02.50.Cw, 02.50.Ey, 02.50.Fz, 02.50.Ga c 2014 ã. Â.Ä. ÊÎÍÀÊÎÂ, ä-ð ô. -ì. íàóê, ïðîôåññîð ÍÈÓ ÂØÝ À.Ð. Ìàðêîâà, àñïèðàíò ÍÈÓ ÂØÝ (ÍÈÓ ÂØÝ, Ìîñêâà) ËÎÊÀËÜÍÛÅ ÏÐÅÄÅËÜÍÛÅ ÒÅÎÐÅÌÛ ÄËß ÖÅÏÅÉ ÌÀÐÊÎÂÀ Ñ ËÈÍÅÉÍÎ ÐÀÑÒÓÙÅÉ ÊÎÌÏÎÍÅÍÒÎÉ ÒÐÅÍÄÀ1 Àííîòàöèÿ : Ìû ðàññìàòðèâàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåïåé Ìàðêîâà, ñëàáî ñõîäÿùèõñÿ ê äèôôóçèîííîìó ïðîöåññó. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òðåíä ñîäåðæèò ëèíåéíî ðàñòóùóþ êîìïîíåíòó. Îáû÷íûé ìåòîä ïàðàìåòðèêñà íå ïîäõîäèò èç-çà íåîãðàíè÷åííîñòè òðåíäà. Ïîêàçàíî, êàê ñëåäóåò ìîäèôèöèðîâàòü ìåòîä ïàðàìåòðèêñà, ÷òîáû ïîëó÷èòü ëîêàëüíûå ïðåäåëüíûå òåîðåìû â ýòîì ñëó÷àå. Êëþ÷åâûå ñëîâà : ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, äèôôóçèîííûé ïðîöåññ, öåïü Ìàðêîâà, ìåòîä ïàðàìåòðèêñà, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà. LOCAL LIMIT THEOREMS FOR MARKOV CHAINS WITH LINEARLY INCREASING TREND COMPONENT Abstract : We consider a sequence of Markov chains weakly convergent to a diusion. We suppose that a drift term contains a linearly increasing component. The usual parametrix method fails because of this unbounded drift term. We show how to modify the parametrix method to obtain local limit theorems for this case. Key words : stochastic dierential equation, diusion process, Markov chain, parametrix method, fundamental matrix. 1. Ââåäåíèå Öåëü íàñòîÿùåãî ââåäåíèÿ îáúÿñíèòü, îòêóäà âîçíèêëà çàäà÷à, ðàññìàòðèâàåìàÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå. Çàìåòèì, ÷òî ââåäåíèå íå ïðåòåíäóåò íà ïîëíîòó ïðîâåäåííîãî êðàòêîãî îáçîðà. Âàæíîñòü èçó÷åíèÿ äèñêðåòèçàöèé ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÄÓ) ñëåäóåò óæå èç òîãî, ÷òî âñå èçâåñòíûå ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ÑÄÓ îñíîâàíû íà òîé èëè èíîé äèñêðåòèçàöèè. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ðåøåíèÿ ÑÄÓ â çàìêíóòîé ôîðìå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ëèøü äëÿ íåáîëüøîãî 1 Ñòàòüÿ ïîäãîòîâëåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Íàó÷íîãî Ôîíäà ÍÈÓ ÂØÝ 1 ÷èñëà ïîäêëàññîâ ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïîýòîìó ðàçëè÷íûå ìåòîäû äèñêðåòèçàöèè (ñõåìà Ýéëåðà - Ìàðóÿìû, ñõåìà Ìèëüøòåéíà, ñõåìû, îñíîâàííûå íà ñòîõàñòè÷åñêîì ðàçëîæåíèè Òåéëîðà âûñøèõ ïîðÿäêîâ) ïðèâëåêàþò âíèìàíèå áîëüøîãî ÷èñëà èññëåäîâàòåëåé. Ïðè ýòîì âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: âîñïðîèçâîäÿò ëè ñõåìû äèñêðåòèçàöèè àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà èñõîäíîãî ïðîöåññà (òàêèå, êàê ñêîðîñòü ïåðåìåøèâàíèÿ, ïðèíöèï áîëüøèõ óêëîíåíèé è äð.). Äðóãîé âàæíûé âîïðîñ: íàñêîëüêî ïîñòðîåííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ¾áëèçêà¿ â òîì èëè èíîì ñìûñëå ê ðåøåíèþ èñõîäíîãî ÑÄÓ. Íàøå èññëåäîâàíèå îòíîñèòñÿ ê ýòîìó âòîðîìó âîïðîñó. Èñòîðè÷åñêè ïåðâîé ðàññìàòðèâàåìîé ñõåìîé áûëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåïåé Ìàðêîâà, çàäàííàÿ íà ðåøåòêå ñ øàãîì, ñòðåìÿùèìñÿ ê íóëþ, è èçó÷àëàñü ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ìåð (ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé) ê ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòè íåêîòîðîãî ïðåäåëüíîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà. Ïåðâûå îáùèå ðåçóëüòàòû î ñëàáîé ñõîäèìîñòè â òàêîé ñõåìå áûëè ïîëó÷åíû À.Â. Ñêîðîõîäîì â 1961 ãîäó [1]. Ðåçóëüòàòû À.Â. Ñêîðîõîäà îòíîñèëèñü ê âåñüìà îáùåìó êëàññó öåïåé Ìàðêîâà è ïðîöåññîâ, êîòîðûå ìîãëè èìåòü ñêà÷êè. Äëÿ íåïðåðûâíîé äèôôóçèè íàèáîëåå îáùèå ðåçóëüòàòû î ñëàáîé ñõîäèìîñòè áûëè ïîëó÷åíû â ìîíîãðàôèè Ä. Ñòðóêà è Ñ. Âàðàäàíà [2]. Èìè áûë ðàçâèò ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ðåøåíèè òàê íàçûâàåìîé ¾ïðîáëåìû ìàðòèíãàëîâ¿. Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî ýòè ïåðâûå ðåçóëüòàòû îòíîñèëèñü ê ñëàáîé ñõîäèìîñòè ìåð. Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè âåðîÿòíîñòíûõ ìåð ýòî òåîðèÿ, íàñ÷èòûâàþùàÿ óæå ìíîãî äåñÿòèëåòèé è ñâÿçàííàÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü ñ èìåíàìè À.Í. Êîëìîãîðîâà, Äæ. Äóáà, Ì. Äîíñêåðà, Þ.Â, Ïðîõîðîâà, À.Â. Ñêîðîõîäà, Ë. Ëå Êàìà è Ñ. Âàðàäàíà. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè öåïåé Ìàðêîâà è ïðåäåëüíîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà àáñîëþòíî íåïðåðûâíû îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà. Òîãäà åñòåñòâåííî çàäàòüñÿ âîïðîñîì: êîãäà èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ýòèõ ïåðåõîäíûõ ïëîòíîñòåé, òî åñòü êîãäà ñïðàâåäëèâà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà? Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ Â. Êîíàêîâûì è Ñ. Ìîë÷àíîâûì [3] áûë ïðåäëîæåí äèñêðåòíûé âàðèàíò ìåòîäà ïàðàìåòðèêñà, êîòîðûé áûë çàòåì óòî÷íåí è îáîáùåí â öèêëå ðàáîò Â. Êîíàêîâà è Ý. Ìàììåíà [4, 5, 6, 7] Ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìåòîä ïàðàìåòðèêñà èçâåñòåí äàâíî. Îí áûë ïðåäëîæåí Å.Ëåâè åùå â 1907 ãîäó [8, 9] è çàòåì ðàçâèâàëñÿ â ðàáîòàõ À. Ôðèäìàíà [10], À. Èëüèíà, À. Êàëàøíèêîâà è Î. Îëåéíèê [11] è ìíîãèõ äðóãèõ. Îäíàêî äëÿ íàøèõ öåëåé ýòîò âàðèàíò ìåòîäà ïàðàìåòðèêñà íå ãîäèëñÿ.  1967 ãîäó À. Ìàê Êèí è È. Çèíãåð [12] ïðåäëîæèëè ìîäèôèêàöèþ ìåòîäà ïàðàìåòðèêñà, êîòîðàÿ, êàê îêàçàëîñü, äîïóñêàåò äèñêðåòíóþ âåðñèþ è ïîçâîëÿåò ðàçâèòü íîâûé ìåòîä ïîëó÷åíèÿ ëîêàëüíûõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì äëÿ ïåðåõîäíûõ ïëîòíîñòåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìàðêîâñêèõ öåïåé, ñëàáî ñõîäÿùèõñÿ ê ïðåäåëüíîìó äèôôóçèîííîìó ïðîöåññó. Îäíèì èç ñóùåñòâåííûõ òðåáîâàíèé ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ áûëî òðåáîâàíèå îãðàíè÷åííîñòè êîýôôèöèåíòîâ ñíîñà è äèôôóçèè. Îãðàíè÷åííîñòü íóæíà áûëà äëÿ ñõîäèìîñòè ïîñòðîåííûõ ðÿäîâ â ìåòîäå ïàðàìåòðèêñà. Ýòî òðåáîâàíèå ñóæàëî îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, íå ïîçâîëÿëî ðàññìàòðèâàòü ðÿä âàæíûõ êîíêðåòíûõ ìîäåëåé. Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ïðîöåäóðû, ïîçâîëÿþùåé èñêëþ÷àòü ëèíåéíî ðàñòóùóþ êîìïîíåíòó òðåíäà, è ñâîäèòü çàäà÷ó ê óæå èçó÷åííîé çàäà÷å ñ îãðàíè÷åííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñíîñà è äèôôóçèè. Ýòà ïðîöåäóðà ïðèìåíÿåòñÿ êàê ê äèôôóçèè, òàê è ê öåïÿì Ìàðêîâà. Äëÿ ÑÄÓ ïîäîáíàÿ ïðîöåäóðà èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà ïðèìåíÿëàñü ðàíåå â ðàáîòå Ô. Äåëàðþ è Ñ. Ìåíîççè [13] ïðè ïîëó÷åíèè äâóñòîðîííèõ îöåíîê ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè äëÿ íåêîòîðûõ âûðîæäåííûõ ÑÄÓ òèïà À.Í. Êîëìîãîðîâà, Äëÿ öåïåé Ìàðêîâà òàêàÿ ïðîöåäóðà, 2 íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, ÿâëÿåòñÿ íîâîé. Ñóòü ïðîöåäóðû ïðîñòà: ñëåäóåò êîìïåíñèðîâàòü ðîñò òðåíäà âîçâðàòîì ïî òðàåêòîðèÿì ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ îòáðàñûâàíèåì ¾áðîóíîâñêîé¿ êîìïîíåíòû ÑÄÓ. Äëÿ òàêîãî êîìïåíñèðîâàííîãî ïðîöåññà ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Èòî âûïèñûâàåòñÿ åãî ñòîõàñòè÷åñêèé äèôôåðåíöèàë è ÑÄÓ, êîòîðîìó îí óäîâëåòâîðÿåò. Ýòî ÑÄÓ èìååò óæå îãðàíè÷åííûé êîýôôèöèåíò ñíîñà. Äëÿ öåïåé Ìàðêîâà ïðîäåëûâàåòñÿ àíàëîãè÷íàÿ ïðîöåäóðà, ãäå âìåñòî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå, è âîçâðàò ïðîèñõîäèò íå ïî òðàåêòîðèÿì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, à ïî åãî ëîìàíûì Ýéëåðà. Çàòåì, ïðèìåíèâ èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû äëÿ îãðàíè÷åííîãî ñëó÷àÿ, ìîæíî ïðîñòûì ïðåîáðàçîâàíèåì âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîé çàäà÷å è ïîëó÷èòü ëîêàëüíûå ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ èñõîäíîé ìîäåëè.  äàëüíåéøåì àâòîðû ïðåäïîëàãàþò ðàññìîòðåòü òàêæå áîëåå îáùèé ñëó÷àé ðàñòóùåãî òðåíäà ñ îãðàíè÷åííûì ãðàäèåíòîì è ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîãî êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè. 2. Íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è òåîðèè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå âåêòîðíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå: 0 x = A(t)x, x ∈ Rd , A(t) : Rd 7→ Rd , t ∈ [0, 1], (1) ãäå A(t) íåïðåðûâíàÿ ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî X âñåõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1), îïðåäåëåííûõ íà èíòåðâà- [0, 1]. Ìíîæåñòâî phi : [0, 1] 7→ Rd . ëå X ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, ñîñòîÿùèì èç ôóíêöèé Íàðÿäó ñ âåêòîðíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (1) áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìàòðè÷íîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå: 0 X = A(t)X/ (2) Φ(t) Ìû ñêàæåì, ÷òî ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ [0, 1], åñëè Φ(t) A(t)Φ(t), t ∈ [0, 1]. èíòåðâàëå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2) íà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïðè t ∈ [0, 1] è 0 Φ (t) = Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé (1) è (2). Òåîðåìà 1 Ïóñòü A(t) íåïðåðûâíàÿ n × n ìàòðè÷[0, T ] è ïóñòü Φ(t) - n×n ìàòðè÷íîçíà÷íàÿ ôóíêφ1 (t), φ2 (t), . . . , φn (t): [14, Theorem 2.20, p. 33]. íîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íà èíòåðâàëå öèÿ ñî ñòîëáöàìè Φ(t) = [φ1 (t), φ2 (t), . . . , φn (t)], t ∈ [0, T ]. Òîãäà Φ - ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2) íà [0, T ] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé ñòîëáåö ôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) íà φi ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âåêòîðíîãî äèô[0, T ], i = 1, 2, ..., n. Áîëåå òîãî, åñëè Φ ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (2), òî x(t) = Φ(t)c ðåøåíèå âåêòîðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) äëÿ ëþáîãî êîíñòàíò c. 3 n×1 âåêòîðà Ââåäåì ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ. Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1) íàçûâà- åòñÿ áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà Î ï ð å ä å ë å í è å 2. X. Ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòîðîé îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1). Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ïîðÿäêà k: x(s + k) + a1 (s)x(s + k − 1) + ... + ak (s)x(s) = 0. (3) Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (3) òàêæå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ - ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòîðîé îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3), òî åñòü áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà âñåõ ðåøåíèé ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî â êà÷åñòâå ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû äèôôåðåíöèàëüíîãî èëè ðàç- t = 0 óäîáíî âçÿòü åäèíè÷íóþ ìàòðèöó ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè.  ýòîì ñëó÷àå x(t) = Φ(t)c ðåøåíèå âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ (1), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì x(0) = Φ(0)c = c. íîñòíîãî óðàâíåíèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè 3. Ïðîöåäóðà èñêëþ÷åíèÿ ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà äëÿ äèôôóçèè è öåïè Ìàðêîâà Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ äèôôóçèîííóþ ìîäåëü: dY = b(t)Y + m(t, Y )dt + σ(t, Y )dB(t), Y (0) = x ∈ Rd , t ∈ [0, 1], (4) ãäå B(t) ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. Èíòåðâàë [0, 1] âçÿò äëÿ óäîáñòâà è ìîæåò áûòü çàìåíåí ëþáûì êîíå÷íûì èíòåðâàëîì. Ðàññìîòðèì òàêæå öåïü Ìàðêîâà ñ òàêèìè æå íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, êàê è â äèôôóçèîííîé ìîäåëè (4): Xn k+1 = Xn nk + n1 bn nk Xn n Xn (0) = x ∈ Rd , k = 0, 1, 2, ..., n. (5) Îòíîñèòåëüíî èííîâàöèé k n + mn k , Xn n k n + √1 εn n k+1 n , εn ìû äåëàåì ñòàíäàðòíîå ìàðêîâñêîå ïðåäïîëîæåíèå, à i εn k+1 , ïðè ôèêñèðîâàííîì ¾ïðîøëîì¿ Xn = n n çàâèñèò ëèøü îò çíà÷åíèÿ ïðîöåññà x(k) â ïîñëåäíèé ìîìåíò èìåííî, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x(i), i = 0, 1, 2, ..k âðåìåíè k è èìååò óñëîâíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ n qn, k ,x(k) (·), n ÿâëÿþùóþñÿ ýëå- ìåíòîì ñåìåéñòâà ïëîòíîñòåé qn,t,x (·), çàâèñÿùåãî îò òðîéêè ïàðàìåòðîâ (n, t, x) ∈ N × [0, 1] × Rd . Îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà ïëîòíîñòåé qn,t,x (·) è êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (4) ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: a(t, x) = σ(t, x)σ T (t, x) ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà, T äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ c 6 θ a(t, x)θ 6 C äëÿ âñåõ θ , òàêèõ, ÷òî | θ |= 1, x ∈ Rd , t ∈ [0, 1]. 2. Ìàòðè÷íûå ôóíêöèè bn (t), b(t) íåïðåðûâíû íà [0, 1]. Ôóíêöèè a(t, x) è m(t, x) 1. è èõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè è îãðàíè÷åííûìè ðàâíîìåðíî ïî 4 (t, x), x ∈ Rd , t ∈ [0, 1] è ëèïøèöåâûìè ïî ïåðåìåííîé x ñ êîíñòàíòîé Ëèïøèöà, íå ∂ 2 a(t,x) çàâèñÿùåé îò t. Áîëåå òîãî, âòîðûå ïðîèçâîäíûå , 1 6 i, j 6 d, ñóùåñòâóþò è ∂xi ∂xj óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ãåëüäåðà ïî ïåðåìåííîé x ñ êîíñòàíòîé, íå çàâèñÿùåé îò t. R R M 3. qn,t,x (z)zdz = 0, qn,t,x (z)zz T dz = an (t, x), x ∈ Rd , t ∈ [0, 1]. 0 d 4. Ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíîå öåëîå S è ôóíêöèÿ ψ(x) : R 7→ R, supx∈Rd | ψ(x) | R 0 < ∞ òàêàÿ, ÷òî | x |s ψ(x)dx < ∞, ãäå S = 2dS + 4 è äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n, z ∈ Rd âûïîëíåíî: | Dzv qn,t,x (x) |6 ψ(z), | v |= 0, 1, 2, 3, 4, | Dxv qn,t,x (x) |6 ψ(z), | v |= 0, 1, 2, ãäå x ∈ Rd , t ∈ [0, 1]. 5. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 4n 7→ 0: supx∈Rd ,t∈[0,1] | mn (t, x) − m(t, x) |= O (4n ) , supx∈Rd ,t∈[0,1] | an (t, x) − a(t, x) |= O (4n ) , supt∈[0,1] | bn (t, x) − b(t, x) |= O (4n ) . Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè äëÿ ìîäåëè (5) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ïðåäïîëîæåíèé ìîäåëè. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè äëÿ ìîäåëè äèôôóçèè (4) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç òåîðèè Õåðìàíäåðà [15], íî ïðè áîëåå ñèëüíûõ óñëîâèÿõ íà êîýôôèöèåíòû. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè â ýòîé ìîäåëè ìîæíî òàêæå äîêàçàòü ìåòîäîì ïàðàìåòðèêñà ïðè áîëåå ñëàáûõ óñëîâèÿõ íà êîýôôèöèåíòû, ÷åì óñëîâèÿ, òðåáóåìûå â òåîðèè Õåðìàíäåðà. Ìû ðàññìàòðèâàåì ñíà÷àëà äèôôóçèîííóþ ìîäåëü (4). Åñëè êîýôôèöèåíòû ìîäåëè îãðàíè÷åíû, òî ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè ñëåäóåò èç ðàáîòû Èëüèí, Êàëàøíèêîâ è Îëåéíèê [11] èëè èç ñòàòüè Konakov, Mammen [4], â êîòîðîé áûë ïîñòðîåí ïàðàìåòðèêñ äëÿ òàêîãî óðàâíåíèÿ. Íî â ìîäåëè (4) òðåíä íåîãðàíè÷åí è ëèíåéíî âîçðàñòàåò. ×òîáû ïðèìåíèòü ìåòîä ïàðàìåòðèêñà äëÿ ýòîé ìîäåëè, ìû èñïîëüçóåì ñëåäóþùóþ èäåþ: óñòðàíèì òðåíä è ðàññìîòðèì íîâóþ ìîäåëü ñ îãðàíè÷åííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Çàòåì ïðèìåíèì ìåòîä ïàðàìåòðèêñà äëÿ ýòîé íîâîé ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííûìè êîýôôèöèåíòàìè è âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ìîäåëè ñ íåîãðàíè÷åííûì ëèíåéíî âîçðàñòàþùèì òðåíäîì. Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÎÄÓ): 0 y (t) = b(t)y(t), y(0) = x ∈ Rd , t ∈ [0, 1] (6) Ïóñòü Φ(t) - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé ñèñòåìå. Íàïîì- íèì, ÷òî äëÿ ñèñòåìû (6) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü ïðîäëåíû íà âåñü èíòåðâàë [0, 1] è ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòî- ðîé ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ðåøåíèÿìè ýòîé ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùèìè íà÷àëüíûì óñëîâèÿì. Âîçüìåì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû åäèíè÷- Φ(0) = I . Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ 0 Φ (t) = b(t)Φ(t) è ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé íà èíòåðâàëå [0, 1]. Îáðàòíàÿ 0 −1 −1 −1 ìàòðèöà Φ (t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ [Φ (t)] = −Φ (t)b(t) è íà÷àëüíîìó óñëî−1 âèþ Φ (0) = I . Äëÿ óäàëåíèÿ ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà ðàññìîòðèì ïðîöåññ Ỹ (t) = f (t, Y (t)), ãäå f (t, y) = Φ−1 (t)y . Ôóíêöèÿ f (t, y) íåïðåðûâíà íà [0, 1] × Rd è íóþ ìàòðèöó: 5 ∂f ∂f , , òàê ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòîõàñòè∂t ∂yi èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà ïðîöåññà Ỹ (t) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó Èòî. Ïîëó÷èì: dỸ (t) = d [Φ−1 (t)Y (t)] = Φ−1 (t)dY (t) + dΦ−1 (t)Y (t) = 0 = Φ−1 (t) ({b(t)Y (t) + m (t, Y (t))}dt + σ (t, Y (t)) dB(t)) + [Φ−1 (t)] dt Y (t) = = Φ−1 (t)b(t)Y (t)dt + Φ−1 (t)m (t, Y (t)) dt + Φ−1 (t)σ (t, Y (t)) dB(t)− −1 −1 −Φ−1(t)b(t)Y(t) = Φ (t)m (t, Y (t)) dt + Φ (t)σ (t, Y (t)) dB(t) = = m̃ t, Ỹ (t) dt + σ̃ t, Ỹ (t) dB(t), ãäå m̃ t, Ỹ (t) = Φ−1 (t)m t, Φ(t)Ỹ (t) σ̃ t, Ỹ (t) = Φ−1 (t)σ t, Φ(t)Ỹ (t) . Ỹ (t) ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì, óäî äèôôóçèîííûì âëåòâîðÿþùèì ÑÄÓ ñ îãðàíè÷åííûì òðåíäîì m̃ t, Ỹ (t) è ïîëîæèòåëüíî îïðåäå ëåííîé ìàòðèöåé äèôôóçèè σ̃ t, Ỹ (t) : Ìû âèäèì, ÷òî ââåäåííûé ïðîöåññ dỸ (t) = m̃ t, Ỹ (t) dt + σ̃ t, Ỹ (t) dB(t).  