Монополистическая конкуренция и олигополия в

Журнал Новой экономической ассоциации, № 3 (19), с. 10–26
Е.В. Желободько
НИУ ВШЭ, Москва; ИМ СО РАН, НГУ, Новосибирск
А.В. Сидоров
НИУ ВШЭ, Москва; ИМ СО РАН, НГУ, Новосибирск
Ж.-Ф. Тисс
НИУ ВШЭ, Москва; Центр исследования операций и эконометрики
(CORE); Католический университет Лувена, Бельгия
Монополистическая конкуренция
и олигополия в «большой экономике»:
велика ли разница? 1, 2
В работе изучается рынок горизонтально дифференцированного блага,
производимого при возрастающей отдаче от масштаба. Сопоставляются три
распространенные концепции равновесий: олигополия Курно, олигополия
Бертрана и монополистическая конкуренция. При потребительских предпочтениях достаточно общего вида показано, что индекс рыночной власти Лернера
является наибольшим в равновесии Курно, наименьшим при монополистической конкуренции, а равновесие Бертрана занимает промежуточное положение.
При неограниченном росте числа фирм-конкурентов N оба типа олигополистических равновесий сходятся к монополистически конкурентному с темпом 1 / N .
Исследование обобщает известные аналогичные результаты для рынка однородного блага.
Ключевые слова: монополистическая конкуренция, олигополия, дифференцированные блага, рыночная власть, индекс Лернера.
Классификация JEL: D43; D41; F12; L13.
Введение
Традиционной является идея, что использование идеализированной конкурентной модели рынка будет оправданным, если ее
предсказания служат хорошей аппроксимацией наблюдаемых фактов, несмотря на то, что предположения совершенной конкуренции
в реальности редко имеют место. В теории частичного равновесия
однородного блага это оправдание воплощено в так называемой
Народной теореме (по аналогии с Народной теоремой в теории игр),
которая утверждает, что если размер фирм мал по сравнению с размером рынка, то рыночный исход достаточно хорошо аппроксимируется конкурентным равновесием. Конкретная формулировка данного утверждения зависит от деталей модельных предположений:
структуры издержек, типа стратегического поведения фирм, степени
открытости отрасли.
Один из подходов к вопросу убывания рыночной власти при
усилении конкуренции развит в работах (Ruffin, 1971; Okuguchi, 1973)
1
Исследование проводилось при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проект 12-06-00174-a) и Правительства Российской Федерации (№ 11. G34.31.0059).
2
Статья посвящена светлой памяти нашего друга и коллеги Евгения Желободько, безвременно скончавшегося
в период подготовки рукописи к публикации. Основные идеи этого исследования принадлежат ему, все недостатки их воплощения его соавторы относят к себе. – А.В. Сидоров, Ж.-Ф. Тисс.
10
Монополистическая конкуренция и олигополия в «большой экономике»...
в рамках концепции количественной конкуренции на рынке однородного товара (олигополия Курно). Он основан на предположении о фиксированном числе N фирм в отрасли, в результате чего формируется
экзогенное, или N -равновесие Курно. В этой ситуации Народная теорема оказалась справедлива только в случае неубывающих средних
издержек; при немонотонном поведении или убывании она нарушается. Альтернативный подход – равновесие Курно со свободным входом в отрасль и эндогенным числом фирм при росте рынка – использовался в работе (Novshek, 1980). В этом случае Народная теорема
оказалась справедлива при достаточно слабых предположениях. Что
же касается конкуренции ценами (олигополия Бертрана), то в работе
(Novshek, Chowdhury, 2003) показано, что в отличие от равновесия
Курно сходимость эндогенных равновесий Бертрана к совершенно
конкурентному равновесию может вообще не иметь места даже при
сильных предположениях, таких как возрастание средних издержек.
Вопрос о сходимости равновесий исследовался и в более современной постановке, предполагающей наличие неполной взаимозаменяемости товаров. В работе (Vives, 1985) изучался вопрос о сравнительной эффективности N -равновесий Курно и Бертрана на рынке
дифференцированного блага с квазилинейной функцией полезности.
Было показано, что при прочих равных условиях равновесие Бертрана
порождает более низкие цены по сравнению с равновесием Курно,
т.е. является более эффективным, находится ближе к совершенно
конкурентному равновесию. Кроме того, если число фирм N неограниченно возрастает, то цены Курно и Бертрана асимптотически сходятся к предельным издержкам производства со скоростью порядка
1 / N . Аналогичные выводы о более высокой степени конкурентности
N -равновесия Бертрана по сравнению с N -равновесием Курно были
получены в работе (Amir, Jin, 2001) для модели с квазилинейной квадратичной функцией полезности для репрезентативного потребителя.
В упомянутых работах олигополистические механизмы ценообразования соотносились с моделью совершенной конкуренции, где
ценообразование осуществляется на основе предельных издержек.
В отличие от этого в настоящей работе в качестве «аппроксиматора»
используется модель монополистической конкуренции. Этот подход
является более естественным при изучении рынка дифференцированного блага с достаточной степенью дифференциации. Предположение
Бертрана о том, что фирма, предложившая меньшую цену, способна
полностью удовлетворить совокупный спрос, представляется не
вполне реалистичным. Напротив, при достаточно высокой степени
дифференциации товара воздействие на «рынок в целом» отдельно
взятой фирмы, производящей конкретную разновидность товара,
можно считать пренебрежимо малым.
В настоящей работе рассматривается отрасль, производящая дифференцированное благо в условиях возрастающей отдачи
11
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Е.В. Желободько, А.В. Сидоров, Ж.-Ф. Тисс
от масштаба (убывания средних издержек), при максимально общих
предположениях о потребительских предпочтениях. Число фирм N
предполагается экзогенно заданным. Доказаны существование и единственность N -равновесий Курно и Бертрана при достаточно слабых
предположениях. Кроме того, доказан аналог Народной теоремы
о сходимости N -равновесий Курно и Бертрана к монополистическиконкурентному равновесию. Показано, что при достаточно общих
предположениях на функцию полезности остаются справедливыми
выводы о большей «конкурентности» равновесия Бертрана по сравнению с равновесием Курно, полученные в работах (Vives, 1985; Amir, Jin,
2001) для квазилинейных потребительских предпочтений.
1. Модель
Рассмотрим модель экономики, в которой N ≥ 2 фирмконкурентов выпускают однотипные блага, покупаемые L > 0 идентичными потребителями. Эти блага можно интерпретировать как разновидности одного и того же продукта, обладающие, однако, фирменной
идентичностью, например, брендом. Тем самым имеет место горизонтальная дифференциация продукции в отрасли. В дальнейшем мы будем отождествлять фирму и выпускаемую ею продукцию; т.е. i одновременно
может обозначать как «название» фирмы, так и разновидность дифференцированного блага, выпускаемого этой фирмой. Если через xi ≥ 0
обозначить спрос отдельного потребителя на разновидность блага i,
то в силу идентичности потребителей выпуск фирмы i, удовлетворяющий совокупный рыночный спрос, будет равен Lxi . Таким образом,
совокупный выпуск в отрасли (с учетом дифференциации) представляет собой вектор Lx = L × ( x1 , , xN ) ∈  +N .
1.1. Потребление
Потребители располагают единицей труда, которую они реализуют на рынке труда с абсолютно неэластичным предложением. Без
ограничения общности ставку заработной платы можно считать равной единице. Функция полезности репрезентативного потребителя
имеет вид
N
U ( x ) = ∑u( xi ),
i =1
где u( x ) строго вогнутая, строго возрастающая, трижды непрерывно
дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию3 u(0) = 0 .
Полезность максимизируется по вектору потребления при бюджетном
ограничении потребителя
N
∑p x
i =1
i i
= 1, (1)
где pi – цены разновидностей блага. Из условий первого порядка для
задачи потребителя получаем, что u ′( xi ) = λpi , где λ ≥ 0 – множитель
Лагранжа для бюджетного ограничения (1). Строго говоря, в общем
3
Это условие не является значимым с формальной точки зрения. Однако предположение о том, что u(0) ≠ 0
означало бы, что благосостояние потребителей будет изменяться при расширении линейки товаров, даже
если они сохраняют неизменным свой потребительский набор.
12
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Монополистическая конкуренция и олигополия в «большой экономике»...
случае может потребоваться условие, обеспечивающее существование внутреннего решения xi > 0 для всех i , например, lim u ′( x ) = +∞ .
x →0
Однако в дальнейшем мы по традиции ограничимся симметричными
равновесиями с униформными ценами по всем разновидностям дифференцированного блага pi ≡ p* , что автоматически обеспечит условие xi ≡ x * > 0.
В соответствии с нашим предположением, с точки зрения
потребителей, все разновидности продукции приносят одну и ту же
полезность, измеряемую единой функцией элементарной полезности
u( x ). Однако в силу ее вогнутости каждая дополнительная единица
конкретной разновидности блага дает меньший эффект. Поэтому
в конечном счете возникнет диверсификация структуры потребления,
которая может быть охарактеризована как склонность к разнообразию
(love for variety). Для количественной оценки этой склонности нами
будет использоваться относительная мера Эрроу–Пратта4
ru ( x ) = −
x u ′′( x )
,
u ′( x )
которую можно определить для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции u( x ) . В силу сделанных выше предположений неравенство ru ( x ) > 0 имеет место для всех положительных
значений x > 0. Кроме этого, будем предполагать, что функция ru ( x )
равномерно непрерывна при x ∈ (0, +∞) , в частности, существует предел
lim ru ( x ) = ru (0) ∈ [0, 1). Также предполагается, что мера Эрроу–Пратта
x →0
для функций u( x ) и u ′( x ) удовлетворяет условиям ru ( x ) < 1, ru′ ( x ) < 2,
что обеспечивает выполнение условий второго порядка для задачи
фирмы (Zhelobodko et al., 2012).
Наложенные условия заведомо выполняются для любых
функций u( x ), принадлежащих классу AHARA-функций5:
u( x ) =
1
ρ
( a + x ) − a ρ  + bx,
ρ
где 0 < ρ < 1 , a ≥ 0 , b ≥ 0 . Действительно,
ru ( x ) =
x
(1 − ρ)
∈ (0,1),
a + x 1 + b( a + x )1−ρ
ru′ ( x ) =
(2 − ρ) x
< 2.
a+x
Заметим, что популярная в экономической теории степенная элементарная полезность x ρ , порождающая функцию с постоянной эластичN
ностью замещения (CES-функцию) U ( x ) = ∑ i =1 xiρ , тоже принадлежит
4
Полное название этой величины «относительная мера неприятия риска» в нашем контексте не вполне релевантно ввиду отсутствия в модели учета риска, поэтому в дальнейшем мы будем использовать сокращенное
название.
5
Данная аббревиатура означает Augmented Hyperbolic Absolute Risk Aversion. Этот класс функций широко
используется в теории принятия решений и других экономических дисциплинах.
13
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Е.В. Желободько, А.В. Сидоров, Ж.-Ф. Тисс
классу AHARA при a = b = 0 . Кроме того, при a = 0 и любом b ≥ 0 справедливо ru (0) = 1 − ρ > 0 . Если же выполнено условие a > 0 , то при любом
значении b ≥ 0 имеет место ru (0) = 0 .
1.2. Производство: ценообразование и стратегическое
взаимодействие фирм
Производство каждой единицы продукции сопряжено с предельными затратами труда c > 0 , одинаковыми для всех фирм в отрасли.
Без ограничения общности можно считать, что c = 1 . Фиксированные
издержки производства f > 0 выражены в единицах труда, также предполагаются одинаковыми для всех фирм. Из условий максимизации
полезности потребителя следует, что
N
∑u′( x ) x
s =1
s
N
s
= λ ∑ pi xi = λ,
i =1
поэтому правило ценообразования на продукцию фирмы i (обратная
функции спроса) имеет вид
pi (x) = u ′( xi ) /
(∑
N
s =1
)
u ′( xs ) xs . (2)
Рассмотрим теперь некоторые возможные типы стратегического взаимодействия между фирмами, начав с традиционных: конкуренции по объемам выпуска – олигополии Курно и конкуренции по
ценам – олигополии Бертрана, с учетом специфики модели с дифференцированными благами.
1.3. N -равновесие Курно
Предположим, что производители вступили в стратегическое
взаимодействие, используя в качестве стратегий объемы выпуска (олигополия Курно). В этом случае производитель разновидности дифференцированного блага i получает в качестве отклика рынка цену pi ( x ) ,
заданную формулой (2) и зависящую в том числе от объемов выпуска
других фирм. Поэтому его прибыль имеет вид

