§ 2. Предельный анализ моделей линейного и нелинейного

§ 2. Предельный анализ моделей линейного и нелинейного
программирования
Это
применение
дифференциального
исчисления
в
экономике
(экономической науке).
2.1. Предельный анализ моделей линейного программирования
В
результате
математических
исследований
моделей
линейного
программирования создана теория двойственности, в которой рассматривается
пара задач: прямая и двойственная. Эта теория может быть успешно применена
для решения широкого круга экономических задач.
Связи прямой и двойственной задач имеют определенные математические
свойства,
которые
позволяют
в
процессе
планирования
деятельности
предприятия выполнять глубокий экономический анализ производства и по
результатам такого анализа принимать обоснованные хозяйственные решения.
Введенные
оценки
факторов
производства
на
основании
теории
двойственности дают возможность получать ответы на ряд важных вопросов
планирования. Например: стимулируют ли цены на факторы и производимую
продукцию выполнять тот или иной план; следует расширять или сворачивать
производство того или иного вида продукции, покупать или продавать те или
иные материалы и сырье, используемые в производстве продукции и т.д.
Стандартная форма задачи ЛП:
Двойственная задача:
x – столбец, c – строка,
y – строка, b – столбец,
f ( x)  cx  max,
Ax  b,
yb  min,
yA  c,
y  0.
x  0.
Задача минимизации продажи
ресурсов
95
при
условии
убыточности
производства
(затраты производства единицы
товара  цены).
В теории двойственности доказана теорема, в которой утверждается: если
векторы x * и y * являются единственными допустимыми решениями прямой
и двойственной задач и они удовлетворяют условию
cx*  y * b
то эти векторы являются оптимальными решениями прямой и двойственной
задач. И наоборот, если векторы x * и y * оптимальны, то выполнено условие
cx*  y * b .
Заметим,
что
если
взаимодвойственные
задачи
ЛП
имеют
по
единственному решению, то эти решения невырождены. Вершину x*   n
называют невырожденной, если она образуется пересечением n линейно
независимых гиперплоскостей1. Последнее означает, что их нормальные
векторы линейно независимы.
Выясним экономический смысл информации, содержащейся в решении
прямой и двойственной задач.
Предположим, что в решении прямой задачи доход выражается в
денежных единицах, например в рублях. Произведению cx * соответствует
размерность цены, умноженной на количество продукции в натуральных
единицах (руб./ед.  ед. продукции). В двойственной задаче целевая функция
должна иметь ту же размерность. Коэффициенты b измеряют в единицах
количества ресурсов, следовательно, двойственные переменные y должны
выражаться в денежных единицах за единицу ресурса. Отсюда вытекает, что
двойственные переменные представляют собой цены ресурсов (руб./ед.
ресурсов). Поэтому в нашем случае переменные y являются внутренними
1
Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука,
1991. § 5. Задачи, 5.66. с. 126.
96
ценами ресурсов производства. В теории двойственности их называют
объективно
обусловленными
или
маргинальными
оценками,
теневыми,
учетными, вмененными, скрытые, фиктивные ценами.
Детализируем информацию о решении прямой и двойственной задач.
1. В прямой задаче линейного программирования (ЛП) искомым является
вектор плана производства продукции x * , который доставляет максимум
целевой функции cx . Если вектор коэффициентов целевой функции c
представляет собой рыночные цены на все виды производимой продукции, то в
результате решения задачи целевая функция cx * выражает доход от реализации
продукции в объеме x * .
2. В двойственной задаче искомым является вектор внутренних цен на
ресурсы y * , который доставляет минимум целевой функции y * b . Если вектор
коэффициентов целевой функции
b
представляет собой располагаемое
количество ресурсов всех типов, то в результате решения задачи целевая
функция y * b выражает минимальные издержки предприятия на оплату
ресурсов по внутренним (теневым) ценам y * .
3. В прямой задаче полные затраты ресурсов определяются произведением
матрицы A на вектор оптимального количества производства продукции x * .
Ресурс каждого типа i затрачивается на производство
xj
единиц
продукции j-го вида в количестве aij x j , а на производство всех видов
продукции – в количестве
Ai x  ai1 x1  ai 2 x2    aij xij    ain xn ,
где Ai – i -я строка матрицы A .
Решение задачи осуществляется в условиях действия следующей системы
ограничений, наложенных на ресурсы:
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 ,
a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2 ,

am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm ,
97
где строки последовательно отражают затраты первого, второго и т.д. ресурса в
рамках заданных ограничений b.
4. В двойственной задаче полные издержки предприятия на оплату
ресурсов определяются произведением транспонированной матрицы A на
вектор оптимальных внутренних цен в производстве продукции y * .
Внутренняя цена каждого вида j-й продукции всех типов i определяется
затратами ресурсов в производстве. Она состоит из суммы внутренних цен всех
ресурсов, которая вычисляется по формуле
yA j  a1 j y1  a2 j y2    amj ym ,
где A j – j-я столбец матрицы A .
Решение задачи осуществляется в условиях действия следующей системы
ограничений, которые наложены на цены:
a11 y1  a21 y2    am1 ym  c1 ,
a12 y1  a22 y2    am 2 ym  c2 ,

