Ю.В.Автономов НИУ ВШЭ, факультет экономики, 2014 Общее равновесие в экономике c двумя потребителями, двумя потребительскими благами и производством: граница производственных возможностей Описание модели. Граница производственных возможностей для двухтоварной/двухфакторной экономики. Парето-оптимальность и равновесие в экономике с двумя конечными благами и производством. Графическая иллюстрация. Предпосылки модели • Два конечных потребительских блага (1 и 2), два потребителя (A и B) с функциями полезности UA(x1A,x2A), UB(x1B,x2B). Запасов этих благ в экономике нет. • Два фактора производства (K, L), запасы которых принадлежат потребителям: ωKA, ωLA, ωKB, ωLB • Две фирмы-ценополучательницы: одна производит благо 1 по технологии y1 = f1(K1, L1), другая – благо 2 по технологии y2 = f2(K2, L2). • Прибыли фирм распределяются между потребителями в долях Θ1A, Θ1B ,Θ2A, Θ2B. 2 Допустимые состояния • Состояние экономики («распределение»): (x1A, x2A, x1B, x2B, y1, y2, K1, L1, K2, L2) • Будем называть допустимыми те состояния, для которых: A B x1 x1 y1 A B x2 x2 y2 y f (K , L ) 1 1 1 1 y2 f 2 ( K 2 , L 2 ) L L A B L L 1 2 A B K1 K 2 K K 3 Парето-оптимальные состояния Будем называть состояние A A B B ( x1 , x2 , x1 , x2 , y 1 , y 2 , K 1 , L1 , K 2 , L2 ) Парето-оптимальным, если не существует другого допустимого состояния A A B B ˆ ˆ ˆ ˆ ( x1 , x2 , x1 , x2 , yˆ 1 , yˆ 2 , Kˆ 1 , Lˆ1 , Kˆ 2 , Lˆ2 ) такого, что: B B B B B B A A A A A ˆ ˆ ˆ ˆ U ( x1 , x2 ) U ( x1 , x2 ) , U ( x1 , x2 ) U ( x1 , x2 ) A и хотя бы одно из этих неравенств строгое. 4 Парето-оптимальность: производство и потребление Для рассматриваемой модели, удобно разложить понятие Парето-эффективности состояния экономики на две составляющие: • Эффективность производства: факторы должны распределяться между производством благ 1 и 2 так, чтобы не было возможности увеличить выпуск одного товара, не сократив выпуск другого. • Эффективность потребления: произведенный набор благ 1 и 2 должен распределяться между потребителями А и B так, чтобы не было возможности увеличить полезность одного, не снизив полезность другого Если и производство, и потребление эффективны – состояние экономики оптимально по Парето. 5 Эффективность производства Чтобы найти способы распределения факторов, обеспечивающие эффективность производства, нужно решить задачу: Обозначим множество решений этой задачи как Ω. 6 Кривая производственных возможностей • Будем называть кривой производственных возможностей экономики (КПВ, PPF) множество , L ) y 1 f1 (K 1 1 PPF y 1 , y 2 : y 2 f 2 (K 2 , L 2 ) , L , K , L ) (K 1 1 2 2 • Т.е., PPF состоит из всех допустимых комбинаций y1 и y2, в которых нельзя увеличить выпуск одного блага, не сократив выпуск другого. 7 КПВ для однофакторной экономики: пример • Пусть технологии заданы производственными функциями и , а общие запасы труда в экономике составляют . 8 КПВ для двухфакторной экономики: пример Пусть технологии заданы производственными 0 , 25 0 , 25 функциями y1 K1 L1 и y2 K 2 L2 , а общие запасы труда и капитала в экономике составляют L 5 и K 10 . Проиллюстрируем изокванты обеих производственных функций в т.н. ящике Эджворта-Баули 9 Т.к. обе производственные функции строго квазивогнуты, и |MRTSKL| стремится к нулю (бесконечности) при приближении к соответствующим горизонтальным (вертикальным) осям, любое производственно эффективное распределение L и K должно удовлетворять условию ... 10 В сочетании с ограничениями на количество доступного труда и капитала, получаем систему уравнений: Если приравнять L1 к некому параметру 0 а 5, то мы получим следующую систему, описывающую оптимальное распределение факторов производства на КПВ: K1 2 a L a 1 K 2 10 2a L2 5 a Подставив эти выражения в производственные функции X и Y, получим систему, решением которой и является уравнение КПВ: X 1 20, 25 a 2 X 5 2 2 X 2 1 X 2 10 2a (5 a ) (5 a) 2 11 КПВ: графическая иллюстрация Тангенс угла наклона касательной к КПВ = альтернативные издержки производства товара 1. В экономической теории это соотношение называется предельной нормой трансформации блага 1 в благо 2 (marginal rate of transformation, MRT12) x2 MPL 2 MPK 2 MRT12 x1 MPL1 MPK 1 12 Парето-оптимальные распределения Утверждение: Если функции полезности и кривая производственных возможностей непрерывные и гладкие, а предпочтения строго монотонны, необходимым условием Парето-оптимальности внутренних состояний экономики является: MRS A 12 MRS B 12 MRT12 13 Равновесие Вектор цен и состояние r) ( p1 , p 2 , w, , L , K , L ) (x 1A , x 2A , x 1B , x 2 B , y 1 , y 2 , K 1 1 2 2 составляют равновесие по Вальрасу в экономике с 2 потребителями, 2 товарами, 2 факторами и 2 фирмами, если: (x 1k , x 2k ) является решением задачи потребителя k∈{A,B}: k k k maxU ( x , x 1 2 ) k k x ,x 1 2 p 1 x1k p 2 x 2k w Lk rKk 1k 1 2k 2 , L ) является решением задачи фирмы j ∈{1,2} j,K Комбинация ( y j j Набор j L j rj K j max p j y j w y j ,K j ,Lj y j f j (K j , L j ) Рынки обоих товаров и обоих факторов уравновешены. 14 Внутренние равновесия: условие касания p1 MP w 1 p MP 1 K r 2 p MP 2 L w p MP 2 r 2 K 1 L • последняя единица любого фактора, используемого любой фирмой, должна приносить доход, равный своей стоимости. Иначе либо владельцы ресурсов не максимизируют свою полезность, либо фирмы не максимизируют прибыль – ни того, ни другого в равновесии быть НЕ МОЖЕТ. • Попарно разделив эти уравнения одно на другое, получим: p1 MPL 2 MPK 2 X 2 / K 2 X 2 / L2 X 2 / L2 X 2 | MRT12 | 1 1 p2 MPL X 1 / K1 X 1 / L1 X 1 / (L2 ) X 1 MPK 15