 N
 
viC ( x ) = L ( pi ( x ) − 1) xi − f = L  u ′( xi ) /  ∑u ′( xs ) xs  − 1 xi − f , (3)
 s =1
 

где x = ( x1 , , x N ) – объемы потребления всех разновидностей блага
репрезентативным потребителем. Анализ условий первого и второго
порядков для этой задачи см. в Приложении, п. 1.
Рассмотрим равновесие Нэша при экзогенно заданном числе
фирм N, т.е. такой исход ( x1* , , x *N ), для которого каждая стратегия
xi* является оптимальным откликом производителя i на выбор x *j всех
остальных участников j ≠ i . В дальнейшем будем называть это решение
N -равновесием Курно. Равновесие Курно называется симметричным, если
xi* = x *j для всех i, j . В силу равенств (2) для симметричного равновесия
14
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Монополистическая конкуренция и олигополия в «большой экономике»...
x* = ( x * , , x * ) цена всех разновидностей i ∈ {1,  , N } дифференцированного блага будет одна и та же:
u ′( x * )
1
pi* ≡ p* =
=
.
*
*
N u ′( x ) x
N x*
Изначально мы допускали возможность несимметричных N -равновесий, однако следующий результат показывает, что их можно полностью исключить из рассмотрения.
Лемма. Не существует несимметричных N- равновесий Курно.
Доказательство этого утверждения см. В Приложении, п. 2.
1.4. N -равновесие Бертрана
Предположим теперь, что фирмы-конкуренты используют
в качестве стратегий цены, т.е. имеет место олигополия Бертрана.
В этом случае откликом рынка является прямая функция спроса xi ( p)
на продукцию фирмы i, которая определяется путем решения системы
уравнений6
pk = u ′( xk ) /
(∑
N
s =1
)
u ′( xs ) xs , k = 1,  , N ,
относительно всех xk и зависит от всех цен отрасли p = ( p1 ,  , pN ) .
Тогда функция чистой прибыли фирмы i имеет вид
viB ( p) = L ( pi − 1) xi ( p) − f .
В дальнейшем из тех же соображений, что и в случае олигополии
Курно, будем рассматривать только симметричные решения, т.е. такие
векторы цен p* = ( p1* , , pN* ), что каждая цена pi* является оптимальным
откликом на цены p*− i всех других фирм, причем pi* = p*j для всех
i, j . Заметим, что из симметрии решения по ценам следует также
и симметрия по спросу xi ( p* ) = x j ( p* ) для всех i, j (см. Приложение,
п. 5). Соответствующее симметричное решение будем называть
N -равновесием Бертрана 7. Проверку условий первого и второго порядков для симметричных равновесий Бертрана см. В Приложении, п. 5.
1.5. «Большая экономика» и монополистически-конкурентное
равновесие
В дополнение к рассмотренным выше типам стратегического
взаимодействия между фирмами рассмотрим случай, когда в отрасли
имеет место монополистическая конкуренция. При этом, в отличие
от классической модели Диксита–Стиглица, в значительной степени
6
Заметим, что, за исключением простейших частных случаев, данная система неразрешима в явном виде, поэтому анализ этой задачи возможен лишь с использованием техники дифференцирования неявных функций (см.
Приложение, п. 3, 4).
7
При доказательстве леммы 1 используются соотношения (2), которые в общем случае необратимы в явном
виде, т.е. в отличие от функции обратного спроса прямой спрос не имеет явного формального выражения
в терминах функции полезности. Поэтому доказательство аналога утверждения леммы 1 для равновесий Бертрана представляется крайне сложной задачей. Впрочем, опровергнуть это утверждение авторам также не
удалось. В связи с этим мы просто следуем общепринятой традиции ограничиваться изучением только симметричных решений в исходно симметричной модели.
15
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Е.В. Желободько, А.В. Сидоров, Ж.-Ф. Тисс
опирающейся на использование CES-функций полезности, мы
будем использовать более общий подход, получивший развитие
в работах (Zhelobodko et al., 2012; Zhelobodko et al., 2011). В этом
случае каждая фирма i воспринимает параметр λ = ∑ s =1u ′( xs ) xs как
N
некоторый агрегированный рыночный показатель, на который она
не в состоянии повлиять8. Тогда функция обратного спроса (2) приобретает вид pi ( xi , λ ) = u ′( xi ) / λ. В силу предположений относительно
функции полезности производная u ′( x ) является строго убывающей
функцией, поэтому существует обратная функция ξ = [u ′] . Таким обра−1
зом, функция спроса xi ( pi , λ ) = ξ(λ pi ) зависит только от собственных
цен pi и предельной полезности дохода λ , а функция чистой прибыли
фирмы i принимает вид vi0 ( pi , λ ) = L ( pi − 1)ξ(λpi ) − f .
Монополистически-конкурентное
(симметричное)
N -равновесие
определяется как пара чисел ( p* , x * ), таких, что для любого i функция vi0 ( pi , λ* ) достигает максимума при pi = p*, где λ* = N u ′( x * ) x * ,
x * = x ( p* , λ* ).
Предположение об отсутствии стратегического взаимодействия подразумевает, что число фирм достаточно велико. Более того,
стандартная модель монополистической конкуренции в духе Диксита–
Стиглица фактически основывается на представлении о том, что множество фирм образует отрезок [0, N ], т.е. имеет мощность континуума.
В настоящей работе мы будем использовать более традиционное, «дискретное», представление о множестве фирм. В данной работе используется исключительно традиционный для олигополии подход: число
фирм N предполагаем экзогенно заданным, поэтому усиление конкуренции заключается в росте числа фирм N . Будет показано, что при
достаточно большом размере рынка равновесия Курно и Бертрана
сколь угодно мало отличаются от монополистически-конкурентного
равновесия.
2. Результаты: существование, соотношение и сходимость
Ранее было отмечено, что в модели с идентичными фирмами
и потребителями достаточно рассматривать только симметричные
состояния, характеризующиеся величинами единой цены pi = p и единого спроса xi = x для всех разновидностей i горизонтально дифферен8
Стандартной интерпретацией этого показателя является предельная полезность дохода для репрезентативного потребителя; см., например, (Zhelobodko et al., 2012, пп. 2.1).
16
Монополистическая конкуренция и олигополия в «большой экономике»...
цированного блага. Для заданной цены p > 1 через m = ( p − 1) / p ∈ (0, 1)
обозначим относительную наценку (mark-up) сверх предельных издержек, равных c = 1. Заметим, что если p* – равновесная цена, то соответствующая наценка m* = ( p* − c ) / p* совпадает с индексом Лернера,
который измеряет относительное отклонение равновесных цен от
совершенно конкурентных, т.е. от предельных издержек производства. Равновесие считается совершенно конкурентным в том и только
в том случае, если индекс Лернера равен нулю.
Очевидно, что m является строго возрастающей функцией
относительно p , при этом по наценке m можно однозначно восстановить как симметричную цену p = 1 / (1 − m ), так и симметричный спрос
x = 1 / Np = (1 − m ) / N . Таким образом, всякое (симметричное) решение
Курно или Бертрана однозначно определяется значением относительной наценки m. В случае монополистической конкуренции в работе
(Zhelobodko et al., 2011) доказаны существование и единственность
монополистически-конкурентного симметричного равновесия с фиксированным числом фирм N , причем соответствующая наценка m 0
(
)
является единственным решением уравнения m 0 = ru (1 − m 0 ) / N .
Аналогичное выражение имеет место и для N -равновесий
Курно и Бертрана, что позволяет получить следующую теорему сопоставления равновесий и их сходимости к монополистически-конкурентному равновесию.
Теорема. Для любого числа фирм N ≥ 2 cимметричные N -равновесия Курно и Бертрана существуют и единственны. При этом относительные
наценки mC , m B являются решениями уравнений
mC =
1 
1   1 − mC
+  1 −  ru 
N  N  N

