240
− $500 000,00 = $ − 101 067,41 .
То есть чем выше ставка требуемой доходности, тем ниже величина NPV.
Таким образом, рассматриваемый проект может быть признан привлекательным для судоходной компании только тогда, когда требуемая
доходность меньше 24 %.
58. Менеджментом судоходной компании принято решение инвестировать 10 млн.р. в проект добычи речного песка и гравийной массы, рассчитанный на 3 года. Предполагаемые денежные поступления в конце
каждого года составляют 3 млн.р., 4 млн.р. и 7 млн.р. Необходимо проанализировать данное решение с точки зрения доходности или стоимости
капитала данного проекта.
Решение
Поскольку условиями задачи не предусмотрена ставка требуемой инвестором доходности, для решения воспользуемся показателем внутренняя норма доходности (IRR – Internal Rate of Return). Под внутренней
нормой доходности понимается значение процентной ставки дисконтирования, при которой чистая приведенная стоимость (NPV) инвестиционного проекта равна нулю. То есть, исходя из выражения (19), необходимо
решить следующее уравнение:
10 000 000,00 =
3 000 000,00 4 000 000,00 7 000 000,00
+
+
.
1 + IRR
(1 + IRR )2
(1 + IRR )3
Вычисление IRR в таких задачах прямыми методами затруднено (в частности, множественностью решений). Поэтому для решения использует36
ся метод последовательных итераций, дающий приближенное значение
IRR, с использованием различных значений ставок дисконтирования. Для
этого подбираются два значения ставки дисконтирования k1< k2 таким
образом, чтобы в интервале (k1; k2) функция NPV(k) меняла свое значение
с «+» на «–». Данный метод представлен подбором значений ставок дисконтирования k11, k21 и k12, k22. Для них строятся прямые f1(k) и f2(k), пересечение которых с осью абсцисс дает приближенные значения IRR, обозначенные точками k01 и k02 (рис. 5).
NPV
f1(k11)
f2(k12)
k02
k11
k12
k01
k22
k21
k
IRR
f2(k22)
f1(k21)
Рис. 5. Метод линейной интерполяции для нахождения значения IRR
Точность вычислений данного метода обратно пропорциональна длине интервала (k1; k2), а наилучшее приближение достигается тогда, когда
длина этого интервала минимальна (например, равна 1 %), то есть k1 и k2
– ближайшие друг к другу значения ставки дисконтирования. Точка k1 –
значение ставки дисконтирования, минимизирующее положительное значение показателя NPV, а k2 – значение ставки дисконтирования, максимизирующее (минимизирующее «по модулю») отрицательное значение показателя NPV. Этот метод называется линейной интерполяцией [6].
Упростим данные рис. 5 и определим приближенное значение IRR
(рис. 6).
37
NPV
k0
0
k2
k
k1
f(k)
Рис. 6. Нахождение приближенного значения IRR
Из подобия треугольников следует:
k − k1
NPV1
NPV1 − NPV 2
NPV1
⇒ 0
=
,
=
k 0 − k1
k 2 − k1
k 2 − k1 NPV1 − NPV 2
IRR ≈ k 0 = k1 +
или, что эквивалентно (20),
IRR ≈ k 0 = k 2 −
f (k1 )
(k 2 − k1 ) ,
f (k1 ) − f (k 2 )
(20)
f (k 2 )
(k 2 − k1 ) .
f (k 2 ) − f (k1 )
(21)
Достичь этих значений можно путем последовательного (пошагового)
перебора ставок дисконтирования: при получении положительного эффекта – в сторону увеличения ставки, в случае отрицательного эффекта –
в сторону уменьшения.
Для оценки проекта по критерию IRR сравнивают внутреннюю норму
доходности проекта с требуемой (инвестором) нормой прибыли, которую
называют «ставкой отсечения» или пороговой ставкой. Если IRR ниже,
чем ставка отсечения – проект отвергается, если выше – принимается.
Определим первое значение ставки дисконтирования следующим
образом:
k=
3 000 000,00 + 4 000 000,00 + 7 000 000,00 − 10 000 000,00
= 0,4 ,
10 000 000,00
38
или 40 %. Дисконтируя по этой ставке, мы получим отрицательное значение NPV:
NPV =
3 000 000 4 000 000 7 000 000
+
+
− 10 000 000 = −2 332 361,52 .
1 + 0,4
(1 + 0,4)2 (1 + 0,4)3
Теперь уменьшим ставку, например, вдвое, то есть до 20 %:
NPV =
3 000 000 4 000 000 7 000 000
+
+
− 10 000 000 = −559 413,58 .
1 + 0,2
(1 + 0,2)2 (1 + 0,2)3
Еще раз уменьшаем ставку вдвое — до 10%:
NPV =
3 000 000 4 000 000 7 000 000
+
+
− 10 000 000 = 1174 783,14 .
1 + 0,1
(1 + 0,1)2 (1 + 0,1)3
Получено два значения ставки дисконтирования, при которых NPV
меняет свой знак с «+» на «–». То есть можно определить приблизительное значение IRR:
IRR ≈ k 0 = 0,1 +
1 174 783,14
(0,2 − 0,1) = 0,1677 ,
1 174 783,14 − (− 559 413,58)
или, используя (21):
IRR ≈ k 0 = 0,2 −
− 559 413,58
(0,2 − 0,1) = 0,1677 .
− 559 413,58 − 1174 783,14
Несложно заметить (см. рис. 5), что полученное приближенное значение k0 всегда дает отрицательное значение NPV. Уточним полученное
значение:
NPV = [k 2 = 0,1677 ] = −86 323,12 ,
NPV = [k1 = 0,16] = −37 467,43 ,
37 467,43
(0,1677 − 0,16) = 0,1623 .
37 467,43 − (− 86 323,58)
Таким образом, если требуемая доходность инвестора (стоимость капитала проекта) не превышает 16,23 %, то проект приемлем по критерию
IRR. Если стоимость капитала выше (например, в случае 100 %-го финансирования проекта за счет банковского кредита, ставка по которому превышает 16,23 %) – проект неприемлем, поскольку не обеспечивает требуемую доходность.
IRR ≈ k 0 = 0,16 +
Пример типовых вычислений в MS Excel
39
Алгоритм решения задачи 58 реализован в электронных таблицах MS
Excel (рис. 7), которые позволяют значительно упростить расчеты дисконтированных показателей эффективности инвестиционного проекта. В частности, расчет внутренней нормы доходности представлен финансовой
функцией ВСД («Внутренняя ставка доходности»).
Рис. 7. Функция ВСД в MS Excel
Финансовая функция ВСД в MS Excel (MS Office XP1) возвращает
внутреннюю ставку доходности для ряда потоков денежных средств,
представленных их численными значениями. Эти денежные потоки не
обязательно должны быть равными по величине, как в случае аннуитета.
Однако они должны иметь место через равные промежутки времени, например, ежемесячно или ежегодно. Внутренняя ставка доходности – это
процентная ставка, принимаемая для инвестиции, состоящей из платежей
(отрицательные величины) и доходов (положительные величины), которые осуществляются в последовательные и одинаковые по продолжительности периоды.
Формат функции: ВСД (значения; предположение).
Значения – это массив или ссылка на ячейки, содержащие числа, для
которых требуется подсчитать внутреннюю ставку доходности.
Значения должны содержать, по крайней мере, одно положительное и
одно отрицательное значение.
ВСД использует порядок значений для интерпретации порядка денежных выплат или поступлений.
1
В других версиях «MS Office», формат функции может быть другим.
40
Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст,
логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются.
Предположение – это величина, о которой предполагается, что она
близка к результату внутренней нормы доходности (ВСД).
MS Excel использует метод итераций для вычисления ВСД. Начиная
со значения величины «предположение», функция ВСД выполняет циклические вычисления, пока не получит результат с точностью 0,00001 процента. Если функция ВСД не может получить результат после 20 попыток, то выдается значение ошибки: #ЧИСЛО!
В большинстве случаев нет необходимости задавать предположение
для вычислений с помощью функции ВСД. Если предположение опущено, то оно полагается равным 0,1 (10 %).
Если ВСД возвращает значение ошибки #ЧИСЛО! или если результат
далек от ожидаемого, можно попытаться выполнить вычисления еще раз с
другим значением аргумента предположение.
ВСД тесно связана с функцией ЧПС («Чистая приведенная стоимость» или NPV). Ставка доходности, вычисляемая ВСД, связана с нулевой чистой текущей стоимостью. Взаимосвязь функций ЧПС и ВСД отражена в следующей формуле: ЧПС (ВСД (B1:B6);B1:B6) равняется
3,60E–08. Учитывая точность расчета для функции ВСД , значение 3,60E–08
можно считать нулевым.
59. Инвестиционный проект, связанный со строительством низконапорного гидроузла, предполагает строительство и монтаж подъездных
путей и портового оборудования, эксплуатацию объекта в течение 4 лет и
его полный демонтаж в конце срока эксплуатации. Величина инвестиций
составляет 100 млн. р. в начале инвестиционного периода на строительство и монтаж и 190 млн. р. в конце 4-го года – на демонтаж. Прогнозируемый денежный поток от реализации проекта – 120 млн. р. в конце 1-го
года, 50 млн. р. в конце 2-го и 100 млн. р. в конце 3-го года. Необходимо
проанализировать эффективность данного проекта с позиции доходности
(стоимости капитала).
Решение
Для решения воспользуемся электронными таблицами MS Excel
(рис. 8). Для этого в ячейки A2:A6 введем обозначения каждого периода, а
в B2:B6 – значения элементов денежного потока.
Далее, в ячейках A9:A17 вводим значения ставок дисконтирования от
0 до 40 % с шагом 5 % и для каждого значения k находим значение NPV
при помощи функции ЧПС. Для этого в ячейку B9 вводим формулу
= ЧПС (A9;$B$2:$B$6) и копируем ее в диапазон B10:B17. Как видно из
полученных значений, функция NPV(k) меняет свой знак два раза и, соответственно, имеет две точки пересечения с осью абсцисс.
41
Рис. 8. Определение IRR для проектов с неординарными денежными потоками
Для того чтобы определить, каким значениям k соответствуют эти два
значения NPV, сначала скопируем значение ставки дисконтирования 15 %
в ячейку A13 и соответствующее значение NPV – в ячейку B13, сдвинув
остальные ячейки вниз.
Воспользуемся командой «Подбор параметра» (главное меню → сервис → подбор параметра) для ячейки B13, значение 0,00, изменяя значение ячейки A13. Получили первое значение IRR, равное 16,65 %. Повторим ту же процедуру для ячейки A16 (значение 30 %) и получим второе
значение IRR, равное 34,11 %.
Эти же значения можно получить, воспользовавшись функцией ВСД,
предполагая значения ставки дисконтирования 15 и 30 % для IRR1 и IRR2
соответственно. То есть положительные значения NPV достигаются при
стоимости капитала в интервале от 16,65 до 34,11 %. Определим значение
ставки дисконтирования, при которой достигается максимальное значение
42
NPV. Для этого воспользуемся функцией «Поиск решения»1 (главное меню → сервис → поиск решения) так, как это показано на рис. 8.
Рис. 9. Установка пакета «Поиск решения» в MS Excel
Таким образом, для рассматриваемого инвестиционного проекта максимальное значение критерия NPV = 1 110 385,20 р. достигается при
стоимости капитала в 24,1963 %. То есть для такого значения требуемой
доходности существует наибольшая вероятность ее получения.
Для принятия решения на основе критерия «Внутренняя норма доходности» для проектов с неординарными денежными потоками используется показатель «Модифицированная внутренняя норма доходности»
(MIRR). MIRR – является ставкой, уравновешивающей современную
стоимость инвестиций и будущую (терминальную) стоимость денежных
поступлений от реализации данного проекта (рис. 10):
FVCF
=0,
PV IC +
(22)
(1 + MIRR )m
где
1
Если функция «Поиск решения» недоступна, необходимо добавить ее в меню, выбрав ее из
доступных надстроек «главное меню → сервис → надстройки» (рис. 9).
43
m
FV CF = ∑ CFl (1 + k ) ,
l
(23)
l =1
m
PV IC = ∑
l =1
IC l
(1 + k )l
,
(24)
k – стоимость капитала проекта.
Рис. 10. Вычисление приведенной стоимости инвестиций
и будущей (терминальной) стоимости денежного потока для расчета MIRR
То есть модифицированная внутренняя норма доходности вычисляется следующим образом:
⎛ FV CF
MIRR = ⎜⎜
⎝ − PV IC
1
⎞m
⎟⎟ − 1 .
⎠
(25)
Таким образом, чтобы вычислить MIRR, необходимо знать стоимость
капитала (k) инвестиционного проекта.
Предположим, что рассматриваемый проект предполагается полностью финансировать за счет банковской ссуды по ставке 19 % годовых.
Тогда
3
2
FV CF = 120 000 000,00 (1 + 0,17 ) + 50 000 000,00 (1 + 0,17 ) +
+ 100 000 000,00 (1 + 0,17 ) = 392 024 080,00 ,
− 190 000 000,00
PV IC =
+ (− 100 000 000,00 ) = −194 747 062,77 ,
(1 + 0,17 )4
44
MIRR = 4
392 024 080,00
− 1 = 0,1911 .
194 747 062,77
Следовательно, проект приемлем по критерию MIRR, поскольку эта
ставка превышает стоимость капитала k.
В MS Excel показатель MIRR можно вычислить при помощи функции
МВСД.
Формат функции: МВСД(значения;ставка_финанс;ставка_реинвест).
Значения – это массив или ссылка на ячейки, содержащие числа, для
которых требуется подсчитать модифицированную внутреннюю ставку
доходности. Значения должны содержать, по крайней мере, одно положительное и одно отрицательное значение.
Далее задаются ставки финансирования и реинвестирования, по которым определяются, соответственно, приведенная стоимость инвестиций
(24) и терминальная стоимость положительного денежного потока (23).
Если использовать функцию МВСД для рассматриваемого примера, достаточно указать одну и ту же ставку два раза.
Задачи для самостоятельного решения
60. Рассматривается проект капиталовложений в строительство речного порта. Определить эффективность инвестиционного проекта по критерию NPV, если капиталовложения осуществляются по следующему плану: 300 млн. р. в начале 1-го года и по 150 млн. р. в конце 2, 3 и 4-го. Прогнозируемый денежный поток составляет 100 млн. р. в конце каждого года,
начиная со 2-го в течение 20 лет. Требуемая инвестором доходность составляет 15 % годовых.
Ответ: NPV = – 53 522 278,43 р.
61. Для задачи 60 определить предельную ставку доходности, при которой проект строительства порта остается эффективным. Указание: для
решения используйте функцию MS Excel «Подбор параметра».
Ответ: 13,24 %.
62. Проект постройки сухогруза типа река-море предполагает его
дальнейшую передачу в лизинг судоходной компании сроком на 20 лет.
Объем инвестиций в постройку судна составляет $3 000 000,00. Ежемесячный платеж по лизингу составляет $40 000,00. Определить эффективность инвестиционного проекта по критерию NPV, если требуемая доходность инвестора составляет 12 % годовых.
45
Ответ: NPV = $632 776,65.
63. Для задачи 62 определить размер лизингового платежа, при котором NPV = 0. Указание: для решения используйте функцию MS Excel
«Подбор параметра».
Ответ: a = $33 032,58.
64. Для задачи 62 определить внутреннюю норму доходности (IRR)
проекта. Указание: для решения используйте функцию MS Excel «Подбор
параметра».
Ответ: IRR = APR = 15,22 %.
65. Определить значение IRR для инвестиционного проекта, предполагающего приобретение дноуглубительного флота. Проект рассчитан на
5 лет, требует инвестиций в размере 20 млн. р., а предполагаемые денежные поступления в конце каждого года составляют соответственно годам
9 млн. р., 5 млн. р., 3 млн. р., 1,5 млн. р. и 9 млн. р.
Ответ: IRR = 12,47 %.
66. Определить внутреннюю норму доходности для проекта оборудования контейнерной площадки в порту, рассчитанного на 20 лет, требующего инвестиций в размере 27 млн. р. Прогнозируемый денежный поток
от использования в деятельности порта контейнерной площадки составляет 7 млн. р. в конце каждого года.
Ответ: IRR = 25,66 %.
67. Проект постройки причала для грузов в контейнерах требует капиталовложений в размере 30 млн. р. Финансирование проекта планируется
полностью осуществлять за счет привлечения банковского кредита, ставка
по которому составляет 18 % годовых. Рассчитать размер годового платежа по кредиту, если кредит выдается на 10 лет и должен погашаться ежегодными равными выплатами. Какова будет внутренняя норма доходности проекта, если денежный поток от реализации проекта представлен
аннуитетом, каждый элемент которого превышает выплату по кредиту в
1,5 раза и поступает в тот же момент времени?
Ответ: ежегодный платеж по кредиту a = 6 675 439,24;
для CFi = 10 013 158,86, IRR = 31,16 %.
68. Для задачи 59 определить интервал значений ставок дисконтирования, для которого выполняется условие MIRR ≥ k .
69. Рассчитать модифицированную внутреннюю норму доходности
для проекта поэтапной модернизации портового оборудования, рассчи46
танного на 2 года и требующего 15 млн. р. капиталовложений в начале 1го года и 95 млн. р. – в конце 2-го года. Приток денежных средств от реализации данного проекта прогнозируется на уровне 105 млн. р. в конце 1го года. Финансирование проекта планируется осуществлять за счет банковского кредита, ставка по которому составляет 20 % годовых.
Ответ: MIRR = 24,74 %.
70. Для задачи 69 рассчитать MIRR, если стоимость капитала составляет: a) 6 %, b) 12 %, c) 24 %. Построить график функции NPV(k), определить точки пересечения функции с осью абсцисс k и найти ее максимум.
Указание: для построения графика используйте таблицы MS Excel и значения k – от 0 до 600 % с шагом 20 %. Сформулировать выводы.
Стоимостные модели активов
Оценка активов с фиксированными доходами – облигации
Бескупонные облигации, или облигации с нулевым купоном (pure
discount bonds / zero-coupon bonds), – это облигации, выплата по которым
производится только один раз, в день их погашения. День выплаты
называете днем погашения облигации [7].
Ожидаемая сумма платежа по бескупонной облигации называется ее
номинальной или нарицательной стоимостью (face value / par value). Доход, полученный инвестором по бескупонной облигации в день погашения, представляет собой разницу между ценой приобретения облигации и
ее номиналом.
Доходность (yield) бескупонной облигации – это годовая ставка доходности, получаемая инвестором, купившим и владеющим данной облигацией до момента ее погашения. Для бескупонной облигации доходность
составляет
Номинал − Покупная цена
.
y=
(26)
Покупная цена
Купонная, или процентная, облигация (coupon bond) обязывает ее эмитента осуществлять периодические выплаты процентов, называемые купонными платежами, держателю облигации на протяжении срока ее обращения, а затем выплатить на дату погашения номинальную стоимость
47
облигации (то есть на день выплаты последнего процентного дохода).
Периодические выплаты процентов называются купонными платежами
(coupon payments). Это связано с тем, что такие облигации имеют купоны,
которые отрезаются по мере наступления срока платежей и предъявляются эмитенту для получения процентов.
Купонная доходность (coupon rate) – это процентная ставка доходности относительно номинала облигации, используемая для расчета купонных платежей.
Купонные облигации с рыночной ценой, совпадающей с их номинальной стоимостью, называются облигациями, котирующимися по номиналу (par bonds). Если рыночная цена купонной облигации соответствует
ее номинальной стоимости, то доходность по такой облигации равна купонной доходности по ней.
Если цена облигации превышает ее номинальную стоимость, она называется облигацией с премией (premium bond).
Текущая доходность (current yield) облигации рассчитывается путем деления суммы платежа по годовому купону на рыночную цену
облигации:
yc =
Купон
.
Цена
(27)
Доходность к погашению1 (yield-to-maturity) – дисконтная ставка, при
которой приведенная стоимость ожидаемых денежных платежей по облигации равняется ее текущей цене:
ym =
Купон + Номинал − Текущая цена
.
Текущая цена
(28)
Соотношение ставок доходности для премиальных облигаций:
ym π yc π y .
