Сергей ИВЛИЕВ, руководитель, Prognoz Risk Lab, к.э.н. Г , .Э - — ZERO COUPON YIELD CURVE. С - .К . Моделирование срочной структуры процентных ставок российского рынка Виктор ЛАПШИН, научный сотрудник, FERM Lab НИУ-ВШЭ, к.ф.-м.н. Ñðî÷íàÿ ñòðóêòóðà ïðîöåíòíûõ ñòàâîê îòðàæàåò æåëàíèå ðûíêà äàâàòü â äîëã èëè ïðèíèìàòü ñðåäñòâà íà îïðåäåëåííûé ñðîê ïîä òå èëè èíûå ïðîöåíòû. Îäíàêî íà ðàçëè÷íûõ ðûíêàõ ýòà ñòðóêòóðà íåîäèíàêîâà. Ñèòóàöèþ îñëîæíÿåò òîò ôàêò, ÷òî ðàçëè÷íûå ðûíêè ìîãóò ñóùåñòâîâàòü â ïðåäåëàõ îäíîé ôèçè÷åñêîé áèðæè. Ðûíêè îáëèãàöèé è êðàòêîñðî÷íûõ çàèìñòâîâàíèé — ðàçíûå ïî ñâîåé ñóòè, è ñëåäóåò ñ áîëüøîé îñòîðîæíîñòüþ ïîäõîäèòü ê èñïîëüçîâàíèþ äàííûõ ñ íèõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðî÷íîé ñòðóêòóðû ïðîöåíòíûõ ñòàâîê. Òàê, íàïðèìåð, ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ öåíà îáëèãàöèè áóäåò âûøå (òî åñòü áóäåò ïîäðàçóìåâàòü ìåíüøóþ äîõîäíîñòü âëîæåíèé íà äàííûé ñðîê), òàê êàê îáëàäàíèå îáëèãàöèåé íåñåò äîïîëíèòåëüíûå ïðåèìóùåñòâà. Òàê, âëàäåëåö îáëèãàöèè ìîæåò îñòàâèòü åå â çàëîã, îñóùåñòâèòü ñäåëêó ÐÅÏÎ è òàê äàëåå. Ïîìèìî ýòîãî, íà öåíû (à ñëåäîâàòåëüíî, è íà ïðîöåíòíûå ñòàâêè) íåïîñðåäñòâåííî âëèÿþò òàêèå ïàðàìåòðû, êàê êðåäèòíîå êà÷åñòâî è ëèêâèäíîñòü. Áåñêóïîííàÿ êðèâàÿ äîõîäíîñòè, îïðåäåëåííàÿ íà ãîñóäàðñòâåííûõ îáëèãàöèÿõ èëè èíñòðóìåíòàõ, íå ñîäåðæàùèõ êðåäèòíûé ðèñê, íàçûâàåòñÿ áåçðèñêîâîé (risk-free) è ïðèìåíÿåòñÿ â êà÷åñòâå áåí÷ìàðêà ñðî÷íîé ñòðóêòóðû ïðîöåíòíûõ ñòàâîê öåíòðàëüíûìè áàíêàìè è íàäçîðíûìè îðãàíàìè ðàçëè÷íûõ ñòðàí (BIS, 2005). ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ОБЛИГАЦИЙ Ðàññìîòðèì áàçîâûå ìîäåëè öåíîîáðàçîâàíèÿ îáëèãàöèé íà îñíîâå áåñêóïîííîé êðèâîé äîõîäíîñòè. Áåñêóïîííóþ êðèâóþ äîõîäíîñòè ñïîò áóäåì îáîçíà÷àòü r(t) . Ïîä îáëèãàöèåé ïîíèìàåòñÿ îáðàùàþùååñÿ íà âòîðè÷íîì ðûíêå îáÿçàòåëüñòâî, ðàñïèñàíèå ïëàòåæåé ïî êîòîðîìó çàðàíåå èçâåñòíî (òî åñòü ìû ðàññìàòðèâàåì îáëèãàöèè ñ ôèêñèðîâàííûì êóïîíîì è áåç âñòðîåííûõ îïöèîíîâ). Ýòè ïëàòåæè ìîãóò áûòü êàê ïðîöåíòàìè, òàê è ÷àñòè÷íûì èëè ïîëíûì ïîãàøåíèåì îñíîâíîãî äîëãà. Äëÿ ïðîñòîòû ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãðóïïó îáëèãàöèé îäíîãî êðåäèòíîãî êà÷åñòâà (íàïðèìåð, âûïóùåííûå îäíèì ýìèòåíòîì) è ïðèìåðíî îäíîé ëèêâèäíîñòè. Êîýôôèöèåíòû äèñêîíòèðîâàíèÿ è ïðîöåíòíûå ñòàâêè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ìîíîòîííîé ôóíêöèåé, îïðåäåëÿåìîé â çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ (êîíâåíöèè). Âðåìåííàÿ ñòðóêòóðà ïðîöåíòíûõ ñòàâîê õàðàêòåðèçóåòñÿ êðèâîé ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê f(t). Ýòî, â íåêîòîðîì ñìûñëå, «ïëîòíîñòü íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ». Îíà