,

mB =
mB  mB
+ 1 −
N 
N
  1 − mB
 ru 
  N

,

соответственно. Для любого N ≥ 2 справедливо неравенство
mC ( N ) > m B ( N ) > m 0 ( N ) и C
B
0
lim m ( N ) = lim m ( N ) = lim m ( N ) = ru (0).
N →∞
N →∞
N →∞
Доказательство данной теоремы см. В Приложении, п. 6.
Следствие. N-равновесия Курно и Бертрана сходятся к совершенно конкурентному равновесию при N → ∞ в том и только в том
случае, если ru (0) = 0 .
17
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Е.В. Желободько, А.В. Сидоров, Ж.-Ф. Тисс
Действительно, предельная цена p = 1 / (1 − ru (0) ) равна предельным издержкам c = 1 лишь при ru (0) = 0 .
Таким образом, олигополии Курно и Бертрана можно интерпретировать как «искажения» монополистической конкуренции, причем веса этих искажений, 1 / N и m / N соответственно, уменьшаются
обратно пропорционально числу фирм N , что согласуется с результатами работы (Vives, 1985). Интерпретируя равновесную величину
наценки как индекс Лернера для рыночной власти, мы получаем
вполне естественный вывод, что при любом фиксированном значении
числа фирм N монополистически-конкурентное N -равновесие находится ближе всего к совершенно конкурентному исходу, следующим по
степени конкурентности является N -равновесие Бертрана, и, наконец,
N -равновесие Курно дальше всех отстоит от совершенно конкурентного исхода. В пределе по N все три экзогенных решения – Курно,
Бертрана и монополистически-конкурентное равновесие – совпадают.
Заключение
Отвечая на вопрос, сформулированный в заглавии, можно сказать, что разница между моделью монополистической конкуренции
и олигополиями Курно и Бертрана обратно пропорциональна размеру
рынка, выраженному числом фирм-конкурентов. Тем самым в рассмотренном нами случае дифференцированных благ справедлив аналог
Народной теоремы об аппроксимации несовершенного рынка более
конкурентным.
Полученные результаты находятся в русле традиционных интуитивных представлений о том, что при достаточно большом размере
отрасли влияние стратегического взаимодействия фирм становится
пренебрежимо малым. Однако имеется ряд существенных отличий
от результатов, полученных ранее. Во-первых, моделирование потребительского сектора идет от микрооснований (задачи потребителя),
используя при этом максимально общие предположения о потребительских предпочтениях. Во-вторых, традиционная формулировка
Народной теоремы соотносит предельные олигополистические равновесия с совершенно конкурентным, а не с монополистически-конкурентным равновесием. По этой причине полученные ранее результаты
носили разнородный характер, как положительный, так и отрицательный. Во всяком случае, для получения положительного результата требовались дополнительные предположения, налагаемые на потребительские предпочтения. В настоящей работе показано, что сходимость
олигополистических равновесий к монополистически конкурентному
имеет место при весьма слабых предположениях на функцию полезности (по существу, используется только свойство аддитивной сепарабельности), в то время как сходимость к совершенно конкурентному
равновесию характеризуется необходимым и достаточным условием
в терминах относительной меры склонности к разнообразию у репрезентативного потребителя.
18
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Монополистическая конкуренция и олигополия в «большой экономике»...
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Приложение
Приведем вначале полезное техническое утверждение, доказанное в работе (Zhelobodko et al., 2011).
Замечание 1. Для всех
′
ru ( x ) = ( ru ( x ) / x ) [1 − ru′ ( x ) + ru ( x )] .
x>0
справедливо
тождество
Действительно,
2
( u′′( x ) + xu′′′( x ) ) u′( x ) − x × ( u′′( x ) )
 xu ′′( x ) ′
ru′( x ) = − 
=
−
=