(29)
Если цена облигации меньше ее номинальной стоимости, она называется облигацией с дисконтом.
Соотношение ставок доходности для облигаций с дисконтом:
ym φ yc φ y .
Примеры типовых вычислений
1
Другое название – «Полная доходность».
48
(30)
71. Транспортной компанией размещены бескупонные облигации номиналом 1 000,00 р. и сроком погашения через 1 год по цене 900,00 р. за
облигацию. Определить доходность облигации.
Решение
Подставим данные в выражение (26):
y = (1 000 – 900)/900 = 0,1111.
То есть доходность такой облигации составляет 11,11 % годовых.
72. Компанией ОАО «РЖД» размещаются бескупонные облигации со
сроками погашения 1, 2 и 3 года и номиналом 1 000,00 р. Цена размещения
(покупная цена) облигаций соответственно 900,00 р., 790,00 р. и 650,00 р.
Определить доходность облигаций.
Решение
Для облигации со сроком погашения 1 год воспользуемся выражением (26): y = (1 000,00 – 900,00)/900,00 = 0,1111.
Однако если срок погашения облигаций отличен от одного года, то
для того чтобы определить доходность по таким облигациям, следует использовать формулу приведенной стоимости (13):
PV =
FV
(1 + y )
n
⇒ y=n
FV
−1 .
PV
(31)
Для облигации со сроком погашения через 2 года
y=
1000,00
− 1 = 0,1251 .
790,00
Для облигации со сроком погашения через 3 года
y=3
1000,00
− 1 = 0,1544 .
650,00
Таким образом, цена и доходность рассматриваемых облигаций соотносятся следующим образом:
Срок погашения, год
Цена, 1 р. от номинала
Годовая доходность, %
1
2
3
0,90
0,79
0,65
11,11
12,51
15,44
49
73. ОАО «Волга-Флот» выпущены купонные облигации сроком на
2 года, номиналом 1 000,00 р., со ставкой купона 10 % годовых и выплатой купонного дохода – 1 раз в год. До погашения остался 1 год (при условии, что первая купонная выплата уже произведена). Рыночная цена
облигации составляет: a) 1 050,00 р., b) 950,00 р. Определить текущую
доходность облигации и доходность к погашению.
Решение:
a) для определения текущей доходности воспользуемся выражением
(27): y с = (1 000,00 ⋅ 0,1) 1 050,00 = 0,0952 .
В соответствии с (28) доходность к погашению такой облигации составляет: y m = (100,00 + 1 000,00 − 1 050,00 ) 1 050,00 = 0,0476 .
Таким образом, если бы при расчете ставки доходности, на которую
рассчитывает покупатель облигации, использовался показатель текущей
доходности (9,52 %), то это привело бы к серьёзным заблуждениям. Доходность, которую получит инвестор при покупке данной облигации, составляет 4,76 % в случае, если он дождется погашения данной облигации.
Несложно заметить, что при этом выполняется условие (29);
b) текущая доходность: y с = (1 000,00 ⋅ 0,1) 950,00 = 0,1053 ,
доходность к погашению: y m = (100,00 + 1 000,00 − 950,00) 950,00 = 0,1579,
при этом выполняется условие (30): 15 ,79 % φ 10 ,53 % φ 10 % .
74. Облигация ОАО «Северо-Западное пароходство» котируется по
номиналу 10 000,00 р. Ставка купона 12 % годовых. Срок погашения – 6
лет. Купонные выплаты осуществляются 1 раз в год. Составить график
платежей и определить их приведенную стоимость.
Решение
Цена облигации определяется исходя из концепции стоимости денег
во времени. Если облигация котируется по номиналу, то рыночная доходность в точности соответствует ставке купонных выплат (табл. 7).
Таблица 7
Год
Выплаты по облигации, р.
1
2
3
4
5
6
1 200,00
1 200,00
1 200,00
1 200,00
1 200,00
11 200,00
Приведенная (к началу 1-го года)
стоимость выплат, р.
1 071,43
956,63
854,14
762,62
680,91
5 674,27
10 000,00
Итого:
50
Купонные выплаты представляют собой аннуитет постнумерандо, текущую стоимость которого можно определить по формуле (17). Последняя купонная выплата совпадает по времени с погашением долга, текущая
стоимость которого определяется по формуле (13). Таким образом, приведенная стоимость выплат и, соответственно, цена облигации равна
PV = 1 200,00
1 − (1 + 0,12 )
0,12
−6
+
10 000,00
(1 + 0,12)6
= 10 000,00 .
75. Определить доходность к погашению облигации ОАО «СевероЗападное пароходство», если её рыночная стоимость составляет 10 500,00 р.
(см. условие задачи 74).
Решение
Необходимо решить следующее уравнение:
1 200,00
1 − (1 + y m )
ym
−6
+
10 000,00
(1 + y m )6
= 10 500,00 .
Полная доходность ym (рис. 11) может быть найдена методом линейной интерполяции (по аналогии с методом нахождения IRR, см. подразд.
«Критерии принятия инвестиционных решений»).
PV1
PV0
PV2
y0
y1
y2
Рис. 11. Вычисление полной доходности облигации методом линейной интерполяции
51
Из подобия треугольников (см. рис. 11) следует:
PV1 − PV0 PV1 − PV 2
y − y1 PV1 − PV0
=
⇒ 0
=
,
y 0 − y1
y 2 − y1
y 2 − y1 PV1 − PV 2
y m ≈ y 0 = y1 +
PV1 − PV0
( y 2 − y1 ) .
PV1 − PV 2
(32)
Поскольку параметры для ym = 12 % (PV = 10 000,00 < 10 500,00) известны, ставку дисконтирования примем равной 11 %.
Тогда
PV = 1 200,00
1 − (1 + 0,11)
0,11
−6
+
10 000,00
(1 + 0,11)6
= 10 423,05 ,
что опять меньше, чем 10 500,00 р.
Для ставки, равной 10 %,
PV = 1 200,00
1 − (1 + 0,1)
0,1
−6
10 000,00
+
(1 + 0,1)6
= 10 871,05 .
То есть стоимости облигации получили значение, превышающее искомое. Теперь воспользуемся (32):
y m ≈ y 0 = 0,1 +
10 871,05 − 10 500,00
(0,11 − 0,1) = 0,1083 .
10 871,05 − 10 423,05
Уточним полученное значение:
PV = 1 200,00
1 − (1 + 0,1083)
0,1083
−6
+
10 000,00
(1 + 0,1083)6
= 10 497,41 .
Снижаем ставку:
PV = 1 200,00
1 − (1 + 0,108 )
0,108
−6
+
10 000,00
(1 + 0,108 )6
= 10 510,60 .
Подставляем данные в (32):
y m ≈ y 0 = 0,108 +
10 510,60 − 10 500,00
(0,1083 − 0,108) = 0,1082 .
10 510,60 − 10 497,41
То есть доходность к погашению рассматриваемой облигации составляет около 10,82 %. Точность вычислений в данном случае обратно пропорциональна длине интервала (y1; y2).
52
Данную задачу можно также решить средствами MS Excel, используя
функцию «Подбор параметра» (установить в ячейке, соответствующей
PV, значение 10 500,00 р., изменяя значение ячейки, соответствующей
ставке дисконтирования ym).
76. Определить рыночную стоимость облигации ОАО «СевероЗападное пароходство» (см. условия задачи 74) на 15.04.2006, если срок
погашения по данной облигации – 20.06.2008. Купонный доход за
2005/2006 год будет выплачен 20.06.2006. Доходность к погашению составляет 12 % годовых.
Решение
Составим график выплат по этой облигации: 20.06.2006 – 1 200,00 р.;
20.06.2007 – 1 200,00 р.; 20.06.2008 – 11 200, р.
По условиям задачи до срока погашения остается не целое, а дробное
число купонных периодов, поэтому продавцу облигации необходимо возместить накопленный купонный доход. В этом случае цена облигации
определяется по формуле [7]
n
Pnom
C
+
=
PV = ∑
t
i −1
(1 + y m )t (1 + y m )n−1
i =1 (1 + y m ) (1 + y m )
(33)
n
Pnom
C
=∑
+
,
t + i −1
(1 + y m )t (1 + y m )n −1
i =1 (1 + y m )
где C – сумма купонной выплаты; Pnom – номинальная стоимость облигации; ym – доходность к погашению; n – количество оставшихся купонных
выплат; i – порядковый номер года; t – доля купонного периода от даты
покупки облигации до даты его окончания.
Величина t определяется по формуле t = T/365, где T – число дней с
момента сделки до даты выплаты очередного купона.
Для рассматриваемой задачи t = 66/365 = 0,1808. Подставляем данные
в (33):
1 200,00
1 200,00
11 200,00
PV =
+
+
= 10 972,85 .
1+ 0,1808−1
2 + 0 ,1808−1
(1 + 0,12)
(1 + 0,12)
(1 + 0,12)3+0,1808−1
Задачи для самостоятельного решения
77. ОАО «Северо-Каспийское морское пароходство» размещаются
бескупонные облигации со сроками погашения 1, 2 и 3 года и номиналом
10 000,00 р. Цена размещения (покупная цена) облигаций соответственно
8 900,00 р., 7 700,00 р. и 6 600,00 р. Определить доходность облигаций.
Ответ: 12,36 %, 13,96 % и 14,86 % годовых.
53
78. Для задачи 74 определить цену облигации на момент размещения,
если рыночная доходность (доходность к погашению) по облигациям
предприятий водного транспорта составляет: a) 10 %, b) 14 %.
Ответ: a) 10 871,05 р., b) 9 222,27 р.
79. Для финансирования проекта постройки сухогрузов класса рекаморе ОАО «Волга-Флот» выпустило купонные облигации сроком на 5 лет,
номиналом 1 000,00 р., со ставкой купона 15 % годовых и купонными выплатами – 2 раза в год. Рыночная доходность по таким облигациям на момент эмиссии составляет 14 % годовых. Какое минимальное количество
облигаций необходимо разместить, чтобы объём привлекаемых средств
был не меньше 500 млн. р.
Ответ: 483 037 шт.
80. Для задачи 79 рассчитать необходимый объём эмиссии, если требуемая доходность по данным облигациям составляет 16 % годовых.
Ответ: 517 358 шт.
81. Определить доходность к погашению облигации ОАО «ВолгаФлот» на момент размещения (задача 79), если её рыночная стоимость
составляет: a) 1 050,00 р., b) 950,00 р.
Ответ: a) 13,59 %, b) 16,51 %.
82. Для задачи 79 рассчитать рыночную стоимость облигации через
два года после эмиссии при условии, что 4-я купонная выплата произведена и рыночная доходность по облигациям предприятий водного транспорта прогнозируется на уровне: a) 12 %, b) 15 %, c) 18 %. Сформулировать выводы.
Ответ: a) 814,99 р., b) 716,16 р., c) 632,75 р.
83. ОАО «Морской порт Санкт-Петербург» для строительства нефтеналивного терминала выпускает облигационный заём. Дата размещения
займа 10.03.2006, дата погашения 10.03.2010. Номинал облигации
10 000,00 р. Купонная доходность 16 % годовых. Выплаты купонного дохода осуществляются 2 раза в год – 10 марта и 10 сентября. Для реализации проекта необходимо привлечь 700 млн. р. На момент размещения рыночная доходность составила 17 % годовых. Определить цену, по которой
размещаются облигации, и какое количество облигаций необходимо выпустить эмитенту.
Ответ: 72 375 шт. по цене 9 671,93 р.
54
84. Для задачи 83 рассчитать стоимость облигации на следующие даты: a) 01.09.2007, b) 10.02.2008, c) 15.04.2009, если рыночная доходность
на каждую из дат составляет 18 %, 17 % и 16 %.
Ответ: данные табл. 8.
Таблица 8
Ставка, %
18,00
17,00
16,00
01.09.2007
Стоимость облигаций, р.
10.02.2008
15.04.2009
7 272,68
7 540,51
7 823,55
7 572,94
7 822,74
8 085,00
8 635,36
8 795,59
8 960,44
85. Для задачи 83 рассчитать доходность облигации к погашению, если её рыночная цена следующая: 01.09.2007 – 7 500,00 р.; 10.02.2008 –
7 800,00 р.; 15.04.2009 – 8 800,00 р.
Ответ: 01.09.2007 – 17,15 %; 10.02.2008 – 17,09 %; 15.04.2009 – 16,97 %.
Оценка акций – модель дисконтирования дивидендов
и инвестиционные возможности
Модель дисконтирования дивидендов (discounted dividend model,
DDM) основывается на том, что стоимость акции рассчитывается как приведенная (дисконтированная) стоимость ожидаемых дивидендов [8].
Применение DDM начинается с рассмотрения ожидаемого инвестором размера дохода от вложения в обыкновенные акции, состоящего из
выплачиваемых денежных дивидендов и курсовой разницы1.
Ожидаемая инвестором ставка доходности за первый год E(r1) равна
сумме ожидаемых дивидендов на одну акцию (D1) и ожидаемого прироста
цен акции (Р1–Р0), поделенной на текущую рыночную цену (Р0) акции:
E (r1 ) =
D1 + P1 − P0
=k,
P0
(34)
где k – ставка рыночной капитализации (market capitalization rate); Р1 –
ожидаемая бездивидендная цена на конец года2.
Уравнение (34) отображает наиболее важную особенность DDM: ожидаемая инвестором ставка доходности на протяжении любого периода
времени равна ставке рыночной капитализации (k). Из уравнения (34)
1
Разница между будущей рыночной ценой акции и ценой ее покупки.
Бездивидендная цена (ex-dividend price) – цена акции без права получения недавно объявленного дивиденда.
2
55
можно вывести формулу для определения текущей цены акции исходя из
ее прогноза на конец года:
D + P1
(35)
.
P0 = 1
1+ k
В свою очередь,
P1 =
D 2 + P2
,
1+ k
(36)
где D2 – ожидаемые дивиденды на одну акцию за второй год; Р2 – ожидаемая бездивидендная цена на конец второго года. Тогда
D + P1
P0 = 1
=
1+ k
D2 + P2
1 + k = D1 + D2 + P2 .
1+ k
1 + k (1 + k )2
D1 +
(37)
Повторяя эту цепочку подстановок, мы придем к общей формуле, используемой в модели дисконтирования дивидендов:
∞
Dt
D
D2
P0 = 1 +
+
Κ
=
.
(38)
∑
2
t
1 + k (1 + k )
t =1 (1 + k )
Иными словами, цена акции – это приведенная стоимость всех ожидаемых в будущем дивидендов на эту акцию, дисконтированных по ставке рыночной капитализации.
В связи с тем, что в своем общем виде, описываемом уравнением (38),
DDM подразумевает бесконечный поток дивидендов, ее использование на
практике может вызвать некоторые затруднения. Однако при некоторых
предположениях о характере динамики будущих дивидендов DDM может
стать весьма полезным инструментом анализа.
Наиболее общим предположением данной модели является то, что
размер дивидендов будет расти с постоянным темпом (g).
Примеры типовых вычислений
86. Предположим, что дивиденды на акцию ОАО «Приморское морское пароходство» будут расти с постоянным темпом – на уровне 10 % в
год. Ожидаемый поток будущих дивидендов составит: D1 – 5,00 р.; D2 –
5,50 р.; D3 – 6,05 р. и т. д.
Ставка рыночной капитализации данной компании составляет 15 % в
год. Определить цену акции.
Решение
Подставим прогнозируемое значение дивидендов Dt = D1(1+g)t-1 в выражение (38):
56
∞
P0 = ∑
D1 (1 + g )
t =1
t −1
=
(1 + k )t
(1 + g )n −1 , n → ∞ .
n −1
(1 + k )t ∑
t =1 (1 + k )
D1
n
(39)
Обозначим сумму в правой части уравнения через F:
n
F =∑
t =1
(1 + g )t −1
(1 + k )t −1
(1 + g )
1 + g (1 + g )
1+ g
,
⋅
+
+Κ +
2
n −1
1 + k (1 + k )
1+ k
(1 + k )
(1 + g ) + (1 + g ) .
1 + g 1 + g (1 + g )
=
+
+Κ +
2
1 + k 1 + k (1 + k )
(1 + k )n −1 (1 + k )n
n −1
2
F
n −1
2
=1+
(40)
n
(41)
Вычтем из выражения (40) произведение (41):
(1 + g ) , F k − g = 1 − (1 + g ) = 1 − α , α = (1 + g ) .
1+ g
=1−
1+ k
1+ k
(1 + k )n
(1 + k )n
(1 + k )n
n
F−F
n
n
Если g < k, а n стремится к бесконечности, α становится бесконечно
малой величиной, стремящейся к нулю. Тогда
1+ k
.
k−g
(42)
D1 1 + k
D1
⋅
=
.
1+ k k − g k − g
(43)
F=
Подставим (42) в (39):
P0 =
В соответствии с (43) и учетом темпа роста дивидендов, цена акции
ОАО «Приморское морское пароходство» будет равна:
P0 =
D1
5,00
=
= 100,00 .
k − g 0,15 − 0,10
Несложно заметить, что если ожидаемый темп роста дивидендов равен нулю, то формула оценки акции (43) трансформируется в формулу
расчета приведенной стоимости бесконечного аннуитета постнумерандо:
P0 = D1/k (18).
Если величины D, и k неизменны (являются константами), то чем
больше значение g, тем выше цена акции. Но по мере приближения значения g к значению k, цена акций стремится к бесконечности. Поэтому эта
модель справедлива только тогда, когда ожидаемый темп роста дивидендов меньше ставки рыночной капитализации (k).
87. Оценить стоимость акции ОАО «Навашинский судостроительный
завод» (НСЗ), у которой показатель чистая прибыль на акцию (equity per
57
share, EPS) составляет 15 р. и стоимость акций ОАО «Завод Красное Сормово» (ЗКС) с таким же показателем EPS. Компания «НСЗ» выплачивает
всю свою прибыль в качестве дивидендов. Ставка рыночной капитализации компании «НСЗ» составляет 15 %. Компания «ЗКС» каждый год реинвестирует 60 % своей прибыли в расширение производства, что привело к повышению ставки рыночной капитализации до 20 % в год.
Решение
Поскольку для компании «ЗКС» величина дивидендных выплат равна
разнице между полученной и реинвестированной прибылью, выражение
(38) приобретает вид:
∞
P0 = ∑
t =1
∞
Dt
(1 + k )
t
=∑
t =1
∞
Et
(1 + k )
t
−∑
t =1
∞
IC t
(1 + k )
t
=∑
E1 + ΔE t
t =1
(1 + k )
t
∞
−∑
t =1
IC t
(1 + k ) t
, (44)
где Et – прибыль, полученная в году t, ΔE t – прирост прибыли в году t за
счет ее реинвестирования, ICt – реинвестированная прибыль (чистые инвестиции) в году t.
То есть та часть прибыли, которая будет реинвестирована в будущем
за минусом чистых инвестиций, представляет собой NPV этих инвестиций
(19).
При предположении, что приведенная стоимость будущей прибыли
останется неизменной и равной текущей прибыли и при этом она сохранится такой сколь угодно долго, выражение (44) будет выглядеть следующим образом:
E
(45)
P0 = 1 + NPVбудущих инвестиционных возможностей .
k
Обозначим относительный показатель реинвестирования (удержания)
прибыли через γ, а ставку доходности новых инвестиций через kIC:
IC
,
E
ΔE
=
.
IC
γ=
k IC
(46)
(47)
Тогда темп роста дивидендов как отношение прироста прибыли к текущей прибыли
g=
ΔE IC ΔE
= γ ⋅ k IC .
=
⋅
E
E IC
Для компании «ЗКС» получим:
g = 0,6 ⋅ 0,2 = 0,12 , или 12 % в год.
58
(48)
Для оценки текущей цены акции ЗКС применим формулу расчета дивидендов с постоянным темпом роста (43):
15 ⋅ 0,4
P0 =
= 200,00 .
0,15 − 0,12
Тогда как цена акции НСЗ, прибыль которой полностью выплачивается в виде дивидендов, равна
15
P0 =
= 100,00 .