ñâÿçàíà ñ ôóíêöèåé äèñêîíòèðîâàíèÿ d(t) è êðèâîé ïðîöåíòíûõ ñòàâîê r(t) ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: 1 t r ( t) = f (s)ds, t 0 ∫ − d( t) = e t ∫ f(s)ds 0 ×òîáû èñïîëüçîâàòü êîòèðîâêè îáëèãàöèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðî÷íîé ñòðóê- апрель 2011 CBONDS REVIEW 53 ИНСТРУМЕНТАРИЙ 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 5 10 15 20 25 30 òóðû ïðîöåíòíûõ ñòàâîê, íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ñâÿçü ìåæäó ýòèìè îáúåêòàìè. Ðàññìîòðèì áåñêóïîííóþ îáëèãàöèþ íîìèíàëîì 1 ñî ñðîêîì äî ïîãàøåíèÿ t. Áåñêóïîííàÿ îáëèãàöèÿ — ýòî òà, ïî êîòîðîé áóäåò ïðîâåäåíà âñåãî îäíà âûïëàòà. Ïóñòü ýòà âûïëàòà èìååò ðàçìåð 1 è ïðîèçîéäåò ÷åðåç âðåìÿ t. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî îáëèãàöèÿ ÿâëÿåòñÿ áåçðèñêîâîé, òî åñòü îòñóòñòâóþò êðåäèòíûå ðèñêè (ðèñêè íåóïëàòû), ðèñêè ëèêâèäíîñòè (íåâîçìîæíîñòè ïðîäàòü áóìàãó) è äðóãèå. Òîãäà åå òåêóùàÿ ñòîèìîñòü áóäåò ðàâíà d(t). Êðèâàÿ äîõîäíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèè äèñêîíòèðîâàíèÿ Рисунок 1 Пример бескупонной кривой доходности US Treasuries, r(t) 1 r(x) = − ln d( t), t áóäåò áåçðèñêîâîé. Åñëè ó íàñ òåïåðü åñòü ðåàëüíàÿ áåñêóïîííàÿ îáëèãàöèÿ, åå öåíà áóäåò íèæå, ÷òîáû êîìïåíñèðîâàòü âîçìîæíûå ðèñêè, à áåñêóïîííàÿ êðèâàÿ äîõîäíîñòè, ïîñòðîåííàÿ ïî òàêèì îáëèãàöèÿì, áóäåò ëåæàòü âûøå áåçðèñêîâîé áåñêóïîííîé Рисунок 2 Пример функции дисконтирования US Treasuries, d(t) 1.2 1 0.8 êðèâîé äîõîäíîñòè. Òåì íå ìåíåå, äëÿ îöåíêè ôèíàíñîâûõ èíñòðóìåíòîâ, ñõîæèõ ñ äàííîé îáëèãàöèåé ïî êðåäèòíîìó êà÷åñòâó è ëèêâèäíîñòè, ñêîðåå ïîäîéäåò èìåííî ýòà êðèâàÿ, à íå áåçðèñêîâàÿ. Åñëè îáëèãàöèÿ êóïîííàÿ, òî åñòü ïî íåé èìåþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå âûïëàòû ïðîöåíòîâ (êóïîíîâ), èëè àìîðòèçàöèîííàÿ, òî åñòü îñíîâíîé äîëã âûïëà÷èâàåòñÿ ïî ÷àñòÿì, òî ïîòîêîâ ïëàòåæåé áóäåò áîëüøå. Ïóñòü èìååòñÿ n ïîòîêîâ ïëàòåæåé âî âðåìåíà τ1,...,τn ðàçìåðàìè F1,...,Fn ñîîòâåòñòâåííî. Ëîãè÷íî ïðåäïîëîæèòü1, ÷òî ñòîèìîñòü òàêîé îáëèãàöèè áóäåò ðàâíà ñòîèìîñòè ïîðòôåëÿ (íàáîðà) èç n áåñêóïîííûõ îáëèãàöèé ñî ñðîêàìè äî ïîãàøåíèÿ τ1,...,τn è íîìèíàëàìè F1,...,Fn ñîîòâåòñòâåííî.  òàêîì ñëó÷àå ñòîèìîñòü P êóïîííîé îáëèãàöèè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåì n P= ∑F d(τ ). s s (1) s=1 Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ãðàôèê áåñêóïîííîé êðèâîé äîõîäíîñòè US Treasuries ïðèâåäåí íà Ðèñóíêå 1. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè äèñêîíòèðîâàíèÿ ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû íà îñíîâå óðàâíåíèÿ d(t)=exp(-r(t)t) è áóäóò èìåòü âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà Ðèñóíêå 2. Èñïîëüçóåì íàéäåííóþ ôóíêöèþ äèñêîíòèðîâàíèÿ, ÷òîáû îïðåäåëèòü òåîðåòè÷åñêóþ öåíó ãèïîòåòè÷åñêîé áåçðèñêîâîé äîëëàðîâîé îáëèãàöèè ñ êóïîííûìè âûïëàòàìè â 10% êàæäûé ãîä è ñðîêîì äî ïîãàøåíèÿ òðè ãîäà. P=10d(1)+10d(2)+110•d(3)=10•0.997+ 10•0.9865+110•0.9676=126.27(%) Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ öåíà ÿâëÿåòñÿ ãðÿçíîé (gross), òî åñòü âêëþ÷àåò â ñåáÿ íàêîïëåííûé êóïîííûé äîõîä (ÍÊÄ).  ðåàëüíîñòè íà öåíîîáðàçîâàíèå î÷åíü ñèëüíîå âëèÿíèå îêàçûâàþò âîïðîñû êðåäèòíîãî êà÷åñòâà, ëèêâèäíîñòè, íàëîãîîáëîæåíèÿ. Ó÷åò êðåäèòíîãî êà÷åñòâà îáëèãàöèè âîçìîæåí ñ èñïîëüçîâàíèåì êðåäèòíûõ ñïðåäîâ. Ëèêâèäíîñòü 0.6 1 0.4 Ýòî ñòàíäàðòíîå ïðåäïîëîæåíèå, è îáñóæäåíèå åãî ïðàâäîïîäîáíîñòè âûõîäèò çà ðàìêè äàííîé ìåòîäèêè. Óêàæåì ëèøü, ÷òî âëàäåíèå ïîðòôåëåì áåñêóïîííûõ 0.2 îáëèãàöèé äàåò áîëüøå âîçìîæíîñòåé, íåæåëè âëàäåíèå îäíîé êóïîííîé îáëèãàöèåé: òàê, ïîðòôåëü ìîæíî ïðîäàòü ÷àñòÿìè, à êóïîííóþ îáëèãàöèþ òîëüêî öåëèêîì. 0 0 54 5 CBONDS REVIEW 10 15 апрель 2011 20 25 30 Ê òîìó æå, êóïîííûå ïëàòåæè è ïîãàøåíèå îñíîâíîãî äîëãà ìîãóò ïî-ðàçíîìó îáëàãàòüñÿ íàëîãîì. æå è íàëîãîîáëîæåíèå îáû÷íî íå ðàññìàòðèâàþòñÿ ââèäó îòñóòñòâèÿ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü àäåêâàòíîãî èõ îïèñàíèÿ (êàê ìàòåìàòè÷åñêîãî, òàê è ýêîíîìè÷åñêîãî). МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИВОЙ ДОХОДНОСТИ Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèâîé äîõîäíîñòè ó íàñ èìååòñÿ «ìîìåíòàëüíûé ñíèìîê» ðûíêà. Ýòî íàáîð îïèñàíèé îáëèãàöèé (ìîìåíòîâ è îáúåìîâ îáåùàííûõ ïëàòåæåé) è èõ òåêóùèõ ðûíî÷íûõ öåí. Íà ñàìîì äåëå, íà ðûíêå íåò «öåíû îáëèãàöèè» êàê òàêîâîé. Âìåñòî ýòîãî ó÷àñòíèêó ðûíêà äîñòóïíî íåñêîëüêî ïîêàçàòåëåé, â òîì ÷èñëå: • Öåíà ïðîäàâöà (ask price) — ýòî íàèìåíüøàÿ öåíà, ïî êîòîðîé âûñòàâëåíà çàÿâêà íà ïðîäàæó, òî åñòü öåíà, ïî êîòîðîé áóìàãó ìîæíî íåìåäëåííî êóïèòü. Îáúåì ýòîé çàÿâêè — îòäåëüíûé âîïðîñ: âïîëíå âîçìîæíî, ÷òî äëÿ ïîêóïêè èíòåðåñóþùåãî íàñ êîëè÷åñòâà îáëèãàöèé íåîáõîäèìî çàïëàòèòü áîëüøå, òàê êàê ïî óêàçàííîé öåíå ìîæåò ïðîäàâàòüñÿ ëèøü ìàëûé îáúåì, à îñòàëüíîå ïðèäåòñÿ äîêóïàòü ïî áîëåå âûñîêèì öåíàì. • Öåíà ïîêóïàòåëÿ (bid price) — ýòî íàèáîëüøàÿ öåíà, ïî êîòîðîé âûñòàâëåíà çàÿâêà íà ïîêóïêó. • Öåíà ïîñëåäíåé ñäåëêè (last price) — ýòî öåíà, ïî êîòîðîé áûëà ïðîâåäåíà ïîñëåäíÿÿ ñäåëêà ñ ýòîé áóìàãîé. Åñëè äîñòóïíû äàííûå ñ ïåðèîäè÷íîñòüþ ëèøü ðàç â äåíü, òî ýòè öèôðû ðàññ÷èòûâàþòñÿ áèðæåé íà êîíåö òîðãîâîãî äíÿ ïî ñïåöèàëüíîìó àëãîðèòìó.  òàêîì ñëó÷àå òàêæå äîñòóïíû ñòàòèñòè÷åñêèå âåëè÷èíû: ñðåäíåå, ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ öåíû. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äîñòóïíû ñëåäóþùèå äàííûå: • Êîëè÷åñòâî íàáëþäàåìûõ îáëèãàöèé N. Îòäåëüíûå îáëèãàöèè áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ èíäåêñîì k=1,...,N. • Ìîìåíòû îáåùàííûõ âûïëàò, îáùèå äëÿ âñåõ îáëèãàöèé: τs,s=1,...,n.  ñëó÷àå åñëè ìîìåíòû âûïëàò ïî ðàçëè÷íûì îáëèãàöèÿì íå ñîâïàäàþò, äîïîëíèòåëüíî ââîäèòñÿ íóëåâàÿ âûïëàòà â íóæíûé ìîìåíò. • Îáåùàííûå îáúåìû âûïëàò (âîçìîæíî, íóëåâûå) ïî k-é îáëèãàöèè â s-é ìîìåíò âðåìåíè: Fs,k,s=1,...,n,k=1,...,N. • Öåíû îáëèãàöèé Pk,k=1,...,N, âçÿòûå äî âû÷åòà íàêîïëåííîãî êóïîííîãî äîõîäà. • Êîòèðîâêè íà ïîêóïêó è íà ïðîäàæó: bk,ak,k=1,...,N. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî íàáëþäàåìûå öåíû Pk íå òî÷íî îòðàæàþò òåêóùóþ ïðèâåäåííóþ ñòîèìîñòü ïîòîêîâ ïëàòåæåé ïî îáëèãàöèè, íî îòëè÷àþòñÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïðèâåäåííîé ñòîèìîñòè íà íåêîòîðóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó (îøèáêó, øóì). Ýòà âåëè÷èíà, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé ëèêâèäíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé áóìàãè, òàê êàê ÷åì ìåíüøå ëèêâèäíîñòü, òåì áîëüøå îòëè÷àåòñÿ öåíà, ïî êîòîðîé óäàåòñÿ ñîâåðøèòü ñäåëêó, îò ñïðàâåäëèâîé îöåíêè ïðèâåäåííîé ñòîèìîñòè. Èç ïîêàçàòåëåé ëèêâèäíîñòè íàì äîñòóïåí, êàê ïðàâèëî, ëèøü bid-ask ñïðåä, õàðàêòåðèçóþùèé êàê ðàçáðîñ âîçìîæíûõ öåí ñäåëêè. Äîâîëüíî åñòåñòâåííî, ÷òî öåíà ñäåëêè ìîæåò ñâîáîäíî è ñëó÷àéíî êîëåáàòüñÿ êàê â ïðåäåëàõ bid-ask ñïðåäà, òàê è â ðàçóìíîé ñòåïåíè çà åãî ïðåäåëàìè. Ëîãè÷íî áûëî áû òðåáîâàòü, ÷òîáû âû÷èñëåííàÿ êðèâàÿ äîõîäíîñòè äàâàëà ðàñ÷åòíûå öåíû äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ îáëèãàöèé, áëèçêèå (â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå) ê íàáëþäàåìûì ñ ó÷åòîì bid-ask ñïðåäà. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïðèáëèæåíèÿ íàáëþäàåìûõ íà ðûíêå öåí îáëèãàöèé ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå: 1 ∑ w (P N 2 k k =1 k ~ − Pk ) ⎯⎯⎯→ min. 2 (2) r (.) ãäå Pk — íàáëþäàåìàÿ öåíà k-é îáëèãàöèè, ~ P k – ðàñ÷åòíàÿ öåíà, ~ Pk = n n ∑ Fs,k d(τ s ) = s=1 ∑F s,k exp(−r(τ s ) ⋅ τ s ) , s=1 wk — âåñ, õàðàêòåðèçóþùèé ðàçáðîñ öåí k-é îáëèãàöèè, íàïðèìåð wk = ak − bk . 2  îáùåì ñëó÷àå çàäà÷à (2) ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé â ñèëó òîãî, ÷òî êîëè÷åñòâî íåèçâåñòíûõ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê r(τs) â ìîìåíòû τs,s=1,...,n çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò êîëè÷åñòâî íàáëþäàåìûõ öåí Pk,k=1,...,N. Äëÿ óìåíüøåíèÿ ðàçìåðíîñòè çàäà÷è ÷àñòî âûáèðàåòñÿ òî èëè èíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî äëÿ ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ñòàâîê f(.) è, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ñïîò-ñòàâîê r(.). Îäíîé èç íàèáîëåå ïîïóëÿðíûõ ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ, ïðåäëîæåííàÿ â ðàáîòå Íåëüñîíà–Çèãåëÿ. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà Íåëüñîíà-Çèãåëÿ äëÿ ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ñòàâîê èìååò ñëåäóþùèé âèä: ⎛ f ( t) = β0 + ⎜ β1 + β2 ⎝ t⎞ ⎛ ⎟ exp⎜ − τ⎠ ⎝ t⎞ ⎟ τ⎠ , ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìà ñïîò-ñòàâîê áóäåò èìåòü âèä: τ⎡ ⎛ t⎞ ⎛ t ⎞⎤ r( t) = β0 + (β1 + β2 ) ⎢1− exp⎜ − ⎟⎥ − β2 exp⎜ − ⎟ t⎣ ⎝ τ⎠ . ⎝ τ ⎠⎦  êà÷åñòâå äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ ìîäåëè â 1995 ãîäó â ðàáîòå Ñâåíññîíà áûëà ïðåäëîæåíà ìîäèôèêàöèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìû Íåëüñîíà-Çèãåëÿ: ⎛ f ( t) = β0 + ⎜ β1 + β2 ⎝ t⎞ ⎛ ⎟ exp⎜ − τ⎠ ⎝ ⎛ t ⎞ t⎞ t exp⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟ + β3 τ⎠ τ2 ⎝ τ2 ⎠ . Äàííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ çà ñ÷åò äîáàâëåíèÿ åùå îäíîé êîìïîíåíòû, îòâå÷àþùåé çà êðèâèçíó, ïîçâîëÿåò áîëåå ýôôåêòèâíî îïèñàòü äîëãîñðî÷íûå ñòàâêè. Îòíîñèòåëüíàÿ ïðîñòîòà ôóíêöèîíàëüíîé ôîðìû Íåëüñîíà-Çèãåëÿ è Ñâåíññîíà è ñïîñîáíîñòü ìîäåëåé îïèñûâàòü ðàçëè÷íûå ôîðìû ñðî÷íîé ñòðóêòóðû ñòàâîê ñòàëè ïðè÷èíîé âûñîêîé ïîïóëÿðíîñòè ìîäåëåé êàê ñðåäè ðåãóëÿòîðîâ (BIS, 2005), òàê è â ïðîôåññèîíàëüíîé ñðåäå.  Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè ñðî÷íàÿ ñòðóêòóðà ïðîöåíòíûõ ñòàâîê ðàññ÷èòûâàåòñÿ íà îñíîâå G-êðèâîé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé Íåëüñîíà-Çèãåëÿ, ïîëó÷åííîé çà ñ÷åò äîáàâëåíèÿ òðåõ êîððåêòèðóþùèõ ÷ëåíîâ äëÿ áîëåå òî÷íîãî îïèñàíèÿ íà÷àëüíîãî ó÷àñòêà êðèâîé (Ãàìáàðîâ è äð., 2006): τ⎡ ⎛ t⎞ ⎛ t ⎞⎤ r( t) = β0 + (β1 + β 2 ) ⎢1− exp⎜ − ⎟⎥ − β2 exp⎜ − ⎟ + t⎣ τ ⎝ τ⎠ ⎝ ⎠⎦ 2⎞ ⎛ ⎛ ( t − 1)2 ⎞ ⎛ t2 ⎞ ⎟ + g 3 exp⎜ − ( t − 2) ⎟. + g1 exp⎜ − ⎟ + g 2 exp⎜ − ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 2⎟ 2 ⎠ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ апрель 2011 CBONDS REVIEW 55 ИНСТРУМЕНТАРИЙ 12.5 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0 8.5 8.0 7.5 0 5 10 Рисунок 3 Пример артефактов параметрической формы G-кривой на 18.03.2009 « МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ КРИВОЙ ДОХОДНОСТИ SES ПОЗВОЛЯЕТ ГАРАНТИРОВАТЬ ВЫПОЛНЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ ПРЕДПОЧТЕНИЯ ЛИКВИДНОСТИ И ОТСУТСТВИЯ АРБИТРАЖНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ, А ТАКЖЕ ОБЕСПЕЧИТЬ НАИЛУЧШУЮ ГЛАДКОСТЬ КРИВОЙ И ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЦЕНЫ » 56 CBONDS REVIEW 15 20 25 30 G-êðèâàÿ â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè ðàññ÷èòûâàåòñÿ ÌÌÂÁ è åæåäíåâíî ïóáëèêóåòñÿ íà ñàéòå Áàíêà Ðîññèè1. Ê äîñòîèíñòâàì G-êðèâîé ìîæíî îòíåñòè âîçìîæíîñòü ïåðåñ÷åòà â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè è ïðèçíàíèå ðåãóëÿòîðîì, ÷òî ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü åå áåí÷ìàðêîì âðåìåííîé ñòðóêòóðû â Ðîññèè. Îñíîâíûì íåäîñòàòêîì, ïî íàøåìó ìíåíèþ, ÿâëÿåòñÿ âûáîð ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìû, êîòîðûé ìîæåò ïðèâîäèòü ê àðòåôàêòàì ïðè îïèñàíèè íà÷àëüíîãî ó÷àñòêà êðèâîé â îáëàñòè ñðîêîâ îò îäíîãî äî òðåõ ëåò, âûçâàííûì èñïîëüçîâàíèåì êîððåêòèðóþùèõ ÷ëåíîâ. Íà Ðèñóíêå 3 ïðèâåäåíû ãðàôèêè G-êðèâîé 2 çà 18.03.2009 è 17.03.2009. Òî÷êàìè íà ãðàôèêå îáîçíà÷åíû ôàêòè÷åñêèå äîõîäíîñòè âûïóñêîâ ÎÔÇ, òîðãîâàâøèõñÿ 18.03.2009. Ê íåäîñòàòêàì âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ìîæíî òàêæå îòíåñòè è òî, ÷òî îíè íå ãàðàíòèðóþò îòñóòñòâèå àðáèòðàæíûõ âîçìîæíîñòåé è âûïîëíåíèå ïðèíöèïà ïðåäïî÷òåíèÿ ëèêâèäíîñòè. Ýòî ìîæåò ïðèâîäèòü ê òîìó, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ýòèõ êðèâûõ ïðè öåíîîáðàçîâàíèè îáëèãàöèé èëè, ÷òî åùå áîëåå âåðîÿòíî, ïðîèçâîäíûõ ôèíàíñîâûõ èíñòðóìåíòîâ ìîæåò ïðèâåñòè ê ñóùåñòâåííûì ïîãðåøíîñòÿì. МЕТОД SES ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИВОЙ ДОХОДНОСТИ Ðàññìîòðèì ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ êðèâîé äîõîäíîñòè, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ãàðàíòèðîâàòü âûïîëíåíèå ýêîíîìè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ ïðåäïî÷òåíèÿ ëèêâèäíîñòè è îòñóòñòâèÿ àðáèòðàæíûõ âîçìîæíîñòåé, à òàêæå îáåñïå- апрель 2011 ÷èòü íàèëó÷øóþ ãëàäêîñòü êðèâîé è òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ öåíû. Ðåçóëüòèðóþùàÿ êðèâàÿ äîõîäíîñòè áóäåò ýêîíîìè÷åñêè îñìûñëåííîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ôóíêöèÿ äèñêîíòèðîâàíèÿ áóäåò íåâîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé îò ñðîêà. Ýòî ðàâíîñèëüíî íåîòðèöàòåëüíîñòè ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê. Ìû òàêæå ïðåäïîëîæèì, ÷òî êðèâàÿ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê îáëàäàåò â íåêîòîðîì ñìûñëå ìàêñèìàëüíîé ãëàäêîñòüþ. Ýòî ïîçâîëèò íàì ïîëó÷àòü ïðèÿòíûå ãëàçó è ðåàëèñòè÷íûå êðèâûå äîõîäíîñòè. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî óñëîâèå ìîæåò âûðàæàòüñÿ ìíîãèìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè, ìîæíî âûáðàòü ëþáîé èç íèõ. Çàìåòèì, ÷òî òðåáîâàíèÿ êà÷åñòâà ïðèáëèæåíèÿ è ãëàäêîñòè, ïî ñóòè, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîòèâîðå÷àùèå äðóã äðóãó öåëè: ÷åì òî÷íåå êðèâàÿ îòðàæàåò íàáëþäàåìûå öåíû, òåì áîëåå ïðè÷óäëèâóþ ôîðìó åé ïðèõîäèòñÿ ïðèíèìàòü, ÷òîáû îòðàçèòü â òîì ÷èñëå è ñëó÷àéíûå êîìïîíåíòû öåí. Î÷åâèäíî, ÷òî