a1n y1  a2 n y2    amn ym  cn ,
где в левой стороне каждого неравенства по внутренним ценам определена
такая ценность ресурсов, которая наилучшим образом соответствует рыночным
ценам производимой продукции всех видов. Продажа имеющихся ресурсов по
внутренним ценам (левая сторона ограничений) не должна давать доход
меньший, чем реализация по рыночным ценам производимой из этих ресурсов
продукции (правая сторона неравенств).
Рассмотрев модель ЛП в планировании производства продукции, можно
сделать следующие выводы.
1. В случае оптимального решения прямой и двойственной задач
( cx*  y * b ) предприятию безразлично, использовать ли ресурсы в количестве b
на производство продукции в количестве x * или продать имеющиеся ресурсы
в количестве b по ценам y * . И в том и в другом случае предприятие получает
одинаковый доход. Предприятие при этом находится в точке рыночного
98
равновесия. В этой точке все равно, что делать: производить или продавать. Во
общее говоря, cx  yb для любых допустимых x и y (то есть, производить
всегда не выгоднее, чем продавать).
2. Если точка экстремума ( x*, y*) не достигнута, то по результатам
решения этих двух задач предприятию необходимо сделать выбор: производить
продукцию из располагаемых ресурсов или продавать имеющиеся ресурсы.
Решить этот вопрос можно методом предельного анализа.
3. Принимая указанные выше решения, необходимо учитывать, что
ресурсы, наличие которых превышает потребности производства, имеют
двойственные оценки (внутренние цены на предприятии), равные нулю.
Предельный анализ ресурсов производства осуществляется в точке
рыночного равновесия, при достижении экстремального значения целевой
функции. Будем рассматривать производственное планирование методом
линейного программирования. В качестве целевой функции примем доход от
продажи произведенных товаров или иной экономический эффект. В качестве
ограничений выступают располагаемые количества ресурсов. Задача состоит в
отыскании предельных продуктов всех ресурсов. При этом применяют прямую
и двойственную модели линейного программирования. Особенность решаемой
задачи состоит в том, что ассортимент продукции широк и количество видов
ресурсов велико.
Прямая и двойственная задачи линейного программирования в матричной
записи следующий вид.
Прямая задача:
Двойственная задача:
f ( x)  cx  max,
y (b  b )  min,
Ax  b  b,
yA  c,
y  0.
x  0.
Исследование равновесия и оценку ресурсов проводят в случае, если
прямая и двойственная задачи ЛП имеют единственное решение x * и y * .
Тогда согласно основной теореме двойственности значение целевой функции
99
на оптимальном решении прямой задачи равно значению целевой функции на
оптимальном решении двойственной задачи
  cx*  y * b ,
где x * , y * – оптимальные значения переменных прямой и двойственной задач,
 – максимальный доход от продажи произведенной продукции по рыночным
ценам и минимальные издержки предприятия на оплату ресурсов по
внутренним ценам.
Результат решения задач оптимизации выражает максимальный доход cx *
и минимальные издержки на использованные ресурсы по внутренним ценам
y * b . Точка равновесия предприятия определяется значениями переменных x *
и y *.
Перейдем к этапу предельного анализа приведенной модели.
Ослабим ресурсные ограничения путем достаточно малого приращения
ресурсов на b, тогда располагаемое количество ресурсов будет равно b + b.
При затратах ресурсов b единственный вектор оптимального выпуска
продукции равен x * , а при затратах ресурсов b +b также будет единственный
вектор оптимального выпуска x ** . Максимальный доход предприятия в
первом случае равен cx * , а во втором – cx ** . Целевые функции в этих случаях
будут удовлетворять равенствам
cx*  y * b и cx **  y **(b  b)  y * (b  b) ,
где y*  y ** при достаточно малом b.
Заметим, что в рассматриваемом случае при достаточно малом векторе  b
двойственная задача с целевой функцией y * (b  b) будет иметь решение y * .
Вычислим прирост целевой функции
  = c( x **  x*) = y * (b  b) – y * b = y *  b .
Это означает, что стоимость дополнительных затрат на ресурсы по внутренним
ценам равна приросту дохода. Получаем уравнение для оптимальной величины
двойственных переменных y *  b =   . Для отдельного вида ресурсов
100
имеем соответственно yi* =   /bi
=
 