0,15
В данном примере NPV будущих инвестиций ЗСК представляет собой
разницу в 100,00 р. между ценой на ее акции и ценой акции НСЗ.
88. Для задачи 87 рассчитать цены на акции компаний «НСЗ» и «ЗКС»,
если ставки рыночной капитализации для обеих компаний равны 15 %.
Решение
Ставка доходности будущих инвестиций ЗКС составляет 15 % в год, и
компания каждый год реинвестирует 60 % своей прибыли. Таким образом, темп роста ее прибыли и дивидендов равен
g = 0,6 ⋅ 0,15 = 0,09 , или 9 % в год.
Применяя формулу для модели дисконтирования дивидендов с постоянным темпом их роста (43), определяем, что цена акции ЗКС равна
6
P0 =
= 100,00 .
0,15 − 0,09
Цена на акции ЗСК такая же, что и у НСЗ, хотя ожидаемый рост дивидендов на акцию составляет 9 % в год. Объясняется это тем, что темп роста дивидендов ЗКС полностью компенсирует ее первоначально более низкие дивиденды.
Таким образом, сам по себе ожидаемый рост прибыли, дивидендов и
курса акций не приводит к повышению текущей (современной) цены на
акцию. Основным фактором, влияющим на повышение цен акций, является наличие у компании таких инвестиционных возможностей по реинвестированию прибыли, которые приведут к тому, что ставка доходности
новых инвестиционных проектов превысит сложившийся на рынке уровень доходности (ставку рыночной капитализации k).
В ситуации, когда будущие инвестиции компании характеризуются
ставкой доходности, равной k, для оценки акций может быть использована формула
P0 =
E1
.
k
59
(49)
89. Для оценки акций ОАО «Приморское морское пароходство» финансовый аналитик использует модель дисконтирования дивидендов с
постоянным ростом. Он предполагает, что ожидаемый размер чистой
прибыли в расчете на акцию будет составлять 10 р., коэффициент удержания прибыли – 75 %, ставка рыночной капитализации – 15 % в год, а
ставка доходности новых инвестиций – 18 % в год. Какой будет его оценка стоимости акций? Определить чистую приведенную стоимость будущих инвестиций.
Решение
Для оценки стоимости акции используем выражение (43), где темп
роста дивидендов рассчитывается в соответствии с (48):
P0 =
10,00 ⋅ 0,25
= 166,67 .
0,15 − 0,18 ⋅ 0,75
NPV будущих инвестиций рассчитывается в соответствии с (45):
NPV = P0 −
E1
10,00
= 166,67 −
= 100,00 .
k
0,15
Ответ: P0 = 166,67 р., NPV = 100,00 р.
Задачи для самостоятельного решения
90. В следующем году по акциям ОАО «Волга-Флот» предполагается
выплата дивидендов в размере 3 р. на акцию. Впоследствии ожидается
прирост дивидендов на уровне 5 % в год. Определить цену акции, если
ставка рыночной капитализации составляет 14 %.
Ответ: P0 = 33,33 р.
91. В следующем году по акциям ОАО «РЖД» предполагается выплата дивидендов в размере 2 р. на акцию. Впоследствии ожидается прирост
дивидендов на уровне 6 % в год. Какой должна быть ставка рыночной
капитализации, если текущая цена акции равна 20 р.?
Ответ: k = 16 %.
92. В следующем году по акциям ОАО «Северо-Каспийское морское
пароходство» предполагается выплата дивидендов в размере 1,5 р. на акцию. Впоследствии ожидается прирост дивидендов на уровне 7 % в год.
Какой должна быть ставка рыночной капитализации, если текущая цена
акции составляет 15 р.
Ответ: k = 17 %.
60
93. Компания ОАО «Навашинский судостроительный завод» каждый
год реинвестирует 70 % своей прибыли в расширение производства, что
привело к повышению ставки рыночной капитализации компании с 18 %
до 21 % в год. Чистая прибыль на акцию равна 10 р. Оценить стоимость
акции компании и NPV будущих инвестиций.
Ответ: P0 = 90,91 р., NPV = 35,35 р.
94. Оценить стоимость акции компании ОАО «Волжское нефтеналивное пароходство «Волготанкер», у которой показатель EPS составляет
12 р. Компания выплачивает всю свою прибыль в качестве дивидендов.
Ставка рыночной капитализации составляет 17 % в год. Как изменится
цена акции, если компания ежегодно реинвестирует 50 % своей прибыли с
доходностью: a) 17 %, b) 20 %.
Ответ: a) P0 = 70,59 р., b) P0 = 85,71 р.
95. Определить ставку доходности будущих инвестиций транспортной
морской компании «Pacific Gates Container Lines Inc.», если рыночная
стоимость её акции составляет $200,00. Компания ежегодно реинвестирует 80 % своей прибыли, величина EPS = $20,00. Ставка рыночной капитализации составляла 15 % в год.
Ответ: 16,25 %.
96. Определить ставку доходности будущих инвестиций судоходной
компании «Finnlines Deutschland AG», если рыночная стоимость её акции
составляет $180,00. Компания ежегодно реинвестирует 65 % своей прибыли, величина EPS = $15,00. Ставка рыночной капитализации составляла
14 % в год.
Ответ: 17,05 %.
Управление риском и портфельная теория
Вероятностная оценка финансового риска
Примеры типовых вычислений
97. Инвестор приобретает акции авиакомпании А и намеревается владеть ими в течение года. Приобретая акции, инвестор рассчитывает, что
совокупная доходность составит 10 %. Определить степень риска инвестора, если существует вероятность того, что, в зависимости от состояния
экономики, акции могут принести разную доходность (табл. 9):
61
Таблица 9
Состояние экономики
Доходность акций r, %
Вероятность P
30
10
–10
0,2
0,6
0,2
Подъем
Нормальное
Спад
Ожидаемая ставка доходности определяется как сумма всех возможных ставок доходности, умноженных на соответствующую вероятность
их получения:
n
E (r ) = P1 r1 + P2 r2 + Κ + Pn rn = ∑ Pi ri .
(50)
i =1
Применительно к рассматриваемому примеру
E (r ) = 0,2 ⋅ 30 % + 0,6 ⋅ 10 % + 0,2 ⋅ (− 10 % ) = 10 % .
Диапазон возможных ставок доходности и вероятности их получения
служит для измерения риска. Единица измерения рискованности акций,
непосредственно связанная с этим диапазоном, носит название изменчивость (волатильность, volatility).
Далее рассмотрим акции судоходной компании B, у которых диапазон
вероятностных показателей доходности еще шире, чем у акций A. Распределение вероятности акций A сравнивается с распределением вероятности
акций B.
Следует обратить внимание, что показатели вероятности одинаковы
для обеих акций, но у B более широкий диапазон колебаний доходности
(табл. 10).
Таблица 10
Состояние
экономики
Доходность акций В, %
Доходность акций А, %
Вероятность P
Подъем
Нормальное
Спад
50
10
–30
30
10
–10
0,2
0,6
0,2
Если экономика будет находиться на подъеме, акции В принесут акционерам 50 % доходности, а акции А только 30 %. Но если экономическое положение ухудшится, доходность акций В упадет до –30 %, а акций
А – только до –10 %. То есть показатели доходности инвестиций в акции
В изменяются сильнее, и, следовательно, они являются более рискованными.
Для того чтобы измерить изменчивость в распределении вероятностей
получения возможных показателей доходности, используется среднее
квадратичное отклонение σ (стандартное отклонение):
62
n
σ 2 = ∑ Pi (ri − E (ri ))2 ,
(51)
i =1
где математическое ожидание (среднее значение) равно (50):
n
E (r ) = ∑ Pi ri .
i =1
Чем больше стандартное отклонение, тем выше показатель изменчивости акций.
Для акций A и B ожидаемая доходность E A ( r ) = E B ( r ) = 10 % .
Стандартное отклонение для акции B равно 12,65 %:
σ A2 = 0,2 (0,3 − 0,1)2 + 0,6 (0,1 − 0,1)2 + 0,2 (− 0,1 − 0,1)2 = 0,016 ,
σ A = 0,016 ≈ 0,1265 .
Стандартное отклонение для акции B равно 25,30 %:
σ B2 = 0,2 (0,5 − 0,1)2 + 0,6 (0,1 − 0,1)2 + 0,2 (− 0,3 − 0,1)2 = 0,064 ,
σ B = 0,064 ≈ 0,253 .
На практике диапазон показателей доходности не ограничен несколькими значениями, и доходность может принимать практически любое
значение. Поэтому предполагается, что распределение доходностей представляет собой непрерывное распределение вероятностей. Чаще всего
используется один из видов непрерывного распределения вероятностей –
нормальное распределение, которое представляет собой кривую (рис. 12).
Рис. 12. Распределение вероятностей доходности акций А и В
63
Для нормального распределения стандартное отклонение – естественная единица измерения изменчивости. Термины изменчивость и стандартное отклонение используются как взаимозаменяемые.
Нормальное распределение охватывает неограниченное количество
значений доходности, от − ∞ до + ∞ . Для интерпретации различных
значений стандартного отклонения обычно используется доверительный
интервал (confidence interval), в пределах которого фактическая доходность акций попадает с заданной вероятностью:
E (ri ) − t σ ≤ X (ri ) ≤ E (ri ) + t σ ,
где X(ri) – случайная величина с математическим ожиданием E(ri) и среднеквадратическим отклонением σ, а t – множитель стандартного отклонения, характеризующий увеличение доверительного интервала и, тем самым, увеличение вероятности попадания некоторого события (доходности)
в этот интервал. Например, при t = 3 вероятность попадания случайной величины X(ri) в доверительный интервал практически равна 1 (P = 99,75 %),
для t = 2 вероятность равна 95,5 %, для t = 1 она составляет 68,3 %.
98. Инвестор приобретает акцию с ожидаемой доходностью в 10 % и
стандартным отклонением в 20 %. Рассчитать доверительный интервал
при нормальном распределении таким образом, чтобы вероятность попадания заданной доходности в этот интервал составляла соответственно
0,68, 0,95 и 0,99.
Решение
Для решения этой задачи воспользуемся правилом «трёх сигм»:
E (ri ) − σ ≤ X (ri ) ≤ E (ri ) + σ ,
10 % − 20 % ≤ X (ri ) ≤ 10 % + 20 % ,
− 10 % ≤ X (ri ) ≤ 30 % ,
то есть фактическая доходность, с вероятностью 0,68, попадет в интервал
от –10 до 30 %;
E (ri ) − 2 σ ≤ X (ri ) ≤ E (ri ) + 2 σ ,
10% − 40% ≤ X (ri ) ≤ 10% + 40% ,
− 30% ≤ X (ri ) ≤ 50% ,
а с вероятностью 0,95 – в интервал от –30 до 50%;
E (ri ) − 3 σ ≤ X (ri ) ≤ E (ri ) + 3 σ ,
10% − 60% ≤ X (ri ) ≤ 10% + 60% ,
− 50% ≤ X (ri ) ≤ 70% ,
а с вероятностью 0,99 – в интервал от –50 до 70 %.
64
99. Ожидаемая доходность по акциям ОАО «Приморское морское пароходство» и ОАО «Северо-Каспийское морское пароходство» равна соответственно 45 % ± 15 % и 8 % ± 4 % . Определить степень риска операций с данными акциями.
Решение
Для решения этой задачи рассмотрим еще один показатель, применяемый при анализе финансовых рисков, – коэффициент вариации:
ν (ri ) =
σi
E (ri )
.
(52)
В отличие от стандартного отклонения коэффициент вариации – относительный показатель, определяющий степень риска на единицу средней
доходности.
Согласно значениям стандартных отклонений разброс доходности по
акциям ОАО «Приморское морское пароходство» значительно выше, следовательно, ее акции должны бы быть более рискованными. Определим
коэффициенты вариации для первой компании:
15
ν=
= 0,33 ;
45
для Северо-Каспийского пароходства:
4
ν = = 0,5 .
8
То есть степень риска на среднюю единицу доходности выше у ОАО
«Северо-Каспийское морское пароходство».
Для уточнения полученных результатов воспользуемся правилом
«трёх сигм» (табл. 11):
Таблица 11
Вероятность попадания
доходности в доверительный
интервал
0,68
0,95
0,99
Доверительный интервал
ОАО «Приморское морское
ОАО «Северо-Каспийское
пароходство»
морское пароходство»
от 30 % до 60 %
от 15 % до 75 %
от 0 % до 90 %
от 4 % до 12 %
от 0 % до 16 %
от – 4 % до 20 %
Несложно заметить, что для акций ОАО «Северо-Каспийское морское
пароходство» нулевое значение доходности попадает в диапазон (E(ri) – 2σ),
а отрицательное – в (E(ri) – 3σ). Тогда как по акциям ОАО «Приморское
морское пароходство» получение нулевой доходности возможно лишь в
крайнем случае – (E(ri) – 3σ), а вероятность получения отрицательной
доходности практически равна нулю, поскольку средняя доходность
очень высока и в 3 раза превышает величину стандартного отклонения.
65
Задачи для самостоятельного решения
100. Предположим, что доходность по акциям ОАО «ВолгоБалтийская транспортная компания» прогнозируется на предстоящий год
следующим образом (табл. 12):
Определить ожидаемую доходТаблица 12
ность акций, стандартное отклонеДоходность r, %
Вероятность P
ние и диапазон доходности в пре–10
0,15
делах одного, двух и трех стан5
0,23
дартных отклонений при предпо12
0,3
ложении, что вероятность доходно17
0,22
сти описывается кривой нормаль20
0,1
ного распределения.
101. Предположим, что в табл. 13 представлены исторические сведения о показателях доходности акций ОАО «Северо-Западное пароходство»:
Таблица 13
Год
Доходность r, %
1
2
3
4
5
6
7
–9
12
–9
12
5
9
–12
Какова средняя доходность акции, стандартное отклонение и
диапазон доходности в пределах
одного, двух и трех стандартных
отклонений при предположении,
что вероятность доходности описывается кривой нормального распределения?
102. Предположим, что в табл. 14 представлены исторические сведения о показателях доходности акций ОАО «Волга-Флот»:
Рассчитать вероятность полуТ а б л и ц а 1 4 чения различных доходностей. Какова средняя доходность акции,
Год
Доходность r, %
стандартное отклонение и диапазон
1
9
2
12
доходности в пределах одного,
3
–7
двух и трех стандартных отклоне4
18
ний при предположении, что веро5
5
ятность доходности описывается
кривой нормального распределения.
103. В табл. 15 представлены исторические сведения о стоимости акций судоходной компании «Finnlines Deutschland AG».
Рассчитать ожидаемую доходность. Определить степень риска операций с данными акциями по показателям стандартное отклонение и ко66
эффициент вариации. Определить доверительные интервалы. Построить
график плотности распределения вероятности. Сформулировать выводы.
При решении задачи округлите доходность до целых процентов.
Таблица 15
Год
Цена, USD
Год
Цена, USD
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
5,00
6,00
10,20
15,30
10,71
12,85
11,57
9,25
11,10
13,32
15,99
19,19
19,19
23,03
29,93
32,93
36,22
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
39,84
51,79
67,33
87,53
96,28
105,91
137,69
178,99
178,99
214,79
257,75
309,30
340,23
476,32
762,11
914,53
1 280,34
Ответ (промежуточный результат):
r, %
–30
–20
–10
0
10
20
30
40
50
60
70
P
0,03
0,03
0,03
0,06
0,18
0,33
0,18
0,06
0,03
0,03
0,03
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
-30,00%
-20,00%
0,00
-10,00%
0,00%
10,00%
20,00%
67
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
104. В табл. 16 представлены сведения о показателях доходности акций «Pacific Gates Container Lines Inc.» и «Blackseachart Shipping Inc».
Таблица 16
Pacific Gates Container Lines Inc.
Blackseachart Shipping Inc.
Доходность r, %
Вероятность P
Доходность r, %
Вероятность P
–21,00
–14,00
–7,00
0,00
7,00
14,00
21,00
28,00
35,00
42,00
49,00
56,00
63,00
70,00
77,00
84,00
91,00
98,00
105,00
112,00
119,00
126,00
133,00
140,00
147,00
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
0,011
0,012
0,015
0,025
0,05
0,157
0,37
0,157
0,05
0,025
0,015
0,012
0,011
0,01
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
–24,00
–16,00
– 8,00
0,00
8,00
16,00
24,00
32,00
40,00
48,00
56,00
64,00
72,00
80,00
88,00
0,006
0,007
0,012
0,02
0,045
0,1
0,2
0,22
0,2
0,1
0,045
0,02
0,012
0,007
0,006
Рассчитать ожидаемые доходности. Определить степень риска
операций с данными акциями по
показателям стандартное отклонение и коэффициент вариации.
Определить доверительные интервалы для вероятностей 0,68; 0,95 и
0,99. Построить графики плотности распределения вероятности.
Сформулировать выводы.
Ответ. «Pacific Gates Container Lines Inc»:
E(ri) = 63 %, σ = 22,96 %, ν = 0,36; 40,04 % ≤ E(ri) ≤ 85,96 %;
17,09 % ≤ E(ri)±2σ ≤ 108,91 %; –5,87 % ≤ E(ri)±3σ ≤ 131,87 %;
«Blackseachart Shipping Inc»:
E(ri) = 32%, σ = 16,67%, ν = 0,52; 15,33% ≤ E(ri) ≤ 48,67%;
–1,34% ≤ E(ri)±2σ ≤ 65,34%; –18,01% ≤ E(ri)±3σ ≤ 82,01%.
Акции «Blackseachart Shipping Inc.» более рискованные, чем акции
«Pacific Gates Container Lines Inc».
68
Диверсификация инвестиций – активы
с некоррелируемыми рисками
Под диверсификацией (diversifying) понимается процесс распределения инвестированных средств между различными объектами вложения
капитала, которые непосредственно не связаны между собой, с целью
снижения степени риска и потерь доходов [9].
Примеры типовых вычислений
105. Сравнить два варианта инвестиций в разработку новых технологий производства герметизирующих материалов для судостроения и определить наиболее эффективный (с точки зрения соотношения доходность/риск) вариант:
– $100 000,00 в разработку одной технологии;
– по $50 000,00 в разработку двух разных технологий.
В случае успеха инвестор получает в 4 раза больше (например, продажа технологий судоверфи), чем вложил, а в случае неудачи теряет всю
инвестированную сумму. Вероятность рыночного успеха каждой технологии равна 0,5, вероятность провала тоже равна 0,5.
Решение
Если инвестор вложил по $50 000,00 в разработку двух разных технологий, то существует вероятность того, что неудачной будет только одна
технология, а вторая будет успешной. При таком результате инвестор получит $200 000,00.
Если обе технологии либо вместе достигнут успеха, либо вместе потерпят неудачу, диверсификация не уменьшит риск инвестора. В этом
случае риски коммерческого успеха абсолютно коррелируют друг с другом. Для того чтобы диверсификация уменьшила риск инвестора, эти два
риска не должны полностью коррелировать друг с другом.
Таким образом, существует четыре варианта развития событий и три
варианта поступления доходов:
1. Обе технологии добиваются коммерческого признания, и инвестор
получает $400 000,00.
2. Первая технология добивается успеха, а вторая – нет, следовательно, инвестор получает $200 000,00.
3. Вторая технология добивается успеха, а первая – нет, следовательно, инвестор получает $200 000,00.
4. Обе разработки терпят неудачу, и инвестор ничего не получает.
Итак, при диверсификации инвестиций в два раза снижается вероятность потери всего капитала. С другой стороны, вероятность получения
69
$400 000,00 уменьшается с 0,5 до 0,25. Два других варианта развития событий дадут инвестору в итоге $200 000,00. Вероятность этого события
составит 0,5.
Рассмотрим распределение вероятности получения доходов с использованием показателей ожидаемых (средних) доходов и соответствующих
стандартных отклонений.
1. Инвестиции в одну технологию (табл. 17).
Таблица 17
Результат
Неудача
Успех
Вероятность P
Доход R, USD
Ставка доходности r, %
0,5
0,5
0,00
400 000,00
–100,00
300,00
Ожидаемый доход составит
E (Ri ) = 0,5 ⋅ $0,00 + 0,5 ⋅ $400 000,00 = $200 000,00 .
Стандартное отклонение
σ = 0,5 ($0,00 − $200 000,00) 2 + 0,5 ($400 000,00 − $200 000,00) 2 = $200 000,00.
2. Диверсификация инвестиций в разработку двух технологий (табл. 18).
Таблица 18
Результат
Вероятность P
Доход R, USD
Ставка доходности r, %
Неудача 2-х технологий
Успех одной технологии
Успех 2-х технологий
0,25
0,5
0,25
0,00
200 000,00
400 000,00
–100,00
100,00
300,00
Ожидаемый доход
E(Ri ) = 0,25 ⋅ $0,00 + 0,5 ⋅ $200 000,00 + 0,25 ⋅ $400 000,00 = $200 000,00 .
Стандартное отклонение
σ 2 = 0,25 ($0,00 − $200 000,00) 2 + 0,5 ($200 000,00 − $200 000,00) 2 +
1
+ 0,25 ($400 000,00 − $200 000,00) 2 = ⋅ $200 000,00 ,
2
$200 000,00
σ=
≈ $141 421,36 .
2
106. Для задачи 105 рассчитать показатели ожидаемого дохода и
стандартного отклонения при условии, что инвестор диверсифицирует
вложения, инвестируя в разработку четырёх невзаимосвязанных между
собой, то есть некоррелируемых, технологий.
70
Решение. Перечислим все возможные исходы (табл. 19):
Таблица 19
Результат
Вероятность P
Доход R, USD
Ставка доходности
r, %
Неудача всех 4-х технологий
Успех 1-й, неудача 2, 3 и 4-й
технологий
Успех 2-й, неудача 1,3 и 4-й
технологий
Успех 3-й, неудача 1,2 и 4-й
технологий
Успех 4-й, неудача 1,2 и 3-й
технологий
Успех 1-й и 2-й, неудача 3-й
и 4-й технологий
Успех 1-й и 3-й, неудача 2-й
и 4-й технологий
Успех 1-й и 4-й, неудача 2-й
и 3-й технологий
Успех 2-й и 3-й, неудача 1-й
и 4-й технологий
Успех 2-й и 4-й, неудача 1-й
и 3-й технологий
Успех 3-й и 4-й, неудача 1-й
и 2-й технологий
Успех 1,2 и 3-й, неудача 4-й
технологии
Успех 2, 3 и 4-й, неудача 1-й
технологии
Успех 1,3 и 4-й, неудача 2-й
технологии
Успех 1, 2 и 4-й, неудача 3-й
технологии
Успех всех 4-х технологий
0,0625
0,00
–100,00
0,0625
100 000,00
0,00
0,0625
100 000,00
0,00
0,0625
100 000,00
0,00
0,0625
100 000,00
0,00
0,0625
200 000,00
100,00
0,0625
200 000,00
100,00
0,0625
200 000,00
100,00
0,0625
200 000,00
100,00
0,0625
200 000,00
100,00
0,0625
200 000,00
100,00
0,0625
300 000,00
200,00
0,0625
300 000,00
200,00
0,0625
300 000,00
200,00
0,0625
300 000,00
200,00
0,0625
400 000,00
300,00
Объединим результаты с одинаковыми исходами (табл. 20).
Таблица 20
Результат
Вероятность P
Доход R, USD
Ставка доходности r, %
Неудача 4-х технологий
Успех 1-й технологии
Успех 2-х технологий
Успех 3-х технологий
Успех 4-х технологий
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
0,00
100 000,00
200 000,00
300 000,00
400 000,00
–100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
71
Ожидаемый доход
E (Ri ) = 0,0625 ⋅ $0,00 + 0,25 ⋅ $100 000,00 + 0,375 ⋅ $200 000,00 +
+ 0,25 ⋅ $300 000,00 + 0,0625 ⋅ $400 000,00 = $200 000,00 .
Стандартное отклонение
σ 2 = 0,0625 ($0,00 − $200 000,00) 2 + 0,25 ($100 000,00 − $200 000,00) 2 +
+ 0,375 ($200 000,00 − $200 000,00) 2 + 0,25 ($300 000,00 − $200 000,00) 2 +
1
+ 0,0625 ($400 000,00 − $200 000,00) 2 = ⋅ $200 000,00 ,
4
$200 000,00
σ=
= $100 000,00 .
4
Таким образом, ожидаемый доход остается прежним, а стандартное
отклонение стало меньше. Несложно заметить, что стандартное отклонение уменьшается пропорционально квадратному корню из числа единиц
инвестиций в портфеле1 (если исходить из предположения, что успех одной технологии никак не связан с успехом остальных и все события равновероятны, а инвестиции в портфеле распределены равными долями):
σ портфеля =
E ( Ri )
n
, i = 1, n .
(53)
Задачи для самостоятельного решения
107. Для задачи 105 рассчитать показатели ожидаемой доходности и
стандартного отклонения для ставок доходности инвестиций.
108. Для задачи 105 рассчитать, среди какого числа технологий с некоррелируемыми доходами следует распределить инвестиции (равными
долями), чтобы стандартное отклонение портфеля составило $100.
Ответ: среди 4 000 000 технологий.
109. Для задачи 105 рассчитать показатели ожидаемого дохода и
стандартного отклонения при условии, что инвестор диверсифицирует
вложения, инвестируя в разработку трёх невзаимосвязанных между собой,
то есть некоррелируемых, технологий. Сформулировать выводы.
1
Портфельная теория (portfolio theory) представляет собой статистический анализ, выполняемый с целью выбора оптимальной стратегии управления риском. Использование портфельной теории заключается в выработке и оценке компромисса между доходом и издержками, связанными с уменьшением риска [1, 2].
72
110. Для задачи 109 рассчитать показатели ожидаемой доходности и
стандартного отклонения.
111. Для задач 106 и 109 построить графики плотности распределения
вероятности. На графике отметить доверительные интервалы для вероятности 0,68, 0,95 и 0,99. Сформулировать выводы.
112. Сравнить варианты инвестиций в акции ОАО «Приморское морское пароходство» (PRIM), ОАО «Северо-Каспийское морское пароходство» (SVKSP) и ОАО «Балтийские транспортные системы» (BTST), предполагая, что доходность в случае благоприятного исхода (рост стоимости
акций за год) составит 50 % для каждой компании. В случае неблагоприятного исхода (падения стоимости данных ценных бумаг), доходность
составит –50 %. Предполагается, что риск убытков связан только с деятельностью данных компаний1. Все события равновероятны и независимы
друг от друга. Объем инвестиций составляет $1 500 000,00. При диверсификации инвестиции распределяются в портфеле равными долями. Определить, будет ли риск в данном случае уменьшаться пропорционально квадратному корню из числа инвестиций в портфеле. Сформулировать выводы.
Ответ: если инвестор вкладывает всю сумму в один вид акций, например, в PRIM, ожидаемый доход составляет E(R) = $1 500 000,00 и
σ = $750 000,00, ожидаемая доходность E(r) = 0,00 % и σ = 50,00 %.
В случае если инвестор вкладывает средства в PRIM, SVKSP и BTST равными долями, ожидаемый доход портфеля также составит E(R) = $1 500 000,00,
а σ = $433 012,70, ожидаемая доходность E(r) = 0,00 %, а σ ≈ 28,87 %. Таким образом, при диверсификации инвестиций величина риска хотя и
снижается, ожидаемая доходность остается на нулевом уровне.
113. Для задачи 112 рассчитать показатели ожидаемого дохода, ожидаемой доходности и стандартных отклонений для вариантов диверсификации портфеля (акции одной компании в портфеле, акции двух компаний
и акции трёх компаний). Предполагается, что в случае падения стоимости
акций инвестор не сможет вернуть свои деньги, а в случае роста – заработает: 1) в два раза больше; 2) в три раза больше.
1
Такой риск называется специфическим (firm-specific risk) или несистематическим и связан
с событиями, которые воздействуют на будущее только одной компании (диверсифицируемый риск) [4]. Например, столкновение сухогруза «Каунас», принадлежавшего ОАО «ВолгаФлот», с опорой Литейного моста на Неве в Санкт-Петербурге в августе 2002 г. В результате
этого события убытки и сумма исковых требований составили значительную величину, которая могла повлиять на доходность только данной компании. Если случается событие, которое воздействует на многие компании, например, спад в экономике, то оно повлияет на
большое число акций. Риск убытков, происходящих по этой причине, не диверсифицируется
и называется рыночным, или систематическим, риском (market risk).
73
Ответ: для портфеля, составленного из акций трёх компаний (вариант 1):
ожидаемый доход E(R) = $1 500 000,00 и σ = $866 025,40, ожидаемая доходность E(r) = 0,00 % и σ ≈ 57,74 %; для портфеля составленного из акций трёх компаний (вариант 2): ожидаемый доход E(R) = $2 250 000,00 и
σ ≈ $1 299 038,11, ожидаемая доходность E(r) = 50,00 % и σ ≈ 86,60 %.
114. Логистическая компания собирается инвестировать в разработку
новых информационных систем для управления судоходством и грузовыми потоками 2 100 000,00 р. При этом ожидается, что годовой эффект от
внедрения данного программного продукта превысит величину инвестиций в 3 раза. Оценить уровень риска и определить, стоит ли компании
диверсифицировать инвестиции, вкладывая по 700 тыс. р. в разработку
трёх разных (некоррелируемых с позиции доходности) логистических
систем, если эффект от внедрения каждой из них предположительно превысит объем инвестированных средств в 6 раз. В случае неудачи инвестор
теряет всю инвестированную сумму. Успешная разработка и внедрение
программного продукта, а также неудачное завершение проекта – равновероятны.
Корреляция доходности активов
При объединении в портфеле двух рискованных активов важную роль
в определении стандартного отклонения доходности портфеля играет
корреляция (correlation), то есть взаимосвязь между их доходностями.
Примеры типовых вычислений
115. Определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение
для портфеля, состоящего из двух рискованных активов, например, акций
двух компаний. Первая из них – это ОАО «Приморское морское пароходство» (PRIM), а вторая компания – нефтедобывающей отрасли, например,
ОАО НК «ЮКОС» (YUKO). Предположим, что доходность акций PRIM
имеет проциклический характер; другими словами, доходность этих акций растет, когда экономика на подъеме, и уменьшается в период экономического спада. Доходность акций YUKO носит характер антициклический. Доходность ее акций уменьшается во время экономического подъема, но растет, когда наступает спад. Подъем, спад и нормальное состояние
экономики равновероятны. Доходность акций представлена в табл. 21.
Предполагается, что общий объем инвестиций составляет $100 000,00,
по $50 000,00 в каждую из компаний.
74
Таблица 21
Состояние
экономики
Подъем
Нормальное
Спад
Доходность YUKO
Доходность PRIM
Вероятность P
1/3
1/3
1/3
rPRIM
rYUKO
0,385
0,140
– 0,105
– 0,225
0,020
0,265
Решение
Ожидаемая доходность, дисперсия и стандартное отклонение акций
рассчитываются следующим образом.
PR IM
1
(0,385 + 0,140 − 0,105) = 0,14 ,
3
1
1
1
σ 2 = (0,385 − 0,14 )2 + (0,14 − 0,14 )2 + (− 0,105 − 0,14 )2 ≅ 0,04 ,
3
3
3
σ PRIM ≅ 0,2 .
E (rPRIM ) =
YUKO
1
(− 0,225 + 0,02 + 0,265) = 0,02 ,
3
1
1
1
σ 2 = (− 0,225 − 0,02)2 + (0,02 − 0,02)2 + (0,265 − 0,02)2 ≅ 0,04 ,
3
3
3
σ YUKO ≅ 0,2 .
E (rYUKO ) =
Ожидаемая доходность и отклонение доходности акций от ожидаемой
доходности (неустойчивость) приведены в табл. 22.
Таблица 22
Состояние
экономики
Подъем
Нормальное
Спад
rPRIM
PRIM
Отклонение
Δ = r − E (r )
Δ
0,385
0,140
– 0,105
0,245
0,00
– 0,245
0,06
0,00
0,06
2
rYUKO
YUKO
Отклонение
Δ = r − E (r )
Δ2
– 0,225
0,020
0,265
– 0,245
0,00
0,245
0,06
0,00
0,06
Доход от инвестиций в условиях подъема экономики:
R = $50 000,00 ⋅ 1,385 + $50 000,00 (1 − 0,225) = $108 000,00 .
75
Доход от инвестиций в условиях нормального состояния экономики:
R = $50 000,00 ⋅ 1,14 + $50 000,00 ⋅ 1,02 = $108 000,00 .
Доход от инвестиций в условиях спада экономики:
R = $50 000,00 (1 − 0,105) + $50 000,00 ⋅ 1,265 = $108 000,00 .
Таким образом, все риски в данной задаче устранены. Это получилось
потому, что между этими двумя акциями существует абсолютная отрицательная корреляция. Это означает, что динамика их доходности противоположна.
Для определения степени зависимости риска (и, соответственно, доходности), то есть ковариации (covariance), между двумя активами используется статистический показатель коэффициент корреляции (correlation coefficient).
Ковариация вычисляется как средневзвешенная (по вероятностям) величина произведений отклонений от ожидаемой доходности двух активов
для каждого состояния экономики. Математическая формула для определения ковариации двух активов может быть записана так:
σ 1, 2 = ∑ Pi (R1, i − E (X 1, i ))(R2, i − E (X 2, i )) .
n
(54)
i =1
Применительно к рассматриваемой задаче
n
1
σ1, 2 = ∑ Pi ⋅ ΔPRIM
⋅ ΔYUKO
= (0,245 ⋅ (− 0,245) + 0,00 + (− 0,245) ⋅ 0,245) =
i
i
3
i =1
1
= (− 0,06 − 0,06) = −0,04 .
3
Чтобы нормировать ковариацию, её необходимо разделить на произведение стандартных отклонений доходности каждой акции. В результате
получается коэффициент корреляции. Формула для коэффициента корреляции двух случайных событий в общем виде такова:
ρ=
σ 1, 2
σ 1σ 2
.
(55)
Применительно к рассматриваемой задаче
ρ=
σ PRIM , YUKO
σ PRIM σ YUKO
=
− 0,04
= −1 .
0,2 ⋅ 0,2
Коэффициент корреляции может принимать значения от –1 (абсолютно отрицательная корреляция) до +1 (абсолютно положительная
корреляция). Если ρ = 0, доходности двух активов не коррелируют друг
с другом.
76
Задачи для самостоятельного решения
116. В табл. 23 приведены следующие предположения относительно
доходности акций ОАО «Трансатлантические авиалинии» (TRAVL).
Таблица 23
Состояние экономики
Вероятность P
Доходность rTRAVL
Подъем
1/3
0,45
Нормальное
1/3
0,15
Спад
1/3
– 0,15
Рассчитать коэффициент корреляции между доходностями акций
PRIM (см. задачу 115) и TRAVL, доход и доходность портфеля для каждого состояния экономики. Объем инвестиций составляет $70 000,00, по
$35 000,00 в каждую из компаний.
Ответ: ρ = 1.
Состояние экономики
Доходность портфеля, %
Подъем
26,75
Нормальное
9,50
Спад
– 7,75
117. Рассчитать коэффициент корреляции для задачи 116, если предположения относительно доходности акций TRAVL следующие (табл. 24).
Таблица 24
Состояние экономики
Подъем
Нормальное
Спад
Вероятность P
Доходность rTRAVL
1/3
1/3
1/3
0,3
– 0,3
0,3
Ответ: ρ = 0.
118. Нефтедобывающая компания оценивает альтернативные проекты
инвестирования в строительство новой ветки тропровода или нефтеналивного терминала в порту. В зависимости от решения нефтедобывающей
компании доходность акций ОАО «Нефтетропровод» (NFTR) и ОАО
«Волжское нефтеналивное пароходство «Волготанкер» (VLGTG) прогнозируется следующим образом (табл. 25).
Определить доход и доходность вложений в обе компании для каждого
прогноза, если величина инвестиций составляет 20 млн. р. – по 10 млн. р. в
каждую компанию. Рассчитать коэффициент корреляции.
77
Таблица 25
Прогноз
Вероятность P Доходность NFTR Доходность VLGTG
Строительство нефтепровода
Строительство терминала
Ничего не построено
0,50
0,40
0,10
0,45
– 0,5
– 0,15
– 0,3
2,0
0,3
Ответ: ρ ≈ −1,97 .
Прогноз
Доход портфеля, р.
Доходность портфеля, %
Строительство нефтепровода
Строительство терминала
Ничего не построено
23 000 000,00
23 000 000,00
18 800 000,00
15,00
15,00
– 6,00
119. Рассматривается законопроект, предусматривающий значительное сокращение времени на пересечение государственной границы между
двумя странами при транспортировке грузов железнодорожным и водным
транспортом. Имеют место следующие прогнозы:
1. Закон будет принят в полном объеме.
2. Закон будет принят только в части железнодорожного транспорта.
3. Закон будет принят только в части водного транспорта.
4. Закон в ближайшее время не будет принят.
Для каждого прогноза определить доходность портфеля, состоящего
из акций двух транспортных компаний, занимающихся транспортировкой
грузов по этому направлению, – железнодорожной (RWCMP) и судоходной (SHPNG). В табл. 26 приведены следующие предположения относительно доходности акций.
Таблица 26
Прогноз
Вероятность P
Доходность RWCMP, %
Доходность SHPNG, %
1
2
3
4
0,30
0,30
0,30
0,10
15,00
29,00
0,00
0,00
37,00
0,00
100,00
– 10,00
Ответ: ρ ≈ − 0,71 . Для прогнозов 1, 2, 3 и 4-го доходность портфеля
составит соответственно 13,05 %, 14,50 %, 15,00 %, – 0,50 %.
120. Для задачи 119 рассчитать доход и доходность инвестора, если
инвестиции в 40 млн. р. распределяются следующим образом (табл. 27).
Таблица 27
Компания
RWCMP
SHPNG
1
20
20
Распределение инвестиций по вариантам, млн. р.
2
3
4
10
30
30
10
78
35
5
5
40
0
Объединение безрискового актива
с единственным рискованным активом
Примеры типовых вычислений
121. Менеджментом компании ОАО «Дальневосточное морское пароходство» принято решение диверсифицировать инвестиции, вкладывая
$100 000,00 в безрисковый актив1 с процентной ставкой 6 % годовых и в
рискованный актив с ожидаемой ставкой доходности 14 % годовых и
стандартным отклонением в 0,20. Какую часть от $100 000,00 следует
вложить в рискованный актив, чтобы получить заданную доходность?
Решение
Ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля в зависимости от доли средств, инвестированных в рискованный актив, представлены данными табл. 28 и на графике (рис. 13).
Таблица 28
Вариант
портфеля
F
G
H
J
S
Доля портфеля, инвестированная
в актив, %
рискованный
безрисковый
0
25
50
75
100
Ожидаемая ставка
доходности E(r)
Стандартное
отклонение σ
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
100
75
50
25
0
1. E F (r ) = 0,00 ⋅ 0,14 + 1,00 ⋅ 0,06 = 0,06 ;
σ F = 0,00 ⋅ 0,20 + 1,00 ⋅ 0,00 = 0,00 .
2. E G (r ) = 0,25 ⋅ 0,14 + 0,75 ⋅ 0,06 = 0,08 ;
σ G = 0,25 ⋅ 0,20 + 0,75 ⋅ 0,00 = 0,05 .
3. E H (r ) = 0,50 ⋅ 0,14 + 0,50 ⋅ 0,06 = 0,10 ;
σ H = 0,50 ⋅ 0,20 + 0,50 ⋅ 0,00 = 0,10 .
4. E J (r ) = 0,75 ⋅ 0,14 + 0,25 ⋅ 0,06 = 0,12 ;
σ J = 0,75 ⋅ 0,20 + 0,25 ⋅ 0,00 = 0,15 .
5. E S (r ) = 1,00 ⋅ 0,14 + 0,00 ⋅ 0,06 = 0,14 ;
σ S = 1,00 ⋅ 0,20 + 0,00 ⋅ 0,00 = 0,20 .
1
В теории формирования наилучшего портфеля безрисковым активом считается ценная
бумага, которая предлагает полностью предсказуемую ставку доходности в расчетных денежных единицах, выбранных для анализа [10].