ñàìîì äåëå: ã(t, y) = σ̃ t, Ỹ (t) [σ̃ t, Ỹ (t) ]T = Φ−1 (t) σ (t, Φ(t)y) [Φ−1 (t) σ (t, Φ(t)y)]T = = Φ−1 (t)σ (t, Φ(t)y) [σ (t, Φ(t)y)]T [Φ−1 (t)]T = Φ−1 (t) a (t, Φ(t)y) [Φ−1 (t)]T è, ñëåäîâàòåëüíî, θT σ̃(t, y)[σ̃(t, y)]T θ = 0 ⇔ ϑT σ(t, y)[σ(t, y)]T ϑ = 0, ϑ = [Φ−1 (t)]T ϑ. Îñòàåòñÿ ëèøü âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòüþ ìàòðèöû a(t, Φ(t)y) = σ(t, Φ(t)y)[σ(t, Φ(t)y)]T . ρỸ (t) Ñóùåñòâîâàíèå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè ïðîöåññà Ỹ (t) äîêàçàíî ìåòîäîì ïà- ðàìåòðèêñà â ñòàòüå Konakov, Mammen [4], ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîòíîñòè ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü ïðîöåññà Y (t) = Φ(t)Ỹ (t) ðàâíà: ρY (s, t, x, y) = det[Φ−1 (t)]ρỸ (s, t, Φ−1 (s)x, Φ−1 (t)y) (7) Äëÿ ìîäåëè (5) ðàññìîòðèì ïðîöåäóðó èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà, ÿâëÿþùóþñÿ äèñêðåòíûì àíàëîãîì îïèñàííîé âûøå ïðîöåäóðû äëÿ äèôôóçèîííîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå áåç òðåíäà: xn ((k + 1)h) − xn (kh) = bn (kh)Xn (kh), xn (0) = x h íà ðåøåòêå Γ = {0, h, 2h, . . . , nh = 1}, h = 1 . n  ìàòðè÷íîé çàïèñè: xn ((k + 1)h) = (I + h bn (kh)) xn (kh), xn (0) = x. 6 Èòåðèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî, ïîëó÷èì: xn (h) = (I + h bn (0)) x, xn (2h) = (I + h bn (h)) xn (h) = (I + h bn (h)) (I + h bn (0)) x, ... xn (kh) = Φn (kh)x, ãäå Φn (kh) = (I + h bn ((k − 1)h)) Φn ((k − 1)h) Φn (kh) ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà òåîðèè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé [16], äèñêðåòíûé àíàëîã ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû Φ(t), çàäàííàÿ íà ðåøåòêå {0, h, 2h, . . . , nh = 1}, ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì Φn (0) = I . Îïðåäåëèì íîâóþ ìàðêîâñêóþ öåïü: X̃n (kh) = Φ−1 n (kh) Xn (kh), X̃n (0) = x. Ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîòíîñòè ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü öåïè Ìàðêîâà Xn (kh) = Φn (kh) X̃n (kh) ðàâíà: ρXn (ih, jh, x, y) = det[Φ−1 (jh)]ρX̃n (ih, jh, Φ−1 (ih)x, Φ−1 (jh)y) (8) Òàêèì îáðàçîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ ìîäåëüþ (5), ìû èìååì: X̃n ((k + 1)h) = Φ−1 n ((k + 1)h) Xn ((k + 1)h) = −1 −1 = Φn (kh) (I + h bn (kh)) √ {(I + h bn (kh)) Xn (kh)+ +h mn (kh, Xn (kh)) + hεn ((k + 1)h)} = −1 −1 =√ Φ−1 mn (kh, Xn (kh)) + n (kh)Xn (kh) + h Φn (kh) (I + h bn (kh)) −1 (kh) (I + h b (kh)) ε ((k + 1)h) = + h Φ−1 n n n√ = X̃n (kh) + h m̃n kh, X̃n (kh) + h ε̃n ((k + 1)h) , ãäå m̃n kh, X̃n (kh) = ε̃n ((k + 1)h) = Φ−1 n (kh) Φ−1 n (kh) −1 (I + h bn (kh)) −1 (I + h bn (kh)) mn kh, Φn (kh) X̃n (kh) , εn ((k + 1)h) . ε̃n ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ε̃n ((k + 1)h) ïðè ôèêñèðîâàííîì ïðîøëîì: X̃n (ih) = x̃(i), i = 0, 1, 2, ..., k , çàâèñèò ëèøü îò çíà÷åíèÿ ïðîöåññà x̃(k) â ïîñëåäíèé ìîìåíò âðåìåíè kh è èìååò óñëîâíóþ ïëîòíîñòü: Èç îïðåäåëåíèÿ q̃n,kh,x̃(k) (z) = det Φn ((k + 1)h) qn,kh,Φn (kh)x̃(k) (Φn ((k + 1)h) z) (9) Ýòà ïëîòíîñòü âçÿòà èç det ñåìåéñòâà ïëîòíîñòåé Φn (([tn] + 1)h) q̃n,t,Φn (([tn]+1)h)x(k) (Φn (([tn] + 1)h) z), çàâèñÿùåãî îò òðîéêè (n, t, x) ∈ N × [0, 1] × Rd . Ïëîòíîñòè q̃n,kh,x̃(k) (z) â (9) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 3 è 4, ñôîðìóëèðîâàííûì â íà÷àëå ñòàòüè, ñ ïîïðàâêîé íà òî, ÷òî φ(x) èç óñëîâèÿ 4 çàìåíÿåòñÿ íà C φ(x), ãäå C êîíñòàíòà. Ïðîèçâåäÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ ïàðàìåòðîâ 7 v=Φ [tn]+1 n z, ïðè t = kh, èìååì: q̃n,t,x̃ (z)dz = det Φn q z zdz = Φn [tn] n ( n )x̃ n,t,Φ R −1 [tn]+1 −1 [tn]+1 = det Φn [tn]+1 det Φ q vdv = (v)Φ [tn] n n n n n n,t,Φn ( n )x̃ R [tn]+1 = Φ−1 qn,t,Φn ( [tn] )x̃ (v)vdv = 0, n n n R R [tn]+1 q z zi zj dz = q̃n,t,x̃ (z)zi zj dz = det Φn [tn]+1 Φ [tn] n n h n i hn,t,Φn( n )x̃ i R [tn]+1 [tn]+1 = qn,t,Φn ( [tn] )x̃ (v) Φ−1 v Φ−1 v dv = n n n n n i j R i h T [tn]+1 [tn]+1 = Φ−1 qn,t,Φn ( [tn] )x̃ (v)vv T dv Φ−1 = n n n n n ij h iT M [tn]+1 [tn] −1 [tn]+1 = Φ−1 a t, Φ x̃ Φ = ã + n(t, x̃) n n n n n n n R (10) [tn]+1 n R [tn]+1 n ij Âåêòîð-ôóíêöèÿ Φn (t)x ñîâïàäàåò â òî÷êàõ t = kh, k = 0, 1, 2, ..., n ñ ëîìàííîé 0 y (t) = bn (t)y(t), y(0) = x ∈ Rd . Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå äèô- Ýéëåðà äëÿ óðàâíåíèÿ ôóçèîííîãî ïðîöåññà ìû êîìïåíñèðóåì ðàñòóùèé òðåíä âîçâðàòîì ïî òðàåêòîðèÿì 0 d äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y (t) = bn (t)y(t), y(0) = x ∈ R , à â ñëó÷àå öåïè Ìàðêîâà âîçâðàòîì ïî ëîìàíûì Ýéëåðà ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ñîãëàñíî õîðîøî èçâåñòíûì t ñâîéñòâàì ëîìàíûõ Ýéëåðà [17], Φn x → Φ(t) ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0, 1] è, h ó÷èòûâàÿ âûøåîïèñàííûå ñâîéñòâà, èç (6) è (10) èìååì: Z ãn (t, x̃) = q̃n,t,x (z)zz T → ã(t, x) = σ̃(t, x)[σ̃(t, x)]T , n → ∞. Ïîêàæåì òåïåðü êàê óòâåðæäåíèÿ, ïîëó÷åííûå äëÿ ìîäåëåé ñ îãðàíè÷åííûì òðåíäîì, òðàíñôîðìèðóþòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿ äëÿ ìîäåëåé, ñîäåðæàùèõ ëèíåéíóþ êîìïîíåíòó â òðåíäå. Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñåìåéñòâà qn,t,x (·), íå çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà n, òî åñòü qn,t,x (·) = qt,x (·). Ïóñòü qt,x (·) è êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (4) âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1 4, ïðèâåäåí- ïëîòíîñòåé ñåìåéñòâà íûå âûøå (óñëîâèå 5 â íàøåì ñëó÷àå òðèâèàëüíûì îáðàçîì âûïîëíåíî, ïîñêîëüêó mn (t, x) ≡ m(t, x) è an (t, x) ≡ a(t, x). Òîãäà äëÿ m̃)(t, x) = Φ−1 (t); m(t, Φ(t)x) è σ̃)(t, x) = Φ−1 (t); σ(t, Φ(t)x) âûïîëíåíû óñëîâèÿ Òåîðåìû 1.1 ðàáîòû V. Konakov and E. Mammen [4], è, ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâà îöåíêà (11) sup 0 1 + ky − xk 2(S −1) x,y∈Rd 1 |pX̃n (0, 1, x, y) − pỸ (0, 1, x, y)| = O( √ ) n Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (7) è (8), ñôîðìèðóåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ÿâëÿþùèéñÿ ñëåäñòâèåì (11). Ò å î ð å ì à 2. sup Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1)-4), ïðèâåäåííûå âûøå. Òîãäà 1 + kΦ(1)y − xk2(S 0 −1) |det Φ(1) pXn (0, 1, x, Φ(1)y) − x,y∈Rd 1 − det Φ(1) pY (0, 1, x, Φ(1)y)| = O( √ ). n 8 Åñëè b(t) ≡ b, òî sup 0 −1 2(S −1) 1 + kΦ (1)y − xk |pXn (0, 1, x, y) − x,y∈Rd 1 −pY (0, 1, x, y)| = O( √ ). n Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ò å î ð å ì û 2. Ïðèìåíèì (11) ê òî÷êàì è x Φ−1 (1)y , −1 ïîëó÷èì supx,y∈Rd 1 + kΦ (1)y − xk −pỸ (0, 1, x, Φ−1 (1)y)| = O( √1n ). (12) 0 2(S −1) |pX̃n (0, 1, x, Φ−1 (1)y)− Èç (7) è (8) èìååì pỸ (s, t, x, z) = det Φ(t)pY (s, t, Φ(s)x, Φ(t)z), pX̃n (ih, jh, x, v) = det Φn (jh)pXn (ih, jh, Φn (ih)x, Φn (jh)v), (13) (14) Ïîäñòàâëÿÿ â (13) è (14) s = 0, t = 1, i = 0, j = n, x è z = Φ−1 (1)y, v = Φ−1 n (y), ïîëó÷èì èç (12): 0 supx,y∈Rd 1 + kΦ(1)y − xk2(S −1) |det Φ(1) pXn (0, 1, x, Φ(1)y)− − det Φ(1) pY (0, 1, x, Φ(1)y)| = O( √1n ). (15) Ïóñòü b(t) ≡ b . Òîãäà Φ(1) = eb - ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà, äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n (16) a n a2 ea kΦ(1) − Φn (1)k 6 ea − 1 + 6 , n n ãäå a = kbk. Φn (1) = I + b n ïðè n Ïåðâîå íåðàâåíñòâî â (16) äîêàçàíî â [17], ñòð. 98, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî íåðàâåíñòâà äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü çíàê ïðîèçâîäíîé âáëèçè òî÷êè ôóíêöèè M 2 a a 1/x f (x) = a e x − e + (1 + ax) x=0 . Êðîìå òîãî, èç Ëåìì 3.1 è 3.2 â [4] ñëåäóåò îöåíêà 2 pỸ (s, t, x, y) 6 Ce−Cky−xk , ïîýòîìó äëÿ ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè (17) pY (0, 1, x, y) èìååì −1 (1)y−xk2 pY (0, 1, x, y) = det Φ−1 pỸ (0, 1, x, Φ−1 (1)y) 6 Ce−CkΦ . Âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò òåïåðü èç (15) - (17). Ïîñêîëüêó Ç à ì å ÷ à í è å 1. C1 ky − Φ(1)xk 6 kΦ−1 (1)y − xk 6 C2 ky − Φ(1)xk, òî óòâåðæäåíèÿ 1 + ky − Φ(1)xk 0 òåîðåìû 2(S −1) ìîãóò âìåñòî áûòü −1 çàïèñàíû 1 + kΦ (1)y − xk 0 2(S −1) òàêæå ñ ìíîæèòåëåì . Òî åñòü íåðàâíîìåðíàÿ îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â ýòîé òåîðåìå ïîëó÷àåòñÿ ëèáî ñäâèãîì òåðìèíàëüíîé òî÷êè y íàçàä (pull back), ëèáî ñäâèãîì íà÷àëüíîé òî÷êè x âïåðåä (push forward). 9 4. Ïðèìåð èñêëþ÷åíèÿ ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà äëÿ äèôôóçèîííîé ìîäåëè Ðàññìîòðèì ìîäåëü, ïðåäñòàâëåííóþ â ñòàòüå B. Koo, O. Linton [18]: dXt = {β(t)(a(t) − Xt )}dt + σ(t, Xt )dBt , (18) ãäå Bt , t > 0 X0 = x ∈ Rd , - ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. 0 x (t) = −β(t)x(t), y(0) = x ∈ Rd è åå ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó Φ(t) : Φ (t) = −β(t)Φ(t), Φ(0) = I , ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. −1 Ââåäåì ïðîöåññ X̃t = Φ (t)Xt è ïî ëåììå Èòî [19] ïîëó÷èì äëÿ íåãî ñòîõàñòè÷åñêèé Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ËÎÄÓ: 0 äèôôåðåíöèàë: dX̃t = d Φ−1 (t)Xt = Φ−1 (t)dXt + dΦ−1 (t)Xt = Φ−1 (t)β(t)a(t)dt + +Φ−1 (t)σ(t, Xt )dBt = m̃(t, X̃t )dt + σ̃(t, X̃t )dBt ãäå m̃(t, X̃t ) = Φ−1 (t)β(t)a(t), σ̃(t, X̃t ) = Φ−1 (t)σ(t, Φ(t)Xt ). Ò.î. ïðîöåññ X̃t ïðåäñòàâèì â âèäå: Z t Z t Z t X̃t = X̃0 + m̃(s, X̃s )ds + σ̃(s, X̃s )dBs = x + Φ−1 (s)β(s)a(s)ds + 0 0 Z t 0 + Φ−1 (s)σ(s, Φ(s)X̃s )dBs . 