2
( u′( x ) )
 u ′( x ) 
=−
u ′′( x )  xu ′′′( x ) xu ′′( x )  ru ( x )
1+
=
−
[1 − ru′ ( x ) + ru ( x )].
u ′( x ) 
u ′′( x )
u ′( x ) 
x
1. Условия первого и второго порядка при олигополии Курно
Условие первого порядка, определяющее оптимальный отклик
производителя i с функцией прибыли
(
)
N
viC ( x ) = L × u ′( xi ) /  ∑ s =1 u ′( xs ) xs  − 1 xi − f ,


выглядит следующим образом:
N


u ′′( xi )∑ s =1 u ′( xs ) xs − ( u ′′( xi ) xi + u ′′( xi ) ) u ′( xi )
u ′( xi )
 N

xi L = 0.
−1 L +
2
N
 ∑ u ′( xs ) xs

 s =1

∑ s=1 u′( xs ) xs
(
)
После приведения подобных членов это равенство примет вид
u ′( xi ) + u ′′( xi ) xi
u ′( xs ) xs − 1 = 0 (4)
2 ∑ s ≠i
N
∑ s =1 u ′( xs ) xs
(
)
(
)
Введем обозначение S = ∑ s =1 u ′( xs ) xs , тогда очевидно, что
N
∂S
= u ′′( xi ) xi + u ′( xi ) = u ′( xi ) (1 − ru ( xi ) ) > 0.
∂xi
С учетом этого условие первого порядка можно переписать следующим образом
u ′( xi ) + u ′′( xi ) xi
( S − u′( xi ) xi ) − 1 = 0,
S2
при этом S − u ′( xi ) xi > 0 ,
∂
( S − u′( xi ) xi ) ≡ 0 и ∂xi
∂2S
= 2u ′′( xi ) + u ′′′( xi ) xi = u ′′( xi ) ( 2 − ru′ ( xi ) ) < 0.
∂xi2
Отсюда следует
2
∂ 2 viC
S − u ′( xi ) xi  ∂ 2 S 2  ∂S  
 2 − 
 < 0,
=L
 ∂xi S  ∂xi  
S2
∂xi2


что означает строгую вогнутость функции прибыли относительно
переменной xi .
19
Е.В. Желободько, А.В. Сидоров, Ж.-Ф. Тисс
2. Доказательство леммы (симметричность решения Курно)
Предположим, что совокупный выпуск x = ( x1 , , x N ) ,
удовлетворяющий условиям первого порядка (4), для всех фирм i
является несимметричным, например, имеет место неравенство
xi > x j . В силу выполнения условий первого порядка как для i, так и для
j мы можем приравнять левые части этих условий
u ′( x j ) + u ′′( x j ) x j
u ′( xi ) + u ′′( xi ) xi
( S − u′( xi ) xi ) =
( S − u′( x j ) x j )
2
S
S2
и после очевидных преобразований получим равенство
u ′′( xi ) xi + u ′( xi ) S − u ′( x j ) x j
=
.
u ′′( x j ) x j + u ′( x j ) S − u ′( xi ) xi
Из условия ru′ ( x ) < 2 следует, что функция u ′′( x ) x + u ′( x ) является убывающей, а значит, левая часть меньше 1. В то же время из неравенства
ru ( x ) < 1 вытекает, что функция u ′( x ) x является возрастающей, т.е.
u ′( xi ) xi > u ′( x j ) x j и правая часть больше 1. Полученное противоречие
означает, что несимметричных равновесий Курно не существует.
3. Ценовые эластичности при олигополии Бертрана
Прежде чем перейти к непосредственному изучению равновесий Бертрана, выведем некоторые соотношения между эластичностями спроса на продукцию производителя i. Из условий первого
порядка для задачи потребителя мы имеем
u ′( xi ) ps = u ′( xs ) pi (5)
для любого s ≠ i . Продифференцировав это уравнение по цене pi ,
получим
∂x
∂x
u ′′( xi ) ps i = u ′( xs ) + u ′′( xs ) pi s ⇔ ru ( xi )ii = −1 + ru ( xs )si ,
∂pi
∂pi
где ii =
pi ∂xi
p ∂x
– ценовая эластичность блага i , а si = i s – переxi ∂pi
xs ∂pi
крестная ценовая эластичность. Отсюда следует тождество
si =
ru ( xi )ii + 1
. (6)
ru ( xs )
После дифференцирования бюджетного равенства (1) по pi имеем
тождество
N
∂x
p x r ( x ) + 1
0 = ∑ ps s + xi = ∑ s s u i ii
+ xi (1 + ii ),
∂pi
pi
ru ( xs )
s =1
s ≠i
из которого следует