. Следовательно,
bi 0 b

b
i
i
lim
двойственные переменные модели линейного программирования в точке
равновесия равны предельным доходам соответствующих ресурсов. Если в
качестве целевой функции выступает иной экономический эффект, то
двойственные переменные модели равны приросту экономического эффекта
на единицу дополнительно затрачиваемых ресурсов.
Выводы
1. В математическом программировании величины y  { y1 , , yn } , i = 1, ,
m являются двойственными переменными к плановым объемам выпуска
продукции x  col{x1 ,, xn } , j = 1, , n.
2.
Экономически
значения
двойственных
переменных
выражают
внутренние цены предприятия на имеющиеся ресурсы. Эти цены обусловлены
внутренними характеристиками хозяйственной деятельности предприятия. При
этом учитывается фактор цен на продукцию предприятия. Любое изменение
названных факторов влечет за собой изменение внутренних цен на ресурсы.
3. Если значения двойственных переменных больше значений внешних
цен при покупке ресурсов, то экономически выгодно увеличить объем выпуска
продукции за счет дополнительной покупки таких ресурсов. Если закупочные
цены
ресурсов
превышают
значения
соответствующих
двойственных
переменных, то затраты этих ресурсов необходимо сокращать, а ресурсы
продавать.
4. Пара двойственных моделей линейного программирования имеет
экономический смысл только в том случае, если xj  0, yi  0. Но если
некоторый ресурс используется в производстве не полностью, т.е. имеет место
n
неравенство
a x
ij
j
< bi, то для такого ресурса полагают внутреннюю цену yi =
j 1
0.
5. Если предположить, что в результате деятельности предприятие
получает близкий к максимальному доход (  ≈ cx * ), то хозяйственную
101
ценность, близкую к внутренним ценам используемых ресурсов, можно
приблизительно оценить при помощи показателей предельного дохода от
ресурсов (yi* ≈   /bi). Вычисленные таким способом внутренние цены
позволяют принимать хозяйственные решения, описанные выше.
2.2. Предельный анализ моделей нелинейного программирования
В
данном
параграфе
рассматривается
на
программирования.
применение
примере
метода
математической
Рассмотрим
задачу:
предельного
модели
f ( x )  max ,
анализа
нелинейного
g ( x)  b ,
где
x  col{x1 ,..., xn }  S , где S – открытая область в  n , g  col{g1 ,..., g m } , m  n .
Предположим, что функции g1 , , g m – линейно независимые.
Аналогично
случаю
модели
линейного
программирования
задачу
предельного анализа модели нелинейного программирования решают в два
этапа: на первом этапе определяют рыночное равновесие производства, которое
находится в точке максимума целевой функции, на втором этапе в точке
равновесия проводят предельный анализ, ослабляя ресурсные ограничения.
Для выполнения первого этапа достаточно потребовать существования и
единственности
выполнения
решения
второго
задачи
этапа
нелинейного
достаточно
программирования.
потребовать
Для
существования,
единственности и непрерывно дифференцируемой зависимости решения задачи
нелинейного программирования для всех неотрицательных векторов b из
некоторого открытого подмножества линейного пространства m-мерных
векторов.
Возьмем функцию Лагранжа:
L( x,  )  f ( x)   (b  g ( x )) .
Необходимое условие экстремума:
102
g
 L f



 0,
 x x
x

 L  b  g ( x)  0,
 
будем считать, что эти условия и достаточные. Здесь
f  f
f 
  ,...,
.
x  x1
xn 
Если такая система уравнений имеет решения, то для единственности
решения задачи максимизации функции
L( x,  ) достаточно потребовать
строгую выпуклость вверх функции f(x) и строгую выпуклость вниз функций
gi (x) для всех i  1, ... , m на общей непустой области определения функций f(x) и
gi (x) во множестве n-мерных векторов. Кроме того, достаточно предположить
строгое возрастание функций f (x) и gi (x). В этом случае в точке максимума
функции L( x,  ) справедливы неравенства ∂f /∂xj > 0, ∂gi /∂xj > 0,
Для
непрерывно
дифференцируемой
зависимости
i > 0.
решения
задачи
нелинейного программирования от вектора ограничений b достаточно
потребовать непрерывную дифференцируемость функций f(x) и gi (x).
Для доказательства соотношений
показать, что если величины bi
f 

   необходимо сначала
b b
рассматриваются как переменные, то
переменные x j и yi (j = 1,..., п; i = 1,..., т) можно представить в виде функций
bi . Рассмотрим с этой целью условия g ( x )  b ,
f
g

, которые можно
x
x
записать в виде системы т + п уравнений с 2т + п неизвестными (b, у, х), если
считать bi (i = 1,2,..., т) переменными величинами
 1 (b, y, x )  b  g ( x )  0,
f
g
 2 (b, y , x )   
 0.
x
x
Запишем матрицу Якоби этой системы уравнений в следующем виде:
103

E

0


0

g 
x
g 
x 
,
2L 

x 2 

где Е – единичная матрица порядка т. Ранг матрицы Якоби равен т, если
выполнены достаточные условия (о достаточных условиях смотри замечание

 0
2), налагаемые на окаймленную матрицу Гессе 
 g 

 x
g 
x 
 . Следовательно, по
2L 

x 2 
теореме о неявной функции1, решая систему уравнений, составленную из т + п
условий, можно представить инструментальные переменные x и у, и
множители Лагранжа  в виде функций от постоянных ограничений b:
x  x(b ) ,    (b) .
Подставим найденные значения в функцию Лагранжа:
L  L( x,  ) = L( x(b),  (b)) = L(b) = f ( x (b)) +  (b)(b  g ( x(b)))
в том числе экстремум х*:
0 - из ограничения

f L f x  
g x



+
 (b  g ( x ))   (b)   (b )  
=
b
x b
b b x b
 f
g  x
=    (b)   +  (b) =  (b) ,
 x
x  b