79
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0,05
0,10
0,15
0,20
Рис. 13. Соотношение между риском и ожидаемой доходностью инвестиционного портфеля
В точке F, которая на рис. 13 расположена на вертикальной оси, при
E(r), равной 6 % в год, и σ = 0, все деньги инвестированы в безрисковый
актив. Чем больше денег инвестор изымает из безрискового актива, тем
дальше происходит движение вправо по линии, обозначающей соотношение доходность/риск. При этом степень риска повышается, но и ожидаемая доходность увеличивается.
Далее определим состав портфеля для любой точки, лежащей на прямой доходность/риск. Предположим, что инвестор хочет определить состав портфеля, для которого ожидаемая ставка доходности равна 0,09.
Судя по рис. 13, точка, соответствующая такому портфелю, лежит на
прямой доходность/риск между точками G и H. Для того чтобы точно определить состав портфеля и его стандартное отклонение, произведем следующие вычисления:
1. Определим соотношение между ожидаемой доходностью и долей
инвестиций, приходящейся на рискованный портфель.
Обозначим через ω долю от $100 000,00, которая инвестирована в
рискованный актив. Оставшаяся часть будет равна (1 − ω ) , пропорционально которой инвестор вкладывает средства в рискованный актив. То
есть ожидаемая ставка доходности задается формулой
E (r ) = ω E (rS ) + (1 − ω ) rF = rF + ω (E (rS ) − rF ) ,
80
(56)
где E(rS) – ожидаемая ставка доходности рискованного актива, а rF – безрисковая ставка доходности.
Уравнение (56) интерпретируется следующим образом. Базовой ставкой доходности для любого портфеля является безрисковая ставка доходности. Кроме того, предполагается, что инвестиции в портфель принесут
дополнительную премию за риск, которая зависит от премии за риск по
рискованному активу (E(rS) – rF) и от доли портфеля ω, инвестированной в
рискованный актив.
Подставив заданные значения в формулу (56), получим
E (r ) = 0,06 + ω (0,14 − 0,06 ) = 0,06 + 0,06 ω = 0,09 ;
ω=
0,09 − 0,06
= 0,375 .
0,08
Таким образом, чтобы получить доходность в 9 %, необходимо инвестировать $37 500,00 в рискованный актив и $62 500,00 в безрисковый.
2. Определим связь между стандартным отклонением и долей инвестиций, приходящихся на рискованный актив.
Если в портфеле объединены рискованный и безрисковый актив, то
стандартное отклонение доходности такого портфеля
σ =σS ω .
(57)
Чтобы определить стандартное отклонение, соответствующее ожидаемой ставке доходности в 9 %, подставим в выражение (57) заданные
значения:
σ = σ S ω = 0,2 ⋅ 0,375 = 0,075 .
3. Определим соотношение между ожидаемой ставкой доходности и
стандартным отклонением. Для этого в выражение (56) подставим долю
рискованного актива, выраженную через стандартное отклонение:
ω=
σ
,
σS
E (r ) = rF +
E (rS ) − rF
σS
σ.
(58)
Для рассматриваемого примера
0,14 − 0,06
E (r ) = 0,06 +
σ = 0,06 + 0,4 σ .
0,2
Другими словами, ожидаемая ставка доходности портфеля, выраженная как функция его стандартного отклонения, представляет собой прямую,
пересекающую вертикальную ось в точке rF = 0,06, с наклоном, равным
81
E (rS ) − rF
σS
=
0,14 − 0,06
= 0,40 .
0,2
Угол наклона прямой характеризует дополнительную ожидаемую доходность, предлагаемую рынком для каждой дополнительной единицы
риска, которую согласен нести инвестор.
Задачи для самостоятельного решения
122. Для задачи 121 определить состав портфеля, ожидаемая ставка
которого соответствовала бы значению 11 % в год.
Ответ: 62,5 % рискованного актива и 37,5 % безрискового.
123. Инвестор принял решение диверсифицировать инвестиции, вкладывая $250 000,00 в безрисковый актив с процентной ставкой 5 % годовых
и в акции транспортной компании с ожидаемой ставкой доходности 15 %
годовых и стандартным отклонением 0,25. Какую часть от $250 000,00 следует вложить в рискованный актив, чтобы получить доходность 10 %?
Ответ: $125 000,00 в акции и $125 000,00 в безрисковый актив.
124. Для задачи 123 рассчитать удельные веса активов в портфеле таким образом, чтобы доходность портфеля составляла 7, 9, 11 и 13 %.
Сформулировать выводы.
125. Для задач 123 и 124 построить график соотношения между доходностью и риском инвестиционного портфеля.
Эффективная диверсификация портфеля инвестиций
Оптимальный портфель из многих рискованных активов
Примеры типовых вычислений
126. Определить ожидаемую доходность портфеля, состоящего из акций ОАО «Волга-Флот» (VLGFL) и акций ОАО «Аэрофлот» (AFLT).
Среднее значение доходности VLGFL составляет 0,08, а стандартное отклонение 0,15. Соответственно по AFLT ожидаемая доходность составляет 0,14, а стандартное отклонение 0,2. Инвестор предполагает, что корреляция между этими активами равна нулю. Определить удельные веса каждого актива в портфеле таким образом, чтобы риск вложений был минимальным.
82
Решение
Объединение в одном портфеле двух видов рискованных активов аналогично объединению рискованного актива с безрисковым. Если один из
двух активов безрисковый, то стандартное отклонение его ожидаемой
ставки доходности и ее корреляция с другим активом равны нулю. Если
оба актива являются рискованными, то в этом случае необходим анализ
соотношения доходность/риск.
Формула для вычисления среднего значения ставки доходности любого портфеля, в котором ω – это доля первого рискованного актива, а
(1 − ω ) – это доля второго рискованного актива, имеет следующий вид:
E (r ) = ω E (r1 ) + (1 − ω ) E (r2 ) .
(59)
В свою очередь формула дисперсии для такого портфеля базируется
на одном из свойств ковариации двух случайных величин (ξ и η) [10]:
D(a ξ + b η ) = a 2 D(ξ ) + b 2 D(η ) + 2 a b Cov(ξ ,η ) ,
(60)
где D – дисперсия, σ = D – стандартное отклонение.
Таким образом, дисперсия для портфеля из двух рискованных активов
⎡
σ 2 = ω 2 σ 12 + (1 − ω )2 σ 22 + 2 ω (1 − ω )σ 1, 2 = ⎢ ρ =
= ω σ + (1 − ω ) σ + 2 ω (1 − ω ) ρ σ 1σ 2 ,
2
2
2
1
⎣
σ 1, 2 ⎤
⎥=
σ1 ⋅σ 2 ⎦
(61)
2
2
где σ1 – стандартное отклонение 1-го актива, а σ2 – стандартное отклонение 2-го актива.
Для определения доли 1-го рискованного актива ω, которая минимизирует дисперсию портфеля, исследуем функцию σ 2 = D(ω) на экстремум.
Для этого преобразуем выражение (61), дифференцируем и приравняем
его нулю:
D(ω ) = ω 2σ 12 + (1 − ω ) σ 22 + 2 ω (1 − ω ) ρ σ 1σ 2 = ω 2σ 12 + σ 22 − 2 ω σ 22 +
2
(
)
(
)
− 2 ω ρ σ σ = ω (σ + σ ) + 2 ω (ρ σ σ − σ ) − 2 ω ρ σ σ
1
D' (ω ) = 2 ω (σ + σ ) + 2 (ρ σ σ − σ ) − 4 ω ρ σ σ = 0 ⋅ ;
2
+ ω 2σ 22 + 2 ω − 2 ω 2 ρ σ 1σ 2 = ω 2 σ 12 + σ 22 + σ 22 − 2 ω σ 22 + 2 ω ρ σ 1σ 2 −
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
+ σ 22 ;
2
ω (σ 12 + σ 22 − 2 ρ σ 1σ 2 ) + ρ σ 1σ 2 − σ 22 = 0 ,
ω (σ 12 + σ 22 − 2 ρ σ 1σ 2 ) = σ 22 − ρ σ 1σ 2 ⇒ ω 0 =
83
σ 22 − ρ σ 1σ 2
.
σ 12 + σ 22 − 2 ρ σ 1σ 2
Достаточное условие существования экстремума заключается в том,
что если функция D(ω)дважды дифференцируема в точке ω0 и D' (ω0 ) = 0 ,
а D' ' (ω ) > 0 ( D' ' (ω ) < 0) , то функция D(ω ) имеет в точке ω0 локальный
минимум (максимум):
(
)
(
)
D' ' (ω ) = 2 σ 12 + σ 22 − 4 ρ σ 1σ 2 = 2 σ 12 + σ 22 − 2 ρ σ 1σ 2 .
Несложно убедиться в том, что D' ' (ω ) > 0 для любых значений коэффициента корреляции в интервале − 1 ≤ ρ ≤ 1 . Очевидно, что для значений − 1 ≤ ρ ≤ 0 неравенство 2(σ 12 + σ 22 − 2 ρσ 1σ 2 ) > 0 выполняется всегда. Для любых значений в интервале 0 < ρ ≤ 1 всегда можно выделить
квадрат разности стандартных отклонений σ1 и σ2. Для максимального
значения ρ = 1 данное выражение приобретает вид 2(σ 1 − σ 2 ) 2 > 0 , то
есть и для всех прочих значений коэффициента корреляции в интервале
0 < ρ ≤ 1 «вторая производная дисперсии» будет положительной величиной.
Таким образом, в точке ω0 имеет место локальный минимум функции
D(ω), или, другими словами, доля 1-го рискованного актива (и, соответственно, 2-го), которая минимизирует дисперсию портфеля, задается следующими выражениями:
ω1 =
σ 22 − ρ σ 1σ 2
, ω 2 = 1 − ω1 .
σ 12 + σ 22 − 2 ρ σ 1σ 2
(62)
Вычислим долю портфеля, инвестированную в акции VLGFL, минимизирующую риск портфеля:
ω1 =
0,20 2 − 0,00 ⋅ 0,20 ⋅ 0,15
= 0,64 .
0,15 2 + 0,20 2 − 2 ⋅ 0,00 ⋅ 0,20 ⋅ 0,15
То есть доля акций VLGFL в портфеле должна составлять 64 % и доля
акций AFLT – 36 %. При этом ожидаемая доходность составит
E ( r ) = 0,64 ⋅ 0,08 + 0,36 ⋅ 0,14 = 0,1016 ,
а стандартное отклонение портфеля
σ 2 = 0,642 ⋅ 0,152 + 0,362 ⋅ 0,202 + 2 ⋅ 0,64 ⋅ 0,36 ⋅ 0,00 ⋅ 0,15 ⋅ 0,20 = 0,0144 ,
σ = 0,0144 = 0,12 .
Соотношение доходность/риск для портфелей с двумя рискованными
активами приведено в табл. 29.
Зависимость ожидаемой доходности от величины стандартного отклонения для рассмотренных портфелей представлена на рис. 14.
84
Таблица 29
Портфель
Доля VLGFL,
%
R
100,00
0,00
0,0800
0,1500
C
75,00
25,00
0,0950
0,1231
64,00
36,00
0,1016
0,1200
50,00
50,00
0,1100
0,1250
0,00
100,00
0,1400
0,2000
Минимальная
дисперсия
D
S
Доля AFLT,
%
Ожидаемая
доходность
Стандартное
отклонение
0,1600
0,1400
0,1200
0,1000
0,0800
0,0600
0,0400
0,0200
0
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
Рис. 14. Кривая соотношения доходность/риск для двух рискованных активов
Если, начиная с точки R, перемещать часть инвестированного капитала из акций VLGFL в акции AFLT, происходит не только повышение
средней ставки доходности, но и снижение стандартного отклонения. Оно
снижается до тех пор, пока не получится портфель, который на 36 % состоит из акций AFLT и на 64 % из акций VLGFL.
Эта точка характеризует портфель с минимальной дисперсией (minimum-variance portfolio). Если в акции AFLT инвестируется более 36 %
общего капитала, то стандартное отклонение портфеля увеличивается.
85
127. У инвестора есть возможность купить акции ОАО «Приморское
морское пароходство» (PRIM), ОАО «Балтийские транспортные системы»
(BTST) и ОАО «Северо-Западное пароходство» (SZRP) (табл. 30).
Таблица 30
Наименование
E(ri)
Дисперсия σii
PRIM
BTST
SZRP
0,06
0,09
0,18
0,35
0,42
0,75
Ковариация σij
σ 12 = – 0,10
σ 23 = 0,50
σ 13 = 0,30
Определить долю каждого актива в портфеле таким образом, чтобы
доходность инвестора составила 12%, а риск был бы минимальным.
Решение
В качестве целевой функции выберем дисперсию портфеля, состоящего из n рискованных активов:
n
n
D = ∑∑ X i X j σ ij → min ,
(63)
i =1 j =1
где Xi – доля i-й ценной бумаги в портфеле; Xj – доля j-й ценной бумаги в
портфеле; σij – ковариация ценных бумаг.
Ограничения:
n
1) E (r ) = ∑ X i E (ri ) ;
(64)
i =1
n
2) ∑ X i = 1 .
(65)
i =1
Для решения этой задачи воспользуемся методом неопределенных
множителей Лагранжа:
n
n
⎛ n
⎞
⎛ n
⎞
L = ∑∑ X i X j σ ij + λ 1 ⎜ ∑ X i E (ri ) − E (r )⎟ + λ 2 ⎜ ∑ X i − 1⎟ ,
(66)
i =1 j =1
⎠
⎝ i =1
⎠
⎝ i =1
где λ 1, λ 2 – множители Лагранжа.
Портфель, минимизирующий риск, определяется решением системы
уравнений:
⎧∂L ∂X i = 0 ,
(67)
⎨
⎩∂L ∂λl = 0 ,
где l = 1, 2.
В случае трёх рискованных активов выражения (66) и (67) будут выглядеть следующим образом:
86
L = X 12σ 11 + X 22σ 22 + X 32σ 33 + 2 X 1 X 2σ 12 + 2 X 1 X 3σ 13 + 2 X 2 X 3σ 23 +
+ λ 1 [X 1 E ( r1 ) + X 2 E (r2 ) + X 3 E (r3 ) − E (r )] + λ 2 ( X 1 + X 2 + X 3 − 1) ;
⎧∂L
⎪
⎪∂L
⎪
⎨∂L
⎪
⎪∂L
⎪∂L
⎩
∂X 1 = 2 X 1σ 11 + 2 X 2σ 12 + 2 X 3σ 13 + λ 1 E (r1 ) + λ 2 = 0 ,
∂X 2 = 2 X 1σ 12 + 2 X 2σ 22 + 2 X 3σ 23 + λ 1 E ( r2 ) + λ 2 = 0 ,
∂X 3 = 2 X 1σ 13 + 2 X 2σ 23 + 2 X 3σ 33 + λ 1 E (r3 ) + λ 2 = 0 ,
∂λ 1 = X 1 E (r1 ) + X 2 E ( r2 ) + X 3 E (r3 ) − E (r ) = 0 ,
∂λ 2 = X 1 + X 2 + X 3 − 1 = 0 .
Представим систему в матричном виде1:
E ( r1 ) 1 ⎤ ⎡ X 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎡ 2σ 11 2σ 12 2σ 13
⎢ 2σ
2σ 22 2σ 23 E ( r2 ) 1 ⎥⎥ ⎢⎢ X 2 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥
12
⎢
⎢
⎥
⎢ 2σ 13 2σ 23 2σ 33 E ( r3 ) 1 ⎥ × ⎢ X 3 ⎥ = ⎢ 0 ⎥
(68)
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
0 ⎥ ⎢ λ1 ⎥ ⎢ E ( r ) ⎥
⎢ E ( r1 ) E ( r2 ) E ( r3 ) 0
⎢ 1
1
1
0
0 ⎥⎦ ⎢⎣ λ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎣
Обозначим матрицу через E, вектор в левой части – через W, вектор в
правой части – через G, тогда матричное уравнение будет иметь вид:
E × W = G,
(69)
−1
(70)
W = E
× G.
Подставим начальные данные в выражение (70) и найдем оптимальное соотношение активов в портфеле. Для этого воспользуемся MS Excel
(рис. 15).
1. Исходные данные. Введите исходные данные в виде таблиц ожидаемой доходности и матрицы дисперсии и ковариации.
В таблице дисперсии и ковариации исходные данные представлены в
нижней (затемненной) области. Все ее элементы по диагонали отображают ковариацию доходности актива от самого себя и совпадают с его дисперсией. Ячейки, расположенные вне диагонали, содержат показатели
ковариации (см. табл. 30). Ячейки, расположенные выше диагонали, представляют собой зеркальное отображение нижнего (затемненного) треугольника.
2. Построение матрицы E. Заносим данные в матрицу E в соответствии с (68).
1
Как видно из (68), удобнее минимизировать функцию D/2, чтобы избавиться от коэффици-
1
2
ентов 2. В этом случае выражение (63) принимает вид: min σ 2
87
Рис. 15. Оптимизация портфеля из трёх рискованных активов в MS Excel
Для заполнения показателей доходности можно воспользоваться
функцией ТРАНСП. Для этого выделите диапазон A16:C16 и введите
формулу = ТРАНСП(B2:B4). Далее, нажмите одновременно клавиши
<Shift> и <Ctrl> и, удерживая их нажатыми, нажмите клавишу <Enter>.
3. Построение обратной матрицы E –1. Для построения обратной
матрицы воспользуемся функцией МОБР. Для этого выделите диапазон
A20:E24 и введите формулу = МОБР(A13:E17). Далее, нажмите одновременно клавиши <Shift> и <Ctrl> и, удерживая их нажатыми, нажмите клавишу <Enter>.
4. Построение вектора G. Заносим данные в матрицу G, где указываем требуемую доходность инвестора 0,12.
88
5. Определение удельных весов каждой акции. Для определения
долей активов в портфеле необходимо умножить матрицу E –1 на вектор
G, в соответствии с выражением (70). Для этого используется функция
МУМНОЖ. Выделите диапазон D26:D30 и введите формулу
= МУМНОЖ(A20:E24;B26:B30). Далее, нажмите одновременно клавиши
<Shift> и <Ctrl> и, удерживая их нажатыми, нажмите клавишу <Enter>.
Таким образом, при требуемой доходности в 12 % оптимальным сочетанием активов в портфеле будет следующее, %: PRIM – 30,6; BTST –
25,9; SZRP – 43,5. Сумма удельных весов составляет 100 %.
128. Менеджментом транспортной компании принято решение купить
акции ОАО «Приморское морское пароходство» (PRIM), ОАО «Балтийские транспортные системы» (BTST), ОАО «Северо-Западное пароходство» (SZRP), ОАО «Аэрофлот – Российские авиалинии» (AFLT) и ОАО
«Волжское нефтеналивное пароходство «Волготанкер» (VLGTG). Приведены характеристики этих акций (табл. 31) и матрица коэффициентов
корреляции (табл. 32).
Таблица 31
Наименование
Ожидаемая доходность, %
Стандартное отклонение, %
PRIM
BTST
SZRP
AFLT
VLGTG
8,00
9,00
10,00
11,00
12,00
20,00
20,00
20,00
20,00
20,00
Величина предполагаемых инвестиций составляет $100 000,00. Рассчитать удельные веса каждой ценной бумаги в портфеле и величину инвестированных в эти бумаги средств таким образом, чтобы доходность
портфеля составляла 1, 5, 9, 10, 11, 15 и 20 %, а риск был бы минимальным.
Таблица 32
Наименование
PRIM
BTST
SZRP
AFLT
VLGTG
PRIM
100,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
BTST
0,00%
100,00%
0,00%
0,00%
0,00%
SZRP
0,00%
0,00%
100,00%
0,00%
0,00%
AFLT
0,00%
0,00%
0,00%
100,00%
0,00%
VLGTG
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
100,00%
Решение
Аналогично решению в задаче 127 воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа (66).
