Вопросы к устному экзамену

Вопросы к устному экзамену
по математике за I семестр
в 10Е классе Гимназии № 1
I. Логика высказываний
1. Высказывания. Логические операции. Формулы логики высказываний. Таблицы
истинности.
2. Основные равносильности логики высказываний.
3. Понятие предиката. Кванторы всеобщности и существования.
II. Элементы теории множеств
4. Понятие множества. Подмножества. Способы задания множеств.
5. Операции над множествами и их свойства.
6. Бинарные отношения на множествах. Примеры бинарных отношений.
7. Отображения множеств. Область определения, область значений, образ, прообраз, график
отображения.
8. Виды отображений: наложение, вложение, разнозначность, взаимная однозначность.
Композиция отображений. Обратное отображение, условие обратимости.
9. Мощность множества, объединения и произведения двух множеств. Формула включений и
исключений.
10. Счетные множества. Доказательство счётности множества рациональных чисел.
11. Мощность континуума. Континуум-гипотеза. Доказательство неэквивалентности
множества двоичных последовательностей и множества натуральных чисел.
III. Комбинаторика
12. Принцип суммирования и принцип умножения. Количество слов данной длины над
алфавитом.
13. Перестановки, размещения, перестановки с повторениями, сочетания. Бином Ньютона,
биномиальные коэффициенты и их простейшие свойства.
14. Число подмножеств, число цепочек подмножеств, число разбиений.
IV. Отношения
15. Отношения на множествах. Рефлексивность, симметричность, антисимметричность,
транзитивность.
16. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор-множество. Векторы и
классы вычетов по модулю, как фактор-множества.
17. Отношения порядка.
V. Числовые функции
18. Область определения, область значений, образ, прообраз, график функции. Способы
задания функций.
19. Композиция, обратная функция, условие обратимости. График обратной функции.
20. График функции при преобразованиях переноса, симметрии, растяжения.
21. Чётные и нечётные функции, представление функции в виде суммы чётной и нечётной
функции. Монотонность и ограниченность. Выпуклость и вогнутость. Локальный и
глобальный экстремум. Асимптоты функций. Период и главный период функции.
22. Простейшие функциональные уравнения.
VI. Натуральные числа
23. Понятие натурального числа и конструктивное определение множества натуральных
чисел. Аксиомы Дедекинда-Пеано. Аксиоматическое определение натурального ряда.
24. Независимость аксиом Пеано.
25. Принцип математической индукции.
26. Сложение натуральных чисел. Доказательство существования и единственности сложения
натуральных чисел.
27. Основные свойства сложения натуральных чисел.
28. Умножение натуральных чисел. Существование и единственность умножения
натуральных чисел.
29. Основные свойства умножения натуральных чисел.
30. Отношение «меньше». Линейная упорядоченность на множестве натуральных чисел.
31. Свойства линейно упорядоченного множества натуральных чисел: существование
наименьшего элемента. Свойство дискретности.
32. Полная индукция.
VII. Целые числа
33. Аксиоматическое определение целых чисел.
34. Построение целых чисел.
35. Сложение классов эквивалентных пар и его свойства.
36. Умножение классов эквивалентных пар и его свойства.
37. Основные свойства целых чисел.
38. Отношение порядка на множестве целых чисел.
39. Делимость целых чисел, свойства делимости.
40. Теорема о существовании и единственности деления целых чисел с остатком.
41. НОД целых чисел. Алгоритм Евклида. Основное свойство НОД целых чисел.
42. НОК целых чисел. Свойства НОК.
43. Решение линейных уравнений ax+ by = c в целых числах.
44. Основная теорема арифметики.
45. Простые числа. Доказательство бесконечности множества простых чисел. Решето
Эратосфена.
46. Сравнимость целых чисел по модулю. Свойства сравнений.
47. Вывод признаков делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11.
48. Малая теорема Ферма.
49. Позиционные системы счисления.
VIII. Рациональные числа
50. Аксиоматическое определение рациональных чисел.
51. Построение рациональных чисел на множестве упорядоченных пар целых чисел.
52. Линейный порядок на множестве рациональных чисел.
53. Представление рациональных чисел в различных позиционных системах счисления..
IX. Действительные числа
54. Аксиоматическое определение действительных чисел и определение действительных
чисел через сечения Дедекинда.
55. Отношение порядка на множестве действительных чисел. Линейная упорядоченность
множества действительных чисел.
56. Представление действительного числа бесконечной десятичной дробью.
57. Непрерывность множества действительных чисел, теорема Дедекинда.
58. Границы числовых множеств.
59. Арифметические действия над действительными числами.