где
  
 
  ,,
.
b  b1
bm 
В точке экстремума х*:
f 
 *

   , или  *i 
. Иначе говоря, в
b b
 bi
точке равновесия при малом ослаблении i-го ресурсного ограничения
множитель Лагранжа равен предельной эффективности использования
1
Сюдсетер К., Стрём А., Берк П. Справочник по математике для экономистов / Пер. с
норвежск. СПб.: Экономическая школа, 2000. Глава 6.
104
соответствующего ресурса при прочих равных условиях, т. е. при постоянных
величинах остальных ресурсов.
По аналогии с анализом модели линейного программирования множители
i*
называют
двойственными
переменными
модели
нелинейного
программирования. Двойственные переменные i* имеют экономический
смысл внутренних цен ресурсов. Число этих переменных равно числу
ресурсных ограничений.
Если в абстрактной постановке задачи исследования в качестве цели
рассматривать некоторый производственный эффект или определенную пользу,
то
двойственные
переменные
выражают
предельную
эффективность
производства. Предельная эффективность ресурса производства совпадает с
двойственной оценкой (внутренней ценой) ресурса.
Замечание
следовательно,
1.
Рассмотрим
задачу:
f ( x)  max ,
g ( x)  b ,
x  0,
 *
 *
  , g i ( x )  bi в точке экстремума, i 
 0 , то есть,
b
bi
цена данного ресурса нулевая.
Замечание 2. Перечислим, какие существуют необходимые и достаточные
условия
по
методу
Лагранжа
классической
задачи
математического
программирования, то есть следующей задачи, найти
f ( x)  max , при условии, что g ( x )  b .
Составим функцию Лагранжа
L  L( x,  ) = f ( x )   (b  g ( x)) .
Необходимое условия второго порядка состоят в том, что матрица Гессе
105
 2 L

2
 x1


2 L  2 L

x 2  x2x1

 
 2
  L
 x x
 n 1
2L
x1x2
2L
x22

2L
xn x2
2L 


x1xn 


2L 

,
x2xn 


 

2L 

xn2 
должна быть отрицательно определенной или отрицательно полуопределенной
в точке локального максимума ( x , y  ) при том условии, что
dg 
Если при
указанных
g 
( x )dx  0 .
x
условиях матрица
Гессе
определенной, то условия первого порядка
является
g ( x)  b ,
отрицательно
f 
g
( x )    ( x )
x
x
является достаточными для существования локального максимума1,2. Условие,
что матрица Гессе является отрицательно определенной при ограничениях
dg 
g 
( x )dx  0 , может быть представлено в форме
x
nm
условий,
налагаемых на знаки некоторых миноров размерности (n  m)  (n  m)
1
Шостак Р.Я. О признаке условной определенности квадратичной формы n переменных,
подчиненных линейным связям, и о достаточном признаке условного экстремума функций n
переменных // Успехи матем. наук. 1954. Т. 9, вып. 2. С. 199-206.
2
Lipsey R., Lancaser K. The general theory of the second best // Review of economic studies. 1956.
V. 24. P. 11-32.
106

 0

 g 

 x

 0

 

g   0
x  

 2 L   g1

x 2   x1

 
 g
 1
 xn

0
g1
x1
g1
x2







0
g m
x1
g m
x2


g m
x1
2L
x12
2L
x1x2







g m
xn
2L
xn x1
2L

xnx2
g1 
xn 

 

g m 
xn 
,
 2L 
x1xn 

 
 2L 

xn2 
полученной в результате окаймления матрицы Гессе матрицами Якоби
(K.G.J.Jacobi) для функции ограничений. Условия локального максимума в
такой форме заключаются в том, что последние n  m главных миноров этой
окаймленной матрицы Гессе имеют чередующие знаки, причем знак первого из
них совпадает со знаком (1)m1 .
2.3. Функции производственных затрат и прибыли в долгосрочном периоде
2.3.1. Задача максимизации выпуска продукции
Пусть поставлена задача: y  f ( x)  max ,
f ( x) – производственная
n
функция – пусть для нее выполнены аксиомы 1-4,
px
i i
 c – бюджетное
i 1
ограничение, c – бюджет, p   p1 ,..., pn  – вектор цен ресурсов, x  col x1 ,..., xn 
– вектор факторов производства.
n
Решение: составляем функцию Лагранжа: L( x,  )  f ( x)   ( pi xi  c) .
i 1
Ищем её стационарные точки:
соотношение:
L f

  pi  0 . Выписывается следующее
xi xi
f
f  f
f 
  pi , что эквивалентно
  ,...,
 || p . Видим, что в
x  x1
xn 
xi
107
стационарной точке выполняются: вектор предельных продуктов (вектор
предельных производительностей) параллелен вектору цен.
Рассмотрим эту задачу графически.
x2
р – нормаль к изокосте
grad f – нормаль к изокванте
 и единств. стац. точки
обеспечивается св-ми ПФ
в силу выпуклости вверх поверхности
ф-ции f(x) стац. точка есть a точка
максимума
нормаль
grad f=f/x||p
x 2*
y*
изокванта
p
изокванта
0
x1
*
n
L
 с   pi xi  0

i 1
–
это
ограничение
дает
изокосту.
Найдется
оптимальная точка x*  ( x1* , x2* ) и существует оптимальный выпуск y*, в связи со
всем перечисленным x*  y*,
n
*
i i
*
 p x (y ) .
i 1
2.3.2. Задача минимизации затрат при фиксированном выпуске
n
 p x  min ,
Рассмотрим другую задачу:
i i
f ( x )  y  const – выпуск,
i 1
xi  0 . Составляем функцию Лагранжа:


n

L( x,  )   pi xi   ( f ( x )  y ) .
i 1
получаем две взаимные задачи, применяем те же методы и получаем:

 f
L
 pi  
 0,
xi
xi


1
.