89
При пяти рискованных активах система уравнений (67) будет выглядеть следующим образом:
⎧∂L
⎪
⎪∂L
⎪∂L
⎪
⎪
⎨∂L
⎪
⎪∂L
⎪∂L
⎪
⎪⎩∂L
∂X 1 = 2 X 1σ 11 + 2 X 2σ 12 + 2 X 3σ 13 + 2 X 4σ 14 + 2 X 5σ 15 + λ 1 E (r1 ) + λ 2 = 0 ,
∂X 2 = 2 X 1σ 12 + 2 X 2σ 22 + 2 X 3σ 23 + 2 X 4σ 24 + 2 X 5σ 25 + λ 1 E (r2 ) + λ 2 = 0 ,
∂X 3 = 2 X 1σ 13 + 2 X 2σ 23 + 2 X 3σ 33 + 2 X 4σ 34 + 2 X 5σ 35 + λ 1 E (r3 ) + λ 2 = 0 ,
∂X 4 = 2 X 1σ 14 + 2 X 2σ 24 + 2 X 3σ 34 + 2 X 4σ 44 + 2 X 5σ 45 + λ 1 E (r4 ) + λ 2 = 0 ,
∂X 5 = 2 X 1σ 15 + 2 X 2σ 25 + 2 X 3σ 35 + 2 X 4σ 45 + 2 X 5σ 55 + λ 1 E (r5 ) + λ 2 = 0 ,
∂λ 1 = X 1 E (r1 ) + X 2 E (r2 ) + X 3 E (r3 ) + X 4 E (r4 ) + X 5 E (r5 ) + 0 + 0 = E (r ) ,
∂λ 2 = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + 0 + 0 = 1.
В матричном виде – аналогично (68):
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2σ 11
2σ 12
2σ 13
2σ 14
2σ 15
E ( r1 )
2σ 12
2σ 22
2σ 23
2σ 24
2σ 25
E ( r2 )
2σ 13
2σ 23
2σ 33
2σ 34
2σ 35
E ( r3 )
2σ 14
2σ 24
2σ 34
2σ 44
2σ 45
E ( r4 )
2σ 15
2σ 25
2σ 35
2σ 45
2σ 55
E ( r5 )
E ( r1 ) E ( r2 ) E ( r3 )
1
1
1
E ( r 4 ) E ( r5 )
0
1
0
1
1⎤
1 ⎥⎥
1⎥
⎥
1⎥×
1⎥
⎥
0⎥
0 ⎥⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
X1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
X 2 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥
⎢
X3 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢
⎥
X4 ⎥ = ⎢ 0 ⎥
X5 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢
⎥
λ1 ⎥ ⎢ E (r ) ⎥
λ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
Также как и в задаче 127, воспользуемся выражениями (69) и (70) и
матричными функциями MS Excel.
Исходя из условий задачи и выражения (55) матрица дисперсии и ковариации имеет вид (табл. 33):
Таблица 33
Наименование
PRIM
BTST
SZRP
AFLT
VLGTG
PRIM
0,04
0,00
0,00
0,00
0,00
BTST
0,00
0,04
0,00
0,00
0,00
SZRP
0,00
0,00
0,04
0,00
0,00
AFLT
0,00
0,00
0,00
0,04
0,00
VLGTG
0,00
0,00
0,00
0,00
0,04
Матрица Е и обратная (Е -1) представлены соответственно в табл. 34 и
табл. 35.
90
Таблица 34
0,08
0,00
0,00
0,00
0,00
0,08
1
0,00
0,08
0,00
0,00
0,00
0,09
1
0,00
0,00
0,08
0,00
0,00
0,10
1
0,00
0,00
0,00
0,08
0,00
0,11
1
0,00
0,00
0,00
0,00
0,08
0,12
1
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0
0
1
1
1
1
1
0
0
Таблица 35
5,00
–5,00
–2,50
0,00
2,50
–20,00
2,20
–5,00
8,75
–2,50
–1,25
0,00
–10,00
1,20
–2,50
–2,50
10,00
–2,50
–2,50
0,00
0,20
0,00
–1,25
–2,50
8,75
–5,00
10,00
– 0,80
2,50
0,00
–2,50
–5,00
5,00
20,00
–1,80
–20,00
–10,00
0,00
10,00
20,00
– 80,00
8,00
2,20
1,20
0,20
– 0,80
–1,80
8,00
– 0,82
Умножая матрицу Е –1 на вектор G, получаем весовые коэффициенты,
характеризующие удельный вес каждого актива в портфеле для разных
значений ожидаемой доходности портфеля.
Например, требуемая доходность инвестора составляет 20 %. Если
инвестировать в рассматриваемый портфель $100 000,00, то величина капиталовложений в акции PRIM и BTST получается отрицательной («минус» $180 000,00 и «минус» $80 000,00 соответственно). Это означает, что
инвестор должен «взять взаймы» эти ценные бумаги у финансового посредника и реализовать их по текущей рыночной цене на сумму
$180 000,00+$80 000,00 = $260 000,00.
Далее инвестируем $260 000,00+$100 000,00 = $360 000,00 в оставшиеся акции ($20 000,00 в SZRP, $120 000,00 в AFLT и $220 000,00 в
VLGTG). В конце инвестиционного периода необходимо выкупить и вернуть взятые взаймы акции, а остальные реализовать по текущей рыночной
цене.
91
Поскольку ожидаемая доходность по «коротким» продажам1 положительная, инвестор предполагает по этим сделкам получение отрицательного дохода, который компенсируется доходами от реализации остальных
акций (рис. 16, правая таблица, столбцы I и J).
Рис. 16. Результаты вычислений удельных весов акций в портфеле
Для того чтобы выделить акции, по которым необходимо «занять короткие позиции», воспользуемся логической функцией MS Excel «ЕСЛИ»
так, как это показано на рис. 16. Если короткие продажи невозможны или
не рассматриваются инвестором в качестве средства диверсификации
портфеля, в решение оптимизационной задачи необходимо ввести дополнительное условие X i ≥ 0 .
Рассмотрим множество эффективных портфелей, допуская возможность «коротких» продаж. Изменяя значения в ячейке B53 (см. рис. 16) по
условиям задачи от 1 до 20 %, получаем 7 оптимальных портфелей, дисперсия каждого из которых минимальна. Соотношения акций в каждом из
рассмотренных портфелей, их доходность и стандартное отклонение
представлены в табл. 36. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля рассчитываются в соответствии с выражениями (63) и (64).
Таблица 36
№ портфеля PRIM (X1) BTST (X2) SZRP (X3) AFLT (X4) VLGTG (X5) E(r)портфеля σпортфеля
1
2
3
4
5
6
7
200 %
120 %
40 %
20 %
0%
–80 %
–180 %
110 %
70 %
30 %
20 %
10 %
–30 %
–80 %
20 %
20 %
20 %
20 %
20 %
20 %
20 %
–70 %
–30 %
10 %
20 %
30 %
70 %
120 %
1
–160 %
–80 %
0%
20 %
40 %
120 %
220 %
0,01
0,05
0,09
0,10
0,11
0,15
0,20
0,5762
0,3286
0,1095
0,0894
0,1095
0,3286
0,6387
Короткая продажа — продажа инвестором ценных бумаг, которых он не имеет в наличии, в
надежде на снижение их цены. В этом случае инвестор «занимает» данные ценные бумаги у
брокера, продает и затем покупает их вновь на рынке, чтобы отдать долг. Например, инвестор занимает 1000 акций 1 июля и продает их по $8 за акцию. Затем 1 августа он покупает
1000 акций этой же компании по $7 за акцию. Таким образом, с помощью «короткой» продажи инвестору удалось заработать $1000 (минус комиссионные брокеру и другие выплаты).
Когда инвестор берет акции взаймы, говорят, что он занимает «короткую позицию» (Short
position).
92
По данным табл. 36 строим кривую «доходность/риск», соединяющую
точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 (рис. 17).
0,20
0,15
0,10
0,05
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,06
Рис. 17. Допустимое множество портфелей и граница эффективности
Кривая 1–7 ограничивает некоторую область, в которой находятся все
допустимые сочетания активов в портфеле. Данное множество является
непрерывным и называется допустимым (достижимым) множеством
портфелей. На рис. 17 отображены только некоторые значения этого
множества. Они обозначены кривой 1–7 и точками внутри этой кривой.
Очевидно, что значения, лежащие на нижней части этой кривой (штриховая линия) не являются эффективными, поскольку для любого значения
на этой кривой всегда можно подобрать портфель с таким же уровнем
риска (стандартным отклонением), но более высокой доходностью на
сплошной линии 4–7. Множество портфелей, находящихся на кривой 4–7,
называется эффективным множеством или границей эффективного
множества портфелей (efficient portfolio frontier) рискованных активов.
Оптимальный портфель выбирается из эффективного множества в соответствии с отношением инвестора к риску.
Таким образом, точки 4, 5, 6 и 7 соответствуют эффективной (оптимальной) диверсификации портфеля.
93
Задачи для самостоятельного решения
129. Для задачи 126 рассчитать, каково среднее значение доходности
и ее стандартное отклонение для портфеля, который на 40 % состоит из
акций VLGFL и на 60 % из акций AFLT, если их коэффициент корреляции
равен 0,1.
Ответ: E(r) = 0,116, σ = 0,01944 = 0,1394 .
130. Несложно заметить, что портфелю, который состоит только из
акций ОАО «Волга-Флот» (точка R на рис. 14), соответствует портфель с
точно таким же уровнем риска, но более высоким уровнем доходности.
Определить состав такого портфеля, то есть портфеля, составленного как
из акций VLGFL, так и из акций AFLT (задача 126), таким образом, чтобы
его стандартное отклонение равнялось 0,15. Определить ожидаемую доходность портфеля.
Ответ: 28 % – доля акций VLGFL и 72 % – доля акций AFLT в портфеле. E(r) = 0,1232.
Пример типовых вычислений в Excel
Для решения задачи 130 также рекомендуется применить электронные таблицы MS Excel. При помощи функции «Поиск решения» можно
определить необходимые удельные веса каждого вида рискованных активов, не прибегая к трудоемким вычислениям. На рис. 18 приведен пример
поиска решения для данной задачи, где значение ячейки F13 задается
формулой = КОРЕНЬ(B13^2*B$5^2+C13^2*C$5^2).
131. У инвестора есть возможность купить акции ОАО «Приморское
морское пароходство» (PRIM) и ОАО «Балтийские транспортные системы» (BTST). Ожидаемые доходности и стандартные отклонения этих акций приведены в табл. 37.
Как получить портфель с минимальным риском, состоящий из акций
данных компаний, если корреляция между их доходностями равна: а) 0; b)
0,5; c) 1; d) –1.
Таблица 37
Доходность
Среднее значение
Стандартное отклонение
PRIM
BTST
0,10
0,15
0,21
0,25
Что можно сказать об изменении пропорции капиталов, вложенных в
PRIM и BTST, по мере того, как их корреляция меняется от –1 до 0, а затем от 0,5 до 1.
94
Рис. 18. «Поиск решения» в MS Excel
132. Для задачи 131 рассчитать дисперсию и стандартное отклонение
каждого портфеля. Сформулировать выводы.
133. Для задачи 131 построить графики, характеризующие соотношения доходность/риск для каждого портфеля по 6 возможным точкам, которые определяют состав портфеля (кроме портфеля с минимальной дисперсией, рассмотреть портфели, состоящие из 100 % акций одного вида и
три портфеля с произвольными удельными весами каждой ценной бумаги).
134. Для задач 127 и 128 рассчитать удельные веса ценных бумаг в
портфеле, используя целевую функцию min (σ 2 / 2).
95
135. Менеджментом транспортной компании принято решение купить
акции ОАО «Приморское морское пароходство» (PRIM), ОАО «Балтийские транспортные системы» (BTST), ОАО «Северо-Западное пароходство» (SZRP), ОАО «Волга-Флот» (VLGFL) и ОАО «Волжское нефтеналивное пароходство «Волготанкер» (VLGTG). Характеристики этих акций
приведены в таблицах 38 и 39, причем в последней – в виде матрицы коэффициентов корреляции.
Таблица 38
Наименование
Ожидаемая доходность, %
Стандартное отклонение, %
PRIM
BTST
SZRP
VLGFL
VLGTG
10,00
12,50
15,00
17,50
20,00
15,00
16,00
17,00
18,00
19,00
Наименование
PRIM
BTST
SZRP
VLGFL
VLGTG
PRIM
100,00%
5,00%
–7,00%
2,00%
12,00%
BTST
5,00%
100,00%
10,00%
3,00%
– 4,00%
SZRP
–7,00%
10,00%
100,00%
–11,00%
3,00%
VLGFL
2,00%
3,00%
–11,00%
100,00%
–2,50%
Таблица 39
VLGTG
12,00%
–4,00%
3,00%
–2,50%
100,00%
Величина предполагаемых инвестиций составляет 5 млн. р. Рассчитать удельные веса каждой ценной бумаги в портфеле и величину инвестированных в эти бумаги средств таким образом, чтобы доходность
портфеля составляла 15 %, а риск был бы минимальным.
Ответ: PRIM – 987 546,99 р.; BTST – 913 687,67 р.; SZRP –
1 106 599,62 р.; VLGFL – 1 095 549,81 р.; VLGTG – 896 615,91 р.
136. Для задачи 135 построить границу эффективного множества инвестиционных портфелей.
Оптимальная комбинация безрискового актива
и портфеля рискованных активов
Примеры типовых вычислений
137. Определить оптимальное соотношение портфеля, состоящего из
акций ОАО «Волга-Флот», акций ОАО «Аэрофлот» и государственных
краткосрочных облигаций, ставка доходности которых рассматривается
как безрисковая и равна 0,06. Среднее значение доходности акций ОАО
96
«Волга-Флот» составляет 0,08, а стандартное отклонение 0,15. Соответственно по акциям ОАО «Аэрофлот» ожидаемая доходность составляет
0,14, а стандартное отклонение 0,2. Инвестор предполагает, что корреляция между этими активами равна нулю.
Решение
Рассмотрим комбинации доходность/риск, которые можно получить
посредством объединения безрискового актива с акциями.
На рис. 19 показано графическое представление всех возможных комбинаций доходность/риск, а также точка (T) оптимального объединения
рискованных активов с безрисковым.
Рис. 19. Оптимальная комбинация рискованных активов с безрисковым
97
Прямая линия, соединяющая точки F и S показывает ряд комбинаций
доходность/риск, которые могут быть получены посредством объединения безрискового актива с акциями ОАО «Аэрофлот».
Прямая линия, соединяющая точку F с любой точкой кривой, соединяющей точки R и S, представляет собой график, описывающий соотношение доходность/риск для всех комбинаций трёх рассматриваемых активов. Максимальное значение этого соотношения находится на линии, соединяющей точки F и T, которая является касательной к графику, описывающему соотношение доходность/риск двух рискованных активов. То
есть точка T является общей точкой прямой линии, выходящей из точки F,
и кривой, соединяющей точки R и S. Портфель, который соответствует
точке T, называется тангенциальным портфелем (the tangency portfolio).
Запишем уравнение прямой, соединяющей точки F и T:
E (r ) = rF +
E (rT ) − rF
σT
σ,
где E (rT ) − rF = tgϕ — тангенс угла наклона прямой FT к оси абсцисс.
σT
Ожидаемая доходность в точке Т задается выражением (59):
E (rT ) = ω E (r1 ) + (1 − ω ) E (r2 ) ,
E (rT ) − rF = ω E (r1 ) + (1 − ω ) E (r2 ) − rF =
= ω E (r1 ) + E (r2 ) − ω E (r2 ) − rF + ω rF − ω rF =
= ω (E (r1 ) − rF ) + (1 − ω ) (E (r2 ) − rF ) .
Дисперсия портфеля соответствует выражению (61):
D(ω ) = ω 2 σ 12 + (1 − ω ) σ 22 + 2 ω (1 − ω ) ρ σ 1σ 2 , σ T = D(ω ).
2
Введем следующие обозначения: X1 = ω, X2 = 1 – ω.
Тогда целевая функция, максимум которой необходимо найти, задается выражением
X 1 (E (r1 ) − rF ) + X 2 (E (r2 ) − rF )
→ max .
(71)
X 12 σ 12 + X 22 σ 22 + 2 X 12 X 22 ρ σ 1 σ 2
Для решения данной оптимизационной задачи можно воспользоваться
функцией MS Excel «Поиск решения» (рис. 20) или использовать выражение
для определения долей портфеля из двух рискованных активов в точке Т [4]:
X1 =
(E (r1 ) − rF )σ 22 − (E (r2 ) − rF ) ρ σ 1 σ 2
(E (r1 ) − rF )σ 22 + (E (r2 ) − rF )σ 12 − (E (r1 ) + E (r2 ) − 2 rF ) ρ σ 1 σ 2
98
.
(72)
Подставляя данные в выражение (72), получаем, что оптимальной
комбинацией рискованных активов является 30,77 % 1-го актива, то есть
акций ОАО «Волга-Флот», и 69,23% 2-го актива, то есть акций ОАО «Аэрофлот». Это означает, что ставка доходности E (rT ) и стандартное отклонение σT , соответственно, равны следующим значениям:
E ( rT ) = 0,3077 ⋅ 0,08 + 0,6923 ⋅ 0,14 = 0,1215 ,
σ T = 0,30772 ⋅ 0,152 + 0,69232 ⋅ 0,2 2 + 2 ⋅ 0,3077⋅ 0,6923⋅ 0,00 ⋅ 0,15 ⋅ 0,2 = 0,146.
Рис. 20. Поиск максимума коэффициента угла наклона прямой FT средствами MS Excel
Следовательно, прямая FT как новый график для эффективного соотношения доходность/риск задается формулой
E (r ) = rF + ω (E (rT ) − rF ) = rF +
E (rT ) − rF
σT
σ = 0,06 +
0,1215 − 0,06
σ=
0,146
= 0,06 + 0,42 σ ,
где коэффициент угла наклона, как отношение доходности к риску, равен 0,42.
99
Сравним полученное выражение с функцией, которая описывает объединение одного рискованного актива с безрисковым (прямая, соединяющая точки F и S):
E (r ) = 0,06 +
0,14 − 0,06
σ = 0,06 + 0,4 σ ,
0,2
где коэффициент угла наклона равен 0,4.
Очевидно, что в случае, когда отношение доходность/риск описывается прямой FT, инвестор находится в лучшем положении, чем в случае
«прямая FS», потому что может достичь более высокой ожидаемой доходности для любого уровня риска, на который готов пойти.
Например, портфель на 50 % состоит из портфеля инвестиций в акции
ОАО «Волга-Флот» и акции ОАО «Аэрофлот» в общей точке T (тангенциальный портфель) и на 50 % из инвестиций в ГКО. Такому портфелю соответствует точка E на рис. 19.
Преобразуем выражения (56) и (57) таким образом, чтобы они отражали тот факт, что портфель в точке касания Т является теперь единственным рискованным активом, который следует объединить с безрисковым активом:
E (rE ) = rF + 0,5 (E (rT ) − rF ) = 0,06 + 0,5 (0,1215 − 0,06) = 0,09075 ,
σ E = 0,5 ⋅ σ T = 0,5 ⋅ 0,146 = 0,073 .
Учитывая, что тангенциальный портфель состоит на 30,77 % из акций
ОАО «Волга-Флот» и 69,23 % акций ОАО «Аэрофлот», можно определить
состав портфеля Е:
Доля ГКО
50%
Доля акций ОАО «Волга-Флот»
0,5 ⋅ 30,77% = 15,385%
Доля акций ОАО «Аэрофлот»
0,5 ⋅ 69,23% = 34,615%
Всего:
100%
Следовательно, если в портфель Е инвестировано $100 000,00, то
$50 000,00 инвестировано в безрисковый актив, $15 385,00 – в акции ОАО
«Волга-Флот» и $34 615,00 – в акции ОАО «Аэрофлот».
Таким образом, существует только один портфель из рискованных активов, который можно оптимально объединить с безрисковым активом.
Это тангенциальный портфель (оптимальная комбинация) рискованных
активов в общей точке T. Предпочтительный портфель, то есть портфель,
зависящий от предпочтений инвестора, является эффективным в случае
комбинации тангенциального портфеля с безрисковым активом.