íóæåí ðàçóìíûé êîìïðîìèññ ìåæäó êà÷åñòâîì ïðèáëèæåíèÿ è ãëàäêîñòüþ êðèâîé. Ìû ââåäåì ñïåöèàëüíûé ïàðàìåòð α, êîòîðûé áóäåò îòðàæàòü îòíîñèòåëüíûé âåñ êðèòåðèÿ ãëàäêîñòè â ñðàâíåíèè ñ êðèòåðèåì òî÷íîñòè. ×åì áîëüøå α, òåì áîëåå ãëàäêóþ êðèâóþ ìû õîòèì ïîëó÷èòü (âîçìîæíî, â óùåðá òî÷íîñòè). Âûáîð ïàðàìåòðà α (åãî íàçûâàþò ïàðàìåòðîì ðåãóëÿðèçàöèè) ñîîòâåòñòâóåò ôèêñèðîâàíèþ íàøèõ ïðåäïî÷òåíèé â ïëàíå áàëàíñà êà÷åñòâà ïðèáëèæåíèÿ öåí è âèçóàëüíîé ïðèâëåêàòåëüíîñòè êðèâîé. Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ãëàäêàÿ êðèâàÿ, ïîìèìî âèçóàëüíîé ïðèâëåêàòåëüíîñòè, áîëåå ðåàëèñòè÷íà, òàê êàê ïðåäïî÷òåíèÿ è íàñòðîåíèÿ èíâåñòîðîâ íà ðûíêå íåïðåðûâíî çàâèñÿò îò ñðîêà äî ïîãàøåíèÿ, ÷òî îçíà÷àåò ìàëóþ èçìåí÷èâîñòü ìãíîâåííîé ôîðâàðäíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêè f(t), ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, äàåò íåîáõîäèìóþ ãëàäêîñòü. Âîçìîæíîñòü àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïîäîáíîé çàäà÷è âïåðâûå ïîêàçàíà â ðàáîòå Ñìèðíîâà è Çàõàðîâà. Ïîëó÷åííàÿ êðèâàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êóñî÷íî-çàäàííóþ ôóíêöèþ, ñîñòîÿùóþ èç ñèíóñîèäàëüíûõ è ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ, ÷òî äàëî íà- 1 http://www.cbr.ru/GCurve/Curve.asp. 2 http://www.micex.ru/marketdata/indices/ state/yieldcurve/chart. « 8 РЫНКИ ОБЛИГАЦИЙ И КРАТКОСРОЧНЫХ ЗАИМСТВОВАНИЙ РАЗНЫЕ ПО СВОЕЙ СУТИ, И СЛЕДУЕТ С БОЛЬШОЙ ОСТОРОЖНОСТЬЮ ПОДХОДИТЬ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ДАННЫХ С НИХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СРОЧНОЙ СТРУКТУРЫ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК 7 6 5 » çâàíèå ìåòîäó — SES (ñîêðàùåíèå îò Sinusoidal-Exponential Splines). Ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è îñíîâûâàåòñÿ íà àïïàðàòå îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà, èçëîæåííîãî â ïóáëèêàöèè Òèõîíîâà 1979 ãîäà. Ñ âûâîäîì ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â ðàáîòå Ëàïøèíà. Îïòèìàëüíàÿ ñòðóêòóðà ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïëàéí íåêîòîðîãî ñïåöèàëüíîãî âèäà: ( ) f ( t) = p s −1φ λ (τ s − t) + p s φ λ ( t − τ s −1) 2 , s s t ∈ [τ s −1,τ s ), (3) ãäå ⎧ sinh λ s t ⎪ , λ s > 0, ⎪ sinh λ s (τ s − τ s−1) ⎪ sin − λ s t ⎪ , λ s < 0, φ λ ( t) = ⎨ s sin − λ s (τ s − τ s−1) ⎪ ⎪ t , λ s = 0. ⎪ τ s − τ s−1 ⎪ ⎩ (3) Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèå êðèâîé äîõîäíîñòè ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ êîýôôèöèåíòîâ ps,s=0,...,n è λs,s=1,...,n ïî íàáëþäàåìûì äàííûì. Òàêæå ìîæåò áûòü ïîêàçàíî, ÷òî íàáîðû λs,s=1,...,n è ps,s=0,...,n íå ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè. Ôóíêöèÿ f(t), îïðåäåëÿåìàÿ (3), äîëæíà áûòü íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé â óçëàõ ñêëåéêè τ s,s=1,...,n, à ÷èñëà λs äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íåêîòîðîìó óñëîâèþ, êîòîðîå íå ïðèâîäèòñÿ çäåñü â ñèëó ñâîåé ãðîìîçäêîñòè. Ñàì íåïîñðåäñòâåííûé ïîèñê ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ëþáûì ìåòîäîì íåëèíåéíîé îïòèìèçàöèè. 