В этом случае изокванта фиксируется, а изокоста движется, для другой
задачи наоборот: изокванта движется, а изокоста фиксируется.
108
c  c( y )
Обозначим:
–
n
ФПЗ

c  c( y )   pi xi* ( y ) – ФПЗ, pi = 
i 1
n
c  c( y ) =

i 1
(если
минимизируем
затраты),
f
,
xi
n
f
f ( x)
f
x
 xi 
= f ( x)   
 i =
xi
f ( x)
f ( x)
i 1 xi
эласт-чть
n
=  f ( x )  E xyi =  f ( x ) E ,
i 1
эласт-ть
пр-ва
(масштаб
пр-ва)
y  f ( x) , c  c ( y )   yE .
Если f(x) ПФ однородности т, то E = m , следовательно, c  c ( y )   ym
(затраты прямо пропорциональны выпуску),  – множитель Лагранжа из
задачи минимизации затрат.
Надо найти  : в каждой задаче  в зависимости от точки касания
меняется.
n
c( x)   pi xi ( y )
x2
i 1
f
 p
x
*
2
x
В оптимальной точке х зависит от у
x1*  x1 ( y ) , x2*  x2 ( y ) .
y=const
x1*
0
x1
n
dc   pi dxi
–
приращение
функции
вдоль
касательной,
dc
=
i 1
n
n
f
f
=
dxi =  
dxi , dc  dy , следовательно,
xi
i 1
i 1 xi


dc
dy
– предельные
df  dy
издержки, на сколько изменятся затраты при изменении выпуска на одну
единицу.
dy 1
   – предельная производительность затрат, учетная цена, на
dc 
109
сколько изменится
следовательно,
y
при изменении затрат на единицу,
dc
 Ey ,
dy
c dc

E – средние удельные издержки = эластичности,
y dy
умноженной на предельные издержки:
E
c
средняя
произв-сть

пред.
y dy 1 1
   
.
c dc E E произв-ть
c dc
:
…
y dy
эластичность
сред.
по масштабу =
пред.
издержки
:
издержки
производства

dy c
 – эластичность производства по затратам.
dc
y

E
dc y 1 эластичность издержек
  =
=
по выпуску
dy c E
1
эластичность
.
масштабов производства
2.3.3. Случай ПФ однородности m
Пусть
производственная
функция
удовлетворяет
условию:
f ( x ) =  m  f ( x ) ,   0 , следовательно, E = m , m  0 , и справедливо равенство:
m
dy c

dc
y

,m
dc dy dc dy
= ,

,
c
y c my
ОДУ с разделяющ. переменными
ln | c | =
1
ln | y |  ln | c(1) | .
m
1
m
Откуда получаем: c  c(1) y , c(1) – затраты при единичном выпуске. Если
m  1, то c  c(1) y , то есть, ПФЗ – линейная функция. Например, ПФКД.
110
2.4. Задача максимизации прибыли. Теория фирмы.
Условия равновесия производства одного продукта
Рассмотрим неоклассическую теорию фирмы.
Основные предположения.
1.
Пусть выпуск ПФ у = f(x) гарантируется производственной функцией.
2.
Случай совершенной конкуренции: нет ограничений на объем выпуска,
реализации продукции, и нет ограничений на покупки факторов.
Удельный вес любой фирмы невелик (нет монополии), возможен
свободный выход на рынок и уход с него.
2.4.1. Основная задача максимизации
Будем искать
K
прибыль
= R ( y ) =  y – c( y )  max . Здесь  – цена единицы
n
товара, с = с(у) – ФПЗ, c( y )   pi xi ( y ) .
i 1
Необходимое условие на максимум: R ( y )   
точке выполняется соотношение:
dc
 0 . В стационарной
dy
dc
    , следовательно, предельные
учетная
dy
ставка
издержки = цена единицы товара, x* = x*(y) – функция спроса на факторы
(ресурсов в зависимости от выручки).
2.4.2. Задача оптимизации прибыли в случае однородной производственной
функции
1
m
1
m
Получили ФПЗ: c  c( y )  c (1) y , m  0 , R  R ( y )   y  c(1) y  max ,
dR
1 m1 1
y  0,
   c (1)  y
 0.
dy
m
111
Рассмотрим три случая.
а) Если m  1, то R  R ( y )   y  c (1) y , находим
dR
   c (1)  0 .
dy
Очевидно,
 0,   c(1),


  c(1)  0,   c(1),

 0,   c(1),
следовательно, чем больше выпускаем, тем больше
прибыль,
следовательно, прибыль всегда равна 0,
следовательно, прибыль всегда меньше 0.
R=R(y)
>c(1)
=c(1)
0
<c(1)
1
1
1
dR
m
б) Если 0  m  1 , то R  R ( y )   y  c(1) y , находим
=    c (1) y =
m
dy
1
m
1
1 m
1
1
1
m
m
m
=0, 0 < m  1, то
 1,
 1  0 , следовательно, y 
, ym 
,
m
m
c(1)
c(1)
m
  m 1 m
y*  
 .
 c(1) 
d 2R
Очевидно, что
 0 , следовательно, y*  max , и x*  x * ( y * ( (1)) –
dy 2
функция спроса на факторы в зависимости от цены.
112
y
1
c(1) y m
R(y)
y*
0
y
Y* = y*() – функция предложения выпуска в зависимости от цены
1
1
1
dR
m
в) Если m > 1, то R  R ( y )   y  c(1) y , находим
=    c (1) y = 0,
m
dy
1
m
m  1,
1
 1,
m
то
m 
y*  

 c(1) 
m
1 m
1
1  0 ,
m
следовательно,
y
1
1
m
m

,
c(1)
m
 c(1)  m 1
*

 . Но здесь R ( y )  0 .
 m 
c(1) y
1
m
πy
ymin
0
y
R(y)
Найти точку пересечения:
1
m
 y  c(1)  y , y
1
1
m
m
c(1) m 1 c(1)
m
 c (1)  1