px
p s xs 1 
1  
ii = − 1 + ∑ s s
 / 1 + ru ( xi )∑
 . (7)
(
)
p
x
r
x
s ≠ i pi xi ru ( xs ) 
 s ≠i i i u s  
20
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Монополистическая конкуренция и олигополия в «большой экономике»...
Дважды дифференцируя тождество (5) по pi , получим
2
2
 ∂xi 
 ∂xs 
∂ 2 xi
∂xs
∂ 2 xs
'''
+ u ′′′( xs ) pi 
⇔
u ( xi ) ps 
 + u ′′( xi ) ps 2 = 2u ′′( xs )
 + u′′( xs ) pi
∂pi
∂pi
∂pi2
 ∂pi 
 ∂pi 
∂x
u ′′( xi )u ′( xs ) i
∂pi  u ′′′( xi ) xi ∂xi pi ∂ 2 xi
pi 
⇔
+ 2

=
u ′( xi )
 u ′′( xi ) ∂pi xi ∂pi ∂xi / ∂pi 
=
u ′′( xs )
⇔
=
∂xs
∂pi

∂ 2 xs 
u ′′′( xs ) xs pi ∂xs
pi
+
+
2

⇔
u ′′( xs ) xs ∂pi ∂xs / ∂pi ∂pi2 

u ′′( xi ) xi ∂xi pi  u ′′′( xi ) xi ∂xi pi ∂ 2 xi
pi 
+ 2

=
u ′( xi ) ∂pi xi  u′′( xi ) ∂pi xi ∂pi ∂xi / ∂pi 
u'' ( xs ) xs ∂xs pi 
u''' ( xs ) xs pi ∂xs
pi
∂ 2 xs 
+
+
2

⇔
u' ( xs ) ∂pi xs 
u'' ( xs ) xs ∂pi ∂xs / ∂pi ∂pi2 
⇔ ru ( xi )ii (− r ' ( xi )ii + ii ) = ru ( xs )si (2 − r ' ( xs )si + si ), (8)
u
u
2
∂ xi
pi
∂xi
– ценовая эластичность производной
,
2
∂pi ∂xi / ∂pi
∂pi
где
ii =
ii =
∂ 2 xi
pi
– перекрестная ценовая эластичность производной
2
∂pi ∂xi / ∂pi
∂xs / ∂pi .
Теперь снова дважды дифференцируем бюджетное равенство
(1) по pi :
N
∑ ps
s =1
N
∂ 2 xs
∂xi
ps xs pi ∂xs
pi
∂ 2 xs
p ∂x
2
=
0
+
⇔
+ 2 i i = 0,
∑
2
/
∂pi2
∂pi
p
x
x
∂
p
∂
x
∂
p
∂
p
x
s =1
i i
s
i
s
i
i
i ∂pi
что эквивалентно равенству
ps xs
si si + ii (2 + ii ) = 0. (9)
∑
s ≠ i pi xi
4. Условия первого и второго порядка для олигополии
Бертрана: общий случай
Сформулируем условия первого и второго порядка для
произвольных, необязательно симметричных исходов в олигополии Бертрана. Условия первого порядка для функции
viB ( p) = L ( pi − 1) xi ( p) − f имеют вид
( pi − 1)
 p ∂x 
p −1
∂xi
1
= −1/  i i  = − . (10)
L + xi L = 0 ⇔ i
pi
x
p
∂pi
∂

ii
 i i
21
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Е.В. Желободько, А.В. Сидоров, Ж.-Ф. Тисс
Дважды дифференцируя бюджетное равенство
тождество
N
∂x
∂ 2 xs
2 i + ∑ ps
=0.
∂pi s =1 ∂pi2
∑
N
s =1
ps xs = 1, получим
Отсюда следует, что условия второго порядка для функции viB ( p) имеют
вид
N
∂x
∂2 x
∂2 x
∂ 2 xs
xi
∂ 2 xi N ∂ 2 xs
2 i + ( pi − 1) 2i = ( pi − 1) 2i − ∑ ps
=
<0⇔
−
− ∑ ps
∂pi
∂pi
∂pi
∂pi2
∂xi / ∂pi ∂pi2 s =1 ∂pi2
s =1
⇔
pi ∂ 2 xi N ps xs pi ∂xs
pi
∂ 2 xs
>0⇔
+
∑
∂xi / ∂pi ∂pi2 s =1 pi xi xs ∂pi ∂xi / ∂ps ∂pi2
N
⇔ ii + ∑
s =1
ps x s
px
si si = (1 + ii ) ii + ∑ s s si si > 0.
pi xi
s ≠ i pi xi
С учетом уравнений (9) эти условия эквивалентны
N
px
ii + ∑ s s si si = (1 + ii )ii − ii (2 + ii ) = ii − 2ii > 0 .
s =1 pi xi
(11)
5. Симметричные равновесия Бертрана
Используя полученные в предыдущем пункте выражения для
условий первого (10) и второго (11) порядка, перепишем их для случая симметричных решений Бертрана, т.е. таких состояний экономики, что pi ≡ p для всех i. Заметим, что отсюда следует симметрия
по спросу, xi ≡ x для всех i в силу (5) и строгой вогнутости функции
u( x ) , иными словами, строгого убывания производной u ′( x ) . В этом
случае система (8)–(9) редуцируется до двух линейных уравнений относительно неизвестных ii ≡  , si ≡ ˆ для всех i и s ≠ i :
N
px
ii + ∑ s s si si = (1 + ii )ii − ii (2 + ii ) = ii − 2ii > 0 (12)
s =1 pi xi
ˆ ˆ +  (2 +  ) = 0, (13)
( N − 1)
где (в силу симметрии)
 N −1 
N − 1 + ru ( x)
 = − 1 +
,
/ N = −
ru ( x) N
 ru ( x) 
(14)
r ( x) + 1 1 − ru ( x)
ˆ = u
=
. (15)
ru ( x)
ru ( x) N
В силу этих равенств и с учетом соотношения x = (1 − m ) / N получаем,
что условие первого порядка (10) примет вид
m  m  1− m 

