Усова А.А. Функция цены в задаче управления с линейной

260
Труды 40 Молодежной школы-конференции
ФУНКЦИЯ ЦЕНЫ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С
ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ
ФУНКЦИОНАЛОМ КАЧЕСТВА
Усова А.А.
e-mail: nasy@alexus.ru
В работе рассматривается модель экономического роста (см. [4],
[5], [8], [11], [12]), основывающаяся на анализе изменений валового
внутреннего продукта (ВВП) страны, определяемого как рыночная
стоимость всех произведенных в стране товаров и услуг в течение года. Простейшая модель учитывает два фактора K(t) и L(t) - объемы
капитала и труда, соответственно, в момент времени t. Объем выпуска Y (t) задается формулой Y (t) = F [K(t), L(t)], где F [K(t), L(t)]
- производственная функция, чаще всего являющаяся однородной
функцией первой степени, что позволяет перейти к относительным
величинам: k = K/L и y = Y /L, по сути означающим капитал, вложенный в единицу рабочей силы и ВВП страны, приходящийся на
единицу рабочей силы, соответственно.
Полагается, что изменение капитала подчинено динамике K̇(t) =
s(t)Y (t) − µK(t), где µ > 0 - степень обесценивания капитала, s(t) часть вырабатываемого продукта ( 0 6 s(t) 6 1), которая инвестируется, в момент времени t. Численность рабочей силы возрастает
L̇(t)
= n с постоянным темпом роста n > 0. В
экспоненциально
L(t)
относительных величинах получаем следующее уравнение
k̇(t) = s(t)y(t) − λk(t),
(1)
где λ=µ+n — сумма степени обесценивания капитала µ и степени
размывания капитала n вследствие увеличения рабочей силы, y(t) =
K(t)
f (k(t)) = F [
, 1] = F [k(t), 1].
L(t)
На k 7→ f (k) накладываются следующие условия: f 0 (k) > 0 для
k ∈ (0, ∞). Здесь f 0 (k) есть предельный продукт капитала [4].
Рассматривается агрегированная замкнутая экономика, в которой выпуск может идти только на потребление и на инвестиции.
Другими словами, y(t) = (1 − s(t))y(t) + s(t)y(t), где выпускаемая
часть продукции (1 − s(t))y(t) уходит на потребление, а s(t)y(t) - на
инвестиции.
Оптимальное управление и дифференциальные игры
261
1. Задача оптимального управления
Рассмотрим задачу оптимального управления капиталовложениями. Представим целевой функционал как интеграл от логарифмического индекса потребления, дисконтированного на бесконечном горизонте времени:
+∞
Z
[ln f (k(t)) + ln (1 − s(t))]e−δt dt.
J=
(2)
0
Здесь символ δ > 0 – постоянный дисконтирующий параметр. В теории полезности логарифмическая функция описывает относительный прирост (в нашем случае потребления) за единицу времени.
Рост фонда капитала на единицу рабочей силы описывается дифференциальным уравнением (1). Инвестиционный процесс начинается
с уровня k(t0 ) = k 0 .
Задача управления. В стандартной постановке задача состоит
в максимизации функционала (2) на траекториях динамической системы (1), где параметры δ, λ = µ + n, k 0 - заданные положительные
числа и s(t) ∈ [0, a] - управляющая переменная, измеримая по времени. Параметр 0 < a < 1 есть положительное число, которое отделяет правую границу параметра управления от единицы. Необходимо найти оптимальный уровень инвестиций s∗ (·) и соответствующие
траектории k ∗ (·) капитала на единицу рабочей силы, подчиненные
динамике (1), которые максимизируют функционал (2).
В работе [5] проведено исследование поставленной задачи в рамках принципа максимума Понтрягина [6]. Предложен алгоритм построения оптимальных траекторий, исследовано поведение гамильтоновой системы в окрестности установившегося состояния.
Цель данной работы - исследование функции цены и рассмотрение поставленной задачи для случая, когда объем выпускаемой продукции Y (t) пропорционален с коэффициентом α > 0 вложенному
капиталу K(t), то есть Y (t) = αK(t). Это означает, что производительность труда f (k) линейно зависит от капитала, вложенного в
единицу рабочей силы k, а именно f (k) = αk. Таким образом, в работе решается задача оптимального управления: максимизировать
262
Труды 40 Молодежной школы-конференции
функционал
+∞
Z
[ln αk(t)) + ln (1 − s(t))]e−δt dt −−−−−−→ max,
J=
(k(·),s(·))
(3)
0
на траекториях динамической системы
k̇(t) = (αs(t) − λ)k(t),
(4)
k(t0 ) = k 0 , α > 0, λ > 0, s(t) ∈ [0, a](0 < a < 1).
(5)
где
2. Исследование гамильтониана. Оптимальные стратегии.
Составим гамильтониан задачи (3) - (5):
H(t, k, s, ψ) = [ln (αk) + ln (1 − s)]e−δt + ψ(αs − λ)k,
(6)
где ψ - сопряженная переменная, интерпретируемая в экономике как
теневая цена капитала.
Предложение 1. Гамильтониан (6) H(t, k, s, ψ) - строго вогнутая
функция по переменным k и s.
Предложение 2. Для гамильтоновой системы задачи (3) - (5)
(
k̇ = (αs(t) − λ)k(t);
ψ̇ = − 1 e−δt − ψ(αs(t) − λ);
k(t)
справедливо следующее равенство: kψ = 1 e−δt
δ
Предложение 3. Оптимальное управление s∗ вычисляется по
формуле