,
m
y


y

min




  
113
y
1 m
m

m
,
c(1)
ymin – min возможный выпуск, начиная с которого прибыль > 0. При
объемах выпуска 0  y  ymin – выпуск нецелесообразен. Если ymin  y  yпред., то
y* = yпред., следовательно, R*max = R*max (yпред.).
114
Задачи
Задача
1.
Решить
графически
следующие
задачи
линейного
программирования. Найти объективно обусловленные оценки факторов.
Составить и решить графически двойственные задачи. Найти учетные цены.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x1  2 x2  max,
2 x1  2 x2  max,
x1  x2  10,
x1  x2  10,
2 x1  x2  4,
2 x1  x2  4,
x1 , x2  0.
5 x1  3 x2  max,
x1 , x2  0.
x1  2 x2  max,
9.
3 x1  5 x2  15,
x1  x2  10,
3 x1  2 x2  10,
x1  2 x2  10,
x1 , x2  0.
x1  3 x2  max,
x1 , x2  0.
x1  2 x2  max,
10.
3 x1  6 x2  1,
x1  x2  0,
x1  3 x2  2,
2 x1  x2  4,
x1 , x2  0.
x1  x2  max,
x1 , x2  0.
x1  2 x2  max,
11.
3 x1  2 x2  1,
x1  x2  11,
x1  x2  2,
2 x1  x2  4,
x1 , x2  0.
3 x1  2 x2  max,
x1 , x2  0.
2 x1  2 x2  max,
12.
2 x1  x2  6,
x1  x2  11,
x1  2 x2  8,
2 x1  x2  4,
x1 , x2  0.
2 x1  2 x2  max,
x1 , x2  0.
2 x1  3 x2  max,
13.
x1  x2  10,
 x1  x2  4,
x1  2 x2  10,
x1  x2  8,
x1 , x2  0.
3 x1  2 x2  max,
x1 , x2  0.
x1  x2  max,
14.
2 x1  x2  2,
 x1  3 x2  6,
x1  2 x2  8,
3 x1  x2  6,
x1 , x2  0.
x1 , x2  0.
115
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
3 x1  2 x2  max,
23.
2 x1  x2  max,
2 x1  x2  6,
2 x1  x2  2,
x1  2 x2  8,
x1  x2  2,
x1 , x2  0.
x1  2 x2  max,
x1 , x2  0.
2 x1  x2  max,
24.
x2  3,
3 x1  x2  1,
x1  2 x2  8,
x1  3 x2  5,
x1 , x2  0.
5 x1  3 x2  max,
x1 , x2  0.
x1  x2  max,
25.
3 x1  5 x2  15,
x1  x2  1,
5 x1  2 x2  10,
 x1  x2  1,
x1 , x2  0.
5 x1  3 x2  max,
x1 , x2  0.
2 x1  10 x2  max,
26.
3 x1  5 x2  15,
 x1  x2  0,
5 x1  2 x2  10,
 x1  5 x2  5,
x1 , x2  0.
x1  1,5 x2  max,
x1 , x2  0.
5 x2  max,
27.
2 x1  3 x2  6,
x1  x2  2,
x1  4 x2  4.
 x1  5 x2  10,
x2  0,75 x1  max,
x1 , x2  0.
5 x2  max,
28.
 x1  x2  0,
x1  x2  1,
0,5 x1  x2  1,
0,5 x1  5 x2  10,
x1 , x2  0.
1,5 x1  2,5 x2  max,
x1 , x2  0.
5 x1  x2  max,
29.
 x1  3 x2  3,
x1  2 x2  4,
 x1  x2  2,
2 x1  3 x2  3,
x1 , x2  0.
 x1  10 x2  max,
x1 , x2  0.
5 x1  x2  max,
30.
 x1  0,5 x2  0,
x1  x2  2,
 x1  5 x2  5.
x1  3 x2  3,
x1 , x2  0.
дв. зад. не им. реш.
116
31.
5 x1  x2  max,
35.
x1  2 x2  max,
x1  x2  1,
x1  3 x2  30,
 x1  x2  2.
x1  x2  15,
x1 , x2  0.
у дв. зад. нет реш.
32. 3 x1  2 x2  max,
33.
34.
36.
5 x1  3 x2  max,
2 x1  x2  2,
3 x1  5 x2  15,
 x1  2 x2  1,
5 x1  2 x2  10,
x1 , x2  0.
x1  3 x2  max,
x1 , x2  0.
2 x1  3 x2  max,
37.
3 x1  6 x2  1,
3 x1  2 x2  6,
x1  3 x2  2,
 x1  4 x2  4,
x1 , x2  0.
2 x1  3 x2  max,
x1 , x2  0.
x1  3 x2  max,
38.
x1  2 x2  16,
3 x1  6 x2  1,
5 x1  2 x2  40,
x1  3 x2  2,
x1 , x2  0.
x1 , x2  0.
Задача 2. Решить графически следующие задачи математического
программирования. Вычислить объективно обусловленные оценки факторов.
1.
x1 x2  max,
4.
2 x1  x2  2,
3
 x1  1
x1 , x2  0.
2.
1  x1 1  x2   max,
5.
6.
x12 x22