100
138. Для задачи 137 рассчитать и сравнить уровень риска (стандартное отклонение доходности), на который придется пойти инвестору в случае, который отображен прямой FS (объединение безрискового актива с
единственным рискованным активом) и в случае FT (эффективное объединение безрискового актива и оптимальной комбинации рискованных
активов). Величина инвестиций составляет $100 000,00, а требуемая доходность инвестора составляет 10 % годовых.
Решение
1. Для соотношения доходность/риск, описываемого прямой FT, выражение ожидаемой доходности будет иметь вид:
E (rT ) = ω E (rT ) + (1 − ω ) E (rF ) = ω ⋅ 0,1215 + (1 − ω ) 0,06 =
= 0,06 + 0,0615 ω = 0,10 .
То есть доля тангенциального портфеля составит
ω=
0,10 − 0,06
= 0,65 .
0,0615
Следовательно, для получения оптимальной комбинации в рискованные активы должно быть инвестировано 65 % от $100 000,00, а 35 % –
в безрисковый актив.
Стандартное отклонение в таком портфеле будет определяться следующим образом:
σ = ω ⋅ σ T = 0,65 ⋅ 0,146 = 0,095 .
Поскольку оптимальная комбинация рискованных активов сама по
себе содержит 30,77 % акций ОАО «Волга-Флот» и 69,23 % акций ОАО
«Аэрофлот», состав портфеля с доходностью в 10 % будет следующим:
Доля ГКО
35%
Доля акций ОАО «Волга-Флот»
0,65 ⋅ 30,77% = 20%
Доля акций ОАО «Аэрофлот»
0,65 ⋅ 69,23% = 45%
Всего:
100%
2. Для случая, который отображен прямой FS (объединение безрискового актива с единственным рискованным активом), выражение, связывающее ожидаемую доходность и долю рискованного актива в портфеле
имеет вид:
E (rT ) = ω E (rS ) + (1 − ω ) rF = ω ⋅ 0,14 + (1 − ω ) 0,06 =
= 0,06 + 0,08 ω = 0,10 ,
101
ω=
0,10 − 0,06
= 0,5 .
0,08
То есть 50 % от $100 000,00 должно быть вложено в акции ОАО «Аэрофлот», а 50 % в безрисковый актив.
Стандартное отклонение такого портфеля
σ = ωσ S = 0,5 ⋅ 0,2 = 0,1 .
Таким образом, доходность рассмотренных портфелей одинакова и
составляет 10 %, но уровень риска в случае объединения тангенциального
портфеля с безрисковым активом ниже (0,095), чем у портфеля с единственным рискованным активом, стандартное отклонение которого составляет 0,1.
139. Определить оптимальное соотношение портфеля, состоящего из
пяти некоррелируемых между собой акций транспортных компаний и
безрискового актива (табл. 40).
Таблица 40
Наименование
Ожидаемая доходность, %
Безрисковый актив
4,00
Стандартное отклонение, %
0,00
PRIM
8,00
20,00
BTST
9,00
20,00
SZRP
10,00
20,00
AFLT
11,00
20,00
VLGTG
12,00
20,00
Решение
При наличии большого числа рискованных активов используется
двухэтапный метод создания портфеля, аналогичный тому, который был
рассмотрен в задаче 137. На первом этапе рассматривается портфель, состоящий только из рискованных активов, на втором – тангенциальный
портфель рискованных активов, который можно объединить с безрисковым активом. Такая работа требует большого количества вычислений,
поэтому для решения этой задачи воспользуемся средствами электронных
таблиц MS Excel:
1. Исходные данные. Введите исходные данные для стандартного отклонения рискованных активов в ячейки B6:B10 (как показано на рис. 21),
а исходные данные их ожидаемой доходности – в диапазон C5:C10. В
диапазоне E6:E10 укажите значение 100 %, а в треугольный диапазон
H7:H10:K10 введите данные по корреляции доходности активов.
102
103
Рис. 21. Решение задачи по оптимизации портфеля с пятью рискованными активами при помощи электронных таблиц MS Excel
2. Единица плюс ожидаемая ставка доходности. Создайте новый
столбец с помощью формулы 1 + r . Для этого в ячейку D5 введите =1+C5
и скопируйте эту формулу в диапазон D6:D10.
3. Матрица корреляции. Таблица (матрица) корреляции, созданная
на основе данных в диапазоне H6:L10, имеет простую структуру. Все ее
элементы по диагонали отображают корреляцию доходности активов с
самими собой. Так, например, H6 отображает коэффициент корреляции
доходности актива 1 с доходностью актива 1, который равен единице;
ячейка I7 содержит коэффициент корреляции актива 2 с активом 2 и так
далее. Введите в диагональные ячейки от H6 до L10 значение 100 %. Расположенные вне данной диагонали ячейки в верхнем диапазоне (от I6 к L6
и к L9) представляют собой зеркальное отображение нижнего треугольного диапазона (от H7 к H10 и к K10). Иными словами, коэффициент корреляции актива 2 и актива 1, указанный в ячейке I6, будет равен коэффициенту корреляции актива 1 и актива 2 в ячейке H7. Введите в ячейку I6 = H7,
в ячейку J6 = H8, в ячейку J7 = I8, и т. д. Каждая ячейка в верхнем треугольном диапазоне I6:L6:L9, должна соответствовать своему зеркальному отражению в нижнем треугольном диапазоне H7:H10:K10.
4. Перенесение показателей стандартного отклонения. В дополнение к диапазону исходных данных по стандартному отклонению, показатели в котором расположены вертикально сверху вниз, полезно иметь
диапазон этих же показателей, расположенных горизонтально и слева направо. Это легко сделать, воспользовавшись матричной командой для
перенесения диапазонов. Для этого выделите диапазон H14:L14 и введите
формулу = ТРАНСП(B6:B10). Далее, нажмите одновременно клавиши
<Shift> и <Ctrl> и, удерживая их нажатыми, нажмите клавишу <Enter>.
5. Матрица дисперсии и ковариации. Таблица (матрица) дисперсии
и ковариации, расположенная в диапазоне H18:L22, также отличается
простотой структуры. Все ее элементы по диагонали отображают дисперсию доходности актива от самого себя и совпадают с его дисперсией. Так,
например, в ячейке H18 отображена ковариация доходности 1-го актива
от доходности1-го актива, которая равна дисперсии 1-го актива; в ячейке
I19 указана дисперсия актива 2 и так далее. Ячейки, расположенные вне
диагонали, содержат показатели ковариации. Так, например, в ячейке H19
указана ковариация доходности актива 1 от актива 2. В ячейку H19 введите формулу = H$14*$B7*H7. Скопируйте эту формулу из ячейки H19 в
диапазон H18:L22.
6. Коэффициенты гиперболы. На графике, отображающем соотношение среднего и стандартного отклонения, граница эффективности имеет форму гиперболы. Конкретное уникальное расположение этой гиперболы определяется на основе трех коэффициентов с названиями A, B и C.
104
Процедура получения формул для их расчета подробно описана в [11].
Ими легко пользоваться с помощью матричных функций программы
Excel. Во всех трех случаях в таблицу вводится формула, после чего одновременно нажимаются клавиши <Shift> и <Ctrl> и, не отпуская этих
клавиш, нажимается <Enter>.
Для A введите в ячейку I24 формулу
= МУМНОЖ(МУМНОЖ(ТРАНСП(E6:E10);МОБР(H18:L22));E6:E10).
Для B введите в ячейку I25 формулу
= МУМНОЖ(МУМНОЖ(ТРАНСП(E6:E10);МОБР(H18:L22));D6:D10).
Для C введите в ячейку I26 формулу
= МУМНОЖ(МУМНОЖ(ТРАНСП(D6:D10);МОБР(H18:L22));D6:D10).
7. Присвоение имен ячейкам. Установите курсор в ячейку I24 и выберите из главного меню команду «Вставка→Имя→Присвоить», введите
имя «A» и нажмите OK. Повторите эту процедуру и присвойте ячейке I25
имя «B», ячейке I26 имя «C.» (Excel не воспринимает простой буквы
«C»), ячейке I27 имя «Дельта», ячейке I28 имя «Гамма», а ячейке D5 имя
«R.» (в данном случае опять следует помнить, что Excel не воспринимает
простую букву «R»). В ячейку I27 введите формулу =A*C.-(B^2), а в
ячейку I28 формулу = 1/(B-A*R.). Существуют некоторые ограничения
при вводе исходных данных. Так, переменная «Дельта» должна обязательно быть положительной, в противном случае процесс вычисления
прекратится, либо будет выдан лишенный смысла результат. Лучше всего
просто избегать ввода больших отрицательных показателей корреляции
для множественных активов, и данная проблема не возникнет.
8. Индивидуальные рискованные активы. Чтобы добавить к этому
графику индивидуальные рискованные активы, сделайте ссылку на их
конкретные показатели стандартного отклонения и ожидаемых ставок
доходности. Для этого вводим в ячейку C17 = B6 и копируем эту формулу
в диапазон C18:C21, а затем вводим формулу = C6 в ячейку F17 и копируем ее вниз в диапазон F18:F21.
9. Ожидаемая ставка доходности. Воспользовавшись тремя коэффициентами гиперболы, можно определить ожидаемую ставку доходности
для верхней и нижней ветвей гиперболы, которые соответствуют стандартному отклонению 25 %, а после этого получить промежуточные значения и построить график границы эффективности.
Для нижней ветви гиперболы введите в ячейку D22 формулу
= (2*B–(4*B^2-4*A*(C.–(0.25^2)*Дельта))^(0.5))/(2*A)–1.
Для верхней ветви гиперболы введите в ячейку D42 формулу
= (2*B+(4*B^2-4*A*(C.–(0.25^2)*Дельта))^(0.5))/(2*A)–1.
105
Заполните индекс для ожидаемой ставки доходности, введя в ячейку
B22 значение 0, в ячейку B23 значение 1, выделив диапазон B22:B23 и
перетащив элемент управления для заполнения (расположенный в нижнем правом углу) в диапазон B24:B42.
Заполните промежуточные значения. Для этого вводим формулу
= $D$22+($D$42–$D$22)*(B23/20) в ячейку D23 и копируем ее в диапазон
D24:D41.
10. Стандартное отклонение. Опять воспользуйтесь тремя коэффициентами гиперболы и вычислите показатели стандартного отклонения
границы эффективности, соответствующие каждому конкретному значению ожидаемой ставки доходности. Для этого введите формулу
= ((A*(1+D22)^2-(2*B*(1+D22))+C.)/(A*C.–(B^2)))^(1/2) в ячейку C22 и
скопируйте ее в диапазон C23:C42.
11. Тангенциальный портфель. Оптимальную комбинацию рискованных активов в инвестиционном портфеле (тангенциальный портфель)
можно также рассчитать с помощью матричных функций Excel. Для этого
следует ввести соответствующую формулу, нажать одновременно клавиши <Shift> и <Ctrl> и, удерживая их в нажатом состоянии, нажать
клавишу <Enter>.
Для вычисления весовых коэффициентов активов в портфеле выделите диапазон H34:H38 и введите формулу
= Гамма*МУМНОЖ(МОБР(H18:L22);(D6:D10–R.*E6:E10)).
Для вычисления ожидаемых ставок доходности введите в ячейку E43
формулу = МУМНОЖ(ТРАНСП(H34:H38);D6:D10)–1.
Для вычисления показателей стандартного отклонения введите в
ячейку C43 формулу
= КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(ТРАНСП(H34:H38);H18:L22);H34:H38)).
12. График «риск-доходность» для эффективных портфелей. ГРД
представляет собой оптимальную комбинацию безрискового и рискованного актива. Значения для нее можно получить следующим образом.
Введите 0% в ячейку B44, 100% в ячейку B45 и 200% в ячейку B46.
Также как и ранее, формула стандартного отклонения упрощается:
σ = ωσ T . Введите формулу = B44*$C$43 в ячейку C44 и скопируйте ее в
диапазон C45:C46.
Ожидаемая доходность вычисляется по следующей формуле:
E (r ) = ω E (rT ) + (1 − ω ) rF . Введите = $E$43*B44+$C$5*(1–B44) в ячейку
E44 и скопируйте в диапазон E45:E46.
13. Построение графика. Выделите диапазон C17:F46 и выберите из
главного меню команду «Вставка→Диаграмма». Далее выберите из спи106
ска диаграмм тип «Точечная диаграмма» и при помощи «Мастера диаграмм» постройте график так, как это показано на рис. 22.
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
Рис. 22. Прямая «доходность/риск» для эффективных портфелей и граница эффективности
Задачи для самостоятельного решения
140. По условиям задачи 137 рассчитать ожидаемую доходность и
стандартное отклонение портфеля, если $75 000,00 инвестировано в тангенциальный портфель, а $25 000,00 – в безрисковый актив.
Ответ: E(r) = 0,1062, σ = 0,1095.
141. Определить оптимальное соотношение портфеля, состоящего из
акций ОАО «Волга-Флот», акций ОАО «Волжское нефтеналивное пароходство «Волготанкер» и государственных краткосрочных облигаций,
ставка доходности которых рассматривается как безрисковая и равна 0,09.
Среднее значение доходности акций ОАО «Волга-Флот» составляет 0,12, а
стандартное отклонение 0,15. Соответственно по акциям ОАО «Волготанкер» ожидаемая доходность составляет 0,14, а стандартное отклонение 0,18.
Инвестор предполагает, что корреляция между этими активами равна 0,5.
Ответ: X1 = 0,292, X2 = 0,708.
107
142. Для задачи 141 рассчитать ожидаемую доходность и стандартное
отклонение портфеля, если $80 000,00 инвестируется в тангенциальный
портфель, а $50 000,00 в безрисковый актив. Построить прямую «доходность/риск» и границу эффективности для эффективных портфелей.
Ответ: E(r) = 0,1172, σ = 0,0948.
143. Для задачи 142 определить состав портфеля таким образом, чтобы его ожидаемая доходность составляла 10, 11, 12 и 13 %. Рассчитать
стандартное отклонение для каждого портфеля. Сформулировать выводы.
Ответы даны в виде сводных данных.
E(r) портфеля, %
10
11
12
13
σ портфеля
0,0349
0,0698
0,1047
0,1396
ω (уд. вес акций), %
22,65
45,29
67,94
90,58
VLGFL, USD
8 597,19
17 194,39
25 791,58
34 388,78
VLGTG, USD
20 841,68
41 683,37
62 525,05
83 366,73
Итого акций, USD
29 438,88
58 877,76
88 316,63
117 755,51
ГКО, USD
100 561,12
71 122,24
41 683,37
12 244,49
Всего, USD
130 000,00
130 000,00
130 000,00
130 000,00
144. Определить оптимальное соотношение портфеля, состоящего из
акций ОАО «Приморское морское пароходство» (PRIM), ОАО «Балтийские транспортные системы» (BTST) и безрискового актива с доходностью 0,07. Ожидаемая доходность акций PRIM составляет 0,14, а стандартное отклонение 0,18. Соответственно по акциям BTST ожидаемая
доходность составляет 0,16, а стандартное отклонение 0,2. Инвестор
предполагает, что корреляция между этими активами равна 10%. Рассчитать, сколько необходимо инвестировать в каждую ценную бумагу, если
инвестор собирается вложить в портфель 10 млн.р., а его требуемая доходность составляет 12 %.
145. Определить оптимальное соотношение портфеля, состоящего из
пяти акций транспортных компаний и безрискового актива, стандартные
отклонения и ожидаемые доходности которых приведены в табл. 41, а
матрица коэффициентов корреляции – в табл. 42. Построить график зависимости доходности от риска для эффективных портфелей и границу эффективности.
Указание: для решения следует воспользоваться электронными таблицами, разработанными при решении задачи 139.
108
Наименование
Ожидаемая доходность, %
Безрисковый актив
PRIM
BTST
SZRP
AFLT
VLGTG
4,00
8,00
8,50
10,20
13,00
14,00
Таблица 41
Стандартное отклонение, %
0,00
10,00
15,00
18,00
22,00
25,00
Таблица 42
Наименование
PRIM
BTST
SZRP
AFLT
VLGTG
PRIM
BTST
SZRP
AFLT
VLGTG
100,00 %
7,00 %
-5,00 %
14,00 %
2,00 %
7,00 %
100,00 %
0,00 %
-10,00 %
8,00 %
-5,00 %
0,00 %
100,00 %
7,00 %
12,00 %
14,00 %
-10,00 %
7,00 %
100,00 %
12,00 %
2,00 %
8,00 %
12,00 %
12,00 %
100,00 %
Модель ценообразования на капитальные активы
(CAPM)
Основы CAPM
Модель ценообразования на капитальные активы (capital asset pricing
model) впервые предложил Уильям Шарп [12].
В разделе «Эффективная диверсификация портфеля инвестиций» показано, что каждый эффективный портфель ценных бумаг может быть
создан посредством объединения в нем двух конкретных типов активов:
безрисковых активов и оптимальным образом скомбинированных рискованных активов. Последний тип портфеля называют тангенциальным,
имея в виду, что параметры риска и доходности рискованных активов,
которые в него входят, соответствуют точке касания прямой, проведенной
из точки на оси ординат (ожидаемая доходность), относящейся к безрисковому активу F, к границе эффективности (см. рис. 19).
Теоретическое обоснование CAPM опирается на два предположения.
Предположение 1. Инвесторы имеют одинаковые представления в отношении прогнозов по ожидаемым ставкам доходности, показателям
стандартных отклонений доходности (то есть риску) и корреляции между
рискованными ценными бумагами. Следовательно, они вкладывают свои
109
средства в рискованные активы таким образом, что в итоге сосредоточивают их в своих портфелях в одних и тех же пропорциях.
Предположение 2. Инвесторам присуще оптимальное поведение. Поэтому на находящемся в равновесии рынке курс ценных бумаг устанавливается таким образом, что если инвесторы владеют оптимальными портфелями ценных бумаг, то совокупный спрос на ту или иную ценную бумагу равняется ее совокупному предложению.
Исходя из этих двух посылок и учитывая, что относительное количество рискованных активов у каждого инвестора оказывается одинаковым,
мы приходим к выводу, что фондовый рынок может находиться в состоянии равновесия только в том случае, если эти оптимальные пропорции
владения ценными бумагами соответствуют пропорциям, в которых активы представлены на рынке.
Портфель, состоящий из всех имеющихся ценных бумаг, пропорции
инвестирования в которые соответствуют их доли в общей капитализации
рынка, называется рыночным портфелем (market portfolio).
Состав рыночного портфеля отражает предложение существующих
финансовых активов, оцененных по текущим рыночным ценам.
Примеры типовых вычислений
146. Предположим, что на фондовом рынке существует только три
вида ценных бумаг: акции ОАО НК «ЛУКОЙЛ» (LKOH), акции ОАО
«Волжское нефтеналивное пароходство «Волготанкер» (VLGTG) и безрисковые ценные бумаги, в качестве которых примем еврооблигации РФ
со сроком погашения через 1 год. Общая рыночная стоимость каждого из
финансовых активов составляет (по текущим ценам): $66 млрд. для акций
LKOH, $22 млрд. для акций VLGTG и $12 млрд. для безрисковых ценных
бумаг. Три инвестора собираются инвестировать по $100 000,00 в рассматриваемые ценные бумаги. У первого инвестора восприятие риска равняется среднему значению для всех инвесторов на рынке. Второй инвестор
проявляет большее по сравнению со средним неприятие риска и предпочитает в связи с этим вложить в 2 раза больше, чем первый инвестор, в безрисковые ценные бумаги. Третий инвестор ничего не вкладывает в безрисковые ценные бумаги. Определить оптимальное соотношение ценных бумаг в портфеле каждого инвестора в соответствии с CAPM.
Решение
Как следует из CAPM, в условиях рыночного равновесия рискованные
активы в портфеле каждого из инвесторов будут находиться в той же
пропорции, которая имеет место для всего рыночного портфеля. В зависимости от своей меры неприятия риска инвесторы обладают различными
наборами безрисковых и рискованных активов, однако процентное соот110
ношение рискованных ценных бумаг в портфелях инвесторов оказывается
для всех одинаковым. Таким образом, в приведенном примере все инвесторы будут держать в своих портфелях акции LKOH и VLGTG в соотношении 3 к 1 (то есть 66/22). Другими словами, рискованная часть портфеля ценных бумаг каждого инвестора будет состоять из 75 % акций
LKOH и 25 % акций VLGTG.