0,

δ
∗
s = 1 − α,


a,
α 6 δ, при s0 6 0;
δ , при 0 6 s0 6 a;
δ6α6
(1 − a)
δ , при s0 > a
α>
(1 − a)
(7)
Оптимальное управление и дифференциальные игры
263
Замечание. Из (7) следует, что оптимальный режим управления
есть константа, определяемая входными параметрами модели.
Оптимальные стратегии, вызванные
находятся из (4), (5), (7) и равны:

−λ(t−t0 )

,
k0 e
∗
(α−δ−λ)(t−t
0)
k (t) = k0 e
,

 (aα−λ)(t−t0 )
k0 e
,
найденными управлениями,
при s∗ = 0;
δ;
при s∗ = 1 − α
при s∗ = a.
(8)
3. Функция цены
Функция цены, в случае дифференцируемости, является классическим решением уравнения уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана (см. [1]). Составим его для задачи (3)— (5):
∂V
∂V
+ max{h
, (αs(t) − λ)k(t)i +
∂t
∂k
s(·)
+ e−δt (ln (αk(t)) + ln (1 − s(t)))} = 0 (9)
Решение (9) находится в виде:
V (t, k) = e−δt v(k), k ∈ (0, +∞)
(10)
Предложение 4. Функция цены V (t, k) соответствует (10) и равна:


,
при s∗ = 0;
ln (αk) − λ
δ
1 −δt 
δ;
V (t, k) = e
при s∗ = 1 − α
ln (δk) + α − δδ − λ ,

δ

ln (α(1 − a)k) + aα − λ ,
при s∗ = a.
δ
4. Анализ полученных результатов
Анализ полученных результатов представлен в абсолютных пеL̇(t)
= n и λ = µ + n,
ременных. В силу того, что k = K/L,
L(t)
из (8) получим условия на параметры модели, при которых капитал K(t) возрастает или убывает. Эти условия записываются в виде
264
Труды 40 Молодежной школы-конференции
Рис. 1: Области возрастания и убывания капитала K
неравенств, и изображены на графике в координатах (a, α). Здесь
серым цветом отмечена область возрастания капитала, в остальной
части он убывает, и указаны возможные скорости его изменения. Из
графика видно, что для роста капитала необходимо, чтобы коэффициент пропорциональности α между объемом выпуска и капиталом
был больше суммы показателя обесценивания капитала µ и ставки
дисконтирования δ, а параметр a, отделяющий управляющую переµ.
менную от единицы, должен быть больше отношения α
Список литературы
[1]. Айзекс Р. Дифференциальные игры. — М.: Мир, 1967. 479 c.
[2]. Альбрехт Э.Г. Элементы математической теории управления и
вариационного исчисления. — Екатеринбург : УГТУ-УПИ, 2007.
126 с.
Оптимальное управление и дифференциальные игры
265
[3]. Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН,
2007. Т. 257. C. 5–271.
[4]. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: АЙРИС ПРЕСС, 2002. 566 c.
[5]. Красовский А.А., Тарасьев А.М Свойства гамильтоновых систем
в принципе максимума Понтрягина для задач экономического
роста. // Труды Математического института им. В.А. Стеклова,
2008. Т. 262, С. 127–145.
[6]. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. — М.: Едиториал УРСС, 2004. 64 c.
[7]. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. — Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 336 c.
[8]. Arrow K.J. Application of Control Theory to Economic Growth //
Mathematics of the Decision Sciences, 1968. No 2. P. 85–119.
[9]. Balder E.J. An existance result for optimal economic growth
problems // J. Math. Anal. Appl., 1983. Vol. 95. P. 195–213.
[10]. Kryazhimskii A.V., Watanabe C. Optimization of Technological
Growth. — GENDAITOSHO, Tana, Sagamihara City, Kanagawa,
2004.
[11]. Shell K. Applications of Pontryagin’s Maximum Principle to
Economics. // Mathematical Systems Theory and Economics, 1969.
Vol. 1. P. 241-–292.
[12]. Solow R.M. Growth Theory: An Exposition. New York: Oxford
University Press, 1970.
[13]. Tarasyev A.M., Watanabe C. Optimal Dynamics of Innovation in
Models of Economic Growth. // Journal of Optimization Theory
and Applications. 2001. Vol. 108. No. 1. P. 175–203.