1− m  
 1 − m  
m = Nru 
 /  N −  1 − ru 
   ⇔ m = +  1 −  ru 
 . (16)
N  N  N 
 N  
 N  

22
Монополистическая конкуренция и олигополия в «большой экономике»...
Покажем теперь, что для симметричных исходов Бертрана справедливы условия второго порядка (11). С учетом симметричности эти
условия редуцируются до неравенства  − 2 > 0 , где  удовлетворяет
системе линейных уравнений
ˆ ˆ = 2ˆ − r ( x) ˆ 2 −  2 ,
 − 
u′
(
)
ˆ ˆ = −2 ,
 + ( N − 1)
эквивалентной системе (12)–(13), а  определяется из формулы (14).
Умножая первое уравнение на N − 1 и складывая его со вторым, получаем равенство
(
)
(
)
N  = −2 + 2( N − 1)ˆ − ( N − 1)r ' ( x) ˆ 2 −  2 ⇔
u
N  = −2 + 2( N − 1)ˆ − ( N − 1)r ' ( x) ˆ 2 −  2 ⇔
u
Отсюда
N ( − 2 ) = −2 − 2 N  + 2( N − 1)
ˆ
− ( N − 1)ru ′ ( x) ˆ − 

(
 ˆ



)   +  
,
и для проверки выполнения условий второго порядка достаточно убедиться в положительности правой части этого равенства. Подставляя
в нее выражения (14)–(15), после приведения подобных получим
N (  − 2 ) = 2
=2
r ' ( x) N − 2(1 − r ( x))
1 − ru ( x)
N −1
u
− 2( N − 1)
− ( N − 1) u
×
=
ru ( x)
ru ( x) + N − 1
ru ( x)
ru ( x) + N − 1
N − 1  (1 − ru ( x))ru ( x) ru' ( x) N − 2(1 − ru ( x)) 
−
×
1 −
>
ru ( x) 
ru ( x) + N − 1
2
ru ( x) + N − 1 
>2
N − 1  (1 − ru ( x))ru ( x) N − 2(1 − ru ( x)) 
−
1 −
.
ru ( x) 
ru ( x) + N − 1
ru ( x) + N − 1 
Последнее неравенство выполнено в силу того, что N ≥ 2 > 2(1 − ru ( x ))
и ru′ ( x ) < 2. Наконец, после приведения к общему знаменателю выражения в квадратных скобках имеем
N − 1 (1 − ru ( x)) 2
N ( − 2 ) > 2
×
> 0,
ru ( x) ru ( x) + N − 1
что завершает проверку условия второго порядка для симметричных
равновесий Бертрана.
6. Доказательство теоремы (существование и единственность
N -равновесий Курно и Бертрана)
Полагая xi = xs = x в условии первого порядка (4), получим
равенство
23
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Е.В. Желободько, А.В. Сидоров, Ж.-Ф. Тисс
u ′( x ) + u ′′( x ) x
N − 1) u ′( x ) x − 1 = 0.
2 (
( Nu′( x ) x )
Кроме того, в силу симметричности равновесия из (2) следует
тождество
u ′( x)
1
pi ≡ p =
.
⇔x=
Nu ′( x) x
Np
Отсюда после сокращений и несложных преобразований выводим
равенство
1 N −1  1  p −1
+
ru 
.
=
N
N
p
 Np 
Подставляя сюда выражение m = ( p − 1) / p и учитывая соотношение
1 / p = 1 − m, приходим к выводу, что относительная наценка mC для равновесия Курно удовлетворяет уравнению
FC ( m ) =
Заметим, что
FC (0) =
1 N −1  1− m 
ru 
+
 − m = 0.
N
N
 N 
1 N −1  1 
N −1
+
ru   > 0 , FC (1) = −
(1 − ru (0) ) < 0,
N
N
N
N
 
поэтому в силу непрерывности FC существует по меньшей мере одно
решение m* ∈ (0,1) уравнения FC ( m ) = 0 . Покажем, что это решение
единственно. Для этого достаточно продемонстрировать, что для
любого такого решения выполнено неравенство FC ′ ( m* ) < 0 . Отсюда
будет следовать единственность m*, поскольку в противном случае
имело бы место чередование знаков производной. И действительно,
FC ′ ( m* ) = −
N − 1 ′  1 − m* 
N − 1 1 − m* ′  1 − m* 
−
−
r
1
=
ru 