 1,
4
9
x1 , x2  0.
x1  2 x2  max,
x1 , x2  0.
50ln  x1  1  100ln  x2  1  max,
 x22  0,
x1 , x2  0.
x1 x2  max,
4 x1  x2  1,
3.
x12  x22  min,
x1  2 x2  1,
3 x12  x22  1,
x1 , x2  0.
x1  8 x2  1,
x1 , x2  0.
117
7.
8.
9.
16. 10 x1  16 x2  x12  x22  max,
3 x12  2 x22  3 x1  1  max,
x12  x22  4  0,
x1  2 x2  21,
x1 , x2  0.
5 x1  2 x2  42,
x1  x2  max,
x1 , x2  0.
x1  2 x2  min,
17.
x12  x22  1,
x1 x2  2,
x1 , x2  0.
x1 , x2  0.
e  1 2   max,
2 x1  3 x2  4,
18.
 x x
x1  2 x2  max,
3 x12  x22  1,
x1  8 x2  1,
x1 , x2  0.
x1 , x2  0.
10.
sin x1 cos x2  max,
19.
3 x1 x2  x23  max,
x1  x2  0,
2 x1  5 x2  20,
x1 , x2  0.
x1  2 x2  5,
x1 , x2  0.
11.
20.
2
1
 x1  2 x  16 x1  20 x2  max,
2 x1  5 x2  40,
9 x12  x22  54 x1  4 x2  max,
x1 , x2  0.
2 x1  x2  16,
x1 , x2  0.
12.
21.
 x12  x22  12 x1  6 x2  max,
x12  x22  16  0,
13.
0  x1  4, 1  x2  2.
x1 , x2  0.
2 x1  x2  max,
22.
x12  x22  9  0,
14.
 x12  9 x22  12 x1  36 x2  max,
2 1  x12  2 x22  x1  x2  max,
5  x1  8, 1  x2  10.
x1 , x2  0.
x1  2 x2  max,
23.
4
x12  x22  1,
2 x1  x2  2,
x1  x2  0,
x1 , x2  0.
x1 , x2  0.
15.
24.
 x12  2 x1  x2  max,
 x12  x2  max,
2 x12  3 x22  6,
2 x1  2 x2  1,
x1 , x2  0.
x1 , x2  0.
118
4
  x1  2    x2  1  max,
25.
28.
4 x12  x22  2 x2  max,
 x12  x22  6 x1  4 x2  max,
x12  x22  4 x2 ,
x1  x2  2,
x1  x2  2,
x1 , x2  0.
x1 , x2  0.
26.
29.
 x12  3x1  x22  max,
x12  2 x2  0,
 x12  4 x22  8 x1  8 x2  max,
0  x1  2, 0  x2  3.
 x1  x2  0,
x1 , x2  0.
27.
30.
x1  x22  max,
 x12  x22  10 x1  15 x2  max,
x12  x22  1,
5 x1  13 x2  51,
x1 , x2  0.
15 x1  7 x2  107,
x1 , x2  0.
119
Список литературы к § 2
1. Абрамов Л.М. Математическое программирование: Теория выпуклого
программирования / Л.М. Абрамов, В.Ф. Капустин.– СПб.: Изд-во С.Петербург. гос. ун-та, 2001. – 262 с.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах:
Учеб. пособие. 2-е изд., испр. / И.Л. Акулич. – СПб.: Изд-во «Лань», 2009.
– 352 с. – (Учебники для вузов. Спец. лит-ра).
3. Андреева Е.А. Вариационное исчисление и методы оптимизации: Учеб.
пособие для университетов / Е.А. Андреева, В.М. Цирулева. – М.: Высш.
шк., 2006. – 584 с.
4. Ашманов С.А. Линейное программирование / С.А. Ашманов. – М.: Наука,
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. – 304 с.
5. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. –
М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – 296 с.
6. Ашманов С.А. Теория оптимизации в задачах и упражнениях / С.А.
Ашманов, А.В. Тимохов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 448
с.
7. Багриновский
К.А.
Экономико-математические
методы
и
модели
(микроэкономика): Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / К.А.
Багриновский, В.М. Матюшок. – М.: Изд-во РУДН, 2006. – Глава IV.
8. Батищева
С.Э.
Математические
модели
микроэкономики:
Учеб.
пособие.– 2-е изд., перераб. и доп. / С.Э. Батищева, Э.Д. Каданэр, П.М.
Симонов. – Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006. – Глава 2.
9. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических
систем: Учеб. пособие / Е.В. Бережная, В.И.Бережной. – М.: Финансы и
статистика, 2001. – 368 с.
10. Березнева Н.А. Математические модели экономики: сборник задач: учеб.
пособие для вузов / Отв. ред. д.э.н. Г.М. Мкртчян / Н.А. Березнева, А.В.
Комарова. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. – 143 с.
120
11. Васильев Ф.П. Линейное программирование / Ф.П. Васильев, А.Ю.
Иваницкий. – М.: Изд-во «Факториал», 1998. – 176 с.
12. Гранберг А.Г. Моделирование модели социалистической экономики:
Учеб. пособие для экон. вузов и фак. / А.Г. Гранберг. – М.: Экономика,
1978. – 352 с.
13. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства: Учеб. пособие
для студ. вузов, обучающихся по спец. «Экон. кибернетика» / А.Г.
Гранберг. – М.: Экономика, 1985. – 240 с.
14. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики: Учебник для
студ. экон. Вузов / А.Г. Гранберг. – М.: Экономика, 1988. – 488 с.
15. Гришин А.Ф. Статистические модели в экономике: Учеб. пособие / А.Ф.
Гришин, С.Ф. Котов-Дарти, В.Н. Ягунов. – Ростов н/Д: «Феникс», 2005. –