Портфель каждого инвестора будет состоять из следующих вложений:
1) $66 000,00 в акции LKOH, $22 000,00 в акции VLGTG и $12 000,00
в еврооблигации РФ;
2) $57 000,00 в акции LKOH, $19 000,00 в акции VLGTG и $24 000,00
в еврооблигации РФ;
3) $75 000,00 в акции LKOH и $25 000,00 в акции VLGTG.
Таким образом, все инвесторы будут владеть акциями LKOH на сумму, в три раза превышающую сумму их вложений в акции VLGTG.
Этот основной тезис CAPM может быть изображен в виде графика соотношения доходность/риск, с которым сталкивается каждый из инвесторов, определяя направления своих инвестиций (рис. 23).
Рис. 23. Линия рынка капитала (capital market line, CML)
111
Поскольку тангенциальный портфель (оптимальная комбинация рискованных активов) соответствует такому же, как и для рыночного портфеля, относительному содержанию рискованных активов, то рыночный
портфель расположен на любой из точек прямой FM. В CAPM прямая
доходность/риск называется линией рынка капиталов (capital market line,
CML). Точка М (см. рис. 23) показывает соотношение доходность/риск
для рыночного портфеля, точка F соответствует безрисковым активам, а
CML представляет собой прямую линию, соединяющую эти две точки.
Уравнение линии рынка капитала (CML) описывается следующей
формулой:
E (rM ) − rF
E (r ) = rF +
σ,
(73)
σM
где E(r) – ожидаемая доходность эффективного портфеля; σM – стандартное отклонение (риск) рыночного портфеля; E(rM) – ожидаемая доходность рыночного портфеля; rF – доходность безрисковых ценных бумаг;
σ – стандартное отклонение (риск) эффективного портфеля.
Таким образом, коэффициент наклона (тангенс угла наклона) CML равен частному от деления премии за риск рыночного портфеля на величину
его риска:
tgϕ =
E (rM ) − rF
σM
.
(74)
Задачи для самостоятельного решения
147. Для задачи 146 рассчитать показатели доходности и риска инвестиционных портфелей, если ставка доходности безрискового актива равна 0,06. Среднее значение доходности акций LKOH составляет 0,08, а
стандартное отклонение 0,15. Соответственно по акциям VLGTG ожидаемая доходность составляет 0,14, а стандартное отклонение 0,2. Построить
график CML, на котором указать точки, соответствующие каждому из
портфелей. Определить величину премии за риск по каждому портфелю.
148. Построить график CML, если среднерыночная доходность составляет 15 %, а стандартное отклонение рыночного портфеля 0,17. Ставка доходности безрисковых ценных бумаг составляет 8 %.
149. Предположим, что на фондовом рынке существует только три
вида ценных бумаг: акции ОАО НК «ЮКОС» (YUKO), акции ОАО «Находкинский нефтеналивной морской торговый порт» (NOSP) и безрисковые ценные бумаги. Общая рыночная стоимость каждого из финансовых
активов составляет (по текущим ценам): $36 млрд. для акций YUKO,
112
$9 млрд. для акций NOSP и $15 млрд. для безрисковых ценных бумаг. Три
инвестора собираются инвестировать по $150 000,00 в рассматриваемые
ценные бумаги. У первого инвестора восприятие риска равняется среднему значению для всех инвесторов на рынке. Второй инвестор проявляет
большее по сравнению со средним неприятие риска и предпочитает в связи с этим вложить в 1,5 раза больше, чем первый инвестор, в безрисковые
ценные бумаги. Третий инвестор ничего не вкладывает в безрисковые
ценные бумаги. Определить оптимальное соотношение ценных бумаг в
портфеле каждого инвестора в соответствии с CAPM.
Ответ:
1) $90 000,00 – в акции YUKO, $22 500,00 – в акции NOSP и
$37 500,00 – в безрисковые ценные бумаги;
2) $75 000,00 – в акции YUKO, $18 750,00 – в акции NOSP и
$56 250,00 – в безрисковые ценные бумаги;
3) $120 000,00 – в акции YUKO и $30 000,00 – в акции NOSP.
150. Для задачи 149 построить график CML, если среднерыночная доходность составляет 12 %, а стандартное отклонение рыночного портфеля
0,18. Ставка доходности безрисковых ценных бумаг составляет 5 %. На
линии рынка капитала отметить точки, соответствующие каждому из
портфелей. Определить величину премии за риск по каждому портфелю.
Коэффициент β и премии за риск отдельных ценных бумаг
Примеры типовых вычислений
151. Исследовать зависимость доходности отдельной ценной бумаги,
например, акции ОАО «Волга-Флот», от доходности рыночного портфеля.
Безрисковая ставка доходности на рынке составляет 6 %, ожидаемая доходность акции 18 %, ожидаемая доходность рынка 16 %.
Решение
Рассмотрим некоторую ценную бумагу J, входящую в допустимое
множество. Сформируем портфель, состоящий из рыночного портфеля M
и ценной бумаги J.
Пусть XJ – доля J-й ценной бумаги, (1 – XJ) – доля портфеля M. Ожидаемая доходность портфеля в этом случае будет определяться следующим образом:
E (r ) = X J E (rJ ) + (1 − X J ) E (rM ) .
113
(75)
Стандартное отклонение такого портфеля
σ = X J2σ J2 + (1 − X J ) 2 σ M2 + 2 X J (1 − X J )σ JM .
(76)
Все возможные комбинации портфеля будут лежать на кривой MJ
(рис. 24):
Рис. 24. Зависимость доходности отдельной ценной бумаги
от доходности рыночного портфеля
Для нахождения угла наклона касательной к кривой MJ в точке J определим производные ожидаемой доходности портфеля (75) и стандартного отклонения (76):
dE (r )
dσ
= E (rJ ) − E (rM ) ,
=
dX J
dX J
X J σ J2 − σ M2 + X J σ M2 + σ JM − 2 X J σ JM
X J2σ J2 + (1 − X J ) 2 σ M2 + 2 X J (1 − X J )σ JM
.
Коэффициент угла наклона касательной к кривой MJ может быть определен следующим образом:
114
2 2
2 2
dE(r) dE(r) dX J (E(rJ ) − E(rM )) X J σ J + (1− X J ) σ M + 2 X J (1− X J )σ JM
=
=
.
dσ
dσ dX J
X J σ J2 − σ M2 + X J σ M2 + σ JM − 2 X J σ JM
В точке M доля бумаги J равна нулю. Поэтому коэффициент угла наклона будет равен
dE (r ) (E (rJ ) − E (rM ) )σ M
=
.
dσ
σ JM − σ M2
(77)
В точке M наклон CML (74) совпадает с наклоном Mj. Следовательно,
можно записать:
E (rM ) − rF (E (rJ ) − E (rM ) )σ M
tgϕ =
=
,
σM
σ JM − σ M2
откуда
σ (E (rM ) − rF )
E (rJ ) = rF + JM
.
(78)
2
σM
Если обозначить отношение ковариации J-й ценной бумаги и рыночного портфеля к дисперсии рыночного портфеля через βJ , то выражение
(77) примет вид:
E ( rJ ) − rF = β J (E ( rM ) − rF ) ,
где
βJ ≡
σ JM
.
σ M2
(79)
(80)
Выражение (79) показывает так называемую линию рынка ценных бумаг (security market line, SML) (рис. 25).
Наклон линии рынка ценных бумаг соответствует премии за риск рыночного портфеля. В приведенном примере рыночная премия за риск составляет 0,1, или 10 % годовых, и соотношение (79) для SML может быть
выражено так:
E ( rJ ) − rF = 0,1 β J .
С формальной точки зрения коэффициент β показывает предельный
вклад доходности данной ценной бумаги в дисперсию доходности рыночного портфеля.
С помощью β-коэффициента измеряется риск ценной бумаги, связанный со среднерыночным риском; β-коэффициент характеризует изменчивость доходности отдельной ценной бумаги в зависимости от колебаний
среднерыночной доходности.
115
Рис. 25. Линия рынка ценных бумаг (SML)
152. Специалисты консалтинговой компании, специализирующиеся на
анализе сектора финансового рынка, представленного ценными бумагами
российских транспортных компаний, предсказывают, что курс акций ОАО
«Находкинский нефтеналивной морской торговый порт» составит через
год 1 000,00 р. за акцию. Определить, сколько необходимо заплатить за
эту акцию сегодня, если безрисковая процентная ставка по российским
государственным ценным бумагам составляет 10 %, ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 18 %, а β-коэффициент составляет: a) 3;
b) 0,5.
Решение
Для определения доходности по акциям воспользуемся выражением
(79). Затем продисконтируем будущую стоимость акции (1 000,00 р.) по
полученным значениям доходности:
a) ожидаемая доходность акции с β = 3
E (rJ ) = rF + β (E (rM ) − rF ) = 0,1 + 3 (0,18 − 0,1) = 0,34 ,
116
PV =
1 000,00
= 746,27 – современная стоимость акции;
1 + 0,34
b) ожидаемая доходность акции с β = 0,5
E (rJ ) = 0,1 + 0,5 (0,18 − 0,1) = 0,14 ,
1 000,00
PV =
= 877,19 – современная стоимость акции.
1 + 0,14
153. Динамика значений доходности акций ОАО «Приморское морское пароходство» (PRIM) и ОАО «Акционерная компания по транспорту
нефти «Транснефть» (TRNFP), а также динамика среднерыночной доходности представлены в табл. 43.
Таблица 43
Номер периода
E(rPRIM), %
E(rTRNFP) , %
E(rM) , %
1
5
10
10
2
8
24
12
3
10
50
12
4
12
30
14
5
9
5
14
6
8
2
8
7
14
20
10
8
6
-5
8
Сумма
72
136
88
Рассчитать β-коэффициенты данных ценных бумаг.
Решение
Величина β определяется как параметр уравнения парной линейной
регрессии, связывающего доходность J-й ценной бумаги E(rJ) и среднерыночную доходность E(rM):
E ( rJ ) = α J + β J E ( rM ) + u J ,
(81)
где α, β – параметры регрессионной модели, определяемые статистическими методами; uJ – возмущение (отклонение) от линии регрессии [13].
Для нахождения β используется выражение (80), где ковариация J-й
ценной бумаги и рыночного портфеля определяется в соответствии с (54),
а дисперсия рыночного портфеля в соответствии с (51).
117
Свободный член α в уравнении регрессии (81) определяется следующим образом:
α J = E (rJ ) − β J E (rM ) .
(82)
Для упрощения расчетов может быть использована формула, при помощи которой определяется коэффициент наклона линии линейной регрессии:
n
βJ =
n
n
n∑ E (rJ ) E (rM ) − ∑ E (rJ )∑ E (rM )
1
1
1
.
(83)
2
⎛
⎞
n∑ E (rM ) − ⎜ ∑ E (rM ) ⎟
1
⎝ 1
⎠
Графическое изображение теоретической линии регрессии (рис. 26)
называется характеристической линией.
n
2
n
Рис. 26. Характеристическая линия регрессии
Рассчитаем β-коэффициенты данных в задаче ценных бумаг при помощи статистической функции MS Excel «НАКЛОН» так, как это показано на рис. 27.
Функция «НАКЛОН» возвращает наклон линии линейной регрессии
для точек, данных в аргументах «известные_значения_y» и «известные_значения_x». Наклон определяется как частное от деления расстояния
по вертикали на расстояние по горизонтали между двумя любыми точками
прямой, то есть наклон – это скорость изменения значений вдоль прямой.
118
Рис. 27. Функция «НАКЛОН» MS Excel для определения β-коэффициентов
Формат функции:
НАКЛОН(известные_значения_y;известные_значения_x)
Известные_значения_y – массив или интервал ячеек, содержащих числовые зависимые точки данных.
Известные_значения_x – множество независимых точек данных.
Для определения β-коэффициента акций PRIM введите в ячейку B12:
= НАКЛОН(B2:B9;D2:D9).
Для определения β-коэффициента акций PRIM введите в ячейку B13:
= НАКЛОН(C2:C9;D2:D9).
Ответ: βPRIM = 0,5; βTRNFP = 3,95.
Задачи для самостоятельного решения
154. Определить ожидаемую доходность акций ОАО «Морской порт
Санкт-Петербург», если ожидаемая рыночная доходность – 15 %, безрисковая процентная ставка по российским государственным ценным бумагам – 8 %, а β-коэффициент для акций рассматриваемой компании составляет: a) 1,5; b) 1, с) 0,5.
Ответ: a) 18,5 %; b) 15 %; c) 11,5 %.
119
155. Определить ожидаемую доходность акций ОАО «Дальневосточное морское пароходство» (FESCO), если ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 14 %, безрисковая процентная ставка по российским
государственным ценным бумагам – 5 %, а β-коэффициент для акций рассматриваемой компании составляет: a) 2,1; b) 1, с) 0,9.
Ответ: a) 23,9 %; b) 14 %; c) 13,1 %.
156. Предполагается, что курс акций ОАО «Волжское нефтеналивное
пароходство «Волготанкер» составит через год 90,00 р. за акцию. Определить, сколько необходимо заплатить за эту акцию сегодня, если безрисковая процентная ставка по российским государственным ценным бумагам
составляет 9 % годовых, ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 17 % годовых, а β-коэффициент составляет 1,2.
Ответ: 75,89 р.
157. Предполагается, что курс акций ОАО «Северо-Каспийское морское пароходство» составит через год 150,00 р. за акцию. Определить,
сколько необходимо заплатить за эту акцию сегодня, если безрисковая
процентная ставка по российским государственным ценным бумагам равна 7 % годовых, ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 17 %,
а β-коэффициент составляет: a) 1,2; b) 0,8.
Ответ: a) 126,05 р.; b) 130,43 р.
158. В следующем году по акциям FESCO предполагается выплата
дивидендов в размере 15,00 р. на акцию. Безрисковая процентная ставка
составляет 5 % в год, ожидаемая доходность рыночного портфеля равна
15 %, а β-коэффициент данной акции равен 1. Определить современную
стоимость акции.
159. Оценить стоимость акции компании ОАО «Волжское нефтеналивное пароходство «Волготанкер», у которой показатель EPS составляет
12,00 р. Компания выплачивает всю свою прибыль в качестве дивидендов.
Безрисковая процентная ставка равна 7,5 % в год, ожидаемая доходность
рыночного портфеля – 18 %, а β-коэффициент данной акции равен 1,7.
Ответ: 47,34 р.
160. Динамика значений доходности акций ОАО «Волжское нефтеналивное пароходство «Волготанкер» и ОАО «Акционерная компания по
транспорту нефти «Транснефть» (TRNFP), а также динамика среднерыночной доходности представлены в табл. 44.
120
Таблица 44
Номер периода
E(rVLGTG), %
E(rTRNFP), %
E(rM), %
1
2
3
4
5
6
7
8
10,00
–12,00
15,00
50,00
24,00
15,00
18,00
22,00
15,00
14,00
8,00
10,00
11,00
9,00
13,00
9,00
8,00
12,00
10,00
13,00
10,00
12,00
14,00
8,00
Рассчитать β-коэффициенты данных ценных бумаг.
Ответ: βVLGTG = 1,14; βTRNFP = 0,06.
161. Динамика значений доходности акций ОАО «Морской порт
Санкт-Петербург», а также динамика среднерыночной доходности представлены в табл. 45.
Таблица 45
Номер периода
E(r), %
E(rM), %
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
–2,00
14,00
8,00
10,00
11,00
9,00
13,00
9,00
10,00
15,00
–5,00
20,00
14,00
15,00
14,00
8,00
12,00
10,00
13,00
10,00
12,00
14,00
12,00
13,00
17,00
10,00
14,00
10,00
13,00
15,00
Рассчитать β-коэффициент ценной бумаги.
Ответ: β = 1,82.
121
Библиографический список
1. Markovits, H. Portfolio selection//Journal of Finance. – 1952. – № 7. –
p. 77–91.
2. Tobin, J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // Review of
Economic Studies. – 1958. – № 25. – February. – p. 65–86.
3. Едронова, В.Н. Учет и анализ финансовых активов / В.Н. Едронова,
Е.А. Мизиковский. – М.: Финансы и статистика, 1995. – 272 с.
4. Боди, Зви. Финансы / Зви Боди, Роберт Мертон; пер. с англ. – М.:
ИД «Вильямс», 2003. – с. 78–94, 373–442.
5. Бухвалов, А.В. Финансовые вычисления для профессионалов: учеб.
пособие / А.В. Бухвалов, В.В. Бухвалова, А.В. Идельсон ; под ред. А.В. Бухвалова. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 316 с.
6. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – 13-е изд., испр. – М.:
Наука, 1986. – с. 12.
7. Берзон, Н.И. Фондовый рынок: учеб. пособие для ВУЗов / Н.И. Берзон, А.Ю. Аршавский, Е.А. Буянова; Гос. унив. – Высшая школа экономики, Высшая школа менеджмента; под. ред. Н.И. Берзона. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Вита-пресс, 2002. – с. 87–113.
8. Шарп, У. Инвестиции / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бэйли; пер. с
англ. – М.: Инфра-М, 2004. – с. 548–569.
9. Шапкин, А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка управление, портфель инвестиций. / А.С. Шапкин. – 2-е изд. – М.: Изд.-торг.
корпор. «Дашков и К», 2003. – с. 286–292.
10. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / под ред. А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Альпина Бизнес
Бук, 2005. – с. 25–44, 814–819.
11. Merton, Robert C. An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio
Frontier / Robert C. Merton // Journal of Financial and Quantitative Analysis.
– 1972. – September. – p. 1851–1872.
12. Sharpe, W. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium
/ W. Sharpe // Journal of Finance. – 1964. – № 19. – September. – p. 425–442.
13. Аньшин, В.М. Инвестиционный анализ: учебно-практ. пособие
/ В.М. Аньшин. – 3-е изд., испр. – М.: Дело, 2004. – с. 70–86.
122
Оглавление
Введение ………………………………………………………………....
3
Понятие процента и процентного дохода ……………………..………
Наращение и дисконтирование по простым процентам ……..…..
Инфляция и реальные процентные ставки …………………..……
5
5
10
Стоимость денег во времени и дисконтный анализ денежных
потоков ………………………………………………………………..…
Будущая и приведенная стоимость денег ……………………..…..
Денежные потоки и оценка аннуитетов ………………………..….
Амортизация кредитов ………………………………………….….
Критерии принятия инвестиционных решений ……………….….
13
13
18
27
33
Стоимостные модели активов ………………………………………....
Оценка активов с фиксированными доходами – облигации ……..
Оценка акций – модель дисконтирования дивидендов
и инвестиционные возможности …………………………………..
Управление риском и портфельная теория …………..……………….
Вероятностная оценка финансового риска ……………..…………
Диверсификация инвестиций – активы с некоррелируемыми
рисками ……………………………………………….……………..
Корреляция доходности активов ……………………….………….
Объединение безрискового актива с единственным рискованным
активом ……………………………………………………..………..
Эффективная диверсификация портфеля инвестиций ……..……..
Оптимальный портфель из многих рискованных активов ……
Оптимальная комбинация безрискового актива и портфеля
рискованных активов ………………………………...………….
46
46
54
60
60
68
73
78
81
81
95
Модель ценообразования на капитальные активы (CAPM) ………..... 108
Основы CAPM ……………………………………………….……... 108
Коэффициент β и премии за риск отдельных ценных бумаг ……. 112
Библиографический список ………………………………………..…... 121
123
Олюнин Владимир Ильич, Салмин Павел Сергеевич
Сборник задач по финансовым вычислениям
в транспортной отрасли
Учебное пособие
Корректор Н.С. Алёшина
Компьютерная верстка Т.В. Сидорова
124
Формат бумаги 60×84 1/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,32. Уч.-изд. л. 7,75.
Заказ 484. Тираж 1150.
Издательско-полиграфический комплекс ФГОУ ВПО «ВГАВТ»
603950, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5а
125