 − 1.
u 
N2
N (1 − m* ) N
 N 
 N 
Введем обозначение x * = (1 − m* ) / N , тогда из условия FC ( m* ) = 0 следует
1 − m* =
N −1
(1 − ru ( x * )) и N
x *r ′ ( x * ) + 1 − ru ( x * )
FC ′ ( m* ) = − u
.
1 − ru ( x * )
Используя тождество из замечания 1, получим, что для всех x > 0
справедливо
x ru′ ( x ) + 1 − ru ( x ) = 1 + ( ru ( x ) − ru′ ( x )) ru ( x ) = (1 − ru ( x )) 2 + (2 − ru′ ( x )) ru ( x ) > 0,
т.е. FC ′ ( m* ) < 0. Данное соотношение завершает доказательство существования и единственности равновесия Курно.
Согласно (16) условие первого порядка для симметричного равновесия Бертрана имеет вид m =
m  m  1− m 
+  1 −  ru 
.
N  N  N 
24
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Монополистическая конкуренция и олигополия в «большой экономике»...
Непрерывная
функция
FB ( m ) =
m  m  1− m 
+  1 −  ru 
 − m,
N  N  N 
определена для всех m ∈ (0, 1) . Кроме того, FB (0) = ru (1 / N ) > 0 , а FB (1) = − ( N − 1) / N  (1 − ru (0) ) < 0, поэтому в силу непрерывности FB
существует по меньшей мере одно решение m* уравнения FB ( m ) = 0 .
Покажем, что это решение единственно. Для этого, как и в случае
равновесия Курно, достаточно продемонстрировать, что для каждого
решения m* справедливо неравенство FB′ ( m* ) < 0. Действительно,
FB′ ( m* ) = −
1 1  1 − m*   m*  1  1 − m* 
+ ru 
 − 1 −
 ru ' 
 − 1.
N N  N  
N N  N 
Введем обозначение x * = (1 − m* ) / N , тогда из условия FB ( m* ) = 0 следует
(
)
1 − m* = (1 − m* / N ) 1 − ru ( x * ) , отсюда
FC ′ ( m* ) = −
1
x *ru′ ( x * )
x *ru′ ( x * ) + 1 − ru ( x * ) 
1
*

.
(1 − ru ( x * )) −
1
=
(1
(
))
−
−
−
r
x
+
u
1 − ru ( x * )
1 − ru ( x * )
N
N



Используя тождество из замечания 1, получим, что для всех x > 0
справедливо
x ru '( x ) + 1 − ru ( x ) = 1 + ( ru ( x ) − r ' ( x )) ru ( x ) = (1 − ru ( x )) 2 + (2 − ru′ ( x )) ru ( x ) > 0,
u
т.е. FB′ ( m* ) < 0 . Тем самым доказаны существование и единственность
равновесия Бертрана.
Наконец, в работе (Zhelobodko et al., 2011) было показано, что
относительная наценка m 0 для монополистически-конкурентного равновесия является единственным решением уравнения
F0 ( m ) = ru ([1 − m ] / N ) − m = 0,
причем F0′( m 0 ) < 0. Поскольку ru ( x ) < 1 для всех x, то для всех m ∈ (0, 1)
справедливы неравенства 0 < m / N < 1 / N
0
B
0
и F0 ( m ) < FB ( m ) < FC ( m ) .
Поэтому FB ( m ) > F0 ( m ) = 0 , и поскольку m является единственным
корнем уравнения FB ( m ) = 0 , причем FB′ ( m B ) < 0, то m B > m 0. Аналогично
mC > m B. Наконец, в силу равномерной непрерывности функции ru ( x)
mC − m 0 =
 1 − m0   
1
1    1 − mC
+
−
1
 1 − ru 

 
  ru 
N
 N   N    N

 1 − m0 
−
r
 u
  → 0 при

 N 
N → ∞,
C
B
0
lim m ( N ) = lim m ( N ) = lim m ( N ) = lim ru ( x ) = ru (0).
N →∞
N →∞
N →∞
25
x →0
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26
Е.В. Желободько, А.В. Сидоров, Ж.-Ф. Тисс
Литература
Amir R., Jin J.Y. (2001). Cournot and Bertrand Equilibria Compared: Substitutability,
Complementarity and Concavity // International Journal of Industrial
Organization. Vol. 19. P. 303–317.
Novshek W. (1980). Cournot Equilibrium with Free Entry // Review of Economic
Studies. Vol. 67. P. 473–486.
Novshek W., Chowdhury P.R. (2003). Bertrand Equilibria with Entry: Limit Results
// International Journal of Industrial Organization. Vol. 21. P. 795–808.
Ruffin R.J. (1971). Cournot Oligopoly and Competitive Behavior // Review
of Economic Studies. Vol. 38. P. 493–502.
Okuguchi K. (1973). Quasi-Competitiveness and Cournot Oligopoly // Review
of Economic Studies. Vol. 40. P. 145–148.
Vives X. (1985). On the Efficiency of Bertrand and Cournot Equilibria with Product
Differentiation // Journal of Economic Theory. Vol. 36. P. 166–175.
Zhelobodko E., Kokovin S., Parenti M., Thisse J.-F. (2011). Monopolistic
Competition in General Equilibrium: Beyond the CES // CORE Discussion
Paper 2011/10.
Zhelobodko E., Kokovin S., Parenti M., Thisse J.-F. (2012). Monopolistic
Competition in General Equilibrium: Beyond the Constant Elasticity of
Substitution // Econometrica. Vol. 80(6). P. 2765–2784.
Поступила в редакцию 13 мая 2013 года
E.V. Zhelobodko
NRU-HSE (Moscow); IM SB RAS, NSU, Novosibirsk
A.V. Sidorov
NRU-HSE (Moscow); IM SB RAS, NSU, Novosibirsk
J.-F. Thisse
NRU-Higher School of Economics, Moscow;
CORE; Universite catholique de Louvain (Belgium)
Monopolistic Competition vs Oligopoly in the
“Large Economy”: How Much Is Difference?
The paper studies a market of horizontally differentiated good under
increasing return to scale and exogenous number of firms. Three concepts of
equilibria are compared: Cournot, Bertrand and monopolistic competition. Under
fairly general assumptions on consumer’s preferences, it is shown that Lerner index
is the highest in Cournot case, monopolistic competition provides the lowest one
and Bertrand equilibrium takes intermediate position. When the number of firms
N increases, both oligopolistic equilibria converge to monopolistic competitive
equilibrium with rate 1 / N . Thus the study generalizes the similar results on markets
of homogeneous goods.
Keywords: monopolistic competition, oligopoly, differentiated goods, market power,
Lerner index.
JEL Classification: D43; D41; F12; L13.
26
Журнал НЭА,
№ 3 (19), 2013, с. 10–26