0 Ðàññìîòðèì îäíîìåðíûé ñëó÷àé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè: a(t) ≡ a, β(t) ≡ β, σ(t) ≡ σ . Ìîäåëü (18) òîãäà ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè ýâîëþöèè ïðîöåíòíîé ñòàâêè Vasicek [20]: (19) dXt = {αβ − βXt }dt + σdBt , X0 = x ∈ R Äëÿ ìîäåëè (19) ñóùåñòâóåò ÿâíûé âèä ðåøåíèÿ ÑÄÓ, ïîýòîìó ïðîöåäóðà èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà èç äèôôóçèîííîãî óðàâíåíèÿ íå ïðåäñòàâëÿåò îñîáîãî èíòåðåñà, îäíàêî, ïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü êîððåêòíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ìåòîäà. Ðåøåíèå ÑÄÓ (19) ïðåäñòàâèìî â âèäå [20]: Z (20) Xt = x exp(−βt) + a(1 − exp(−βt)) + σ exp(−βt) t exp(βs)dBs . 0 Ðàññìîòðèì ïîëó÷åíèå ðåøåíèÿ ÑÄÓ (19) ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû èñêëþ÷åíèÿ ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ ÑÄÓ (19) èìååò âèä: −1 öåññ X̃t = Φ (t)Xt = exp(βt)Xt ïðåäñòàâèì â âèäå: Z X̃t = x + a(exp(βt) − 1) + σ Φ(t) = exp(−βt). Òîãäà ïðî- t exp(βs)dBs . 0 Ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ ëèíåéíîãî òðåíäà, ïðèìåò âèä: Z t Xt = Φ(t) x + a(exp(βt) − 1) + σ exp(βs)dBs = x exp(−βt) + 0 Z t +a(1 − exp(−βt)) + σ exp(−βt) exp(βs)dBs , 0 10 ÷òî ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (20). Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà ïðèìåíèì òàêæå ê áîëåå ñëîæíûì ìîäåëÿì, òàêèì êàê ìîäèôèöèðîâàííàÿ ìîäåëü ýâîëþöèè ïðîöåíòíîé ñòàâêè Cox-Ingersoll-Ross [21], åå ðàñøèðåíèå - ìîäåëü Hull-White [22]. Ïîìèìî ìîäåëåé ïðîöåíòíîé ñòàâêè, ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà ïðèìåíèì ê ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè Heston [23] â ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ îò âîëàòèëüíîñòè, âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå äîõîäíîñòè, îãðàíè÷åíà. Ìîäåëü Cox-Ingersoll-Ross îòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåííîé âûøå ìîäåëè Vasicek âèäîì ôóíêöèè âîëàòèëüíîñòè √ σ(t, Xt ) ≡ σ Xt , ïðîöåäóðà óäàëåíèÿ òðåíäà äëÿ íåå àíàëîãè÷íà ðàññìîòðåííîé âûøå ïðîöåäóðå äëÿ ìîäåëè Vasicek. Ðàññìîòðèì äâóìåðíûé ñëó÷àé íà ïðèìåðå ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè Heston [23]: (21) dSt dvt = µ 0 0 −k St vt 0 kθ + dt + f (vt , St ) 0 0 ξg(vt ) dBt1 dBt2 . Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ËÎÄÓ: 0 x (t) = µ 0 0 −k x(t). Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ ýòîé ñèñòåìû èìååò âèä: Φ(t) = exp(µt) 0 0 exp(−kt) . Òîãäà ïðîöåññ S̃t ṽt = exp(−µt) 0 0 exp(kt) St vt . ïðåäñòàâèì â âèäå: S̃t ṽt = S0 v0 + 0 θ(exp(kt) − 1) Z t exp(−µs) 0 + × 0 exp(ks) 0 f (vs , Ss ) 0 × dBs . 0 ξg(vs ) Òîãäà c ïîìîùüþ ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ ëèíåéíîé êîìïîíåíòû òðåíäà, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ÑÄÓ: + St vt exp(µt) 0 S0 0 = + + 0 exp(−kt) v0 θ(1 − exp(−kt)) R t exp(−µs) exp(µt) 0 0 f (vs , Ss ) 0 dBs . 0 0 exp(−kt) 0 exp(ks) 0 ξg(vs ) 5. Çàêëþ÷åíèå Êàê èçâåñòíî [11], [24], ìåòîä ïàðàìåòðèêñà è åãî äèñêðåòíûé àíàëîã [4], [5], ïðåäïîëàãàþò îãðàíè÷åííîñòü êîýôôèöèåíòîâ ñíîñà è äèôôóçèè. Ìåæäó òåì, ìíîãèå âàæíûå ìîäåëè èìåþò íåîãðàíè÷åííûé êîýôôèöèåíò ñíîñà, â ÷àñòíîñòè, ìîäåëè, 11 ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîõàñòè÷åñêèì ïðîöåäóðàì ðåêóððåíòíîãî îöåíèâàíèÿ , èìåþò ëèíåéíî ðàñòóùèé êîýôôèöèåíò ñíîñà. À èìåííî, öåïè Ìàðêîâà è ïðåäåëüíûå äèôôóçèîííûå ïðîöåññû ñ ëèíåéíîé êîìïîíåíòîé â òðåíäå âîçíèêàþò â ðåêóððåíòíûõ ïðîöåäóðàõ îöåíèâàíèÿ, îñíîâàííûõ íà ìåòîäå Ðîááèíñà-Ìîíðî.  ìîíîãðàôèè [25] äîêàçàí ðÿä ðåçóëüòàòîâ î ñëàáîé ñõîäèìîñòè ðåêóððåíòíûõ ïðîöåäóð îöåíèâàíèÿ ê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì íåêîòîðîãî ïðåäåëüíîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà (Òåîðåìà 6.3 Ãëàâû 6, Òåîðåìû 3.1 è 5.2. Ãëàâû 8). Òåîðåìû ïðåäïîëàãàþò ñóùåñòâîâàíèå ïëîòíîñòåé, ïîýòîìó âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: èìååò ëè ìåñòî íå òîëüêî ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü, íî è ñõîäèìîñòü ïëîòíîñòåé, òî åñòü ñïðàâåäëèâà ëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëîêàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà? Ìåòîä ïàðàìåòðèêñà â êîìáèíàöèè ñ ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ òðåíäà ïîçâîëÿþò ïîëîæèòåëüíî îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ. Ýòî ïðèëîæåíèå ìåòîäà áóäåò ïðåäìåòîì îòäåëüíîé ïóáëèêàöèè. Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû áûëî ïðåäëîæèòü ïðîöåäóðó, ïîçâîëÿþùóþ èñêëþ÷àòü ëèíåéíî ðàñòóùóþ êîìïîíåíòó òðåíäà è ñâîäèòü çàäà÷ó ê èçó÷åííîé ðàíåå çàäà÷å ñ îãðàíè÷åííûì òðåíäîì. Ïðåäëàãàåìûé ìåòîä ïðèìåíèì ê áîëåå îáùèì ìîäåëÿì ñ òðåíäîì, èìåþùèì îãðàíè÷åííûé ãðàäèåíò, îäíàêî ôîðìóëû íîñÿò ìåíåå íàãëÿäíûé õàðàêòåð, à ëîìàíûå Ýéëåðà ñòðîÿòñÿ ëîêàëüíî, ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ãîâîðèòü î ëîêàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå çà ìàëîå âðåìÿ. Ýòî òàêæå áóäåò ïðåäìåòîì äàëüíåéøèõ ðàññìîòðåíèé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À. Â. Ñêîðîõîä, Èññëåäîâàíèÿ ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ //Èçä-âî Êèåâñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1961. 2. D. W. Stroock, S. R. S. Varadhan, Multidimensional diusion processes // Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 233. Springer (Berlin), 1979. 3. V. Konakov, S. Molchanov, On the convergence of Markov chains to diusion processes // Theory Probab. and Math. Stat., v.31, Kiev Univ., 1984. 4. V. Konakov, E. Mammen, Local limit theorems for transition densities of Markov chains converging to diusions // Prob. Th. Rel. Fields, 117:551587, 2000. 5. V. Konakov, E. Mammen, Local approximations of Markov random walks by diusions // Stoch. Proc. Appl., 96(1), pp. 73-98, 2001. 6. V. Konakov, E. Mammen, Edgeworth type expansions for transition densities of Markov chains converging to diusions // Bernoulli: a journal of mathematical statistics and probability. 2005. Vol. 11. No. 4. P. 591-641. 7. V. Konakov, E. Mammen, Small time Edgeworth-type expansions for weakly convergent nonhomogeneous Markov chains // Probability Theory and Related Fields. 2009. Vol. 143. No. 1. P. 137-176. 8. E. E. Levy, Sulle equazioni lineari alle derivate parziali totalmente ellittiche // Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche, Naturali, Serie V, 16 (12): 932938, 1907. 12 9. E. E. Levy, Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parzial // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 24(1): 275-317, 1907. 10. A. Friedmsn, Partial dierential equations of parabolic type // Prentice-Hall, 1964. 11. À.Ì. Èëüèí, À.Ñ. Êàëàøíèêîâ, Î.À. Îëåéíèê, Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà // Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ò. XVII, âûï. 3 (105), ñ. 3-146, 1962. 12. H. P. McKean, I. M. Singer, Curvature and the eigenvalues of the Laplacian // J. Dierential Geometry 1, 4369, 1967. 13. F. Delarue, S. Menozzi, Density Estimation for a Random Noise Propagating through a Chain of Dierential Equations // J. Func. Anal., 259, 2010, 6, 1577-1630. 14. W. Kelley, A. Peterson, The Theory of Dierential Equations Classical and Qualitative // Prentice Hall, 2004. 15. D. Nualart, The Malliavin Calculus and Related Topics // Springer, 2006. 16. S. Elaydi, An Introduction to Dierence Equations // Springer Science+Business Media, Inc, 2005. 17. Â.È. Àðíîëüä, Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ // Íàóêà, 1971. 18. B. Koo, O. Linton, Semiparametric Estimation of Locally Stationary Diusion Models // Discussion paper No. EM/2010/551, August 2010. 19. Á. Îêñåíäàëü, Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ââåäåíèå â òåîðèþ è ïðèëîæåíèÿ // Ì.Æ Ìèð, ÎÎÎ Èçäàòåëüñòâî ÀÑÒ, 2003. 20. O. Vasicek, An Equilibrium Characterization of the Term Structure // Journal of Financial Economics 5 (2), pp. 177188, 1977. 21. J.C. Cox, J.E. Ingersoll, S.A Ross, A Theory of the Term Structure of Interest Rates // Econometrica, 53, pp.:385-407, 1985. 22. J. Hull, A. White, Pricing interest-rate derivative securities // The Review of Financial Studies, Vol 3, No. 4, pp. 573592, 1990. 23. S. L. Heston, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options // The Review of Financial Studies, Volume 6, number 2, pp. 327343, 1993. 24. Â. Ä. Êîíàêîâ, Ìåòîä ïàðàìåòðèêñà äëÿ äèôôóçèé è öåïåé Ìàðêîâà // Ïðåïðèíò, Èçäàòåëüñòâî ïîïå÷èòåëüñêîãî ñîâåòà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, ñåðèÿ WP BRP STI, 2012, 2012. 25. Ì. Á. Íåâåëüñîí, Ð.Ç. Õàñüìèíñêèé, Ñòîõàñòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå // Íàóêà, Ì., 1972. 13 Êîíàêîâ Âàëåíòèí Äìèòðèåâè÷, ÍÈÓ ÂØÝ, çàâåäóþùèé ìåæäóíàðîäíîé ëàáîðàòî- ðèè ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà è åãî ïðèëîæåíèé, Ìîñêâà , Ìàðêîâà Àííà íàðîäíîé Ìîñêâà , Ðîìàíîâíà, ëàáîðàòîðèè ÍÈÓ ÂØÝ, ñòîõàñòè÷åñêîãî anna.r.markova@gmail.com 14 VKonakov@hse.ru ñòàæåð-èññëåäîâàòåëü àíàëèçà è åãî ìåæäó- ïðèëîæåíèé,