4 3 2 0 2 NDF/CCS 4 6 8 G-Curve Ïîëó÷åííàÿ êðèâàÿ óñòðîåíà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü ýêîíîìè÷åñêóþ ñîñòîÿòåëüíîñòü è íàèëó÷øóþ ãëàäêîñòü ïðè çàäàííîé òî÷íîñòè. Íà Ðèñóíêå 4 ïîêàçàíà êðèâàÿ äîõîäíîñòè, âû÷èñëåííàÿ íà 1 èþëÿ 2010 ãîäà ðàññìàòðèâàåìûì ìåòîäîì, G-êðèâàÿ, ðàññ÷èòàííàÿ ÌÌÂÁ íà òó æå äàòó, è êðèâàÿ, ïîëó÷åííàÿ íà îñíîâå ñãëàæèâàíèÿ êîòèðîâîê NDF (non-deliveribale forwards) è CCS (cross currency swaps), êîòîðàÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ áåí÷ìàðêîì áåçðèñêîâîãî óðîâíÿ ñòàâîê â ðóáëÿõ. Òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ óêàçàííûõ êðèâûõ ìîæíî îöåíèòü, ðàññ÷èòûâàÿ ñðåäíåå ðàñõîæäåíèå ôàêòè÷åñêèõ öåí âñåõ ÎÔÇ è ìîäåëüíûõ öåí.  öåëîì â ðàññìàòðèâàåìîì ïåðèîäå ìåòîä SES äàåò áîëåå òî÷íóþ îöåíêó (â ñðåäíåì 0.59% îò íîìèíàëà) ïî ñðàâíåíèþ ñ G-êðèâîé (0.9% îò íîìèíàëà) è NDF/CCS (1.47% îò íîìèíàëà). Äëÿ òîãî ÷òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ, êàêîé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ áåñêóïîííîé êðèâîé âûáðàòü, íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëèòüñÿ, äëÿ êàêèõ çàäà÷ ïëàíèðóåòñÿ èñïîëüçîâàòü êðèâóþ. Òàê, íàïðèìåð, òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü ñóùåñòâåííî áóäåò ðàçëè÷àòüñÿ â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ ïðîöåíòíûì ðèñêîì, öåíîîáðàçîâàíèè îáëèãàöèé è öåíîîáðàçîâàíèè ïðîèçâîäíûõ ôèíàíñîâûõ êîíòðàêòîâ. Îïèñàííûé íàìè ìåòîä SES ÿâëÿåòñÿ íà äàííûé ìîìåíò îäíèì èç íàèáîëåå ìîùíûõ ìåòîäîâ ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîçâîëÿþùèõ ïîëó÷àòü áîëåå âûñîêóþ òî÷íîñòü ïî ñðàâíåíèþ ñ àíàëîãàìè, ãàðàíòèðîâàòü íåîòðèöàòåëüíîñòü ìãíîâåííûõ ôîðâàðäíûõ ïðîöåíòíûõ ñòàâîê è ïðè ýòîì èìåòü íàèëó÷øóþ ãëàäêîñòü. 10 SES Рисунок 4 Сравнение различных кривых доходности в рублях на 01.07.2010 « ВЫБИРАЯ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ БЕСКУПОННОЙ КРИВОЙ, НЕОБХОДИМО ОПРЕДЕЛИТЬСЯ, ДЛЯ КАКИХ ЗАДАЧ ПЛАНИРУЕТСЯ ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАТЬ. ТРЕБУЕМАЯ ТОЧНОСТЬ БУДЕТ СУЩЕСТВЕННО РАЗЛИЧАТЬСЯ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕНТНЫМ РИСКОМ, ЦЕНООБРАЗОВАНИИ ОБЛИГАЦИЙ И ЦЕНООБРАЗОВАНИИ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ КОНТРАКТОВ апрель 2011 » CBONDS REVIEW 57