Сер. «Высш. образ.». – Глава 4, 4.1.
16. Гришин А.Ф. Статистические модели: построение, оценка, анализ: Учеб.
пособие / А.Ф. Гришин, Е.В. Кочерова. – М.: Финансы и статистика, 2005.
– Глава 4, 4.1.
17. Замков О.О. Математические методы в экономике: Учеб. / Под общ. ред.
д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд.,
стереотип. / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М.:
Изд.-во «Дело и Сервис», 2004. – (Учеб. МГУ им. М.В. Ломоносова). –
Глава 10.
18. Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике / Ю.П. Иванилов,
А.В. Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1979. – 304 с.
19. Интрилигатор
М.
Математические
методы
в
оптимизации
и
экономическая теория / Пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана / М.
Интрилигатор. – М.: Айрис-Пресс, 2002. – Глава 8, 8.1.
20. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию.
2-ое изд., доп. и перераб. / И.Л. Калихман. – М.: «Высш. шк.», 1975. – 372
с.
121
21. Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического
программирования. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. – 192 с.
22. Колемаев В.А. Математическая экономика. Учеб. для студ. вузов, обуч. по
экон. спец. – 3-е стереотип. изд. / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2005. – Глава 1.
23. Кузнецов А.В. Высшая математика: Математическое программирование:
Учеб. / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод; Под общ. ред. А.В.
Кузнецова. – Мн.: Высш. шк., 1994. – 288 с.
24. Лопатников
Л.И.
Экономико-математический
словарь:
Словарь
современной экономической науки. – 5-е изд., перераб. и доп. / Л.И.
Лопатников. – М.: Дело, 2003. – 520 с.
25. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование / А.В.
Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – 392 с.
26. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учеб.-прак.
пособие для вузов / В.И. Малыхин. – М.: Изд-во УРАО, 1998. – Тема 2,
2.1.
27. Матвеенко В.Д. Модели экономической динамики. Учеб. пособие / В.Д.
Матвеенко. – СПб.: СПб. филиал ГУ-ВШЭ, 2006. – 108 с.
28. Математическая экономика на персональном компьютере: пер. с яп. / М.
Кубонива, М. Табата, С. Табата, Ю. Хасэбэ; Под ред. М. Кубонива; Под
ред. и с предисл. Е.З. Демиденко. – М.: Финансы и статистика, 1991. –
Глава 2, 2.2.
29. Моделирование народнохозяйственных процессов: Учеб. пособие / Под
ред. И.В. Котова. – 2-е изд., испр. и доп. – Л.: Изд-во Ленинград. ун-та,
1990. – Глава 1, § 4.
30. Моделирование экономических процессов: Учеб. для студ. вузов, обуч.
по спец. экон. и упр. (060000) / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой,
Ю.Н. Черемных. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 3.
122
31. Сюдсетер К. Справочник по математике для экономистов / Пер. с
норвежск. Под ред. Е.Ю. Смирновой / К. Сюдсетер, А. Стрём, П. Берк. –
СПб.: Экономическая школа, 2000. – Главы 3, 6, 25.
32. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учеб. / Ю.Н.
Черемных. – М.: ИНФРА-М, 2008. – (Учеб. экон. фак. МГУ им. М.В.
Ломоносова). – Глава 6.
33. Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб.
пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. / С.И. Шелобаев. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 1.
34. Шостак Р.Я. О признаке условной определенности квадратичной формы
n переменных, подчиненных линейным связям, и о достаточном признаке
условного экстремума функций n переменных / Р.Я. Шостак // Успехи
матем. наук. 1954. Т. 9, вып. 2. С. 199-206.
35. Шуликовская В.В. Математическая экономика / В.В. Шуликовская. – М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Ин-т компьютер.
исслед., 2006. – 96 с.
36. Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов
вузов / Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд-во «Экзамен», 2004.
– Глава 7.
37. Экономико-математический энциклопедический словарь / Гл. ред. В.И.
Данилов-Данильян. – М.: Большая Российская энциклопедия: Изд. Дом
«Инфра-М», 2003. – 668 с.
38. Lipsey R. The general theory of the second best / R. Lipsey, K. Lancaser //
Review of economic studies. 1956. V. 24. P. 11-32.
123